КОЗЕЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ДМИТРОВСКОГО

КОЗЕЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ДМИТРОВСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
КОЛЛЕДЖА
МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ « МАТЕМАТИКА»
для студентов КФДГПК
очно-заочного отделений
по специальности 151001
«Технология машиностроения»
выполнила
преподаватель КФДГПК
Михайлян Е.И.
Козельск 2008
РАССМОТРЕНО
на заседании
ЦК ОГСЭ и МЭД
протокол №
от
« УТВЕРЖДАЮ «
заместитель директора
КФДГПК по учебной работе
-----------
председатель ЦК
Мартыненко Т.Ф.
Денисов С.В.
«---« -------- 2008 г.
Методическая разработка выполнена преподавателем
математики КФДГПК Михайлян Е.И.
Рецензент:
2
Михайлова В. А.
методист МОУ Вечерняя СОШ
МО МР «Козельский район»
СОДЕРЖАНИЕ:
Стр.
1. Оглавление …………………………………………….. 3
2.Пояснительная записка ……………………………….. 4
3. Перечень практических работ …………………………. 5
4. Практическая работа № 1 «Вычисление простых
пределов функции » ……………………………………6
5. Практическая работа № 2 « Производная функции»… 9
6. Практическая работа № 3 « Исследование функции
при помощи производной » ………………………...... 15
7. Практическая работа № 4 « Вычисление дифференциала
функции » …………………………………………….. .. 20
8. Практическая работа № 5 « Вычисление интеграла» ..22
9. Практическая работа № 6 « Приложение интеграла» ..28
10.Практическая работа № 7 « Дифференциальные
уравнения 1-го и 2-го порядка » ……………………... 33
11.Практическая работа № 8 « Определение сходимости
ряда» …………………………………………………….. 40
12 Практическая работа № 9 « Определение вероятности
события » ………………………...................................... 45
13 Практическая работа №10 « Математическое ожидание
случайной величины »………………………………….. 49
14. Варианты практических работ ……………………….. 53
15. Таблица дифференцирования …………………………..60
16. Таблица интегрирования ………………………………. 61
17. Заключение ………………………………………………62
12. Рекомендуемая литература ……………………………..63
3
Пояснительная записка
Данное методическое пособие рассчитано на студентов очнозаочного отделений КФДГПК по специальностям 151001 «Технология
машиностроения» и 080110 «Экономика и бухгалтерский учет»,
обладающих базовыми умениями и навыками математики.
Настоящее пособие предназначено для оказания практической
помощи учащимся колледжей по проведению практических работ
предмета «Математики».
Основной задачей данного методического пособия является
изложение учебного материала в доступной для студентов колледжей
форме, сохраняя при этом научную основу содержания, логику
изложения. В нем в наиболее простой и наглядной форме
объясняются основные понятия дифференциального, интегрального
исчисления, элементов теории вероятности и математической
статистики.
Методическое пособие включает в себя необходимый материал
для выполнения практических работ.
В пособие входят 10 практических работ. В каждой работе
даны методические указания по выполнению работы в сравнительно
сжатой и доступной форме, приведены решения типовых заданий,
вопросы для самоконтроля.
В методическом пособии разработано 4 варианта практических
работ. По мере увеличения номера варианта задания усложняются,
что дает возможность преподавателю варьировать задания. В конце
пособия рекомендована литература.
Рекомендации для студентов очно-заочного отделений по
выполнению практических работ по специальностям 151001
«Технология
машиностроения»
и
080110
«Экономика
и
бухгалтерский учет»:
Учитывая требования ГОСТа и Рабочей Программы по
дисциплине « Математика » студентам рекомендуется:
- применять аппарат математического анализа ( таблицы
производных и первообразных, формулы дифференцирования,
правила вычисления первообразных) для нахождения производных,
первообразных и простейших определенных интегралов;
- исследовать элементарные функции с помощью элементарных
приемов и методов матанализа, строить на основе такого
исследования графики функций;
4
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
Практические
работы
выполняются
после
соответствующих тем и разделов курса «Математика»
изучения
Работа № 1. «Вычисление простых пределов функции.»
Работа № 2. « Производная функции»
Работа № 3. « Исследование функции при помощи
производной»
Работа № 4. « Вычисление дифференциала функции»
Работа № 5. « Вычисление интеграла»
Работа № 6. « Приложение интеграла»
Работа № 7. «Дифференциальные уравнения 1-го и 2-го
порядка»
Работа № 8. «Определение сходимости ряда»
Работа № 9. «Определение вероятности события»
Работа №10 «Математическое ожидание случайной величины»
5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ПРАКТИЧЕСКАЯ
ИСЧИСЛЕНИЕ.
РАБОТА № 1.
ТЕМА: « ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРЕДЕЛОВ
ФУНКЦИИ.»
ЦЕЛЬ:
1. нахождение простых пределов функции;
2. использование замечательных пределов;
3. вычисление натуральных и десятичных логарифмов;
УМЕНИЯ И НАВЫКИ:
- находить абсолютную величину числа;
- зная теоремы о пределах, находить предел функции;
- уметь преобразовывать неопределенности;
РУКОВОДСТВО К РАБОТЕ:
Абсолютной величиной числа а
называется само число а,
если оно положительно или нуль,
и число
- а , если оно
отрицательно.
Постоянная
А называется пределом переменной Х, если
разность между ними есть величина бесконечно малая, то есть
Lim X = A,
если Х - А =
а,
где а – бесконечно малая величина.
Теоремы о пределах.
Т - 1. Переменная величина не может иметь двух различных
пределов.
Сл-но: Если две переменные величины, имеющие пределы при
всех своих изменениях равны между собой, то равны и
их пределы.
6
Т - 2. Предел суммы конечного числа переменных величин
равен сумме пределов этих величин.
lim ( x + y ) = lim x + lim y
Т - 3.
Предел разности переменных, имеющих пределы
равен разности пределов этих величин.
lim ( x – y ) = lim x - lim y
Т - 4.
Предел произведения конечного числа переменных
величин, имеющих пределы равен произведению
пределов этих переменных.
lim (x * y ) = lim x * lim y
Т - 5. Предел частного от деления двух переменных,
имеющих пределы, равен частному от деления
пределов делимого и делителя при условии, что
предел делителя не равен нулю.
lim ( x \ y) = lim x \ lim y
y = 0.
Предел функции.
Переменная У называется функцией переменной Х, если
каждому допустимому значению
Х соответствует вполне
определенное значение У.
Функцию можно задать : 1. Аналитически ( формулой ).
2. Таблично.
3. Графически.
Число В называется пределом функции f ( x ) в точке х 0,
если для любой последовательности значений аргумента ( х n )
сходящейся к числу x0 ( х = х n ) последовательности
соответствующее значение функции у n сходится к числу В.
Lim f ( x 0 ) = B
О пределе функции можно говорить только при условии
задания предела к которому стремиться аргумент.
Пример: lim ( x 2 - 4 ) = lim x2 - 4 = 3 2 - 4 = 5
x–3
x–3
7
Замечательные пределы.
sin x
lim
x
x -0
= 1
lim ( 1 + n )
x - 0-0
n
= e = 2,718
0
0-0
В случае неопределенностей вида:[ 0 ]; [ 0-0 ];
необходимы преобразования: применение формул сокращенного
умножения; деление числителя и знаменателя на переменную в
высшей степени, с целью понижения степени переменной.
Число
Е = 2,72 принимают за основание натурального
логарифма. При использовании натуральных логарифмов многие
формулы имеют более упрощенный вид.
Связаны соотношением, позволяющим взаимопереход по
формулам:
Lg N = 0,4343 ln N
Ln N = 2,303 lg N
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
1. Найти модуль алгебраической суммы: - 5,5; 3,7; 2 3\4; -6,5.
-5,5 + 3,7 + 2 3\4 + ( - 6,5)
=
- 5,55 = 5,55
2. Составить числовую последовательность, состоящую из 3
элементов по рекуррентной формуле
в n + 1 = в n ( 4n – 8 ), в 1 = 2.
в 1 = 2;
в 2 = 2 ( 8*2 - 8 ) = 16;
в 3 = 16 ( 8*2 – 8 ) = 256;
в 3 = 256;
Ответ: в 1 = 2;
в 3 = 256.
в 2 = 16;
3. Найти предел функций:
а) lim
8
x-0
x
5
=
0,
в 2 = 16;
b)
c) lim
lim
4 a2 - x2
x - 2a
x - 2a
a
x– 0
-
=
a - x
lim
= lim
4a2 - x2 = - 4a
- ( 2a - x)
x - 2a
ax
x- 0
x
*
а
+
a - x
*
а - х
=
а
= lim
+
а - х
a - a + x
x - 0
1
=
х(
a +
a -x)
2
a.
4. Вычислить:
ln 1000 = 2,303 lg 1000 = 6,909.
1.
2.
3.
4.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
Чему равна абсолютная величина числа?
Дать определение числовой последовательности.
Какие алгебраические преобразования знаете?
Как взаимосвязаны десятичные и натуральные логарифмы?
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2.
ТЕМА: « ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИИ»
ЦЕЛЬ:
1. вычисление приращение функций в общих и частных
случаях;
2. вычисление производной функции n-го порядка;
3. составление уравнения касательной и нормали к
кривой;
4. нахождение скорости тела, зная формулу пути;
9
УМЕНИЯ И НАВЫКИ:
- применять правила дифференцирования;
- находить приращение функции;
- составлять уравнение касательной;
- вычислять производную n-го порядка;
РУКОВОДСТВО К РАБОТЕ:
Функция называется непрерывной в точке если предел справа
равен пределу слева в данной точке. Функция непрерывна на данном
промежутке если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Приращением функции называется разность между конечным
его значением и первоначальным:
у = f(x0+
x ) - f ( x 0 ),
где
f(x0+
x) = f (x0) +
y.
Приращением аргумента называется разность между конечным
его значением и первоначальным:
х
= х - х 0 , где
х = х0 +
х
Для нахождения приращения функции надо в данной
функциональной зависимости выразить х через х 0 +
х, а у
через у 0 +
у.
Из полученного выражения вычесть почленно данное.
у = f (x0 +
x ) - f (x0 )
Геометрическая интерпретация приращения функции и
аргумента.
У
у2
у1
х
х1
10
М2
у
М1
У = У2 - У1
х
2
Х
Х = Х2 - Х1
Производной функции y | = f (х ) по аргументу Х
называется предел отношения приращения функции
У к
приращению аргумента
Х, при условии, что
х - 0.
И обозначается:
У | ( х );
f | ( x );
dy
d x.
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ:
Производная алгебраической суммы: (u + у ) | = u | + v |
Производная произведения:
( u * v ) | = u | * v + u * v.|
|
Производная частного:
при условии, что v = 0
u
v
=
u|*v - u*v|
v2
Производная постоянной: ( С ) | = 0
Производная степенной функции: ( X n )| = n X n – 1
Производная сложной функции:
Y | x = Y | ( u )*U | ( x ),
где Y = G ( u ),
U = F (x)
С геометрической точки зрения, угловой коэффициент
касательной , проведенной к кривой, заданной уравнением У= f ( x )
в т. Мо ( хо ; уо ) кривой, равен значению производной f | ( х )
функции y = f (х) при значении х = хо
К кас. = f
|
( xо )
Уравнение касательной, проходящей через данную точку:
F (x) = f ( xо ) + f | ( x о ) ( x - x о )
Прямая, перпендикулярная касательной в данной точке
называется нормалью к кривой в этой точке.
К кас. = 1
К норм.
11
Физический смысл производной функции:
S|(t ) = V (t)
V|(t) = a (t)
S | | ( t) = a ( t )
Производная от f | ( x ) по х, если она существует , называется
второй производной или производной второго порядка. Аналогично
можно найти производную более высокого порядка.
Производной n-го порядка называется производная от
от производной ( n – 1 ) – го порядка.
Производная неявной функции находится следующим образом:
ХУ - Х - 1 = 0
Х|У + ХУ|- 1 =0
У+ ХУ|- 1 = 0
ХУ| = 1 - у
У|= 1 - У
Х
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
1. Дана функция F ( х) = 1\3 Х2 + 1. Определить F ( -3 ) - ?
F ( -3 ) = 1\3 ( -3 ) 2 + 1 = 3 + 1 = 4
2. Найти приращение функции: У = Х 2 - 1.
Если Х о = 3,
Х = - 0,6.
( Уо +
У ) = ( Хо + Х ) 2 + 2 Хо Х +
Х2 - 1
2
2 _
2
У = Хо + 2 Хо
Х +
Х
1 - Хо + 1 = 2 Хо
Х + Х2
2
У = 2 * 3 * ( -0,6 ) + ( -0,6 ) = - 3,6 + 0,36 = - 2,24
3. Найти производные функции:
1. У = Х 4 - 3 Х 2 + 2 Х;
2. f (х) = 3 \ 4 a x 3,
3. S (t) = t 2 -
t + 1
t
У | = 4 Х 3 - 6 Х + 2.
f | ( x ) = 3 \ 4 a 3 x 2 = 9 \ 4 a x 2.
S (t) = 1 - 1\ t + 1 \ t
2
S | ( t ) = 1\ t 2 - 2 \ t 3
12
2
4
4 t - 3, S | ( t ) = 2 t 4t – 3 + t 2
4. S ( t ) = t 2
=
2
=2t
4t – 3
2t2
4t -3 +
4t–3
.
-х
1
*(-2х)=
5. у =
k2 -
6. у =
x2 , у | = 2
x - 1
у|=
2
k 2– х 2
k 2 - x2
1
х+1
х - 1* 1
-
х + 1 .
х–1 1
1 * 2 х+1
х + 1
х + 1 - х + 1
=
1
=
(2
х - 1 *
х + 1 ) (х + 1)
7. у = tg ( 2 x + 1)
f ( x ) = e sin
8.
у| =
x
=
2
cos2 ( 2 x - 1)
y | = e sin x * cos x
9. y = sin3 x * cos x
10. y = arcсos
( х + 1 ) х2 - 1
y | =3 sin2 x * cos x*cos x + sin3 x (-sin x) =
= 3 sin 2 x* cos 2x - sin 4 x.
y|=-
1\x
1
1 – 1\x2
* 1
*
2 1\x
1
- x2
=
1
x2
1\x
- 1 \ x3 .
13
11.
x 2 + y 2 - 12 x + 8 y + 43 = 0
2 x + 2 y y | - 12 + 8 y | = 0
y | ( 2y + 8 ) = 12 – 2x
y|=
12 - 2x = 6 - x
2y+8
y +4
12. Cоставить уравнение касательных к кривой У = Х 3 + Х 2,
угловые коэффициенты которых равны 8.
К кас. = y | = 3х2 + 2х = 8
3 х 2 + 2 х –8 =0
Д \ 4 = 1 + 24 = 25
Х1,2 = - 1 + 5
3
Х1 = - 2;
Х2 = 4 \ 3
Х 1 = - 2; У1 = 12 ( -2;12)
Х 2 = 4 \ 3; У2 = 34 \ 9
( 4 \ 3; 34 \ 9 )
У – 12 = 8 ( Х – 2)
У – 8Х – 28 = 0
У – 34 \ 9 = 8 ( Х – 4 \ 3)
9 У – 72 Х + 70 = 0
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
14
Дать определение функции;
В чем заключается геометрический смысл приращения
функции?
Какие правила дифференцирования вы знаете?
В чем заключается геометрический смысл производной?
В чем заключается физический смысл производной?
Составить уравнение касательной к графику функции
в данной точке.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3.
ТЕМА: «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ПРИ ПОМОЩИ
ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ».
ЦЕЛЬ:
1. нахождение промежутков монотонности функции;
2. вычисление экстремумов функции;
3.исследование функции на условие выпуклости графика
функции;
4. построение графика функции, используя производную
функции.
УМЕНИЯ И НАВЫКИ:
- находить значения производных алгебраических и
трансцендентных функций;
- находить асимптоты графика функции;
- находить производные функции 1-го и 2-го порядка.
РУКОВОДСТВО К РАБОТЕ:
Исследовать функцию - значит найти все необходимые данные
для построения ее графика.
Общая схема исследования функции:
1. Д ( у ) - область определения функции ( все действительные
допустимые значения аргумента)
2. Четность и нечетность функции:
F ( -x ) = F ( x ) - функция четная
F ( -x ) = - F ( x ) - функция нечетная
3. Периодичность функции.
4. Исследование функции на непрерывность, т.е. нахождение
точек разрыва функции.
5. Нахождение точек пересечения графика функции с осями
ОХ
( х ; 0 );
ОУ ( 0; у ).
6.Нахождение критических точек первого рода:
15
а) необходимое условие экстремума функции: F | ( x o ) = 0
b) достаточное условие экстремума:
если производная функции при переходе через точку х 0
меняет знак с + на - это max , если с - на + это min.
7.
Нахождение интервалов монотонности функции:
Если производная функция для любой точки х,
принадлежащей данному промежутку положительна то
функция возрастает на этом промежутке.
Если производная функция для любой точки х,
принадлежащей данному промежутку отрицательна, то
функция убывает на этом промежутке.
8. Нахождение критических точек второго рода ( интервалы
выпуклости графика функции )
а) критическая точка 2-го рода – это есть точка перегиба:
при F | | ( xo ) = 0
б) если на данном промежутке дважды дифференцируемая
функция положительна, то график функции вогнутый;
в) если на данном промежутке дважды дифференцируемая
функция отрицательна, то график функции выпуклый;
9. Нахождение асимптот графика функции:
Асимптоты кривой – это прямая. к которой неограниченно
приближается каждая точка кривой при удалении от
начала координат.
Прямая У = К Х + В называется наклонной асимптотой
У = f (х)
при х -- o--o
Для этого необходимо и достаточно, чтобы существовали два
предела
lim
f(x) = K
lim [ f ( x ) - kx ] = B
x
x --- o--o
x – o--o
16
Прямая x = а называется вертикальной асимптотой графика
функции, если хотя бы одно из предельных значений
lim
x -- a
f (x )
равно
o--o
10.По данным построить график и по графику определить
значение функции Е ( у ).
При решении задач прикладного характера необходимо:
1.
2.
Составить математическую модель функции по данному
условию задачи;
Исследовать данную функцию и дать ответ на вопрос.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
1. Определить промежутки монотонности функции:
У = Х2 - 3Х - 1
У = 2Х - 3
2Х - 3 = 0
_
2Х = 3
У|
Х = 1,5
У
|
+
0
1,5
Ответ: функция убывает при х (- ( - o -- o ; 1,5 )
функция возрастает при х (- ( 1,5; + o -- o )
3.
Найти экстремумы функции:
У = Х 2 - 2Х
У = 2Х - 2
2Х - 2=0
Х=1
|
У|
У
-
0
1
min
-1
+
Ответ: Уmin = - 1 при х = 1.
17
Исследовать на выпуклость график функции:
У = Х4 - 2Х3 + 6Х -4
У| = 4Х3 -6Х2 + 6
+
+
У | | = 12 Х 2 – 12 Х = 0
У
Х = 0 или Х = 1
0
1
Ответ: график вогнутый при х (- ( - o -- o ; 0 ) u ( 1; + o -- o )
график выпуклый при х (- ( 0 ; 1 )
4.
5.
Исследовать функцию и построить график:
У = 2 Х 2 - 4Х + 5
1. Д (у) = R,
2. функция ни четная и ни нечетная, так как
F (x ) = 2 ( - х ) 2 - 4 ( -х ) + 5 = 2 х 2 + 4 х + 5 = - (-2 х 2 – 4 х –5)
3. функция не периодическая;
4. функция непрерывна, так как формула функции - многочлен;
5. точки пересечения с осями координат:
ОХ : У = 0, 2х2 - 4Х + 5 =0
Д < 0 не пересекает ОХ
ОУ:
Х = 0,
У = 5
( 0; 5 )
6. критические точки 1- го рода:
У | = 4Х - 4
4Х – 4 = 0
Х=1
У|
У=3
У
-
0
1
min
3
7. промежутки монотонности:
функция возрастает при х ( 1 ; + o -- o )
функция убывает при х ( - o -- o ; 1
8. дополнительные точки: Х = 2; У = 5;
18
+
9. Е ( у ) = [ 3 ; + o -- o )
У
5
3
10. асимптот нет.
0
5. найти асимптоты кривой : У =
1
2
Х
Х3+ 4
Х2
а)
lim
f (x) = o -- o
x - 0
вертикальная асимптота х = 0
lim х -
0
б) У = КХ + В
lim х -
o--o
х3 + 4 = o -- o
х2
- наклонная асимптота
f (x) = lim х—o-o x3 + 4 = lim х
х
х2 х
lim х –o--o [ f(x) -kx ] =lim х
= lim х
- o--o
Ответ:
4
х2
т.к.
=
- o--o
0;
-o—o
x3 + 4 = lim х –o--o1 + 4 = 1
х3
х3
(x3 + 4 - х) lim х – o--o x3 + 4 – x3 =
х2
х2
У = Х - наклонная асимптота
Х = О; У = Х.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
1.Какая функция называется непрерывной на данном промежутке?
2. Как найти критические точки 1-го рода и что они определяют?
3. Как найти критические точки 2-го рода и что они определяют?
4. Дать понятие асимптот графика функции.
19
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ,
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4.
ТЕМА: «ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ»
ЦЕЛЬ:
1. нахождение дифференциала функции;
2. вычисление приближенного значения приращения
и самой функции;
3. решение задач прикладного характера.
УМЕНИЯ И НАВЫКИ:
- знать понятие дифференциала функции;
- знать приложение дифференциала функции;
а) приращение функции;
б) приближенное значение функции;
в) приближенное вычисление степени.
РУКОВОДСТВО К РАБОТЕ:
Дифференциалом функции у = f (х) называется произведение
производной функции f (х) на приращение аргумента
х или на
дифференциал независимой переменной dх.
d y = f | (x) d x
Дифференциалом n – го порядка называется произведение
производной n -го порядка на дифференциал n -го порядка
независимой переменной
dny = y| dxn
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
а) Вычисление приближенного значения приращения функции:
f (x)
=
d f (xо)
d f (x0) ~ f | (xо)
f (x) ~ f | (x о ) d x
20
x
б) Вычисление приближенного значения функции:
f (xо +
x)
~
f |( x о )
+
d f ( xo )
в) Приближенное вычисление степени:
X ) n ~ Х оn + n X
f ( x ) = X n., ( Xо +
n -1
X
г) Приближенное извлечение корня:
k
n = 1 / k, xо = 0
x0 + x = k
k
x0 +
x0
k x0
x
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ
1.
Найти дифференциал функции:
1. у = 3 х5 + 2 х,
2. у = ln
1 / х,
d у = ( 15 х4 + 2 ) dх
у=
х
1
*
2
-1
*
1/х
- 1
=
х2
2х
dу = - 1 dх
2х
2.
Вычислить приближенное значение функции:
У = Х 3 - 5 Х 2 - 80
При переходе аргумента от Х = 4 к Х = 4, 001
У
~
Уо + d у
Х0
=
4;
Х = d х = 0,001
У o = 4 3 - 5 * 4 2 + 80 + 64 - 80 + 80 = 64
d y = ( 3 x 2 – 10 x ) d x = ( 3 * 4 2 - 10 * 4 ) 0,001 = 0,008
У ~
64 + 0,008 = 64, 008
21
3.
Найти приближенное значение приращения функции:
У=Х3 + Х
при х = 3,01
d y = y | d x,
х = 3,
y|
х = 0,01
=2x+1
у = d y = ( 2 * 3 + 1 ) 0,01 = 0,07
4.
Найти приближенное значение корня:
0,04
=
4
80,96 = 4
81 - 0,04 = 4
81
- 1/4
3
81
= 3 – 1 / 4 * 1 / 81 * 1 / 3 + 0,04 = 3 - 0,01 = 3
243
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
1.
2.
3.
Дать определение дифференциала функции.
Как можно найти дифференциал n- го порядка?
Задачи какого характера можно решить с помощью
дифференциала функции?
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5
ТЕМА : « ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА.»
ЦЕЛЬ :
1. нахождение значений интеграла методами:
- непосредственное интегрирование;
- интегрирование методом подстановки;
- интегрирование по частям;
2. составление уравнения движения по уравнению
скорости;
22
УМЕНИЯ И НАВЫКИ:
- нахождение первообразной функции;
- знание методов интегрирования;
- знание физического смысла интеграла;
- знание определения определенного интеграла;
РУКОВОДСТВО К РАБОТЕ:
Интегрирование процесс нахождения первообразной функции..
Первообразной функции для выражения f ( x ) d x называется
функция F ( x ), дифференциал которой равен f( x ) d x
dF(x) = f(x) dx
Дифференциалу
функции
соответствует
множество
первообразных которые отличаются друг от друга постоянным
слагаемым.
Совокупность первообразных функций
F ( x ) + C для
дифференциала f (x ) d x называется неопределенным интегралом и
обозначается:

f(x) dx = F(x) + C
С геометрической точки зрения неопределенный интеграл
функции f ( x ) представляет на плоскости семейство кривых. Эти
кривые называются интегральными линиями функции f ( x ).
У
Для определения конкретной линии
необходимы дополнительные начальные условия, конкретную точку через
которую данная линия проходит.
Х
Приращение F ( в ) - F ( a ) любой из первообразных
функций F ( x ) + C при изменении аргумента от х = а до х = в
называется определенным интегралом и обозначается:
23
в

а
f (x)dx = F(в) -F(a)
формула Ньютона – Лейбница
где а - нижний предел интегрирования:
в – верхний предел интегрирования.
Правило для вычисления определенного интеграла:
найти соответствующий неопределенный интеграл;
в полученное выражение подставить верхний предел,
а затем нижний предел интегрирования;
3. результаты вычесть.
Основные свойства интеграла:
1.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению:
1.
2.
d

f(x) dx = f(x)dx
2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой
функции, сложенной с произвольной постоянной:

dF(x) = F(x) +C
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

a f(x) dx = a

f(x)dx
где а - постоянный множитель.
4. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической
сумме интегралов от каждой из них:

[ f 1 ( x ) + f 2 (x ) – f 3 (x ) ] d x =
-


f 1 (x) d x +

f 2 (x) dx -
f 3 (x) d x
5. Если переставить пределы интегрирования определенного
интеграла, то его знак изменится на противоположный:
в
а
а
24

f (x ) d x = - в

f(x) dx
Методы интегрирования:
1. Непосредственное интегрирование:
Данный интеграл можно привести к одному или нескольким
табличным
интегралам
при
помощи
применения
правил
интегрирования или при помощи элементарных тождественных
преобразований подынтегральной функции:

( x2 + 2 ) x d x =

( x 3 + 2 x ) d x = x 4\ 4 + x2 + C
2. Метод подстановки - один из важнейших методов интегрирования
1. ввести новую переменную;
2. взять дифференциал от обеих частей равенства;
3. подставить эти значения в первоначальный интеграл;
4. в результате вернуться к исходным данным;
При вычислении определенного интеграла методом подстановки
удобнее при вводе новой переменной получить новые пределы
интегрирования для новой переменной.

( 3 x + 1) dx =

t 1 \ 2 d t \ 3 = 1\3 t 3 \
2
+ c = 2\9 t
3\2
= 2\9 ( 3 x + 1 )
1. 3 x + 1 = t
2. 3 d x = d t
3. d x = dt \ 3
3x+1
t + c =
+c
3. Интегрирование по частям:
Применяем формулу интегрирования по частям:

udv = uv -

v du

cos 2xdx = - 1\2 x cos 2x –
1. В интегралах вида:

x sin 2x dx = - 1\2 x cos 2x +
1\2
- 1\4 sin2x + c
где P (x) - многочлен относительно х, а – второй множитель
есть прямая функция полагают:
25
u=x
du=dx
d v = sin 2x dx
v = sin 2x dx = - 1\2 cos 2x
2. В интегралах вида:

P (x) ln ax dx ;



P (x) arcos ax dx ;

P (x) arctg ax dx;
P (x) arsin ax dx;
P (x) arcctg ax dx;
Где P (x) – многочлен относительно х, а – некоторое число,
второй множитель есть обратная функция, полагают:
P (x) dx = dv
3. В интегралах вида:

е a x * sin вx dx
любое принимают за
dv и
u.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
1

2х3 – 3х + 7 dx =

( 2x2 - 3 + 7\x) dx = 2\3 x3 – 3x + 7ln x + c
х
2


dx =
( 2x ) –1 \
2
dx =
2
2x 1\2 + c =
2x + c
2x
1\2
3.

1\2
2
3
3 ( u + 1 ) du = ( 3 u \3 + 3u )
- 1\2
=
- 1\2
1\2
3
(u
+ 3u )
=
- 1\2
= ( 1\2 )3 + 3\2 - ( -1\2 )3 - 3 ( - 1\2 ) = 1\8 + 3\2 + 1\8 + 3\2 = 13 \ 4
26
3 \2
4.

3 \2
dx
= arcsin x
= arcsin
1 – x2
2 \ 2
3 \ 2 - arcsin
2 \2=п \ 3-
2 \2
- п \ 4 = п \ 12.
5.

(
5
+
3
cos2 2x
6.
1
dx
= 5\2 tg 2x + ctg 3x + c
sin2 3x
Метод подстановки:
5

2
x dx
=

3 + 2x3
-1
1.
)
5
dt
= 1 \ 6 ln | t |
= 1 \ 6 ln 5
6t
-1
3 + 2x3 = t
6 x2 dx = dt
x2 dx = dt \ 6
-1
2. 3 + 2 * 1 = 5
3 - 4 = -1
Интегрирование по частям:
x ln x dx = x2 \ 2 ln x -
7.
x dx = dv
x2 \2 = v
x2 \ 2 * 1\x dx = x2 \2 ln x – x2\4 = c
ln x = u
1\x dx = du
Дано:
V = ( t2 - 6 t + 7 м\с)
При t = 0, S = 4 м
Составить уравнение движения.
2.
c=4
S=
v dt
S = ( t2 - 6t + 7 ) dt =
= t3 \ 3 - 6 t2 \ 2 + 7t + c
S = t 3 \ 3 - 3 t2 + 7 t + 4
27
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
1.
2.
3.
4.
Дать определение неопределенного и определенного
интегралов;
Какие методы интегрирования надо знать?
В чем заключается физический смысл интеграла?
Дать формулу Ньютона – Лейбница.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6.
ТЕМА: « ПРИЛОЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛА»
ЦЕЛЬ:
1.вычисление определенного интеграла;
2. нахождение площади плоской фигуры;
3. вычисление объема тела вращения;
4. нахождение значения работы силы упругости;
УМЕНИЯ И НАВЫКИ:
- знание геометрического смысла определенного
интеграла;
- применение формулы определенного интеграла
- для нахождения площади плоской фигуры, объема
тела вращения, работы силы упругости;
РУКОВОДСТВО К РАБОТЕ:
В основе приближенных методов интегрирования
геометрический смысл определенного интеграла.
Определенный интеграл
в

а
28
лежит
f (x) dx
численно равен площади
криволинейной трапеции, ограниченной кривой У = f (х), осью ОХ
и прямыми Х = а и Х = в.
в

S =
f (x) dx = F (в) - F (a)
а
Вычисление площади плоской фигуры.
При вычислении площади плоских фигур с применением
определенного интеграла рассмотрим следующие случаи:
1. фигура ограничена графиком непрерывной и неотрицательной на
отрезке [ а; в; ] функции f (x) осью ОХ и прямыми Х = а и Х = в.
У
в
f (x)

S =
f(x) dx
a
а
0
у=0
Х
в
2. фигура ограничена графиком непрерывной и не положительной на
отрезке [ а; в; ] функции f (x), осью ОХ и прямыми Х =а и Х = в
в
S

=
- f(x)dx
а
3. фигура ограничена осью ОХ, прямыми Х = а и Х = в, графиком
функции f (x) – которая непрерывна на отрезке [ а; в; ] и меняет свой
знак конечное число раз на этом отрезке.
У
В этом случае разбиваем отрезок
на частичные отрезки, на которых
функция знакопостоянна.
c
d
S =

a
f(x) d x +
c

a
c
d
Х
в
в

- f (x) d x +
f (x) d x
d
29
4. фигура ограничена графиками двух непрерывных на отрезке [а; в;]
функций f (x), g (x) и прямыми Х = а и Х = в, где f (x) > g (x),
a< x < в
В этом случае искомая площадь
У
в
f (x)
g (x)

S=
( f ( x ) - g (x) ) d x
а
0
а
в
Х
3
У
S=

(1\2х2 + 1) dх =
Пример: Дано:
-2
3
у = 1\2 х2 + 1
1
= ( 1\ 6 х 3 + х ) =
у = 0;
-2
х = - 2; х = 3
-2 0
3 Х = 11. 5\6 ( кв. ед.)
Найти площадь фигуры
S-?
Ответ: 11 5\6 кв. ед.
2. Вычисление объема тела по известным площадям поперечного
сечения
в
V=

S (x) dx
a
Объем тела вращения:
в
V = П

У2 dх
а
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной линиями у2 = 4х; у = 0; х = 0; х = 4.
4
4
V = П
Ответ:
30

0
32 П куб. ед.
4хdх =2Пх2
= 32 П ( куб. ед )
0
3. Вычисление работы силы упругости:
в

Р =
f (x) d x;
f (x) = F у п р. = k x
а
где к - коэффициент упругости;
х – растяжение пружины.
Сила в 1 н растягивает пружину на 3 см. Какую работу она при этом
производит?
F = к х;
к = F \ х;
0,03
Р =

к = 1 \ 0,03
0,03
1\0,03 х d х = 1 \ 0,03 х 2 \ 2
0
=
0
(0,03)2
= 0,015 дж
0,02 * 2
Ответ: 0,015 дж.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями
У = 3х – 1;
Х = 2;
Х = 4;
У = 0.
У
в
S =
4
0
2
4
у = 3х – 1
S=


f (x) d x = F (в ) – F (а).
а
4
( 3x – 1 ) d x = (3 х \ 2 - х)
2
=
2
2
= ( 3 * 4 2 ) \ 2 - 4 - ( 3 * 2 2 ) \ 2 + 2 = 16 (кв.ед.)
Ответ: 16 кв.ед.
2. Найти объем фигуры, образованной вращением вокруг оси ОХ
линии У2 = 4Х и ограниченной линиями Х = О и Х = 4.
31
У
у2 = 4х
в

V=П
У2 d х
4 а
0
4
х=0
х=4
Х
V= П

4
4х d х = П ( 4 х2 ) \ 2
=
0
0
= 2 П ( 4 2 \ 4 – 0 \ 2 ) = 8 П ( куб. ед.)
Ответ: 8 П куб. ед.
3. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 20 см. Груз в 10 кг
растягивает ее на 2,5 см. Какую работу надо совершить, чтобы
растянуть ее от длины в 25 см до длины 35 см.
в

А =
F (x ) d x
a
F (x) = k x;
k = F \ x = 10 \ 0,025 = 400
0,35
A =

0,35
2
400x d x = ( 400x ) \ 2
0,25
= 200 ( 0,35-0,25)= 12 дж
0,25
Ответ: 12 дж.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
1. Какое практическое применение имеет определенный интеграл?
2. Какие случаи могут быть расположения плоской фигуры и как
можно в данных случаях найти ее площадь?
3. Какое необходимое условие должно быть для применения
формулы Ньютона – Лейбница?
4. По какой формуле можно найти объем тела вращения?
32
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 7.
ТЕМА : «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
ЦЕЛЬ:
1. решение дифференциальных уравнений 1-го и 2-го
порядка:
- с разделяющимися переменными;
- однородные
- с постоянными коэффициентами;
УМЕНИЯ
-
И НАВЫКИ:
определение уравнений 1- го и 2 - го порядка;
нахождение дифференциала 1 - го и 2 - го порядка;
вычисление производной функции 1-го и 2-го
порядка.
РУКОВОДСТВО К РАБОТЕ:
Дифференциальным уравнением 1 – го порядка называются
уравнения вида F ( х, у, у | ) = 0
либо у | = f ( х; у )
Дифференциальным уравнением 2 – го порядка называются
уравнение вида F ( x, y, y |, y | | ) = 0
y | | = f ( x, y, y ). То есть
уравнение содержащее производные или дифференциалы второго
порядка называется дифуравнением 2-го порядка.
Дифуравнение первого порядка у = f ( х, у ) с разделяющимися
переменными называется дифуравнение, если его можно представить
в виде:
У|= f1(х)*f2 (у)
Алгоритм решения дифуравнения с разделяющимися переменными
1. разделить переменные;
2. интегрируя уравнение – найти общее решение уравнения;
3. найти частное решение, удовлетворяющее начальному
условию ( если это необходимо).
Пример:
Найти частное решение дифуравнения
33
2УУ| = 1–3Х2,
если У = 3
при Х = 1
2 у dу = 1 – 3 х 2
dх
2уdу =

(1–3х2)dх
у 2 = х – х 3 + с - общее решение
9=1–1+с;
с = 9.
у 2 = х – х 3 + 9 - частное решение.
Уравнение вида Р dх + Q dу + 0, где Р и Q - однородные
функции одинаковой степени называется однородным дифуравнением
первого порядка.
Однородные дифуравнения приводятся к дифуравнению с
разделяющимися переменными подстановкой У = Z Х.
Где z = y - новая неизвестная функция
x
dy = xdz + zdx
Найти общее решение:
(x2–2y2)dx + 2xydy =0
P (x, y) = x2 - 2 y2 ,
Q (x, y) = 2 x y.
однородны, 2 степени
Положим
y = z x, d y = z d x + x d z
х2
x2
ln
ln
ln
d x - 2 z 2 x 2 d x + 2 x z x ( z d x + x d z) = 0
d x - 2 z 2 x 2 d x + 2 z 2 x2 d x + 2 z x 3 d z = 0.
x
= - z 2 + ln c
x
= ln c - ln e z
x
= ln c
ez
x = c
так как
z = y
ez
x
x = c e –z
x = c e - x - общее решение
Ответ: x = c e - x
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ:
34
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
вводим новую переменную
y = zx,
находим дифференциал функции d y = z d x + x d z,
подставим в уравнение и упростим y = z x,
d y = z d x + x d z,
разделим переменные:
интегрируя находим общее решение:
выражаем z через y и x, z = y \ x.
находим частное решение, используя начальные условия.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка с разделяющимися
переменными решаются двукратным интегрированием.
d 2 y = f (x)
dx2
d y = P (x)
dx

d P (x) =

y (x) = f (x)
d 2 y = d P (x) = f (x)
d x2
dx
f (x) d x,
d y = F1 (x) + C1,
P (x) = F1 (x) + C1

dy =

( F1 (x)
+ C1 ) d x
dx
y = F2 (x) + C1 x + C2.
Для нахождения конкретных значений С1 и С2 необходимы
начальные условия. В результате получаем частное решение.
ОДНОРОДНЫЕ ДИФУРАВНЕНИЯ 2 - ГО ПОРЯДКА.
Однородным уравнением 2 – го порядка с постоянными
коэффициентами называется уравнение вида у | | + р у | + q у = 0,
где р и q постоянные величины.
Решением данного уравнения является функция вида у = е к х,
где
к – постоянное число.
Для решения составляется характеристическое уравнение
Достаточно вместо У | |, У |, У подставить К2, К, 1, то
y || + p y | + q y = 0
k2 + k р + q = 0
35
Можно разобрать три случая решения уравнений:
1. корни характеристического уравнения действительные и разные по
величине к 1, к 2 :
следовательно, уравнение имеет два линейно независимых частных
решения
у = е к1 х
и у = е к2 х .
Поэтому общим решением будет: у = с1 е к 1
х
+ с2 е к 2
х
2. корни характеристического уравнения действительные и равные
т.е.
k1 = k2 = k
то частным решением будет
y = c1 e k x + c2 x e k x
3.
корни характеристического уравнения комплексные числа, а
именно:
k1 = а + в i ;
к2 = а - в i,
решением является:
y = c1 e а х cos в х + с2 е а х sin в х
у = е а х ( с1 cos в х + с2 sin в х )
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
1.
найти частные решения:
( 1 + y ) d x - ( 1 – x ) d y = 0,

dy
=

1+y
dy
1 - x
ln
1+ y
=
ln
1- x + ln c
ln
1+y = ln c 1–x
1 + y = c ( 1 – x ) – общее решение.
36
y = 0, x = 2.
1 = c (1–2)
c=-1
1 + y = -(1–x)
y = x – 2 – частное решение.
составить уравнение кривой, проходящей через точку ( 0; 3 ),
если известно, что угловой коэффициент касательной в
любой ее точке равен
К к а с = х 2 + 5 х.
Решение:
y = x2 + 5x
d y = x 2 + 5x
dx
2.

dy =

( x 2 + 5x ) d x
y = x 3 \ 3 + 5 x 2 \ 2 + c – общее решение
начальное условие ( 0, 3 )
c = 3
Ответ: y = x3 \ 3 + 5 x2 \ 2 + 3.
найти общее решение:
3.
a) ( x 2 – y x 2 ) d y + y 2 + x y 2 = 0
dx
x2(1–y) dy +y2(1+x) dx =0


1–y dy = -
1+x dx
y2

x2
( 1 \ y 2 – 1\ y ) d y = -
y –1 \ (-1) - l n
l n e –1\
ln
y
-ln
1
y e 1\ y
y

(1\x2 + 1\x) dx
= - x –1 \ ( -1 ) - l n x
y = l n e 1\
ln
=
1 \ ( y e 1\ y ) = ( c e 1\
x
-ln x + lnc
c e 1\
x
x
+ lnc
x
) \ x – общее решение
b) ( x 2 - 2 y 2 ) d x + 2 x y d y = 0
P(x,y)=x2 -2y2,
Q ( x, y ) = 2 x y
37
однородны, второй степени
вводим y = z x ,
dy=zdx + xdz
x2 - 2z2 x2dx +2x2z2 dx +2x3 zdz =0
x2 dx + 2x3 z dz = 0
: x3
dx\x +2zdz = 0
2

z dz = -

dx\x
2
z = - ln x + lnc
l n e z2 = l n c \ x
z = y\x
ey \ x = c\x
- y \ x
x = ce
- общее решение
Ответ: x = c e - y \ x
4.
найти общее решение следующих уравнений:
a) y | | + y = 0
k2 + 1 = 0
k2 = -1
k = - i
y = c1 cos x + c2 sin x - общее решение
Ответ: y = c1 cos x + c2 sin x
b) y | | + 3 y | – 2 y = 0
k2+3k–2 = 0
D = 9–8=1
k1,2 = ( - 3 - 1 ) \ 2
k1 = - 2 k2= - 1
y = c1 e – x + c2 e – 2 x - общее решение
Ответ: y = c1 e – x + c2 e – 2 x
c)
d2 y \dx2 = 7x2 +2
d ( dy\dx)
dx

dр =

= 7 x2 + 2
(7x2+2)dx
P = 7 x 3 \ 3 + 2x + c1
d y \ d x = 7 x 3 \ 3 + 2 x + c1

dy =

( 7 x3 \ 3 + 2x + c1 ) d x
y = 7 x 4 \ 12 + x 2 + c1 x + c2 - общее решение
38
Ответ:
5.
y = 7 x 4 \ 12 + x 2 + c1 x + c2
найти частные решения уравнений
a) y | | + 6 y | + 9 y = 0, если y = 2; y | = 1 при x = 0
k2 + 6 k + 9 = 0
k =-3
y = c1 e – 3 x + c2 x e – 3 x - общее решение
y | = - 3 c1 e –3 x + c2 e –3 x + c2 ( - 3 ) e – 3 x =
= - 3 c1- 3 x + c2 e –3 x - 3 c2 x e – 3 x
2 = c1
1 = - 3 c 1 + c2
c1 = 2
c2 = 7
y = 2 e – 3x + 7 x e –3x
Ответ:
y = e –3x ( 2 + 7 x )
в)
y || + 4 y | + 7 y = 0
y (0) = 3;
y | (0) = - 3
2
k + 4k +7 = 0
D\4=4–7=-3
k1,2 = - 2 - 3 i
y = c1 e - 2 x cos 3x + c2 e –2 x sin 3x - общее решение
y | = - 2 c1 e –2 x cos 3 x + ( - 3 ) c1 e – 2 x sin 3x + ( -2 ) c2 e –2 x *
* sin 3 x + 3 c2 e – 2 x cos 3x
2 = c1 e0 cos 0 + c2 e 0 sin 0
c1 = 3
-3 = -2c1 + 3 c2
3 c2 = - 3 + 6
c2 = 3 \ 3 = 3
y = 3 e –2 x cos 3 x + 3 e –2 x sin 3 x
Ответ : y = e –2 x ( 3 cos 3 x + 3 sin 3 x )
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
1. Какое уравнение называется дифференциальным?
2. Что называется решением дифференциального уравнения?
3. Какое решение дифуравнения называется общим?
4. Какое решение дифуравнения называется частным?
5. Какие данные называются начальными?
39
6. Какие дифуравнения называются уравнениями 1-го, 2-го
порядка?
7. Дать определение дифуравнениям с разделяющимися
переменными.
8. Какие дифуравнения называются однородными?
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 8.
ТЕМА : « ОПРЕДЕЛЕНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДА»,
ЦЕЛЬ:
1. по формуле составлять числовую последовательность
определять сходимость числового ряда;
2. разложение функционального ряда в ряд Маклорена;
УМЕНИЯ И НАВЫКИ :
- определение числового ряда;
- признаки сходимости числового ряда;
- знание формулы Тейлора и Маклорена.
РУКОВОДСТВО К РАБОТЕ:
Пусть И1 , И 2 , И 3, … И n , где И n = f ( n ) – бесконечная
числовая последовательность.
Выражение И 1 + И 2 + И 3 + …. + Иn + … называется
бесконечным числовым рядом.
Числа И 1 , И 2 , И 3 . …. Иn - члены ряда
И n = f ( n ) - общий член ряда.
Ряд часто записывают в виде

Иn
Частным случаем числового ряда являются:
Арифметическая прогрессия:
формула n -го члена а n = а 1 + d (n -1)
40
Геометрическая прогрессия:
формула n -го члена в n = в 1 q n - 1
Сумму первых n членов числового ряда обозначают S n
и называют n -й частичной суммой ряда;
S n = И 1 + И 2 + И 3 + … Иn
Ряд называется сходящимся, если его n - частичная сумма
S n при неограниченном возрастании n стремится к конечному
пределу т.е. lim S n = S
S - сумма ряда.
n --o--o
Если n - частичная сумма при n –o--o
не стремится к
конечному пределу, то ряд называется расходящимся.
Ряд а + а q + а q 2 + … + а q n - 1 + …
( q <1 )
Составлен из членов любой убывающей геометрической
прогрессии и имеет S = а / 1 - q будет расходящимся.
Ряд 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + …. 1 / n + …
гармоническим. Он является расходящимся.
- называется
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ.
Необходимый признак сходимости ряда Если ряд И 1 + И 2 + И 3 + … + И n + …. сходится,
то lim Иn = 0 т.е. при n -предел общего члена
n –o-o
сходящегося ряда равен 0.
Если lim И n = 0, то ряд расходится.
n – o--o
Признак Даламбера: Если для ряда И 1 + И 2 + И 3 + …+ Иn
+… существует предел равный числу D
т. е. lim ( U n + 1 ) = D
Un
то этот ряд сходится при D < 1 и расходится при D > 1.
Признак Лейбница ( для знакочередующегося ряда):
41
Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины
его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю
т.е. если 1) И 1 > И 2 > И 3 > …..
2) lim Иn = 0.
n –o--o
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.
Ряд И 1 (х) + И 2 (х) + И 3 (х) + …. + И n (х) +… члены
которого есть функции от Х называется функциональным.
Совокупность значений Х при которых функции
И1 (х), И
2
(х), И
3
(х),…..И
n
(х) определены и ряд

И
n
(х)
сходится называются областью сходимости функционального ряда.
Областью сходимости функционального ряда чаще всего
служит какой-нибудь промежуток оси ОХ.
Каждому значению из области сходимости Х соответствует
определенное значение величины
lim n – o--o

И n (х).
Эту величину, являющуюся функцией Х называют суммой
функционального ряда и обозначают через S (x)
Достаточный
признак
равномерной
функционального ряда - Признак Вейерштрасса.
сходимости
Если функции И1 (х ), И 2 (х), .. И n ( x ) по абсолютной
величине не превосходят в некоторой области Х положительных
чисел а 1 , а 2 , …..а n , причем числовой ряд а 1 + а 2 + а 3 + … + а n-1
+… сходится, то функциональный ряд
И 1 (х) + И 2 (х) + … + И n-1 (х) + … в этой области сходится
равномерно.
ТЕОРЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ.
42
Если ряд И 1 (х) + И 2 (х) + … + И n - 1 (х) +…,
где И 1 (х), И 2 (х) … непрерывные функции, равномерно
сходится в некоторой области Х и имеет сумму S (х), то ряд
в
в
в

а
И 1 (х) d х +

И 2 (х) d х + ….. +

а
в
а

сходится и имеет сумму
Иn
-1
(х) d х + …
S (х) d х.
а
Пусть функции И 1 (х), И 2 (х), … Иn (х) определены в
некоторой области Х и имеют в этой области производные
И 1 (х), И 2 (х), … Иn (х)
Если в этой области ряд

Иn (х) сходится равномерно, то
его сумма равна производной суммы.
Зная формулу Тейлора:
Р n ( х ) = f ( x о ) + f ( x ) ( x-x о ) + f ( x ) ( x - x о ) 2 + …
1!
2!
… + f (n) ( x )
(x - x o ) n
n!
При x = o получим ряд Маклорена
f ( x ) = f ( 0 ) + f ( 0 ) x + f ( 0 ) x 2 + … + f (n) ( 0 ) x n
1!
2!
n!
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
1. Дан общий член ряда И n = n \ 10 n + 1
Написать первые
четыре члена ряда:
если n = 1, то И 1 = 1 / 11, если n = 2, то И 2 = 2 / 101, если n = 3,
то И 3 = 3 / 1001, n = 4, И 4 = 4 / 10001 ….
Ответ: 1 / 11 + 2 / 101 + 3 / 1001 + 4 / 10001 + …
2.
Исследовать
сходимость
1 / 11 + 1 / 12 + 1 / 13 +… + 1 / ( n + 10 ) + …
ряда
получен из
43
гармонического отбрасыванием первых десяти членов. Следовательно
он расходится.
3. Исследовать сходимость ряда 0,6 + 0,51 + 0,501 + .. +
[ 0,5 + ( 0,1 ) n ]
Здесь lim Иn = 0,5 = 0 ряд расходится.
n –o--o
4. Исследовать сходимость ряда U n = 1 / (2 n + 1).
Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда
т.е. ряда 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + …….
Но последний ряд сходится как бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Следовательно сходится и данный ряд.
5. Исследовать сходимость ряда
1/
3 + 2/3 + 3/3
3 + … + n / 3 n \ 2 + ….
Здесь Иn = n / 3 n \ 2 , И n + 1 = (n + 1 ) / 3 1 \ 2 ( n + 1 )
И n + 1 / Иn = ( n +1 ) / 3 1 \ 2 n , поэтому по признаку
Даламбера
D = lim (n + 1 ) / 3 1 \ 2 n = lim ( 1 + 1 \ n ) / 3 1 \ 2 = 1 / 3 1 \ 2.
n – o--o
n –o--o
D < 1, следовательно ряд сходится.
6. Разложить в ряд Маклорена функцию У = sin 2X
f (x) = f ( 0 ) + f | ( 0 ) x / 1 ! + f | | ( 0 ) x 2 / 2 ! + …
+ f ( n) ( 0 ) x n / n !
y|
y ||
y | ||
y |V
yV
=
=
=
=
=
2 cos 2x
- 4 sin 2x
- 8 cos2x
16 sin 2x
32 cos2x
y | (0) = 2
y | | (0) = 0
y | | | (0) = -8
y | V (0) = 0
y V (0) = 32
f (x) = 2 x / 1 ! – 8 x 3 / 3 ! + 32 x 5 / 5 ! + … + 4 n x 2 n - 1 / n ( n – 1 ) !
44
1.
2.
3.
4.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.
Дать определение числового ряда.
Какие признаки сходимости числового ряда известны?
Дать определение функционального ряда.
Как данную функцию можно разложить в ряд Маклорена?
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 9.
ТЕМА: «Определение вероятности события».
ЦЕЛЬ:
1. рассмотреть понятия: испытания и события;
2. дать классическое определение вероятности;
3. рассмотреть теоремы вероятности;
4. рассмотреть сочетания и их свойства;
УМЕНИЯ И НАВЫКИ:
- различать достоверные и недостоверные события;
- уметь находить вероятность события, применяя
теоремы вероятности;
- применять свойства сочетаний при решении
задач;
РУКОВОДСТВО К РАБОТЕ:
К основным понятиям теории вероятности относятся
испытания и событие.
Под испытанием ( опытом ) понимают реализацию данного
комплекса условий, в результате которого непременно произойдет
какое – либо событие.
Случайным событием ( A, B, C, … ) называется событие,
связанное с данным испытанием, которое при осуществлении этого
испытания может произойти, а может и не произойти.
Достоверным событием ( U ) называется событие, которое в
результате данного испытания непременно произойдет.
45
Невозможным событием ( V ) называется событие, которое
заведомо не произойдет в результате данного испытания.
Виды случайных событий:
1. События называются несовместными если осуществление
одного из них исключает осуществление других.
2. События называются равновозможными, если условия
испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления
каждого из них.
События образуют полную группу событий, если в
результате данного испытания непременно произойдет хотя бы одно
из них.
Полная группа несовместных событий – это такая группа
событий, когда в результате данного испытания непременно
произойдет одно и притом только одно событие данной группы.
3. Два случайных события называются противоположными,
если одно из них происходит в том и только том случае, когда не
происходит другое. А и А ( не А ).
Очевидно, что противоположные события образуют полную
группу событий.
Опред. Вероятностью Р ( А ) события А называется
отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих к
этому событию, к общему числу n равновозможных событий:
Р(А) = m\n
отсюда
P ( U ) = 1,
P(V)=0
т.е. вероятность достоверного события равна 1
т.о.
0 < P ( A ) < 1,
если A = U и A = V
а вероятность любого события А удовлетворяет неравенству
0<P(A)<1
46
Теоремы:
1.
Вероятность суммы двух несовместных
событий А и В равна сумме вероятностей
этих событий. Р ( А + В ) = Р(А) + Р(В).
Следствие 1. Вероятность суммы нескольких несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий.
Следствие 2. Если события несовместимы и образуют полную
группу, то сумма их вероятностей равна единице.
Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий
равна 1. Р ( А ) + Р ( А ) = 1
2. Если событие А и В совместны, то вероятность их суммы
выражается формулой:
Р ( А + В ) = Р ( А ) + Р ( В ) - Р ( АВ )
Т.е. вероятность суммы двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности их произведения (
совместного осуществления ).
3. Вероятность произведения двух независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий.
Р ( АВ ) = Р ( А ) * Р ( В ).
Определение:
Два события называются зависимыми, если
вероятность одного из них зависит оттого, произошло или не
произошло другое.
Вероятность события А. вычисленная при условии, что событие В
произошло называется условной вероятностью события А при
условии В и обозначается Р ( А \ В )
4. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна
произведению вероятности одного из этих событий на условную
вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие
произошло
Р ( АВ ) = Р (А) * Р ( В \ А ) = Р ( АВ ) = Р ( В ) * Р ( А \ В )
47
Определение: Число всех подмножеств по m элементов в
каждом, составленных из n элементов данного множества, называется
числом сочетаний из n элементов по m и обозначается через С nm
Теорема. Число сочетаний из n элементов m равно отношению
числа размещений из n элементов по m к числу
перестановок m элементов
Сnm = Аnm
Pm
C nm =
n!
m! (n-m)!
В частности, при
m = 1 величина C n1 = n. Условимся считать, что C
всех n.
Число сочетаний обладает свойствами:
1. Справедливо равенство:
C nm = C n n – m
2.
o
n
= 1 при
Справедливо равенство:
C nm + C nm + 1 = C n+1 m + 1
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
1. Пусть имеется 80 деталей, среди которых 60 исправных, а
20 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь
окажется исправной.
Из числа всех деталей благоприятствующих 60 и не
благоприятствующих 20. следовательно Р ( А ) = 60 / 80 =3 \ 4.
2. В урне 4 белых и 7 белых шаров. Из урны взяли 2 шара.
Какова вероятность, что оба шара белые?
Число элементарных событий: С112 = 11 * 10 = 55
2*1
Число случаев, благоприятствующих событию:
С42 = 4 * 3 = 6
2*1
следовательно
Р ( А ) = 6 \ 55.
48
3. На предприятии 96% изделий признаются пригодными к
использованию, а остальные – бракованными. Из каждой сотни
пригодных изделий в среднем 75 являются изделиями первого сорта.
Через А обозначим событие, заключающееся в том, что
изделие признается годным, а через В – что изделие первого сорта.
Искомой величиной является Р ( АВ ) ( так как , для того чтобы
изделие было первосортным, надо, чтобы оно было одновременно
годным ( событие А ) и первого сорта ( событие В )). Из условия
задачи Р ( А ) = 0,96, Р ( В \ А ) = 0,75.
Следовательно, Р ( АВ ) = Р ( А ) Р ( В \ А ) = 0.96 * 0,75 = 0,72
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
1.
2.
3.
4.
Дать определение событию, виды событий;
Дать классическое определение вероятности события;
Какие операции возможны над вероятностями?
Дать понятие сочетания и их свойства.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 10.
ТЕМА: «Математическое ожидание случайной величины».
ЦЕЛЬ:
1. рассмотреть закон распределения случайной величины;
2. дать понятие математическому ожиданию;
3. рассмотреть свойства математического ожидания;
4. дать понятие дисперсии случайной величины;
УМЕНИЯ И НАВЫКИ:
- знать закон распределения дискретной случайной величины;
- уметь вычислять математическое ожидание;
- уметь вычислять дисперсию случайной величины;
- уметь находить среднее квадратичное отклонение случайной
величины.
49
РУКОВОДСТВО К РАБОТЕ:
Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей
является понятие случайной величины.
Случайная величина, принимающая различные значения,
которые можно записать в виде конечной или бесконечной
последовательности, называется дискретной случайной величиной.
Случайная величина, которая может принимать все значения из
некоторого промежутка, называется непрерывной случайной
величиной.
Законом распределения дискретной случайной величины
называется соответствие между значениями х1, х2, х3, … этой
величины и их вероятностями р1, р2, р3, …
Закон распределения дискретной случайной величины может
быть задан таблично или аналитически (т.е. с помощью формул ).
Для наглядности закон распределения дискретной случайной
величины изображают и графически, получающаяся при этом ломаная
называется многоугольником распределения случайной величины.
Числовые характеристики случайной величины:
1. Математическим ожиданием или средним значением
дискретной случайной величины Х с законом распределения
Х
х1
х2
…
хn
У
у1
у2
…
уn
называется число
М [ Х ] = х 1 р 1 + х 2 р 2 + …. + х n р n.
Свойства математического ожидания:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак
математического ожидания:
М [ С х ] = С М [ Х ].
2.
Математическое ожидание суммы двух случайных величин
равна сумме их математических ожиданий :
М [ Х + У ] = М [ Х ] + М [ У ].
3. Если случайные величины Х и У независимы, то
математическое ожидание их произведения равно произведению их
математических ожиданий:
М [ Х У ] = М [ Х ] * М [ У ].
50
2. Дисперсией случайной величины называется математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее
математического ожидания.
D [ X ] = M [ ( X – M [ X ] 2 ].
Квадратный корень из дисперсии число Q:
Q[X]=
Которое называется
случайной величины Х.
1.
2.
3.
D[X]
средним квадратичным отклонением
Свойства дисперсии:
Дисперсия постоянной величины равна нулю.
При умножении случайной величины Х на постоянное
число С ее дисперсия умножается на С2.
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна
сумме их дисперсий.
На практике часто пользуются формулой:
D [ X ] = M [ X 2 ] - ( M [ X ] ) 2.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
Найти математическое ожидание числа очков,
выпадающих при бросании игральной кости.
Закон распределения в данном примере имеет вид:
Х 1
2
3
4
5
6
Р 1 \ 6 1 \ 6 1\ 6 1\ 6 1\ 6 1\ 6
Следовательно,
М [ х ] = 1* 1\ 6 + 2*1\ 6 + 3*1\ 6 + 4*1\ 6 + 5*1\ 6 + 6*1\ 6 = 3,5
1.
2.
Дискретная случайная величина Х имеет закон
распределения:
Х
0
1
2
Р
0,3
0,5
0,2
Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение
случайной величины Х.
По формуле М [ Х ] = 0 * 0,3 + 1* 0,5 + 2 * 0,2 = 0,9
Запишем закон распределения квадрата отклонения этой
величины, т.е. величины ( Х – М [ Х ] ) 2
51
(Х–М[Х])2
( 0 – 0,9 ) 2
( 1 – 0,9 ) 2
( 2 – 0,9 ) 2
Р
0,3
0,5
0,2
По формуле имеем:
D [Х] = (0-0,9) 2 * 0,3 + (1-0,9) 2 * 0,5 + (2 – 0,9 ) 2 * 0,2 =0,49
В соответствии с формулой находим среднее квадратичное
отклонение
Q[Х] =
D [Х] =
0,49 = 0,7.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
1.
2.
3.
4.
5.
52
Что называется дискретной случайной величиной?
Что такое закон распределения дискретной случайной
величины?
Что такое математическое ожидание случайной величины?
Что такое дисперсия случайной величины?
Чему равно среднее квадратичное отклонение случайной
величины?
Задания для практической работы.
В–1
В-2
В-3
В-4
1 5 9 13 17 21 25 29
2 6 10 14 18 22 26 30
3 7 11 15 19 23 27 31
4 8 12 16 20 24 28 32
33
34
35
36
37
38
39
40
41 45 49 53 57 61 65 69
42 46 50 54 58 62 66 70
43 47 51 55 59 63 67 71
44 48 52 56 60 64 68 72
Найти производные функций:
а) s = 3 \ 4 t4–1\2 t2+2 t
1.
б) y = ln ( x – 2 )
2.
а)
Найти производные функций:
y = 6 x 1\2 * x 1\3 : x 1\4
б) f ( x ) =
3.
3
ln x
Найти производные функций:
y =
а2 + x2
x
б) y = cos 1 u
а)
1+
4.
а)
u
Найти производные функций:
y =
2
2x2 +1
б)
y = arctg
1- x
x
5. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
Х У = 2 в точке с абсциссой, равной 1 \ 2.
53
6. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
У = 1 – 2 Х 2 в ее точке А ( 2; 1 ).
7. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
У=
Х
в ее точке В ( 0; 0) .
1 + Х 2
8. Доказать, что кривые У = 2 Х 2 + 2 Х – 3, У = Х 2 – 2 Х + 5
имеют общую касательную в точке А ( 2 ; 9 ). Написать уравнение
этой касательной.
9. Исследовать функцию и построить ее график:
У = Х 3 – 3 Х;
10. Исследовать функцию и построить ее график:
У = 1 \ 4 Х 4 - 8 Х;
11. Исследовать функцию и построить ее график:
У = - 2 Х 2 + 4 Х;
12. Исследовать функцию и построить ее график:
У =Х2–6Х+5
13. Найти дифференциал пути, выраженного уравнением
S = 5 t 2 + t, если t = 4 и приращение t = 0,01.
14. Сторона квадрата равна 5 см. Найти приближенное
приращение его площади при увеличении его стороны на 0,01
см.
15. Найти приближенное приращение площади круга, если
радиус его изменяется с 50 см на 50,1 см.
16. Сторона куба, равная 1 м, удлинилась на 10 см. Насколько
при этом увеличился объем куба?
54
4

17. Вычислить:
3
1
3


х2(1+2х)dx;
dx \
x
2
;

x2
d x;
4
3dx \ 4
x
;
18. Вычислить:

v - v 2\
3

dv ;
v

п
3dx
4
1 - x
19. Вычислить:


( 2 e t - 3 cos t ) d t ;

;
2
e 2 x + e x sin x
е
0
( cos x \ 3 – sin 3 x ) d x ;
d x \ sin 2 3 x ;
2


3
dx;
х
d x \ cos 2 ( 1 – 2 x ) ;
(3х+1)2dx;
1
20. Вычислить:

2хdx
;

1 + х2
х2 dx;
( 2 х 3 - 1 ) 1\
2
п\ 4

х * cos x d x ;
-п\ 4

cos x d x ;
1 + sin x
21. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями:
У = 2 Х – Х 2 и У = Х;
22. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями:
У2 = Х и у = Х2;
23. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями:
Х 2 – 9 У = 0 и Х – 3 У + 6 = 0;
24. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями:
У= Х2 и У = 1 - Х2 ;
25. Найти объем тела, образуемого вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной кривой У= sin X и прямыми У = 0, Х
= 0, Х = П.
55
26. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой У = 2 Х – Х 2.
27. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой У = - Х 2 + 1.
28. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой У = Х 2 - 4.
29. Найти частные решения:
Если при Х = 0, У = 1.
dy \
y + dx = dx \
30. Найти частные решения:
Если при Х = 0, У = 1.
2 y | = y,
31. Найти частные решения:
Если при Х = 5, У = 0.
2x–1
32. Найти частные решения:
Если при Х = 0, У = 1.
x,
= dx
y+1
dy
( 1 – x 2 ) d y \ d x + x y = 0,
33. Найти общее решение уравнения:
( y – x 2 y ) d y + ( x + x y 2 ) d x = 0.
34. Найти общее решение уравнения:
x 2 d y + ( y – 1 ) d x = 0.
35. Найти общее решение уравнения:
y d x + ( 1 – y ) x d y = 0.
36. Найти общее решение уравнения:
( x 2 + 1 ) d y = y d x.
37. Написать уравнение линии, проходящей через т. А ( 3 ; 1 ) и
имеющей касательную с угловым коэффициентом равным
К = 2 х - 1.
38. Написать уравнение линии, проходящей через т. А ( 4 ; 4 ) и
имеющей касательную с угловым коэффициентом К = 2 \ у.
56
39. Написать уравнение линии, проходящей через т. А ( - 1 ; 1\ е )
и имеющей касательную с угловым коэффициентом К = У.
40. Написать уравнение линии, проходящей через т. А ( - 1; 0 ) и
имеющей касательную с угловым коэффициентом 2.
41. Найти общее решение уравнения:
( X + Y ) d x + X d y = 0.
42. Найти общее решение уравнения
(X–Y)Ydx =X2dy.
43. Найти общее решение уравнения
X d y - Y d x = Y d y.
44. Найти общее решение уравнения
X d y + Y d x = - X d y.
45. Найти частное решение уравнения, если при х = 0, у = 1,
при х = 1, у | = 0.
d 2y \ d x 2 = 1
46. Найти частное решение уравнения, если при t = 0, s = 2,
и d s \ d t = - 11 \ 6.
d 2 \ d t 2 = t + 1.
47. Найти общее решение уравнения:
x 2 d 2 y \ d x 2 = 2.
48. Найти общее решение уравнения:
е х d 2 y \ d x 2 = 1 \ 2.
49. Найти общее решение уравнения:
У | | - У = 0.
50. Найти общее решение уравнения:
У | | - 4 У | + 3 У = 0.
51. Найти общее решение уравнения:
У | | + 16 У = 0.
52. Найти общее решение уравнения:
У | | + 4 У | + 8 У = 0.
53. Найти частное решение уравнения, если при х = 0, у = 2;
при у | = 6.
У | | - 9 У = 0.
54. Найти частное решение уравнения, если при х = 0, у = 2;
при у | = 1.
У | | + 6 У | + 9 У = 0.
57
55. Найти частное решение уравнения, если при х = 0, у = - 1;
при у | = 3.
У | | + 3 У | + 2 У = 0.
56. Найти частное решение уравнения, если при х = 0, у = 1;
при у | = 3.
У | | - 2 У | + 2 У = 0.
57. Исследовать на сходимость ряда:
1\
3 +2\3+ 3\3
3 + … + n \ 3 n\2 + …
58. Исследовать на сходимость ряда:
10 \ 1 ! + 10 2 \ 2 ! + 10 3 \ 3 ! + … + 10 n \ n ! + …
59. Исследовать на сходимость ряда:
1 2
+
3
4
+ … + (-1)n
2
22 +1
32 +1
42 +1
n + …
n2 + 1
60. Исследовать на сходимость ряда:
1,1 - 1,01 + 1,001 - … + ( - 1 ) [ 1 + ( 0,1 ) n } + ….
61. Функциональный ряд разложить в ряд Маклорена:
y = e x cos x
62. Функциональный ряд разложить в ряд Маклорена:
y = sin 2 x
63. Функциональный ряд разложить в ряд Маклорена:
y = ln | 1 + x |
64. Функциональный ряд разложить в ряд Маклорена:
y = arctg x
65. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По
списку наудачу выбраны 9 студентов. Найти вероятность того, что
среди отобранных студентов 5 отличников.
66. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число
от 40 до 70 является кратным 6 ?
58
67. В корзине 10 яблок, их которых 4 зеленых. Наудачу достали
3 яблока. Найти вероятность того, что хотя бы одно из выбранных
яблок зеленое.
68. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти
вероятность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся
выигрышными.
69. Найти математическое ожидание и дисперсии следующих
случайных величин, заданными своим таблицами распределения:
х
1
3
4
6
7
р(х )
0,1
0,1
0,3
0,4 0,1
70. Найти математическое ожидание и дисперсии следующих
случайных величин, заданными своим таблицами распределения:
х
-2
-1
0
1
2
р(х )
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
71. Найти математическое ожидание и дисперсии следующих
случайных величин, заданными своим таблицами распределения:
х
5
7
10
15
р(х )
0,2
0,5
0,2
0,1
72. Найти математическое ожидание и дисперсии следующих
случайных величин, заданными своим таблицами распределения:
х
100
150
200
250
300
р(х )
0,4
0,3
0,2
0,05
0,05
59
ТАБЛИЦА
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ:
Правила дифференцирования:
(U + V)| = U|+ V|
( U V ) | = U |V + U V |
( C U )| = C U|
( U\V)| =
V =0
( C ) | = 0;
( ln X ) | = 1 \ X;
( X ) | = 1;
( lg X ) | = 0,4343 \ X;
(Xn )| = n X
(
n–1
( a x ) | = a x ln a;
;
X )| = 1\2
X;
(1\X)| = -1\ X2;
( e x ) | = e x;
( arcsin X ) | = 1 \ 1 – X2;
( sin X ) | = cos X;
( arccos X ) | = - 1 \
( cos X ) | = - sin X;
( arctg X ) | = 1 \ (1 + X2);
( tg X ) | = 1 \ cos 2 X;
( ctg X ) | = - 1 \ sin 2 X;
60
U|V - UV|
V2
1-X2;
( arсctg X ) | = - 1 \ (1 + X2 );
ТАБЛИЦА ИНТЕГРИРОВАНИЯ:

Xn dx=X
n+1
+ C;

n + 1

dx \ (1 – X2 )=
= arcsin X + C;

d x \ X = ln X + C;
dx \ ( 1 + X2 )=
= arctg

e

a x dx = a x \ ln a

sin X dx = - cos X + C;

cos X dx = sin X + C;

dx \ cos2 X = tg X + C;

dx \ sin 2 X = - ctg X + C;
x
dx = e
x
X + C;
+ C;
+ C;
61
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данная методическая разработка предназначена для реализации
государственных требований к минимуму содержания и уровню
подготовки выпускников по специальностям 151001 «Технология
машиностроения» и 080110 «Экономика и бухгалтерский учет» и
является единой для очно-заочного обучения.
Данное методическое пособие включает в себя учебнометодический материал по математике для студентов, владеющих
навыками математики в объеме средней школы.
Теоретический материал в каждой практической работе имеет
краткое содержание и вполне доступно студентам со средним
уровнем базовых знаний по математике.
Разобранные типовые задания позволяют студентам составить
алгоритм решения аналогичных задач. Это дает возможность
вполне самостоятельно студентам справиться
с решением
практических заданий.
Благодаря вариативности заданий по практическим работам
студент может выбрать себе доступный вариант. В результате
преподаватель объективно оценит реальный уровень знаний
студентов.
Рекомендованная литература поможет студентам в овладении
теоретическими
знаниями,
необходимыми
в
выполнении
практических заданий.
Михайлян Е.И.
62
ЛИТЕРАТУРА:
1. А. А. Дадаян
« Математика»
Москва
форум – инфра – м 2005
2. И. Д. Пехлецкий
« Математика»
Москва изд. Мастерство 2001
3. Н. В. Богомолов
« Практические занятия по математике»
Москва 20006
4. И.И. Валуцэ
« Математика для техникумов»
М. Наука
1980
5. И. Л. Зайцев
« Элементы высшей математики»
М. Наука 1972
6.
Н. П. Тарасов « Курс высшей математики для техникумов»
М. Наука 1972
7. Н. М. Матвеева
« Курс математики для техникумов»
М. Наука 1977
63
64