Распространение гармонических волн в цилиндрической панели с учетом вязкоупругих свойств материала В

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2014
Вып. 2 (25)
УДК 539.3
Распространение гармонических волн
в цилиндрической панели с учетом
вязкоупругих свойств материала
И. И. Сафаров, З. И. Болтаев, М. Ш. Ахмедов
Бухарский инженерно-технологический институт
Республика Узбекистан, 105017, Бухара, ул. К. Муртазоев, 15
[email protected]; (+99893) 625–08–15
Рассматривается распространение гармонических волн в цилиндрической панели с переменной толщиной. На основе принципа возможных перемещений были получены уравнения для определения толщины панели. Решения краевой задачи получены методом ортогональной прогонки Годунова. Были исследованы дисперсионные кривые в зависимости от
различных геометрических параметров системы.
Ключевые слова: цилиндрическая оболочка; гипотеза Кирхгофа – Лява; гармонические
волны; вязкоупругая панель; срединная поверхность.
   1  ; 0   2  l ;
Введение
Волновые процессы в волноводах в виде
упругих цилиндрических изотропных и анизотропных оболочек постоянной толщины
хорошо изучены [1, 2, 3]. Большое количество
работ посвящено динамике оболочек, описанных на основе модели Тимошенко [4, 5, 6, 7].
В работе [8] для исследования волновых процессов применяются асимптотические методы
волновых процессов в цилиндрической оболочке с малым изменением ее толщины вдоль
оси. Вместе с тем задача исследования распространения волн в вязкоупругой цилиндрической панели с переменной толщиной представляет теоретический и практический интерес.

h
h
 z 
.
2
2
Кривизны срединной поверхности z=0,
равные k1  0; k 2 
1
, соответствуют коорR
динатам α1 и α2 . В рамках гипотез Кирхгофа
– Лява закон изменения компонент вектора
перемещений u1(z), u2(z), w(z) панели определяются следующими соотношениями [1, 2]:
u1(z) = u – θ1 z; u2(z) =  - θ2 z ; u3 (z) = w,
(1)
где u, v, w – компоненты вектора перемещений срединной поверхности;θ1 , θ2 – углы поворота нормали относительно осей α1 и α2.
Для вывода уравнений, позволяющих
исследовать толщину панели, использовался
принцип возможных перемещений
δП = δТ,
(2)
где δП – вариация потенциальной энергии
оболочки; δТ – виртуальная работа массовых
сил инерции панели. В работе В.В Новожилова [1], с учетом соотношений (1), сделан
вывод для получения следующего выражения
исходя из линейной теории упругости
Постановка волновой задачи
Рассматривается вязко-упругая бесконечная цилиндрическая панель толщиной h,
плотностью ρ. В криволинейной ортогональной системе координат (α1; α2; z) при z = 0
оболочка занимает область
© Сафаров И. И., Болтаев З. И., Ахмедов М. Ш.,
2014
58
Распространение гармонических волн в цилиндрической панели…
П 
тельная константа. Далее, применяя процедуру замораживания [10], заменим соотношения (5) приближенными вида
  Т 1 1  T2 2  S 12 M 11  (3)


E  E 1   С  R   i S  R    Е ,
F
 M 22  2 N  d 1 d 2 ,

где Т1, Т2, S, M1, M2, N – усилия и моменты;
ε1, ε2, ε12,  1,  2, τ – компоненты деформации

1  
ческое ядро релаксации
(4)
w
w
; 2  
 k 2 .
 1
 2
~
A
~
h
;
1  2
~
Eh
;
2(1   )
Rt   Ae   t / t 1 ,
инерции. Учитывая это, если пренебречь
инерцией поворота нормали, то виртуальную
работу силы инерции оболочки можно представить в виде
T 
   w
u  
 w)d1d 2 . (6)
   h(u
F
После подстановки выражения (3) и (6)
в (2) и процедуры интегрирования по частям с
учетом (4) получаем систему уравнений движения в виде:
T1  c~ 1  v 2 ,
~
~
~
M 1  D 1  v 2 , S  A 12 ; N  B ,
~
с
соответственно,
обладающее слабой сингулярностью [9].
Предполагается, что силы инерции по углам
1 и  2 малы и сравнены другими силами
В свою очередь, усилия и моменты связаны с компонентами деформации соотношениями, вытекающими из обобщенного закона
Гука:
где
 R    R sin  R d ,
косинус и синус – образы Фурье ядра релаксации материала. В качестве примера вязкоупругого материала примем трехпараметри-
u


u
1 
; 2 
 k 2 w;  12 

;
 1
 2
 1  2
 2
 2
;  
;
 2
 1
S
0
Согласно [1] компоненты тангенциальной
изгибной деформации срединной поверхности выражаются через ее перемещение и углы поворота нормали следующим образом:
2 
 R    R  cos  R d ,
0
h
исключены члены, имеющие порядок
.
R
 1
;
 1
C

срединной поверхности. В выражении (3)
1 

где
~
Eh 3
;
12(1   2 )
~
Eh 3
~
B 
;
12(1   )
~
D
T1
S
 2u

  h 2
 1  2
t
T2
S
 2 (7)

 k 2 Q2   h 2
 2
 1
t
~
Е – операторный модуль упругости, который
Q1
Q2
2w

 k 2T2   h 2
 1  2
t
имеет вид [9]
t


~
E t   E01  t    RE t    t d ; (5)
0


Q1 
 t  – произвольная функция времени;
RE t    – ядро релаксации;  – коэффици-
M 1
;
 1
Q2 
M 2
N
2
.
 2
 1
(8)
Альтернативные краевые условия свободного
края, или жесткой заделки, при α2 = 0, l имеют вид: свободный край
ент Пуассона; E01 – мгновенный модуль
упругости. Будем считать интегральные члены в (5) малыми, тогда функции
 t    t e iRt , где  t  – медленно меня-
S  0 ; T2  0 ; M 2  0 ; Q2  0; (9)
жесткая заделка
u=0,
ющаяся функция времени,  R – действи-
59
 =0, w=0, Q2=0.
(10)
И. И. Сафаров, З. И. Болтаев, М. Ш. Ахмедов
где    R  i I – комплексная собственная
Используя соотношения (4), (5), (7), (8),
полную систему уравнений движения можно
представить в виде восьми дифференциальных уравнений, размешенных относительно
первых производных по  2 :
u

A
SA
;
 2
 1

u
c
 T2  c v
 c k2 w
 2
 1
D
частота; к – волновое число;  R – действительная часть комплексной частоты;  –
плотность; z j  2  j  1,2,3..8 – функции
формы колебаний. Для выяснения их физического смысла рассматриваем случаи:
1) k  к R ; V  CR  iC I – тогда решение (9) имеет вид синусоиды по z , амплитуда
которой затухает по времени;
2) k  к R  iк I ; V  CR – тогда в каждой точке решение (9) имеет вид синусоиды
;
 2
2w
 M2 
;
 2
 12 ;
по t, амплитуда которой затухает по  1 .
Далее предполагается, что оба края оболочки  2  0 и  2  l свободны. После подстановки соотношений (12) в уравнения (11),
учитывая и краевые условия (9), имеем спектральную краевую задачу по параметру 
для системы восьми обыкновенных дифференциальных
уравнений
относительно
комплексной функции формы:
w
  2  k 2
 2
T2
S
 2u
 2u
  h 2  с

2
 2
 1
t
 1
T2
 2
S
  h 2 
 k 2Q2
 2
t
1
(11)
Q2
2M 2
2w
4w
  h 2  D


 k 2T2 ;
 2
t
 14
 12

z1  z5 A  kz2 , z 2  z6 с kz1  k 2 z3 ,

z3   z 4  k 2 z 2 , z 4   z 8 / D   k 2 z 3 ,

z5  hE k 2   2 z1 h 2 z6 , (13)

z6  h 2 z2  kz5  k2 z7 ,
M 2
 2
,
 Q2  2 B
 2
12
2
где
с 
h
;
1  2
A 
D 
Eh
;
2(1   )
E h3
;
12(1   2 )
B 

z 7  h 2 z 3  E 12h 3 k 4 z 3   k 2 z 8  k 2 z 6 ;
E h3
.
12(1   )

z8  z 7  G 3h 3 k 2 z 4 ;
В случае бегущих вдоль  1 гармонических
волн решения краевой задачи для системы
(11) с краевыми условиями типа (9), (10) допускают разделение переменных:
z5  z6  z7  z8  0 ;  2  0, l.
При анализе дисперсии гармонических волн
параметр к считается заданным.
u  z1еi k1 t  ;
  z2e
w  z3e i
 2  z4e
i  k1 t 
 k 1 t 
;
Численный анализ дисперсии
нормальных волн в цилиндрических
панелях
(12)
;
i  k1 t 
На основе решения краевой задачи
(13) методом ортогональной прогонки Годунова был выполнен численный анализ дисперсии этих волн.
На рис. 1 и 2 показаны зависимости
действительных частей комплексных фазовых
скоростей первых двух мод от волнового числа. Во всех вариантах расчета приняты следующие безразмерные параметры панели:
;
S  z5ei  k 1 t  ;
T2  z 6 e i  k1 t  ;
 2  z7 ei  k
1
 t 
;
M 2  z8ei  k1 t  ;
E  1,   1,   0,25,
60
l  1,
Распространение гармонических волн в цилиндрической панели…
A  0,048;   0,05;   0,1 .
Действительная часть скорости второй
моды в отличие от случая панели постоянной
толщины в целом также возрастает с ростом
кривизны. При этом, как и следовало ожидать, чем больше кривизна к2, тем медленнее
осуществляется переход на участок без дисперсионного движения c  const  с ростом
волнового числа. Что касается самой локализации, то она увеличивается с увеличением
кривизны (при достаточно больших к, например, при к=10). Причем такая повышенная
локализация в цилиндрической панели характерна для обеих мод (действительные части
комплексной на скорость). С ростом параметра к2 наблюдается тенденция увеличения скорости ( С R ) изгибной моды и уменьшения
скорости крутильной моды.
Скорости коэффициента затухания ( С I )
изгибной моды уменьшаются по параметрам
к2, а также увеличивается скорость затухания
крутильной моды.
Толщина h изменяется по линейному закону
h 2   h1  h  2 ,
(14)
h  h2  h1  / l .
Сплошные линии на рисунках соответствуют вариантам панели постоянной толщины (h1= h2=0.1), пунктирные линии характеризуют панель с клиновидным сечением
( h  0.0001 ). В последнем случае
h2=0.1, а толщина h1 =0.001. Параметры кривизны к2 постоянны и принимают значения 450
и 900. Штрихпунктирные линии на рис. 1 и 2
соответствуют рассмотренному случаю пластин
Кирхгофа – Лява при к2=0. Из рис. 1 и 2 видно
качественное отличие в поведении дисперсионных кривых первой моды, соответствующих
оболочке и пластинке. Если во втором случае
кривая фазовой скорости монотонна, то в первом случае наблюдается характерный максимум
в средневолновом диапазоне, который объясняется повышенной изгибной жесткостью оболочки по сравнению с пластинкой.
0,5
CR
0,3
II мода
0,1
I мода
  0,25; k 2 
0
1
2
3
4
5
6

4
0,875
kR
7
8
9
10
R
Рис. 1. Зависимость действительной части скорости CR  распространения волны
от волнового числа
61
И. И. Сафаров, З. И. Болтаев, М. Ш. Ахмедов
2. В случае клиновидной цилиндрической панели для каждой моды существуют
предельные скорости распространения при
увеличении волнового числа, совпадающие по
величине с соответствующими скоростями
нормальных волн в клиновидной пластине
нулевой кривизны. В коротковолновом диапазоне локализация движения существует и
увеличивается с ростом кривизны панели.
Выводы
1. С ростом кривизны цилиндрической
панели постоянной толщины увеличивается
действительная
часть
комплекса
CR  Re al V  – скорость распространения
первой изгибной моды и уменьшается скорость распространения второй крутильной
моды.
0,54
CR
0,45
0,36
II мода
0,27
0,18
I мода
0,09
0
  0,25;
1
2
3
4
k2 
5

2
1,57 
6
7
8
9
10
Рис. 2. Зависимость действительной части скорости CR  распространения волны от
волнового числа
упругих полосах переменной толщины //
Акуст. ж. 1982. Т. 28. № 3. С. 393–397.
6. Саксонов С.Г. О распространении волн в
цилиндрической оболочке. 1971. Т. 7.
№ 1. С. 124–128.
7. Yu Y.Y. Vibrations of thin cylindrical shells
analyzed by means of donnell-type equations.
8. Сафаров И.И., Тешаев М.Х., Болтаев З.И.
Волновые процессы в механическом волноводе // LAP LAMBERT Academic publishing (Германия). 2012. 217 с.
9. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация.
М.: Высшая школа, 1976. 276 с.
10.Сунчалиев Р.М., Филатов А. О некоторых
методах исследования нелинейных задач
теории вязкоупругости // ДАН СССР.
1972. Т. 206. № 1. C. 201–203.
Список литературы
1. Aйнола Л.Я. К вариационным принципам
динамической теории оболочек // Изв. АН
Эст ССР. 1968. Т.17. № 3. С. 283–289.
2. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих и оболочек //
Изв. АН Эст ССР. 1965. Т. 14. № 1. С. 3–63.
3. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания волн в упругих телах.
Киев: Наукова думка, 1981. 284 с.
4. Нигул У.К. Волновые процессы деформации оболочек и пластин: тр. VI всес. конф.
по теории оболочек и пластинок, 1969. М.:
Наука, 1970. С. 846–883.
5. Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Нормальные волны продольно-сдвигового типа в
62
Распространение гармонических волн в цилиндрической панели…
Distribution of harmonic waves in a cylindrical panel
with an account viscoelastic properties of material
I. Safarov, Z. I. Boltaev, M. Sh. Ahmedov
Bukhara Institute of engineering and technology, Uzbekistan, 105017, Bukhara, Ul. K. Murtazoev, 15
[email protected]; (+998 93) 625-08-15
In this article it is considered distributions of harmonious waves to the cylindrical panel with variable thickness. For a conclusion of the equations of a cover the principle of possible movings is
used. Decisions of a regional problem are received by a method of orthogonal prorace of Godunov. Dispersive curves depending on various geometrical parameters of system have been investigated.
Key words: cylindrical shell theory Kirchhoff-love waves; harmonious waves; viscoelastic Panel;
the medial surface.
63