Диссертация Ахтанова С. Н

Реклама
Казахский Национальный Университет имени аль-Фараби
УДК 537.86/.87:530.182
На правах рукописи
АХТАНОВ САЯТ НУСИПБЕКОВИЧ
Нелинейные эффекты в системе осцилляторов
6D060400 - Физика
Диссертация на соискание ученой степени
доктора философии (PhD) в области физики
Научные консультанты
д.ф.-м.н., профессор Жанабаев З.Ж.,
Professor, Dr. PhD M. А. Zaks
Республика Казахстан
Алматы, 2013
1
СОДЕРЖАНИЕ
3
ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………. 4
1
ВИДЫ БИФУРКАЦИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ……………………………………………………………. 10
1.1 Переход от порядка к хаосу через последовательности бифуркаций
удвоения периода…….............................................................................. 10
1.2 Переход к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний.. 14
1.3 Переход от порядка к хаосу через перемежаемость………………….. 23
1.4 Переход к хаосу через «склеивание» гомоклинических траекторий... 28
1.5 Экспериментальные наблюдения бифуркационных режимов………. 49
2
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СКЛЕИВАНИЯ БИФУРКАЦИЙ В
АНАЛОГОВОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЕ……………………….. 59
2.1 Основные свойства гомоклинической бифуркаций, которые
наблюдаются в эксперименте………………………………………….. 59
2.2 Описание экспериментальной установки……………………………... 63
2.3 Характеристики используемой элементной базы…………………….. 68
2.4 Результаты экспериментального исследования бифуркаций
склеивания………………………………………………………………. 71
3
НОВЫЕ
НЕЛИНЕЙНЫЕ
МЕТОДЫ
АНАЛИЗА
БИФУРКАЦИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ………………………………… 79
3.1 Эволюционный
параметр
порядка
сильно
неоднородных
хаотических сигналов………………………………………………….. 79
3.2 Информационная энтропия двумерных объектов с учетом степени
однородности…………………………………………………………… 80
3.3 Отображение фрактальной эволюции меры…………………………... 84
3.4 Результаты численного анализа………………………………………... 86
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………… 110
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ …...………….…….. 1112
2
ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
В настоящей диссертации применяются следующие термины с
соответствующими определениями:
Бифуркация – термин был введен А.Пуанкаре в 1885г. (от французкого
bifurcation — раздвоение, ветвление) и употребляется в широком смысле для
обозначения всевозможных качественных перестроек или метаморфоз
различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят.
Уравнения и отображения зависящие от ряда параметров, изменение которых
могут описывать к качественное преобразование самой системы, называемое
бифуркацией;
Хаос – это чередование порядка и случайности. Первоначально оно
означало бесконечное пространство, существовавшее до появления всего
остального. Хаос – это случайное появление порядка в беспорядке;
Перемежаемость – чередование порядка и хаоса является универсальным
явлением природы;
Самоаффинность – свойство фрактального объекта, в котором число
определяющих переменных больше единицы и коэффициенты подобия по этим
переменным различные;
Самоорганизация – самопроизвольное появление порядка в хаосе с
фрактальной
структурой,
возможна
при
наличии
нелинейности,
неравновесности, незамкнутости;
Энтропия - а) мера неупорядоченности системы б) мера неопределенности
при
статистическом
описании
в)
мера
относительной
степени
неупорядоченности неравновесных состояний открытых систем г) мера
разнообразия в теории эволюции;
Странный аттрактор – это не точка и не предельный цикл (замкнутая
кривая) в фазовом пространстве, а некоторая область по которой происходят
случайные блуждания. Размерность - дробная.
Квазипериодичность – существование в системе двух или более
несоизмеримых частот;
ГИН – генератор с инерционной нелинейностью;
ОУ– операционный усилитель;
 - седловой индекс;
q - степень однородности;
 –дробная часть фрактальной размерности множества величин;
с - точность наблюдения;
DС - корреляционная размерность.
3
ВВЕДЕНИЕ
Общая характеристика работы. Настоящая работа посвящена
численному и экспериментальному исследованию наиболее общего явления в
нелинейных системах - гомоклинической бифуркации и перехода от порядка к
хаосу через образование перемежаемых, фрактальных структур.
Впервые проведено экспериментальное исследование бифуркации
склеивания («gluing» бифуркации) в аналоговой электронной модели
динамической системы третьего порядка: уравнения Лоренца с дополнительной
квадратичной нелинейностью. Переход от порядка к хаосу в этой схеме
происходит по особому сценарию: через последовательности гомоклинических
бифуркаций, начиная с периодической, и заканчивая нерегулярными
колебаниями напряжения в цепи. Каждая независимая периодическая
траектория бифуркации «склеивается» с соседней в фазовом пространстве и
создает новые, с удвоенной длиной. Далее последовательность этих
бифуркации приводит к рождению хаотического аттрактора. Наши
эксперименты полностью подтвердили основные выводы теоретических работ
(М. А. Закс, 1983, 1993).
В настоящей работе впервые было исследовано универсальное
отображение фрактальной эволюции меры, реализующее хаотические сигналы
с фрактальными свойствами. Показано, что именно отображение фрактальной
эволюции, предложенное З.Ж. Жанабаевым (2011, 2012) тоже реализует
асимметричные бифуркации типа «gluing».
Предлагается новое выражение эволюционного параметра порядка
хаотического процесса. Этот параметр позволяет построить бифуркационную
диаграмму по реализации, не зная уравнения динамической системы.
Приведены примеры построения бифуркационных диаграмм по новой
методике, показана универсальность предлагаемого метода.
Предлагается новый метод расчета энтропии хаотического сигнала с
учетом степени однородности двумерного фазового портрета. Построены
зависимости неаддитивной информационной энтропии от эволюционного
параметра порядка для таких динамических систем, как логистическое
отображение [1], отображение Хенона [2], модифицированная система
Лоренца, для которой реализуется «склеивающаяся» («gluing») бифуркация [3],
отображение фрактальной эволюции [4], отображение Рулькова [5]. Показано,
что из числа известных моделей динамических систем только реализации
отображения
фрактальной
эволюции
удовлетворяют
критериям
самоорганизации.
Актуальность темы. Гомоклиническая бифуркация - переход к хаосу
через последовательность, так называемых, «склеивающихся» бифуркаций.
Пара устойчивых периодических орбит в таком переходе к хаосу приближается
в фазовом пространстве к устойчивой точке, сливаются и образуют новую
форму устойчивых периодических орбит.
4
В системе Лоренца также наблюдается гомоклиническая бифуркация [6],
но рождение хаотического аттрактора в фазовом пространстве известной
(немодифицированной) системы Лоренца является «гомоклиническим
взрывом» [7-8]. Бифуркация склеивания отличается от гомоклинического
взрыва как по количеству новорожденных периодических орбит, так и в их
стабильности. Взрыв генерирует, счетное множество периодических орбит.
Каждая из них асимптотически неустойчива. Они образуют своего рода
«скелет» для развивающегося хаотического аттрактора. В противоположность
этому сценарию, бифуркация склеивания производит только один или два
стабильных периодических орбит [9]. Тем не менее, в ходе последовательности
таких бифуркаций форма притягивающихся орбит становится все более и более
сложными, и его длина растет, развитие которых и заканчивается хаотическим
странным аттрактором.
Гомоклиническая («gluing») бифуркация довольно хорошо исследована
теоретически,
но
уделено
меньше
внимания
экспериментальным
исследованиям [10-11], нет детального сопоставления с теорией. Поэтому
актуальным является экспериментальное исследование физических основ
бифуркации склеивания.
Предполагается, что гомоклиническая бифуркация «склеивания» может
наблюдаться и в взрывных колебаниях потенциала нейронов типа «накопление
- выброс». Для этого необходимо получить универсальную модель отображение, описывающее перемежаемую эволюцию типа «накопление выброс». В отличие от всех известных дифференциальных и дискретных
моделей динамической системы данное отображение должно реализовать
хаотические колебания с характеристиками, соответствующими критериям
самоорганизации.
Рассматриваемые нами явления бифуркации склеивания, «накопления выброса» связаны с явлением перемежаемости. Перемежаемость – чередование
порядка и хаоса является универсальным явлением природы. Этот термин
является общепринятым в гидродинамике и означает чередование ламинарного
режима движения жидкости с турбулентным. Аналогичные картины
наблюдаются во временном ряде астрофизических, сейсмических,
нейрофизических, нанотехнологических и других процессов. При этом общей
закономерностью является также нерегулярная смена мелкомасштабных
флуктуаций с крупномасштабными. В моделях динамических систем
перемежаемость тоже наблюдается универсальным образом, как правило, в
виде смены процессов удвоения периода (например, через отображение
Фейгенбаума) с хаосом.
Вышеперечисленные процессы с перемежаемостью может реализоваться в
нелинейных, неравновесных и незамкнутых (открытых) системах, т.е. при
наличии условий для самоорганизации. Процесс самоорганизации имеет
самоподобные динамические характеристики, его фазовый портрет должен
быть странным (фрактальным) аттрактором.
5
В современных исследованиях [12-19] рассматриваются бифуркации в
разных динамических системах, которые определяют качественные изменения
состояния системы. Построение бифуркационной диаграммы нелинейной
динамической системы проводится по известному параметру, который меняет
состояние самой динамической системы. Бифуркационные диаграммы строятся
как зависимость максимальных и минимальных значений физической величины
от управляющего параметра, заданного в уравнениях динамической системы.
В настоящее время нет общепринятого алгоритма построения
бифуркационной диаграммы динамической системы, не зная параметр порядка
динамической системы. Многие природные явления можно описать как
динамическую систему. Например, временные реализации астрономических
процессов, изменения погоды, магнитуды землетрясения и.т.д., явно не
содержат параметра порядка. Встает естественный вопрос: можно ли построить
бифуркационную диаграмму, не зная параметра порядка динамической
системы?
Чтобы решить этот вопрос в настоящей работе предлагается новое
выражение для параметра порядка эволюционного процесса. Этот параметр
позволяет построить бифуркационную диаграмму по реализации, не зная
уравнения динамической системы. С целью проверки нового метода в качестве
генератора реализации были выбраны ранее исследованные модели
динамических систем, как логистическое отображение, отображение Хенона,
модифицированная
система
Лоренца,
для
которой
реализуется
«склеивающаяся» («gluing») бифуркация и отображение «накопление –
выброса» [4, с. 17], в которых заранее известны параметра порядка.
Также в настоящей работе рассматривается новый метод расчета
информационной энтропии с учетом степени однородности двумерного
множества. Применение таких методов для анализа динамических систем
является актуальным вопросом. Остается невыясненным вопрос: можно ли
установить закономерность связи между энтропией и параметром порядка
динамической системы?
Для этой цели нужно учесть структуру хаоса путем определения
неаддитивной информационной энтропии S двумерного множества – фазового
портрета временной реализации. Зависимость неаддитивной энтропии от
эволюционного параметра порядка для динамических систем разного типа
может показать, что именно отображение фрактальной эволюции,
предложенное нами, реализует асимметричные бифуркации типа «gluing» и
хаос,
удовлетворяющий
энтропийным
критериям
самоорганизации
0,567<S<0.806, где S - значение энтропии Колмогорова – Синая. Эти критерии
самоаффинности и самоподобия были установлены (Жанабаев З. Ж., 1996)
ранее.
Энтропийный анализ часто применяется в современных исследованиях
[20-22]. Однако, определение самой энтропии при наличии различных
реальных условий является незавершенным вопросом. Отсутствуют
исследования, посвященные количественным энтропийным критериям
6
структуры хаоса, условиям выполнения известных теорем Пригожина,
Климонтовича и.т.д.
В последнее время установлены возможности более точного определения
энтропии с учетом ее неаддитивности, связанной с неоднородностью системы
[23]. Неаддитивность информационной энтропии S двумерного множества –
фазового портрета временной реализации можно обнаружить с учетом степени
однородности q. Этот параметр может быть определен в виде меры отклонения
статистики Цаллиса от статистики Гиббса. При q=1 энтропия должна быть
аддитивной, энтропия Цаллиса должна совпадать с энтропией Реньи.
Целью настоящей работы является численное и экспериментальное
исследование гомоклинической бифуркации в радиотехнической схеме
модифицированной системы Лоренца. Определение соответствующего
параметра порядка, изменение которого приведет к бифуркациям.
Установление связи между энтропией с учетом степени однородности и
параметром порядка динамической системы.
Задачи исследования
- Разработать и собрать радиотехническую схему модифицированной
системы дифференциальных уравнений Лоренца.
- Исследовать режимы
бифуркаций
радиотехнической схемы и
сопоставить с теоретическими предсказаниями.
- Получить отображение, реализующее бифуркации склеивания и
фрактальные, самоорганизованные структуры.
- Разработать алгоритм определения эволюционного параметра порядка и
энтропии с учетом степени однородности реализации динамической системы.
- Построить информационно - энтропийную диаграмму и определить
критерии самоподобности, самоаффинности и самоорганизации динамических
систем.
Объектом исследования являются радиотехническая схема, реализующая
эволюцию модифицированной системы Лоренца и динамические системы, где
наблюдаются бифуркационные режимы.
Предметом исследования является нелинейные эффекты в системе
осцилляторов. Бифуркации в динамических системах, установление
энтропийных закономерностей, определение параметра порядка динамических
систем.
Методы исследования.
Бифуркация склеивания исследовалась в
радиотехническом эксперименте. Запись данных производилась в среде
LabView. При обработке экспериментальных данных, численном анализе
бифуркационных режимов, отображения фрактальной эволюции меры
использовался компьютерный анализ в среде Matlab.
Новизна исследования
Экспериментально
обнаружена
бифуркация
склеивания
в
радиотехнической схеме, которая моделирует модифицированную систему
дифференциальных уравнений Лоренца;
7
- Получена формула отображения фрактальной эволюции меры и показано,
что бифуркация склеивания наблюдается и в взрывных колебаниях;
- Предложена обобщенная метрическая характеристика, определяющая
состояние динамической системы и может служить эволюционным параметром
порядка динамической системы.
- Предложен метод информационно - энтропийного анализа динамической
системы с учетом степени однородности ее реализации и установлена
зависимость энтропии от эволюционного параметра порядка.
Основные положения, выносимые на защиту
1. На радиотехнической модели модифицированной динамической
системы Лоренца экспериментально подтверждено существование бифуркации
склеивания, ранее предсказанной теоретически.
2. Бифуркация склеивания наблюдается и в отображении фрактальной
эволюции меры.
3. Состояние динамической системы можно описывать по реализациям
динамической системы через вычисление эволюционного параметра порядка,
предложенного нами.
4. Реализации отображения фрактальной эволюции меры и генератора
динамического хаоса с фазовым управлением [24-27], теоретически и
экспериментально удовлетворяют критерии самоорганизации.
Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные
результаты могут найти применение для создания эффективных
сверхширокополосных телекоммуникационных сетей, для анализа работы и
управления интеллектуальными системами, при создании нейронной сети и т.
д. Реализации электронной схемы моделирования модифицированной системы
дифференциальных уравнений Лоренца имеют сходство с реализациями
нейронных потенциалов.
Отображение фрактальной эволюции меры может использоваться для
анализа
астрофизических,
сейсмических,
нейрофизических,
нанотехнологических временных рядов, которые реализуют хаотические
колебания, удовлетворяющие критериям самоорганизации.
С помощью энтропийно – информационной диаграммы, разработанной и
усовершенствованной нами, можно более точно, чем существующие методы,
анализировать динамические системы различной природы.
Источниками исследования являются основные теоретические
положения современной нелинейной физики и теоретические результаты
оригинальных научных работ, приведенных в списке использованных
источников.
Личный вклад автора заключается в том, что все численные и
экспериментальные результаты были получены лично соискателем. Постановка
задач и обсуждение результатов проводились совместно с научными
руководителями.
Достоверность результатов. Достоверность научных выводов работы
подтверждается согласованностью результатов физического и численного
8
эксперимента с теоретическими положениями, полученными другими
авторами, использованием достоверных методик численного анализа.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертационной работе
докладывались и обсуждались на: международной конференции студентов и
молодых ученых «Мир науки» (Алматы, 19-22 апреля, 2010), 7-й
международной научной конференции «Хаос и структуры в нелинейных
системах. Теория и эксперимент» (Караганда, 23-27 сентября, 2010),
международной конференции студентов и молодых ученых «Мир науки»
(Алматы, 19-22 апреля, 2011), международной конференции студентов и
молодых ученых «Мир науки» (Алматы, 23-25 апреля, 2012), 20th Conference on
Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (Germany, Wolfenbuttel, July 11-13,
2012), Conference on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (Italy, Bari, July
10-12,2013),
на научных семинарах кафедры физики твердого тела и
нелинейной физики.
Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 12
печатных работ, в том числе 3 – в изданиях, рекомендуемых Комитетом по
контролю в сфере образования и науки МОН РК, 1 – в рецензируемом журнале
с высоким импакт фактором, 7 публикации в сборниках тезисов и докладов, 1 в докладах международной зарубежной конференций.
Связь темы диссертации с планами научных работ. Диссертационная
работа выполнена в соответствии с планом научно – исследовательских работ в
рамках программы КН МОН РК «Грантовое финансирование научных
исследований» (2012-2014 гг., №ГР0112РК02530, шифр 1100/ГФ), по теме
«Частотная,
информационная
и
энергетическая
эффективность
сверхширокополосных телекоммуникационных систем».
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх
разделов, заключения, списка использованных источников. Работа изложена на
116 страницах машинописного текста, иллюстрируется 71 рисунками, список
использованных источников содержит 83 наименований.
9
1 ВИДЫ БИФУРКАЦИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ
1.1 Переход от порядка к хаосу через последовательности бифуркаций
удвоения периода
Переход от порядка к хаосу через последовательности бифуркаций
удвоения периода наблюдается во многих динамических системах, начиная с
простых отображений и кончая системами сложных нелинейных
дифференциальных уравнений. Каскад перехода через удвоение периода можно
представить следующим образом. Пусть динамическая система при некотором
значении управляющего параметра r=r0 имеет предельный цикл S1 с периодом
Т(r). Далее при увеличении параметра до значения r=r1 происходит бифуркация
удвоения периода, которая приводит к рождению нового устойчивого
предельного цикла S2 с периодом 2Т(r). Таким образом, наблюдается
бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периодов циклов S2*k в
значениях r=rk, k=1,2,3,… . Бифуркационные значения rk сходятся в пределе
k=∞ к некоторому критическому значению r=rкр, при котором период
становится бесконечным, а спектр сплошным. При r>rкр возникают
апериодические колебания, неустойчивые по Ляпунову. Этим колебаниям
соответствует хаотический аттрактор в фазовом пространстве системы.
Теория перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения
периода была развита М. Фейгенбаумом [28], поэтому данный
бифуркационный механизм получил название сценария Фейгенбаума.
Простым примером для исследования сценария Фейгенбаума является
логистическое отображение
x n 1  f ( x n )  r  x n2 ,
(1.1)
где r – параметр, r≥0.
Логистическое отображение можно представить в других формах записи,
сводящихся к (1.1) заменой переменных, например,
xn1  rxn (1  xn ),
xn1  1  rx n2 ,
(1.2)
Рассмотрим поведение отображения (1.1) с ростом параметра r. При
r  [0;3 / 4] отображение имеет одну неподвижную устойчивую точку, которая
имеет координату x0  1/ 2  r  1/ 4 . Далее при r  r1  3 / 4 имеет место
бифуркация удвоения периода цикл S2. Рождается две устойчивые точки x1, x2 ,
координаты которых равны x1, 2  1/ 2  r  3 / 4 , так что f(x1)=x2 и f(x2)=x1. Цикл
r  [3 / 4;5 / 4] . При
S2 устойчив в области значений параметра
r  r2  5 / 4 происходит следующая бифуркация удвоения периода. Рождается
цикл S4 и т.д. Получаем последовательность бифуркационных значений
10
параметра r1  3 / 4, r2  5 / 4, r3  1.368099, r4  1.394046, … , накапливающуюся
к критической точке rкр  1.40115... При k   cкорость сходимости
бифуркационных значений стремится к некоторому конечному пределу
rk 1  rk
 4.669201
k  r
k  2  rk 1
  lim
(1.3)
Бифуркационная диаграмма режимов отображения (1.1), приведенная на
рисунке 1.1, характерна для систем с каскадом удвоений периодов,
приводящим к хаосу. Подобный вид диаграммы получил название «дерево
Фейгенбаума». Диаграмма даёт наглядное представление о дроблении
масштаба динамической переменной и наличии свойств скейлинга, т. е.
масштабной инвариантности, когда один и тот же элемент изображения
повторяется во всё более мелком масштабе. Обозначив расстояния между
подобными точками ветвей дерева  k (рисунок 1.1), можно ввести масштабные
множители ak   k /  k 1 ) , которые в пределе сходятся к некоторому значению
k
 2.5029... .
k  
k 1
a  lim
(1.4)
Как показали численные исследования, величины  и a не зависят от
конкретного вида отображения. Главное, чтобы оно имело один экстремум и он
был квадратичным.
Рисунок 1.1 - Бифуркационная диаграмма режимов отображения (1.1)
11
Универсальный характер количественных закономерностей перехода к
хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода был объяснен
М. Фейгенбаумом, создавшим теорию универсальности. Для анализа
отображений
типа
логистической
Фейгенбаум
применил
метод
ренормализационной группы, содержание которого сводится к следующему.
Пусть в критической точке r  rкр имеется отображение
xn 1  f 0 ( xn ) ,
(1.5)
где f 0 - произвольная функция с квадратичным экстремумом в точке xn  0 ,
причем f 0 (0)  1 . Если дважды применим отображение (1.5), то получим
xn 1  f 0 ( f 0 ( xn )) . Произведем перемасштабирование переменной x  x / a0 так,
чтобы новое отображение в начале координат тоже было отнормировано на
единицу, то есть а0  1/ fi ( fi (0)) и обозначим новое отображение как
xn 1  f1 ( xn )  a0 f 0 ( f 0 ( xn / a0 )). Повторяя эту процедуру много раз, получаем
уравнение ренормализационной группы:
fi 1 ( x)  ai fi ( fi ( x / ai )),
(1.6)
где ai  1/ fi ( fi (0)). В критической точке в силу свойств самоподобия
существуют пределы
lim f i ( x)  g ( x), lim ai  a.
i 
i 
(1.7)
Функция g (x ), является неподвижной точкой функционального уравнения
Фейгенбаума- Цветановича:
Tˆg ( x)  ag ( g ( x / a ))  g ( x),
(1.8)
где Tˆ - оператор удвоения, который действует в функциональном пространстве
и преобразует отображение через одну итерацию в отображение через две
итерации; a  1 / g ( g (0)).
Для критической точки, соответствующей сценарию перехода к хаосу
через удвоения периодов, граничными условиями уравнения (1.8) будут:
g (0)  1, g x (0)  0. Функция g (x ) называется универсальной, поскольку она не
зависит от конкретной формы исходного отображения и определяется только
порядком экстремума. Она дает асимптотическую форму 2i – кратного
примененного оператора эволюции в критической точке при i   c учетом
перенормировки динамической переменной x . Входящая в уравнение
неподвижной точки константа a также является универсальной. Найденное
12
Фейгенбаумом численное решение уравнения (1.8) в предположении
квадратичности экстремума и указанных граничных условий имеет вид
g ( х)  1  1.5276330 x 2  0.1048152 x 4  0.0267057 x 6  0.0035274 x8  0.0000816 x10 
 0.0000254 x12  0.0000027 x14 .
(1.9)
a
Универсальная
константа
Фейгенбаума
оказывается
равной
a  2.502907876...
Если внести малое возмущение оператора эволюции f ( xn ) , слегка
отклонив значение параметра от критического, оператор удвоения Tˆ также
оказывается возмущенным. Линеаризовав оператор Tˆ в точке g (x ) при r  rкр ,
получаем оператор L̂g , определяющий поведение возмущения, и уравнение для
собственных функций h(x) и собственных значений  линеаризованного
оператора:
Lˆg h( x)  a[ g ( g ( x / a)) h( x / a)  h( g ( x / a))]  h( x)
(1.10)
Определяющий роль в поведении возмущения будут играть собственные
значения, превышающие по модулю единицу. В случае квадратичного
экстремума имеется одно такое значение, соответствующее неустранимой
компоненте возмущения, и оно определяет вторую универсальную
фейгенбаумовскую константу   1  4.6692016091... .
Также переход к хаосу через удвоения периода наблюдается в моделях,
записанных в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве
примера на рисунке 1.2 представлены изменения, происходящие в процессе
перехода к хаосу через последовательность удвоений периода в генераторе с
инерционной нелинейностью (ГИН) Анищенко – Астахова [29,30],
описываемом уравнениями
dx
 mx  y  xz,
dt
dy
  x,
dt
dz
  gz  gI ( x),
dt
(1.11)
2
где I ( x)  x при x  0 и I ( x)  0 при x  0 .
Кроме того, за годы, прошедшие после публикации результатов
Фейгенбаума,
универсальная
последовательность
удвоений
периода
многократно воспроизводилась при численном решении систем уравнений в
частных производных (описывающих, например, гидродинамические течения
или химические процессы реакции-диффузии), а также наблюдалась в
13
многочисленных экспериментах в области магнитных явлений, нелинейной
оптики и физической химии.
1.2 Переход к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний
В отличие от перехода к хаосу через удвоения периода, переход
двумерного тора Т2 в фазовом пространстве к хаотическим колебаниям может
осуществляться разрушением этого тора Т2 и попаданием на множество с
а) проекции фазовых траекторий, б) форма колебаний и в) спектры мощности
для циклов с периодами 2Т0k, k = 1, 2, 3 и странного аттрактора
Рисунок 1.2 - Последовательность бифуркаций удвоения периода в ГИН
фрактальной размерностью 2+d, d  [0;1], который образуется в его окрестности
и называется тор – хаосом. Такой сценарий можно рассматривать как особый
14
случай перехода к хаосу через квазипериодическое движение. При этом
характер квазипериодического режима зависит от числа вращения θ,
определяющего отношение базовых частот колебаний. Если θ рационально, то
имеет место резонанс на торе (и соответственно периодические колебания).
При иррациональном значении числа вращения движение на торе будет
эргодическим. (Более общее определение числа вращения приводится ниже,
при обсуждении отображения (1.13)). Наблюдать переход от тора к хаосу при
фиксированном значении числа вращения, можно только контролируя как
минимум, два параметра системы одновременно. На линии рождения тора,
задаваемой бифуркационным условием 1, 2  e j , где 1, 2 - пара комплексно –
сопряженных мультипликаторов предельного цикла, число вращения
определяется как    / 2 . Области резонансов на плоскости двух
управляющих параметров имеют форму языков (клювов), опирающихся
острым концом на соответствующие точки линии рождения тора. Эти области
называют языками Арнольда. Для каждого выбранного пути движения в
пространстве параметров характерна своя последовательность бифуркаций,
связанных с возникновением и исчезновением различных режимов на торе.
Теперь рассмотрим теорему о разрушении двумерного резонансного тора.
Для понимания механизмов разрушения двумерного тора и рождения торхаоса важны результаты, полученные математиками в рамках качественной
теории динамических систем. Л. П. Шильниковым и В. С. Афраймовичем [31]
доказана теорема о разрушении двумерного тора Т2 с резонансной структурой
на нём и указаны возможные пути возникновения хаотической динамики.
Рассмотрим N – мерную динамическую систему ( N  3 )
x  F ( x,  ),
(1.12)
где компоненты вектор – функции F, j=1,2,…,N, принадлежат классу гладкости
Сk, k≥3; α – вектор параметров системы. Предположим следующее:
1)
при α=α0 система (1.12) в некоторой области фазового пространства
имеет гладкий притягивающий тор Т 2 ( 0 ) с грубой структурой на нём,
состоящий из четного числа циклов, половина из которых являются
устойчивыми, а половина – седловыми, что соответствует области
резонансного клюва. Тор Т 2 ( 0 ) является замыканием неустойчивых
многообразий седловых циклов. Предположим для простоты, что имеется два
цикла: устойчивый С st ( 0 ) и седловой С sd ( 0 ) . Тогда Т 2 ( 0 )  W u ( 0 )  C st ( 0 ) ,
где W u ( 0 ) - неустойчивое многообразие седлового цикла. Сечение
резонансного тора изображено на рисунке 1.3, а ) . Пусть при α=α1
инвариантного тора не существует. Тогда для непрерывной кривой  (s ) , где
s  [0,1],  (0)   0 ,  (1)  1 , существует такое значение s  s * , что в точке  ( s * )
тор разрушается, и, по крайней мере, для некоторых сколь угодно близких к s *
значений s  s * система (1.12) не имеет тора Т2;
15
2)
пусть при всех 0  s  s * притягивающее множество системы (1.12)
совпадает с тором T 2 ( ( s));
3)
пусть при всех s  s * неустойчивое многообразие седлового цикла
W u ( ( s)) не содержит периодических движений, отличных от С st и С sd .
В сделанных предположениях справедлива теорема о разрушении тора,
согласно которой тор T 2 разрушается одним из следующих трёх способов: 1) в
связи с потерей устойчивости циклом С st ; 2) в результате возникновения
гомоклинического касания неустойчивого ( W u ) и устойчивого ( W s )
многообразий седлового цикла С sd ; 3) в результате касательной бифуркации
циклов С st и С sd на торе. Перед тем как разрушиться, тор при s  s ** теряет
гладкость, то есть T 2 ( (s  s ** )) гомеоморфен, но не диффеоморфен гладкому
тору. Это значит, что его поверхность можно взаимно-однозначно отобразить
на поверхность гладкого тора, но такое отображение будет не везде
дифференцируемым. Эти „недифференцируемые“ места и соответствуют
образованию складок на поверхности тора.
а) Сечение резонансного тора Т 2 , б) качественная бифуркационная диаграмма
разрушения тора Т 2
Рисунок 1.3 – Разрушение двумерного резонансного тора. Пути,
соответствующие различным механизмам разрушения, обозначены буквами А,
В,С
На рисунке 1.3, б) приведен качественный вид языка Арнольда на
плоскости параметров  1 и  2 и указаны направления А, В, С отвечающие
трём механизмам разрушения резонансного тора в соответствии с теоремой. На
диаграмме использованы следующие обозначения: l 0 - линия рождения тора; l1 16
линии касательной бифуркации циклов на торе, определяющие границы
области синхронизации; l2  линия потери устойчивости резонансным циклом
С st
в области синхронизации; lh  линия гомоклинического касания
многообразий W u и W s . Пунктиром нанесена условная граница разрушения
тора вне рассматриваемой резонансной области (в действительности она имеет
сложную фрактальную структуру). Направление С  соответствует случаю,
когда в результате касательной бифуркации на линии l1 резонансный тор не
разрушается, а становится эргодическим.
При движении по направлению А и линии l 2 цикл С st теряет устойчивость
либо вследствие бифуркации удвоения периода, либо вследствие бифуркации
рождения тора из цикла С st . Резонансный тор Т2 теряет гладкость, когда
мультипликаторы цикла становятся комплексно – сопряженными или один из
мультипликаторов – отрицательным. В момент бифуркации длина
инвариантной кривой в сечении тора становится бесконечной (рисунок 1.4, а ),
что означает разрушение тора. При дальнейшем движении по направлению А
может
образоваться
хаотический
аттрактор
либо
в
результате
последовательности бифуркаций удвоения периода, либо через разрушение
тора, родившегося на линии l 2 .
При движении по направлению В неустойчивые многообразие седлового
цикла W u , образующее поверхность тора, искривляется и на линии l h
происходит его гомоклиническое касание с устойчивым многообразием W s
(рисунок 1.4, б). В этот момент ( s  s * ) образуется негрубая гомоклиническая
кривая Г0, а тор T 2 разрушается. При s  s * возникают две грубые
гомоклинические кривые и гомоклиническая структура циклов и хаотических
траекторий в их окрестности. Однако аттрактором остаётся цикл С st , а
хаотическая динамика может возникнуть только в том случае, если он исчезнет
или потеряет устойчивость. Так, при пересечении границы области
Рисунок 1.4 - Качественный вид инвариантной кривой в сечении в момент
разрушения тора Т2 при движении по направлениям А, В, С (соответственно (a),
(б), (в)), указанным на рисунке 1.3, б)
17
lh
синхронизации выше линии
наблюдается переход к хаосу,
сопровождающийся перемежаемостью I типа.
Направление С также соответствует искажению многообразия W u при
подходе к устойчивому циклу С st . Разрушение тора происходит при переходе
через линию касательной бифуркации l1 . Пусть в момент бифуркации
инвариантная кривая в сечении тора стала негладкой (рисунок 1.4, в). Это
означает, что при последовательном применении отображения Пуанкаре образ
малой окрестности некоторого куска неустойчивой сепаратрисы седло – узла
изогнут, как подкова. Исчезновение седло – узла приводит к возникновению в
его окрестности отображения типа подковы Смейла [32], порождающего
счётное множество седловых циклов и непрерывное множество
непериодических гиперболических траекторий, которые при некоторых
дополнительных условиях могут сформировать хаотический аттрактор.
Таким образом, рассмотренные в теореме механизмы разрушения
резонансного тора приводят к образованию в окрестности тора хаотического
множества, которое может стать притягивающим. Хаотический аттрактор
порождается отображением типа подковы с гладким изгибом и является
квазиаттрактором. Описанные механизмы возникновения хаоса связаны с
бифуркациями резонансных циклов на торе.
Они не ведут к резкой
перестройке поглощающей области и поэтому составляют бифуркационный
механизм мягкого перехода к хаосу. Общий характер выводов теоремы о
разрушении тора был подтвержден численными и натурными экспериментами
для широкого класса дискретных и потоковых систем. Если в эксперименте
попытаться проследить за эволюцией инвариантной кривой в сечении тора,
изменяя параметры таким образом, чтобы число вращения оставалось
иррациональным, можно увидеть следующее: перед разрушением форма
инвариантной кривой в сечении эргодического тора искажается, повторяя
форму неустойчивого многообразия седлового резонансного цикла. Затем
происходит потеря гладкости и разрушение эргодического тора, но хаос
возникает не сразу, так как в окрестности разрушившегося тора с
иррациональным числом вращения в фазовом пространстве динамической
системы существуют еще не разрушившиеся резонансные торы, которые
являются аттракторами системы. Таким образом, переходу к хаосу всегда
предшествует резонанс на Т2. Линия разрушения тора на плоскости двух
управляющих параметров имеет сложную структуру. Она состоит из счётного
множества отрезков линий, на которых происходит разрушение резонансного
тора в соответствии с указанными теоремой механизмами, и множества точек
разрушения эргодического тора, имеющих совокупную нулевую меру.
Рассмотрим в качестве примера отображение окружности, в котором
происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний.
Наиболее простое, но характерное отображение окружности задается в
виде:
18
n1   (n , , K )  n   
K
sin( 2n ), mod 1,
2
(1.13)
где угол  определен в интервале [0;1]; K  0 и   [0;1] - параметры
отображения. Форма задания функции ( ) почти не существенна (как и в
случае с логистическим отображением), но должны выполняться следующие
условия: 1) (  1)  1  ( ); 2) при K  K cr функция ( ) и обратная
функция  1 ( ) существуют и дифференцируемы (т.е. отображение есть
диффеоморфизм окружности); 3) при K  K cr функция  1 ( ) теряет
дифференцируемость в точке   0 , а при K  K cr не существует однозначной
обратной функции. Для (1.13) все эти условия выполняются, причем K cr  1 .
Динамика точки в отображении окружности характеризуется числом
вращения  :
 n (0 )  0
n
n
  lim
(1.14)
Оно представляет собой средний угол поворота изображающей точки на
окружности за одну итерацию. Для гладкого взаимно однозначного
отображения (т.е. в случае 0  К  1) предел (1.14) существует и не зависит от
начальной точки 0 . Из этого факта следует, что при иррациональном значении
числа вращения  отображение (1.13) не имеет неподвижных точек, а при
рациональном значении   p / q (где p и q – взаимно простые числа)
отображение окружности имеет чётное число устойчивых и неустойчивых
неподвижных точек кратности q, т.е., по крайней мере, один устойчивый и один
неустойчивый q – цикл отображения. Числитель p определяет число полных
оборотов по окружности за q итераций. Резонансная структура,
соответствующая рациональному значению числа вращения, является грубой.
Каждое рациональное значение  сохраняется неизменным в некоторой
области изменения параметров (в языке Арнольда). Зависимость числа
вращения от параметра  называется «чёртовой лестницей» и представляет
собой фрактальную кривую, состоящую из бесконечного числа «ступенек»,
соответствующих иррациональным значениям  . При К=0 число вращения для
(1.13) совпадает с параметром  и имеет множество рациональных значений
меры нуль. При 0  К  1 мера как рациональных, так и иррациональных
значений числа вращения отлична от нуля. С ростом К мера рациональных
значений растёт, а иррациональных – убывает, обращаясь в нуль на
критической линии К=1 (сумма длин всех ступенек равна единице). Однако при
К=1 ещё имеется счётное множество точек с иррациональными значениями
числа вращения.
При К>1 отображение окружности не имеет квазипериодических
траекторий. Зависимость  () становится неоднозначной, что соответствует
19
перекрытию языков Арнольда. В закритической области отображение
окружности описывает резонансы на торе и хаотические движения в
окрестности разрушившегося тора Т2. Оно демонстрирует указанные в теореме
сценарии разрушения тора и возникновения хаотической динамики. В языке
Арнольда устойчивый резонансный цикл теряет устойчивость на линии
удвоения периода и на каждом языке наблюдается переход к хаосу по сценарию
Фейгенбаума. В областях перекрытия резонансов имеют место кризисы,
приводящие к объединению хаотических аттракторов, возникших на базе
различных резонансных циклов. В результате объединения хаотических
множеств формируется тор – хаос. Диаграмма режимов отображения (1.13) на
плоскости параметров отражает сложную самоподобную структуру языков
Арнольда (рисунок 1.5).
При
разрушении
эргодических
квазипериодических
движений
отображение (1.13) демонстрирует некоторые количественные закономерности
универсального характера, т.е. не зависящие от конкретного вида функции
 ( ) , если она удовлетворяет перечисленным ранее условиям. Однако эти
закономерности зависят от выбранного значения числа вращения.
Рисунок 1.5 - Диаграмма режимов отображения окружности. Штриховкой
выделены области периодических режимов; соответствующие периоды
обозначены цифрами
Иррациональное число раскладывается в непрерывную цепную дробь:
20
1

m1 
 m1 , m2 ,..., mk ,... .
1
m2 
(1.15)
1
...
Если ограничиться k первыми членами разложения, то получается
рациональное число  k  pk / qk , называемое рациональной аппроксимацией
числа  порядка k . Тогда иррациональное число можно представить как
предел последовательности рациональных чисел:
  lim  k .
(1.16)
k 
Наиболее простое представление в виде периодической цепной дроби имеет
иррациональнее число, называемое золотым сечением:  g  0.5( 5  1)  1,1,1,... .
Для золотого сечения pk и q k есть последовательные члены основного ряда
Фиббоначи: pk  Fk , qk  Fk 1 . Ряды Фиббоначи определяются рекуррентной
формулой Fk 1  Fk 1  Fk , где ( F0 , F1 ) – основание ряда. Основной ряд имеет
основание (0,1). Соответственно  g  lim Fk / Fk 1.
k 
Для иррациональных значений  , имеющих периодическое (хотя бы
начиная с некоторого mk ) разложение в цепную дробь, характерны
определенные закономерности. Пусть  k (K ) - значение параметра  при
фиксированном К , для которого    k , и точка   0 принадлежат
устойчивому циклу периода q k . То есть  k определяется соотношением
 q (0,  k , K )  pk , где  q  qk раз применённая функция. Величины  k
сходятся к некоторому значению  ( , K ) по закону геометрической
прогрессии со скоростью  :
k
k
 k   k 1
.
n  


k 1
k
  lim
(1.17)
Величина  является универсальной константой, определяемой значениями 
и K . Для золотого сечения было получено:   2.6180339...   g2 при K  K cr и
  2.83362... при K  K cr .
Для масштаба, определяемого величиной d k  q (0, k , K )  pk 1 ,
существует предел
k 1
k
dk
 a,
k  d
k 1
lim
21
(1.18)
где а - универсальная константа. Для    g было получено: a  1.618...   g1
при K  K cr и a  1.28857... при K  K cr .
Спектр траекторий отображения окружности в критической точке K  K cr
также обладает рядом универсальных свойств скейлинга. Для    g частоты
спектральных компонент, приведенные к интервалу [0;1], удовлетворяют
соотношению
  Fk 1 g  Fk ,
(1.19)
где Fk , Fk 1 - последовательные члены одного из рядов Фибоначчи.
Спектральные серии, расположенные в порядке убывания амплитуд
спектральных линий, соответствуют рядам Фибоначчи с основаниями: главная
серия – (0,1); 2-я серия – (2,2); 3-я серия – (1,3); 4-я серия – (3,3); 5- я серия –
(1,4); 6-я серия – (2,5) и т.д. Для линий каждой серии приведённая спектральная
мощность имеет предел при j   :
Si j
Si  lim 2
 const.
j   ( j )
(1.20)
Нормированный спектр aij  Si j /( S11 2 ( j )), представленный в координатах
log aij  log  , разбивается на идентичные интервалы, заключённые между
соответствующими линиями каждой серии.
Вышеперечисленные
и
другие
количественные закономерности
разрушения двухчастотных квазипериодических режимов оказываются
характерными не только для модельных одномерных отображений, но и для
обратимых отображений размерности N  2 и потоковых систем. Они
наблюдались (в пределах достижимой точности) в натурных экспериментах и
при компьютерном моделировании различных динамических систем.
Для анализа отображений типа (1.13) в ряде исследований был применён
метод ренорм – группы. Так, для    g можно получить функциональное
уравнение неподвижной точки:
* ( )  a* (a* ( / a 2 )),
(1.21)
*
где * (  1)  * ( )  1 . Его решение  ( ) есть универсальная функция, а
масштабный множитель a является универсальной константой. Уравнение
(1.21) имеет линейное решение * ( )    1 . Ему соответствуют значения
a1, 2  0.5( 5  1) . Численно найденное при K  K cr значение масштабного
22
множителя совпадает с решением a2  0.5( 5  1)   g1  1.618. При
K  K cr линейное решение не удовлетворяет (1.21). Поскольку  ( ) имеет в
*
нуле кубическую точку перегиба, универсальная функция  ( ) должна
3
содержать кубическое слагаемое  . Нетривиальная функция такого типа была
получена численно в виде
* ( )  1  с1 3 с 2  6  ....
(1.22)
Найденное значение константы а согласуется с численно полученными
результатами. Линеаризованное уравнение в неподвижной точке в качестве
одного из собственных значений имеет величину, совпадающую с численно
найденной по формуле (1.17) константой. Это объясняет универсальный
характер константы  . Результаты, полученные методом ренорм – группы для
   g , были обобщены на случай произвольного иррационального числа
вращения, которое можно представить в виде периодической цепной дроби.
*
При этом вид функции  ( ) и значения констант  и а естественно зависят
от значения  .
1.3 Переход от порядка к хаосу через перемежаемость
С развитием представлений о динамическом хаосе было установлено, что
переход от периодических колебаний к хаосу может происходить скачком, в
результате одной единственной бифуркации. Он сопровождается явлением
перемежаемости. Перемежаемостью называют режим чередования во времени
почти регулярных колебаний с интервалами хаотического поведения,
наблюдающийся сразу за порогом возникновения хаоса. Типичный вид
колебаний в режиме перемежаемости приведен на рисунке 1.6.
Рисунок 1.6 - Перемежаемость в системе Лоренца
( x   ( y  x), y   xy  rx  y, z  xy  bz ) при r  166.1,   10, b  8 / 3
23
Пусть   cr система имеет аттрактор – предельный цикл С, а при
значении параметра   cr происходит либо касательная (седлоузловая)
бифуркация, либо подкритическая бифуркация рождения инвариантного тора,
либо подкритическая же бифуркация удвоения периода. В результате любой из
перечисленных бифуркаций в точке   cr аттрактор С перестает существовать.
При   cr фазовые траектории из локальной окрестности исчезнувшего
аттрактора С должны попадать на какой- то другой аттрактор, либо уже
существовавший в системе при   cr , либо возникающий в результате
бифуркации. Пусть динамическая система уже имела другой аттрактор. Тогда в
результате бифуркации наблюдается простое переключение с одного режима на
другой. Перемежаемость при этом не возникает, даже если новый режим
является хаотическим. Дело в том, что в этом случае кризис предельного цикла
не служит причиной, порождающей хаотический аттрактор, а сам аттрактор не
захватывает локальную окрестность цикла С. Траектории уходят из этой
окрестности и не возвращаются. Каковы же условия, при которых кризис
предельного цикла приводит к возникновению перемежающегося хаоса?
Очевидно, это происходит в том случае, когда в бифуркационной точке
  cr уже существует непритягивающее хаотическое множество, которое при
  cr становится притягивающим и включает в себя локальную окрестность
цикла С так, что фазовая траектория на хаотическом аттракторе время от
времени в эту окрестность возвращается. Условием реализации такого
поведения системы может явиться наличие у седлового предельного
множества, участвующего в кризисе аттрактора С, гомоклинической
траектории. В качестве примера на рисунке 1.7 представлена касательная
бифуркация циклов, приводящая к хаотической перемежаемости. Седловой
цикл имеет пару грубых гомоклинических траекторий. В точке бифуркации
  cr образуется негрубая седло – узловая орбита с гомоклинической
структурой в её окрестности. Траектории удалятся от неё и приближаются к
ней вдоль двоякоасимптотических гомоклинических кривых (им соответствуют
точки пересечения многообразий в сечении, изображённом на рисунке 1.7). При
  cr негрубая
замкнутая
орбита
исчезает,
а
непритягивающая
гомоклиническая структура становится притягивающей. В фазовом
пространстве динамической системы возникает хаотический аттрактор.
Траектории на нём сгущаются в области, где существовала седло – узловая
орбита, подолгу повторяя движение на ней, что соответствует регулярным
колебаниям перемежающегося хаоса.
Перемежаемость, связанная с касательной бифуркацией циклов, наиболее
типична для широкого класса динамических систем. Она была обнаружена и
исследована раньше других случаев перемежаемости и получила название –
перемежаемость I типа. Для анализа свойств перемежаемости I типа
используется одномерное модельное отображение вида
24
xn1  f ( xn )    xn   xn " возврат" .
p
(1.23)
Параметр  соответствует параметру надкритичности (  cr ) системы, так
как в (1.23) касательная бифуркация имеет место при   0 ; p - целое число,
определяющее порядок экстремума функции последования. Возврат
изображающей точки в ограниченный интервал значений x может быть
а) до бифуркации, б) в точке бифуркации
Рисунок 1.7 - Качественный вид сечений Пуанкаре для касательной
бифуркации устойчивого и седлового циклов, приводящей к возникновению
хаоса через перемежаемость
осущеcтвлён различными способами. Например, для отображения,
представленного на рисунке 1.8, для возврата изображающей точки служит
ветвь графика функции последования на отрезке АВ. Отображение приведенное
на рисунке 1.8, а), соответствует моменту касательной бифуркации   0 .
Пунктирные линии на графике представляют собой построение с помощью
диаграммы Ламерея двоякоасимптотической траектории седло – узловой точки.
Отображение на рисунке 1.8, б) соответствует случаю   0. В окрестности
исчезнувшей неподвижной точки график функции последования образует так
называемый канал, по которому изображающая точка движется довольно
долго, что соответствует регулярным колебаниям перемежаемости. Уход
изображающей точки из канала определяет хаотическое поведение, в которой
точка должна попасть на участок АВ, обеспечивающий её возврат в канал.
Исследование отображений вида (1.23) выявляет определённые
количественные закономерности перемежаемости I типа (например характер
зависимости средней длительности регулярных колебаний от параметра
надкритичности), носящие универсальный характер в том смысле, что они не
25
зависят от конкретного вида отображения и определяются порядком
экстремума p. Для типичного случая p=2 эти закономерности хорошо
согласуются с результатами численных и экспериментальных исследований
перемежаемости I типа в потоковых системах. К исследованию
перемежаемости I типа был применён ренорм – групповой метод.
Рассмотрим отображение (1.23) в критической точке, ограничиваясь
интервалом xn  [0;1] , на котором отображение задано монотонной функцией
вида xn1  f 0 ( xn ) , для которой f 0 (0)  0 , f 0(0)  1 . Применив все те же
рассуждения, что и в случае сценария Фейгенбаума, можно получить то же
самое уравнение Фейгенбаума – Цветановича (1.7), но с другими граничными
g (0)  0; g (0)  1. Ренорм – групповой анализ позволяет
условиями:
теоретически определить асимптотику поведения средней длительности
регулярных колебаний:
Т1 ~   ,   p  1 .
p
(1.24)
При p  2 имеем Т Р ~ 1 /  , что хорошо согласуется с результатами
многочисленных экспериментов.
а) в точке бифуркации, б) сразу после бифуркации
Рисунок 1.8 - Отображение, моделирующее перемежаемость I типа
Другие типы перемежаемости, как уже отмечалось, связаны с
субкритической бифуркацией Андронова – Хопфа в сечении и субкритической
бифуркацией удвоения периода цикла. Они называются, соответственно,
перемежаемостями II и III типа. Модельным отображением для
26
перемежаемости II типа служит следующее отображение плоскости, задаваемое
в полярных координатах:
rn1  (1   )rn  rn3 " возврат"
n1  n  , mod 1.
(1.25)
При   0 в отображении имеет место субкритическая бифуркация Андронова –
Хопфа, которая представляет собой «влипание» неустойчивой инвариантной
окружности в устойчивый фокус. Неустойчивая инвариантная окружность
соответствует седловому тору в потоковой системе размерности N  4 . Данный
тип перемежаемости характеризуется асимптотическим поведением средней
длительности регулярных колебаний вида
Т1 ~ 1 /  ,
(1.26)
где      cr - параметр надкритичности.
Перемежаемость III типа может быть описана одномерным модельным
отображением вида
хn1  (1   ) хn  хn2 " возврат"
(1.27)
демонстрирующим при   0 субкритическую бифуркацию удвоения периода 1цикла. Асимптотическое поведение средней длительности регулярных
колебаний имеет тот же вид, что и в случае перемежаемости II типа.
Разные виды перемежаемости можно различить по формуле сигнала и по
распределению P(l) длин стационарных участков.
Предположим теперь, что сигнал случайным образом (с вероятностью

P( x0 ) ) возвращается в стационарный режим, так что можно использовать
уравнение:

dx
P(l )  P( x0 ) 0 .
dl
(1.28)
Чтобы получить зависимость x0 (l ) , заменим
xn1    xn  uxn2
(1.29)
приближенным дифференциальным уравнением для стационарной области
dx
   ux 2
dl
27
(1.30)
После интегрирования получим
l
1
u

 c 
 x0  
arctg

arctg




 ,
  /u 
  / u 

(1.31)
где с – максимальное значение x(l ) в стационарном режиме.
Из уравнений (1.30) и (1.31) следует
P(l ) 
 

 l 
2


ul
1  tg arctg 
,


2c 

  / u 

(1.32)
и

l   dlP (l )l   1 / 2
(1.33)
0
при   0.
Распределение P (l ) для двух других видов перемежаемости получаются
таким же образом:
P(l ) ~
 2 e 4d
(e 4 d  1) 2
P(l ) ~
 3/2e 4 d
(e 4 d  1) 3 / 2
для 2-го рода,
для 3-го рода.
(1.34)
(1.35)
Для перемежаемости
2- го рода уравнение (1.28) необходимо заменить на

P(l )  P(r0 )r0 dr0 / dl , так как отображение Пуанкаре двумерно.
1.4 Переход к хаосу через «склеивание» гомоклинических траекторий
Рассмотрим теперь особый объект нелинейной динамики –
гомоклиническую структуру, которая может существовать в фазовом
пространстве как диссипативных, так и консервативных систем.
Если имеем динамическую систему, заданную некоторым отображением и
пусть у этого отображения есть неподвижная точка гиперболического типа.
Множество точек, стартуя из которых траектория в пределе приближается к
неподвижной точке, есть инвариантное множество рассматриваемой
динамической системы, которое называется устойчивым многообразием
неподвижной точки. Другое ассоциирующееся с ней инвариантное множество –
это неустойчивое многообразие. Если мы будем запускать траектории из
28
окрестности к нулю, а время наблюдения к бесконечности, то посещаемое
траекториями множество точек в фазовом пространстве и будет неустойчивым
многообразием. Это множество точек, при старте из которых динамика в
обратном времени приводит в пределе в неподвижную точку.
Если рассматриваемое отображение двумерное, то гиперболическая
неподвижная точка обязана быть седлом, что соответствует наличию у матрицы
линеаризованного отображения двух вещественных собственных чисел, одно из
которых по модулю больше, а другое меньше единицы. Устойчивое и
неустойчивое многообразия представляют собой некоторые кривые, и их
называют также устойчивой и неустойчивой сепаратрисами. Старшее
собственное число отвечает собственному вектору, направленному в точке
седла А по касательной к неустойчивой сепаратрисе, а второе – вектору,
касательному к устойчивой сепаратрисе.
Может оказаться, что устойчивая и неустойчивая сепаратрисы
пересекаются в некоторой точке Г0, отличной от исходного седла А (рисунок
1.9). Такая точка называется гомоклинической точкой. Ее наличие делает
картину динамики сложной и нетривиальной.
Поскольку точка Г0 принадлежит устойчивому многообразию, то
стартующая из нее траектория с течением времени приближается к седлу А.
Точка – образ Г1, полученная из Г0 действием нашего отображения, относится к
той же приближающейся к седлу траектории и, по определению, принадлежит
устойчивому многообразию. При рассмотрении динамики в обратном времени
точка Г1 за один шаг переходит в Г0, а при последующих шагах приближается к
седлу, ибо Г0 есть точка неустойчивого многообразия. Следовательно, ему же
принадлежит и точка Г1. Последняя, таким образом, обязана быть точкой
пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий, т.е. гомоклинической
точкой, как и Г0. Продолжая рассуждать аналогично, нетрудно заключить, что
устойчивая и неустойчивая сепаратрисы обязаны иметь бесконечно много
точек пересечения. Более того, они не исчерпываются точками одной
гомоклинической траектории, проходящей через точку Г0. Изогнутые и
петляющие кривые устойчивой и неустойчивой сепаратрис порождают сложно
устроенную структуру, подобную сети, грубое представление о которой дает
рисунок 1.9.
Доказано, что в области существования гомоклинической структуры
присутствует множество траекторий, допускающих кодирование бесконечными
двусторонними последовательностями двух символов. Следовательно, имеется
бесконечное счетное множество периодических орбит и континуум
непериодических траекторий.
Гомоклиническая траектория наблюдается и в системе обыкновенных
дифференциальных уравнений, которые моделируют эволюционные процессы
в нелинейных диссипативных системах, при некоторых условиях могут иметь
решение задачи Коши в виде сложной апериодической траектории,
заполняющей ограниченную область в фазовом пространстве. Доказательство
факта существования таких решений является математическим результатом,
29
Рисунок 1.9 - Наличие пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий
седловой неподвижной точки двумерного отображения (слева) влечет
существование в фазовом пространстве гомоклинической структуры (справа)
обосновывающим принципиальную возможность возбуждения хаотических
автоколебаний в системах с более чем одной степенью свободы в отсутствие
флуктуаций. С точки зрения качественной теории такая возможность ведет к
появлению в фазовом пространстве системы континуума самопредельных
траекторий, устойчивых по Пуассону, но экспоненциально неустойчивых в
смысле Ляпунова. Необходимым условием возникновения таких предельных
множеств является существование в системе особых фазовых траекторий,
называемых гомоклиническими.
Рассмотрим седловое периодическое движение Г некоторой трехмерной
(для наглядности) динамической системы. Значения мультипликаторов
седлового цикла 1  1 и 1  1 отражают тот факт, что в фазовом пространстве
системы существуют двумерные инвариантные поверхности: устойчивое W S и
неустойчивое W U многообразия седлового периодического движения. Любая
возмущенная траектория, принадлежащая W S , асимптотически стремится к Г, а
по W u удаляется от цикла (асимптотически стремится к Г в обратном времени).
Качественная картина поведения фазовых траекторий в окрестности седлового
цикла дана на рисунке 1.10).
В нелинейных системах при некоторых условиях может осуществиться
взаимопересечение устойчивого и неустойчивого многообразий седлового
периодического движения. Если такое пересечение трансверсально, то линия
пересечения многообразий W S и W u образует особую траекторию в фазовом
пространстве, открытую А. Пуанкаре и названную им гомоклинической [33-34].
Отметим, что гомоклинические траектории седловых циклов представляют
собой структурно устойчивые объекты в фазовом пространстве системы.
Именно с существованием гомоклинических траекторий связана возможность
возвращаемости неустойчивых траекторий нелинейной системы в
ограниченную область фазового пространства, т.е. возможность хаотического
решения. Другими словами, выполнение требований существования
континуума устойчивых по Пуассону траекторий достигается лишь при
наличии гомоклинических траекторий.
30
Анализ гомоклинической траектории удобно проводить в отображении на
секущей Пуанкаре (рисунок 1.10 б)), где эффекту пересечения многообразий
соответствует трансверсальное пересечение устойчивой Г S и неустойчивой
Г u сепаратрис седловой точки равновесия х 0 . Гомоклинической траектории в
отображении отвечает гомоклиническая точка О1 . Однако если возникнет хотя
бы одна гомоклиническая точка, то можно показать , что их появится счетное
множество ( О1 , О2 ,…) [35]. В окрестности седлового цикла при этом
реализуется сложная картина взаимопересечений устойчивых и неустойчивых
многообразий,
характеризуемая
наличием
бесконечного
числа
гомоклинических траекторий. Возникает гомоклиническая структура [36-37],
содержащая множество седловых периодических движений одного типа и
совокупность сложных траекторий, двоякоасимптотических к ним.
Наличие гомоклинической структуры в нелинейных диссипативных
системах является необходимым условием возникновения динамической
стохастичности. Но для реализации режима странного аттрактора этого еще
недостаточно. Нужно, чтобы для значений параметров системы, отвечающих
области существования гомоклинической структуры, либо отсутствовали вовсе,
либо потеряли устойчивость любые регулярные аттракторы. Если это условие
выполнено и все траектории в аттракторе седловые, то возникает в строгом
смысле динамический хаос, математическим образом которого является
странный аттрактор [6, c. 137, 38].
а)
б)
Рисунок 1.10 - Инвариантные многообразия седлового цикла Г (а) и их
взаимопересечение в отображении Пуанкаре (б)
Рассмотренный тип гомоклинических траекторий и структур не является
единственным. Сложные гомоклинические структуры возникают с
пересечением устойчивых и неустойчивых многообразий двух и более
седловых предельных циклов. Они называются гетероклиническими.
31
Гомоклиническими сейчас называют также и двоякоасимптотические
траектории типа петель сепаратрис седлового положения равновесия и
траектории, выходящие из одного седла и при t   входящие в другое.
Естественно, что траектории типа сепаратрисных петель структурно
устойчивыми (или грубыми) не являются, так как разрушаются при сколь
угодно малом «шевелении» параметров системы.
Общим важным свойством любых гомоклинических траекторий и
структур является то, что при вариации параметров системы в их окрестности
осуществляется бесконечное число различных бифуркаций рождения и
исчезновения множества регулярных с странных аттракторов. Поэтому сам
факт существования в динамической системе тех или иных типов
гомоклинических траекторий можно расценивать как критерий сложности ее
поведения.
Рассмотрим теперь систему
n
обыкновенных дифференциальных
уравнений
Х  F (X ),
(1.36)
Х  ( x1 ,..., x n ), F : R  R ,
n
n
обладающая следующими специальными свойствами:
а) существует такое стационарное решение уравнений (1.36), что спектр
линеаризации векторного поля F вблизи особой точки Х 0 содержит
единственное собственное число 1 в правой полуплоскости, а среди
собственных чисел, лежащих в левой полуплоскости, самое правое ( 2 )
действительно;
б) R n представимо в виде прямого произведения R  R c , где   2 и c  1, так
что уравнения (1.36) инвариантны относительно инверсии в R с центром в
Х0;
в) собственный вектор, соответствующий 1 , принадлежит R , а собственный
вектор, соответствующий 2 , принадлежит R c .
Пусть при некоторых значениях параметров неустойчивое многообразие
точки Х 0 (состоящее из двух траекторий, которые будем называть
сепаратрисами Г1 и Г 2 ) касается устойчивого, образуя пару так называемых
гомоклинических петель (рисунок 1.11), причём сепаратрисы возвращаются в
седло вдоль ведущего направления. Такое касание не является грубым; ему
соответствует бифуркационная плёнка М коразмерности 1 в пространстве
параметров М. Как следует из работы [39], вблизи этой плёнки существует пара
однооборотных периодических траекторий – L – циклов (далее предполагается,
что инвариантные многообразия таких периодических решений ориентируемы).
Это происходит при разрушении гомоклинической петли наружу, если
седловая величина
32
  (1  2 ) / 1
(1.37)
положительна; в этом случае L - циклы являются седловыми.
При   1 L – циклы возникают при разрушении петли вовнутрь; они
устойчивы. Кроме того, при положительных значениях седловой величины
разрушение наружу пары гомомклинических петель сопровождается
возникновением   множества, содержащего счётное число седловых
многооборотных периодических движений и континуум устойчивых по
Пуассону траекторий. Вблизи М  - множество неустойчиво, однако вдали
может приобрести притягивающие свойства, например, при влиянии
сепаратрис в L – циклы; именно таким образом возникает хаотический
аттрактор в системе Лоренца [8, с. 337].
Представляет интерес также и изучение бифуркаций, происходящих при
отрицательных значениях седловой величины. Рассмотрение гомоклинических
петель и порождаемых ими структур при изменений знака  возможно в
рамках, вообще говоря, двухпараметрического семейства. Поэтому М в
дальнейшем предполагается двумерным.
Вблизи М траектории, начинающиеся в некоторой окрестности седла Х 0 ,
возвращаются в эту окрестность. Изучение поведения этих траекторий может
быть проведено с помощью отображения Пуанкаре на подходящим образом
выбранной ( n  1 ) – мерной гиперповерхности. Предполагая, что траектории
возвращаются в окрестность седла вдоль ведущего направления его
устойчивого многообразия, площадку удобно взять трансверсальной к этому
направлению. Согласно общим результатам теории дифференциальных
уравнений систему (1.36) в окрестности точки Х 0 невырожденным линейным
преобразованием можно привести к виду:
y1  1 y1  Ф1 (Y ),
y 2  2 y2  Ф2 (Y ),
(1.38)
y j  Ф j (Y ), 2  j  n
Y  ( y1 ,..., yn ), Ф : R n  R n
При всех l Фl (0)  0 , причём Ф1 и Ф2 имеют, по крайней мере, второй порядок
малости по всем переменным Y . В качестве площадки Пуанкаре возьмём
близкую к седлу площадку А, ортогональную оси y 2 (соответствующей
ведущему направлению устойчивого многообразия седла). В силу сделанных
допущений все траектории, проходящие в достаточной близости от особой
точки, пересекают эту площадку. Устойчивое многообразие седла делит
площадку А на две части А1 и А2 , так что траектории, начинающиеся на А1 ( А2 )
уходят от особой точки вдоль сепаратрисы Г1 ( Г 2 ). Для построения
отображения используем две близкие к седлу вспомогательные площадки
В1 и В2 , ортогональные оси y1 и пересекающие, соответственно, Г1 и Г 2 .
33
Отображение площадки А1 ( А2 ) в А можно представить в виде
композиции двух отображений: А1 в В1 ( А2 в В2 ) и В1 ( В2 ) в А .
Получающееся в результате отображение А в себя будет сильно сжимающим
по направлениям y j , j  2 , что даёт возможность приближённо свести его к
одномерному отображению. При построении отображения А1 в В1 ( А2 в В2 ) в
силу близости площадок к седлу можно линеаризовать около него уравнения
(1.38). Предполагая, что глобальный участок сепаратрисы не проходит вблизи
особых точек, отображение В1 ( В2 ) в А допустимо считать линейным. Тогда
(после надлежащего выбора масштаба) искомое отображение запишется в
виде
g n1  f ( g n ),
f ( g )  (a g
1
  ) sign ( g ),
(1.39)
где g пропорционально y1 ,  седловая величина, а параметр  соответствующая координата первого пересечения площадки А сепаратрисой
Г2.
Рисунок 1.11 - Отображение на плоскость для траектории, близкие к
сепаратрисам в окрестности от седловой точки
При   0 в системе (1.38) существует пара однообходных гомоклинических
петель, причём знак выбран таким образом, чтобы при   0 петли
разрушались вовнутрь, а при   0 - наружу. Таким образом, параметры  и 
являются естественными координатами в М. Для рассматриваемого здесь
случая предположение об ориентируемости петли [40] обусловливает
положительность коэффициента a . При всех отличных от нуля значениях 
изменением масштаба g можно обратить а в единицу, однако нас интересует
именно область значений  , включающая нуль, - поэтому мы и в дальнейшем
будем записывать модельное отображение в виде (1.39).
Вид отображения (1.39) для различных сочетаний знаков  и 
представлен на рисунке 1.12.
34
По способу построения следует ожидать, что полученное отображение
правильно отражает свойства, моделируемой системы только вблизи плёнки М
для траекторий, целиком лежащих в малой окрестности сепаратрис, то есть при
достаточно малых  и g ; не забывая об этом при распространении получаемых
результатов на реальные системы дифференциальных уравнений, мы, тем не
менее, будем исследовать отображение (1.39), не вводя указанных ограничений.
При описании свойств отображения (1.39) удобно пользоваться
терминологией
фазового
пространства.
Так,
последовательность
g k , g k 1  f ( g k ) назовем траекторией. Периодическую последовательность
g j , g j1  f ( g j ) , g n1  g1 будем называть n- оборотным циклом. Из нечетности
функции f (g ) следует, что последовательность  g j  также будет nоборотным циклом. Если эти последовательности сдвигом переводятся друг в
друга, то есть фактически тождественны, то такой цикл будем называть
симметричным. Если же преобразования сдвига, переводящего g j  в  g j  не
существует, то эти последовательности представляют собой разные циклы.
Рисунок 1.12 - График уравнения (1.39) для разных знаков параметров
Траектория, попавшая на устойчивое многообразие седла, больше не
возвращается на площадку А, поэтому ей будет соответствовать
последовательность g j , оканчивающаяся нулём. Траекторию g j ,
g1   ( g1   ) назовём сепаратрисой, порождаемой Г 2 ( Г1 ). Если при каком- то
n в такой последовательности g n  0 , назовём
её n- оборотной
35
гомоклинической петлей. Так же как и несимметричные циклы,
гомоклинические петли всегда существуют парами.
Последовательности g j  содержат детальную информацию о поведении
траекторий системы; между тем, иногда бывает достаточно знать, по какую
сторону устойчивого многообразия седла окажется траектория после своего
очередного возвращения; в таких случаях удобно применить двоичную
кодировку траекторий, которую введём, сопоставив каждому пересечению В1
единицу, к пересечению В2 - нуль. Тогда всякой гомоклинической петле,
порождаемой Г1 , будет соответствовать двоичная последовательность S ,
начинающаяся с единицы, а существующей одномоментно с ней петле,
порождаемой Г 2 , - последовательность S * , получаемая из S  двоичной
инверсией, то есть заменой всех нулей на единицы и наоборот.
Перейдем к исследованию свойств отображения (1.39) при положительной
седловой величине. При отрицательных  все траектории покидают
окрестность начала координат; как видно из рисунка 1.13, в этой области
значений параметров отображение (1.39) обладает парой устойчивых далёких
от нуля неподвижных точек g d , к которым и притягиваются все траектории.
Координаты этих точек удовлетворяют уравнению
gd  a g
1

(1.40)
решение которого при малых  имеет вид:
g d  a 1 / 
1


1   1 / 2
а   ...
2 2
(1.41)
Рисунок 1.13 - График отображения (1.39) при положительной седловой
величине
36
При переходе  через нуль возникающие при   0 две простейших
однообходных гомоклинических петли разрушаются наружу, порождая,
согласно [39, с.461-472], пару неустойчивых L – циклов, которым
соответствуют неподвижные точки с координатами [41]
1
1
2


1
2 
   1 
   1
   1

gL   
1


...
 
 

a(1   )  a 
2a 2 (1   ) 2  a 
a 


(1.42)
Как видно из (1.41) и (1.42), при достаточно малых положительных
 g L    g d , то есть сепаратриса с близкими к ней траекториями попрежнему уходит из окрестности начала координат и не возвращается в неё. По
этой причине  - множество, возникшее при разрушении пары
гомоклинических петель [8, с. 336-339], не является притягивающим. Тем не
менее, при выборе начальных условий достаточно долгого стохастического
переходного процесса (метастабильный хаос [42]).
При   1 / 2 «воронка», через которую почти все траектории покидают
окрестность нуля, закрывается тогда, когда сепаратриса попадает на L – цикл,
то есть при
  * ( )  (а / 2)1/
(1.43)
При   * ( ) отрезок [ g L , g L ] переводится отображением (1.39) в себя, но,
как нетрудно убедиться, устойчивых циклов содержать не может. В то же время
неустойчивые циклы на этом отрезке имеются; существование, например,
симметричного цикла 01 (т.е. двухоборотного цикла, витки которого
охватывают начало координат) следует из того, что биссектриса второго и
четвёртого координатных углов пересекает обе ветви графика отображения.
Более того, может быть показано, что на отрезке [ g L , g L ] имеется счётное
множество неустойчивых многооборотных циклов. Притягивающим
множеством на этом отрезке является аттрактор типа известного аттрактора
Лоренца. Траектории, начинающиеся вне отрезка [ g L , g L ] , притягиваются к
устойчивым циклам g d ; таким образом, в зависимости от начальных условий
можно наблюдать как стохастическое, так и регулярное поведение. С
дальнейшим увеличением  L – цикл и g d сближаются, и при
   с ( ) 

1 
(а(1   ))1/
(1.44)
сливаются, образуя негрубые кратные циклы, и исчезают. При   с ( ) у
отображения (1.39) нет других аттракторов, кроме лоренцева.
37
Рассматривая последовательные итерации обратного отображения возле
нуля, можно показать, что при фиксированном  и   * ( ) существует
счётное число значений  , при которых сепаратрисы образуют
гомоклинические петли типа 10…0…0 (и симметричные к ним петли
01…1…1); для краткости петли такого типа, следуя [43], будем называть
петлями вида (1, n) , где n- число нулей после единицы (единиц после нуля).
Эти значения  определяются уравнением
u1,n (...(u1,n (u1,n  1)1  1)1 ...)1  1  0.
(1.45)
где u1,n  a1,n .
При n   последовательность 1,n ( ) монотонно сходится к * ( ) по
закону геометрической прогрессии, знаменателем которой является величина,
обратная мультипликатору L – цикла, который при   * ( ) равен 2(1   ) :
1,n  * ( ) ~ 2(1   ) n
(1.46)
1,n1  1,n
 2(1   )
n 
1,n  1,n 1
(1.47)
или, что то же самое
lim
Таким образом, на плоскости    к линии   * ( ) сгущается сверху
семейство кривых, на каждой из которых существует одна из гомоклинических
петель вида (1, n).
  0 все 1,n ( ) , начиная с некоторого n1 , так же, как и * ( ) , стремятся
к нулю; величина n1 , как нетрудно убедиться, определяется параметром a ; так,
при a  1 n1  1 при 1  a  (1  5 ) / 2 n1  2 и так далее.
При   1/ 2 (по смыслу определения седловой величины   1 ) сепаратриса
при увеличении  попадает не на L – цикл, а в точку g d , что выполняется при
том же условии   * ( ) . Это, разумеется, не сопровождается появлением у
 - множества свойств устойчивости. В этой области семейство линий
существования гомоклинических петель вида (1,n) сгущается сверху к линии
существования кратных циклов   с ( ) .
При дальнейшем увеличении  при всех   0 попадаем в область
  S ( )  a(1  )1/ (2  ) /(1  ),
в которой всюду устойчив симметричный двухоборотной цикл 10.
38
(1.48)
Здесь ещё раз уместно напомнить, что рассматриваемое отображение
моделирует свойства потока в фазовом пространстве, строго говоря, лишь при
малых  . Поэтому обнаружения предсказываемых бифуркаций в конкретных
системах дифференциальных уравнеий естественно ожидать лишь там, где они
происходят вблизи М 1 , то есть при не слишком больших  .
Рассмотрим теперь область отрицательных значений седловой величины.
В отличие от случая   0 , здесь разрушение гомоклинических петель
сопровождается возникновением устойчивых периодических режимов, поэтому
вся картина перестроек выглядит существенно иначе. При достаточно больших
по модулю отрицательных  отображение не имеет неподвижных точек, и все
траектории уходят на бесконечность. При увеличении  по достижении
значения   с ( )  а(1  )1 /  /(1  ) возникает два негрубых кратных цикла,
каждый из которых с дальнейшим увеличением  распадается на пару
однооборотных циклов ( g d и g L на рисунке 1.14), координаты которых вблизи
этой бифуркации удовлетворяют соотношению


g  a(1  )1  
2

a(1  )1 / (  c ( ))
(1.49)
где верхний знак соответствует неустойчивому циклу g d , а нижний –
устойчивому L- циклу.
При дальнейшем увеличении  g L убывает и при   0 обращается в нуль:
L- циклы ложатся на сепаратрисы, образуя пару однооборотных
гомоклинических петель. В результате разрушения этих петель с переходом к
  0 образуется устойчивый симметричный цикл типа 10. По достижении
  S ( )  a(1  )1 / (2  ) /(1  ) этот цикл теряет устойчивость, и от него
мягко отходит пара несимметричных устойчивых циклов того же типа.
Потерявший устойчивость симметричный цикл существует и выше при всех  ,
в то время, как ответвившиеся от него циклы на линии
2 ( )  a1 /
(1.50)
ложатся на сепаратрисы Г1 и Г 2 , образуя петли 10 и 01, соответственно.
Разрушение этой пары петель приводит к рождению симметричного
устойчивого цикла типа 1001. На рисунке 1.15 изображены вид отображения, а
также его второй и чётвертой степеней для различных значений  .
Рисунок 1.15 a ) соответствует области с ( )    0 ; рисунок 1.15 b ) –
линии   0 . На рисунке 1.15 с) - 1.15 e) изображён квадрат отображения
(1.39); при этом рисунке 1.15 c) относится к области 0     s ( ) , в которой
существует единственный двухоборотный цикл, рисунке 1.15 d ) соответствует
39
s ( )    2 ( ) , в которой сосуществуют симметричный
области
неустойчивый и пара несимметричных устойчивых циклов, а на рисунке 1.15
e) можно увидеть образование двух гомоклинических петель 10 и 01.
Рисунок 1.14 - График отображения (1.39) при отрицательной седловой
величине
a )  с ( )    0; b )   0; c) 0     S ; d )  S     2 ; e)   2 ; f )    2
Рисунок 1.15 - Преобразования отображения с ростом  при отрицательных 
40
На рисунке 1.15 f ) изображён график четвёртой степени отображения после
перехода через линию   2 ( ) ; в этой области существует симметричный
устойчивый четырёхоборотный цикл. Обращает на себя внимание сходство
центральных частей графиков самого отображения и его высших степеней,
взятых при больших значениях  . Это позволяет предположить, что
описанные выше бифуркации будут в некотором смысле повторяться для
соответственно возрастающих степеней отображения при увеличении  .
Оказывается, наличие пары значений параметров 1 ( ) и 3 ( ) ,
соответствующих существование петель типа 1(0) и 100 (011) является
достаточным условием существования в интервале [ 1 ( ) , 3 ( ) ] бесконечной
последовательности значений n ( ) , n  2 k , k  0,1,... , при которых имеется
пара n – оборотных гомоклинических петель. Это можно показать в рамках
следующей схемы. Пусть при   а существуют петля, задаваемая двоичной
последовательностью S и симметричная ей петля, кодируемая как S * (далее
существование петель, симметричных к упоминаемым, особо оговариваться не
будет), где знаком * обозначена описанная выше операция двоичной инверсии,
а при   в  a существует петля, которой соответствует кодировка SS * S *
(т.е., например, при S  1 S S* S *  1 0 0), причём все петли при увеличении
 разрушаются наружу. Тогда найдётся такое   0 , что при  a     a  
сепаратриса будет кодироваться последовательностью, начальный участок
которой имеет вид SS * SS * …, а при в      в - последовательностью,
начинающейся с SS * S * SS * S * … . Следовательно, между  a и  в должно лежать
значение  a1 , при котором существует гомоклиническая петля типа SS * .
При разрушении этой петли наружу в малой окрестности этого значения
сепаратриса имеет кодировку SS * S * SSS * … . Значит, между  a1 и  в лежит
значение  a 2 , соответствующее гомоклинической петле SS * S * S . В свою
очередь, при  , достаточно мало превосходящем  a 2 , кодировка сепаратрисы
начинается с SS * S * SS * SS … . Теперь видно, что между  a 2 и  в лежит
значение  в1 , соответствующее петле SS * S * SS * . После разрушения этой петли
вовнутрь, вызванного уменьшением  от  в1 , сепаратриса определяется
последовательностью SS * S * SS * SS * … . А отсюда непосредственно следует
существование между  a 2 и  в1 значения в 2 , при котором имеется
гомоклиническая петля типа SS * S * SS * S . Таким образом, показано, что из факта
существования гомоклинических петель S и SS * S * следует существование при
неких промежуточных значечиях параметров соответственно вдвое более
длинных петель SS * (при    а1 ) и SS * S * SS * S (при   в 2 ). Обозначив SS *
через S и заметив, что SS * S * SS * S  SS * S * , мы можем повторить проведённые
рассуждения и показать существование в промежутке (  a1 , в 2 ) петель, уже
вчетверо более длинных, чем исходные, - и так далее, по индукции.
41
Осталось только убедиться в существовании  a и  в . В качестве S
можно взять простейшую однооборотную петлю типа 1, то есть  а  0 . Тогда
петлей SS * S * будет гомоклиническая петля типа 100; она существует при  ,
удовлетворяющем
f ( f (  ))  0 , (a  )1 (a   1)  1  0.
(1.51)
Это уравнение имеет положительный корень при всех   0 ; он и даёт значение
в .
Таким образом, при всех отрицательных значениях  , существует
бесконечная последовательность  n ( ) ; кодировка соответствующих петель
определяется рекуррентным соотношением
S1  1 , S 2 n  S n S n*
(1.52)
Каждая пара петель S n и S n* , разрушаясь наружу, порождают 2n – оборотный
устойчивый симметричный цикл, который при увеличении  теряет
устойчивость, и от него ответвляется пара устойчивых несимметричных циклов
того же типа, которые при    2 n ложатся на сепаратрисы, образуя
гомоклинические петли S 2 n и S 2n* .
Последовательность  n( )  , n=1,2,4,8… ограничена сверху (  n  в ) и
монотонна, следовательно, существует её предел  ( ) .
Как указано в работе [44], разрывное отображение вида (1.39) в некотором
смысле эквивалентно непрерывному отображению
g n1   ( g n ),
(gn )    a gn
1
,
(1.53)
для которого показано существование бесконечной последовательности
бифуркаций удвоения цикла. Каждой такой бифуркации в (1.53) соответствует
бифуркация потери устойчивости симметричным циклом и ответвлением от
него пары несимметричных для отображения (1.39). Существованию же
гомоклинических петель у (1.39) соответствует прохождение через нуль
производной  / g в одной из точек n – оборотного цикла в (1.53) (и,
следовательно,  n / g n в любой точке этого цикла). Для различных значений
 последовательность бифуркаций удвоения сходится к своему пределу по
закону геометрической прогрессии. В частности, при   1, когда
отображение (1.53) становится гладким, Фейгенбаум нашёл знаменатель этой
прогрессии  1 и масштабный фактор  , являющийся коэффициентом подобия
при преобразовании притягивающих множеств.
42
Аналогично и для отображения (1.39) последовательность  n( )  должна
сходиться к   , как геометрическая прогрессия. В частности, при   1,
получаются известные константы Фейгенбаума   4,6692 … и   2.5029 …
Обработка полученных результатов показывает, что в исследованном
интервале значений  величина
ϰ  ( ( )  1) 
1 / 3
(1.54)
почти не меняется. Фиксируя её значение при одном из (например, при   1
ϰ= ϰF=3.6692016… ), можно записать приближённую формулу для  ( ) :
 1/ 3
 ( )  1  ϰ F
(1.55)
Как указывалось, устойчивые n – оборотные циклы, описанные выше,
существуют только при  n / 2     n ; таким образом, при    из заведомо
нет. В то же время, счётное множество симметричных неустойчивых циклов,
каждый из которых наследует потерявшему устойчивость соответствующему
симметричному циклу, продолжает существовать. Можно показать, что при
   предельное множество имеет канторову структуру и сепаратриса всюду
   существует сходящаяся сверху к  ( )
плотна на нём. При
последовательность кривых n ( ) , n  2 k , k  0,1,2,... на каждой из которых
сепаратрисы попадают на n – оборотный симметричный неустойчивый цикл.
Указанное выше соответствие отображений (1.39) и (1.53)
позволяет
предположить о существовании при    хаотического аттрактора могут
быть распространены и на случай, исследуемый в данной работе. Область
хаотичности заведомо ограничена сверху кривой   * ( ) , выше которой
сепаратриса вместе с близкими к ней траекториями перестаёт возвращаться в
окрестность начала координат. Кроме того, при     * встречаются
последовательности устойчивых циклов, порождаемых гомоклиниками вида (1,
n) и счётным множеством других гомоклиник.
В отличие от случая положительных седловых величин, для которого, как
указывалось выше, лишь при малых  (и, следовательно, малых  )
приходится ожидать качественного соответствия описанных бифуркаций в
модельном отображении (1.39) и исходной системе (1.36), в области
отрицательных  можно надеяться на расширение границ применимости. Во
всяком случае, при любом непрерывном изменении параметров системы,
переводящем её из состояния, в котором имеется пара однооборотных
гомоклинических петель в состояние с парой трёхоборотных петель (100 и 011),
при
промежуточных
значениях
параметров
будет
наблюдаться
последовательность бифуркаций, соответствующая описанной выше картине.
43
Преобразование притягивающих траекторий, соответствующее рисункам 1.15
a -1.15 f схематично изображено на рисунках 1.16 a -1.16 f .
При конечных  первые линии существования петель семейства  n ( )
будут далеки друг от друга; тем не менее, сходимость последовательности  n  ,
обусловленная её ограниченностью сверху, даёт возможность выбрать в
качестве первого элемента этой последовательности не однооборотную петлю,
а более сложную, как угодно близко лежащую к сгущению.
Модельное отображение для траекторий, близких к такой многооборотной
петле, будет иметь вид (1.39); изменение глобального участка этих траекторий
отразится лишь на величине коэффициента а . Как указывалось выше,
изменением масштаба g и соответствующей перенормировкой  (при   0 ) а
может быть обращено в единицу, однако, предельные значения скорости
сходимости и других характеристик отображения не зависят от такой
перенормировки (как и вообще от дифференцируемой замены параметра);
именно поэтому, например,  ( ) может быть вычислено и как предел
отношения приращений  n ( ) , и как предел отношения приращений u n ( ) .
a ) периодические траекторий (циклов), пара петель в ) седловое соединение
двух отдельных петель и появление новой отдельной гомоклинической орбиты,
с ) двух петельный симметричный устойчивый цикл, d ) пара двух петельных
несимметричных устойчивых циклов, e ) появление новой двух петельной
гомоклинической орбиты; f ) четырех петельный симметричный устойчивый
цикл
Рисунок 1.16 - Первые преобразования «склеивающихся» траекторий
уравнения (1.39) при отрицательной седловой величине
Аналогично и в конкретных системах уравнений при выполнении
естественного предположения о том, что  является дифференцируемой
44
функцией управляющего параметра системы, можно ожидать, что
«накопление» бифуркаций будет происходить с предсказанной скоростью,
определяемой только седловой величиной.
Рассмотрим теперь гомоклинические переходы наблюдаемые в системе
дифференциальных уравнений Лоренца [6, с. 135]
x   ( y  x),
y  rx  y  xz,
z  bz  xy,
(1.56)
где параметры  , b и r вещественны и положительны. Значения параметров
(1.56) выбранные Лоренцом являются   10 , b  8 / 3 и r  28 , но в теории
бифуркации обычно параметры  и b оставляют постоянными, а параметр
r меняют.
Уравнение (1.56) является симметричным относительно оси координат (х,
у) →(-x, - у), и имеет стационарную точку в (0,0,0) и решения x  y (от x  0 ),
bz  x 2 (от z  0 ), b(r  1) x  x 3  0 (от y  0 ). Следовательно, существуют две
другие стационарные точки,
С  ( b(r  1) , b(r  1) , r  1)
(1.57)
при условии r  1 . Методом линейного анализа можно определить, что
уравнение (1.56) имеет одну устойчивую точку при 0  r  1 . При r  1 теряет
устойчивость при этом рождается две нетривиальные стационарные точки,
которые являются (первоначально) устойчивыми. Для определения
устойчивости этих стационарных точек используем матрицу Якоби
 

r  z
 y


0 

1  x
x  b 
и получаем от него уравнение
3  (  b  1)2  b(  r )  2b(r  1)  0 .
(1.58)
Найдя корни уравнения (1.58), получаем собственные значения. Следует
отметить, что из - за симметричности C- есть образ С+ , поэтому стабильность
свойств двух стационарных точек одинаковые. Бифуркация стационарных
точек, т.е. значений параметров, при которых либо λ = 0 или λ = iω являются
решениями уравнения (1.58). При λ = 0, находим, что r  1 . Подставляя λ = iω в
уравнение (1.58) и отделим действительные и мнимые части уравнения мы
находим
45
 (  b  1) 2  2b(r  1)  0,
(1.59)
   b(  r )  0.
3
Из первого уравнения имеем
2 
2b(r  1)
 b(r   ).
  b 1
(1.60)
Рисунок 1.17 - Бифуркации в системе Лоренца при фиксированных   10 ,
b  8 / 3 , имеющие место при увеличении параметра r . Обозначения: О –
неподвижная точка в начале координат Г1 и Г2 - две ветви ее неустойчивого
многообразия (сепаратрисы), О1 и О2 - неподвижные точки, L1 и L2 неустойчивые замкнутые орбиты. (в) отвечает наличию петли сепаратрисы
Подставляя это уравнение во второе и выражая оттуда r , находим порог
устойчивости:
46
rH 
 (  b  3)
  b 1
(1.61)
В этом значении r , выполняются условия
2 
2b (  1)
  b 1 ,
  b 1.
(1.62)
Подставляя в формулу (1.61) выбранные значения Лоренцом параметры   10 ,
b  8 / 3 , получим значение порога устойчивости rH  22.74 .
Теперь обсудим, как изменяется динамика системы Лоренца, если
поддерживать постоянными параметры   10 , b  8 / 3 и увеличивать, начиная
от нуля, параметр r .
Как мы видели, при r  1 система Лоренца имеет устойчивую
неподвижную точку в начале координат. точку О. Это единственный аттрактор
системы.
При r  1 состояние равновесия О становится неустойчивым – одно из
трех собственных чисел оказывается положительным, тогда как два других
остаются отрицательными. Если ввести малое возмущение, то изображающая
точка будет уходить от состояния равновесия вдоль некоторой специальной
траектории, которую называют неустойчивой сепаратрисой или неустойчивым
многообразием. Это неустойчивое многообразие одномерное (некоторая кривая
линия), поскольку только одно собственное число ответственно за
неустойчивость. Из свойства симметрии ясно, что имеется две ветви
неустойчивой сепаратрисы Г1 и Г 2 идущие от состояния равновесия О в
разные стороны (Рисунок 1.17 a)). Точка О имеет также устойчивое
многообразие. Оно двумерное, поскольку два собственных числа отрицательны
и отвечают затуханию возмущений. Устойчивое многообразие представляет
собой некоторую кривую поверхность, при старте с которой траектории идут в
состояние равновесия О.
При переходе r через 1 точка О перестает быть аттрактором, и
аттракторами становятся вновь возникшие неподвижные точки О1 и О2 .
Согласно соотношению (1.61) они остаются устойчивыми до довольно больших
значений r .
Присутствие двух аттракторов означает наличие бистабильности – в
зависимости от начальных условий система приходит в конце концов в один из
двух возможных устойчивых режимов. В более общем случае, когда
аттракторов более одного, говорят о мультистабильности. Это одно из
характерных и распространенных свойств нелинейных динамических систем.
На рисунке 1.17 б) показано, как выглядят сепаратрисы Г1 и Г 2 в той
области значений r , где неподвижные точки О1 и О2 . являются устойчивыми
фокусами. Фазовые траектории приближаются к неподвижной точке по
спирали, что соответствует затухающим осцилляциям. Чем больше параметр r ,
47
тем больше начальный размах этих осцилляций. При некотором значений
r  13,927 оказывается, что сепаратриса, совершив один оборот, возвращается в
точку О вдоль оси z (рисунок 1.17 в)). Об этой ситуации говорят как о петле
сепаратрисы. Это момент нелокальной бифуркации, когда имеет место
перестройка структуры потока фазовых траекторий, которая не сводится к
локальным изменениям в окрестности какой – то одной точки фазового
пространства.
Переход параметра r через указанное значение никак не отражается на
свойствах стационарных режимов, отвечающих аттракторам О1 и О2 , за тем
исключением, что после него сепаратриса Г1 ведет точку О2 , а сепаратриса Г 2 в точку О1 . Однако в глобальной структуре фазового пространства происходят
существенные изменения. Во – первых, из каждой петли сепаратрисы
рождается замкнутая траектория – неустойчивый предельный цикл (штриховые
кривые L1 и L2 на рисунке 1.17 в)). Во – вторых, появляется инвариантное
множество 1 - сложно устроенное множество траекторий, допускающих
кодирование
всевозможными
бесконечными
в
обе
стороны
последовательностями двух символов. Это множество 1 , однако, не является
притягивающим, образуя, как иногда говорят, «странный реппелер».
Следующая существенная нелокальная бифуркация происходит при r  24,06 .
Если до этого момента сепаратрисы Г1 и Г 2 вели в неподвижные точки О1 и
О2 , то после бифуркации они асимптотически приближаются к неустойчивым
орбитам (рисунок 1.17 д ) С этого момента на месте множества 1 возникает
уже притягивающее множество сложной структуры. Это и есть странный
аттрактор Лоренца, отвечающий хаотическому режиму колебаний. Отметим,
однако, что состояния О1 и О2 и все еще остаются устойчивыми, до достижения
значения r  24,74 . Таким образом, в интервале r от 24,06 до 24,74 в системе
сосуществуют три аттрактора - две неподвижные точки О1 и О2 и аттрактор
Лоренца. Наконец, начиная с r  24,74 , неподвижные точки теряют
устойчивость и аттрактор Лоренца остается единственным притягивающим
множеством (рисунок 1.17 д ).
Оказывается, что при очень больших r система демонстрирует простой
регулярный режим автоколебаний, которому в фазовом пространстве
соответствует предельный цикл. При уменьшении параметра r можно
наблюдать переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения
периода. В определенных областях по параметру r реализуется переход от
периодических к хаотическим режимам через перемежаемость. Чего в системе
Лоренца быть не может, так как мы имеем квазипериодические автоколебания.
Таким колебаниям должен был бы соответствовать аттрактор в виде тора.
Предположим, что такой аттрактор существует. Фазовые траектории не могут
пересекать поверхность тора, они могут только приближаться к нему.
Рассмотрим ансамбль систем, изображающие точки которых заполняют
внутренность тора. Любой элемент объема должен уменьшаться в силу того,
48
что в системе Лоренца дивергенция векторного поля постоянно и отрицательна.
С другой стороны, объем внутренности тора должен оставаться постоянным.
Эти два вывода несовместимы – мы пришли к противоречию, и, следовательно,
предположение о наличии аттрактора в виде тора не может быть верным.
1.5 Экспериментальные наблюдения бифуркационных режимов
В предыдущих главах основное внимание мы уделяли теории. Рассмотрим
теперь некоторые эксперименты, подтверждающие наличие фейгенбаумовского
перехода. Для начала перечислим те признаки, которыми такой переход
характеризуется:
- существует бесконечный каскад удвоений периода, который приводит к
появлению субгармоник с частотами 2  n f 0 , где f 0 - основная частота;
- каждая последующая субгармоника находится на уровне, в  раз
меньшем уровня предыдущей, где 10 ln   13.5;
r,
изменение
управляющего
параметра
соответствующего
последовательным n - субгармоникам, описывается соотношением типа
rn  r    n ;
- внешний шум разрушает тонкую структуру спектра мощности, и чтобы
1
сделать наблюдаемой еще одну субгармонику, требуется понизить шум 
раз;
- система имеет одномерное отображение Пуанкаре с единственным
квадратичным максимумом.
Вслед за работой Фейгенбаума бифуркационный переход к хаосу был
обнаружен в большом числе экспериментов: от маятника, возбуждаемого
толчками, до химических реакций и оптических схем с двумя состояниями
равновесия. Ниже детально обсуждаются два характерных примера.
Рассмотрим эксперимент Бенара. В этом эксперименте слой жидкости (с
положительным коэффициентом объемного расширения) подогревается снизу в
поле тяготения, как показано на рисунке 1.18. Нагретая жидкость вблизи дна
«стремится» подняться, а холодная вблизи крышки – опуститься, но этим
движениям противодействуют вязкие силы. При малых разностях температур
Т преобладает вязкость, жидкость покоится и тепло переносится постоянной
теплопроводностью. Это состояние становится неустойчивым при критическом
значении Ra числа Рэлея R , и появляются стационарные конвективные валы. С
дальнейшим ростом R после второго порога Rс наблюдается переход к
хаотическому движению.
Для теоретического описания эксперимента Бенара Лоренц упростил
сложные дифференциальные уравнения, описывающие эту систему, и получил
дифференциальные уравнения (1.56). Параметры  , b в уравнении (1.56)безразмерные константы, характеризующие систему, r - управляющий
параметр, пропорциональный Т Переменная х пропорциональна скорости
49
циркулирующей жидкости, y характеризует разность температур между
восходящими и нисходящими потоками жидкости. z пропорциональна
отклонению вертикального профиля температуры от равновесного значения.
Рисунок 1.18 - Неустойчивость Бенара
Рисунок 1.19 - Ячейка Бенара, заполненная жидким гелием. Представлен режим
с двумя конвективными валами. Спектр мощности ( а ) температуры x(t) при
увеличивающихся числах Рэлея, которые пропорциональны r ( б  г ). Уровень
n-x субгармоник сравнивается со значениями из теории Фейгенбаума –
штриховые линии ( д )
50
Амплитуда [дБ]
А)
Б)
 [МГц ]
В)
Г)
А) экспериментальная установка цепи нелинейного RCL – осциллятора; Б)
зависимость величины тока I(t+T) от I(t) представляет собой одномерное
отображение с единственным максимумом; В) определение константы δ0
исходя из значений управляющего параметра V0; Г) субгармоники спектра
мощности при увеличивающихся значениях V0 (а-с); сравнение с теорией
Фейгенбаума – штриховые линии (d)
Рисунок 1.20 – Эксперимент - цепь нелинейного электрического RCL –
осциллятора с внешним возбуждением
На рисунках 1.19 и 1.20 показаны спектры мощности, полученные в
эксперименте Бенара и в цепи нелинейного электрического RCL – осциллятора
с внешним возбуждением.
51
В работе [45] обнаружили в экспериментах с жидким гелием следующие
свойства фейгенбаумовского перехода: а ) с ростом разности температур
(которая пропорциональна управляющему параметру r) появляются
субгармоники с частотами f/2, f/4, f/8, f/16, где f – основная частота; б)
последовательные субгармоники отличаются примерно на 10 дБ, что с
качественной точки зрения соответствует теории (   13,5 дБ). Высшие
субгармоники подавляются за счет внешнего шума.
Хотя указанные результаты почти не оставляют сомнений в том, что мы
имеем дело с фейгенбаумовским переходом, однако свести описывающие
систему гидродинамические уравнения к одномерному отображению Пуанкаре
с единственным максимумом пока не удалось. В этом отношении ситуация
несколько лучше для нелинейного RCL – осциллятора, показанного на рисунке
1.20.
Согласно работе [46] нелинейным элементом в данной цепи является
варикап, который порождает следующую зависимость между зарядом и
напряжением:
 V (q) 
V (q)  1 
0.6 

0.43
q
.
C0
(1.63)
Дифференциальное уравнение для зависящего от времени заряда q имеет вид
  Rq  V (q)  V0 sin( 2f1t ) .
Lq
(1.64)
Такая цепь действует подобно аналоговому компьютеру для нелинейного
осциллятора с возбуждением. На рисунке 1.20 показано, что для специальных
значений V0 (которые играют роль внешнего управляющего параметра r )
последовательные величины тока I n  I (t0  nT ) , где T  1 / f1, фактически могут
быть получены при помощи одномерного отображения с квадратичным
максимумом. (Ток связан с зарядом зависимостью I  q , а величины
I n соответствуют x n .) Соответствующий спектр мощности демонстрирует, как
и следовало ожидать, все особенности бифуркационного перехода и позволяет
получить оценку для числа  , которая лишь на 10% отличается от
асимптотического значения Фейгенбаума. Отметим, что имеются как
теоретические, так и экспериментальные обоснования того факта, что для RCL
– осцилляторов, содержащих, как в описанных выше экспериментах, диод,
емкость p-n – перехода которого зависит от приложенного напряжения
(варикап), хаотическое поведение вызвано не нелинейностью диода, а его
большим временем восстановления. Но и эту ситуацию можно описать при
помощи одномерного немонотонного отображения.
Теперь рассмотрим экспериментальные наблюдения перехода через
перемежаемость. Переход к хаосу через перемежаемость был впервые
исследован в работе [47], которые решали численно дифференциальные
52
уравнения (1.56). Для y - компоненты было обнаружено поведение, показанное
на рисунке 1.21.
r  rc
r  rc
Рисунок 1.21 - Развитие во времени одной из составляющих в модели Лоренца
Рисунок 1.22 - Перемежаемость в эксперименте Бенара. С ростом числа Рэлея
вертикальная составляющая скорости в центре ячейки из периодической (а)
через перемежаемость (б) становится хаотической (в)
53
a) зависимость I(t+5T) от I(t), соответствующая пятой итерации логистического
отображения в точке касания; б) и в) измеренная средняя длина стационарной
области l пропорциональна  0.43 (где  ~ V0  VC ), что разумно согласуется с
предсказанной зависимостью ( l ~  0.5 ); г ) зависимость P от l (в единицах 5Т)
при   2,5 10 4
Рисунок 1.23 - Перемежаемость в нелинейном RCL – осцилляторе
При r  rc реализация y (t ) представляет собой устойчивое периодическое
движение. При превышении порога rc колебания прерываются хаотическими
всплесками, которые с ростом r становятся все более частыми, пока движение
полностью не хаотизируется.
Устойчивым колебаниям при r  rc соответствует устойчивая неподвижная
точка на отображении Пуанкаре. При r  rc эта точка становится неустойчивой.
Так как это может произойти лишь тремя путями (во всех трех случаях модули
собственных значений линеаризованного отображения Пуанкаре больше
единицы).
54
Далее будет описана два характерных эксперимента, в которых
обнаружена перемежаемость 1- го и 3-го родов. (перемежаемость 2-го рода
найдена в реакции Белоусова – Жаботинского [48]).
Перемежаемость 1- го рода наблюдается в эксперименте Бенара. На
рисунке 1.22 показана осциллограмма вертикальной скорости. Видно, что
поведение сигнала характерно для перемежаемости 1-го рода.
а) осциллограмма интенсивности света (почти пропорциональной локальному
горизонтальному градиенту температуры); б) отображение Пуанкаре I n2 ( I n ) ,
построенное по данным осциллограммы ( a ) при   0.098 . Амплитуды на
участках всплесков не показаны. Отметим, что «призрак» неподвижной точки
(кружок) является чисто отталкивающим; в) зависимость числа N

стационарных участков с l  T0 ( N   P(l )dl ) от T0 . Экспериментальные данные
T0
согласуются с кривой, полученной из (1.35) для   0.098
Рисунок 1.24 – Эксперимент с конвекцией Бенара в маленькой прямоугольной
ячейке
55
В нелинейном RCL – осцилляторе также наблюдается перемежаемость.
Существование перемежаемости 1- го рода показано на рисунке 1.23 с
помощью отображения Пуанкаре, скейлинга длин стационарных областей и
положения максимума P(l) при l>0.
Перемежаемость 3- го рода впервые наблюдалась в эксперименте с
конвекцией Бенара в маленькой прямоугольной ячейке [49]. В эксперименте
изменялся горизонтальный градиент температуры по модуляции интенсивности
светового пучка, проходящего через ячейку.
На рисунке 1.24, а) показана осциллограмма, характерная для
перемежаемости 3-го рода. Перемежаемость появляется одновременно с
удвоением периода; амплитуда субгармоники растет, а амплитуда основной
частоты уменьшается. Когда амплитуда субгармоники становится большой,
сигнал теряет регулярность и возникают хаотические всплески.
Если построить последовательности максимумов I n субгармоники (четные
n, отмечены крестиками) и основной моды (нечетные n, квадратики), то
получается отображение Пуанкаре, показанное на рисунке 1.24, б ) . Его форма
описывается выражением
I n  2  (1  2 ) I n  bI n3 ,
(1.65)
где b - постоянная,  ~ ( R  Rc ) – мера надкритичности по числу Рэлея Rc ,
соответствующему порогу возникновения перемежаемости.
а) квазипериодическая область с двумя несоизмеримыми частотами f1 и f 2 ; б)
трехчастотная периодичность, т. е. одновременно с самопроизвольным
экспоненциально спадающим шумом в спектре присутствуют f1 , f 2 и f 3
Рисунок 1.25 - Зависимость логарифма спектра мощности (локальной
температуры) в эксперименте Бенара с ртутью в магнитном поле
Уравнение (1.65) можно получить из отображения
56
I n1  f ( I n )  (1   ) I n  uI n3 ,
(1.66)
где b  u (2  4 ). Его собственное значение
  f (0)  (1   )
(1.67)
Нормированная амплитуда логарифма спектра
пересекает единичную окружность в точке -1, что указывает на
перемежаемость 3- го рода.
Переход от квазипериодичности к хаосу наблюдался в эксперименте
Бенара с ртутью в магнитном поле (рисунок 1.25) [50] и в эксперименте с
сегнетоэлектриком – кристаллом НБН (ниобат бария - натрия) (рисунок 1.26)
[51].
В эксперименте Бенара горизонтальное поле служит вторым управляющим
параметром и эффективно увеличивает вязкость электропроводной жидкости.
Рисунок 1.26 - Спектр мощности напряжения поперек кристалла НБН с
постоянным током. При понижении температуры наблюдается переход «одна –
две – три основные частоты - хаос»
Во втором случае кристалл Ba 2 NaNb5O15 помещен в печь, в которой
поддерживается постоянный поток увлажненного кислорода (проводимость
частично обеспечивается кислородными вакансиями). Вдоль с- оси образца
прикладывается стабилизированный постоянный ток и регистрируется
напряжение поперек кристалла и интерференционная картина двойного
лучепреломления. С ростом напряжения на катоде возникают «домены» и
57
постепенно расходятся по кристаллу. Так как здесь три управляющих
параметра (температура, плотность тока и поток кислорода), кристалл НБН,
имеющий нелинейную вольт – амперную характеристику, представляет собой
интересную систему для экспериментального исследования хаоса.
58
2 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СКЛЕИВАНИЯ БИФУРКАЦИЙ В
АНАЛОГОВОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЕ
2.1 Основные свойства гомоклинической бифуркаций, которые
наблюдаются в эксперименте
Исследование перехода от порядка к хаосу в динамических системах
обычно начинают с теоретических и численных исследований, которые после
изучаются подробными экспериментальными исследованиями. Универсальная
последовательность бифуркации удвоения периода, возникновения хаоса через
распад квазипериодических колебаний, а также законы подобия в различных
видах перемежаемости были зарегистрированы в многочисленных
механических, гидродинамических, оптических, химических и т. д.,
экспериментах [52-53].
В этой главе рассматривается экспериментальное исследование склеивания
«gluing» бифуркации в аналоговой электронной схеме модели динамической
системы третьего порядка: уравнения Лоренца с дополнительной квадратичной
нелинейностью. Изменение одного из сопротивления в цепи изменяет
коэффициент нелинейности, и переход от порядка к хаосу в системе Лоренца
происходит по особому сценарию, через последовательности гомоклинических
бифуркации, начиная с периодической, и заканчивая нерегулярными
колебаниями напряжения цепи. Каждая независимая периодическая траектория
бифуркации «склеивается» в фазовом пространстве и создает новые, с
удвоенной длиной. Далее последовательность этих бифуркации приводит к
рождению хаотического аттрактора.
Существует рассматриваемый особый вид сценарий перехода к хаосу,
который довольно хорошо исследован теоретически, но уделено меньше
внимания экспериментальным исследованиям. Это переход к хаосу через
последовательность, так называемое, «склеивание» бифуркации. В таком
переходе к хаосу, пара устойчивых периодических орбит приближается в
фазовом пространстве к устойчивой точке, сливаются и образуют новую
форму устойчивых периодических орбит, которые являются более сложными,
чем предыдущие.
Мы перечислим основные свойства гомоклинической бифуркации,
которые могут наблюдаться в экспериментальных реализациях.
Сначала рассмотрим электронную схему гомоклинической бифуркации с
помощью которых авторы [54] воспроизвели динамику системы уравнений
Лоренца [6, p.135].
В фазовом пространстве электронной схемы Лоренца, основным
ингредиентом бифуркации «склеивания» является равновесие типа седла с
одномерным неустойчивым многообразием. Мы будем исходить из ситуации,
когда система уравнения Лоренца, обладает симметрией и две компоненты
этого многообразия преобразуются друг в друга. Когда параметры
динамической системы меняются, расположение инвариантного многообразия
в фазовом пространстве также меняются. В определенной комбинации
59
параметров динамической системы, один из компонентов неустойчивого
многообразия может вернуться обратно в седло вдоль устойчивого
многообразия и образовать гомоклиническую орбиту. Из свойств симметрии
второй компонент также возвращается, поэтому гомоклинические орбиты
рождаются парами. Последовательность событий (сценариев), которые
сопровождаются рождением или уничтожением гомоклинической орбиты,
зависит от главных собственных значений линеаризованного уравнения в
седловой точке. Так как неустойчивое многообразие одномерно, есть только
одно положительное собственное значение, обозначается как λ+. Далее мы
ограничимся на случай, когда ближе всего к нулю, отрицательное собственное
значение λ -, который является реальным. «Седловой индекс» ν = | λ -| λ+
указывает, какие из двух свойств, сжимание или расширение, доминирует в
фазовом пространстве в окрестности фиксированной точки, тем самым,
регулирует на устойчивость бифуркационных решений.
В эксперименте можно варьировать седловой индекс с помощью
переменного резистора. Рассмотрим, как влияет на динамику изменение
седлового индекса. При отсутствии симметрии, разрушение одной
гомоклинической траектории создает единственную периодическую орбиту,
которая является устойчивым, если ν>1 и неустойчивым в противоположном
случае [55]. Наличие второй симметричной гомоклинической траектории
составляет динамика: всех траекторий, которые покидают вблизи седла,
закачивается обратно в седловой точке. В этом случае, при ν<1 рождается
счетное множество неустойчивых периодических орбит, а также континуум
рекуррентных траекторий одновременно рождаются от пары гомоклинических
орбит [8, с. 336-339], это является важным шагом в формировании аттрактора
Лоренца. Ситуация при ν>1 проще, здесь две устойчивые периодические
орбиты подходят к седлу, и «склеиваются» формируя две гомоклинические
орбиты. Когда пара гомоклинических траекторий распадается, новая
стабильная симметричная периодическая орбита остается в фазовом
пространстве, она получается путем объединения ранее существующих. Длина
и количество циклов (оборотов) притягивающих траектории в фазовом
пространстве удваивается, как в случае бифуркации удвоения периода. Следует
отметить, что в отличие от бифуркации удвоения периода временной период
неограниченно растет, т.е. период становится бесконечным, когда
гомоклинические траектории формируются. Дальнейшее изменение параметра
может привести к последовательности вторичной бифуркации склеивания,
неустойчивое многообразие может вернуться в седло после выполнения
нескольких поворотов в фазовом пространстве. До этого, бифуркация, которая
нарушает симметрию, имеет место в новорожденных симметричных
периодических орбитах, которые теряют устойчивость в ходе вилочной
бифуркации, и две взаимно симметричные орбиты происходят от нее. Эти две
орбиты достигают неустойчивого многообразия седла и сливаются в
следующую бифуркацию склеивания. Как следует, новые устойчивые
периодические орбиты рождается, которые имеют четыре раза больше петель,
60
чем предыдущие. Дальше сценарий состоит из чередующихся склеивания и
нарушения симметрии бифуркации, что в конечном итоге заканчивается
формированием хаотического аттрактора, который имеет форму двух лепестков
аттрактора Лоренца.
Было показано, что последовательность бифуркационных значений
параметра сходятся экспоненциальным законом [3, p. 53-56, 44, p.197-201],
которая подтверждается в эксперименте по динамике электронной схемы
Лоренца [56]. В отличие от сценария удвоения периода, этот показатель не
является единственной универсальной константой, так как ренормгрупповой
анализ показывает, что класс универсальности полностью предопределен (в
общем, не целое число) от значения седлового индекса ν>1. Примечательно, что
аттрактор, который образуется в ходе этого бифуркационного сценария,
занимает некоторое промежуточное положение между порядком и хаосом.
Спектр Фурье траектории является ни дискретным, как в случае с регулярной
динамикой, ни абсолютно непрерывным, как в случае хаотического или
стохастического процесса, но поддерживается фрактальным множеством.
Соответственно,
наблюдения
характеризуются
широкополосными
неэкспоненциальными корреляциями [57]. Если симметрия между
компонентами неустойчивого многообразия нарушается, каждая бифуркация
склеивания является событием коразмерности два. На плоскости двух
параметров, существует множество путей, которые ведут от порядка к хаосу
через вторичные образования гомоклинических траекторий, каждая из этих
путей характеризуется своим собственным масштабным инвариантом [58-61].
Рождение хаотического аттрактора в фазовом пространстве системы
Лоренца называется «гомоклиническим взрывом» [7, p. 199]. Как было указано,
бифуркация склеивания отличается от гомоклинического взрыва, как по
количеству новорожденных периодических орбит, так и в их стабильности.
Взрыв генерирует, счетное множество периодических орбит. Каждая из них
вместе взятых асимптотически неустойчива. Они образуют своего рода
«скелет» для развивающегося хаотического аттрактора. В противоположность
этому сценарию, бифуркация склеивания, производит только один или два
стабильных периодических орбит [9, p. 14]. Тем не менее, в ходе
последовательности («сценарии») таких бифуркаций форма притягивающихся
орбит становится все более и более сложными, и его длина растет, развитие
которых и заканчивается хаотическим аттрактором.
Какой из двух видов бифуркации: «гомоклинический взрыв» или
бифуркация «склеивания» происходит в конкретной динамической системе,
полностью определяется соотношением двух ведущих собственных значений
матрицы Якоби в седловой точке.
В отличие от периодических орбит Фейгенбаума, седловые точки в
типичных динамических системах являются структурно неустойчивыми. Кроме
того, бифуркация «склеивания» предполагает сосуществование, двух
гомоклинических траектории в окрестности точки седла, при одном и том же
наборе значений параметров.
61
Формирование гомоклинических траектории в окрестности седла схемы
Лоренца имеет коразмерность один, а явление бифуркации склеивания имеет
коразмерность два. Следовательно, достижение сценария склеивания требует
либо идеальную зеркальную (Z2) симметрию системы или способность
отслеживать в пространстве параметров последовательности событий
коразмерности два. Это делает бифуркацию «склеивания» трудным объектом в
лабораторных исследованиях, так как они чувствительны внешним условиям. В
большинстве случаев, сценарии склеивания в динамических системах были
описаны в теоретических и численных исследованиях. Например, в контексте
гидродинамики [62-63], в нематических жидких кристаллах [64,65] и
оптотермических устройствах [66]. В экспериментах, бифуркация склеивания
были выявлены в течении вязкой жидкости Тейлора-Куэтта между двумя
цилиндрами [10, p.1-4] и в генераторе Чуа [11, p.3497-3508].
Рассмотрим теперь возможность экспериментальной установки, где
наблюдается бифуркационные режимы склеивания. При выборе динамической
системы, которая должна служить примером экспериментального
моделирования электронной схемы, будет разумно минимизировать порядок и
сложность системы. Уникальная бифуркация склеивания наблюдается на
фазовой плоскости, но для возникновения последовательности такой
бифуркации, фазовое пространство должно быть как минимум трехмерным.
Они должны обладать требуемой симметрией и способностью проявлять
гомоклинические бифуркации. В трехмерном пространстве параметров
уравнений Лоренца, формирование двух симметричных гомоклинических
орбит имеющих коразмерность один, происходит при двумерной поверхности.
В фазовом пространстве гомоклиническая бифуркация является нелокальным
событием. По этой причине значения параметров, при которых
гомоклинические орбиты в диссипативных динамических системах
формируются, как правило, не могут быть явно получены в замкнутой форме и
должны быть найдены численно. Есть несколько аналитических методов,
которые позволяют исключить наличие гомоклинических орбит или обеспечить
границы для их существования в пространстве параметров [67-70]. Однако, мы
не знаем о строгих теоретических результатах, которые позволили бы сделать
вывод о расположении всей поверхности бифуркации в пространстве
параметров системы уравнений Лоренца. Численные расчеты показывают, что
двумерная поверхность гомоклинической бифуркации является частью
пространства параметров, которая соответствует ν<1, следовательно,
«каноническое» уравнение Лоренца не проявляет бифуркации склеивания.
Чтобы обойти это препятствие, введем дополнение и рассмотрим уравнения
x   ( y  x)  Vzy,
y  Rx  y  xz,
z  xy  bz ,
62
(2.1)
где σ, r и b являются обычными параметрами системы Лоренца, в то же время
параметр V является добавленным нелинейным членом в первом уравнении.
При V=0 уравнение (2.1) превращается в уравнения Лоренца. Система
уравнений (2.1) напоминает модель [3, p.61], который рассматривает тепловую
конвекцию в слое жидкости при воздействии высокочастотной модуляции силы
тяжести. Зафиксируем традиционные значения параметров σ=10 и b= 8/3, и
будем изменять остальные параметры R и V.
Среди свойств уравнений (2.1) мы перечислим только те, которые
относятся к бифуркации склеивания и экспериментальному моделированию.
Уравнения (2.1) инвариантны относительно преобразования {х→-х, у→у}. Точка x=y=z=0 является неподвижной точкой, которая является устойчивой
в области R<1 и седлом с одномерным неустойчивым многообразием в
диапазоне параметров R>1. При R=1 в начале координат происходит вилочная
бифуркация; это бифуркации является суперкритической для V<σ и
подкритической в остальных случаях. Как и в уравнении Лоренца, изменение
параметров
может
производить
пары
структурной
нестабильной
гомоклинической орбиты в окрестности седловой точки. Эти орбиты покидают
окрестность начала координат вдоль плоскости ху и возвращаются к нему по
оси z, при σ=10, b=8/3, V=0 и это происходит при R=13,926. . . . Седловой
индекс при этом определяется выражением

2b
   1  (  1) 2  4R
(2.2)
.
Так как значение ν является независимым от V, изменение V позволяет изучить
влияние дополнительной нелинейности под постоянным значением седлового
индекса. Значение ν меньше 1 при R>Rν=(b+σ)(b+1)/σ и превышает 1 в
противном случае. Численное интегрирование (мы используем рекуррентный
алгоритм Тейлора 30-го порядка с переменным временным шагом) показывает,
что увеличение V снижает критическое значение Rhom, необходимое для
формирования пары гомоклинических орбит. Таким образом, при малых
положительных значениях V, распад гомоклинических орбит следует от
гомоклинического взрыва и сценарии перехода к хаосу Лоренца, в то время как
достаточно при больших значениях V выполняется неравенство ν>1, так, что
наблюдается последовательность бифуркации склеивания.
2.2 Описание экспериментальной установки
Внешний вид экспериментальной установки приведен на рисунке 2.1.
Установка состоит из: электронной схемы бифуркации склеивания, платформы
NI ELVIS II, персонального компьютера. Для работы с NI ELVIS II были
установлены следующие программы: LabView 2010, NI – DAQmx, NI ELVIS II.
Для решения системы дифференциальных уравнений (2.1) мы использовали
электронную схему [54, p.6184-6186].
63
Все напряжения в цепи не должны превышать динамический диапазон
операционных усилителей (от -15 до 15 В), поэтому зависимых и независимых
переменных нужно уменьшить. Для этого мы перейдем к новым
переменным
1- печатная плата электронной схемы бифуркации склеивания, 2- платформа
NI ELVIS II, 3- ПК для отображения данных
Рисунок 2.1 – Внешний вид экспериментальной установки для моделирования
модифицированной системы Лоренца
u=x/5, v =y/5, w=z/10, τ =t/T, где T=100. Разность потенциалов u, v, w
измеряется в вольтах. После преобразования новых переменных получим
уравнение
u  T ( (v  u  Vvw)),
v  T ( Ru  v  10uw),
  T (2.5uv  bw),
w
(2.3)
где переменные дифференцируются по τ. Эти уравнения были реализованы в
электронной схеме, которая показана на рисунке 2.2 и состоит из трех блоков
(А, В, С). Каждый блок интегрирует уравнения (2.3) по отдельности.
64
Блок А показан на рисунке 2.3. Для того, чтобы учесть дополнительный
нелинейный член в первом уравнений (2.3), мы ввели дополнительный
аналоговый умножитель (умножитель Z3 на рисунке 2.2). Этот аналоговый
умножитель умножает переменные v и w . Изменение параметра V
осуществляется изменением сопротивления R6 и равно 10 деленное на значение
R6. Значение параметра  равно 1000 деленное на значение R3. Блок А состоит
из инвертирующего сумматора (на ОУ U1A) и интегратора (на ОУ U1B).
Cумматор суммирует переменные v и 10Vvw. Вычитание переменной u в
интеграторе осуществляется с помощью обратной связи (резистор R5 на
рисунке 2.3).
R2
A
R5
C1
-15
R1
11
U1A
2
1
3
R4
4
11
U1B
5
7
6
+15
TL084CN
Z1
R6
-15
R3
u
4
+15
TL084CN
R8
R9
AD633AN B
R12
C2
-15
R7
11
-15
U2A R10
2
1
3
R11
4
+15
TL084CN
11
U2B
5
7
6
v
4
+15
Z3
TL084CN
R14
C
R17
AD633AN
C3
Z2
-15
R13
11
AD633AN
1
3
-15
U3A R15
2
R16
4
U3B
5
7
6
+15
TL084CN
11
w
4
+15
TL084CN
Рисунок 2.2 – Принципиальная электронная схема, которая моделирует
уравнения (2.1). Номинальные значения резисторов и конденсаторов показаны
на схеме. Переменные u, v, w являются значениями выходного напряжения
операционных усилителей U1B, U2B и U3B соответственно
Схема блока В показана на рисунке 2.4. Он состоит из инвертирующего
65
Таблица 1 – Значения элементов, использованных в эксперименте
Символ
Параметр
R1
Входной резистор
усилителя U1A
Резистор
обратной
связи
инвертирующего усилителя U1A.
Входной резистор, подключенный на
инвертирующий вход интегратора U1В
Резисторы,
подключенные
на
неинвертирующие входы интеграторов
U1В, U2В, U3В соответственно.
Резистор обратной связи интегратора
U1В.
Входной резистор инвертирующего
усилителя U1A, с помощью которого
изменяем параметр V.
входной резистор инвертирующего
усилителя U2A
Входной резистор, подключенный на
инвертирующий вход интегратора U2В.
Резистор
обратной
связи
инвертирующего усилителя U2A, с
помощью которого изменяем параметр
R.
Входной резистор, подключенный на
инвертирующий вход интегратора U2В
Резистор обратной связи интегратора
U2В
входной резистор инвертирующего
усилителя U3A
Резистор
обратной
связи
инвертирующего усилителя U3A.
Входной резистор, подключенный на
инвертирующий вход интегратора U3В
Резистор обратной связи интегратора
U3В, с помощью которого изменяем
параметр b.
Конденсаторы
обратной
связи
интеграторов
U1В,
U2В,
U3В
соответственно
Умножители напряжения AD633AN
Операционные усилители TL084CN
66
R2
R3
R4 , R11, R16
R5
R6
R7
R8
R9
R10
R12
R13
R14
R15
R17
С1 , С2 , С3
Z1 Z2 Z3
U1A, U1В
Значение
Единица
измерения
инвертирующего 100.0±1% кОм
100.0±1% кОм
100.0±1% кОм
100.0±1% кОм
100.0±1% кОм
2.0±1%
кОм
100.0±1% кОм
10.0±1%
кОм
35.0±1%
кОм
100.0±1% кОм
1.0±1%
МОм
100.0±1% кОм
250.0±1% кОм
100.0±1% кОм
375.0±1% кОм
1.0±1%
нФ
R2
От блока В
11
U1A
2
-15
R2
1
3
C1
-u
R4
4
11
U1B
5
7
6
+15
TL084CN
4
+15
TL084CN u
К умножителю Z1
R6
V w
Рисунок 2.3 - Блок А электронной схемы
10 u w

R8
От умножителя Z1 R9
R12

Ru
-15
R7
От блока А
11
-15
U2A R10
2
1
3
R11
4
C2
+15
TL084CN
К блоку А

-15
R1
R5
11
U2B
5
7
6
4
+15
TL084CN

К умножителям Z3, Z2
Рисунок 2.4 - Блок B электронной схемы
К умножителям Z1, Z3
R14
w
R17
C3
2.5 u v
-15
R13
От умножителя Z2
-bw
11
1
3
-15
U3A R15
2
4
+15
TL084CN
R16
11
U3B
5
7
6
4
+15
TL084CN
Рисунок 2.5 - Блок С электронной схемы
67
От умножителя Z3
усилителя (на ОУ U2A) и суммирующего инвертирующего интегратора (на ОУ
U2B). Изменение параметра R осуществляется изменением сопротивления R9.
Значение параметра R равна 0,01 части сопротивления R9. С усилителя в
интегратор поступает сигнал Ru. Аналоговый умножитель Z1 уменьшает
амплитуду умноженного сигнала uw в 10 раз, поэтому, чтобы усилить этот
сигнал сопротивление R8 ставится в 100 раз меньше сопротивления
R12. Вычитание переменных v и 10uw в интеграторе осуществляется с помощью
обратной связи (резистор R12 на рисунке 2.4) и резистора R8.
В таблице 1 показаны значения элементов использованных в электронной
схеме.
Блок С показан на рисунке 2.5. Аналоговый умножитель Z2 умножает
переменные v и u . Коэффициент 2.5 осуществлен с помощью резистора R14.
Изменение параметра b осуществляется изменением сопротивления R17 и
равно 1000 деленное на значение R17. Блок C состоит из инвертирующего
усилителя (на ОУ U3A) и инвертирующего интегратора (на ОУ U3B).
Вычитание переменной bw в интеграторе осуществляется с помощью обратной
связи (резистор R17 на рисунке 2.5).
В электрической схеме значения параметров σ и b в уравнении (2.3)
соответствуют фиксированным значениям σ=10 и b=8/3.
Наконец, следует отметить, что из-за неизбежного наличия нелинейности в
умножителях, реальная схема, по сути, не воспроизводит идеальную
симметрию уравнения (2.3) при изменении знака напряжения u и v.
2.3 Характеристики используемой элементной базы
При выполнении данной работы мы ставили перед собой задачу собрать
установку с наиболее хорошими характеристиками. Устойчивость реализации
полученной от установки не должна изменяться со временем. Поэтому
основными требованиями, которые мы предъявляем к используемой
элементной базе являются термостойкость, устойчивость к внешним шумам и
качество радиокомпонентов.
Таблица 2 –Технические характеристики и внешний вид потенциометра 3296W
Технические
параметры
Количество
оборотов
Номинальная
мощность, Вт
Размеры корпуса
Температурный
диапазон
Диапазон
номиналов
Расстояние
между выводами
Температурный
коэффициент
Значение
Внешний вид
25
0.5
10мм.*9.5мм.*4.85мм.
-55о С- +125 о С
от 20 ом до 2 Мом
2.5 мм
±100 ppm
68
Таблица 3 –Технические характеристики и внешний вид потенциометра
конденсатора WIMA 0.01 uF
Технические
параметры
Максимальное
напряжение, В
Точность
конденсатора
Размеры корпуса
Температурный
диапозон
Диапозон
номиналов
Расстояние
между выводами
Коэффициент
рассеивания
Значение
Внешний вид
100
±1%
5мм.*5мм.*5мм.
-55о С- +100 о С
от 33 пФ до 0,033 мкФ
4 мм
4х10-4
Таблица 4 – Основные параметры и внешний вид операционного усилителя
tl084cn
Технические
параметры
Корпус
Тип ОУ
Количество
каналов ОУ
Напряжение
питания
Ток
собственного
потребления
Частота
единичного
усиления
Максимальная
скорость
нарастания
выходного
сигнала
Диапозон
рабочих
температур
Значение
Внешний вид
DIP-14
Стандартный
4
6…36 В
1.4 мА
4 МГц
16 В/мкс
-40…100 о С
69
В эксперименте были использованы: SMD резисторы высокой точности
(рисунок 2.6), термостойкие конденсаторы с малым коэффициентом
рассеивания, малошумящие операционные усилители и аналоговые
умножители. Точности элементов приведены в таблице 1.
В качестве потенциометров были использованы подстроечные резисторы с
большим количеством оборотов 3296W. Технические характеристики, этого
потенциометра приведены в таблице 2.
В таблице 3 приведены технические характеристики и внешний вид
термостойкого конденсатора.
Таблица 5- Основные характеристики и внешний вид умножителя AD633AN
Технические
параметры
Корпус
Напряжение
питания
Внутреннее
рассеивание
мощности
Полоса
пропускания
Точность
умножения
Диапозон
рабочих
температур
Значение
Внешний вид
DIP-8
±18 В
500 мВт
До 1 МГц
2%
-40…+85 о С
Рисунок 2.6 – SMD резисторы использованные в эксперименте
70
В качестве малошумящего операционного усилителя выбрали модель
tl084сn фирмы ST Microelectronics, основные параметры которого приведены в
таблице 4.
В качестве аналогового умножителя напряжений мы выбрали модель
AD633AN фирмы Analog devices. Характеристики этого умножителя
приведены в таблице 5.
2.4 Результаты экспериментального исследования бифуркаций
склеивания
Начальные условия напряжения задавались в окрестности устойчивой
точки. Для этого выходы интеграторов на короткое время подключались к
заземлению. Напряжения были измерены и записаны с частотой 5000 кгц. При
этом мы не применяли фильтрацию сигналов от шума. Стабильность схемы и
достаточно малый интервал временного шага позволяет нам построить фазовый
портрет с гладкой структурой непосредственно из экспериментальных данных.
Были измерены и записаны зависящие от времени напряжения в цепи для
различных значений параметров V и R при фиксированном значении
параметров σ=10, и b=8/3, как относительные значения резисторов. Также точка
равновесия u=v=w=0 была устойчива при г<1 и неустойчива в диапазоне r>1.
Измерения напряжения в цепи и численное интегрирование уравнения (2.1) оба
подтверждают существование кривой Rhom (V), на котором гомоклинические
орбиты формируются в окрестности седловой точки. Как в эксперименте и в
численных исследованиях эти факты проявляются изменением в асимптотике
больших t для траекторий с начальными условиями вблизи начала координат.
До бифуркации, траектории которые начинаются с малых положительных
значений u и v стремятся к аттрактору (к равновесному или к колебательному
состоянию), которые появляются в полупространстве u>0. После бифуркации,
эти траектории делают петлю в полупространстве u>0, пересекаются в
противоположном полупространстве v<0 и оседают там на аттракторе.
При низких значениях V, формирование гомоклинических орбит
происходит при ν <1, что соответствует сценарию перехода к хаосу Лоренца.
Хаотический аттрактор, созданный после этого перехода гомоклиническим
взрывом на Rhom(V) является неустойчивой, и ее присутствие отражается в
существовании хаотических переходных процессов, которые предшествуют
релаксации устойчивых равновесий («метастабильный хаос» [42, P. 263-275]).
На плоскости параметров, соответствующий этому виду динамика ограничена
сверху кривой Rch(V), который указывает стабилизации хаотического
аттрактора и его появления. По этой кривой неустойчивое многообразие
седловой точки попадает в устойчивое многообразие неустойчивых
периодических орбит. Численно мы обнаружили, что последняя кривая,
отслеживаемая сепаратрисами в окрестности седловой точки в экспериментах
Rch(V) была определена как наименьшее значение R, в котором схема обладает
незатухающей хаотической динамикой. Для значений R, которые находятся за
71
а) бифуркации на плоскости параметров. Сплошная линия гомоклинического
взрыва Rhom и кресты (эксперимент). Пунктирная линия начала хаотического
движения Rch и круги (эксперимент); б) проекция фазового портрета при V =
1.5, R = 3,6 (эксперимент)
Рисунок 2.7 - Динамика уравнения (2.1) при ν<1 с σ=10 и b= 8/3
72
пределами Rch(V) наблюдались нерегулярные колебания напряжения, с
фазовым портретом, который сильно напоминает аттрактор Лоренца (рисунок
2.7).
Исходя из приведенных выше рассуждений, гомоклинический взрыв
должен меняться на бифуркацию склеивания, когда соответствующие значение
Rhom становится ниже значения Rν=209/45=4,6444…, что соответствует
диапазону V≥4. Действительно, мы наблюдали в эксперименте подобный
Лоренцу хаотические аттракторы при V<4 и бифуркацию склеивания при V> 4.
Проиллюстрируем
преобразование
фазового
портрета
сценария
бифуркации склеивания, которые соответствуют увеличению параметра V при
постоянных значениях других параметров.
а) V=6.4, b) V = 6.55, две устойчивые периодические орбиты. с) V=7.0;
формирование двух гомоклинических петель. d) V=7.05; стабильная двух
петельная симметричная орбита
Рисунок 2.8 - Бифуркация склеивания в цепи. Значения параметров: σ=10,
b=8/3, r=3,6
Варьируя начальные условия, мы можем определить в фазовом
пространстве цепи две притягивающих замкнутых траектории, которые почти
симметричны друг другу (рисунок 2.8 а)). В качестве параметра. Как только
параметр V увеличивается, эти две орбиты становятся ближе друг к другу
(рисунок 2.8 b)), при приближении к инвариантному многообразию в
окрестности седла равновесия на начальную координату и формируется пара
73
симметричных гомоклинических траекторий в окрестности седла (рисунок 2.8
с)). При дальнейшем увеличении параметра V гомоклинические орбиты
распадаются и исчезают. Вместо этого появляется единственный аттрактор
системы, показанный на рисунке 2.8 d) и он является периодической орбитой с
двумя петлями, который является инвариантной относительно преобразования
симметрии {u→-u, v→-v}.
Известно, что вблизи гомоклинической бифуркации, измеренные значения
периодических колебаний T0 отдельных независимых петель изменяется по
логарифмическому закону Т 0 (V ) ~  log( Vhom  V ) .
Как видно из рисунка 2.9, колебания сильно ангармонические и большая
часть времени периода проводится почти в неподвижной точке. Это
соответствует длинной траектории замирания в окрестности седловой точки.
Этапы эволюции траектории склеивания при дальнейшем увеличении
параметра V приведен на рисунке 2.10. Симметричный предельный цикл с
двумя оборотами (рисунок 2.8 d)) теряет свою устойчивость в результате
вилочной бифуркации. Один из двух результирующий стабильный
асимметричный предельный цикл показан на рисунке 2.10 а ).
а) V = 7,0; колебания предельных циклов с одной петлей до бифуркации. b) V =
7,05; колебания предельного цикла с двумя петлями
Рисунок 2.9 - Временные реализации близкие к бифуркации склеивания
Как только параметр еще более увеличивается, эти две предельные циклы
подходят к равновесию инвариантного многообразия и вторичная бифуркация
склеивания формирует две гомоклинические орбиты с двумя оборотами. Их
последующий распад производит одну симметричную устойчивую орбиту с
четырьмя оборотами (рисунок 2.10 b)). Кроме того, эти события повторяются
74
на новом
уровне,
симметричные
орбиты с четырьмя оборотами
дестабилизируется, и рождается две устойчивые асимметричные орбиты
(рисунок 2.10 с)). Эти асимметричные периодические орбиты сливаются в
следующей бифуркации склеивания и образуют пару гомоклинических
траекторий с четырьмя оборотами и становятся устойчивой периодической
орбитой с восьмью оборотами, показанной на рисунке 2.10 d). Таким образом,
симметричные
последовательности
бифуркации
склеивания
будет
продолжаться, и каждый раз удваивая числа оборотов притягивающихся
периодических орбит в фазовом пространстве [44, p.198-200]. Наличие
асимметрии, как известно, исключает полную последовательность «удвоения»
гомоклинических траектории [71-72].
a) V=8,05; асимметричная устойчивая периодическая орбита с двумя
оборотами. b) V= 8,10; симметричная стабильная периодическая орбита с
четырмя оборотами. c) V=9,37; асимметричная устойчивая периодическая
орбита с четырмя оборотами. d) V= 9,38; симметричная устойчивая
периодическая орбита с восьмью оборотами
Рисунок 2.10 - Дальнейшие этапы сценария бифуркации склеивания
(параметры: σ = 10, b= 8/3, r=3.6)
Математически это доказывается из факта, что линеаризация
соответствующего оператора перенормировки вблизи ее неподвижной точки
обладает дополнительным неустойчивым направлением. Ограничения
разрешения наших измерений (ограниченный размер шага для переменного
75
а), b) хаотический аттрактор при V = 9,39. с), d) предельный цикл с пятью
оборотами при V=10,17. e), f) хаотический аттрактор при V=13,46. g), h)
бифуркация склеивания усредненная гомоклиническими орбитами с тремя
оборотами при V=11,51. Другие параметры динамической системы: σ = 10, b =
8/3, r = 3,6
Рисунок 2.11 - Экспериментальные записи динамики за пределами первой
последовательности склеивания
76
сопротивления R17 на рисунке 2.2)
также неизбежная асимметрия в
электронной схеме не позволяет нам решить дальнейшие этапы процесса
склеивания. Вместо этого мы наблюдаем быстрое появление хаотического
аттрактора (верхний ряд на рисунке 2.11).
Характерная особенность хаотических колебаний в этой схеме, хорошо
распознается в осциллограммах рисунков 2.11 a), e).
Как видно, из рисунков 2.11 a), e), траектория находится достаточно долго
в окрестности неподвижной точки. При дальнейшем увеличении параметра V
видно, что диапазон, в котором колебания хаотичны, наблюдается
многочисленные окна в которых имеется различные стабильные симметричные
и асимметричные периодические колебания. Один из таких периодических
состояний показан на рисунках 2.11 с), d). Периодические окна ограничены
сверху вторичными гомоклиническими бифуркациями и служит в качестве
исходного состояния дальнейшего склеивания сценариев. Пример бифуркации,
в которой две периодические режимы с тремя склеиваниями и создание
периодической орбиты с шестью оборотами показаны на рисунке 2.11 g), h).
Следует отметить, что увеличение сопротивления R17 повышает асимметрию в
цепи. Таким образом, формируются гомоклинические траектории,
соответственно «левые» и «правые» компоненты неустойчивого многообразия
происходят немного в разных значениях параметра V.
Мы показали, что в эксперименте аналоговой электронной схемы сценарии
перехода к хаосу Лоренца, наблюдаются начальные стадий последовательности
бифуркации склеивания. Схема решает
модифицированную систему
дифференциальных уравнений Лоренца. Также изменяя одного из
сопротивления можно перемещаться по пространстве параметров без
изменения значения седлового индекса.
Наблюдаемая последовательность преобразований фазовых портретов
обеспечивает однозначное качественное подтверждение теоретических
предсказаний. Для количественного сравнения (скорость сходимости сценария
бифуркации и другие константы масштабирования) экспериментальное
разрешение, в частности, размер шага активного параметра должно быть
улучшено. В более широком контексте, следует отметить, что для
динамических систем с бифуркацией склеивания при простой процедуре
кодирования отображения, временная эволюция напряжения на двоичном
алфавите, символ 1 присваивается каждому, свою очередь, орбитам в
полупространстве U> 0, а символ 0 полупространстве U <0. В этом смысле пара
двоичных кодов, которые соответствуют к двум компонентам неустойчивого
многообразия седла, обеспечивает полную характеристику динамики [60,
p.1886-1898]. В присутствии симметрии, достаточно одного кода. Это связано с
разрушенной последовательностью семейства логистических отображений. В
случае заметной асимметрии, как разрушение последовательности необходимы
некоторые аспекты, описание которых аналогичны для (в общем случае
разрывная) отображения окружности, числу вращения, чертовому лестницу и
т.д. [58,p.304-314]. Так как наши экспериментальные результаты подтверждают
77
теоретическое описание маршрута к хаосу для симметричных систем, можно
надеяться, что явного введения контролируемой асимметрии в уравнении (2.3)
и в аналоговой схеме на рисунке 2.2, позволяют обнаруживать в цепи и те
сценарии, которые предсказывает теорию асимметричной бифуркации
склеивания.
78
3 НОВЫЕ
НЕЛИНЕЙНЫЕ
БИФУРКАЦИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ
МЕТОДЫ
АНАЛИЗА
3.1
Эволюционный параметр порядка сильно неоднородных
хаотических сигналов
Существование метрических характеристик (длины, площади, объема)
следует из выполнения известного интегрального неравенства Гельдера для
любых функций xi (t ), x j (t ) , записанного в вид
1/ p
1T

  xi (t ) p dt 
T

 0

1/ q
1T

q
  x j (t ) dt 
T

 0

T
K
p ,q
xi , x j
1
 xi (t )  x j (t )  dt ,
T 0
1 1
  1,
p q
(3.1)
где K xi , x j - коэффициент, при постоянном значении которого выполняется
равенство в (3.1). Используя усреднение как по времени, так и по ансамблю,
при
p ,q
x 
p
K xpi ,,qx j 
i
1
 x q 
 j 


 xi x j 
1
p
q
,
1 1
  1,
p q
(3.2)
мы получим минимальное значение меры сложности (неоднородности)
выражения в правой части для двух произвольных функций. Выражение (3.2)
называется обобщенно – метрической характеристикой, согласно работе
Жанабаева З. Ж.[73], где впервые была введена эта характеристика хаоса.
Формула (3.2) отличается от обратного коэффициента нецентрированной
автокорреляции: усредняется модуль произведения функций, учитывается
возможность p  q  2 .
В физических приложениях можно пользоваться усреднением по времени
x(t ) . В случае p  q  2 искомая характеристика определяется евклидовой
метрикой.
Если
K x2, 2  ( x 2 )1 / 2 / x
xi (t )  x(t ) ,
x j (t )  1 ,
p  q  2,
то
мы
получим
- коэффициент формы сигнала, который используется в
радиофизике.
Рассмотрим вопрос о возможности использования формулы (3.2) для
хаотических сигналов типа «накопление - выброс», которые являются сильно
неоднородными и ассиметрично перемежаемыми.
Перемежаемые функции являются сильно неоднородными относительно
друг друга ( xi , x j ) и относительно аргумента ( x, t ). В терминах теории подобия,
масштабной инвариантности перемежаемые сигналы не являются подобными,
а афинными: не обладают свойством самоподобия, а могут быть
самоаффинными. Чтобы учесть такую неравновесность в силу произвольности
79
функций xi (t ) , x j (t ) в формуле (3.2) мы можем выбрать одну из них в качестве
аргумента. Если нас интересует эволюция по времени xi (t ) , то можно выбрать
x j (t )  const * t. Тогда выражение (3.2) имеет вид
K xp,t,q  ( x(t )
)1 / p  ( t q )1 / q / x(t )  t .
p
(3.3)
Выражение (3.3) назовем эволюционным параметром порядка. Этот
параметр имеет смысл безразмерного времени и является пропорциональным
номеру шага дискретных отображений динамических систем. Если принять
q  2  DС , p  q /( q  1) в (3.2), то можно увеличить разрешающую
способность обобщенно – метрической характеристики, так как важной
количественной характеристикой аттрактора, несущей информацию о степени
сложности поведения динамической системы, является корреляционная
размерность DС. Алгоритм расчета DС основан на вычислении корреляционного
интеграла, в качестве которого выступает функция C(δ), для каждого δ равная
нормированному числу пар точек рассматриваемого объекта, расстояние между
которыми не превосходит δ:
C (r ) 
1
N2
 (  x
i
 xj ) ,
(3.4)
0, x  0,
– функция Хевисайда для всех пар значений i и j, если i≠j,
1, x  0.
где  x   
xi  x j –абсолютная величина расстояния между точками множества, i, j =
1,2,3,...,n, где n – количество точек. Величина суммы зависит от δ, причем, если
эта зависимость имеет степенной вид
C ( )   DС ,
(3.5)
то исследуемое множество фрактально. Для практического вычисления
размерности на графике ln(C(δ))=f(ln(δ)) выделяют область линейной
зависимости (области скейлинга) и функция аппроксимируется прямой линией
методом наименьших квадратов. Тогда тангенс угла наклона графика является
размерностью DС.
3.2
Информационная энтропия двумерных объектов с учетом
степени однородности
В физике открытых систем важными являются вопросы, связанные с
определением режимов самоподобия и самоаффинности. Если число
определяющих переменных больше единицы и коэффициенты подобия по этим
80
переменным различные, то фрактальный объект называется самоаффинным.
Если иерархические части фрактального объекта имеют одинаковые
коэффициенты подобия по всем переменным, то объект называется
самоподобным. Ранее З. Ж. Жанабаевым [23, с.16] были установлены
информационно – энтропийные критерии самоаффинности ( I 1 ) и самоподобия
( I 2 ) в виде неподвижных точек плотности вероятности реализации
информации и энтропии:
e  I  I , I  I1  0.567 ; ( I  1)e I  I , I  I 2  0.806 .
(3.6)
В последние годы развивается новая обобщенная статистическая механика,
которую можно назвать статистикой Цаллиса, или, квазиканонической
статистикой Гиббса [23, с. 17]. В основе таких теорий лежит использование
экспоненциальной функции вида
exp q -1[-x]  (1  ( q - 1) x)
1
q -1
,
(3.7)
где q  степень однородности. В пределе q  1 мы получим обычную
экспоненту. По смыслу введения
q 1 ~
1
, M  L  N,
M
M  , q  1,
(3.8)
где L  число частиц замкнутой системы, N  число частиц подсистемы.
Полнота статистики, соответствующая каноническому распределению Гиббса
равновесного состояния достигается при q  1 . Отличие от единицы параметра
q характеризует степень статистической неравновесности, неоднородности
системы.
Определим полную энтропию S ( x, y ) с учетом степени однородности.
Примем в качестве переменных одномерную и условную вероятности
z1  P( x) , z 2  P( y / x) . Согласно формуле (3.7) имеем
exp q 1 z1 exp q 1 z 2   exp q 1 z1  z 2  (q - 1) z1 z 2 .
(3.9)
Представляя левую часть как « q  1 логарифм» от произведения, получим
ln q 1 z1 z2  ln q 1 z1  ln q 1 z2  | q  1 | ln q 1 z1 ln q 1 z2 .
(3.10)
Из формулы (3.10) следует выражение для неаддитивной « S q 1  энтропии»:
81
Sq 1 ( x, y )  Sq 1 ( x)  Sq 1 ( y / x) | q  1 | Sq 1 ( x) Sq 1 ( y / x) .
(3.11)
В пределе q  1 мы имеем аддитивную энтропию S ( x, y )  S ( x)  S ( y / x) .
Согласно определению q по формуле (3.8) его можно определить из
экспериментальных данных. Для описания неоднородности геометрических
объектов введем малый параметр q  1 :
q 1 
 m  n( )  N
,
N
q
 m  n( )
,
N
(3.12)
где N  общее число точек (отсчетов), n( )  число ячеек с масштабом
измерения  , в которых имеется хотя бы одна точка,  m   среднее число
точек в ячейке. Если для сильно неоднородных объектов окажется q  1 , то
нужно пользоваться выражением 1-q.
Для простоты мы далее будем пользоваться выражением q - 1 вместо q - 1 ,
при необходимости выбирая положительный знак и условие нормировки
искомой физической величины.
Используя выражение (3.7) мы определим зависимость от q
информационной энтропии – единственной меры сложности, неопределенности
неравновесной системы. Для квазиравновесного процесса, характеризуемого
параметром q , информацию определим в виде
I  - ln q -1 P .
(3.13)
Отсюда представим вероятность как функцию от информации:
P( I )  exp q-1[-I]  (1 - (q - 1) I)
1
q -1
.
(3.14)
Функция плотности распределения вероятности реализации информации  (I )
определяется как
2-q
d
 I   exp q-1[-I]  (1 - (q - 1) I) q-1 .
dI
(3.15)
Энтропия определяется как среднее значение информации:
1
∞
q
1
1
S q (I )  ∫
 ( I ) I dI 
((1 - (q - 1) I) q-1 - (1 - (q - 1) I) q-1 ) .
q -1
q
I
82
(3.16)
Самоподобные значения S (I1 ) = I1 и S (I 2 ) = I 2 найдем как неподвижные точки
отображений
I 1q ,i +1 = (1 - (q - 1) I1,i )
2-q
q -1
(3.17)
,
1
I 2 q ,i +1
q
1
1
=
((1 - (q - 1) I 2,i ) q-1 - (1 - (q - 1) I 2,i ) q-1 ),
q -1
q
I 1q , 0  I 2 q , 0  0, ;
(3.18)
i  0,1,2... .
Таким образом, значение q может характеризовать отклонение системы от
состояния самоподобия и самоаффинности через значения информации и
информационной энтропии. В мультифрактальном анализе некоторый параметр
q задается в интервале (, ) , однако его физический смысл остается
неясным. Однако мы отметим, что при условии
∑(P
i
q
- Pi )  1 ,
(3.19)
i
2 DC ,q
Рисунок 3.1 - Эволюция информационной – энтропии. i  K  K xi ,i
максимальная энтропия множества
. SΔ –
энтропия Цаллиса, определяемая формулой (3.7), совпадает с энтропией Реньи:
83
S R ,q  -
1
ln ∑Pi q .
q -1 i
(3.20)
Универсальные энтропийные закономерности эволюции открытых систем
к режимам самоподобия и самоаффинности согласно формулам (3.17), (3.18),
(3.2) представлены на рисунке 3.1, где принято i  t . В этих формулах
энтропия нормирована на единицу. Диаграмма, показанная на рисунке 3.1
учитывает изменение степени однородности q.
3.3
Отображение фрактальной эволюции меры
Рассмотрим эволюцию по времени x(t) - модуля некоторой функции,
связанной с фрактальной мерой (аддитивной величиной, характеризующейся
измеримым множеством), в виде
dx (t )
dx(t )
 sign (
)
dt
dt
x
t
,
1 0
(3.21)
где  0 - статистическая характеристика множества значений t, она введена с
целью обеспечения условия Лифшица – Гельдера для ограничения производной
dx
. Модуль приращения x относительной (масштаб измерения величины
dt
x(t)) заменим из условия фрактальности меры x(t ) :
x  x0 ( x ) ( Dd ) ,
 x 

x  

x
0



1

,   Dd ,
(3.22)
где x0  нефрактальная регулярная мера, D - фрактальная размерность
множества значений x(t ) , d- топологическая размерность носителя меры.
Подставив формулу (3.22) в формулу (1) перейдем к дискретным разностям.
Обозначим дискретную форму знаковой функции через  i .В силу того, что
всегда t  0 знаковая функция sign( dx(t ) ) зависит только от xi . Ее
dt
изменение по дискретной переменной i определим в виде
i 1 
xi 1
xi
84
xi  xi 1

dxi 1
,
dxi
(3.23)
записанном в неподвижной точке. Обычно значения i 1  1 используются
для линейного описания эволюции возмущения. Мы определим  i 1 через  i
и не ставим ограничения на модуль этой величины.
С учетом формул (3.22), (3.23) формулу (3.21) для случая x0  1 запишем в
виде
xi 1
x
 i   i xi
t
t

1

t
 0 1
x
 i   i xi
t

1

t
t
0
 ( xi t
 0
  i xi

1

t
)
t
0
.
(3.24)
В формуле (3.24), чтобы можно было выбрать одинаковые моменты времени,
исключим величину  0 . Прежде чем принять t  1 по алгоритму дискретного

счета, мы будем моделировать выражение xi t 0 через  0 : именно это
выражение, а не xi t  , соответствует хаотизации значений xi .
0
Учтем, что смысл введения величины  0 заключается в реализации
условия
xi t  0
( )  const  c ,
xi 
(3.25)
где τ – характерное время процесса.
При  0  0 мы имели бы случай вычисления меры Римана по x  const при
выборе t  1 . При  0  0 мы получим возможность вычисления меры по
Лебегу, учитывая зависимость t  от приращения функции xi ( , xi ) :
0
(
t

)
 0
1 / 
1 xi ( , xi ) ( xi )


c
xi
cxi
,
(3.26)
где c - некоторая постоянная. Смысл c можно трактовать как аналог базы
(сложности) сигнала, используемый для характеристики спектра:
B   k  ,
(3.27)
где  k - характерное время корреляции,  - ширина полосы частот. Согласно
определению [74] c характеризует сложность выбранного разрешения
точности описания хаотического сигнала. Мера фрактального объекта зависит
от точности наблюдения, поэтому в результат теории входит постоянная c .
Значение c соответствует выбору степени точности наблюдения процесса:
c  10 2 , 10 3 и т. д. Если знак производной в (3.21) определяется внешними
85
условиями (шумоподобные воздействия), то в (3.25) берутся абсолютные
значения x , t  .
Принимая t   , окончательно запишем уравнение (3.24) в следующем
виде:
0
xi 1
1
 (   i ) xi
с

1

.
(3.28)
Продифференцировав (3.28) получим:
1
x

1
1 1
i

1
.


(
)
 (  )x
i 1
x  x
i
i
x
 с
i
i

1
i
(3.29)
где γ – имеет смысл дробной части фрактальной размерности множества
значений хi, с- точность наблюдения хi (0<1/с<1).
Формулы (3.28) и (3.29) представляют собой искомое отображение
фрактальной эволюции меры.
Данное отображение реализует асимметричную перемежаемость с
сильными всплесками, т.е. сигналы типа «накопление - выброс». Важно то, что
именно такие сигналы удовлетворяют критериям самоорганизации. Такие
сигналы ранее нами были получены теоретически, в схемотехническом,
физическом экспериментах от радиотехнического генератора с фазовым
управлением [24, с. 18-20]. Сходство реализаций имеет физическую основу.
Фрактальность процесса, использованная при выводе отображения, является
основным свойством самоорганизованных систем. В системе уравнений
генератора динамического хаоса нами была принята нелинейная зависимость
собственной частоты селективного контура от фазы обратной связи. Этот
фактор тоже является одним из основных условий самоорганизации.
3.4 Результаты численного анализа
Реализации отображения перемежаемости (формулы (3.28), (3.29))
представляют собой сигналы типа “накопление- выброс” (рисунок 3.2).
Соответствующие фазовый портрет и спектр мощности представлены на
рисунке 3.3.
Полученное нами отображение реализует особый тип перемежаемости –
хаотические выбросы большой амплитуды на фоне мелкомасштабных
осцилляций. Поэтому на рисунке 3.4 показан только фрагмент бифуркационной
диаграммы
для
-5<x<5.
По
принятому
условию
возможности
1
автоколебательности процесса (цикл S )   1 . Сразу начиная с   1 имеет
место хаотический режим. В интервале 2<  <3 наблюдаются первые окна
периодичности в хаосе.
86
Видны типичные картины удвоения периода по Фейгенбауму (цикл S 2 ).
Некоторые ветви наклонных линий бифуркации удвоения не реализованы,
процесс имеет асимметрию.
Почти горизонтальные линии соответствуют самой сложной бифуркации утроению периода (цикл S3 ). Именно эти циклы характеризуют
перемежаемость: нерегулярные всплески прерываются почти периодическими
колебаниями малой амплитуды, т.к. энергия колебаний в цикле S3 намного
меньше, чем в цикле S1 . Остальные циклы S 4 , S5 и т.д. сводятся к S 2 и S3 .
Асимметрия, неоднородность распределения амплитуд приводят к образованию
окон по вертикали. Еще одно отличие этой диаграммы от известных моделей
типа бифуркации Фейгенбаума в том, что относительный интервал значений
xi 1
а)
i
xi 1
б)
i
а )   1 , c  0.733 , б)   1 , c  0.433
Рисунок 3.2- Реализации отображения перемежаемости
управляющего параметра на 5 и более раз больше, т.е. перемежаемость
проявляется более отчетливо.
87
Для описания эволюции геометрических мер изменение  ограничено до
  3,99 . Случаи   4 описывают эволюцию меры в фазовом пространстве.
Меняя параметр с при постоянном значении  мы получим аналогичную
бифуркационную картину.
Специфика отображения (3.28), (3.29) наглядно проявляется сравнением
его реализаций с результатами численного анализа известных моделей
динамических систем, в которых реализуются перемежаемость и хаос [75]:
xi 1
а)
xi
E (w)
б)
w
Рисунок 3.3. фазовый портрет (а ) , спектр мощности (б ) реализации,
показанной на рисунке 3.2
1. Система дифференциальных уравнений Лоренца (1.56).
2. Система Ресслера
dx
dy
 ( y  z ) ,
 x  ay ,
dt
dt
88
dz
 b  z ( x  c) .
dt
(3.30)
3. Генератор Анищенко – Астахова
dx
 mx  y  xz ,
dt
dy
dz
 x ,
  gz  I ( x) x 2 .
dt
dt
(3.31)
xmax,
min
а)

xmax,
min
б)

а ) c  0.533 , б) c  0.433
Рисунок 3.4 - Бифуркационные диаграммы отображения перемежаемости
4. Система уравнений цепи Чуа
89
dz
dx
dy
  y
  ( y  x  h( x))
 x yz
d
, d
, d
,
1
h( x)  m1 x  (m0  m1 )( x  1  x  1 ) .
2
(3.32)
5. Генератор динамического хаоса с фазовым управлением
dx
 (m  z )( x  z )  yF ( ),
dt
F ( )  (1  A cos  )  .
dy
 x ,
dt
dz
d
 g ( x 2 I ( x)  z ) ,
 g  Sign (x) ,
dt
dt
(3.33)
Вывод системы уравнений (3.33) приведен в работе [26, с. 1955].
Параметры m, g по смыслу совпадают с такими же параметрами в системе
уравнений Анищенко – Астахова. Дополнительно учтем ток через нелинейный
преобразователь параметром .
Рисунок 3.5 - База и эволюционный параметр порядка сигналов динамических
систем: (*) Лоренца (   10 , b  8 / 3 , а R  [28 : 50] ), (+) Цепи Чуа ( m0  8 / 7 ,
m1  5 / 7 ,   15 ,   [8.9 : 0.1 : 11.1] ), (∆) Ресслера ( a  b  2 и c  [4.3 : 0.1 : 10] ), (о)
Анищенко-Астахова ( g  0.6 , m  [1 : 0.1 : 2] ), (x) генератора динамического хаоса
с фазовым управлением ( g=1.5, A=0.95,   5 , m  [1.1 : 0.025 : 2,5] )
Генератор динамического хаоса с фазовым управлением имеет
наибольшие значения эволюционного параметра порядка (рисунок 3.5), хотя
база сигналов относительно мала.
90
Рисунок 3.6- Взаимозависимость корреляционных и эволюционных
2
характеристик. Rx ,t   ( xij   x )(t ij   t ) / ( ( xij  x ) )(  (t ij  t ) )
2
i
j
i
j
i
j
Рисунок 3.7- Взаимосвязь дисперсии с эволюционным параметром порядка
91
Рисунок 3.8- Бифуркационная диаграмма логистического отображения при
r=2.5:0.01:4
Рисунок 3.9 - Бифуркационная диаграмма логистического отображения,
построенная по эволюционному параметру порядка при q=2+DС; p=q/(q-1);
r=2.5:0.01:4, К  K xp,t,q
Корреляции и дисперсия сигнала также не учитывают информацию о фазе,
форме колебаний, т.е. они являются менее информативными, чем
92
эволюционный параметр порядка. Этот вывод мы проверили на разных
хаотических сигналах. На рисунках 3.6, 3.7 представлены результаты обработки
сигналов генератора динамического хаоса с фазовым управлением [27, с. 134].
Отсюда следует, что для описания сложных сигналов необходимо
использовать наряду с базой и эволюционный параметр порядка.
Теперь применим этот метод, но эволюционный параметр будем
определять через фрактальную размерность. Этот параметр имеет наиболее
высокую разрешающую способность, что было показано ранее исследованием
моделей различных динамических систем: логистическое отображение,
отображение Хенона, отображение накопления – выброса и система
дифференциальных уравнений гомоклинической бифуркации.
Бифуркационная диаграмма отображения Фейгенбаума, построенная по
формуле (1.2) приведена на рисунке 3.8. При изменении параметра r
отображение Фейгенбаума соответствующая система меняет свои режимы
эволюции с каскадом удвоений периодов, приводящих к хаосу.
Используя реализации (1.2) для различных значений r мы построили
бифуркационную диаграмму через эволюционный параметр порядка
определенный по формуле (3.2) при q=2+DС. В результате мы получили
бифуркационную диаграмму, показанную на рисунке 3.9.
Рисунок 3.10 - Нелинейная зависимость параметра порядка от параметра r
уравнения (1.2), r=2.5:0.001:4
Из рисунка 3.9 отчетливо видны циклы удвоения периода и переход к
хаосу. При этом все периодические реализации собираются в левой части, а
хаотические в правой части бифуркационной диаграммы. Появляется
возможность классификации разных бифуркаций в динамических системах с
неизвестными параметрами.
93
Эволюционный параметр порядка является одним из показателей
сложности сигнала. Это видно из зависимости параметра порядка от параметра
r, показанной на рисунке 3.10.
Наш метод использования эволюционного параметра порядка применим
также к формуле отображения Хенона:
xi 1  1  axi2  byi ,
yi 1  xi .
(3.34)
Рисунок 3.11 - Бифуркационная диаграмма отображения Хенона при
а=0.15:0.01:1.3, b=0.1
Рисунок 3.12 - Бифуркационные режимы отображения Хенона построенная по
эволюционному параметру порядка при q=2+DС; p=q/(q-1); а=0.15:0.01:1.3,
b=0.1, К  K xp,t,q
Отображение Хенона также демонстрирует переход к хаотическому
поведению через последовательность бифуркаций удвоения периода, как
94
логистическое отображение. Из уравнения (3.34) при меняя параметр a
получаем бифуркационную диаграмму (рисунок 3.11).
При вариации параметра a в системе (3.34) может наблюдаться явление
мультистабильности, т.е. сосуществование двух и более различных
динамических режимов, например, хаотического аттрактора и цикла периода n
или 2-х различных по структуре хаотических множеств.
Бифуркационная диаграмма на рисунке 3.12, построенная по новому
методу, содержит все режимы бифуркационной диаграммы, полученной через
известный параметр а (рисунок 3.11). Но наглядно видно преимущество
предлагаемого нашего метода. При некоторых значениях K xp,t,q отсутствуют
значения X(i+1). Это означает, что отсутствуют некоторые бифуркационные
циклы из возможного набора S1 (предельный цикл), S2 (бифуркация удвоения
периода), S3 (бифуркация утроения периода) и их образований.
Этот метод позволяет исследовать и более сложные бифуркационные
явления. Бифуркационные режимы хаотических и ассимметрично
перемежаемых процессов отличается от известных вышеперечисленных
моделей. Для этой цели построена бифуркационная диаграмма отображения
(3.28), (3.29).
Рисунок 3.13 - Бифуркационная диаграмма отображения «накопление выброс»
при с=2,806
Бифуркационная диаграмма, полученная по формулам (3.28), (3.29) и
показанная на рисунке 3.13 описывает реализации с перемежаемой структурой.
95
В области периодических колебаний эволюционный параметр порядка
имеет самое наименьшее значение. Максимальное его значение соответствует
колебаниям взрывного характера (рисунок 3.14).
Рисунок 3.14 - Зависимость эволюционного параметра порядка от γ при
с=2,806
Рисунок 3.15 - Увеличенный фрагмент рисунка 3.13
В области периодических колебаний отчетливо видны типичные удвоения
периода, т. е. сценарии перехода Фейгенбаума (рисунок 3.15). При этом также
96
Рисунок 3.16 - Бифуркационная диаграмма отображения перемежаемости
построенная по эволюционному параметру порядка при q=2+DС; p=q/(q-1);
с=2,806, γ=3.5:0.01:5, К  K xp,t,q
Рисунок 3.17 - Гомоклиническая бифуркация уравнения (2.1) при   10 ,
b  2.67 , R  3 V= 10,5:0,01:18
наблюдается восстановление порядка после возникновения хаоса.
Присутствуют узкие интервалы порядка, которые по структуре идентичны с
широкими интервалами области порядка. Если увеличить амплитуду
97
мелкомасштабных колебаний, то картина не меняет структуру. Это показывает,
что реализация имеет фрактальную структуру.
Бифуркационная диаграмма (рисунок 3.16) построенная по с учетом
фрактальности множества (через K xp,t,q ) имеет различие от рисунков 3.13 и 3.15.
Все устойчивые режимы локализованы в левой части бифуркационной
диаграммы. Хаотическим структурам соответствуют высокие значения K xp,t,q .
Теперь бифуркационная картина становится более простой: качественно
различные режимы сгруппируются. Видны типичные картины удвоения
периода по Фейгенбауму (цикл S2 ). Некоторые ветви наклонных линий
бифуркации удвоения не реализованы, процесс имеет асимметрию.
Меняя параметр с при постоянном значении γ мы получим аналогичную
бифуркационную картину.
Мы применим наш новый метод построения бифуркационной диаграммы
через эволюционный параметр порядка K xp,t,q к исследованию особого типа
гомоклинической бифуркации (бифуркации «склеивания» или «gluing
bifurcation»). Для этой цели воспользуемся системой дифференциальных
уравнений (2.1).
Выбирая в качестве управляющего параметра V уравнения (2.1) была
построена бифуркационная диаграмма (рисунок 3.17). Видно, что есть точки
«склеивания», которые являются также устойчивыми точками вблизи х=0. При
этом, верхние и нижние бифуркационные диаграммы соответствуют сценарию
перехода Фейгенбаума.
На рисунке 3.18 приведена бифуркационная диаграмма системы (2.1) по
нашему методу Основное отличие рисунка 3.18 от рисунка 3.17 в том, что
Рисунок 3.18 - Гомоклиническая бифуркация в координатах (Xmax, Xmin, K) при
q=2+DC; p=q/(q-1);   10 , b  2.67 , R  3 , V= 10,5: 0,01: 18, К  K xp,t,q
98
a)
b)
c)
d)
e)
f)
h)
g)
а) и b) V=10.6; с) и d) V=10.7; e) и f) V=13; g) и h) V=25
Рисунок 3.19 - Временные реализации и фазовые портреты гомоклинической
бифуркации при R=3; σ=10; b=2.67
99
a)
b)
c)
d)
f)
e)
g)
h)
a) и b) при с=2,806; γ=4.59; с) и d) при с=2,806; γ=4.65; e) и f) при с=2,806;
γ=4.69; g) и h) при с=2,806; γ=4.74
Рисунок 3.20 - Реализации и фазовые портреты отображения (3.28), (3.29)
100
значения K xp,t,q отсутствуют в некоторых полосах, так как согласно рисунку 3.14
зависимость K xp,t,q (γ) является скачкообразным. В результате режимы
бифуркации «склеивания» наблюдаются в виде точек х=0.
Реализации и фазовые портреты гомоклинической бифуркации,
полученные на основе уравнения (2.1) показаны на рисунке 3.19.
Сначала появляется одна периодическая орбита (рисунок 3.19 а) и b)),
затем при росте управляющего параметра наблюдается гомоклиническая
периодическая орбита (рисунок 3.19 с) и d)). После удвоения периода
гомоклинической периодической орбиты (рисунок 3.19 е) и f)) динамическая
система переходит к хаосу (рисунок 3.19 g) и h)).
Гомоклиническая бифуркация «склеивания» наблюдается и в взрывных
колебаниях. Это можно наблюдать по реализациям и фазовым портретам
уравнения отображения ((3.28), (3.29)), показанным на рисунке 3.20. Видны
типичные картины циклов S2, S4 и переход к хаосу. Но при удвоении
рождается склеивающийся с большим циклом маленький цикл. При переходе к
учетверению периода каждый большой и малый цикл удваивается.
Гомоклиническая бифуркация теряет свой симметричный режим если
видоизменить уравнение (2.1), то есть добавить в третье уравнение d*x. Тогда
уравнение (2.1) имеет вид:
dx
   ( y  x)  A  y  z,
dt
dy
 R  x  y  x  z,
dt
dz
 x y b z  d  x,
dt
(3.35)
Рисунок 3.21 - Временная реализация и фазовый портрет уравнения (3.35) при
R=3; σ=10; b=2.67; V=11.5 d=0.1
На рисунке 3.21 показаны реализация и фазовый портрет системы (3.35). В
левой части фазовой траектории наблюдается удвоение периода, в то время, как
в правой части остается только один цикл. Ассимметричный режим
наблюдается и в отображении (3.28), (3.29) (рисунок 3.22). Малый цикл
101
переходит к удвоению периода, в то время как большой цикл,
«склеивающийся» к этому, имеет один цикл.
Если увеличить часть фазового портрета на рисунке 3.22, то можно
увидеть «склеивание» с большим циклом двух малых циклов (рисунок 3.23).
Приведенный анализ приводит к важному выводу: «склеивание» наблюдается и
для колебаний типа «накопление - выброс».
В разделе 3.2 мы указали новые методы энтропийного анализа
хаотических процессов
Для сопоставления энтропий различных объектов необходимо знать
способ ее нормировки, т. е. определить форму объекта, у которой энтропия
максимальна. Рассмотрим правильные многоугольники и определим энтропии
этих объектов с учетом степени однородности.
Рисунок 3.22 - Реализация и фазовый портрет отображения (3.28), (3.29) при
с=2,806; γ=4.336
Рисунок 3.23 - Увеличенный фрагмент (отмеченной области) фазового портрета
на рисунке 3.22
102
Пусть xC и yC — координаты центра, а R— радиус описанной вокруг
правильного многоугольника окружности, 0 — угловая координата первой
вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n— угольника
определяются формулами:
xi  xC  R cos(0 
где i  0...n 1.
2i
),
n
yi  yC  R sin( 0 
2i
),
n
(3.36)
а) пустой, b) самоподобный, с) с случайным распределением точек внутри
огибающей области
Рисунок 3.24 - Правильный треугольник
а) треугольника, b) квадрата, с) пятиугольника, d)шестиугольника. Общее число
точек в каждом случае N=105.δ=10-2
103
Рисунок 3.25 - Зависимость энтропии от угла 0 правильного пустого
многоугольника
Обозначение
Δ
□
+
x
*
◊
n число
сторон
многоугольника
3
4
5
6
7
8
9
10
φ0max
90
45
18
60
90
22
10
35
φ0min
60
1
0
31
52
4
0
17
Рисунок 3.26 - Изменение энтропии от угла поворота пустых
многоугольников.q=0.04, N=105, δ=10-2
а) треугольника, b) квадрата, с) пятиугольника, d)шестиугольника. Общее число
точек в каждом случае N=105, δ=10-2
Рисунок 3.27 - Зависимость энтропии от угла 0 правильного самоподобного
многоугольника
104
Воспользуемся
формулой
(3.36)
для
построения
правильных
многоугольников. Рассмотрим три случая многоугольника: пустой,
самоподобный и с случайным распределением точек внутри. Пример для
треугольника показан на рисунке 3.24.
n число
Обозначение сторон многоугольника
3
Δ
4
□
5
6
7
+
8
x
9
*
◊
10
φ0max
77
0
64
19
20
0
16
25
φ0min
1
45
54
60
12
22
70
0
Рисунок 3.28 - Изменение энтропии от угла поворота самоподобных
многоугольников. q=0.5, N=105, δ=10-2
а) треугольник, b) квадрат, с) пятиугольник, d) шестиугольник. Общее число
точек в каждом случае N=105, δ=10-2
Рисунок 3.29 - Зависимость энтропии от угла 0 правильного многоугольников
с случайным распределением точек внутри
105
Далее исследуем эти три случая по отдельности. Энтропия с учетом
степени однородности зависит от положения угла вершины исследуемого
n число
Обозначение сторон многоугольника
3
Δ
4
□
5
6
7
+
8
x
9
*
◊
10
φ0max
90
45
18
60
90
22
89
35
φ0min
60
1
0
29
52
86
40
18
Рисунок 3.30 - Изменение энтропии от угла поворота многоугольника с
случайным распределением точек внутри. q=0.25, N=105, δ=10-2
Рисунок 3.31 - Энтропийные закономерности эволюции динамических систем:
(*) Лоренца (   10 , b  8 / 3 , а R  [28 : 50] ), (+) Цепи Чуа ( m0  8 / 7 ,
m1  5 / 7 ,   15 ,   [8.9 : 0.1 : 11.1] ), (∆) Ресслера ( a  b  2 и c  [4.3 : 0.1 : 10] ), (х)
Анищенко-Астахова ( g  0.6 , m  [1 : 0.1 : 2] ), (о) генератора динамического хаоса с
фазовым управлением ( g=1.5, A=0.95,   5 , m  [1 : 0.1 : 2,5] )
многоугольника относительно оси ординаты. Зависимости энтропий
правильного пустого многоугольника от угла 0 согласно формулам (3.11),
106
(3.12), (3.36), показаны на рисунке 3.25. Информационная энтропия S
определена по формуле (3.11).
Энтропия пустого равностороннего треугольника имеет наибольшее
значение по сравнению с остальными пустыми многоугольниками (рисунок
3.26).
В случае самоподобно заполненных фигур энтропия несколько возрастает.
Это видно, если сопоставить рисунки 3.25 и 3.27. Энтропия самоподобного
треугольника также имеет наибольшее значение по сравнению с остальными
самоподобными многоугольниками (рисунок 3.28).
Рисунок 3.32 - Энтропийные закономерности эволюции динамических систем:
с гомоклинической (gluing) бифуркацией (+) (   10 , b  8 / 3 , R  3 , A  [10 : 15] ),
отображение фрактальной эволюции (o) ( a  2.806 ,   [1 : 6] ), отображение
Рулькова (*)(   [4 : 6] ,   0.14 ,   0.001 ), логистическое отображение (Δ)
( r  [3.5 : 4] ) отображение Хенона ( ) ( b  0.4 , a  [1 : 1.4] ). Общее число точек
N=105. SΔ=17.7. Сплошные линии на рисунке соответствуют теории [21, с.443452]. K  K x2,tD , p
C
i
Зависимости энтропий правильного многоугольника с случайными
распределениями точек внутри огибающей области от угла 0 , показаны на
рисунке 3.29. Структура рисунка 3.29 подобна рисунку 3.25. Случайное
распределение точек уменьшает энтропию многоугольника при условии,
чтообщее число точек будет одинаковым для пустого и заполненного
многоугольника (рисунок 3.30).
Рассмотрим энтропийные закономерности одномерных объектов, где в
качестве переменных используется реализации динамических систем. Энтропия
Шеннона нормирована на энтропию сигнала, имеющего форму
равностороннего треугольника. На рисунке 3.31 приведена энтропийная
закономерность эволюции динамических систем: (1.56), (3.30), (3.31), (3.32),
107
(3.33). Видно, что только сигналы генератора динамического хаоса с фазовым
управлением являются самоорганизованными при больших значениях
эволюционного параметра порядка.
Теперь применим энтропийный метод двумерных объектов с учетом
степени однородности к анализу моделей динамических систем: логистическое
отображение, отображение Хенона, отображение «накопления – выброса»,
система дифференциальных уравнений бифуркации склеивания, которые мы
Рисунок 3.33. Энтропийные закономерности эволюции динамических систем с
учетом степени однородности: с гомоклинической (gluing) бифуркацией (+)
(   10 , b  8 / 3 , R  3 , A  [10 : 15], q = [0.0184, 0.0363]; ), отображение фрактальной
эволюции меры (o) ( a  2.806 ,   [1 : 6], q = [0.0004, 0.0071]; ), уравнение Рулькова
(*)(   [4 : 6] ,   0.14 ,   0.001, q = [0.0297, 0.0565]; ), логистическое отображение
(Δ) ( r  [3.5 : 4], q = [0.0004, 0.0205]; ) отображение Хенона ( ) ( b  0.4 ,
5
a  [1 : 1.4], q = [0.0273, 0.0369]; ). Общее число точек N=10 . SΔ=17.78. Сплошные
линии на рисунке соответствуют теории [21, с.443-452]. K  K xp,,х2 D
C
i
j
уже рассматривали в построении бифуркационных диаграмм, и двумерное
отображение нейроной модели.
Уравнение двумерного отображения нейронной модели [5, p.10] имеет вид:
xi 1  f ( xi , yi ),
yi 1  yn   ( xi  1)   ,
108
(3.37)
 /(1  x)  y,

где f ( x, y )    y,
 1,

x0
0 x   y,
x   y
 ,  , - параметры.
Изменение энтропии Шеннона по K xp ,,2х D определенноми из (3.2), показано
на рисунке 3.32. По формулам (3.11), (3.12), (3.2) построен рисунок 3.33.
Рисунок 3.33 станет более понятным, если учесть зависимость q от K xp ,, 2х  D
(рисунок 3.34).
Также из рисунка 3.33 видно, что отображение «накопление - выброса» и
система дифференциальных уравнений гомоклинической бифуркации имеют
наиболее высокие значения параметра порядка по сравнению с остальными
динамическими системами. В этих случаях значения относительной энтропии
лежат в интервале самоподобия и самоаффиности (S
).
C
i
j
C
i
j
Рисунок 3.34 Зависимость обобщенно – метрической характеристики К  K xp ,,2х D
от степени однородности q
C
i
109
j
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В диссертационной работе мы показали, что в эксперименте c аналоговой
электронной схемой сценарии перехода к хаосу наблюдаются с начальными
стадиями последовательности бифуркации склеивания. Схема реализует
модифицированную систему дифференциальных уравнений Лоренца.
Наблюдаемая последовательность переходов бифуркации склеивания
обеспечивает однозначное качественное подтверждение теоретических
предсказаний.
Наши
экспериментальные
результаты
подтверждают
теоретическое описание маршрута к хаосу для симметричных систем. Из - за
явного введения контролируемой асимметрии в уравнении Лоренца и в
аналоговой схеме позволяют обнаруживать в цепи и те сценарии, которые
предсказывает теория асимметричной бифуркации склеивания.
Из общих принципов - условий ограничения производной и хаотичности
(скейлингового характера зависимости среднеквадратичной величины от
времени) процесса получено универсальное двухпараметрическое отображение.
Один из параметров имеет смысл дробной части фрактальной размерности
множества значений рассматриваемой физической величины, другой –
коэффициента пропорциональности в принятой скейлинговой зависимости.
Полученное
отображение
описывает
перемежаемые,
хаотические
эволюционные процессы. В отличие от известных моделей данное отображение
реализует асимметричную перемежаемость с сильными всплесками, т.е.
сигналы типа «накопление - выброс».
Важно то, что именно такие сигналы удовлетворяют критериям
самоорганизации. Такие сигналы ранее нами были получены теоретически, в
схемотехническом, физическом экспериментах от радиотехнического
генератора с фазовым управлением. Сходство реализаций имеет физическую
основу. Фрактальность процесса, использованная при выводе отображения,
является основным свойством самоорганизованных систем.
В системе
уравнений генератора динамического хаоса нами была принята нелинейная
зависимость собственной частоты селективного контура от фазы обратной
связи. Этот фактор тоже является одним из основных условий
самоорганизации.
В настоящей работе мы по новому методу построили бифуркационные
диаграммы
ранее
исследованных
моделей
динамических
систем:
логистического отображения, отображения Хенона, отображения для
колебаний типа «накопление - выброс» и для систем с гомоклиническими
бифуркациями.
Эти диаграммы мы сопоставили с ранее известными диаграммами,
построенными через параметры уравнений динамической системы. Основным
достоинством нашего метода является то, что можно исследовать
бифуркационные явления по реализациям, не зная исходные уравнения. В этой
работе мы также показали сходство природы гомоклинической бифуркации
типа «gluing» с бифуркацией в колебаниях типа «накопление - выброс».
110
По данной методике можно определить состояние системы с
неизвестными параметрами. Данный метод можно применять к анализу
различных сложных явлений.
В настоящей работе мы по новому методу определили энтропию с учетом
степени однородности. Эта энтропия учитывает неоднородность в двумерном
фазовом портрете. Для того, чтобы показать влияние степени однородности на
энтропию, были рассчитаны значения энтропии при одинаковых количествах
точек простых геометрических фигур для случаев: пустой, самоподобный, с
случайным распределением точек внутри. Максимальная энтропия
использовалась для нормировки энтропии динамических систем.
Предлагаемые нами универсальные закономерности эволюции открытых
систем сформулированы в виде зависимости нормированной информационной
энтропии от эволюционного параметра порядка. Способ нормировки энтропии,
выражение эволюционного параметра порядка тоже является новыми
результатами.
Была установлена закономерность между энтропией с учетом
неоднородности и параметром порядка динамической системы.
Анализ динамических систем, как логистическое отображение,
отображение Хенона, система дифференциальных уравнений гомоклинической
бифуркации, отображение фрактальной эволюции и отображение Рулькова
показал, что отображение фрактальной эволюции меры и генератор
динамического хаоса с фазовым управлением реализуют колебания,
удовлетворяющим условиям самоорганизации. Данный
метод
можно
применять к анализу сложных явлений различной природы.
111
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1 Думачев В. Н., Родин В. А., Эволюция антагонистически –
взаимодействующих популяций на базе двумерной модели Ферхюльста –
Пирла // Математическое моделирование. – 2005. – Т. 17, №7.- C.11-22.
2 Henon M., А two dimensional mapping with a strange attractor // Commun.
Math. Phys.- 1976- Vol. 50.-P. 69-77.
3 Lyubimov D. V., Zaks M. A., Two mechanisms of the transition to chaos in
finite – dimensional model of convection// Physica 9D.-1983.-P. 52-64.
4 Жанабаев З. Ж., Ахтанов С. Н., Универсальное отображение
перемежаемости // Вестник КазНУ. – 2011.-№2 (37)- C. 15-25.
5 Rulkov N. F., Modeling of spiking-bursting neural behavior using twodimensional map // Physical Review E.- 2002.- Vol. 65.-P. 10.
6 Lorenz E.N., Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci.-1963.-Vol. 20.P. 130-141.
7 . Sparrow C., The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange
Attractors. –Berlin: Springer, 1982-P.269.
8 Афраймович В.С., Быков В. В., Шильников Л. П., О возникновении и
структуре аттрактора Лоренца // «ДАН СССР».-1977.-Т.234, №2.-С. 336— 339.
9 Gambaudo J.M., Glendinning P., Tresser C., The gluing bifurcation: I.
Symbolic dynamics of closed curves // Nonlinearity 1.-1988.- Vol. 203.-P.14.
10 Abshagen J., Pfister G., Mullin T., Gluing bifurcations in a dynamically
complicated extended flow // Phys.Rev.Lett.-2001.-Vol. 87.- 224501.
11 Roy P.K., Dana S.K., Gluing bifurcation in Chua oscillator // Int. J. Bif.
Chaos.-2006.-Vol. 16.-P. 3497-3508.
12 Нирхаус Г, Хаос и самоподобие // Нелинейная динамика. – 2011.- Т.7, №
1. - С. 153–175.
13 Гонченко А. С., Гонченко С. В., Шильников Л. П., К вопросу о
сценариях возникновения хаоса в трехмерных отображений // Нелинейная
динамика. – 2012.- Т. 8, № 1. - С. 3–28.
14 Иванов А. П., Исследование разрывных бифуркаций в негладких
динамических системах // Нелинейная динамика. – 2012.-Т.8, №2.-С. 231-247.
15 Анищенко В. С., Бирюкова Н. И., Астахов С. В., Боев Я. И., Время
возврата Пуанкаре и локальная размерность хаотических аттракторов //
Нелинейная динамика. – 2012.- Т.8, №3.- С. 449-460.
16 Кузнецов А. П., Поздняков М.В. Седова Ю. В., Связанные
универсальные отображения с бифуркацией Неймана – Сакера // Нелинейная
динамика. – 2012.- Т.8, №3. – С. 473-482.
17 Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V., On Global Bifurcations in
Three-Dimensional Diffeomorphisms Leading to Wild Lorenz-Like Attractors //
Regular and Chaotic Dynamics.- 2009.- Vol. 14, № 1.-P. 137–147.
18 Thompson J. M. T., Stewart H. B., Nonlinear Dynamics and Chaos // John
Wiley & Sons, England.- 2002. - 458 p.
112
19 Glending P., Stability, instability and chaos. - Cambridge University Press,
2001. -388 p.
20 Danilevich Ya. B., Kovalenko A. N., Nosyrev S. P., Irregularity of entropy
processes in the body as an indicator of functional stability // Biological Sciences.2009.- Vol. 429.-P. 490.
21 Климонтович Ю.Л., Энтропия и информация открытых систем //Успехи
физических наук.- 1999.- Т. 169, № 4.- P. 443–452.
22 Pardalos P. M., Sackellares J. Ch., et. al., Statistiсаcal information
approaches for the modelling of the epileptic brain // Computational Statistics and
Data Analysis.-2003.-Vol. 43, issue 1.-P. 79–108.
23 Жанабаев З. Ж., Квазиканоническое распределение Гиббса и
масштабная инвариантность хаотических систем // Материалы 5международной конференции «Хаос и структура в нелинейных системах». 2006.-Т.1.-С.15-23.
24 Жанабаев З.Ж., Алмасбеков Н. Е., Бейсебаева А. С., Манапбаева А. Б.,
Ахтанов С. Н., Защита информации динамическим хаосом с фазовым
управлением // Материалы 7- международной научной конференции. Хаос и
структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент. - 2010.-С. 13-20.
25 Жанабаев З.Ж. Манапбаева А. Б., Численное моделирование работы
генератора широкополосного, высокочастотного динамического хаоса //
Сборник трудов. 5-ой Международной научной конференции. Современные
достижения физики и фундаментальное физическое образование. – Алматы,
2007.-С. 184.
26 Жанабаев З.Ж., Тарасов С.Б., Кадыракунов К.Б., Алмасбеков Н.Е.,
Кызгарина М.Т., Манапбаева А.В.,
Генератор сверхширокополосных
хаотических сигналов с регулируемой базой // XIII межд.н.т.конф.
«Радиолокация, навигация, связь». - Воронеж, 2007.- С. 1954-1959.
27 Манапбаева А.Б., Кызгарина М.Т., Сверхвысокочастотные хаотические
колебания генератора с фазовым управлением // Мат. III междунар. конг. студ.,
магистр. и мол. уч. «Мир науки». – Алматы, 2009. – С.134.
28 Feigenbaum M. J., Quantitative universality for a class of nonlinear
transformations, //J. Statist. Phys. -1978.-Vol. 19.-P. 25-52.
29 Анищенко B.C., Астахов В.В., Экспериментальное исследование
механизма возникновения и структуры странного аттрактора в генераторе с
инерционной нелинейностью, // Радиотехника и электроника. -1983. -Т. 28, № 6.
-С. 1109—1115.
30 Анищенко B.C., Астахов В.В., Летчфорд Т.Е. Многочастотные и
стохастические автоколебания в генераторе синерционной нелинейностью //
Радиотехника и электроника. -1982.- Т. 27, №10.- С. 1972-1978.
31 Afraimovich V. S., Shilnikov, L. P., Invariant tori, their breakdown and
stochasticity, // Amer. Math. Soc. Transl.- 1991.-Т. 149.-С. 201–211.
32 Лоскутов А. Ю., Очарование хаоса, //Успехи физических наук.- 2010.Т. 180, №12.- С. 1305-1329.
113
33 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями. - М.;Л.: ОГИЗ, 1947.- 392 с.
34 Пуанкаре А. Избранные труды. - Наука, 1972.- Т. 2. – 999c.
35 Неймарк Ю.И., Метод точечных отображений в теории нелинейных
колебаний. - Наука, 1972. –472 c.
36 Неймарк Ю.И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. –
Наука, 1987. – 424 c.
37 Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н. А., Введение в теорию
нелинейных колебаний.- Наука, 1976. – 384 c.
38 Рюэль Д., Такенс Ф., О природе турбулентности. – Мир, 1981.- С.117151.
39 Шильников Л. П., О рождении периодического движения из
траектории, двоякоасимптотической к состоянию равновесия типа седло //Мат.
сб.-1968.-Т.77(119), №3.-С.461-472.
40 Шильников Л. П., Теория бифуркаций и модель Лоренца. // Дополнение
I к книге Дж. Марсдена и М.Мак-Кракена «Бифуркация рождения цикла и ее
приложения».-Мир, 1980.- 19 с.
41 Гольдштик М. А., Штерн В. Н., Структурная турбулентность в
диссипативных системах. - Новосибирск: Институт теплофизики СО АН
СССР, 1981.-48 с.
42 Yorke J., Yorke E., Metastable chaos: the transition to sustained chaotic
behavior in the Lorenz model // J. Stat. Phys.-1979.-Vol.21, №3. - P. 263-277.
43 Петровская Н. В., Юдович В. И., Методы качественной теории
дифференциальных уравнений // Горький. – 1980. – С. 73-83.
44 Arneodo A., Coullet P., Tresser C. A., Possible new mechanism for the onset
of turbulence //Phys. Lett. – 1981.-Vol.81 (A), №4.- P.197-201.
45 Libchaber A., Maurer J., Une Experience de Rayleigh – Benard de
Geometrie reduite; Multiplication, Accrochage et Demultiplication de Frequence //J.
Phys. Coll. – 1980.-Vol.41.-P.3-51.
46 Linsay P.S., Period doubling and chaotic behavior in a driven anharmonic
oscillator // Phys. Rev. Lett.-1981.-Vol.47.-P.1343.
47 Pomeau Y., Manneville P., Intermittency and the Lorenz model// Phys. Lett.
A. - 1979.-Vol. 1,№ 75.-P. 1-2.
48 Roux J. C., Kepper P., Swinney H. L., Type – 2 intermittency in the
Belousov – Zhabotinsky reaction // Phys. D.-1983.-Vol. 7.- P.57-68.
49 Dubois M., Rubio M. A., Berge P., Experimental evidence of intermittencies
associated with a subharmonic bifurcation // Phys. Rev. Lett.-1983.-Vol.51.-P.1446.
50 Libchaber A., Fauve S., Laroche C., Two - parameter study of the routes to
chaos //Physica D.-1983.-Vol.5.-P.73.
51 Martin S., Leber H., Martienssen W., Oscillatory and chaotic states of the
electrical conduction in BSN crystals //Phys. Rev. Lett. – 1984.-Vol.53.-P.303.
52 Schuster H. G., Deterministic Chaos, An Introduction //VCH-Verlag,
Weinheim.-1988.-P. 287.
114
53 Argyris J., Faust G., Haase M., An Exploration of Chaos. // -Amsterdam:
North-Holland, 1994.-P.756.
54 Sanchez E., Matias M.A., Experimental observation of a periodic rotating
wave in ring of undirectionally coupled analog Lorenz oscillators // Phys. Rev. E.1998.-Vol. 57, № 5.-P. 6184-6186.
55 Shilnikov L.P., Some cases of generation of period motions from singular
trajectories // Mat. Sb. -1963.-Vol. 61 (103).-P. 443-466.
56 Akhtanov S. N., Zhanabaev Z. Zh., Zaks M. A., Sequences of gluing
bifurcations in an analog electronic circuit // Physics Letters A.-2013.-Vol. 377.P.1621–1626.
57 Pikovsky A.S., Zaks M.A., Feudel U., Kurths J., Singular continuous spectra
in dissipative dynamics // Phys. Rev. E.-1995.-Vol. 52, № 1.-P. 285-296.
58 Zaks M. A., Scaling properties and renormalization invariants for the
«homoclinic quasiperiodicity» // Physica D. – 1993.-Vol.62.-P.300-316.
59 Gambaudo J. M., Procaccia I., Thomae S., Tresser C., New universal
scenarios for the onset of chaos in Lorenz- type flows // Phys. Rev. Lett. – 1986.Vol.57.-P.925-928.
60 Procaccia I., Thomae S., Tresser C., First return maps as a unified
renormalization scheme for dynamical systems // Phys. Rev. A.-1987.-Vol. 35.-P.
1884- 1900.
61 Lyubimov D.V., Pikovsky A.S., Zaks M.A., Universal scenarios of transition
to chaos via homoclinic bifurcations // Sov. Sci. Rev. C. Math. Phys.-1989.-Vol. 8.-P.
221–292.
62 Busse F.H., Kropp M., Zaks M. A., Spatio-temporal structures in phaseturbulent convection // Physica D.-1992.-Vol. 61.-P. 94.
63 Rucklidge A.M., Chaos in magnetoconvection // Nonlinearity.-1994.-Vol. 6.P. 1565-1591.
64 Demeter G., Kramer L., Transition to chaos via gluing bifurcations in
optically excited nematic liquid crystals // Phys. Rev. Lett.-1999.-Vol. 83.- P. 47444747.
65 Carbone V., Cipparrone G., Russo G., Homoclinic gluing bifurcations during
the light induced reorientation in nematic-liquid-crystal films // Phys. Rev. E.-2001.Vol. 63.- 051701.
66 Herrero R., Farjas J., Pons R., Orriols F. Pi, G., Gluing bifurcations in
optothermal nonlinear devices // Phys Rev E.-1998.-Vol. 57.-P. 5366-5377.
67 Sánchez L.A., Convergence to equilibria in the Lorenz system via monotone
methods // J. Differential Equations.-2005.-Vol. 217.-P. 341-362.
68 X. Liao P. Yu, Globally attractive and positive invariant set of the Lorenz
system // Int. J. Bif. Chaos.-2006.-Vol. 16, №3.-P. 757-764.
69 Leonov G.A., General existence conditions of homoclinic trajectories in
dissipative systems. Lorenz, Shimizu –Morioka, Lu and Chen systems // Phys. Lett.
A.-2012.-Vol. 376, № 45.-P. 3045-3050.
70 G.A. Leonov, Shilnikov chaos in Lorenz – like systems // Int. J. Bif. Chaos.2013.-Vol. 23, №3.-1350058.
115
71 Zaks M.A., On the convergence rate of a sequence of homoclinic bifurcations
in systems without a symmetry constraint // Phys. Lett. A. – 1993. –Vol. 175.-P.
193-198.
72 Collet P., Coullet P., Tresser C., Scenarios under constraint //J. Phys. Lett. 1985.-Vol.46.-P. 143-147.
73 Жанабаев З. Ж., Обобщенная метрическая характеристика
динамического хаоса // Материалы VIII международной школы “Хаотические
автоколебания и образование структур”.- 2007.- С. 67-68.
74 Федер Е., Фракталы.- М.: Мир, 1991. – 254 с.
75 Анищенко В.С., Сложные колебания в простых системах. - М.:Наука;
Гл. ред. физ. мат. лит, 1990.-312 с.
76 Жанабаев З.Ж.., Ахтанов С.Н.,
Новый метод исследования
бифуркационных режимов по реализации динамической системы // Вестник
КазНУ. Серия физическая.- 2013.-№ 1 (44).- C.67-78.
77 Akhtanov S.N., Zhanabaev Z.Zh., Zaks M.A., Experimental Study of Gluing
Bifurcations // 20th Conference on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. –
Germany: Wolfenbuttel, 2012, July 11-13.
78 Ахтанов С.Н., Мера Лебега хаотических сигналов //V межд. конгрессе
студентов и молодых ученых “Мир науки”. – Алматы, 2011.- C.199.
79 Ахтанов С. Н. Перемежаемость с фрактальной структурой // V межд.
конгрессе студентов и молодых ученых “Мир науки”.- Алматы, 2011.- C.200.
80 Ахтанов С.Н., Нурханова М.С., Фрактальность и перемежаемость в
динамическом хаосе // V межд. конгрессе студентов и молодых ученых “Мир
науки”. – Алматы, 2011.- C.201.
81 Ахтанов С.Н., Налибаев Е. Д., Кайша. А., Использование
динамического хаоса с фазовым управлением для защиты информации //
Международная конференция студентов и молодых ученых «Мир науки».Алматы, 2010.-C.152.
82 Жанабаев З.Ж., Ахтанов С. Н., Фрактальная эволюция меры // 7 межд.
науч. конф. “Современные достижения физики и фундаментальное физическое
образование”. – Алматы, 2011.- C.142-144.
83 Akhtanov
S.N., Electronic simulation of gluing bifurcation
//Международная конференция студентов и молодых ученых «Мир науки».Алматы, 2012.-C.142.
116
Скачать