Задачи по теме Сумма и пересечение подпространств

Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма
подпространств.
Пусть L – линейное пространство над полем Р, А и В – его подпространства. Суммой
подпространств А и В называют множество А+В={a+b | а  А, b  B}.
Пример 1. На плоскости R2 векторы, лежащие на оси ОХ, составляют подпространство А;
векторы, лежащие на оси ОY, составляют подпространство В. Множество А+В совпадает с
R2 , в чем можно убедиться, проверив включения А+В  R2 и R2  А+В.
В у
a
х,
А
b
c  ab
Теорема. Сумма подпространств А и В линейного пространства L является его
подпространством.
Утверждения:
1. Базис суммы подпространств А= а1 ,, ак , В= b1 ,, bs совпадает с базисом
2.
системы векторов а1 ,, ак , b1 ,, bs .
Размерность А+В равна рангу системы векторов а1 ,, ак , b1 ,, bs .
Пример 2. В линейном пространстве A4 даны подпространства А= а1 , a2 , а3
В= b1 , b2 , b3 ,
где
a1 =(1, 2, -1, 3),
а 3 =(4, 5, 2, 8),
а 2 =(2, 1, 4, 2),
и
b1 =(6, 6, 6, 8),
b2 =(5, 4, 7, 7), b3 =(4, 2, 8, 6). Найти базис и размерность подпространства А+В.
Решение. Найдем базис А и базис В. Составляем матрицы М и N и ищем их ранги.
Матрица М составлена из координат векторов а1 , a2 , а3 по строкам. Матрица N
составлена из координат векторов b1 , b2 , b3 по строкам.
1 2 1 3


М   2 1 4 2 ,
4 5 2 8


1 2
М2 
 1 4  0 ,
2 1
1 2 1
М3  2 1 4  0
4 5
2
1 2 3
М 3  2 1 2  0 , значит
4 5 8
r(M)=2, поэтому dim(A)=2.
Векторы a1 , а 2 составляют базис А, т.к. координаты этих векторов проходят через
базисный минор М2.
6 6 6 8


N  5 4 7 7,
 4 2 8 6


M2 
6 6
 24  30  0 ,
5 4
6 6 6
M3  5 4 7  0
4 2 8
6 6
8
M 3  5 4 7  0 ,
4 2 6
значит
r(N)=2, поэтому dim(B)=2.
Векторы b1 , b2 составляют базис В, т.к. координаты этих векторов проходят через
базисный минор М2.
Тогда А+В=<a1, a2, b1, b2>. Найдем базис системы векторов {a1, a2, b1, b2}. Для этого
надо найти ранг матрицы Н, строки которых – координаты данных четырёх векторов.
2 1 3

1 4 2 , M  1
2
2
6 6 8

4 7 7 
1
1 2 3
2
M 3  2 1 2  6  0 M 4 
6
6 6 8
5
1

2
Н 
6

5

1 2 1
2
 1  4  0 , M3  2 1 4  0
1
6 6
6
2 1 3 1 2 1 3
1 4 2 0 3 6 4

0
6 6 8 0  6 12  10
4
7
7
0  6 12
8
Значит r(H)=3. Так как в базисный минор М 3  входят координаты векторов a1 , а 2 ,
b1 то базис А+В составляют векторы a1 , а 2 , b1, , dim(А+В)=3.
Пересечением подпространств А и В линейного пространства L называется
множество А  В  х  L х  А, х  В.
Теорема. Пересечение подпространств линейного пространства L является
подпространством L.
Теорема. Размерность суммы подпространств равна сумме размерностей слагаемых без
размерности их пересечения, т.е.
dim(A+B)=dim(A)+dim(B)–dim(A  B)
(1)
Из этой формулы находим размерность A  B:
dim(A  B)=dim(A)+dim(B)–dim(A+B).
Так как размерности подпространств в правой части этого равенства мы умеем
находить, то по этой формуле можно найти dim(A  B).
Пример 3. Для подпространств А и В из примера 2 найти базис и размерность
подпространства A  B.
Решение. Мы нашли, что dim(А+В)=3, dim(A)=2, dim(B)=2. Подставляя в формулу
(1),имеем:
3=2+2–dim(A  B).
Таким образом, dim(A  B)=1. Теперь остается найти базис A  B. Для этого
достаточно найти один ненулевой вектор из A  B, он и составит базис A  B.
Пусть
х  A  B,
тогда
x=t1a1+t2a2=t1(1, 2, -1, 3)+t2(2, 1, 4, 2)
и
x=s1b1+s2b2=s1(6, 6, 6, 8)+s2(5, 4, 7, 7),
t1(1, 2, -1, 3)+t2(2, 1, 4, 2)=s1(6, 6, 6, 8)+s2(5, 4, 7, 7),
откуда получим
t1  2t2  6 s1  5s2, 2t1  t2  6 s1  4 s2,  t1  4t2  6 s1  7 s2, 3t1  2t2  8 s1  7 s2  
Записываем
 ( 0, 0, 0, 0 )
покомпонентно это равенство, получаем систему линейных однородных уравнений
относительно неизвестных t t , t 2 , s1 , s 2 .
t1  2t 2  6 s1  5 s 2  0,
2t  t  6 s  4 s  0,
 1 2
1
2

 t 1  4 t 2  6 s 1  7 s 2  0 ,
3t1  2t 2  8 s1  7 s 2  0.
Решаем систему методом Гаусса:
 1

 2
 1

 3

1

0

0

0

2 6
1 6
4 6
2 8
2 6
1 2
0 0
0
1
 5 0 1
 
 4 0  0

 7 0  0
 
 7 0   0
 5 0
 1
 2 0 
 0
0 0 

0
0 0  
2
 6  5 0 1
 
3 6
6 0  0

6  12  12 0   0
 
 4 10
8 0   0
2  6  5 0

1  2  2 0

1  2  2 0

2  5  4 0 
 5 0

1  2  2 0
0  1 0 0 
2 6
s1  0 , t 2  2s1  2s2  2s2 , t1  2t 2  6 s1  5s 2  4s2  5s2  s2 .
Найдём ненулевое частное решение этой системы, придав свободной неизвестной s2
ненулевое значение, например s2=1.
При выбранном значении s2 переменные t1=1 и t2=2. Записываем вектор х:
x=t1a1+t2a2=1∙(1, 2, -1, 3)+2∙(2, 1, 4, 2)=s1b1+s2b2=(5, 4, 7, 7).
Мы нашли ненулевой вектор из пересечения A  B, он составляет базис A  B.
Подпространство A  B = 5, 4 , 7 , 7  .
Если подпространства А и В заданы однородными системами уравнений, то
пересечение A  B будет определяться системой, полученной объединением всех
уравнений из этих систем. Любая фундаментальная система решений такой системы
уравнений является базисом пересечения A  B.
Пример 4. Пусть подпространства А и В заданы соответственно системами уравнений
2 х1  3 х2  х3  5 х4  0,

3 х1  х2  2 х3  7 х4  0, (  )
4 х  х  3 х  6 х  0.
2
3
4
 1
3 х1  4 х2  5 х3  7 х4  0,

(  )
2 х1  3 х2  3 х3  2 х4  0,
5 х  х  2 х  5 х  0.
2
3
4
 1
Найти базис и размерность подпространств А+В и A  B.
Решение. Исследуем систему (  )
 2 3 1 5 


Н   3 1 2  7 ,
4 1  3 6 


2 3 1
М2 
2 3
 11  0 ,
3 1
r(H)≥2
M 3  3  1 2  46  0 , значит r(H)=3.
4 1 3
Исследуем систему (   )
3 4  5 7 
3 4


М2 
 17  0 , r(Q)≥2
Q   2  3 3  2 ,
2 3
5 1  2 5 


3 4 5
3 4
7
,
M 3  2  3 3  0 М 3  2  3  2  0 , значит r(Q)=2.
5 1 2
5 1
5
Подпространство В задается системой
3х1  4 х2  5 х3  7 х4  0,
(   )

2 х1  3х2  3х3  2 х4  0.
Для нахождения А+В определяем базис А (ФСР системы уравнений (  )) и базис В (ФСР
системы уравнений (    )). Решаем систему (  ). ФСР состоит из одного решения
(n-r=4-3=1), х1 , х2 , х3 – основные неизвестные, х 4 – свободное неизвестное. Получаем
систему из системы (  ):
2 х1  3 х 2  х3  5 х4 ,

3 х1  х 2  2 х3  7 х4 ,
4 х  х  3 х  6 х .
2
3
4
 1
Решим систему методом Гаусса:
 2 3  1  5 х4   2 3  1  5 х4   2 3
 1  5 х4 

 
 

 3  1 2 7 х4    0  11 7 29 х4    0  11 7 29 х4 
4 1  3
 
 

 6 х4   0  5  1 4 х4   0 0  46  101х4 

2 х1  3 х2  х3  5 х4 ,

  11х2  7 х3  29 х4 ,

 46 х3  101х4 .

101
х3 
х4
46
29 х4  7 х3
29
707
627

х4 
х4  
х4
 11
11
11  46
506
 5 х4  х3  3 х2
5
101
1881
 2530  1111  1881
х1 
  х4 
х4 
х4 
х4 
2
2
92
1012
1012
ФСР:
462
231

х4 
х4 .
1012
506
х2 
 231 627 101 
,
,
,1 

 506 506 46 
или
(231, -627, 1111, 506). Базис пространства А – это вектор (231, -627, 1111, 506)=а.
Решаем систему (    ). ФСР состоит из двух решений (n-r=4-2=2). Основные
неизвестные – х1 , х2 , свободные – х3 , х4 .
3 х1  4 х2  5 х3  7 х4 ,

2 х1  3 х2  3 х3  2 х4 .
х1
3
17
 13
17
1). х3  1 , х4  0
3х1  4 х2  5

2 х1  3х2  3
х2
19
17
 20
17
х1 =
3
,
17
х3
1
х4
0
0
1
х2 =
19
.
17
2). х3  0 , х4  1
3х1  4 х 2  7  3
13
20
.
х1 =  ,
х2 = 

17
17
2 х1  3 х 2  2  4
В качестве базиса подпространства В можно взять векторы
b1  3, 19 , 17 , 0  и b2   13,  20, 0, 17  . Тогда
A  B  а, b1 , b2   231,  627 , 1111, 506 , 3, 19, 17 , 0,  13,  20, 0, 17  Посмотрим, является ли
система векторов а, b1 , b2 линейно зависимой или линейно независимой.
 231  627 1111 506 


231  627
Н  3
19
17
0 , М2 
 0 , r(H)≥2
3
19
  13  20
0
17 

231  627 1111
r(H)=3. Система векторов а, b1 , b2 линейно независима,
М3  3
19
17  0
 13  20
0
является базисом (А+В).
Найдем размерность пересечения (A  B) подпространств.
3=2+1–dim(A  B), dim(A  B)=0, A  B=0. Базиса нет. Для нахождения базиса
пересечения подпространств A  B следует решить систему уравнений
2 х1  3х 2  х3  5 х 4  0,
2 3 1 5 


3х  х  2 х  7 х  0,
3

1
2

7


1
2
3
4



4 х1  х 2  3х3  6 х 4  0, К   4 1  3 6 
3х  4 х  5 х  7 х  0,
3 4  5 7 
2
3
4
 1
 2  3 3  2
2 х1  3х 2  3х3  2 х 4  0.


2 3 1 5
2 3 1
3 1 2  7
0
М 3  3 1 2  0 М 4 
4 1 3 6
4 1 3
2 3 3 2
r(K)=4  r=n  система имеет единственное нулевое решение. Поэтому A  B=0. Базиса
подпространства А  В нет.
Пусть в L имеем подпространства А и В. Может оказаться, что А  В=0. Тогда сумма
подпространств А+В называется прямой суммой и обозначается А+В=А  В.
Подпространство А+В обозначим через Н: Н=А+В, Н  L . Тогда записывают:
Н=А  В, если Н=L,то L=А  В, и говорят: подпространство Н (линейное пространство L)
является прямой суммой подпространств А и В. Если L=А  В, то подпространства А и В
называют прямыми дополнениями друг друга в пространстве L.
Теорема. Сумма подпространств А и В тогда и только тогда является прямой, когда
размерность суммы подпространств А и В равна сумме размерностей слагаемых, т.е.:
dim(A+B)=dim(A)+dim(B).
Пример 6. Подпространства А и В из примера 4 составляют прямую сумму, так как
A  B=0.