Цель дисциплины:
- формирование общей алгебраической и мировоззренческой культуры, как базовой
основы освоение языка современной математики;
- формирование культуры абстрактно-логического мышления, позволяющего
овладеть системой идей и методов современной алгебры;
- формирование системы знаний навыков и умений, позволяющей использовать
методологию современной алгебры при изучении других математических дисциплин
теоретического и прикладного характера.
Задачи дисциплины:
- отработка навыков и умений оперирования алгебраическими объектами с
точностью до изоморфизма на примерах изучения классических объектов алгебры: групп,
колец, полей, векторных и евклидовых пространств;
- освоение базовых конструкций и технологий современной алгебры, связанных с
гомоморфизмами и изоморфизмами алгебраических систем: подобъектов, расширений
объектов, образа и ядра гомоморфизма (оператора); фактор-структуры; конгруэнции и т.
п.;
- освоение методов исследования и решения систем линейных уравнений, как
простейших моделей реальных процессов линейного характера.
- изучение канонических теоретико-кольцевых конструкций на примере изучения
кольца многочленов над полем;
- освоение системы базовых понятий и методов теории линейных векторных
пространств;
- изучение конечномерных Евклидовых векторных пространств, как естественного
обобщения технологий, понятий, методов и конструкций, свойственных трехмерному
векторному пространству;
В результате изучения данной дисциплины студенты должны:
иметь представление:
- о классических алгебраических системах: группе, кольце, поле и свойствах
операций и отношений, присущих этим системам;
- о матричной алгебре, методах теории матриц и теории определителей;
- о системах линейных уравнений и методах их решения;
- о кольцах многочленов над конкретными и абстрактными полями;
- о координатном методе в конечномерных векторных пространствах и
структурных свойствах систем подпространств этих пространств;
- о евклидовых и унитарных пространствах;
- о концепции изучения алгебраических систем с точностью до изоморфизма.
знать:
- понятие алгебраической операции, группы, кольца, поля, системы
действительных чисел; поля комплексных чисел; алгебраической и тригонометрической
форм комплексного числа;
- понятие матрицы и кольца квадратных матриц над полем действительных чисел;
понятия обратимой матрицы, элементарных преобразований и элементарных матриц;
понятие определителя квадратной матрицы и свойства определителей, понятие минора и
алгебраического дополнения; теорему Лапласа; формулу разложения определителя по
строке (столбцу);
- понятие арифметического п- мерного векторного пространства; базиса и ранга
конечной системы векторов; ранга матрицы; понятие системы линейных уравнений
общего вида (однородной и неоднородной); определенной (неопределенной) системы
линейных уравнений; критерий совместности системы общего вида; структуру общего
решения системы линейных однородных уравнений;
- понятие кольца многочленов над полем; алгоритм деления с остатком и алгоритм
Евклида; понятие многочлена неприводимого над данным полем; корня многочлена,
понятие алгебраически замкнутого поля; формулы Виета; метод отделения
действительных корней многочлена с действительными коэффициентами;
- понятие линейного пространства; подпространства, базиса векторного
пространства; координат вектора в данном базисе; линейной оболочки и ранга системы
векторов;
критерий
изоморфизма
линейных
пространств;
операции
над
подпространствами; понятие суммы и прямой суммы подпространств; критерий
разложения подпространства в прямую сумму подпространств;
-понятие скалярного произведения; неравенство Коши-Буняковского; процесс
ортогонализации; понятие ортонормированного базиса; критерий изоморфизма
евклидовых пространств; понятие ортогонального дополнения подпространства;
уметь:
- выявлять свойства алгебраических операций; выполнять действия над
комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах и
интерпретировать их на комплексной плоскости; решать двучленные уравнения
произвольной степени; решать уравнения 3-ей и 4-ой степени общего вида;
- выполнять алгебраические операции (сложения, умножения на скаляр, вычитания,
умножения) над матрицами; находить обратную матрицу обратимой матрицы методом
элементарных преобразований; вычислять определители малых порядков исходя из
определения и определители высших порядков ( п 4 ) исходя из свойств определителя и
алгоритма разложения определителя по строке или столбцу;
- находить ранг конечной системы векторов (ранг матрицы) методом элементарных
преобразований; базис и ранг конечной системы векторов методом окаймления миноров;
решать системы линейных уравнений методом Гаусса, методом Крамера и методом
обратной матрицы;
- находить фундаментальную систему решений системы линейных однородных
уравнений;
- применять схему Горнера для нахождения значения многочлена в точке х0 ;
алгоритмы разложения многочлена по степеням х а и определения кратности корня;
алгоритм отделения кратных множителей; алгоритм Штурма отделения действительных
корней полинома с действительными коэффициентами;
- находить координаты вектора в данном базисе; базис и размерность линейной
оболочки конечной системы векторов; базисы и размерности суммы и пересечения
подпространств; применять процесс ортогонализации; находить ортогональное
дополнение подпространства; разлагать вектор в сумму ортогональной проекции и
ортогональной составляющей относительно данного подпространства;
приобрести практические навыки:
- выполнения действий над комплексными числами в алгебраической и
тригонометрической формах и интерпретации их на комплексной плоскости;
- выполнения алгебраических операций над матрицами;
- решения систем линейных уравнений методом Гаусса, методом Крамера и
методом обратной матрицы;
- решения уравнений 3-ей и 4-ой степени общего вида.
2 Пререквизиты
Для освоения данной дисциплины необходимы знания, умении и навыки,
приобретенные при изучении следующих дисциплин: школьного курса « Алгебра», «
Алгебра и начала анализа», «Геометрия»; вузовского курса «Введение в специальность».
3 Постреквизиты
Знания, умения и навыки, полученные при изучении дисциплины необходимы для
освоения следующих дисциплин: математический анализ, аналитическая геометрия,
дифференциальные уравнения, дискретная математика, функциональный анализ.
4 Содержание дисциплины
4.1 Тематический план дисциплины
№
Наименование тем
Количество контактных часов по видам
занятий
лекц
практ лаб
СРСП СРС
3
4
5
6
7
2
6
1,35
16,65
1
1
2
Группы, кольца и поля.
2
Матрицы и действия над ними.
4
6
-
1,35
16,65
3
Многочлены над полем.
3
6
-
1,35
16,65
4
Линейные пространства.
3
6
-
1,35
16,65
5
Евклидовы и унитарные пространства
ИТОГО :
3
15
6
30
-
1,35
6,75
16,65
83,25
4.2 Содержание тем дисциплины.
Тема 1. Группы, кольца и поля.
Примеры и элементарные свойства операций. Кольца и поля вычетов. Поле
комплексных чисел. Изображение комплексных чисел на плоскости. Тригонометрическая
форма записи комплексного числа.
Тема 2. Матрицы и действия над ними.
Кольцо квадратных матриц. Операции транспонирования и сопряжения матриц.
Блочные матрицы. Определители и их свойства. Теорема Лапласа. Определитель
произведения матриц. Формула обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы
методом элементарных преобразований. Матричные уравнения. Матричная запись систем
линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера. Теорема о ранге
матрицы. Корни многочленов с вещественными коэффициентами. Метод Гребнера
решения систем полиномиальных уравнений.
Тема 3. Многочлены над полем.
Кольцо многочленов. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида.
Взаимно простые многочлены. Корни многочленов, кратность корня. Формулы Виета.
Интерполяционные формулы.
Тема 4. Линейные пространства.
Линейная зависимость системы векторов, лемма о замене. Базис, размерность.
Координаты векторов в заданном базисе. Преобразование координат. Линейные оболочки
и ранг системы векторов. Критерий изоморфизма линейных пространств.
Подпространства. Сумма и пересечение полупространств. Прямая сумма подпространств.
Критерий разложения пространства в прямую сумму подпространств.
Тема 5. Евклидово и унитарное пространство.
Неравенство Коши – Буняковского. Метрические понятия в евклидовых и
унитарных пространствах. Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации.
Ортонормированные базы. Изоморфизм Евклидовых (унитарных) пространств
одинаковой размерности. Ортогональное дополнение
4.3 Перечень и содержание практических занятий
Тема 1. Группы, кольца и поля.
Занятие 1. Основные понятия, свойственные классическим алгебрам.
Декартово произведение множеств. Бинарные алгебраические операции. Решение
задач на выявление свойств алгебраических операций. Рассмотрение примеров групп,
полей, колец. Задачи на отработку алгоритмов быть: «группой, подгруппой», «кольцом,
подкольцом», «полем, подполем».
Занятие 2. Поле комплексных чисел.
Метод изображение комплексных чисел на плоскости. Тригонометрическая форма
комплексного числа. Арифметические действия над комплексными числами в
алгебраической и тригонометрической формах. Задачи на извлечение корней п – ой
степени из комплексных чисел. Уравнения 3-ей и 4-ой степени и методы их решения.
Решение двучленных уравнений.
Тема 2. Матрицы и действия над ними.
Занятие 3. Матрицы и определители.
Отработка алгоритмов выполнения алгебраических операций в кольце квадратных
матриц. Определители малых порядков и методы их вычисления. Формирование навыков
вычисления определителей п-го порядка ( п 4 ) на основе использования свойств
определителей. Нахождение миноров и алгебраических дополнений. Метод вычисления
определителя посредством его разложения по строке (столбцу).
Занятие 4. Обратимые матрицы.
Алгоритм нахождения присоединенной матрицы. Метод нахождения обратной
матрицы на основе вычисления присоединенной матрицы. Элементарные преобразования
матриц и технологии их выполнения. Вычисление обратной матрицы методом
элементарных преобразований.
Занятие 5. Системы линейных уравнений.
Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения
неизвестных (метод Гаусса). Запись системы линейных уравнений в матричном виде.
Решение систем линейных уравнений крамеровского вида методом Крамера и методом
обратной матрицы.
Тема 3. Многочлены над полем.
Занятие 6. Многочлены и действия над ними.
Отношение делимости, алгоритм деления с остатком. Наибольший общий делитель
многочленов. Алгоритм Евклида и его применения. Наименьшее общее кратное
многочленов. Метод неопределенных коэффициентов нахождения линейного
представления наибольшего общего делителя.
Занятие 7. Корни многочленов.
Схема Горнера и теорема Безу и их применение. Задачи на разложение многочлена
по степеням двучлена ( х х0 ). Формула Тейлора для многочлена. Формулы Виета.
Решение задач на применение формул Виета.
Занятие 8. Метод Штурма.
Система полиномов Штурма и методы ее построения. Корни многочленов с
вещественными коэффициентами. Проблема отделения действительных корней
многочлена с вещественным коэффициентами. Метод Штурма и отработка технологий его
применения.
Тема 4. Линейные пространства.
Занятие 9. базис и ранг конечной системы векторов.
Отношение линейной зависимости и линейной независимости. Понятие базиса и
ранга. Решение задач на нахождение ранга конечной системы векторов методом
элементарных преобразований. Теорема о ранге матрицы и ее применения. Решение задач
на нахождение ранга конечной системы векторов методом окаймления миноров.
Занятие 10. Структура решений системы линейных уравнений.
Общая схема исследования системы линейных уравнений на совместность.
Системы линейных однородных уравнений (С.Л.У.). решение задач на нахождение
фундаментальной системы решений (С.О.У.). Структура общего решения системы
линейных неоднородных уравнений и ее применения.
Занятие 11. Преобразования координат.
Связь между базами. Матрица перехода. Преобразование координат вектора.
Решение задач на нахождение координат данного вектора в данном базисе, на нахождение
матрицы перехода, на нахождение координат вектора в новом базисе.
Занятие 12. Преобразование векторных пространств.
Отработка алгоритма «быть подпространством». Операции над подпространствами.
Решение задач на нахождение базисов и размерностей суммы и пересечения
подпространств. Прямая сумма подпространств. Критерий разложения пространства в
прямую сумму подпространств.
Тема 5. Евклидово и унитарное пространство.
Занятие 13. Геометрия евклидовых унитарных пространств.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Метрические понятия.
Неравенство Коши – Буняковского и его применения. Ортогональные системы векторов
их свойства. Решение задач.
Занятие 14. Ортогональные системы векторов.
Процесс ортогонализации. Решение задач на нахождение ортонормированных
базисов евклидовых пространств и подпространств.
Занятие 15. Ортогональные дополнения
Решение задач на разложение евклидова пространства в прямую сумму данного
подпространства и его ортогонального дополнения, на нахождение ортогональной
проекции и ортогонального дополнения данного вектора, на нахождение угла между
вектором и пространством.
4.4 Содержание самостоятельной работы студента
4.4.1 Перечень видов С.Р.С.
№ Вид С.Р.С.
Форма
Вид контроля
отчетности.
1 Подготовка к
Выборочный опрос.
лекционным занятиям.
2 Подготовка к
Рабочая тетрадь
Выборочная
практическим
с решениями
Проверка. Участие на
занятиям (изучение
занятиях.
материала
по теме занятия,
решение задач и
упражнений).
3 Изучение материала, в
Конспект.
Коллоквиум
частности, не вошедшего Письменные
(фронтальная
в аудиторные занятия.
ответы на вопросы
проверка).
по содержанию
материала.
4 Выполнение
Тетради для
Проверка и
индивидуальных
выполнения
собеседование по
заданий.
индивидуальных
результатам
заданий.
проверки.
5 Подготовка докладов
Компьютерная
Допуск к защите и
(рефератов)
распечатка доклада.
защита реферата.
Объем
в часах.
15
30
6
16
6
6
7
Подготовка к
выполнению
контрольных работ.
Подготовка к
выполнению рубежных
контрольных
мероприятий.
Решение заданий
соответствующего
варианта К.Р.
Результаты РК-1 и РК2.
Тестирование и
собеседование.
Проверка Выборочное 12
собеседование.
Проверка вариантов
тестовых заданий.
Собеседование.
5
Всего 90
4.4.2. Перечень тем (разделов, подразделов), вынесенных на самостоятельное
изучение студентами
1. Группы подстановок.
2. Элементарнее матрицы и их свойства.
3. Алгоритм отделения кратных множителей многочлена.
4. Метод окаймления миноров и его применение к нахождению ранга конечных
систем векторов.
5. Алгоритм нахождения расстояния от точки до линейного многообразия.
4.4.3. 5 Список литературы
Основная
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: Учебник. М.: Наука, 1975.
2. Кострикин, А. И. Введение в алгебру: учебник. М.: Физматлит, 2001.
3. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре: Учебное пособие для
физ.-мат. спец. вузов . М.:Лабратория Базовых Знаний, 2003.
4. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре: учеб. пособие для
студ. вузов, обучающихся по мат. Спец. СПб.:Лань, 2008.
5. Фадеев Д.К., Соминский Л.С. Сборник задач по высшей алгебре: Учебное
пособие, М.: Наука, 1972
Дополнительная
6. Кострикин А. И., Манин Ю. И.. Линейная алгебра и геометрия: учеб. пособие.
СПб.:Лань,2008.
7. Икрамов, Х. Д. Задачник по линейной алгебре: учеб. пособие. СПб.:Лань, 2006
8 Воеводин, В. В. Линейная алгебра: учеб. пособие. СПб.:Лань, 2008.
