Сложные функции. Разбор заданий ЕГЭ. Г.К. Пак ()

Г. К. ПАК
СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ
Разбор заданий ЕГЭ
Для старшеклассников, учителей и абитуриентов
Владивосток 2009
1
Предисловие
Практика
вступительных
экзаменов
и
вступительного
тестирования выявила наиболее острые проблемы подготовки
абитуриентов. Сложные функции составляют значительную долю
тестов. Но задачи, которые следовало бы отнести к нетрудным,
становятся камнем преткновения из-за плохого знания наиболее
употребительных формул, отсутствия практических навыков их
решения и применения методов. Между тем решение таких задач
надо довести до автоматизма с тем, чтобы выиграть время для
действительно трудных задач.
§ 1.Обратная функция
Задача. Если для всех значений переменной f ( x)  f (2 x)  f (1  x), то
функция периодическая. Докажите.
Решение.
1
1


1

f ( x)  f (2 x)  f (1  2 x)  f (  x)  f 1  (  x)   f   x, 
2
2


2

1
1
f ( x  )  f ( x)  число  период функции.
2
2
Функция периодическая.
Замечание. Пусть  : f ( x)  f (2 x),  : f ( x)  f (1  x). Отображение
     1   1 привело к записанному решению. Стандартный подход
начинается с вычислительных экспериментов
x  0  f (0)  f (1);
x  1  f (1)  f (2); x  1  f (1)  f (2)  f (2).
Возникает гипотеза, что период функции – число 1. Замена 2x  t  1,
1
(1  t ) в уравнении f (2 x)  f (1  x) приводит к решению
2
1
f (t  1)  f ( (1  t ))  f (1  t )  f (t )  f (t  1)  f (t )  f ( x  1)  f ( x).
2
1 x 
Можно решить задачу и так
f ( x)  f (1  x)  f (2  2 x),
f ( x)  f (1  1  2 x).
Замена 1  2x  t даёт уравнение
2
1 t 
f
  f (1  t )  f (1  t )  f (1  t )  f (t  1)  f (1  t )  f (t ), f ( x  1)  f ( x).
 2 
Задача. Найдите обратную функцию для функции:
x 1
;
x 1
1
.
1  x3
x 1
Решение. а) В равенстве y 
вместо у напишем х, а вместо х
x 1
а) y 
б) y  4 x ;
в) y 
напишем у. Получим
x
1 x
1
y 1
. Ответ: y 
. Ответ: б) y  x 4 ; в) y  3  1.
1 x
y 1
x
Задача. Докажите, что графики двух взаимно обратных функций
симметричны относительно прямой у = х.
Доказательство. Если точка (х, у) принадлежит графику функции
y  f (x) , то точка (у, х) принадлежит графику обратной функции и
наоборот. А эти точки симметричны относительно прямой y  x .
Задача. Графики функций y  f (x) и y  g (x) симметричны
относительно прямой y   x . Найдите g (x ) , если f ( x)  2 x1 .
Решение. Точке с координатами (х, у) симметрична относительно
прямой y   x точка (-у, -х). В равенстве y  2 x 1 вместо у напишем х, а вместо х напишем –у. Получим  x  2  y 1 . Тогда log 2 ( x)   y  1 ,
y  1  log 2 ( x) . Ответ: g ( x)  1  log 2 ( x) .
Неподвижная точка
Задача. Решите уравнение ( x 2  2 x  2)2  2( x 2  2 x  2)  2  x.
Решение. С помощью функции f ( x)  x 2  2 x  2 уравнение примет
вид f ( f ( x))  x. Корни 1 и 2 уравнения f ( x)  x удовлетворяют ему.
Найдём
частное
от
деления
многочлена
2
2
2
2
( x  2 x  2)  2( x  2 x  2)  2  x на многочлен x  3x  2
( x 2  3x  2  x)2  2( x 2  3x  2  x)  2  x 
 ( x 2  3x  2)2  2 x( x 2  3x  2)  2( x 2  3x  2)  ( x 2  3x  2)( x 2  x  2).
Действительных корней уравнения x 2  x  2  0 нет. Ответ. 1; 2.
Задача. Существует ли функция, для которой f ( f ( x))  x 2  2 при
всех значениях переменной?
Ответ. Нет. Решим уравнение f ( f ( x))  x, т. е.
3
x 2  2  x  x1  1, x2  2.
Решим уравнение f ( f ( f ( f ( x))))  x.
( x

2
 2)  2  x;
4
x  4 x 2  x  2  0;
( x  2)( x 3  2 x 2  1)  0;
2
1 5
.
2
Из того, что f ( f ( f ( f ( f ( x3 )))))  f ( x3 ) , следует, что f ( x3 )  один из
( x  1)( x  2)( x 2  x  1)  0; x1  1, x2  2, x3.4 
этих корней также, как и f ( x4 ).
Если f ( x3 )  1, то f ( f ( x3 ))  f (1), x32  2  f (1). Если f ( x3 )  2, то
f ( f ( x3 ))  f (2), x32  2  f (2). Но, очевидно, что x32  2  1 и x32  2  2.
Поэтому f ( x3 )  x1 ,  x2 . Если f ( x3 )  x3 , то f ( f ( x3 ))  f ( x3 ),
x32  2  x3  x3  1 или 2. А это неверно. Повторив эти выкладки для
x4 , получим, что остался случай f ( x3 )  x4 , f ( x4 )  x3 . Но из того, что
f ( f ( x3 ))  f ( x4 ), следует вновь x32  2  x3 . А это не так. Таким
образом, f ( x3 ) не может равняться ни одному из корней.
Полученное противоречие говорит о том, что такой функции нет.
Упражнение. Докажите, что хотя функции нет, но значения у неё
есть f (2)  1, f (1)  2, f (0)  1, f (1)  2, f (2)  1,
Решение.
f ( f (1))  1;
f ( f (2))  2.
или 2;
f ( f ( f (2)))  f (2)  f (2)  1 или 2.
f ( f ( f (1)))  f (1)  f (1)  1
f ( f ( f ( x)))  f ( x 2  2)  f ( x 2  2)  f 2 ( x)  2 . Отсюда,
при x  2 имеем f (2)  f 2 (2)  2;
при x  1 имеем f (1)  f 2 (1)  2  f (1)  1 или f (1)  2;
при x  0 имеем f (2)  f 2 (0)  2;
при x  1 имеем f (1)  f 2 (1)  2;
при x  2 имеем f (2)  f 2 (2)  2  f (2)  1 или f (2)  2.
Пусть f (2)  2. Тогда f (2)  f 2 (2)  2  f (2)  2. Если f (2)  2,
то f (0)  2, f ( f (0))  f (2), f (2)  2. А это неверно. Если f (2)  2,
то f (2)  f 2 (0)  2  f (0)  0, f ( f (0))  f (0),  2  0. Тоже неверно.
Поэтому
4
f (2)  1.
f ( f (2))  f (1)  f (1)  2.
f (2)  f 2 (2)  2  f (2)  1;
f (1)  f 2 (1)  2  f (1)  2.
Пусть f (1)  2  f ( f (1))  f (2),
Сложные функции
Задача. Дана функция f ( x) 
f ( x), f (1  x), f ( f ( x)).
♦
x
. Найдите
x 1
x
x
 f (  x) 
;
 x 1
x 1
1 x
1
f (1  x) 
 f (1  x)  1  ;
1 x 1
x
x
f ( x)
f ( f ( x)) 
 f ( f ( x))  x  1  f ( f ( x))  x.
x
f ( x)  1
1
x 1
f (  x) 
Задача. Найдите f (x) , если
1
1
а) f ( x  1)  x 2  2 x  2; б) f ( x  )  x 2  2 .
x
x
2
f ( x  1)  ( x  1)  1  f (t )  t 2  1  f ( x)  x 2  1;
♦
2
1 
1

f  x     x    2  f (t )  t 2  2  f ( x)  x 2  2.
x 
x

Задача. Найдите g (x ) , если f ( x 3 )  x  1, f ( g ( x))  2 x  1 , то
1
1
1
1
♦ Если x 3  t , то x  3 и f (t )  3  1 . Тогда f ( g ( x)) 
3 g ( x)
t
t
1 3
1
 1  2 x  1.
и
Отсюда
Ответ:
g ( x)  (
) .
3 g ( x)
2x  2
1
.
g ( x) 
8( x  1) 3
Тесты ЕГЭ
5
С. 5 Решите уравнение f ( g ( x))  g (3  f ( x))  20, где f ( x)  x 4  8x  10,
а
10, x  4;
g ( x)   x
x
4  2 , x  4.
Решение. Функция f ( x)  x 4  8x  10 не имеет наибольшего значения.
Найдём её наименьшее значение. f ( x)  4 x3  8; f ( x)  0  x  3 2 ;
f ( 2 2 )  10  63 2 . Наименьшее значение функции равно 10  63 2  1.
Поэтому 3  f ( x)  4  g 3  f ( x)  10, f ( g ( x))  10, g 4 ( x)  8g ( x)  0. Но
4 x  2 x  0, g ( x)  0. Отсюда, g ( x)  2, 4 x  2 x  2, x  0. Ответ. 0.
С.
5.
f ( g ( x))  g ( f ( x))   log 2 5  0,
Решите
уравнение
f ( x)  2 cos 2 x  4 cos x, а
где
3, x  0;

g ( x)   x 2  1
, x  0.
 2
 x 2
Решение. Найдём наибольшее и наименьшее значение функции
 
Так
как
 2 ;  .
1
f ( x)  0  4 sin 2 x  4 sin x  0  sin x  0 или cos x   , то для этого
2
надо сравнить значения f ( / 2)  2, f (2 / 3)  3 и f ( )  2 . Итак,
f ( x)  2 cos 2 x  4 cos x
 3  f ( x)  2

2
 g ( x)   ,
на
промежутке

на промежутке  ;  . Поэтому, если x  0, т. е.
2 
f ( g ( x))  2 cos 2 g ( x)  4 cos g ( x),
то
f ( g ( x))
принимает
значения в промежутке от  3 до  2 . Если x  0, то f ( g ( x) 
Таким
2 cos 6  4 cos 3  2  4  2. Очевидно, что 6  2 , а 3   ,
образом, мы доказали, что f ( g ( x))  0.
f ( x)  0,
g ( f ( x))  3.
f ( x)  0,
Если
то
Если
то
g ( f ( x))  
f 2 1

  2
 .
2
f 2
f 2
Отсюда,
g ( f ( x))   ;
f ( g ( x))  g ( f ( x))     log 2 5. Ответ. Нет корней.
В. Решите уравнение f ( f ( x))  x, если f ( x) 
1 x
.
1 x
6
1 x
1  f ( x)
1  x  x, следует,
Решение. Из того, что f ( f ( x)) 

1 x
1  f ( x)
1
1 x
что уравнение f ( f ( x))  x – это тождество x  x в области
определения функции y  f (x). Ответ. x  1.
1
В. Решите уравнение f ( f ( f ... f ( x)...))  x, где в левой части 2005
x 1
букв f , а f ( x) 
.
x 1
Решение. Так как f ( f ( x))  x , то уравнение имеет вид
x 1
f ( x)  x 
 x,
x 1
x  1  x 2  x, x  1,
Ответ. 1  2 , 1  2.
В. Решите уравнение f ( f ( f ... f ( x)...))  x, где в левой части 2006
x 1
букв f , а f ( x) 
.
x 1
Решение. f ( f ( x))  x . Уравнение имеет вид x  x, где x  1. Ответ.
x  1.
В. Решите уравнение f ( f ( f ... f ( x)...))  x, где в левой части 2007
букв f , а
x 1
f ( x) 
.
x 1
Решение.
1
x 1
1
f ( f ( x))   ; f ( f ( f ( x)))  f ( ) 
;
x
x 1 x
 x  1
f ( f ( f ( f ( x))))  f 
  x.
1 x 
Так как 2007 при делении на 4 даёт в остатке 3, то уравнение имеет
x 1
x  1  x  x 2 , x  1  x 2  1.
вид
f ( f ( f ( x)))  x 
 x,
1 x
Ответ. Корней нет.
В. Решите уравнение f ( f ( f ... f ( x)...))  x, где в левой части 2008
букв f , а
7
f ( x) 
x 1
.
x 1
Решение.
1
x 1
1
f ( f ( x))   ; f ( f ( f ( x)))  f ( ) 
;
x
x 1 x
 x  1
f ( f ( f ( f ( x))))  f 
  x.
1 x 
Так как 2008 при делении на 4 даёт в остатке 0, то уравнение имеет
вид x  x, x  1. Ответ. x  1.
Функциональные уравнения
Задача. При всех х выполнено равенство 2 f ( x)  f (1  x)  3x 2 .
Найдите f (5).
♦ При x  5 имеем 2 f (5)  f (4)  75. При x  4 имеем
2 f (4)  f (5)  48. Получили систему
2 f (5)  f (4)  75,

 f (5)  2 f (4)  48.
4 f (5)  2 f (4)  150,

 f (5)  2 f (4)  48.
После сложения равенств 3 f (5)  102, f (5)  34. Ответ. 34.
Задача. Существуют ли функции P ( x, y, z ) , Q( x, y, z ) и R ( x, y, z ) , для
которых выполняется тождество
( x  y  1)3 P  ( y  z  1)3 Q  ( z  2 x  1)3 R  1?
♦ Есть решение (1; 2; 1) системы
 x  y  1  0,

 y  z  1  0,
z  2x  1  0

Поэтому для любых P, Q и R при подстановке этих значений
переменных в уравнение слева получим 0, а не 1. Ответ. Нет.
Задача. Найдите остаток от деления
f ( x5 )
на
f (x ) ,
где
f ( x)  x  x  x  x  1.
4
3
2
♦
8
f ( x5 )  ( x 20  1)  ( x15  1)  ( x10  1)  ( x5  1)  1  4  ( x5  1)(...)  5 
( x  1) f ( x)(...)  5.
Ответ. 5.
Задача. Для всех значений переменных
Докажите, что f ( x  y )  f ( x)  f ( y ).
f x  f ( y)  y  f ( x) .
♦ Пусть f (0)  c. При y  0 из нашего уравнения имеем
f ( x  c)  f ( x)  f ( f ( x))  f ( f ( x  c)),
а при x  0 соответственно
f ( f ( y ))  y  c  f ( f ( x))  x  c,
f ( f ( x))  f ( f ( x  c))  x  c  f ( f ( x  c))  x  c  f ( f ( x))  x.
Этот же факт можно было получить, подействовав на обе части
исходного уравнения функцией f
f  f ( x  f ( y))   f  y  f ( x)  x  f ( y)  f ( f ( x))  x.
Поставим в исходное уравнение f (x) вместо x
f  f ( x)  f ( y)  y  f ( f ( x))  y  x  f  f ( x)  f ( y)  x  y;
f  f  f ( x)  f ( y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( x  y).
Задача. Найдите все функции, для которых 2 f (1  x)  1  xf ( x).
♦ Заменим x на 1  x . Получим 2 f ( x)  1  (1  x) f (1  x).
2 f ( x)  1 
Ответ. f ( x) 
1
(1  x) xf ( x)  1  4 f ( x)  2  ( x  x 2 ) f ( x)  1  x.
2
x3
.
x x4
2
Задача. Уравнение f ( x)  0 имеет единственный корень, где
f ( x)  x 2  bx  c , а уравнение f ( f ( f ( x)))  0 имеет ровно три
различных корня. Найдите их.
2
b
♦ По условию f ( x)   x   . Решение уравнение f ( f ( f ( x)))  0
2

b
сводится к нахождению корней уравнения f ( f ( x))   .
2
9
2
b
b

 f ( x)     ;
2
2

2
2


  x  b   b    b .

2  2 
2

При положительных значениях b корней нет. При b  0 корень
единственный. При  2  x  0 корней 2. При b  2 корни 1, 1  2.
При b  2 корней 4. Ответ. 1, 1  2.
Задача. Найдите f (x), если f ( xy )  xf ( y)  f ( x) для любых x и y.
P ( x, y , z )
♦ При y  0 получим f (0)  xf (0)  f ( x)  f ( x)  (1  x) f (0). Если
f (0)  c, то f ( x)  c(1  x). Ответ. f ( x)  c(1  x), где c  любое
число.
Задача. f ( x  g ( y))  2 x  y  5 для всех x и y . Найдите
g ( x  f ( y)).
♦
Пусть g (0)  c. Тогда при y  0 из уравнения имеем
f ( x  c)  2 x  5.
f ( x)  f ( x  c  c)  2( x  c)  5  f ( x)  2 x  2c  5;
f (0)  5  2c.
В исходном уравнении везде, где видим x, подставим  g ( y).
Получим
f (0)  2 g ( y)  y  5;
1
5 f (0) 1
5 5  2c 1
1
g ( y)  y  
 y 
 y  c; g ( x)  x  c;
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
5
g x  f ( y)   x  f ( y)   c  x  2 y  2c  5  c   y  .
2
2
2
2
x
5
Ответ:  y  .
2
2
Тесты ЕГЭ
В 8.
Найдите значение функции g (4), если известно, что
f (2 x  1)  x  3 и f ( g ( x))  2 x  5 .
10
Решение.
Пусть
t  2 x  1.
g ( x)  1
 3. Получили
2
g (4)  16  5  11. Ответ. 11.
f ( g ( x)) 
Тогда
x
t 1
t 1
; f (t ) 
 3;
2
2
g ( x)  5
 2 x  5,
2
g ( x)  4 x  5,
В. Найдите все функции y  f (x), для которых в D( f ) выполняется
тождество
2 f ( x)  f (1  x)  x 2 .
Решение. Замена x на 1  x даёт 2 f (1  x)  f ( x)  (1  x) 2 . Возникла
система
2 f ( x)  f (1  x)  x 2 ,

 f ( x)  2 f (1  x)  (1  x) 2 .
Вычитая из второго уравнения первое, умноженное на 2, получим
 3 f ( x)  (1  x) 2  x 2  3 f ( x)  2 x 2  2 x  1.
Ответ.
1
f ( x)  (2 x 2  2 x  1).
3
В. Найдите все функции y  f (x), для которых в D( f ) выполняется
тождество
1
f ( x)  2 f ( )  x.
x
1
1
1
Решение. Замена x на
даёт тождество f ( )  2 f ( x)  .
x
x
x
Возникла система

1
 f ( x )  2 f  x   x,

 

2 f ( x)  f  1   1 .

 x x
Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на 2, получим
2
2
2 x
 3 f ( x)  x   3 f ( x)   x. Ответ. f ( x) 
 .
3x 3
x
x
В. Найдите все функции y  f (x), для которых в D( f ) выполняется
 4  2x 
тождество f ( x)  2 f 
  1.
 x2 
11
Решение. Замена x на
4  2x
 4  2x 
даёт f 
  2 f ( x)  1. Возникла
x2
 x2 
система

 4  2x 
f
(
x
)

2
f

  1,

x

2




 2 f ( x)  f  4  2 x   1.

 x2 
Прибавление к первому уравнению второго, умноженного на 2, даёт
 3 f ( x)  3.
Ответ. f ( x)  1.
В. Найдите значение f (100) функции y  f (x), для которой в D( f )
 2x  2 
выполняется тождество f (1  x)  2 f 
  1.
 3 x 
 4  2x 
Решение. Замена x на 1  x даёт f ( x)  2 f 
  1. Заменив нём
 x2 
4  2x
 4  2x 
x на
, получим f 
  2 f ( x)  1.
x

2
x2



 4  2x 
f
(
x
)

2
f

  1,


 x2 

 2 f ( x)  f  4  2 x   1.

 x2 
Прибавив к первому уравнению второе, умноженное на 2, получим
 3 f ( x)  3, f ( x)  1. Ответ. f (100)  1.
В. Найдите все линейные функции
f ( x)  1  f ( x) для любого x.
y  f (x),
для которых
1
Решение. f ( x)  ax  b  ax  b  1  ax  b  2b  1, b  .
2
1
Ответ. f ( x)  ax  , a  R.
2
В. Существует ли квадратичная функция y  f (x), для которой
f ( x)  1  f ( x) для любого x ?
Решение.
f ( x)  ax 2  bx  c  ax 2  bx  c  1  ax 2  bx  c  2ax 2  2c  1.
Для значений x равенство 2ax 2  1  2c не может выполняться.
Ответ. Нет
12
В. Найдите все функции y  f (x) с областью определения N , для
которых f (2)  6 и выполняется тождество f ( x  y)  f ( x)  f ( y).
Решение.
f (2)  f (1  1)  f (1)  f (1)  2 f (1);
f (3)  f (2  1)  f (2)  f (1)  3 f (1);
f (4)  f (3  1)  f (3)  f (1)  4 f (1);
f (5)  5 f (1), 
Если f (1)  c, то f ( x)  cx. Так как f (2)  6  2c, то c  3. Ответ.
f ( x)  3x.
В. Найдите все функции y  f (x) с областью определения Z , для
которых f (2)  6 и выполняется тождество f ( x  y)  f ( x)  f ( y).
Решение.
f ( x  0)  f ( x)  f (0)  f (0)  0.
0  f (0)  f ( x  ( x))  f ( x)  f ( x)  f ( x)   f ( x),
f (2)  f (1  1)  f (1)  f (1)  2 f (1);
f (2)  2 f (2)  2 f (1);
f (3)  f (2  1)  f (2)  f (1)  3 f (1);
f (3)  3 f (1);
f (4)  f (3  1)  f (3)  f (1)  4 f (1);
f (4)  4 f (1);
f (5)  5 f (1), 
f (5)  5 f (1), 
Если f (1)  c, то f ( x)  cx. Так как f (2)  6  2c, то c  3. Ответ.
f ( x)  3x.
В.
Существует
ли
функция,
для
f ( x  y )  f ( x  y )  2 f ( x) f ( y ) ?
Решение. Сделаем замену x  y   , x  y   . Формула
       
f ( )  f (  )  2 f 
f

 2   2 
 
 
cos
.
напоминает, что cos  cos   2 cos
2
2
Ответ. Да, например, y  cos x.
которой
В. Существует ли функция, не равная постоянной, для которой на
множестве R выполняется тождество f (2 x)  f ( x) ?
13
Решение. Функция Дирихле принимает значение 1, если
x  рациональное число, и -1, если иррациональное. Если
x  рациональное число, то 2 x тоже. Если x  иррациональное
число, то 2 x тоже. Функция полностью удовлетворяет условию
задачи. Ответ. Да, например, функция Дирихле.
В. Существует ли функция, не равная постоянной, для которой на
множестве R выполняется тождество f ( x 2 )  f ( x) ?
Решение. y  sgn x принимает -1 при x  0, значение 0 при x  0 и 1 при x  0. Если x  0 , то x 2 тоже. Если x  0 , то x 2 тоже.
Функция полностью удовлетворяет условию задачи. Ответ. Да,
например, функция y  sgn x .
Возвратные последовательности
Задача. Вычислите f (3) и g (3), если для любого натурального n
 f (n  1)  3 f (n)  2 g (n),
 g (n  1)  2 g (n)  f (n)  3,


 f (0)  3,
 g (0)  2.
♦
 f (1)  3 f (0)  2 g (0)  5,

 g (1)  2 g (0)  f (0)  3  4;
 f (3)  3 f (2)  2 g (2)  9,

 g (3)  2 g (2)  f (2)  3  8.
 f (2)  3 f (1)  2 g (1)  7,

 g (2)  2 g (1)  f (1)  3  6;
Ответ. f (3)  9 и g (3)  6.
Задача. Известно, что f (1)  2, f (2)  3, f (n  2)  3 f (n  1)  2 f (n) для
любого натурального n. Найдите f (n).
♦ f (1)  2, f (2)  3, f (3)  3 f (2)  2 f (1)  5, f (4)  9, f (5)  17,...
Возникает гипотеза, что f (n)  1  2n 1, которая легко проверяется.
Неравенства
Задача. Что больше cos sin x или sin cos x ?
♦ Функция f ( x)  cos sin x  sin cos x непрерывна на всей числовой оси,
не обращается в нуль и f (0)  0. Поэтому cos sin x больше sin cos x.
14
Задача. Для всех значений переменных f ( x  y )  f ( x)  f ( y), f ( x)  x.
Докажите, что f ( x)  x.
♦ f ( x)  f ( x)  f (0)  f (0)  0  f (0)  0.
f ( x)  f ( x  x  x)  f ( x  x)  f ( x)   f ( x)  ( x)  x  f ( x)  x  f ( x)  x.
Системы
Задача. Решите систему
10
2
5

 x  x  y  y,
 6
2
3

 y  y  8 x  2 x.
♦ Функции f ( x)  x 5  x и g ( x)  x 3  x возрастающие. Из того, что
f ( x 2 )  f ( y ) , следует x 2  y , а из того, что g ( y 2 )  g (2 x) , следует
y 2  2 x. Система приобрела вид
2

 x  y,
 2

 y  2 x.

Ответ. (0; 0),
3

2; 3 4 .
Задача. Решите систему
2 x  y  4  0,

2 y  z  4  0,

2 z  x  4  0.
♦ Если f (t )  t  4 , то 2 x  f ( y), 2 y  f ( z), 2 z  f ( x) . Так как
функция возрастающая, то
x  y  f ( x)  f ( y )  2 z  2 x  z  x  f ( z )  f ( x)  y  z.
Итак, x  y  z  x  x  y  z. К равенству всех трёх значений
переменных приводит и предположение x  y. Осталось решить
уравнение 2 x  x  4  0.
x2 x 40




2

2
x 1  3  x  1 3  x  1 3 .


Ответ. 4  2 3; 4  2 3; 4  2 3 , 4  2 3; 4  2 3; 4  2 3 .
Задача. Решите систему
15
 x 3  2 x 2  2 x  y,
 3
2
 y  2 y  2 y  z,
 3
2
 z  2 z  2 z  x.
♦ Функция f ( x)  x 3  2 x 2  2 x возрастающая, поэтому
x  y  f ( x)  f ( y)  y  z  f ( y)  f ( z )  z  x.
Итак, x  y  z  x  x  y  z. К равенству всех трёх значений
переменных приводит и предположение x  y. Осталось решить
уравнение
x 3  2 x 2  2 x  x.
x 3  2 x 2  x  0  x( x  1) 2  0  x1  0, x2  1.
Ответ. 0; 0; 0,  1;1;1.
Задача. x  целая часть числа x , наибольшее целое число, не
превышающее x , а x  x  x  дробная часть числа. Решите
систему
 x   y   z  3,9,

 y  z   x  3,5,
 z  x  y  2.

♦ Сложив соответствующие части всех трёх уравнений, получим
2 x  2 y  2 z  9,4;
x  y  z  4,7  x   y   z  z   y  4,7.
Отсюда
и
из
первого
уравнения
z   y  4,7  3,9  0,8  z   0, y  0,8. Из второго уравнения
x  z  1,2  x  1, z  0,2.
Из
третьего
уравнения
 y   x  2,7   y   2, z  0,7. Ответ. 1,7; 2,8; 0,2.
Задача. Решите систему
 x  2 y 2  1,

2
 y  2 z  1,
 z  2 x 2  1.

16
♦ Если x  1, то из третьего уравнения системы z  x , из второго
y  z , а из первого x  y  x  x . Противоречие. Следовательно,
x  1. Поэтому возникает предложение сделать замену x  cos. Из
третьего уравнения z  cos 2 , из второго y  cos 4 , а из первого
x  cos 8. Задача свелась к решению уравнения cos  cos 8.
cos 8  cos   0;  2 sin 4,5 sin 3,5  0;
4,5  n или 3,5  m, где n, m  Z .
2n
2m

, где n, m  Z .
или  
9
7

Ответ.  cos

2n
4n 8n  
2m
4m

; cos
;
; cos
; cos ; n, m  Z .
,  cos
9
9
9  
7
7
7
Тесты ЕГЭ
1,5

( xy )  1  x y  y x ,
С 5. Найдите число решений системы 
2
x
x

 y  100  10 x 2  2 .
Решение. ( xy ) 0,75  ( xy ) 0,75  ( x / y ) 0, 25  ( x / y ) 0, 25 ;


( y / 10)  (10 / y )  2 x  2  x.
1
Функция f (t )  t  убывает для 0  t  1 и возрастает при t  1, из
t
1
f (t1 )  f (t 2 ) следует, что t1  t 2 или t1  . Мы имеем
t2
x
y

3
(
xy
)

или
,
3/ 4
1/ 4

y
x
 f (( xy ) )  f (( x / y) , 
;
.

x
y

f
(
y
/
10
)

f
(
2
).
  2 x или 2  x.

10
Задача свелась к определению числа решений четырёх систем
1
1


1

,
,
y  2 ,
y 
y 
1) (одно) 
2) (два) 
3) (одно) 
4)
x
x
x
 y  10  2 x ;
 y  10  2 x ;
 y  10  2  x ;



1

y  2 ,
(одно) 
Ответ. 6.
x

x
 y  10  2 .

С. Решите систему уравнений
17
 x 3  3x  y 3  3 y,

 x  y  2.
Решение. Функция f (t )  t 3  3t возрастающая. Из того, что
следует,
что
Получили
систему
f ( x)  f ( y )
x  y.
x  y, x  y  2  x  y  1. Ответ. (1; 1).
С. Решите систему уравнений
 x 3  2 x  y 3  2 y,

 x  2 y  3.
Решение. Функция f (t )  t 3  2t возрастающая. Из того, что
f ( x)  f ( y) следует, что x  y. Получили систему
x  y, x  2 y  3  x  y  1.
Ответ. (1; 1).
С. Решите систему уравнений
 x 3  2 x  8 y 3  4 y,

 x  2 y  8.
Решение. Функция f (t )  t 3  2t
f ( x)  f ( 2 y )
x  2y.
следует,
что
x  2 y, x  2 y  8  x  4, y  2.
Ответ. (4; 2).
возрастающая. Из того, что
Получили
систему
С. Решите систему уравнений
x 2  x  y 2  y ,

2 x  y  4.
Решение. Функция f (t )  t 2  t возрастающая. Из того, что
f ( x)  f ( y )
x  y.
следует,
что
Получили
систему
x  y, 2 x  y  4  x  y  4. Ответ. (4; 4).
 x 1  y 
С. Решите систему уравнений 
 x  y  2.
Решение.
y  1  x,
18
x 1  x 
y 1  y 
1

x 1  x
1
 x 1  x 
y 1  y
Функция f (t )  t  1  t возрастающая. Из того, что f ( x)  f ( y)
следует, что x  y. Получили систему x  y, x  y  2  x  y  1.
Ответ. (1; 1).
С. Решите систему неравенств
3
3

3x  x  3 y  y,
 5
3
5
3

5 x  3x  5 y  3 y .
Решение. Если f (t )  3t 3  t , то первое неравенство приобретает вид
f ( x)  f ( y) , а так как эта функция возрастающая, то x  y. С
помощью функции g ( z )  5 z 5  3z 3 второе неравенство системы
перепишем в виде g ( x)  g ( y). Наша система равносильна системе
x  y, x  y.
Ответ. Решений системы нет.
 y  25  x 2  0,
В. Пусть (a, b)  решение системы 
. Найдите
 y  5  x  6.
сумму a  b.
Решение.
25  a 2  0  a 2  25  5  a  5  11  a  6  1  a  6  6  a.
Из второго уравнения b  5  6  a  a  b  1. Ответ. 1.
 y  2  x ,
В. Пусть (a, b)  решение системы 
Найдите
 y  ( x  3) 2  3.
частное a / b.
Решение. Из первого уравнения
2  a  0  a  2  0  a  3  1  a  3  3  a.
a
Из второго уравнения b  a  3  3, b  3  a  3  a  b,
 1.
b
Ответ. 1.
19
y  1  y.

 y ( x  2)  6,
В. Пусть (a, b)  решение системы 
Найдите
2

y

(
x

3
)

0
.

разность a  b.
Решение. Из второго уравнения следует, что b   a  3  0. Тогда из
a  2  0  a  3  1  a  3  3  a;
первого
b  3  a  0  a  b  3. Ответ. 3.
1
 1

 x  1 y ,
В. Пусть (a, b)  решение системы 
. Найдите

arcsin x 2  y 2 

2
сумму a  b.
Решение. Из первого уравнения b 2  a  1, a  1; b  0. Из второго


a 2  b 2  1  a 2  a  1  1  a  0  b  1; a  b  1.
Ответ. 1.
log y x  2,
В. Пусть (a, b)  решение системы  2
Найдите разность
 x  y 2  272 .
a  b.
Решение. Из первого уравнения a  b 2 , b  0, b  1. Из второго
b 4  b 2  272
b 2 (b 2  1)  272.
или
Произведение
двух
последовательных натуральных чисел 16 и 17 равно 272. Отсюда,
b 2  16, b  4, a  16, a  b  12. Ответ. 12.
 x  2 y  9,
В. Пусть (a, b)  решение системы 
Найдите разность
x

4
y

9
.

a  b.
Решение. Из второго уравнения
a  4b  9  a  2 b a  2 b  9  a  2 b  1.
Сложив равенства a  2 b  9 и a  2 b  1, получим
a  5, a  25. Тогда b  2, b  4, a  b  25  4  21. Ответ.
21.



С 5. Докажите, что система не имеет решений
9 x 3  18 x 2  17 x  20  0,

.

5
y 1 
x2 y
2
2
2

(
3
x

10
)
y

2


y

11
9
x
(
x

4
)

3
(
x

7
)

13
x

122



x


Решение. Можно просто решить первое уравнение
20
9 x 3  18 x 2  17 x  20  0;
27 x 3  6  9 x 2  17  3x  60  0;
(3x  2) 3  5(3x  2)  42  0.
Уравнение z 3  5 z  42  0 имеет единственный корень -3. Поэтому
5
3x  2  3, 3 x  5  0, x   .
3
Можно применить алгоритм нахождения рациональных корней
многочлена с целыми коэффициентами, а можно выполнить
преобразования
9 x 3  18x 2  17 x  20  (9 x 3  15x 2 )  (3x 2  5x)  (12 x  20)  (3x  5)(3x 2  x  4)
Идея отделить множитель 3x  5 возникает из вида (3x  5)(7 x  1), к
которому приводится подкоренное выражение
9 x 3  36 x 2  3x 2  42 x  147  13x  122  9 x 3  39 x 2  55 x  25 
 (9 x 3  18x 2  17 x  20)  21x 2  38x  5  (3x  5)(7 x  1) .
Так как 3x 2  x  4  0 , то система
(3x  5)(3x 2  x  4)  0,


5
y 1 
x2 y
(3x  5)(7 x  1) ;
2  (3x  10)  y  2  x   y  11



5
3
упрощается к виду x   , 2  5 y 1 ( y  1)  y. Второе уравнение не
имеет корней, а значит и система не имеет решений.
Много математики не бывает
Место математики в системе наук. Особая роль учебной
дисциплины математика в учебных планах. Особая роль
математики в развитии креативной, творческой личности, в
привитии и развитии исследовательского подхода к проблемам.
Особая роль изучения математики в воспитании честности,
упорства, трудолюбия, настойчивости, системного мышления.
Менеджер: «Мои требования к сотрудникам элементарные.
Получил задание – вникни в него». Я ему говорю: «Твои требования
не такие уж элементарные. Ты требуешь, чтобы они умели думать,
чтобы у них было очень хорошее образование». То, что они не могут
21
выполнить такие элементарные требования, означает, что у них нет
никакого образования. Образование – это определённый подход к
делу, это – системный анализ, это – комплексный подход к
проблеме. Вот для чего люди идут в университеты, вот почему в
учебных планах почти всех специальностей есть или должна быть
дисциплина под названием математика. Моё выступлении можно
было бы назвать «Мало математики не бывает». Мало математики –
это катастрофа, это - потеря всего, это – липовые специалисты, это –
кадровый голод, научное, техническое, технологическое, военное и
всякое другое отставание. Это именно так: В образовании много
математики не бывает.
Всякая математическая теория, если она строгая, рано или
поздно находит применение. К примеру, многие поколения
математиков и философов пытались аксиоматизировать философию.
В результате этих попыток была создана теория булевых функций.
Булевые функции так названы по имени ирландского математика и
философа Джорджа Буля, которому удалось осуществить эту мечту.
У булевых функций каждая переменная принимает только два
значения ноль и один. И значения функции могут быть только ноль
и один. Какая от них может быть польза? Каждому
здравомыслящему человеку ясно, что никакой. И эти
здравомыслящие люди пытались спрятать в сумасшедший дом
Героя Социалистического труда, адмирала Акселя Берга, который
призывал изучать их, потому что считали, что не может нормальный
человек призывать к их изучению. Но там, где к этому относились
спокойно, не пытались остановить исследования, применяющие
достижения математической логики, теории алгоритмов, высшей
алгебры, там и изобрели компьютеры, телевизоры и мобильные
телефоны. Теория булевых функций стала ядром кибернетики,
ядром общей теории управления, которые вместе с достижениями
других наук привели к созданию современных морских, воздушных
и космических кораблей. И таких примеров история математики
даёт десятки.
Любое достижение математики представляется новым шагом
всего человечества в сторону прогресса разных наук и техники.
Может быть здесь и сформулирован критерий грамотности, в
смысле образованности, человека. Еще семьсот лет назад Роджер
Бекон писал «Человек, не знающий математики, не способен ни к
каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить
уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства».
Наполеон: «Процветание и совершенствование математики тесно
связано с благосостоянием государства». Раз все это знают, то может
быть нет необходимости говорить о практической роли науки
22
математики в современном мире, о месте математики как
образовательного предмета, о роли математической составляющей в
подготовке специалистов. Простенький пример показывает, что
стоит, и делать это надо при каждом удобном случае.
Завуч одной школы в связи с нехваткой учителей просит
Институт математики и компьютерных наук ДВГУ направить
студентов 4-5-го курсов к нему на работу в школе учителями
математики.
- Только, чтобы они были нормальными людьми и не мучили
детей решениями задач. Для чего изучают математику в школе,
чтобы выпускник знал, что есть теорема Пифагора. Вы ведь не
считаете, что главное в обучении математике – решение задач?
Чиновник выразил не свое личное мнение, а озвучил ту
тенденцию, которая проявляется во всех новшествах в средней и
высшей школы. Только так можно обосновать практическое
исчезновение математики из школьной и многих вузовских
программ даже там, где она должна быть доминирующей. Но если
чиновники от образования так упорно говорят, что литературу
изучают, чтобы дети знали, что есть такие-то писатели, что
математику изучают, чтобы дети знали, что есть теорема Пифагора,
то и министерство надо называть министерством информации, а не
образования. Школа берет на себя только функцию информации и
снимает с себя ответственность за образование человека, за
формирование и становление интеллектуально развитой мыслящей
личности. Такую школу надо именовать информационным центром,
а не образовательным учреждением.
Качество общеобразовательной подготовки выпускников
средних школ должно бы быть основным показателем
эффективности общеобразовательной системы. Оно должно
соответствовать ожиданиям и запросам родителей, вузов,
работодателей. При определении качества особое внимание всегда
уделялось
предметам
естественно-математического
цикла.
Перемещение центра внимания на предметы социального и
общественного цикла привело к фактическому игнорированию
предметов естественно-математического цикла, потере их целей и
задач
в
формировании
мировоззрения
школьников.
Осуществившийся переход математики в разряд второстепенных
дисциплин – стратегическая ошибка, которая вызывает лавину
обвала фундаментальной и прикладной науки, отраслевой науки.
Математика - системообразующая наука. С уровнем развития
математики непосредственно связан уровень развития всех других
наук. По той роли, которую играет уровень преподавания в
университетах в качестве научных и инженерных кадров,
23
математика является основной производящей силой в обществе. К
известному афоризму, что войну выигрывают школьные учителя,
можно добавить, что в первую очередь учителя математики. В
Японии одним из критериев отбора на некоторые рабочие
должности является успешная сдача настоящего, а не для проформы,
экзамена по высшей математике. Сегодняшний мир устроен так, что
от
качества
математического
образования
зависит
обороноспособность страны. Доверить сверхточную, сверхмощную,
сверхдорогую, предельно компьютеризированную военную технику
можно доверить солдату и офицеру, имеющему современную
подготовку, умеющему профессионально работать на компьютере, т.
е. имеющему соответствующую подготовку. Если с этих позиций
оценить уровень математической подготовки выпускника школы и
вуза, то можно увидеть очень неприглядную картину.
Математика – это полигон, на котором учатся усваивать
сложный материал, осваиваются приемы рассуждений и законы
мышления, приобретаются навыки логических доказательств. Все
это делается и на занятиях по другим предметам. Но быстрее и
эффективнее на уроках математики. Изучение математики
преследует не столько конкретные цели получения определенного
количества сведений, формул и навыков, сколько овладение
методами логического мышления, логического и системного
анализа. Изучение математики воспитывает волю, упорство,
научный подход к задачам теории и практики. Именно по этим
причинам математические и физические факультеты университетов
в новых условиях оказались лидерами бизнес образования. Не
потому, что некоторые достижения математиков произвели
настоящий переворот в разных сферах экономики и экономической
науки. А потому, что математики занимают ведущие позиции в
предпринимательстве, в финансах и банковской сфере. Мысль о том,
что для жизненного успеха в первую очередь нужна хорошая
математическая подготовка, что математическое образование имеет
огромное экономическое значение, постепенно осознается
обществом.
Математика играет особую роль во всей системы знаний. С
одной стороны – это одна из дисциплин школьной программы,
хорошее знание которой – основа успеха в физике, химии и т. д. А с
другой – это образ мышления, образ жизни. Трудности в обучении
математике связаны с ее спецификой. Слабое усвоение материала
хотя бы одного ее звена делает практически невозможным
качественное усвоение дальнейшего материала. Негативно
действуют такие факторы (постоянные, но которые можно считать
временными, так как реформы дают возможность их устранить), как
24
отток из школ учительских кадров, в первую очередь математиков,
неуклонное уменьшение количества часов, отводимых в учебных
планах на изучение математики. Математика – это язык, язык очень
трудный, для многих непривычный. Для усвоения языка в первую
очередь необходимо общение, общение ученика с учителем,
общение учеников между собой, нужна языковая практика. Этой
практики ученики практически лишены. В таких условиях материал
усвоен лишь теми, кто имеет возможность заниматься
дополнительно или, как говорится, схватывает все на лету. А таких
совсем мало.
Положение учителя математики, отношение к нему со стороны
администрации никак не отражают особой роли предмета
математики. Нагрузка учителя математики должна быть снижена до
уровня 10 часов в неделю. В этих условиях можно требовать от
учителя максимум индивидуальной работы, той, которую школа
переложила на репетитора. Недельная нагрузка учителя математики
должна быть ниже нагрузки преподавателей ряда других предметов
потому, что преподавание математики – и об этом надо говорить как
о реальном факте, а не как о чьем-то личном субъективном мнении –
требует гораздо больших затрат труда, а оплата должна
соответствовать вложенному труду.
Особая роль образовательного предмета математика,
специфические требования, которые предъявляются к ее
преподаванию, не учитываются. О каком освоении математического
языка, о воспитании какой культуры мышления можно говорить,
если в расписании школьника только три часа математики, один час
физики и химии. Если на многих факультетах весь курс высшей
математики «проходят за один семестр» при 1-2 часах занятий в
неделю, то это и предполагает только информационные функции
преподавателя математики. Предмету математика в школе надо
вернуть все ее часы, отобранные за последние сорок лет и тогда
приемлемое усвоение учебного материала подавляющей частью
учащихся можно добиться независимо от выбора учебника или
способа заключительной аттестации. Число три (вместо 10-14
необходимого минимума) часов отводимых на изучение математики
анекдотично. Математика как школьный предмет практически
исчезла. Сведена до уровня факультатива. Фактическое отсутствие
геометрии в жизни школьника привело к тому, что в его речи слово
математика часто отождествляется со словом алгебра. Практическое
исчезновение математики в формировании выпускника школы
существенно сужает его выбор жизненного пути. Ему остается
искать для поступления факультет, на котором не будет математики
или она будет присутствовать все так же символически. Ценность
25
такого специалиста для работодателя минимальна. Подорвана база
не только математических, физических и химических факультетов,
технических вузов. Запрограммировано отставание инженерного
корпуса от мирового уровня. Кто будет работать на предприятиях
ВПК через 20 лет? Стержнем реформы образования должно стать
осознание того, что плохое математическое образование
ограничивает свободу личности, ущемляет права человека, в
частности, право на свободный выбор профессии. Плохое
математическое образование – прямая угроза национальной
безопасности, причем почти по всем ее аспектам: военному,
экономическому, технологическому и прочим.
В вузах остро стоит проблема слабой подготовки пришедших к ним
выпускников школ. Во многих вузах нередка практика занятий по
элементарной математике перед изучением курса высшей
математики. Наиболее пострадавшей стороной в нынешней
ситуации оказались физико-математические факультеты, которые
должны давать нам высококлассных учителей математики и физики.
Без мер по стимулированию обучения на этих факультетах мы будем
принимать на них только отъявленных троечников. Попав на работу
в школу, они в состоянии воспроизвести только таких же
троечников и так далее по замкнутому кругу. Когда же
высококлассные учителя, любящие математику, знающие
математику, придут во все школы? Без них все эти разговоры –
пустая болтовня.
Огромный вред во всех сферах нашей жизни нанесла
процентомания. Когда считалось делом чести выдавать только
высококачественное, то математики, в частности в школе дети с
математическими способностями, математические кафедры в вузах,
были в почете. Когда же всем стал править вал, то учителя
математики, математические кафедры превратились в ответчиков за
все беды, мальчиков для битья. В разных формах процентомания
жива и пронизывает весь учебный процесс школы и вуза. Корень ее
в том, что школа сама оценивает результаты своей работы. По тем
оценкам, которые она сама себе поставила, судят о ее работе.
Необходима система внешнего контроля. Не контроля со стороны
чиновников, а действенный механизм. Возможно, придется
восстановить переводные экзамены, начиная с пятого класса. В
состав комиссии по приему переводных и выпускных экзаменов
необходимо включать представителей других школ, других учебных
заведений.
Приведу ещё одно высказывание, которое отражает мнение
очень многих и многих. «Если экономист узнает теорему КунаТакера, то он что умнее станет? О чём думают в Министерстве,
26
когда заставляют изучать такую ерунду! Учить же надо тому, что
пригодится!»
Можно считать, что в 21 веке взгляды каменного
века могут быть только у человека без свидетельства о среднем
образовании. Но по всему видно, что у произносящего эту чушь есть
диплом о высшем образовании, даже есть учёная степень и даже, что
при его кругозоре Митрофанушки, он преподаёт! Вот до каких
вершин невежества мы дожили в 21 веке. И в газетах день за днём
упорно задают одни и те же вопросы: Зачем мучить бедного
школьника синусами и логарифмами? Зачем ему изучать в таких
объёмах физические законы и химические формулы? Ведь, по их
мнению, подавляющему большинству выпускников в жизни всё это
не пригодится. В том то и дело, что пригодится. Но не в явном виде.
Всевозможные знания, полученные в необходимом количестве в
школе, из литературы, от родителей и друзей, порождают новое
качество – культура мышления, система цельного восприятия мира.
Без достаточного объёма этих знаний в школьные годы человек на
долгие годы останется недоучкой с бессистемными знаниями,
прерывистой безграмотной картиной мира, убогой логикой.
Культура мышления порождает компетентность, компетентностный
подход, профессионализм. Что при этом помогло человеку стать
профессионалом, а что «не пригодилось», никто никогда не узнает.
Зато сам этот человек чётко видит, лишних знаний не бывает. В
школе дают базовые знания. Критическая масса базовых знаний
порождает новое качество – культуру мышления. Мизерное
количество школьных знаний приводит к их замене суррогатом и
порождает монстров. Ущерб от экономии на учителях невозможно
себе представить. Гигантские расходы государства на растущую
армию чиновников – это ведь тоже результат экономии на учителях.
Неспособен нынешний недоучка стратегически решать вопросы. А
для создания видимости деятельности ему нужна как можно более
внушительная армия помощников. Армия кипучих бездельников
плодит и плодит бумаги. И больше ничего. Все заняты срочными
делами, хватают инфаркты на работе, а результат пшик. Потому что
суть дела никого не интересует. Всё чаще и чаще вспоминается
фильм «Мелодия забытой флейты». Падающие краны и самолёты,
рухнувшие дома и мосты, суды над горе-врачами – это не
техногенные катастрофы, а катастрофа в образовании.
У нас уже фактически нет людей, которые бы понимали, что есть
другая школа. Не та, которая призвана ставить липовые тройки,
четвёрки, пятёрки, а которая призвана привить культуру мышления,
расширить кругозор, развить интеллект, раскрыть таланты ученика,
словом, подготовить к жизни. Давать то, что пригодится, обязанность ПТУ, а не школы и не университета. Профессор, доктор
27
физико-математических наук, внёсший большой вклад в развитие
математической логики, рассказывает о том, что когда его отец
учился в горном институте, то изучал математическую логику и так,
что через десятки лет некоторые разделы знал лучше его. Вот так
когда-то учили и учились. Никто с нашим нынешним образованием
никогда не поймёт, зачем человека, который хочет стать горным
инженером, заставлять сдавать экзамены по математической логике.
Где он применит математическую логику в горах? Как можно
человека, который хочет стать горным инженером, отчислять из
вуза, только за то, что он не сдал экзамена по математической
логике. Не смогут понять этого нынешние даже министры,
академики, профессора, директора институтов. Интересно, что
Витте, Столыпин были профессионалами высшей пробы везде, где
им приходилось трудиться – будь то транспорт, будь то экономика,
будь то финансы. А, как у нас говорят, работали они не по
специальности и с точки зрения нынешних образованцев деньги на
их обучение потрачены были зря. Высочайшими профессионалами
они стали не потому, что изучали в университете то, что пригодится,
а потому, что получали там образование, потому что по диплому они
математики. Если бы они изучали только то, что им пригодится, то
ничего хорошего мы бы о них не знали.
Удивительно глупые люди руководили в старину. Основателя
учения о наследственности Менделя (математика!) заставляли учить
ненужные ему для открытия законов наследственности тангенсы и
котангенсы. Не понимали тогда, что учить надо тому, что пригодится.
Учить его надо было только законам наследственности, и тогда он
смог бы их открыть. Как этого не понимали в тамошнем Министерстве
образования!
Ещё одна проблема: по всей стране математику преподают люди,
не имеющие ни малейшего представления о целях её преподавания.
Это и есть главный признак загнивания системы: каждый занят не
своим делом. Надо лишать аккредитации учебные заведения,
допускающие к преподаванию математики лиц без математического
образования, потому что это не соответствует уровню высшего
образования, статусу университета, превращает университет в
посмешище.
Доводы, что у того-то почти математическое
образование или, что он много применяет математики в своей
работе, просто анекдотичны. Представляете, операцию на сердце
делает человек с почти медицинским образованием. Садимся в
самолёт, который сделал человек с почти инженерным
образованием. Цель этого одна – выдать суррогат за чистый
продукт. Для галочки пройден курс математики и всем хорошо. А
28
задуматься над ситуацией некому. Им неведом нормальный порядок
вещей.
Где инженер применит формулу Стокса? Правильный ответ: А
где солдат в бою встретит турник? Нигде. Значит не надо гонять его
на турник. Разве можно математику считать только сборником
прикладных сведений. Никто не сможет придумать лучший, чем
математика, полигон, на котором постигаются законы мышления,
осваивается определенный образ жизни. Низкий уровень
преподавания математики по силе разрушительности и подрыва
обороноспособности
–
удар
страшнее
атомной
бомбы.
Обороноспособность страны больше зависит от уровня
преподавания математики, чем от министра обороны, поэтому
зарплата профессора математики больше зарплаты министра
обороны (не у нас). Жесткий Государственный стандарт
математического образования должен стать Федеральным Законом,
нарушение которого – преступление. В Америке университеты
богаты, но не потому, что Америка богата. Америка богата, потому
что университеты богаты. До поры до времени в нашей школе царём
и богом был ученик – хороший математик. Те, кому математика не
давалась, чувствовали себя в ней очень неуютно. Теперь они в
полной мере могут отыграться за все свои унижения. При полном
наборе учёных регалий и почётных званий эти неучи со всех трибун
поучают, как надо учить математике, какой математике надо учить,
а главная их мысль, что математика никогда никому не пригодится.
И эту чушь они набирают на компьютерах, которые появились
благодаря синтезу достижений «никому ненужных с их колокольни»
математической логики, кибернетики и т. д. Эту чушь они теперь
ежедневно пропагандируют по Интернету и по телевизору,
появление которых в первую очередь опять же связаны с
достижениями этой бесполезной математики.
У меня есть мечта о том, что все выпускники средней школы
будут получать прекрасное математическое образование, что
высокий профессионализм станет синонимом честности и
порядочности. Но в голову приходят очень и очень грустные мысли
о судьбе математического образования в стране, о его
свершившемся системном кризисе, о том, что надо срочно вылезать
из этого кризиса. А возможно деградация уже необратима.
29
Содержание
Предисловие……………………………………………………….3
Обратные функции………………………………………………..3
Неподвижная точка ………………..……………………………4
Сложные функции…….………………………………………… 4
Функциональные уравнения……………………………………. 8
Возвратные последовательности……………………… ……….14
Неравенства…………….…………………………………………15
Системы……………………………………………………………15
Подписано в печать 11.04.2009.
Формат 60х84/16. Усл. печ. л. 3,95. Уч.-изд. л. 2,23.
Тираж 5000 экз. Заказ 80
Издательство Дальневосточного университета
690950, г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27
Отпечатано в учебно-полиграфическом центре института
математики и компьютерных наук ДВГУ
690950, г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27
30