ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО УФИМСКАЯ ТОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
реклама
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО
УФИМСКАЯ ТОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
МАТЕМАТИКА
Раздел II
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Методические указания по выполнению
контрольных работ
УФА – 2007
Составители: Измайлов Ш.З., Сафин Р.Р.
УДК 51 (076)
М 34
Рецензенты:
Еникеев Т.И., канд. физ.-мат. наук, доцент, зам. директора
по научно-методической работе Уфимского филиала
Оренбургского государственного университета;
Бакусова С.М., канд. физ.-мат. наук, доцент,
доцент кафедры «Экономическая теория и мировая экономика»
Уфимской государственной академии экономики и сервиса
Математика. Раздел II. Основы математического анализа: Методические
указания по выполнению контрольных работ / Сост.: Ш.З. Измайлов, Р.Р. Сафин. – Уфа: Уфимск. гос. акад. экон. и сервиса, 2007. – 77 с.
Изложены основные понятия тем: «Функции одной переменной», «Предел», «Производная и дифференциал», «Функции многих переменных», «Неопределенный и определенный интегралы», «Дифференциальные уравнения»
и «Ряды».
Даны задания по указанным темам.
Приведены контрольные задания и решения типовых задач по дисциплине «Математика».
© Измайлов Ш.З., Сафин Р.Р., 2007
© Уфимская государственная академия
экономики и сервиса, 2007
2
1. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
Если некоторому числу х из множества X поставлено в соответствие согласно некоторому правилу f единственное число у = f(x), то говорят, что на
множестве X задана функциональная зависимость или функция. При этом величину у называют зависимой переменной, а величину х – независимой переменной или аргументом. Множество X называют областью определения функции и обозначают D(f) = X, а множество чисел у = f(x) объединяют во множество Y и называют множеством значений функции. Это множество обозначают также E(f) = Y.
Наиболее распространены следующие способы задания функции: формульный, или аналитический, логический, или словесный, табличный, а также
графический.
Область определения и множество значений аналитически заданных
функций являются подмножествами множества действительных чисел.
Если функция задана таблично, то область определения и множество
значений функции представляют собой конечное множество значений аргумента и соответствующих им значений функции.
Логические функциональные зависимости в различных частях области
определения задаются различными формульными соотношениями.
Функция называется четной, если она задана на симметричном относительно начала координат промежутке и если f(-x) = f(x), и нечетной, если f(-x)
= -f(x).
Для того чтобы установить четность или нечетность функции, требуется
определить, является ли область определения функции интервалом, симметричным относительно начала координат, и выполняется ли одно из условий:
f(-x) = f(x) или f(-x) = -f(x).
Функция называется периодической с периодом Т, если f(x) = f(x+ Tn),
n Z.
1.1. Найти область определения и множество значений функции:
y 16 x 2
Решение. Учитывая, что подкоренное выражение должно быть не отрицательным, получаем:
D(f) = {х | 16 - х2 0} = {х | х [-4; 4]}.
Для нахождения множества значений заметим, что арифметический корень всегда не отрицателен, т.е. у 0; с другой стороны, у достигает своего
наибольшего значения, когда х = 0, у = 16 4 , следовательно,
Е(f)= {y y 0;4 }.
3
1.2. Элементарные функции.
Преобразование графиков функций
Основные элементарные функции:
а) степенная: у = хn, n R;
б) логарифмическая: у = loga х, а > 0, а 1,
D(f) = {х | х > 0}, E(f) - {у | y R};
в) показательная: y=ax, a>0, a 1,
D(f) = {x| x R}, E(f) = {у | у > 0};
г) тригонометрические: y = sin х, у = cos х, у = tg х, y = ctg х;
д) обратные тригонометрические: у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg x, у
= arcctg х.
Показательные и логарифмические функции находят применение в финансовых вычислениях. Большинство банковских операций состоит в выдаче
денег «в рост» или «под процент». Наращенный (конечный) капитал Sк вычисляется по формулам
Sк = Sн(1 + ni)
(1.1)
или
Sк=Sн (1 + i)n,
(1.2)
где Sн – начальный капитал;
n – период начисления процентов;
i – процентная ставка.
По формуле (1.1) начисляют простые проценты, по формуле (1.2) –
сложные. В формуле (1.1) используется линейная зависимость, в формуле
(1.2) – показательная.
Множество точек плоскости с координатами (х, f(x)) называется графиком функции у = f(x). Для построения графиков функций используют следующие приемы: построение по точкам; действия с графиками (сложение, вычитание, умножение на число); преобразование графика (сдвиг, растяжение и сжатие по осям). Так, например, если известен график функции у = f(x), можно построить графики функций:
1. y = f(x – а) – сдвиг графика функции у = f(x) по оси Ох;
2. y = f(x) + b – сдвиг графика функции у = f(x) по оси Оу;
3. у = f(ax) – растяжение или сжатие графика у = f(x) по оси Ох;
4. у = cf(x) – растяжение или сжатие по оси Оу;
5. y = f( x ) – график совпадает с графиком у = f(x) для х 0 и является
его симметричным отображением относительно оси Оу для х < 0;
6. y = |f(x)| – график совпадает с графиком у = f(x), если у = f(x) 0, и
является его симметричным отображением относительно оси Ох, если f(x) < 0.
1.2. Пусть склад Sн помещен в банк под годовую процентную ставку i.
Требуется выяснить, сколько лет должен пролежать вклад в банке, чтобы
наращенная по сложным процентам сумма составила величину Sк.
Решение. Логарифмируя обе части формулы (1.2), получаем:
4
lg S k lg S í n lg 1 i ,
откуда:
lg S k lg S í
.
lg1 i
1.3. Сбербанк начисляет ежемесячно по сложной процентной ставке (с
капитализацией накоплений) 24 % годовых. Определить сумму вклада после 8
месяцев хранения, если первоначальный вклад составил 360 руб.
n
8
8
i
0 ,24
8
Решение. Sк =Sн 1 3601
360*1,02 421,8.
12
12
1.4. Построить график функции.
2
y 2x 1 4 x 1 16 3.
Решение. Вначале построим график' функции у = х2 - 2х - 8, Известно,
b
2
что это парабола с вершиной в точке х0 =
1; у0 =12- 2 1 -8=-9.
2a
2 1
Точки пересечения параболы с осями координат находим из условий:
1) у = 0; х2 - 2х - 8 = 0 => х1 = -2; х2 = 4;
2) х = 0; у = -8.
График этой параболы приведен на рис. 1.1, а.
График параболы у = (х - 1)2 - 2(х - 1) - 8 получим, сместив на единицу
вправо по оси Ох график функции у = х2 - 2х - 8 (рис. 1.1, б).
График параболы у = 2(х - 1)2 - 4(х - 1) - 16 получим путем «растяжения»
параболы у = (х - 1)2 - 2(х - 1) - 8 по оси Оу (рис. 1.1, в).
а)
б)
в)
Рис. 1.1
График
функции
y 2x 1 4 x 1 16
2
совпадает
с
графиком
y 2x 1 4x 1 16 для всех x 0 , а в случае х < 0 график симметричен
относительно оси Оу (1.2, а).
2
5
На рис. 1.2, б приведен график функции y 2x 1 4 x 1 16 , а на
2
рис 1.2, в – график функции y 2x 12 4 x 1 16 3.
Рис. 1.2
2. ПРЕДЕЛЫ
2.1. Числовые последовательности и пределы
Функция натурального аргумента n, заданная на множестве N, называется числовой последовательностью x n = f(n) и обозначается { x n }.
Число а называется пределом последовательности { x n }, если > 0
N1, такое, что при n >N1 xn a . Это обозначается следующим образом:
lim xn a или хn a при n .
n
Последовательность { n } называется бесконечно малой, если ее предел
равен нулю. Последовательность { x n } называется ограниченной сверху (снизу),
если K R ( K1 R) , такое, что n: x n К ( x n К1).
Если последовательность ограничена сверху и снизу, она называется
ограниченной: { x n } [K1, К].
Свойства бесконечно малых:
1. Сумма бесконечно малых является бесконечно малой.
2. Произведение бесконечно малой на величину ограниченную является
бесконечно малой.
Величина, обратная бесконечно малой, называется бесконечно большой,
т.е. x n =
1
n
– бесконечно большая величина.
Предел бесконечно большой величины обозначается + ( ) или – .
Бесконечно большие величины могут и не иметь определенного предела.
Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся.
6
Алгебраическими композициями последовательностей { x n }, {yn} называются последовательности {zn} вида хn + уn, хn - уn, хn x уn, хn/уn, n=1,2,…
Если последовательности { x n } и {уn} имеют конечные пределы а и b, то
последовательность {zn} имеет пределы а + b, а - b, а x b, а/b (b 0) соответственно.
В случае когда последовательности { x n }, {уn} являются бесконечно
большими или бесконечно малыми, могут возникать неопределенности вида
– (разность бесконечно больших), 0 x (произведение бесконечно малой и
0
(отношения бесконечно малых и бесконечно боль0
бесконечно большой), ,
ших).
2.1. Найти пределы последовательностей при n :
n3 n3 .
Решение. Преобразуем выражение путем умножения на сопряженное и
перейдем к пределу:
lim
n
( n 3 n 3 )( n 3 n 3 )
n3 n3
(3n 2)100
2.2.
(3n 1) 98 (n 2) 2
lim
n
n 3n 3
n3 n3
lim
n
6
n3 n3
0
Решение. Вынесем за скобки в числителе и знаменателе члены, содержащие переменную, и перейдем к пределу:
100
100
2
2
3 n 1
1
3n
3n
lim 9
9
lim
98
2
98
2
n
n
1
2
1
2
398 n100 1 1
1 1
3n n
3n n
1
2.3. Дана последовательность xn = n ,n = 0,1,2,…
2
100
100
Определить номер члена последовательности n начиная с которого величина хn станет и будет оставаться:
а) меньше данного положительного числа .
б) меньше 0,001.
Решение. Составим неравенства:
а)
1
2n
б)
Прологарифмируем эти выражения:
n lg 2 lg ,
1
10 3
2n
n lg 2 3 lg10 3.
Умножим на –1:
n lg 2 - lg lg
1
n lg 2 3.
,
Откуда:
n
lg
1
,
n
lg 2
7
3
3
, т.е.n =10.
lg 2 0 ,3
2.2. Первый и второй замечательный пределы
Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, называется первым замечательным пределом.
Этот предел равен единице:
sin n
1
lim
n 0
n
n
n
1
Предел последовательности 1 при n называется вторым за n
мечательным пределом. Этот предел равен числу е:
n
1
1 e 2 ,7182 ...
lim
n
n
1
1
1 n e
Положив n получим
lim
0
n
n
n
2.3. Предел функции
Предельной точкой сгущения множества А называется точка х0, если в
любой окрестности этой точки найдутся точки множества, отличные от х0.
Определение предела по Коши. Функция у = f(х), определенная в А,
имеет предел С в точке сгущения х0, если 0 0 , такое, что
x (x0 - , x0 ) (x0 , x0 ) f(x) (C - ,C ).
Существование предела записывают в виде:
lim f x C
x x0
или
0 x x0 f x C
Определение предела по Гейне. Если для различных последовательностей {xn}, стремящихся к х0, последовательность значений функции {f(xn)}
сходится к некоторому числу С, то это число называется пределом функции
f(x).
Переменная х может стремится к х0, оставаясь меньше х0, что записывается в виде x x0 0 ,или оставаясь больше х0, что записывается в виде:
x x0 0 .
Предел lim f x C называется пределом функции f(x) при х, стремяx x0 0
щимся к х0 слева, а предел lim f x C – пределом функции f(x) при х, стреx x0 0
мящимся к х0 справа.
При вычислении пределов функций, так же как и при вычислении пределов последовательностей, часто приходится рассматривать различного вида
неопределенности.
8
2.4. Сравнение бесконечно малых функций
Функция (х) называется бесконечно малой функцией при x x0 , если
ее предел равен нулю.
x
Если (х) и (х) – бесконечно малые функции и lim
= 0, то функx x x
ция (х) называется бесконечно малой функцией высшего порядка малости
относительно (х), что записывается в виде o .
x
Если lim k
A (отличное от нуля конечное число), то (х) называетx x x
ся бесконечно малой функцией k-го порядка малости относительно (х).
x
Если lim
1, то (х) и (х) называются эквивалентными бескоx x x
нечно малыми функциями: (х ~ (х).
2.4. Определить порядок малости функции (х) относительно (х) = x
при х 0:
(х) = 1 – cos х.
Решение. Обе функции являются бесконечно малыми при х 0:
x
2 sin 2
x
1 cos x
x
2
lim
lim
sin 0.
lim
lim
x 0 x
x 0
x 0
x 0
x
x
2
Таким образом, функция (х) есть функция высшего порядка малости
относительности (х) = х.
Так как
x
2 sin 2
x
2 1,
lim
lim
2
2
x 0 x
x 0
x
2
то функция (х) = 1-cos x есть бесконечно малая функция второго порядка
малости относительно (х) = х при х 0 .
0
0
0
2.5. Непрерывность функций. Разрывные функции
Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если эта функция определена в некоторой окрестности точки х0 и существует предел lim f x , равx x0
ный f x0 .
Если при каком-либо значении х0 не выполняются указанные условия, то
точка х0 называется точкой разрыва функции f(x).
Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то
она непрерывна на этом промежутке.
Различают точки разрыва I и II рода. Точка х0 называется точкой разры-
9
ва I рода, если для нее существуют конечные пределы
f x0 0 lim f x и f x0 0 lim f x
x x0 0
x x0 0
и они не равны между собой. Все остальные точки разрыва носят название точек разрыва II рода.
Если f(x0 – 0) = f(x0 + 0), то точка разрыва х0 называется устранимой.
Если выполняется равенство f(x0 - 0) = f(x0), то говорят, что функция f(x)
непрерывна слева в точке х0. Аналогично, если f(x0 + 0) = f(x0), то функция непрерывна справа в точке х0.
3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
3.1. Правила дифференцирования. Вычисление производных
Производной функции у = f(x) в точке х0 (обозначается y x0 или f x0 )
называется предел отношения приращения функции в этой точке
y f x0 x f x0 к приращению аргумента x при x 0 если этот предел существует:
f x0 x f x0
yx0 lim
.
x 0
x
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Таблица основных производных:
1. у = С, y 0 ;
1
8. y ctg x , y 2 ;
n
n 1
sin x
2. y x , y nx ;
x
x
1
3. y a , y a lna ;
9. y arcsin x , y
;
2
x
x
1
x
ye , y e
1
loga e
1
y
arccos
x
10.
,
;
y
4. y log a x , y
;
2
1 x
x
x ln a
1
1
11. y arctg x , y
.;
y ln x , y ;
1 x2
x
1
5. y sin x , y cos x ;
12. y arcctg x , y
.
1 x2
6. y cos x , y sin x ;
1
;
cos 2 x
Правила дифференцирования:
1. u v w u v w ;
2. u v u v uv ;
u u v vu
v 0 ;
3.
2
v
v
4. Если функция u x дифференцируема в точке х0, а функция у = f(u) диф-
7. y tg x , y
10
ференцируема в точке u0 x0 , то сложная функция y f x дифференцируема в точке х0, при этом y x0 yu u 0 u x x0
3.1. Найти производную функции y x 2 в точке х и в точке х0 =2.
Решение. Найдем приращение функции y , обусловленное приращением аргумента x :
y f x x f x x x 2 x 2.
Затем составим отношение
y
x x 2 x 2
.
x
x
Найдем предел этого отношения при x 0 :
y
x x 2 x 2 0
x x 2 x 2 x x 2 x 2
lim
lim
lim
x 0 x
x 0
0 x0
x
x x x 2 x 2
1
1
lim
.
x 0
x x 2 x 2 2 x 2
Таким образом, производная функции y x 2 в произвольной точке х
равна:
1
yx
.
2 x2
Производная в заданной точке х0 равна:
1
yx0
.
2 x0 2
При х0 = 2
1
1
y 2
.
2 22 4
3.2. Дифференциалы первого и высшего порядков и их применение
Если функция у = f(x) имеет конечную производную f'(x) в точке х, то
полное приращение функции y можно записать в виде:
y f x x f x f x x x x ,
где x – бесконечно малая функция при x 0 , т.е. lim x 0.
x 0
Главная, линейная относительно x , часть полного приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy. Следовательно,
по определению dy = f'(x) x . Если f(x) = х, то dx = x , поэтому дифференциал обычно записывают в виде:
dy = f' (x) dx.
3.2. Найти полное приращение функции у = 2x3 + Зх2 + 6х и ее дифференциал, сравнить их значения при х = 1.
Решение. Полное приращение запишем в виде:
11
y 2x x 3x x 6x x 2 x 3 3x 2 6 x .
Преобразовав его, получим:
y 6x 2 x 1x 6 x 3x 2 2x 3 .
Полный дифференциал по определению равен dy = у' dx = 6(х2 + х +
1)dx. В точке х = 1 имеем y 18x 9x 2 2x 3 и dy 18x .
При достаточно малых x , полное приращение функции и дифференциал отличаются незначительно, т.е. y dy . Это обстоятельство используется
для приближенных вычислений, а именно:
y f x x f x dy f x x f x dy ,
или
f x x f x f x dx .
(3.1)
3.3. Найти приближенное значение arctg 0,97.
Решение. Представим arctg 0,97 = arctg (1 – 0,03). Тогда в соответствии
с формулой (3.1) х = 1, а x = – 0,03:
1
0 ,03 0 ,03 0 ,7704 44 08.
arctg 0,97 arctg 1 +
2
11
4
2
По тригонометрическим таблицам arctg 0,97 = 0,7702 44 07 , т.е. вычисленное приближенно и взятое по таблицам значения arctg 0,97 отличабтся
на 0,0002.
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал d(dy), обозначается d2y. Тогда по определению d2у = d (dy) = y"(dx)2.
Дифференциалом n-го порядка dny называется дифференциал d (dn-1y).
Следовательно, dny = d (dn-1y) = y(n)(dx)n. Отсюда, в частности, следует, что
dny
n
y
dxn
3
2
3.4. Найти дифференциал третьего порядка от функции y e x
Решение.
dy e x 2 x dx ;
2
2
d 2 y d e x 2 xdx e x 4 x 2 2e x dx 2 e x 44 x 2 2dx 2 ;
2
2
2
2
d 3 y e x 8 x 3 4 x e x 8 x dx 3 e x 8 x 3 12 x dx 3 .
2
2
2
3.3. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически
Если из уравнения (х, у) = 0 выразить явно переменную у как функцию
аргумента х затруднительно, тогда говорят о неявно заданной функции у от аргумента х. Например: ух + log2 (х2 + у2) - sin (ху) = 0. В дальнейшем неявно заданные функции будем считать дифференцируемыми.
Продифференцировав по х обе части уравнения (х, у) = 0, получим
уравнение, содержащее у'. Из этого уравнения находим у', которую и называют
производной неявной функции при всех значениях х и у, при которых она опре12
делена и существует.
3.5. Найти производную у'х , если ух + log2 (х2 + у2) – sin (ху)=0
Решение. Продифференцируем обе части уравнения по х, приняв у как
сложную функцию от х:
yx y 2 1 2
2 x 2 yy cos xy y xy 0 .
x y ln 2
Выразим y из этого уравнения:
2y
2x
y x 2
x cos xy y 2
y cos xy 0 .
2
2
x
y
ln
2
x
y
ln
2
Окончательно получим:
2x
y cos xy y 2
x y 2 ln 2
y
.
2y
x x cos xy 2 2
x y ln 2
Если функция у = f(x) представлена параметрически, а именно:
x t ,
то производные первого и второго порядков y x è y xx можно найти
y
t
,
по формулам:
y x x y
y
y xx tt t 3 tt t
и
y x t
xt
xt
x 3 cos 2t ,
3.6. Найти y xx , если
y sin t .
Решение. Имеем:
xt 6 sin 2t ,
xtt 12 cos 2t ,
yt cos t ,
ytt sin t .
Подставим полученные выражения в формулу для второй производной:
sin t 6 sin 2t 12 cos 2t cos t 6 cos t 6 cos 2t cos t
y xx
216 sin3 2t
216 sin3 2t
6 cos t 1 cos 2t
12 cos 3 t
1
.
3
3
3
216 sin 2t
216 2 sin t cos t 36 sin3 t
3.4. Исследование функций и построение графиков
3.4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма. Если функция у = f(x) определена и дифференцируема
на интервале (а, b) и достигает в точке х0 (а, b) своего наибольшего или
наименьшего значения, то производная функции в этой почке равна нулю, т.е.
f'(x0) = 0.
3.7. Проверить, удовлетворяет ли функция у = Зх2 + 2х условиям теоре-
13
мы Ферма на отрезке [0; 1].
Решение. Найдем производную функции у' = 6х + 2. В точках х = 0
y (0) = 2 0 и х=1 y 1 = 8 0; в нуль производная обращается в точке
1
x , но это значение не принадлежит интервалу (0; 1). Таким образом,
3
условиям теоремы Ферма данная функция на заданном отрезке не удовлетворяет. Наибольшего и наименьшего значений функция достигает на концах интервала, а не во внутренней точке.
Теорема Ролля. Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема x (а, b) и f(a) = f(b), тогда существует
точка х = с (а, b), в которой f'(c) = 0.
3.8. Выполняется ли теорема Ролля для функции у = -х2 + 5х – 1 на отрезке [1; 4]; при каком значении с выполняется условие f'(c) = 0?
Решение. Функция определена и непрерывна в каждой точке заданного
отрезка. На концах отрезка [1; 4] значения функции равны: f(1) = f(4) = 3, следовательно, теорема Ролля на этом отрезке выполняется. Значение с определяем из условия f'(x) = –2x + 5 = 0, т.е. с = 2,5.
Теорема Лагранжа. Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна на
отрезке [а, b], дифференцируема x (а, b), тогда существует точка х = с
(а, b), такая, что выполняется условие
f b f a f c b a .
3.9. Выполняется ли теорема Лагранжа для функции у = 2х - х2 на отрезке [1; 3]?
Решение. Функция определена и непрерывна на отрезке [1; 3] и дифференцируема на интервале (1; 3), Вычислим f(a) = 1, f(b) = –3 и b – а = 2, тогда
f b f a 3 1
2.
ba
2
Точка с (а, b) вычисляется по формуле f'(x) = 2 - 2х => f'(c) = 2 - 2с = -2
=> с = 2 (1; 3). Следовательно, теорема Лагранжа выполняется.
3.10. На дуге АВ кривой y 8 x найти точку М(с, у(с)), которой касательная параллельна хорде АВ, где А(-8; 4) и В(-1; 3).
Решение. Функция y 8 x непрерывна и дифференцируема в области определения функции х (- ;8 По теореме Лагранжа между двумя значениями а = –8 и b = –1 существует такое значение с, что
1
y 1 y 8 f c 1 8 8 3 4
7 c 4 ,25 M 4 ,25 ;4 ,5.
2 8c
Теорема Коши. Пусть функции у = f(x) и у = g(x) непрерывны, определены на отрезке [а, b] и дифференцируемы x (а, b). Пусть также g'(x) 0,
тогда существует точка х = с (а, b), такая, что для нее выполняется условие:
14
f b f a f c
.
g b g a g c
Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей:
f x 0
f x
lim
1. Если lim f x lim x 0 , то lim
при условии,
x x x
x x
x x
0 x x x
что предел в правой части выражения существует; аналогично, если
f x 0
f x
при условии, что предел
lim
f x lim x 0 , то lim
lim
x x x
x x
x x
0 x x x
в правой части существует, и т.д.
f x
f x
lim
2. Если lim f x lim x , то lim
при услоx x x
x x
x x
x x x
вии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если
f x
f x
lim
при условии, что преf x lim x , то lim
lim
x x x
x x
x x
x x x
дел в правой части существует, и т.д.
ex x 1
3.11. Найти предел lim
.
x 0
sin 2 3x
Решение. Так как lim e x x 1 0 и lim sin2 3x 0 , можно применить
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x 0
x 0
первое правило Лопиталя:
ex x 1 0
ex 1
ex 1 0
ex
1
lim
lim
lim
.
lim
2
x 0
sin 3x 0 x0 2 sin 3x cos 3x 3 x0 3 sin 6 x 0 x0 18 cos 6 x 18
3.12. Найти предел lim
ln x
tg x
Решение. Так как lim ln x
x
x
2
2
2
2
и lim tg x , имеем неопределенx
2
. Следовательно, можно применить вторе правило Лопиталя:
ln x
cos 2 x 0
2 cos x sin x
2
lim
0.
lim
lim
x
x
x
tg
x
0
1
2
2 x
2
2
В случае неопределенностей вида 00, 0 или 1 следует предварительно
прологарифмировать заданную функцию, а затем найти предел её логарифма.
sin x
3.13. Найти предел lim ctg x .
ность вида
x 0
Решение. В данном случае имеем неопределенность вида 0 . Прологарифмируем заданную функцию: ln y sin x lnctg x . Далее рассмотрим предел
lnctg x
ln y lim sin x ln ctg x 0 lim
lim
1
x 0
x 0
x 0
sin x
15
1
1
sin x
ctg x sin 2 x
lim
lim
0.
cos x
x 0
x 0 cos x
sin 2 x
sin x
Если lim ln y 0 , то lim y 1 , следовательно lim ctg x 1.
x 0
x 0
x 0
3.4.2. Интервалы монотонности
Функция у = f(x) возрастает (убывает) на интервале (а, b), если для
x1 , x2 (а, b) и х1 < х2 следует неравенство f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)). Функция
у = f(x) не возрастает (не убывает) на интервале (а, b), если для x1 , x2 (а, b) и
х1 < х2 следует неравенство f(x1) f(x2) (f(xl) f(x2)).
Теорема. Если у = f(x) дифференцируема на (а, b) и f'(x) 0 (f'(x) 0)
x (а, b), то функция у = f(x) не убывает (не возрастает) на данном интервале.
3.14. Определить интервалы монотонности функции y=x3-6x2-15x+2.
Решение. Область определения функции – вся числовая ось. Находим
первую производную: f'(x) = – Зх2 - 12х - 15. Далее находим корни производной: 3(х2 – 4х – 5) = 0 => х1 = – 1; х2 = 5. Методом интервалов исследуем знаки первой производной для возможных изменений аргумента (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Следовательно, для х (– ; –1) (5; ) производная у'(х) > 0 =>
функция возрастает, а для х (–1; 5) соответственно у'(х) < 0 => функция
убывает.
3.4.3. Экстремум функции
Значение f(x0) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции у = f(x), если при любом достаточно малом выполняется
условие f(х0) > f(x) (f(x0) < f(x)) x x0 x0 . Точка x0 называется
точкой максимума (минимума) функции. Локальные максимумы и минимумы
функции называются экстремумами функции, а точки максимума или минимума – точками экстремума.
Теорема (необходимое условие локального экстремума). Если функция у
= f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум, то производная f'(x) обращается в нуль или не существует.
Точки, в которых f'(x) = 0 или f'(x) не существует, называются критиче-
16
скими. Экстремум в таких точках может быть, а может и не быть.
Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть х0 – критическая точка функции у = f(x); если при переходе через точку х0 слева направо
производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция
f(x) в точке х0 имеет локальный максимум (локальный минимум); если же производная f'(x) не меняет знака в -окрестности точки х0, то данная функция
не имеет в точке х0 локального экстремума.
Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть f (х0) = 0 и
f"(x0) 0, тогда функция у = f(x) в точке х0 имеет экстремум, причем х0 –
точка локального максимума (минимума), если f"(x0) < 0 (f"(x0) > 0).
Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции у =
f(x) на отрезке a; b нужно из значений функции на границах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, выбрать наибольшее или
наименьшее.
3.4.4. Выпуклость верх и выпуклость вниз (вогнутость).
Точки перегиба. Асимптоты
График функции y = f(x) имеет на интервале (a,b) выпуклость вверх
(вниз), если на этом интервале график расположен не выше (не ниже) касательной к графику функции, проведенной в любой точке этого интервала (рис.
3.2).
а) выпуклость вверх
б) выпуклость вниз
Рис. 3.2
Теорема (достаточное условие выпуклости вверх (вниз)) Если функция
у = f(x) в каждой точке интервала (а, b) имеет f"(x) 0 (f"(x) 0), то график
функции имеет на интервале (а, b) выпуклость вверх (вниз).
Если в точке М(х0, f(x0)) графика функции у = f(x) выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, то точка М(х0, f(x0)) называется точкой перегиба.
Теорема (необходимое условие точки перегиба). Если в точке М(хо,
f(x0)) график функции у = f(x) имеет точку перегиба, а сама функция имеет
непрерывную вторую производную, тогда f"(x) в точке х0 обращается в нуль,
т.е. f"(x0) = 0.
17
Точки графика функции, в которых вторая производная равна нулю или
не существует, называются критическими точками II рода.
Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция у = f(x)
имеет вторую производную в окрестности точки х0 и пусть в самой точке
f"(x0) = 0 или f"(x0) не существует. Тогда, если в указанной окрестности f"(x)
имеет разные знаки слева и справа от точки х0, график функции имеет перегиб в точке М(х0, f(x0)).
3.15. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции
f(x) = 0,5х3 + Зх2 – 18х + 20.
Решение. Область определения функций – вся числовая ось. Находим
производные:
f x 3x 6 .
f x 1,5x 2 6 x 18 ;
Приравняв к нулю вторую производную, получим критическую точку II
рода: Зх + 6 = 0; х = -2. Исследуем знак второй производной в окрестности
этой точки:
f (–3) = –3 < 0;
f (0)=6 > 0
Следовательно, для x ;2 f x 0 и график функции выпуклый
вверх, а для x 2 ; – выпуклый вниз. Таким образом, при переходе через
точку х0 = –2 f"(x) меняет знак. Следовательно, точка М(–2; 64) –точка перегиба графика данной функции.
Прямая линия L называется асимптотой графика функции у = f(x), если
расстояние от точки М(х, у), лежащей на кривой, до прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат (т.е. при
стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).
Существуют вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Если lim f x или lim f x , то прямая х = а является вертиxa
xa
кальной асимптотой графика функции у = f(x).
Если lim f x b или lim f x b , то прямая у = b является горизонx
x
тальной асимптотой графика функции у = f(x).
Прямая у = kx + b является наклонной асимптотой графика функции
у = f(x), если существуют одновременно пределы:
f x
b lim f x kx
k lim
,
x
x
x
или
f x
b lim f x kx
k lim
,
x
x
x
x3 1
.
3.16. Найти асимптоты кривой y
x2
Решение. Данная функция определена для
x3 1
x 1x 2 x 1
0
0 x ;2 1; .
x2
x2
18
x3 1
, то прямая х = –2 является вертикальной
Так как lim
x 2 0
x2
асимптотой. Горизонтальных асимптот график функции не имеет, так как
x3 1
x3 1
и lim
.
lim
x
x
x2
x2
Определим, существуют ли наклонные асимптоты:
1
x 3 1 3
3
f x
x 1
x
k lim
lim 2
lim
1;
x
x
2
x
x x 2 x
3
x 1
x
x3 1
x 3 1 x 3 2x 2
x 3 1 x 3 2x 2
b lim f x kx lim
x lim
lim
3
3
2
x
x
x
x
x
2
x
2
x
2
x
1
x
2
x
1
x2 2 2
2
2 x 1
x
lim
lim
1.
x
2
1
2 x 2
2
1
2
x 1 x x 1 3 1
x 1 1 3 1
x
x
x
x
x
x
Следовательно, прямая у = х–1 является наклонной асимптотой при
x . Далее
x3 1
1
1 3
x 2
f x
x 1;
k lim
lim
lim
2
x
x
x
x
x
1
x
3
3
3
x3 1
x 1 x x 2
x
1
x
2x 2
b lim f x kx lim
x lim
lim
3
x
x
x
x
x
2
x
2
x 2 x 1 x x 2
xlim
1 2x2
x2
2
1
2
1
1
1
3
x
x
x
19
1.
Следовательно, существует левая наклонная асимптота у = –х+1 (рис
3.3).
Рис. 3.3
Схема исследования графиков функции у = f(x):
1. Определить область существования функции.
2. Исследовать функцию на четность и нечетность.
3. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат.
4. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек
разрыва функции, если они имеются; найти асимптоты кривой.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.
6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз; определить
точки перегиба.
7. Построить график функции.
x3
.
3.17. Построить график функции y
2
2x 1
Решение. 1. Область существования функции
D(f) = x x ;1 1; .
2. Функция не является четной или нечетной.
3. Точки пересечения с осями координат:
если х = 0, то у = 0;
если у = 0, то х = 0,
т.е. кривая пересекает ось х и ось у в начале координат.
4. Точка разрыва х = –1. Исследуем характер разрыва:
x3
x3
;
;
lim
lim
2
2
x 1 0 2 x 1
x 1 0 2 x 1
таким образом, разрыв бесконечный II рода.
Найдем асимптоты графика функции: х = –1 – вертикальная асимптота;
так как
20
x3
x3
;
;
lim
lim
2
2
x 2 x 1
x 2 x 1
горизонтальных асимптот нет.
Рассмотрим
f x
x3
x3
1
1
k lim
lim
lim
.
lim
2
2
2
x
x 2 x x 1
x
x
x
2
1
1
2 x 3 1
21
x
x
1
1
Заметим сразу, что lim
.
2
x
2
1
21
x
Далее,
x3
x
x 3 x 3 2x 2 x
2x 2 x
b lim f x kx lim
1.
lim
2
2
2
lim
x
x 2 x 1
x
x
2
2
x
4
x
2
2x 1
1
Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту y x 1.
2
Вычислим первую производную и исследуем ее знаки (рис. 3.4):
1 x3
1 x 2 x 3
y
2
3
2 x 1 2 x 1
y 0 для x ;3 1;0 0; – функция возрастает;
y 0 для x 3;1 – функция убывает.
Рис 3.4
В точках х = –3 и х = 0 производная y 0 , но в окрестности точки
х = –3 она меняет знак, поэтому в точке х = -3 функция имеет экстремум (максимум); в окрестности точки х = 0 производная у' не изменяет знака, следовательно, точка х = 0 не является точкой экстремума функции.
3
3
27
;
y 0 0.
Вычислим значения: у(-3) =
2
8
2 3 1
В точке х = –1 производная у' не существует, но в этой точке не существует и сама функция, поэтому х = –1 не является критической точкой для
производной.
6. Вычислим вторую производную и исследуем ее знаки:
3
2
1 3x 2 6 x x 1 3x 3 3x 2 x 1
3x
y
;
x 16
2
x 14
у" < 0 для x ;1 1;0 – функция выпукла вверх;
у" > 0 для x 0; ; – функция выпукла вниз.
21
В точке х = 0 у" = 0 и в окрестности этой точки вторая производная изменяет знак, значит, в точке х = 0 функция имеет точку перегиба.
7. Результаты этих исследований наносим на график (рис. 3.5).
Рис. 3.5
4.ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
4.1. Области определения, способы задания, линии и поверхности уровня
Если любой упорядоченной паре чисел (х, у) из некоторого числового
множества D = {(х, у)} поставлено в соответствие согласно некоторому правилу f число z из множества Z, то говорят, что на множестве D задана функция
z = f(x, у). При этом переменные х и у называются независимыми переменными
(или аргументами), а переменная z – зависимой переменной или функцией двух
переменных. Множество D = {(х, у)} называется областью определения функции, а множество Z = {f(x, у)} – множеством значений функции.
Каждой упорядоченной паре чисел (х, у) при фиксированной прямоугольной системе координат соответствует единственная точка М плоскости
хОу и, наоборот, каждой точке М соответствует единственная упорядоченная
пара чисел (х, у), поэтому функцию двух переменных иногда удобно рассматривать как функцию точки М и записывать в виде z = f(M). Область определения в этом случае рассматривается как некоторое множество точек плоскости.
Аналогично можно определить функцию любого конечного числа независимых переменных z = f{х1, х2, ..., хn) или z = f(М), где М – точка в пространстве n измерений М D = {(х1, х2, ..., хn)} Rn.
Геометрическим изображением функции z = f(x, у) в прямоугольной системе координат Oxyz (графическое задание функции) является некоторая поверхность. Графически задать функцию трех переменных u = f(x, у, z) уже не
представляется возможным.
Линией уровня z = с функции z = f(x, у) называется линия на плоскости
f(x,у) = с. В каждой точке, лежащей на этой линии, функция z = f(x, у) принимает значение, равное с. Поверхностью уровня u = с функции u = f(x, у, z)
называется поверхность f(x, у, z)= c, в точках которой функция u = f(x, у, z) сохраняет значение, равное с.
22
Функция двух переменных z = f(x, у) может быть задана таблично.
4.2. Частные производные.
Производная по направлению. Градиент
Частные производные первого порядка. Частной производной от
функции z = f(x, у) по независимой переменной х называется конечный предел
z
f x x , y f x , y
z
lim x f xx , y ,
lim
x 0
x 0 x
x
x
вычисленный при постоянном значении у.
Частной производной по у называется конечный предел
z
f x , y y f x , y
z
lim y
f yx , y ,
lim
y 0
y 0 y
y
y
вычисленный при постоянном значении х.
Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.
y2
z z
2
.
4.1. Найти
è
, если z x 3x y y
x
x y
z
Решение. При вычислении
переменная у рассматривается как поx
стоянная величина:
z
y2
2x 3 y - 2 .
x
x
Рассмотрим теперь переменную х как постоянную величину:
z
1
2y
3x
1
y
x
2 y
z z
4.2. Найти
è
, если z xye x y
x y
z
z
Решение.
y e x y 2x 2e x y ;
x e x y 2 y 2e x y .
x
y
u u
4.3. Найти
è
, если s cos 2 t .
s t
u
1
u
Решение.
s 2 cos t sin t s sin 2t .
cos 2 t ;
t
s 2 s
4.4. Показать, что функция u x 2 y 2 z 2 удовлетворяет уравнению
2
2
2
2
2
2
2
2
2
u u u
1.
x y z
2
Решение. Находим:
23
2
2
2
u
x
(при постоянных у и z);
x
x2 y2 z 2
u
y
(при постоянных х и z);
2
2
2
y
x y z
u
z
(при постоянных х и у).
z
x2 y2 z 2
Возводим эти выражения в квадрат и подставляем в левую часть заданного уравнения:
x2
y2
z2
1.
+
+
x2 y2 z 2 x2 y2 z 2 x2 y2 z 2
Получаем тождественное равенство, т.е. функция u удовлетворяет уравнению.
Производная по направлению. Пусть, z = f(x, у) определена в некоторой окрестности точки М(х, у), пусть l0 = (cos , cos ) – единичный вектор,
задающий направление прямой L, проходящей через точку М(х, у). Выберем на
прямой L точку М1(x1, у1) = М(х, у) + l0 (рис. 4.1). Рассмотрим приращение
функции z = z(М1) – z(М) = f(x + cos , у + cos ) – f(x, y) в точке М(х,у).
Рис 4.1
Предел отношения lim
f x cos , y cos f x , y
, если он суще
ствует, называется производной функции z = f(х, у) в точке М(х, у) по направле 0
z
.
l
Если функция z = f(x, у) имеет в точке М(х, у) непрерывные частные
производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки М(х, у); вычисляется эта производная по формуле
z z
z
cos cos , где cos и cos – направляющие косинусы вектора l0.
l x
y
4.5. Вычислить производную функции z x 2 xy y 2 2 x 2 y в точке
М(1; 1) по направлению вектора l = (3; 4).
Решение. Находим единичный вектор l0, совпадающий с направлением
нию l0 = (cos , cos ) и обозначается
24
3
4
1 3 4
; , т.е. cos , cos .
5
5
l 5 5
z
z
Находим частные производные
2x y 2,
x 2 y 2 и вычисляx
y
ем их значения в точке М (1; 1):
z
z
2 1 1 2 5,
1 2 1 2 5.
x
y
Тогда,
z
3
4
5 5 7.
l
5
5
Градиент. Градиентом функции z = f(x, у) в точке М(х, у) называется
вектор с началом в точке M0, координаты которого равны соответствующим
z
z
частным производным
и
, вычисленным в точке М(х, у).
x y
z z
Градиент обозначается grad z , .
x y
Аналогично определяются производная по направлению и градиент для
функции трех переменных u = f(x, у, z) в точке М(х, у, z):
вектора l (т.е. найдем орт вектора l): l0=
u u
u
u
cos cos cos ;
l x
y
z
u u u
grad u M , , ,
x y z
где cos ,cos ,cos – направляющие косинусы единичного вектора l0.
Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции u = f(М).
4.6. Найти градиент функции u = х2 + Зху2 – z3у в точке М(–2; 3; –1).
Решение. Находим частные производные данной функции:
u
u
u
2x 3 y 2 ;
3 z 2 y .
6 xy z 3 ;
x
z
y
Вычисляем значение этих производных в точке М (–2; 3; –1):
u
f x 2 ;3;1 2 2 3 32 23;
x
u
3
f y 2 ;3;1 6 2 3 1 35 ;
y
u
2
f z 2 ;3;1 3 1 3 9.
z
Окончательно получаем grad u(M) = (23; –35; –9).
25
4.3. Дифференциал
Полное приращение дифференцируемой в точке М0(х0,у0) функции
z = f(x,у) можно представить в виде:
z f x0 x , y0 y f x0 , y0
f xx0 , y0 x f yx0 , y0 y 1 x , y x 2 x , y y ,
где 1 и 2 – бесконечно малые функции при x 0 , y 0.
Дифференциалом dz дифференцируемой в точке М функции z = f(M)
называется главная, линейная относительно x è y , часть полного приращения этой функции, т.е. dz f xM x f yM y . Если принять приращения аргументов x è y равными их дифференциалам, т.е. x dx, y dy , то дифференциал функции можно записать следующим образом:
dz f xM dx f yM dy .
Из определения следует, что dz z , т.е. при достаточно малых
x è y полное приращение функции приближенно равно ее дифференциалу.
x y
4.7. Найти дифференциал функции z e .
2
Решение. Находим частные производные
z
z
f x e x y 2 xy ;
f y e x y x 2 ,
x
y
а затем дифференциал
dz 2 xye x y dx x 2 e x y dy .
2
2
2
2
tg 3 2 ,4 3e 0 ,01 , исходя из зна3
чения функции z = tg 3 x 3e y в точке М(х; у)при х =
2 ,36 , y 0 .
4
Решение. Находим значение данного корня из соотношения
3
tg 3 2 ,4 3e 0 ,01 tg 3 3e 0 dz 2 dz ,
4
при этом dz вычисляем как приращение функции, обусловленное приращениy 0 ,01. Имеем:
ем аргументов x 2 ,4 2 ,36 0 ,04
1
3 tg 2 x
2
dz
z
3e y
cos
x
dz dx dy
dx
dy ;
dx
y
2 tg 3 x 3e y
2 tg 3 x 3e y
1
3
3 tg 2
4 cos 2 3
3e 0
4
dz M
0 ,04
0 ,01
3 3
0
3 3
0
2 tg 3e
2 tg 3e
4
4
4.8. Вычислить приближенное значение
26
3 1
2
1
2
1
3
6 0 ,04 3 0 ,01 0 ,27
2
0
,
04
0
,
01
0 ,095.
3
3
2
2
2
2
2
2
2 1 3
2 1 3
0 ,27
1,509 .
Тогда tg 3 2 ,4 3e 0 ,01 2
2 2
4.4. Частные производные высших порядков
Пусть функция z = f(x,y) имеет первые частные производные
z x , y z x , y
в точке М(х, у) и в каждой точке некоторой окрестности точки
,
x
y
z x , y z x , y
М(х, у). Тогда частные производные от частных производных
,
x
y
называются частными производными второго порядка (вторыми частными
производными) от функции z = f(x, у) в точке М(х, у). Частные производные
второго порядка обозначаются
z 2 z
z 2 z
f xx M ;
f yx M ;
x x x 2
y x yx
z 2 z
z 2 z
f xy M ;
f yy M .
x y xy
y y y 2
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего порядка и более высоких порядков, например:
2 z 3 z
2 z 3 z
M ;
M ;
f xxx
f yxx
x x 2 x 3
y x 2 yx 2
2 z 3 z
M .
f xyx
x yx x 2 y
Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение
«смешанной» производной не зависит от порядка дифференцирования, т.е.
2z
2z
Это положение распространяется и на частные производные боxy yx
лее высокого порядка.
x
4.9. Найти вторые частные производные функции z xy ln .
y
Решение. Вначале находим частные производные первого порядка:
z
x
y1
x
z
x
y x
x
y ln xy
y ln y ;
y ln xy 2 y ln x ;
x
y
xy
y
y
y
x y
y
Далее находим:
27
2 z z
y 1 y 2 z
z
x
y x
x
y
;
2 ln ;
ln
1
y
2
x
x x
x y x yx y x
y
x y
y
2 z z
y x
x
x 2 ;
2
y
y y
x y
y
4.5. Экстремумы функций двух переменных
Функция z = f(x, у) имеет максимум (минимум) в точке М0(х0, у0), если
для любой точки М(х, у), находящейся в некоторой -окрестности точки
М0(х0, у0), выполняется условие f x0 , y0 f x , y f x0 , y0 f x , y ; окрестность можно представить множеством точек М(х, у), координаты кото2
2
рых удовлетворяют условию x x0 y y0 , где –положительное
достаточное малое число.
Максимумы и минимумы функции называются экстремумами, а M0(x0,
у0) – экстремальной точкой.
Теорема (необходимые, условия экстремума). Если z = f(x, у) – дифференцируемая функция и достигает в точке М0(х0, у0) экстремума, то ее частные производные, первого порядка в этой точке равны нулю:
z M 0
z M 0
0;
0.
x
y
Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в
нуль (или не существуют), называются критическими или стационарными.
Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.
Пусть М0(х0, у0) – стационарная точка функции z = f(x, у). Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке
М0(х0,у0):
2 z M 0
2 z M 0
2 z M 0
A
B
C ,
;
;
x 2
xy
y 2
а затем дискриминант = АС – В2. Тогда достаточные условия экстремума
функции z = f(x, у) в стационарной точке M0(x0, y0) запишутся в следующем
виде:
1) > 0 – экстремум есть, при этом, если А > 0 (или С > 0 при А = 0),
в точке М0(х0, y0) функция имеет минимум, а если А < 0 (или С < 0 при А
= 0) – максимум;
2) < 0 – экстремума нет;
3) = 0 – требуются дополнительные исследования.
3
1
4.10. Найти экстремум функции z x 2 2 xy y 2 5 x y 2.
2
2
Решение. Находим частные производные первого порядка:
28
z
z
3x 2 y 5 ;
2 x y 1.
x
y
Находим стационарные точки, используя необходимые условия:
3x 2 y 5 0 ,
2 x y 1 0.
Решая систему, получаем х0 = 1, у0 = 1, следовательно, M0(1; 1) есть стационарная точка.
Находим значения вторых частных производных:
2z
2z
2z
3
;
;
2
1 .
x 2
xy
y 2
Значения, производных не зависят от х и у, поэтому вычислять их величину в стационарной точке нет необходимости. Вычисляем дискриминант
= 3(–1) – 22 = –7 < 0, следовательно, в точке Мо(1; 1) функция не имеет экстремума.
4.11. Найти экстремумы функции z 2 x 2 y 2 e x y .
Решение. Находим частные производные первого порядка:
z
4 xe x y 2 x 2 y 2 e x y 2 x e x y 4 x 2 x2 x 2 y 2 ;
x
z
2 ye x y 2 x 2 y 2 e x y 2 y e x y 2 y 2 y2 x 2 y 2
y
Решая систему:
x y
4 x 2 x2 x 2 y 2 0 , или 2 x2 2 x 2 y 2 0 ,
e
x y
2
2
2 y 2 y2 x 2 y 2 0 ,
2 y 1 2 x y 0 ,
e
находим стационарные точки: М0(0; 0), М1(0; 1), М2(0; –1), М3(1; 0), М4(–1; 0).
Находим вторые частные производные:
2z
e x y 2 x 4 x 4 x 3 2 xy 2 e x y 4 12 x 2 2 y 2
2
x
e x y 8 x 4 4 x 2 y 2 20 x 2 2 y 2 4 ;
2 z
e x y 2 y 4 x 4 x 3 2 xy 2 e x y 4 yx
xy
e x y 8 yx 3 4 xy 3 12 xy ;
2 z
e x y 2 y 2 y 4 yx 2 2 y 3 e x y 2 4 x 2 6 y 2
2
y
e x y 4 y 4 8 y 2 x 2 10 y 2 4 x 2 2 .
Для каждой стационарной точки вычисляем соответствующее значение
дискриминанта:
1) М0(0; 0): А0 = 4; В0 = 0; С0 = 2; 0= A0С0 – B02 ; 0 = 8 > 0, А0 > 0 – в
точке М0(0; 0) функция имеет минимум zmin = 0;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
29
2
2
2
2) М1(0; 1): А1 = 2/е; В1 = 0; C1 = –2/е; 1 = –4/е2 < 0 – экстремума нет;
3) М2(0; –1): А2 = 2/е; В2 = 0; С2 = –2/е; 2 = –4/е2 < 0 – экстремума нет;
4) М3(1; 0): А3 = –8/е; В3 = 0; С3 = –2/е; 3 = 16/е2 > 0 – экстремум есть,
A3 < 0, в точке М3(1; 0) функция имеет максимум z max = 2/е;
5) M4(–1; 0): А4 = –8/е; В4 = 0; С4 = –2/е; 4 = 16/е2 > 0 – экстремум есть,
A4 < 0, в точке М4(–1; 0) функция имеет максимум z max = 2/е;
4.6. Условный экстремум
Рассмотрим функцию z = f(x, у), определенную и дифференцируемую в
области G, координаты точек которой удовлетворяют системе уравнений связи
G = {(x, у) | i (х, у) = 0; i = 1, 2, .... m}. В этой области нужно найти такую точку М0(х0, у0), чтобы выполнялось условие f(М0) f(М) М(x, y) G. Такие
задачи называются задачами отыскания условного экстремума функции z =
f(x, у).
Для отыскания условного экстремума исследуется на обычный экстремум функция Лагранжа:
L x , y , i f x , y i i x , y .
m
i 1
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид
L f m i
i
0,
x x i 1 x
L f m i
i
0,
i 1
y
y
y
L
i x , y 0 ,
i
i =1, 2, …, m.
Из этой системы m + 2 уравнений с m + 2 неизвестными находят значения неизвестных х, у, i (i = 1, 2, ..., m). Числа i называются коэффициентами
Лагранжа.
4.12. Найти экстремумы функции z = 2х + у при условии х2 + у2 = 5.
Решение.
Составляем
функцию
Лагранжа:
L (х,
у,
2
2
) = 2х + у + (x + у – 5). Находим частные производные и составляем необходимые условия экстремума функции Лагранжа:
L
1
x 2 2x 0 ,
x ,
1
1
L
y
,
1 2y 0 ,
2
y
2
1
1
L
2
2
2 4 2 5
x y 50
30
1
1
x
2
;
y
1
;
,
M
2
;
1
;
,
0
0
2
2
x 2 ; y 1; 1
M 2 ;1; 1 .
1
1
2
2
2
2
В данном случае (x, у) = х + у – 5.
Для исследования на экстремум в полученных критических точках вы 2 L 2 L 2 L
числяем значения
:
, ,
,
,
x y x 2 xy y 2
2L
2L
2L
2x ,
2y,
2
,
0
,
2
x
y
x 2
xy
y 2
и составляем определитель
0
x M 0 0
y M 0 0
x M 0 0
Lxx M 0 0
Lxy M 0 0 .
y M 0 0
Lxy M 0 0
Lyy M 0 0
Если < 0 то z = 2х + у имеет в точке М0(х0, у0) условный максимум, если >0 – то условный минимум.
Итак,
0
4 2
0 4
0 4 16 20 0 , следовательно в точке М0(-2; 1)
2 0
1
условный минимум, z min = –5;
0 4
2
1
1 4 1
0 4 16 20 0 , следовательно, в точке М1(2; 1)
2 0 1
условный максимум, z mах = 5.
4.7. Метод наименьших квадратов
В экономической практике часто требуется представить наблюдаемые
(измеренные) данные в виде функциональной зависимости. При этом предполагается, что вид функциональной зависимости известен (например, в результате ранее проведенных исследований), и требуется определить только параметры этой зависимости.
Пусть в ходе исследования (например, покупательского спроса) получена следующая таблица, где х – аргумент (цена товара), а у – функция (количество товара):
x x1 x2 x 3 … xn
y y1 y2 y 3 … yn
31
Требуется по этим табличным данным получить функциональную зависимость (кривую спроса). Для оценки вида функциональной зависимости
представим данные таблицы в виде точек на плоскости (рис. 4.2).
Рис. 4.2
Основываясь на графическом представлении, можно предполагать, что
эта функциональная зависимость либо линейная: у = ах + b (линия 1); либо
квадратичная; у = ах2 + bх + с (линия 2).
Метод наименьших квадратов предусматривает нахождение параметров а, b (а, b, с) этих зависимостей из условия минимума суммы квадратов отклонений:
для линейной зависимости
Ô a ,b 2i axi b yi min ;
n
n
i 1
i 1
2
для квадратичной зависимости
n
n
i 1
i 1
2
Ф(а, b, с) = 2i axi bxi c yi min .
2
Ô
Ô
= 0,
= 0 получаются формулы для определеa
b
ния коэффициентов линейной зависимости:
n
n
n
2
a
xi b x i xi y i ,
i 1
i 1
i 1
n
n
a xi nb yi ,
i 1
i 1
Ô
Ô
Ô
0,
0,
0 – формулы для определения коэффициа из условий
a
b
c
ентов квадратичной зависимости:
Тогда из условий
32
n
n
n
n
4
3
2
2
a
x i b x i c xi x i y i ,
i 1
i 1
i 1
i 1
n 3
n
n
n
2
a xi b xi c xi xi yi ,
i 1
i 1
i 1
i n1
n
n
a x 2 b x nc y .
i
i
i 1 i
i 1
i 1
4.13. Найти квадратичную зависимость для следующих данных:
P=x
Q=y
1,7
27
1,9
25
2,0
19
2,1
9
Решение. Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые
вычисления:
n
1
2
3
4
xi
1,7
1,9
2,0
2,1
yi
27
25
19
9
xi 2
2,89
3,61
4,00
4,41
xi 3
4,913
6,859
8,000
9,261
xi 4
8,3521
13,0321
16,0000
19,4481
xi yi
45,9
47,5
38,0
18,9
xi 2 yi
78,03
90,25
76,00
39,69
7,7
80
14,91
29,033
56,8323
150,3
283,97
n
i 1
Система линейных уравнений для определения величин а, b, с примет
вид:
56 ,8323 a 29 ,0330 b 14 ,9100 c 283 ,97 ,
29 ,0330 a 14 ,9100 b 7 ,7000 c 150 ,30 ,
14 ,9100 a 7 ,7000 b 4c 80 ,00.
Решив систему, получим значения а, b, с. Функция спроса будет иметь
вид Q = 0,02Р2 – 16,64Р – 6,67.
5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
5.1. Непосредственное интегрирование
Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x),
если F(x) дифференцируема и выполняется условие F'(x) = f(x).
Очевидно, что (F(x) + С)' = f(x), где С – любая константа.
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех
первообразных этой функции. Неопределенный интеграл обозначается
f x dx и равен:
f x dx F x C .
Основные правила интегрирования.
1. f x dx f x ,
f x dx f x C ,
33
где С – произвольная постоянная.
2. Af x dx A f x dx , где А – постоянная величина.
3. f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx .
4. Если f x dx F x C и x t – дифференцируемая функция, то
t d t F t C .
В частности,
1
f at b dt F at b C a 0 .
a
Таблица простейших интегралов.
x n 1
n
n -1.
C
1. x dx
n 1
dx
2. ln x C .
x
dx
1
x
1
x
a 0 .
3. 2
arctg
C
arctg
C1
a x2 a
a
a
a
dx
1
xa
a 0 .
ln
C
4. 2
2
x a
2a x a
dx
a 0 .
5. 2
ln x x 2 a C
2
x a
dx
x
x
a 0 .
6. 2
arcsin C - arccos C1
2
a
a
a x
ax
x
a 0, a 1; e x dx e x C .
C
7. a dx
ln a
8. sin x dx cos x C .
9. cos x dx sin x C .
dx
10.
tg x C .
cos 2 x
dx
ctg x C .
11.
sin2 x
dx
x
ln tg C .
12.
sin x
2
dx
x
13.
ln tg C .
cos x
2 4
x 1
5.1. Найти интеграл: 3 dx.
x
Решение.
3
1
1
x 1
2
12
2
2
C.
3 dx x x dx 2 x 2 x 2 C 2 x
x
x
34
5.2. Интегрирование путем подведения
под знак дифференциала и методом подстановки
Интеграл f t t dt можно записать в виде f t d t . Такое
преобразование называется интегрированием путем подведения под знак
дифференциала.
Применяют также интегрирование методом подстановки.
Положим x t . Получим dx t dt . Тогда
(4.1)
f x dx f t t dt .
Применение формулы (4.1) называется интегрированием методом подстановки. По существу, подведение под знак дифференциала есть одна из реализаций метода замены переменной.
e x dx
.
5.2. Найти интеграл:
1 ex
Решение. Первый способ.
e x dx
1 e x dx
d 1 e x
x
2
1
e
C.
1 ex
1 ex
1 ex
Второй способ. Положим 1 + eх = t. Отсюда eх dх = dt. Следовательно,
e x dx
dt
2 t C 2 1 ex C .
x
t
1 e
5.3. Интегрирование по частям
Если u x , x – дифференцируемые функции, то справедлива
формула
u dv uv v du.
5. 3. Найти интегралы: x sin x dx.
Решение. Положим u = х, sin x dx = dv. Отсюда du = dx, v = -cos x. Следовательно,
x sin x dx - cos x cos x dx -x cos x sin x C .
5.4. e x cos x dx.
Решение. e x cos x dx e x d sin x e x sin x sin x dex
e x sin x e x sin x dx e x sin x e x d cos x e x sin x e x cos x e x cos x dx.
Следовательно,
x
x sin x cos x
C.
e cos x dx e
2
35
5.4. Интегрирование рациональных функций
Pm x
, где Pm x ,Qn x – многочлены m-й и n-й степени соотQn x
ветственно, называется рациональной дробью (или функцией). Рациональная
дробь называется правильной, если m < n, и неправильной, если m n.
Если подынтегральная дробь неправильная, нужно путем деления выделить частное и остаток от деления. Например,
x3 2
2x 1
x 1 2
.
2
x x 1
x x 1
Если знаменатель правильной дроби разлагается на множители
x a x 2 px q …, то справедливо следующее разложение:
A
A1
À2
Px
...
2
x a
x a x 2 px q ... x a x a
M x N
M x N1
M x N2
2 1
2 2
...
...
2
x px q x px q
x 2 px q
Найти интегралы:
4x 6
5.5. 2
dx.
x 3x 2
Решение.
4x 6
2x 3
d x 2 3 x 2
dx 2 2
dx 2 2
2 ln x 2 3x 2 C .
2
x 3x 2
x 3x 2
x 3x 2
dx
5.6. 2
.
x x 1
Решение.
1
x
dx
dx
2
2 C.
arctg
2
2
x x 1
3
3
1
3
x
2
2
4
4
3
2
2 x 5x 4 x 5x 3
dx .
5.7.
2 x 2 3x 1
Решение. Выделим частное и остаток от деления:
4
2 x 5x 3 4 x 2 5x 3
4x 3
x3 x 2
d 2 x 2 3x 1
2
dx
x
x
dx
2
2
2 x 2 3x 1
2
x
3
x
1
3
2
2
x
3
x
1
3
2
x
x
ln 2 x 2 3x 1 C .
3
2
x2
dx.
5.8. 2
x 5x 6
Решение. Сначала разложим подынтегральную функцию:
Выражение
36
x2
x2
A
B
Ax 6 Bx 1
,
x 1x 6
x 5 x 6 x 1x 6 x 1 x 6
x 2 Ax 6 Bx 1 A B x 6 A B .
3
4
Отсюда А + В = 1; 6А - В =2. Следовательно, А = , В = . Тогда
7
7
x 2dx 3 dx 4 dx 3 ln x 1 4 ln x 6 C .
2
x 5x 6 7 x 1 7 x 6 7
7
2
5.5. Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида
m
n
sin x cos x dx,
4.2.
где m и n – целые числа, находят следующим образом.
Если m и n – четные положительные числа, применяют формулы понижения степени:
1 cos 2 x
1 cos 2 x
sin 2x
sin2 x
;
cos 2 x
;
sin x cos x
.
2
2
2
5.9. Найти интеграл: cos 2 x sin2 x dx.
1 cos 2 x 1 cos 2 x
1
Решение. cos 2 x sin2 x dx
dx 1 cos 2 2 x dx
2
2
4
1
1 1 cos 4 x
1
1
1
1
1
x
dx x x cos 4 x d 4x x sin 4 x C .
4
4
2
4
8
32
8
32
Если m и n – нечетное положительное число, то интеграл (4.2.) находят,
отделяя от нечетной степени один множитель.
5.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
ax b qp ax b qp
Интеграл вида R x ,
,
dx, где R – рациональная
cx d cx d
функция, а p1, q1, p2, q2, – целые числа, находят с помощью подстановки
ax b n
t , где n – наименьшее общее кратное q1 , q2
cx d
dx
5.10. Найти интеграл:
.
2x 1 4 2x 1
Решение. Сделаем подстановку 2х - 1 = t4. Тогда
dx
2t 3
1
2
dt
2
t
1
dt t 1 2 ln t 1 C
2
4
t t
t 1
2x 1 2x 1
1
2
1
2
2
1 4 2 x 1 2 ln 4 2 x 1 1 C .
37
Интеграл R x , a 2 x 2 dx , где R– рациональная функция, находят под-
становкой х = а sin t, интеграл R x , a 2 x 2 dx – подстановкой х = а tg t, а
a
интеграл R x , x 2 a 2 dx – подстановкой x
.
sint
5.11.Найти интеграл: a2 x 2 dx.
Решение. Положим х = а sin t. Тогда
a 2t a 2
2
2 1 cos 2t
dt
sin 2t C
a 2 x dx a cos t a cos t dt a
2
2
4
2
2
a
x a
x
arcsin sin 2 arcsin C .
2
a 4
a
Mx N
1
dx
Интеграл
находят
подстановкой
x
a
.
t
x a ax 2 bx c
dx
5.12.
.
x x 2 4x 4
1
Решение. Положим x . Тогда
t
dx
x x 2 4x 4
t2
t dt
dt
1
2t 1
1
2x
arccos
C
arccos
C.
2
2
2
1 4
2
x
2
2 2t 1
4
2
t
t
6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
6.1. Непосредственное вычисление определенного интеграла
и подведение под знак дифференциала
Пусть функция f(х) определена и ограничена на отрезке [а, b] и
а=х0<х1<... <хn = b – произвольное разбиение этого отрезка на n элементарных
промежутков. Предположим, что на каждом отрезке [хi-1, xi] выбрана точка i .
Тогда сумма
n f i xi xi 1 f i xi
n
n
i 1
i 1
называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a, b], а ее предел
при max xi max xi xi 1 0 , если он существует и конечен, называется
1i n
1i n
определенным интегралом от функции f(x) в пределах от а до b и обозначается
так:
f i xi .
f x dx maxlim
x 0
a
b
n
i
i 1
Определенный интеграл не должен зависеть от разбиений и выбора точек i .
Если определенный интеграл существует, то функция f(x) называется
38
интегрируемой на отрезке [а, b].
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то существует первообразная от этой функции на отрезке [а, b].
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на
этом отрезке и
f x dx F x a = F(b) - F(a) (формула Ньютона–Лейбница),
b
b
a
где F(x) – какая-нибудь первообразная функции f(х) на отрезке [а, b].
Вычислить определенный интеграл:
6.1. sin 2 x cos x dx.
0
Решение.
sin3 x
sin3 sin3 0
0.
sin x cos x dx sin x d sin x
3 0
3
3
0
2
2
6.2. Замена переменных в определенном интеграле
Пусть выполняются следующие условия:
1. функция f(x) непрерывна на отрезке a;b ;
2. функция х = (t) непрерывна вместе со своей производной t на
отрезке [ , ];
3. a ,b ;
4. функция f t определена и непрерывна на отрезке [ , ],тогда
f x dx f t t dt .
b
b
a
a
С помощью подходящих подстановок вычислить интеграл:
r
6.2. r 2 x 2 dx .
0
Решение. Сделаем замену х = r sin t, dх = r cos t dt. Если x = 0, то t = 0.
Если x = r, то t =
. Поэтому
2
r2 2
r x dx r r r sin t cos t dt r cos t dt 1 cos 2t dt
2 0
a
0
0
b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r2
sin 2t 2 r 2
t
.
2
2 0
4
6.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Если функция ux , x – дифференцируемые в a,b , то
39
ux d x ux x a x dux .
b
b
b
a
a
Найти интеграл:
6.3. x sin 2 x dx.
0
Решение. Обозначим х = u, sin 2 x dx d . Отсюда du =dx,
cos2x
x sin 2 x dx -x
2
0
0
cos 2x
;
2
cos 2 x dx sin 2 x
.
2
2
4 0
2
0
6.4. Приложение определенного интеграла
Площадь S, ограниченная непрерывными кривыми y = f1(x), y = f2(x) вертикалями х = а, х = b (рис. 6.1), где f1(x)
f2 (x) при а х b, вычисляется по формуле
S= f 2 x f1 x dx.
b
a
Рис. 6.1
Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:
y x 2 (рис. 6.2).
6.4. y x ,
Решение. Нетрудно видеть, что графики пересекаются в точках (0; 0) и (1; 1). Поэтому
1
S=
0
1
2 1 1
2 32 x 3
x x dx x .
3 0 3 3 3
3
2
Рис 6.2
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной
трапеции, ограниченной непрерывной кривой у = f(x) 0 и прямыми х = а,
х = b (a<b), y = 0 (рис. 5.3) равен V f 2 x dx.
b
a
40
Рис. 6.3
Рис 6.4
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной
трапеции, ограниченной непрерывной кривой х = g(y) 0 и прямыми у = а,
у = b (а< b), x = 0 (рис. 5.4), равен V g 2 y dy .
b
a
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
7.1. Основные понятия и определения
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение
F(x, у, у', у", ...,) = 0,
(7.1),
которое связывает независимый аргумент х, неизвестную функцию у и ее производные у', у", …, у(n). Порядком дифференциального уравнения называется
максимальный порядок производной, входящей в уравнение.
Решением дифференциального уравнения называется функция у = (х),
которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество. График
этой функции называется интегральной кривой.
Для дифференциального уравнения n-го порядка
у(n) = f(x, у, у', у", ..., у(n–1))
(7.2)
задача Коши формулируется следующим образом: для заданных начальных
условий y0 = y(х0), у'0 = у'(х0), ..., y0(n–1) = у(n–1) (x0) найти решение уравнения
(7.2), удовлетворяющее начальным условиям.
Известен ряд теорем о существовании и единственности решения задачи
Коши. Например, в случае уравнения первого порядка у' = f(x, у) для существования и единственности решения задачи Коши требуется, чтобы в некотоf x , y
рой области D функция f(x, у) и ее частная производная
были непреy
рывны. Тогда через каждую точку M0 (x0, у0) D проходит, и притом единственная, интегральная кривая. Функция
y = x ,C1 ,C2 ,...Cn ,
(7.3)
где C1, С2, ..., Сn – произвольные постоянные, называется общим решением
уравнения (7.1), если выполняются следующие два условия:
1) для любых значений С1; С2, ..., Сn функция (7.3) является решением
дифференциального уравнения (7.1);
41
2) для любой точки
М0(х0, y0, y 0 , y 0 , … y0(n–1)
(7.4)
(n + 1)-мерного пространства существуют такие константы C10 , C20 , …, Cn0 , при
которых график решения (7.3) проходит через точку (7.4), т.е.
y0 x0 ,C10 ,C20 ,...,Cn0 ,
0
0
0
y0 x0 ,C1 ,C2 ,...,Cn ,
...
y n1 n1 x ,C 0 ,C 0 ,...,C 0 .
0
0
1
2
n
Общее решение, записанное в неявном виде, называется общим интегралом. Если в общем решении (7.3) зафиксированы константы С1, С2, ..., Сn,
то (7.3) называется частным решением. Частное решение, представленное в
неявном виде, называется частным интегралом. Решить дифференциальное
уравнение – значит, найти его общее решение или общий интеграл.
Показать, что для данных дифференциальных уравнений указанные соотношения являются интегралами:
7.1. (х – 2у)у' = 2х – у, х2 – ху + у2 = С2.
Решение. Продифференцируем левую и правую части общего интеграла:
(х2 – ху + у2)' = (С2)' 2х – у – ху' + 2уу' = 0.
Отсюда получим исходное дифференциальное уравнение:
(х – 2у)у' = 2х – у.
Составить дифференциальные уравнения заданных семейств кривых (С,
С1, С2 – произвольные постоянные):
7.2. у = С1е2х + С2е–х.
(7.5)
Решение. Продифференцируем данную функцию 2 раза:
у' = 2C1e2x – С2е–x, у" = 4С1e2x + С2е–x.
(7.6)
Исключив из уравнений (7.5), (7.6) коэффициенты C1, C2, получим дифференциальное уравнение
у" – у' – 2y = 0.
7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнения с разделяющимися переменными. Любое дифференциальное уравнение вида
x dx y dy
(7.7)
называется уравнением с разделенными переменными. Уравнение, которое
приводится к виду (7.7), называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
y
7.3. Решить дифференциальное уравнение y .
x
Решение. Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Приведем его к виду (7.7):
dy y
dy dx
.
dx x
y
x
Если равны дифференциалы, то равны неопределенные интегралы
42
dy
dx
. Отсюда получаем ln y ln x ln C – общий интеграл и у = Сх –
y
x
общее решение.
7.4. Решить дифференциальное уравнение (х2 – 1)y' + 2ху2 = 0 и найти
частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 1.
Решение.
x 2 1dy 2 xy 2 dx dy2 22x dx dy2 22x dx 1 ln x 2 1 C .
y
x 1
y
x 1
y
Таким образом, получаем общий интеграл
y ln x 2 1 C 1 .
Подставляем начальное условие у(0) = 1:
1(0 + С) = 1 С = 1.
Отсюда получаем частный интеграл
y ln x 2 1 1 1.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Функция f(x, у) называется однородной функцией m-го измерения, если
f x ,y m f x , y .
Дифференциальное уравнение вида
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0,
(7.8)
где Р(х, у) и Q(x, у) – однородные функции одинакового измерения, называется
однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Уравнение (7.8) можно привести к виду у' = f(x, у), где f(x, у) – однородная функция нулевого измерения.
С помощью замены у = uх, где u – новая неизвестная функция, уравнение
(7.8) сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если указаны начальные условия:
x y
7.5. у' =
.
x y
x y x y
x y
Решение. Так как
,то у' =
является однородным
x y x y
x y
уравнением. Сделав замену у = uх, получим
du
dx
1 u
1
2
du ln x C arctg u ln1 u 2 ln x C .
1 u
x
u 1
2
u
1 u
y
Сделав обратную замену u , получим общий интеграл
x
2
y 1 y
arctg ln 1 ln x C .
x 2 x
Линейные уравнения первого порядка. Линейным дифференциальным
43
уравнением первого порядка называется уравнение вида а1(х)у' + а0(х)у = b(х)
или
y' + p(х)у = q(x).
(7.9)
Для его решения применяется метод вариации произвольных постоянных. Предположим сначала, что правая часть уравнения (7.9) равна нулю. Тогда + p(x) = 0 является уравнением с разделяющимися переменными:
d
d
px
px dx ln px dx C1
dx
(7.10)
Ce p x dx .
Для решения исходного уравнения (7.9) предположим, что С в (7.10)
есть некоторая функция от х, и решение уравнения (7.9) будем искать в виде
y uxe p x dx .
Для решения линейного уравнения (7.9) можно также применить подстановку
y u ,
(7.11)
где u и – функции от х. Тогда уравнение (7.9) примет вид
[ u px u ] + 'u = q(x).
(7.12)
Если потребовать, чтобы выражение в квадратных скобках было равно
нулю, т.е.
u' + р(х)u = 0,
(7.13)
то из (7.13) найдем u(х), затем из (7.12) найдем , а, следовательно, из (7.11)
найдем у.
Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если указаны начальные условия:
2
7.6. у' – у = 2х3.
x
2
Решение. Это линейное уравнение первого порядка (р(х) = , q(x) = 2х3).
x
2
Сначала решаем у' – у = 0:
x
dy 2 y
dy 2dx
ln y 2 ln x y Cx 2 .
dx x
y
x
2
Полагая у = u(х)х и подставляя в исходное уравнение, находим u:
2
u'х2 + 2хu - х2u = 2x3 u' = 2х u = х2 + С.
x
Отсюда получаем общее решение исходного уравнения
у = (х2 + С)х2.
Уравнение Бернулли. Уравнение вида
у' + р(х)у = ynq(x), где n 0, n 1,
называется уравнением Бернулли. Данное уравнение приводится к линейному с помощью подстановки z = у1–n. Можно также непосредственно применять подстановку y = u или метод вариации произвольных постоянных.
44
Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если указаны начальные условия:
2y
7.7. у' +
y 2 x.
x
Решение. Сделав замену у = u(x) (x) = u , получим
2u
2
u u
u x .
x
Сгруппируем второе слагаемое с третьим:
2
2
(7.14)
u u u x .
x
Приравнивая к нулю выражение в квадратных скобках, находим функцию :
2
2
d
2dx
1
0
ln ln x 2 .
x
x
x
Подставив в (7.14), находим u:
2
u
du dx
1
1
2 1
u 2 x 2 ln Cx u
.
2
x
u
x
u
ln Cx
x
Отсюда
1
y u
.
x2 lnCx
Уравнения в полных дифференциалах. Пусть Р = Р(х, у) и Q = Q(x, у)
– непрерывные функции. Уравнение
P dx + Q dy = 0
(7.15)
называется уравнением в полных дифференциалах, если
P Q
.
y x
Уравнение (7.15) тогда и только тогда является уравнением в полных
дифференциалах, когда существует функция U = U(x, у), такая, что
dU = P dx + Q dy, т.е.
U
U
P,
Q.
x
y
Общий интеграл уравнения (7.15) имеет вид
U (х, у) = С.
(7.16)
Решить дифференциальные уравнения. Найти частный интеграл, если
даны начальные условия:
7.8. 2х cos2 у dx + (2у – х2 sin 2y) dy = 0.
Решение. Здесь Р = 2х cos2 у, Q =2у – х2 sin 2y, и мы имеем уравнение в
полных дифференциалах (проверьте). Значит, существует функция U, такая,
что
dU = 2х cos2 у dx + (2у – х2 sin 2y) dy.
45
U
= 2х cos2 у. Отсюда U = 2x cos2 у dx = х2 cos2 у + f(y), где
x
функция f(y) зависит только от у (постоянна по отношению к х).
Дифференцируя найденную функцию по у, получим выражение
U
x 2 sin 2 y f y ,
y
которое, согласно (7.16), можно приравнять к Q:
U
x 2 sin 2 y f y 2 y x 2 sin 2 y .
y
Отсюда f'(y) = 2y. Если уравнение в полных дифференциалах, то последнее выражение не будет зависеть от х (докажите это). Легко находим
f(y) = y2 – С, U = х2 cos2 у + у2 – С.
Окончательно получим:
х2 cos2 у + у2 = С.
Поэтому
7.3. Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка
Решение дифференциального уравнения y(n) = f(x). Для решения уравнения y(n) = f(x) сделаем замену
y(n–1)(x) = z(x),
y(n)(x) = z x .
Тогда
dz
z x f x dx C1 .
z x = f(x),
f x ,
dx
Но z(x) = y(n–1)(x) Следовательно,
y(n–1)(x)= f x dx C1 .
Повторяя эту операцию еще (n – 1) раз, получим у(х).
Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если даны начальные условия:
7.9. у(4) (x) = sin х.
Решение. Проинтегрируем данное уравнение 4 раза:
yx dx sin x dx,
y x cos x C1 ,
yx dx cos x C1 dx ,
y x sin x C1 x C2 ,
x2
y x cos x C1 C2 x C3 ,
2
3
x
x2
y x sin x C1 C 2
C3 x C 4 .
6
2
Уравнения, не содержащие явно функцию у. Уравнение
у" = f(x, у')
46
z x .
сводится к уравнению первого порядка с помощью замены у' = z(х), у" =
Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если даны начальные условия:
7.10. х2у" + ху' = 1.
Решение. Уравнение не содержит явно функцию у. Сделав замену
у' = z(х), у" = z (х), получим
х2 z + хz = 1.
(7.17)
Уравнение второго порядка перешло в линейное уравнение первого порядка, которое можно решить с помощью замены z = u . Подставив это выражение в (7.17), получим
x 2 u xu x 1 .
(7.18)
Приравниваем выражение в скобках к нулю:
x ' + = 0,
и находим :
1
d
dx
1
ln ln .
x
x
x
Подставляя его в (7.18), находим u:
dx
хu' = 1 du =
u ln C1 x .
x
Отсюда
1
z ln C1 x
x
и, следовательно,
1
y ln C1 x .
x
Находим у:
1
1
y ln C1 x dx ln C1 x d ln C1 x ln2 C1 x C2 .
x
2
Уравнения, не содержащие явно х. Уравнение
у" = f(y, у')
с помощью замены
d 2 y dp dy
dy
pp
p y ,
dx 2 dy dx
dx
приводится к уравнению первого порядка относительно функции р(у):
1
p f y , p .
p
Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если даны начальные условия:
7.11. у" + 2уу' = 0, у(0) = 2, у'(0) = –4.
Решение. После замены у' = р, y" = р'р получим уравнение первого по-
47
рядка относительно р(у):
рр" + 2ур = 0, или р' = –2y.
Отсюда находим р:
dp
2 y , dp 2 y dy ,
dy
p y 2 C1 .
Следовательно,
y y 2 C1 .
Подставив в (7.19) начальные данные, получим:
–4 = –4 + C1 С1 = 0.
Отсюда
dy
dx ,
y y 2 ,
y2
1
1
.
x C2 y
x C2
y
Подставляем начальные данные:
1
1
2
C2 .
0 C2
2
Таким образом, частное решение имеет вид
2
.
y
2x 1
(7.19)
7.4. Линейные дифференциальные уравнения
n-го порядка с постоянными коэффициентами
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется
уравнение вида
y n p1 xy n1 p2 xy n2 ... pn1 xy pn xy qx ,
где p1(x), р2(х), ..., рn(х), q(x) – непрерывные функции.
При q(x) = 0 оно называется однородным, а при q(x) 0 – неоднородным.
Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид
yîáù Ci i x ,
n
i 1
где i x , i = 1, 2, ..., n – линейно независимая система решений.
Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид
yîáù Ci i x y ,
n
i 1
где i x , i = l, 2, ..., n – линейно независимая система решений, соответствующая линейному однородному уравнению; y – частное решение неоднородного уравнения.
48
Линейно независимая система решений 1 , 2 , ..., n линейного однородного уравнения называется фундаментальной системой решений.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Рассмотрим уравнение вида
(7.20)
n p1 n1 p2 n2 ... pn1 pn 0 ,
где р1; р2, ..., рn – некоторые постоянные.
Решение (7.20) будем искать в виде e x . Получим
n p1n1 p2n2 ... pn1 pn ex 0 ,
или
(7.21)
Pn n p1n1 p2 n2 ... pn1 pn 0
Уравнение (7.21) называется характеристическим. Рассмотрим различные случаи.
1. Если корни (7.21) действительны и различны, то
1 e x , 2 e x , …, n e x .
– линейно независимые решения уравнения (7.20). Следовательно, общее решение уравнения (7.20) запишется в виде
1
n
2
n
îáù Ci e x .
i
i 1
2. Если среди корней характеристического уравнения имеется пара комплексных корней: 1 h i , 2 h i , где i = 1 , тогда им соответствуют
два комплексных решения
~1 e x e hx cos x i sinx,
~2 e x e hx cos x i sinx.
1
2
Из них можно составить два линейно независимых действительных решения:
~ ~2
~ ~
1 1
e hx cos x ,
2 1 2 e hx sinx .
2
2
3. Если среди корней характеристического уравнения имеется корень
a кратности k > 1, тогда
(7.22)
s x s e ax , s = 0, 1, …, k–1,
являются решениями уравнения (7.20). Причем, если s > k, то такие функции
не будут решениями. Очевидно, что (7.22) – линейно независимые решения.
4. Если а = h ± i – комплексные корни кратности к, то по аналогии с
пунктом 2 получим линейно независимые действительные решения:
xsehx cos x , xsehx sin x :, s = 0, 1, ..., k – 1.
Решить дифференциальные уравнения:
7.12. . 2 2 0
Решение. Решая характеристическое уравнение 3 22 2 0 , получим 1 1 , 2 1 , 3 2 . Тогда общее решение имеет вид
îáù C1e x C2 å x C3e 2 x .
7.13. 4 6 4 0 .
49
Решение. Характеристическое уравнение 3 42 6 4 0 имеет
корни 1 2 , 2 1 i , 3 1 i . Общее решение имеет вид
îáù C1e 2 x e x C2 cos x C3 sin x .
7.14. 5 8 4 0 .
Решение. Так как корни характеристического уравнения 1 1 , 2 2 ,
3 2 , то общее решение имеет вид
îáù C1e x C2 å2 x C3 xe 2 x .
7.15. 4 8 8 4 0 .
Решение. Раскладывая характеристический многочлен на множители
2
4 43 82 8 4 2 2 2 0 ,
получим корни характеристического уравнения
1 2 1 i ,
3 4 1 i .
Следовательно, общее решение
îáù e x C1 cos x C2 x cos x C3 sin x C4 x sin x .
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
yn p1 y n1 p2 yn2 ... pn1 y pn y qx ,
(7.23)
где р1, р2, …, pn – некоторые постоянные.
Его частное решение можно получить методом вариации произвольных
постоянных.
Укажем способы нахождения частного решения в случае, когда правая
часть (7.23) имеет специальный вид.
1. Если q(x) = ex Pm x , где Pm x – многочлен m-й степени, то частное
решение можно искать в виде
y÷àñò x s ex Qm x ,
где Qm(x) – многочлен m-й степени с неопределенными коэффициентами; s = 0,
если не является корнем характеристического уравнения; если же является корнем характеристического уравнения, то s равно кратности этого корня.
~
~
2. Если q(x) = ex Pm1 x cos x Pm 2 x sin x , где Pm1 x , Pm2 x — многочлены степени m1 и m2, тогда частное решение можно искать в виде
~
y÷àñò x s e x Qm x cos x Qm x sin x ,
где m = max {m1, m2}; s = 0, если i не является корнем характеристического уравнения; если i – корень характеристического уравнения, то s –
его кратность.
Решить дифференциальные уравнения:
7.16. у" + 3у' = 18х + 9.
Решение. Корни характеристического уравнения 1 0 , 2 3 . Так как
= 0 – корень характеристического уравнения кратности один, то частное
решение будем искать в виде
50
y÷àñò x Ax B .
Подставим его в уравнение
2 A 32 Ax B 18 x 9 .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
6 A 18 ,
2 A 3B 9.
Отсюда А = 3, В = 1 и
yîáù C1e 3 x C2 3x 2 x .
y÷àñò 3x 2 x ,
7.17. y" + 2у' + у = cos х.
Решение. Частное решение будем искать в виде
y÷àñò x 0 e0x Acos x B sin x .
Подставив его в уравнение, получим
A 0,
A 2 B Acos x cos x ,
2 B 1,
1
13 2 A B sin x 0
2 A 0
B 2 .
Найдя общее решение однородного уравнения, получим решение исходного уравнения:
1
yîáù C1e x C2 xe x sin x .
2
8. РЯДЫ
8.1. Понятие ряда и его сходимости. Свойства сходящихся рядов
Числовой ряд
a1 a2 ... an ... an
(8.1)
n 1
называется сходящимся, если существует конечный предел lim S n S , где
n
Sn = a1 + a2 + ... + an – n-я частичная сумма ряда, S – сумма ряда.
Если последовательность {Sn} не имеет конечного предела, то ряд a n
n 1
называется расходящимся.
Общие признаки сходимости ряда:
1. Критерий Коши сходимости числового ряда. Для того чтобы ряд a n
n 1
сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 нашелся номер N,
такой, что для любых m > n > N выполнялось условие
an an1 ... am .
2. Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд a n сходится, то
n 1
его общий член стремится к нулю, т.е. lim a n 0 .
n
51
Свойства сходящихся рядов:
1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание, добавление или изменение конечного числа его членов.
n 1
n 1
2. Пусть даны два сходящихся ряда a n S a , bn S b , тогда ряд
a
b
a n bn сходится и an bn S S .
n 1
n 1
3. Пусть дан сходящийся ряд a n S a и постоянная С, тогда ряд
n 1
n 1
n 1
a
Can сходится и Can CS .
Найти сумму следующего ряда:
1 1 1
1
8.1. 1 ... n ...
2 4 8
2
Указание. Члены ряда являются членами геометрической прогрессии с
1
первым членом b1 = 1 и знаменателем q = .
2
17.2. Признаки сходимости положительных рядов
Ряд a n , в котором все аn 0, называется положительным.
n 1
Общий признак сходимости положительных рядов. Для того чтобы по
ложительный ряд a n , an 0, сходился, необходимо и достаточно, чтобы поn 1
следовательность его частичных сумм была ограничена сверху.
Признаки сравнения положительных рядов. Пусть даны два положи
n 1
n 1
тельных ряда a n и bn . Тогда:
1) если аn bn при всех n, то из сходимости ряда bn следует сходиn 1
n 1
n 1
n 1
мость ряда a n , а из расходимости ряда a n следует расходимость ряда bn
2) если существует lim an bn , не равный нулю и конечный, то ряды bn
n
n 1
и a n сходятся и расходятся одновременно;
n 1
3) если
a n 1 bn 1
при всех n, то из сходимости ряда bn вытекает схо
n 1
an
bn
n 1
n 1
димость ряда a n , а из расходимости ряда a n вытекает расходимость ряда
bn .
n 1
52
Признак Коши. Пусть для положительного ряда a n существует предел
n 1
n a q . Тогда:
lim
n
n
а) если q< 1, то ряд a n сходится;
n 1
б) если q > 1, то ряд a n расходится.
n 1
Примечание. Если q = 1, то теорема не дает ответа на вопрос о сходимости.
Признак Даламбера. Пусть для положительного ряда a n существует
n 1
предел lim a n 1 an q . Тогда справедливы следующие утверждения:
n
а) если q < 1, то ряд a n сходится;
n 1
б) если q > 1, то ряд a n расходится.
n 1
Примечание. Как и в случае признака Коши, теорема не дает ответа на
вопрос о сходимости, если q = 1.
Интегральный признак Коши. Пусть члены ряда a n положительны и
n 1
убывают, т.е. а1 > а2 > ... > аn > ... > 0, и пусть f(x) – непрерывная положительная убывающая функция, определенная при х > 0, такая, что
f(1) = a1, f(2) = a2, … f(n) = an,
1
n 1
тогда интеграл f x dx и ряд a n сходятся или расходятся одновременно.
Используя признаки Даламбера или Коши, исследовать сходимость следующих рядов:
1 2 2 32
n2
8.2. 2 3 ... n ...
2 2
2
2
Решение. По признаку Даламбера
2
2
an1
n 1 2 n 1
n 1 1
lim n1 2 lim
1.
lim
2
n a
n
n
2
n
2
n
2
n
Следовательно, ряды сходятся.
3 2 33 3 4
3n
8.3. 3 2 3 4 ... n ...
2
3
4
n
Решение. По признаку Коши
3n
3
n a
n
lim 0 1 .
lim
lim
n
n
n
n
n n
n
Следовательно, ряд расходится.
Пользуясь интегральным признаком, исследовать сходимость следующих рядов:
53
1
1
1
... ...
2
3
n
Решение. Рассмотрим несобственный интеграл
x1 b
b
ïðè α 1,
1
1
1
dx
lim
1
dx lim
b 1 x
b
1 x
b
lnx 1 ïðè 1
1
1
1 ïðè 1,
b
1
ïðè 0 ,
lim
b 1 1
ïðè 1,
lim ln b
ïðè 1.
ïðè 1
b
1
Таким образом, интеграл dx сходится при > 1 и расходится при
1 x
1
1. Следовательно, ряд при > 1 сходится и при 1 расходится.
n 1 n
8.4. 1
8.3. Знакопеременные ряды.
Абсолютная и условная сходимость
Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как
положительных, так и отрицательных членов.
Ряд a n называется абсолютно сходящимся, если сходится абсолютный
n 1
n 1
n 1
ряд a n . Сходимость ряда a n влечет за собой сходимость ряда a n .
n 1
Ряд a n называется условно сходящимся, если абсолютный ряд a n
n 1
n 1
расходится, а исходный ряд a n сходится.
n 1
Числовой ряд a n называется знакочередующимся, если для любого n
n 1
члены ряда аn и аn+1 имеют разные знаки. Без ограничения общности можно
считать, что знакочередующийся ряд имеет вид
1 cn , где сn>0.
n 1
n 1
Признак Лейбница. Пусть для знакочередующегося ряда 1 cn вы
n 1
полнены условия:
1) последовательность {сn} является невозрастающей:
c1 c2> ... > сn > ... > 0.
54
n 1
2) lim cn 0 , тогда ряд 1 cn сходится.
n
n 1
n 1
8.4. Функциональные ряды
Совокупность В тех значений х, при которых функциональный ряд
u1 x u 2 x ... u n x ... u n x
n 1
сходится, называют областью сходимости ряда, а функцию S(x) =
lim S n x , где Sn(x) = u1(x) + u2(x) + ... + un(x), x В, – его суммой.
n
Равномерная сходимость. Последовательность функций {fn(х)} сходится равномерно к f(х) на множестве Е, если для любого > 0 можно найти такое N, зависящее только от , что для любого n > N и для всех х Е выполняется неравенство f n x f x .
Ряд u n x сходится равномерно на множестве Е к сумме S(x), если по
n 1
следовательность его частичных сумм Sn(x) сходится равномерно на множестве Е к функции S(x).
Критерий Коши равномерной сходимости. Для того чтобы ряд u n x
n 1
сходился равномерно на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для
любого > 0 существовал такой номер N, что при n > N и любом р для всех
х Е выполнялось неравенство
u n1 x ... u n p x .
Признак Вейерштрасса. Если члены ряда u n x удовлетворяют нера
n 1
венствам |un(x)| < an, где х Е, а аn – числа (не зависящие от х), и если ряд a n
n 1
сходится, то ряд u n x сходится на множестве Е равномерно.
n 1
Свойства равномерно сходящихся рядов:
1. Если функции un(х) определены и непрерывны на множестве Е и ряд
u n x сходится равномерно к сумме S(x) на множестве Е, то эта сумма будет
n 1
непрерывна на множестве Е.
2. Если функции un(х) определены и непрерывны на [а, b] и ряд u n x
n 1
сходится равномерно к сумме S(x) на (а, b), то его можно почленно интегрировать на [а, b]:
S x dx un x dx .
b
b
a
n 1 a
3. Пусть функции un(х) определены на [а, b] и имеют непрерывные про-
55
изводные u'n (х) на (а, b). Если ряд u n x сходится, а ряд u n x сходится
n 1
n 1
равномерно на отрезке a; b , то сумма S(x) ряда u n x имеет на (а, b) произ
n 1
водную, причем
S'(x) = u n x .
n 1
8.5. Определить при |x| < 1 сумму ряда 1 + x + x2 + ... + xn + ...
и исследовать его на равномерную сходимость:
а) на отрезке [0, r], где 0 < r < 1;
б) на интервале (–1, 1).
Решение. Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии, по1
лучим (при x < 1): S(x) =
. Следовательно,
1 x
1
1 xn
xn
(8.2)
S x S n x
1 x 1 x 1 x
а) При x r 1
xn
rn
1 x 1 r
(8.3)
rn
0 , то 0 N такое, что при
Так как при 0 < r < 1 имеем lim
n 1 r
rn
n>N
< . Тогда, учитывая (8.2), (8.3), получаем S x S n x для всех
1 r
n > N и всех х [0; r]. Следовательно, ряд сходится равномерно на любом отрезке [0, r], где 0 < r < 1.
б) Интервал (–1, 1) содержит точки, сколь угодно близкие к точке х = 1.
xn
Так как |S(x) – Sn(x)| =
при х 1, то, как велико бы ни было n,
1 x
найдутся точки х (–1, 1), для которых разность |S(x) – Sn(x)| больше любого,
сколь угодно большого числа. Следовательно, нельзя подобрать такое N, чтобы при n > N неравенство |S(x) – Sn(x)| < имело место во всех точках интервала (–1, 1), а это и означает, что сходимость ряда в интервале (–1, 1) не является равномерной.
8.5. Степенные ряды
Ряд вида
c0 + c1(x – a) + ... + cn(x – a)n + ... = cn x a . (8.4)
n 0
где сn (n = 0, 1, 2, ...) – постоянные, называется степенным.
Данный ряд сводится к ряду
56
n
c0 + c1x+ ... + сnхn + ... = c n x n
n 0
с помощью линейной замены переменной.
Теорема Абеля. Если степенной ряд cn x n сходится при некотором
n 0
значении х0 0, то он сходится абсолютно при всяком значении x x0 .
Если ряд расходится при некотором значении х0 0, то он расходится
при всяком x x0 .
Существует такое число R (оно может быть и 0, и ), что:
а) ряд абсолютно сходится при x < R (если R 0);
б) ряд расходится при x > R (если R < ).
Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал
(–R, R) – интервалом сходимости.
На концах интервала сходимости (т.е. при х = R и х = –R) ряд может как
расходиться, так и сходиться.
Радиус сходимости степенного ряда определяется по формулам
a
1
R lim n .
,
R lim
n a
n n a
n 1
n
Свойства степенных рядов:
1. Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке [-r, r], где r <
R, R – его радиус сходимости.
2. Сумма степенного ряда есть непрерывная на отрезке [–r, r] функция.
3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке [0,
х], –R < х < R, и почленно дифференцировать в интервале (–R, R).
Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его
сходимость на границах интервала:
x2 x3
xn
p 0 при |х| < 1 и расходится при
8.6. 1 x p p ... p ...,
2
3
n
|х| > 1.
Исследуем ряд на границах интервала сходимости. Пусть х = –1, тогда
ряд имеет вид
n
1
1
1
1 1 p p ... p ...
2
3
n
Данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно при р > 1 и условно при 0 <р 1.
1
1
1
При х = 1 ряд имеет вид 2 p p ... p ... и сходится при р > 1 и
2
3
n
расходится при 0 <р 1
57
8.6. Ряды Тейлора и Маклорена.
Применение рядов к приближенным вычислениям
Если функция f(x) имеет производные любого порядка в окрестности
точки х = а, то для функции f(x) получим бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:
n
n
f a
x a 2 ... f a x a n ... f a x a n
f x f a f a x a
n 0
2!
n!
n!
k
f
a x a k этого ряда можно предОстаточный член Rn(х) = f(a) –
k 1
k!
ставить в следующем виде (форма Лагранжа):
n 1
x a
n 1
a x a
, где 0 < < 1.
Rn x f
n 1!
Ряд Тейлора сходится к функции f(x) тогда и только тогда, когда
n
f
a x a n не представляет
R
x
0
R
x
0
.
Если
же
,
то
ряд
lim
lim
n
n
n
n
n 1
n!
данную функцию, хотя и может сходиться (к другой функции). Если все производные ограничены ( f k x К, k = 1, 2, ...), то lim Rn x 0 .
n
Положим а = 0, тогда получим частный случай ряда Тейлора, который
называют рядом Маклорена:
f 0 2
f n 0 n
f x f 0 f 0x
x ...
x ...
2!
n!
Разложение в ряд Маклорена элементарных функций:
x x2
xn
х
... ... x ;
1) е = 1 +
1! 2!
n!
3
5
2n
1 x
x
n x
... x ;
2) sin x ... 1
2n!
x! 3! 5!
2n
x2 x4
n x
... 1
... x ;
3) cos x 1
2n!
2! 4!
n
x2 x3
n 1 x
... 1
... 1 x 1 ;
4) ln1 x x
2
3
n
m
mm 1 2
mm 1 m n 1 n
m
5) x 1 1 x
x ...
x ... 1 x x .
1!
2!
n!
Пользуясь разложением в ряд элементарных функций, написать разложения в степенной ряд следующих функций:
1 x
8.7. ln
.
1 x
58
Решение.
1 x
x 2 x3 x 4 x5
ln
ln1 x ln1 x x ...
1 x
2
3
4
5
2
3
4
5
3
5
x
x
x
x
2x
2x
x ... 2 x
...
2
3
4
5
3
5
1
8.8. Разложить функцию
в ряд по степеням х и почленным инте1 x2
грированием данного ряда написать ряд для arcsin х.
Решение. Используя биномиальный ряд, напишем разложение для
1
функции
:
1 x2
1
1
1
1 3
1 3 4 2n 1 2 n
2 2
1 x 1 x 2 x 4 ...
x ...
2
2
2 4
2 4 6 2n
1 x
Тогда
x
1
1 x3 1 3 x5
1 3 5 2n 1 x 2 n1
arcsin x
dx x
...
...
2 3 24 5
2 4 6 2n 2n 1
0
1 x2
ЗАДАНИЕ 1 ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
1. Вычислить предел (табл. 1).
2. Исследовать функцию (табл. 2) и построить ее график.
3. Найти частные производные второго порядка функции многих переменных (табл. 3).
4. Найти экстремумы функций двух переменных (табл. 4).
5. Найти параметры линейной зависимости (табл. 5) методом наименьших квадратов.
59
Вариант
1
Предел
2n 350
lim
48
2
n 2n 2 n 3
2
2
1
lim
n
n
3
2
1
lim
n
3n
Вариант
16
n
4
17
n 3
5
6
7
8
n
lim
n n 3
4 n 3n
lim
n
n
n 4 3
1
3x 2
2x
lim
2
x 1 x
3
2x 3
lim
x
x 2x 3
2n 560
lim
57
3
n 3n 2 n 3
9
6
1
lim
n
n
10
3
1
lim
n
4n
19
lim 1 4 x
20
lim
x 0
12
13
14
15
lim
x
x arctg x
2x 3
ln x
lim
x 0 ctg x
lim
x 0
tg x sin x
x sin x
23
lim
x 0
x arctg x
x3
24
lim
x 0
1 cos 2 x
x sin x
25
lim
x 0
sin 4 x
x 1 1
n2
26
27
28
29
x 3x x
2x 2
lim
x 1
ln x
8
x 0
22
n
11
1 x
x
n
n
lim
n n 2
2 n 5n
lim
n
n
n 2 5
1
x2
3x
lim
2
x 1 2 x
4
5x 4
4
30
60
x 1
x 1
18
21
6
lim
x 1 3
ex 1
lim
x 0 ln1 2 x
n
4
Таблица 1
Предел
x
lim
x 0
1 2x 1
sin 3x
3 2x 9
1 cos 4 x
lim
x 0
x2
ln 2 x
lim
x 0 ctg x
lim
x 0
ln x
1 x2
93 x
lim
x 0 ln1 3 x
lim
x 1
Вариант
1
Функция
x3
y
x 22
yx e
3
y x 33 x 2
4
5
6
7
8
9
16
1
x
2
2
Вариант
17
18
3
1
y x ln e
2
3x
x3 x
y 2
x 2x 3
19
20
21
x 1
22
x2 1
x
y 3 3 ln
x4
3
x
y 2
x 2x 3
23
24
x
10
e2
y 2
x
25
11
y 3 1 x3
26
12
13
14
15
y x 1e x2
x3 2
y
x
2
y 2 x ln e
x
3
2
x 3x 12 x 8
y
3x 2
e x 3
y
x3
3
y 3 x2 ex
y3
Таблица 2
Функция
x
y 2 ln
1
x2
2 x 3 5 x 2 14 x 6
y
4x2
x
1
y ln e
2
x
x2
y
x 12
x4
y x4
e
x
y
3
x 22
27
28
29
30
61
y x 13 x 2
x
1
y ln e 3
3
2x
x3 1
y 2
x 2x 2
1
y 2x
e 2x
x2 3
y
x2 1
x
3
y ln e 2
5
x
x
y3
1 x2
e x2
y
x2
Вариант
Функция
x2
u
y 2z
Вариант
2
u xe yz
17
3
u x 2 sin y z
18
1
4
5
16
u lnx y 2 z
2
u
19
x y2
2z
20
6
u xye z
21
7
u xz tg y
22
8
u x yz
23
9
2x2 y
u
zx
24
10
u yze
11
u xy cos z
12
x2
y2
xz
13
u
14
u x ze
15
u x arctg yz
2
y
2
x
y 2 2z
u y 2 xe z
u z sin x cos y
x y
u
lnz x
x2 z
u
y2
u
u ze x y
x
u
sin yz
2
u xy z
26
27
u xy ctg z
28
u xy ln y z
29
30
62
u y zx
x2 2 y
u
z2
u zye x
25
u x ln y z
Таблица 3
Функция
x2 y
u 2
y z
u ye x z
Таблица 4
Функция
Вариант
Функция
Вариант
1
z 2 x 3 6 xy 2 30 x 24 y
16
z e
2
z x3 y 3
17
z e 2 x
3
z 6 x 2 y 2 y 3 24 x 30 y
18
z e
4
z x 3 8 y 3 6 xy 1
19
z e 2 y
5
z x 3 xy 2 3x 2 y 2 1
20
1
z x 2 8 xy y 3 13 x 12 y
2
21
z 2 y x y 2 3x 8 y
22
z x 2 4x y 2x 5 y
x
2
x y
x y
x y
x y
2
2
2
y
2
2
2
2
2
7
1
z x2 y y 3 2x 2 3y 2 1
3
3
z x 6 xy 3 y 2 18 x 18 y
8
z x2 y y3 x2 3y 2 3
23
9
10
11
12
z 3x 2 6 xy y 3 12 x 12 y
z 2 x 3 xy 2 5x 2 y 2
z x2 y 2 y3 x2 5y 2
z 2 x 3 y 2 6 xy 12 x
24
25
26
27
13
z 8x 3 y 3 12 xy 1
28
14
z 2 x 3 12 x 2 y 16 y 3 9 x 2
29
z e 5x 2 y 2
z 2 x 2 3xy 2 y 3 5x
z x 3 5xy 5 y 2 7 x 15 y
z 2 x 2 5xy 2 y 3 3x 4 y
z 3x 2 10 xy 6 y 3 2 x 2 y 1
7
z 3x 3 7 xy y 2 60 x 2
2
2
z 3x 2 y x 0 ,5 y 2 56 x
15
z 8x 3 6 xy 2 y 3 9 y 2
30
z 2 x 3 3x y 18 x 1,5 y
6
63
x
4
Таблица 5
Вариант
Вариант
Функция
xi
1,0
1,5
2,0
3,0
3,2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Функция
xi
2,1
2,3
3,1
3,8
4,5
yi
-9,3
-7,2
-13,4
-16,1
-18,9
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
1,1
-0,8
10,1
0,9
0,1
1,0
3,2
1,6
1,1
1,3
2,2
0,1
1,3
3,4
1,9
-3,4
-1,1
2,4
-9,1
23,7
4,5
8,6
-3,1
13,6
1,0
2,8
5,1
-23,7
2,1
1,2
11,5
0,8
0,3
1,1
4,1
1,4
1,3
1,4
3,1
-0,4
2,4
4,7
2,4
-3,8
-0,7
2,7
-7,5
19,4
5,1
10,0
-1,5
8,0
3,7
6,8
5,5
-25,4
3,4
3,8
13,6
0,6
0,5
1,2
5,3
1,1
1,7
1,5
4,5
-1,2
3,5
5,5
3,7
-4,7
-0,5
2,9
-2,1
4,8
5,2
10,3
-0,7
5,2
5,8
10,0
5,7
-26,2
4,3
5,4
16,2
0,3
1,2
1,4
6,7
0,9
1,9
1,6
5,3
-1,6
4,1
6,5
4,3
-5,1
-0,1
3,4
-0,6
0,7
6,1
12,8
1,2
-1,5
6,1
10,4
6,2
-28,3
4,9
6,7
17,5
0,2
2,1
1,6
7,3
0,7
2,2
1,7
5,7
-1,8
5,5
7,8
6,1
-6,4
1,2
4,9
2,0
-6,3
6,4
13,0
2,1
-4,6
7,2
12,1
8,1
-36,3
16
yi
8,1
9,0
11,2
13,8
14,7
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
0,3
1,4
0,5
6,3
1,2
-3,1
0,7
7,0
-3,4
-13,9
2,1
11,1
0,7
1,7
-1,1
2,1
-1,2
5,7
2,1
3,4
1,7
0,1
-0,1
-7,1
-1,2
8,7
3,2
10,5
0,5
0,7
0,8
7,0
1,7
-5,6
0,9
8,0
-3,2
-12,9
2,5
12,8
0,9
1,1
-0,5
3,4
-0,7
5,1
3,0
8,1
1,9
-0,6
0,2
-6,2
-1,1
8,1
3,8
12,3
0,8
-0,9
1,2
9,0
3,3
-17,1
1,3
9,0
-3,1
-12,2
3,0
13,9
1,2
0,8
0,2
5,1
0,3
0,1
3,2
9,2
2,3
-2,0
0,5
-4,3
-0,9
7,8
4,7
14,9
1,1
-2,3
1,3
9,3
4,1
-23,1
1,6
10,0
-2,5
-9,1
3,1
14,5
1,3
0,1
0,4
6,3
1,5
0,2
3,9
12,6
2,5
-2,7
0,9
-2,7
-0,5
6,4
5,1
16,4
2,3
-8,8
4,0
16,8
4,3
-24,8
2,3
12,0
-1,5
-4,2
3,3
15,1
1,7
-0,5
0,7
6,9
1,7
-0,7
4,1
13,3
3,5
-5,3
1,2
-0,9
0,1
4,5
5,4
16,9
64
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
ЗАДАНИЕ 2 ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
1. Найти неопределенный интеграл (табл.1).
2. Вычислить определенный интеграл (табл. 2).
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (табл. 3).
4. Вычислить несобственный интеграл (табл. 4).
5. Исследовать сходимость несобственного интеграла.
6. Решить дифференциальное уравнение первого порядка (табл. 6).
7. Решить линейное дифференциальное уравнение (табл. 7).
8. Исследовать сходимость ряда (табл. 8).
9. Найти промежуток сходимости степенного ряда (табл. 9).
65
Вариант
Интеграл
Вариант
1
arctg x
dx
1 x2
4
5
sin x cos x dx
16
2
arctg 2 x
dx
1 x2
3
4
sin x cos x dx
17
dx
1 x2
2
4
cos x sin x dx
3
4
5
6
arc sin x 1
18
dx
arcsin x
1 x2
sin x cos 3x dx
2
arc cos 2 x
19
dx
1 x
cos 3x cos x dx
2
20
e x dx
3 e2x
sin 5 x sin x dx
7
2e
x 1 dx
8
21
22
x3
dx
8
x 5
3 x
x e dx
23
x3
dx
8
x 5
sin ln x dx
x
x2 x 1
dx
x ln x
x dx
1 3x 2 2 x 4
66
1 x2
ln x dx
3
x
3 2
3
1 x x dx
2 2 x
x e dx
e x dx
Таблица 1
Интеграл
dx
2 4
sin x tg x
2 x 2 41x - 91
dx
x 1x 3x 4
dx
cos 2 x 4 tg x
x 3 - 1 dx
4x3 x
tg x dx
cos x
3
x x1
dx
xx 2 1
cos x dx
2 cos 2 x
2
ln x dx
x dx
Вариант
9
10
11
Интеграл
dx
x ln2 x
2x 8
dx
1 x x2
ln x
dx
x2
3x 6
dx
2
x 4x 5
ln2 x ln x 1
dx
x
3x 1 dx
12
13
14
15
Вариант
24
5x 2 2 x 1
3 x dx
1 3x
x dx
Окончание таблицы 1
Интеграл
8x
27 2
cos ln x dx
3
3
25
dx
x1 x
2
x sin 2 x dx
26
dx
x1 x
3
x cos 3x dx
27
2x 2 x 2
2 x dx
1 4x
dx
x 1x 2x 3
1 tg 3 x
dx
cos 2 x
5x 3 2
dx
3
x 5x 2 4 x
3 ctg 2 x
dx
sin 2 x
dx
2
xx 1
x 2 dx
28
29
x dx
1 x
2 2
arctg x
dx
x2
x dx
x2 5
x arctg x dx
x3
dx
x 4
e cos x dx
2
x
30
67
4 3
6
5 x x dx
x
3 sin x dx
Вариант
Интеграл
Таблица 2
Интеграл
Вариант
1
1
2 x
x e dx
1
arcsin x dx
16
0
0
1
e
2
x ln x dx
2
arctg x dx
17
0
1
1
1
x
xe dx
3
x
xe dx
18
0
0
2
2 x
x e dx
4
ln x dx
2
5
20
1
21
2
2
sin xcos x dx
x
arcsin dx
2
0
1
22
4
sin x cos 3x dx
0
arctg x
dx
2
0 1 x
1
e x dx
2x
01 e
1
3 x dx
x
01 9
1
2 x dx
x
01 2
1
2
xcos x dx
8
2
2
3
sin x cos x dx
0
1
23
0
9
2
2
x cos x dx
24
0
10
x sin x dx
25
0
11
2
x sin x dx
26
0
12
x dx
sin2 x
4
13
2
0
x dx
2
0 cos x
4
1
0
15
3
29
3
3x
xe dx
30
0
68
2
28
2x
xe dx
1
4
tg x dx
27
2
14
1 ex
0
e
7
0
2
x ln x dx
6
e x dx
19
0
e
1
2
4
cos x dx
sin 2 x
arcsin x
dx
2
1
x
2
1
arctg x
dx
2
1
x
2
2
Вариант
1
Вариант
16
9
10
Уравнения линий
y e x , y e-x , x 1
x3
2
yx , y
3
2
yx , y x
2
y 2 x 1, x - y - 1 0
y x 2 1, y x 1
y x 2 4x , y x 4
y 2 x 1, y x 2 2 x 1
1
x2
y
, y
1 x2
2
2
2
y 4x , x 4 y
y 1 x2
11
12
y e x , y e-x , x 2
y x2 , y x5
26
27
13
y x2 , y x
28
14
15
y x 1, y x 2 2 x 1
y x 2 3x , y x 2 3x
29
30
2
3
4
5
6
7
8
17
18
19
20
21
22
23
24
25
69
Таблица 3
Уравнения линий
y x 2 2x
x2 y2
1
16 4
y 2 x 3 , y 8, x 0
y 2 x2 , y3 x2
y 3 x 2 , y 1, x 8
y x 1, y x 2 2 x 1
y x 2 3, y 2 x
1
x2
y
, y
2 x2
24
2
2
y 3x , x 3 y
y x 2 2x
y x 2 x 2, x 2
y e x , y e -x , x 2
x2 y2
1
9
4
y 2 x3 , x 3
y ln x , x e, y 0
Вариант
Интеграл
1
x dx
1
1
3
0
1
4
3
0
2
4
0
2
3
5
0
2
6
3
1
1
18
1 x4
x dx
19
4 x2
x 2 dx
20
8 x3
x 3 dx
21
22
1
13
0
1
14
0
1
15
0
1
x
e dx
3
4
1 e
x 2
2 x
xe dx
24
0
x 4 dx
25
x
0
5
x 2 dx
26
1
2x
e dx
27
e
2x
e
3x
28
0
29
1-x 4
x 2 dx
0
1-x 6
3
6
3
6
5
3 x
xe dx
0
70
2
3
x 5 dx
x
30
3
2
3x
e dx
0
1 - x2
x dx
4
5
x
0
arcsin x
dx
1 x2
0
1
arcsin x dx
x
0
1
12
23
e4x 1
0
arctg x
dx
2
0 1 x
arctg 2 x
dx
1 x2
0
arctg 3 x
dx
2
0 1 x
arctg x
dx
1 x2
0
x 3 dx
0
e2x 1
e 2 x dx
0
11
0
e 1
e x dx
1
2 x
x e dx
17
3
3x
0
10
ex 1
e 3 x dx
0
9
0
9 x2
e x dx
0
8
1 x
x 2 dx
1 x
x 3 dx
x
xe dx
16
16 x 4
x dx
0
7
2
0
2
Вариант
Таблица 4
Интеграл
Вариант
1
2
3
Интеграл
cos 2 x dx
1 x2
0
cos 3x dx
1 x2
0
dx
5
16
7
0
19
20
x4 1
sin x dx
2
x 1
1
dx
21
22
dx
0
x 4x 3
1
dx
2
01 x
1 x
2
dx
0
2 x 16 x 4
2
dx
0
23
x5 1
dx
11
0
1
25
13
26
x3 x
e -x dx
2
x
1
dx
14
15
27
1
1 x2
sin x dx
0
x x 2 1
1
dx
3x 3 x 4
1
2 sin 2 x dx
4
0
x x 2 1
1
dx
0
28
x3 1
cos 4 x
dx
x4
1
dx
2
x3 8
dx
0
1
12
4 x2
dx
4x x 2
1
dx
3
2
0 x 1
2
dx
3
24
1 x3
sin x dx
x2
1
dx
0
10
2 3
2
x x2 1
x dx
9
dx
4 x
0
0
2 2
1
18
x 3 x 1
sin 2 x
dx
x4
1
x dx
17
1
8
1 x
2
0
6
0
3
1
4
Вариант
Таблица 5
Интеграл
1
dx
8
29
2x 2 x3
2 cos x dx
3
0
x x 3 1
0
30
x3 x 2 1
71
Таблица 6
Вариант
1
Уравнение
x 2 dy y 2 xy dx
y
2
3
4
5
6
y y2
x x2
17
18
y dx 2 xy x dy 0
x x y x
1y 3x 3 0
x y dx y x dy 0
3
2
2 xy dy x 2 y 2 dx
8
y y cos x sin 2 x
10
11
19
2y
3
x 1
x 1
x y dx x dy 0
y
y
3
y x 3e x
x
8x xy 2 6 x 2 y 0
23
x 5 y 2 dx y 1 x 2 dy 0
24
5 e yy e
25
y 5 ln y xy 0
x dy y dx x 2 y 2 dx
27
13
y x dx y x dy 0
28
15
y x 1
x
x
x dy x 2 y dx
72
y x
dy dx
x y
y
y 3 x
x
x dy 2 y x dx 0
22
26
y
y 2 xy 2 x
21
12
14
Уравнение
yx x 3 3x 2 1y 2 x 3 x x 3
3x dx 2 xy 2 dx 3x 2 y dy
20
y xy x 3 y 3
7
9
Вариант
16
2
x
x
x 2 xy 4 y 2
x 2 2 xy
y
e4x
y
1 x 1 x
y
y
e3x 2 x 1
2x 1
y
29
dx - 2xy 2 dx 2 y dy 3x 2 y dy
30
y y sin x y 2 e cos x
Вариант
1
2
3
Уравнение
y 9 y 6e3 x
y 3 y 2 6 x
y y cos x
4
5
6
7
8
y 8 y 7 y 14
y y e x
y 2 y y e x
3 y 4 y 8 x 6
y y 2 y 8 sin 2 x
9
10
11
12
13
14
15
y y e x
y 2 y 3 y e x cos x
y y 5 x 2
y 4 y 4 y cos 2 x
y 2 y y 2e x
y 4 y 8e 2 x
y y 2 cos x
Таблица 7
Вариант
Уравнение
y 4 y 3 y 12 sin x 4 cos x
16
y 3 y 2 y e x
17
y 4 y 2 sin 2 x
18
y 6 y 5 y e 2 x
19
y 2 y y xe x
20
y 7 y 12 y x
21
y 4 y x 1
22
y 9 y x 1
23
y 6 y 9 y e x
24
y 12 y 9 y e x
25
y 7 y 12 y e 2 x
26
y 4 y 4 y e 2 x
27
y 2 y 10 y xe x
28
y y sin x
29
y y xe x
30
73
Вариант
1
Ряд
n
3n
n 1 n 1
Вариант
16
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
n 2
5 ln n
3
n
n
n 1 2
3n
n 1 2n !
17
18
19
2
n
n 1 3n 5
1
n
n 1 2 3
n
2
n 1 n!
2n 1!
n 1
n!
2
n 1
3
n 1 n 1
n!
n
n 1 n
n
n
n 1 2
14
15
2n 3
n 1
n
2e
20
n 1
n
n 1
4
n! 3 n
n
n 1 3 2
2n
2
n 1 n 1
2 2
1 n
21
22
23
24
25
n
2 sin
1 n
3 2
n 1
n 1!
n 1
nn
26
2
sin 2 n
2
n 1 n 1
27
nn
n
n 1 3 n!
n
2
n 1 n 4
2 n
cos
n 3
n 1 3 2
13
12
2
n 2 n ln n
2
n
sin 2
n 1
n2
2n!
2
Таблица 8
Ряд
n
5 n 1!
n 1
2n !
28
29
ne
n 1
n
cos 2
2
n 1 n n 1n 2
2n !
2n
n 1 n
1
2
n 1
2n 1
30
74
n2
1
2
n 2 n ln n
Вариант
Ряд
1
n! x
Таблица 9
Ряд
n
n 1
n
n 1 n 9
xn
n
n 1 n 2 ln
Вариант
n
16
n 1
xn
n 1 n!
n
x 1
n 1
n 1 n 4
n 1
1
2 x 3n
n 1
2 n1
n
x
n 1 n
n
x
2
n 1 n
2
3
4
5
6
n
n
3 nx
18
n 1
19
n 5n
n
x - 2
n
n 1 2n 4
n 1 n
1
x
n 1
n
xn
n 1 nn 1
n 1
20
21
x 3
22
n2
n
x 5
2 n
n 1 n 4
xn
n 1 2 n 1
n
x
n 1
n
x 1n
2n
n 1 2n 1
n 1
8
9
10
11
12
24
25
xn
1
n 1
7n 11
26
n
n 1
x 5
1
16 2n 1
n 1x
n
13
n
x
28
14
n n
10 x
29
n 1
n 1
n
n 1
n 1
n 1
n
n
n 3 x 1
27
n 1
n 5n
n
n
2 x 1
n 1
4n 3
nx n
n
n 1 n 12
n
n
n 1
n 1
15
x 5
1
23
x 3
2n 1 n 1
x 3
n
n
7
17
2 x 1
n
n 1
1
30
3n 2
75
n
n2
xn
n
3
n3 2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Высшая математика для экономистов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.
– М.: ЮНИТИ, 2003.
2. Ильин В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М.: Наука, 1993.
3. Колескиков А.Н. Краткий курс математики для экономистов.
4. Мордкович А.Г. Математический анализ / А.Г. Мордкович, А.С. Солодовников. – М.: Высшая школа, 1990.
76
Составители: ИЗМАЙЛОВ Шамиль Зинурович
САФИН Рашит Рафаилович
МАТЕМАТИКА
Раздел II
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Методические указания по выполнению
контрольных работ
Технический редактор: А.Ю. Кунафина
Подписано в печать 13.12.07. Формат 60×84 1/16.
Бумага газетная. Гарнитура «Таймс».
Усл. печ. л. 4,48. Уч.-изд. л. 5,25. Тираж 100 экз.
Цена свободная. Заказ № 256.
Отпечатано с готовых авторских оригиналов
на ризографе в издательском отделе
Уфимской государственной академии экономики и сервиса
450078, г. Уфа, ул. Чернышевского, 145; тел. (347) 241-69-85.
77
78
79
80