Олимпиадные задачи по математике 2014

задания по математике 5 класс
Задача 1.
В корзине лежат яблоки, груши и персики – всего 37 плодов.
Яблок в корзине в два раза больше, чем персиков, и на 3 штуки больше, чем груш.
Сколько в корзине яблок, груш, персиков?
Задача 2.
Запишите все делители числа 24.
Запишите все числа, меньшие двухсот, которые кратны этому числу.
Задача 3.
Из двух городов, расстояние между которыми 100 км, одновременно выехали навстречу друг другу
два велосипедиста, скорости которых 12 км/ч и 14 км/ч.
Каким будет расстояние между велосипедистами через 3 часа после начала их движения?
Задача 4.
Начертите угол, который на 15о меньше прямого угла.
Начертите угол, который на 65о меньше развёрнутого угла.
На сколько градусов первый угол меньше второго?
Задача 5.
На стол положили ложки, вилки и ножи – всего 37 приборов.
При этом вилок положили в два раза больше, чем ножей и на 2 меньше, чем ложек.
Сколько положили на стол ложек, вилок, ножей?
задания по математике 6 класс
1. Трехзначное число состоит из возрастающих (слева направо) цифр.
Если это число прочитать, то все слова будут начинаться на одну и туже букву.
Что это за число?
2. Три курицы за три дня несут три яйца.
Сколько яиц снесут 12 таких же кур за 12 дней?
3. Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы.
Сколько потребуется землекопов, для того чтобы выкопать 50 м канавы за 50 часов?
4. На столе лежат девять монет. Одна из них — фальшивая.
Как при помощи двух взвешиваний можно найти фальшивую монету?
(Фальшивая монета легче настоящих.)
5. Отец с двумя сыновьями отправился в поход.
На их пути встретилась река, у берега которой находился плот.
Он выдерживает на воде или отца, или двух сыновей.
Как переправиться на другой берег отцу и сыновьям?
6. На столе лежат две монеты, в сумме они дают 3 рубля. Одна из них не 1 рубль. Какие это
монеты?
7. Найдите минимальное пятизначное число, все цифры которого различны, и которое делится
на 83 без остатка.
8. Докажите, что при перемножении двух тысяч двенадцати двоек получается число не более,
чем из 700 цифр.
9. Одна дама хвасталась подруге миловидной девушкой, изображенной на фотографии.
Дама сказала, что у нее нет родных сестер и братьев, но мать изображенной девушки была
дочерью ее отца. Кто на фото?
10. Коробка конфет весит 250 г и еще половина коробки конфет.
Сколько весит коробка конфет?
11. Арбуз разрезали на четыре части и съели. Получилось пять корок.
Могло ли такое быть?
12. В классе школьники сидят по одному человеку за партой — в три ряда по пять человек.
Каждый школьник подарил своему соседу (справа, слева, впереди или сзади сидящему) по
конфете.
Докажите, что есть школьник, которому подарили по крайне мере две конфеты.
13. Какие две цифры нужно приписать справа к числу 2012, чтобы получилось число, делящееся
на 77?
14. Докажите, что среди чисел 5х - 3y - 2z, 5y - Зz - 2х, 5z - Зх - 2у найдется хотя бы одно
неотрицательное.
15. Найдите минимальное пятизначное число, которое делится на 79 без остатка.
задания по математике 7 класс
Задача 1.
Один из мальчиков испортил выключатель. На вопрос, кто это сделал, получили ответы:
1. Это сделал или Миша, или Коля.
2. Это сделал или Витя, или Коля.
3. Это не могли сделать ни Толя, ни Миша.
4. Это сделал или Витя, или Миша.
Можно ли по этим данным установить, кто виновен в поломке выключателя, если из четырех
суждений три истинных?
Задача 2.
Предстоят спортивные соревнования между четырьмя девятыми классами одной школы. В
учительской живо обсуждаются возможные результаты, высказываются прогнозы.
- Первое место займет 9А, а второе - 9Б, - сказала учительница математики.
- Да что вы! - сказала учительница географии. - Я недавно ходила с ними в поход и знаю их
возможности. 9А - займет второе место, а 9Г - только третье.
- А я думаю, что на втором месте будет 9В, - сказала завуч школы, - а 9Г будет на последнем месте.
Оказалось, что прогнозы их сбылись только на половину.
Какое место занял каждый класс?
Задача 3.
На марафонском беге было сделано два прогноза о местах, которые займут спортсмены Василенко,
Левченко и Симченко, реально претендующие на призовое место:
1. "Симченко будет первым, Васильков -вторым, а Левченко - третьим";
2. "Победит Васильков, Левченко придет вторым, а Симченко будет третьим".
После окончания состязания оказалось, что три фаворита действительно заняли три первые места,
но оба предсказания оказались ложными.
Ни в одном из предсказаний ни одно из мест не было названо правильно.
Какое место занял каждый спортсмен?
Задача 4.
При составлении расписания уроков на один день учителя истории, математики и литературы
высказали следующие предложения:
математик 1 или 2 урок
историк или 1 или 3 урок
литератор или 2 или 3
Составьте расписание.
Задача 5.
Четверо друзей - Алик, Володя, Миша и Юра - собрались в доме у Миши.Мальчики оживленно
беседовали о том, как они провели лето.
- Ну, Балашов,ты, наконец, научился плавать? - спросил Володя.
- О, еще как, - ответил Балашов, - могу теперь потягаться в плавании с тобой, Алик.
- Посмотрите, какой я гербарий собрал, - сказал Петров, прерывая разговор друзей, и достал из
шкафа большую папку.
Всем, особенно Лунину и Алику, гербарий очень понравился. А Симонов обещал показать товарищам
собранную им коллекцию минералов.
Назовите имя и фамилию каждого мальчика.
Задача 6.
В одной школе уроки по биологии, географии, английскому языку, французскому языку, истории и
математики вели три учителя: Морозов, Васильев и Токарев. Каждый из них преподавал по два
предмета. Учитель географии и учитель французского языка - соседи по дому. Морозов - самый
младший из троих. Все трое - Токарев, учитель биологии и учитель французского языка - ездят из
школы вместе. Учитель биологии старше учителя математики. В свободное время, если им удается
найти четвертого партнера, учитель английского языка, учитель математики и Морозов обычно
играют в домино.
Кто какие предметы преподает?
Задача 7.
Пяти летчикам-испытателям - Сергееву, Беляеву, Корниенко, Пугачевскому и Мгеладзе - предстояло
испытать пять типов самолетов: ЯК, ИЛ, МИГ, ЛА и ТУ.
В первый день Пугачевский испытал ЯК.
Во второй день Корниенко летал на ЛА.
в третий день Корниенко испытывал самолет ИЛ, а Мгеладзе - Ла
В четвертый день Сергеев поднялся в воздух на самолете ЯК, а Пугачевский на самолете МИГ.
Составьте таблицу испытаний самолетов на все пять дней полетов.
Задача 8.
Кондратьев, Давыдов и Федоров живут на одной улице. Один из них столяр, другой - моряк, третий водопроводчик.
Федоров и Кондратьев - родственники.
Недавна моряк попросил столяра починить кое-что у него дома за вполне приличную плату. Столяр
обещал зайти, но не пришел в условленный час. Моряк сам пошел к нему домой, но домашние
столяра сказали, что тот ушел к внезапно заболевшему водопроводчику.
Известно также, что Федоров никогда не слышал о Давыдове.
Кто чем занимается?
Задача 9.
Дина, Жана, Вера, Борис, Дима и Толя вместе учились в школе и институте и три свадьбы эта
шестерка решила отпраздновать тоже вместе.
Известно, что:
- Толя - брат Дины;
Вера - старшая из девушек;
- общий возраст каждой четы одинаков, хотя среди них нет ровестников;
- Толя старше Димы;
Диме и Жане вместе столько же лет, как Боре и Диме.
Кто на ком женится?
задания по математике 8 класс
Задача 1.
Какой цифрой оканчивается сумма 92007 + 92006 ?
Задача 2.
В оранжерее было срезано 360 гвоздик. Причем красных на 80 больше, чем белых, а розовых на 160
штук меньше, чем красных.
Какое наибольшее число одинаковых букетов можно составить из этого количества цветов ?
Сколько и каких цветов было в каждом букете?
Задача 3.
Существует ли такой круг, чтобы его площадь и длина окружности выражались одним и тем же
числом ?
Задача 4.
После семи стирок измерения куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного
параллелепипеда, уменьшились в двое.
На сколько еще стирок хватит оставшегося куска мыла ?
Задача 5.
Какими двумя цифрами заканчивается число 13! ?
Задача 6.
Из 38 учащихся 28 посещают хор и 17 лыжную секцию.
Сколько лыжников посещает хор, если в классе нет учащихся, которые не посещают хор или
лыжную секцию ?
Задача 7.
Окружность касается квадрата извне и «катится» по нему без скольжения.
Сколько полных оборотов сделает эта окружность около своего центра и какой путь пройдет центр
окружности к моменту возвращения в исходную точку, если длина стороны квадрата равна длине
окружности и радиус окружности равен а см ?
Те же вопросы, если окружность «катится» по сторонам равностороннего треугольника.
Задача 8.
Во время похода палатки расположились в т. А,В, и С.
В каком месте удобно выбрать площадку для проведения общего костра,
чтобы расстояние от него до палаток было одинаковым ?
Задача 9.
Найдите произведение всех целых чисел от (-99) до 99.
Задача 10.
Две семьи выехали каждая на машине «Жигули» на прогулку одновременно из одного места.
Обе семьи проехали на машинах одинаковые расстояния и вернулись домой в одно и то же время.
В пути они отдыхали.
Первая семья была в пути в двое больше времени, чем вторая.
Вторая была в пути втрое больше времени. Чем отдыхала первая.
Какая из этих семей двигалась на машине быстрее ?
Задача 11.
Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда.
Как, не делая никаких измерений и не имея других емкостей, наполнить водой ровно половину
объема этого сосуда ?
задания по математике 9 класс
1.
Корень из числа 49 можно извлечь по такой «формуле»: ? 49 = 4 + ?9.
Существуют ли другие двузначные числа, квадратные корни из которых извлекаются аналогичным
образом и являются целыми? Укажите все такие двузначные числа.
2.
ABC – равнобедренный треугольник с вершиной А. ?А=27°. Точка D симметрична точке В
относительно А. Чему равен угол ?BCD?
3.
Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до
следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на
расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск
упустить автобус?
4.
Про числа a и b известно, что a = b+ 1. Может ли оказаться так, что a 4 = b4?
5.
Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 x 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 x
3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки?
6.
Найти все решения уравнения |х2 – 4| + |х2 – 9| = 5.
7.
Баба Яга и Кащей Бессмертный собирали мухоморы. Общее число крапинок на мухоморах Бабы Яги
оказалось в 13 раз больше, чем у Кащея. Когда Баба Яга отдала Кащею мухомор с наименьшим
количеством крапинок, на её мухоморах стало в 8 раз больше крапинок, чем у Кащея. Доказать, что
сначала у Бабы Яги было не более 23 мухоморов.
8.
Пусть Р и Q — середины сторон АВ и CD четырёхугольника ABCD, М и N — середины
диагоналей АС и BD. Докажите, что если прямыеMN и PQ перпендикулярны, то ВС = AD.
9.
Перед боем у Василия Ивановича и Петьки было поровну патронов. Василий Иванович израсходовал
в бою в 8 раз меньше патронов, чем Петька, а осталось у него в 9 раз больше патронов, чем у
Петьки. Доказать, что изначально количество патронов у Василия Ивановича делилось на 71.
10.
Один рабочий может выполнить работу за 4 часа, а другой — за 6 часов. Сколько должен работать
третий рабочий, чтобы сделать эту работу, если его производительность равна средней
производительности первых двух.
задания по математике 10 класс
1.
Постройте эскиз графика функции:
.
2.
Найдите все значения числового параметра а, при которых корни
уравнения
положительны.
3.
Общая хорда двух пересекающихся окружностей служит для одной из них стороной
правильного вписанного четырехугольника, а для другой стороной правильного вписанного
шестиугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей
окружности равен 10 см?
4.
М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту
же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на
квас, если цены вырастут еще на 20%?
5.
Существует ли выпуклый многоугольник, число диагоналей которого в 10 раз больше числа
его сторон?
6.
4
5
Между числами /7 и /7 найти натуральное число, являющееся квадратом рационального
числа.
7.
Разложить многочлен x5 + х4 +1 в произведение нескольких (не менее двух) многочленов
степени не ниже первой.
8.
Вершины D, Е и F треугольника DEF лежат на продолжениях сторон АВ,
ВС и СА треугольника ABC за вершины В, С и Асоответственно. Известно, чти BD=AC,
AF=CE=AB и треугольник DEF - равносторонний. Докажите, что и треугольник ABC равносторонний.
9.
Докажите, что в пятиугольнике, все углы и стороны которого равны, сумма расстояний от
произвольной внутренней точки до сторон не зависит от выбора этой точки.
10.
Волк и Заяц играют в следующую игру: на доске написано число; ход состоит в том, чтобы
вычесть из этого числа какую-либо его ненулевую цифру и записать получившееся число
на месте старого. Ходят по очереди. Выигрывает тот, кто первым получает ноль. На доске
исходно написано число 1234, первым ходит Волк. Кто выиграет при правильной игре?
Задачи и задания по математике 11 класс
1.
Найдите такое натуральное число k, что 2008! делится на 2007k, но не делится на 2008k. (Напомним,
чтоn! = 1·2·3·4·… ·n).
2.
Может ли вершина параболы y = 4x 2 – 4(a + 1)x + a лежать во второй координатной четверти при
каком-нибудь значении а?
3.
(an) – арифметическая прогрессия с разностью 1. Известно, что S 2008 - наименьшая среди всех
Sn (меньше суммы первых n членов для любого другого значения n). Какие значения может
принимать первый член прогрессии?
4.
Внутри равностороннего треугольника со стороной 8 находится равнобедренный треугольник АВС, в
котором АС = ВС = 1, ?С=120°. Две вершины А и В могут лежать либо на одной стороне большого
треугольника, либо на двух. Где при этом может оказаться вершина тупого угла – точка С?
Нарисуйте это геометрическое место точек и найдите длину соответствующей линии.
5.
Клетчатая прямоугольная сетка m x n связана из веревочек единичной длины. Двое делают ходы по
очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную веревочку.
Если не останется ни одного замкнутого веревочного контура, то игрок, сделавший последний ход,
считается проигравшим. Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого
играть?
6.
Докажите, что являются точными квадратами все числа вида 16, 1156, 111556 и т.д. (в середину
предыдущего числа вставляется число 15).
7.
В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она
съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут почувствовать
себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?
8.
Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХА=БАХ.
9.
Двое пишут 30-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый,
вторую --- второй, третью --- первый и т.д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число
разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?
10.
Можно ли замостить шашечную доску 10*10 плитками 4*1?