Partial differential equations

1
Уравнения математической физики
Замечание. Далее в записи соотношений будут использоваться символы
векторного анализа. Будем обозначать:
 радиус - вектор r   x1 , x2 ,..., xn  (там, где это оправдано, одна из координат
радиус-вектора может пониматься как время);
 векторный дифференциальный оператор Гамильтона, записываемый в де 

 
,
,...,
картовых координатах в виде:   
;
 xn 
  x1  x2
 скалярный дифференциальный оператор Лапласа, записываемый в декартовых координатах в виде: 2     
2
2
2
.


...

 x12  x22
 xn2
Первая производная по времени будет обозначаться точкой: u 
рая производная по времени – двумя точками: u 
u
; втоt
 2u
.
 t2
Задачи, приводящие к уравнениям в частных производных
К дифференциальным уравнениям в частных производных приводят многие задачи, связанные с математическим моделированием реальных явлений и
процессов.
1. Волновое уравнение.
Рассмотрим поперечные колебания струны – тонкой невесомой свободно
изгибающейся нити. Пусть в положении равновесия струна расположена вдоль
оси Ox. Обозначим через u x, t  смещение точек струны в момент времени t
(иначе: u x, t  – функция, вдоль графика которой расположена струна). Пусть,
кроме этого, отклонения струны от положения равновесия настолько малы, что
дополнительное удлинение струны не оказывает существенного влияния на ее
натяжение. Тогда мы можем считать, что абсолютная величина натяжения
струны не зависит ни от координаты, ни от времени: T  T0  const .
Рассмотрим произвольный участок M1M2 струны. Модуль внешней силы,
действующей на участок, есть сумма проекций сил натяжения на ось Ou:
F  T0 sin   x2   sin   x1  ,
где   x  – угол между касательной в точке с абсциссой x и положительным
направлением оси Ox.
u
В силу малости угла: sin   tg 
; следовательно:
x
2
u

u

.
F  T0

 x


x

x  x2
x  x1 
Замечая, что разность производных в правой части равна:
x
2
u
u
 2u


dx ,
 x x  x  x x  x x  x 2
2
1
1
окончательно получим:
x2
 2u
F  T0  2 dx .
x
x
1
Ускорение u x, t  участка струны, как и его положение u x, t  , есть функция координаты x и времени t. Поэтому правая часть основного закона динамики (произведение массы на ускорение) примет вид:
x2
 .
  x udx
x1
где  x  – линейная плотность струны.
Подставляя найденные выражения в основной закон динамики, получим:
x2
x2 2
x2
  2u

 u
 2u

T0  2 dx    x  2 dx , или:   T0


x
u
 dx  0 .


2

x

t

x


x1
x1
x1
Но тогда в силу произвольности участка M1M2 подынтегральная функция
для каждой точки x и каждого момента времени t должна быть равна нулю:
T  2u
u  0
 0.
 x   x 2
Полученное уравнение, называемое одномерным волновым уравнением
для свободных колебаний, является искомой математической моделью движения струны.
2. Уравнение неразрывности.
Пусть сплошная среда (жидкость или газ) движется с некоторой скоростью v  vr,t  . Рассмотрим некоторый объем среды V, ограниченный поверхностью S. Если внутри объема нет источников и стоков, то изменение в единицу времени массы среды, заключенной внутри объема, по абсолютной величине равно потоку среды через поверхность S:

dv    v  ds .
 t 
V
S
Последнее уравнение есть ни что иное, как закон сохранения массы, записанный в интегральной форме. Ему можно придать иной вид.
Преобразуем правую часть по формуле Остроградского-Гаусса:
3
 v  ds   divvdv .
S
V
Подставляя полученное соотношение в исходное уравнение и выполняя в
левой части дифференцирование по времени под знаком интеграла, получим:
 



div

v
,
или:
dv


div

v
dv



 dv  0 ,


   t
  t


V
V
V
откуда, вновь в силу произвольности объема V, следует:

 divv  0 .
t
Полученное дифференциальное уравнение (также выражающее закон сохранения массы) носит название уравнения неразрывности.
Уравнения в частных производных
Определение. Уравнение, связывающее искомую функцию u  ur , независимые переменные r и всевозможные частные производные от неизвестной
u u
u
 mu
функции
,
, ...,
, ...,
, называется дифференциальным
 x1  x2
 xn
 x1k ... xnl
уравнением в частных производных:

u
u
 mu 
F  r, u,
,...,
,..., k
  0.
(1)
 x1
 xn
 x1 ... xnl 

Порядок старшей частной производной называется порядком дифференциального уравнения.
Решением уравнения называют функцию ur  , которая обращает ‘nj
уравнение в тождество. Уравнение, одним из решений которого является
функция u  0 , называют однородным.
Уравнение первого порядка от двух независимых переменных имеет вид:

u u
F  r, u,
,   0,
(2)
 x  y

где r   x , y  .
Уравнение второго порядка от двух независимых переменных имеет вид:

 u  u 2u 2u 2u 
F  r, u, ,
,
,
,
 0
(3)
 x  y  x 2  x y  y 2 

где r   x , y  .
Уравнение, линейное относительно искомой функции и всех ее производных, называется линейным. Линейное неоднородное уравнение первого порядка записывают в виде:
4
n
u
 ai r  x
i 1
i
 bru  f r ,
(4)
где ai r , br  , f r  – некоторые функции координат (предполагается, что по
крайней мере одна из функций ai тождественно не равна нулю).
Нетрудно проверить, что уравнение (4) будет линейным однородным, если его правая часть будет равна нулю f r  0 .
Линейное неоднородное уравнение второго порядка имеет вид:
n n
n
 2u
u
  aij r   x x  bi r   x  cr u  f r  .
(5)
i j
i
i 1 j 1
i 1
Уравнение, линейное только относительно старших производных, называется квазилинейным.
Пример 1. Рассмотрим линейное однородное уравнение первого порядка:
y
u
u u


 0.
x y
2
p
Выясним его геометрическое содержание. Для этого достаточно, используя оператор Гамильтона, перейти к векторной запи1
си:
11,   u  0 .
1
x
Следовательно, уравнение определяет
скалярное поле ur  , градиент которого в
Рис. 1
каждой точке ортогонален вектору 1,1
(иначе: поле, линии уровня которого в кажy
дой точке плоскости касаются вектора p )
u
(рис. 1). Нетрудно проверить, что общим

решением уравнения будут, в частности,
r
2
p
всевозможные линейные функции вида
ur  x  y   , где ,  – произвольные
постоянные.
Пример 2. Рассмотрим уравнение:
x
u
u
y
x
 0.
Рис. 2
x
y
Перепишем его в виде:
 y, x  u  0 .
5
Следовательно, это уравнение также определяет поле ur  , градиент которого в каждой точке ортогонален вектору   y , x  . Но вектор   y , x  можно в
результате поворота радиус-вектора r   x , y  на угол  2 :
 0  1
p
 r  R 2 r .
1 0 
Поэтому решениями ur  данного уравнения будут всевозможные функции, градиент которых в каждой точке коллинеарен радиус-вектору (иначе:
функции, линии уровня которых являются окружностями с центром в начале
координат) (рис. 2). В частности, одним из решений уравнения является функция ur   x 2  y 2 .
Рассмотренные примеры позволяют сделать заключение, что общее решение уравнения в частных производных первого порядка включает одну произвольную функцию (точно также, как решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка включает одну произвольную постоянную).
Так, в первом примере общее решение можно записать в виде:
u x , y     x  y  ,
где (t) – произвольная функция. Действительно, полагая t=x-y и пользуясь
правилом дифференцирования сложной функции, получим:
u

u

 t
 x  y  t ;  t  x  y  t .
x
x
y
y
Подставляя найденные производные в левую часть уравнения, получим
тождество:
t  t  0 .
Следовательно, функция   x  y  является решением уравнения. Нетрудно проверить, что во втором примере общим решением уравнения будет функция u x , y    x 2  y 2 .


Пример 3. Рассмотрим уравнение второго порядка от двух независимых
переменных:
 2u
 0.
 x y
u
Положим
 v . Тогда исходное уравнение примет вид:
y
v
 0.
x
Решением этого уравнения является произвольная функция от y: v  f  y . Но
тогда исходное уравнение равносильно уравнению первого порядка:
6
u
 f  y .
y
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
u x , y    f  y dy    x  ,
где (x) – произвольная функция от x. Далее, в силу произвольности функции
f(y) ее первообразная  f  y  dy также произвольна. Поэтому решение можно
записать в виде:
u x, y    x    y .
Таким образом, общее решение уравнения второго порядка содержит уже
две произвольные функции.
Вообще, основное отличие общего решения уравнения в частных производных n-го порядка от общего решения обыкновенного дифференциального
уравнения состоит в том, что оно включает n произвольных функций (в то время как общее решение обыкновенного дифференциального уравнения включает n произвольных постоянных). Решение, не включающее произвольных
функций, называют частным решением уравнения.
Для нахождения частного решения необходимо наложить на искомую
функцию ur, t  дополнительные условия, которые принято разделять на
начальные и граничные.
Начальные условия характеризуют состояние каждой точки системы в
отдельный (обычно начальный) момент времени. Как правило, для уравнения
второго порядка эти условия имеют вид:
ur,0  f r
,

ur,0  F r
где f r  и F r – некоторые стационарные (не зависящие от времени) функции координат.
Граничные условия характеризуют состояние отдельных точек системы
(как правило, ее граничных точек) в каждый момент времени. Эти условия
имеют вид:
urk , t    k t  , rk  ,
где  – некоторое заранее заданное множество точек, k t  – некоторые функции времени (но не координат).
Отыскание частного решение уравнения при заданных начальных условиях, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, называют
задачей Коши. Отыскание частного решения уравнения при заданных граничных условиях называют краевой задачей.
7
Классификация уравнений математической физики
Уравнениями математической физики называют дифференциальные
уравнения в частных производных, встречающиеся в физике и технике. Как
правило, такие уравнения являются линейными уравнениями второго порядка
(часто коэффициенты перед производными являются постоянными числами). В
случае двух независимых переменных такие уравнения имеют вид:

 2u
 2u
 2u
 u  u
Ar  2  2 Br 
 C  r  2   r , u , ,  .
 x y
 x  y
x
y

(6)
Классификацию уравнений проводят в зависимости от знака выражения
  B 2  AC .
1. Если в данной точке   0 , то говорят, что уравнение в данной точке
принадлежит гиперболическому типу.
2. Если   0 , то говорят, что уравнение в данной точке принадлежит эллиптическому типу.
3. Если   0 , то говорят, что уравнение в данной точке принадлежит параболическому типу.
Говорят, что уравнение принадлежит какому-либо типу в некоторой области, если оно принадлежит этому типу в каждой точке области. В частности,
если коэффициенты при производных есть постоянные числа, то тип уравнения
сохраняется в любой точке.
Введем новые переменные:
   x, y ,    x, y .
(7)
Предположим также, что преобразование (7) является взаимнооднозначным. Требование взаимной однозначности будет выполнено, если
якобиан преобразования во всей рассматриваемой области изменения переменных x и y не обращается в ноль:
 
x y
 0.
 
x y
Такое преобразование не меняет типа дифференциального уравнения.
Выбирая соответствующим образом новые переменные, каждое из трех типов
дифференциальных уравнений можно привести к каноническому виду.
1. Канонические формы уравнений гиперболического типа.
Если B2>AC, то новые неизвестные  и  можно выбрать так, чтобы в по 2u
 2u
лученном уравнении коэффициенты при вторых производных
и
2
2 об-

ратились в ноль:

8

 2u
 u  u
 1   ,, u, ,  .
  
   

(8)
Соотношение (8) носит название первой канонической формы уравнения
гиперболического типа.
При некоторых дополнительных предположениях (требуется, в частности, линейность правой части) для уравнения гиперболического типа возможна
запись без смешанной производной:
(9)

 2u  2u
 u  u




,

,
u
,
,
.


2
   
  2  2

Соотношение (9) носит название второй канонической формы уравнения
гиперболического типа. Если правая часть (9) не зависит от ни от искомой
функции u, ни от ее производных, то (9) называют волновым уравнением:
 2u  2u

 f  , .
2
2


2. Каноническая форма уравнения параболического типа.
Для уравнения параболического типа B2=AC, поэтому новые
неизвестные и  можно выбрать так, чтобы в левой части полученного уравнения осталась только одна частная производная второго порядка:
(10)

 2u
 u  u



,

,
u
,
,
.


1
   
 2

Соотношение (10) называют канонической формой уравнения параболиu
ческого типа. Если правая часть (10) не зависит ни от , ни от
, то (10) яв-

ляется обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Если
правая часть (10) линейна относительно искомой функции и ее производных,
то соответствующей подстановкой (10) можно привести к виду:
(11)
 2v
v

a

bv

c
2


Если второе слагаемое в правой части (11) равно нулю, то уравнение (11)
называют уравнением теплопроводности.
3. Каноническая форма уравнения эллиптического типа.
Для уравнения эллиптического типа B2<AC. Тогда (при некоторых ограничениях на характер функций в левой части) новые неизвестные  и  можно
выбрать так, чтобы в полученном уравнении обратился в ноль коэффициент
при смешанной производной:
(12)


 u  u
 2u  2u
 u  u
2




,

,
u
,
,
,
или
.

u



,

,
u
,
,




1
1
   
   

  2  2

9
Соотношение (12) носит название канонической формы уравнения параболического типа. Если правая часть (12) не зависит от ни от искомой функции, ни от ее производных, то (12) называют уравнением Пуассона:
(13)
2u  f  , .
Если правая часть (13) равна нулю, то уравнение (13) называют уравнением Лапласа.
11.1 Задача Коши для свободных колебаний бесконечной струны (метод Даламбера)
Данная задача состоит в отыскании частного решения одномерного однородного волнового уравнения:
2
(14)
2  u
,
u  a

0
 x2
при начальных условиях:
(15)
u x ,0  f  x , u x,0  F  x .
В постановку задачи не включаются граничные условия. Физическое содержание задачи соответствует рассмотрению свободных колебаний на участке, достаточно удаленном от точек закрепления струны (когда граничные точки
не оказывают влияния на колебания, возникшие в средней части струны).
При использовании метода Даламбера общее решение уравнения (14)
ищут в виде
(16)
u x , t     x  at     x  at  ,
где ,  – произвольные функции, определяемые начальными условиями (нетрудно проверить, что построенная таким образом функция удовлетворяет
уравнению (14)).
Для определения функций  и  положим в (16) t=0 и подставим выражение для u x , t  в первое из начальных условий (15):
(a)
  x    x  f  x .
Дифференцируя функцию u x , t  по времени, найдем:
u x , t   a  x  at   a  x  at  .
Вновь полагая время равным нулю и пользуясь вторым из начальных
условий, найдем:
 a  x  a  x  F  x .
Интегрируя последнее равенство в пределах от 0 до x, получим:
x
(b)
1
   x     x    F  x dx  C ,
a0
где C   0   0 – постоянная величина.
10
:
Система из двух уравнений (a) и (b) позволяет определить функции  и
x
1
1
C
  x   f  x    F  x dx  ,
2
2a 0
2
(c)
x
1
1
C
  x   f  x    F  x dx  .
2
2a 0
2
(d)
Заменим в уравнениях (c) и (d) аргумент x на x-at и x+at, соответственно.
Подставляя полученные выражения в (16) и объединяя два интеграла в правой
части, определим искомое частное решение:
f  x  at   f  x  at  1 x  at
(17)
u x , t  

F  x dx .

2
2a x  at
Последнее соотношение является искомым решением задачи Коши.
Физическое содержание полученного решения наиболее просто выясняется в случае распространения волн деформаций (когда начальная скорость
всех точек струны равна нулю: u x,0  F  x   0 ). В этом случае (17) принимает
вид:
u x, t
t1
t2
t3
t4
t5
t1  t2  t3  t4  t5
x
Рис. 4. Решение Даламбера
(18)
1
f  x  at   f  x  at   .

2
Решение (18) называют решением Даламбера. Явление, описываемое
первым слагаемым в правой части (18), называют распространением прямой
волны; явление, описываемое вторым слагаемым, называют распространением
обратной волны. Подобные названия отражают то обстоятельство, что график
u x , t  
11
функции f  x  at  можно получить сдвигом графика функции f  x  на at единиц в положительном направлении оси x. Аналогично, график функции
f  x  at  можно получить сдвигом графика f  x  на at единиц в отрицательном
направлении. Смещение точек струны есть, таким образом, сумма прямой и
обратной волн (рис. 4).
Смешанная задача для свободных колебаний ограниченной струны (метод Фурье)
Данная задача состоит в отыскании частного решения одномерного однородного волнового уравнения
2
(14)
2  u
,
u  a

0
 x2
при начальных условиях
(15)
u x ,0  f  x , u x,0  F  x ,
и граничных условиях
(19)
u0, t   0 , ul , t   0 .
Физическое содержание задачи соответствует рассмотрению свободных
колебаний участка струны x 0, l  , концевые точки которого зафиксированы.
Решение задачи может быть найдено методом Даламбера, однако при этом
приходится использовать ряд искусственных приемов, состоящих в учете отражения волн от концевых точек струны. Поэтому воспользуемся другим методом – методом Фурье, или методом разделения переменных.
При использовании метода Фурье решение уравнения (14) ищется в виде:
(20)
u x , t   X  x T t  ,
где X, T – некоторые функции, первая из которых зависит только от координаты, а вторая – только от времени.
Подставляя (20) в уравнение (14), получим:
T t 
X  x 

.
T t  X  x  a 2 Tt  X  x , или 2
X  x
a T t 
Левая часть последнего уравнения зависит только от времени, а правая –
только от координаты. Поэтому равенство возможно только в том случае, если
обе части равны некоторой постоянной. Обозначая эту постоянную через   ,
получим систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
(21)
T t   a 2 Tt   0 ,
(22)
X  x  X  x  0 .
При >0 общие решения уравнений (21) и (22) имеют вид:
T t   A cos a  t  B sin a  t ,
X   x   C cos  x  D sin  x .
(23)
(24)
12
Чтобы получить нетривиальные (ненулевые) решения уравнения (14),
удовлетворяющие граничным условиям (19), необходимо найти нетривиальные
решения уравнения (24), удовлетворяющие граничным условиям:
(25)
X 0  0 , X l   0 .
Значения параметра , при которых возможно решение последней задачи, называют собственными значениями краевой задачи; соответствующие решения уравнения (24) называют собственными функциями краевой задачи.
Полагая в (24) x=0 и x=l, на основании граничных условий (25) получим:
C cos 0  D sin 0  0
.

C
cos
l


D
sin
l


0

Из первого уравнения следует C=0. Тогда:
2
n 

D sin  l  0 , или n    , n Z .
 l 
Найденным собственным значениям соответствуют собственные функции (определяемые с точностью до постоянного множителя)
nx
X n  x   sin
.
l
При   n общее решение уравнения (23) принимает вид
nat
nat
Tn t   an cos
 bn sin
,
l
l
где an, bn – произвольные постоянные. Поэтому решениями уравнения (14),
удовлетворяющими граничным условиям (19), будут функции
(26)
nat
nat  nx

.
un  x , t    an cos
 bn sin
 sin

l
l 
l
Однако в общем случае каждая из функций (26) в отдельности не удовлетворяет начальным условиям (15). Решение, удовлетворяющее начальным
условиям, можно построить только в виде ряда:


nat
nat  nx

,
u x , t    un  x , t     an cos
 bn sin
 sin
(27)


l
l
l
n 1
n 1
выбрав соответствующим образом его коэффициенты.
Полагая в (27) время равным нулю, на основании начальных условий получим

nx
.
f  x    an sin
l
n 1
Дифференцируя ряд (27) по времени и вновь полагая время равным нулю,
получим

na nx
.
F  x    bn
sin
l
l
n 1
13
Последние соотношения представляют собой разложения начальных
условий (15) в ряды Фурье по синусам в интервале от 0 до l. Поэтому искомые
коэффициенты an и bn определяются по формулам Фурье:
l
l
(28)
2
nx
2
nx
an   f  x  sin
dx , bn 
F
x
sin
dx
.


l 0
l
na 0
l
Таким образом, искомое решение смешанной задачи для ограниченной
струны дается рядом (27), в котором коэффициенты определяются по формулам (28).
Обратимся к физическому содержанию полученного решения. Вводя
обозначения an  An sin  n , bn  An cos n , перепишем решение в виде:

 nat

sin
 n  .
 l

l
n 1
Каждое слагаемое в правой части представляет стоячую волну, или гармонику, при которой точки струны совершают колебания с амплитудой
nx
na
An sin
и круговой частотой  n 
.
l
l
Амплитуда n-ной гармоники обращается в ноль в точках, координаты которых определяются из условия:
nx
kl
 k , x  , k=0, 1, 2,... n.
l
n
2k  1l ,
Эти точки называются узлами n-ной стоячей волны. Точки x 
2n
(k=0, 1, 2,... n-1), в которых амплитуда максимальна, называются пучностями
стоячей волны.
Максимальные амплитуды An стоячих волн обычно быстро убывают с
увеличением их номера.
u x , t    An sin
nx
Смешанная задача для уравнения теплопроводности (метод Фурье)
Потоком тепла W называют количество тепла, переносимое в единицу
времени через единицу площади. Привлекая молекулярно-кинетические представления к анализу процесса теплопередачи в газах, можно получить закон
Фурье: тепловой поток пропорционален градиенту температуры:
(a)
W  u ,
где u – температура,  – коэффициент пропорциональности, называемый теплопроводностью.
Многочисленные экспериментальные данные свидетельствуют, что закон
Фурье сохраняет применимость и в случае процессов теплопередачи в конденсированных средах (хотя теплопроводность таких сред может быть найдена
лишь на основе квантовомеханических представлений).
14
Если внутренние источники энергии в среде отсутствуют, то модель распространения тепла может быть получена на основе закона Фурье и закона сохранения энергии. Последний приводит к уравнению, которое по форме совершенно аналогично уравнению неразрывности: скорость изменения «объемной плотности» внутренней энергии равна взятой с обратным знаком дивергенции теплового потока:
(b)
E
 W ,
t
где E – «объемная плотность» внутренней энергии, связанная с температурой,
плотностью и теплоемкостью среды.
Объединение (a) и (b) дает искомую модель нестационарной теплопроводности:
(29)
cu  u ,
где  – плотность, c – теплоемкость среды.
Если параметры среды не зависят ни от координат, ни от времени, то (29)
можно записать в виде:
u  k2u ,

– коэффициент температуропроводности. В одномерном случае:
c
(30)
 2u
u  k 2 .
x
Смешанная задача для уравнения теплопроводности состоит в отыскании
частного решения однородного уравнения (30) при начальном условии
(31)
u x,0  f  x  ,
и граничных условиях
(32)
u0, t   1t  , ul , t   2 t  .
Физическое содержание задачи соответствует анализу теплопередачи в
слое толщиной l, два других размера которого бесконечно велики (или стержня
длиной l при отсутствии теплообмена через боковую поверхность). Начальная
температура слоя равна f  x  , температура противоположных поверхностей
поддерживается на уровнях 1 и 2 .
В данной задаче граничные условия (32) являются неоднородными (решение смешанной задачи для волнового уравнения было найдено при однородных граничных условиях (19)). Поэтому полезным оказывается следующий
искусственный прием (составляющий суть метода вторичных источников).
Введем в рассмотрение фиктивные – расчетные – внутренние источники тепла
с плотностью мощности:
2g
,
w x , t    g  k
 x2
где k 
15
где линейная по координате функция g (имеющая смысл температуры) выбирается так, чтобы было выполнено:
g0, t   1t  , gl , t   2 t  .
Очевидно
lx
x
g x , t  
1t   2 t  .
l
l
Решение ищется в виде суммы фиктивных температур:
u x, t   v x, t   g x, t  .
При этом для функции v x, t  граничные условия принимают вид:
(33)
v0, t   1t   g0, t   0 , vl , t   2 t   gl , t   0 .
Таким образом, рассматриваемая задача сведена к решению неоднородного уравнения:
(34)
 2v
v  k 2  w x , t  ,
x
но при однородных граничных условиях (33). К последней задаче можно применить метод Фурье. Решение уравнения будем искать в виде ряда:

(35)
nx
,
v x, t   Vn t  sin
l
n 1
где Vn t  – неизвестные функции. Для их нахождения можно разложить плотность мощности фиктивных источников тепла w x, t  в ряд Фурье по синусам:

(36)
nx
.
w x, t    wn t  sin
l
n1
Подставляя ряд (35) в уравнение (34) и учитывая разложение (36), для
неизвестных функций Vn t  получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
2
 
 nx
 n 
 Vnt   k  l  Vn t   wn t  sin l  0 , или
n 1 

(37)
2
 n 
Vnt   k   Vn t   wn t  .
 l 
Для нахождения начальных условий уравнений (37) разложим в ряд
Фурье начальное условие уравнения (34) – функцию v x,0 :

nx
;
v x,0  Vn 0 sin
l
n 1
lx
x
(38)
v x,0  u x,0  g x,0  f  x 
10  2 0 ;
l
l
16
l
2 
lx
x
 nx
Vn 0    f  x  
10  2 0 sin
dx .

l 0
l
l
l
Решая (37) при начальных условиях (38), определим неизвестные функции Vn t  . Таким образом, смешанная задача для одномерного уравнения теплопроводности решена полностью.
Универсальность математических моделей, представленных уравнениями в
частных производных. Понятие о численных методах решения.
Высокая общностью моделей, базирующихся на фундаментальных законах природы, приводит к тому, что одни и те же модели описывают явления
различной природы. Так, выражением закона сохранения массы служит уравнение неразрывности, а выражением закона сохранения энергии служит аналогичный по форме закон Фурье. Уравнение Лапласа 2u  0 является моделью
электростатического потенциала в области без распределенных зарядов; моделью поля температур в области без источников тепла, и моделью многих других полей. Уравнение нестационарной теплопроводности является моделью
обширного класса явлений, называемых явлениями диффузионного переноса.
Используемые в задачах математической физики модели предполагают
непрерывность распределения искомых величин в пространстве и времени.
Приближенное представление о пространственном распределении и эволюции
во времени этих величин можно получить, если оперировать совокупностью их
значений в фиксированные моменты времени на конечном множестве точек
пространства. Последнее представление называют пространственновременной сеткой; точки ее называют узлами. Понятия сетки и сеточного узла
являются основой для построения сеточных методов, при использовании которых производные, входящие в уравнения математической физики, приближенно заменяют конечными разностями. В итоге математическую формулировку задачи сводят с системе алгебраических уравнений относительно узловых значений. Если эта система является линейной, то метод называют методом конечных разностей.
При использовании сеточных методов решение получают в виде множества значений искомой величины для частной совокупности существенных
признаков явления. Отсутствие аналитической зависимости затрудняет решение вопроса о влиянии отдельных параметров, поэтому сравнительно полную
картину явления можно составить только на основании результатов анализа
многих серий расчетов.
Пример. Краевая задача для стационарной теплопроводности в плоской
области прямоугольной формы.
Пусть требуется найти решение двумерного уравнения Лапласа
(39)
2u 2u
,


0
 x2  y2
17
в прямоугольной области в вершинами (1;1), (4;1), (4;4), (1;4), на границах которой температура фиксирована:
"2"
u2
"3" u3
"0" u0
h
"1" u1
h
"4" u4
Рис. 5. К выводу разностного аналога уравнения Лапласа
(40)
u x,1  x , u1, y   y , u x,4  4 x , u4, y   4 y .
Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической; нетрудно проверить что в данном случае частным решением краевой задачи (39), (40) будет функция u = xy.
Численное решение складывается из трех этапов.
Шаг 1. Построение дискретного аналога уравнения Лапласа.
Введем регулярную сетку с ячейками квадратной формы и шагом h. Выберем какой-либо узел и занумеруем соседние с ним узлы так, как показано на
рис. 5 (данную операцию принято называть введением шаблона на разностной
сетке).
Для нахождения дискретного аналога уравнения Лапласа используем
разложение функции u в ряд Тейлора в окрестности нуля:

f
f  x , y   f  0,0  
x

f
x
x 0
y
y 0


1 2 f

y 
 2!   x 2
x 0


y 0
2 f
2 f
x 2
xy 
x 0
 x y x 0
 y2

2
y 0
y 0
x 0
y 0
y
2





1 3 f
3 f
3 f
3 f
3
2
2
3

x 3 2
x y3
xy 
y ...
3!   x 3 x 0
 x  y x 0
 x y 2 x 0
 y 3 x 0 


y 0
y 0
y 0
y 0
Координаты узлов равны h,0 , 0,h ,   h,0 и 0,h , соответственно.
Раскладывая искомую температуру в окрестности узла «0», получим:
u
1  2 u 2 1  3u 3
u1  u0 
h
h 
h  ... ,
x
2!  x 2
3!  x 3
18
u2  u0 
u
1  2 u 2 1  3u 3
h
h 
h  ... ,
y
2!  y 2
3!  y 3
u
1  2 u 2 1  3u 3
u3  u0 
h
h 
h  ... ,
x
2!  x 2
3!  x 3
u4  u0 
u
1  2 u 2 1  3u 3
h
h 
h  ... .
y
2!  y 2
3!  y 3
Складывая левые и правые части всех четырех разложений и отбрасывая
слагаемые с производными выше второй, получим:
  2u  2u 
u1  u2  u3  u4  4u0   2  2  h2 ,
y 
 x
 2u  2u u1  u2  u3  u4  4u0
.


 x2  y2
h2
Заменяя в уравнении (39) сумму вторых производных на правую часть
последнего равенства, найдем дискретный аналог уравнения Лапласа:
u1  u2  u3  u4  4u0  0 , или
u
u
u
 ui 1, j
ui , j  i , j 1 i , j 1 i 1, j
.
(41)
4
Уравнение (41) называют разностной схемой “крест”. Его можно интерпретировать как дискретный аналог теоремы о среднем арифметическом: значение гармонической функции в узле равно среднему арифметическому ее значений в соседних узлах.
Шаг 2. Дискретизация граничных y
4
8
12
16
условий.
Введем в рассматриваемой области
12
3
u3
u4
равномерную сетку с шагом, равным единице (рис. 6). Используя условия (40), вычислим значения температуры в гранич8
2
u1
u2
ных узлах.
3. Решение разностных уравнений.
Пользуясь (41), можно записать си1
2
3
4
стему линейных уравнений, порядок которой совпадает с числом внутренних узлов.
Для данной задачи:
x
4u1  u2  u3  4
 u  4u  u  11
Рис. 6. Сетка, на которой ищется
 1
2
4
.
(a)
решение уравнения Лапласа


u

4
u

u

11
1
3
4

 u2  u3  4u4  24
19
Эту систему можно решать прямыми методами (например, методом
Гаусса). Матрица системы:
 4 1 1 0 


0  1
1 4
1 0
4  1


 0 1 1 4 
является матрицей общего вида, однако перенумерацией узлов ее можно преобразовать ленточную или блочную матрицу. Системы линейных уравнений с
ленточными матрицами решаются специальными методами (разновидностями
метода прогонки), которые позволяют получить результат сравнительно быстро.
Вместо решения системы (a) прямым методом можно поступить следующим образом.
Выберем начальное приближение (полагая температуру внутренних узлов равной, например, 8) и будем последовательно уточнять его в соответствии с (41), заменяя на каждой итерации температуру в узле средним арифметическим температур в соседних узлах:
4  u2  u3
11  u1  u4
11  u1  u4
24  u2  u3
; u2 
; u3 
.
u1 
u4 
4
4
4
4
Для ускорения сходимости новые значения температур будем использовать сразу, на этой же итерации. Вычисления оформим в виде таблицы, в которую будем записывать температуры внутренних узлов вместе с невязками –
изменениями температур на последней итерации. Расчет можно остановить,
когда модуль наибольшей из невязок окажется меньше заранее заданного значения (например, 0,01).
Итерация
u1
u2
u3
u4
u1
u2
u3
u4
0
8
8
8
8
1
5
6
6
9
-3
-2
-2
1
2
4
6
6
9
-1
0
0
0
3
4
6
6
9
0
0
0
0
Все невязки на третьей итерации обратились в ноль, поэтому расчет
можно остановить. Искомые значения температуры во внутренних узлах:
u2,2  4 , u3,2  6 , u2,3  6 , u3,3  6 .
Замечание. Нетрудно видеть, что в процессе расчета значения температур
в четырех «угловых» узлах области не потребовались – такова особенность
разностного шаблона «крест».
В некоторых результат удается получить быстрее, используя девятиточечный шаблон «ящик»:
ui , j 1  ui , j 1  ui 1, j  ui 1, j ui 1, j 1  ui 1, j 1  ui 1, j 1  ui 1, j 1
(42)
ui , j 

.
5
20