МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЗАОЧНИКОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ДЛЯ
ЗАОЧНИКОВ
СПЕЦИАЛЬНОСТИ
«Экономика»
ПО
МАТАНАЛИЗУ
2 семестр
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………….
Правила выполнения контрольной работы…………………………...
Программа курса высшей математики на второй семестр
1 Интегральные исчисления функции одной переменной
1.1 Вычисление определенного интеграла
1.2 Вычисление площади плоской фигуры
1.3 Вычисление объема тела
1.4 Несобственный интеграл
2 Функции нескольких переменных…………………………………
2.1 Функции нескольких независимых переменных……………...
2.2 Экстремум функции двух независимых переменных………...
3 Дифференциальные уравнения……………………………………….
3.1 Основные теоретические сведения………………………………..
3.1.1 Виды дифференциальных уравнений и их решения………….
3.1.2 Однородные дифференциальные уравнения………………….
3.1.3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения Бернулли…………………………………………………….
3.1.4 Дифференциальные уравнения высших порядков……………
3.1.5 Линейные однородные уравнения второго порядка с
постоянными
коэффициентами……………………………………………….
3.2 Система дифференциальных уравнений…………………………..
Задачи для контрольных заданий
Литература
1
ВВЕДЕНИЕ
Подготовка кадров квалифицированных специалистов, способных
обеспечит все ступени планирования обоснованными и наиболее выгодными
расчетами возможна только при поступлении этих расчетов на надежной
математической основе. Поэтому становиться
необходимым улучшение
уровня математических знаний студентов экономических специальностей.
Этой цели
служит издание методических указаний, отражающих
специфику программы по математике для экономических специальностей
академии.
Предлагаемое методическое указание дает возможность студентам
разных
форм
обучения
систематически
закреплять
полученные
теоретические знания самостоятельным решением примеров и задач по
разделам:
интегральное исчисление, дифференциальные уравнения и
функции нескольких переменных.
Примеры
и
задачи
в
предлагаемом
методическом
указании
расположены в соответствии с изложением материала в учебниках для
студентов экономических специальностей.
Математическая подготовка экономиста имеет свои особенности,
связанные со спецификой экономических задач, а также с широким
разнообразием подходов к решению.
Задачи практической и теоретической экономики разнообразны. К
ним относятся методы сбора и обработки информации, оценка состояния и
перспективы развития экономических процессов.
Отмеченные
направления
требуют
знания
основополагающего
математического аппарата.
При выполнении контрольных работ студентам предлагаются примеры и
задачи к каждому разделу темы, которые выполняются по вариантам, номера
которых
берутся по шифру зачетной книжки. Например, если шифр
зачетной книжки 01300 - вариант 10; 01301 - вариант 1; 01311 - вариант 1; 0
31320 вариант - 10 и т.д.
2
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
При выполнении контрольной работы следует соблюдать указанные ниже
правила. Работа, выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается
и возвращается студенту для переработки.
1. Контрольную работу можно сдать в распечатанном виде, оставляя
поля для замечаний рецензента.
2. Решение задач следует располагать в порядке номеров, указанных в
заданиях,
сохраняя номера задач. Перед решением надо полностью
выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую
формулировку, следует переписывая условие задачи, заменить общие
данные конкретными из соответствующего номера.
3. Решение задач нужно излагать подробно и аккуратно, объясняя все
действия. В конце решения, следует записать ответ.
4. Контрольная работа, выполненная не по-своему варианту, не допускается
к собеседованию. К собеседованию не допускается также работа, в
которой выполнены не все задания.
5. После получения прорецензированной работы студент должен исправить
в ней все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты.
3
Рабочая программа по математике для студентов
экономических специальностей.
II семестр
Раздел IV. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения.
Тема1 : Неопределенный интеграл.
Содержание: Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства
неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.
Тема 2: Методы интегрирования неопределенных интегралов.
Содержание: Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям.
Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование
некоторых видов иррациональностей. Интегрирование тригонометрических
функций. Об интегралах, «неберущихся» в элементарных функциях.
Тема 3: Определенный интеграл.
Содержание: Понятие определенного интеграла, его геометрический и
экономический смысл. Свойства определенного интеграла.
Тема 4: Методы вычисления определенных интегралов.
Содержание: Определенный интеграл как функция верхнего предела.
Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования
по частям в определенном интеграле.
Тема 5: Геометрические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Содержание: Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объемов
тел вращения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Тема 6: Приближенное вычисление определенных интегралов.
Содержание: Методы трапеций и Симпсона для приближенных вычислений
определенных интегралов.
Тема 7: Дифференциальные уравнения первого порядка.
Содержание: Задачи приводящие к понятию дифференциального уравнения.
Геометрический смысл решений дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Теорема существования и единственности решения. Элементы качественного
анализа дифференциальных уравнений 1-го порядка. Задачи приводящие к
дифференциальным уравнениям. Неполные дифференциальные уравнения
первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
4
переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения
Бернулли.
Тема 8: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие
понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го
порядка с постоянными коэффициентами.
Содержание: Линейные однородные и неоднородные дифференциальные
уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации
произвольных постоянных. Структура общего решения со специальной
правой частью (три случая).
Раздел V Функции нескольких переменных.
Тема 9: Функции нескольких переменных.
Содержание: Основные понятия. Предел и непрерывность. Частные
производные. Дифференциал функции.
Тема 10: Производная по направлению.
Содержание: Градиент. Экстремум функции нескольких переменных.
Наибольшее и наименьшее значения функции. Условный экстремум. Метод
множителей Лагранжа.
Тема 11: Метод наименьших квадратов.
Содержание: Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших
квадратов. Понятие двойного интеграла
5
Интегральные исчисления функции одной переменной
1. 1 Вычисление определенного интеграла
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется выражение
вида  f ( x)dx  F ( x)  c ,
если
F х  f x .
Функция
F(x)
называется
первообразной для заданной функции f(x).
При интегрировании наиболее часто используется следующие методы:
1) Если
1
 f ( x)dx  F ( x)  C , то  f (ax)dx  a F ax  C ;
 f ( x  b)dx  F ( x  b)  C ,
где a и b некоторые постоянные.
2) Подведение под знак дифференциала:  f ( ( x)) ( x)dx   f ( ( x))d ( ( x)) ,
где  ( x)dx  d ( ( x))
3) Формула интегрирования по частям:  UdV  UV   VdU ,
где U=f(x) и V=f(x) непрерывно дифференцируемые функции от х. С
помощью этой формулы нахождение интеграла  UdV cводится к
отысканию другого интеграла  VdU . Ее применение целесообразно в тех
случаях, когда последний интеграл либо проще исходного , либо ему
подобен. При этом за U берется такая функция, которая при
дифференцировании упрощается, а за dV – та часть подынтегрального
выражения, интеграл от которого известен или может быть найден.
Пример 1 .Найти интеграл Y=  е x sin xdx.
▲Пусть U=e x ; dV=sinxdx; тогда dU=e x dx; V=  sin xdx   cos x.
Следовательно Y  e x cos x   e x cos xdx. Проинтегрируем по частям
e
x
cos xdx :
6
пусть U=e x , dV=cosxdx, откуда dU  e x dx ; V = sinx, получаем
Y  e x cos x  (e x sin x  Y ), т.е. .Y  e x cos x  e x sin x  Y Применяя дважды
операцию интегрирования по частям, мы в правой части снова получим
исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным
интегралом Y. Из этого уравнения находим
x
x
2Y  e cos x  e sin x т.е.
Y
ex
(sin x  cos x)  C
2
Пример 2. Найти интеграл Y=  arctqxdx; .
dx
; V   dx  x .
1 x2
xdx
1
Следовательно,  arctgxdx  xarctgx  
 xarctgx  ln 1  x 2  C
2
1 x2
4) Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки)
▲Пусть U=arctgx; dV=dx; тогда dU=
является одним из эффективных приемов интегрирования. Замена
переменной в неопределенном интеграле производится с помощью
подстановок двух видов:
а) x=(t), где(t)-монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой
переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид:
 f ( x)dx  f ( (t )) ' (t )dx   f (t )du
б) u=(t), где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой
подстановке:
 f ( x)dx  f ( ( x)) ' ( x)dx   f (u)du
Пример 3. Найти интеграл 
sin 3 x
3
x
2
dx.
▲Произведем подстановку t= 3 x , т.е. x=t 3 . Эта подстановка приведет к тому,
что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не корень из
нее. Найдем дифференциал dx=3t 2 dt. Отсюда получаем
7

sin 3 x
3 2
x
dx  
3t 2 sin t
t
2
dt  3 sin tdt   cost  C .
Ответ должен быть выражен через старую переменную х. Подставляя в
результат интегрирования t= 3 x , получим

sin 3 x
3
x2
dx  3 cos 3 x  C
(2 ln x  3) 3 dx
Пример 4. Найти интеграл 
.
x
▲Перепишем данный интеграл в виде
выражения 2lnx+3 равна
 (2 ln x  3)
31
x
1
2
а второй множитель
õ,
x
dx. Т.к. производная
отличается от этой
производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить
подстановку 2 lnx + 3 = t.
Тогда 2
dx
dx 1
 dt;  dt. Следовательно,
x
x 2
 (2 ln x  3)
3 dx
x
1
1
1
1
  t 3 dt   t 3dt  t 4  c  (2 ln x  3) 4  С
x
2
2
8
8
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] (или в
пределах от а до в) называется предел интегральной суммы при условии, что
длина наибольшего из элементарных отрезков (max.xк) стремится к нулю:
b
Y=  f ( x)dx ; числа а и в соответственно называются нижним и верхним
a
пределами интегрирования.
b
Если f(x)>0 на [a;b], то определенный интеграл
 f ( x)dx
геометрически
a
представляет
собой
площадь
криволинейной
трапеции-
фигуры,
ограниченной линиями y=f(x); x=a; x=b; y=0.См. рис.
8
y
y=f(x)
x
x=a
y=0
x=b
Правила вычисления определенного интеграла.
b
b
 f ( x)dx  F ( x) a
1)Формула Ньютона-Лейбница:
 F (b)  F (a); где F(x)-
a
первообразная для f(x),т.е. F’(x)=f(x).
b
b
b
2) Интегрирование по частям:  UdV UV a   VdU , где U=U(x); V=V(x)a
a
непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a;b].
b

a

3) Замена переменной :  f ( x)dx 
непрерывна
вместе
со
 f ( (t )) ' (t )dt,
своей
где х=  (t ) - функция
производной
 ' (t ) на
отрезке
  t   , a   ( ); b   (  ).
f (t) – функция,
непрерывная на  ;  .

Пример 5. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница

▲
4

dx
2
 cos x
6
4

dx
2
 cos x
6

 tgx  4  tg
6

4
 tg

6
 1
3
3
2
x
x sin dx.
2
0
▲ Интегрируя по частям, находим
Пример 6. Вычислить интеграл
2

2
2
2
x
x
x
x
 x sin 2dx  2  xd (cos 2 )   2 x cos 2  2  cos 2dx 
0
0
0
0
9
2
2
x
x
 2 x cos
 4 sin
 4
20
20
з
Пример 7. Вычислить интеграл  x 2 sin xdx.
0
▲ Дважды интегрируя по частям, получаем


2
2

0
x sin xdx  

2
2

2
2
x d (cos x)   x cos x / 0 2 
0
2





xd (sin x)  2 x sin x 0 2 2
0
2
 2 x cos xdx 
0
2


sin xdx    2 cos x 0 2    2
0
е
Пример 8. Вычислить
2
ln x
dx
x
1

dx
 dt . Если x = 1, то t = 0, если x = е, то t = 1.
x
▲ Пусть lnx = t, тогда
1
e
1
ln 2 x
1
1
1
Следовательно 
dx   t 2 dt  t 3  (13  03 ) 
x
3 0 3
3
1
0
2
x
Пример 9. Вычислить
2
8  2 x 2 dx
2
▲ Введем новую переменную по формуле x = 2sint. Поскольку dx = 2costdt, t
= arcsin x , t1   при x  2 , t1   при x  2 , то
2
4
2

2
2
2
 x 8  2 x dx 
2
2
 2 sin t 

2
8  22 sin t  2 cos tdt 
2
4


2
 sin 4t  2
 2 2  1  cos 4t dt  2 2  t 


4 
2


2
4
4


2

2
2
  4 sin t 8  8 sin t 2 cos tdt   16 2 sin t cos tdt   4 2 sin 2 2tdt 
2

4
2
2

4
2

4
10
1. 2 Вычисление площади плоской фигуры
Площадь
криволинейной
 f x   0,прямыми
трапеции,
ограниченной
кривой
y=f(x)
x = a, x = b и отрезком а; b оси Ox, вычисляется по
формуле
b
S   f ( x)dx
a
Площадь фигуры, ограниченной кривыми
 f1 x  
y  f1  x 
и
y  f 2 x 
f 2  x  и прямыми x = a и x = b, находится по формуле
b
S    f 2 x   f1 x dx.
a
Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t); y = y(t), то
площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, x = a, x = b и
отрезком a; b оси Ох, выражается формулой
S
t2
 y (t ) x(t )dt ,
t1
где t1 и t2 определяются из уравнений a = x ( t1 );b = x( t 2 ) y(t )  0 при
t1  t  t 2 .
Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4-x2; y = x22x.
▲ Выполним рисунок. Координаты точек пересечения кривых y = 4-x2 и y =
x2-2x найдем из системы уравнений:
y
y=4-x2
A
y=x2-2x
B
 y  4  x 2
 А(-1;3); B(2;0)

 y  x 2  2 x
Из рисунка видно, что искомая площадь
-1 0
x
– это площадь фигуры, заключенная
между кривыми; при этом на отрезке  1;2 f 2 ( x)  4  x 2  f1 ( x)  x 2  2 x .
S
 4  x  x
2
1
2
2

 2 x dx 
 4  2x 2  2xdx  4x 21  2 3 x3 21  x 2 21 
2
1
11
2
 42  1  2
3
Пример
11.
3

 13  2 2  1  9(êâ.åä.)
вычислить
площадь
фигуры,
ограниченной
линиями
x2  4 y 2  8 и x2  4 y  0.
▲ Данная фигура ограничена сверху дугой эллипса
y
x 2  4 y 2  8 , снизу – дугой параболы x 2  4 y .
Решая систему уравнений
-2
0
2
x
 x 2  4 y 2  8
, находим x1 = -2, x2 = 2 – абсциссы
 2
 x  4 y  0
точек пересечения заданных линий. Следовательно, а = -2, b = 2. Каждое

x2
y

 1 4
уравнение разрешает относительно y: 
.
2
y  8  x
 2
2
Таким образом, искомая площадь равна:
2 
2
2
8  x 2 x 2 
2

1
1
S 

dx 
8  x dx 
x 2 dx .


2
4

2
4 
2
2
2

первого
интеграла
применим
подстановку
Для
вычисления
x  2 2 sin tdt ,
тогда
dx  2 2 cos tdt     ,   
4
4



4

 2  1  cos 2t dt  2 t  1 sin 2t 4    2
2

4

4
2

4
S1  1  8  x 2 dx  1  8  8 sin 2 t 2 2dt 
2 2
2 
4
1 2 2
1 x3
Поскольку S 2   х dx 
2 2
4 3
2
2
4
2
 4 , то S = S1 - S2 =  +2-    êâ.åä.
3
3
3
12
1. 3 Вычисление объема тела
Объем
y
d
тела,
полученного
вращением
вокруг оси OY криволинейной трапеции
D
CcdD (см. рис.), где CD - дуга кривой
x=f(y), определяется по формуле:
c
b
C
Võ    f 2 ( x)dx или
à
0
x
d
V y     2  y dy
c
Пример 12. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси OY
криволинейной трапеции, ограниченной параболой x 2 = 4y, прямой y = 4 и
осью OY .
▲ Замечая, что пределы интегрирования c=0; d=4, находим:
4
4
V=   x dy    4 ydy  2y 2
2
0
0
4
0
 32 (куб.ед.) .
Пример 13. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси OY
криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой xy = 6, прямыми y = 1; y
= 6 и осью OY.
y
▲ Из уравнения кривой xy = 6 находим x
6
=
6 2 36
. Принимая во внимание, что c =
,x 
y
y2
1. d = 6, по формуле получаем
1
6
0
1
6
x
6
6
36
1
v 
dy  36 

 36 (  1)  30 (к
2
2
y 1
6
1y
1y
36
dy
1. 4 Несобственные интегралы
13
Несобственными интегралами называются:
бесконечными пределами;
2) интегралы от неограниченных функций.
1)
интегралы
с
Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до + 
определяется равенством

b
a
a
 f ( x)dx  alim
 f ( x)dx

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл
называется сходящимся; если же предел не существует или равен
бесконечности – расходится. Аналогично
b
b

a
lim  f ( x)dx
 f ( x)dx  a 

и

b

a   a
b  

 f ( x)dx
f ( x)dx  lim
Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке С отрезка a; b и
непрерывна при a  x  c и c  x  b , то по определению полагают
b
c 
b
a
a
c
 f ( x)d  lim
 f ( x)dx  lim
 f ( x)dx
0
0
b
Несобственный интеграл  f ( x)dx , где f(c) = , асb, называется
a
сходящимся, если существует оба предела в правой части равенства, и
расходящимся, если не существует хотя бы один их них.

Пример 14. Вычислить
dx
 x ln x
e
▲ Это несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом
интегрирования. По формуле (10) имеем:
14

ln ln x  e
 x ln x  blim

dx
b
e
 lim ln ln b  0   , интеграл
b 
расходится.

4
dx

Пример 15. Вычислить
0 sin
.
2
x
▲ Интеграл является несобственным интегралом неограниченной функции
f(x)=1/sin 2 x,которая терпит бесконечный разрыв в нижнем пределе при x = 0.
Согласно формуле (13) получаем

4


dx
0 sin
2
 lim
x
4


dx
  0  sin 2 x
 lim (tgx)  4  1  lim tg  1 .
 0
 0
Этот
несобственный интеграл сходится.
1
dx
.
1

x
0
1
b
b
dx
dx
▲
 lim 
  lim 2 1  x   lim 2( 1  b  1)  2
0
b 1 0
b 1 0
0 1  x b 1 0 0 1  x
Пример 16. Вычислить

1
Пример 17. Вычислить

dx
1 x
2
▲ Т.к. внутри отрезка интегрирования существует точка x = 0, где
подынтегральная функция разрывна, то интеграл нужно представить как
сумму двух слагаемых:
1

dx
1x
2
 lim
1

dx
10 1x 2
 lim
1

dx
 2 0  x 2
2
Вычислим каждый предел отдельно:
1

1
1 1
1 
   , следовательно на участке
lim 
  lim
 lim  
2
x


1
 1  0 1 x
 1  0 1
 1

dx
 1;0 интеграл расходится.
15
1

1 
 lim 1     - на участке 0;1 интеграл расходится.
 2  0  x 2
 2 
2
Поэтому на всем отрезке  1;1 данный интеграл расходится.
lim

dx
Функции нескольких переменных
2.1 Функции нескольких независимых переменных
Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений
(х1;х2;…;хn) из некоторого множества Х соответствует одно вполне
определенное значение переменной величины Z. Тогда говорят, что задана
функция нескольких переменных Z=f(х1;х2;…;хn). Переменные х1;х2;…;хn
называются независимыми переменными. Если u=f(x;y;z) есть функция
нескольких переменных, то могут существовать производные функции по x,
по y, по z, которые называются частными производными и обозначаются
u u u
или U x ;U y ;U z .
; ;
x y z
Пример
18.
Найти
2
2
функции U  x  3xy  4 y  x  2 y  1.
частные
▲Рассмотрим у как постоянную величину, тогда
рассмотрим х как постоянную величину, тогда
u
 3x  8 y  2.
y
производные
u
 2 x  3 y  1;
x
Производной функции Z=f(x;y) в точке М (х;у) в направлении вектора
  ММ 1
называется предел
f (M 1 )  f (M )
z
z
 lim
 lim
, где   x 2  y 2 .
MM

0


0
1
l
MM 1

Если функция дифференцируема, то производная в данном направлении
вычисляется по формуле
z z
z
 cos   sin  , где  - угол образованный
l x
y
вектором  с осью ОХ. В случае функции трех переменных U=f(x;y;z)
производная в данном направлении вычисляется по формуле
u u
u
u

cos  
cos  
cos , где cos  ; cos  ; cos  направляющие косинусы
l x
y
z
вектора  . Градиентом функции U=f(x;y;z) [grad u] по направлению вектора
du
 (m;n;p) является d , т. е.
u
u
u du u
u
u
grad _ u 
i
j
k;

cos   cos   cos 
x
y
z d x
y
z
;
m
n
p
cos 
; cos  
; cos  
.
m2  n2  p 2
m2  n2  p 2
m2  n2  p 2
16
du
Пример 19. Найти grad u; grad _ u и производную по направлению d
в точке А(1;1;1);  (1; 2 ;-1) для функции U  x 2  y 2  z 2 .
▲
u
u
u u
grad _ u 
i
j  k;

x
y
z x
x 1
u
u
1
1
; ( A) 
y 1

;
2
2
2
x
3
x 2  y 2  z 2 x
1

1

1
z 1
x
x 1
u
u
1
; ( A) 
y 1
;
2
2
2 y
y
3 u
x y z
z 1

z
u

y
y
x 1
u
u
1
; ( A) 
y 1
;
2
2
2
z
3
x  y  z z
z 1
z
2
2
2
1
1
1
1
 1   1   1 
grad _ u 
i
j
k ; grad _ u  
 
 
  ;
2
3
3
3
 3  3  3
du u
u
u

cos  
cos  
cos 
d x
y
z
;
1
cos 
12 
 2 1
2
2

1
; cos  
2
12 
2
 2 1
2
2

2
1
1
; cos  
 ;
2
2
2
12  2  12
 
du
1 1 1
2
1  1
6

* 
*

*  
.;
d
6
3 2
3 2
3  2
2.2 Экстремум функции двух независимых переменных
Функция z=f(x;y) имеет максимум (минимум) в точке М0(х0;у0), если
значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой
другой точке М(х;у) некоторой окрестности точки М0.
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка
М0, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.
Если дифференцируемая функция z=f(x;y) достигает экстремума в
точке М0(х0;у0), то ее частные производные первого порядка в этой точке
равны нулю:
f ( x0 ; y 0 )
f ( x0 ; y 0 )
 0;
 0 (необходимые условия). Точки, в
x
y
которых частные производные равны нулю, называются стационарными. Не
всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Пусть М0(х0;у0) – стационарная точка функции z=f(x;y). Обозначим
À
 2 f ( x0 ; y 0 )
 2 f ( x0 ; y 0 )
 2 f ( x0 ; y 0 )
;
B

;
C

õ
õ 2
y 2
и составим дискриминант
  AC  B 2 . Тогда:
1) если   0, то функция имеет в точке М0 экстремум, а
именно максимум при А<0 (или C<0) и минимум при A>0 (илиC>0);
2) если   0, то в точке М0 экстремума нет (достаточные условия наличия
или отсутствия экстремума).
3) если   0 , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
Пример 20. Найти экстремум функции z  x 2  xy  y 2  3x  6 y.
17
z
z
 2 x  y  3;  x  2 y  6.
x
y
▲Находим частные производные первого порядка
Воспользовавшись
необходимыми
условиями
экстремума,
находим
2 x  y  3  0,  x  0,
M 0;3 . Находим значения частных

 x  2 y  6  0,  y  3.
2z
2z
2z
производных второго порядка в точке М: 2  2; 2  2;
 1, и составим
xy
x
y
стационарные точки: 
дискриминант   AC  B 2  2 * 2  1  3  0; A  0. Следовательно, в точке М(0;3)
заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке Zmin=-9.
Пример
2.
▲Находим
Найти
экстремум
частные
производные
z
1
2
47 z
1
1
47
 y x ;  y x .
x
12
3
3 y
2
12
4
условиями
функции
экстремума,
z
1
x y
xy  (47  x  y )  .
2
3 4
первого
Воспользовавшись
находим
порядка:
необходимыми
стационарные
2
47
 1
 12 y  3 x  3  0, 8 x  y  188, x  21,
M 21;20 . Найдем значение
 1


1
47
x

6
y

141
;
y

20
.


 y  x 
 0;
12
4
 2
2z
2 2z
1 2z
1
производных
в
точке
М:
 ; 2  ;
 .
2
3 y
2 xy
12
x
точки:
вторых
Тогда
2
1
1
 2  1   1 
  AC  B            
 0. Т. к. А<0,
3 144
 3  2   12 
2
то в точке М(21;20)
функция имеет максимум: Zmax=282.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.1 Основные теоретические сведения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее
независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы).
Если независимые переменная одна, то уравнение называется обычным
дифференциальным уравнением. Если же независимых переменных две и
18
больше, то уравнение называется дифференциальным в частных
производных.
Решением
дифференциального
уравнения
называется
такая
дифференцируемая функция у=  (x ) , которая при подстановке в уравнение
вместо неизвестной функции обращает его в тождество.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка
y   f ( x; y ) в области D называется функция y    ( x; c) , обладающая
следующими свойствами:
1. она является решением данного уравнения при любых значениях
произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству;
2. для любого начального условия y ( x0 )  y 0 такого ,что (х 0 : y 0 )D
существует единственное значение C=C0, при котором решение
y =   x; y 
удовлетворяет заданному начальному условию.
Если функция f (x,y) непрерывна и имеет непрерывную производную
Df
в области D, то решение дифференциального уравнения y   f ( x; y ) при
Dy
начальном условии y(x0)=y0 существует и единственно, т.е. через точку (x0;y0)
проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема
Коши).
3.1.1 Виды дифференциальных уравнений и их решения
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Имеет вид: f1 ( x)1 ( y )dx  f 2 ( x) 2 ( y )dy .
f ( x)
 ( y)
Оно приводится к виду 1
dx  2
dy  0 .
f 2 ( x)
1 ( y )
Общее решение имеет вид:

f1 ( x)
 ( y)
dx   2 dy  С .
f 2 ( x)
1 ( y )
Пример 21. Найти общее и частое решения уравнения (1+x2)dy+ydx=0 при
начальном условии y(1)=1.
19
▲ Преобразуем данное уравнение к виду
ln y  arctgx  C
y  e arctgxC .
dy
dx
dy
dx
или

;
 
2
2
y
y
1 x
1 x
Это общее решение или интеграл.
Используем начальное условие для нахождения постоянной С.
ln 1  arctg1  C arctg1  C С 
ln y  arctgx 

4
ye
arctgx

4
.
Следовательно,
частное
Имеем
решение

4.
3.1.2 Однородное дифференциальное уравнение
Имеет вид: P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0, если P(x;y) и Q(x;y) – однородные функции
одного измерения
 y
Это уравнение может быть приведено к виду: y   f   . С помощью
 x
подстановки y=tx однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции
t.
Пример 22. Найти общее и частое решения уравнения y  
y
y
при
 sin
x
x
начальном условии y(1)=/2.
▲ Произведем подстановку
y
 t , откуда y=tx; dy=xdt+tdx. В результате
x
получаем: xdt+tdx = (t+sint)dx; xdt = sintdx;
имеем ln tg
dt
dx
 ;
sin t
x
dt
 sin t  
dx
С ,
x
t
t
y
 ln x  ln C;
 arctg (Cx) ; произведя обратную замену  t ,
x
2
2
находим общее решение исходного уравнения y=2x arctg(Cx). Используя
заданное начальное условие, получим /2=2arctg(C), откуда С=1. Искомое
частное решение имеет вид: y=2x arctgx.
3.1.3 Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Уравнения Бернулли
20
Уравнения вида y   P( x) y  Q( x) называется линейным (y и y/ входят в
первых степенях, не перемножаясь между собой). Искомое общее решение
линейного
неоднородного

y  e  P( x)dx  Q( x)e  P( x)dx dx  C

уравнения
имеет
вид:
Уравнение вида y   P( x) y  Q( x) y m , где m0; m1 – называется уравнением
Бернулли.
Пример 23. Проинтегрировать уравнение y  cos2 x  y  tgx при начальном
условии y(0)=0.
▲ Интегрируем соответствующее однородное уравнение y  cos2 x  y  0 ,
разделив переменные
dy
dx

 0; ln y  tgx  ln C;
y cos2 x
y  Ce tgx . Ищем
решение исходного неоднородного уравнения в виде y  C ( x)e tgx , где С(x)
– неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение y  C ( x)e tgx и
y  C ( x)e tgx  С ( x)e tgx sec 2 x ,
придем
к
уравнению
cos2 x * C ( x)e tgx  C ( x)e tgx sec2 x cos2 x  C ( x)e tgx  tgx;
C ( x) cos xe
2
tgx
 tgx C ( x)  
решение данного уравнения
e tgx tgx
cos2 x
dx  e tgx (tgx  1)  C . Получаем общее
y  tgx  1  Ce tgx . Используя начальные
условия y(0)=0, получим
0 = -1+С, С=1. искомое частное решение имеет вид y=tgx-1+e-tgx.
Пример 24. Проинтегрировать уравнение
y
2 xy
y 
4
arctgx .
2
1 x2
1 x
▲ Это уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом Бернулли, для
чего положим y=UV. Подставляя в исходное уравнение y=UV, y/=U/ V+UV/, и
сгруппировав
члены,
содержащие
U
в
первой
степени,
имеем:
21

2 xV 
UV
  4
U V  U V  
arctgx . Примем за V какое – либо частное
2
2
1

x


1 x
решение уравнения V  
2 xV
1 x
2
 0 . Разделяя в нем переменные, находим
dV
2 xdx

; ln V  ln(1  x 2 ); V  1  x 2 (постоянную интегрирования не
2
V
1 x
вводим). Для отыскания U имеем уравнение U V 
переменные и интегрируя уравнение U  
получим
2arctgx
dU

dx;
2 U
1  x2
U  (arctg 2 x  C ) 2
и
4 UV
1 x
4 U arctgx
1 x
2
arctgx . Разделяя
(поскольку V=1+x2),
U  arctg 2 x  C .
y=UV= (1  x 2 )(arctg 2 x  C) 2
2
Таким
есть
общее
образом
решение
исходного уравнения.
3.1.4 Дифференциальные уравнения высших порядков
называются уравнения вида
F ( x; y; y ; y ; y (n) ) =0. Решением такого
уравнения служит всякая n раз дифференцируемая функция y=(x), которая
обращает
данное
уравнение
в
тождество,
т.е.
F ( x;  ( x);  ( x);  ( x);  (n) ( x))  0 . Общее решение может быть записано
так:
f n ( x)       f ( x)dx n
или
y  f n ( x)  C1 x n 1  C2 x n  2    Cn 1 x  Cn
n раз
Пример 25. найти общее и частое решение уравнения y   xe  x ,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1; y/(0)=0.
▲ Найдем общее решение последовательным интегрированием
данного уравнения:
y   xe  x dx   xe  x  e  x  C1; y   ( xe  x  e  x  C1 )dx 
 xe  x  2e  x  C1 x  C2
22
Воспользуемся начальными условиями: 1=2+С2; С2=-1; 0=-1+С1; С1=1.
Искомое частое решение имеет вид: y  ( x  2)e  x  x  1 . Это же решение
можно найти, использую сразу же заданные начальные условия:

x
x
y   y (0)   xe  x dx   xe  x  e  x 0   xe  x  e  x  1;
0

x
x
y  y(0)   ( xe  x  e  x  1)dx  1  ( x  2)e  x  x 0  ( x  2)e  x  x  1 .
0
 y 
Пример 26. найти общее решение уравнения xy   y  ln   .
x
z z
z
▲ Пусть y/=z. Преобразуем уравнение к виду xz   z ln  ; z   ln . Это
x x
 x
однородное уравнение первого порядка. Пусть
получим t x  t  t ln t или
.
Возвращаясь
к
z
 t ; z  xt ; z   t x  t ,
x
dt
dx
 ; ln(ln t  1)  ln x  ln C1 ; ln t  1  C1 x; t  e1C1x
t (ln t  1) x
переменной
y,
приходим
к
уравнению
y   xe1C1x ; y   xe1C1x dx 
1 1C1x 1 1C1x
xe

e
 C2
C1
C1
3.1.5 Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентом
К таким дифференциальным уравнениям относятся уравнение вида a1y// +
a2y/+ a3y=0, где коэффициенты а1,а2,а3 – некоторые действительные числа.
Для нахождения частных решений данного уравнения составляется
характеристическое уравнение вида а1к 2  а 2 к  а3  0. Это уравнение
второй степени и имеет два корня. Тогда общее решение дифференциального
уравнения строится в зависимости от характера корней характеристического
уравнения:
1)
каждому действительному простому корню к в общем
решение соответствует слагаемое вида Сеkx;
23
2)
каждой
паре
комплексных
корней
(сопряженных)
к1,2    i i в общем решении соответствует слагаемое вида
еx (C1 cos x  C 2 sin x) .
Пример 27. Найти общее решение уравнения y   13 y   36 y  0.
▲Составим характеристическое уравнение: к 2  13к  36  0; к1  4; к 2  9 .
Следовательно, е4x и е9x – частные линейно независимые решения, а общее
решение имеет вид y  C1е 4 x  C 2 e 9 x . Найдем частное решение, если
начальные условия у (0)=1;
у/(0 )=-1
4C  9C 2  1, C1  2,
Найдем y   4C1е 4 х  9C 2 е 9 х ;  1
. Следовательно,

C

C

1
;
C


1
.
 1
 2
2
частное решение имеет вид y  2е 4  у 9 .
Пример 28. Найти общее решение уравнения y   4 y   13  0 .
▲
Составляем
характеристическое
k 2  4k  13  0; k1,2  2  3i .
Следовательно,
уравнение
общее
решение:
y  e 2 x (C1 cos3x  C 2 sin 3x)
2. Линейные неоднородные уравнения решаются двумя способами:
1). Методом вариации произвольных постоянных;
2).
Методом
подбора
частного
решения
(метод
неопределенных
коэффициентов).
Пример 28. Найти общее решение уравнения y   4 y   13  5 sin 2 x и
частное
решение,
удовлетворяющее
начальным
условиям
y(0)=2/29;
y/(0)=1/29.
▲
Рассмотрим
k 2  4k  13  0; k1,2  2  3i .
характеристическое
Следовательно,
решение
уравнение
однородного
уравнения y   4 y   13  0 будет Y  e  2 x (C1 cos3x  C 2 sin 3x) .
24
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
y *  A cos 2 x  B sin 2 x .
Имеем;

y *  2 A sin 2 x  2B cos 2 x ;

y *  4 A cos 2 x  4B sin 2 x .
Подставим эти выражения в данное неоднородное уравнение, получим:
 4 A cos 2 x  4B sin 2 x  8 A sin 2 x  8B cos 2 x  13 A cos 2 x  13B sin 2 x  5 sin 2 x ;
(9A+8B)cos2x
+(-8A+9B)sin2x
=5sin2x;
получаем
систему
для
решение
неоднородного
вычисления коэффициентов A и B:
8

A

9 A  8B  0

29

.


8
A

9
B

5
9

B 

29
уравнения имеет вид:
y*  
Итак,
частое
8
9
cos 2 x  sin 2 x , а общее решение 29
29
8
9
y  Y  y *  e  2 x (C1 cos 3x  C 2 sin 3x)  cos 2 x  sin 2 x .
29
29
Найдем
частое
решение
удовлетворяющее
заданным
начальным
условиям:
y(0)=2/29  С1 
8
2
10

 С1  ;
29 29
29
y   2e  2 x (C1 cos3x  C2 sin 3x)  e  2 x (3C1 sin 3x  3C2 cos3x) 

16
18
sin 2 x  cos 2 x
29
29
y/(0)=1/29  2C1  3C 2 
18 1
1
; С2  ;

19 29
29
Искомое частное решение имеет вид:
y  e 2x (
10
1
8
9
cos3x  sin 3x)  cos 2 x  sin 2 x .
29
29
29
29
25
3.2 Система дифференциальных уравнений
Пример 29. Найти общее решение системы дифференциальных
уравнений
 dx
 dt  x1  3 x 2

 dy  x  3 x
2
1
 dt
▲
Перепишем
систему
в
виде:
 dx
 dt  x1  3 x 2
.

dy
  3 x  x
1
2
 dt
характеристическое
1 
3
Рассмотрим
уравнение
  2
.
 0  (1   ) 2  9  0  1    3  1
2  4
1 
3
Подставим найденные значения корней характеристического уравнения в
систему линейных уравнений относительно Р1 и Р2:
Для =-2
 (1  2) P1  3P2  0
 3P1  3P2  0 P1  P2  0


,


3
P

(
1

2
)
P

0

3
P

3
P

0
P

P

0

 2
1
2
1
2
1

второе
уравнение
есть следствие первого. Возьмем, например Р1=k, тогда Р2=k. Полагая k=1,
найдем Р1=1 и Р2=1. итак, для =-2, получим x11=e-2t; x21=e-2t
Для =4
 (1  4) P1  3P2  0
 3P1  3P2  0 P1  P2  0


,


3
P

(
1

4
)
P

0

3
P

3
P

0
P

P

0

 1
1
2
1
2
2

второе
уравнение
есть следствие первого. Возьмем, например Р1=k, тогда Р2=-k. Полагая k=1,
найдем Р1=1 и Р2=-1. итак, для =4, получим x12=e4t; x22=-e4t
Фундаментальная система решений:
26
Для =-2: x11=e-2t; x21=e-2t
Для =4 x12=e4t; x22=-e4t
Следовательно, общее решение системы имеет вид:x1=C1 e-2t+C2 e4t;
x2= C1 e-2t-C2 e4t
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ВАРИАНТ №1
Задание№1
Вычислить определенные интегралы функции одной переменной:
4
1
dx
а) 
;
1

x
0
б)  xe  x dx
0
Задание №2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x 2 ; y = 1 – x2
Задание №3
а) Исследовать сходимость несобственного интеграла:

е
x
dx
0
в) Вычислить несобственный интеграл

4
1)  ctgxdx
0
Задание №4
Найти а) частные производные для функции; б) grad z; grad _ z и
производную по направлению
dx  dz 

 в точке А(х;у);    =(а1;а2).
d  d 
а) z  52 xy  x  xar sin y; б) z  x3 y 2  4 x  y 3  3; A1;1;   2; 5 . .
2
Задание №5
Исследовать функцию Z=f(x;y) на экстремум.
27
z  4( х  3 у)  ху  4 y 2  x 2  1
Задание№6
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
а) y  sin x  y cos x  1; y0  0; x0 

2
.
б) y x ln x  y ; y (e)  e  1; y (e)  1
Задание№ 7
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
y   6 y   9 y  9 x 2  12 x  2; y(0)  1; y (0)  3
ВАРИАНТ №2
Задание№1
Вычислить определенные интегралы функции одной переменной:
1
а) 

xdx
2
0 (x  1)
2
;
б)
2
 x cos xdx
0
Задание №2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = cos2x; y = 0; x = 0; x =

4
Задание №3
а) Исследовать сходимость несобственного интеграла:
28


xdx
2
2 x 1
в) Вычислить несобственный интеграл
3
2) 
dx
0 ( x  1)
2
Задание №4
Найти а) частные производные для функции; б) grad z; grad _ z и
производную по направлению
а) z 
dx  dz 

 в точке А(х;у);    =(а1;а2).
d  d 
x2
ctg 3 y  9 x ; б) z  2 x2  y 2  2 x  3 y  4 xy; A4;1;   9;12.
y
Задание №5
Исследовать функцию Z=f(x;y) на экстремум.
z  4 x  12 y  3xy  4 y 2  3x 2  2 .
Задание№6
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
а) y   y sin x  e  cos x sin 2 x; y0  3; x0 

2
б) y  cos4 x   sin 2 x; y( )  0; y ( )  2; y ( )  1
Задание№ 7
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
y   8 y   16 y  2e 4 x ; y(0)  0; y (0)  1
ВАРИАНТ №3
Задание№1
29
Вычислить определенные интегралы функции одной переменной:
2
а) 
xdx
11  x
2
e
;
б)  ln xdx
1
Задание №2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x +1;y = 0; x = -2; x = 1
Задание №3
а) Исследовать сходимость несобственного интеграла:


arctgxdx
1 1 x
2
в) Вычислить несобственный интеграл
1
3) 
xdx
1 1 x
2
2
Задание №4
Найти а) частные производные для функции; б) grad z; grad _ z и
производную по направлению
dx  dz 

 в точке А(х;у);    =(а1;а2).
d  d 
а) z  x 2 arccos 2 x  3 y   y 2 x  2; б) z  3 x  y 2  6 x  3 y; A8;2;    4;3.
Задание №5
Исследовать функцию Z=f(x;y) на экстремум.
z  2 x 2  3xy  8 y 2  6 x  2 ó  4 .
Задание№6
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
30
а) y  
2y
  x 2 ; y 0  1; x0  3
x
б) 2 xy   y ; y (9)  8; y (9)  3
Задание№ 7
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
3
y   6 y   13 y  8e  x ; y(0)  ; y (0)  2
2
ВАРИАНТ №4
Задание№1
Вычислить определенные интегралы функции одной переменной:
ln 3
а)

0
e x dx
x
e 1
e 1
б)
;
 ln( x  1)dx
0
Задание №2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = sin2x; y = 1;

4
x

2
Задание №3
а) Исследовать сходимость несобственного интеграла:


dx
2
 x  4 x  9
в) Вычислить несобственный интеграл
31
6
dx
4) 
2
3 x  7 x  10
Задание №4
Найти а) частные производные для функции; б) grad z; grad _ z и
производную по направлению

а) z  xy  xe
x
2 y2
dx  dz 

 в точке А(х;у);    =(а1;а2).
d  d 


; б) z  3 x 2  y 2  2 õ  y  4; A1;2;    3; 7 .
Задание №5
Исследовать функцию Z=f(x;y) на экстремум.
2
z  5 x  6 xy  2 y 2  5x  y  3 .
Задание№6
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
а) y   y 
б) y  
e x
1 x
2 xy 
2
x 1
2
; y0  2; x0  0
; y (0)  1; y (0)  3
Задание№ 7
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
y   2 y   8 y  3 sin x; y(0)  1; y (0)  
3
2
ВАРИАНТ №5
Задание№1
Вычислить определенные интегралы функции одной переменной:
e
а)


ln xdx
1 x 1  (ln x)
4
;б)  e x cosxdx
0
32
Задание №2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x2 ; y =
3
x
Задание №3
а) Исследовать сходимость несобственного интеграла:
1

1 x
 2 e dx
1x
в) Вычислить несобственный интеграл
3x 2  2
1
5) 
1
3
x2
dx
Задание №4
Найти а) частные производные для функции; б) grad z; grad _ z и
производную по направлению
а) z 
dx  dz 

 в точке А(х;у);    =(а1;а2).
d  d 


y
cos xy
 3 x  4 y ; б) z  arcsin 2 ; A2;2 ;    6; 13 .
2
2
x
x y
Задание №5
Исследовать функцию Z=f(x;y) на экстремум.
z  4 x 2  3 yx  y 2  3x  2 .
Задание№6
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
а) (1  x 2 ) y   2 xy  (1  x 2 ) 2 ; y0  5; x0  2
1
б) y  cos x  y  sin x  0; y(0)   ; y (0)  2
4
Задание№ 7
33
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
y   4 y   8 y  8 x 2  4; y(0)  2; y (0)  3
ВАРИАНТ №6
Задание№1
Вычислить определенные интегралы функции одной переменной:
e
1  ln x
а) 
dx ;
x
1

б)  e x sin xdx
0
Задание №2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
x 2 - y 2 = 1; x = 2, у=0
Задание №3
а) Исследовать сходимость несобственного интеграла:

 x cos xdx
2
в) Вычислить несобственный интеграл

6)  xe x dx
2
0
Задание №4
Найти а) частные производные для функции; б) grad z; grad _ z и
производную по направлению
dx  dz 

 в точке А(х;у);    =(а1;а2).
d  d 
а) z  xy2 sin 3x  5 y ; б) z  ln 2  x 2  2 y 2 ; A1;1;   3;8.
Задание №5
34
Исследовать функцию Z=f(x;y) на экстремум.
z  xy(4  x  2 y ) .
Задание№6
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
а) xy   2 y  x 3 cos x; y0  1; x0  
б) xy   (1  2 x) y ; y (1) 
e  1; y (1)  e
Задание№ 7
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
y   5 y   6 y  2 cos x; y(0)  3; y (0) 
1
2
ВАРИАНТ №7
Задание№1
Вычислить определенные интегралы функции одной переменной:

1
3 xdx
2
а)  (e x  1) 4 e x dx ; б) 
0
 sin x
4
Задание №2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x 2  1 ; y = 0; x = -2; x = 2
Задание №3
а) Исследовать сходимость несобственного интеграла:

x 2 dx
1 x 3  1
в) Вычислить несобственный интеграл
35
1
7) 
0
dx
x 2  4x  3
Задание №4
Найти а) частные производные для функции; б) grad z; grad _ z и
производную по направлению
а) z 
3x 2 y 3
x y
3
2
dx  dz 

 в точке А(х;у);    =(а1;а2).
d  d 
; б) z  ln( 2 x 2  y 2  3x  4 y  1); A1;1;    20;15.
Задание №5
Исследовать функцию Z=f(x;y) на экстремум.
z  3x 2  y 2  6 xy  5 y  2 .
Задание№6
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
а) y x ln x  y  3x 2 ln 2 x; y0  0; x0  e
б) y   sin 2 x; y(0)  5; y (0)  1; y (0)  0
Задание№ 7
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
1
y   2 y   5 y  x 2  1; y (0)  3; y (0)  
5
ВАРИАНТ №8
Задание№1
Вычислить определенные интегралы функции одной переменной:
36

ln 2
а)  å õ e x  1dx ;
0
3 xdx
2
б) 
 cos x
4
Задание №2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = 4-x 2 ; y = 0
Задание №3
а) Исследовать сходимость несобственного интеграла:

arctgxdx
2
0 1 x

в) Вычислить несобственный интеграл
2
dx
1 x ln x
8) 
Задание №4
Найти а) частные производные для функции; б) grad z; grad _ z и
производную по направлению
dx  dz 

 в точке А(х;у);    =(а1;а2).
d  d 
а) z  ctg ln   ; б) z  x2  4 xy  8 y  3x  5; A2;2;    8;1.
x
2
y
x
Задание №5
Исследовать функцию Z=f(x;y) на экстремум.
z  5 xy  4 x 2  3 y 2  2 x  3 y  2 .
Задание№6
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
2
а) y   2 xy  xe  x ; y0  4; x0  0
37
б) x ln xy   y ; y (e)  3; y (e)  4
Задание№ 7
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
y   4 y   3 y  e 5 x ; y(0)  3; y (0)  9
ВАРИАНТ №9
Задание№1
Вычислить определенные интегралы функции одной переменной:

1
dx
а) 
; б)  x 2 e  x dx
3  2 cos x
0
0
2
Задание №2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x 2 ; y = 4x – 2
Задание №3
а) Исследовать сходимость несобственного интеграла:

2dx
2
x

 sin
2
в) Вычислить несобственный интеграл
4e
9) 
0
dx
x ln x
Задание №4
Найти а) частные производные для функции; б) grad z; grad _ z и
производную по направлению
dx  dz 

 в точке А(х;у);    =(а1;а2).
d  d 
38
а) z 


x3  x 2 y
e ; б) z  4 xy  x 3  3 y  4; A 1;4;    2;2 3 .
y
Задание №5
Исследовать функцию Z=f(x;y) на экстремум.
z  x3  y 3  24 xy  4 .
Задание№6
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
а) y  cos x  2 y sin x  2; y 0  3; x0  0
б) y   x sin x; y (0)  0; y (0)  0
Задание№ 7
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
y   4 y   4 y   x 2  3x; y(0)  3; y (0) 
4
3
ВАРИАНТ №10
Задание№1
Вычислить определенные интегралы функции одной переменной:

4
1
x
;б)  arcsin dx
2
2
0 1  sin x
0
а) 
dx
Задание №2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = sinx; y = 0;0  x  
Задание №3
39
а) Исследовать сходимость несобственного интеграла:

dx
 1
2
x
в) Вычислить несобственный интеграл

cos x
dx
x
0
10) 
Задание №4
Найти а) частные производные для функции; б) grad z; grad _ z и
производную по направлению
dx  dz 

 в точке А(х;у);    =(а1;а2).
d  d 
x2 y3
а) z  2 3 ; б) z  4 x  xy2  3x  2 y 2  16; A1;1;   3;4.
x y
Задание №5
Исследовать функцию Z=f(x;y) на экстремум.
z  6 xy  2 x 2  3 y 2  2 x  3 y  4 .
Задание№6
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
а) y  
3y
 x 3e x ; y 0  e; x0  1
x
б) xy   y   x 2 e x ; x0  0; y(0)  1; y (0)  0
Задание№ 7
Найти общее и частое решение дифференциального уравнения.
y   2 y   10 y   sin 2 x; y(0)  0; y (0) 
3
4
40
ЛИТЕРАТУРА
1. Высшая математика для экономистов: Учебник / Под ред.
профессора Н. Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, 1998. - 465 с.
2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под
ред. В. И. Ермакова. - М.: ИНФРА- М, 1999. - 656 с.
3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное
пособие/Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА - М, 2001. - 575 с.
41