установившемся движении идеальной жидкости.

Лекция №6.
Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости
(уравнения Л. Эйлера)
Для более глубокого изучения явлений, возникающих при движении
жидкости, необходимо получить связь в аналитическом виде между
гидродинамическими давлениями и скоростями движения в различных
точках и в разные моменты времени с внешними силами, под действием
которых и совершается движение.
Рассмотрим движение элементарного объема жидкости в виде
параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz, который мысленно выделим в
движущейся жидкости (рис. 1).
Рис. 1
В самом общем случае этот элементарный объем жидкости будет
двигаться с каким-то ускорением, а его центр тяжести будет описывать
какую-то криволинейную траекторию. Но согласно первому закону Ньютона,
если материальная точка (представляемая элементарным объемом) совершает
движение, отличное от прямолинейного и равномерного, то на нее действует
некоторая сила dP, величина которой согласно второму закону Ньютона,
равна произведению массы dm на векторную величину ее ускорения
𝑑𝜈
𝑑𝑡
̅
𝑑𝜈
d𝐹̅ = dm . (1)
𝑑𝑡
Будем полагать в дальнейшем, что рассматривается движение
идеальной жидкости. Силы, действующие на элементарный объем идеальной
жидкости, будут складываться из массовых и поверхностных сил. Если
плотность жидкости 𝜌, то масса ее в элементарном объеме dW = dxdydz будет
равна dm= 𝜌 dW= 𝜌 dxdydz. Пусть на каждую единицу массы жидкости в
элементарном объеме действует массовая сила Ф. Тогда ко всей
элементарной массе будет приложена массовая сила величиной
Фdm=Ф𝜌dxdydz. Обозначим проекцию единичной массовой силы Ф на оси х,
у, z соответственно через X, У, Z.. Тогда проекции массовой силы на те же
оси будут равны:
𝑋𝜌dxdydz; Y𝜌dxdydz и
Z𝜌dxdydz.
Из поверхностных сил при движении идеальной жидкости на
рассматриваемый объем жидкости будут действовать лишь силы
гидродинамического давления, которые будут прикладываться к шести
граням параллелепипеда. Найдем величину сил давления жидкости на грани,
параллельные координатной плоскости zоу. Если гидродинамическое
давление на левой грани будет равно р, то при помощи разложения в ряд
Тейлора, отбрасывая члены высшего порядка малости, получим на правой
грани гидродинамическое давление, равное р +
𝜕𝑝
𝜕𝑥
dx.
Тогда давление жидкости на рассматриваемые грани площадью dydz
будет равно соответственно pdydz и
𝜕𝑝
(𝑝 + 𝜕𝑥 𝑑𝑥)dydz.
Подставим проекции всех действующих на элементарный объем
жидкости сил в уравнение баланса сил. После преобразования и сокращения
получим:
1 𝜕𝑝 𝑑𝜈𝑥
𝑋−
=
; (2)
𝜌 𝜕𝑥
𝑑𝑡
1 𝜕𝑝 𝑑𝜈𝑦
𝑌−
=
; (3)
𝜌 𝜕𝑦
𝑑𝑡
1 𝜕𝑝 𝑑𝜈𝑧
𝑍−
=
. (4)
𝜌 𝜕𝑧
𝑑𝑡
{
Полученные
дифференциальные
уравнения
являются
дифференциальными уравнениями движения идеальной жидкости. Эти
уравнения были получены выдающимся математиком Л.Эйлером в 1755
году.
В случае движения капельной жидкости (𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) в эти уравнения
входят четыре неизвестных: P, νx, νy, νz.
Так как число уравнений менее числа неизвестных функций,
входящих в них, то эта система уравнений является незамкнутой.
Следовательно, обойтись лишь системой трех дифференциальных уравнений
движения для решения гидродинамических задач в общем случае не
представляется возможным. Для замыкания этой системы уравнений
необходимо получить еще одно дополнительное уравнение. Таким уравнением и будет уравнение неразрывности.
Уравнение неразрывности (сплошности) потока
Установим общую зависимость между скоростями в потоке жидкости,
для которого соблюдается условие сплошности, или неразрывности
движения, т. е. не образуется пустот, не заполненных жидкостью.
Выделим внутри потока элементарный параллелепипед объемом dV =
dxdydz, ребра которого ориентированы параллельно осям координат (рис.
*****).
Рис. 2. К выводу дифференциального уравнения неразрывности потока.
Пусть составляющая скорости потока вдоль оси х в точках, лежащих
на левой грани параллелепипеда площадью dS = dydz, равна 𝜔𝑥 Тогда через;
эту грань в параллелепипед войдет вдоль оси х за единицу времени масса
жидкости 𝜌𝜔𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧, а за промежуток времени 𝑑𝜏— масса жидкости
𝑀𝑥 = 𝜌𝜔𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝜏
где 𝜌 — плотность жидкости на левой грани параллелепипеда.
На противоположной (правой) грани параллелепипеда скорость и
плотность жидкости могут отличаться от соответствующих величин на левой
грани и будут равны
(𝜔𝑥 +
𝜕𝜔𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥) и (𝜌 +
𝜕𝜌
𝜕𝑥
𝑑𝑥).
Тогда через правую грань параллелепипеда за то же время выйдет
масса жидкости
𝜕(𝜌𝜔𝑥 )
𝑀𝑥+𝑑𝑥 = [𝜌𝜔𝑥 +
𝑑𝑥] 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝜏
𝜕𝑥
Приращение массы жидкости в параллелепипеде вдоль оси х:
𝑑𝑀𝑥 = 𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑑𝑥 = −
𝜕(𝜌𝜔𝑥 )
𝜕𝑥
dx𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝜏
Если составляющие скорости вдоль осей у и z равны 𝜔𝑦 и 𝜔𝑧
соответственно, то приращения массы в элементарном объеме вдоль этих
осей по аналогии составят:
𝜕(𝜌𝜔𝑦 )
𝑑𝑀𝑦 = −
𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝜏
𝜕𝑦
𝜕(𝜌𝜔𝑧 )
𝑑𝑀𝑧 = −
𝑑𝑧dx𝑑𝑦𝑑𝜏
𝜕𝑧
Общее накопление массы жидкости в параллелепипеде за время равно
сумме ее приращений вдоль всех осей координат:
𝑑𝑀 = − [
𝜕(𝜌𝜔𝑥 )
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜌𝜔𝑦 )
𝜕𝑦
+
𝜕(𝜌𝜔𝑧 )
𝜕𝑧
] dx𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝜏
Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном жидкостью
объеме параллелепипеда возможно только вследствие изменения плотности
жидкости в этом объеме. Поэтому
𝜕𝜌
𝑑𝑀 =
dx𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝜏
𝜕𝜏
Приравнивая оба выражения 𝑑𝑀, сокращая на (—dx𝑑𝑦𝑑𝑧) и перенося
𝜕𝜌
𝜕𝜏
- в левую часть уравнения, окончательно получим
𝜕𝜌
𝜕𝜏
+
𝜕(𝜌𝜔𝑥 )
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜌𝜔𝑦 )
𝜕𝑦
+
𝜕(𝜌𝜔𝑧 )
𝜕𝑧
=0
(5)
Уравнение (5) представляет собой дифференциальное уравнение
неразрывности потока для неустановившегося движения сжимаемой
жидкости.
Уравнение (5) может быть записано и в несколько иной форме.
Проводя дифференцирование произведений 𝜌𝜔 , получим
𝜕𝜔𝑦
𝜕𝜌 𝜕𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝜔𝑥
𝜕𝜔𝑧
+
𝜔𝑥 +
𝜔𝑦 +
𝜔𝑧 +
𝜌+
𝜌+
𝜌=0
𝜕𝜏 𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
или
1
𝜌
где
𝜕𝜌
𝜕𝜏
∙
𝜕𝜌
𝜕𝜏
+
𝜕𝜔𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜔𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜔𝑧
𝜕𝑧
=0
(5а)
— субстанциональная производная плотности.
В установившемся потоке плотность не изменяется во времени, т. е.
𝜕𝜌
𝜕𝜏
= 0, и уравнение (5) принимает вид:
𝜕(𝜌𝜔𝑥 )
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜌𝜔𝑦 )
𝜕𝑦
+
𝜕(𝜌𝜔𝑧 )
𝜕𝑧
=0
(6)
Для капельных жидкостей, которые практически несжимаемы, а также
для газов в условиях изотермического потока при скоростях, значительно
меньших скорости звука, 𝜌 = const и, следовательно
𝜕𝜔𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜔𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜔𝑧
𝜕𝑧
=0
(7)
Уравнение
(7)
является
дифференциальным
уравнением
неразрывности потока несжимаемой жидкости.
Сумма изменений скорости вдоль осей координат в левой части уравнения (7) называется дивергенцией вектора скорости и обозначается через
div 𝜔. Поэтому данное уравнение можно представить как
div 𝜔 = 0
(7а)
Для того чтобы перейти от элементарного объема ко всему объему
жидкости, движущейся сплошным потоком (без разрывов и пустот) по
трубопроводу
переменного
сечения
(рис.***),
проинтегрируем
дифференциальное уравнение (6).
Если бы площадь сечения трубопровода не изменялась, то для
установившегося однонаправленного движения (в направлении оси х)
интегрирование уравнения (6) дало бы зависимость
𝜌𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
где 𝜔— средняя скорость жидкости.
Если же площадь сечения S трубопровода переменна, то, интегрируя
также по площади, получим
𝜌𝜔𝑆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(8)
Для трех различных сечений (1-1, 2-2 и 3-3) трубопровода,
изображенного на рис. 2, имеем
𝜌1 𝜔1 𝑆1 = 𝜌2 𝜔2 𝑆2 = 𝜌3 𝜔3 𝑆3
(8a)
или
𝑀1 = 𝑀2 = 𝑀3
где М = 𝜌𝜔𝑆 — массовый расход жидкости, кг/сек.
Рис. 1. К выводу уравнения постоянства расхода.
Выражение (8) или (8а) представляет собой уравнение неразрывности
(сплошности) потока в его интегральной форме для установившегося
движения. Это уравнение называется также уравнением постоянства расхода,
Согласно уравнению постоянства расхода, при установившемся движении
жидкости, полностью заполняющей трубопровод, через каждое его
поперечное сечение проходит в единицу времени одна и та же масса
жидкости.
Для капельных жидкостей 𝜌1 = 𝜌2 = 𝜌3 = 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 , и уравнение
(8) принимает вид:
𝜔𝑆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(9)
Следовательно
𝜔1 𝑆1 = 𝜔2 𝑆2 = 𝜔3 𝑆3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(9а)
Из уравнения (9а) следует, что скорости капельной жидкости в
различных поперечных сечениях трубопровода обратно пропорциональны
площадям этих сечений.
Согласно уравнению (8), массовый расход жидкости через начальное
сечение трубопровода равен ее расходу через конечное сечение
трубопровода. Таким образом, уравнение постоянства расхода является
частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный
баланс потока.
В некоторых случаях, например при вскипании жидкости вследствие
резкого понижения давления, образуется пар, что может привести к разрыву
потока. В таких условиях, наблюдаемых иногда при работе насосов,
уравнение неразрывности потока не выполняется.
Дифференциальные уравнения движения Навье—Стокса
При движении реальной (вязкой) жидкости в потоке жидкости
помимо сил давления и тяжести действуют также силы трения.
Действие сил трения Т на выделенный в потоке вязкой жидкости
элементарный параллелепипед (рис. 3) проявляется в возникновении на его
поверхности касательных напряжений 𝜏.
Рис. 2. К выводу уравнений Навье-Стокса.
Рассмотрим
первоначально
относительно
простой
случай
одномерного плоского потока капельной жидкости в направлении оси х,
когда проекция скорости 𝜔𝑥 зависит только от расстояния z до
горизонтальной плоскости отсчета.
В этих условиях касательные напряжения возникают лишь на
поверхностях dF верхней и нижней граней элементарного параллелепипеда,
причем dF = dxdy. Если касательное напряжение на нижней грани
параллелепипеда равно 𝜏 , то на верхней оно составляет ( 𝜏 +
Производная
𝜕𝜏
𝜕𝑧
𝜕𝜏
𝜕𝑧
𝑑𝑧) .
выражает изменение касательного напряжения вдоль оси z в
точках, лежащих на нижней грани параллелепипеда, а
𝜕𝜏
𝜕𝑧
𝑑𝑧 представляет
собой изменение этого напряжения вдоль всей длины dz ребра
параллелепипеда.
Указанные на рис. *** стрелками направления сил трения,
приложенных к параллелепипеду на его нижней и верхней гранях,
обусловлены, например, тем, что более медленные вышележащие слои
жидкости затормаживают слой, в котором находится параллелепипед, а более
быстрые нижележащие слои «разгоняют» его.
Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х
𝜕𝜏
𝜏𝑑𝑥𝑑𝑦 − (𝜏 + 𝑑𝑧)dxdy = 𝜕𝑧
𝜕𝜏
𝜕𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Подставив в это выражение значение касательного напряжения 𝜏по [𝜏
=-𝜇
𝜕𝜔𝑥
𝑑𝑧
где 𝜇 — вязкость жидкости], получим
𝜕𝜔𝑥
)
𝜕 2 𝜔𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜇
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑧 2
𝜕(
𝜇
В более общем случае трехмерного потока составляющая скорости 𝜔х
будет изменяться не только в направлении z, но и в направлениях всех трех
осей координат. Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х
примет вид
𝜕 2 𝜔𝑥 𝜕 2 𝜔𝑥 𝜕 2 𝜔𝑥
𝜇( 2 +
+
) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑦 2
𝑑𝑥 2
Сумму вторых производных по осям координат называют оператором
Лапласа:
𝜕 2 𝜔𝑥 𝜕 2 𝜔𝑥 𝜕 2 𝜔𝑥
+
+
= ∇2 𝜔𝑥
2
2
2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
Следовательно, проекция равнодействующей сил трения на ось
x; может быть представлена как
𝜇∇2 𝜔𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Соответственно проекции равнодействующей сил трения:
на ось у
𝜇∇2 𝜔𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
на ось z
𝜇∇2 𝜔𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Проекции на оси координат равнодействующей всех сил (тяжести,
давления и трения), действующих на элементарный объем капельной
жидкости (с учетом проекций сил тяжести и давления, полученных при
выводе уравнений Эйлера), составляют;
на ось х
𝜕𝜌
+ 𝜇∇2 𝜔𝑥 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
(−
𝜕𝑥
на ось у
𝜕𝜌
+ 𝜇∇2 𝜔𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
(−
𝜕𝑦
на ось z
(−𝜌𝑔 −
𝜕𝜌
+ 𝜇∇2 𝜔𝑧 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕𝑧
Суммы проекций сил на оси координат, в соответствии с основным
принципом динамики, должны быть равны произведению массы жидкости
𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (𝜌 — плотность жидкости), заключенной в элементарном объеме,
на проекции ускорения на оси координат. Поэтому, приравнивая проекции
равнодействующей произведениям массы на проекции ускорения, после
сокращения на 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, получим
𝜌
𝜕𝜔𝑥
𝜌
𝜌
𝑑𝜏
𝜕𝜔𝑦
𝜕𝜔𝑧
𝑑𝜏
𝑑𝜏
= −
𝜕𝜌
= −
+ 𝜇∇2 𝜔𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜌
+ 𝜇∇2 𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜌
= −ρg −
𝜕𝑧
(10)
+ 𝜇∇2 𝜔𝑧 }
Уравнения (***) представляют собой уравнения Навье — Стокса,
описывающие движение вязкой капельной жидкости.
При движении сжимаемой жидкости (газа) в ней дополнительно возникают
вызванные трением силы сжатия и растяжения, поэтому уравнения Навье—Стокса
принимают вид:
𝜌
𝜌
𝜌
𝜕𝜔𝑥
𝑑𝜏
𝜕𝜔𝑦
𝑑𝜏
𝜕𝜔𝑧
𝑑𝜏
= −
= −
𝜕𝜌
1 𝜕Θ
+ 𝜇 (∇2 𝜔𝑥 + ∙ )
𝜕𝑥
3 𝜕𝑥
𝜕𝜌
𝜕𝑦
= −ρg −
1 𝜕Θ
+ 𝜇 (∇2 𝜔𝑦 + ∙
3
𝜕𝜌
𝜕𝑧
+ 𝜇 (∇2 𝜔𝑧 + ∙
где частные производные
3
𝜕Θ 𝜕Θ 𝜕Θ
,
,
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
)
𝜕𝑦
1 𝜕Θ
𝜕𝑧
(10a)
)}
выражают изменения скорости по
осям х, у, z, связанные с действием сил сжатия и растяжения, причем
𝜕𝜔𝑥 𝜕𝜔𝑦 𝜕𝜔𝑧
Θ=
+
+
= 𝑑𝑖𝑣 𝜔
𝑑𝜏
𝑑𝜏
𝑑𝜏
Левые части уравнений (10) выражают произведение массы единицы
объема 𝜌 на проекцию ее ускорения, т. е. представляют собой проекции
равнодействующей сил инерции, возникающих в движущейся жидкости.
В правых частях тех же уравнений произведение 𝜌𝑔 отражает влияние
сил тяжести, частные производные
𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌
,
,
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
— влияние изменения
гидростатического давления, а произведения вязкости на сумму вторых
производных проекций скорости — влияние сил трения на движущуюся
жидкость.
Каждый член уравнений (10) имеет размерность соответствующей
силы (тяжести, давления, трения или инерции), отнесенной к единице объема
жидкости.
При движении идеальной жидкости, когда силы трения отсутствуют,
уравнения движения Эйлера можно получить как частный случай уравнений
Навье—Стокса.
Полное описание движения вязкой жидкости в его наиболее общей
форме возможно путем решения уравнений Навье—Стокса совместно с
уравнением неразрывности потока. Однако уравнения Навье—Стокса не
могут быть решены в общем виде. Получены решения этой сложной системы
уравнений только для некоторых частных случаев. Так, для установившегося
ламинарного движения жидкости решение уравнений Навье— Стокса
позволяет вывести уравнение Пуазейля, полученное другим способом. ,
В большинстве же наиболее важных для промышленной практики
случаев применение уравнений Навье—Стокса становится возможным либо
при ряде упрощающих допущений, либо при преобразовании этих уравнений
методами теории подобия.
Лекция № 7.
Уравнение Д. Бернули для элементарной струйки идеальной
жидкости
Выше были получены дифференциальные уравнения движения идеальной
жидкости и уравнение неразрывности движения, образующие замкнутую
систему уравнений. Для решения конкретных инженерных задач необходимо
уметь находить интегралы этих уравнений.
Прежде чем перейти к интегрированию уравнений движения идеальной
жидкости, примем следующие дополнительные условия:
1) из внешних массовых сил действует лишь сила тяжести;
2) гидродинамическое давление является функцией координат и не
зависит от времени;
3) жидкость является несжимаемой (𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡)
Умножим уравнения Д. Эйлера соответственно на dx,, dy и dz.
1 ∂p dVx
|dx
𝑋− ∙
=
ρ ∂x
dt
1 ∂p dVy
|dy
𝑌− ∙
=
ρ ∂y
dt
1 ∂p dVz
|𝑑𝑧
𝑍− ∙
=
ρ ∂z
dt
Проекции ускорения массовой силы (в данном случае силы тяжести)
примут следующие значения при выбранном; направлении осей координат:
X=0; Y=0; Z=-g.
После преобразования получим:
1
𝑉2
−𝑔 ∙ 𝑑𝑧 − ∙ 𝑑𝑝 − 𝑑
=0
𝜌
2
или:
𝑝 𝑉2
𝑑 (𝑔 ∙ 𝑧 + + ) = 0
𝜌 2
Деля на g, получим:
𝑝
𝑉2
𝑑 (𝑧 +
+ )=0
𝜌𝑔 2𝑔
Интегрируя это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах,
придем к следующему результату:
𝑝
𝑉2
𝑧+
+
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝜌𝑔 2𝑔
Это уравнение называется уравнением Д. Бернули, оно справедливо при
установившемся движении идеальной жидкости.
Для двух произвольных сечений элементарной струйки:
𝑝1 𝑉12
𝑝2 𝑉22
𝑧1 +
+
= 𝑧2 +
+
𝜌𝑔 2𝑔
𝜌𝑔 2𝑔
Это и есть уравнение Д. Бернули.
Геометрический и энергетический смысл уравнения
Д. Бернулли
Все члены, входящие в уравнение Д. Бернулли, имеют линейную
размерность, поэтому их принято называть высотами. Соответственно
общеприняты следующие названия для этих членов:
z - геометрическая или геодезическая высота;
𝑝
𝜌𝑔
𝑉2
2𝑔
- пьезометрическая высота или высота давления;
– динамический или скоростной напор;
Легко усмотреть следующий геометрический смысл уравнения Д.
Бернулли, который заключается в том, что при установившемся движении
идеальной жидкости сумма трех высот (геометрической, пьезометрической
и скоростной) не меняется вдоль данной элементарной струйки. Это
положение наглядно иллюстрируется на рис. 1.
Можно трактовать смысл отдельных членов уравнения
Бернулли иначе. Выше было показано, что сумма 𝑧 +
𝑝
𝜌𝑔
+
𝑉2
2𝑔
представляет собой удельную энергию жидкости. В соответствии с этим
можно считать, что:
z - есть удельная энергия положения;
𝑝
𝜌𝑔
𝑉2
2𝑔
- энергия давления;
- есть удельная кинетическая энергия.
Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при
установившемся движении идеальной жидкости сумма удельных энергий
положения, давления и кинетической не меняется вдоль данной
элементарной струйки.
Рис. 1
Полная удельная энергия (т. е. потенциальная + кинетическая) 𝑧 +
𝑝
𝜌𝑔
+
𝑉2
2𝑔
называется гидродинамическим напором и обозначается 𝐻𝑑 . Таким образом,
уравнение Бернулли показывает, что при установившемся
движении
идеальной жидкости для данной струйки гидродинамический напор есть
величина постоянная. На графике линия гидродинамического напора
изображается горизонтальной линией.
Уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки реальной
жидкости. Пьезометрический и гидравлический уклоны.
При движении реальной жидкости между соседними струйками возникают
силы трения, на преодоление которых затрачивается часть энергии жидкости.
Поэтому удельная энергия жидкости в сечении элементарной струйки 2—2
будет менее удельной энергии жидкости в сечении 1—1 на некоторую
величину ℎ𝜔 , которую называют потерянной высотой или потерянной
удельной энергией, затрачиваемой на преодоление гидравлических
сопротивлений. Аналитически это положение запишется таким образом:
𝑝1 𝑉12
𝑝2 𝑉22
𝑧1 +
+
= 𝑧2 +
+
+ ℎ𝜔
𝜌𝑔 2𝑔
𝜌𝑔 2𝑔
(1)
Следовательно, при установившемся движении реальной жидкости сумма
четырех высот (геометрической, пьезометрической, скоростной и
потерянной) или, что то же самое, сумма четырех удельных энергий
(положения, давления, кинетической и потерянной) не изменяется вдоль
данной элементарной струйки.
Легко изобразить уравнение Бернулли для рассматриваемого случая
графически. Для этого следует, выбрав произвольную горизонтальную
плоскость сравнения, отложить на ней в каждом сечении высоты 𝑧;
𝑝
;
𝑉2
𝜌𝑔 2𝑔
;и
ℎ𝜔 . Концы отрезков z, соединенные плавной кривой, покажут положение оси
𝑝
струйки. Соединяя концы отрезков
плавной кривой, получим так
𝜌𝑔
называемую пьезометрическую линию. Отложив в каждом сечении вверх от
пьезометрической линии отрезки, равные скоростным напорам
𝑉2
2𝑔
, и
соединив их концы плавной кривой, получим линию гидродинамического
напора или, как ее часто называют, гидравлическую линию (рис. 2). Отрезки,
равные расстояниям по вертикали от гидравлической линии до
горизонтальной плоскости, проходящей над плоскостью сравнения на
высоте, равной начальной удельной энергии, представляют собой потери
энергии на гидравлические сопротивления на участке от начального до
рассматриваемого сечения.
Рис. 2
Падение гидравлической линии на единицу длины элементарной струйки
назовем гидравлическим уклоном I:
𝑑
𝑝
𝑉2
𝑑ℎ𝜔
𝐼 = − (𝑧 +
+ )=
𝑑𝑠
𝜌𝑔 2𝑔
𝑑𝑠
(2)
Гидравлический уклон (рис.3) есть всегда величина положительная, так как
полная удельная энергия движущейся части жидкости постепенно уменьшается по мере ее продвижения вдоль элементарной струйки, затрачиваясь
на преодоление сил трения, превращаясь в тепловую энергию и рассеиваясь.
Рис. 3
Понятие о плавно изменяющемся (медленно изменяющемся) движении
жидкости
В общем случае при установившемся движении поток жидкости можно
представить совокупностью элементарных струек, имеющих различные
значения углов их расхождения 𝜃 и различные радиусы кривизны. Частный
случай движения потока, при котором он испытывает слабую деформацию,
так что элементарные струйки остаются параллельными или почти
параллельными друг другу (𝜃 ≈ 0), а радиусы их кривизны принимают весьма
большие значения (𝑟 → ∞ ), называется плавно изменяющимся или медленно
изменяющимся движением.
В плоскости живого сечения потока при плавно изменяющемся
движении гидродинамические давления распределяются по законам
гидростатики, а это значит, что в данном живом сечении удельная
потенциальная энергия любой частицы есть величина постоянная:
𝑧+
𝑝
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝜌𝑔
(3)
Уравнение Д. Бернули для потока реальной жидкости.
Условия применимости уравнения Д. Бернули.
Распространим уравнение Бернулли на установившийся поток реальной
жидкости. Для этого выберем на слабо деформированном участке потока
живое
сечение,
вблизи
которого
движение
можно
считать
плавноизменяющимся.
Через это сечение каждой элементарной струйкой за время dt вносится
энергия, которая в соответствии с вышеизложенным оказывается равной:
𝜌 ∙ 𝑉12 ∙ 𝑑𝑄 ∙ 𝑑𝑡
𝑑𝐸1 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧1 ∙ 𝑑𝑄 ∙ 𝑑𝑡 + 𝜌1 ∙ 𝑑𝑄 ∙ 𝑑𝑡 +
2
Вынося за скобки вес жидкости, прошедшей через поперечное сечение
элементарной струйки за ;время dt, равный 𝜌𝑔 ∙ 𝑑𝑄 ∙ 𝑑𝑡 , перепишем это
выражение в следующем виде:
𝑝1 𝑉12
𝑑𝐸1 = 𝜌𝑔 ∙ 𝑑𝑄 ∙ 𝑑𝑡 (𝑧1 +
+ )
𝜌𝑔 2𝑔
Рис. 4
Найдем полную энергию, проносимую потоком жидкости через живое
сечение 1-1. Для этого
необходимо, очевидно, просуммировать
полученное выражение по всем струйкам данного живого сечения. Тогда
получим:
𝑝1
𝐸1 = ∫𝜔 𝜌𝑔 ∙ 𝑑𝑄 ∙ 𝑑𝑡 ∙ (𝑧1 +
𝜌𝑔
+ ∫𝜔
(4)
1
1
2
𝑉1
2𝑔
∙ 𝜌𝑔 ∙ 𝑑𝑄 ∙ 𝑑𝑡
+
𝑉12
𝑝
) = ∫𝜔 (𝑧1 + 𝜌𝑔1 ) ∙ 𝜌𝑔 ∙ 𝑑𝑄 ∙ 𝑑𝑡 +
2𝑔
1
Таким образом, полная энергия 𝐸1 оказывается равной сумме двух
интегралов, представляющих собой соответственно потенциальную и
кинетическую энергию потока.
Запишем второй интеграл в следующем виде:
𝑉12
𝜌 ∙ 𝑑𝑄 ∙ 𝑉12
𝑑𝑚 ∙ 𝑉12
𝑑𝑚 ∙ 𝑉12
∫
∙ 𝜌𝑔 ∙ 𝑑𝑄 ∙ 𝑑𝑡 = ∫
∙ 𝑑𝑡 = ∫
= ∫
2𝑔
2
2
2
𝜔1
𝜔1
𝜔1
𝜔1
Этот интеграл представляет собой, как уже указывалось, кинетическую
энергию, проносимую потоком через сечение 1-1 за время dt. Для его
вычисления необходимо знать, каким образом распределяются скорости
движения частиц жидкости по живому сечению. Если вычислить
кинетическую энергию потока в предположении о постоянстве этих
скоростей (другими словами, по средней скорости потока в данном живом,
сечении 𝑉1 ), то получим:
𝑑𝑚 ∙ 𝑉12 𝑑𝑡 ∙ 𝑉12
𝑀 ∙ 𝑉12
𝑑𝑡 ∙ ∫
=
∙ ∫ 𝑑𝑚 =
∙ 𝑑𝑡
2
2
2
𝜔1
𝜔1
Это выражение по величине всегда меньше, чем действительная
кинетическая энергия, вычисленная по действительным скоростям.
Обозначим отношение этих двух величин 𝛼:
𝑑𝑚 ∙ 𝑉12
𝑑𝑚 ∙ 𝑉12
∫
𝜔1
2
2
1
=
= 𝛼1
2
𝑀 ∙ 𝑉1
𝑀 ∙ 𝑉12
∙ 𝑑𝑡
2
2
𝑑𝑡 ∙ ∫𝜔
(5)
Так как на участке потока между сечениями 1-1 и 2-2 часть энергии
потока затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений и
необратимо превращается в тепловую энергию, 𝑒1 ≠ 𝑒2 . Очевидно также, что
𝑒1 < 𝑒2 . Разница между этими удельными энергиями выразит потери
удельной энергии потока на рассматриваемом участке движения:
𝑒1 − 𝑒2 = ℎ𝜔 ,
Тогда:
𝑒1 = 𝑒2 + ℎ𝜔 ,
После интегрирования и подстановки получим:
𝑝1 𝛼1 ∙ 𝑉12
𝑝2 𝛼2 ∙ 𝑉22
𝑧1 +
+
=𝑧+
+
+ ℎ𝜔
𝜌𝑔
2𝑔
𝜌𝑔
2𝑔
(6)
Коэффициент 𝛼 называется коэффициентом кинетической энергии
потока и представляет собой отношение действительной кинетической
энергии потока к кинетической энергии, вычисленной в предположении, что
скорости во всех точках живого сечения равны средней скорости потока.
Очевидно, что этот коэффициент всегда больше единицы.
Полученное уравнение и есть уравнение
установившегося потока реальной жидкости.
Д.
Бернули
для
Лекция №8.
Гидравлические сопротивления.
Классификация гидравлических сопротивлений и потерь напора.
При движении реальной жидкости часть энергии потока затрачивается
на преодоление гидравлических сопротивлений, которые подразделяются на
два вида:
1) сопротивления по длине потока;
2) местные сопротивления.
Сопротивлениями по длине потока называются такие сопротивления,
которые обусловливаются силами трения и зависят от длины потока.
Местными
называются
такие
сопротивления,
которые
обусловливаются изменением направления или величины скорости в
различных сечениях потока. Эти сопротивления вызываются кранами,
задвижками, вентилями на трубах, внезапным расширением или сужением
потока и т. д.
Часть энергии потока, которая затрачивается на преодоление
гидравлических сопротивлений, называется потерями напора или потерями
энергии.
Потери напора также подразделяются на два вида:
1) потери напора по длине потока, которые вызываются
гидравлическими сопротивлениями по длине потока (hf);
2) местные потери напора, которые вызываются местными
гидравлическими сопротивлениями (hi). Общие потери напора:
hω = ∑ ℎ𝑓 + ∑ ℎ𝑖 . (1)
Потери напора существенно зависят от режима движения жидкости.
Ламинарный и турбулентный режимы движения жидкости.
Различают два режима движения жидкости: ламинарный и
турбулентный.
При ламинарном режиме движения частицы жидкости движутся
отдельными не смешивающимися друг с другом струйками. Примерами
ламинарного движения являются: движение грунтовых вод, движение по
трубопроводам жидкостей, обладающих большой вязкостью (мазут, нефть и
т. д.), движение крови в кровеносных сосудах.
При турбулентном
режиме движения отдельные струйки
перемешиваются
между собой. Турбулентное движение наблюдается в
природе значительно чаще, чем ламинарное. Примером турбулентного
движения является движение воды в реках, каналах, водопроводных трубах и
т.д.
Слово «ламинарный» произошло от латинского слова lamina —
пластинка, полоска, слой; слово «турбулентный» произошло от латинского
слова turbulentus – беспорядочный.
На существование в природе двух режимов движения жидкости
впервые указал выдающийся русский ученый профессор Д. И. Менделеев в
1880 г. в работе «О сопротивлении жидкости и воздухоплавании».
Экспериментальное изучение режимов движения было проведено
английским ученым О. Рейнольдсом в 1883 г.
Опыт начинается с пропуска по трубе Д жидкости с малыми
скоростями. Одновременно подается краска из бачка С. При этом получается
следующая картина (рис. 1б): подкрашенная струйка имеет вид прямой
горизонтальной лини, а остальная масса движущейся жидкости остается
неокрашенной. Следовательно, в этом случае частицы подкрашенное струйки
не перемешиваются с остальной жидкостью, и режим движения жидкости в
трубе Д ламинарный.
При постепенном увеличении скорости в трубе Д наступает такой
момент, когда подкрашенная струйка исчезает и вся движущаяся жидкость
делается равномерно окрашенной. Это свидетельствует о том, что частицы
жидкости в потоке перемешиваются, т. е. в трубе Д имеет место
турбулентный режим (рис. 1в).
Рис. 1
Скорость, при которой один режим движения переходит В другой,
называется критической. Различают две критические скорости: верхнюю
критическую скорость Vвк, при которой ламинарный режим движения
переходит в турбулентный, и нижнюю критическую скорость Vнк — при
обратном переходе.
На основании экспериментального изучения режимов движения
О.Рейнольдc дал критерий для установления того или иного режима
движения.
Критерием для определения режима движения жидкости является так
называемое число Рейнольдса, которое обозначается через Re и находится по
формуле:
𝑅𝑒 =
𝑉𝑙
𝜈
,(2)
где V – средняя скорость движения потока;
l – характерный геометрический размер живого сечения потока;
𝜈 – кинематический коэффициент вязкости.
Число Рейнольдса, соответствующее верхней критической скорости,
называется верхним критическим числом Рейнольдса и обозначается Reвк,
при этом числе Рейнольдса ламинарный режим переходит в турбулентный.
Число Рейнольдса, соответствующее нижней критической скорости,
называется нижним критическим числом Рейнольдса и обозначается Reнк;
при этом числе Рейнольдса турбулентный режим переходит в ламинарный.
Для напорного движения в трубопроводах опытами установлены
следующие численные значения критического числа Рейнольдса:
Red(нк) = 2000÷2320;
Red(вк) = 10000÷13000.
Лекция №9.
Ламинарный режим движения жидкости в трубах.
Распределение скоростей по живому сечению.
Рассмотрим равномерное ламинарное движение жидкости в
горизонтальном напорном трубопроводе с радиусом r0 и диаметром d (рис.
1).
Рис. 1
Выделим двумя сечениями 1-1 и 2-2 отсек жидкости длиной l. В этом
отсеке около оси трубы выделим цилиндрик жидкости с радиусом r и
применим к нему основное уравнение равномерного движения:
𝜏=
1 𝑝1 −𝑝2
2
𝑙
𝑟.
В соответствии с законом внутреннего трения Ньютона:
𝜏 = −𝜇
𝑑𝜈
𝑑𝑟
.
Приравняв правые части двух последних равенств и разделив
переменные, после интегрирования получим:
ν=
𝑝1 −𝑝2
4𝜇𝑙
(𝑟02 − 𝑟 2 ). (1)
По этой формуле можно определить скорость в любой точке живого
сечения потока при ламинарном движении жидкости в круглой трубе.
Из формулы (1) видно, что при ламинарном движении жидкости в
круглой трубе распределение скоростей по живому сечению потока
происходит по параболическому закону.
При r=0 ν = νmax=
𝑝1 −𝑝2
4𝜇𝑙
𝑟02 (на оси трубы).
При r=r0 ν=0 (у стенок трубы).
Эпюра скоростей показана на рис.1.
Распределение напряжения силы трения по живому сечению.
Напряжение силы трения:
𝜏=
1 𝑝1 −𝑝2
2
𝑙
𝑟.
При r=0 𝜏 = 0 (на оси трубы).
При r=r0 𝜏 = 𝜏max = 𝜏0 =
1 𝑝1 −𝑝2
2
𝑙
𝑟0 (на стенках трубы).
Разделим одно выражение на другое:
𝜏
𝑟
= ,
𝜏0
𝑟0
откуда
𝑟
𝜏 = 𝜏0 .
𝑟0
Из этого выражения видно, что при ламинарном движении жидкости в
круглой трубе распределение напряжения силы трения по живому сечению
потока происходит по линейному закону.
Эпюра 𝜏 показана на рис.2.
Определение расхода и средней скорости.
Выделим на расстоянии r от оси трубопровода кольцевой слой
жидкости толщиной dr (рис.1). Вследствие незначительной толщины этого
слоя можно считать, что все его частицы движутся с одинаковой скоростью:
𝑝 −𝑝
ν = 1 2 (𝑟02 − 𝑟 2 ).
4𝜇𝑙
Площадь поперечного сечения слоя dω = 2𝜋rdr.
Количество жидкости, проходящее через данный слой в единицу
времени, т.е. элементарный расход:
𝑝 −𝑝
dQ = dω ν = 2𝜋rdr 1 2 (𝑟02 − 𝑟 2 ).
4𝜇𝑙
Полный расход:
𝑟
Q =∫0 0 2𝜋𝑟𝑑𝑟
𝑝1 −𝑝2
4𝜇𝑙
(𝑟02 − 𝑟 2 ) .
Интегрируя это выражение, окончательно получаем:
Q=
Средняя скорость:
𝜋(𝑝1 −𝑝2)
8𝜇𝑙
𝑟04 =
𝜋(𝑝1 −𝑝2)
128𝜇𝑙
𝑑 4.
𝑄
V= ;
𝜔
ω = 𝜋𝑟02 .
Окончательно получаем:
V=
𝑝1 −𝑝2
8𝜇𝑙
𝑟02 =
(𝑝1 −𝑝2)
32𝜇𝑙
1
Из сравнения V с νmax видно, что V =
2
𝑑 2.
νmax, т.е. при ламинарном
движении жидкости в круглой трубе средняя скорость равна половине
максимальной.
Определение потерь напора на гидравлические сопротивления по
длине.
Из формулы Пуазейля можно получить следующее выражение для
потерь напора:
hпот =
32𝜇𝑙
𝜌𝑔𝑑 2
V.
Обозначим через
𝜆=
64
𝑅𝑒𝑑
.
Тогда
hпот = 𝜆
𝑙 𝑉2
𝑑 2𝑔
,
где 𝜆 −коэффициент гидравлического трения.
Лекция № 10.
Турбулентный режим движения жидкости в трубах
I. М е х а н и з м и с т р у к т у р а т у р б у л е н т н о г о п о т о к а
На рис. 1, а показан продольный разрез трубопровода, в котором
жидкость движется турбулентно.
Экспериментальными
исследованиями
установлено,
что
при
турбулентном режиме движения около стенок имеется тонкий ламинарный
слой, толщина которого измеряется долями миллиметра. За ламинарным
слоем, как показали исследования Г. А. Гуржиенко, располагается очень
тонкий переходный слой, являющийся переходной зоной от ламинарного
движения к турбулентному. Оба слоя вместе - ламинарный и переходный составляют так называемый пограничный слой. За переходным слоем
располагается ядро течения, в котором движение жидкости является уже
турбулентным. Такова структура турбулентного потока.
Рис. 1
Возьмем в пределах ядра течения некоторую точку A и будем измерять
скорость в ней в различные моменты времени. При этом будем получать
переменный вектор скорости как по величине, так и по направлению (рис. 1,
б), что объясняется беспорядочностью движения частиц жидкости. Колебание во времени величины и направления скорости в любой точке живого
сечения потока называется пульсацией скорости, а пульсирующий вектор
скорости называется мгновенной местной скоростью.
Исследования М. А. Великанова показали, что мгновенные местные
скорости изменяются, колеблясь около некоторой постоянной величины,
называемой осредненной местной скоростью.
Осредненная местная скорость равна:
𝑇
𝑉оср
0
∫0 𝑉𝑥 𝑑𝑡
=
𝑇0
Рис. 2
(1)
Осредненные местные скорости, вычисленные за достаточно
продолжительный промежуток времени, являются почти постоянными и
направленными параллельно оси потока. Следовательно, учет осредненных
местных скоростей позволяет свести турбулентное движение к движению
фиктивно-параллельному, к которому уже можно применять уравнение
Бернулли.
Не следует смешивать понятий «средняя скорость потока» и
«осредненная местная скорость»: средняя скорость потока, равная
отношению расхода к площади живого сечения, постоянна во времени;
осредненная же местная скорость в данной точке - это средняя скорость
течения за определенный промежуток времени.
II. Т о л щ и н а л а м и н а р н о г о слоя и с к о р о с т ь к а с а т е л ь н о г о
напряжения
При турбулентном движении около стенок имеется тонкий ламинарный
слой. В пределах этого слоя скорость движения жидкости изменяется от
нуля у стенки (вследствие прилипания частиц жидкости) до некоторого
значения 𝑉сл на другой границе ламинарного слоя.
Напряжение сил трения на стенке:
𝜏0 = 𝜇
𝑑𝑉
𝑑𝑛
Так как ламинарный слой имеет весьма незначительную толщину, то
можно
считать в пределах этого слоя градиент скорости постоянным,
средним для всей его толщины и равным:
𝑑𝑉 𝑉сл
=
,
𝑑𝑛 𝛿сл
где 𝛿сл - толщина ламинарного слоя.
Решая это уравнение, после ряда преобразований окончательно
получаем:
𝛿сл = 30
𝑑
𝑅𝑒√𝜆
(2)
Из этого выражения видно, что толщина ламинарного слоя обратно
пропорциональна
числу
Рейнольдса.
При
увеличении
числа Рейнольдса толщина ламинарного слоя уменьшается.
III. Н а п р я ж е н и е
потоке
сил
трения в
турбулентном
В турбулентном потоке, кроме продольного поступательного движения
частиц жидкости, имеет место еще поперечное их перемещение, т. е.
перемешивание, связанное с проникновением частиц жидкости из одного,
условно рассматриваемого слоя, в другой. Поэтому при турбулентном
движении жидкости полное напряжение сил трения
𝜏 = 𝜏1 + 𝜏2 ,
Где 𝜏1 - основное вязкостное напряжение, которое действует между
отдельными слоями жидкости и находится по формуле Ньютона,
𝜏2 - дополнительное напряжение,
перемешивания частиц жидкости.
возникающее
вследствие
Из теоретических работ Прандтля и Кармана следует:
𝑑𝑉 2
𝜏2 = 𝜌𝑙 ( )
𝑑𝑛
2
(3)
Величину l Прандтль назвал длиной пути перемешивания и принял
ее пропорциональной расстоянию п данной точки от стенки трубы, то
есть:
l=K∙n ,
где К - коэффициент, постоянный для разных жидкостей и названный
Карманом универсальной постоянной. По Карману, К=0,36÷0,435.
Окончательно получаем:
𝑑𝑉
𝑑𝑉 2
2
𝜏 = ±𝜇
+ 𝜌𝑙 ( )
𝑑𝑛
𝑑𝑛
𝑇
𝑑𝑉
= ±𝜇
𝐹
𝑑𝑛
(4)
(5)
Влияние каждого из членов, входящих в это выражение, в различных
потоках и в разных точках живого сечения сказывается по-разному, а
именно:
1) Около стенок, т. е. в зоне ламинарного слоя, сказывается влияние
только первого члена; в области ядра течения основную роль играет второй
член.
2) При ламинарном режиме вследствие отсутствия перемешивания
жидкости величина l = 0 и формула (4) превращается в формулу (5). В этом
случае 𝜏 пропорционально градиенту скорости, а следовательно, и средней
скорости потока.
3) При турбулентном режиме с резко выраженным перемешиванием
жидкости второй член в формуле (4) настолько превышает первый, что
первым членом можно пренебречь (за исключением зоны ламинарного слоя).
При этом формула (4) превращается в формулу (3). В данном случае т
пропорционально квадрату средней скорости, то есть имеет место
квадратичная зона сопротивления.
4) В том случае, когда вязкостные напряжения соизмеримы с
дополнительными напряжениями, обусловленными перемешиванием частиц
жидкости, общее напряжение 𝜏 пропорционально средней скорости в
степени несколько меньше второй. В этом случае имеет место
доквадратичная зона сопротивления.
IV. Р а с п р е д е л е н и е с к о р о с т е й по ж и в о м у с е ч е н и ю
потока
Для установления закона распределения скоростей по живому сечению
потока при турбулентном режиме движения в круглой трубе воспользуемся
уравнением (3). Подставим в него значение l = K ∙ n, разделим переменные и
проинтегрируем:
𝑑𝑉 2
𝜏2
𝑑𝑉
𝜏2 = 𝜌𝐾 𝑛 ( ) ; √ = 𝐾 ∙ 𝑛 ∙
𝑑𝑣
𝜌
𝑑𝑛
2 2
Рис. 3
Окончательно получим:
𝑉 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 −
𝑉∗ 𝑟0
ln
𝐾 𝑛
(6)
Из полученного уравнения видно, что при турбулентном режиме
движения жидкости в круглой трубе распределение осредненных местных
скоростей по живому сечению потока происходит по логарифмическому
закону. Эпюра скоростей показана на рис. 3. В пределах ламинарного слоя
происходит весьма быстрое нарастание скоростей, а в области ядра течения
благодаря
влиянию перемешивания скорости более или менее
выравниваются.