УДК 621.311.18 МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ИЗНАШИВАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ СИСТЕМ

УДК 621.311.18
МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ИЗНАШИВАНИЯ
КОНСТРУКЦИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ СИСТЕМ
Н.Н.Елагин
Предложен способ прогнозирования процесса изнашивания конструкций электрических
контактных систем, позволяющий получить характеристику износа на любой последующий
момент эксплуатации. В основу его положена модель случайного марковского процесса, при
котором одномерная плотность вероятности процесса в произвольный момент времени
определяется как для диффузионных процессов, а характер изменения вероятности перехода из
одного состояния в другое описывается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова.
электрооборудование, контактные системы, изнашивание, прогнозирование состояния
Условия работы и физические процессы, протекающие в электрических
контактах, весьма разнообразны и сложны. Работа и износ коммутирующих
контактов определяются конструкцией контактов, свойствами материала
проводников и условиями, существующими во внешней среде и в электрической
цепи как при замкнутом положении контактов, так и при их разомкнутом
положении, а также в процессе включения и отключения.
Обычно под износом понимают потерю металла обоими контактами, а
уменьшение провала контактов характеризует износ конструкций контактных
систем. Под провалом понимают путь, пройденный точкой соприкосновения
контактов (на подвижном контакте), если во включенном положении “убран”
другой контакт. С уменьшением провала снижается сила контактного сжатия в
замкнутом состоянии, увеличивается падение напряжения на контактах, растет
температура пятна касания, что выводит контакты из строя. Часто для оценки
технического состояния контакта износ измеряют потерей количества вещества
(объема или массы) на единицу количества электричества, прошедшего через
контакт, или на одну операцию “включение – отключение” [1-4].
Решение задачи повышения надежности конструкций контактных систем
невозможно без достаточно корректного прогноза их технического состояния на
некоторый предстоящий период эксплуатации. Под действием как
детерминированных, так и случайных факторов внешней среды и процессов,
протекающих в электрической цепи, мгновенные состояния контактных систем
образуют случайную последовательность, описываемую в каждый момент
времени некоторым вектором состояния, содержащим достаточно полную
информацию о предыстории, что характерно для поведения систем без
последействия и предсказания. Воздействия суммируются в виде некоторого
отклика, характеризуемого изменением состояния контактов, являющегося
“сумматором” этих воздействий. Для прогнозирования кинетики износа контактов
в целях упрощения задачи и повышения точности прогноза логично изучать
уменьшение провала контактов конструкций контактных систем, который будем
считать
интегральной
характеристикой
износа,
и
на
основании
экспериментальной зависимости износ-время осуществлять кратковременный или
долгосрочный прогноз, а процесс изнашивания рассматривать как марковский
случайный процесс.
Представляется естественной попытка построить модель процесса  (t )
износа контактных систем с использованием аппарата марковских процессов с
непрерывным множеством состояний и непрерывным временем. При этом
одномерная плотность вероятности процесса в произвольный момент времени t
определится как для диффузионных процессов:
p(t ,  ) 

 p(t
0
,  0 ) p(t ,  |t 0 ,  0 )d 0 ,
(1)

а характер изменения вероятности перехода исследуемого процесса
(2)
p(t ,  | t0 , 0 )  px(t ) | x0  x( ); t    0
удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова [5]:
dp(t , x |  , x0 )
d
1 d2
 (t,  ) p(t,  | t 0 ,  0 ) , (3)
   (t , x) p(t ,  | t 0 ,  0 ) 
dt
dx
2 dx 2
 (t , x) – коэффициент сноса, скорость изменения математического
где
ожидания M  (t ) процесса  (t ) :
M [ (t )]  M [ ( )]
 (t , x)  lim
; t    0;
(4)
t 
t 
 (t , x ) – коэффициент диффузии, скорость изменения дисперсии D[ (t )] :
D[ (t )  D[ ( )]
 (t , x)  lim
;t    0 .
(5)
t 
t 
Целью решения задачи является получение распределения случайной
величины износа x в момент времени t, t>τ>0 и вероятности превышения
процессом уровня допускаемого значения износа.
При этом предполагается, что решение уравнения (3) должно
удовлетворять начальным условиям:
p( , x0 )  p ( x0 )
(6)
и условиям нормировки
p(t , x |  , x0 )  0,  p(t , x |  , x0 )  1 .
(7)
a
Граничные условия представим следующим образом. Будем считать для
процесса  (t ) нижнюю границу x=0 отталкивающей границей, поскольку
величина износа может только расти, а верхнюю границу x=c процесса
 (t ) полагаем поглощающей, поскольку выход величины износа за пределы
допускаемого значения является необратимым событием.
Полагаем, что зависимости изменения математического ожидания и
дисперсии:
m(t )  M [ (t )]; d (t )  D[ (t )]; t    0
(8)
являются наилучшими приближениями из класса монотонных функций.
Процесс решения задачи прогнозирования включает в себя следующие
этапы:
- обработку статистического материала по износам конструкций контактов в
процессе эксплуатации, т.е. получение характеристик:
а) {xi ; p(t j , xi ); t j }; i  1,2,3,...I ; j  1,2,3,...J ;
б) {M [ (t )]; t j }; j  1,2,3,...J ;
в) {D[ (t )]; t j }; j  1,2,3,...J ;
подбор
элементов
наилучшего
приближения
для
зависимостей
m(t )  M [ (t )]; d (t )  D[ (t )] с целью определения коэффициентов сноса и
диффузии;
- проверку условий устойчивости;
- выбор временного интервала прогнозирования;
- определение коэффициентов уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова;
- формирование системы конечно-разностных уравнений;
- решение системы уравнений с учетом граничных и начальных условий;
- получение значений параметров распределения износа.
Рассмотрим детально этапы решения задачи и формализуем отношения
между ними.
Обработка статистического материала по износам контактных
поверхностей. Пусть в году t j , j  1,2,3,...J произведено k j измерений,
определяющих износ {x}, k  1,2,3,...n j исследуемого элемента конструкции
контактов.
Интервал
изменения
непрерывной
величины
равный
xk ,
x j  max k xkj  min n xkj , используется для выбора шага дискретизации h j ,
определяемого с помощью соотношения [6]:
x j
hj 
.
1  3,22 ln k j
(9)
С учетом полученного шага h j непрерывное множество возможных
значений величины x  [0, c ] представляется дискретным набором значений
0  x0  x1  x2  ...  xr  c .
Точечные оценки математического ожидания и дисперсии случайного
процесса  (t ); t  t j ; j  1,2,3,...J определяются с помощью соотношений:
1 n
(10)
 xkj ;
n k 1
1 n
D(t j ) 
[ xkj  M (t j )]2 ;
(11)

n  1 k 1
вероятность p( xij )  p( x  xi , t  t j ); i  1,2,3,...I ; j  1,2,3,...J — частотой попадания
M (t j ) 
величины t j в интервал xi  xi 1  xi ; i  1,2,3,...I ;
p( xij ) 
mij
,
(12)
n
где mij – число попаданий значений xkj в интервал ( xi , xi 1 ); i  1,2,3,...I .
В дальнейшем точечные оценки M (t j ), D(t j ); j  1,2,3,...J 0 используются
для подбора наилучшего приближения, а ряд распределения {xij ; p( xij )}, j  J 0 —
в качестве начальных условий для прогнозирования.
Выбор элемента наилучшего приближения для m(t ), d (t ). Пусть на
основании обработки статистического материала получена таблица значений
t j , j  1,2,3,...J 0 . Задача заключается в подборе
M (t j ); D(t j ) для аргумента
функций m(t )   и d (t )   таких, чтобы выполнялись условия:
max | M (t )  m(t ) | inf
max
| M (t )  m(t ) | ;
t [ 0 ,T J 0 1 ]
max | D(t )  d (t ) | inf
t [ 0 ,T J 0 1 ]
m ( t ) , t [ 0 ,T J 0 1 ]
max
d ( t ) , t [ 0 ,T J 0 1 ]
| D(t )  d (t ) | .
(13)
(14)
Класс Ψ можно полагать состоящим из непрерывных, монотонных
функций. Элементы [m(t ); d (t )]   будут в дальнейшем называться наилучшими
приближениями. В силу общности постановки основной задачи дальнейшее будет
осуществляться только для функции M (t ) и ее приближения m(t )   .
При этом m(t ) полагается известной функцией и согласно постановке
задачи ее требуется подобрать.
В качестве условий, позволяющих выделить подмножество наиболее
подходящих эмпирических функций, использованы необходимые условия
существования зависимости m  m(t , a, b) .
Пусть Aj (t j , m j ); Ai (ti , mi ); Ak (tk , mk ) - три системы значений из нашей
совокупности. Полагая, что кривая m  m(t , a, b) проходит через точки Aj ; Ai ; Ak ,
будем иметь:
m j  m(t j , a, b); mi  m(ti , a, b); mk  m(tk , a, b) .
Исключив параметры a и b, получим:
  (t j , ti , tk , m j , mi , mk )  0 .
(15)
Выполнение этого равенства необходимо для существования искомой
зависимости.
(ti , mi ), промежуточной
Ограничимся
тремя
точками:
начальной
(ts , ms ), конечной (tI , mI ), выбранными из множества исходных данных. Точку
As выбираем так, чтобы (15) было, по возможности, простым.
При заданной точности выбора (s) условие (15) может быть изменено:
  (t j , ti , tk , m j , mi , mk )   ,
(16)
хотя это и приводит к расширению множества вариантов, но упрощает решение
задачи выбора.
Для определения числовых параметров должны быть определены вид
эмпирической формулы m  m(t , a, b) и значение уклонений этой формулы от
исходных данных
 i  m(ti , a, b)  M [ (ti )], i  1,2,3,...n .
(17)
Будем считать наилучшими коэффициентами a и b те, которые составляют
минимум квадратов уклонений, т.е.
n
S (a, b)  {m(ti , a, b)  M [ (ti )]}2  min .
(18)
i 1
Используя необходимые условия экстремума нескольких переменных
(19)
Sa (a, b)  0; Sb (a, b)  0 ,
получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.
Существование решения этой системы гарантируется видом элементов
наилучших приближений. Действительно, любая из возможных эмпирических
формул может быть, после соответствующих замен, представлена в виде
линейной комбинации относительно искомых параметров. В этом случае [7]
определитель системы (19) не равен нулю.
Дифференциальное уравнение процесса изнашивания контактной
системы. Пусть в начальный момент времени TJ 0 величина износа задается
плотностью вероятности
p( xij0 )  p{xi , j   J 0 }; i  1,2,3,...J ,
(20)
тогда плотность вероятности p( xij ); j  J 0 является решением обобщенного
уравнения

1 
p( xij )   (1) n
[kn ( xij ) p(xij )] ;
(21)
t
n x 2
kn ( xij )  lim
t j t J 0
[ (ti )   (t J 0 )]n
t j  t j0
.
Если предположить, что  (t ) относится к классу диффузионных
марковских случайных процессов [5], то при n>2
k1 ( xij )   (t j , x); k2 ( xij )   (t j , x) ; kn  0 .
(22)
В этом случае плотность вероятности p( xij ) будет решением уравнения


1 2
p( xij )   [ (t j , x) p( xij )] 
[  (t j , x) p( xij )]
(23)
t
t
2 x 2
при начальных условиях (20).
Граничные условия и условия нормировки. В исследуемом случае
возможные значения случайного процесса  (t ) ограничены замкнутым
интервалом [0,c]. Нижняя граница данного интервала соответствует нулевому
износу. Так как в реальных условиях, формализуемых моделью (20)-(23),
изнашивание происходит только в направлении увеличения своих значений, то
границу x=0 можно полагать «отталкивающей». При этом на ней должны
выполняться условия:
1 
 (t j ,0) p( xij ) 
[  (t j ,0) p ( xij )  0 .
(24)
2 x
Верхняя граница x=c соответствует нормативно-допустимому значению
параметров изнашивания. В рассматриваемом случае процесс  (t ) , достигнув
верхней границы, поглощается ею и исключается из дальнейшего рассмотрения.
Формально это характеризуется условием
p( xIJ )  0 .
(25)
Условия нормировки
p( xij )  0;
I
 p( x )  1 ;
i 1
ij
j = 1,2,3,…J
(26)
должны выполняться до тех пор, пока величина износа не достигнет верхней
границы xJ  c. В случае если p( xJi )  0 , решение уравнения (23) может не
удовлетворять условию (26).
Численный метод решения задачи. Решаем задачу (23) при условиях (20),
(24), (26). Интервал [0,c] возможных значений износов дискретизируем с шагом h:
h  min h j ; j = 1,2,3,… J 0 ,
j
где h j определяется соотношением (9), и тогда для величины x имеем:
(27)
0  x1  x2  x3  ...  xi  ...  xJ  c ; xi  ih .
Аналогично осуществляется дискретизация временного параметра:
t j  j; j = 1,2,3,…J; J> J 0 .
(28)
Для аппроксимации задачи (23) строится разностная схема. Значение
сеточной функции p( xij ) обозначим pij .
Для частных производных имеем:
pij  pi. j 1  pij
;
(29)

t

pij
x


 2 pij
pi 1, j  pi 1, j


2h
;
(30)
pi 1, j  2 pij  pi 1, j
.
(31)
x
h2
Уравнение (23) после замены производных конечными разностями примет
2
вид:
pi , j 1  pij
pi 1, j  pi 1, j
p
 2 pij  pi 1, j
1
.
  ( j ) i 1, j
2
h2
(32)
2h
i=1,2,3,…I; j=1,2,3,…J
После преобразования получаем:
   ( j)
 
 ( j) 

  ( j ) 
pi , j 1 
  ( j ) pi 1, j  1 
pij 
 ( j) 
pi 1, j .



2h  h
h 
2h 
h 


i=1,2,3,…I; j=1,2,3,…J
(33)
Граничное условие примет вид:
p  pi , j
1
 ( j ) pij   ( j ) I , j
0
2
h
(34)
1
pij 
pI , j .

 ( j) 
1  2h  ( j ) 


Для верхней границы будем иметь:
pIj  0 .
(35)

или
  ( j)
Условия нормировки примут вид:
pij  0 ;
I
p
ij
 1 при pI 1, j  0 .
(36)
i
Начальные условия:
pij  pi ; i=1,2,3,…I .
(37)
Условия устойчивости реализации численного метода. Как известно [8],
реализация прямой разностной схемы ограничивается возможным нарушением
корректности разностной схемы.
Ограничение на шаг h по множеству значений и шаг  I 0  TI 0 1  TI 0
определяются с помощью соотношения
h2
.
 I0 
 (TI 0 )
(38)
Реализация условия (38) в процессе счета требует проверки исходного
шага по времени с последующей заменой его величиной h2  (TI 0 ) в случае, если
h2
.
 I0 
 (TI 0 )
I
0
Для возможности прогнозирования необходимо выполнение условия
 0 . Так как h 2  0 по условию, то  I 0  0 тогда и только тогда, когда
 (TI )   . Но
0
 (t ) является непрерывной функцией от монотонной и
непрерывной функции D[ (t )] . Следовательно, на любом конечном интервале  I 0
функция  (t ) ограниченная, т.е. существует kt  [TI 0 , TI 0 1 ] и  (t )  k .
Результатом расчета является таблица значений плотности распределения
величин износов в исследуемый момент времени.
Одновременно открывается возможность определения вероятности
P (t ) пересечения процессом изнашивания заданного уровня и соответствующего
значения вероятности безотказной работы конструкции контакта по постепенным
отказам:
Pи (t )  1  P (t ) .
(39)
Плотность вероятности момента пересечения марковским диффузионным
процессом критического уровня, соответствующая решению уравнения ФоккераПланка-Колмогорова для случая с одним поглощающим экраном, может быть
определена в виде [6]:
 (t  I1 ) 2 
1
(40)
f  (t ) 
exp 
,
2 I 22 
I 2 2

где I1 
M
 пр
и I2 
D
2
 пр

характеризуют интенсивность изменения среднего
значения и дисперсии изнашивания и, соответственно, M - изменение
математического ожидания величины износа за время от начала эксплуатации до
проверки или за время между двумя проверками; D - изменение дисперсии
величины износа; τ - время от начала эксплуатации до проверки или за время
между двумя любыми проверками;  пр - предельно допустимая величина износа.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бредихин А.Н. Электрические контактные соединения /А.Н. Бредихин,
М.В. Хомяков. – М.: Энергия, 1980. – 168 с.
2. Мерл В. Электрические контакты /В. Мерл. – М.-Л.: Госэнергоиздат,
1962. -72 с.
3. Основы теории электрических аппаратов /под общ. ред. И.С. Таева. – М.:
Высшая школа, 1987. – 352 с.
4. Электрический справочник: в 3-х т.-Т.2. Электротехнические устройства
/ под общ. ред. проф. МЭИ В.Г. Герасимова, П.Г. Грудинского, Л.А. Жукова и др. –
М.: Энергоиздат, 1981. – 640 с.
5. Тихонов В.И. Марковские процессы /В.И. Тихонов, М.А. Миронов. - М.:
Советское радио, 1977. – 488 с.
6. Степнов П.М. Статистическая обработка результатов механических
испытаний /П.М. Степнов. – М.: Машиностроение, 1972. – 232 с.
7. Березин И.С. Методы вычислений/ И.С. Березин, Н.П. Жидков. – М.:
Наука, 1966. – 632 с.
8. Годунов С.К. Разностные схемы /С.К. Годунов, В.С. Рябенький. – М.:
Наука, 1973. – 400 с.
MODEL OF FORECASTING OF PROCESS OF WEAR PROCESS OF
DESIGNS OF ELECTRIC CONTACT SYSTEMS
N.N. Elagin
The way of forecasting of process of wear process of designs of the electric contact systems,
allowing to receive the deterioration characteristic for any subsequent moment of operation is offered.
The model is put in a basis casual “markov’s” process at which the one-dimensional density of
probability of process during any moment of time is defined as for diffusion processes, and character of
change of probability of transition from one condition in another is described by the equation the FokkerPlank-Kolmogorov.