Справочные материалы по сопромату

Справочные материалы по сопромату
2
Растяжение и сжатие
N

N = F
F
 — нормальное напряжение [Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м2,
106Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм2
N — продольная (нормальная) сила [Н] (ньютон); F — площадь сечения [м2]
L

L
 — относительная деформация [безразмерная величина];
L — продольная деформация [м] (абсолютное удлинение), L — длина стержня [м].

  — закон Гука —  = Е
E
Е — модуль упругости при растяжении (модуль упругости 1-го рода или модуль
Юнга) [МПа]. Для стали Е= 2105МПа = 2106 кг/см2 (в "старой" системе единиц).
(чем больше Е, тем менее растяжимый материал)
NL
N
L 
;
— закон Гука

EF
EF
EF — жесткость стержня при растяжении (сжатии).
При растяжении стержня он "утоньшается", его ширина — а уменьшается на
поперечную деформацию — а.
a
I 
— относительная поперечная деформация.
a
I

— коэффициент Пуассона [безразмерная величина];

 лежит в пределах от 0 (пробка) до 0,5 (каучук); для стали  0,250,3.
Если продольная сила и поперечное сечение не постоянны, то удлинение стержня:
L
N( z )
L  
dz
E

F
(
z
)
0
P 2L
P  L
Работа при растяжении: A 
, потенциальная энергия: U  A 
2 E F
2
Учет собственного веса стержня
Продольная сила N(z) = P + FL;
Р — сила, действующая на стержень,  — удельный вес, F — площадь сечения.
P  L   L2
P

Максимальное напряжение: max     L . Деформация: L 
EF 2E
F
Условие прочности при растяжении (сжатии)
max [],
[] — допускаемое напряжение на растяжение (сжатие).
У чугуна [раст][сж], у стали и др. пластичных материалов [раст]=[сж].
3
Основные механические характеристики материалов

 (P)
т
B
к
п

 (L)
диаграмма напряжений (растяжения)
для пластичных материалов
(например, малоуглеродистая сталь)
диаграмма напряжений для хрупких
материалов (например, чугун)
п— предел пропорциональности, т— предел текучести, В— предел прочности
или временное сопротивление, к— напряжение в момент разрыва.
Хрупкие материалы, напр., чугун разрушаются при незначительных удлинениях и
не имеют площадки текучести, лучше сопротивляются сжатию, чем растяжению.

Допускаемое напряжение []  o , 0— опасное напряжение, n — коэф. запаса
n
прочности. Для пластичных материалов 0 = т и n = 1,5, хрупких 0 = В, n = 3.
Линейное напряженное состояние
напряжения по наклонной площадке:
p
P P
полное : p  
 cos     cos 
F F



нормальное:     cos2  , касательное:     sin 2
2

F — площадь наклонной площадки.

Нормальные напряжения  положительны, если они
растягивающие; касательные напряжения  положительны,
если они стремятся повернуть рассматриваемый элемент
(нижняя часть) по часовой стрелке ( на рис. все
положительно). Наибольшие нормальные напряжения
P

возникают по площадкам перпендикулярным к оси стержня


(=0, cos=1, max= )


На перпендикулярных площадках:  = — (90 — )


    sin 2  ;     sin 2 , т.е.  = — .
2
Наибольшие касательные напряжения действуют по
площадкам, составляющим угол 45о к оси стержня (=45о,
sin2=1, max= /2)
4
Напряженное и деформированное состояние
Различают три вида напряженного состояния:
1) линейное напряженное состояние — растяжение (сжатие) в одном направлении;
2) плоское напряженное состояние — растяжение (сжатие) по двум направлениям;
3) объемное напряженное состояние — растяжение (сжатие) по трем взаимно
перпендикулярным направлениям.
Рассматривают бесконечно малый параллелепипед (кубик). На его гранях могут
быть нормальные  и касательные  напряжения. При изменении положения
"кубика" напряжения меняются. Можно найти такое положение, при котором нет
касательных напряжений см. рис.
Площадки,
по
которым
не
1
1
1
действуют касательные напряжения,
называются главными площадками,
3
2
2 2
а нормальные напряжения на этих
2
площадках
—
главными
3
напряжениями.
1
1
1
Главные напряжения обозначают:
линейное
плоское
объемное
1, 2, 3 и 1> 2> 3
напряженное состояние
Плоское напряженное состояние
Разрежем элементарный параллелепипед
z
z
(рис.а)
наклонным
сечением.
z

zx
Изображаем только одну плоскость.

Рассматриваем
элементарную
xz

x
x
треугольную призму (рис.б). Положение
x

x

x
xz
наклонной
площадки
определяется
xz
углом . Если поворот от оси x против
zx
zx
z
z
час.стр. (см. рис.б), то >0.
Нормальные напряжения имеют индекс,
б)
а)
соответствующий оси их направления.
Касательные
напряжения,
обычно,
имеют два индекса: первый соответствует направлению нормали к площадке,
второй — направлению самого напряжения (к сожалению, встречаются и другие
обозначения, и другой выбор осей координат, что приводит к изменению знаков в
некоторых формулах).
Нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее, касательное
напряжение положительно, если оно стремится повернуть рассматриваемую часть
элемента относительно внутренней точки по час.стр (для касательного напряжения в
некоторых учебниках и вузах принято обратное).
Напряжения на наклонной площадке:
  z
  x
sin 2   xz cos 2
   x cos2    z sin2    xz sin 2
2
  z x  z

cos 2   xz sin 2
или    x
2
2
5
Закон парности касательных напряжений: если по площадке действует касательное
напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать
касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку. (xz= —
zx)
В теории напряженного состояния различают две основные задачи.
Прямая задача. По известным главным напряжениям: 1= max, 2= min требуется
определить для площадки, наклоненной под заданным углом () к главным
площадкам, нормальные и касательные напряжения:
  2

  1
sin 2
  1 cos2    2 sin2 

1
2
1   2 1   2




cos 2 .
или

 
2
2

Для перпендикулярной площадки:
2
  2
2
  1 sin 2    2 cos 2 
   1
sin 2 .
2
Откуда видно, что +=1+2 — сумма нормальных
напряжений по двум взаимно перпендикулярным
1
площадкам инварианта (независима) по отношению к
наклону этих площадок.
Как и в линейном напряженном состоянии максимальные касательные напряжения
имеют место при =45о, т.е. по площадкам, наклоненным к главным площадкам
  2
под углом 45о max  1
.
2
Обратная задача. По известным нормальным и касательным напряжениям,
действующим в двух взаимно перпендикулярных площадках, найти главные (max и
min) напряжения и положение главных площадок.
  z 1
max  x

( x   z ) 2  4 2xz
z
2
2
min
z
(касательные напряжения по главным площадкам
zx
max
равны 0).
Угол
0, определяющий положение главных
0 xz
2 xz
x
tg2 0  
площадок:
или
x
x  z
2 xz
tg 0  
.
min
1   z
Если одно из главных напряжений окажется
отрицательным, то их надо обозначать 1, 3, если оба отрицательны, то 2, 3.
Круг Мора (круг напряжений). Координаты точек

круга соответствуют нормальным и касательным
D
напряжениям
на
различных
площадках.
2
0
C
2
2

1
1
6
Откладываем от оси  из центра С луч под углом 2 (>0, то против час.стр.),
находим точку D,
координаты которой: ,. Можно графически решать как прямую, так и обратную
задачи.
7
z
zx
zy
yz
x
Объемное напряженное состояние
Напряжения в любой площадке при известных главных
напряжениях 1, 2, 3:
z
xy
yx
x
  1 cos2 1   2 cos2  2  3 cos2  3 ;
  12 cos2 1   22 cos2  2  32 cos2  3   ,
x
где 1, 2, 3 — углы между нормалью к
рассматриваемой площадке и направлениями главных
z
y
напряжений.
  3
Наибольшее касательное напряжение: max  1
.
2
Оно действует по площадке параллельной главному напряжению 2 и наклоненной
под углом 45о к главным напряжениям 1 и 3.
Круг Мора для объемного напряженного состояния.

13=max
Точки, являющиеся вершинами кругов соответствуют
диагональным площадкам, наклоненным под 45о к
12
  3
0
23

главным напряжениям: max  13  1
2
3
 2  3
1   2
12 
 23 
,
(иногда называют
2
2
2
главными касательными напряжениями).
1
y
xz
Плоское напряженное состояние — частный случай объемного и тоже может быть
представлено тремя кругами Мора, при этом одно из главных напряжений должно
быть равно 0. Для касательных напряжений также, как и при плоском напряженном
состоянии, действует закон парности: составляющие касательных напряжений по
взаимно перпендикулярным площадкам, перпендикулярные к линии пересечения
этих площадок, равны по величине и обратны по направлению.
Напряжения по октаэдрической площадке.
III
Октаэдрическая площадка (АВС) – площадка,
окт
3
равнонаклоненная ко всем главным направлениям.
B
   2  3
 окт  1
;
1
3
1
окт
Октаэдрическое
нормальное
напряжение
равно
I
C
2
среднему из трех главных напряжений.
A
1


(1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2  ( 3  1 ) 2
окт
3
II
3
2 2
2
 окт 
12   223  13
или
,
Октаэдрическое
3
касательное напряжение пропорционально геометрической сумме главных
касательных напряжений.
Интенсивность напряжений:
8
3
2
окт 
(1   2 ) 2  ( 2  3 ) 2  (3  1 ) 2 .
2
2
x+y+z=1+2+3 — сумма нормальных напряжений, действующих по любым
трем взаимно перпендикулярным площадкам есть постоянная величина, равная
сумме главных напряжений (первый инвариант).
Деформации при объемном напряженном состоянии.
Обобщенный закон Гука (закон Гука при объемном напряжении):
1,2,3 — относительные удлинения в главных
направлениях (главные удлинения). Если какие-либо из
1
1  [1  (2  3 )];
напряжений i будут сжимающими, то их необходимо
E
подставлять в формулы со знаком минус.
1
 2  [2  (3  1 )]; Относительная объемная деформация:
E
V
1 2

 1   2   3  
(1   2  3 )
1
3  [3  (1  2 )].
V
E
E
i 
Изменение объема не зависит от соотношения между главными напряжениями, а
зависит от суммы главных напряжений. Т.е. элементарный кубик получит такое же
изменение объема, если к его граням будут приложены одинаковые средние
ср
   2  3
1 2
E
напряжения:  ср  1
, тогда  
, где К=
3ср 
3
E
К
3(1  2)
— модуль объемной деформации. При деформации тела, материал которого имеет
коэффициент Пуассона = 0,5 (например, резина) объем тела не меняется.
Потенциальная энергия деформации
P  L
При простом растяжении (сжатии) потенциальная энергия U=
.
2
Удельная потенциальная энергия — количество потенциальной энергии,
2
U

накапливаемое в единице объема: u =
; u
. В общем случае

2E
FL
2
объемного напряженного состояния, когда действуют три главных напряжения:
 
 
 
1 2
u  1 1  2 2  3 3 или u 
[1   22  32  2(1 2  13   2 3 )]
2
2
2
2E
Полная энергия деформации, накапливаемая в единице объема, может
рассматриваться как состоящая из двух частей: 1) энергии uo, накапливаемой за счет
изменения объема (т.е. одинакового изменения всех размеров кубика без изменения
кубической формы) и 2) энергии uф, связанной с изменением формы кубика (т.е.
энергии, расходуемой на превращение кубика в параллелепипед). u = uо + uф.
1  2
1  2
uo 
(1   2   3 ) 2 ; uф 
[1   22   32  1 2  1 3   2  3 )]
6E
3E
9
x

TH   xy
  xz

 zx 

 zy  — тензор напряжений (матрица третьего порядка).
 z 
При переходе к главным напряжениям тензор напряжений получает вид:
0
1 0
TH   0  2 0  . При повороте системы координат коэффициенты тензора
 0
0  3 
меняются, сам тензор остается постоянным. Три инварианта напряженного
состояния:
J1= x + y + z;
Аналогичные зависимости
J2= xy +yz + yz — 2xy — 2zx — 2yz;
возникают при рассмотрении
J3= xyz — x2yz — y2zx — z2xy + 2xyzxyz.
деформированного
состояния
в
точке.
Сопоставление зависимостей напряженного и деформированного плоского
состояния (аналогия):
   2 1   2
   2 1   2
  1

cos 2
  1

cos 2
2
2
2
2
  1   2
  2
  1
sin 2

sin 2
2
2
2
 — относительная деформация,  — угол сдвига.
Та же аналогия сохраняется и для объемного состояния. Поэтому имеем инварианты
деформированного состояния:
J1= x + y + z;
1
1
1
J2= xy +yz + zx — 2xy — 2yz — 2zx;
4
4
4
1
1




 zx 
x
yx

2
2
1

1
J3    xy
y
 zy  — тензор деформаций.
2
2

1
1 
 yz
z 
xz
 2

2
x, y, z, xy, yz, zx — компоненты деформированного состояния.
Для осей, совпадающих с направлениями главных деформаций 1, 2, 3, тензор
1 0 0 
деформаций принимает вид: Tд   0  2 0  .
 0 0  3 
 yx
y
 yz
10
Теории прочности
В общем случае опасное напряженное состояние элемента конструкции зависит от
соотношения между тремя главными напряжениями (1,2,3). Т.е., строго говоря,
для каждого соотношения нужно экспериментально определять величину
предельного напряжения, что нереально. Поэтому были приняты такие методы
расчета прочности, которые позволяли бы оценить степень опасности любого
напряженного состояния по напряжению растяжения – сжатия. Они называются
теориями прочности (теории предельных напряженных состояний).
1-ая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений): причиной
наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие
нормальные напряжения. max= 1 []. Главный недостаток: не учитываются два
других главных напряжения. Подтверждается опытом только при растяжении
весьма хрупких материалов (стекло, гипс). В настоящее время практически не
применяется.
2-ая теория прочности (теория наибольших относительных деформаций): причиной
наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие
1
удлинения. max= 1 []. Учитывая, что 1= [1  ( 2  3 )] ,  — коэффициент
E
Пуассона, получаем условие прочности эквII= 1 — (2 + 3) []. экв —
эквивалентное (расчетное) напряжение. В настоящее время теория используется
редко, только для хрупких материалов (бетон, камень).
3-я теория прочности (теория наибольших касательных напряжений): причиной
наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие
  3
касательные напряжения max  [], max= 1
, условие прочности: эквIII= 1 —
2
3 []. Основной недостаток – не учитывает влияние 2. При плоском
напряженном состоянии: эквIII=
( z   y ) 2  4 2zy  []. При y=0 получаем
 эквIII   2  4 2  [] Широко используется для пластичных материалов.
4-я теория прочности (энергетическая теория): причиной наступления предельного
напряженного состояния являются величина удельной потенциальной энергии
изменения формы. uф[uф].  эквIV  0,5  [(1   2 ) 2  (1   3 ) 2  ( 2   3 ) 2  [] .
Учитывает, все три главных напряжения. При плоском напряженном состоянии:
z   y 2
z   y 2
 эквIV  (
)  3(
)  3 2zy  [] . При y=0,  эквIV   2  3 2  []
2
2
Широко используется для пластичных материалов.
Теория прочности Мора Получена на основе кругов напряжений Мора.
[ p ]
 эквМ  1 
  3 . Используется при расчетах хрупких материалов, у которых
[ c ]
допускаемые напряжения на растяжение [p] и сжатие [с] не одинаковы (чугун).
Для пластичных материалов [p]=[с] теория Мора превращается в 3-ю теорию.
11
Чистый сдвиг
Чистый сдвиг — напряженное состояние, при котором по взаимно
перпендикулярным площадкам (граням) элемента возникают только касательные
напряжения. Касательные напряжения
Q
1=

  , где Q — сила, действующая вдоль
3=
F
45о
грани, F — площадь грани. Площадки, по


которым действуют только касательные
напряжения, называются площадками

чистого сдвига. Касательные напряжения
на них — наибольшие. Чистый сдвиг
можно представить как одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум
взаимно перпендикулярным направлениям. Т.е. это частный случай плоского
напряженного состояния, при котором главные напряжения: 1= — 3 = ; 2= 0.
Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45о.
При деформации элемента, ограниченного площадками чистого


сдвига, квадрат превращается в ромб.  — абсолютный сдвиг,


  — относительный сдвиг или угол сдвига.
а
a
Закон Гука при сдвиге:  = /G или  = G .
G — модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа]
— постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться
E
деформациям при сдвиге. G 
(Е — модуль упругости, — коэффициент
2(1  )
Пуассона).
  Q Q2a
Потенциальная энергия при сдвиге: U 
.

2
2GF
U
Q2a
Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге: u  
,
V 2GFaF
2
где V=аF — объем элемента. Учитывая закон Гука, u 
.
2G
Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение
формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.
Круг Мора при чистом сдвиге.

3
1
max

0
3
1
12
Геометрические характеристики плоских сечений
Площадь: F   dF , dF — элементарная площадка.
F
Статический момент элемента площади dF относительно оси 0x — произведение
элемента площади на расстояние "y" от оси 0x: dSx = ydF
y
Просуммировав (проинтегрировав) такие произведения по
всей площади фигуры, получаем статические моменты
x
dF
относительно осей y и x: S x   ydF ; S y   xdF [см3, м3,
xC
C
F
y
F
т.д.].
yC
Sy
Sx
.
F
F
Статические моменты относительно центральных осей (осей, проходящих через
центр тяжести сечения) равны нулю. При вычислении статических моментов
сложной фигуры ее разбивают на простые части, с известными площадями Fi и
координатами центров тяжести xi, yi.Статический момент площади всей фигуры =
0
x
Координаты
центра
тяжести:
n
xC 
; yC 
n
сумме статических моментов каждой ее части: S x   Fi y i ; S y   Fi x i .
i 1
i 1
n
Координаты центра тяжести сложной фигуры: x C 
Sy
F

 Fi x i
i 1
n
 Fi
n
S
; yC  x 
F
 Fi y i
i 1
n
 Fi
i 1
i 1
Моменты инерции сечения
Осевой (экваториальный) момент инерции сечения —
y
сумма произведений элементарных площадок dF на
квадраты их расстояний до оси.
x
dF
J x   y 2 dF ; J y   x 2 dF [см4, м4, т.д.].
F

F
y
F
Полярный момент инерции сечения относительно
0
x
некоторой точки (полюса) — сумма произведений
элементарных площадок на квадраты их расстояний от
2
этой точки. J p    dF ; [см4, м4, т.д.]. Jy + Jx = Jp .
F
Центробежный момент инерции сечения — сумма произведений элементарных
площадок на их расстояния от двух взаимно перпендикулярных осей. J xy   xydF .
F
Центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или
обе совпадают с осями симметрии, равен нулю.
Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежные
моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными
нулю.
Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее
частей.
13
Моменты инерции сечений простой формы
Прямоугольное сечениеКруг
y
y1
3
С
2
bh
hb
b h

; J y1 
; J x1y1 
3
3
4
J x1
h
3
y
2
С
x
Jx 
x1
b
bh 3
hb 3
; Jy 
; J xy  0
12
12
r 4 d 4
Jp 

2
32
r 4 d 4
Jx  Jy 

4
64
J xy  0
x
d
Кольцо
y
d 4
J p  H (1  c 4 )
32
x
С
dв
d 4H
Jx  Jy 
(1  c 4 )
64
dн
d
J xy  0; c  B
Прямоугольный
dH
треугольник
y
h
x
С
2/3h
h
С
b
bh 3
hb 3
b2h 2
Jx 
; Jy 
; J xy  
;
36
36
72
J xy  0, если гипотенуза " убывает"
2/3h
x1 на
b
рис. (-).
J x1
Треугольник
равнобедренный
bh 3
hb 3
Jx 
; Jy 
; J xy  0
36
48
x
bh 3
x1 J
x1 
12
y
x0
y0
x
С
bh 3

12
Четверть круга
Jy=Jx=0,055R4
Jxy=0,0165R4
на рис. (—)
Jx0=0,0714R4
Jy0=0,0384R4
y
0,424R
Полукруг
y
J x  0,11  R 4 ;
С
0,424R
x
J y  J x1
x1
J xy  0
R 4

;
8
Моменты
инерции
относительно
параллельных осей:
Jx1=Jx + a2F;
y1
y
Jy1=Jy + b2F;
b
Моменты
инерции
стандартных
профилей
находятся
из
таблиц
сортамента:
Двутавр Швеллер
Уголок
y
y
y
x0
y0
C
C
C x
x
J xy 
=—45о
x
z0
J x 0  J y0
2
sin 2
z0
x
С
a
x1
момент инерции относительно
любой оси равен
моменту инерции относительно центральной оси, параллельной
данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат
расстояния между осями.
Jy1x1=Jyx + abF; ("a" и "b"
подставляют в формулу с учетом их знака).
14
Зависимость между моментами инерции при повороте осей:
Jx1=Jxcos2 + Jysin2 — Jxysin2; Jy1=Jycos2 + Jxsin2 + Jxysin2;
x1
1
Jx1y1= (Jx — Jy)sin2 + Jxycos2 ;
2
 x
С
Угол >0, если переход от старой системы координат к новой
a
происходит против час.стр. Jy1 + Jx1= Jy + Jx
Экстремальные (максимальное и минимальное) значения
моментов инерции называются главными моментами инерции. Оси, относительно
которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются
главными осями инерции. Главные оси инерции взаимно перпендикулярны.
Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси
инерции — оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если
одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол,
2  J xy
определяющий положение главных осей: tg 2 0 
, если 0>0  оси
Jy  Jx
y
y1
поворачиваются против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с
той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение.
Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными
центральными осями инерции. Моменты инерции относительно этих осей:
Jx  Jy 1
J max 

(J x  J y ) 2  4  J 2xy
2
2
min
Jmax + Jmin= Jx + Jy. Центробежный момент инерции относительно главных
центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то
формулы перехода к повернутым осям:
1
Jx1=Jmaxcos2 + Jminsin2; Jy1=Jmaxcos2 + Jminsin2; Jx1y1= (Jmax — Jmin)sin2;
2
Конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является
определение главных центральных моментов инерции и положения главных
Jy
Jx
; iy 
центральных осей инерции. Радиус инерции — i x 
; Jx=Fix2,
F
F
2
Jy=Fiy .
Если Jx и Jy главные моменты инерции, то ix и iy —
y
x1
главные радиусы инерции. Эллипс, построенный на главных
ix
радиусах инерции как на полуосях, называется эллипсом
С
инерции. При помощи эллипса инерции можно графически
x
ix1
найти радиус инерции ix1 для любой оси х1. Для этого надо
провести касательную к эллипсу, параллельную оси х1, и
измерить расстояние от этой оси до касательной. Зная
iy
радиус инерции, можно найти момент инерции сечения
относительно оси х1: J x1  F  i 2x1 . Для сечений, имеющих более двух осей симметрии
(например: круг, квадрат, кольцо и др.) осевые моменты инерции относительно всех
15
центральных осей равны между собой, Jxy=0, эллипс инерции обращается в круг
инерции.
Моменты сопротивления.
Осевой момент сопротивления — отношение момента инерции относительно оси к
J
расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения. Wx  x [см3, м3]
y max
Особенно важны моменты сопротивления относительно главных центральных осей:
Jy
Jx  R3
Jx
bh 2
b2h

прямоугольник: Wx 
; круг: Wx=Wy=
,

; Wy 

R
4
h/2
6
b/2
6
3
Jx
  dH

(1   4 ) , где = dН/dB.
трубчатое сечение (кольцо): Wx=Wy=
dH / 2
32
Полярный момент сопротивления — отношение полярного момента инерции к
Jp
расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения: Wp 
.
 max
R3
Для круга Wр=
.
2
16
Кручение
Такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникает только одни
крутящие моменты — Мк. Знак крутящего момента Мк удобно определять по
направлению внешнего момента. Если при взгляде со стороны сечения внешний
момент направлен против час.стр., то Мк>0 (встречается и обратное правило). При
кручении происходит поворот одного сечения относительно другого на угол
закручивания -. При кручении круглого бруса (вала) возникает напряженное
состояние чистого сдвига (нормальные напряжения отсутствуют), возникают только
касательные напряжения. Принимается, что сечения плоские
до закручивания остаются плоскими и после закручивания —

закон плоских сечений. Касательные напряжения в точках
сечения изменяются пропорционально расстоянию точек от
 

оси. Из закона Гука при сдвиге: =G, G — модуль сдвига,
Jp
M  M
L
 k  k ,
Wp 
—
полярный
момент
Jp
Wp
R
сопротивления круглого сечения. Касательные напряжения в
центре равны нулю, чем дальше от центра, тем они больше.
max
M L
Угол закручивания   k , GJp — жесткость сечения при
GJ p
кручении.  
 Mk

L GJ p
— относительный угол закручивания. Потенциальная
M
M 2k L
1
энергия при кручении: U  M k  
. Условие прочности:  max  k  [] , []
2
2GJ p
W
 пред
, для пластичного материала за пред принимается предел текучести при сдвиге
[n ]
т, для хрупкого материала – в – предел прочности, [n] – коэффициент запаса
прочности. Условие жесткости при кручении: max[] – допустимый угол
закручивания.
Кручение бруса прямоугольного сечения
При этом нарушается закон плоских сечений, сечения некруглой формы при
кручении искривляются – депланация поперечного сечения.
Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения.
M L
M
 max  k ;   k , Jk и Wk — условно называют моментом
Wk
GJ k
инерции и моментом сопротивления при кручении. Wk= hb2 ,
max
Jk= hb3 , Максимальные касательные напряжения max будут
посредине длинной стороны, напряжения по середине короткой
стороны:
= max, коэффициенты: ,,
приводятся в

справочниках в зависимости от отношения h/b (например, при
h/b=2, =0,246; =0,229; =0,795.
=
17
Изгиб
Плоский (прямой) изгиб — когда изгибающий момент действует в плоскости,
проходящей через одну из главных центральных осей инерции сечения, т.е. все силы
лежат в плоскости симметрии балки. Основные гипотезы (допущения): гипотеза о
не надавливании продольных волокон: волокна, параллельные оси балки,
испытывают деформацию растяжения – сжатия и не оказывают давления друг на
друга в поперечном направлении; гипотеза плоских сечений: сечение балки, плоское
до деформации, остается плоским и нормальным к искривленной оси балки после
деформации. При плоском изгибе в общем случае возникают внутренние силовые
факторы: продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. N>0,
если продольная сила растягивающая; при М>0 волокна сверху балки сжимаются,
снизу
растягиваются.
М>0
Q>0
M   ydF; Q    y dF; N   dF .
F
x
x
F
F
Слой, в котором отсутствуют удлинения, называется нейтральным слоем (осью,
линией). При N=0 и Q=0, имеем случай чистого изгиба. Нормальные напряжения:
Ey

,  — радиус кривизны нейтрального слоя, y — расстояние от некоторого

1
M
волокна до нейтрального слоя. Закон Гука при изгибе: 
, откуда (формула
 E  Jx
My
Навье):  
, Jx — момент инерции сечения относительно главной центральной
Jx
оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента, EJx — жесткость при
1
изгибе, — кривизна нейтрального слоя.
max

y
Максимальные напряжения при изгибе возникают в точках, наиболее
C
M  y max
нейтр.ось
удаленных от нейтрального слоя:  max 
, Jx/ymax=Wx—момент
Jx
M
сопротивления сечения при изгибе,  max 
. Если сечение не имеет
Wx
горизонтальной оси симметрии, то эпюра нормальных напряжений  не
max
y
будет симметричной. Нейтральная ось сечения проходит через центр
тяжести сечения. Формулы для определения нормального напряжения
C
нейтр.ось
для чистого изгиба приближенно годятся и когда Q0. Это случай
Imax поперечного изгиба. При поперечном изгибе, кроме изгибающего
момента М, действует поперечная сила Q и в сечении возникают не
только нормальные , но и касательные  напряжения. Касательные напряжения
Q  S x ( y)
определяются формулой Журавского:  
, где Sx(y) — статический момент
b ( y)  J x
относительно нейтральной оси той части площади, которая расположена ниже или
выше слоя, отстоящего на расстоянии "y" от нейтральной оси; Jx — момент инерции
18
всего поперечного сечения относительно нейтральной оси, b(y) — ширина сечения в
слое, на котором определяются касательные напряжения.
3Q
Для прямоугольного сечения:  max 
, F=bh, для круглого
x
max
2F
C
4Q
Q
сечения:  max 
, F=R2, для сечения любой формы  max  k ,
3F
F
k— коэфф., зависящий от формы сечения (прямоугольник: k= 1,5; круг - k= 1,33).
RA
Mmax
и
Qmax
M RB
P
q
скачок = RB
определяются
из
B
скачок = RA A
эпюр изгибающих
скачок = P
моментов
и
поперечных
сил.
скачок = M
эпюра Q
экстремум
Для этого балка
разрезается на две
части
и
эпюра M
рассматривается
одна из них. Действие отброшенной части заменяется внутренними силовыми
факторами М и Q, которые определяются из уравнений равновесия. В некоторых
вузах момент М>0 откладывается вниз, т.е. эпюра моментов строится на растянутых
волокнах. При Q= 0 имеем экстремум эпюры моментов. Дифференциальные
dM
dQ
 Q;
 q;
зависимости между М,Q и q:
dz
dz
q — интенсивность распределенной нагрузки [кН/м]

2
3
Главные напряжения при поперечном изгибе:
С


2


3
 1



 2  4 2 .
max
1
1
4
4
2 2

min
Расчет на прочность при изгибе: два условия прочности, относящиеся к различным
M
точкам балки: а) по нормальным напряжениям  max  max  [] , (точки наиболее
Wx
Q S
удаленные от С); б) по касательным напряжениям   max max  [] , (точки на
b  Jx
M
нейтр.оси). Из а) определяют размеры балки: Wx  max , которые проверяют по б).
[]
В сечениях балок могут быть точки, где одновременно большие нормальные и
большие касательные напряжения. Для этих точек находятся эквивалентные
напряжения, которые не должны превышать допустимых. Условия прочности
проверяются по различным теориям прочности
1
I-я:  эквI  [   2  4 2 ]  [] ; II-я:  эквII  0,35  0,65[   2  4 2 ]  [] (при
2
коэфф.Пуассона =0,3); — применяются редко.
III-я:  эквIII   2  4 2 ]  [] , IV-я:  эквIV   2  3 2 ]  [] ,
19
[ ]
1 m
1 m

 2  4 2 ]  [] , m  P (используется для
[ C ]
2
2
чугуна, у которого допускаемое напряжение на растяжение [р][с] – на сжатие).
теория Мора:  эквM 
20
Определение перемещений в балках при изгибе
1
M( x )
Имеем закон Гука при изгибе:
, где (х) — радиус кривизны изогнутой

( x ) E  J x
оси балки в сечении х, М(х) — изгибающий момент в том
F
y
y, прогиб
же сечении, EJ — жесткость балки. Из высшей математики
x

d2y
x
, угол поворота
1
M( x )
dx 2
сечения
известно:  
— дифференциальное


EJ
dy

[1  ( ) 2 ]3
dx
dy
уравнение изогнутой оси балки.
— тангенс угла между осью х и касательной к
dx
изогнутой оси. Эта величина очень мала (прогибы балки малы)  ее квадратом
пренебрегают и угол поворота сечения приравнивают тангенсу. Приближенное
d2y
дифференциальное ур-ние изогнутой оси балки:  EJ 2  M( x ) . Если ось y
dx
направлена вверх, то знак (+). В некоторых вузах ось y направляется вниз (—).
dy 1

Интегрируя дифф. уравнение, получаем:  
 M( x )dx  C — ур-ние углов
dx EJ
1
поворота, интегрируем второй раз: y 
 M(x )dxdx  Cx  D — получаем ур-ние
EJ
прогибов. Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий,
которые зависят от способов закрепления балки.
Метод начальных параметров. Начало координат выбирают в крайней левой точке.
При включении в уравнение момента
y
М, который приложен на расстоянии
M
RA
P
RB
q
"а"
от начала координат, его
A
B x
умножают на множитель (х — а)0,
который
равен
1.
Любую
компенсирующая
нагрузка
распределенную нагрузку продлевают
а
b
c
до конца балки, а для ее компенсации
прикладывают нагрузку обратного
направления. Для рис.:
x2
(x  a) 2
EJ y = M(x) = RAx – q
– M(x – a)0 + q
– P(x – a – b); интегрируем:
2
2
( x  a  b) 2
x2
x3
(x  a) 3
EJ y  = EJ0 + RA
–q
– M(x – a) + q
–P
;
2
2
6
6
(x  a) 4
x4
(x  a ) 2
( x  a  b) 3
x3
EJy =EJy0 + EJ0x + RA
–q
–M
+q
–P
.
24
24
2
6
6
Начальные параметры — то, что мы имеем в начале координат, т.е. для рис.: М0=0,
Q0=RA, прогиб y0=0, угол поворота 00. 0 находим из подстановки во второе
уравнение условия закрепления правой опоры: x=a+b+c; y(x)=0.
21
Дифференциальные зависимости при изгибе:
dM( x )
dQ( x )
dy
d2y
 Q( x ) ;
 q( x ) ; EJ 2  M( x ) ;
 .
dx
dx
dx
dx
Определение перемещений способом фиктивной нагрузки. Сопоставляя уравнения:
d2M
d2y M
и
имеем аналогию,  определение прогибов можно свести к

q

dx 2
dx 2 EJ
определению моментов от некоторой фиктивной (условной) нагрузки в фиктивной
M
балке: q ф 
. Момент от фиктивной нагрузки Мф после деления на EJ равен
EJ
прогибу "y" в заданной балке от заданной нагрузки.
y=0
y0
dM ф
=0
dy
0
Учитывая, что
 и
 Q ф , получаем, что угол
dx
dx
поворота в заданной балке численно равен фиктивной
Mф=0
Mф0
фиктивная
Qф=0
Qф0
балка
Qф
Mф
поперечной силе в фиктивной балке. y 
, 
.
F
EJ
EJ
заданная
При этом должна быть полная аналогия в граничных
балка
условиях двух балок. Каждой заданной балке
соответствует своя фиктивная балка. Закрепление
эпюра М
фиктивных балок выбирается из того условия, чтобы на
концах балки и на опорах имелось полное соответствие
фиктивная
балка
между "y" и "" в заданной балке и Мф и Qф в фиктивной
балке. Если эпюры моментов как в действительной, так и в
фиктивная
фиктивной балках строить со стороны растянутого волокна
нагрузка
(т.е. положительный момент откладывать вниз), то линии
прогибов в заданной балке совпадает с эпюрой моментов в
эпюра МФ
фиктивной балке.
Статически неопределимые балки.
Статически неопределимыми называются системы, реакции в которых не могут
быть определены из уравнений равновесия твердого тела. В таких системах больше
связей, чем это необходимо для равновесия. Степень статической неопределимости
балки (не имеющей промежуточных шарниров – неразрезные балки) равна
избыточному (лишнему) числу внешних связей (более трех).
Раскрытие статической неопределимости с помощью дифф-ного урав-ния изогнутой
оси балки. Записываем дифф-ное урав-ние куда входит в
RB
RA
q
качестве неизвестной реакция RB и дважды его
x2
x2
HA



интегрируем: EJ y = RВx – q
;
EJ y = RВ
–
MA
x
2
2
L
x3
+ С;
q
6
22
x4
x3
EJy = RВ
– q
+ Сх + D. Используем условия закрепления балки: х=0, y=0,
24
6
y  =0; x=L, y=0. Подставляем их в два последних уравнения, находи постоянные
интегрирования С и D и неизвестную реакцию RB. Далее из урав-ний статики: HA=0;
L2
RA – qL + RB=0; RBL – q + MA=0; находятся RA и MA.
2
Уравнение совместности перемещений. Статически определимая балка, которая
получается из статически неопределимой при удалении
основная система
RB
q
"лишнего" закрепления, называется основной системой.
За "лишнюю" неизвестную можно взять любую из
реакций. Приложив к основной системе заданные
x
L
нагрузки добавляем условие, которое обеспечивает
совпадение заданной балки и основной – уравнение
совместности перемещений. Для рис.: yB=0, т.е. прогиб в точке В = 0. Решение этого
уравнения возможно разными способами.
Способ сравнения перемещений. Определяется прогиб точки В (рис.) в основной
q  L4
системе под действием заданной нагрузки (q): yВq= 
. Далее рассматривается
8EJ
основная система под действием "лишней" неизвестной RB, и находится прогиб от
R B  L3
действия RB: y BR 
. Подставляем в уравнение совместности перемещений:
3EJ
3
q  L4 R B  L3
yB= yВq + y BR = 0, т.е. 
+
= 0, откуда RB= qL , далее остальные реакции
8
3EJ
8EJ
находятся из уравнений статики.
Теорема
о
трех
моментах.
q
Р
Используется
при
расчете
неразрезных балок — балок на
многих опорах, одна из которых
Ln
Ln+1
неподвижна, остальные подвижны.
Для
перехода
от
статически
основная система
неопределимой балки к статически
Р
Mn+1
Mn-1
Mn
q
определимой основной системе над
–лишними опорами вставляются
шарниры. Лишними неизвестные:
an
bn+1
моменты Mn, приложенные к концам
пролетов над лишними опорами.
n+1
Строятся эпюры моментов для
n
каждого пролета балки от заданной
эпюра М на n+1-ом пролете
эпюра М на n-ом пролете
нагрузки, рассматривая каждый
пролет, как простую балку на двух опорах. Для каждой промежуточной опоры "n"
составляется уравнение трех моментов:
23
n a n n 1b n 1

) n,n+1–площади эпюр,
Ln
L n 1
an – расстояние от центра тяжести левой эпюры до левой опоры, bn+1 – расстояние от
центра тяжести правой эпюры до правой опоры. Число уравнений моментов равно
числу промежуточных опор. Совместное их решение позволяет найти неизвестные
опорные моменты. Зная опорные моменты, рассматриваются отдельные пролеты и
из уравнений статики находятся неизвестные опорные реакции. Если пролета всего
два, то левый и правый моменты известны, т.к. это либо заданные моменты, либо
они равны нулю. В результате получаем одно уравнение с одним неизвестным М1.
M n 1L n  2  M n (L n  L n 1 )  M n 1L n 1  6  (
24
Сложное сопротивление
Под сложным сопротивлением понимают различные
y
Qy
комбинации простых напряженных состояний (растяжения,
I-я четв-ть сжатия, сдвига, кручения, изгиба). В общем случае в
My
поперечных сечениях бруса действуют шесть компонентов
внутренних усилий: N, Qx, Qy, Mx, My, Mz=Mкр. Нормальная
Mx
x
сила N и изгибающие моменты Mx, My вызывают
Qx
нормальные напряжения. От поперечных сил Qx, Qy и
Mz
крутящего момента Mz=Mкр возникают касательные
N
напряжения.
Знаки:
N>0,
если
она
вызывает
z
растягивающие напряжения. Mx и My>0, если они
вызывают растягивающие напряжения в точках положительной четверти осей
координат (I-ая четверть). На рис. все>0.
Прямой изгиб не принято рассматривать как сложное сопротивление, хотя
возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная
сила. Сложный изгиб (неплоский изгиб), который вызывается нагрузками,
расположенными в разных плоскостях, проходящих через ось балки. Изогнутая ось
балки при этом не является плоской кривой. Косой изгиб — такой вид изгиба, когда
все нагрузки действуют в одной плоскости, которая не проходят ни через одну из
главных центральных осей инерции сечения. Косой изгиб приводят к двум плоским
изгибам, раскладывая нагрузку в главных плоскостях zy и zx. В сечении возникают
четыре компоненты внутренних усилий: Qx, Qy, Mx, и My. На основании принципа
независимости действия сил полные нормальные напряжения равны сумме
напряжений от раздельного действия Mx и My. Напряжение в произвольной точке с
M y Myx
координатами "x,y":   x 
; Mx,My,x,y подставляются с учетом знака
Jx
Jy
y
нейтральная линия


силовая
линия
x0
y0
My
Mx x

- M
(Mx>0 и My>0, если они вызывают растяжение в I-ой
My
четверти). tg 
, Mx=Mcos; My=Msin,  – угол
Mx
между "y" и плоскостью действия изгибающего момента М
y  cos x  sin 

) . Т.к. на
(силовой пл–стью).   M(
Jx
Jy
нейтральной линии (оси) нормальные напряжения =0, то
Myx0
M y
 0 , x0, y0 – коорд. нейтр. линии, или
уравнение нейтр. линии будет: x 0 
Jx
Jy
y 0 cos  x 0 sin 

 0 . Это уравнение прямой линии, проходящей через начало
Jx
Jy
координат. Ее положение определяется углом наклона  к главной оси "х":
My Jx
J
y
tg  0  
. tg   x tg ,  если JxJy, то нейтр. линия
Jy
x0
Mx Jy
не
перпендикулярна к силовой линии. Нейтр. линия при косом изгибе повернута на
25
угол ( – ) от оси, перпендикулярной плоскости действия изгибающего момента, к
оси, относительно которой момент инерции имеет минимальное значение (на рис.
это ось "y").
y
Наибольшие напряжения будут в точках наиболее
A
удаленных от нейтральной линии: A и B. Для их
нахождения надо провести к контуру сечения
Mx x
касательные параллельные нейтральной линии. Условие

прочности:
max
My
M
My
M
 max  x 
 [] , Wx=Jx/ymax; Wy=Jy/xmax. Для
о
90
Wx Wy
B
хрупкого материала (чугун) []=[p] (допускаемое
напряжение на растяжение). Перемещение (прогиб) "f"
определяется геометрическим суммированием прогибов в
y
силовая
d2w
d2v
плоскостях
xz
и
yz:
EJ

M
;
EJ
 My.
линия
x
x
y
dz 2
dz 2
f  v 2  w 2 . При косом изгибе направление полного
v 
прогиба перпендикулярно к нейтральной линии и не
совпадает с направлением действующей нагрузки.
нейтр.

В случае неплоского изгиба, когда нагрузки не лежат в
линия
f
одной плоскости, линия прогиба не перпендикулярна
w
нейтральной линии.
Изгиб с растяжением (внецентренное сжатие–растяжение).
Внецентренное растяжение–сжатие такой вид деформации, когда в поперечном
сечении жесткого стержня действуют продольная сила и изгибающий момент.
Нормальное напряжение в произвольной точке сечения с координатами "x,y" равно
сумме напряжений от продольной силы N и изгибающих моментов Mx, My:
M
N My
 
x  x y ; знаки: N>0 – если сила растягивающая, Mx, My>0, если
F Jy
Jx
н. л
min
моменты "растягивают" сечение в I-ой четверти. Внецентренное сжатие похоже на
косой изгиб, только добавляется нормальная сила. На практике важен случай
действия одной силы Р (равнодействующей), когда она не
P
совпадает с осью балки и имеет координаты точки приложения
z
y I-ая
yp
четв. "xp,yp". Внутренние усилия: N=P; My=Pxp; Mx=Pyp. Координаты
"xp,yp" называются эксцентриситеты силы Р относительно
x
главных осей инерции x,y. Точка приложения силы Р – полюс.
xp
Напряжения:
xpF
ypF
xp
yp
J x,y
P
P
  (1 
x
y) или   (1  2 x  2 y) , i x , y 
y
F
Jy
Jx
F
F
iy
ix
yн
xр
yр
xн
x
н.л.
–радиусы инерции относительно главных центральных осей
инерции сечения. Уравнение нейтральной линии, на которой
26
=0, будет: 1 
xp
i 2y
x
i 2y
yp
i 2x
y  0 . Отрезки, отсекаемые нейтр. линией на осях
i 2x
. Нейтральная линия и полюс (точка приложения
xP
yP
силы) лежат по разные стороны от начала координат.
Чем дальше от начала координат расположен полюс, тем ближе к центру сечения
проходит нейтр. линия. Если полюс находится на одной из главных центральных
осей инерции, то нейтр. линия перпендикулярна этой оси (например, если х р=0, т.е.
i 2y
точка приложения силы Р находится на оси "y", то x H     ,  нейтр. линия
0
параллельна оси "х", перпендикулярна оси "y"). Нейтр. линия может как пересекать
сечение, так и проходить вне его, в этом случае во всем сечении напряжения будут
одного знака: растягивающие или сжимающие. Это важно, например, при расчете
кирпичных колон, которые плохо сопротивляются растяжению, и надо, чтобы они
только сжимались. Когда сила Р приложена в центре тяжести сечения, то нейтр.
линия находится в бесконечности. При перемещении силы Р от центра тяжести в
сторону края сечения нейтр. линия перемещается из бесконечности к сечению,
оставаясь параллельной самой себе. В какой-то момент она коснется сечения. При
этом сила занимает предельное положение, при котором в сечении будут
напряжения одного знака. Область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой
приложение силы Р вызывает в сечении напряжения одного знака, называется ядром
сечения.
Чтобы получить очертание ядра сечения надо задать несколько положений нейтр.
y
линии, касательных к контуру сечения (нигде не
пересекая его), определить отсекаемые ими отрезки на
хН=
координатных
осях
"хн,yн"
и
вычислить
n1
соответствующие координаты точки приложения силы
A1
х
i 2y
хН
i 2x
С
Р: x P  
– координаты контура ядра
; yP  
x
y
H
H
ядро
(на рис. n1n1– нейтр. линия, А1–соответствующая ей
yН
точка ядра сечения). При многоугольной форме
n1
контура сечения удобнее нейтр. линию совмещать с
каждой из сторон многоугольника. Для прямоугольного сечения – ядро сечения
ромб, с диагоналями равными одной трети соответствующей стороны сечения, для
круга – круг радиусом R/4, для двутавра – ромб.
Изгиб с кручением
Совместное действие изгиба с кручением наиболее частый случай нагружения
валов. Возникают пять компонентов внутренних усилий: Qx, Qy, Mx, My, Mz=Mкр.
При расчете строят эпюры изгибающих Mx, My, и крутящих
y
Mкр
моментов и
определяют опасное
сечение.

координат: x H  
A
Результирующий изгибающий момент
x
B
; yH  
нейтр. 
линия
M  M 2x  M 2y .
27
Макс.
нормальные
(A,B):  max
 max
и
касательные
напряжения
в
опасных
точках
M 2x  M 2y
M
,


W
W
M кр
R3
R3

, (для круга: W=
–осевой момент сопротивления, Wр=
–
4
2
Wр
полярный момент сопр-ния сечения).
Главные напряжения в наиболее опасных точках (А и В):
1
1
1  (   2  4 2 ) ;  2  0; 1  (   2  4 2 ).
2
2
Проверка прочности проводится по одной из теорий прочности:
1 m
1 m
IV-ая:  эквIV   2  3 2  []; теория Мора:  эквM 

 2  4 2  [];
2
2
где m=[p]/[c] – допуст. напр.растяжения/сжатия (для хрупких материалов – чугун).
1 1 m
1 m
2
Т.к. Wp=2W, получаем:  эквM  [
M 2x  M 2y 
M кр
 M 2x  M 2y ]  [];
W 2
2
1
2
 эквIV 
0,75M кр
 M 2x  M 2y  []; В числителе – приведенный момент по
W
1 m
1 m
2
принятой теории прочности. M прM 
M 2x  M 2y 
M кр
 M 2x  M 2y ] ;
2
2
2
2
2
2
2
IV-ая: M прIV  0,75M кр  M x  M y  0,75M кр  M ;
1
2
I-ая: M прI  [ M 2x  M 2y  M кр
 M 2x  M 2y ];
2
2
II-ая: M прII  0,35 M 2x  M 2y  0,65 M кр
 M 2x  M 2y , при коэф.Пуасссона =0,3;
2
III-я: M прIII  M кр
 M 2x  M 2y ;
или одной формулой:  экв 
диаметр вала: d  3
32M пр
[]
M пр
W
 [] , откуда момент сопротивления: W 
M пр
[]
. Формулы годятся и при расчете кольцевого сечения.
,
28
Общие методы определения перемещений
Работа постоянных сил: А=РР, Р – обобщенная сила – любая нагрузка
(сосредоточенная сила, сосредоточенный момент, распределенная нагрузка), Р –
обобщенное перемещение (прогиб, угол поворота). Обозначение mn означает
перемещение по направлению обобщенной силы "m" , которое вызвано действием
силы обобщенной "n". Полное перемещение, вызванное несколькими силовыми
факторами: Р=РP+РQ+РM. Перемещения вызванные единичной силой или
единичным моментом:  – удельное перемещение. Если единичная сила Р=1 вызвала
перемещение Р, то полное перемещение вызванное силой Р, будет: Р=РР . Если
силовые факторы, действующие на систему, обозначить Х1,Х2,Х3 и т.д., то
перемещение по направлению каждого из них:
где Х111=+11; Х212=+12; Хimi=+mi. Размерность
1=Х111+Х212+Х313+…
Дж
2=Х121+Х222+Х323+…
удельных перемещений: [] 
, Дж- джоули
[X m ][ X i ]
3=Х131+Х232+Х333+…
размерность работы 1Дж = 1Нм.
P
 PP P 2
Работа внешних сил, дейст-щих на упругую систему: A   Pd   P PP dP 
.
2

0
P
A
– действительная работа при статическом действии обобщенной силы на
2
упругую систему равна половине произведения окончательного значения силы на
окончательное значение соответствующего перемещения. Работа внутренних сил
L
L
L
M 2 dx
N 2 dx
Q 2 dx
 
 k 
(сил упругости) в случае плоского изгиба: A   
,
0 2EJ
0 2EF
0 2GF
k – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных
напряжений по площади поперечного сечения, зависит от формы сечения.
На основании закона сохранения энергии: потенциальная энергия U=A.
Теорема о взаимности работ (теорема Бетли). Два состояния упругой ситемы:
Р1
11– перемещение по направл. силы Р1 от действия силы Р1;
12– перемещение по направл. силы Р1 от действия силы Р2;
11
21
21– перемещение по направл. силы Р2 от действия силы Р1;
первое состояние
22– перемещение по направл. силы Р2 от действия силы Р2.
Р2
А12=Р112 – работа силы Р1 первого состояния на
12
22
перемещении по ее направлению, вызванном силой Р2
второго состояния. Аналогично: А21=Р221 – работа силы
второе состояние
Р2 второго состояния на перемещении по ее направлению,
вызванном силой Р1 первого состояния. А12=А21 . Такой же результат получается при
любом числе сил и моментов. Теорема о взаимности работ: Р112=Р221.
Работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных
силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по
их направлениям, вызванных силами первого состояния.
Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла) Если Р1=1 и Р2=1, то
Р112=Р221, т.е. 12=21, в общем случае mn=nm.
29
Для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению
первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению
по направлению второй единичной силы, вызванному первой силой.
Универсальный метод определения перемещений (линейных и углов поворота) –
метод Мора. К системе прикладывают единичную обобщенную силу в точке, для
которой ищется обобщенное перемещение. Если определяется прогиб, то единичная
сила представляет собой безразмерную сосредоточенную силу, если определяется
угол поворота, то – безразмерный единичный момент. В случае пространственной
системы действуют шесть компонентов внутренних усилий. Обобщенное
перемещение определяется формулой (формула или интеграл Мора):
Черта над М, Q и N
L M x M x dx
L M y M y dx
L M кр M кр dx
i
p
p
p
i
i
указывает на то, что эти
 mn   [ 



EJ x
EJ y
GJ k
внутренние усилия вызваны
0
0
0
действием единичной силы.
L Q x Q x dx
L Q y Q y dx L N N dx
i
p
p
i p
i
Для вычисления входящих в
 kx 
 ky 

]
GF
GF
EF
формулу интегралов надо
0
0
0
перемножить эпюры
соответствующих усилий. Порядок определения перемещения: 1) для заданной
(действительной или грузовой) системы находят выражения Mn, Nn и Qn; 2) по
направлению искомого перемещения прикладывают соответствующую ему
единичную силу (силу или момент); 3) определяют усилия M m ; N m ; Qm от действия
единичной силы; 4) найденные выражения подставляют в интеграл Мора и
интегрируют по заданным участкам. Если полученное mn>0, то перемещение
совпадает с выбранным направлением единичной силы, если <0, то
противоположно. Для плоской конструкции:
L M M ds
L N N ds
L Q Q ds
i
p
i p
i p
 mn   [ 

 k
] . Обычно при определении
EJ
EF
GF
0
0
0
перемещений пренебрегают влиянием продольных деформаций и сдвигом, которые
вызываются продольной N и поперечной Q силами, учитываются только
перемещения, вызываемые изгибом. Для плоской системы будет:
L M M ds
i
p
 mn   
.
EJ
0
Вычисление интеграла Мора способом Верещагина. Интеграл  Mi M p dz для случая,
L
когда эпюра от заданной нагрузки имеет произвольное очертание, а от единичной –
прямолинейное удобно определять графо-аналитическим способом, предложенным
Верещагиным.  M i M p dz    y C , где  – площадь
С

Эпюра Мр
Эпюра M i
yc
L
эпюры Мр от внешней нагрузки, yc– ордината эпюры от
единичной нагрузки под центром тяжести эпюры Мр.
Результат перемножения эпюр равен произведению
площади одной из эпюр на ординату другой эпюры,
взятой под центром тяжести площади первой эпюры.
30
Ордината должна быть обязательно взята из прямолинейной эпюры. Если обе
эпюры прямолинейны, то ординату можно взять из любой.
  yC
Перемещение:  iP  
. Вычисление по этой формуле производится по
EJ
участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов.
Сложную эпюру Мр разбивают на простые геометрические фигуры, для которых
легче определить координаты центров тяжести. При
перемножении двух эпюр, имеющих вид трапеций, удобно
a
L
b
использовать формулу:   y C  (2ac  2bd  ad  bc) . Эта же
6
d формула годится и для треугольных эпюр, если подставить
c
соответствующую ординату = 0.
L
При действии равномерно распределенной нагрузки на
шарнирно опертую балку эпюра строится в виде
выпуклой квадратичной параболы, площадь которой
2hL
qL2
2 qL2
qL3
(для рис. h 
, т.е.  
,

L
3
8
3 8
12
хС=L/2).
q
L

h
Mp
Для "глухой" заделки при равномерно распределенной
нагрузке имеем вогнутую квадратичную параболу, для
qL2
hL
1 qL2
qL3
которой  
; h
, 
, хС=3L/4.
L
L
2
3
3 2
6
Тоже можно получить, если эпюру представить
Mp
разностью площади треугольника и площади выпуклой

h
1 qL2
qL3 qL3
xc
квадратичной параболы:  
.
L

2 2
12
6
"Отсутствующая" площадь считается отрицательной.
U
Теорема Кастильяно.  P 
– перемещение точки приложения обобщенной силы
P
по направлению ее действия равно частной производной от потенциальной энергии
по этой силе. Пренебрегая влиянием на перемещение осевых и поперечных сил,
L
M(s)ds M(s)
M 2 dx
имеем потенциальную энергию: U   
, откуда  P  
.
EJ

P
2
EJ
S
0
xc=L/2
q
31
Статически неопределимые системы
Статически неопределимые системы – системы, силовые факторы в элементах
которых не могут быть определены только из уравнений равновесия твердого тела.
В таких системах число связей больше, чем необходимо для равновесия. Степень
статической неопределимости: S = 3n – m, n – число замкнутых контуров в
конструкции, m – число одиночных шарниров (шарнир, соединяющий два стержня,
считается за один, соединяющий три стержня – за два и т.д.). Метод сил – в качестве
неизвестных принимают силовые факторы. Последовательность расчета: 1)
устанавливают степень статич. неопределимости; 2) путем удаления лишних связей
заменяют исходную систему статически определимой – основной системой (таких
систем может быть несколько, но при удалении лишних связей не должна
нарушаться геометрическая неизменяемость конструкции); 3) основную систему
загружают заданными силами и лишними неизвестными; 4) неизвестные усилия
должны быть подобраны так, чтобы деформации исходной и основной систем не
отличались. Т.е. реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при
которых перемещения по их направлениям = 0. Канонические уравнения метода
сил:
Эти уравнения являются дополнительными ур-ями
11Х1+12Х2+…+1nХn+1p=0
деформаций, которые позволяют раскрыть статич.
21Х1+22Х2+ +2nХn+2p=0
неопределимость. Число ур-ий = числу
. . . . . . . . . . . .
отброшенных связей, т.е. степени
n1Х1+n2Х2+ +nnХn+np=0
неопределимости системы.
ik – перемещение по направлению i, вызванное
единичной силой действующей по направлению k. ii – главные, ik – побочные
перемещения. По теореме о взаимности перемещений: ik=ki. ip– перемещение по
направлению связи i, вызванное действием заданной нагрузки (грузовые члены).
Перемещения, входящие в канонические уравнения удобно определять по методу
Мора. Для этого к основной системе прикладывают единичные нагрузки Х1=1, Х2=1,
Хn=1, внешнюю нагрузку и строят эпюры изгибающих моментов. По интегралу
L M M ds
L M M ds
L M M ds
1
p
2
p
n
p
Мора находят: 1P   
;  2P   
; ….;  nP   
;
EJ
EJ
EJ
0
0
0
L
L
L
L
M1 M1ds
M 2 M 2 ds
M n M n ds
M M ds
;  22   
; ….;  nn   
; 12    1 2 ;
11   
EJ
EJ
EJ
EJ
0
0
0
0
L
L
M1 M 3ds
M M ds
; ;  ik    i k . Черта над М указывает на то, что эти
13   
EJ
EJ
0
0
внутренние усилия вызваны действием единичной силы.
Для систем, состоящих из прямолинейных элементов перемножение эпюр удобно
 P  y Cp
 y
производить по способу Верещагина. 1P 
; 11  1 C1 и т.д. Р –
EJ
EJ
площадь эпюры Мр от внешней нагрузки, yСр– ордината эпюры от единичной
нагрузки под центром тяжести эпюры Мр, 1 – площадь эпюры М1 от единичной
нагрузки. Результат перемножения эпюр равен произведению площади одной из
32
эпюр на ординату другой эпюры, взятой под центром тяжести площади первой
эпюры.
33
Расчет плоских кривых брусьев (стержней)
К кривым брусьям относятся крюки, звенья цепей, арки и т.п. Ограничения:
поперечное сечение имеет ось симметрии, ось бруса плоская кривая, нагрузка
действует в той же плоскости. Различают брусья малой кривизны: h/R<1/5, большой
кривизны: h/R1/5. При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения
My
рассчитывают по формуле Навье, как для балок с прямой осью:  
. При
Jx
чистом изгибе брусьев большой кривизны:
My
.ось бруса


,
x С
e
eF(rн  y)
e
0 y
R
rН– радиус нейтрального слоя, е=R – rН, R –
нейтр.ось
радиус слоя, в котором расположены центры
rН
R2
y
тяжести сечения. Нейтральная ось кривого
R1
бруса не проходит через центр тяжести сечения
С. Она всегда расположена ближе к центру
O
кривизны, чем центр тяжести сечения.
F
rН 
, =rН – y. Зная радиус нейтрального слоя можно определить расстояние
dF

F
"е" от нейтрального слоя до центра тяжести. Для прямоугольного сечения высотой
h
h, с наружным радиусом R2 и внутренним R1: rН 
; для разных сечений
R2
ln
R1
формулы приведены в справочной лит-ре. При h/R<1/2 независимо от формы
J
сечения можно определять "е" по приближенной формуле: e  x , где Jx – момент
RF
инерции сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести
перпендикулярно плоскости кривизны
М

N
M
бруса. Нормальные напряжения в
сечении распределяются по
h2
N
гиперболическому закону (у наружного
y
края сечения меньше, у внутреннего
нейтр.ось
h1
больше). При действии еще и
N
My
rН
 
нормальной
силы
N:
е
R
F eF(rн  y)
(здесь rН – радиус нейтрального слоя,
который был бы при действии только
момента М, т.е. при N=0, но в действительности при наличии продольной силы этот
N
My
 [] ,
слой уже не является нейтральным). Условие прочности:  max  
F eF(rн  y)
при этом рассматриваются крайние точки, в которых суммарные напряжения от
34
изгиба и растяжения–сжатия будут наибольшие, т.е. y= – h2 или y= h1. Перемещения
удобно определять методом Мора.
35
Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб
Разрушение стержня может произойти не только потому, что будет нарушена
прочность, но и оттого, что стержень не сохранит заданной формы. Например, изгиб
при продольном сжатии тонкой линейки. Потеря устойчивости прямолинейной
формы равновесия центрально сжатого стержня называется продольным изгибом.
Упругое равновесие устойчиво, если деформированное тело при любом малом
отклонении от состояния равновесия стремится вернуться к первоначальному
x
состоянию и возвращается к нему при удалении внешнего воздействия.
Р
Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости,
называется критической нагрузкой Ркр (критической силой). Допускаема
нагрузка [P]=Pкр/nу, nу – нормативный коэффициент запаса устойчивости.
Приближенное
дифференциальное
ур-ние
упругой
линии:
2
L
d y
y
EJ min 2  M( x ) , Е –модуль упругости материала стержня, М –
dx
x
изгибающий момент, Jmin– наименьший момент инерции сечения
y
стержня. При потере устойчивости прогиб, как правило, происходит
перпендикулярно к оси наименьшей жесткости, относительно которой —
J=Jmin. Рассматривается приближенное дифф-ное ур-ие, т.к. потеря устойчивости
возникает при малых деформациях. M=—Py, получаем однородное дифф-ное
P
d2y
2
2
уравнение:
,
где
. Решая дифф-ное ур-ие находим
k


k
y

0
EJ min
dx 2
наименьшее значение критической силы – формула Эйлера: Pкр 
 2 EJ min
–
L2
формула дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными
 2 EJ min
концами. При различных закреплениях: Pкр 
,  – коэффициент приведения
L2
длины. При шарнирном закреплении обоих концов стержня =1; для стержня с
заделанными концами =0,5; для стержня с одним заделанным и другим свободным
концом =2; для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным
концом =0,7.
Pкр  2 E
L
 2 , 
Критическое сжимающее напр-ние.:  кр 
– гибкость стержня,
i min
F

J min
– наименьший главный радиус инерции площади сечения стержня. Эти
F
формулы справедливы только тогда, когда напряжения крпц– предел
пропорциональности, т.е. в пределах применимости закона Гука. Формула Эйлера
i min 
применима при гибкости стержня:    кр 
2E
, например, для стали Ст3 (С235)
 пц
кр100. Для случая <кр критическое напряжение вычисляется по эмпирической
36
(полученной экспериментально) формуле Ясинского: кр= a — b, коэффициенты
"a" и "b" в справочной лит-ре (Ст3: a=310МПа; b=1,14МПа).
Достаточно короткие стержни, для которых <0=40 (для сталей) назыв-тся стержни
малой гибкости. Такие стержни рассчитывают только на прочность, т.е. принимают
кр=т (предел текучести) – для пластичных материалов и кр=В (временное
сопротивление) – для хрупких материалов. При расчете стержней большой гибкости
P
используют условие устойчивости:  
 [ у ] , Fбрутто– полная площадь
Fбрутто
сечения,
(Fнетто=Fбрутто—Fослабл –площадь ослабленного сечения с учетом площади отверстий в
сечении Fослабл, например, от заклепок). [у]=кр/nу, nу– нормативный коэф. запаса
устойчивости. Допускаемое напряжение [у] выражается через основное
допускаемое напряжение [], используемое при расчетах на прочность: [у]=[], 
– коэффициент уменьшения допускаемого напряжения для сжатых стержней
(коэффициент продольного изгиба). Значения  приведены в табл. в учебниках и
зависят от материала стержня и его гибкости (например, для стали Ст3 при =120
=0,45).
При проектировочном расчете требуемой площади сечения на первом шаге
P
принимают 1=0,5–0,6; находят: Fбрутто 
. Далее зная Fбрутто, подбирают
  []
сечение, определяют Jmin, imin и , устанавливают по табл. фактическое 1I, если оно
существенно отличается от 1, расчет повторяется при среднем 2= (1+1I)/2. В
результате второй попытки находят 2I, сравнивают с предыдущем значением и т.д.,
пока не достигнуто достаточно близкое совпадение. Обычно требуется 2-3 попытки.
37
Формулы
N
L
; относительная деформация  
; Закон Гука:
F
L

N
NL
; абсолют. удлинение L 
; относит. поперечная
  ;  = Е;  
E
EF
EF
a
I
деформация I 
; коэфф.Пуассона   ; удлинение стержня
a

L
N( z )
P  L
L  
dz ; работа при растяж-ии A 
; потенц-ная энергия
E

F
(
z
)
2
0
Нормальное напряжение:  
P
P 2L
; учет собств. веса стержня: N(z) = P + FL; max     L ;
UA 
2 E F
F
2

PL  L
; услов. прочности при растяж.-сж: max []; []  o – допуск.
L 

n
EF 2E
напр-ние; линейное напряженное состояние: полное напр.

P P
p 
 cos     cos  ; норм-ное     cos2  ; касат.     sin 2 ; на
F F
2

перпендик. площадках     sin 2  ;     sin 2 ;  = — ; главные напр2
2
ния: 1>2>3; на накл. площадке:    x cos    z sin2    xz sin 2 ;
  z x  z
  z
  x
sin 2   xz cos 2 или    x

cos 2   xz sin 2 ;
2
2
2
закон парности касат. напр. xz= — zx;   1 cos2    2 sin2  ;
1   2
   2 1   2

cos 2 ;   1 sin 2    2 cos 2  ;
 
sin 2 ;    1
2
2
2
  2
  2
   1
sin 2 ; +=1+2; макс.касат.напр. max  1
; главные
2
2
  z 1
напряжения max  x

( x   z ) 2  4 2xz ;
2
2
min
2 xz
2 xz
положение главных площадок tg2 0  
; tg 0  
;
x  z
1   z
объемное напряженное состояние:   1 cos2 1   2 cos2  2  3 cos2  3 ;
  3
;
  12 cos2 1   22 cos2  2  32 cos2  3   ;макс.касат.напр. max  1
2
   2  3
напряжения по октаэдрической площадке  окт  1
;
3
1
2 2
2
 окт 
(1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2  ( 3  1 ) 2 ;  окт 
12   223  13
;
3
3
38
3
2
окт 
(1   2 ) 2  ( 2  3 ) 2  (3  1 ) 2 ;
2
2
первый инвариант: x+y+z=1+2+3; обобщенный закон Гука:
1
1
1
1  [1  ( 2  3 )];  2  [ 2  (3  1 )];  3  [3  (1   2 )] ;
E
E
E
V
1 2
относит. объемная дефор-ция  
 1   2   3 ;  
(1   2  3 ) ;
V
E
ср
   2  3
1 2
среднее напряжение  ср  1
; 
; модуль объемной
3ср 
3
E
К
P  L
E
деформации: К=
; потенц.энергия U=
; удельная потенциальная
2
3(1  2)
 
 
 
U

2
энергия u =
; u
;u 1 1  2 2  3 3;

2
2
2
FL
2
2E
1 2
u
[1   22  32  2(1 2  13   2 3 )] ; u = uо + uф; энергия из-за
2E
1  2
изменения объема: uo 
(1   2   3 ) 2 ; энергия из-за изменения формы:
6E
1  2
uф 
[1   22   32  1 2  1 3   2  3 )] ; тензор напряжений:
3E
  x  yx  zx 
0
1 0


TH   xy  y  zy  ; тензор для главных напряжений: TH   0  2 0 


  xz  yz  z 
 0
0  3 


интенсивность напр-ний i 
Инварианты напряженного состояния: J1= x + y + z;
J2= xy +yz + yz — 2xy — 2zx — 2yz;
J3= xyz — x2yz — y2zx — z2xy + 2xyzxyz.
Сопоставление зависимостей напряженного и деформированного плоского сост.:
   2 1   2
   2 1   2
  1

cos 2 ;    1

cos 2 ;
2
2
2
2

  2
  2
  1
sin 2 ;   1
sin 2 ; Инварианты деформированного сост-ия:
2
2
2
1
1
1
J1= x + y + z; J2= xy +yz + zx — 2xy — 2yz — 2zx;
4
4
4
1
1





x
yx
zx


2
2
1 0 0 
1

1
y
 zy  ; Tд   0  2 0  .
тензор деформаций: J3    xy
2
2

 0 0  3 
1
1 



z 
 2 xz 2 yz

39
1-ая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений):max= 1 [].
2-ая теор. прочности (теория наибольших относительных деформаций):max= 1 [].
1
1= [1  ( 2  3 )] , условие прочности эквII= 1 — (2 + 3) [].
E
3-я теор. прочности (теория наибольших касательных напряжений):max  [],
  3
max= 1
, условие прочности: эквIII= 1 — 3 [], эквIII= ( z   y ) 2  4 2zy 
2
[]. При y=0  эквIII   2  4 2  [] . 4-я теор. прочности (энергетическая теория):
uф[uф].  эквIV  0,5  [(1   2 ) 2  (1   3 ) 2  ( 2   3 ) 2  [] . Для плоск. напряж.
сост.:  эквIV  (
z   y
2
) 2  3(
z   y
2
Теория прочности Мора:  эквМ  1 
) 2  3 2zy  [] . y=0,  эквIV   2  3 2  [] .
[ p ]
  3 . Допускаемые напряжения на
[ c ]
растяжение [p] и сжатие [с] не одинаковы (чугун).
Q

Чистый сдвиг.   ; угол сдвига   . Закон Гука при сдвиге:  = /G;  = G;
a
F
E
модуль сдвига (модуль второго рода): G 
; потенциальн. энергия при сдвиге
2(1  )
  Q Q2a
U
Q2a
2
; удельн. потенц. энергия: u  
; объем V=аF; u 
;
U

V 2GFaF
2
2GF
2G
Геометрические характеристики сечений: площадь F   dF ; статический момент
F
относительно оси x или y:
S x   ydF ; S y   xdF ; координаты центра тяжести:
F
F
n
n
n
Sy
Sx
xC 
; yC 

; S x   Fi y i ; S y   Fi x i ; x C 
F
F
F
i 1
i 1
Sy
 Fi x i
i 1
n
 Fi
i 1
2
n
; yC 
Sx

F
 Fi y i
i 1
n
 Fi
;
i 1
2
Осевой момент инерции: J x   y dF ; J y   x dF ; полярный момент инерции:
F
F
J p    dF ; Jy + Jx = Jp; центробежный мом-т инерц.: J xy   xydF . Прямоугольник:
2
F
F
bh
hb
r
d
r 4 d 4
; Jy 
; J xy  0 . Круг: J p 

; Jx  Jy 

; J xy  0 .
12
12
2
32
4
64
Четверть круга: Jy=Jx=0,055R4; Jxy=0,0165R4; Jx0=0,0714R4; Jy0=0,0384R4.
Моменты инерции относительно параллельных осей: Jx1=Jx + a2F; Jy1=Jy + b2F;
Jy1x1=Jyx + abF. Моменты инерции при повороте осей: Jx1=Jxcos2 + Jysin2 —
1
Jxysin2; Jy1=Jycos2 + Jxsin2 + Jxysin2; Jx1y1= (Jx — Jy)sin2 + Jxycos2; Jy1 + Jx1=
2
Jx 
3
3
4
4
40
Jy + Jx. Угол, определяющий полож-е главных осей: tg 2 0 
относит. главн. центр. осей инерц.: J max 
min
Jmax+Jmin=Jx+Jy. Радиус инерции: i x 
Jx  Jy
2

2  J xy
Jy  Jx
. Мом-ты инерц.
1
(J y  J x ) 2  4  J 2xy ;
2
Jy
Jx
; Jx=Fix2, Jy=Fiy2. Осевой мом; iy 
F
F
т сопротив-ия:
Jy
Jx
Jx
bh 2
b2h
; для прямоугольника: Wx 
; для круга:
Wx 

; Wy 

y max
h/2
6
b/2
6
3
Jx  R3
Jx
  dH


(1   4 ) ;
Wx=Wy=
; трубчатое сечение (кольцо): Wx=Wy=
R
4
dH / 2
32
Jp
R3
= dН/dB. Полярный момент сопротивления: Wp 
; для круга:Wр=
.
2
 max
Jp
M  M
M L
Кручение.   k  k , Wp  . Угол закручивания:   k ; относит. угол
R
Jp
Wp
GJ p
M 2k L
 Mk
1
закручивания:   
. Потенц-ная энергия при кручении: U  M k  
;
2
2GJ p
L GJ p
 пред
M
Условие прочности:  max  k  [] ; [] =
; условие жесткости: mкax[].
[n ]
W
M L
M
Кручение бруса прямоуг. сеч.:  max  k ;   k ; Wk= hb2; Jk= hb3; =
Wk
GJ k
max.
Ey
Изгиб. M   ydF; Q    y dF; N   dF . Нормальные напряжения:  
. Закон

F
F
F
My
1
M
Гука при изгибе: 
, формула Навье:  
. Максимальные напряжения:
 E  Jx
Jx
M  y max
M
, Jx/ymax=Wx—момент сопротивления сечения при изгибе,  max 
.
 max 
Jx
Wx
Q  S x ( y)
Касательные напряжения – формула Журавского:  
. Для прямоугольного
b ( y)  J x
3Q
4Q
сечения:  max 
, F=bh, для круглого сечения:  max 
, F=R2, для любого
3F
2F
dM
dQ
Q
сечения:  max  k . Дифференциальные зависимости при изгибе:
 Q;
 q.
dz
dz
F
 1
Главные напряжения при поперечном изгибе:  max  
 2  4 2 .
2 2
min
41
M max
 [] , условие
Wx
M
Q S
прочности по касательным напряжениям   max max  [] . Wx  max Условия
b  Jx
[]
1
прочности по различным теориям прочности: I-я:  эквI  [   2  4 2 ]  [] ;
2
II-я:  эквII  0,35  0,65[   2  4 2 ]  [] (при коэфф.Пуассона =0,3);
Условие прочности по нормальным напряжениям  max 
III-я:  эквIII   2  4 2 ]  [] , IV-я:  эквIV   2  3 2 ]  [] ,
[ ]
1 m
1 m
теория Мора:  эквM 

 2  4 2 ]  [] , m  P
[ C ]
2
2
d2y
1
M( x ) 1
M( x )
dx 2
Закон Гука при изгибе:
.
—



( x ) E  J x 
EJ
dy 2 3
[1  ( ) ]
dx
дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Приближенное
d2y
дифференциальное ур-ние изогнутой оси балки:  EJ 2  M( x ) .
dx
dy 1
1


M( x )dx  C — ур-ние углов поворота, y 
 M(x )dxdx  Cx  D —

dx EJ
EJ
x2
ур-ние прогибов. Метод начальных параметров. EJ y = M(x) = RAx – q
– M(x –
2
(x  a) 2
x2
x3
a)0 + q
– P(x – a – b); интегрируем: EJ y  = EJ0 + RA
–q
– M(x – a) +
2
2
6
( x  a  b) 2
(x  a) 3
–P
;
q
2
6
(x  a) 4
x4
(x  a ) 2
( x  a  b) 3
x3
EJy =EJy0 + EJ0x + RA
–q
–M
+q
–P
.
24
24
2
6
6
dM( x )
dQ( x )
Дифференциальные зависимости при изгибе:
 Q( x ) ;
 q( x ) ;
dx
dx
dy
d2y
  . Определение перемещений способом фиктивной нагрузки.
EJ 2  M( x ) ;
dx
dx
Qф
dM ф
Mф
d2M
d 2 y M dy

q
;
;
;
;
. Теорема о трех




Q
y



ф
dx
EJ
EJ
dx 2
dx 2 EJ dx
 a
 b
моментах: M n 1L n  2  M n (L n  L n 1 )  M n 1L n 1  6  ( n n  n 1 n 1 ) .
Ln
L n 1
42
Косой изгиб. Напряжение в произв. точке с координатами "x,y":  
tg 
My
Mx
, Mx=Mcos; My=Msin,   M(
Mx y Myx

;
Jx
Jy
y  cos x  sin 

) . Уравнение нейтр.
Jx
Jy
M x y0 M y x 0
y cos  x 0 sin 

 0 , или 0

 0 .Угол наклона нейтр.лин. к
Jx
Jy
Jx
Jy
My Jx
y
J
главной оси "х": tg  0  
. tg   x tg . Наиб.
x0
Mx Jy
Jy
My
M
 [ ] ,
напр.  max  x 
Wx Wy
линии:
d2w
d2v

M
;
EJ
 My , f  v2  w 2 .
x
y
2
2
dz
dz
Внецентренное сжатие–растяжение. Нормальное напряжение в произвольной
M
N My
x  x y ; N>0 – если сила растягивающая, Mx, My>0, если момточке:   
F Jy
Jx
Wx=Jx/ymax; Wy=Jy/xmax. Прогиб "f": EJ x
ты "растягивают" сеч. в I-ой четверти. Внутренние усилия: N=P; My=Pxp; Mx=Pyp.
xpF
ypF
xp
yp
J x,y
P
P
x
y) или   (1  2 x  2 y) , i x , y 
Напряжения:   (1 
F
Jy
Jx
F
F
iy
ix
xp
yp
Уравнение нейтр. линии: 1  2 x  2 y  0 . Отрезки, отсекаемые нейтр. линией на
iy
ix
i 2y
i 2y
i 2x
i2
осях коорд.: x H   ; y H  
. xP  
; y P   x – коорд-ты контура ядра
xP
yP
xH
yH
Изгиб с кручением. Макс. нормальные и касательные напряжения в опасных точках:
 max
M 2x  M 2y
M кр
R3
M
,  max 
, (для круга: W=
–осевой момент


4
Wр
W
W
R3
сопротивления, Wр=
–полярный момент сопр-ния сечения). Главные
2
напряжения в опасных точках:
1
1
1  (   2  4 2 ) ;  2  0; 1  (   2  4 2 ).
2
2
Проверка прочности: по IV-ой теории прочн.:  эквIV   2  3 2  [];
1 m
1 m
теория Мора:  эквM 

 2  4 2  []; m=[p]/[c].
2
2
1 1 m
1 m
2
 эквM  [
M 2x  M 2y 
M кр
 M 2x  M 2y ]  [];
W 2
2
43
 эквIV 
1
2
0,75M кр
 M 2x  M 2y  [] .
W
1 m
1 m
2
M 2x  M 2y 
M кр
 M 2x  M 2y ] ;
2
2
2
2
2
 M x  M y  0,75M кр  M 2 ;
Приведенный момент: M прM 
2
IV-ая: M прIV  0,75M кр
1
2
2
I-ая: M прI  [ M 2x  M 2y  M кр
 M 2x  M 2y ;
 M 2x  M 2y ]; III-я: M прIII  M кр
2
2
II-ая: M прII  0,35 M 2x  M 2y  0,65 M кр
 M 2x  M 2y , при коэф.Пуасссона =0,3;
 экв 
M пр
 [] , момент сопротивления: W 
M пр
, диаметр вала: d  3
32M пр
.
[]
[]
W
Перемещение, вызванное несколькими силовыми факторами: Р=РP+РQ+РM.
Перемещение вызванное силой Р, будет: Р=РР. Работа внешних сил, дейст-щих на
P
 PP P 2
P
упругую систему: A   Pd   P PP dP 
. A
– работа при статическом
2
2

0
действии обобщенной силы на упругую систему. Работа внутр-них сил (сил
L
L
L
M 2 dx
N 2 dx
Q 2 dx
упругости) в случае плоского изгиба: A   
.
 
 k 
2
EJ
2
EF
2
GF
0
0
0
Потенц. энергия U=A. Теорема о взаимности работ (теорема Бетли). А12=А21,
Р112=Р221.
11– перемещение по направл. силы Р1 от действия силы Р1;
12– перемещение по направл. силы Р1 от действия силы Р2;
21– перемещение по направл. силы Р2 от действия силы Р1;
22– перемещение по направл. силы Р2 от действия силы Р2.
А12=Р112 – работа силы Р1 первого состояния на перемещении по ее направлению,
вызванном силой Р2 второго состояния. Аналогично: А21=Р221 – работа силы Р2
второго состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой Р1 первого
состояния..
Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла) Если Р1=1 и Р2=1, то
Р112=Р221, т.е. 12=21, в общем случае mn=nm. Обобщенное перемещение (формула
или интеграл Мора):
L M x M x dx
L M y M y dx
L M кр M кр dx
i
p
p
p
i
i
 mn   [ 



EJ
EJ
GJ
x
y
k
0
0
0
L
 kx 
0
Для плоской системы:
Qix Q px dx
GF
L
 ky 
0
Qiy Q py dx
GF
L

0
N i N p dx
EF
]
44
L
 mn   [ 
0
M i M p ds
EJ
L

0
N i N p ds
EF
L
 k
0
Qi Q p ds
GF
L
] .  mn   
0
M i M p ds
EJ
.
Вычисл. интегр. Мора способом Верещагина.  M i M p dz    y C .
L
 iP  
  yC
.
EJ
L
(2ac  2bd  ad  bc) .
6
При действии равномерно распределенной нагрузки на шарнирно опертую балку
2hL
эпюра строится в виде выпуклой квадратичной параболы, площадь  
,
3
qL2
2 qL2
qL3
, т.е.  
, хС=L/2. Для "глухой" заделки при равномерно
h
L
3 8
12
8
распределенной нагрузке имеем вогнутую квадратичную параболу, для которой
qL2
hL
U
1 qL2
qL3
; h
, 
, хС=3L/4. Теорема Кастильяно:  P 

L
2
3
P
3 2
6
2
L
M(s)ds M(s)
M dx
11Х1+12Х2+…+1nХn+1p=0
, P  
.
U  
EJ

P
2
EJ
S
0
21Х1+22Х2+…+2nХn+2p=0
Канонические уравнения метода сил:
. . . . . . . . . . . .
n1Х1+n2Х2+…+nnХn+np=0
Перемножение эпюр, имеющих вид трапеций:   y C 
L
1P   
M1M p ds
L
;  2P   
M 2 M p ds
L
; ….;  nP   
M n M p ds
;
EJ
EJ
EJ
0
0
L
L
M1 M1ds
M 2 M 2 ds
M M ds
;  22   
; ….;  nn    n n ;
11   
EJ
EJ
EJ
0
0
0
L
L
L
M M ds
M M ds
M M ds
12    1 2 ; 13    1 3 ; ….;  ik    i k .
EJ
EJ
EJ
0
0
0
 P  y Cp
 y
По способу Верещагина. 1P 
; 11  1 C1 и т.д.
EJ
EJ
My
F
При чистом изгибе кривых брусьев большой кривизны:  
; rН 
–
dF
eF(rн  y)

F
радиус нейтр. слоя Для прямоугольного сеч. высотой h, с наружным радиусом R2 и
J
N
My
h
внутр. R1: rН 
. При h/R<1/2 e  x . При наличии N:   
.
R2
F eF(rн  y)
RF
ln
R1
N
My
Условие прочн-ти:  max  
 [] , y= – h2 или y= h1.
F eF(rн  y)
0
L
45
Продольный изгиб. Устойчивость. Формула Эйлера: Pкр 
 2 EJ min
L2
– для стержня с
 2 EJ min
шарнирно закрепленными концами. При различных закреплениях: Pкр 
,
L2
– коэффициент приведения длины. При шарнирном закреплении обоих концов
стержня =1; для стержня с заделанными концами =0,5; для стержня с одним
заделанным и другим свободным концом =2; для стержня с одним заделанным и
другим шарнирно закрепленным концом =0,7.
Pкр  2 E
L
Критическое сжимающее напр-ние.:  кр 
– гибкость стержня,
 2 , 
i min
F

i min 
J min
– наименьший главный радиус инерции. Формула Эйлера применима
F
при гибкости стержня:    кр 
Условие устойчивости:  
P
Fбрутто
2E
. Для <кр формула Ясинского: кр= a — b,
 пц
 [ у ] ; [у]=кр/nу; [у]=[]. Fбрутто 
P
.
  []
46
абсолютное удлинение
внутренние силовые факторы при изгибе
временное сопротивление
вторая теория прочности
геометрические характеристики плоских сечений
гибкость стержня
гипотеза о не надавливании продольных волокон
гипотеза плоских сечений
главные моменты инерции
главные напряжения
главные напряжения при поперечном изгибе
главные оси инерции
главные площадки
главные радиусы инерции
главные удлинения
главные центральные оси инерции
двутавр
депланация
деформация при объемном напряженном состоянии
диаграмма напряжений для пластичных материалов
диаграмма напряжений для хрупких материалов
дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
дифференциальные зависимости между М, Q и q
дифференциальные зависимости при изгибе
допускаемое напряжение
единичная сила
единичный момент
жесткость при изгибе
жесткость сечения при кручении
жесткость стержня
закон Гука
закон Гука при изгибе
закон Гука при объемном напряжении
закон Гука при сдвиге
закон парности для объемного напряженного состояния
закон парности касательных напряжений
закон плоских сечений
изгиб
изгиб с кручением
инварианты напряженного состояния
интеграл Мора
интенсивность напряжений
1
14
2
8, 15
10
29
15
15
11
3
16
11
3
11
6
11
10
14
6
2
2
17
16
18
2
25
25
15
13
1
1
15
6
9
5
4
13
15
22
7
25
5
47
канонические уравнения метода сил
компоненты деформированного состояния
координаты центра тяжести
косой изгиб
коэффициент приведения длины
коэффициент продольного изгиба
коэффициент Пуассона
коэффициент уменьшения допускаемого напряжения
кривые брусья (стержни)
критическая нагрузка (сила)
круг Мора для объемного напряженного состояния
круг Мора для плоского напряженного состояния
круг Мора при чистом сдвиге
кручение
кручение бруса прямоугольного сечения
кручение круглого бруса (вала)
линейное напряженное состояние
максимальное касательное напряжение
метод Мора – определение перемещений
метод начальных параметров – определение перемещений
метод сил
механические характеристики
модуль объемной деформации
модуль сдвига
модуль упругости
модуль упругости 1-го рода
модуль упругости 2-го рода
модуль Юнга
момент инерции кольца
момент инерции круга
момент инерции относительно параллельных осей
момент инерции полукруга
момент инерции прямоугольника
момент инерции треугольника прямоугольного
момент инерции треугольника равнобедренного
момент инерции четверти круга
момент сопротивления
моментом инерции при кручении
моментом сопротивления при кручении
моменты инерции при повороте осей
моменты инерции сечения
напряжения на наклонной площадке
напряжения по октаэдрической площадке
27
7
10
20
29
30
1
30
27
29
5
4
9
14
14
14
2
4
25
17
27
2
6
9
1
1
9
1
11
11
11
11
11
11
11
11
13
14
14
12
10
3
5
48
нейтральный слой (ось, линия)
неплоский изгиб
неразрезные балки
нормальные напряжения при чистом изгибе
обобщенная сила
обобщенное перемещение
обобщенный закон Гука
объемное напряженное состояние
октаэдрическая площадка
определение перемещений в балках при изгибе
осевой момент инерции сечения
осевой момент сопротивления
основная система
относительная деформация
относительная объемная деформация
относительная поперечная деформация
относительный сдвиг
относительный угол закручивания
первая теория прочности
перемножение эпюр
плоский изгиб
плоское напряженное состояние
площадь
положение главных осей инерции
полярный момент инерции сечения
полярный момент сопротивления
поперечный изгиб
построение эпюр Q
построение эпюр М
потенциальная энергия деформации
потенциальная энергия при кручении
потенциальная энергия при сдвиге
предел прочности
предел текучести
приведенная длина
продольный изгиб
прямой изгиб
радиус инерции
радиус кривизны нейтрального слоя
раскрытие статической неопределимости балки
растяжение
расчет на прочность при изгибе
сдвиг
15, 20
20
18, 19
15
24
24
6
5
5
17
10
13
19
1
6
1
9
13
8, 16
25
15
3
10
12
10
13
15
16
16
6
13
9
2
2
29
29
15
12
15
18
1
16
9
49
сжатие
сложное сопротивление
сложный изгиб
собственный вес
способ Верещагина
способ сравнения перемещений
способ фиктивной нагрузки – определение перемещений
статически неопределимые балки
статически неопределимые системы
статический момент сечения
статический момент элемента площади
степень статической неопределимости балки
степень статической неопределимости системы
тензор деформаций
тензор напряжений
теорема Бетли
теорема Кастильяно
теорема Максвелла
теорема о взаимности перемещений
теорема о взаимности работ
теорема о трех моментах
теории предельных напряженных состояний
теории прочности
теория наибольших касательных напряжений
теория наибольших нормальных напряжений
теория наибольших относительных деформаций
теория прочности Мора
теория прочности Мора
третья теория прочности
угол закручивания
угол сдвига
уголок
удельная потенциальная энергия
удельная потенциальная энергия при сдвиге
удельное перемещение
уравнение изогнутой оси балки
уравнение прогибов.
уравнение совместности перемещений
уравнение трех моментов
уравнение углов поворота
условие жесткости при кручении
условие прочности при кручении
условие прочности при растяжении
1
20
20
1
25
19
18
18
27
10
10
18
27
7
7
24
26
24
24
24
19
8
8
8
8
8
8, 16
8, 16
8, 16
14
9
11
6
9
24
17
17
19
19
17
13
13
1
50
устойчивость сжатых стержней
учет собственного веса
фиктивная балка
фиктивная нагрузка
формула Журавского
формула Мора
формула Навье
формула Эйлера
формула Ясинского
центр тяжести
центробежный момент инерции сечения
четвертая теория прочности
чистый изгиб
чистый сдвиг
швеллер
эллипс инерции
энергетическая теория прочности
ядро сечения
29
1
18
18
15
25
15
29
29
10
10
8, 16
15
9
11
12
8
22
51
Оглавление
Растяжение и сжатие
1
Учет собственного веса стержня
Основные механические характеристики материалов
Линейное напряженное состояние
Напряженное и деформированное состояние
Плоское напряженное состояние
Закон парности касательных напряжений
Круг Мора
Объемное напряженное состояние
Круг Мора для объемного напряженного состояния
Напряжение по октаэдрической площадке
Деформации при объемном напряженном состоянии
Потенциальная энергия деформации
Тензоры напряжений и деформаций
Теории прочности
Чистый сдвиг
Геометрические характеристики плоских сечений
Статический момент
Координаты центра тяжести
Моменты инерции сечения
Моменты инерции сечений простой формы
Главные моменты инерции
Моменты сопротивления
Кручение
Изгиб
Определение перемещений в балках при изгибе
Метод начальных параметров
Определение перемещений способом фиктивной нагрузки
Статически неопределимые балки
Сложное сопротивление
Косой изгиб
Изгиб с растяжением – сжатием (внецентренное сж.-раст.)
Изгиб с кручением
Общие методы определения перемещений
Теорема о взаимности работ и перемещений
Интеграл Мора, способ Верещагина
Статически неопределимые системы
Канонические уравнения метода сил
Расчет плоских кривых брусьев (стержней)
Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб
Формулы
Алфавитный указатель
1
2
2
3
3
4
4
5
5
5
6
6
7
8
9
10
10
10
10
11
12
13
14
15
16
17
18
18
20
20
21
22
24
24
25
27
27
28
29
31
40