Курс лекций по ТФКП 2002 г

Глава 1. Основные понятия
§1 Операции над комплексными числами
Основные понятия, связанные с комплексными числами изучались в
первом семестре. Перечислим некоторые из них.
Алгебраическая форма записи комплексного числа: z  x  iy, x  Re z –
вещественная часть, y  Im z - мнимая часть комплексного числа.
Тригонометрическая форма записи (представление числа в экспоненциальной
форме): z  rei  r (cos   i sin ) , r –модуль комплексного числа. Выражение
ei пока рассматривается, как сокращенная запись суммы cos   i sin  . Легко
проверяется, что eiei  ei (  ) , в частности,  ei   eik  . Далее:
k
| z | r  x 2  y 2 ,φ  [0,2) - аргумент комплексного числа.
Главное значение аргумента обозначается: φ=arg z и выбирается в диапазоне
arg z [0,2) .
Аргумент комплексного числа: Arg z  arg z  2k .
слайд 43 (модуль комплексного числа)
слайд 44 (аргумент комплексного числа)
Сопряженное число z  x  iy, z  x  iy . Отметим два свойства
сопряжённых чисел:
z1z 2  z1 z2 , z1  z2  z1  z2 .
слайд 24 (сложение комплексных чисел)
слайд 28 (умножение комплексных чисел)
слайд 27 (комплексное сопряжение)
Формула Бинома Ньютона: для любых комплексных чисел a,b и
n
n!
n
a k b n k .
натурального n справедливо равенство (a  b)  
k 0 k !( n  k )!
На рис. 1.1 приводится геометрическая интерпретация комплексного
числа.
Рис. 1.1
slide 1 1
1
Расстояние между комплексными числами ( z1 , z2 ) | z2  z1 | (рис. 1.2)
Рис. 1.2
slide 1 2
Пример: Множество  z  i  z  1  2 представляет собой
геометрическое место комплексных чисел, сумма расстояний которых до i и -1
равна 2. Это множество представляет собой эллипс с фокусами в i и -1.
Возведение в степень, формула Муавра: если z  rei , то
z n  r nein  r n (cos n  i sin n).
slide42 (формула Муавра)
Извлечение корней: если wn  z , то
arg z  2k
w  n z ,| w | n | z |,arg w 
, k  0,1,..., n  1.
n
Здесь под n | z | понимается арифметическое значение корня.
slide2 (извлечение корней)
§2 Комплексная плоскость
Множество комплексных чисел удобно интерпретировать как плоскость,
которую называют комплексной плоскостью и обозначают C, комплексное
число – это точка на этой плоскости. Можно рассматривать комплексное число,
как радиус вектор, тогда операции сложения комплексных чисел совпадают с
операциями сложения векторов (радиус векторов). К комплексной плоскости
формально добавляется абстрактная, «несобственная» точка - бесконечность  .
Комплексная плоскость С с добавленной к ней несобственной «бесконечно
удаленной точкой»  называется расширенной комплексной плоскостью и
обозначается C . Геометрически бесконечно удаленную точку можно
интерпретировать с помощью сферы Римана.
Рассмотрим сферу S, касающуюся комплексной плоскости в точке (0,0).
Между точками сферы S и точками расширенной комплексной плоскости C
устанавливается взаимнооднозначное соответствие, как показано на рисунке.
2
Рис. 1.3. Стереографическая проекция (сфера Римана)
Именно, из верхнего полюса сферы проводится луч, соединяющий точку
сферы A с некоторой точкой B плоскости. Самому полюсу P соответствует
бесконечно удаленная точка  . Эта сфера называется сферой Римана. Такое
отображение для случая сферы радиуса 1 задается следующими функциями:
u  iv
.
z  x  iy 
2w
Для доказательства, рассмотрим полярные координаты (см. Рис. 1.3):
u   cos  
 тогда
v   sin  

u 
cos  
x  r cos  
2w
2  w 
 r , откуда получим:
,
.
y  r sin   2  w

v 
y  r sin  
sin  
2w
2  w 
x  r cos  
Рис. 1.4.
Можно показать, что прямые и окружности из C переходят в окружности
на S, а углы между пересекающимися кривыми сохраняются.
Комплексная плоскость с ранее введенным расстоянием представляет
собой евклидово пространство. Перечислим основные понятия и определения,
связанные со сходимостью.
Расстояние между комплексными числами ( z1 , z2 ) | z1  z2 | .
Окрестность точки z0 : U  ( z0 )  {| z  z0 | }.
3
Окрестность бесконечно удалённой точки : U ()  {| z | R}.
Проколотая окрестность точки z0 : U  ( z0 )  {0 | z  z0 | }.
Сходимость, предел последовательности:
z0  lim zn означает, что lim | zn  z0 | lim ( zn , z0 )  0
n
n 
n 
Необходимое и достаточное условие сходимости для случая, когда
предельная точка не равна бесконечности:
z0  C : zn  xn  iyn  z0  x0  iy0  xn  x0 , yn  y0 .
Критерий Коши сходимости последовательности к конечному пределу (в
С) :
N n  N m  N :| zn  zm | .
Множество комплексных чисел является линейным пространством.
Наличие метрики и операций линейного пространства позволяет ввести
понятие числового ряда. Комплексный ряд
zk  xk  iyk определяется, как
действительных рядов



k 0

k 0
k
z
k 0

k
с общим членом
 zk   xk  i yk . В случае сходимости обоих
 x , y
k 0

k 0
k
k 0
получаем комплексное число – сумму этого
ряда. Таким образом, изучение комплексного ряда сводится к изучению двух
вещественных рядов. Наиболее важными свойствами рядов, используемых в
дальнейшем, являются: абсолютная сходимость, свойства суммы, разности
рядов, перестановка и перемножение абсолютно сходящихся рядов.
§3 Некоторые понятия, относящиеся ко множествам. Кривые на
комплексной плоскости.
Диаметр множества M : diam M  sup | z1  z2 | .
z1 , z2M
«Расстояние» между множествами
M1, M 2 : (M1, M 2 )  inf | z1  z2 | . В точном смысле, это понятие
z1M1 , z2M 2
расстоянием не является, так как не выполняется первое свойство или аксиома
расстояния.
Предельная точка множества – точка, в любой проколотой окрестности
которой есть хотя бы одна точка множества.
Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные
точки. Внутренняя точка множества – точка, принадлежащая множеству вместе
с некоторой своей окрестностью, открытое множество – множество, каждая
точка которого внутренняя.
Граничная точка множества – любая окрестность точки содержит, как
точки из множества, так и точки из его дополнения. Граница множества D
4
(множество всех граничных точек) обозначается D , она всегда замкнута
(содержит все свои предельные точки).
Связное множество. Любые две точки этого множества можно соединить
простой кривой (определение простой кривой приведено чуть ниже), лежащей в
этом множестве.
Областью, если не оговорено что-либо другое, будем называть связное
открытое множество.
Множество D  C называется n - связным, если его граница D состоит
из n связных, попарно непересекающихся компонент. Иногда используется
термин: n - связная область.
Кривая z  z (t )  x(t )  iy(t ), t [, ] . На плоскости этому соответствует
параметрическое задание
x  x(t ) 
 , t  [  , ] .
y  y (t ) 
Для кривой вводятся понятия: Ориентация кривой или направление
обхода, непрерывная кривая: x(t ), y(t ) (когда обе функции непрерывны).
Непрерывная кривая называется простой или кривой Жордана, если
различным значениям t1 , t2 (кроме может быть  и  ) соответствуют
различные точки z (t1 ), z (t2 ) на комплексной плоскости (у кривой нет
самопересечений).
Кривая замкнута, если z ()  z () . (не путать с замкнутостью
множества).
Кривая называется гладкой, если x(t ), y(t ) и их производные непрерывны
и z '(t )  x '(t )  iy '(t )  0 . Если кривая замкнута, то дополнительно требуется
z '()  z '() ( точнее z '(  0)  z '(  0) ).
Кусочно-гладкая кривая. Непрерывная кривая, состоящая из конечного
числа гладких кусков.
§4 Функции комплексного переменного
Определение. w  f ( z ), z  D . Каждому z ставится в соответствие одно
или несколько значений w. Множество  всевозможных значений f ( z )
называется областью значений функции f . Если сопоставляемое значение
единственно, то функция называется однозначной и в этом случае говорят об
однозначном отображении D на  .
Примеры:
w  z 2 , z  C , однозначная функция.
w  n z является многозначной функцией.
5
Определение логарифмической функции (большой или высокий
логарифм): w  Ln z  ln r  i(  2k ), r | z |,   arg z [0,2), k -целое,
D  C \ {0} . Функция Ln z является многозначной функцией.
Главная ветвь логарифма (маленький логарифм):
w  ln z  ln r  i, r | z |,   arg z  [0,2), D  C \ {0}. Функция ln z является
однозначной функцией.
Пример: ln(1)  i .
Пример: w  Arg z  arg z  2k , (k-любой целое) многозначная функция.
Степенная функция: w  z b определяется по формуле z b  ebLn z . Она
может быть для некоторых b многозначной (для натуральных b определение
согласуется с операцией возведения в степень путём перемножения).
Пример: (1)  e Ln ( 1)  e i ( 2 k )  cos(2 (1  2k ))  i sin(2 (1  2k )) . Таким
образом, числу -1 соответствует бесконечное число (счетное) значений
функции w  z  .
Если функция f(z) однозначная, то можно определить обратную функцию
1
f . Для этого обозначим через D область определения функции f(z), а область
ее значений через  . Обратная функция f -1 будет определена на  и каждому
значению w из  будет сопоставлять все те значения z из D для которых f(z)=w.
Если отображение f(z) не является взаимно однозначным, то обратная функция
будет многозначной.
Если f , а следовательно, и f -1 однозначные, то отображение z  w = f(z)
называется однолистным (взаимно-однозначное отображение). Отметим, что
когда мы говорим о функции, то подразумевается не только «закон», но и
область определения, где этот закон действует.
Пример 1. Функция w  z 2 отображает однолистно область

D  {| z | 1,0  arg z  } на верхний полукруг . На слайде показаны образы
2
полярной сетки при отображении w  z 2 .
pic1.5
Пример 2. Функция w  z 2 отображает однолистно область
D  {| z | 1,0  arg z  } на круг радиуса 1 с вырезом по положительной части
вещественной оси. На слайде показаны образы полярной сетки при
отображении w  z 2 .
pic1.6
Пример 3. Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата
[1,1]  [1,1] при отображении w  z 2  z . Отображение имеет вид
u  x2  y 2  x

v  2 xy  y 
6
Вертикали x  c переходят в параболы :
2
u  c  y2  c
 v 
2
, u  c  c  
 . Ветви этих парабол направлены направо.
v  (2c  1) y 
 2c  1 
Горизонтали y=c переходят в параболы
2
u  x2  c2  x 
vc vc 2
, u  
 
  c . Ветви таких парабол направлены
v  2 xc  c 
 2c   2c 
налево. На рисунке показаны образы прямоугольной сетки при этом
отображении.
pic1_7
Пример 4. Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата
[1,1]  [1,1] при отображении w  e z . Для z  x  iy получим
w  u  iv  e xeiy  e x cos y  ie x sin y . Таким образом, это отображение можно
представить в виде:
u  e x cos y 
.
v  e x sin y 
Прямоугольная сетка переходит в полярную сетку (лучи и окружности).
На рисунке показаны образы прямоугольной сетки при этом отображении.
2
pic1_8
Пример 5. Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата
2
[1,1]  [0,1] при отображении w  e z . Расписывая действительную и мнимую
части, отображение можно записать в виде:
cos(2 xy ) 
.
2
2
v  e x  y sin(2 xy ) 
Образы координатной сетки показаны на рисунке.
u  ex
2
 y2
pic1_9
Пример 6. Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата
1
1
[1,1]  [0.2,1] при отображении w   z   (функция Жуковского).
2
z
Отображение имеет вид
x
1 
u  1  2

2
x  y 2 
.
y
1 
v  1  2
2  x  y 2  
На рисунке показаны образы прямоугольной сетки при этом
отображении.
7
pic1_10
Пример 7. Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата
[0,2]  [1,1] при отображении w  1  z  z 2 . Отображение имеет вид
u  1  x  x2  y 2 
.
v  y  2 xy 
На рисунке показаны образы прямоугольной сетки при этом
отображении.
pic1_11
Ниже будет дано определение однозначной ветви многозначной функции
w = f(z). Рассмотрим пример.
Для функции w  z в качестве области определения D0 возьмём всю
комплексную плоскость с вырезом по положительной части действительной
оси, x [0, ) .
Рис. 1.12.
i

2
В этой области функция w  f 0 ( z )  re , r | z |,   arg z при возведении
в квадрат дает z ( то есть f 02 ( z )  z ) и однозначна. Говорят, что f 0 ( z ) на D0
является однозначной ветвью функции w  z . Функция f 0 ( z ) отображает
взаимно однозначно область D0 на верхнюю полуплоскость. На области D1  D0
рассмотрим функцию w  f1 ( z )  re

i (  )
2
, r | z |,   arg z . Эта функция также
будет однозначной ветвью функции w  z , отображающей взаимно
однозначно область D1 на нижнюю полуплоскость. Однозначные ветви можно
выделять различными способами.
Определение предела и непрерывность
Определение предела по Коши в точке z0  C ,
lim f ( z )  A,( z0  C, A  C ) :   0  0z,0 | z  z0 |  :| f ( z )  A | 
z z0
lim f ( z)  ,( z0  C ) : R  0z,0 | z  z0 |  :| f ( z) | R
z z0
lim f ( z )  A,( A  C ) :   0rz,| z | r :| f ( z)  A | 
z 
8
lim f ( z )   : Rrz,| z | r :| f ( z ) | R
z 
Аналогично дается определение по Гейне:
{zn }, zn  z0 , zn  z0 : lim f ( zn )  A .
n
Замечание: Существование конечного предела lim f ( z ) эквивалентно
z  z0
существованию двух пределов lim Re f ( z ), lim Im f ( z ) .
z z0
z z0
Так, если f ( z )  u( z )  iv( z )  A  a  ib при z  z0 , то u ( z )  a, v( z )  b ,
при z  z0 .
Непрерывность функции f(z) в точке z0  C : lim f ( z )  f ( z0 ) =f(z0),
z z0
предполагается, что функция определена в некоторой окрестности точки z 0 .
В терминах расширенной комплексной плоскости: f ( z ) непрерывна в
z0  C , w0  f ( z0 ) , если для любой окрестности U ( w0 ) найдется окрестность
U ( z0 ) такая, что из условия z U ( z0 ) следует f ( z ) U ( w0 ) .
Замечание: Если f ( z0 )  , z0  C , то непрерывность в этой точке
эквивалентна непрерывности действительной и мнимой части в этой точке.
1
 , z0
Пример: Функция f ( z )   z
является непрерывной в точке z=0 в
, z  0
смысле расширенной комплексной плоскости.
§5 Функциональные последовательности и ряды
Если fn(z) - однозначные функции, то комплексный ряд

 f ( z) определяется, как сумма
k 0
k


f
k 0
k
( z) =


 f ( z)   Re f ( z)  i Im f ( z) .
k 0
k
k 0
k
k 0
k
Ряд называется равномерно сходящимся на D, если его частичные суммы
n
Sn ( z )   f k ( z ) равномерно сходятся на D к некоторой функции S(z), т. е.
k 0
  0N n  N z  D :| S n ( z )  S ( z ) |  .
Критерий Кош равномерной сходимости: Для равномерной сходимости
ряда необходимо и достаточно выполнения условия Коши
nm
  0N n  N m, m  0z  D :|  f k ( z ) |  .
k n
9
Следствие (Необходимое условие сходимости). Если ряд

 f ( z)
k
k 0
сходится в точке z , то общий член этого ряда f k ( z ) стремится к нулю в
этой точке.
Аналогичное утверждение можно сформулировать для равномерной
сходимости:
Если ряд

 f ( z) равномерно сходится на D ,
k 0
k
то общий член этого ряда
f k ( z ) равномерно стремится к нулю на D.
Достаточный признак Вейерштрасса:
Если | f k ( z ) |  k , z  D и числовой вещественный ряд
то ряд


k 0
k
сходится,

 f ( z) сходится на D равномерно.
k 0
k
Полезная теорема. Сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных
функций (равномерная сходимость на компакте), есть функция непрерывная.
§6 Степенные ряды
1. Основные свойства степенных рядов.
Напоминание: Признаки Даламбера и Коши для положительных рядов

(вещественных)
a ,a
k 0
k
k
0 .

Даламбер: Если для положительного ряда
a ,a
k
k 0
k
 0 существует
an1
 q , то при q < 1, ряд сходится, при q > 1, расходится.
n a
n
предел lim
Определение верхнего предела lim bn  limsup bk .
n
n k n

Коши: Если для положительного ряда
a ,a
k
k 0
k
 0 существует предел
lim n an  q , то при q < 1, ряд сходится, при q > 1, расходится.
n

Комплексные степенные ряды:
c (z  z )
k 0
k
0
k
или

c z
k 0
k
k
(1)
Теорема 1 (Первая теорема Абеля ) Если ряд (1) сходится в точке z0  0,
то он сходится абсолютно в круге |z| < |z0|.
10
Рис. 1.13.
Доказательство: Ряд

c z
k 0
k
k 0
сходится, следовательно, согласно
необходимому условию сходимости ряда, будет выполнено ck z0k  0 , откуда
следует, что Bk :| ck z0k | B . Поэтому для общего члена ряда (1) можно
k
zk
z
 Bq k , q  1, при z  z0 . Таким
выписать оценку: ck z  c z k  B
z0
z0
образом, ряд из модулей исходного ряда мажорируется (оценивается сверху)
k
сходящимся рядом
k
k 0

 Bq
k 0
k
в каждой точке круга {| z || z0 |} .
Следствие 1. Для любого степенного ряда (1) существует число
R(0  R  ) такое, что при |z|<R ряд сходится, при |z|>R ряд расходится.
Это число называется радиусом сходимости степенного ряда. Круг {|z| < R}
называется кругом сходимости.

c z
Следствие 2. Радиус сходимости комплексного степенного ряда
k 0
совпадает с радиусом сходимости вещественного степенного ряда

| c
k
k 0
c z
k 0
| c
k 0
k
| xk .

Для этого утверждения необходимо сначала показать, что ряды

k
k
k
k
и
| z k имеют один и тот же радиус сходимости.
Действительно, пусть их круги сходимости имеют радиусы R1, R2. Во всех
точках |z|<R1 ряд

c z
k 0
k
k
сходится абсолютно и, следовательно, ряд

| c
k 0
k
| zk
тоже сходится абсолютно, т.к. модули общих членов этих рядов одинаковы. По
этой же причине справедливо обратное утверждение, во всех точках |z|<R2

будет сходится абсолютно не только ряд
 | ck | z k , но и ряд
k 0
11

c z
k 0
k
k
. После
этого можно рассмотреть ряды

 | ck | z k и
k 0

| c
k 0
k
| x k и показать, что они имеют
один и тот же радиус сходимости, используя первую теорему Абеля.
В частности, справедливо
Следствие 3. Комплексный ряд с вещественными коэффициентами
имеет тот же радиус сходимости, что и вещественный ряд с этими
коэффициентами.
Теорема 2 (Вторая теорема Абеля ) Если ряд

c z
имеет радиус
k
k
k 0
сходимости R, то он сходится равномерно в любом замкнутом круге радиуса r
< R.
Рис. 1.14.

Доказательство: По первой теореме Абеля ряд
c r
k
k
k 0
сходится, кроме
k
z
того ck z  ck r    ck r k для всех z: |z|  r. По признаку Вейерштрасса ряд
r
сходится равномерно на этом множестве.
k
k

Теорема (Коши, Адамар) Радиус сходимости ряда
c z
k 0
по формуле R 
k
k
определяется
1
1
1

,    ,0   .
0

lim n | cn | 
n
Согласно следствию 2 из первой теоремы Абеля, радиус сходимости
комплексного степенного ряда совпадает с радиусом сходимости

вещественного степенного ряда
| c
k 0
определяется по формуле
k
| x k , радиус сходимости которого
1
.
lim n | cn |
n
12
Примеры:

1)
2
k
z k , имеем cn = 0, если n  k2, cn = 2k, если n = k2. Поэтому
2
k 0
lim n |cn |  lim
n
lim
k 
k2
k 
k2
|ck2 |  lim
k 
|ck 2 | , так остальные коэффициенты при n  0,cn=0. Далее
k2
|2k |  lim k 2  1.
k 
2) Функция e , z  C . По определению полагаем

zk
e z   , по признаку Даламбера радиус сходимости такого ряда будет
k 0 k !
равен R = . То же самое можно установить, используя следствие 2 из первой
теоремы Абеля .
3) Функция sin z , z  C . По определению полагаем

z 2 k 1
sin z   (1) k
, рассматривая соответствующий вещественный
(2
k

1)!
k 0
ряд и используя следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = . Из
определения следует, что sin (-z) = - sin z.
4) Функция cos z , z  C . По определению полагаем
2k

k z
cos z   (1)
, рассматривая соответствующий вещественный ряд
(2k )!
k 0
и, используя следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = . Из
определения следует, что cos (-z) = cos z.
5) Функция sh z , z  C . По определению полагаем

z 2 k 1
sh z  
, рассматривая соответствующий вещественный ряд и,
k 0 (2k  1)!
используя следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = .
6) Функция ch z , z  C . По определению полагаем

z 2k
ch z  
, рассматривая соответствующий вещественный ряд и,
k  0 (2 k )!
используя следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = .
2. Свойства экспоненциальной и основных тригонометрических функций.
a) eiz  cos z  i sin z , действительно
 k k
 2k 2k
 2 k 1 2 k 1


i z
i z
i z
(1)k z 2 k
(1)k z 2 k 1
iz
e 



 i
 cos z  i sin z .
2k !
k 0 k !
k 0 2k !
k 0 (2 k  1)!
k 0
k 0 (2 k  1)!
Следствие:
eiz  eiz
eiz  eiz
c) cos z 
.
,sin z 
2
2i
e y  e y
| sh y |  при y . Синус (и косинус) по
Пример: | sin(iy ) |
2i
модулю может быть больше единицы в комплексной области.
z
13
d) eu+v=eu ev

ul  vm 
u v
e e   
l 0 l ! m 0 m!
l 0

ul vm 
ul vm  1
k! l m
 
 
uv 

m 0 l ! m!
k 0 m l  k l ! m!
k 0 k !m l k l !m!

1
(u  v) k  eu v
k 0 k !
e) e z 2  i  e z e2  i  e z , таким образом 2 i является периодом, откуда
следует, что sin и cos имеют период 2 и в комплексной области.
f) Из c) и d) следует, что sin2 z + cos2 z = 1 (непосредственная проверка).
g) sin iz = i sh z, cos iz = ch z, ch2z – sh2z = 1. Доказывается, используя
формулы Эйлера.

Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения.
§1 Аналитические функции
1. Дифференцируемость. Условия Коши-Римана, моногенность.
Пусть f(z) – однозначная функция в области D C, z0  D . Обозначения:
w  f ( z )  u( x, y)  iv( x, y), z  x  iy, z  x  iy, w  f  u  iv .
Определение. Функция f(z) называется моногенной в точке z0  C , если
f ( z )  f ( z0 )
существует конечный предел lim
 f '( z0 ) , который называется
z  z0
z  z0
производной в точке. В этом случае говорят также, что функция
дифференцируема в смысле комплексного анализа.
Замечание: Для существования f(z0) необходимо и достаточно, чтобы в
некоторой проколотой окрестности точки z0 имело место представление
f  Az  ( z )z  Az  o(z ), ( z ) - бесконечно малая при z→z0 . (A =
f(z0)). Это условие можно записать в виде: w  Az  o(| z |) , так как
z
и поэтому o(z )  o(| z |) .
z | z |
| z |
Теорема (Условие моногенности). Для того, чтобы однозначная функция
f(z) = u(x,y) + i v(x,y) была моногенной в точке z0 необходимо, а в случае
дифференцируемости u, v и достаточно, выполнения условий Коши-Римана
u v u
v
 ,
 .
x y y
x
Необходимость: При вычислении предела возьмём z = x, тогда f(z0) =
1
1
ux +ivx. Если брать z = iy, то f '( z0 )  u y  i v y  v y  iu y . Сравнивая, получим
i
i
требуемые соотношения.
Достаточность: В силу дифференцируемости
14
f  u  iv  u x x  u y y  o(| z |)  i (vx x  v y y )  io(| z |) 
 (u x  ivx )x  (u y  iv y )y  o(z ).
f  (ux  ivx )x  (u y  ivy )y  o(z ).
Используя условия Коши-Римана, получаем
1

f  (u x  ivx )x   u y  v y  iy  o(z ) 
i

(1)
 (u x  ivx )x   ivx  u x  iy  o(z )  (u x  ivx )(x  iy )  o(z ) 
 Az  o(z ).
Замечание 1. Если функции u, v дифференцируемы, то
f
f
f  z   z  o(z ) .
z
z
Действительно, в случае дифференцируемости u, v имеет место
равенство (1)
f  (ux  ivx )x   u y  iv y  y  o(z )
f
f
z  z . Действительно:
z
z
zz
zz
z   z
z  z
zz zz 
zz zz
x
,y
, x 
, y 
, f  u
,
,
  iv 
2
2i
2
2i
2i 
2i
 2
 2
поэтому
f 1
1
1  1
1
 u x  u y  i  v x  v y    u x  v y  i (v x  u y )  ,
z 2
2i
2i  2
2
Покажем, что (u x  ivx )x   u y  iv y  y 

,

f 1
1
1  1
1
 u x  u y  i  v x  v y    u x  v y  i (v x  u y )  ,
2i
2i  2
z 2
2
f
f
1
z   z   u x  v y  i (vx  u y )  (x  iy )   u x  v y  i (vx  u y )  (x  iy ) 
z
2
z
 (u x  ivx )x  (u y  iv y )y.
Замечание 2. Выполнение равенства f 
f
f
z   z  o(z ) и условий Кошиz
z
f
 0.
z
Замечание 3*. Условия Коши-Римана в полярных координатах
f  u( x, y)  iv( x, y)  u(r cos , r sin )  iv(r cos , r sin )  U (r , )  iV (r , ).
(CR)
rU r  V  0, rVr  U   0.
Действительно:
U r  u x cos   u y sin ,U   ru x sin   ru y cos ,
Римана эквивалентно равенству
Vr  vx cos   v y sin ,V  rvx sin   rv y cos .
15
Далее
rU r  ru x cos   ru y sin  
 . Решая эту систему, получим:
U   ru x sin   ru y cos 
rux  rU r cos   U  sin , ru y  rU r sin   U  cos . Аналогично
rVr  rvx cos   rv y sin  
,
V  rvx sin   rv y cos 
откуда следует
rvx  rVr cos   V sin , rv y  rVr sin   V cos .
Тогда rU r  V  r cos (ux  v y )  r sin (u y  vx )  0 и
rVr  U   r cos (vx  u y )  r sin (vy  ux )  0 .
Замечание. Так как z | z | ei , то в случае дифференцируемости u, v,
f f f i 2 o(z ) f f i 2

 e 

 e  o(1).
z z  z
z
z  z
f
f
Таким образом, lim
зависит от направления  , если
 0 , и,
z  z0 z
z
f
наоборот, для моногенной функции (в этом случае
 0 ) этот предел не
z
зависит от направления стремления z  z0 .
2.Голоморфные функции. Аналитичность.
Однозначная функция w=f(z) комплексного переменного, моногенная в
некоторой окрестности точки z0 , называется аналитичной в точке z0.
Функция называется голоморфной в области D, если она аналитична в
каждой точке области D. В этом случае говорят об аналитичности в области.
Вместо слова моногенность употребляют выражение
дифференцируемость в смысле комплексного анализа, или просто
дифференцируемость.
Так же, как для пределов действительных функций и производных
действительных функций доказываются обычные свойства пределов и правил
дифференцирования. Например, имеют место следующие свойства:
1)
сумма двух аналитичных в точке функций будет аналитичной
функцией в этой точке и (f(z) + g(z))=f (z)+g(z)
2)
Произведение и частное двух аналитичных в точке функций будет
аналитичной функцией в этой точке и
d  f ( z )  g ( z ) f '( z )  f ( z ) g '( z )
( f ( z ) g ( z ))'  f '( z ) g ( z )  f ( z ) g '( z ), 
.

dz  g ( z ) 
g 2 ( z)
В последнем случае, предполагается, что g ( z )  0 .
3)
Таблица производных аналитических функций выглядит так же, как
и для действительных функций.
16
k 1
Пример: ( z k )'  kz k 1 . Отметим, что z k  z0k  ( z  z0 ) z0m z k 1m .
m 0
Действительно,
k 1
k 1
k 1
k 1
k
m 0
m 0
m 0
m 0
p 1
( z  z0 ) z0m z k 1m   z0m z k m   z0m1 z k 1m   z0m z k m   z0p z k  p 
 z k  z0k .
Поэтому
k 1
k 1
z k  z0k
lim
 lim  z0m z k 1m   z0m z0k 1m  kz0k 1 .
z  z0 z  z
z  z0
m 0
m 0
0
n
Многочлен: P( z )   ak z k , рациональная функция и дробноk 0
n
a z
k
b z
k
рациональная функция: Q( z )  k m 0
k 0
k
аналитичны всюду, где они определены.
k
4)
Сложная функция. Пусть w  g (),   f ( z ), g  аналитична и
однозначна в  , а f аналитична в D и осуществляет однозначное отображение D
в  , тогда суперпозиция w=g(f(z)) аналитична в D. Справедливо обычное
правило дифференцирования сложной функции
d
g ( f ( z ))  g '( f ( z )) f '( z ) .
dz
5)
Теорема. Сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри
круга сходимости и в этом круге ряд можно почленно дифференцировать.
n

k 0
k 1
Доказательство: Обозначим Sn ( z )   ck z k , g ( z )   kck z k 1 . Радиус

сходимости ряда
 kc z
k 1


k 1
k
совпадает с радиусом сходимости исходного ряда
1 
ck z , так как  kck z   kck z k , k | k |  1 .

z k 1
k 0
k 1
Пусть r | z0 | , выберем  , удовлетворяющее условию r    R , где R k
k 1
радиус сходимости рядов


k 0
k 1
 ck z k ,  kck z k 1 . Рассмотрим круг K с центром в z0 и
радиуса   r . Для z  K будет | z |  .
17
Рис. 2.1.
Степенной ряд

 kc z
k 1
k 1
сходится абсолютно при z   , поэтому для
k

| k 1  .
3
k  N 1
Для этого N выбираем     r так, чтобы при | z  z0 |  выполнялось
неравенство
S N ( z )  S N ( z0 )

 S N '( z0 )  ,
( z  z0 )
3
тогда при | z  z0 |  будет выполнено неравенство

 k |c
заданного   0 существует  такое, что
k
f ( z )  f ( z0 )
 g ( z0 )   . Действительно, имеем
z  z0
N
N
c z  c z
k
f ( z )  f ( z0 )
 g ( z0 ) 
z  z0



k  N 1
ck z k 
k 0
k
k
k 0
k 0
z  z0
N
  kck z0 k 1 
k 1

cz
k  N 1
z  z0
k
k 0


 kc z
k  N 1
k 0
k 1


( z k  z0k )

  ck
  kck z0 k 1  
z  z0
3
k  N 1
k  N 1

S N ( z )  S N ( z0 )
 S N '( z0 ) 
z  z0
 k 1 k m1 m  
z
z0   
 ck  
k  N 1
m 0
 3


2
 k 1 k 1  2
|
c
|




| ck | kk 1    .


k 
 3
3
k  N 1
k  N 1
 m 0

Следствие 1. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в круге
сходимости любое число раз.


18
de z
Пример: Доказать, что
 e z . Дифференцируем почленно
dz
z


de
d  zk
z k 1
zm z
  

e .
dz dz k 0 k ! k 1 (k  1)! m0 m!
Пример: Доказать, что (sin z )'  cos z,(cos z )'   sin z . Использовать
формулы Эйлера. Например, для sin z :
d  eiz  e iz  1 iz
 iz
(sin z )'  
   ie  ie   cos z .
dz  2i  2i

c (z  z )
Следствие 2. Если степенной ряд
k 0
(k )

k 0
сходится в круге
k
0
f
( z0 )
, k  0,1,...
k!
Доказательство: Дифференцировать p раз

dp 
( p)
k
f ( z )  p  ck ( z  z0 )   k (k  1)...(k  p  1)ck ( z  z0 ) k  p
dx k 0
k p
и подставить z=z0.
Определение. Если f(z) имеет производные любого порядка, то ряд
(k )
f ( z0 )
( z  z0 ) k называется рядом Тейлора функции f(z).
k!
| z  z0 | R, R  0 к функции f(z), то ck 

k
Как это видно из Следствия 2, ряд

c (z  z )
k 0
k
0
k
является рядом Тейлора
своей суммы. Из следствия 2 также следует теорема единственности
разложения в степенной ряд:
Теорема. Если два ряда

 ak ( z  z0 )k и
k 0

b (z  z )
k 0
k
0
k
совпадают в круге
| z  z0 | R, R  0 , то ak=bk.
Определение. Функция f(z) называется регулярной в точке z0 , если она
определена в окрестности точки z0 и в некоторой окрестности этой точки

f ( z )   ck ( z  z0 ) k
k 0
Функция называется регулярной в области, если она регулярна в каждой
точке этой области.
3.Гармонические функции. Сопряженные функции.
Функция u ( x, y ) называется гармонической в области D, если она имеет
непрерывные частные производные до второго порядка включительно и
удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа
 2u  2u
u  2  2  0 .
x
y
19
Две гармонические функции u, v называются сопряженными, если они
связаны между собой условиями Коши-Римана.
Теорема. Если u гармоническая функция в связной области D , то для нее
существует семейство сопряженных функций, определяемых по формуле
( x, y )
 u
u 
v( x, y )     dx  dy  .
y
x 
( x0 , y0 ) 
Эти функции отличаются на аддитивную постоянную, зависящую от
выбора начальной точки ( x0 , y0 ).
Доказательство . Из условия гармоничности функции u следует, что
 u u 
поле V  ( P, Q)    ,  потенциальное, тогда его потенциал v находится по
 y x 
 u
u 
  y dx  x dy  . Так как grad v   P, Q  , то

( x0 , y0 ) 
v
u v
u
 P   ,  Q  , следовательно функция v( x, y) является
x
y y
x
сопряженной к функции u( x, y). Что и требовалось доказать.
Замечание. Если функция f(z) аналитическая в области D , то ее
действительная и мнимая части будут сопряженными гармоническими
функциями. И, наоборот, по двум сопряженным функциям u, v
восстанавливается аналитическая функция f  u  iv .
Эти утверждения непосредственно следуют из теоремы об условиях
моногенности.
( x, y )
формуле v( x, y ) 

§2 Конформные отображения
1.
Существование обратной функции для аналитической функции в
окрестности точки
Пусть f(z) = u(x,y) +iv(x,y) аналитична в точке z0 и f(z0)0
u  u ( x, y )
w=f(z): w  f ( z ) : 
.
v

v
(
x
,
y
)

Якобиан
D(u, v) u x

D ( x, y ) v x
uy
 u x v y  u y vx  u x2  vx2 | f '( z ) |2  0 в окрестности
vy
точки z0. Следовательно, | f '( z0 ) |2 имеет смысл коэффициента искажения
площади в точке z0 при отображении w  f ( z ) и существует обратная функция
в некоторой окрестности точки w0  f ( z0 ), z  f 1 (w) , причём
z
1
df 1 ( w)
1

,

.
w w
dw w df ( z )
0
z
dz z0
20
2.
Геометрический смысл аргумента производной.
Пусть  -гладкая кривая Жордана,
 : z (t )  x(t )  iy (t ), t [, ], z '(t )  0, t0  (, ) .Обозначим  образ кривой  при
отображении f. Предположим, что f(z) аналитическая в точке z0 функция и
f '( z0 )  0 .
Имеем  : w(t )  f [ z (t )], w '(t0 )  f '( z0 ) z '(t0 ) . Так как при умножении
комплексных чисел аргументы складываются, то
Arg f '( z0 )  arg w '(t0 )  arg z '(t0 ).
Если arg z '(t0 )  ,arg w '(t0 )   - главные значения аргументов,
Arg f '( z0 )     - угол поворота кривой в точке z0 при отображении w = f(z),
определяемый с точностью до 2k . Как видим, этот угол не зависит от выбора
кривой, проходящей через данную точку.
Рис. 2.2.
В частности, если в плоскости z пересекаются две кривые z1 (t ), z2 (t ) ,
имеющие в точке пересечения главные значения аргументов 1 , 2 , а их образы
при отображении w=f(z), соответственно, углы 1 ,  2 , то мы получим
 2  2  arg f '( z0 )  2k2 , 1  1  arg f '( z0 )  2k1 , откуда, вычитая одно
равенство из другого, получим  2  1  2(k2  k1 )  2  1 . Полученное
равенство позволяет сформулировать следующее
Следствие. При сделанных предположениях (аналитичность в точке и
неравенство нулю производной ) углы при отображении сохраняются. Кроме
того, сохраняется «порядок обхода». Например, если поворот от касательной к
первой кривой в точке пересечения к касательной второй кривой в плоскости z
происходит против часовой стрелки, то тоже самое будет наблюдаться и в
плоскости w между образами этих кривых.
Пример: w  z 2 . Обратить внимание на сохранение углов и направлений
поворота (9 точек пересечений)
pic2_3
3.
Геометрический смысл модуля производной.
z  x  iy, w  u  iv,
| dz | x '2 (t0 )  y '2 (t0 )dt  ds,| dw | u '2 (t0 )  v '2 (t0 ) dt  dS ,
dw  f '( z0 )dz.
21
dS
| f '( z0 ) | -коэффициент линейного растяжения кривой
ds
в точке при заданном отображении.
Коэффициент растяжения кривой в точке, не зависит от кривой,
проходящей через эту точку. Это коэффициент равен |f(z0)|. Это свойство
называется свойством сохранения масштаба в точке z0. Как уже отмечалось,
| f '( z0 ) |2 является коэффициентом растяжения площади в точке z0 при этом
отображении.
Пример: Обратить внимание на изменение площади при отображении
w  z 2 в окрестности точки z0  1 . Линейные размеры увеличиваются
приблизительно в 2 раза ( w '  2 z z 1  2 ). Площадь в 4 раза.
pic2_4
4.
Конформные отображения.
Определение (Конформность в C). Непрерывное, взаимнооднозначное
отображение w=f(z) области D на область D* называется конформным, если
в каждой точке D имеет место
1) свойство сохранения углов
2) сохранение масштабов
в перечисленном выше смысле.
Как мы видели, если f(z) аналитична в точке z0 и f(z0), то отображение
w=f(z) конформно в некоторой окрестности точки z0.
Определение. Если две кривые z1 (t ), z2 (t ) пересекаются в бесконечности,
например, при t  , lim z1 (t )  lim z2 (t )   , то углом между кривыми в
Таким образом,
t 
t 
бесконечности называется угол в 0 между образами этих кривых при
1
1
1
отображении w  , то есть между кривыми w1 (t ) 
, w2 (t ) 
,t   в
z1 (t )
z2 (t )
z
точке w0  0 .
Аналогично, определяется понятие «изменение линейных размеров
кривой» в бесконечности. Именно, если z (t ),lim z(t )   , то в точке
t t0
w0   изменение линейных размеров определяется по образу кривой
1
w(t ) 
, t  t0 . И в том и в другом случае  предварительно переводится в 0
z (t )
1
отображением w  . С учетом этих определений дается определение
z
конформности в C .
Определение (Конформность в расширенной комплексной плоскости C ).
Непрерывное, взаимно однозначное отображение w=f(z) области D на область
D* в C называется конформным, если в каждой точке D имеет место
1) свойство сохранения углов
2) сохранение масштабов
22
Если требуется исследовать вопрос об угле или коэффициенте
растяжения кривой z (t ) при t   , то эту задачу можно решить, рассматривая
1
кривую Z ()  z   в точке   0 . При решении задач об изменении углов и

масштабов в  при отображении w  f ( z ) можно руководствоваться следующей
таблицей
Решение задач с преобразованием углов и масштабов при
отображении w=f(z)
Задача
Решение
1. z0  , f ( z0 )  
См. f '( z0 )
1
См. w1  f   в точке w0 0
 w
1
См. w1 
в точке z0
f ( z)
1
См. w1 
в точке w0 0
1
f 
 w
2. z0  , f ( z0 )  
3. z0  , f ( z0 )  
4. z0  , f ( z0 )  
Пример 1. Исследовать на конформность функцию w 
z 1
в
z i
расширенной комплексной области.
Решение. В точках отличных от i и  конформность следует из
существования производной и не равенства её нулю
dw ( z  i)  ( z  1)
1 i
.


dz
( z  i)2
( z  i)2
В точке z=i значение функции w=, поэтому для исследования в этой
1 z i
точке нужно рассмотреть функцию w1  
в точке z=i, (см. таблицу п. 3
w z 1
). Конформность следует из существования производной и не равенства её
dw1 ( z  1)  ( z  i )
i  1 dw1


,
 0.
нулю при z  i ,
dz
( z  1) 2
( z  1) 2 dz z i
В точке z= значение функции w=1, поэтому для исследования на
конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести
1
предварительно в 0 ( с помощью замены переменного z  ). Таким образом,

1
1
1 


для исследования берётся функция w 
в точке 0, которая в этой
1
1

i

i

23
точке имеет производную, отличную от нуля,
dw (1  i)  i(1  )
i  1 dw


,
 0.
2
d
(1  i)
(1  i )2 d  0
Пример 2. Исследовать на конформность в точке z= функцию w=i z - 2.
Решение. Во всех точках z производная существует и не равна нулю.
При z= , w=, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две
1
1
замены: z  , и   . В итоге, для исследования на конформность имеем
w

1


функцию w 
в окрестности точки   0 . Эта функция в точке
1
i

2

i 2

  0 имеет производную не равную нулю,
dw (1  2)  2
1
dw


,
0 .
d
(1  2)2
(1  2)2 d  0
Пример 3: Докажем непосредственно свойство сохранения углов в т. 2i
при отображении w 
2z
.
z  2i
Пусть z1 (t ) и z2 (t ) выходят из точки 2i. Для первой кривой t  [1 , 1 ] , для
второй t  [ 2 , 2 ] . Кроме того z1 (1 )  2i, z2 ( 2 )  2i. Точка 2i переходит в
бесконечность, поэтому будем искать углы между кривыми
1
2 z1 (t )
1
2 z2 (t )
и w(t ) 
в точках 1 ,  2 ,
w(t ) 
, w1 (t ) 
, w2 (t ) 
w1 (t )
z1 (t )  2i
w2 (t )
z2 (t )  2i
соответственно. Для этих кривых имеем
1 d  zk  2i  1 zk ' zk  zk '( zk  2i ) izk '
i
w' 
 2
  zk ' , поэтому угол между


2
2 dt  zk  2
zk
zk z  2 i
4
k
образами wk в бесконечности будет равен:
 i 
 i 
 i
arg   z2 '   arg   z1 '   arg     arg  z2 '  
 4 
 4 
 4
 i
 arg     arg  z1 '  arg  z2 '   arg  z1 ' 
 4
Некоторые свойства конформных отображений ( без доказательства )
Свойство сохранения области. Если f(z) аналитична и однолистна
(взаимнооднозначна) в области D, то f(z)0 в D и f(z) конформно отображает D
на D* . Кроме того, f -1(w) аналитична в D*, где D* образ D при отображении
f(z).
Свойство сохранения границ. Пусть D и D* две области, ограниченные
замкнутыми кривыми Жордана D и D * . Если f(z) отображает D на D*
24
конформно, то она отображает D  D D на D*  D * D *
взаимнооднозначно и взаимно непрерывно с сохранением направления обхода
границы.
Свойство взаимнооднозначного соответствия. Пусть D и D* две
односвязные области, ограниченные замкнутыми кусочно-гладкими кривыми
Жордана D и D * . Если аналитическая в D функция взаимнооднозначно и
непрерывно отображает D на D * с сохранением обхода, то эта функция
конформно отображает D на D*.
Теорема ( Риман ). Если граница односвязной области D  C состоит
более, чем из одной точки, то существует аналитическая функция, конформно
отображающая D на внутренность круга |z|<1, причём эта функция
единственна, если задать условия нормировки ( например, перевести заданную
точку z0 с заданным направление в заданную точку w0 с заданным
направлением.
Глава 3. Примеры конформных отображений
§1 Дробно линейное отображение
1. Линейная функция.
w  az  b, a  0.
Можно представить, как суперпозицию отображений:
w1 | a | z, w2  ei arg a w1, w  w2  b. Взаимнооднозначно и конформно отображает
C z на Cw . Первое из этих отображений представляет собой растяжение в |a| раз,
второе - поворот плоскости на угол arg a, третье – сдвиг.
Определение. Окружностью в С будем называть обычные окружности,
либо прямые.
Такие обобщенные окружности можно описать уравнением
A( x 2  y 2 )  Bx  Cy  E  0, A  0,
.
A2  B 2  C 2  0, B 2  C 2  E 2  0, B 2  C 2  4 AE.
Указанные условия на коэффициенты A, B, C, E можно получить, если
привести уравнение этой кривой к каноническому виду: для случая A  0
2
2
B 
C  B 2  C 2  4 AE


. В случае A  0
получим окружность A  x 
  A x 
 
2A 
2A 
4A


получается прямая Bx  Cy  E  0.
zz
zz
, получим эквивалентную форму
,y
2
2i
представления окружности
 B  iC   B  iC 
Az z  
z 
 z  E  0 или Az z  Fz  F z  E  0 . Ограничения на
 2   2 
Подставляя x 
25
коэффициенты будет выглядеть так: A2  | F |2  0, F |2  E 2  0,| F |2  4 AE , где A
и E вещественные, A  0 .
Круговое свойство. Линейная функция сохраняет окружности.
Действительно, линейная функция представляет собой суперпозицию
трех отображений: растяжение, поворот, сдвиг. Не очевидным является только
свойство сохранения окружностей при растяжении. Если в уравнение
w
окружности Az z  Fz  F z  E  0 подставить z 
, то получим:
|a|
ww
w
w
A 2 F
F
 E  0 или A ' ww  F 'w  F ' w  E  0 , выполнение условий
|a|
|a|
|a|
на коэффициенты легко проверяется A '2  | F |2  0, E 2  | F |2  0 и так далее, т. е.
снова получаем уравнение окружности. Свойство сохранять обобщенные
окружности называется круговым свойством.
2. Преобразование инверсии.
Определение. Точки z, z* называются симметричными относительно
окружности  на C, если они лежат на луче, выходящем из центра окружности
и произведение расстояний от этих точек до центра равно квадрату радиуса. Из
условий | z *  z0 || z  z0 | R 2 ,arg( z  z0 )  arg( z *  z0 ) следует равенство,
связывающее симметричные точки относительно окружности с центром в z0 и
радиуса R
R2
R2
или z*  z0 
.
z *  z0 
z  z0
z  z0
Способ построения симметричных точек виден из рисунка.
Рис. 3.1.
pic3_1
Через точку z проводится луч из центра окружности z 0 . Из точки z
восстанавливается перпендикуляр к лучу z0 z , из точки пересечения
перпендикуляра с окружностью проводится касательная до пересечения с
лучом z0 z в точке z * . Симметрия точек z и z * следует из подобия двух
| z  z0 |
R
прямоугольных треугольников:
.

R
| z *  z0 |
Теорема. Для того, чтобы точки z , z* были симметричны относительно
, необходимо и достаточно, чтобы любая обобщенная окружность  из С ,
проходящая через эти точки, была ортогональна  .
26
Доказательство. Отметим известное свойство касательных и секущих к
окружности:
квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Рис. 3.2.
Необходимость. Дано: z , z* симметричны относительно  . Если  прямая, проходящая через z , z* , то  и  ортогональны. Пусть  - некоторая
обычная окружность, проходящая через симметричные точки. Проведем одну
из касательных к окружности  из точки z0 и обозначим точку касания  .
Рисунок иллюстрирует это построение.
Рис. 3.3.
Если точки симметричны, то по сформулированному свойству секущей,
2
квадрат касательной z0   будет равен | z  z0 || z *  z0 | R 2 , то есть точка 
должна лежать на окружности  . Следовательно отрезок соединяющий z0 и  ,
с одной стороны будет радиусом к  , а с другой стороны касательной к  , что
означает ортогональность этих окружностей (точка  должна быть точкой
пересечения  и  ).
Достаточность. Любая обобщенная окружность  , проходящая через z ,
z* ортогональна . Беря в качестве  прямую получим, что точки z, z* лежат на
луче, выходящем из центра z 0 .
27
Рис. 3.4.
Проведем какую-нибудь обычную окружность  через точки z, z* .
Обозначим любую из точек пересечения окружностей ,  через  .
Рис. 3.5.
Так как окружности ортогональны, то отрезок z0 будет касательной для
 и радиусом для  . По упомянутому свойству касательной, получим
равенство | z  z0 || z *  z0 | R 2 , следовательно, точки z0 , z* симметричны
относительно  .
Пример: Инверсия области D  {z  x  iy : ( x, y) [0.5,2]  [2,2]}
относительно единичной окружности
pic3_6
Доказанная теорема позволяет сформулировать эквивалентное
определение симметричных точек для расширенной комплексной плоскости.
Определение. Точки z, z* называются симметричными относительно
обобщенной окружности  на С , если любая обобщенная окружность,
проходящая через эти точки, ортогональна к  .
Если обобщенная окружность  является прямой, то симметрия точек
относительно этой прямой совпадает с симметрией относительно прямой в
обычном смысле.
Определение. Отображение z  z *, переводящее точку z  C в
симметричную z * относительно  , называется симметрией относительно
28
окружности или инверсией. При этом мы считаем, что центр переходит в  ,
а  в центр окружности.
1
3. Отображение w  .
z
Это отображение обладает круговым свойством. Другими словами,
образом обычной окружности или прямой может быть только обычная
окружность или прямая. Действительно, пусть дана окружность в
1
1
С : C :Az z  Fz  F z  E  0 , подставим в это уравнение z  , z  , получим
w
w
1
1
1
A
 F  F  E  0 или A  F w  Fw  Eww  0 или
w
ww
w
A  Gw  Gw  Eww  0 , с теми же условиями на коэффициенты
A2  | G |2  0, E 2  | G |2  0 и т.д. (условие E  0 , при необходимости, можно
обеспечить умножением уравнения на -1).
1
Отображение w  является конформным на расширенной комплексной
z
плоскости ( легко проверить в 0 и в бесконечности ).
R2
Следствие. Симметрия z*  z0 
может быть реализована как
z  z0
суперпозиция пяти отображений: сдвиг: w1  z  z0 , операция сопряжения:
1
w2  w1 , обратная: w3 
, растяжение: w4  R 2 w3 , сдвиг: w5  z0  w4 и
w2
поэтому сохраняет окружности и антиконформна. Под антиконформностью
понимается то, что направление поворота от одной кривой к другой в точке
пересечения меняется при отображении на противоположное.
1

Примеры - иллюстрации: w  , D : 0.1 | z | 1,0  arg z  .
z
2
pic3_7
1
, D : 0 | z | 1,0  arg z  2.
z2
pic3_8
4. Дробно линейная функция.
w
a b
az  b
. Матрица 

cz  d
c d
называется матрицей дробно линейного отображения. Обычно, мы будем
a b
 0 и c  0 . Дробно
предполагать, что эта матрица не вырождена
c d
линейной отображение не изменится, если матрицу «пронормировать», т. е.
Дробно линейным называется отображение w 
29
a
ad
(
cz

d
)

a b
az  b c
c  a  ad 1
 1 . Это отображение

считать, что
c d
cz  d
cz  d
c c cz  d
можно представить в виде суперпозиции простейших отображений:
1
w1  cz  d , w2  , w3  Aw2  B .
w1
Из предыдущих свойств следует, что дробно линейное отображение
является конформным на расширенной комплексной плоскости и обладает
круговым свойством.
Теорема. Свойство сохранения симметричных точек. Дробно линейное
отображение L переводит любые точки z, z* , симметричные относительно
окружности  на С , в точки w, w* , симметричные относительно образа
L() этой окружности.
Доказательство. Если z, z* симметричны относительно  , то это
означает, что все «окружности»  , проходящие через z, z* , ортогональны  .
Так как отображение L сохраняет углы и окружности, то любая окружность,
проходящая через w, w* , будучи образом некоторой  , будет ортогональна
L() , что означает симметрию.
Свойства дробно линейных отображений
1) Дробно линейная функция взаимнооднозначно и конформно
отображает всю расширенную комплексную плоскость z на всю расширенную
комплексную плоскость w. Обратное отображение так же дробно линейно.
az  b
Взамнооднозначность. Разрешим уравнение w 
относительно z .
cz  d
dw  b
. При этом z   переходит в
w(cz  d )  az  b, dw  b  (a  cw) z , z 
cw  a
a
d
переходит в w   . Если матрица отображения
w ,а z 
c
c
нормирована, то нормирована и матрица обратного отображения и они взаимно
обратны.
a(cz  d )  c(az  b) ad  cb
Конформность. Производная w ' 

 0 во
(cz  d )2
(cz  d )2
d
всех конечных точках, если z   . Для проверки конформности в точке
c
d
1 cz  d
, производная которой
z   рассматривается функция 
c
w az  b
d  1  c(az  b)  a(cz  d ) cb  ad
d

 0 в точке z   . Для проверки
 
2
2
dz  w 
(az  b)
(az  b)
c
30
1
a b
1
a  b


конформности в точке z   рассматривается функция w   
   c 1  d c  d

d  1  b(c  d )  d (a  b) bc  ad
в точке   0 . Производная
w


0 в
d    
(c  d  ) 2
(c  d  ) 2
точке   0 .
2) Суперпозиция двух дробно линейных отображений есть дробно
линейное отображение.
Матрицы этих отображений при суперпозиции перемножаются: если
a z  a12
b   b12
c   c12
, тогда
w  L( z )  11
, z  M ()  11
, w  L( M ())  11
a21 z  a22
b21  b22
c21  c22
cij  aij
bij . Проверяется непосредственно.
3) Круговое свойство и сохранение симметрии. Произвольное дробно
линейное отображение L обладает круговым свойством и переводит любые
точки z, z* , симметричные относительно какой-нибудь окружности  на С , в
точки w, w* , симметричные относительно образа   L(  ) этой окружности.
4) Каковы бы ни были три различные точки z1 , z2 , z3  C и три различные
точки w1 , w2 , w3  C , существует единственное дробно линейное отображение L
такое, что L( zk )  wk , k  1,2,3.
Доказательство. Рассмотрим отображение   L 1 ( z ) , переводящее точки
z1 , z2 , z3 в 0, ,1 ,
z  z1 z3  z2
L1 :  
, z1  0, z2  , z3  1 . Аналогично, отображение
z  z2 z3  z1
  L 2 ( w)
w  w1 w3  w2
, будет переводить w1  0, w2  , w3  1. Тогда
L2 :  
w  w2 w3  w1
отображение w  L( z )  L21 ( L1 ( z ))  L21 L1 будет искомым : L( zk )  wk , k  1,2,3.
Рис. 3.8
Для доказательства единственности, докажем лемму.
Лемма. Если дробно линейное отображение переводит точки 00,
 , то оно тождественное.
31
az  b
. Из 0  0  b  0 , ( при этом можно
cz  d
считать, что a=1 ) таким образом, отображение должно иметь вид
z
z
w
,     c  0, w  ,1  1  w  z.
cz  d
d
Докажем единственность. Предположим, что ещё одна дробно линейная
функция w=f(z) обладает этим свойством. Тогда g  L2 f L11 оставляет на
Доказательство. Пусть w 
месте 0,,1. Такое отображение является тождественным I  L2 f L11 , откуда
следует, что f  L21 L1  L .
5) Непосредственной проверкой можно убедиться, что
w1  w3 w1  w4 z1  z3 z1  z4
:

:
, wk  L( zk ) .
w2  w3 w2  w4 z2  z3 z2  z4
Пример. Найти образы обобщенных окружностей 1 ,  2 ,  3 :| z  i | 1 ,
z i
вещественная и мнимая оси при отображении w 
.
zi
Рис. 3.9.
Замечание. Обобщенная окружность является прямой только тогда,
когда она проходит через точку  , в противном случае она является обычной
окружностью.
В  отображается точка  i , которая принадлежит “окружности” 1 . Это
значит, что только 1 * является прямой, а  2 *,  3 * будут обычными
окружностями. Для того, чтобы нарисовать прямую 1 * возьмем любые две
симметричные относительно “окружности” 1 точки z1 , z2 , например, -1, 1. Эти
точки перейдут в симметричные точки z1*, z2 * относительно 1 * . Подставляя
z i
значения -1, 1 в w 
найдем образы этих точек i, i .
zi
32
Рис. 3.10.
Рисуем прямую 1 * , для которой эти точки являются симметричными
Рис. 3.11.
Для изображения окружностей  2 *,  3 * нужно найти их центры и точки,
через которые они будут проходить. Для нахождения центра окружности  2 *
найдем точку симметричную  .
Рис. 3.12.
Центром окружности  2 * будет точка 0 . Так как все три кривые
пересекаются в 0, а 0 переходит в -1, то  2 * будет окружностью радиуса 1.
Рис. 3.13.
Тоже самое для окружности  3 * . Находим, кто симметричен прообразу
.
Рис. 3.14.
33
i
, симметричную i относительно окружности
2
соотношения инверсии.
Точку
3
находим из
Рис. 3.15.
§2 Степенная функция w=zn, n – натуральное.
1.Отображение степенной функцией.
w  z n  r nein . Область однолистности: для того, чтобы условие
однолистности нарушалось в области D, в этой области должна существовать
пара различных точек z1  z2 , для которых образы совпадают: z1n  z2n . В этом
2k
случае | z1 || z2 | и n arg z1  n arg z2  2k ,arg z1  arg z2 
.
n
Поэтому, если в какой-либо области для различный точек z1  z2 будет
2
выполнено соотношение arg z1  arg z2 
, то однолистность нарушаться не
n
2k 
2(k  1)
будет. В частности, каждую из областей Dk :
функция
 arg z 
n
n
w=zn отображает однолистно на плоскость С вырезом по положительной части
действительной оси.
 4 6 
Пример: w  z 5 . Выбрана область | z | 0.1, arg z   , 
 5 5 
Рис. 3.16.
pic3_16
34
2.Обратная функция.
Определение. Функция f(z) называется однозначной ветвью на
множестве D многозначной функции F(z), определённой на D, если f(z)
однозначная, непрерывная функция, совпадающая с одним из значений F(z) в
каждой точке zD.
Пример: Обратная функция z  n w многозначна ( n различных корней,
если w0 )
i
arg w 2 k
n
. Рассмотрим n экземпляров плоскости Cw с разрезом по
z  | w |e
положительной части вещественной оси, будем их обозначать D*k , k =0,1,…, n
– 1. Определим одну из возможных ветвей. Зафиксируем некоторую точку
wkD*k и для её образа выбираем значение
n
i
arg wk  2 k
n
i
arg wk
n
i
2 k
n
zk  | wk |e
 | wk |e
e .
Значение ветви gk(w) в любой точке w  D *k будем определять
следующим образом: положим
n
i
n
Argw 2 k
i
n
n
z  g k ( w)  | w |e
e , где Arg w получен из arg wk непрерывным
изменением вдоль какой-либо кривой, соединяющей w и wk . Можно показать,
что конечное значение arg w не будет зависеть от конфигурации пути, поэтому
определение корректно.
n
Рис. 3.17.
pic3_17
В данном случае (удачный выбор областей Dk * ) можно было бы не
i
arg w 2 k
i
n
n
прибегать к услугам кривой  , а считать выражение z  | w |e e за
определение k-ой ветви. Таким образом, можно выделить n однозначных ветвей
n
для функции
n
w . Обозначают эти ветви
 w  . Ветвь, соответствующая k,
n
k
есть конформное отображение области D*k на область
2(k  1) 
 2k
Dk  
 arg z 
.
n
 n

Замечание. При отображении z  n w , в плоскости w при полном обходе
вокруг начала координат arg w получает приращение 2 и мы приходим к
другому значению z в плоскости Cz , z1  n w , z2  n w , z1  z2 .
35
Рис. 3.18.
pic3_18
Такие точки (в данном случае, начало координат) называются точками
ветвления, точное определение точки ветвления будет дано в следующем
пункте. Для степенной функции, кроме 0, точкой ветвления является .
3. Понятие римановой поверхности для функции z  w
Два листа D *0 , D *1 плоскости w склеены, как показано на рисунке. При
обходе точкой w по  0 по верхнему листу D *0 образ z пройдет полоборота по
кривой 0 в верхней полуплоскости D0 плоскости z. Продолжаем движение,
переходим в месте склейки с верхнего листа D *0 на нижний лист D *1 на
кривую 1 в плоскости w. Далее образ z будет двигаться по 1 в нижней
полуплоскости D1 плоскости z и полностью завершит оборот, когда точка w
вернется на верхний лист D *0 по кривой 1 . Поверхность D *0  D *1
взаимнооднозначно отображается на всю плоскость Cz . Эта поверхность
D *0  D *1 называется поверхностью Римана.
Рис. 3.19.
36
Рис. 3.20.
Определение. Если в любой достаточно малой окрестности точки a  C
существует замкнутая Жорданова кривая  (  можно считать
окружностью с центром a), содержащая внутри точку a такая, что при
обходе  , начиная с точки z0   (и непрерывном изменении модуля и
аргумента) значение ветви f k ( z0 ) многозначной функции F(z) переходит в
значение другой ветви f1 ( z0 ) , то точка a называется точкой ветвления.
Пример. Поверхность Римана для z  3 w .
Рис. 3.21.
Рис. 3.22.
37
§3 Функция w  e z
1.Отображение w  e z .
w  u  iv  e xeiy ,| w | e x ,arg w  y
Нарушение условия однолистности: z1  z2 , в то время, как e z1  e z2 , или
x1  x2 , y1  y2  2k , поэтому в областях вида Dk  {z : 2k  Im z  2(k  1)}
однолистность нарушаться не может. Каждая из таких областей однолистно
отображается на плоскость с разрезом по положительной части вещественной
оси.
Рис. 3.23.
pic3_23
Пример. w  e z , z [2,2]  [0, ]
Рис. 3.24.
pic3_24

 3 
Пример: D  0,2  0,   , w  e z
 4 

Рис. 3.25.
2.Обратная функция.
38
Если w  e z , то | w | e x , x  ln | w |,arg w  y откуда для обратной функции
z  Ln w  ln | w | iArg w  ln | w | i(arg w  2k ). При k=0 получаем ln w. Для
z  Ln w поверхность Римана набирается из счетного числа листов, имеющих
разрез по положительной части вещественной оси и склеиваемых друг с другом
последовательно.
Рис. 3.26.
§4 Функция Жуковского
1
1
w  ( z  ) Определена, однозначна и аналитична всюду в C кроме z=0.
2
z
1
1
w '  1  2  , w '  0 при z  1, таким образом, эта функция аналитична
2 z 
и конформна в любой точке C , кроме z  1,0 .
Нарушение однолистности.
1
1
z z
1
z1  z2 , z1   z2  , z1  z2  1 2 ,1 
 0 , откуда следует, что
z1
z2
z1 z2
z1z2
однолистность нарушается в точках z1 , z2 , z1  z2 таких, что z1 z2  1 . Областью
однолистности является, например, каждое из следующих множеств
| z | 1,| z | 1,Im z  0 .
Пусть z  (cos   i sin )  rei ,
1
cos   i sin  
тогда w  u  iv   r cos   ir sin  
,
2
r

1
1
1
1
u   r   cos , v   r   sin 
(1)
2
r
2
r
Следовательно, окружность r=r0 переходит в эллипс с полуосями
1
1
1
1
1
a   r0   , b   r0   , c 2  a 2  b 2  4  1 . Фокусы в точках c =  1.
2
r0 
2
r0 
4
39
Из (1) следует, что лучи arg z   переходят в гиперболы
u2
v2

 1 с фокусами 1. Асимптоты гипербол v  u tg  . Функция
cos2  sin 2 
Жуковского переводит внешность единичного круга на плоскость с разрезом по
отрезку [-1,1].
Рис. 3.27.
40
Рис. 3.28.
pic3_28
Пример. Функция Жуковского 0   | z | 2,0  arg z 
41

.
2
Рис. 3.29.
pic3_29
Функция Жуковского 1 | z | 2,0  arg z  2 .
Рис. 3.30.
pic3_30
Щель [1,1] на действительной оси получена в результате
«сплющивания» единичной окружности .
Рис. 3.31.
2.Обратная функция
1
1
w   z   , z  w  w2  1 . Рассмотрим область D*  C \ [1,1] в
2
z
плоскости w, плоскость с щелью [1,1] . Первая однозначная ветвь f1(w)
переводит D* в |z|<1, вторая ветвь f2(w) переводит D* в |z|>1. Точки w=1
являются точками ветвления.
§7 Таблица некоторых конформных отображений.
42
z  z0
, точка z 0 отображается в 0, симметричная относительно
1  z0 z
1
единичной окружности точка
отображается в  , поэтому, образом
z0
единичной окружности будет единичная окружность.
1) w  ei
Рис. 3.32.
2) Верхняя полуплоскость на единичный
z  z0 u
, 1.
круг. z0  0, z0  , w  ei
z  z0 u
Рис. 3.33.


3) Угол {z : arg z  (0, ),0    2} на верхнюю полуплоскость w  z .
Напоминание z   r ei . Здесь, в действительности, должна выбираться одна


из однозначных ветвей функции w  z .
4) В частности w  z 2 отображает первый квадрант на верхнюю
полуплоскость.
5) Плоскость с разрезом по положительной части вещественной оси на
верхнюю полуплоскость w  z .
6)
43
Рис. 3.34.
7) Частный случай
Рис. 3.35.
8) Частный случай
Рис. 3.36.
9)
Рис. 3.37.
10)
Рис. 3.38.
44
Рис. 3.39.
1
1
w   z   ,0.1 | z | 1,0  arg z  
2
z
12)
Рис. 3.40.
13)
Рис. 3.41.
14)
Рис. 3.42.
Пример. Отобразить область
45
Рис. 3.43.
Решение
1
1 
1
1 
w1  e z , w2   w1   , w3   w2  
2
w1 
2
w2 
Рис. 3.44.
Пример.
Рис. 3.45.
w1  z  z  1 (нужная ветвь) на верхнюю полуплоскость, затем w2  w12 .
Пример. Отобразить верхнюю полуплоскость с вырезанными
полукругами | z  1| 1,| z  1| 1 на верхнюю полуплоскость.
2
Рис. 3.46.
Все три обобщенные окружности 1 ,  2 ,  3 проходят через точку 0,
1
поэтому, если перевести 0 в  отображением w1  , то образы 1*,  2 *,  3 *
z
46
будут прямыми линиями. Беря какие либо симметричные точки относительно
1 ,  2 ,  3 , найдем симметричные точки относительно прямых 1*,  2 *,  3 * в
плоскости w1 . Возьмем в качестве симметричных точек относительно 1 точки
i,i , образами которых будут  i, i и поэтому 1 * будет вещественной осью. Для
 2 возьмем 1,  , образами которых будут 1,0, следовательно  2 * вертикальная прямая, проходящая через точку 1/2. Для  3 * возьмем -1,  с
образами -1,0.  3 * - вертикальная прямая, проходящая через точку -1/2.
Рис. 3.47.
i

2
Сделаем поворот на 90 градусов и сдвиг вверх на 1/2: w2  e w1 
результате получаем полуполосу, показанную не рисунке.
i
. В
2
Рис. 3.48.
Далее растяжение в  раз: w3  w2 . Полученную полу-полосу
переведем в верхнюю плоскость с вырезанным полукругом: w4  e w3 , которая
переводится в верхнюю полуплоскость функцией Жуковского:
1
1 
w  w5   w4   . Итоговое отображение получается суперпозицией
2
w4 
найденных отображение:

 i
i

1 w2
w2
2z
w( z )  w5 w4 w3 w2  w1  z     e  e   ch     e  
 2

2

 
  

Глава 4. Теория интеграла
Далее всюду в этой главе рассматриваются однозначные функции.
47
§1. Понятие интеграла. Теорема Коши.
1.Интеграл и его свойства. Для кривой  и функции f(z), определенной
n 1
 f (
на ней, рассматриваются интегральные суммы
k 0
k
)( zk 1  zk ) .
Рис. 4.1.
Интеграл определяется, как предел этих сумм в стандартном смысле
(характеристика стремится к нулю, предел не зависит от выбора разбиения и
промежуточных точек ) и обозначается  f ( z )dz . Если кривая имеет

параметризацию z (t ), t [, ] , с непрерывной производной, то интегральные
суммы в определении будут выглядеть следующим образом
n 1
n 1
k 0
k 0
 f ( z(k ))( z(tk 1 )  z(tk ))  f ( z(k )) z '(k )tk .
Для непрерывной функции f(z) и непрерывно дифференцируемой кривой

z (t ), t [, ] эти суммы будут сходиться к интегралу
 f ( z (t )) z '(t )dt .

Расписывая действительную и мнимую части, интеграл можно выразить через
криволинейные интегралы
 f ( z)dz   udx  vdy  i  vdx  udy .



Это равенство можно принять за эквивалентное определение интеграла в
случае, когда последние два интеграла существуют.
Из свойств криволинейных интегралов следуют соответствующие
свойства интеграла по заданной кривой:
1) Линейность:  (f ( z )  g ( z ))dz    f ( z )dz   g ( z )dz .


2) Аддитивность по множеству:
 f ( z)dz   f ( z)dz   f ( z )dz .



48

3)
 f ( z)dz    f ( z)dz .


4)
 f ( z)dz  max | f ( z) | l , где l – длина кривой. Это неравенство следует
z

из определения (оценка интегральных сумм).
5) Если  - кусочно гладкая и f k ( ) сходится равномерно на  к f () ,
то lim  f k ()d    f ()d  . Это следует из предыдущего свойства.
k 


6) Определение интеграла по границе многосвязной области. Пусть
граница области D   0  1  ... m и

D
m
f ( z )dz    f ( z ) dz . Обход по
k 0  k
каждому связному куску границы происходит так, что область остается слева
Рис. 4.2.
pic4_2
2.Теорема Коши.
Если D- ограниченная область,   D , граница которой  - кусочно
гладкая Жорданова кривая из D, гомотопная нулю (область, ограниченная
этой кривой, односвязна ) и f аналитическая в D , непрерывная в    , то
 f ( z )dz  0 .

Доказательство. Для действительной и мнимой частей интеграла
воспользуемся формулой Грина и условиями Коши-Римана:
 f ( z )dz   udx  vdy  i  vdx  udy   (vx  u y )dxdy  i  (ux  vy )dxdy  0.





Формула Грина справедлива и для многосвязных областей. Поэтому
справедлива
Обобщенная теорема Коши. Пусть D- ограниченная область с границей
D   0  1  ... m , а f - функция, аналитическая в D и непрерывная в
D  D D , тогда

f ( z )dz  0 .
D
49
Следствие. В области D интеграл от аналитической функции  f ( z )dz не

зависит от пути интегрирования, а только от начальной и конечной точек
кривой.
Таким образом, интеграл от аналитической функции в многосвязной
области D не изменяется, если путь интегрирования непрерывно
деформировать, оставляя неподвижными концы.
§2 Интеграл Коши
1.Интегральная формула Коши.
Пусть D - m-связная область с границей D   0  1  ... m1 и f –
аналитическая в D, непрерывная в D  D  D функция. Имеет место формула
f ( z ), z  D

1
f ( )
d



2i D   z
0, z  D  D  D
Доказательство. Если z  D  D , то равенство нулю интеграла следует
f ( )
из аналитичности подинтегральной функции
для всех   D .
z
Пусть C – окружность с центром в z : (t )  z  reit достаточно малого
радиуса. Для области с границей D  C  точка z является внешней.
Рис. 4.3.
В этом случае, согласно обобщенной теореме Коши
откуда следует, что

C
2
f ( )
d   0 Коши,
   z
D C

f ( ) d 
f ( ) d 

. Так как d   rieit dt , то
z
z
D
2
f ( )
f ( z  reit ) it
it
i
C   z d   0 reit ire dt  i 0 f ( z  re )dt  2if ( z  re ) . Последнее
равенство следует из теоремы о среднем с некоторой промежуточной точкой  .
1
f ( ) d 
В полученном равенстве f ( z  rei ) 
переходим к пределу при
2i D   z
50
r  0 и получаем требуемое равенство f ( z ) 
1
f ( ) d 
. Отметим, что

2i D   z
2
2
f ( ) d 
it
it
D   z  i 0 f ( z  re )dt , то есть, последний интеграл 0 f ( z  re )dt является
константой, другими словами, не зависит от r.
Следствие. Теорема о среднем. Если f непрерывна на |z|  r и
аналитическая в |z|<r, то
2
1
f ( z0 ) 
f ( z0  reit )dt

2 0
2.Интеграл типа Коши. Интегралом типа Коши называется интеграл
1 ( )
F ( z) 
d  , где  - кусочно-гладкая замкнутая кривая Жордана,
2i    z
ограничивающая область D, а  - непрерывная на  функция.
Теорема. Интеграл типа Коши является аналитической функцией в
области D и
n!
( )
F (n) ( z) 
d
2i  (  z ) n1
Доказательство. Граница Г предполагается спрямляемой. Обозначим ее
длину через l. Выпишем равенства, необходимые для вычисления производной:
 1  1

F ( z )  F ( z0 ) 1
()
1
1 
1

d



(

)



 z  z    z   z  (  z ) 2  d  .
z  z0
2i  (  z0 )2
2i 
0 
0
0


Выражение внутри второго интеграла преобразуется к виду:
1  1
1 
1
1
1
z  z0




.


2
2
z  z0    z   z 0  (   z 0 )
(  z )(  z0 ) (  z0 )
(  z0 ) 2 (  z )
Выберем  окрестность точки z0 , целиком лежащую в области D
Рис. 4.4.
51

, то расстояние от  до таких точек z будет больше чем
2
z  z0
| z  z0 |


8 , откуда следует неравенство
, тогда, если   , то
(   z0 ) 2 (   z )
3
2
Если | z  z0 |
F ( z )  F ( z0 ) 1
()
l
| z  z0 |

d


max
|

(

)
|
8.
z  z0
2i  (  z0 ) 2
2
3
F ( z )  F ( z0 )
1
( )

d .

z  z0
z  z0
2i  (  z0 ) 2
Аналогичным образом можно доказать существование старших производных и
формулу для их вычисления.
Таким образом, существует lim
§3 Первообразная.
1.Теорема Морера.
Теорема. Пусть D односвязная область, f () непрерывна в D и интеграл
z
F ( z )   f ()d , z, z0  D не зависит от пути интегрирования, или, что тоже,
z0
 f ()d   0 для любой замкнутой кривой Жордана, лежащей в D. Тогда F(z)

аналитическая в D и ее производная F '( z )  f ( z ) .
Доказательство.
Рассмотрим две точки z и z  z , путь из z0 в z обозначим  , путь из z0 в
z  z пусть будет   1 , где 1 - отрезок: z (t )  z  zt , t [0,1] .
Рис. 4.5.
Тогда
52

F ( z  z )  F ( z )
1 
 f ( z) 
  f ( ) d    f ( ) d    f ( z ) 

z
z  1


1
1
1

f
(

)
d


f
(
z
)

f ( z  zt )zdt  f ( z ) 
z 1
z 0
1

  f ( z  zt )  f ( z )  dt  0,
0
при z  0 .
Определение. Функция F(z) такая, что F '( z )  f ( z ) называется
первообразной для f(z) на рассматриваемой области.
Теорема. Любые две первообразные одной и той же функции
отличаются на константу.
Доказательство. Пусть F1(z), F2(z) первообразные для f(z). Положим


=F2 - F1. Так как  голоморфна, то
 0 , кроме того, из условия
 0,
z
z


следует, что
 0,
 0 откуда и следует требуемое утверждение.
x
y
zz zz
,
Напоминание. ( z )  ( x, y )   
 ,  x  u x  ivx ,  y  u y  iv y .
2
2
i


Тогда
  1  1 1


   x  i y  .
z
x 2 y 2i 2
  1  1 1


   x  i y  .
z
x 2 y 2i 2
  
  


 0, i


 0.
x z z
y z
z
2.Формула Ньютона-Лейбница
Теорема. Если F(z) первообразная аналитической функции f(z), то
z
 f ( ) d   F ( z )  F ( z ) ,
0
z0
z
в частности, F ( z )  С   f ( )d  .
a
Доказательство. Если F(z) – первообразная для функции f (z ) , то
z
 f ( ) d   F ( z )  С  С   F ( z ) .
0
z0
Глава 5. Ряды Тейлора и Лорана
53
§1 Ряд Тейлора аналитической функции
Напоминание. Равномерно сходящийся на  ряд из непрерывных
функций можно почленно интегрировать.
1.Теорема Тейлора.
Теорема (Тейлор). Если f аналитическая функция в области D, то для
каждой точки z0D имеет место разложение

f ( k ) ( z0 )
1
f ( )
k
f ( z )   ak ( z  z0 ) , | z  z0 | R, ak 

d ,
k!
2i C (  z0 ) k 1
k 0
R >0 – радиус сходимости ряда, разложение единственно. C – граница
некоторой окрестности точки z0 .
Доказательство. Пусть  меньше, чем расстояние от z0 до границы D .
Рис. 5.1.
Из аналитичности f(z) следует, что для всех z лежащих внутри круга
| z  z0 | , ограниченного окружностью C с центром z0 и радиуса  получим:

1 f ( )
1
1
1
( z  z0 ) k
f ( z) 
d  . Так как
, то

 
k 1
2i C   z
  z   z0 
z  z0 
k  0 (  z 0 )
1 

   z0 


1
( z  z0 )k
f ( )
k 1
f ( z) 
f
(

)
d


(
z

z
)
d 


0
k 1
k 1

2i C
(


z
)
2

i
(


z
)
k 0
k 0
0
0
C

  ak ( z  z0 )k ,
k 0
1
f ( )
d .
2i C (  z0 ) k 1
Ранее отмечалось, что степенной ряд является рядом Тейлора своей
суммы, в частности является бесконечно дифференцируемой функцией, таким
образом, для его коэффициентов получаем равенство:
f ( k ) ( z0 )
1
f ( )
 ak 
d  . Единственность следует из той же

k!
2i C (  z0 ) k 1
теоремы.
где ak 
54
При почленном интегрировании использовалась равномерная сходимость
( z  z0 ) k | z  z0 |k

 1 для  C .
ряда, которая следует из неравенства
(   z0 ) k
k
Следствие. Аналитическая в области D функция f(z) бесконечно
дифференцируема в этой области и ее производные вычисляются по формуле
n!
f ( )
f (n) ( z) 
d ,

2i C (  z ) n1
где C –контур, содержащий точку z , ограничивающий область ,   D .
2.Неравенство Коши для коэффициентов ряда Тейлора. Теорема
Лиувилля.
Теорема. Если аналитическая в круге | z  z0 | R функция f(z) ограничена
на окружности | z  z0 | R , например, | f ( z ) | M , то для коэффициентов ak в
разложении по формуле Тейлора

M
f ( z )   ak ( z  z0 ) k справедливы неравенства | ak | k , k  0,1,...
R
k 0
1
f ( )
1 1
d

,|
a
|

max | f ( z ) | 2R ,
Доказательство. ak 
k
2i C (  z0 ) k 1
2 R k 1
ч.т.д.
Теорема Лиувилля. Если f аналитическая на всей комплексной плоскости
и ограничена, то она константа.
M
Доказательство. Достаточно в неравенстве | ak | k , k  0,1,... перейти к
R
пределу при R   .
§2 Единственность аналитической функции. Принцип максимума модуля.
1.Внутренняя теорема единственности аналитических функций. Нули
аналитических функций.
Теорема. Пусть f(z) аналитическая функция, не тождественно равна
нулю и f(a)=0, то существует натуральное n , такое, что f(z)=(z - a)n g(z), где
g(z) - аналитическая функция в точке a, не равная нулю в некоторой
окрестности точки a. Число n называется кратностью нуля.
Отметим, что для того, чтобы a была нулем кратности n, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось условие:
f (a)  f '(a)  ...  f ( n1) (a)  0, f ( n) (a)  0 .
Доказательство. Возьмем разложение функции по формуле Тейлора в
окрестности точки a:

f ( z )   ak ( z  a ) k . Пусть n - индекс первого, отличного от нуля
k 0
коэффициента ak :
55


f ( z )   ak ( z  a ) k  ( z  a ) n  ak ( z  a ) k n 
k n
k n

 ( z  a ) n  an m ( z  a ) m ( z  a ) n g ( z )
.
m 0
Отсюда, в частности, следует
Теорема. Если f(z) аналитическая в точке a, f(a)=0 и не является
тождественным нулём, то этот нуль изолирован, то есть, в некоторой
окрестности нет других нулей.
Ещё одно следствие.
Теорема. Если f(z) и g(z) аналитические в области D и совпадают на
некоторой последовательности точек ak  a  D , то f ( z )  g ( z ) в D.
Для доказательства рассматривается функция h(z) = f(z) – g(z), имеющая a
не изолированным нулем. Из предыдущей теоремы следует h(z) 0.
2.Принцип максимума модуля аналитической функции.
Теорема. Если не тождественно постоянная функция f(z) аналитична в
односвязной области D и непрерывна в замыкании D  D , то её модуль не
может достигать максимального значения в области D. Другими словами,
максимальные значения модуля функции могут достигаться аналитической
функцией только на границе области.
Доказательство. Предположим противное, пусть
M  max f ( z )  f ( z0 ), z0  D . Тогда существует окружность С с центром в z0, на
zD
которой не все значения функции равны M . Иначе функция является
постоянной в круге с центром в z0 , максимально возможного радиуса. Тоже
самое можно сказать про любую точку границы этого круга, внутренней по
отношению к области D. Таким образом, можно доказать постоянство функции
во всей области D . Пусть  0  C и | f ( 0 ) | M , существует некоторая
окрестность этой точки на окружности, где | f ( ) | M  ,  U ( 0 )  C |. Длина
этого участка окружности пусть будет равна 2 .
Рис. 5.2.
2

1
1 
it
f
(
z

re
)
dt


По теореме о среднем f ( z0 ) 

.
0

2 0
2  C\U
U C 
Отсюда
56
M  f ( z0 ) 
1
1
 (2  2)M  2(M  )   M  2 . Получили
2
2
противоречие.
3.Терема Вейерштрасса

Теорема 1. Если ряд аналитических в области D функций f k ( z ),  f k ( z )
равномерно сходится на любом компакте K  D , то
k 1

f ( z )   f k ( z ) аналитическая в D
1)
k 1

2)
f
( p)
( z )   f k( p ) ( z ), p  1,2,... и этот ряд сходится равномерно на
k 1
любом компакте, лежащем в области K  D .
Доказательство. Рассмотрим окрестность U точки z0 , лежащую в D со
своим замыканием. Границу U ориентированную положительно обозначим С .
Рис. 5.3.

Сумма ряда f ( )   f k ( ) непрерывна на C . Рассмотрим интеграл типа
k 1
Коши
F ( z) 
1 f ( )
d  , эта функция аналитична в U и там
2i C   z

p!
f ( )
f ( )
1
F ( z) 
d  , ряд

 f k ( )
2i C (  z ) p 1
(  z ) p 1 (  z ) p1 k 0
сходится равномерно на C, следовательно, его можно почленно
интегрировать.

p!
f ( )
p!
1
F ( p) ( z) 
d


 fk ()d  
2i C (  z ) p1
2i C (  z ) p1 k 0
( p)

p!
f k ( )

d    f k ( p ) ( z ),
p 1

k 0 2i C (  z )
k 0

в частности, F ( z)   f k ( z)  f ( z ) . В силу произвольности z доказанное
утверждение распространяется на все точки из D.
Равномерную сходимость ряда из производных будем доказывать только
в частном случае, именно, когда K является замкнутым кругом радиуса r0,
лежащем в D . Несколько увеличим радиус этого круга так, чтобы вновь
57
полученный круг K* радиуса r также лежал в D . Границу этого круга,
ориентированную положительно обозначим C.
Рис. 5.4.
Тогда для всех zK будет выполнено
n
n
p!
f ( )
p!
f k ( )
( p)
( p)
f ( z)   fk ( z) 
d


d 

p 1

2i C (  z ) p 1
k 0
k 0 2i C (  z )
n
p!

2i C
f ( )   f k ( )
k 0
(  z ) p 1
d 
n
p ! 2r
1
max
f
(

)

f k ( ) .

2 (r  r0 ) p 1 C
k 0
Откуда и следует требуемое утверждение.
Теорема 2. Если ряд  f k ( z) аналитических в области D со спрямляемой
границей D и непрерывных в замыкании D  D функций fk(z) равномерно
сходится на границе D , то этот ряд равномерно сходится и в D. В
частности, по теореме 1, сумма этого ряда будет аналитической функцией в
области D.
Доказательство будет проведено только для любого компакта лежащего
в D и имеющего спрямляемую границу.

Доказательство. Обозначим сумму ряда f ( )   f k (),  D . Для z  D
k 1
рассмотрим интегралы типа Коши:

f k ( )



1
f ( )
1
1
f k ( )
k 1
F ( z) 
d


d


d


fk ( z)  f ( z) ,



2i D   z
2i D   z
2

i


z
k 1
k 1
D
таким образом, для любого z  D : F ( z )  f ( z ) . Пусть компакт K  D и  расстояние от K до границы D, l – длина этой границы. Тогда для всех z  K
n
n
1
| f ( z )   f k ( z ) |
2 D
k 1
| f ( )   f k ( ) |
n
1 1
k 1
d 
l max | f ()   f k () |
|  z|
2  D
k 1
§3 Ряды Лорана
58



k 
k 0
k 1
 ck ( z  z0 )k   ck ( z  z0 )k   c k
Определение. Ряд вида
называется рядом Лорана.

c (z  z )
k 0

k
0
k
1
( z  z0 ) k
называется правильной

c m
называется главной частью ряда Лорана.
m
k 1
m 1 ( z  z0 )
Областью сходимости такого ряда ( в случае наличия членов с
отрицательными показателями ) будет кольцо r | z  z0 | R , в частности,
может быть r  0, R   (проколотая окрестность точки z0).
Из свойств степенных рядов следует, что ряд Лорана сходится
равномерно на любом компакте, лежащем в кольце r | z  z0 | R , в частности,
ряд Лорана можно почленно интегрировать по кривым, лежащим в кольце
сходимости. Из соответствующего свойства степенных рядов следует
возможность почленного дифференцирования ряда Лорана.
Теорема Лорана. Если функция f(z) – аналитическая в кольце
K : 0  r0 | z  z0 | R0   , то
частью,  ck ( z  z0 ) k  
f ( z) 

 c ( z  z ) , z  K , где
k
k 
k
0
1
f ( )
ck 
d , k  0, 1, 2,... С - окружность
2i C (  z0 ) k 1
{|   z0 | , r0    R}.
Доказательство. Выберем кольцо r | z  z0 | R так, что r0  r , R  R0 .
Окружности с центром z0 и радиусами r, R , положительно ориентированные,
обозначим Cr , CR .
Рис. 5.5.
По формуле Коши для области (кольца) с границей CR  Cr при
1
f ( )
1
f ( )
z {r | z  z0 | R} выполнено равенство f ( z ) 
d 
d


2i CR   z
2i Cr   z
59
В первом интеграле   C R и

1
1
1
( z  z0 ) k z  z 0


,
 1,
k 1
  z   z0 
  z0
z  z 0  k  0 (  z 0 )
1 

   z0 

1
f ( )
1
f ( )
d


d  ( z  z0 ) k

k 1


2i CR   z
k 0 2i CR (  z0 )
(2)
Для


1
1
1
(   z0 ) m
(  z0 ) m1
  Сr : 




  z ( z  z0 )    z0  m0 ( z  z0 ) m1 m1 ( z  z0 ) m
1 

z  z0 



1
f ( )
1
f ( )
1
f ( )

d  
d    ( z  z0 ) k
d .
m
 m 1



2i Cr   z
2i Cr (  z0 ) k 1
m 1 ( z  z0 ) 2i Cr (  z0 )
k 1
Интегралы
соответственно,
f ( )
C (  z0 )k 1 d , k  0 и
R
f ( )
 (  z )
k 1
0
C
f ( )
C (  z0 )k 1 d , k  0 равны,
r
f ( )
d , k  0 (в области
k 1
(


z
)
0
C
d , k  0, 
аналитичночти контуры можно деформировать без изменения величины
интеграла).
Теорема. Разложение в ряд Лорана единственно.
Доказательство. Отметим, что справедлива
Лемма. Имеет место равенство
 0, m  1
m
(
z

z
)
dz


0

2i, m  1
| z  z0 |  r
Доказательство леммы. Выполнены равенства:
2

z (t )  z0  re ,
it
( z  z0 ) dz   r e rie dt  ir
m
| z  z0 | 
m imt
it
0
m 1
2
e
i ( m 1) t
dt.
0
Откуда и следует требуемое равенство.
f ( z) 

 c (z  z )
k 

 c (z  z )
k 
k
0
k n 1
k

0
k


 b (z  z )
k 

 b (z  z )
k 
k
0
k
k n 1
k
0
умножая на
1
, получим
( z  z0 ) n1
. Интегрируя последнее равенство по C ,
получим 2icn  2ibn . Возможность почленного интегрирования
обеспечивается равномерной сходимостью на любой окружности внутри
кольца.
Теорема. Для коэффициентов ряда Лорана имеет место неравенство
60
| cn |
max | f () |
C
n
.
Доказательство.
| cn |
1
2
f ( )
 (  z )
C
n 1
1 max | f |
2
| d  |
max | f | .
n 1

2 C 
2n1
d 
0
§4 Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
Определение. a  C называется изолированной особой точкой ( и.о.т.)
функции f, если существует проколотая окрестность этой точки, где функция
аналитична, а в самой точке a функция не является аналитичной.
Пример. z+1/(z-1) изолированные особые точки 1, .
Определение. И.о.т. a называется устранимой, если существует
конечный предел lim f ( z ) , полюсом, если lim f ( z )   , существенно особой
z a
z a
точкой, если предел lim f ( z ) не существует.
z a
Теорема. Для того, чтобы и.о.т. a   была устранимой необходимо и
достаточно, чтобы разложение в ряд Лорана в этой точке не содержало
отрицательных степеней z – a .

f ( z )   ck ( z  a)k , т.е., отсутствовала главная часть.
k 0

Достаточность очевидна. Если f ( z )   ck ( z  a)k , то lim f ( z )  c0 .
k 0
z a
Необходимость. Для коэффициентов разложения в ряд Лорана
max | f () |

C
k
f ( z )   ck ( z  a) имеет место неравенство | cn |
. Тогда при
n
k 
max | f ( ) |
C
 0.
n  0 будет | cn | lim  n
0

Следствие. После доопределения по непрерывности функция становится
аналитичной в данной точке.
Теорема. Для того, чтобы и.о.т. была полюсом необходимо и
достаточно, чтобы в разложении в ряд Лорана присутствовала главная часть
следующего вида:
1
 c ( z  a)
k  n
k
k
.
Достаточность.
1

 c ( z  a)   c ( z  a)
k
k  n
k
lim f ( z )   .
k 0
k
k

1
c  c n1 ( z  a)  c n 2 ( z  a) 2  ... и
n  n
( z  a)
z a
61
Необходимость. Дано lim f ( z )   , тогда a есть изолированный нуль
z a
1
 ( z  a)n h( z ) и h( z )  0 в окрестности точки a.
f ( z)

1
1
1
1
аналитическая в
f ( z) 

b ( z  a)k , так как
n
n  k
( z  a ) h( z ) ( z  a ) k 0
h( z )
точке a функция.
Определение. Порядком полюса a функции f называется кратность
1
нуля a функции
.
f ( z)
Следствие. Для полюса a порядка n, имеет место разложение
функции g ( z ) 
f ( z) 

 c ( z  a)
k  n
k
k
Определение. Порядком полюса z   функции f(z) называется
натуральное число n, равное наибольшей из положительных степеней z с
отличными от нуля коэффициентами в разложении.
f ( z) 
1
n
k 
k 0
 ck z k   ck z k , n – порядок полюса z   .
Теорема Соходского. Если a  C - существенно особая точка функции
f(z), то для A  C {z n }  a : lim f ( zk )  A .
k 
Глава 6. Элементы теории вычетов и их использование при вычислении
интегралов
§1 Вычеты
1.Определение вычета в конечной изолированной особой точке
Пусть a   изолированная особая точка. В этом случае существует
кольцо K  {0 | z  a | R} , где f – аналитическая функция.
Определение. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке
a   называется величина
1
Re s f ( z ) 
f ( z )dz , где C  {| z  a | ,0    R} - окружность
z a
2i C
достаточно малого радиуса, положительно ориентированная.
Определение корректно. Действительно, для контуров, лежащих в кольце
K интеграл  f ( z )dz не меняется при деформациях окружности.
C
По теореме Лорана f ( z ) 

 c ( z  a) , c
k
k 
k
k
62

1
f ( )
d .

2i C (  a) k 1
Откуда следует, что c1 
1
f ( z )dz , таким образом,
2i C
Re s f ( z )  c1 .
z a
Пусть a – полюс порядка n , в этом случае, как мы видели, справедливо
разложение:
f ( z )  c n ( z  a) n  ...  c1 ( z  a)1  c0  c1 ( z  a)  ... , где c n  0 .
Тогда ( z  a)n f ( z )  c n  ...  c1 ( z  a)n1  c0 ( z  a)n  ... и
d n1
(( z  a)n f ( z ))  (n  1)!c1  n!c0 ( z  a)  ... . Таким образом,
n1
dz
1
d n1
Re s f ( z ) 
lim n1 [( z  a) n f ( z )]
z a
(n  1)! z a dz
В частности, для полюса первого порядка
Re s f ( z )  lim( z  a) f ( z ) .
z a
z a
Еще одна формула для вычисления вычета в полюсе первого порядка:
( z )
Пусть f ( z ) 
, ,  - аналитические, (a)  0, (a)  0,  '( a)  0
( z )
(  имеет нуль кратности один). Тогда
(a)
.
Re s f ( z ) 
z a
 '(a)
Действительно, что при сделанных предположениях
( z )  ( z  a) g ( z ), g (a)  0 . Кроме того,  '( z )  ( z  a) g '( z )  g ( z ) , откуда
следует, что g (a)   '(a) . Поэтому
( z )
( z )
(a) (a)
Re s f ( z )  Re s
 lim( z  a)


.
z a
z a
z a ( z )
( z  a) g ( z ) g (a)  '(a)
2.Вычет в изолированной особой точке  .
Если z   изолированная особая точка функции f, то существует кольцо
K  {R | z | }, где f аналитична.
Определение . Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке 
называется величина
1
Re s f ( z ) 
f ( z )dz, R     ,
z 
2i C



где C - окружность с центром в начале координат, радиуса  ,
проходимая по часовой стрелке (отрицательно ориентированная и
достаточно большого радиуса).
63
Для изолированной особой точки  из теоремы Лорана следует,

1
f ( )
d , k  0, 1, 2,... . Поэтому
что f ( z )   ck z k , где ck 
k 1

2

i

k 
C
Re s f ( z )  c1 .
z 
3.Теоремы о вычетах.
Основная теорема. Пусть D - ограниченная, односвязная область,
ограниченная кусочно-гладкой кривой Жордана D , f(z) – аналитическая в D,
кроме конечного числа изолированных особых точек ak, k=1,…,n, f непрерывна в
D  D . Тогда
n
 f ( z)dz  2i Re s
k 1
D
z  ak
f ( z) .
Окружаем каждую точку ak достаточно малой окружностью C k ,
ориентированной положительно.
Рис. 6.1.
Тогда

D
n
f ( z )dz    f ( z )dz , откуда и следует требуемое утверждение.
k 1 Ck
Теорема о сумме вычетов. Если функция f аналитична в С кроме
конечного число точек a1 , a2 ,..., an , то
n
 Re s f ( z)  Re s f ( z )  0 .
k 1
z  ak
z 
Выберем окружность C достаточно большого радиуса так, чтобы все
точки a1 , a2 ,..., an попали внутрь. По предыдущей теореме
n
1
 Re s f ( z ) 
f ( z )dz   Re s f ( z ) .
z 
z ak
2i C
k 1
4. Принцип аргумента.
Теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно
гладкой кривой Жордана D , f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа
полюсов ak, , k=1,…,p, порядков  k , f непрерывна в D  D, f ( z )  0 в D  D ,
кроме нулей bk  D, k  1,..., n , кратностей  k . Тогда
1
f '( )
d  N  P ,
2i D f ( )
64
p
n
k 1
k 1
где P    k суммарный порядок полюсов, а N   k суммарная
кратность нулей.
Доказательство.
Выберем достаточно малые окрестности нулей, границы которых Bk и
окрестности полюсов функции f(z) с границами Ak .
Рис. 6.2.
Как это уже не однократно отмечалось:
p
n
1
f '( z )
1
f '( z )
1
f '( z )
dz 
dz  
dz .



2i D f ( z )
k 1 2 i Bk f ( z )
k 1 2 i Ak f ( z )
В некоторой окрестности нуля b кратности  справедливы равенства:
f '( z )

 '( z )
f ( z )  ( z  b) ( z ), f '( z )  ( z  b)1 ( z )  ( z  b)  '( z ),


.
f ( z ) z  b ( z )
1 f '( z )
1

dz

dz   .
Вклад в сумму соответствующего слагаемого:
2i B f ( z )
2i B z  b
Аналогично, в некоторой окрестности полюса будет выполнено:
f ( z )  ( z  a)  ( z ), f '( z )  ()( z  a ) 1 ( z )  ( z  a)   '( z ),
f '( z )

 '( z )


f ( z)
z  a ( z )
и соответствующее слагаемое будет равно:
1 f '( z )
1

dz


dz   , откуда
2i A f ( z )
2i A z  a
m
n
1
f '( z )
f '( z ) n
f '( z ) m
dz   Re s
  Re s
  ( k ) k  N  P.
z ak f ( z )
z bk f ( z )
2i D f ( z )
k 1
k 1
k 1
k 1
Теорема. Принцип аргумента ( без доказательства ) В условиях
предыдущей теоремы:
(D - ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой
кривой Жордана D, f ( z ) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов
ak, , порядков  k , f непрерывна в D  D, f ( z )  0 в D  D , кроме нулей bk
кратностей  k . ) Справедливо равенство
1
N P
 D arg f ( z )
2
65
где  D arg f ( z ) - приращение аргумента функции f при однократном
обходе точкой z границы D ( область слева ).
Основная теорема алгебры. Всякий многочлен P(z)=Pn(z) в комплексной
плоскости имеет ровно n корней (учитывается суммарная кратность нулей).
Доказательство. lim Pn ( z )  , следовательно, все нули лежат в
z 
некотором круге радиуса R, пусть число нулей с учётом кратностей равно N.
1
P '( z )
Тогда
dz  N , далее

2i |z| R P( z )
1


1  b1  ... 

P '( z ) nan z  ... n 
z
  n ( z ) , где ( z ) аналитична в


n
1
P( z )
an z  ...
z
 z
1  c1  ... 
z



d
{R1 | z | } . Поэтому имеем разложение в ряд Лорана ( z )  1   kk , тогда
k 1 z
P '( z ) n  nd k
1
P '( z )
   k 1 , откуда следует
dz  n .

P( z ) z k 1 z
2i |z| R P( z )
n 1
§2. Вычисление интегралов
1.Определение несобственного интеграла
Особенности на концах.  - кусочно-гладкая, a  C ( начало ), b  C
(конец ). F(z) непрерывна во всех конечных z на  кроме быть может точек a, b.
Будем предполагать, что любая окружность с центром в a пересекает кривую не
более чем в одной точке.
Рис. 6.3.
Несобственный интеграл определяется по формуле:
 f ( z )dz  lim  f ( z )dz .

r 0, R 
r ,R
Определение. Интеграл сходится абсолютно, если существует
 | f ( z) || dz | .

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае внутренних
особенностей
66
 f ( z )dz 

lim
r 0, R 
Рис. 6.4.
 f ( z )dz  lim
s 0, S 
r ,R

f ( z )dz .
s ,S

2. Интегралы вида

f ( x ) dx

Лемма. Если f ( z ) аналитична в {Im z  0} , кроме конечного числа
особых точек ak {Im z  0} и lim max | zf (z ) | 0 , то
R zCR



f ( z )dz  2i  Re s f ( z )
ak
Рис. 6.5.
Доказательство. Для R>0 рассмотрим контур C  [ R, R]  CR , CR –
верхняя полуокружность, проходимая против часовой стрелки, [-R,R] – отрезок,
проходимый слева направо. Считаем, что R выбрано достаточно большим так,
что контур C содержит все ak . Тогда
2i  Re s f ( z )   f ( z )dz 
ak
C

R
f ( z )dz 
[  R,R]
 f ( z )dz  
CR
R
f ( x)dx 
 f ( z )dz (*)
CR
Далее
|

CR

f ( z )dz ||  f (Reit ) Rieit dt |  max | f ( z ) z | .
0
zCR
Переходя к пределу в (*) при R   получим требуемое равенство.
Обобщённая лемма (без доказательства). Если f(z) аналитична в
{| z | R0 ,Im z  a, a  0} кроме конечного числа особых точек ak {| Im z  0} , и
конечного числа полюсов первого порядка bk {Im z  0} и lim max | zf (z ) | 0 ,
R zCR
то
67



f ( z )dz  2i  Re s f ( z )  i  Re s f ( z )
ak
bk
Рис. 6.6.

Пример 1. Вычислить интеграл I 
Re s  1,Re s 
0
i
x 1
 x( x 2  1) dx

1 i
1
 1 i 
  (1  i), I  i  2i  
.
i 2i
2
 2 
2
Пример 2. Вычислить интеграл I 
d
 a  cos  , a  1 .
0
2
2
i
d
2e d 
2
dz
, где С – единичная

  2
i
 i
i
i 2
e

e
2
ae

e

1
i
z

2
az

1
0 a
0
C
2
окружность. Корни знаменателя: z1  a  a 2  1, z2  a  a 2  1 . Внутри С
расположен только один корень z1 . Поэтому
2
1
1
1
2


I  2i Re s  2
 4
 4

.

2
2
z1
i
z1  z2
 z  2az  1 
2 a 1
a 1
I


cos ax dx
, a  0, b  0 .
2
2
x

b
0
Пример 3. Вычислить интеграл I  



cos ax dx 1 cos ax dx 1
eia z dz
I  2
  2
 Re 

x  b2
2  x  b 2
2  ( z  ib)( z  ib)
0
 1 
1 
eiaz
e ab    ab
 Re  2i Re s
  Re  2i
 e .
ib ( z  ib)( z  ib)
2 
2bi  2b
 2 

3. Интегралы вида
e
i x
f ( x )dx

Лемма Жордана. Если f(z) аналитична в {| z | R0 ,Im z  a, a  0} и
M ( R)  max | f ( z ) | 0, R   (CR - верхняя полуокружность).
CR
68
Рис. 6.7.
Тогда lim  e f ( z )dz  0 для любого   0 .
iz
R 
CR
Доказательство. На окружности радиуса R имеем
2

eiz  eiR (cos t i sin t )  eR sin t . Тогда, учитывая неравенство sin t  t , t [0, ] , для

2
it
окружности z (t )  Re получим


iz
f ( z )e dz 
CR
 f (Re
it
)e
iR (cos t  i sin t )
0
 /2
 2M ( R) R  e
R sin t

2
i Re dt  M ( R) R  e R sin t dt 
0
 /2
dt 2M ( R ) R  e
0
 2M ( R)

it

2 R
t

dt 
0
 /2

e
2
R t

0
 
 2R 
d
t   2 M ( R )  e
2 
  
2
R t


2

 
0

 M ( R ) (1  e R )  0, R  .

Следствие. Если f(z) аналитична в {| z | R0 ,Im z  a, a  0} кроме
конечного числа особых точек ak {| Im z  0} , и конечного числа полюсов
первого порядка bk {Im z  0} и lim max | f ( z ) | 0 , то
R zCR

e

i x
f ( x)dx  lim
R 

CR [  R , R ]
eiz f ( z )dz 2i  Re s ei z f ( z )  i  Re s ei z f ( z ).
ak

Пример. Вычислить интеграл I 
x cos xdx
 x 2  2 x  10 .
69
bk



x cos xdx
zeiz dz
zeiz dz
 x 2  2 x  10  Re  z 2  2 z  10  Re  ( z  a)( z  b) , a  1  3i, b  1  3i.





zeiz
aeia 
(1  3i )ei 3 
I  Re  2i Re s 
   Re  2i
  Re  2i

a
(
z

a
)(
z

b
)
a

b
6
i








 e 3 (cos1  3sin1)
3
§3 Простейшие классы аналитических функций.
Определение 1. Однозначная функция f(z) называется целой, если она
аналитична в С. Целая функция называется целой рациональной, если  её
полюс. Целая функция называется целой трансцендентной, если 
существенно особая точка.
Примеры. Классифицировать функции e z ,cos z,sin z, Pn ( z ) .
Свойства целых функций
1) Если  устранимая изолированная особая точка целой функции f, то
f есть константа.
Доказательство. Существует предел в бесконечности, поэтому f(z)
ограничена в окрестности бесконечности, поэтому она постоянна по теореме
Лиувилля.
2) Если  полюс кратности n (n - натуральное), то f есть полином
степени n.
Доказательство.

c
f ( z )   kk  c0  c1z  ...  cn z n , cn  0 , обозначим
k 1 z
Pn ( z )  c0  c1z  ...  cn z n ,
Функция ( z )  f ( z )  Pn ( z ) будет, как разность двух целых функций,
аналитической во всей комплексной плоскости и имеет в  устранимую
особенность, следовательно, она константа по теореме Лиувилля.
Определение 2. Однозначная функция f мероморфна в С, если в любом
круге нет других особых точек, кроме полюсов.
Теорема. Если  - полюс для мероморфной функции f (z ) , то она
рациональна.
Доказательство. Так как  изолированная особая точка, то в
расширенной комплексной плоскости имеется лишь конечное число полюсов
a0  , a1 ,..., an . Выпишем разложения в ряд Лорана в окрестности каждой из
конечных точек ak :
f ( z) 
 m

k 1
k 0
 ckm ( z  am )k   ckm ( z  am )k  m ( z )   m ( z), m  1,..., n .
Разложение в окрестности  имеет вид:
70
0

f ( z )   c z   ck0 z k  0 ( z )   0 ( z )
k 0
0 k
k
k 1
Функции m , m  0,..., n – рациональные.
n
F ( z )  f ( z )   m ( z ) имеет точки a0 ,..., an своими устранимыми
m 0
особыми точками, поэтому эта функция, после доопределения по
непрерывности, будет ограниченной в С и следовательно константой.
Следствие. Рациональная функция представима в виде суммы многочлена
A
и простейших дробей вида
. Это фактически доказано в предыдущей
( z  a) k
теореме.
Глава 7. Преобразование Лапласа.
Введение. Интегралы, зависящие от параметра.
Пусть С – кусочно гладкая, не ограниченная в одну сторону, кривая
Рис. 7.1.
Пусть f ( z, ) определена при z  D ( некоторая область ) и  C .
Интеграл от параметра определяется по формуле
F ( z )   f ( z, )d   lim  f ( z, )d 
s 
C
Cs
Этот интеграл называется сходящимся равномерно в D, если
  0s0z  Ds  s0 :
 f ( z ,  )d    f ( z ,  )d   
C
Cs
Признак Вейерштрасса. Если
1) для   C, z  D :| f ( z, ) | g (), g () действительно-значная
функция,
2)  g ( ) | d  | сходится, то  f ( z ,  ) d  сходится равномерно на D.
С
C
§1 Преобразование Лапласа.
Определение. Комплекснозначная функция f (t ), t  (, ) называется
оригиналом, если
f (t )  0 при t < 0.
1)
71
2)
в любом интервале (a,b) есть лишь конечное число разрывов
первого рода. Иногда, дополнительно будет требоваться выполнение условия
Липшица | f (t  h)  f (t ) | A | h | , для всех | h | h0 ,   1 на интервалах
непрерывности функции
3)
(*)
M s t : | f (t ) | Me st
Число s0  inf s , S – множество тех s, для которых выполнено условие
sS
(*), называется показателем роста оригинала.
Пример. Функция Хевисайда
1, t  0
H (t )  
,
0, t  0
показатель роста равен нулю.
Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию
комплексного переменного p=x+iy, определяемую равенством

F ( p )   f (t )e  pt dt
0
Пишут F[ f ], F  f , f  F .
Замечание. Отметим, что если f (t ) оригинал, то и t k f (t ) – также
оригинал. Кроме того, интеграл будет сходиться равномерно по параметру в
любом множестве Re p  q  s0 .
Это следует из признака Вейерштрасса с учетом неравенств:
| t k f (t )e pt | Met est e xt  Me( s x )t  Me t ,   0 , где  из неравенства
| t k | Cet выбрано достаточно малым так, что s    q .Для функции имеется
оценка: | f (t ) | Be st .
Рис. 7.2.
Теорема 1. Для любого оригинала f (t ) с показателем s0 , изображение
F ( p) определено в полуплоскости x  Re p  s0 , является в этой области
аналитической функцией, стремящейся к 0 при x   ( равномерно
относительно arg p ). При этом

F '( p )   (t ) f (t )e  pt dt
0
72
Рис. 7.3.
Доказательство.


Сходимость интегралов F ( p )   f (t )e  pt dt и F ( p )   tf (t )e pt dt следует
0
0

из сделанного замечания. Обозначим U  Re F   f (t )e  xt cos yt dt ,
0

V  Im F    f (t )e  xt sin yt dt , p  x  iy . Интегралы, полученные формальным
0
дифференцированием

U x    tf (t )e
 xt

cos yt dt ,U y    tf (t )e  xt sin yt dt
0
0


0
0
Vx   tf (t )e  xt sin yt dt ,Vy    tf (t )e  xt cos yt dt
сходятся равномерно на любых отрезках изменения параметров (по
параметру x, отрезок, где имеет место равномерная сходимость, должен лежать
в области x > s0), поэтому исходные интегралы можно дифференцировать по
параметру и выполнены условия Коши Римана. Далее, при x  Re p  s  s0
будет выполнено: | f (t ) | Me st и


0


f (t )e dt   Me e dt   Me
 pt
st  xt
0
( s  x )t
0

M
M ( s  x )t
dt 
de( s  x )t 
e

sx 0
sx

0


M
xs
d k F ( p)
dkF
k
 pt
  (t ) f (t )e dt , k  ( t ) k f (t )
Следствие.
k
dp
dp
0
Теорема 2. Если F  f (f – кусочно гладкая ), то в точках непрерывности
f (t ) имеет место равенство
a i
1
f (t ) 
e pt F ( p )dp ,

2i a i
где интеграл берётся вдоль любой прямой Re p  a  s0 , в смысле
главного значения
73
a  i

a iR
e F ( p )dp  lim
pt
R 
a i

e pt F ( p )dp
a iR
Рис. 7.4.
(без доказательства).
Теорема 3 ( Достаточные условия существования оригинала ). Если F(p)
A
аналитична в Re p  s0  и F ( p) 
,   0 при p   , тогда интеграл
| p |1
a  i
1
f (t ) 
e pt F ( p )dp, a  s0 не зависит от a, является оригиналом и

2i a i
F ( p)  L[ f ] . ( только формулировка ).
§2 Свойства преобразования Лапласа
В этом параграфе везде под f (t ) понимается f (t ) H (t ) (H - функция
Хевисайда ).
1
1
Отметим, что 1  ,Re p  0; e p0t 
,Re p  Re p0
p
p  p0
1)
Линейность.
f (t )  f (t )  F ( p)  G( p)
2) Свойство подобия. При   0
1  p
f (t )  F   . Действительно
 


p
 t
1
1  p
 pt

0 f (t )e dt   0 f (t )e d t   F   
3) Свойство запаздывания.
Для   0 выполнено: f (t  )  e p F ( p) . Действительно

 f (t  )e
0
4)
f (t )  e p0t
 pt

dt   f (t  )e
 p ( t  )  p
e
d (t  ) e
 p

 f (t )e
 pt
dt  e  p F ( p )

0
Как уже отмечалось, F ( p)  (1) t f (t ) , если взять
1
, то

p  p0
(n)
n n
74
n!
( p  p0 )n1
5)
Дифференцирование оригинала f '(t )  pF ( p)  f (0) или :
F[ f ']  pF[ f ]  f (0) .



 pt
 pt
 pt 
 p  f (t )e  pt dt
Действительно  f '(t )e dt   e df (t )  f (t )e
0
0
0
0
t ne p0t 
Следствие. f ( n ) (t )  p n F ( p)  p ( n1) f (0)  p ( n2) f '(0)  ...  f ( n1) (0) .
Доказательство. Справедливы равенства
F[ f ']  pF[ f ]  f (0), F[ f '']  pF[ f ']  f '(0) 
 p( pF ( p)  f (0))  f '(0)  p 2 F ( p)  pf (0)  f '(0).
Далее, по индукции, доказывается равенство:
n 1
F[ f
(n)
]  p F [ p]   p k f n1k (0) .
n
k 0
Интегрирование изображения
6)
Если f (t )  F ( p),Re p  s0 и функция
f (t )
является оригиналом, то
t

f (t )
  F (q)dq
t
p
Доказательство.


f (t )
f (t )  pt
 Q( p )  
e dt , Q '( p)   F ( p)  Q( p)   F (q)dq  C , Q()  0  C  0
t
t
0
p
7)
Интегрирование оригинала.
Если f (t )  F ( p),Re p  s0 , то
t
F ( p)
p
0
Доказательство. f (t )  g '(t )  pG( p)  g (0)  pG( p) откуда
F ( p)  pG( p)
8)
Свертка оригиналов и умножение изображений.
Определение.
g (t )   f ()d  

( f * g )(t ) 

f () g (t  )d 

Отметим, что f * g  g * f , Сделать замену u  t  , d   dt . Откуда
f * g  F ( p)G( p). Действительно
 

0 







0
f () g (t  )d e dt   f ()  g (t  )e  pt dtd  
 pt

f ()e  p  g (u )e pu dud  F ( p)G ( p).
0
75
Отметим, что если f, g – оригиналы, то и f*g – оригинал.
9)
Умножение оригиналов, свёртка изображений
a  i
1
f (t ) g (t ) 
F ( )G ( p  )d .
2i a i
без доказательства.
10) Свойство смещения
F ( p  )  et f (t ).
Доказательство из определения.
11) Первая теорема разложения (Теорема 1 Хевисайда).

c
Если F(p) аналитична в {R<|p|<} и F ( p)   kk , то оригиналом
k 1 p
является функция

c
f (t )  H (t )  k t k 1 .
k 1 ( k  1)!
Доказательство.  - устранимая особая точка, поэтому

1
1
| F ( p) | M ,| p | R. Положим p  , (q)  F   , (q)   c k q k , аналитична в
q
k 1
 p
1
круге | q | , поэтому неравенство Коши даёт для коэффициентов | ck | MR k и
R


c k k 1
( R | t |) k 1
t  A
 Ae R|t| .

k 1 ( k  1)!
k 1 ( k  1)!
Таким образом, исходный ряд мажорируется сходящимся степенным

c
рядом в любом круге. В этом случае ряд   k t k 1 можно почленно
k 1 ( k  1)!
интегрировать
r
r


c k k 1
c k
 pt
t dt  
e pt t k 1dt по свойству 4) при r  
0 e 

k 1 ( k  1)!
k 1 ( k  1)! 0

 pt k 1
 e t dt 
0
(k  1)!
, k  1,2,... , поэтому
pk

c k k 1
c
t dt   kk  F ( p )
k 1 ( k  1)!
k 1 p
0
12) Вторая теорема Хевисайда. Если
1.
F(p) мероморфна в некоторой полуплоскости Re p  s0 и F()=0
r

 pt
e 
a  i
2.
a  s0

F ( p ) dp  
a-i
3.
F ( p)  0 при p   равномерно относительно arg p
76
Тогда оригиналом для F служит функция f (t )  H (t ) Re sF ( p)e pt по
pk
pk
полюсам функции F в порядке убывания их модулей.
Доказательство. При сделанных предположениях для оригинала
a i
1
F ( p )e pt dp .
f (t )  F ( p) выполнено равенство: f (t ) 

2i a i
Обозначим через Cn ' часть окружности Cn, расположенную слева от
прямой Re p  a , через a  ibn обозначим точки пересечения Cn с этой прямой и
через  n контур, составленный из [a  ib, a  ib] и Cn ' , проходимый против
часовой стрелки.
Рис. 7.5.
Положим: p  iz, z  x  iy, p  u  iv   y  ix , тогда, если
p  Cn '  {Re u  a} , то z  Dn '  {Im z  a} .
Рис. 7.6.
77
Делая в интеграле
e
pt
F ( p)dp замену p  iz , получим:
C 'n
e
C 'n
lim
n
pt
F ( p)dp i  eizt F (iz )dz . По лемме Жордана при t > 0 будет выполнено:
D 'n
e
pt
F ( p)dp  0 .
C 'n
Поэтому при t > 0
a i
1
1
f (t ) 
F ( p)e pt dp 
lim  e pt F ( p)dp  lim  Re s e pt F ( p) , ч.т.д.

n
pk
2i a i
2i n n
pk  n
A( p)
дробно-рациональная и дробь
B( p)
правильная, то оригиналом ее служит функция
l
1
d nk 1
f (t )  H (t )
lim nk 1 F ( p)( p  pk ) nk e pt ,
p  pk dp
k 1 ( nk  1)!
где pk полюсы функции F(p) кратностей nk , сумма берется по всем
полюсам.
Следствие. Если функция F ( p) 


Глава 8. Приложения.
§1 Комплексный потенциал
Рассмотрим плоское поле A  ( P, Q,0)  P  iQ
Соленоидальное поле ( без источников и стоков, поток через замкнутую
P Q
кривую равен нулю ) div A 

 0 . Тогда для формы Qdx  Pdx
x y


выполнены условия полного дифференциала
( P)  (Q)  0 , поэтому
x
y
существует функция v : dv  Qdx  Pdy , для неё
v
v
(1)
 Q,  P
x
y
Определение. Функцией тока плоского соленоидального поля
A  ( P, Q)  P  iQ называется дважды непрерывно дифференцируемая функция
v, удовлетворяющая соотношениям (1).
Функция тока находится по формуле
z
v( x, y )   Qdx  Pdy  Const
z0
78
1)
Потенциальное ( безвихревое поле ) rot A  (0,0,
Q P
 )  0. В
x y
этом случае существует потенциал
z
u
u
u : grad u  A,  P,  Q, u ( x, y)   Pdx  Qdy  Const .
x
y
z0
2)
Поле и потенциальное и соленоидальное. В этом случае, как это
следует из 1) и 2), выполнены условия
u v u
v
(2),
 , 
x y y
x
которые являются условиями Коши-Римана для функции
f ( z )  u( x, y)  iv( x, y) .
Эта функция называется комплексным потенциалом данного поля.
Отметим, что в плоском поле без источников и вихрей функция тока и
потенциал являются гармоническими сопряженными функциями. Как это
следует из 1)-2)
u  v 
A
 i     f '( z )
x  x 
Для такого поля поток
N   A, n ds   (( P, Q),(dy, dx))   Qdx  Pdy   dv  Im  df  Im  f '( z )dz
 
C
C
C
C
C
C
3)
Восстановления функции тока по потенциалу.
Если потенциал u является гармонической функцией, то форма –Qdx+Pdy
является полным дифференциалом и функция тока v восстанавливается по
формуле
z
v( x, y )   Qdx  Pdy  Const
z0
Аналогичным образом может быть восстановлен потенциал u по функции
тока v, если она гармонична.
§2 Операционное исчисление
Дана задача Коши
dkx
L[ x]   ak k an x ( n )  an1 x ( n1)  ...a0 x  f (t )
(1)
dt
k 0
x ( k ) (0)  xk , k  0,..., n  1, an  0.
Будем предполагать, что f (t ) и x(t ) вместе со всеми производными до nго порядка являются оригиналами. Положим x(t )  X ( p), f (t )  F ( p) . Из
свойств преобразования Лапласа следует, что
n
k 1
k 1
j 0
j 0
F[ x( k ) ]  p k X ( p)   p j x( k 1 j ) (0)  p k X ( p)   p j xk 1 j
Отсюда, применяя преобразование Лапласа к (1) получим
79
n
k 1


F [ L[ x]]   ak  p k X ( p)   p j xk 1 j   F ( p ) , или
k 0
j 0


n
k 1
k 0
j 0
n
X ( p) ak p   ak  p j xk 1 j  F ( p), X ( p) A( p)  B( p)  F ( p) .
k
k 0
Таким образом,
F ( p)  B( p)
, находя оригинал x(t )  X ( p) для функции X ( p) ,
X ( p) 
A( p)
получим решение задачи Коши.
Таблица основных свойств преобразования Лапласа

a i
1
 pt
F ( p )   f (t )e dt
f (t ) 
e pt F ( p )dp

2i a i
0
1
f (t )  f (t )  F ( p)  G( p)
1  ,Re p  0;
p
1
n!
e p0t 
,Re p  Re p0
t ne p0t 
p  p0
( p  p0 )n1
  0, f (t ) 
1 1
F 
 
F ( p  )  e
t
  0, f (t  )  e p F ( p)
dkF
(  t ) f (t )  k
dp
k
f (t )
f ( n ) (t )  p n F ( p)  p n1 f (0)  ...  f ( n1) (0)
f '(t )  pF ( p)  f (0)

t
f (t )
  F (q)dq
t
p
 f ()d  
0
F ( p)
p
Таблица некоторых преобразований Лапласа
Оригинал
1
t  (  1)
2
e t
3
4
Изображение
(  1)
p 1
1
p
(  1)
( p  )1

p 2  2
et t  (  1)
sin t
80
5
cos t
6
t n sin t
7
t n cos t
8
et sin(t  )
9
et cos(t  )
10
sh t
11
ch t
12
13
p
p  2
Im( p  i) n1
n! 2
( p  2 ) n1
Re( p  i) n1
n! 2
( p  2 ) n1
 cos   ( p  )sin 
( p  )2  2
2
sin   ( p  )cos 
( p  )2  2

p 2  2
p
2
p  2
pa
ln
p b
1
p
ebt  eat
t
t
e
t
15
1  4t
e
t
1
sin 2 t

16
1
cos 2 t

1 p
e
p
1
1
sin
2t
t
1
1
cos
2t
t
1 
e
p
1 
e
p
2
14
17
18
e p
p

1
p p
e

p

p
sin p
p
cos p
19
1
sin t
t
p 2  2  p
p 2  2
20
1
cos t
t
p 2  2  p
p 2  2
81
Пример 1. x '' a 2 x  b sin at , начальные данные x(0)  x0 , x '(0)  x1 .
Отметим, что
a
, поэтому
b sin at  b 2
p  a2
ab
ab
p
1
( p 2  a 2 ) X ( p)  2
 px0  x1, X ( p)  2
 x0 2
 x1 2
2
2 2
2
p a
(p  a )
p a
p  a2
px
Согласно 5 из таблицы 2 0 2  x0 cos at ,
p a
x
sin at
согласно 4 из таблицы 2 1 2  x1
,
p a
a
Im( p  ia ) 2
2 pa
 2
согласно 6 из таблицы t sin at 
, отсюда, используя
2
2 2
(p  a )
( p  a 2 )2
t
свойство интегрирования оригинала, получим  t sin atdt 
0
2a
, откуда
( p  a 2 )2
2
t
ab
b
b
  t sin atdt  2 (sin at  at cos at ). Окончательно
2 2
(p  a ) 2 0
2a
2
x(t ) 
b
sin at 
b  sin at 
bt 
(sin at  at cos at )  x0 cos at  x1
  x1 
  x0   cos at

2
2a
a
2a  a
2a 


Пример 2. x ''' 3x '' 3x ' x  1 , нулевые начальные условия.
1
1
1
1
1
1
.
( p  1)3 X ( p)  , X ( p) 
 


3
2
p
p( p  1)
p p  1 ( p  1) ( p  1)3
Откуда
t 2 t
t
t
x(t )  1  e  te  e
2
Пример 3. x ''' x  1, нулевые начальные условия.
1
X ( p) 
. Оригинал находим по второй теореме Хевисайда
p( p3  1)
e pt
x(t )  H (t ) Re s
. Сумма всех вычетов будет равна
p ( p 3  1)
k
 Re s  Re s
k
0
e pt
e pt
e pt
e pt

Re
s

Re
s

Re
s
.
3
3
1 p ( p 3  1)
0.5(1i 3 ) p ( p  1)
0.5(1i 3 ) p ( p  1)
p( p 3  1)
Тогда
82
1 3 
  i t
2 2 
et
e
et 2 2t
t 3
 2Re
1
 e cos
.
3
3
3 3
2
Пример 3. x ''' x  1, нулевые начальные условия.
1
1
1
1
X ( p) 

,
z

(1

i
3),
z

(1  i 3).
1
2
p( p3  1) p( p3  1)( p  z1 )( p  z2 )
2
2
По второй теореме Хевисайда


e pt
e pt
e pt
e pt
x(t )  H (t )  Re s
 Re s
 Re s
 Re s

3
3
3
3
1 p ( p  1)
z1
z2
p( p  1)
p( p  1) 
 0 p( p  1)
x(t )  1 
 et
e z1t 
 H (t ) 1 
 2Re  .
3
3 

d 4x
d 2x
Пример 4. 4  2 2  x  sin t , нулевые условия. Используя 4 из
dt
dt
1
1
таблицы, получим X ( p)  4
. По второй теореме

( p  2 p 2  1)( p 2  1) ( p 2  1)3
Хевисайда

e pt
e pt 
d 2  e pt 
x(t )  H (t )  Re s 2
 Re s 2
  H (t )2Re dp 2  ( p  i)3  
3
i
 i ( p  1)3
(
p

1)



 p i
3
1

 H (t )  (3  t 3 )sin t  t cos t  .
8
3

2
Пример 5. x ''  x  a[ H (t )  H (t  b)] , нулевые начальные условия.
a a  bp
a (1  e bp )
X ( p )( p   )   e , X ( p) 
p p
p ( p 2  2 )
a
a

 x(t ) , по второй теореме Хевисайда
p( p 2  2 ) p( p  i)( p  i)


ae pt
ae pt
ae pt
x(t )  H (t )  Re s

Re
s

Re
s

2
2
i p ( p 2  2 )
 i p ( p 2  2 )
 0 p( p   )

2
2
a
ae pt
 H (t )  2 
p ( p  i)
 
ae pt
 Re s
 i p ( p  i)
p  i


p  i 

a
aeit
ae  it 
a
2a
a

 H (t )  2 

 H (t )  2  2 2cos t   H (t ) 2 sin 2 t.


  2

  i2i i2i 
ae  bp
2a
(t  b)
 2 sin 2
H (t  b)
Свойство запаздывания дает
2
2
p( p   ) 
2
2a 
t
(t  b)

H (t  b) 
Окончательно x(t )  2 sin 2 H (t )  sin 2
 
2
2

83
Пример 7.
x ' ax  f (t ) , нулевые начальные условия. Имеем
F ( p)
, далее
X ( p) 
pa
1
F ( p)  f (t ) H (t ),
 g (t )  e at H (t ) и
pa


1
F ( p)
 ( f * g )(t )   f ( ) H ( ) g (t  ) d    f ( ) H ( )e  a (t  ) H (t  ) d  
pa


t
  f ()e  a (t  ) d .
0
84