Задания по теории вероятностей

Рег. № 11 от 05.02.08
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Томский политехнический университет»
____________________________________________________________
УТВЕРЖДАЮ
Декан АВТФ
С.А. Гайворонский
«___»___________2008 г.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКЕ И СЛУЧАНЙНЫМ ПРОЦЕССАМ
методические указания для студентов направления 230100
«Информатика и вычислительная техника»
Томск 2008
УДК 519.24
Теория вероятностей, математическая статистика и случайные
процессы: метод. указания и контрольные задания для студентов
направления 230100 «Информатика и вычислительная техника»
/Сост. Ю.Н. Шалаев – Томск: Изд. ТПУ, 2008. – 38 с.
Методические указания и контрольные задания рассмотрены и
рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры
информатики и проектирования систем
«___» _________2008 г.
Зав. кафедрой,
доцент, канд. техн. наук
2
__________________ М.А. Сонькин
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
1.1.
Цели преподавания дисциплины
Курс "Теория вероятностей, математическая статистика и
случайные процессы" является специальным разделом высшей
математики, который содержит современные методы анализа и
ориентирован на применение математических методов и ПЭВМ при
решении прикладных задач.
. Преподавание этого курса предусматривает овладение
эффективными исследования различного рода технических задач и
проводить их статистический анализ..
В результате изучения курса студенты должны владеть следующими
навыками:
- формализованного описания поставленной задачи;
- составления алгоритмов решения задач по их формализованному
описанию;
- должны знать положения и аксиомы теории вероятностей и уметь
находить вероятности случайных событий;
1.2.Задачи изложения и изучения дисциплины
Для достижения поставленных целей студенты должны уметь:
- производить количественный анализ случайных явлений и находить
их характеристики: математическое ожидание, дисперсию,
корреляционную функцию и производить оценку этих
характеристик.
Должны знать положения и аксиомы теории вероятностей и
уметь находить вероятности случайных событий
2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА
ДИСЦИПЛИНЫ
2.1. Лекционные занятия
2.11. Введение. Математическая схематизация явлений. Пространство
элементарных событий. Случайные события, операции над событиями
Вероятность событий. Условная вероятность, вероятность
произведения событий.
Формула полной вероятности и формула Байеса.
3
2.1.2Случайная величина. Функция и плотность распределения
случайной величины. Числовые характеристики случайной величины.
Типовые законы. Совместное распределение нескольких случайных
Числовые характеристики и законы распределения системы случайных
величин.
2.1.3. Основы статистического описания. Выборка. Гистограмма и
полигон частот. Эмпирическое распределение. Точечные оценки.
Выборочные характеристики. Интервальные оценки. Статистическая
проверка гипотез. Критические области. Критерий о равенстве средних
2-х нормально распределенных случайных величин.
2.1.4.Случайные функции. Законы распределения случайной функции.
Характеристики случайных функций. Взаимная корреляционная
функция. Случайная стационарная функция. Стационарность в узком и
широком смысле. Оценка параметров случайной стационарной
функции. Марковский случайный процесс.
3. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ
3.1Элементы комбинаторики, пространство элементарных событий,
действия над событиями.
3.2.Вероятность: аксиоматическое понятие вероятности. Вероятность
суммы и произведения случайных событий. Условная вероятность.
Формула полной вероятности и формула Байеса. Случайная величина.
Функция и плотность распределения случайной величины . Система
случайных величин.
3.3. Числовые характеристики случайной величены (математическое
ожидание, дисперсия, моменты, корреляционный момент ).
3.4.Законы распределения случайной величины (равномерный,
биномиальный, Пуассона, экспоненциальный и нормальный).
3.5. Выборка, полигон, гистограмма. Эмпирическая функция
распределения. Выборочные моменты. Построение доверительных
интервалов. Проверка статистических гипотез.
3.6 Случайная функция. Характеристики случайной функции:
математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция.
Интегрирование и дифференцирование случайных функций. Сложение
случайных функций. Взаимная корреляционная функция.
3.7 Марковский случайный процесс.
4
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Варианты заданий контрольной работы выбираются в соответствии
с номером записи в журнале. Для выполнения первого и второго
заданий необходимо воспользоваться следующими соотношениями:
- противоположное событие определяется как
A
= Ω -А;
- события А и В независимы, если условная вероятность равна своей
безусловной вероятности
Р(А/В) = Р(А);
- для независимых событий А и В вероятность произведения равна
произведению вероятностей
Р(А ∩ В) = Р(А) Р(В);
- вероятность суммы для совместных событий А и В определяется по
соотношению
Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В);
- условная вероятность для зависимых событий определяется по
соотношению
Р(А/В) = Р(А ∩ В) / Р(В).
Для выполнения третьего задания необходимо воспользоваться
следующими соотношениями системы случайных величин {ξ,η }:
- функция распределения системы непрерывных случайных величин
находится как
x y
F(x,y) =
  f ( x, y ) dxdy;
  
- условие нормировки плотности системы случайных непрерывных
величин
 
  f ( x, y ) dxdy  1;
  
- плотность вероятностей отдельных составляющих системы
находится по соотношениям:

f1 ( x ) 
 f ( x, y )dy,


f2 ( y) 
 f ( x, y )dx;

5
- функция распределения отдельных составляющих системы
определяется как
x 
F1 ( x ) 
  f ( x, y )dxdy,
 y
F2 ( y ) 
  
  f ( x, y )dxdy;
  
- условная плотность вероятности системы случайных непрерывных
величин находится по соотношениям
f ( x / y )  f ( x, y ) / f 2 ( y ),
f ( y / x )  f ( x, y ) / f1 ( x );
- математическое ожидание системы определится как
M 

 xf1 ( x )dx,
M 


 yf
2
( y )dy;

- дисперсия системы


D   ( x  M ) f1 ( x )dx ,
D   ( y  M ) 2 f 2 ( y )dy.
2


Для выполнения четвертого задания необходимо по выборке
построить вариационный ряд по нему построить полигон частот.
Вариационный ряд:
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка
Х={х1,х2,…, хn }, причем х1 – наблюдалась n1 раз, х2 – n2 раза, .хk - nk
раз и Σ ni=n – объем выборки. Наблюдаемые значения ni называют
вариантами.
Последовательность вариант, записанных в возрастающем
порядке, называется вариационным рядом:
X
x1
x2
…
xk
N
n1
n2
…
nk
По полигону частот оценивается закон распределения генеральной
совокупности, и находятся его параметры. По вариационному ряду
строится эмпирическая (выборочная) функция распределения:
Fn ( x ) 
6
êîëè÷åñòâî x k : xk  x
.
n
Для выполнения пятого задания необходимо найти числовые
характеристики случайной исходной функции: математическое
ожидание по соотношению

MX (t ) 
 xf ( x)dx  m (t )
1
x

и корреляционную функцию,


K x (t1 , t 2 )  M [( X (t1 )  m x (t1 ))( X (t2 )  m x (t 2 ))]  M ( X (t1 )( X (t2 )),
а затем в зависимости от задания проинтегрировать
t1
t2
0
0
K (t1 , t2 )  
 K ( ,
x
1
2
)d 1 2 ,
или продифференцировать
K (t1 , t2 ) 
2
K x (t1t2 ).
t1t2
числовые характеристики исходной функции.
В шестом задании находятся числовые характеристики суммы двух
случайных функций: функция математического ожидания как сумма
математических ожиданий случайных исходных величин. Для
нахождения корреляционной функции необходимо дополнительно
найти взаимную корреляционную функцию двух случайных функций
по соотношению
o
o
Rxy (t1 , t 2 )  M X (t1 )Y (t 2 ),
o
где X (t1 )  X (t1 )  m(t1 ) - центрированная случайная функция X(t);
o
Y (t 2 )  Y (t 2 )  m y (t 2 ) - центрированная случайная функция Y(t).
Нормированная взаимная корреляционная функция-Это
безразмерная характеристика связи между случайными функциями:
r (t1 , t2 ) 
R(t1 , t2 )
,
DX (t1 ) DY (t2 )
где DX(t1 ) – дисперсия случайной функции X(t) в сечении t1;
DY(t2 ) – дисперсия случайной функции Y(t) в сечении t2.
7
№1
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2 Доказать, что если независимы события А и U, то независимы
события А и Ū.
3. По плотности распределения вероятностей системы двух случайных
величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
0,

f ( x, y )   Axy
0 ,

x  0, y  1;
0  x  2, 1  y  3,
x  2, y  3.
4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить
его параметры:
X = {2.4, 2.2, 2.0, 1.6, 1.8, 2.2, 2.2, 2.0 , 2.0, 1.4, 1.6, 2.0, 1.8, 2.6, 2.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X (t2 + 1),
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.2. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V = dY/dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN(t) + Y e-2t
c MX = 1.2, DX = 3.4, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.6.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
8
№2
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события А и B, то независимы
события Ā и B.
3. По плотности распределения вероятностей системы двух случайных
величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,
 2
f ( x, y )   Ax y 0  x  1, 1  y  2,
0 ,
x  1, y  2.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить
его параметры:
X = {1.4, 1.2, 1.0, 0.6, 0.8, 1.2, 1.2, 1.0 , 1.0, 0.4, 0.6, 1.0, 0.8, 1.6, 1.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X SIN(t )+ t,
где Х случайная величина с МХ = 2.3, DX = 1.3. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V=
 Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X COS(t) + Y e-3t
c MX = 3.2, DX = 2.4, MY = 4, DY = 3.1, r xy = 0.6.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
9
№3
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события А и U, то независимы
события Ā и Ū.
3. По плотности распределения вероятностей системы двух случайных
величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
0,

f ( x, y )   Axy
0 ,

x  0, y  0;
2
0  x  1, 0  y  2,
x  1, y  2.
4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить
его параметры:
X = {3.5, 3.2, 3.0, 2.6, 2.8, 3.2, 3.2, 3.0 , 3.0, 2.4, 2.6, 3.0, 2.8, 3.6, 3.5 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X℮ -t + 3,
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.2. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V =  Y (t )dt.
5. Задан случайный процесс
Z = Xe-2t + YCOS(t)
c MX = 1.2, DX = 3.4, MY = 2, DY = 3, r xy = 0.7.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
10
№4
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Показать, что для условной вероятности выполняется свойствo:
P(AC/B) = P(A/B) + P(C/B), если А и С несовместные случайные
события.
3. По плотности распределения вероятностей системы двух случайных
величин ξ и η найти: коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,
 2 2
f ( x, y )   Ax y
0  x  1, 0  y  2,
0 ,
x  1, y  2.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить
его параметры:
X = {4.4, 4.2, 4.0, 3.6, 3.8, 4.2, 4.2, 4.0 , 4.0, 3.4, 3.6, 4.0, 3.8, 3.6, 4.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X SIN(t),
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.5. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V = dY/dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN (2t) + Y e-t
c MX = 1.3, DX = 3.5, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.4.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
11
№5
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Показать, что для условной вероятности выполняется свойствo:
P(Ā/B) = 1 - P(A/B).
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти: коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,
 3
f ( x, y )   Ax y 0  x  1, 0  y  2,
0 ,
x  1, y  2.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {4.5, 4.3, 4.0, 3.7, 3.9, 4.3, 4.3, 4.0 , 4.0, 4.5, 3.7, 4.0, 3.9, 3.7, 4.5 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X COS(2t),
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.5. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V = dY/dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN (t) + Y e-t
c MX = 1.6, DX = 2.5, MY = 3.2, DY = 3, r xy = 0.8.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
12
№6
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Показать, что для условной вероятности выполняется свойствo:
P(AC/B) = P(A/B) + P(C/B) – P(A  B).
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
0,

f ( x, y )   Axy
0 ,

x  0, y  0;
3
0  x  1, 0  y  2,
x  1, y  2.
4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {2.4, 2.2, 2.0, 1.7, 1.8, 2.2, 2.2, 2.0 , 2.0, 1.4, 1.7, 2.0, 1.8, 1.6, 2.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X COS(t),
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.5. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V=
 Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN (t) + Y t2
c MX = 2.3, DX = 2.6, MY = 3.2, DY = 2.4, r xy = 0.7
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
13
№7
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события A и B , то независимы
события А и В .
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
0,

f ( x, y)   Axy
0 ,

x  0, y  0;
0  x  2, 0  y  3,
x  2, y  3.
4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {1.3, 2.0, 1.8, 2.6, 2.0, 1.8, 2.0, 2.3, 2.3, 1.8, 2.0, 2.0, 2.3,2.6, 1.3}.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X t2 ,
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.2. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V   Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X COS(3t) + Y e-3t
c MX = 1.2, DX = 3.4, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.6.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
14
№8
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события A и B , то независимы
события А и .В
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,
 2
f ( x, y )   Ax y 0  x  2, 0  y  3,
0 ,
x  2, y  3.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {2.3, 3.0, 2.8, 3.6, 3.0, 2.8, 3.0, 3.3, 3.3, 2.8, 3.0, 3.0, 3.3, 3.6, 2.3}.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X е-2t,
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.2. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V   Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X e-2t + Y SIN(t)
c MX = 1.2, DX = 3.4, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.6.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
15
№9
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события А и B. , то независимы
события A и B.
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,

2
f ( x, y )   Ax y
0  x  3, 0  y  1,
0 ,
x  3, y  1.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {4.3, 5.0, 4.8, 5.6, 5.0, 4.8, 5.0, 5.0, 5.0, 5.3, 4.8, 5.0, 5.3, 5.6, 4.3}.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X е-5t,
где Х случайная величина с МХ = 5, DX = 1.7. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V = dY/dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X e-5t + Y SIN(5t)
c MX = 1.5, DX = 3.5, MY = 3, DY = 4, r xy = 0.5.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
16
№ 10
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события А и В, то независимы
события А и .В
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,
 2 2
f ( x, y )   Ax y
0  x  2, 0  y  3,
0 ,
x  2, y  3.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {1.3, 2.0, 1.8, 2.6, 2.0, 1.8, 2.0, 2.3, 2.3, 1.8, 2.0, 2.0, 2.3, 2.6, 1.3}.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X SIN(4t),
где Х случайная величина с МХ = 2, DX = 3.2. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V   Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X e-2t + Y SIN(2t)
c MX = 1.7, DX = 2.4, MY = 4.1, DY = 2.2, r xy = 0.8.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
17
№ 11
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Показать, что для условной вероятности выполняется свойства:
P(AC/B) = P(A/B) + P(C/B), если А и С несовместные случайные
события.
3. По плотности распределения вероятностей системы двух случайных
величин ξ и η найти: коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,
 3 2
f ( x, y )   Ax y
0  x  1, 0  y  2,
0 ,
x  1, y  2.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить
его параметры:
X = {6.4, 6.2, 6.0, 5.6, 5.8, 6.2, 6.2, 6.0 , 6.0, 5.4, 5.6, 6.0, 5.8, 5.6, 6.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X COS(6t),
где Х случайная величина с МХ = 3.2, DX = 2.5. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V = dY/dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN (6t) + Y e-6t
c MX = 1.9, DX = 3.7, MY = 4.2, DY =1.3, r xy = 0.4.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
18
№ 12
5. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
6. Показать, что для условной вероятности выполняется свойствo:
P(Ā/B) = 1 - P(A/B).
7. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти: коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,
 2 3
f ( x, y )   Ax y 0  x  1, 0  y  2,
0 ,
x  1, y  2.

8. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {1.5, 1.3, 2.0, 1.7, 1.9, 2.3, 2.3, 2.0 , 2.0, 2.5, 1.7, 2.0, 1.9, 1.7, 2.5 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X COS(2t),
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.5. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V   Y (t )dt. .
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN (5t) + Y e-5t
c MX = 1.6, DX = 2.7, MY = 1.2, DY = 3.4, r xy = 0.7.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
19
№ 13
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Показать, что для условной вероятности выполняется свойствo:
P(AC/B) = P(A/B) + P(C/B) – P(A  B).
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,

f ( x, y )   Axy 1  x  2, 0  y  3,
0 ,
x  2, y  3.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {5.4, 5.2, 5.0, 4.7, 4.8, 5.2, 5.2, 5.0 , 5.0, 4.4, 4.7, 5.0, 4.8, 4.6, 5.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X SIN(t),
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.5. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V=
 Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN (5t) + Y t2
c MX = 1.3, DX = 4.6, MY = 5.2, DY = 1.4, r xy = 0.7
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
20
№ 14
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
5. Доказать, что если независимы события А и B, то независимы
события А и B .
6. По плотности распределения вероятностей системы двух случайных
величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  1, y  0;
0,
 2
f ( x, y )   Ax y 1  x  2, 0  y  3,
0 ,
x  2, y  3.

7. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить
его параметры:
X = {2.5, 2.3, 2.0, 1.7, 1.9, 2.3, 2.3, 2.0 , 2.0, 1.5, 1.7, 2.0, 1.9, 2.7, 2.5 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X (t3 + 1),
где Х случайная величина с МХ = 2.3, DX = 4.2. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V = dY/dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN(6t) + Y e-t
c MX = 1.7, DX = 1.4, MY = 4.3, DY = 3.1, r xy = 0.6.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
21
№ 15
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события А и U, то независимы
события A и Ū.
3. По плотности распределения вероятностей системы двух случайных
величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  1, y  0;
0,

2
f ( x, y )   Axy
1  x  2, 0  y  3,
0 ,
x  2, y  3.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить
его параметры:
X = {2.3, 2.1, 2.0, 1.6, 1.8, 2.1, 2.1, 2.0 , 2.0, 1.3, 1.6, 2.0, 1.8, 2.6, 2.3 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X COS(2t),
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.2. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V   Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X COS(t) + Y e-2t
c MX = 1.7, DX = 3.9, MY = 1.4, DY = 1.3, r xy = 0.3.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
22
№ 16
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Показать, что для условной вероятности выполняется свойствo:
P(Ā/B) = 1 - P(A/B).
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти: коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  1, y  0;
0,

3
f ( x, y )   Ax y 1  x  2, 0  y  1,
0 ,
x  2, y  1.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {1.5, 1.3, 2.0, 2.0, 1.9, 2.3, 2.3, 2.0 , 2.0, 1.9, 1.7, 2.0, 1.9, 1.7, 2.5 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X SIN(2t),
где Х случайная величина с МХ = 3.5, DX = 1.6. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V   Y (t )dt. .
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN (t) + Y e-t
c MX = 2.6, DX = 1.7, MY = 3.2, DY = 2.4, r xy = 0.7.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
23
№ 17
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Показать, что для условной вероятности выполняется свойствo:
P(AC/B) = P(A/B) + P(C/B), если А и С несовместные случайные
события.
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти: коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,
 2 3
f ( x, y )   Ax y
0  x  1, 0  y  2,
0 ,
x  1, y  2.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {4.4, 4.2, 4.0, 3.6, 3.8, 4.2, 4.2, 4.0 , 4.0, 3.4, 3.6, 4.0, 3.8, 3.6, 4.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X SIN(4t),
где Х случайная величина с МХ = 2.2, DX = 1.5. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V = dY/dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X e-4t +Y SIN (4t)
c MX = 3.9, DX = 2.8, MY = 2.2, DY =4.3, r xy = 0.7.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
24
№ 18
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события A и B , то независимы
события Ā и B.
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  1, y  0;
0,
 3
f ( x, y )   Ax y 1  x  2, 1  y  3,
0 ,
x  2, y  3.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {1.3, 1.2, 1.0, 0.6, 0.8, 1.2, 1.2, 1.0 , 1.0, 0.3, 0.6, 1.0, 0.8, 1.6, 1.3 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X COS(2t ) + 3 t,
где Х случайная величина с МХ = 2.4, DX = 0.3. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V=
 Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X COS(3t) + Y e-3t
c MX = 3.3, DX = 2.4, MY = 3.9, DY = 3.1, r xy = 0.6.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
25
№ 19
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события А и U, то независимы
события Ā и Ū.
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,
 3 2
f ( x, y )   Ax y
0  x  1, 0  y  3,
0 ,
x  1, y  3.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {3.4, 3.2, 3.0, 2.7, 2.8, 3.2, 3.2, 3.0 , 3.0, 2.4, 2.7, 3.0, 2.8, 3.7, 3.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X℮ -t + 5,
где Х случайная величина с МХ = 5, DX = 1.3. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V =  Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = YCOS(2t) + Xe-2t
c MX = 3.2, DX = 3.4, MY = 2.1, DY = 3.1, r xy = 0.7.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
26
№ 20
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Показать, что для условной вероятности выполняется свойствo:
P(AC/B) = P(A/B) + P(C/B), если А и С несовместные случайные
события.
3. По плотности распределения вероятностей системы двух случайных
величин ξ и η найти: коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  1, y  2;
0,

f ( x, y )   Ax y 2 1  x  3, 2  y  4,
0 ,
x  1, y  4.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить
его параметры:
X = {3.4, 3.2, 3.0, 2.6, 2.8, 3.2, 3.2, 3.0 , 3.0, 2.4, 2.6, 3.0, 2.8, 2.6, 3.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X SIN(3t),
где Х случайная величина с МХ = 3.2, DX = 1.7 . Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V = dY/dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN (3t) + Y e-t
c MX = 2.3, DX = 3.5, MY = 4.2, DY = 3, r xy = 0.4.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
27
№ 21
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Показать, что для условной вероятности выполняется свойствo:
P(Ā/B) = 1 - P(A/B).
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти: коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  1, y  0;
0,
 2
f ( x, y )   Ax y 1  x  3, 0  y  4,
0 ,
x  3, y  4.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {4.6, 4.3, 4.1, 3.7, 3.9, 4.3, 4.3, 4.1 , 4.1, 4.6, 3.7, 4.1, 3.9, 3.7, 4.6 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X COS(4t),
где Х случайная величина с МХ = 3.2, DX = 1.6. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V = dY/dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN (3t) + Y e-3t
c MX = 1.9, DX = 2.4, MY = 3.7, DY = 2.7, r xy = 0.8.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
28
№ 22
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события A и B , то независимы
события А и В .
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
0,

f ( x, y)   Axy
0 ,

x  0, y  0;
0  x  2, 0  y  3,
x  2, y  3.
4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {1.3, 2.0, 1.8, 2.6, 2.0, 1.8, 2.0, 2.3, 2.3, 1.8, 2.0, 2.0, 2.3,2.6, 1.3}.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X( t + 1)2 ,
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.2. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V   Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X COS(7t) + Y e-7t
c MX = 1.2, DX = 3.4, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.6.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
29
№ 23
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события A и B , то независимы
события А и .В
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,
 2
f ( x, y )   Ax y 0  x  2, 0  y  3,
0 ,
x  2, y  3.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {2.3, 3.0, 2.8, 3.6, 3.0, 2.8, 3.0, 3.3, 3.3, 2.8, 3.0, 3.0, 3.3, 3.6, 2.3}.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X е-2t,
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.2. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V   Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X e-2t + Y SIN(2t)
c MX = 1.2, DX = 3.4, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.6.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
30
№ 24
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события А и B. , то независимы
события A и B.
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  1, y  0;
0,

2
f ( x , y )   Ax y
1  x  3, 0  y  1,
0 ,
x  3, y  1.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {4.3, 5.0, 4.8, 5.6, 5.0, 4.8, 5.0, 5.0, 5.0, 5.3, 4.8, 5.0, 5.3, 5.6, 4.3}.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X е-5t,
где Х случайная величина с МХ = 5, DX = 1.7. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V = dY/dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X e-5t + Y SIN(5t)
c MX = 1.5, DX = 3.5, MY = 3, DY = 4, r xy = 0.5.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
31
№ 25
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Показать, что для условной вероятности выполняется свойствo:
P(Ā/B) = 1 - P(A/B).
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти: коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  1, y  0;
0,

3
f ( x, y )   Ax y 1  x  2, 0  y  1,
0 ,
x  2, y  1.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {1.5, 1.3, 2.0, 2.0, 1.9, 2.3, 2.3, 2.0 , 2.0, 1.9, 1.7, 2.0, 1.9, 1.7, 2.5 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X SIN(4t),
где Х случайная величина с МХ = 3.5, DX = 1.6. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V   Y (t )dt. .
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN (t) + Y e-t
c MX = 2.6, DX = 1.7, MY = 3.2, DY = 2.4, r xy = 0.7.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
32
№ 26
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Показать, что для условной вероятности выполняется свойствo:
P(AC/B) = P(A/B) + P(C/B) – P(A  B).
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
0,

f ( x, y )   Axy
0 ,

x  0, y  0;
3
0  x  1, 0  y  2,
x  1, y  2.
4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {2.4, 2.2, 2.0, 1.7, 1.8, 2.2, 2.2, 2.0 , 2.0, 1.4, 1.7, 2.0, 1.8, 1.6, 2.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X COS(t),
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.5. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V=
 Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN (t) + Y t2
c MX = 2.3, DX = 2.6, MY = 3.2, DY = 2.4, r xy = 0.7
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
33
№ 27
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события A и B , то независимы
события А и В .
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
0,

f ( x, y )   Axy
0 ,

x  0, y  1;
0  x  2, 1  y  3,
x  2, y  3.
4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {1.3, 2.0, 1.8, 2.6, 2.0, 1.8, 2.0, 2.3, 2.3, 1.8, 2.0, 2.0, 2.3,2.6, 1.3}.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X(t2 +2),
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.2. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V   Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X COS(4t) + Y e-4t
c MX = 1.5, DX = 3.6, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.6.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
34
№ 28
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события A и B , то независимы
события А и .В
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  1;
0,
 2
f ( x, y )   Ax y 0  x  2, 1  y  3,
0 ,
x  2, y  3.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {2.3, 3.0, 2.8, 3.6, 3.0, 2.8, 3.0, 3.3, 3.3, 2.8, 3.0, 3.0, 3.3, 3.6, 2.3}.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X е-2t,
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.2. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V   Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X e-2t + Y SIN(t)
c MX = 1.2, DX = 3.4, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.6.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
35
№ 29
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события А и B. , то независимы
события A и B.
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,

2
f ( x, y )   Ax y
0  x  3, 0  y  1,
0 ,
x  3, y  1.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {4.3, 5.0, 4.8, 5.6, 5.0, 4.8, 5.0, 5.0, 5.0, 5.3, 4.8, 5.0, 5.3, 5.6, 4.3}.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X е-5t+1,
где Х случайная величина с МХ = 5, DX = 1.7. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V = dY/dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X e-5t + Y SIN(5t)
c MX = 1.5, DX = 3.5, MY = 3, DY = 4, r xy = 0.5.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
36
№ 30
1. Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их
вероятности.
2. Доказать, что если независимы события А и В, то независимы
события А и .В
3. По плотности распределения вероятностей системы двух
случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
-функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и
Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
x  0, y  0;
0,
 2 2
f ( x, y )   Ax y
0  x  2, 0  y  3,
0 ,
x  2, y  3.

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и
оценить его параметры:
X = {1.3, 2.0, 1.8, 2.6, 2.0, 1.8, 2.0, 2.3, 2.3, 1.8, 2.0, 2.0, 2.3, 2.6, 1.3}.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a”
– математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция
Y = X SIN(2t),
где Х случайная величина с МХ = 4, DX = 3.1. Найти числовые
характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V   Y (t )dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X e-2t + Y SIN(3t)
c MX = 2.7, DX = 3.4, MY = 4.1, DY = 3.2, r xy = 0.8.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
37
Учебно-методическое обеспечение дисциплины
1 .Гмурман В.Е. Курс теории вероятностей. М.: В.Ш. 1977,1999.
2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей М.: Наука, 1979,2000.
3. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.:1987.
5. Свешников А.А. Сборник задач по теории вероятностей,
математической статистике и теории случайных функций. М.:
Наука, 1965.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКЕ И СЛУЧАНЙНЫМ ПРОЦЕССАМ
Рабочая программа, методические указания и контрольные задания
Составитель: доцент, канд. техн. наук Юрий Николаевич Шалаев
Рецензент: О.В. Шефер, канд. физ.-мат. наук, доцент каф.ИПС АВТФ.
_____________________________________________________________
Подписано к печати Формат 60х84/16
Бумага офсетная. Шрифт Times New Roman. Печать RISO.
Усл. печ. л. . Уч. -изд. л.
Заказ
. Тираж
экз. Цена свободная.
_____________________________________________________________
Издательство Томского политехнического университета.
634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.
38