Воронинx

УДК 539.3
МОДЕЛИРОВАНИЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В АЛЮМИНИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
МАЛОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ПРИ НЕШАРОВОМ ТЕНЗОРЕ ДЕФОРМАЦИИ
М.С. Воронин, Е.И. Краус, Л.А. Мержиевский
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН
Аннотация: Современные широкодиапазонные уравнения состояния, построенные для описания
поведения поликристаллических материалов в широком диапазоне параметров сжатия, содержат
десятки свободных параметров и экспериментально определяемых констант. При использовании
подобных уравнений состояния в моделях конкретных материалов необходим большой набор
экспериментально определяемых параметров, что зачастую требует проведения многочисленных,
трудоемких экспериментов. Поэтому для решения реальных задач важно разработать и
реализовать принципы построения уравнений состояния, имеющих относительно малое число
экспериментально определяемых параметров. Такие принципы реализованы при построении на
основе термодинамического подхода малопараметрического уравнения состояния, в котором
используются только параметры материалов, существующие в таблицах физико-механических
свойств. Построенное таким образом уравнение состояния для алюминия является замыкающим
соотношением модели вязкоупругого тела максвелловского типа. В данном случае уравнение
состояния представляет собой зависимость удельной внутренней энергии не только от первого,
но и от второго инварианта тензора деформаций. Применимость построенного уравнения
состояния проверяется на сопоставлении результатов решения задач о выделении и затухании
упругого предвестника и о распространении ударной волны и её затухании при взаимодействии с
догоняющей волной разрежения. Сравнение показывает хорошее соответствие расчетных и
экспериментальных данных.
Ключевые слова: уравнение состояния, алюминий, вязкоупругое тело, ударная волна.
Modeling of a Shock-Wave Processes in the Aluminum with Use of Few-Parametric Equation of State at NonSpherical Deformations Tensor
M.S. Voronin, E.I. Kraus, L.A. Merzhievsky
Annotation: Modern wide-range equations of state, constructed to describe the behavior of
polycrystalline materials in a wide range of compression, are include too much interpolation and
experimentally defined constants. Usually it’s need to perform much and hard enough experiments to
get all required parameters and use them in such equations of state within mathematic models for
specific materials. That’s why for the purpose of solving real tasks it’s important to develop construction
principles of equations of state that have a relatively small number of experimentally defined
parameters. On the basis of thermodynamic approach such a principle has been implemented in the
few-parametric equation of state that uses only parameters, which may be found in handbook of
physical quantities. The equation is constructed for the aluminum and used as specifying equation for
the model of visco-elastic body of Maxwell type. In that model the state equation represents the specific
internal energy which depends not only on the first deformation tensor invariant, but also the second.
Applicability of the constructed equation is verified by comparison of calculations and experiment
results of isolation and attenuation of the elastic precursor, of shock wave propagation and its
attenuation after interaction with the expansion wave. The comparison showed good enough
agreement.
Keywords: equation of state, aluminum, visco-elastic body, shock wave.
Современные широкодиапазонные уравнения состояния, построенные для описания поведения
поликристаллических материалов в широком диапазоне параметров сжатия, содержат десятки
свободных параметров и экспериментально найденных констант, которые определяются по
данным ударно-волновых экспериментов, измерениям изэнтроп разгрузки пористых образцов и
другой экспериментальной термодинамической информации в широкой области фазовой
диаграммы. При использовании подобных уравнений состояний для включения в модели
конкретных материалов необходим большой набор экспериментальных параметров, получение
которых зачастую требует проведения многочисленных, трудоемких экспериментов. Поэтому для
решения реальных задач важно разработать и реализовать принципы построения уравнений
состояния, имеющее малое число экспериментально определяемых параметров. При этом они
должно обладать достаточно высокой степенью точности, в особенности - при умеренных
степенях сжатия.
В работе [1] на основе термодинамического подхода построено малопараметрическое уравнение
состояния, т.е. связь внутренней энергии, давления, температуры и удельного объема, в котором
используются только параметры материалов, приведенные в таблицах физико-механических
свойств, например, [2].
В качестве основы этого уравнения состояния принят принцип Ми-Грюнайзена представления
термодинамического потенциала в виде суммы холодной и тепловых составляющих:
(1.1)
E V , T   Ex V   Ea V , T   Ee V , T 
где Ex – холодная (упругая) составляющая энергии вдоль нулевой изотермы, Ea – вклад в энергию
от теплового движения атомной решетки, Ee – вклад в энергию от теплового возбуждения
электронов. Если ограничиться интервалом сжатий не больше 2, то для описания теплового
движения атомов достаточно использовать приближение Дебая, а для вклада теплового
движения электронов достаточно использовать зависимость, предложенную еще в [3].
Выражение для свободной энергии при этом имеет вид:
2
3
  V   1
2V 
F V , T   Ex V   cV 0T ln 

c
T

  ,
e0
 V0 
 T  2
(1.2)
и как следствие из (1.2) получаются следующие несложные выражения для внутренней энергии и
давления:
2
 V 3
1
E V , T   Ex V   cV 0T  ce 0T 2    Ex  Et  Ee ,
2
 V0 
P V , T   
dEx
E
E
  V  t   e e ,
dV
V
V
(1.3)
(1.4)
где cV0 – теплоемкость материала, ce0 – электронная теплоемкость,  – коэффициент Грюнайзена,
e=2/3 – аналог коэффициента Грюнайзена для электронов.
Для коэффициента Грюнайзена постулируется выражение, полученное в [4] независимо от свойств
конкретного материала:
 V   
d ln  2
2
 
,
d ln V 3 1  aV V0
(1.5)
2
2P
2
 a  V V0   V0  3
a  1
 t ,0 =>  V   0 
   ,
 s  2 3 Ks
 a 1   V 
2
(1.6)
где s = KsV0/cV, Ks – адиабатический модуль объемного сжатия, Pt,0 – тепловая часть давления
при нормальных условиях, 0 – температура Дебая при нормальных условиях.
Выражение для холодного давления получается как решение дифференциального уравнения,
которое получается если приравнять (1.5) к обобщенной формуле коэффициента Грюнайзена:
2t

d2 
3
PV

2  x
2
2
 2  t  V dV 
,

 

2t
3 1  axV V0
3
2




d
3
 PV

x
dV 

(1.7)
где ax=a(0)=1+2/(s – 2/3), параметр t задает определение средней частоты ансамбля
осцилляторов в соответствии с теорией Ландау-Слэтера при t=0, Дуглейла-Макдональда при t=1
и теорией свободного объема при t=2.
В итоге выражения для холодной энергии и давления имеют вид:
Px V   C1V

2t
3
 C2 H1 V  ,
2t


1
 C1V 3

Ex V    
 C2 H 2 V    C3 ,
 1  2t

3


(1.8)
(1.9)
где функции H1(V), H2(V) являются полиномами. Константы интегрирования C1, C2, C3
определяются, если известно значение (V0), cV0, ce0, модуля объемного изотермического сжатия
Kt при нормальных условиях и Pt,0.
Чтобы применить описанное уравнение состояния к какому-либо материалу необходимо и
достаточно знание только шести констант V0, , Kt, cV0, 0, ce0, соответствующих значениям
величин при нормальных условиях, которые могут быть найдены в справочниках физических
величин.
В работах [5-7] развивается максвелловский подход к описанию процессов необратимого
деформирования твердых тел. Для замыкания системы основных уравнений в данном случае
необходимо уравнение состояния, включающее зависимость удельной внутренней энергии не
только от первого, но и от второго инварианта тензора деформаций. Представляется
целесообразным использовать идеи построения малопараметрических уравнений состояний и
для максвелловских моделей. В данной работе принципы построения таких зависимостей
применены для построения уравнения состояния для алюминия.
В одномерном случае система уравнений модели имеет вид:
2

  (  r )    ur 
   ur     u   1  r 


 0,

  r 1 2  0
r
t
r
 t

2

2

     E  u 2  r     u  E  u 2    1u r 

0


t

r

 h2
h    1 u
d
h   3   u
d h
u 2 
  2 , 3 u 3 
 3

r
2
r
 t
r
2
r

 t

 F 
 F 
 F  F  hi , T  ,    hi , T  ,  i   
 , E  F  TS , S   

 T  hi

 hi T


(1.10)
где , u, E, S, T – плотность, скорость, удельная внутренняя энергия, энтропия и температура; hi –
логарифмы коэффициентов растяжения элемента среды вдоль главных осей; i – главные
напряжения; t, r – время и пространственная переменная; F = F(hi, T) – уравнение свободной
энергии при нешаровом тензоре деформаций;  = (hi, T) – зависимость времени релаксации
касательных напряжений от параметров состояния среды;  – показатель симметрии: =0 –
плоская, =1 – цилиндрическая, =2 – сферическая. Уравнения записаны в системе координат,
совпадающей с главными осями тензоров напряжения и деформаций (в данном случае они
совпадают). В уравнение для свободной энергии вводится девиаторное слагаемое:
(1.11)
F  , D, T   Ex    Edev  , D   Fa  , T   Fe  , T  ,
Edev  , D   2c2   D  2c02 0 D ,
(1.12)

1

1 3
 3 

 exp   hi  , D    di2  , di  hi  ln  .
3
0
2  i 1 
 i 1 
Здесь cпоперечная скорость звука, 0 – интерполяционная константа.
Зависимость для времени релаксации касательных напряжений имеет вид [8]:
 ˆ ,   
      
exp  0
,
ˆ
N0  M 0



0
(1.13)
где ̂ – интенсивность касательных напряжений,  – величина пластической деформации, 0 –
параметр, связанный с частотой колебания атомов, N0 – число дислокаций в недеформированном
состоянии, M0 – коэффициент размножения дислокаций, 0 – характеристическое напряжение
торможения,  – деформационное упрочнение.
Методика отыскания параметров (1.13) основана на решении задачи о деформирования тонкого
стержня и сравнения расчетных и экспериментальных диаграмм деформирования. Более
подробное описание можно найти в [8].
На рис. 1 сплошной линией показан расчет ударной адиабаты алюминия по уравнению состояния.
Пунктирной линией показан расчет по уравнению состояния [9] и приведенные там же
экспериментальные данные. На рис. 2 показан расчет температуры за фронтом ударной волны в
сравнении с экспериментальными данными [10].
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
На рис. 3, 4 показано сравнение расчетных (линии) волновых профилей с экспериментальными
[11], соответствующими удару алюминиевым ударником по алюминиевой мишени, набранной из
нескольких пластин, между которыми устанавливались манганиновые датчики давления на
расстоянии 4, 10, 15 мм от поверхности соударения. На рис. 3 ударник толщиной 5 мм со
скоростью 595 м/с, на рис. 4 ударник толщиной 4 мм со скоростью 1505 м/с.
На рис. 5 сплошной линией показан расчет скорости свободной поверхности алюминиевого
образца шириной 14.9 мм, по которому произвели удар алюминиевым ударником толщиной 2 мм
со скоростью 450 м/с. Символами приводятся результаты соответствующего эксперимента [12].
На рис. 6 сплошными линиями показаны результаты серии расчетов скорости свободной
поверхности в образцах из алюминия. Символами показаны результаты соответствующих
экспериментов для алюминиевого сплава 2139-Т8 [13]. Во всех расчетах толщиной ударника 2.95
мм, толщиной мишени 5.94 мм.
Рис. 5
Рис. 6
На рис. 7, 8 линиями показаны результаты расчетов задачи о распространении упругопластической волны с выделенным упругим предвестником . В расчетах моделировались
эксперименты [14], в которых производился удар алюминиевым ударником по алюминиевой
мишени. Линии на рис. 7 соответствуют толщинам мишени 12.51 и 31.58 мм. На рис. 8 графики
соответствуют толщине мишени: 6.13, 12.23 и 37.91 мм.
Рис. 7
Рис. 8
Приведенные результаты демонстрируют хорошее соответствие расчетных и экспериментальных
данных.
Список литературы
1.
Краус Е.И. Малопараметрическое уравнение состояния твердого вещества при высоких
плотностях энергии // Вестник НГУ. Серия: Физика.–2007.–Т.2, вып. 2.–С.65–73.
2. Физические величины: Справочник. // А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братковский и др.;
Под. ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова.– М: Энергоатомиздат,1991.–1232 с.
3. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных
гидродинамических явлений. М., Физматгиз, 1963, 632 с.
4. Молодец А.М. Обобщенная функция Грюнайзена для конденсированных сред // ФГВ. - 1995. т. 1. - №5, С. 132-133.
5. Мержиевский Л.А., Реснянский А.Д. Численное моделирование ударно-волновых процессов
в металлах // ФГВ. – 1984. - т. 20. - № 5, с. 114-122.
6. Мержиевский Л.А. Моделирование динамического сжатия поликристаллического Al2O3 //
ФГВ. – 1998. - т. 34. - № 6, с. 85-94.
7. Мержиевский Л.А., Воронин М. С. Моделирование ударно-волнового деформирования
полиметилметакрилата // ФГВ. – 2012. – т. 48. - №2, с. 113-123.
8. Мержиевский Л.А., Палецкий А.В. Расчет диаграмм динамического деформирования
металлов и сплавов // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 3. - С. 85-96.
9. http://www.ficp.ac.ru/rusbank/.
10. Альтшулер Л.В., Кормер С.Б., Бражник М.И., Владимиров Л.А., Сперанский М.П., Фунтиков
А.И. // ЖЭТФ, - 38, вып. 4, - 1960.
11. Дремин А.Н., Канель Г.И., Черникова О.Б. Сопротивление пластической деформации
алюминия АД-1 и дюралюминия Д-16 в условия ударного сжатия // ПМТФ, №4, 1981.
12. Kanel' G. I., Razorenov A. A., Utkin A. V., Baumung K. Experimental profiles of shock waves,
Preprint of Scientific Association IVTAN of RAS (1996).
13. Casem D.T., Dandekar D.P. Shock and mechanical response of 2139-T8 aluminum // J. Appl. Phys. –
2012. – v. 111, p. 063508.
14. Johnson J.N., Barker L.M. Dislocation Dynamics and Steady Plastic Wave Profiles in 6061T6
Aluminum // J. Appl. Phys. 40, 4321 (1969).