КИНЕМАТИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

КИНЕМАТИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
1. Тело, относительно которого определяется положение других тел, связанная с ним
система координат и часы для измерения времени образуют пространственно–временную систему
отсчета.
2. Мгновенная скорость и ускорение точки:



 dr  dv d 2 r
v
, a
 2 ,
dt
dt dt

где r — радиус–вектор точки.
3. Средняя скорость vср — это скалярная величина, равная отношению пути S, пройденного
за время t, к этому промежутку времени:
v ср 
S
t
(эту величину называют также средней путевой скоростью в отличие от средней по



r
перемещению скорости vср 
, где  r - перемещение за время t.)
t

4. Закон равномерного прямолинейного движения:
   
r  r0  v t , v = const,
где r0 — радиус–вектор в начальный момент времени t=0.
В проекции на направление движения (ось х) закон движения принимает вид
x=x0+vхt,
5. Закон равнопеременного движения:


  
at 2   
, v  v 0  at ,
r  r0  v 0 t 
2

где r0 и v 0 — радиус–вектор и скорость точки в начальный момент времени t = 0 (начальные
условия).
В проекции на направление движения (ось х) закон движения принимает вид:
ax t 2
x  x 0  v 0x t 
2
vx=vox+axt
6. Закон сложения скоростей Галилея:

Пусть точка движется относительно системы отсчета 1 со скоростью v1 , а система отсчета


1 сама движется со скоростью v2 относительно системы отсчета 2. Тогда скорость точки v
относительно системы отсчета 2 равна:
  
v  v1  v2 .
7. Относительная скорость.


Пусть v1 и v2 — скорости точек 1 и 2 относительно
некоторой системы отсчета. Тогда скорость точки 2
относительно точки 1 (см. рис. 1.1):

 
v 2отн1  v 2  v1 .

v2
Рис.1.1

v2отн1

v1
КИНЕМАТИКА КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И
ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Полное мгновенное ускорение

 dv
a
.
dt
Вектор полного ускорения можно разложить на две составляющие: тангенциальное


(касательное) ускорение a и нормальное (центростремительное) ускорение a n (см. рис. 2.1).

Тангенциальное ускорение a изменяет скорость по
величине и направлено по касательной к траектории; его
проекция на направление скорости равна:
dv
a = .
dt

ускорение a n
изменяет
Нормальное
скорость по
направлению, направлено к центру кривизны траектории и
выражается формулой:
2
an =
v
.
R

v

a

a

an
(R - радиус кривизны)
Модуль полного ускорения равен:
a  a2  an2 .
2. Мгновенные угловые скорость и ускорение при движении точки по окружности и при
вращении твердого тела вокруг неподвижной оси:


 d  d

, 
dt
dt

( d - угловое перемещение).
3. При равномерном вращении
  t .
Частота вращения n (число оборотов в единицу времени) связана с периодом вращения Т:
n=
1
.
T
4. Кинематический закон равноускоренного вращения:
  0t 
  t2
2
  0    t .
,
Исключая время, находим:
 2  0 2  2 .
5. Связь линейных и угловых характеристик при вращательном движении:
  

   
v = , r , a   , r , an   2 r .
Динамика материальной точки
1. Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчета
(ИСО): свободная материальная точка движется относительно такой системы отсчета равномерно
и прямолинейно.
2. В инерциальных системах отсчета всякое ускорение тела вызывается влиянием на него
других тел, которое называют силой. В задачах динамики обычно встречаются следующие виды
сил (рис. 4.1):


mg
а) сила тяжести mg - сила, с которой Земля действует на тело. Сила
тяжести приложена к центру масс тела и направлена к центру Земли
(если пренебречь вращением Земли и ее не сферичностью ).

б) сила реакции опоры N - сила, с которой опора действует на тело.
Сила реакции опоры перпендикулярна поверхности соприкосновения
тел и приложена к телу.

N

T


T
в) сила натяжения нити T - сила, с которой нить (или подвес)
действует на тело. Направлена вдоль нити. Тела, связанные
нерастяжимой нитью, имеют одинаковые по модулю ускорения.


υ

Fтр
Рис.4.1
г) сила трения скольжения Fтр - сила сопротивления, которая
возникает при относительном
движении прижатых друг к другу тел. Направлена по касательной к
поверхности соприкасающихся тел и противоположна направлению
перемещения данного тела. Сила трения скольжения равна:
Fтр  N ,
где  - коэффициент трения скольжения, не зависящий от относительной скорости движения тел
(постоянное безразмерное число).
д) сила трения покоя (сцепления) может принимать любые значения, но не превышающие N .
Направлена так, чтобы обеспечить равновесие тела или препятствовать возможному
проскальзыванию.

3. Импульс тела p  m υ .
4. Основное уравнение динамики движения материальной точки (второй закон Ньютона):

dp 
F,
dt

где F - векторная сумма (результирующая) всех сил, действующих на тело.


dp d (mv )
 

 ma  F .
Если масса тела m неизменна, то
dt
dt
5. Приращение импульса за любой конечный промежуток времени равно:
t2

 

p  p2  p1   Fdt .
t1
Интеграл, стоящий в правой части, называют импульсом силы.
6. Третий закон Ньютона: силы, с которыми две материальные точки действуют друг на
друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой,




соединяющей эти точки: F12   F21 . Силы F12 и F21 приложены к разным телам.
7. Второй и третий законы Ньютона выполняются только в ИСО.
Сила, действующая на материальную точку, движущуюся по криволинейной траектории,

может быть разложена на две составляющие: Ft - составляющая, направленная по касательной к

траектории в данной точке, и Fn - составляющая, направленная по нормали к касательной к
центру кривизны траектории в данной точке. Тангенциальная (касательная) составляющая силы
dυ
, изменяющее скорость по величине. Нормальная, или
dt

центростремительная, составляющая силы создает нормальное ускорение an , изменяющее

создает тангенциальное ускорение at 
направление скорости тела. Величина нормального ускорения равна: a n  υ 2 / R .
Второй закон Ньютона при криволинейном движении точки записывают в проекциях на
касательное и нормальное направления:
Ft  m
dυ
,
dt
Fn  m υ 2 / R
Работа, мощность, энергия

1. Элементарной работой силы F называется скалярное произведение
 
dA  ( F , dr ) ,

где dr - бесконечно малое перемещение точки приложения силы.
2. Работа при перемещении из точки 1 в точку 2 определяется интегрированием по траектории:
 

F
 , dr  .
2
A
1
Если на частицу действуют одновременно несколько сил, то работа результирующей силы
равна сумме работ каждой из действующих сил.
3. Если работа силы не зависит от траектории, а определяется только начальным и конечным
положениями материальной точки, то такая сила называется консервативной (или
потенциальной).
Силы, не удовлетворяющие этому условию, называют диссипативными. Таковой является
сила трения.
A
, где А – работа силы за это время.
t
 dr
 
dA

 ( F , )  ( F , v ) , где v - мгновенная скорость.
Мгновенная мощность N 
dt
dt
4. Средняя мощность силы за время t: N ср 
5. Кинетическая энергия материальной точки массы m, движущейся со скоростью v:
mv 2
Ек=
2
.
Теорема о кинетической энергии: изменение кинетической энергии частицы равно
суммарной работе А всех сил, действующих на частицу:
Eк 2  Eк1  A .
6. Изменение потенциальной энергии U частицы в поле консервативной силы:
U 2  U1   Aполя ,
где Аполя – работа силы поля.
7. Связь между силой и потенциальной энергией частицы:
Fx  
U
U
, Fy  
x
y
.
8. Изменение полной механической энергии Е=Ек+U частицы в поле в поле консервативных сил:
Е2 – Е1=Астор.,
где Астор. – работа сторонних (то есть не принадлежащих к данному полю) сил.
Динамика системы материальных точек
1. Основное уравнение динамики системы частиц:

dP 
 Fвнеш ,
dt

где Fвнеш 

 F - сумма всех внешних сил, действующих на систему,
i
системы частиц.


P   pi - импульс
Приращение импульса системы равно импульсу результирующей всех внешних сил за


2


соответствующий промежуток времени: P2  P1  Fв нешdt .
1
2. Условия сохранения импульса системы:

а) импульс замкнутой системы частиц сохраняется: P 

p
i
const ;
б) в незамкнутой системе проекция импульса системы сохраняется при условии, что сумма
проекций внешних сил на данное направление равна нулю: Рx=const при Fвнеш.х=0;
в) импульс незамкнутой системы может сохраняться также при условии, что импульс внешней
силы практически равен нулю. Так бывает, когда время действия внешней силы бесконечно
мало, причем величина внешней силы все это время остается конечной. Эта ситуация имеет
место при взрывах, ударах, прыжках, распадах.
3. Изменение механической энергии системы тел
дисс
,
E2  E1  Aвнеш  Авнутр
дисс
где Авнеш – работа внешних сил, Авнутр
- работа всех диссипативных внутренних (то есть
действующих между телами системы) сил.
Механическая энергия системы сохраняется, если суммарная работа внешних сил и
внутренних диссипативных сил равна нулю.
4. Уравнение Мещерского для реактивного движения:
 

dm
- скорость расхода топлива.
ma  Fвнеш  u , где   
dt

5. При абсолютно упругом центральном ударе двух тел с массами m1 и m2 и скоростями v1 и

v2 после удара они имеют скорости:





m1v1  m2 v2
 (m1  m2 )v1  2m2 v2
=  v1  2
v1 
m1  m2
m1  m2






(m2  m1 )v2  2m1v1
m1v1  m2 v2

v2 
=  v2  2
.
m1  m2
m1  m2
6. Координата и скорость центра масс системы материальных точек:




m1r1  m2 r2    mi ri
,
Rc 

m1  m2  
 mi



 dRc m1v1  m2 v2    mi vi P
Vc 


 ,
dt
m1  m2  
 mi m
где m 
m .
i


dVc
 Fвнеш .
7. Уравнение движения центра масс: m
dt
8. Кинетическая энергия системы Е связана с кинетической энергией в системе центра масс
mVc2
, где Е(С) - кинетическая энергия в системе центра масс.
2
ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
соотношением: E  E ( C ) 
1. Момент инерции Iz системы материальных точек относительно оси Z:
I z   mi ri ,
2
i
где mi - массы точек, ri - их расстояния до оси Z.
Момент инерции твердого тела относительно оси Z:
I z   r 2 dm ,
где интегрирование производится по всему объему тела.
Моменты инерции некоторых тел относительно оси Z, проходящей через центр масс (m – масса
тела):
 диск радиуса R (ось Z перпендикулярна плоскости диска): I z 
 шар радиуса R: I z 
1
mR 2 ;
2
2
mR 2 ;
5
 тонкий стержень длины l (ось Z перпендикулярна стержню): I z 
1
ml 2 .
12
2. Теорема Штейнера. Пусть IC - момент инерции тела относительно оси СС, проходящей
через центр масс. Момент инерции IA относительно оси АА, параллельной оси СС и отстоящей от
нее на расстояние d, равен:
I A  I C  md 2 ,
где m – масса тела.
3. Кинетическая энергия и момент импульса тела, вращающегося с угловой скоростью  вокруг
неподвижной оси Z:
Е кин 
I z 2
,
2
Lz  I z  .
4. Момент Мz силы F , перпендикулярной оси вращения тела Z:
M z  Fd ,
где d – плечо силы, то есть кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.
5. Уравнение моментов для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z:
I z    M z , или
где  
d
- угловое ускорение тела,
dt
M
z
dLz
 Mz .
dt
- алгебраическая сумма моментов внешних сил
относительно оси Z.
6. Работа dA момента сил Mz при повороте тела на угол d вокруг оси вращения Z:
dA  M z d .
Закон сохранения момента импульса

1. Момент импульса L материальной точки относительно произвольного начала (то есть точки)
О
  
L  r , p  ,


где r - радиус-вектор, проведенный из начала О к материальной точке, p - ее импульс.


2. Момент M силы F относительно произвольного начала (то есть точки) О
 

 
M  r, F ,

где r - радиус-вектор, проведенный из начала О в точку приложения силы.

3. Момент импульса L системы материальных точек относительно произвольного начала:


L   Li .
i
Уравнение моментов относительно произвольного начала:


dL
  M внешних .
dt
4. Закон сохранения момента импульса.
Момент импульса системы относительно произвольного начала сохраняется, если суммарный
момент внешних сил относительно этого начала равен нулю.
Аналогично формулируется закон сохранения момента импульса относительно произвольной
оси.
Условия равновесия твердого тела
1. Необходимые условия равновесия тела:
1) Результирующий вектор всех сил, действующих на тело, равен нулю (условие отсутствия
поступательного движения);
2) результирующий вектор момента сил равен нулю относительно любого неподвижного
начала, то есть любой точки, лежащей либо внутри, либо вне тела (условие отсутствия
вращения).
2. Условие равновесия тела, имеющего поверхность опоры: вертикаль, проведенная вниз из центра
масс тела, должна проходить сквозь поверхность опоры.
3. Устойчивому положению равновесия соответствует минимально возможное значение
потенциальной энергии, неустойчивому – максимальное. Если же потенциальная энергия
неизменна в некоторой окрестности положения равновесия, то это безразличное равновесие.
МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ
1. Относительная деформация при продольном растяжении (сжатии)

l
,
l
где l — абсолютное удлинение (сжатие), l — начальная длина тела.
2. Напряжение при упругой деформации:

df

,
dS


где df — сила, действующая на элементарный участок dS данного сечения.
3. Закон Гука для упругих деформаций растяжения (сжатия):
  E ,
где Е — модуль Юнга (постоянная, зависящая от материала образца).
4. Коэффициент поперечного сжатия (коэффициент Пуассона, зависящий от материала
образца):
 

,

где  — относительная поперечная деформация ( и  всегда противоположны по знаку).
5. Относительная деформация при однородном сдвиге
  tg 
s
,
h
где  — угол сдвига, s — сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга, h —
расстояние между слоями.
6. Напряжение при сдвиге в пределах упругих деформаций:
 = G,
где G — модуль сдвига,  — угол сдвига.
7. Связь модуля сдвига и модуля Юнга:
G
E
.
21   
8. При деформации кручения вращающий момент М связан с углом закручивания 
соотношением:
M  K ,
где К - модуль кручения. Для однородной проволоки
K
Gr 4 
,
2l
где r и l — радиус и длина проволоки, соответственно.
9. Объемная плотность энергии упругой деформации:
при деформации растяжения (сжатия) w 
при деформации сдвига w 
E 2   2


;
2
2 2E
G 2   2


.
2
2 2G
Механика жидкостей и газов
1. Давление внутри жидкостей и газов в состоянии равновесия не зависит от
ориентации площадки, на которую оно действует.
Давление, производимое на жидкость или газ, передается без изменения в каждую
точку жидкости или газа (закон Паскаля).
2. Закон Архимеда: На всякое тело, погруженное в жидкость или газ, действует
выталкивающая сила, равная по модулю весу вытесненного телом объема жидкости или
газа:


FA   ρ жVпогр g ,
где  ж - плотность жидкости (или газа), Vпогр - объем погруженной в жидкость части тела.
Архимедова сила приложена к центру тяжести вытесненного объема жидкости или газа.
3.
Уравнение непрерывности струи: в любом сечении одной и той же трубки тока
ρ Sυ = const,
где ρ - плотность жидкости, S – площадь сечения, υ – скорость жидкости в данном сечении.
В случае несжимаемой жидкости её плотность везде одинакова, и это уравнение можно записать как
4.
S υ = const.
Уравнение Бернулли. В стационарном потоке идеальной (абсолютно несжимаемой и
невязкой) жидкости вдоль любой линии тока:
ρ υ2
 ρ gh  const ,
2
где p – статическое давление жидкости, υ – скорость течения жидкости, h – высота над
выбранным уровнем отсчета.
5.
Формула Ньютона: при стационарном ламинарном течении вязкой жидкости по трубе,
стенки которой смачиваются жидкостью (так, что скорость течения у самой стенки равна

нулю), скорость течения υ отдельных слоев изменяется по абсолютной величине в
направлении, перпендикулярном направлению скорости. При этом между соседними слоями
возникает сила трения
dυ
Fтр  η dS ,
dr
dυ
где η – вязкость жидкости;
– градиент скорости по сечению трубы; dS – элемент
dr
поверхности соприкасающихся слоев.
6. Формула Пуазейля. Объемный расход жидкости (газа) при ламинарном течении через
трубу радиусом R и длиной l
Δp
Q
πR 4
8 ηl
где ∆p – разность давлений на концах трубы, η – вязкость жидкости.
p
7. Характер течения жидкости или газа определяется безразмерным числом
Рейнольдса.
7.1. Для потока жидкости в длинных трубах число Рейнольдса
ρ υd
Re 
,

где d – диаметр трубы, υ – средняя по сечению скорость течения жидкости; при
Re  2000 (критическое значение числа Рейнольдса) ламинарный поток жидкости в
трубах переходит в турбулентный.
7.2. Для движения шарика в жидкости число Рейнольдса равно
Re 
ρ υd


где υ – скорость движения шарика, d – его диаметр; при этом Reкр  0,5.
8. Формула Стокса. Сила сопротивления движению шарика радиусом r при ламинарном (Rе
< 0,5) обтекании его поверхности вязкой жидкостью
F= 6πηrυ.
Движение относительно неинерциальных систем отсчета

1.
При поступательном движении системы отсчета Кс ускорением a 0 для описания
движения тела массы т вводится поступательная сила инерции


Fи  ma0 .
Основное уравнение динамики в системе К:
  
ma '  F  Fu ,


где a ' — ускорение тела в этой системе отсчета, F - результирующая сил взаимодействия с
другими телами.

2.
При вращении системы отсчета К с постоянной угловой скоростью  для описания
движения материальной точки массы т вводятся центробежная сила инерции


Fц.б .  m 2 r

( r - радиус-вектор точки относительно оси вращения) и кориолисова сила инерции

 
Fкор  2mv , 

( v  - скорость точки относительно системы отсчета К).
Основное уравнение динамики в системе К:

  
ma '  F  Fц.б  Fкор .

3.
Вектор g - это ускорение свободно падающего тела относительно Земли в тот момент,
когда скорость тела равна нулю. Ускорение свободного падения состоит из двух слагаемых –
гравитационного и центробежного:

 Fгр

g
  2 r ,
m


где Fгр - сила гравитационного притяжения тела массы т к Земле, r - компонента радиусвектора тела, перпендикулярная оси вращения Земли.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
1. Пребразования Лоренца — преобразования пространственно–временных координат
любого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета (К–системы) к
другой (К–системе), движущейся относительно К–системы вдоль оси Х со скоростью V
(рис. 13.1), при условии, что в начальный момент t= t  и начала координат систем
совпадают:
x' 
x  Vt
1  2
; у=y; z=z; t ' 
t  xV / c 2
1  2
(1),
где =V/c. При обратном переходе от К к К–системе:
x
x'Vt '
1  2
; у=y; z=z; t 
t ' x'V / c 2
1  2
(2).
2. Инвариантные величины при переходе от одной инерциальной системы отсчета к
другой:
а) с — скорость света в вакууме;
б) интервал s12 между событиями 1 и 2, квадрат которого равен:
s122  c 2t122  l122 ,
где t12 — промежуток времени между событиями, l12 — расстояние между двумя точками,
в которых происходят данные события.
3. Преобразование скоростей при переходе от К–системы к К–системе (рис. 13.1):
vy 1  2
vz 1   2
vx  V


v

;
;
,
v

vx 
z
y
1  v xV / c 2
1  v xV / c 2
1  v xV / c 2


где v и v  - скорости частицы относительно систем К и К, соответственно.
(Для преобразования скоростей при переходе от К–системы к К–системе следует заменить
в этих формулах V на  V ).

4. Релятивистский импульс частицы, движущейся со скоростью v :


m0 v
,
p
2
1  v c 
где m0 — масса покоя частицы, одинаковая во всех системах отсчета.
Величину m 
m0
1  (v c ) 2
называют релятивистской массой.
5. Основное уравнение релятивистской динамики:
 dp
F
.
dt
6. Кинетическая энергия релятивистской частицы
Ек  mc2  m0c 2 .
Величину Е0 = m0c2 называют энергией покоя (собственной энергией).
7. Полная энергия движущейся частицы (без учета потенциальной энергии):
E  mc2 
m0c 2
1  (v c )
2
 ( pc)2  (m0 c 2 )2 ,
где т – релятивистская масса, v - скорость движения частицы, р – релятивистский
импульс.
Динамика колебательного движения линейных систем
1. Незатухающий гармонический осциллятор (собственные колебания).
1.1. Дифференциальное уравнение собственных колебаний физической системы имеет вид:
x  02 x  0 ,
где  0 =2π/Т0 – собственная частота системы, Т0 – период собственных колебаний.
Система, которая описывается дифференциальным уравнением такого вида, называется
гармоническим осциллятором. Решением этого дифференциального уравнения
является функция вида:
x(t) = A cos(ω0 t+ φ0),
где А и 0 – постоянные величины, которые могут быть определены из начальных условий
задачи.
1.2. Период собственных колебаний физического маятника:
T0  2 I / mgl ,
где I - момент инерции маятника, m - масса маятника, l - расстояние от точки подвеса О до
центра масс маятника С (рис. 14.1).
Приведенная длина маятника L равна L=I/ml.
1.3. Период собственных колебаний математического маятника:
T0 = 2π l / g ,
где l– длина нити.
1.4. Период собственных колебаний пружинного маятника:
T0 = 2π m / k ,
где m – масса груза, k – коэффициент жесткости пружины (рис.14.2).
1.5. Период собственных колебаний крутильного маятника:
T0  2 I / D ,
где I – момент инерции, D – коэффициент возвращающего момента (рис.14.3).
1.6. Полная энергия E гармонического осциллятора не зависит от времени и равна:
mA 2 ω02
E = EK + EП =
.
2
Полная энергия любого гармонического осциллятора имеет вид:
E
2.
a 2 b 2
x  x  const , причем  0 
2
2
a
.
b
Затухающий гармонический осциллятор (свободные затухающие колебания).
2.1. Если на гармонический осциллятор, собственная частота которого ω0, действует
сила трения, пропорциональная скорости (Fтр= – r x ), то его движение подчиняется
дифференциальному уравнению вида:
x +2β x +ω02x =0 ,
где β = r/2m – коэффициент затухания колебаний.
Решением этого дифференциального уравнения является функция
x(t) = A0е–βt cos(ω1t+φ0) ,
где А0 и 0 – постоянные величины, 1  02 -  2 – частота затухающих колебаний.
Эта функция имеет физический смысл только в том случае, если 1 – действительная
величина, т.е. 02 > 2.
Функцию A(t )  A0e  t называют амплитудой затухающих колебаний.
2.2. Время релаксации τ затухающих колебаний – это время за которое амплитуда
уменьшается в е раз:
τ = 1/β = NT1 ,
где N – число колебаний, после которых амплитуда уменьшилась в е раз, T1 = 2π/ω1 – период
затухающих колебаний.
2.3. Логарифмический декремент затухания δ показывает, за сколько полных колебаний
амплитуда уменьшится в е раз:
δ = ln [A (t)/A (t+T1)] = βT1 или δ = T1/τ = 1 / N .
2.4. Добротность колебательной системы Q:
Q =π/δ = πN .
Добротность тем больше, чем медленнее затухают колебания в системе.
3. Колебания под действием внешней синусоидальной силы (вынужденные колебания).
Такие колебания возникают под действием внешней силы:
Fm(t)=Fcost,
где Fm – амплитуда внешней силы (постоянная величина), а  - ее частота.
3.1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
x +2β x +ω02x = Fm cos ωt .
Частным решением этого дифференциального уравнения является функция вида:
x=Acos(ωt -) .
Величины амплитуды А и фазы  определяются выражениями:
A( ) 
Fm / m
( -  )  4  
2
0
2 2
2
2
, φ(ω) = arctg
3.2. Резонанс амплитуды смещения происходит при частоте:
 р  02 - 2 2 .
Резонансная амплитуда вынужденных колебаний равна:
Aр 
Fm / m
2   02 - 
2
.
2 
.
 02 -  2
3.3. Ширина резонансной кривой A( ) определяется на уровне Aр / 2 и равна
2Δω = ±2β при β<<ω0 .
3.4. Амплитуда скорости вынужденных колебаний υm(ω) равна:
Fm
υm (ω) 
.
2
( 0 -  2 ) 2  4  2  2
Волновые процессы в упругих средах
1.
Смещение частиц среды в плоской гармонической волне, распространяющейся в
положительном направлении оси Х,


x
v
 ( x, t )  A cos 2  t    A cos(t  kx)
(1),
где А – амплитуда колебаний,  - частота колебаний,   2 - циклическая частота, v скорость распространения волны, k   v - волновое число.
Для сферической волны, испускаемой точечным источником,
 (r , t ) 
A0
cos(t  kr)
r
(2),
где r - расстояние от источника.
Для однородной поглощающей среды в формулы (1) и (2) входит множитель e  x и e  r
соответственно, где  - коэффициент затухания волны.
2.
Длина волны

2 v
 .
k 
3.
Объемные плотности кинетической и потенциальной энергии в гармонической
волне равны друг другу в любой точке волны в любой момент времени.
Объемная плотность энергии бегущей волны в среде плотностью 
 d 
   .
 dt 
2
w  2 wкин
Средняя по времени объемная плотность энергии бегущей гармонической волны
w 
1 2 2
A  .
2
Плотность потока энергии (вектор Умова) для бегущей волны


(1).
j  wv
Для стоячей волны в упругом стержне
4.


(2),
j    u

где   E - напряжение,    x - относительная деформация; u - скорость
движения частиц среды ( ux   t ).
Выражение (2) справедливо и для бегущей волны.
5.
Интенсивность бегущей волны равна среднему по времени значению
плотности потока энергии:
1
I  j  A2 2v .
2
6.Скорость распространения продольных упругих волн в твердом теле плотностью 
v
E

,
где Е – модуль Юнга.
7.
Уровень громкости бегущей звуковой волны в децибелах
L  10 lg
I
I min
,
где I min  1012 Вт/м2 - порог слышимости звука (минимальная интенсивность звуковой
волны, воспринимаемая средним человеческим ухом при частоте 1000 Гц).
8. При движении источника звука и приемника звука в направлении оси Х частота   ,
воспринимаемая приемником,
  
v  u x
,
v  ux
где ux и u x - проекции скоростей приемника и источника на ось Х, соответственно
(положительное направление оси – по направлению распространения волн от источника к
приемнику). Эти скорости измеряются относительно среды, в которой распространяется
звук.