1. дифференциальное исчисление

Реклама
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2.1. Производная и дифференциал числовой функции одной переменной.
Рассмотрим функцию одной переменной y  f x . Выберем в области определения
произвольную точку x и зафиксируем ее. Дадим этой точке приращение x и образуем
новую точку – x  x . Вычислим приращение функции
(2.1.1)
y  f x  x  f x
y
Составим отношение приращений функции к приращению аргумента
. Если
x
существует предел этого отношения при x  0 , то этот предел называется производной
числовой функции одной переменной и обозначается
y
lim
 f  x 
(2.1.2)
x  0 x
Применим к соотношению (2.1.2) теорему о связи величины, имеющей конечный
предел с бесконечно малой величиной (Теорема 1, раздел 1.8)
y
 f  x    x 
(2.1.3)
x
Умножим равенство (2.1.3) на x
(2.1.4)
y  f xx   xx .
В правой части формулы (2.1.4) два слагаемых. Первое является линейным
относительно x и более крупным – это главная часть БМВ. Второе – нелинейно и
является БМВ более высокого порядка малости, чем первое. Формулу (2.1.4) можно
переписать в виде
(2.1.5)
y  f xx  ox
Главная и линейная часть формулы (2.1.5) обозначается
(2.1.6)
dy  f x x ,
и называется дифференциалом числовой функции одной переменной.
Применим формулу (2.1.6) для функции y  x
dy  dx  xx  1 x  x .
Таким образом, для независимой переменной получаем
dx  x .
Формула (2.1.6) принимает симметричный вид
(2.1.7)
dy  f xdx ,
и мы получаем еще одно широко используемое обозначение производной
dy
f  x  
.
(2.1.8)
dx
Иногда используют формулу
df
f  x  
.
dx
Сформулируем без доказательства две теоремы о дифференцируемости числовых
функций одной переменной.
Теорема 1. Для дифференцируемости числовой функции одной переменной
необходимо и достаточно, чтобы для этой функции существовала конечная производная.
Теорема 2. Всякая дифференцируемая в некоторой точке числовая функция одной
переменной непрерывна в этой точке.
2.2. Геометрический смысл производной и дифференциала числовой функции
одной переменной.
Выясним, что означает производная и дифференциал функции одной переменной с
точки зрения геометрии.
C
y
ox 
y
D
dy
A

x0

O
B
x
x
x  x
x
Из прямоугольных треугольников ABC и ABD находим
BC y
AB  x , CB  y ,

 tg  .
AB x
Здесь  – угол наклона секущей линии. Если x  0 то B  A и секущая линия
будет стремиться занять положение касательной линии AC . Тогда,
y
lim
 f  x   tg  .
(2.2.1)
x  0 x
Таким образом, геометрический смысл производной функции одной переменой
состоит в том, что она равна тангенсу угла наклона касательной линии к графику функции
в заданной точке.
Из прямоугольного треугольника ABD находим
(2.2.2)
BD  AB tg  f xx  dy .
Таким образом, геометрический смысл дифференциала функции одной переменной
состоит в том, что он равен приращению ординаты касательной линии к графику функции
в заданной точке.
Из курса физики известен физический смысл производной функции. Если s  st  есть
функция пути по времени, то производная этой функции v  vt   st  есть скорость
движения рассматриваемого объекта.
2.3. Сводка правил для вычисления производной.
В школьном курсе математики рассматривались следующие формулы, используемые
при вычислении производных функции одной переменной. Все эти формулы необходимо
запомнить.
1. C   0 , C  const
2. kf x   kf x , k  const
3. u  v   u   v , u  u x , v  vx 
4. uv   u v  uv

 u  u v  uv 
5.   
v
v2
6. y  y(u), u  u ( x)  y x  yu  u x
1
7. x y 
y x
8. (u a )  au a1  u x
9. sin  u  cos u  u 
10. cos u   sin u  u 
u
11. tg u 
 sec 2 u  u 
2
cos u
u
12. ctg u   2   cosec 2 u  u  ;
sin u


13. a u  a u  ln a  u  , a  const , a  0 , a  1 , e x  e x
1
1
 u  (a  const, a  0, a  1) , ln  x  .
14. lo g a u 
u ln a
x
1
15. arcsin  u 
u
1 u2
1
16. arccos u  
u
1 u2
1
17. arctgu 
u
1 u 2
1
18. arcctgu  
u
1 u 2

19. u v  u v  ln u  v  v  u v 1  u 
 x   (t )

20. 
, y x  t
t
 y   (t )
 
 
 
2.4. Частные производные и полный дифференциал числовой функции
нескольких переменных.
Рассмотрим теперь функцию двух переменных z  f ( x, y ) . Выберем в области
определения произвольную точку x, y  и зафиксируем ее. Дадим сначала первой
переменной x точке приращение x и образуем новую точку – x  x , y  . Вычислим
приращение функции
 x z  f x  x , y   f x , y  .
(2.4.1)
Такое приращение называется частным приращением по переменной x . Составим
 z
отношение приращений (2.4.1.) к приращению аргумента x . Если существует предел
x
этого отношения при x  0 , то этот предел называется частной производной числовой
функции двух переменных по x и обозначается
 z
f z
lim x  f x  x, y   z x  x, y  

.
(2.4.2)
x  0 x
x x
Следует отметить, что в отличие от производной функции одной переменной,
z
выражение
не отношение дифференциалов а единый слитный символ.
x
Из определения частной производной по x видно, что все правила
дифференцирования сохраняются и при этом переменная y и выражения зависящие
только от y считаются константами.
Применим к соотношению (2.4.2) теорему о связи величины, имеющей конечный
предел с бесконечно малой величиной (Теорема 1, раздел 1.8)
xz
 f x   x, y    x 
(2.4.3)
x
Умножим равенство (2.4.3) на x
 z  f   x, y x   x x .
(2.4.4)
x
x
В правой части формулы (2.4.4) два слагаемых. Первое является линейным
относительно x и более крупным – это главная часть БМВ. Второе – нелинейно и
является БМВ более высокого порядка малости, чем первое. Формулу (2.4.4) можно
переписать в виде
 z  f   x, y x  ox 
(2.4.5)
x
x
Главная и линейная часть формулы (2.4.5) обозначается
d z  f   x, y x ,
(2.4.6)
и называется частным дифференциалом числовой функции двух переменных по x .
Дадим теперь второй переменной y точке приращение  y и образуем еще одну
новую точку – x , y  y  . Повторяя описанную выше процедуру, получим
 y z  f x , y  y   f  x , y  ,
(2.4.7)
x
x
второе частное приращение функции по y , вторую частную производную функции по y
yz
f z
(2.4.8)
lim
 f y  x, y   z y  x, y  
 ,
y  0 y
y y
и второй частный дифференциал по y
(2.4.9)
d z  f  x, y y ,
y
y
Из определения частной производной по y видно, что все правила
дифференцирования сохраняются и при этом переменная x и выражения, зависящие
только от x считаются константами.
Сумма двух частных дифференциалов образует полный дифференциал
z
z
(2.4.10)
dz  d x z  d y z  f x x, y x  f y  x, y y  x  y
x
y
Применим формулу (2.4.10) для функции z  x
dz  dx  x x  x y  1 x  x .
x
y
Таким образом, для независимой переменной x получаем
dx  x .
Применение формулы (2.4.10) для функции z  y дает
dz  dy  y x  y y  1 y  y .
x
y
Таким образом, для независимой переменной y получаем
dy  y .
Формула (2.4.10) принимает симметричный вид
z
z
dx  dy .
x
y
Помимо частных приращений функции z  f ( x, y ) существует еще и
приращение функции, когда приращения получают одновременно оба аргумента
z  f x  x , y  y   f x , y 
Можно показать, что полное приращение функции z  f ( x, y ) и
дифференциал связаны между собой соотношением
dz 
(2.4.11)
полное
(2.4.12)
полный
(2.4.13)
z  dz  o ,   dx 2  dy 2
Сформулируем без доказательства две теоремы о дифференцируемости числовых
функций двух переменных.
Теорема 1. Если обе частные производные числовой функции двух переменных
непрерывны в некоторой точке, то функция дифференцируема в этой точке.
Теорема 2. Всякая дифференцируемая в некоторой точке числовая функция двух
переменных непрерывна в этой точке.
Пример.
Вычислить частные производные функции и полный дифференциал функции
x
z  sin  x 2  2 .
y
Решение.
z
x 1
z
x  x 
 cos     2 x ,
 cos    2  ,
x
y  y
y
y  y 


z
z
x 1
x  x 
dz  dx  dy   cos     2 x  dx  cos    2  dy .
x
y
y  y
y  y 


2.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала.
Рассмотрим график функции двух переменных z  f ( x, y ) . Таким графиком будет
некоторая поверхность в пространстве. Выберем на ней произвольную точку
M 0 x0 , y0 , z0  , причем z0  f ( x0 , y0 ) .
z
M 0 x0 , y0 , z0 
y0
O
y

x0

x
Пересечем поверхность плоскостью y  y 0 . Результатом такого пересечения будет
пространственная кривая, которую описывает функция одной переменной z  f x, y0  .
Угловой коэффициент касательной линии к графику функции z  f x, y0  в точке
M 0 x0 , y0 , z0  равен частной производной
z
tg  
 f x   x0 , y 0  .
(2.5.1)
x
При пересечении поверхности плоскостью x  x0 , получаем
z
(2.5.2)
tg 
 f y   x0 , y 0  .
y
Таким образом, геометрический смысл частных производных функции двух
переменных состоит в том, что они равны тангенсам углов наклона касательных линий к
графику функции в заданной точке.
Рассмотрим уравнение плоскости
z  z 0  f x x0 , y 0 x  x0   f y x0 , y 0  y  y 0  .
(2.5.3)
Эта плоскость проходит через точку M x0 , y 0 , z 0  и содержит в себе обе касательные
линии. В сечении x  x получаем уравнение касательной z  z  f  x , y  y  y  , а в
0
0
y
0
0
0
сечении y  y0 получаем уравнение касательной z  z 0  f x x0 , y0 x  x0  . Таким
образом, плоскость (2.5.3) является касательной плоскостью. Вводя обозначения
x  x0  x  dx , y  y0  y  dy , получаем
z
z
(2.5.4)
z  z0  f x x0 , y0 x  x0   f y x0 , y0  y  y0   dx  dy  dz
x
y
Таким образом, геометрический смысл полного дифференциала функции двух
переменных состоит в том, что он равен приращению аппликаты касательной плоскости к
графику функции в заданной точке.
Совершенно аналогично получаются соответствующие результаты для числовой
функции нескольких переменных y  f x1 , x2 ,..., xn  .
Частное приращение функции выражается формулой
 k y  f x1 , x2 ,..., xk  xk ,..., xn   f x1 , x2 ,..., xk ,..., xn  .
Частные производные записываются в виде
k y
y
lim
 f x k   x1 , x2 ,..., xn  
.
x k  0 xk
xk
Формулы для частных дифференциалов имеют вид
y
d xk 
dxk .
xk
Полное приращение функции равно
y  f x1  x1 , x2  x2 ,..., xn  xn   f x1 , x2 ,..., xn  .
Полный дифференциал представляет собой сумму всех частных дифференциалов
n
n
y
dy   d x k y  
dxk .

x
k 1
k 1 k
Полное приращение функции и полный дифференциал связаны соотношением
y  dy  o  ,  
n
 dxk .
k 1
2.6. Вычисление производных и дифференциалов сложных функций.
Рассмотрим сложную функцию двух переменных
 z  f u , v 

(2.6.1)
u  u  x, y  .
v  v x, y 

Если исключить из соотношений (2.6.1) переменные u , v , то получится обычная
функция двух переменных z  zx, y  . Сложные функции вводят вместо обычных
функций, как правило, для того, чтобы упростить громоздкую структуру исходной
функции.
Установим правила дифференцирования сложных функций. Дадим приращение x
первому аргументу x . Тогда обе функции u , v получат соответствующие частные
приращения  x u ,  x v . Применяя к функции z  f u, v  формулы (2.4.11) и (2.4.13)
получим
z
z
хz 
 х u   х v  o( x ),  х   х u 2   х v 2
(2.6.2)
u
v
Разделяя первое соотношение (2.6.2) на x , переходя к пределу при x  0 и
o x 
 0 , находим первую формулу для производной сложной функции
учитывая, что
x
 z  z u  z  v


.
(2.6.3)
 x u  x  v  x
Совершенно аналогично находится вторая формула для производной сложной
функции
 z  z u  z  v


.
(2.6.4)
y u  y v y
Вычислим теперь с помощью формул (2.6.3), (2.6.4) полный дифференциал функции
  z u  z  v 
  z u  z v 
z
z
dx  
dy 
dz 
dx  dy  


x
y
 u  x v  x 
 u y v y 
.
 z  u
u   z  v
v  z
z
  dx  dy    dx  dy   du  dv
u   x
y  v   x
y  u
v
Таким образом, получаем
z
z
z
z
dx  dy 
du  dv .
(2.6.5)
x
y
u
v
Это
равенство
выражает
свойство
инвариантности
формы
полного
дифференциала, состоящее в том, что структура формулы для полного дифференциала
одинакова как для независимых переменных x, y  , так и для произвольных функций
u, v.
Правила дифференцирования, выражаемые формулами (2.6.3), (2.6.4), остаются
справедливым и для большего числа переменных. Например, для сложной функции
 z  f u , v, w
u  u  x, y 

,

v  v x, y 
w  w x, y 
производная по переменной y имеет вид
 z  z u  z v  z w



.
 y u y v y w  y
Если случайно окажется, что, например, w  y , то для корректности записи
производной приходится использовать вместо символа  символ D
Dz  z u  z v  z



.
y u y v  y y
Для сложной функции
 z  f u , v, w
u  u t 

,

v  vt 
w  wt 
производная по переменной t будет иметь вид
d z  z d u  z d v  z dw



.
dt u dt v dt w dt
Здесь другие обозначения не требуются (фактически мы имеем функцию одной
переменной), а сама производная в этом случае называется полной производной.
dz 
2.7. Вычисление производных неявных функций.
Решением уравнением
(2.7.1)
F x, y   0 ,
является числовая функция одной переменной
(2.7.2)
y  yx  .
Если функцию (2.7.2) практически невозможно вычислить, то говорят, что функция задана
неявно с помощью уравнения (2.7.1).
Выясним, как вычисляется производная функции заданной неявно. При подстановке
решения (2.7.2) в уравнение (2.7.1) получается верное равенство или тождество
(2.7.3)
F x, yx   0 .
Применяя к тождеству (2.7.3) правило дифференцирования сложной функции,
получаем
F F d y

 0.
x  y d x
Решая это уравнение относительно искомой производной, получаем
F
 F

Fx x, y 
dy
x


, 
 0  .

F
dx

F y  x, y    y
y
(2.7.4)
Пример.
Найти производную y x функции определяемой уравнением
x sin y  cosx  y  .
Решение:
Fx x, y 
dy

, F x, y   x sin x  cosx  y  ,
dx
Fy  x, y 
y х  
Решением уравнением
sin y  sin( x  y )
.
x cos y  sin( x  y )
(2.7.5)
F x, y, z   0 ,
является числовая функция двух переменных
(2.7.6)
z  zx, y  .
Если функцию (2.7.6) практически невозможно вычислить, то говорят, что функция задана
неявно с помощью уравнения (2.7.5).
Выясним, как вычисляются частные производные функции заданной неявно. При
подстановке решения (2.7.6) в уравнение (2.7.5) получается верное равенство или
тождество
(2.7.7)
F x, y, zx, y   0 .
Применяя к тождеству (2.7.7) правило дифференцирования сложной функции,
получаем
F F z
F F  z

0 ,

0
x z x
 y  z y
Решая эти уравнения относительно искомых производных, получаем
F

F   x, y , z    F
z
x

 x
, 
 0 
F
x

Fz  x, y, z    z
z
(2.7.8)
F
F y   x, y , z    F

z
y


, 
 0 
F
y

Fz  x, y, z    z
z
z z
,
Пример. Вычислить
для функции определяемой уравнением yz  arctg xz .
x  y
Решение:
Составим уравнение – F x, y, z   yz  arctg xz . Вычислим производные по формулам
(2.7.8)
F   x, y , z 
z
z
 х

x
Fz  x, y, z  (1  x 2 z 2 )( y 
Fy  x, y, z 
z


y
Fz  x, y, z 
1 x2 z
z
(y 
x
1 x2 z

x

)
2
)
2
z
x  y  yx 2 z 2
z (1  x 2 z 2 )
.
x  y  yx 2 z 2
2.8. Производные и дифференциалы высших порядков для числовой функции
одной переменной.
Пусть для функции y  f x  найдена производная y  f x  . Эта функция в свою
очередь тоже может иметь производную, которую обозначают
 f x   y  f x  ,
и называют производной второго порядка от функции y  f x .
Производная от производной второго порядка называется производной третьего
порядка
 f x   y  f x  .
Начиная с производной четвертого порядка, вместо штрихов используют натуральные
числа, заключенные в скобки

(2.8.1)
y n   f n  x   f n 1 x  .


Множество всех функций, имеющих непрерывные производные на интервале a, b до
порядка n включительно, называют – класс функций Cna , b  .
Пример. Вычислить y n  для функции y  ln x .
n  1! .
1
1
1 2
1 2  3
y  ln x, y   , y    2 , y   3 , y 4    4 , ..., y n    1n 1
x
x
x
x
xn
Рассмотрим формулу для производной произведения двух функций
uv   uv  uv .
Продифференцируем ее
uv   uv  uv  uv  2uv  uv .
Вычислим третью производную
uv   uv  2uv  uv  uv  3uv  3uv  uv .
Очевидно, что производные более высоких порядков от произведения двух функций
сохраняют структуру, соответствующую формуле бинома Ньютона и общая формула
будет иметь вид
n
uv n    Cnk u n  k v k  , Cnk  n! .
(2.8.2)
k !n  k !
k 0
Формула (2.8.2) называется формулой Лейбница.
Пример. Вычислить производную третьего порядка от функции y  e x ln x .
Решение:
1
2
 1 
y   e x ln x  3e x  3e x   2   e x  3
x
x
 x 
Вычислим теперь производные высших порядков для функции, заданной
параметрически:
 x   (t )

 y   (t )
Используя правила дифференцирования сложной и обратной функции и учитывая, что
y  yt  , t  t x ,
получим
yt  (t )

 y х  yt  t x  x   (t )
t


( y  )  (t ) (t )  (t ) (t )
  ( y x )t  t x  x t 
 y xx
xt
.
(2.8.3)
 (t ) 3


 y 
 y xxx
   y xx
 t   t x  xx
xt

.......................................................................

Рассмотрим теперь дифференциалы высших порядков.
Обычный дифференциал или дифференциал первого порядка имеет вид
dy  f xdx .
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала
первого порядка
(2.8.4)
d 2 y  d dy    f x dx  dx  f x dx 2 .
Здесь величина dx считается константой по отношению к переменной x .
Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала
второго порядка

(2.8.5)
d 3 y  d d 2 y  f x dx 2 dx  f x dx 3 .
Дифференциалом n–го порядка называется дифференциал от дифференциала n–1
порядка

(2.8.6)
d n y  d d n 1 y  f n 1 x dx n 1 dx  f n  x dx n .
  

 


Теперь производную функции n–го порядка можно обозначать следующим образом
dny
(2.8.7)
f n   x   n .
dx
Рассмотрим сложную функцию одной переменной
y  f u  , u  ux .
Вычислим ее дифференциал
dy  y  dx  f  u u  dx  f u  du .
(2.8.8)
x
u
x
Помимо прочего формула (2.8.8) выражает свойство инвариантности формы
дифференциала первого порядка. Выясним, сохраняется ли это свойство для
дифференциалов более высоких порядков.
d 2 y  d dy   dy x dx   f u u x dx x dx 
.
 f u u x 2 dx 2  f u u x dx 2  f u du 2  f u d 2u
Эта формула показывает, что свойство инвариантности дифференциала второго
порядка уже нарушено, поскольку величина d 2u  0 .
2.9. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.
Для числовой функции двух переменных z  f x, y  частными производными высших
порядков будут частные производные от частных производных первого порядка
z
z
 f x ( x, y ) ,
 f y ( x, y ) .
x
y
Частных производных второго порядка может быть образовано четыре
  2 z   z 
 ( x, y )
 2     f xx

x

x



x

 2
  z    z   f  ( x, y )
xy
  x y x  y 
.
 2
  z 
  z
 ( x, y )
  yxy  y  x   f yx

  2 z   z 
 ( x, y )
 2     f yy
y  y 
 y
Пример.
Для функции z  x 2 y 3  ln x  y  найти частные производные до второго порядка
включительно.
z
1
z
1
 2 xy3 
;
 3x 2 y 2 
x
x y
y
x y
2 z
x2
 2 y3 
1
x  y 2
;
2 z
1
 6 xy2 
 x y
( x  y) 2
2z
1
2z
1
 6 xy2 
;
 6x 2 y 
2
2
yx
x  y  y
x  y 2
В приведенном примере оказалось, что смешанные производные совпадают
2z
2z
.
(2.9.1)

xy yx
Такое совпадение не является случайностью. Можно строго доказать, что порядок
дифференцирования по различным переменным подчиняется закону коммутативности
  z xyx
  z yxx
 .
z xxy
Полный дифференциал функции z  f x, y  имеет вид
z
z
dz  dx  dy .
x
y
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от полного
дифференциала
(dz )
(dz )
 2z
 2z
 2z
d 2 z  d (dz ) 
dx 
dy  2 dx 2  2
dxdy  2 dy 2 .
x
y
 x y
x
y
Эту формулу похожую на формулу для квадрата суммы можно записать
символически
2 
 z
z 
2
d z   dx  dy  .
(2.9.2)
y 
 x
Можно показать, что дифференциал n–го порядка (дифференциал от
дифференциала n–1 порядка) вычисляется по формуле
n 
 z
z 
n
n 1
d z  d d z   dx  dy  .
(2.9.3)
y 
 x


Можно так же показать, что дифференциалы высших порядков для сложных функций
не обладают свойством инвариантности формы.
Скачать