Логические функции одной и двух переменных
реклама
Арифметико-логические основы ЭВМ Практическое занятие №2 Синтез логических схем Теоретическое введение Элементы математической логики Математическая логика является частью формальной логики и служит теоретической основой построения электронных вычислительных машин и цифровых устройств. Наибольшее применение из области математической логики получила алгебра логики. Базой алгебры логики являются понятия о высказывании, истинности и ложности высказывания и связях между высказываниями. Высказывание, или логический аргумент (характеристика), в зависимости от смысла бывает истинным или ложным. Смысл высказывания может изменяться с переменой обстоятельств, и таким образом высказывание меняет оценку своей истинности. С точки зрения логики высказывания можно разделить на: 1. высказывания постоянно истинные (математически их принимают равными 1): уголь – черный, солнце – источник света; 2. высказывания постоянно ложные (математически их принимают равными 0): сахар – черный, снег – теплый; 3. высказывания, которые могут быть истинными или ложными в зависимости от определенных условий, т .е. принимать значения 1 или 0 попеременно: на улице идет дождь – такое высказывание будет истинным и равным 1, пока идет дождь, а после окончания дождя оно становится ложным и равным 0. По содержанию высказывания бывают простые и сложные. Простое высказывание – логический аргумент входит в состав сложного высказывания – логической функции, зависящей от истинности или ложности аргумента. Обычно простые высказывания обозначают строчными буквами латинского или русского алфавита: x, y, z, m, p… Сложные высказывания, или логические функции, обозначают прописными буквами латинского или русского алфавита: X, Y, Z, M, P… Связи между высказываниями – аргументами по своей логике разные, и от этого значения сложного высказывания непостоянно. Логическое отрицание высказывания х представляет собой такое сложное высказывание Р, которое будет истинно, когда х ложно, и ложно, когда х истинно. Математически это отражается формулой для логической функции одного аргумента: P x (Р есть НЕ х). Черта над х означает отрицание. Логика этой функциональной связи задается табл. 2, получившей название таблицы истинности. В алгебре логики элемент, реализующий логическую связь НЕ, или оператор отрицания, называется элементом НЕ (инвертором) рис. 2. Логическое сложение двух или нескольких простых высказываний – это такая функциональная зависимость, в результате которой сложное высказывание Р будет истинно, если хотя бы одно из составляющих его высказываний Рис. 2 Функциональные обозначения основных истинно, и ложно, когда логических элементов одновременно ложны все составляющие его простые высказывания. Формула логической связи: Р=ху (Р есть х ИЛИ у), где - знак дизъюнкции – логического сложения (Р=х+у). Логика работы дизъюнкции задается таблицей истинности (табл. 3). Схема элемента логического сложения называется схемой ИЛИ, дизъюнктором или собирательной схемой (рис. 2). Логическое умножение двух или более высказываний заключается в том, что сложное высказывание Р будет истинно в том и только в том случае, когда составляющие его простые высказывания будут одновременно истинны. Логическое умножение обозначается знаком конъюнкции , или знаком & (and), или буквой И. Формула Р=ху (Р есть х И у). Логический элемент умножения работает по таблице истинности (табл. 4) и называется конъюнктором, или схемой И, или схемой совпадения (рис. 2). Логические элементы НЕ, ИЛИ, И считаются основными логическими элементами, из которых состоят другие более сложные виды логических связей. Логические функции одной и двух переменных В основных логических операциях НЕ, И, ИЛИ мы получали различные значения логической функции в зависимости от сочетания аргументов, заданных величинами 1 или 0, поэтому логические функции также принимают значения 1 или 0. Функция НЕ является примером функции одной переменной, а И и ИЛИ – функциями двух переменных. Логические двоичные функции получили название Булевых по имени английского математика XIX в. Дж. Булля. Любое арифметическое действие над двоичными числами может быть выражено через основные логические функции, и при этом функция НЕ должна выполняться первой, И – второй, а в последнюю очередь – ИЛИ. Для изменения указанной последовательности в логические выражения следует вводить скобки. Рассмотрим логические функции n аргументов, задаваясь набором (сочетанием) аргументов и таблицей истинности, в которой определяется значение функции для каждого сочетания аргументов. Для определения 2n конечного числа функций используется формула 2 , следовательно, для двухзначной системы набор функций двух переменных равен 16, а от одной переменной – 4. Преобразования над аргументами, в результате которых получены значения Булевых функций, получили название операций алгебры логики. Если число аргументов равно нулю (n=0), то функции вырождаются в константы. Таким образом, существует две константы: 1. константа 0 – F0(x); 2. константа 1 – F3(x). Если число аргументов равно единице, то четыре логических функций будут заданы табл. 5. Для двух аргументов нами уже рассмотрены логические функции конъюнкции (логического умножения) и дизъюнкции (логического сложение). Рассмотрим ряд наиболее распространенных Булевых функций: отрицание конъюнкции (штрих Шеффера), отрицание дизъюнкции (стрелка Пирса), эквивалентность, сумма по модулю 2, импликация. Операция отрицания дизъюнкции – стрелка Пирса – заключается в том, что логическая функция будет истинна (1) только тогда, когда составляющие ее простые высказывания одновременно ложны (0). Записать функции может быть в нескольких видах: F x y; F x y; F x y . Для осуществления этой операции используется элемент Пирса (ИЛИ-НЕ). Логика функции отрицания дизъюнкции задается в таблице истинности (табл. 6), а функциональное изображение элемента ИЛИ-НЕ на рис. 2. В результате логической операции отрицания конъюнкции – штриха Шеффера – штриха Шеффера – функция будет истинна (1) в том случае, когда хотя бы одно из составляющих ее высказываний будет ложно (0). Алгебраическая запись операции Шеффера: F ( x, y ) x / y; F x y; F xy . Логика работы задана таблицей истинности (табл. 7), а функциональное изображение элемента Шеффера (И-НЕ) – на рис. 2. Эквивалентность (равнозначность) – логическая операция, в результате которой функция будет истинной (1), если составляющие ее аргументы равноценны или равнозначны. Функция эквивалентности аргументов х и у обозначается: F ( x, y ) x y; F x y . Логика работы элемента эквивалентности задается таблицей истинности (табл. 8), а функциональное обозначение элемента – на рис. 2. Сумма по модулю 2 – операция, в результате которой логическая функция будет истинной (1), если составляющие ее аргументы неравнозначны и неравноценны. Операция отличается от арифметического сложения лишь последней строкой таблицы истинности (табл. 9). Обозначается функция суммы по модулю 2: F ( x, y ) x y - и может называться логической неравнозначностью, т. е. F x y . Импликацией от х к у считается такая логическая операция, в результате которой функция ложна только в том случае, когда величина х истинна, а у – ложна. Функция импликации F13(x,y) обозначается: F13 x y; F xy – и задается таблицей истинности (табл. 10). Функциональное обозначение элемента импликации – на рис. 2. наименование и обозначение всех шестнадцати Булевых функций дано в табл. 11 вместе с названиями схем логических элементов. В табл. 12 приведены значения Булевых функций в зависимости от аргументов. Значение функций можно определить перечислением наборов аргументов, при которых функция равна нулю или единице. Табличный метод задания функция усложняется с увеличением числа 23 аргументов. Если использовать три аргумента, то функций будет 256 (т. е. 2 = 256), поэтому сложные логические функции задаются с помощью более простых функций одного или двух аргументов. Упрощения производятся с помощью замены одних аргументов Булевых функций другими, но при этом необходимо учитывать распределение Булевых функций по старшинству. Для выражения сложных логических функций можно использовать не все элементарные функций, а ту или иную часть их, называемую системой. Система F0F1…Fk называется функционально-полной, если любую функцию алгебры логики можно записать в виде формулы через функции F0, F1, …, Fk. Пример полных систем: 1) F7(x,y)=xy; F1(x,y)=xy; F12(x,y)= x ; 2) F8(x,y)= x y ; 3) F14(x,y)= ( x y ) ; F7(x,y)=xy. Таблица 11. Таблица 12. Таблица 12. (продолжение) Элементарные логические функции выражаются через функции полной системы, например, следующим образом: F4 ( x, y ) x y x y xy; F9 ( x, y ) x y x y x y ( x y )( x y ). Основные законы алгебры логики С помощью основных законов алгебры логики преобразуют и упрощают исходные логические функции. В алгебре логики используются переместительные, сочетательные, распределительные законы и законы инверсии, которые могут быть отнесены не только к логическим аргумента, но и к логическим формулам. Переместительный закон коммутативности: - для логического сложения: x y y x x y y x (1) x y y x xy yx (2) - для логического умножения: Сочетательный закон ассоциативности: - для логического сложения: x ( y z) ( x y) z x ( y z) ( x y) z (3) x ( y z) ( x y) z x( yz ) ( xy) z (4) - для логического умножения: Распределительный, или дистрибутивный, закон: - для логического сложения: ( x y ) z ( x z ) ( y z ) ( x y ) z xz yz (5) - для логического умножения: ( x y ) z ( x z ) ( y z ) xy z ( x z )( y z ) (6) Закон инверсии: - для логического сложения: x y x y x y x y (7) x y x y xy x y (8) - для логического умножения: Формулы (7) и (8) получили название формул де Моргана. Отсюда следует закон двойного отрицания: (9) xx Распределительный закон для логического умножения и закон инверсии не имеют аналогов в математике, алгебре и характерны лишь для алгебры логики. Доказательство этих законов можно получить построением таблиц истинности. В качестве пример рассмотрим таблицу истинности (табл. 13), в которой используются правые и левые части формул (7), (8). Из нее можно сделать заключение о тождестве столбцов 6 и 9, а также 8 и 10, что подтверждает справедливость законов инверсии. Таблица 13. Используя основные законы алгебры логики и свойства логических функций НЕ, И, ИЛИ, можно вывести следующие заключения. Всегда истинные высказывания: x 1 1 x x 1 ( закон исключения третьего) (10) Всегда ложные высказывания: x0 0 x x 0 ( закон противоречия ) (11) Обобщение всегда истинных и всегда ложных высказываний приводит к следующим выводам, пригодным для любых логических формул (обозначим их буквой Р): P 1 1; P P 1; P 0 0; P P 0 (12) К аксиомам алгебры логики относятся следующие соотношения: x x x; x x x; 1 x x; x x y 0; ( закон поглащения ) x x ... x x; x x y x; x x ... x x; x x y xz x (13) Из перечисленных выше законов и соотношений можно сделать следующие выводы: 1. Если логическая сумма двоичных аргументов или функций содержит хотя бы одну пару слагаемых, являющихся взаимоинверсными величинами, то эта сумма тождественна 1 (т. е. истинна): x y xy x 1 (14) Примеры: а) определить значение x xy x y x y x x y x y x x( y y ) 1 ; б) определить значение xy x( y 1) ( x y ) xy x xy ( x x)( x y ) x y . 2. Если логическое произведение двоичных аргументов или функций содержит хотя бы одну пару сомножителей, являющихся взаимно-инверсными величинами, то это произведение ложно, т.е. тождественно 0: xyz x 0 (15) В процессе упрощения сложных логических выражений используется ряд методов, которые изложены далее, но наиболее часто применяются приемы, связанные с основными законами алгебры логики, а также с законами поглощения (13), исключения третьего (10), инверсии (7) – (9) Примеры: а) определить значение x xy x y ( x y ) x x y x y x x( y y ) 1 б) определить значение xy x( y 1) ( x y) xy x xy x xy ( x x)( x y) x y Формы логических функций и их использование для синтеза логических схем Алгебра логики позволяет образовывать сложные функции, аргументы которых являются функциями других двоичных аргументов. Так, если z=z(x,y); x=x(a,b); y=y(c,p), то z=z(a,b,c,p). Операция замены аргументов одной функции другими, более простыми функциями носит название суперпозиции функции. Многократной использование принципа суперпозиции дает возможность получить функции желаемого числа аргументов. Для синтеза логических схем используется принцип суперпозиции наряду с применением элементарных логических функций. Наиболее рациональным является представление логических функций в нормальной форме. Для этого следует разобраться в таких понятиях, как элементарная конъюнкция, элементарная дизъюнкция, ранг функции, и перейти к совершенным нормальным формам функции. Элементарная конъюнкция (минтером) образуется конъюнкцией конечного множества логических переменных и их отрицаний. Например: P( x, y, z ) x y z ; P( x, y, z) xyz . Элементарная дизъюнкция (макстером) образуется дизъюнкцией конечного множества логических переменных и их отрицание. Например: P( x, y, z ) x y z ; P( x, y, z) x y z . Число переменных (аргументов), составляющих элементарную конъюнцию или дизъюнкцию, называется ее рангом. Например, функция P( x1, x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x3 x4 является элементарной конъюнкцией четвертого ранга; функция M ( x, y, z ) x y z – элементарной конъюнкцией третьего ранга. Аналогично образуются элементарные дизъюнкции: P( x1, x2 , x3 ) x1 x2 x3 – элементарная дизъюнкция третьего ранга; M ( x, y, z ) x y p z – элементарная дизъюнкция четвертого ранга. Нормальные формы логических функций принято называть каноническими. Функция в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) является P ( x, y ) x y x y . логической суммой элементарных конъюнкций (минтермов): Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) является логическим произведением элементарных дизъюнкция (макстермов): P( x, y ) ( x y )( x y ) . Минтермом называют функцию, принимающую единичное значение при одном из всех возможных наборов аргументов, а макстермом называют функцию, которая принимает нулевое значение при одном из возможных наборов и единичное значение – при всех других. Максермы и минтермы считаются вспомогательными логическими функциями. Минтерм алгебраически представляет собой конъюнкцию аргументов, а макстерм – дизъюнкцию аргументов. Если используется двоичная система и число наборов аргументов Р, то число минтермов или макстермов N=2P (для двух аргументов N=4). Наборы элементарных конъюнкций и дизъюнкций для всех аргументов приведены в табл. 14 и табл. 15. Если в состав логической формулы входят наборы элементарных конъюнкций одинакового ранга, связанные дизъюнкцией, то такая форма представления логической функции получила название совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ). Примером СДНФ функции Р можно назвать следующую логическую функцию: P( x, y, z ) xyz x y z xyz Функция Р отвечает требованиям к СДНФ, так как: а) в ней нет двух одинаковых конъюнкций; б) ни одна конъюнкция не содержит двух одинаковых двоичных переменных; в) никакая конъюнкция не содержит двоичную переменную вместе с ее отрицанием; г) все конъюнкции одного ранга. Конъюнкции соседнего ранга, состоящие из одних и тех же переменных, называются соседними, если они отличаются инвертированием только одной переменной. Примером соседних конъюнкций являются элементарные конъюнкции: P' xyz ; P ' ' x yz . Соседние конъюнкции можно объединить, вынося за скобки повторяющиеся логические выражения. Это объединение соседних конъюнкция получило название метода склеивания и используется для понижения ранга конъюнкции в СДНФ. Если функция содержит конъюнкции разных рангов, то следует использовать следствие ( x x ) 1 для конъюнкции младшего ранга и повысить ранг конъюнкции для образования СДНФ функции Р. Например: P( x, y, z ) x y xyz x y( z z ) xyz x yz x yz xyz . Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) логической функции принято называть такое ее выражение, которое содержит элементарные дизъюнкции одного ранга, связанные конъюнкцией. Примером СКНФ функции Р(x,y,z) служит конъюнкция вида P( x y z ) ( x y z ) . Функция Р отвечает следующим условиям: а) в ней нет двух одинаковых элементарных дизъюнкций; б) ни одна дизъюнкция не содержит двух одинаковых двоичных аргументов; в) ни одна дизъюнкция не содержит переменную вместе с ее отрицанием; г) все дизъюнкции одного ранга. Для синтеза логических схем обычно используют описание работы устройств ЭВМ в виде логической формулы или таблицы истинности. При использовании задания для построения схемы в виде таблицы истинности следует применить правило образования СДНФ и СКНФ функций. Правило образования СДНФ функции n аргументов состоит в следующем: 1. По каждому набору двоичных переменных, при котором функция принимает значение единицы, составить элементарные конъюнкции (минтермы). 2. В элементарные конъюнкции записать не инвертированными переменные, заданные единицей в таблице истинности, а инвертированными – те переменные, которые в таблице истинности заданы нулем. 3. Элементарные конъюнкции соединить знаком дизъюнкции. Пример. Пусть таблицей истинности (табл. 16) задана функция P(x,y,z) и следует образовать ее СДНФ. Таблица 16. По таблице 16 находим, что функция Р принимает значение единицы при четырех наборах аргументов, поэтому функция Р в СДНФ будет состоять из логической суммы четырех минтермов: P( x, y, z ) xyz x yz x yz xyz Следовательно, функция в СДНФ состоит из четырех элементарных конъюнкций третьего ранга. Правило образования СКНФ функции n аргументов состоит в следующем: 1. По каждому набору двоичных переменных, при котором функция принимает значения нуля, составить элементарные дизъюнкции (макстермы). 2. В элементарные дизъюнкции записать не инвертированными переменными, заданные нулем, а инвертированными – те переменные, которые заданы единицей. 3. Элементарные дизъюнкции соединить знаком конъюнкции. По таблице 17 составим СКНФ функции P(x,y,z). Функция P(x,y,z) в СКНФ принимает значение нуля при четырех наборах аргументов и будет состоять из логического произведения четырех макстермов (элементарных дизъюнкций третьего ранга): P( x, y, z ) ( x y z )( x y z )( x y z )( x y z ) СКНФ используется реже СДНФ в процессе преобразования логических выражений. Полученные формулы функции Р в СДНФ и СКНФ можно использовать для синтеза функциональных схем логических устройств. Так, для реализации функции P(x,y,z) в СДНФ можно принять схему рис. 3, если не применять никаких преобразований. P( x, y, z ) xyz xyz xyz xyz Таблица 17. Рис. 3 Вариант реализации функции P(x,y,z) Способы минимизации логических функций Как было показано ранее, логическая функция, задающая принцип построения схемы цифрового устройства, может быть представлена в виде формулы или таблицы истинности. Анализируя задание для синтеза логической схемы, составляют СДНФ или СКНФ функции, а затем применяют ряд методов для упрощения аналитического выражения функции. Основными требованиями к этой задаче синтеза являются: минимальное число элементарных конъюнкций или дизъюнкций в логической формуле и однородность используемых операций. Упрощение логического выражения функций получило названия минимизации. Помимо требований минимизации к задаче ставится ряд ограничений и условий по выбору элементной базы для синтезируемого устройства. Ниже рассмотрены способы упрощения логических выражений и примеры, которые докажут необходимость процесса минимизации. Метод непосредственных преобразований. По таблице истинности логической функции строится ее СДНФ, затем она преобразуется в минимальную дизъюнктивную нормальную форму (МДНФ), содержащую минимальное число логических элементарных конъюнкций; это является первым этапом преобразований. На втором этапе используются всевозможные комбинации следствий и законов алгебры логики для упрощения логического выражения. Пусть функция P(x,y,z) задана таблицей истинности (табл. 18). Таблица 18. Порядок работы с логической функцией P(x,y,z) следующий: 1. образуем по позициям 0, 2, 5, 7 табл. 18 СДНФ функции P x y z x yz x y z x yz; 2. применим метод склеивания соседних элементарных конъюнкций (0 и2; 5 и 7): P xz xz (16) Конъюнкции, образованные в результате склеивания, получили название импликант. Наклеиваемые импликанты называют простыми, а формула, состоящая из простых импликант называется тупиковой. Полученное в п. 2 выражение Р может быть преобразовано с применением формул де Моргана и закона двойного отрицания: P xz xz x z x z (17) Формула (17) не упрощена, а заменена другими логическими элементами. Логическая формула (16) может быть реализована на логических элементах И, НЕ, ИЛИ, а формула (17) на элементах Пирса (ИЛИ-НЕ), НЕ, ИЛИ (рис. 4). Рис. 4. Два способа синтеза схем по табл. 18. Для непосредственных преобразований логических функций в СДНФ, помимо перечисленных методов, применяют все законы алгебры логики и их следствия. Применим метод непосредственных преобразований некоторых Булевых функций через элементарные логические операции, составляя СДНФ по табл. 12. Функции запрета F2(x,y) и F4(x,y) через СДНФ можно записать как: F2 x y; F4 x y Функция штрих Шеффера определяется через СДНФ как: F14 x y x y x y y x y Используя второй распределительный закон, преобразуем: y x y ( x y )( y y ) x y . Следовательно, F14 x y x y . Проще для получения F14 использовать СКНФ, тогда сразу получим F14 x y x y . Метод Карно-Вейча. Метод диаграмм Вейча, усовершенствованный Карно, применяется в том случае, когда число аргументов наиболее 5-6. Наиболее удобными для решения задач минимизации являются карты Карно, представляющие собой таблицы, разделенные на клетки (рис. 5). Число клеток соответствует полному набору числа аргументов. Так же, как в таблице истинности, единица Рис. 5. Карта Карно для трех аргументов имеется в тех клетках карты Карно, где она совпадает с набором аргументов данной клетки карты, при котором функция принимает значение единицы. Карты Карно используются для построения Рис. 6 Схема функции P1 ( x1 , x2 x3 ) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 , сокращенной или минимальной ДНФ. без преобразований Правило применения карт Карно состоит в следующем: 1. Если единицы находятся в двух соседних клетках строки, столбца или в клетках на противоположных концах любой строки, столбца, то соответствующие единицам конъюнкции заменяются конъюнкцией на ранг ниже, включающей переменные с одинаковыми показателями инвертирования. 2. Если четыре клетки составляют большой квадрат, столбец, строку карты, то они заменяются конъюнкцией на два ранга ниже, включающей переменные с одинаковыми показателями инвертирования. Применение карт Карно рассмотрим на двух примерах, для функции трех и четырех аргументов. 1. Задана функция: P1 ( x1 , x2 x3 ) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 Построим схему реализующую данную функцию рис. 6. Для реализации схемы нам потребовалось 3 элемента НЕ, 5 элементов И с 3 входами (с 2 входами их бы потребовалось 10), и 1 элемент ИЛИ с 5 входами (с 2 входами потребовалось бы 4). Таким образом количество элементов реализующих элементарные функции нам потребовалось 3+5+1=9 (3+10+4=17). Произведем преобразования формулы без использования карт Карно: P1 ( x1 , x2 x3 ) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 ( x2 x3 x2 x3 x2 x3 x2 x3 ) x1 x2 x3 x1 ( x2 ( x3 x3 ) x2 ( x3 x3 )) x1 x2 x3 x1 ( x2 x2 ) x1 x2 x3 x1 x1 x2 x3 Построим карту Карно для данной функции (Рис. 7): Объединяя квадрат оставляем переменную, которая не меняет показатель инвертирования: эта переменная x1 . Объединяем оставшуюся единицу с единицей противоположного угла, оставляем переменные с неизменным показателем инвертирования x 2 x3 , в результате преобразований получим выражение : F ( x1 , x 2 , x3 ) x1 x 2 x3 Рис. 7. Карта Карно Таблица 19 2. Задана функция 4 переменных: F ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 F ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x3 x1 x2 x3 Таблица 20 Процесс синтеза логических устройств состоит в следующем: 1. Формируются логические условия работы в виде таблицы истинности функции, отражающей конкретные задачи устройства. 2. По таблице истинности составляется СДНФ логической функции. 3. Производится минимизация логической функции методом непосредственных преобразования, карт Карно, применением законов и следствий алгебры логики. 4. По упрощенной логической формуле строится функциональная схема устройства, причем минимальному числу и однородности логических элементов отдается предпочтение. Задание 1. 2. 3. 4. Согласно варианту построить СДНФ и СКНФ функции. Минимизировать СДНФ и СКНФ методом непосредственных преобразование. Минимизировать СДНФ при помощи карт Карно. По полученной функции построить схему.