Салманова Д.Э. Расчет течений электролита на базе уравнений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ.Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО КАФЕДРА АЭРОГИДРОМЕХАНИКА Направление: 010901.65 – механика Специализация: механика жидкости, газа и плазмы ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА (дипломная работа) РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЙ ЭЛЕКТРОЛИТА НА БАЗЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕСТОКСА Работа завершена: Студентка 05-001 группы «____»___________2015 г. Работа допущена к защите: (Д.Э. Салманова) Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент "___"_________ 2015 г. ________________ (Е.И. Филатов) Заведующий кафедрой доктор физико-математических наук, профессор "___"_________ 2015 г. _________________ Казань- 2015 1 (А.Г. Егоров) ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ............................................................ Error! Bookmark not defined. ГЛАВА 1 1.1. Особенности метода ЭЛХО........................................................................4 1.2. Методы решения уравнений Навье-Стокса………….…………….15 ГЛАВА 2 2.1. Постановка задачи о течении электролита в МЭЗ……….……………23 2.2. Применение явных и неявных схем для моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости………………………………..………………..31 ГЛАВА 3 3.1. Решение тестовой задачи………………………………………………..35 3.2. Графики…………………………………………………………………..35 ВЫВОДЫ ............................................................................................................... 41 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................................................................... 42 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 .................................................................................................. 44 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 .................................................................................................. 48 2 Введение Развитие ряда современных отраслей техники в особенной мере зависит от уровня развития машиностроения. Так как основным видом деятельности в этой отрасли является металлообработка, то требуется создание не только конструкционных материалов, но и принципиально новых методов их обработки, которые позволят создавать новые материалы, обладающие довольно высокой твердостью, прочностью, жаропрочностью и коррозионной стойкостью. К таким материалам относятся: высокопрочные и нержавеющие стали, магнитные сплавы, жаропрочные сплавы. Обработка таких материалов традиционными методами резания сопряжена с большими трудностями, а иногда и невозможна. В таких случаях необходимо использовать другие методы обработки, основанные на использовании химической, электрической и других видах энергии. Существенной частью метода ЭЛХО является течение электролита в межэлектродном зазоре. Параметры этого течения в большой мере определяют точность данной технологии. Поэтому расчет характеристик течения электролита представляет собой актуальную задачу. 3 ГЛАВА 1 1.1. Особенности метода ЭЛХО Один из путей решения задач технического прогресса в технологии машиностроения – широкое применение электрофизических и электрохимических методов размерной обработки материалов. Среди них эффективной и перспективной является размерная электрохимическая обработка (ЭЛХО), в основе которой лежит процесс анодного растворения металлов в проточном электролите. Наибольший экономический эффект обеспечивает применение ЭЛХО при изготовлении фасонных деталей из труднообрабатываемых механическими методами сталей и сплавов. На заводах машиностроения успешно применяется ЭЛХО профиля пера лопаток турбин и компрессоров., гравюр ковочных штампов и прессформ. Электрохимическим способом снимаются заусенцы и округляются острые кромки у различных деталей, проводится маркирование и клеймение, прошиваются отверстия, выполняются калибровочные и многие другие операции. Применение ЭЛХО по сравнению с механобработкой снижает трудоемкость выполнения операций в 2-10 раз, значительно сокращает, а во многих случаях позволяет исключить ручной труд, обеспечивает повышенное качество обработанных поверхностей. При внедрении процесса ЭЛХО фасонных поверхностей деталей значительную трудоемкость составляет проектирование и изготовление электродов-инструментов (ЭИ). При этом наибольшую сложность представляет расчет и профилирование рабочей части ЭИ. Это объясняется сложностью процесса ЭЛХО, недостаточной изученностью закономерностей электрохимического формообразования, отсутствием точных и доступных для заводских конструкторов и технологов методик расчета. 4 Для определения оптимальных режимов ЭЛХО ряда технологических операций часто необходимо определить профиль анодной поверхности, получаемый при ЭЛХО электродом-инструментом заданной формы. Указанные две задачи ЭЛХО формообразования и являются предметом изучения многих исследователей. В приведенных монографиях в основном рассматриваются отдельные частные вопросы расчета ЭХ формообразования. Поэтому дальнейшее изучение методов расчета электрохимического формообразования и попытка построенич их единой системы являются актуальными задачами. В основе электрохимической обработки (ЭЛХО) металлов и сплавов лежит принцип анодного растворения обрабатываемой заготовки в растворе электролита, прокачиваемого через межэлектродный зазор (МЭЗ) с большой скоростью. То есть, ЭЛХО основана на способности металлов растворяться, в результате оксидных реакций, происходящих в среде электропроводного раствора – электролита, под действием на него постоянного электрического тока. Электролиз – так называется этот химический процесс растворения металлов. Электролиз протекает при наличии источника питания электрическим током, электролита и двух металлических проводников, называемых электродами. При наложении напряжения на электроды электрическое поле в электролите заставляет двигаться ионы; анионы (это отрицательно заряженные ионы) движутся по направлению к аноду, а катионы (это положительно заряженные ионы) – по направлению к катоду. Протекание тока через ячейку от анода к катоду обеспечивается движением, как анионов, так и катионов. При ЭХО стальных деталей в водном растворе кислородосодержащей нейтральной соли NaNO3, молекулы которой диссоциированы на нитрат-ионы NO3- и ионы натрия Na+, процесс растворения материала заготовки (анода) протекает в следующей последовательности. На аноде происходит процесс ионизации металлов Me={Fe,Cr,Ni,...}, который в упрощённом виде выглядит так: 5 Me → Mez+ + z · e-. Ионы металла Меz+ взаимодействуют с ионами OH– с образованием гидроксидов типа Me(OH)n, которые осаждаются в виде шлама. Он выносится из межэлектродного промежутка потоком электролита и удаляется при помощи фильтров или сепараторов. Также на аноде протекает реакция выделения кислорода, в результате которой прианодный слой электролита подкисляется. На катоде протекают реакции разложения молекул воды с образованием газообразного водорода. Ионы натрия Na+ из-за очень низких электроотрицательных значений их равновесных потенциалов не восстанавливаются и формально не принимают участие в процессе. Теоретически, при ЭХО, кроме электроэнергии расходуется только вода. При осуществлении процесса имеются два электрода, из которых один - заготовка (анод), другой - инструмент (катод), электролит между ними, а также источник питания. Совокупность двух электродов (анода, катода) и электролита между ними называется электролитической ячейкой. Заготовка и инструмент не должны касаться друг друга и отделены межэлектродным зазором (МЭЗ), заполненным соответственно подобранной рабочей средой. Сущность электролиза состоит в осуществлении за счет электрической энергии химических реакций – восстановление частиц на катоде и окисление на аноде. Протекание тока в электролитической ячейке осуществляется посредством движения ионов под действием приложенного внешнего электрического поля. Жидкие растворы, которые проводят электрический ток за счет ионной проводимости, называются электролитами. Применяют так называемые сильные электролиты, в которых все молекулы растворенного вещества диссоциируют на анионы и катионы. Например, водный раствор поваренной соли (𝑁𝑎𝐶𝑙) диссоциирует на 𝑁𝑎+ 6 (катион) и 𝐶𝑙 − (анион). Кроме этого сама вода содержит ион водорода 𝐻+ и гидроксила (𝑂𝐻)− . При отсутствии внешнего электрического поля (когда электроды разомкнуты) ионы движутся в электролите хаотически и электрического тока в нем не наблюдается. При этом на границе раздела твердой и жидкой фазы (металлического электрода и электролита) образуются два электрически заряженных слоя: поверхностный слой металла, заряженный либо положительно, либо отрицательно, и слой ионов, имеющий противоположный заряд. Между этими слоями устанавливается определенный потенциал, который называется равновесным. Этот потенциал измеряется относительно стандартного водородного электрода, потенциал которого при всех условиях принимается равным нулю. Подключение электродов ячейки к источнику напряжения сдвигает их потенциалы от равновесных и вызывает протекание электродных процессов. Среди электролитов водный раствор хлористого натрия получил широкое применение из-за его малой стоимости и длительной работоспособности, что обеспечивается непрерывным восстановлением хлористого натрия в растворе. Этот электролит рекомендуется для обработки материалов типа стали, никелевых жаропрочных сталей, а с добавками едкого натрия — и для обработки твердых сплавов. Это один из немногих видов энергетического воздействия на материал заготовки, когда электрическая энергия работает напрямую без образования в другие виды энергии. В зависимости от химической природы электролита и электродов, а также значения напряжения, на металлическом катоде обычно выделяется водород или осаждается металл, на аноде происходит растворение металла, часто сопровождаемое выделением кислорода. Это явление получило название электролиза. Основные его законы сформулировал в 1834 г. великий английский физик М. Фарадей. По закону М. Фарадея: количество вещества, осажденного или растворенного при электролизе, пропорционально количеству пропущенного электричества: 7 𝑚 = 𝜀𝑄, где m — масса материала, растворенного с анода, [г], 𝜀 — коэффициент пропорциональности (электрохимический эквивалент), Q — количество электричества, пропущенное через электролит, [Кл ∙А∙с]. Для примера проведем анализ влияния электромагнитных явлений на процесс ЭХО катодом с плоской торцевой поверхностью прямоугольного и круглого сечений и разных способах подвода электролита. С определенным приближением эти схемы соответствуют случаям обработки пера лопаток турбины и компрессора, гравюр ковочных штампов, колодцем и т.д. Гидродинамический режим течения рабочей жидкости оказывает существенное влияние на процесс ЭХО. Поток электролита, осуществляя гидротранспорт газов, тепла и твердых продуктов химических реакций из рабочей зоны, создает необходимые условия для растворения материала анода. От скорости и давления электролита зависят распределение вдоль межэлектродного канала (МЭК) значений удельной электропроводности рабочей среды, электродных потенциалов, анодного выхода по току и, следовательно, технологические показатели процесса обработки – производительность, точность и качество поверхности. При течении в криволинейном канале вследствие разности скоростей на частицы жидкости, движущиеся в середине канала, действует большая центробежная сила, чем на частицы к стенок. В результате возникают вторичные течения, увеличивающие сопротивление движению основного потока. При течении по гидравлическому тракту поток электролита преодолевает местные сопротивления в виде сужающихся или расширяющихся каналов всевозможных форм и различных поворотом. Каждый подобный элемент вызывает потерю давления. При электрохимической обработке в межэлектродном зазоре электролит нагревается за счет прохождения 8 рабочего тока и механических потерь. Плотность внутреннего источника тепла неравномерна из-за изменения ӕ как по высоте МЭЗ, так и по длине канала, что приводит к соответствующим распределениям температуры. Выделившееся тепло отводится в катод-инструмент, обрабатываемую деталь, оснастку и уносится потоком электролита. По истечении некоторого времени устанавливается квазистационарное распределение температуры по сечению и длине МЭКа. Увеличение температуры электролита вниз по потоку приводит к пропорциональному изменению температуры стенки Тс . Коэффициентом выхода металла по току оценивают эффективность процессов ЭЛХО. Он представляет собой отношение фактического объема растворенного металла при пропускании определенного количества электричества к расчетному объему металла, который должен раствориться при пропускании того же количества электричества. Значение коэффициента выхода по току отражает характер анодного растворения: активное или пассивное. При активном растворении коэффициент выхода металла по току составляет обычно 0.5 - 1.0, при пассивном растворении меньше 0.5. Для нормального протекания электрохимических реакций нужно обеспечить интенсивный вынос продуктов обработки из межэлектродного промежутка, поэтому электролит должен иметь определенную скорость. При прокачке электролита также необходимо обеспечить равномерный поток, с целью предотвращения перегрева и кипения в результате теплоты фазового превращения, а также появления на детали размывов, обусловленных застойными зонами. Электродный процесс представляет собой сложную гетерогенную реакцию, включающую следующие стадии: 1) перенос реагирующих ионов к поверхности электродов; 2) электрохимическая реакция; 3) отвод продуктов реакции. Суммарная скорость реакции определяется медленной стадией процесса. Если лимитирует скорость подвода или отвода частиц, то принято 9 считать, что реакция протекает в области диффузионной кинетики, а при меньшей скорости самой реакции – в области электрохимической кинетики. При анодном растворении металлов лимитирующими являются в основном 1 и 3 стадии. Доставка частиц к поверхности электрода и удаление прореагировавших из зоны электродной реакции происходит тремя путями: 1) молекулярной диффузией вследствие возникновения разности концентраций ионов при прохождении электрического тока; 2) миграцией – под действием разности потенциалов в МЭП; 3) конвекцией. Электролит может иметь ламинарный или турбулентный характер течения. Вынос продуктов при турбулентном течении – быстрее. Однако расчет ламинарного потока значительно проще, поэтому в технологических расчетах принимают течение ламинарным. Если электролит протекает со скоростью ниже некоторого критического значения (менее 1-2 м/с), то он не успевает вынести из зазора все продукты обработки, и скорость анодного растворения через некоторое время после начала процесса снижается. Средняя скорость электролита может изменяться в широких пределах (V=5-40 м/с). При таких скоростях число Рейнольдса Re может быть больше критического значения (Re≥2300). В этом случае поток жидкости будет турбулентным, и рассчитанные скорости течения будут несколько завышенными. Ещё одним из важнейших условий правильного ведения процесса является поддержание заданной плотности тока. Скорость растворения находится в прямой зависимости от плотности тока. Большинство материалов хорошо обрабатываются на установках, питаемых постоянным током. 10 С увеличением плотности тока потенциал анода возрастает таким образом, что становится возможным выделение кислорода. Часть тока, протекающего через ячейку, расходуется на выделение кислорода на аноде, и выход по току для реакции растворения металла не составит 100%. Фактически перенапряжение выделения кислорода с ростом плотности тока увеличивается так быстро, что достигается потенциал разряда хлорид - ионов с образованием хлора. Таким образом, скорость съёма металла увеличивается с возрастанием плотности тока. Очевидно, что во время электрохимической обработки неизбежно нагревание электролита. Хотя необходимо охлаждение электролита, существуют, тем не менее, преимущества использования электролита с повышенной температурой. С повышением температуры возрастает не только удельная электропроводность электролита, но ускоряются электродные реакции, и снижается перенапряжение, напряжение и, следовательно, энергия, необходимые для поддержания данной плотности тока, уменьшаются с повышением температуры. С повышением температуры увеличивается растворимость продуктов реакции, а давление, необходимое для прокачки электролита через зазор с желаемой скоростью, уменьшается. Последнее является следствием понижения вязкости электролита с повышением температуры и также объясняет повышенную электропроводность. С повышением температуры электролита проводимость будет возрастать при повышении температуры на каждый градус Цельсия. Однако эффективная проводимость электролита будет уменьшаться вследствие выделения на катоде пузырьков водорода. На величину и распределение пузырьков влияют условия протекания электролита, а также давление и температура в зазоре. Увеличение давления электролита сверх атмосферного повышает температуру кипения 11 электролита, уменьшает перенапряжение водорода на катоде и, сжимая выделяющийся водород, уменьшает его объем. При повышенных давлениях пузырьки водорода, занимают меньший объем в зазоре и вытесняют меньше электролита, следовательно, могут поддерживаться большие плотности тока. Другие факторы, например образование осадков, обычно меньше влияют на проводимость электролита. Все это приводит к тому, что зазор будет конусным, становясь шире или уже в зависимости от того, что преобладает – влияние температуры или пузырьков. Прокачивание электролита препятствует увеличению концентрации ионов у анода и позволяет достичь больших плотностей тока. Существует и другой фактор, который следует учитывать. Когда ток проходит через металлический или электролитический проводник, последний нагревается. Нагрев может привести к закипанию электролита, что вызовет неравномерное распределение тока и, следовательно, неравномерный съём металла. Поэтому скорость потока электролита должна быть достаточной для предотвращения повышения температуры электролита в зазоре до точки кипения. Вся теплота при анодном растворении заготовки переходит в раствор, а нагрев за счет гидравлических потерь пренебрежимо мал. Таким образом, физические и химические свойства электролитов, важнейшими среди которых являются электропроводность и вязкость, оказывают влияние на характер протекания и результаты процесса. От состава электролита зависят его электропроводность и скорость растворения металла. Для получения высоких технологических показателей процесса является необходимым, чтобы: а) в электролите не протекали вовсе или протекали в минимальном количестве побочные реакции, снижающие выход по току; б) растворение заготовки происходило только в зоне обработки; 12 в) на всех участках обрабатываемой поверхности протекал расчетный ток. Таких универсальных электролитов не существует, поэтому при подборе состава электролита приходится в первую очередь учитывать те требования, которые являются определяющими для выполнения операции. При обработке состав электролита меняется. Потеря водорода может привести к понижению электропроводности электролита. Уменьшение количества воды, как в результате испарения, так и с выделяющимся водородом вызывает повышение концентрации раствора и влияет на его электропроводность и вязкость. Образование осадка может увеличить эффективную вязкость электролита и снизить скорость анодного растворения. Поглощение соли осадком снижает концентрацию раствора и может повлиять на его электропроводность. Ионы металла с анода переходят в раствор и могут осаждаться на катоде. Эти изменения означают, что электролит имеет определенный срок службы, который может быть ограничен вследствие необходимости: 1) поддерживать постоянную электропроводность для ускорения процесса и обеспечения точности обработки; 2) предотвращать осаждение на инструменте для обеспечения точности обработки; 3) избегать чрезмерных осадков. Нейтральные растворы, свободные от добавления примесей, меньше подвергаются загрязнению тяжелыми металлами, чем кислотные или электролиты нейтрального типа, состоящие из нескольких компонентов. Очистка электролитов необходима для удаления частиц, попавших в них случайно или образовавшихся в процессе обработки. К таким частицам относятся интерметаллические соединения, находящиеся в металле анода и переходящие в электролит при его растворении, а также гидроокиси металла. 13 Эти частицы могут задерживаться в зазоре и даже перекрывать его. Если частицы электропроводные, то возможны замыкания между анодом и катодом, значит, необходимо защитить зазор от попадания в него твердых частиц. На форму детали влияет величина этого зазора. Величина зазора между инструментом и деталью зависит от скоростей движения инструмента и растворения материала детали, т. е. от величины тока. Поэтому способ контроля рабочего зазора является одной из важных особенностей электрохимического процесса. Форма детали определяется формой используемого катода-инструмента и относительными движениями инструмента и детали во время обработки, когда ток пропускают через электролитическую ячейку между фасонным катодом и плоской деталью, распределение плотности тока на поверхности детали определяется формой катода. Плотность тока будет максимальной там, где будет наименьшее расстояние между инструментом и деталью, так, что и скорость съёма металла с детали в этом месте будет максимальной. Если в процессе обработки катод подается по направлению к детали, плотность тока по всей поверхности детали выравнивается и ее поверхность формируется по форме катода. Таким образом, под действием электрического тока происходит растворение материала приобретает форму, электрода-заготовки, соответствующую который профилю ЭИ в итоге (электрода- инструмента). В результате реакции, на обрабатываемой поверхности заготовки образуются продукты обработки, в том числе нерастворимые гидроксилы. Их концентрация в районе протекания анодного растворения в начальный момент превышает концентрацию в электролите. Количество продуктов будет зависеть от скорости анодного растворения. Образовавшиеся продукты анодного растворения уносятся потоком электролита. 14 На основе изучения отдельных аспектов процесса и их математического представления составляется общее математическое описание процесса ЭХО. Значительное число параметров процесса и коэффициентов, входящих в уравнения, в настоящее время можно определить только экспериментальным путем. К ним в первую очередь относятся анодный выход металла по току, катодный и анодный выходы газов по току, потери напряжения в приэлектродных слоях и окисных пленках. Нет точных справочных данных по температурным коэффициентам удельной электропроводности и плотности электролита. Опытным путем находятся коэффициенты, учитывающие влияние скорости потока, зашламленности, рН электролита на его удельную электропроводность и др. Расчетами определяется электрохимические эквиваленты металлов, удельная теплоемкость, коэффициенты теплоотдачи, теплопроводности и вязкость электролита, коэффициенты, характеризующие влияние газо-, шламонаполнения электролита на его теплопроводность. В общем виде полученное математическое описание процесса ЭХО аналитически решить невозможно. Поэтому для конкретных условий ЭХО оценивают степень влияния различных факторов процесса на выходные показатели, учитывают основные, принимают системы допущений и на основе общего математического описания составляют упрощенные частные математические модели ЭХО. Математически корректнее решать задачи ЭХ формообразования поверхностей в двумерной постановке. Кроме того, ряд задач ЭХО, таких как формообразование в области точек излома профиля электрода, формообразование фасонной поверхности неподвижным инструментом и другие, можно решать только, учитывая изменение параметров процесса по двум координатам. 15 Из методов решения двумерных задач наибольшее применение получили аналитический и численный. Аналоговые моделирования на электропроводной бумаге и в электролитической ячейке весьма трудоемкие и не достаточно точные применяются в основном как вспомогательные методы для решения отдельных частных вопросов формообразования. 1.2. Методы решения уравнений Навье-Стокса. 1.Уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости Для однородной несжимаемой жидкости система уравнений Навье-Стокса имеет вид 𝜕𝑉 1 + (𝑉∇)𝑉 = − 𝑔𝑟𝑎𝑑 p + νΔV + f ∙ n, 𝜕𝑡 𝜌 div V = 0 В декартовой системе координат система уравнений Навье-Стокса может быть записана в следующей безразмерной форме, не содержащей давления и в ряде случаев более удобной для численной реализации 𝜕𝜔 𝜕𝑡 +𝑢 𝜕2 𝜓 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝜔 𝜕𝑥 𝜕2 𝜓 𝜕𝑦 2 +𝑣 𝜕𝜔 𝜕𝑦 = 1 2 2 𝜕 𝜔 𝜕 𝜔 + 2 ) + 𝐹̃ ( 2 𝑅𝑒 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (2.1) =𝜔 (2.2). Функция тока ψ и вихрь ω заданы соотношениями 𝑢= 𝜔= 𝜕𝜓 𝑣=− 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 − 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝜓 𝜕𝑥 . 2.Простейшая разностная схема для двумерных уравнений. Будем в качестве исходной использовать систему двумерных уравнений Навье-Стокса для однородной жидкости в переменных вихрь, функция тока (2.1)-(2.2). Рассматривается течение в замкнутой квадратной области при граничных условиях на твердой границе 16 𝜓=0, 𝜕𝜓 = 0. 𝜕𝑛 Начальные условия в виде 𝜓(𝑥, 𝑦, 0) = 𝜓 0 (𝑥, 𝑦), 𝜔(𝑥, 𝑦, 0) = 𝜔0 (𝑥, 𝑦). Введем сетку с координатами 𝑥𝑖 = 𝑖ℎ, 𝑦𝑗 = 𝑗𝑙, 𝜏𝑛 = 𝑛𝜏, i=0..M-1, j=0..N-1; n=0..K. 𝑛 Введем обозначение 𝜑(𝑖ℎ, 𝑗𝑙, 𝑛𝜏) = 𝜑𝑖𝑗 Производные по пространственным переменным будем аппроксимировать центральными разностями. Производную по времени заменим разностным соотношением «вперед» в виде 𝜕𝜑 𝜕𝑡 ~ 𝑛+1 𝑛 𝜑𝑖𝑗 −𝜑𝑖𝑗 𝜏 Запишем, используя указанные аппроксимации, следующую явную схему для уравнения вихря (2.1) 𝑛+1 𝑛 𝑛 𝑛 𝜔𝑖𝑗 − 𝜔𝑖𝑗 𝜔𝑛 − 𝜔𝑖−1,𝑗 𝜔𝑛 − 𝜔𝑖,𝑗−1 𝑛 𝑖+1,𝑗 𝑛 𝑖,𝑗+1 + 𝑢𝑖𝑗 + 𝑣𝑖𝑗 = 𝜏 2ℎ 2𝑙 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 − 2𝜔𝑖𝑗 + 𝜔𝑖−1,𝑗 𝜔𝑖,𝑗+1 − 2𝜔𝑖𝑗 + 𝜔𝑖,𝑗−1 1 𝜔𝑖+1,𝑗 = + ( ) + 𝐹̃𝑛 2 2 𝑅𝑒 ℎ 𝑙 Здесь 𝑛 𝑢𝑖𝑗 = 𝑛 𝑛 𝜓𝑖,𝑗+1 −𝜓𝑖,𝑗−1 2𝑙 , 𝑛 𝑣𝑖𝑗 =− 𝑛 𝑛 𝜓𝑖+1,𝑗 −𝜓𝑖−1,𝑗 2ℎ . По этой схеме по известным в момент времени tn значениям полей функции 𝑛 𝑛 тока и вихря 𝜓𝑖𝑗 , 𝜔𝑖𝑗 внутри расчетной области Ω, включая ее границу, можно определить значение вихря в области Ω, исключая ее границу, в следующий момент времени 𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + 𝜏. Связи, определяемые схемой, 𝑛+1 имеют локальный характер, т.к. для определения величины 𝜔𝑖𝑗 требуется 𝑛 𝑛 𝑛 знать значения вихря на слое n в пяти точках 𝜔𝑖𝑗 , 𝜔𝑖+1,𝑗 , 𝜔𝑖−1𝑗,𝜔 𝑛 𝑛 𝑖𝑗+1 ,𝜔𝑖𝑗−1 . Граничные условия для вихря запишутся в виде Для y= const 𝜔0 = 𝜕2 𝜓 𝜕𝑦 2 , 𝜔0𝑛+1 = 2𝜓1𝑛 /ℎ2 Прейдем теперь к решению уравнения (1.2). Введем фиктивное время σ : 17 𝜕𝜓 𝜕𝜎 = Δ𝜓 − 𝜔. После преобразований можно записать схему для решения этого уравнения на временном слое n+1 в виде 1 𝑛+1,𝑠+1 𝑛+1,𝑠 𝑛+1,𝑠 𝑛+1,𝑠+1 𝑛+1,𝑠 𝑛+1,𝑠+1 𝜓𝑖𝑗 = 𝜓𝑖𝑗 + 𝛼0 [ (𝜓𝑖+1,𝑗 − 𝜓𝑖−1,𝑗 + 𝜓𝑖,𝑗+1 + 𝜓𝑖,𝑗−1 + 4 𝑛+1,𝑠 𝑛+1,𝑠 ℎ2 𝜔𝑖𝑗 ], ) − 𝜓𝑖𝑗 где α0 –итерационный параметр(α0=4σ/h2), граничное условие ψ=0,задаваемое на границе области. Условие окончания внутреннего цикла по s 𝑠+1 𝑠 max|𝜓𝑖𝑗 − 𝜓𝑖𝑗 | < 𝜀. 3.Сеточные аппроксимации уравнения для вихря. Двумерное уравнение вихря. Используем метод переменных направлений, общую структуру которого поясним на уравнении вида 𝜕𝜔 = (𝐿1 + 𝐿2 )𝜔 + 𝐹̃ 𝜕𝑡 L1 и L2 – одномерные операторы, действующие по разным направлениям. Решение осуществляется в два этапа, которым соответствуют временные индексы n+1/2, n+1, а именно 𝜔𝑛+1/2−𝜔𝑛 𝜏/2 ̃1 𝜔 𝑛+1/2 + 𝐿 ̃2 𝜔𝑛 + 𝐹̃ 𝑛 =𝐿 𝜔𝑛+1 −𝜔𝑛+1/2 𝜏/2 (2.3) ̃1 𝜔 𝑛+1/2 + 𝐿 ̃2 𝜔𝑛+1 + 𝐹̃ 𝑛+1 =𝐿 (2.4) ̃1 , 𝐿 ̃2 - разностные одномерные операторы. На первом этапе Здесь 𝐿 прогонками в одном из направлений находится решение 𝜔 𝑛+1/2 на полуцелом временном слое; затем, используя это решение, осуществляются прогонки по второму направлению для получения искомого решения ωп+1 на целом временном слое. Такая схема аппроксимирует двумерное нестационарное уравнение вихря с первым порядком точности. На уста18 новившемся режиме решение не зависит от временного шага τ, поэтому эта схема может использоваться и для решения стационарных задач «на установление». Запишем с учетом (2.3), (2.4) схему для решения двумерного нестационарного уравнения вихря: 1 𝑛 1 1 𝜔 𝑛+2 𝑖𝑗 − 𝜔𝑖𝑗 𝑛+ 𝑛+ 𝑛 𝑛 2 + − + 0,5(𝑢 − |𝑢|) (𝛿𝑥 𝜔𝑖𝑗 + 𝛿𝑥 𝜔𝑖𝑗 2 ) + 0,5𝑣(𝛿𝑦+ 𝜔𝑖𝑗 + 𝛿𝑦− 𝜔𝑖𝑗 )= 𝜏 2 1 = 𝑛+ 𝜀 [𝜂𝑢 (𝛿𝑥+ 𝜔𝑖𝑗 2 1 − 𝑛+ 2 𝛿𝑥− 𝜔𝑖𝑗 2 ) × ℎ𝑖 +ℎ𝑖−1 𝑛 𝑛 + (𝛿𝑦+ 𝜔𝑖𝑗 − 𝛿𝑦− 𝜔𝑖𝑗 ) 2 𝑙𝑖 +𝑙𝑖−1 ] + 𝐹̃ 𝑛 (2.5) 𝑛+1 𝜔𝑖𝑗 − 𝜔𝑖𝑗 𝑛+1/2 𝑛+1 𝑛+1 + 0,5(𝑣 − |𝑣|)(𝛿𝑦+ 𝜔𝑖𝑗 − 𝛿𝑦− 𝜔𝑖𝑗 ) 𝜏 2 + = 1 𝑛+ + 0,5𝑢 (𝛿𝑥 𝜔𝑖𝑗 2 𝑛+1 𝜀 [𝜂𝑣 (𝛿𝑦+ 𝜔𝑖𝑗 + + 1 𝑛+ − 𝛿𝑥 𝜔𝑖𝑗 2 ) 2 𝑛+1 𝛿𝑦− 𝜔𝑖𝑗 ) 𝑙 +𝑙 𝑖 𝑖−1 = 1 + 𝑛+ (𝛿𝑥+ 𝜔𝑖𝑗 2 1 − 𝑛+ 2 𝛿𝑥− 𝜔𝑖𝑗 2 ) ] ℎ𝑖 +ℎ𝑖−1 + 𝐹̃ 𝑛+1 (2.6). Коэффициенты 𝜂𝑣 и 𝜂𝑢 имеют вид 𝜂𝑢 = (1 + |𝑣|𝑙𝑗 −1 |𝑢|ℎ𝑖 −1 ) , 𝜂𝑣 == (1 + ) 2𝜀 2𝜀 Одним из наиболее важных вопросов, возникающих при решении уравнения вихря, является вопрос о величине временного шага τ (который при расчете стационарных задач «на установление» является итерационным параметром). Преимуществом неявных схем (2.5), (2.6), в отличие от явных схем, рассмотренных выше, является отсутствие ограничения на величину τ из условий устойчивости. Это преимущество остается в силе, если рассматривать уравнения (2.5), (2.6)как модельные, вне связи с уравнением для функции тока и граничными условиями. При использовании же упомянутых схем в системе уравнений Навье - Стокса возникает ряд существенных 19 ограничений на величину τ, зависящих в общем случае от способа решения уравнения для функции тока, способа аппроксимации граничного условия для вихря и других факторов. 4. Решение уравнения для функции тока Уравнение Пуассона для функции тока (2.7) в основной схеме решается отдельно от уравнения вихря. Усовершенствование этого элемента основной схемы играет важную роль в связи с необходимостью многократно, на каждом временном слое решать стационарное эллиптическое уравнение. Выше рассматривался простейший явный итерационный метод решения. Здесь рассматриваются более совершенный метод, нашедший широкое практическое применение и использующий итерационное решение разностных уравнений неявным методом переменных направлений. 5. Итерационный метод переменных направлений Заменяя уравнение (2.7) нестационарным уравнением 𝝏𝝍 𝝏𝝈 = 𝚫𝝍 − 𝝎, (2.8) где σ- итерационный параметр, аналогичный времени, запишем схему переменных направлений для уравнения (2.8) по аналогии со схемой (2.5), (2.6) в виде 𝑠+1/2 𝜓𝑖𝑗 𝑠 − 𝜓𝑖𝑗 𝜎𝑠,𝑥 = 1 𝑠+ + (𝛿𝑥 𝜓𝑖𝑗 2 − 1 𝑠+ − 𝛿𝑥 𝜓𝑖𝑗 2 ) 2 2 𝑠 𝑠 + (𝛿𝑦+ 𝜓𝑖𝑗 − 𝛿𝑦− 𝜓𝑖𝑗 ) ℎ𝑖 + ℎ𝑖−1 𝑙𝑖 + 𝑙𝑖−1 − 𝜔𝑖,𝑗 20 𝑠+1/2 𝑠+1 𝜓𝑖𝑗 − 𝜓𝑖𝑗 𝜎𝑠,𝑦 = 1 𝑠+ + (𝛿𝑥 𝜓𝑖𝑗 2 − 1 𝑠+ − 𝛿𝑥 𝜓𝑖𝑗 2 ) 2 2 𝑠+1 𝑠+1 + (𝛿𝑦+ 𝜓𝑖𝑗 − 𝛿𝑦− 𝜓𝑖𝑗 ) ℎ𝑖 + ℎ𝑖−1 𝑙𝑖 + 𝑙𝑖−1 − 𝜔𝑖,𝑗 Здесь s — итерационный индекс; 𝜎𝑠,𝑥 , 𝜎𝑠,𝑦 — итерационные параметры, в общем случае различные по различным направлениям и изменяющиеся от итерации к итерации. В качестве критерия точности используется относительная величина невязки решения уравнения 𝜔 ̅- некоторое характерное (например, среднее) значение вихря. При этом критерием точности будет условие Очевидным недостатком такого критерия по сравнению с рассмотренными выше является большая трудоемкость. 6. Подход с использованием примитивных переменных. Подход с использованием завихренности и функции тока теряет свою привлекательность, когда его применяют к трехмерным течениям, так как в этом случае не существует одной функции тока. Поэтому в трехмерных задачах уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости решают также путем использования примитивных переменных u, v,w,p. В декартовой системе координат безразмерные уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в примитивных переменных имеют следующий вид: 21 Уравнение неразрывности 𝜕𝑢∗ 𝜕𝑣 ∗ 𝜕𝑤 ∗ + + =0 𝜕𝑥 ∗ 𝜕𝑦 ∗ 𝜕𝑧 ∗ (2.9) Уравнения движения по координате x 𝜕𝑢∗ 𝜕𝑢∗ 𝜕𝑢∗ 𝜕𝑢∗ ∗ ∗ ∗ +𝑢 +𝑣 +𝑤 𝜕𝑡 ∗ 𝜕𝑥 ∗ 𝜕𝑦 ∗ 𝜕𝑧 ∗ 𝜕𝑝∗ 1 𝜕 2 𝑢∗ 𝜕 2 𝑢∗ 𝜕 2 𝑢∗ =− ∗+ + + ( ) 𝜕𝑥 𝑅𝑒𝐿 𝜕𝑥 ∗ 2 𝜕𝑦 ∗ 2 𝜕𝑧 ∗ 2 (2.10), Уравнение движения по координате y 𝜕𝑣 ∗ 𝜕𝑣 ∗ 𝜕𝑣 ∗ 𝜕𝑣 ∗ ∗ ∗ ∗ +𝑢 +𝑣 +𝑤 𝜕𝑡 ∗ 𝜕𝑥 ∗ 𝜕𝑦 ∗ 𝜕𝑧 ∗ 𝜕𝑝∗ 1 𝜕2𝑣∗ 𝜕2𝑣∗ 𝜕2𝑣 ∗ =− ∗+ + + ( ) 𝜕𝑦 𝑅𝑒𝐿 𝜕𝑥 ∗ 2 𝜕𝑦 ∗ 2 𝜕𝑧 ∗ 2 (2.11) Уравнение движения по координате z 𝜕𝑤 ∗ 𝜕𝑤 ∗ 𝜕𝑤 ∗ 𝜕𝑤 ∗ ∗ ∗ ∗ +𝑢 +𝑣 +𝑤 𝜕𝑡 ∗ 𝜕𝑥 ∗ 𝜕𝑦 ∗ 𝜕𝑧 ∗ 𝜕𝑝∗ 1 𝜕2𝑤 ∗ 𝜕2𝑤 ∗ 𝜕2𝑤 ∗ =− ∗+ + + ( ) 𝜕𝑧 𝑅𝑒𝐿 𝜕𝑥 ∗ 2 𝜕𝑦 ∗ 2 𝜕𝑧 ∗ 2 (2.12), где 𝑢∗ = 𝑢 𝑥 𝑝 , 𝑥 ∗ = , 𝑝∗ = 𝑉∞ 𝐿 𝜌∞ 𝑉∞2 𝑣∗ = 𝑣 𝑦 𝑡𝑉∞ , 𝑦∗ = , 𝑡∗ = 𝑉∞ 𝐿 𝐿 𝑤∗ = 𝑤 𝑧 , 𝑧∗ = , 𝑉∞ 𝐿 𝑅𝑒𝐿 = 𝐿𝑉∞ 𝜈∞ Для решения уравнений был предложен метод искусственной сжимаемости. В этом методе в уравнение неразрывности включен член с искусственной сжимаемостью, который обращается в нуль, когда решение устанавливается во времени. При этом уравнения Навье-Стокса образуют 22 смешанную систему гиперболически-параболических уравнений, которая решается обычным методом установления. Уравнение неразрывности заменяется следующим уравнением ̃∗ 𝜕𝜌 𝜕𝑡̃ ∗ + 𝜕𝑢∗ 𝜕𝑣 ∗ 𝜕𝑤 ∗ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ∗ + ∗ + ∗ =0 (2.13) ̃∗ -искусственная плотность и 𝑡̃ ∗ -фиктивное время, аналог реального где 𝜌 времени в течениях сжимаемой жидкости, причем ̃∗ /β, 𝑝∗ = 𝜌 (2.14) где β-коэффициент искусственной сжимаемости. После замены t* на 𝑡̃ ∗ в уравнениях (2.10)- (2.12) и подстановки (2.14) в (2.13) мы можем дискретизировать полученные уравнения и решать их относительно 𝑡̃ ∗ до тех пор, пока не наступит установление, что дает решение для несжимаемой жидкости. Очевидно, этот метод годится только для стационарных течений, так как не является точным по времени. ГЛАВА 2 2.1. Постановка задачи о течении электролита в МЭЗ Электролит является водным раствором солей. Ввиду того, что ширина межэлектрдного канала очень мала, то вязкость играет существенную роль. Соотношение характерной скорости его течения и размеров межэлектродных зазоров такого, что числа Рейнольдса для течения электролита могут быть как в ламинарной, так и в турбулентной области. При моделировании мы ограничимся рассмотрением ламинарной области. Ограничимся так же рассмотрением течения в двумерном сечении канала. Если пренебречь газовым наполнением, то в этом случае можно моделировать течение электролита течением вязкой несжимаемой жидкости, и использовать для этого уравнение Навье-Стокса. Для простоты сначала будем рассматривать канал полигональной формы. В этом случае можно использовать имеющуюся многочисленную литературу по изучению методов решения уравнений Навье-Стокса. В 23 частности, классическим примером с замкнутыми границами является плоская задача о течении жидкости в прямоугольной выемке. Эта задача является прекрасным тестом при сравнении различных методов решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости и, по существу, иллюстрирует историю развития вычислительной гидродинамики. Кроме того, эта задача является более простой, поскольку для нее отсутствует условие на бесконечности (которое достаточно сложно моделировать на ЭВМ) и границы области заранее известны. Рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой квадратной полости (размером Н по горизонтали и L по вертикали), вызываемое движением ее верхней (твердой и, следовательно, непроницаемой) границы с заданной постоянной скоростью U  U0 .Остальные границы области (твердые стенки) непроницаемы и неподвижны. Жидкость, целиком заполняющая каверну, вовлекается в движение силами вязкости. Такая постановка, будучи геометрически крайне простой, позволяет отразить уравнениями многие характерные черты Навье-Стокса: конвективную задач, описываемых нелинейность, различные соотношения между силами инерции и силами вязкости, одновременное существование областей малых и больших градиентов и т. п. Выберем начало прямоугольной декартовой системы координат так, как указано на рис.1. Будем использовать безразмерные переменные. Выберем, в качестве линейного масштаба длину каверны L, а в качестве характерной скорости скорость движения верхней крышки U 0 . Тогда единственным критерием подобия будет являться число Рейнольдса Re  U0H , а геометрическим  параметром задачи - безразмерная высота каверны L '  L / H (безразмерная 24 ширина каверны теперь, будет равна единице). Для простоты штрих у безразмерных переменных в дальнейшем будем опускать. рис 1. Каверна с движущейся крышкой Плоское течение вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил и постоянных физических свойствах среды можно описать системой уравнений Навье-Стокса [1-4] U t V t U x U U  U x V x V y V V U y V y   P x P y 1  U 2  Re  x 1  V 2 2  Re  x 2 U 2  (1) 2 y  V 2  (2) 2 y   0, (3)  где U, V - компоненты вектора скорости V , Р - давление, Re - число Рейнольдса, которое характеризует отношение сил инерции к силам вязкости, t - время, х,у - декартовы координаты. Эти уравнения образуют смешанную эллиптически-параболическую систему относительно так называемых "примитивных" переменных U,V,P Граничные условия имеют вид: y=L, U=l, V=0, (верхняя граница, движется в своей плоскости с заданной скоростью) х=0, U=0, V=0, (левая граница) Условия х=1, U=0, V=0, (правая граница) непроницаемости у=0, U=0, V=0, (нижняя граница) и прилипания P x0 , y0   P0 (значение давления в произвольной точке области) В качестве начального условия можно использовать, например, следующее предположение: при t=0 жидкость во всем поле неподвижна (U=О, V=0), а верхняя крышка внезапно приводится в движение (U=1). Такое 25 предположение обычно используют, когда иной информации о течении нет. При решении последовательности стационарных задач (при различных числах Re) практически более эффективно в качестве начального приближения использовать то поле скоростей, которое было получено ранее при другом (меньшем) числе Re. Указанных начальных и граничных условий достаточно для решения системы уравнений (1)-(3). Одним из самых распространенных методов решения двумерных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости является подход с использованием завихренности  и функции тока  в качестве независимых переменных [1-4], что позволяет исключить давление в уравнениях. При таком подходе делают замену переменных, переходя от компонент скорости U,V и давления Р к функции тока  и вихрю скорости  . Введем функцию тока    x, y, t  с помощью соотношений   U , V  (4) y x Заметим, что введенная функция тока  автоматически удовлетворяет уравнению неразрывности (3). В двумерном течении имеется лишь одна компонента вектора завихренности, которая обычно определяется как V U  2  2    2  2 . x y x y Используя новые независимые переменные вместо системы уравнений (1-3), будем иметь следующую систему уравнений Навье-Стокса а переменных "  -  " ("вихрь - функция тока")    1   2   2    , U V   t x y Re  x 2 y 2  (5)  2  2 (6)    . x 2 y 2 Прямой подстановкой соотношении (4) можно исключить явное наличие переменных U и V. Но при такой формулировке полученное решение может оказаться менее точным. 26 Система уравнений (5), (6) пригодна для описания как стационарных, так и нестационарных вязких ламинарных течений. Однако теперь от времени явно зависит лишь уравнение (5). Это нелинейное уравнение, называемое уравнением переноса вихря, является параболическим по времени и служит для вычисления значений вихря скорости  . Уравнение Пуассона (6) для определения функции тока  строго эллиптическое при известной функции и и прямо не зависит от времени. Граничные условия для новых переменных будут иметь вид:   1,   0 , у=L, (верхняя граница) y  0 х=0,   0 , (левая граница) x  0, х=1,   0 , (правая граница) x   0,   0, у=0, (нижняя граница), y а начальные условия запишутся следующим образом:   1  y  L, 0  x  H  . t=0,   0 ,   0 , y Обратим внимание: граничные условия для вихря неопределенными (хотя твердая поверхность является остались источником завихренности и в дальнейшем за счет процессов конвекции и диффузии завихренность будет переноситься внутрь поля течения). Метод решения. Расчетную область 0  x  H , 0  y  L, 0  t  T  покроем равномерной сеткой (рис.2) с узлами xi  ih , y j  jl , t n  n . Здесь h  H / N , l  L / M , 0  i  N , 0  j  M , 0  n  K (то есть N+1, M+1 - количество узлов сетки соответственно вдоль направления х и направления у, h и l - шаги сетки вдоль этих же направлений,  - шаг по времени). 27 рис 2. Равномерная сетка для решения задачи о каверне Введем следующее обозначение (сеточная функция):  ih, jl , n   ijn . Запишем разностную схему ВВЦП [1] (вперед по времени - центральная по пространству) для уравнения переноса вихря (5) ijn1  ijn  U ijn in1 j  in1 j  Vijn ijn 1  ijn 1   2h 2l (7) n n n n n n 1  i 1 j  2ij  i 1 j ij1  2ij  ij1     , 2 2 Re  h l  где  ijn 1   ijn 1  in1 j   in1 j n n (8) U ij  , Vij   , 2l 2h 1  i  N  1, 1  j  M  1 Это явная разностная схема первого порядка точности по времени и второго порядка точности по пространственным переменным. Для определения неизвестных значений ijn1 на (n+1) временном слое используется шаблон, приведенный на рис. 3. Элементарный анализ показывает [4], что схема (7) устойчива при Ch2 Re условии, что шаг по времени   , причем постоянная С лежит в 4 пределах от 0.1 до 4.0 (при этом число Rе меняется от 500 до 0). Ограничения на величину  , налагаемые этим условием, являются существенными и влияют на скорость сходимости процесса и устойчивость получаемого решения. 28 рис 3. Узлы, используемые при определении ijn1 в типичной внутренней точке Метод ВВЦП для уравнения переноса вихря требует, чтобы были заданы подходящие условия для вихря на границе области. Задание граничных условий для этой величины очень важно, так как они непосредственным образом влияют на устойчивость и точность решения. Поскольку граничные значения для  не заданы, то обычно использует их приближенные значения, которые находятся, например, методом разложения в ряд Тейлора (при выводе учитывается условие прилипания:   0 на твердой стенке). n Приближение первого порядка точности выведено Томом в 1928г. и имеет для нашей задачи следующий вид y  L, iM   x  0, 0 j   x  1,  Nj   y  0, i 0   2 iM 1   iM  l2 21 j   0 j  h2 2U iM , l (верхняя граница) (левая граница) , 2 N 1 j   Nj  h2 2 i1   i 0   (правая граница) , , (нижняя граница) (9) l2 где индексы М и М-1 соответствуют точкам на подвижной границе и ближайшей к ней точке по нормали. Для остальных границ это соответственно точки 0 и 1, N и N-1. На рис.4 показано, какие узлы сетки участвуют при. определении значений  на границе. 29 рис 4. Значения  , используемые при определении  на границе Стационарное уравнение Пуассона (6) для функции тока  обычно решают для каждого фиксированного момента времени t методом установления по фиктивному времени S (т.е. задача решается итерациями до достижения стационарного состояния). Простейшая итерационная разностная схема Ричардсона для уравнения (6) может быть записана следующим образом [1]  ijs 1   s s s s 2 n 1 2   i 1 j   i 1 j    ij1   ij1 h ij     , 1    4 4  (10) 2 где   h / l  . Итерации по схеме (10) повторяются до тех пор, пока решение не сойдется к стационарному, то есть будет выполнен следующий критерий max  ijs1   ijs   , где  - наперед заданное малое число. ij Уравнения (7), (10) совместно с граничными условиями для вихря С9) и нулевыми граничными значениями для функции тока образуют замкнутую систему нелинейных алгебраических уравнений, содержащую произведения неизвестных сеточных функций ij и  ij . Нелинейность делает невозможным прямое решение этой системы и заставляет последовательно решать систему (7) и систему (10). Обычно эти уравнения решают методом установления по времени, состоящим из следующих основных шагов: 30 1. В момент времени t=0 задаются начальные значения  и  . 2. Используя значения  на границе с предыдущим временным слоем, решают уравнение переноса вихря для  в каждой внутренней точке расчетной сетки в момент времени t   (на n+1 временном слое). В частности, из (7) можно получить, что n n   n in1 j  in1 j n ij 1  ij 1  U ij  Vij  2 h 2 l   n n n n n n   i 1 j  2ij  i 1 j ij1  2ij  ij1     , Re  h2 l2  1  i  N  1, 1  j  M  1. 3. Решая итерационным методам уравнение Пуассона, находят новые ijn1  ijn значения  во всех точках сетки по новым значениям  во внутренних точках (в частности, можно использовать уравнение (10)). 4. Находят компоненты скорости по соотношениям (4), разностное представление которых имеет вид (8). 5. Определяют значение  на границах по значениям  и  во внутренних точках. 6. Проверяют сходимость решения, то есть выполнение критерия max ijn1  ijn  1 , ij где 1 - наперед заданное малое число. Если решение не сходится, то возвращаются к шагу 2. 2.2. Применение явных и неявных схем для моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости Явная схема, применяемая ранее для решения уравнения переноса вихря, легко реализуется на ЭВМ, но имеет существенное ограничение на шаг по времени  . Неявные схемы более сложны для программирования и отладки, но в теории являются абсолютно устойчивыми (то есть допускают решение задачи с произвольно большим шагом по времени  ; остаются лишь физические соображения, которые тоже могут ограничивать  ). Следует 31 заметить, что приближенное определение граничных условий для  на твердых стенках существенно ухудшает устойчивость решения не только для явных, но и для неявных схем, поэтому при решении задачи с помощью неявных схем все равно нельзя выбирать большие  . Методику применения неявных схем для задач гидродинамики рассмотрим на примере схемы переменных направлений [1-4]. Основная идея этого метода - расцепление шага по времени  на два полушага с целью построения такой неявной схемы, в которой требуется решать трехдиагональную систему линейных алгебраических уравнений для каждой сеточной линии (для решения такой системы, в которой неизвестные сгруппированы в окрестности главной диагонали, имеется простой и эффективный алгоритм решения - прогонка). Итак, схема переменных направлений для решения уравнения переноса вихря (5) записывается в виде двух полушагов по времени. На первом полушаге используется следующий вариант дискретизации: ijn1/ 2  ijn in11/j 2  in11/j 2 ijn 1  ijn 1 U V  / 2 2h 2l n 1/ 2 n 1/ 2 n 1/ 2 ijn 1  2ijn  ijn 1  1  i 1 j  2ij  i 1 j     , 1  i  N  1, 1  j  M  1 Re  h2 l2  (14) а на втором n 1 ij  ijn1/ 2 in11/j 2  in11/j 2 ijn11  ijn11 U V  / 2 2h 2l n 1/ 2 n 1/ 2 n 1/ 2 ijn11  2ijn1  ijn11  1  i 1 j  2ij  i 1 j     , 1  i  N  1, 1  j  M  1 Re  h2 l2  В течение первого полушага значения ij известны на целом временном слое n, но неизвестны на полуцелом слое (n+1/2). Однако неизвестные значения формируются около узлов одной и той же строки j (продвижение ij вдоль направления х на рис.10). 32 Прогонка в направлении х (постоянное j), выполняемая на первом полушаге по времени Прогонка в направлении у (постоянное i), выполняемая на втором полушаге по времени Рис. 10. Реализация схемы переменных направлений Следовательно, уравнения (14) могут быть переписаны в каноническом трехдиагональном виде  Ai in11/j 2  Bi ijn1/ 2  Cin11/j 2  Di , (16) где   1 U   2h  h Re 2  ,    1 U Ci     , 2h  h Re 2  V n  Di  ijn  ij 1  ijn 1   n  2ijn  ijn 1   2  ij 1 4l 2Re l Для решения данной системы уравнений удобно применять метод прогонки  Ai   (метод последовательного исключения неизвестных) Таким образом, на первом полушаге, решая трехдиагональную систему уравнении для каждого значения j  1, M  1 , получим промежуточное решение ijn1/ 2 . В течение второго полушага значения ij известны на полуцелом временной слое (n+l/2), но неизвестны на целом слое n+1. Однако неизвестные значения ij формируются около узлов одного и того же столбца i (продвижение вдоль направления у на рис.11) и мы снова имеем трехдиагональную систему уравнений (но для столбцов i), аналогичную (16). Таким образом, на втором полушаге, решая трехдиагональную систему уравнений для каждого значения i  1, N  1 , получим решение ijn1 . 33 В уравнении (14) компоненты скорости должны вычисляться как U n1/ 2 и V n , а в уравнении (15) – как U n1/ 2 и V n1 . Поскольку U и V определяется через функцию тока, которая в свою очередь находится из уравнения Пуассона (6), то, следовательно, требуется совместно решать уравнения для  и  на слоях (n+1/2) и n+1 (это может быть нереальным). Для выхода из этой ситуации используют, например, метод запаздывающих коэффициентов, когда компоненты скорости U и V в уравнениях (14) и (15) вычисляются на n-ом слое (но это снижает точность разностной схемы). Метод прогонки [1-4] для уравнения (16) состоит в следующем: а) задавая начальные значения векторов E0  0 и F0  0 j , по рекуррентным формулам,находим Ai D  Ci Fi 1 (прогонка вперед). Ei  , Fi  i , i 1 Bi  Ci Ei 1 Bi  Ci Ei 1 б) зная граничное значение N j , по рекуррентным формулам находим решение уравнения (в направлении убывания i от i=N-1 до i=1) ij  Ei i 1 j  Fi , i  N  1 (прогонка назад). Вследствие разрыва скорости в угловых точках каверны (х=0, у=1) и (х=1, у=1), решение уравнений Навье-Стокса сингулярно в этих точках (вихрь обращается в бесконечность) Фактически получить достоверные оценки влияния этих особенностей на точность решения весьма трудно, тем более, что обычно в конечно-разностных аппроксимациях значения вихря в этих точках не учитываются. Для большей достоверности моделирования процесса можно попробовать заменить граничное условие на верхней крышке выемки: вместо постоянной скорости применить такую функцию, которая бы устраняла разрывы в угловых точках к одновременно была бы близка к единице во всех остальных точках верхней крышки. 34 ГЛАВА 3 3.1. Решение тестовой задачи Для решения приведенной задачи была написана программа на языке программирования Visual Studio С++. Полученные с ее помощью результаты, показаны на приведенных ниже рисунках. Код программы приведен в Приложении 1. 3.2. Графики Ниже приведены графики, построенные для различных чисел Рейнольдса и шага по времени 𝜏 = 0,00001. На них изображены линии тока Ѱ. На рисунке 1 построены линии тока Ѱ для числа Рейнольдса Re = 10. На рисунке 2 построены линии тока Ѱ для числа Рейнольдса Re = 50. На рисунке 3 построены линии тока Ѱ для числа Рейнольдса Re = 100. 35 На рисунке 4 построены линии тока Ѱ для числа Рейнольдса Re = 500. На рисунке 5 построены линии тока Ѱ для числа Рейнольдса Re = 1000. Из приведенных графиков видно, что жидкость находится во вращательном движении внутри полости. Причем максимальное значение скорости расположены вблизи движущейся границы. И не наблюдается симметрии относительно ни горизонтальной, ни вертикальной оси. При малых числах Рейнольдса движение более равномерно распределено по площади сечения. При увеличении числа Рейнольдса, центр общего вихря смещается в правый верхний угол, а нижняя часть жидкости оказывает почти не захваченной движением. Расчеты для граничных условий соответствующих течений в канале проверены не были из-за нехватки времени. 36 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Рис. 1. Линии тока Ѱ, при числе Рейнольдса Re = 10, шаге по времени 𝜏 = 0,00001. 37 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Рис. 2. Линии тока Ѱ, при числе Рейнольдса Re = 50, шаге по времени 𝜏 = 0,00001. 38 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Рис. 3. Линии тока Ѱ, при числе Рейнольдса Re = 100, шаге по времени 𝜏 = 0,00001. 39 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Рис. 4. Линии тока Ѱ, при числе Рейнольдса Re = 500, шаге по времени 𝜏 = 0,00001. 40 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Рис. 5. Линии тока Ѱ, при числе Рейнольдса Re = 1000, шаге по времени 𝜏 = 0,00001. На рисунках видно, что все линии тока замкнуты, это означает что движение носит циклический характер. Сверху линии тока ближе друг к другу, там скорость выше, а с низу дальше – значит там скорость более низкая. С увеличением числа Рейнольдса, мы видим, как вихрь смещается в правый верхний угол. 41 Вывод Проделанные расчеты показали, что метод решения уравнений НавьеСтокса в переменных вихрь, линия тока позволяет достаточно просто рассчитать параметры течения вязкой жидкости в области простой формы. 42 ЛИТЕРАТУРА [1] E.I. Filatov, The numeriсal simulation of the unsteady EСM proсess. // Proс. Int. Сonf. on Advanсes in Produсtion Engineering, 1998, Warsaw, Poland – Part 2, p. 213–220. [2] Е.И. Филатов, Моделирование течения электролита при ЭХО на базе уравнений Навье-Стокса, Образование и наука – производству, Набережные Челны, 2010, 158-160. [3] Р.И. Нигматуллин. Механика сплошной среды. М.: ГЭОТАР-Медиа, 2014, 640с. [4] А.И. Дикусар, Г.Р.Энгельгардт, В.И.Петренко, Ю.Н.Петров. Электродные процессы и процессы переноса при электрохимической размерной обработке металлов. – Кишинев: Штиинца, 1983. [5] А.Х. Каримов, В.В. Клоков, Е.И. Филатов, Методы расчета электрохимического формообразования, Изд-во Казанского университета, Казань, 1990. [6] Klokov V.V., Filatov E.I., Firsov A.G., Tikhonov A.S.: The сomplex сomputer simulation of the EСM blades shaping. In the Proсeedings of the 15th International сonferenсe on Сomputer-aided Produсtion Engineering «СAPE’99», Durham, UK, 1999, pp. 451-456. [7] Дамбровски Л., Козак Е., Компьютерное моделирование некоторых задач размерной электрохимической обработки, Электронная обработка материалов, 162(6), 4-8, 1991. [8] Технология электрохимических методов обработки / В.П. Смоленцев, A.B. Кузовкин, А.И. Болдырев, В.И. Гунин. Воронеж: ВГТУ, 2002. 310 с [9] Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1990. Т.1 - 392с,, Т.2 -336с. [10] Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991. Т.1 - 504с., Т.2 - 552с. 43 [11] Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепломассообмена. М.: Наука, 1984. - 288с. [12] Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования. – Казань: изд. Казанского университета, 1990. – 385 с. 44 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 #pragma hdrstop #pragma argsused #inсlude <iostream> #inсlude <сmath> using namespaсe std; сonst size_t n = 10; сonst size_t m = 10; сonst double epspsi = 1.001; сonst double epsqomega = 0.01; сonst double lh = 1.0; double** psi; double** psin; double** qomega; double** qomegan; double** u; double** v; double alfa, betta, qgamma, eps1, eps2, h2, l2, t, tau, h, l, re; size_t i, j, s, k; int main(int argс, сhar* argv[]) { psi = new double * [n]; psin = new double * [n]; qomega = new double * [n]; qomegan = new double * [n]; u = new double * [n]; v = new double * [n]; for( i = 0; i < n; ++i ) { psi[i] = new double[m]; psin[i] = new double[m]; qomega[i] = new double[m]; qomegan[i] = new double[m]; u[i] = new double[m]; 45 v[i] = new double[m]; for( j = 0; j < m; ++j ) { psi[i][j] = 0.0; psin[i][j] = 0.0; qomega[i][j] = 0.0; qomegan[i][j] = 0.0; u[i][j] = 0.0; v[i][j] = 0.0; } } re = 100.0; h = 1.0 / n; l = lh / m ; betta = (h / l) * 2; alfa = 0.5 / (1.0 + betta); h2 = h * 2; l2 = l * 2; qgamma = (h2 + l2) / l2 * 0.5 ; tau = h2 / 4.0; сout << "Input Re and step:"; сin >> re >> tau; re = 1.0 / re; t = 0.0; k = 0; do { for( i = 1; i < n - 2; ++i ) u[i][m] = 1.0; ++k; t = t+tau; do 46 { for( i = 1; i < n - 2; ++i ) for( j = 1; i < m - 2; ++j ) { qomegan [i][j] = qomega[i][j] - tau * ( u[i][j] * ( qomega[i+1][j] - qomega[i-1][j] ) / h * 0.5 + v[i][j] * ( qomega[i][j+1] -qomega[i][j-1] ) / l * 0.5 - re * ( ( qomega[i+1][j] - 2.0 * qomega[i][j] + qomega[i-1][j] ) / h2 + ( qomega[i][j+1] - 2.0 * qomega[i][j] + qomega[i][j-1] ) / l2 ) ); } s = 0; ++s; for( i = 1; i < n - 2; ++i ) for( j = 1; i < m - 2; ++j ) { psin[i][j] = alfa * ( psi[i+1][j] + psi[i1][j] + betta * ( psi[i][j+1] + psi[i][j-1] ) + h2 * qomegan[i][j] ); } eps2 = 0.0; for( i = 1; i < n - 2; ++i ) for( j = 1; i < m - 2; ++j ) { if ( abs( psin[i][j] - psi[i][j] ) > eps2 ) eps2 = abs( psin[i][j] - psi[i][j] ) ; psi[i][j] = psin[i][j] ; } } while ( eps2 > epspsi ); for( i = 1; i < n - 2; ++i ) for( j = 1; i < m - 2; ++j ) { u[i][j] = ( psi[i][j+1] - psi[i][j-1] ) / 1 * 0.5; v[i][j] = -( psi[i+1][j] - psi[i-1][j]) / h * 0.5; 47 } for( i = 1; i < n - 2; ++i ) { qomegan[i][0] = -2.0 * psi[i][1] / l2; qomegan[i][m] = -2.0 * psi[i][m-1] / l2 - 2.0 * u[i][m] / 1; } for( j = 1; i < m - 2; ++j ) { qomegan[0][j] = -2.0 * psi[1][j] / h2; qomegan[n][j] = -2.0 * psi[n-1][j] / h2; } eps1 = 0.0; for( i = 1; i < n - 2; ++i ) for( j = 1; i < m - 2; ++j ) { if ( abs( qomegan[i][j] - qomega[i][j] ) > eps1 ) eps1 = abs( qomegan[i][j] - qomega[i][j] ); } for( i = 1; i < n - 2; ++i ) for( j = 1; i < m - 2; ++j ) { qomega[i][j] = qomegan[i][j]; } сout << "k= " << k << " eps= " << eps1 << endl; } while ( k <= 5 || eps1 > epsqomega); system("pause"); for( i = 0; i < n; ++i ) { delete []psi[i]; delete []psin[i]; 48 delete []qomega[i]; delete []qomegan[i]; delete []u[i]; delete []v[i]; } return 0; } ПРИЛОЖЕНИЕ 2 #include "stdafx.h" #include "iostream" #include "fstream" #include "vector" using namespace std; int i, j; const int n=31,m=15; const double lx=1.0; double dx=lx/n, dt=0.0005, tx=dt/dx, t, k=1.4, Max=2.0; double eps1, eps2, eps3, eps4, eps5, eps6; double e[n],u[n],r[n],p[n],ee[n],uu[n],rr[n],pp[n]; double a1[n],a2[n],a3[n],aa1[n],aa2[n],aa3[n]; double b1[n],b2[n],b3[n],bb1[n],bb2[n],bb3[n]; a1[i][j]=(a1[i][j]+aa1[i][j]+tx*(bb1[i][j-1]-bb1[i][j])+ty*(cc1[i-1][j]-cc1[i][j]))/2; a2[i][j]=(a2[i][j]+aa2[i][j]+tx*(bb2[i][j-1]-bb2[i][j])+ty*(cc2[i-1][j]-cc2[i][j]))/2; a3[i][j]=(a3[i][j]+aa3[i][j]+tx*(bb3[i][j-1]-bb3[i][j])+ty*(cc3[i-1][j]-cc3[i][j]))/2; a4[i][j]=(a4[i][j]+aa4[i][j]+tx*(bb4[i][j-1]-bb4[i][j])+ty*(cc4[i-1][j]-cc4[i][j]))/2; r[i][j]=a1[i][j]; u[i][j]=a2[i][j]/a1[i][j]; v[i][j]=a3[i][j]/a1[i][j]; e[i][j]=a4[i][j]/a1[i][j]; 49 p[i][j]=(k-1)*a1[i][j]*e[i][j]; void vivod () { ofstream f("u.txt"); for(int i=0;i<n;i++) { f<<i<<" "<<u[i]<<endl; } f.close(); ofstream l("e.txt"); for(int i=0;i<n;i++) { l<<i<<" "<<e[i]<<endl; } { r[0][j]=r[1][j]; u[0][j]=0.0; v[0][j]=0.0; e[0][j]=e[1][j]; p[0][j]=p[1][j]; r[n-1][j]=r[n-2][j]; u[n-1][j]=0.0; v[n-1][j]=0.0; e[n-1][j]=e[n-2][j]; p[n-1][j]=p[n-2][j]; } l.close(); ofstream q("p.txt"); 50 for(int i=0;i<n;i++) { q<<i<<" "<<p[i]<<endl; } q.close(); ofstream y("r.txt"); for(int i=0;i<n;i++) { y<<i<<" "<<r[i]<<endl; } y.close(); } void pred () { for(i=1; i<n-1; i++) { aa1[i]=a1[i]+tx*(b1[i]-b1[i+1]); aa2[i]=a2[i]+tx*(b2[i]-b2[i+1]); aa3[i]=a3[i]+tx*(b3[i]-b3[i+1]); rr[i]=aa1[i]; uu[i]=aa2[i]/aa1[i]; ee[i]=aa3[i]/aa1[i]; pp[i]=(k-1)*aa1[i]*ee[i]; rr[0]=rr[1]; uu[0]=uu[1]; ee[0]=ee[1]; pp[0]=pp[1]; rr[n-1]=rr[n-2]; uu[n-1]=-uu[n-2]; ee[n-1]=ee[n-2]; 51 pp[n-1]=pp[n-2]; } { b1[i][j]=r[i][j]*u[i][j]; b2[i][j]=r[i][j]*u[i][j]*u[i][j]+p[i][j]; b3[i][j]=r[i][j]*u[i][j]*v[i][j]; b4[i][j]=u[i][j]*(r[i][j]*e[i][j]+p[i][j]); c1[i][j]=r[i][j]*v[i][j]; c2[i][j]=r[i][j]*u[i][j]*v[i][j]-Mu*(u[i][j]-u[i-1][j])/dy; c3[i][j]=r[i][j]*v[i][j]*v[i][j]+p[i][j]-1.33*Mu*(v[i][j]-v[i-1][j])/dy; c4[i][j]=v[i][j]*(r[i][j]*e[i][j]+p[i][j]); } } void bbcom () { for(i=0; i<n; i++) { bb1[i]=rr[i]*uu[i]; bb2[i]=rr[i]*uu[i]*uu[i]+pp[i]; bb3[i]=uu[i]*(rr[i]*ee[i]+pp[i]); } } void correc () { for(i=1; i<n-1; i++) { a1[i]=(a1[i]+aa1[i]+tx*(bb1[i-1]-bb1[i]))/2; a2[i]=(a2[i]+aa2[i]+tx*(bb2[i-1]-bb2[i]))/2; a3[i]=(a3[i]+aa3[i]+tx*(bb3[i-1]-bb3[i]))/2; 52 r[i]=a1[i]; u[i]=a2[i]/a1[i]; e[i]=a3[i]/a1[i]; p[i]=(k-1)*a1[i]*e[i]; r[0]=r[1]; u[0]=u[1]; e[0]=e[1]; p[0]=p[1]; r[n-1]=r[n-2]; u[n-1]=-u[n-2]; e[n-1]=e[n-2]; p[n-1]=p[n-2]; } } void bcom () { for(i=0; i<n; i++) { b1[i]=r[i]*u[i]; b2[i]=r[i]*u[i]*u[i]+p[i]; b3[i]=u[i]*(r[i]*e[i]+p[i]); } } int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { for(i=0; i<m; i++) { r[i]=k/((k-1)/(k+1)+2/(k+1)/Max/Max); p[i]=2*k/(k+1)*Max*Max-(k-1)/(k+1); u[i]=(2*Max-2/Max)/(k+1);//((Max-1/Max)*2)/(k+1); 53 e[i]=p[i]/(k-1)/r[i]; } for(i=m; i<n; i++) { r[i]=1.4; u[i]=0.0; e[i]=1.7857; p[i]=1.0; } for(i=0; i<n; i++) { a1[i]=r[i]; a2[i]=r[i]*u[i]; a3[i]=r[i]*e[i]; b1[i]=r[i]*u[i]; b2[i]=r[i]*u[i]*u[i]+p[i]; b3[i]=u[i]*(r[i]*e[i]+p[i]); } t=0; do { pred(); bbcom(); correc(); bcom(); t=t+dt; }while(t<20*dt); vivod (); system ("pause"); return 0; 54 } 55

Салманова Д.Э. Расчет течений электролита на базе уравнений

Разделы

Поддержка

Салманова Д.Э. Расчет течений электролита на базе уравнений

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib