Областное государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Реклама
Областное государственное автономное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Ангарский техникум строительных технологий»
Тригонометрические уравнения
методические указания к самостоятельной
работе по учебной дисциплине «Математика»
Ангарск, 2014 г.
1
Рассмотрено и одобрено
на заседании ПЦК
естественнонаучного цикла
Протокол № ____ от
«___»______20___г.
Председатель ПЦК
_____________ Л.Д. Шурмелёва
Утверждаю:
Директор АТСТ
___________ В.Н. Леснов
Рассмотрено и одобрено
на заседании методического совета
Протокол № ____ от
«___»______20___г.
Председатель совета,
зам.директора по УМР
_______________ О.Н. Ермакова
Автор: Кезля С.В., преподаватель математики первой квалификационной категории
ОГАОУ СПО «Ангарский техникум строительных технологий»
Рецензент: Клопцова Л.И., зам. директора по учебной работе, преподаватель математики
высшей квалификационной категории ГБОУ СПО «Ангарский автотранспортный
техникум»
2
СОДЕРЖАНИЕ
Пояснительная записка……………………………………………………………
4
1. Введение
2. Основные понятия…………………………………………………………………
5
Тригонометрический круг…………………………………………………………
9
Тригонометрическая таблица углов………………………………………………
10
Тригонометрические формулы……………………………………………………
11
3. Простейшие тригонометрические уравнения……………………………………
13
4. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся квадратным.……………
13
5. Однородные тригонометрические уравнения……………………………………
18
6. Самостоятельная работа……………………………………………………………..
Приложение 1………………………………………………………………………… 23
Приложение 2………………………………………………………………………… 25
Приложение 3………………………………………………………………………… 27
Литература……………………………………………………………………………. 29
3
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методические указания для самостоятельной работы разработаны в соответствии с
рабочей
программой
учебной
дисциплины
«Математика»,
федеральными
государственными стандартами для обучающихся по специальностям СПО.
Изложение материала строится на основе формирования представлений об
единичной окружности как основной модели тригонометрии. Введены понятия
простейших тригонометрических уравнений, схемы их решений. Модификация
уравнений, формируются навыки решений с усложненным аргументом. Обучающиеся
овладевают умениями решать тригонометрические уравнения путем введения новой
переменной, способом разложения на множители, однородные тригонометрические
уравнения.
Раздел «Тригонометрия» является наиболее сложной темой обучающихся.
Методические указания способствуют развитию логического мышления обучающихся,
расширению сферы математических знаний, общекультурного кругозора. Задачи,
представленные в методических указаниях могут использоваться при изучении темы
«Тригонометрические уравнения».
Новизна данного методического указания заключается в том, что ее содержание
выстроено под содержание учебной программы «Математика» для образовательных
учреждений среднего профессионального образования.
Данная методическая разработка содержит введение, теорию основных понятий,
формулы, примеры с разобранными решениями, тренировочные задания с ответами для
самостоятельной работы,
список используемой литературы. Практическая часть
реализуется на знаниях обучающихся, полученных в ходе теоретической подготовки.
Уровень качества усвоения
экзаменационной работы.
знаний
4
обучающихся
оценивается
в
рамках
Учебно-тематический план самостоятельных работ по учебной дисциплине
«Математика»






проработка конспектов занятий, учебной литературы;
сформировать умения решать простейшие тригонометрические уравнения;
решение уравнений, сводящихся к квадратным;
решение уравнений вида asinx + bcosx = c;
решение уравнений с помощью разложения левой части на множители;
контрольная работа по теме: «Тригонометрические уравнения»
1.ВВЕДЕНИЕ
История развития тригонометрических понятий.
Тригонометрия - математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами
и углами треугольника. Казалось бы, тригонометрию можно считать лишь частью
геометрии, однако тригонометрические функции, с помощью которых связываются
элементы треугольника, - это объект изучения математического анализа, а
тригонометрические уравнения - уравнения, в которых неизвестные являются
аргументами тригонометрических функций, - изучаются методами алгебры. Таким
образом, тригонометрия - раздел математики, использующий достижения других важных
ее разделов.
Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее помощью можно
определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать
процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Зачатки
тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия
развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.
Термин «тригонометрия» дословно означает «измерение треугольников». Его ввёл в
употребление в 1595г. немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор
учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. Тригонометрия - раздел
математики, который изучает зависимости между углами и сторонами треугольников, а
также свойства тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса, котангенса,
секанса и косеканса. К концу 17 века почти все эти функции были уже, по существу,
известны. Правда, самого понятия тригонометрических функций, как и их обозначений,
тогда ещё не существовало. Вместо них говорили о длинах некоторых хорд, касательных,
секущих в окружности определённого радиуса. В тригонометрии изучались три вида
соотношений: 1) между самими тригонометрическими функциями; 2) между элементами
плоского треугольника (тригонометрия на плоскости); 3) между элементами сферического
треугольника, т. е. фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями, проходящими через
её центр (сферическая тригонометрия).Изучение свойств тригонометрических функций
началось при исследовании свойств сферической геометрии. Древние астрономы,
наблюдая за движением небесных светил, обрабатывали измерения, необходимые для
ведения календаря, определения время начала сева и сбора урожая и дат религиозных
5
праздников. По звёздам определялся курс корабля в море или направление движения
каравана в пустыне. Наблюдения за звёздным небом с незапамятных времён вели и
астрологи. Естественно, все измерения, связанные расположением светил на небосводе,
являются косвенные. Прямые — осуществлялись только на поверхности Земли. Но и здесь
далеко не всегда удавалось непосредственно определить расстояние между какими-то
пунктами. И тогда вновь прибегали к косвенным измерениям. Например, вычисляли
высоту дерева или размеры острова в море, сравнивая длину его тени с длиной тени от
какого-нибудь шеста, высота которого была известна. Подобные задачи сводятся к
анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают через другие, а поскольку
звёзды и планеты представлялись точками на небесной сфер то сначала стала развиваться
именно сферическая тригонометрия. Её считали разделом астрономии.
Отрывочные сведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках Древнего
Вавилона. Астрономы и астрологи Междуречья научились предсказывать положения Луны и
Солнца, достигнув в этом больших успехов. От них мы унаследовали систему измерения углов в
градусах, минутах и секундах, основанную на секундах в принятой ими шестидесятеричной системе
исчисления. Первые по-настоящему важные достижения в математике, в частности в
тригонометрии, принадлежат древнегреческим учёным.
В Древней Греции тригонометрия как часть астрономии достигла значительного развития.
Древнегреческие ученые впервые поставили перед собой задачу решения прямоугольного
треугольника, т. е. определения его элементов по двум данным элементам, из которых хотя бы
один — сторона треугольника. Для решения этой задачи вначале составляли таблицы длин
хорд, соответствующих различным центральным углам круга постоянного радиуса. Первые
тригонометрические таблицы хорд были составлены астрономом-математиком Гиппархом из
Никеи (II в. до н. э.). Гиппарх был основоположником приложения математики к географии,
кроме того, он составил звездный каталог, довольно точно определил расстояние от Земли до
Луны и ввел географические координаты — широту и долготу. Сочинения Гиппарха до нас не
дошли. Но многие из них вошли в «Альмагест» — знаменитое сочинение древнегреческого
астронома Клавдия Птолемея. Альмагест — классическое сочинение, в котором изложена
античная теория движения небесных тел, геоцентрическая система мира. Эта система
просуществовала до XVI в., когда появились труды Н. Коперника с изложением новой
гелиоцентрической системы мира. «Альмагест» содержит элементы прямолинейной и
сферической тригонометрии, описание астрономических инструментов, звездный каталог
таблиц хорд и др. Таблица хорд Птолемея составлена в шестидесятеричной системе счисления
через полградуса от 0 до 180° и играла такую же роль, как таблица синусов (т. е. полухорд), так
как синус есть половина хорды окружности единичного радиуса, стягивающей дугу,
соответствующую двойному углу. Таблицы синусов были введены индийскими астрономами,
которые рассматривали и линию косинуса. Техника тригонометрических вычислений
(применявшихся для решения прямоугольных треугольников) получила значительное развитие
в Индии. Так, для синуса 3°45' Бхаскара в своих таблицах указывает значение которое дает семь
верных десятичных знаков. Дальнейшего развития тригонометрические таблицы достигли в
трудах ученых стран ислама, которые ввели понятие линии тангенса. Абу-л-Вафа (X в.)
пользовался также величиной, обратной косинусу (секансом) и синусу (косекансом), и составил
6
таблицу синусов через каждые 10'. Самые точные таблицы в начале XV в. были составлены алКаши. Большой точности таблицы тригонометрических функций составил Региомонтан (1436—
1476) и другие европейские ученые XVI—XVIII вв.В России первые тригонометрические
таблицы были изданы в 1703 г. под названием «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к
научению мудролюбивыхтщателей». В издании этих таблиц участвовал Л. Ф. Магницкий.
Индийские ученые положили начало учению о тригонометрических величинах, которые они
рассматривали в пределах первой четверти круга. Синус и косинус встречаются в индийских
астрономических сочинениях уже в IV — V вв. Заменив хорду синусом, индийцы вначале
называли синус «ардхаджива», т. е. половина хорды («джива» — хорда, тетива лука), а позже
просто «джива». Это слово было, как полагают, искажено арабами в «джайб», означающее поарабски пазуха, выпуклость. Слово «джайб» было переведено в XII в. на латынь
соответствующим словом sinus. Косинус индийцы называли «котиджива», т.е. синус остатка (до
четверти окружности). В XV в. Региомонтан, как и другие математики, применял для понятия
«косинус дуги (х)» латинский термин sinuscomplementi, т.е. синус дополнения, имея в виду . От
перестановки этих слов и сокращения одного из них (cosinus) образовался термин «косинус»,
встречающийся в 1620г. у английского астронома Э. Гунтера, изобретателя логарифмической
линейки.В IX — X вв. ученые стран ислама (ал-Хабаш, ал-Баттани, Абу-л-Вафа и др.) ввели
новые тригонометрические величины: тангенс и котангенс, секанс и косеканс. В частности, алБаттани установил, что в прямоугольном треугольнике острый угол можно определить
отношением одного катета к другому. Происхождение названий двух тригонометрических
функций, тангенса и секанса (термины, введенные в 1583 г. немецким математиком Т. Финком),
связано с геометрическим их представлением в виде отрезков прямых. Латинское слово tangens
означает касающийся (отрезок касательной), secans — секущий (отрезок секущей). Термины
«котангенс» и «косеканс» были образованы в средние века по аналогии с термином «косинус».
Все три термина вошли во всеобщее употребление в первой половине XVII в. Сферическая
тригонометрия, непосредственно применявшаяся в астрономии, начала развиваться раньше
плоской как часть астрономии и самостоятельно не существовала. Выдающийся ученый Насир
ад-Дин ат-Туси (1201 — 1274), уроженец иранского города Туc, первый открыл путь к
отделению тригонометрии от астрономии и выделению ее в самостоятельную дисциплину. Его
труд «Китабаш-шаклал-кита» (книга о фигуре из секущих), называемый также «Трактатом о
полном четырехугольнике», является первым в мире сочинением, специально посвященным
тригонометрии. В нем достаточно полно изложено то, что было установлено раньше, а также
отдельные исследования самого автора. Тригонометрический труд ат-Туси, как полагают
некоторые ученые, оказал влияние на европейских математиков, в частности на Региомонтана.В
XV в. Региомонтан сыграл в Европе примерно ту же роль, какую играл Насир ад-Дин в странах
ислама за двести лет до него. Труд Региомонтана «Пять книг о треугольниках всех видов» в
свою очередь - имел большое значение для дальнейшего развития тригонометрии. Другие
работы в области тригонометрии принадлежат Копернику, Виету, Кеплеру. Таким образом,
процесс накопления тригонометрических знаний привел к тому, что, начиная примерно с XIII
в., накопленный материал стал подвергаться систематизации, составляя отдельную, все более
самостоятельную область математики - тригонометрию. Принципиально новый этап в развитии
тригонометрии состоял в установлении связей этой науки с алгеброй. Начало этому было
положено в конце XVI в. Франсуа Виетом (1540—1603). Виет, французский математик,
известный главным образом своими открытиями в алгебре, выпустил в 1579 г. в Париже
обширные математические таблицы («Canonmathmaticus»), содержащие главным образом
7
тригонометрические таблицы, в которых радиус круга принимала за 100 000. Уже в «Каноне» и
особенно в XIX главе «Восьмой книги» Виет формулирует без доказательств всю систему
утверждений сферической тригонометрии. Указанные теоремы косинусов Виет формулирует в
предложениях 15 и 16 этой главы следующим образом:ТРИГОНОМЕТРИЯ – (от греч. trigwnon
– треугольник и metrew – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости
между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.
8
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Тригонометрический круг.
Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию.
Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Тригонометрический круг
заменяет десяток таблиц.
Вот что мы видим на этом рисунке:
1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или
2𝜋 радиан.
2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла
мы находим на оси OX, а значение синуса — на осиOY .
3. И синус, и косинус принимают значения от O до2𝜋 .
4.Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив синус на косинус . А чтобы найти
котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус, тангенс, котангенс — функция нечётная, косинус — чётная.
Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус, тангенс и котангенс—
функции периодические. Период равен первых − 2𝜋 , период вторых − 𝜋 .
А теперь подробнее о тригонометрическом круге.
Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и
с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями OX и OY ,
в которой мы привыкли рисовать графики функций.
9
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки,
тогда принято записывать углы с знаком плюс, углы отсчитываемые по часовой стрелке
принято записывать со знаком минус.
Полный круг — 360 градусов.
Точка с координатами (1;0) соответствует углу в 0 градусов. Точка с координатами (-1;0)
отвечает углу в 180 градусов , точка с координатами (0;1) — углу в 90 градусов , точка с
координатами (0;-1) – углу в 270 градусов. Каждому углу от нуля до 360 градусов
соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной
окружности, соответствующей данному углу .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси OY) точки на единичной
окружности, соответствующей данному углу .
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей
данному углу. Косинус — абсцисса (X), синус — ордината (Y) . Поскольку окружность
единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от -1 до 1.
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести
градусы в радианы просто: 360 градусов, то есть полный круг, соответствует 2𝜋 радиан.
На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Тригонометрическая таблица
Для того, чтобы узнать значения тригонометрических функций для некоторых углов,
используется тригонометрическая таблица. В таблице показаны значения синусов,
косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° и 360°, а
также значения этих углов в радианах.
10
Тригонометрические формулы
Основные тригонометрические тождества
sin² α + cos² α = 1
tg α · ctg α = 1
tg α = sin α ÷ cos α
ctgα = cosα ÷ sinα
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α
Формулысложения
sin (α + β) = sinα · cosβ + sinβ · cosα
sin (α - β) = sinα · cosβ - sinβ · cosα
cos (α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ
cos (α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ
tg (α + β) = (tgα + tgβ) ÷ (1 - tgα · tgβ)
tg (α - β) = (tgα - tgβ) ÷ (1 + tgα · tgβ)
ctg (α + β) = (ctgα · ctgβ + 1) ÷ (ctgβ - ctgα)
ctg (α - β) = (ctgα · ctgβ - 1) ÷ (ctgβ + ctgα)
Формулы двойного угла
sin³α = (3sinα - sin 3α) ÷ 4
cos²α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³α = (3cosα + cos 3α) ÷ 4
sin²α · cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
sin³α · cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32
cos 2α = cos² α - sin² α
cos 2α = 2cos² α - 1
cos 2α = 1 - 2sin² α
sin 2α = 2sin α · cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
11
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)
Формулытройногоугла
sin 3α = 3sin α - 4sin³ α
cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
Формулы понижения степени
sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
sin³α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
cos²α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sin²α · cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
sin³α · cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32
Переход от произведения к сумме
sin α · cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
sin α · sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α · cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))
Переход от суммы к произведению
12
3. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.
Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под
знаком тригонометрических функций.
Уравнения вида sin x = a; cos x = a; a∈[-1,1] tg x = a; ctg x = a, где x∈ 𝑅 - переменная, a∈R
называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
4.РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, СВОДЯЩИХСЯ К
КВАДРАТНЫМ.
При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие
тригонометрические тождества:
Пример 1. Решить уравнение
(1)
Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество, осуществим замену
, тогда уравнение (1) примет вид
Введем подстановку
, тогда получим квадратное уравнение
13
Решая его, находим корни
или
. Затем осуществляя обратную подстановку
, получаем решение исходного уравнения.
Ответ:
Пример 2. Решить уравнение
(2)
Решение.
Введем подстановку
откуда
, тогда уравнение (2) примет вид
.
Так как
Следовательно,
, то корень
не подходит.
Ответ:
Пример3.Решить уравнение2соs2 х + 5sin х -4 =0
Решение.Если cos2х=1-sin2х, то уравнение приводится к квадратному уравнению
относительно sin х:
2(1- sin2х) + 5sinх-4 = 0,
раскрываем скобки, переносим все в левую часть, получим
2 sin2х - 5sinх+2 = 0,
заменим sin х = y, уравнение примет вид
2y2 - 5y + 2 = 0.
Это уравнение является квадратным. Находим корни уравнения:
;
.
Так как у=sinх, то
или
14
Тогда:
Ответ:
Пример3.Решить уравнение 6tg х + 5сtg3х = tg 2х
Решение. ОДЗ
Запишем уравнение в виде 5tg х + 5сtg3х = tg 2х- tg х и подставим в него
,
,
получим:
.
Приводим к общему знаменателю обе части уравнения :
Числитель левой части уравнения можно представить как косинус суммы двух углов, а
числитель правой части – как синус разности двух углов:
,
или
,
5соs2
Представим правую часть уравнения в виде полу разности косинусов, получим:
5соs22х=1/2 (соs2х–cos4х) ,
15
умножим обе части равенства на 2 и перенесем все в левую часть :
10соs22х - соs2х + cos 4х = 0,
соs4х представим как косинус двойного угла:
10соs22х-соs2х+(2cos22х-1)=0, отсюда 12соs22х-соs2х-1=0,
заменим соs2х=у, получим квадратное уравнение вида 12у2 – у – 1 = 0, находим корни :
,
,
подставив вместо у=соs2х, получим:
Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ:
Пример2.Решить уравнение соs4 х - sin4х= sin х
Решение.Представим левую часть уравнения как разность квадратов, получим:
(соs2 х + sin2 х)( соs2 х - sin2 х) = sin х;
учитывая, что
соs2 х + sin2 х=1, а соs2 х - sin2 х = 1-2 sin2х,
подставим в исходное уравнение.
Теперь уравнение принимает вид:
1 - 2 sin2 х – sin х = 0 или 2 sin2 х + sin х -1 = 0.
16
Если заменить sin х = у, получим квадратное уравнение вида:
2у2 + у – 1 = 0.
Находим корни квадратного уравнения
Получим:
Примеры для самостоятельного решения:
1. Решить уравнение
Ответ:
2. Решить уравнение
Ответ:
3. Решить уравнение
Ответ:
17
5.ОДНОРОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Здесь мы познакомимся с довольно часто встречающимися на практике
тригонометрическими уравнениями специального вида.
Определение. Уравнение вида:
называют однородным
тригонометрическим уравнением первой степени; уравнение вида:
называют однородным тригонометрическим
уравнением второй степени.
Пример 7. Решить уравнение 2 sin х-3соз х=0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на соз х, получим:
Пример 8. Решить уравнение 2x + соs2x =0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на соs 2 x, получим:
Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени:
Если коэффициент а отличен от нуля, т.е. в уравнении содержится член sin 2 х с какимто коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться
в том, что при интересующих нас значениях переменной сое хне обращается в нуль, а
потому можно обе части уравнения разделить почленно на соs 2 х. Что это даст?
Смотрите:
Это — квадратное уравнение относительно новой переменной z = tg х.
Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении
коэффициент а равен 0, т.е. отсутствует член sin2 х. Тогда уравнение принимает вид:
Это уравнение можно решить методом разложения на множители:
18
Получились два уравнения, которые мы с вами решать умеем. Аналогично обстоит дело и
в случае, когда с =0, т.е. когда однородное уравнение имеет вид (здесь можно вынести
за скобки sin х).
Фактически мы выработали алгоритм решения:
При решении однородных тригонометрических уравнений, нужно помнить несколько
важных вещей:
1. Свободный член можно преобразовать к квадрату синуса и косинуса с помощью
основного тригонометрического тождества:
2. Синус и косинус двойного аргумента являются одночленами второй степени – синус
двойного аргумента легко преобразовать к произведению синуса и косинуса, а косинус
двойного аргумента – к квадрату синуса или косинуса:
Рассмотрим несколько примеров решения однородных тригонометрических уравнений.
1. Решим уравнение:
Это классический пример однородного тригонометрического уравнения первой степени:
степень каждого одночлена равна единице, свободный член равен нулю.
19
Прежде чем делить обе части уравнения на
, необходимо проверить, что корни
уравнения
не являются корнями исходного уравнения. Проверяем: если
то
, следовательно их сумма не равна нулю.
Разделим обе части уравнения на
,
.
Получим:
, где
, где
Ответ:
, где
2. Решим уравнение:
Это пример однородного тригонометрического уравнения второй степени. Мы помним,
что если мы можем разложить левую часть уравнения на множители, то желательно это
сделать. В этом уравнении мы можем вынести за скобки
. Сделаем это:
Приравняем каждый множитель к нулю:
Решение первого уравнения:
, где
Второе уравнение – однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы
его решить, разделим обе части уравнения на
. Получим:
, где
20
Ответ:
, где
,
, где
3. Решим уравнение:
Чтобы это уравнение «стало» однородным, преобразуем
в произведение, и
представим число 3 в виде суммы квадратов синуса и косинуса:
Перенесем все слагаемые влево, раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим:
Разложим левую часть на множители и приравняем каждый множитель к нулю:
Отсюда:
, где
,
, где
Ответ:
, где
,
, где
4. Решим уравнение:
Мы видим, что можем вынести за скобки
. Сделаем это:
Приравняем каждый множитель к нулю:
21
Решение первого уравнения:
, где
Второе уравнение совокупности представляет собой классическое однородное уравнение
второй степени. Корни уравнения
не являются корнями исходного уравнения,
поэтому разделим обе части уравнения на
:
Отсюда:
Решение первого уравнения:
, где
Решение второго уравнения:
, где
Ответ:
, где
, где
, где
,
,
.
22
Приложение 1
«Простейшие тригонометрические уравнения»
Вариант 1
Решите уравнение:
1. sin x  0
Ответ:____________
2.
3. tgx  1
Ответ:____________
4.
3
2
ctgx  1
Ответ:____________
6.
cos x 
5. sin x  
7
5
x 
7. tg     1
2 3
cos x 
Ответ:_____________
Ответ:_____________
3 5
Ответ:_____________
5
3
 x  
ctg 

 3  3
8.
Ответ:______________________
Ответ:______________________
«Простейшие тригонометрические уравнения»
Вариант 2
Решите уравнение:
1. sin x  1
3
3. tgx 
3
5. sin x 
7
7
3
Ответ:____________
2.
cos x  0
Ответ:_____________
Ответ:____________
4.
ctgx   3
Ответ:_____________
Ответ:____________
6.
cos x  


ctg  2 x    1
3

10
Ответ:_____________
5
x 
tg     3
3 6
8.
Ответ:______________________
Ответ:______________________
«Простейшие тригонометрические уравнения»
Вариант 3
Решите уравнение:
1. sin x  1
Ответ:____________
2.
cos x  1
Ответ:_____________
3. tgx  0
Ответ:____________
4.
ctgx  3
Ответ:_____________
10
Ответ:____________
3


7. ctg  2 x    1
3

5. sin x 
6.
8.
2 2
Ответ:_____________
3
1
x 
tg     
3
3 4
cos x  
Ответ:______________________
Ответ:_______________________
23
«Простейшие тригонометрические уравнения»
Вариант 4
Решите уравнение:
3
2. cos x  1
2
Ответ:___________ Ответ:_____________
3
3. tgx  
Ответ:____________
4. ctgx  0
3
10
4 3
Ответ:_____________ sin x  
Ответ:____________
6. cos x  
3
7
Ответ:_____________


x 
tg  2 x    1
ctg      3 Ответ:______________________
7.
8.
3

4 3
Ответ:___________
1. sin x 
24
Приложение 2
Самостоятельная работа
«Простейшие тригонометрические уравнения»
Вариант 1
Решите уравнения:
1.
2.
3.
а) sin 2x  1; б) ctg3x  0 ;


2 cos 2 x    1  0 ;
3

2 sin 2 x  3 sin x  2  0 .
Самостоятельная работа
«Простейшие тригонометрические уравнения»
Вариант 2
Решите уравнения:
1.
2.
3.
а) cos 4x  0 ; б) tg 2 x  1 ;


;
2 sin  3x    3  0
6

2 cos2 x  3 3 cos x  3  0 .
Самостоятельная работа
«Простейшие тригонометрические уравнения»
Вариант 3
Решите уравнения:
1.
2.
3.
а) tg 3 x  1 ; б) sin x  0 ;
2


2 cos 4 x    2  0 ;
6

2
2 sin x  3 sin x  1  0 .
Самостоятельная работа
«Простейшие тригонометрические уравнения»
Вариант 4
Решите уравнения:
1.
2.
3.
а) ctg5 x  0 ; б) cos 2x  1 ;


;
1  2 sin  5 x    0
5

2
tg x  3  1  tgx  3  0 .


«Простейшие тригонометрические уравнения»
1.
a) 
б)

6

4

Вариант 1
  k, k  Z;
k
3
1.
, k  Z;
a)

8
б)-
25

8

k

4
Вариант 2
, k  Z;
k
2
, k  Z;
1.
a) 
б)

6

4

Вариант 1
  k, k  Z;
k
3
1.
, k  Z;
3. 
1.
2.

6

 2n, n  Z ;
k
2.
5
 2k , k  Z .
6
Вариант 3

 2 n, n  Z ;

2
6
3.
5
 2 k , k  Z .
6
1.
a)
 2 l , l  Z ;
3.
26
4
Вариант 2
, k  Z;


6

10
 2n, n  Z .

k
5
Вариант 4
, k  Z;

  k, k  Z;
2
11 2k
31 2n

, k  Z;

, n  Z;
150
5
150
5
б)
2.

k
k

, k  Z;
8
2
 2k
 2n


, k  Z ; 
, n  Z;
18
3
6
3
3. 

, k  Z;
12 3
б)2 k , k  Z ;
7 k
11 n

, k  Z ;

, n  Z;
48
2
48
2
a)
8
б)-
2.   k , k  Z ; n, n  Z ;
3
a)


3
 n, n  Z ;

4
 k , k  Z .
Приложение 3
Самостоятельная работа
«Тригонометрические уравнения»
Вариант 1
Решите тригонометрические уравнения:
1. 4 sin 2 x  12 cos x  9  0 ;

2. sin 2 x  cos 6 x    0 ;
3

2
3. 7 sin x  9 sin x  cos x  1.
Самостоятельная работа
«Тригонометрические уравнения»
Вариант 2
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10 cos 2 x  9 sin x  3  0 ;

2. cos 5 x  sin  3 x    0 ;
6

2
3. 5 sin x  9 sin x  cos x  2 .
Самостоятельная работа
«Тригонометрические уравнения»
Вариант 3
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10 cos 2 x  19 sin x  17  0 ;

2. sin 3 x  cos 5 x    0 ;
5

2
3. 3 sin x  11sin x  cos x  2 cos 2 x  3 .
Самостоятельная работа
«Тригонометрические уравнения»
Вариант 4
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10 sin 2 x  19 cos x  17  0 ;

2. cos 4 x  sin 10 x    0 ;
3

2
3. 5 cos x  3 3  sin x  cos x  1 .
27
Ответы к самостоятельной работе
«Тригонометрические уравнения»
4. 

3
Вариант 1
 2n, n  Z
1.
;
5 n

,n  Z;
5. 24 2
11 k

,k  Z;
48
4

  n, n  Z ;
6. 4
1
arctg   k , k  Z .
8
2.
3.
3.

4

4
  n, n  Z ;
 2
arctg      k , k  Z .
 7

Вариант 4
 2n, n  Z ;
3
5 n


,n  Z;
36
3
2.
 k

,k  Z;
12 7
1. 

,n  Z;
80
4
17
 k , k  Z ;
20

 n, n  Z ;
6
 n

,n  Z;
24 4
5
 k , k  Z ;
6

Вариант 3

1.  1n      n, n  Z ;
 6
7 n
2.
 1n  
Вариант 2

  n, n  Z ;
3.
 5
arctg      k , k  Z .
 6
28
  n, n  Z ;
3
arctg 2 3   k , k  Z .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Алгебра и начала анализа: учебн. Для 10-11 кл. общеобраз. учреждений/ Ш.А. Алимов –
М.: Просвещение, 2011г.
2. Алгебра и начала анализа: учебн. Для 10-11 кл. общеобраз. учреждений/А.Н. Колмогоров
– М.: Просвещение, 2010г.
3. Тригонометрия: учебн. 10 кл. общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев; под
ред. Теляковского В.Н. – М.: Просвещение, 2012г.
4. Тесты при обучении решению тригонометрических уравнений: С. Лагунов – Математика,
приложение к ПС, 2011г.
5. Уравнения и неравенства: М.И. Башмаков – М.: Наука, 2012г.
29
Скачать