Криволинейные интегралы

Вычисление криволинейных интегралов
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (I рода), надо привести его к определенному интегралу:
1) в подынтегральную функцию вместо переменных x,y,z подставить их выражения из параметрических уравнений линии
интегрирования;
2) заменить элемент дуги dl корнем квадратным из суммы квадратов производных x,y,z по t, умноженным на dt;
3) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t.
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по координатам (II рода), надо привести его к определенному интегралу:
1) в подынтегральном выражении вместо переменных x,y,z и дифференциалов dx, dy dz подставить их выражения из параметрических
уравнений линии интегрирования;
2) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t от точки А до точки В.
Формула Грина
 
Q P
C   (, dr )   (

)dxdy
x
y

D
Вычисление криволинейных интегралов
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (I рода), надо привести его к определенному интегралу:
1) в подынтегральную функцию вместо переменных x,y,z подставить их выражения из параметрических уравнений линии
интегрирования;
2) заменить элемент дуги dl корнем квадратным из суммы квадратов производных x,y,z по t, умноженным на dt;
3) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t.
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по координатам (II рода), надо привести его к определенному интегралу:
1) в подынтегральном выражении вместо переменных x,y,z и дифференциалов dx, dy dz подставить их выражения из
параметрических уравнений линии интегрирования;
2) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t от точки А до точки В.
Формула Грина
 
Q P
C   (, dr )   (

)dxdy
x
y

D
Вычисление криволинейных интегралов
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (I рода), надо привести его к определенному интегралу:
1) в подынтегральную функцию вместо переменных x,y,z подставить их выражения из параметрических уравнений линии
интегрирования;
2) заменить элемент дуги dl корнем квадратным из суммы квадратов производных x,y,z по t, умноженным на dt;
3) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t.
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по координатам (II рода), надо привести его к определенному интегралу:
1) в подынтегральном выражении вместо переменных x,y,z и дифференциалов dx, dy dz подставить их выражения из
параметрических уравнений линии интегрирования;
2) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t от точки А до точки В.
Формула Грина
 
Q P
C   (, dr )   (

)dxdy

x

y

D
Вычисление криволинейных интегралов
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (I рода), надо привести его к определенному интегралу:
1) в подынтегральную функцию вместо переменных x,y,z подставить их выражения из параметрических уравнений линии
интегрирования;
2) заменить элемент дуги dl корнем квадратным из суммы квадратов производных x,y,z по t, умноженным на dt;
3) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t.
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по координатам (II рода), надо привести его к определенному интегралу:
1) в подынтегральном выражении вместо переменных x,y,z и дифференциалов dx, dy dz подставить их выражения из
параметрических уравнений линии интегрирования;
2) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t от точки А до точки В.
Формула Грина
 
Q P
C   (, dr )   (

)dxdy
x
y

D
Задание
1. Найти массу дуги параболы
линейная плотность равна y
.
4 125  8
4

2
m   y ( x)  1  ( y1( x) ) d x

d
y ( x)
dx
y1( x) 
между точками (1; 2) и (4; 4), если
y( x)  2 x
m  11.136
3
 11.136
1
2
2. Найти работу силы
2
F( x y)  x  2 y y  2x

при перемещении единицы массы вдоль прямой от точки ( - 4; 0) до точки (0; 2).
x( t)  ( 0  4)  t  4
 d x( t) 
dt

r( t)  
d

 dt y( t) 


y( t)  ( 2  0)  t
1

A   F( x( t)  y ( t) ) r( t) d t

A  24
0
3. При помощи формулы Грина вычислить
2
по окружности
P( x y)  x  y
x y
2
2x
Q( x y)  2 x

 ( x  y )dx  2x d y

, обходимой в положительном направлении.

2
2 cos( )




( 2  1)   d  d   3.142




0

2
Задание
1. Найти массу дуги параболы
линейная плотность равна y
.
y1( x) 
между точками (1; 2) и (4; 4), если
y( x)  2 x
4 125  8
4

2
m   y ( x)  1  ( y1( x) ) d x

d
y ( x)
dx
m  11.136
3
 11.136
1
2. Найти работу силы
2
2
F( x y)  x  2 y y  2x

при перемещении единицы массы вдоль прямой от точки ( - 4; 0) до точки (0; 2).
x( t)  ( 0  4)  t  4
y( t)  ( 2  0)  t
1

A   F( x( t)  y ( t) ) r( t) d t

A  24
0
3. При помощи формулы Грина вычислить
по окружности
P( x y)  x  y
2
x y
Q( x y)  2 x
2
2x
 d x( t) 
dt

r( t)  
d

 dt y( t) 



 ( x  y )dx  2x d y

, обходимой в положительном направлении.

2
2 cos( )




( 2  1)   d  d   3.142




0

2