Распределение времени в модели экономического роста с

Распределение времени в модели экономического роста с учетом
накопления человеческого капитала
О.В. Мичасова
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
В моделях экономического роста с учетом человеческого капитала традиционно
рассматривается только та часть активного времени экономических агентов, которая
тратится либо на производственную деятельность, либо на увеличение количества
человеческого
капитала
(обучение,
повышение
квалификации
и
т.д.).
Причем
рассматривается задача максимизации домохозяйствами дисконтированной функции
полезности, которая зависит только уровня потребления. Однако возникает некоторое
противоречие со стандартным представлением рынка труда в макроэкономике, когда
экономические агенты сопоставляют полезность потребления с полезностью свободного
времени [1]. Отсутствие переменной досуга в функции полезности представляет
значительное упрощение, которое, с одной стороны, позволяет получить некоторые
аналитические результаты. С другой стороны, если потребление – единственный аргумент
функции полезности, то рост благосостояния обеспечивается увеличением дохода или
увеличением темпов экономического роста. Однако на практике такая зависимость не всегда
является очевидной, поскольку увеличение потребления не всегда приводит к росту
благосостояния. Поэтому учет в модели фактора времени, затрачиваемого экономическом
агентом на досуг, позволил бы уточнить результаты моделирования и сделать их более
адекватными с точки зрения поведения экономических агентов.
В работе анализируется расширенная модель Лукаса с учетом человеческого
капитала,
экстерналий
и
фактора
свободного
времени.
Производственный
сектор
описывается уравнением вида:
𝑑𝐾(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝐴(𝑡)𝐾(𝑡)𝛽 [𝑢1 (𝑡)ℎ(𝑡)𝑁(𝑡)]1−𝛽 ℎ𝑎 (𝑡)𝛾 − 𝜇𝐾 𝐾(𝑡) − 𝑐(𝑡)𝑁(𝑡),
(1)
где 𝐾(𝑡) - это физический капитал, 𝐴(𝑡) – функция, описывающая экзогенный
технологический прогресс (𝐴(𝑡) = 𝐴0 𝑒 𝛼𝑡 , 𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡), 𝛽 - доля физического капитала, 𝑢1 (𝑡) –
доля
времени,
которую
репрезентативный
экономический
агент
посвящает
производственной деятельности, ℎ(𝑡) – человеческий капитал одного работника, 𝑁(𝑡) численность рабочей силы (𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝑛𝑡 , 𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡), 𝑢1 (𝑡)ℎ(𝑡)𝑁(𝑡) – эффективная рабочая
сила («внутренний эффект» человеческого капитала), ℎ𝑎 (𝑡) – «внешний эффект»
человеческого капитала (экстерналии), 𝛾 - положительный параметр, 𝜇𝐾 - норма амортизации
физического капитала, 𝑐(𝑡) - удельное потребление.
Дифференциальное уравнение, описывающее образовательный сектор (сектор, в
котором «создается» человеческий капитал), имеет более сложную структуру, чем в
классической модели Лукаса [5] и модели Псарианоса, учитывающей фактор свободного
времени [6]. Следует отметить, что рассматриваемая в работе производственная функция
человеческого капитала является нелинейной (линейность – это одна из основных причин
критики модели Лукаса), а также учитывает амортизацию человеческого капитала и внешний
эффект человеческого капитала (см., например, [3]).
𝑑ℎ(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝛿𝑢2 (𝑡)𝑝 ℎ(𝑡)𝑠 ℎ𝑎 (𝑡)𝑟 − 𝜇ℎ ℎ(𝑡)
(2)
Здесь 𝛿 - положительный технологический параметр, 𝑝, 𝑠 и 𝑟 – неотрицательные параметры
(эластичности), причем 𝑠 + 𝑟 = 1, 𝜇ℎ - норма амортизации.
Очевидно, что если обозначить долю времени, которую индивид посвящает досугу,
как 𝑙(𝑡), то должно выполняться условие:
𝑢1 (𝑡) + 𝑢2 (𝑡) + 𝑙(𝑡) = 1
(3)
Индивиды стремятся максимизировать свою функцию полезности, выбирая уровень
потребления 𝑐(𝑡) и долю свободного времени 𝑙(𝑡). Вид функции полезности обусловлен
некоторыми замечаниями. Так как в стационарном состоянии все переменные должны расти
с постоянным темпом, а доля свободного времени ограничена условием (3), поэтому темп
роста переменной 𝑙(𝑡) на траектории сбалансированного роста должен быть равен 0. Чтобы
функция
полезности
в
долгосрочном
временном
промежутке
соответствовала
предположению о непрерывном увеличении производительности труда и капитала,
предпочтения должны удовлетворять двум ограничениям: (a) эластичность межвременного
замещения для потребления должна быть постоянной и не зависеть от уровня потребления; и
(b) эффект замещения и доход, связанные с устойчивым ростом производительности труда
должны в точности компенсировать друг друга, чтобы предложение труда оставалось
постоянным, поэтому функция полезности имеет вид:
𝑈(𝑐(𝑡), 𝑙(𝑡)) =
𝑐(𝑡)1−𝜎
1−𝜎
𝜎
𝑓(𝑙) =
𝑐(𝑡)1−𝜎 𝑙(𝑡)𝜑(1−𝜎)
1−𝜎
,
𝜎
0 < 𝜎 < 1, 𝜑 < 1−𝜎 или 𝜎 > 1, 𝜑 > 1−𝜎,
где 𝜎 - величина, обратная эластичности межвременного замещения, и ограничение на
параметр 𝜑 подразумевает, что функция 𝑈(𝑐(𝑡), 𝑙(𝑡)) является вогнутой.
Оптимизационная задача, связанная с моделью экономического роста с учетом
фактора свободного времени, состоит в выборе таких управляющих параметров 𝑐(𝑡) ∈ ℝ+ ≡
[0, ∞), 𝑢1 (𝑡) ∈ [0,1] и 𝑙(𝑡) ∈ [0,1], которые бы максимизировали величину полной
дисконтированной полезности:
∞
𝐽 = 𝐽[𝑐, 𝑢1 , 𝑙] ≡ ∫0 𝑒 −𝜌𝑡 𝑁(𝑡)
𝑐(𝑡)1−𝜎 𝑙(𝑡)𝜑(1−𝜎)
1−𝜎
𝑑𝑡 → max
(4)
на допустимых траекториях {𝐾(𝑡), ℎ(𝑡)}, 𝑡 ∈ [0, ∞) динамической системы (1), (2) с учетом
(3) при соблюдении условия
ℎ(𝑡) = ℎ𝑎 (𝑡), ∀𝑡 ∈ [0, ∞)
(5)
Условие (5) имеет две трактовки, традиционные для неоклассических моделей
экономического роста: задача социального планировщика и задача о конкурентном
равновесии.
Для
каждого
из
этих
случаев
рассматривались
соответствующие
оптимизационные задачи, которые после были обобщены. Методика исследования моделей
подобного рода подробно изложена в [2]. Численно-аналитическое исследование модели
было выполнено с помощью пакета MatLab для значений параметров характерных для
развитых экономик (см., например, [4]).
Литература:
1.
Барро Р.Дж., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост. – М.: Бином. Лаборатория
знаний, 2010.
2.
Кузнецов Ю.А. Оптимальное управление экономическими системами. – Нижний
Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2008.
3.
Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом
накопления человеческого капитала // Вестник Санкт-Петербурского университета. Сер. 10.
2012. Вып. 4. С. 46-57.
4.
Gong G., Greiner A., Semmler W. The Uzawa-Lucas model without scale effects: theory and
empirical evidence // Structural change and economic dynamics. 2004. Vol. 15. No. 4. Pp. 401–420.
5.
Lucas R.E., Jr. On the mechanics of economic development // Journal of Monetary Economics.
1988. Vol. 22. No. 1. Pp. 3-42.
6.
Psarianos I.N. A note on work–leisure choice, human capital accumulation, and endogenous
growth // Research in Economics. 2007. Vol. 61. Pp. 208–217.