1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 2.1. Производная и дифференциал числовой функции одной переменной. Рассмотрим функцию одной переменной y f x . Выберем в области определения произвольную точку x и зафиксируем ее. Дадим этой точке приращение x и образуем новую точку – x x . Вычислим приращение функции (2.1.1) y f x x f x y Составим отношение приращений функции к приращению аргумента . Если x существует предел этого отношения при x 0 , то этот предел называется производной числовой функции одной переменной и обозначается y lim f x (2.1.2) x 0 x Применим к соотношению (2.1.2) теорему о связи величины, имеющей конечный предел с бесконечно малой величиной (Теорема 1, раздел 1.8) y f x x (2.1.3) x Умножим равенство (2.1.3) на x (2.1.4) y f xx xx . В правой части формулы (2.1.4) два слагаемых. Первое является линейным относительно x и более крупным – это главная часть БМВ. Второе – нелинейно и является БМВ более высокого порядка малости, чем первое. Формулу (2.1.4) можно переписать в виде (2.1.5) y f xx ox Главная и линейная часть формулы (2.1.5) обозначается (2.1.6) dy f x x , и называется дифференциалом числовой функции одной переменной. Применим формулу (2.1.6) для функции y x dy dx xx 1 x x . Таким образом, для независимой переменной получаем dx x . Формула (2.1.6) принимает симметричный вид (2.1.7) dy f xdx , и мы получаем еще одно широко используемое обозначение производной dy f x . (2.1.8) dx Иногда используют формулу df f x . dx Сформулируем без доказательства две теоремы о дифференцируемости числовых функций одной переменной. Теорема 1. Для дифференцируемости числовой функции одной переменной необходимо и достаточно, чтобы для этой функции существовала конечная производная. Теорема 2. Всякая дифференцируемая в некоторой точке числовая функция одной переменной непрерывна в этой точке. 2.2. Геометрический смысл производной и дифференциала числовой функции одной переменной. Выясним, что означает производная и дифференциал функции одной переменной с точки зрения геометрии. C y ox y D dy A x0 O B x x x x x Из прямоугольных треугольников ABC и ABD находим BC y AB x , CB y , tg . AB x Здесь – угол наклона секущей линии. Если x 0 то B A и секущая линия будет стремиться занять положение касательной линии AC . Тогда, y lim f x tg . (2.2.1) x 0 x Таким образом, геометрический смысл производной функции одной переменой состоит в том, что она равна тангенсу угла наклона касательной линии к графику функции в заданной точке. Из прямоугольного треугольника ABD находим (2.2.2) BD AB tg f xx dy . Таким образом, геометрический смысл дифференциала функции одной переменной состоит в том, что он равен приращению ординаты касательной линии к графику функции в заданной точке. Из курса физики известен физический смысл производной функции. Если s st есть функция пути по времени, то производная этой функции v vt st есть скорость движения рассматриваемого объекта. 2.3. Сводка правил для вычисления производной. В школьном курсе математики рассматривались следующие формулы, используемые при вычислении производных функции одной переменной. Все эти формулы необходимо запомнить. 1. C 0 , C const 2. kf x kf x , k const 3. u v u v , u u x , v vx 4. uv u v uv u u v uv 5. v v2 6. y y(u), u u ( x) y x yu u x 1 7. x y y x 8. (u a ) au a1 u x 9. sin u cos u u 10. cos u sin u u u 11. tg u sec 2 u u 2 cos u u 12. ctg u 2 cosec 2 u u ; sin u 13. a u a u ln a u , a const , a 0 , a 1 , e x e x 1 1 u (a const, a 0, a 1) , ln x . 14. lo g a u u ln a x 1 15. arcsin u u 1 u2 1 16. arccos u u 1 u2 1 17. arctgu u 1 u 2 1 18. arcctgu u 1 u 2 19. u v u v ln u v v u v 1 u x (t ) 20. , y x t t y (t ) 2.4. Частные производные и полный дифференциал числовой функции нескольких переменных. Рассмотрим теперь функцию двух переменных z f ( x, y ) . Выберем в области определения произвольную точку x, y и зафиксируем ее. Дадим сначала первой переменной x точке приращение x и образуем новую точку – x x , y . Вычислим приращение функции x z f x x , y f x , y . (2.4.1) Такое приращение называется частным приращением по переменной x . Составим z отношение приращений (2.4.1.) к приращению аргумента x . Если существует предел x этого отношения при x 0 , то этот предел называется частной производной числовой функции двух переменных по x и обозначается z f z lim x f x x, y z x x, y . (2.4.2) x 0 x x x Следует отметить, что в отличие от производной функции одной переменной, z выражение не отношение дифференциалов а единый слитный символ. x Из определения частной производной по x видно, что все правила дифференцирования сохраняются и при этом переменная y и выражения зависящие только от y считаются константами. Применим к соотношению (2.4.2) теорему о связи величины, имеющей конечный предел с бесконечно малой величиной (Теорема 1, раздел 1.8) xz f x x, y x (2.4.3) x Умножим равенство (2.4.3) на x z f x, y x x x . (2.4.4) x x В правой части формулы (2.4.4) два слагаемых. Первое является линейным относительно x и более крупным – это главная часть БМВ. Второе – нелинейно и является БМВ более высокого порядка малости, чем первое. Формулу (2.4.4) можно переписать в виде z f x, y x ox (2.4.5) x x Главная и линейная часть формулы (2.4.5) обозначается d z f x, y x , (2.4.6) и называется частным дифференциалом числовой функции двух переменных по x . Дадим теперь второй переменной y точке приращение y и образуем еще одну новую точку – x , y y . Повторяя описанную выше процедуру, получим y z f x , y y f x , y , (2.4.7) x x второе частное приращение функции по y , вторую частную производную функции по y yz f z (2.4.8) lim f y x, y z y x, y , y 0 y y y и второй частный дифференциал по y (2.4.9) d z f x, y y , y y Из определения частной производной по y видно, что все правила дифференцирования сохраняются и при этом переменная x и выражения, зависящие только от x считаются константами. Сумма двух частных дифференциалов образует полный дифференциал z z (2.4.10) dz d x z d y z f x x, y x f y x, y y x y x y Применим формулу (2.4.10) для функции z x dz dx x x x y 1 x x . x y Таким образом, для независимой переменной x получаем dx x . Применение формулы (2.4.10) для функции z y дает dz dy y x y y 1 y y . x y Таким образом, для независимой переменной y получаем dy y . Формула (2.4.10) принимает симметричный вид z z dx dy . x y Помимо частных приращений функции z f ( x, y ) существует еще и приращение функции, когда приращения получают одновременно оба аргумента z f x x , y y f x , y Можно показать, что полное приращение функции z f ( x, y ) и дифференциал связаны между собой соотношением dz (2.4.11) полное (2.4.12) полный (2.4.13) z dz o , dx 2 dy 2 Сформулируем без доказательства две теоремы о дифференцируемости числовых функций двух переменных. Теорема 1. Если обе частные производные числовой функции двух переменных непрерывны в некоторой точке, то функция дифференцируема в этой точке. Теорема 2. Всякая дифференцируемая в некоторой точке числовая функция двух переменных непрерывна в этой точке. Пример. Вычислить частные производные функции и полный дифференциал функции x z sin x 2 2 . y Решение. z x 1 z x x cos 2 x , cos 2 , x y y y y y z z x 1 x x dz dx dy cos 2 x dx cos 2 dy . x y y y y y 2.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала. Рассмотрим график функции двух переменных z f ( x, y ) . Таким графиком будет некоторая поверхность в пространстве. Выберем на ней произвольную точку M 0 x0 , y0 , z0 , причем z0 f ( x0 , y0 ) . z M 0 x0 , y0 , z0 y0 O y x0 x Пересечем поверхность плоскостью y y 0 . Результатом такого пересечения будет пространственная кривая, которую описывает функция одной переменной z f x, y0 . Угловой коэффициент касательной линии к графику функции z f x, y0 в точке M 0 x0 , y0 , z0 равен частной производной z tg f x x0 , y 0 . (2.5.1) x При пересечении поверхности плоскостью x x0 , получаем z (2.5.2) tg f y x0 , y 0 . y Таким образом, геометрический смысл частных производных функции двух переменных состоит в том, что они равны тангенсам углов наклона касательных линий к графику функции в заданной точке. Рассмотрим уравнение плоскости z z 0 f x x0 , y 0 x x0 f y x0 , y 0 y y 0 . (2.5.3) Эта плоскость проходит через точку M x0 , y 0 , z 0 и содержит в себе обе касательные линии. В сечении x x получаем уравнение касательной z z f x , y y y , а в 0 0 y 0 0 0 сечении y y0 получаем уравнение касательной z z 0 f x x0 , y0 x x0 . Таким образом, плоскость (2.5.3) является касательной плоскостью. Вводя обозначения x x0 x dx , y y0 y dy , получаем z z (2.5.4) z z0 f x x0 , y0 x x0 f y x0 , y0 y y0 dx dy dz x y Таким образом, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных состоит в том, что он равен приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции в заданной точке. Совершенно аналогично получаются соответствующие результаты для числовой функции нескольких переменных y f x1 , x2 ,..., xn . Частное приращение функции выражается формулой k y f x1 , x2 ,..., xk xk ,..., xn f x1 , x2 ,..., xk ,..., xn . Частные производные записываются в виде k y y lim f x k x1 , x2 ,..., xn . x k 0 xk xk Формулы для частных дифференциалов имеют вид y d xk dxk . xk Полное приращение функции равно y f x1 x1 , x2 x2 ,..., xn xn f x1 , x2 ,..., xn . Полный дифференциал представляет собой сумму всех частных дифференциалов n n y dy d x k y dxk . x k 1 k 1 k Полное приращение функции и полный дифференциал связаны соотношением y dy o , n dxk . k 1 2.6. Вычисление производных и дифференциалов сложных функций. Рассмотрим сложную функцию двух переменных z f u , v (2.6.1) u u x, y . v v x, y Если исключить из соотношений (2.6.1) переменные u , v , то получится обычная функция двух переменных z zx, y . Сложные функции вводят вместо обычных функций, как правило, для того, чтобы упростить громоздкую структуру исходной функции. Установим правила дифференцирования сложных функций. Дадим приращение x первому аргументу x . Тогда обе функции u , v получат соответствующие частные приращения x u , x v . Применяя к функции z f u, v формулы (2.4.11) и (2.4.13) получим z z хz х u х v o( x ), х х u 2 х v 2 (2.6.2) u v Разделяя первое соотношение (2.6.2) на x , переходя к пределу при x 0 и o x 0 , находим первую формулу для производной сложной функции учитывая, что x z z u z v . (2.6.3) x u x v x Совершенно аналогично находится вторая формула для производной сложной функции z z u z v . (2.6.4) y u y v y Вычислим теперь с помощью формул (2.6.3), (2.6.4) полный дифференциал функции z u z v z u z v z z dx dy dz dx dy x y u x v x u y v y . z u u z v v z z dx dy dx dy du dv u x y v x y u v Таким образом, получаем z z z z dx dy du dv . (2.6.5) x y u v Это равенство выражает свойство инвариантности формы полного дифференциала, состоящее в том, что структура формулы для полного дифференциала одинакова как для независимых переменных x, y , так и для произвольных функций u, v. Правила дифференцирования, выражаемые формулами (2.6.3), (2.6.4), остаются справедливым и для большего числа переменных. Например, для сложной функции z f u , v, w u u x, y , v v x, y w w x, y производная по переменной y имеет вид z z u z v z w . y u y v y w y Если случайно окажется, что, например, w y , то для корректности записи производной приходится использовать вместо символа символ D Dz z u z v z . y u y v y y Для сложной функции z f u , v, w u u t , v vt w wt производная по переменной t будет иметь вид d z z d u z d v z dw . dt u dt v dt w dt Здесь другие обозначения не требуются (фактически мы имеем функцию одной переменной), а сама производная в этом случае называется полной производной. dz 2.7. Вычисление производных неявных функций. Решением уравнением (2.7.1) F x, y 0 , является числовая функция одной переменной (2.7.2) y yx . Если функцию (2.7.2) практически невозможно вычислить, то говорят, что функция задана неявно с помощью уравнения (2.7.1). Выясним, как вычисляется производная функции заданной неявно. При подстановке решения (2.7.2) в уравнение (2.7.1) получается верное равенство или тождество (2.7.3) F x, yx 0 . Применяя к тождеству (2.7.3) правило дифференцирования сложной функции, получаем F F d y 0. x y d x Решая это уравнение относительно искомой производной, получаем F F Fx x, y dy x , 0 . F dx F y x, y y y (2.7.4) Пример. Найти производную y x функции определяемой уравнением x sin y cosx y . Решение: Fx x, y dy , F x, y x sin x cosx y , dx Fy x, y y х Решением уравнением sin y sin( x y ) . x cos y sin( x y ) (2.7.5) F x, y, z 0 , является числовая функция двух переменных (2.7.6) z zx, y . Если функцию (2.7.6) практически невозможно вычислить, то говорят, что функция задана неявно с помощью уравнения (2.7.5). Выясним, как вычисляются частные производные функции заданной неявно. При подстановке решения (2.7.6) в уравнение (2.7.5) получается верное равенство или тождество (2.7.7) F x, y, zx, y 0 . Применяя к тождеству (2.7.7) правило дифференцирования сложной функции, получаем F F z F F z 0 , 0 x z x y z y Решая эти уравнения относительно искомых производных, получаем F F x, y , z F z x x , 0 F x Fz x, y, z z z (2.7.8) F F y x, y , z F z y , 0 F y Fz x, y, z z z z z , Пример. Вычислить для функции определяемой уравнением yz arctg xz . x y Решение: Составим уравнение – F x, y, z yz arctg xz . Вычислим производные по формулам (2.7.8) F x, y , z z z х x Fz x, y, z (1 x 2 z 2 )( y Fy x, y, z z y Fz x, y, z 1 x2 z z (y x 1 x2 z x ) 2 ) 2 z x y yx 2 z 2 z (1 x 2 z 2 ) . x y yx 2 z 2 2.8. Производные и дифференциалы высших порядков для числовой функции одной переменной. Пусть для функции y f x найдена производная y f x . Эта функция в свою очередь тоже может иметь производную, которую обозначают f x y f x , и называют производной второго порядка от функции y f x . Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка f x y f x . Начиная с производной четвертого порядка, вместо штрихов используют натуральные числа, заключенные в скобки (2.8.1) y n f n x f n 1 x . Множество всех функций, имеющих непрерывные производные на интервале a, b до порядка n включительно, называют – класс функций Cna , b . Пример. Вычислить y n для функции y ln x . n 1! . 1 1 1 2 1 2 3 y ln x, y , y 2 , y 3 , y 4 4 , ..., y n 1n 1 x x x x xn Рассмотрим формулу для производной произведения двух функций uv uv uv . Продифференцируем ее uv uv uv uv 2uv uv . Вычислим третью производную uv uv 2uv uv uv 3uv 3uv uv . Очевидно, что производные более высоких порядков от произведения двух функций сохраняют структуру, соответствующую формуле бинома Ньютона и общая формула будет иметь вид n uv n Cnk u n k v k , Cnk n! . (2.8.2) k !n k ! k 0 Формула (2.8.2) называется формулой Лейбница. Пример. Вычислить производную третьего порядка от функции y e x ln x . Решение: 1 2 1 y e x ln x 3e x 3e x 2 e x 3 x x x Вычислим теперь производные высших порядков для функции, заданной параметрически: x (t ) y (t ) Используя правила дифференцирования сложной и обратной функции и учитывая, что y yt , t t x , получим yt (t ) y х yt t x x (t ) t ( y ) (t ) (t ) (t ) (t ) ( y x )t t x x t y xx xt . (2.8.3) (t ) 3 y y xxx y xx t t x xx xt ....................................................................... Рассмотрим теперь дифференциалы высших порядков. Обычный дифференциал или дифференциал первого порядка имеет вид dy f xdx . Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка (2.8.4) d 2 y d dy f x dx dx f x dx 2 . Здесь величина dx считается константой по отношению к переменной x . Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка (2.8.5) d 3 y d d 2 y f x dx 2 dx f x dx 3 . Дифференциалом n–го порядка называется дифференциал от дифференциала n–1 порядка (2.8.6) d n y d d n 1 y f n 1 x dx n 1 dx f n x dx n . Теперь производную функции n–го порядка можно обозначать следующим образом dny (2.8.7) f n x n . dx Рассмотрим сложную функцию одной переменной y f u , u ux . Вычислим ее дифференциал dy y dx f u u dx f u du . (2.8.8) x u x Помимо прочего формула (2.8.8) выражает свойство инвариантности формы дифференциала первого порядка. Выясним, сохраняется ли это свойство для дифференциалов более высоких порядков. d 2 y d dy dy x dx f u u x dx x dx . f u u x 2 dx 2 f u u x dx 2 f u du 2 f u d 2u Эта формула показывает, что свойство инвариантности дифференциала второго порядка уже нарушено, поскольку величина d 2u 0 . 2.9. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Для числовой функции двух переменных z f x, y частными производными высших порядков будут частные производные от частных производных первого порядка z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) . x y Частных производных второго порядка может быть образовано четыре 2 z z ( x, y ) 2 f xx x x x 2 z z f ( x, y ) xy x y x y . 2 z z ( x, y ) yxy y x f yx 2 z z ( x, y ) 2 f yy y y y Пример. Для функции z x 2 y 3 ln x y найти частные производные до второго порядка включительно. z 1 z 1 2 xy3 ; 3x 2 y 2 x x y y x y 2 z x2 2 y3 1 x y 2 ; 2 z 1 6 xy2 x y ( x y) 2 2z 1 2z 1 6 xy2 ; 6x 2 y 2 2 yx x y y x y 2 В приведенном примере оказалось, что смешанные производные совпадают 2z 2z . (2.9.1) xy yx Такое совпадение не является случайностью. Можно строго доказать, что порядок дифференцирования по различным переменным подчиняется закону коммутативности z xyx z yxx . z xxy Полный дифференциал функции z f x, y имеет вид z z dz dx dy . x y Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от полного дифференциала (dz ) (dz ) 2z 2z 2z d 2 z d (dz ) dx dy 2 dx 2 2 dxdy 2 dy 2 . x y x y x y Эту формулу похожую на формулу для квадрата суммы можно записать символически 2 z z 2 d z dx dy . (2.9.2) y x Можно показать, что дифференциал n–го порядка (дифференциал от дифференциала n–1 порядка) вычисляется по формуле n z z n n 1 d z d d z dx dy . (2.9.3) y x Можно так же показать, что дифференциалы высших порядков для сложных функций не обладают свойством инвариантности формы.