ЕРЕМЕЕВА МАРИНА ЛЕОНИДОВНА Учитель математики МБОУ «Гимназия №4» ЕМР

ЕРЕМЕЕВА МАРИНА ЛЕОНИДОВНА
Учитель математики МБОУ «Гимназия №4» ЕМР
ТЕМА: «ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА»
Учебные задачи: формирование умений вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них; применять основные
тригонометрические тождества в вычислениях и тождественных преобразованиях выражений и при решении уравнений.
Ход урока:
Для повторения определения тригонометрических функций, их знаков в различных координатных четвертях используйте
http://arm-math.rkc-74.ru/DswMedia/power.ppt.
Для повторения решений тригонометрических уравнений используйте
http://www.it-n.ru/Attachment.aspx?Id=6343.
Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла.
sin α=
y
x
, cos α= => y=R sin α, x=R cos α.
R
R
Из уравнения окружности с центром в начале координат x2 +y2 = R2 получаем
sin2 α + cos2 α =1 (1)
tg α=
ctg α=
y
=> tg α = sin α / cos α
x
x
=> ctg α = cos α / sin α
y
tg α · ctg α =1 (4)
(2)
(3)
Если обе части (1) разделить на cos2 α, получим 1+ tg2 α = 1/ cos2 α (5)
Если обе части (1) разделить на sin 2 α, получим 1+ сtg2 α = 1/ sin 2 α (6)
Равенства (1)-(6) называются основными тригонометрическими тождествами.
Рассмотрим примеры использования основных тригонометрических тождеств при нахождении значений тригонометрических функций по известному
значению одной из них.
Пример 1) Найдем cos α, tg α и ctg α, если sin α=
5

и < α< π.
13
2
Решение. Из (1) получаем, что
cos2 α= 1 – sin2 α.
Т.к. α является углом II четверти, то его косинус отрицателен. Значит,
cos α= – 1  sin 2 x = 
Из (2) tg α= 
12
.
13
5
.
12
2
5
Из (3) сtg α= 2 .
Ответ. cos α= 
12
5
2
, tg α=  , сtg α= 2 .
5
13
12

2
Пример 2) Найдем sin α, cos α, и ctg α, если tg α = 2 и 0< α< .
Решение. Воспользовавшись формулой (5), найдем cos α. Имеем:
cos2 α=
1
1
= .
2
1  tg  5
По условию α является углом I четверти, поэтому его косинус положителен. Значит, cos α=
1
.
5
Из (3) => sin α = tg α · cos α=
Из (4) => ctg α =
Ответ. cos α=
2
.
5
1
1
 .
tg 2
1
1
2
, sin α = , ctg α = .
5
5
2
Рассмотрим примеры решения уравнений.
Пример 3. Решить уравнение
6 sin2 х + 5 cos х –2=0,
Решение.
6 (1– cos2 х) + 5 cos х –2=0,
6 cos2 х – 5 cos х –4=0.
Получили квадратное уравнение относительно cos х.
Введем новую переменную t=cos х.
Тогда
6 t2 – 5 t –4=0,
откуда t = –
1
1
или t =1 .
2
3
1
3
1
3
Уравнение cos х= 1 не имеет решений, так как 1 > 1.
1
2
Решая уравнение cos х=– , находим
1
2
х=± arccos (– ) +2πn, n€Z,
2
+2πn, n€Z.
3
х=±
Ответ. х=±
2
+2πn, n€Z.
3
Пример 4. Решить уравнение
tg х + 2 сtg х= 3.
Решение. Обозначим tg х через у. Поскольку
ctg x=
1
,
tgx
получаем уравнение
у2 –3у +2=0 (при условии у≠0).
Его корни у =2 и у=1.
t g x = 2, x = arctg 2 + πn, n  Z.
tgx=l, х=
Ответ. х=

4

4
  k, k  Z .
  k , k  Z.
Литература.
1.
Лаппо, Л.Д. ЕГЭ. Тематические тренировочные задания. Уровень А,
В, С/ Л.Д. Лаппо, М.А. Попов.– М.: Издательство «Экзамен», 2008. –93 с.
2.
Подготовка к ЕГЭ – 2009. Вступительные испытания / Под ред.
Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион, 2008. – 400 с.
3.
Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского.
– 11-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 270 с.
4.
Кочагин В.В. ЕГЭ – 2009. Математика: сборник заданий/ В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: Эксмо, 2008.– 208 с.
5.
Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:
2009: Математика / авт.-сост. В.И. Ишина, В.В. Кочагин, Л.О. Денищева и др. –
М.: АСТ: Астрель, 2009.– 124 с. – (ФИПИ)
6.
Сергеев, И.Н. ЕГЭ. Математика. Задания типа С / И.Н. Сергеев. – 2е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. –318 с.
7.
Самые новые реальные задания: ЕГЭ – 2009: Математика / авт.сост. В.И. Ишина, Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков и др. – М.: АСТ: Астрель,
2009.– 125 с. – (ФИПИ)