Программа курса лекций - Кафедра вычислительной физики

Приложение 3.1
Министерство образования Российской Федерации
Санкт - Петербургский государственный университет
Физический факультет
Рассмотрено и рекомендовано
на заседании кафедры
вычислительной физики
УТВЕРЖДАЮ
декан факультета
________________ А.С. Чирцов
протокол от __________ № _______
Заведующий кафедрой
_______________________________
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
“Теоретические основы методов компьютерного моделирования ”
-
Разработчики:
доцент, канд.физ.-мат.наук _________________ Е.А. Яревский
Рецензент:
профессор, докт.физ.-мат.наук _________________ С.Ю.Славянов
Санкт - Петербург - 2009 г.
1. Организационно-методический раздел
1.1.
Цель изучения дисциплины: Основная цель курса “Теоретические основы методов компьютерного моделирования” состоит в том, чтобы представить базовые математические идеи и методы, лежащие в основе наиболее распространенного метода компьютерного моделирования – метода конечных элементов, и
других близких к нему подходов, а также рассмотреть связь этих идей с современными численными методами и алгоритмами.
1.2.
Задачи курса: Изучить основные математические результаты и методы, лежащие в основе метода конечных элементов и других вариационных методов.
1.3.
Место курса в профессиональной подготовке выпускника:
Дисциплина “Теоретические основы методов компьютерного моделирования”
относится к циклу дисциплин, включенных в учебный план подготовки по специальности «Прикладная математика и физика». Основанием для введения в
учебный план являются требования государственного образовательного стандарта.
1.4.
Требования к уровню освоения дисциплины
студенты должны знать: содержание курса “Теоретические основы методов
компьютерного моделирования”; основные математические результаты, лежащие в основе МКЭ, способы построения и типы конечных элементов, основные
результаты о скоростях сходимости решений МКЭ и методы контроля погрешностей.
иметь достаточно полное представление: о задачах минимизации и вариационных задачах, методах Ритца и Галеркина, дискретных задачах, источниках
ошибок в МКЭ, триангуляции, адаптивных методах в МКЭ, методе граничных
элементов, использовании МКЭ для решения разных типов уравнений второго
порядка, и численных методах решения систем линейных уравнений, возникающих в МКЭ.
2. Объем дисциплины, виды учебной работы, форма текущего, промежуточного и
итогового контроля
Всего аудиторных занятий
из них: - лекций
- практические занятия
Самостоятельная работа студента (в том числе
на курсовую работу по дисциплине)
Итого (трудоемкость дисциплины)
32 часов
32 часов
*** часа
32 часов
3.
Содержание дисциплины
3.1.1. Темы дисциплин, их краткое содержание и виды занятий
Лекции:
1. Абстрактная задача минимизации. Вариационные равенства. Абстрактная вариационная задача. Лемма Лакса-Мильграма.
2. Формулы Грина. Примеры краевых задач второго порядка. Главные и существенные граничные условия. Дискретная задача. Метод Ритца. Метод Галеркина.
3. Ортогональность ошибок. Лемма Cea. Сходимость дискретных решений. Основные этапы применения метода конечных элементов (МКЭ).
4. Одномерный МКЭ. Лагранжевы элементы, Эрмитовы элементы, иерархические элементы.
5. Пример одномерного МКЭ для краевой задачи. Ошибки интерполяции в одномерном МКЭ.
6. Многомерный МКЭ: основные этапы использования МКЭ. Лагранжевы элементы в треугольнике и в прямоугольнике.
7. Многомерный МКЭ: иерархические элементы. Трехмерные Лагранжевы элементы в тетраэдре и кубе. Ошибки аппроксимации.
8. Методы триангуляции в МКЭ. Координатные преобразования.
9. Неконформные МКЭ: численное интегрирование в МКЭ. Ошибки численного
интегрирования, аппроксимации границ и граничных условий.
10. Априорные и апостериорные оценки погрешностей. Оценки, основанные на
экстраполяции решений и на невязке решений. Адаптивное уточнение решений.
h-, p-, и hp-уточнение.
11. Метод граничных элементов. Прямая и непрямая формулировки МГЭ. Схема
численного решения задачи с помощью МГЭ.
12. Слабая форма параболических и гиперболических уравнений. Метод прямых.
13. Одношаговые методы решения систем ОДУ. Явный и неявный методы Эйлера.
14. Итерационные методы решения СЛАУ. Числа обусловленности и скорость
сходимости.
3.2.
Лабораторный практикум
Раздел 3.2 в данной программе отсутствует.
Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы
1. Найти выражение для квадратичных Лагранжевых элементов в треугольнике
(использовать координаты площади).
2. Найти линейные Лагранжевы элементы в физических координатах в различных областях (по выбору преподавателя).
3. Найти матрицу, пересчитывающую квадратичные Лагранжевы элементы на
интервале [0,1] в иерархические элементы.
4. Найти оптимальный порядок интегрирования для изопараметрических элементов на плоскости.
5. Найти оптимальный порядок интегрирования для квадратичных координатных
преобразований элементов степени p на плоскости.
6. Записать вариационное равенство, отвечающее заданному преподавателем
дифференциальному уравнению.
7. Сформулировать лемму Лакса-Мильграма.
8. Привести пример иерархических элементов 2-го порядка на каноническом
элементе в R1.
9. Привести пример квадратурной формулы на каноническом элементе.
10. Определить количество линейных базисных функций в тетраэдре.
3.4. Темы курсовых работ (фрагмент)
Раздел 3.4 в данной программе отсутствует.
3.5. Темы рефератов
Раздел 3.5 в данной программе отсутствует.
3.3.
3.6.
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу
1. Абстрактная задача минимизации. Вариационные равенства.
2. Абстрактная вариационная задача. Лемма Лакса-Мильграма.
3. Пример краевой задачи второго порядка.
4. Методы аппроксимации. Метод Ритца. Метод Галеркина.
5. Ортогональность ошибок. Лемма Cea. Сходимость дискретных решений.
6. Основные этапы применения метода конечных элементов (МКЭ).
7. Одномерный МКЭ. Лагранжевы элементы, Эрмитовы элементы, иерархические элементы.
8. Пример одномерного МКЭ для краевой задачи.
9. Одномерный МКЭ. Ошибки интерполяции.
10. Многомерный МКЭ. Основные этапы использования МКЭ.
11. Лагранжевы элементы в треугольнике.
12. Лагранжевы элементы в прямоугольнике.
13. Многомерный МКЭ. Иерархические элементы.
14. Трехмерные элементы.
15. Многомерный МКЭ. Ошибки аппроксимации.
16. Методы триангуляции в МКЭ.
17. Координатные преобразования.
18. Численное интегрирование в МКЭ.
19. Ошибки численного интегрирования.
20. Априорные и апостериорные оценки погрешностей.
21. Адаптивное уточнение решений. h-, p-, и hp-уточнение.
22. Метод граничных элементов.
23. Итерационные методы решения СЛАУ. Числа обусловленности и скорость
сходимости.
24. Слабая форма параболических и гиперболических уравнений, метод прямых.
25. Одношаговые методы решения систем ОДУ. Явный и неявный методы Эйлера.
4. Учебно-методическое обеспечение курса
4.1. Перечень обучающих, контролирующих и расчетных программ, диафильмов, слайдфильмов, кино и видио- фильмов
В процессе преподавания используются компьютерные презентации, разработанные на кафедре “Вычислительная физика” физического факультета СПбГУ
4.2. Активные методы обучения
4.3. Материальное обеспечение дисциплины, технические средства обучения и
контроля
4.4. Методические рекомендации (материалы) преподавателю
4.5. Методические указания студенту
4.6. Методические рекомендации
4.7. Литература
4.7.1. Основная
1) Сьярле Ф., Метод конечных элементов для эллиптических задач, Москва,
Мир, 1980.
2) Яковлев С.Л., Яревский Е.А. Численные методы для дифференциальных
уравнений в частных производных (учебно-методическое пособие), СПб, 2008.
3) Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., The finite element method. The basis. Vol.1,
2000.
4) Flaherty J.E., Finite element analysis, Renssellaer lecture notes, 2000.
4.7.2. Дополнительная
1. Митчелл А.Р., Уэйт Р., Метод конечных элементов для уравнений с частными производными, Москва, Мир, 1981.
2. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л., Метод конечных элементов и САПР,
Москва, Мир, 1989.
3. Solin P. Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley,
2005.
4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики, Наука, 1977.
5. Grossmann C., Roos H.-G., Stynes M. Numerical treatment of partial differential
equations, Springer, 2007.
6. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems, 2 Ed., 2000.