1-2 - Ставропольский государственный аграрный университет

ФГБОУ ВПО
Ставропольский государственный аграрный университет
Стародубцева Г. П., Хащенко А. А.,
Афанасьев М. А., Любая С. И.
Механика, молекулярная физика
и термодинамика
Курс лекций
Ставрополь - 2013
УДК 53 (076.5)
ББК 22.36 я 7
С 773
Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор
Симоновский Александр Яковлевич
Кандидат физико-математических наук, доцент
Копылова Оксана Сергеевна
Печатается по рекомендации методической комиссии
Электроэнергетического факультета СтГАУ
(протокол № 2 от 7.10.2013 г.)
Стародубцева Г. П., Хащенко А. А., Афанасьев М. А., Любая С. И.
Курс лекций по механике, молекулярной физике и термодинамике.
Учебное пособие для студентов аграрных вузов, обучающихся по направлениям:
110800.62 – Агроинженерия и 190000.62 – Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов. Ставрополь, 2013 – 96 с.
В данном пособии в краткой и доступной форме изложен основной теоретический материал,
необходимый студентам для успешного изучения разделов курса
физики «Механика»,
«Молекулярная физика» и «Термодинамика» согласно Федеральному государственному
образовательному стандарту (ФГОС) и рабочей программы данной дисциплины. Приведено
большое количество примеров и иллюстраций, помогающих студентам лучше усвоить основные
определения и законы.
УДК 53 (076.5)
ББК 22.36 я 7
С 773
© Г.П. Стародубцева, А.А Хащенко, М.А. Афанасьев, С.И. Любая, 2013
© Ставропольский государственный аграрный университет, 201
2
СОДЕРЖАНИЕ
Раздел 1. Механика…………………………………………………………4
Лекции № 1 – 2. Кинематика материальной точки………………………...4
Лекция № 3. Динамика материальной точки……………………………...15
Лекция № 4. Силы в природе……………………………………………….21
Лекция № 5. Работа. Мощность. Энергия…………………………………30
Лекции № 6 – 7. Динамика твердого тела…………………………………36
Лекции № 8 – 9. Механические колебания………………………………..44
Лекция № 10. Механические волны……………………………………….59
Раздел 2. Основы молекулярной физики и термодинамики………...67
Лекция № 11. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа…….67
Лекция № 12. Основы термодинамики……………………………………80
Литература………………………………………………………………….94
3
Раздел 1. Механика
Лекции № 1-2.
Тема: «Кинематика материальной точки».
План:
1. Предмет Физика. Механика. Кинематика. Система отчета. Материальная
точка. Траектория. Длина пути. Перемещение.
2. Скорость как производная пути по времени.
3. Ускорение. Равноускоренное движение.
4. Составляющие ускорения. Тангенциальное и нормальное ускорение.
5. Вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение.
6. Связь угловых и линейных величин.
7. Равномерное движение по окружности.
1.
Понятие механика, физика, кинематика появились в древней Греции в 7-6 вв.
до н.э. Еще в древней Греции говорилось о первичности материи и о
материальности окружающего наc мира.
Материя
существует
в
виде
вещества
и
полей:
гравитационных,
электрических, электромагнитных, атомных, ядерных и др.
Задача физиков не только объяснить те или иные явления, но и создать
целостное представление о мире. Эйнштейн писал: ''Высшим долгом физиков
является поиск тех общих элементарных законов из которых возможно получить
картину мира''.
Первым известным физиком механиком в истории человечества был
Архимед. Который уделял большое внимание созданию различных приборов в том
числе и военного оборудования.
Механика – (''механе'' –орудие, приспособление, уловка, ухищрение,
позволяющие перехитрить природу). В механике рассматривается движение тел.
Механическим
движением
называется
относительно других тел с течением времени.
4
изменение
положение
тела
Кинематика – раздел физики в котором изучается движение тел, но не
исследуются причины вызывающие это движение.
Для исследования движения вводится понятие материальная точка – тело
обладающее массой размерами которого можно пренебречь при решении данной
задачи.
Движение рассматривается в пространстве
y
и во времени, относительно тела отсчета,
A
которое условно считается неподвижным.
Тело отсчета, система координат и часы,
x
y
z
отсчитывающие
Z
время,
образуют
систему
отсчета.
x
Чаще всего движение рассматривается в
Рис. 1.
декартовой системе координат (рис. 1).
Положение точки в системе координат определяется координатами х, у, z или

радиус вектором r проведенным из начала координат в данную точку. При
движении материальной точки ее координаты изменяются с течением времени, то
есть являются некоторыми функциями времени, и ее движение описывается тремя
скалярными уравнениями
x  x(t ), y  y (t ), z  z (t )
векторным уравнением r  r (t ) . При своем
или одним эквивалентным
движении материальная
точка
описывает траекторию.
Траектория – это линия вдоль которой движется тело в пространстве.
Рассмотрим перемещение точки из положения А в положение В за промежуток
времени t (рис. 2).
АВ – траектория; S - путь или длина пути (длина траектории);
S - скаляр, измеряется в [м].
Положение точки в А характеризуется радиусом вектором r0 ,
а положение точки в В характеризуется радиус векторам
5
r.
r  r  r0
-
вектор
перемещения
–
y
направленный отрезок прямой, соединяющий
A
начальную и конечную точку движения.
B
 r - вектор – характеризуется направлением и
o
x
численным значением.
z
Рис. 2.
2.
Для характеристики движения вводится понятие скорость.

Скорость  – это физическая величина, характеризующая быстроту и
направление движения. Пусть материальная точка движется таким образом, что в
начальный момент времени ее положение описывается радиус вектором
промежуток времени t радиус вектором


A
положении В скорость  (рис. 3). За промежуток
времени
B
υ
Рис. 3.
r.
В положении А точка имела скорость  0 , а в
υ
o

r0 , а спустя
t точка совершила перемещение r .

Разделив перемещение  r на соответствующее этому
перемещению время  t получим значение средней
скорости:

r
  
t
(1.1)
Предельное значение средней скорости при t  0 называется мгновенной
скоростью:
r dr

t 0 t
dt
  lim    lim
t 0
(1.2)
Мгновенная скорость - это первая производная радиус вектора по времени.
При t  0 , S  r и численное значение мгновенной скорости определяется
выражением:
S dS

t 0 t
dt
  lim
6
(1.3)
Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в
сторону движения.
Выразив S из (1.3) уравнения, получим dS    dt .
Для того чтобы найти пройденный путь, последнее выражение необходимо
проинтегрировать от t до t  t :
S
t  t
t
  dt .
Равномерным называется движение с постоянной скоростью, при котором
тело (точка) за равные промежутки времени проходит равные расстояния.

При прямолинейном равномерном движении (  const ) длина пути S и
перемещение r равны по модулю, формула для расчёта пройденного пути при
равномерном движении имеет вид:

S  S    t ,
где S - путь – м; Δ t - время – с;   скорость  м с .
3.
Ускорение – физическая величина, которая характеризует быстроту
изменения скорости как по величине, так и по направлению. Пусть за время  t,
скорость изменилась на величину   . Величина среднего ускорения определяется
по формуле:
a 

t
(1.4).

a - ускорение - м с 2 .
Предел, к которому стремится среднее ускорение, при  t→0 называется
мгновенным ускорением (первая производная скорости по времени):



 d
a  lim

t  0 t
dt

Известно, что скорость – это  
(1.5)
dS
. Подставив значение скорости в формулу
dt
мгновенного ускорения, получим:
7
a
d dS d 2 S


dt dt dt 2
Таким образом, мгновенное ускорение – это вторая производная пути по
времени
Равноускоренное движение – движение с постоянным ускорением
(a = const).
Пусть точка имела начальную скорость  0, а спустя время t - конечную

скорость  , тогда ускорение точки определится выражением:
 
   0
  
a
    0  a  dt t
скорость при равнопеременном движении.

При движении без начальной скорости ( 0 = 0):
 
  a  dt
Для определения пути проинтегрируем последнее выражение от 0 до t.
t
t
0
0
S   dt    0  at dt   0 t 
at 2
.
2
Путь без учета времени при равноускоренном движении определяется по
формуле:
S
 2   02
2a
 при  0  0, S 
2
2a
.
Выразим скорость при равноускоренном движении без учета времени:
  2aS
(1.6)
4.
При прямолинейном поступательном движении все точки тела описывают
одинаковые траектории. Вектора ускорения и скорости направлены вдоль одной
прямой, при ускоренном движении - в одну сторону, а при замедленном движении в противоположные стороны.
При криволинейном движении ускорение может составлять со скоростью

некоторый угол α. Разложим а на две составляющие:
8



а n - нормальное и а - тангенциальное ускорение. а

а
скорости и n перпендикулярно ему (рис. 4).

а -
тангенциальное
направлено вдоль вектора
ускорение
-характеризует

α
изменение вектора скорости  по величине (модулю)


d
и определяется по формуле: а 
;
dt

а n - нормальное ускорение - характеризует изменение
Рис. 4.

вектора скорости  по направлению и определяется по
 2
аn 
,
R
формуле:
Где R – радиус кривизны траектории данного участка пути.
Модуль полного ускорения определяется по теореме Пифагора:
а 2  а n2  a2 , а  аn2  a2 .
Рассмотрим примеры движения материальной точки в следующих случаях:
1) an  0
a  0 - равномерное прямолинейное движение
2) an  const
a  0 - равномерное движение по окружности
3) an  const
a  const - равноускоренное движение по окружности
4) an  0
a  const - равноускоренное прямолинейное движение.
Выведем формулу нормального ускорения.

А
0
R
О
ΔS
α
R
С
В



 n


D
Рис. 5.
9





Пусть точка, имея скорость 0 в А, переместилась в положение В и ее
скорость стала


 (рис. 5). Для того, чтобы найти изменение скорости  ,




перенесем параллельным переносом  из В в А. Разложим  на  и  n .
Из подобия равнобедренных треугольников ОАВ и АДС следует:
CD 

AB R
(1.7)
CD   n
(1.8)
AB    t
(1.9)
Из чертежа видно, что
Подставив правые части уравнений (1.8.) и (1.9) в (1.7) получим:
 n 

  t R
(1.10)
 n  2

умножим обе части на  получим:
.
t
R

При t  0
lim
t 0

 n d n
2

 an 
.
t
dt
R
an 
2
R
(1.11)
5.
Абсолютно твердым телом, называется тело деформациями которого можно
пренебречь в данных условиях.
Вращательным называется движение, при котором все точки твердого тела
описывают окружность, центры которых лежат на неподвижной оси ОО/.
Для характеристики вращательного движения вводится понятие
угла поворота -  (рис. 6).
Пусть материальная точка вращается по окружности радиусом R и за время
t перемещается из положения А в положение В (рис. 7).
10
О
О
Δφ
А

I


II
О′


В
О
Рис. 7.
Рис. 6.
За это время радиус-вектор совершил поворот на угол  . Отношение угла
поворота ко времени

, за которое этот поворот произошел, называется средней
t
угловой скоростью:
  

t
(1.12)
Перейдя к пределу в (1.12) уравнении при t  0 мы получим значение
мгновенной угловой скорости:
  lim
t 0
 d

t
dt
 
(1.13)
d
dt
(1.14)
Таким образом, мгновенная гловая скорость –это первая производная угла
поворота радиуса Δφ по времени.
 
  рад 
 с 1
Измеряется    

 с 
Направление угловой скорости определяется правилом правого винта
(рис. 8):
О
R
О


A

О
Рис. 8.
11

Если вращательное движение рукоятки винта совпадает с направлением
линейной скорости  , то поступательное движение винта укажет направление
угловой скорости  .
Предположим, что за промежуток времени t угловая скорость  получила

приращение  , тогда отношение t будет определять значение среднего углового
ускорения:
   
(1.14)
t
Измеряется угловое ускорение

   рад
.
с 
2
Перейдя к пределу в уравнении (1.14) при Δt→0 получим
мгновенное угловое ускорение:

 d

,
t 0 t
dt
 lim
(1.15)
Подставив в уравнение (1.15) значение ω из уравнения (1.13) получим:

d d  d  d 2

 

dt dt  dt  dt 2
(1.16)
Угловое ускорение есть первая производная угловой скорости по времени
или вторая производная угла поворота радиуса по времени.
При ускоренном движении направление векторов угловой скорости и
углового ускорения совпадают, при замедленном - направлены в противоположные
стороны.
6.
Выведем формулы, связывающие линейные и угловые величины.

A
R

R




Рис. 9.
12

S
B
Известно, что путь S  R   (рис. 9) при t  0 , dS  R  d ,
так как  
dS R  d
dS

 R
, то  
dt
dt
dt
Таким образом, связь между угловой и линейной скоростями определяется
выражением:
  R 
Тангенциальное ускорение определяется выражением: a 
(1.17)
d
,
dt
так как   R  , то
a 
d R   
d
R
 R .
dt
dt
Таким образом связь между тангенциальным и угловым ускорением определяется
выражением:
a  R
(1.18)
Известно, что значение нормального ускорения определяется выражением:
aн 
2
R
. Так как линейная скорость   R , то подставляя ее значения в выражение
для нормального ускорения, получим формулу связи данных величин:
aн 
 2R2
R
 2R
(1.19)
7.
Равномерным движением по окружности называется такое движение, при
котором тело за равные промежутки времени проходит равные дуги. Угловая
скорость  

.
t
Пусть точка совершила 1 оборот, тогда t  T ;   2 , где t –
время, Т – период -
время, в течение которого материальная точка совершает
полный оборот, ∆φ – угол поворота. Значение угловой скорости при равномерном
движении по окружности определяется выражением:

2
T
13
(1.20)
v
1
- частота оборотов – число полных оборотов в единицу времени v  Гц
T
(Герц).
С учетом данной величины угловая скорость может быть также определена
выражением:
  2v .
(1.21)
При равномерном движении по окружности линейная скорость определится
по формуле:  

.
t
Если материальная точка совершила полный оборот, то
  2R (длина
окружности), t  T , таким образом значение линейной скорости движения точки
определится выражением:

2R
 2Rv
T
Пусть точка имеет угловую скорость  0 , а через промежуток времени t -  , тогда
угловое ускорение определится выражением:
   t 
0
(1.22)
Выразим из уравнения (1.22) угловую скорость 𝜔
⃗:
  0    t - угловая скорость при равнопеременном вращательном движении.
 t
  t
0
2
2
- угловое перемещение при равнопеременном вращательном
движении.
14
Лекция № 3.
Тема: «Динамика материальной точки».
План:
1. Первый закон Ньютона. Масса. Сила.
2. Второй и третий законы Ньютона. Импульс.
3. Закон сохранения импульса.
4. Центр масс. Движение центра масс.
5. Момент силы.
6. Условия равновесия тел.
1.
Динамика – это раздел механики рассматривающий причины вызывающие те
или иные перемещения. В основе динамики лежат законы Ньютона.
Первый закон Ньютона:
Существуют
такие
системы
отсчета,
относительно
которых
материальная точка или тело сохраняет состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения, пока внешние воздействия не выведут ее из этого
состояния.
Способность
тела
сохранять
состояние
покоя
или
равномерного
прямолинейного движения называется инерцией. И первый закон Ньютона
называется законом инерции (споткнуться, поскользнуться).
Закон инерции выполняется в инерциальных системах отсчета. С большой
достоверностью к инерциальным системам отсчета можно отнести Землю и любое
тело покоящиеся или движущиеся равномерно и прямолинейно относительно Земли.
Различные тела под действием одинаковых сил, приобретают различные
ускорения т.е. обладают различной инертностью.
Масса
Масса характеризует инертные свойства тел. Инертность – способность тела
приобретать ускорение.
Масса: m  [кг ] - основная единица СИ.
15
Масса величина аддитивная – это значит, что если тело состоит из
n
m1 , m2 , m3 , ...mn , то m   mi .
i 1

Масса величина постоянная. Если тело движется со скоростью 
соизмеримой со скоростью света c  3  10 8 м / с , то
m
m0
1  2
,
(3.1)
где m0 – масса покоящегося тела, β = υ/с.
Сила
Сила ( F ) – это физическая величина, характеризующая взаимодействие тел,
в результате которого происходит изменение скорости, тела приобретают ускорение
или происходит их деформация.
Сила: F  [H ] - Ньютон. [1H 
кг  м
].
с2
1 Н – это сила сообщающая телу массой 1кг ускорение 1
м
.
с2
2.
Второй закон Ньютона устанавливает зависимость между силой, массой и
ускорением.
Второй закон Ньютона:
a
Ускорение
F рав
(3.2)
m
приобретенное
телом
прямо
пропорционально
равнодействующей всех сил, приложенных к телу и обратно пропорционально
массе.

 d
Известно, что a 
dt
F  ma ; F рав 
подставим значение
a
во второй закон Ньютона:
md d (m )

; P  m - импульс тела – физическая величина,
dt
dt
равная произведению массы на скорость тела. P  [
16
кг  м
].
с
Направление импульса совпадает с направлением скорости
F
dP
- второй закон Ньютона.
dt
(3.3)
Третий закон Ньютона:
Силы с которыми взаимодействуют тела всегда равны по величине и
противоположны по направлению F1   F2 .
Эти силы не когда не компенсируют друг друга, потому что приложены к
разным телам (стоит человек, ходьба). Еще раз подчеркиваем, что между телами
всегда происходят взаимодействия.
Выражая силу через второй закон Ньютона третий закон можно записать в
виде:
m1a1  m2 a2 .
3.
Прежде
чем
выводить
закон
сохранения
импульса
ознакомимся
с
некоторыми понятиями:
Механическая система – совокупность материальных точек и тел
рассматриваемых как единое целое.
Внутренние силы – силы взаимодействия между материальными точками
системы.
Внешние силы – силы с которыми внешние тела действуют на материальные
точки системы.
Замкнутая система – система которая не взаимодействует с внешними
силами (внутренние силы во много раз превосходят внешние силы).
Пусть дана замкнутая механическая система состоящая из n материальных
точек
массами
m1 , m2 , m3 , ...mn обладающих
скоростями
 

1 ,  2 , .... n . F  -
равнодействующая внешних сил. F - равнодействующая внутренних сил. Запишем
второй закон Ньютона для каждой точки системы, через импульс
d m11 
 F1  F1
dt
17
d m2 2 
 F2  F2
dt
………………
d mn n 
 Fn  Fn Сложим почленно все уравнения и получим:
dt
d m 
 F1  F1  F2  F2  ...  Fn  Fn ;
dt
Система замкнутая, следовательно суммарное действие внешних сил равно
нулю: F1  F2  ...  Fn  0 . Материальные точки внутри системы по третьему закону
Ньютона взаимодействуют между собой с силами равными по величине и
противоположными по направлению т.е. геометрическая сумма всех внутренних
сил: F1  F2  ...  Fn  0 . второй закон Ньютона для замкнутой системы примет вид:
dP
d m 
 0 ; P  const ; m  const
 0;
dt
dt
(3.4)
Закон сохранения импульса:
В изолированной замкнутой системе сумма импульсов тел есть величина
постоянная.
Это фундаментальный закон Ньютоновской механики.
4.
Пусть дана замкнутая система, состоящая из n материальных точек массами
n
m1 , m2 , m3 , ...mn , общая масса этой системы равна m   mi .
i 1
Центром масс системы называется воображаемая точка, положение
которой, характеризует распределение масс этой системы.
У тел правильной геометрической формы, центр масс совпадает с
геометрическим центром.
Положение центра масс любого тела определяется радиус вектором
r
m1r1  m2 r2  ...  mn rn
.
m1  m2  ...  mn
18
(3.5)
Центр масс является важнейшей характеристикой для определения движения
тела. Особую роль он играет, в так называемых твердых телах, в которых
расстояние между точками тела не меняется за время движения тела.
Для определения скорости движения центра масс возьмем производную от
радиус вектора центра масс по времени:
dr
dr
dr



 m1 1  m2 2  ...  mn n
drc
m11  m2 2  ...  mn n
dt
dt
dt
ñ 


.
dt
m
m
Так как произведение массы точки на ее скорость есть импульс данной
точки, то скорость центра масс будет равна сумме импульсов всех материальных
точек отнесенной к общей массе:
 



P1  P2  ...  Pn P

 , где P - общий импульс.
m
m

Таким образом, общий импульс тела будет равен


P  m .
Взяв производную по времени в выражении (3.6), получим



d c
dP 
F
m
 F  mac - закон движения центра масс.
dt
dt
(3.6)
(3.7)
Центр масс система материальных точек движется как материальная
точка в которой сосредоточена вся масса тела или системы тел на которые
действуют внешние силы, равнодействующие которых приложены к центру масс.
5.
Рассмотрим тело вращающееся относительно точки О (рис. 10). Пусть сила F
приложена к телу в точке А, находящейся на расстоянии r от оси вращения, α – угол
 
F
между и r . Под действием этой силы тело начнет вращается по часовой стрелке.
Вращательное действие силы характеризуется моментом силы – М.
19
А
r
α
F
О
d
F
Рис. 10.
Запишем второй закон Ньютона через импульс:

dP
F
.
dt
(3.4)
Умножим обе части равенства на (r), получим:
F  r   dP
 r.
dt
Правую часть равенства обозначим М – момент силы в векторном виде.
 
М  F r
(3.8)
 
Это момент силы 𝐹 относительно точки О.
Численное значение или модуль [М] определяется:
М = F·r·sinα.
Из рис. 10 видно, что r·sinα = d, тогда
М=F d.
(3.9)
Момент силы равен произведению силы на плечо, d – плечо – кратчайшее
расстояние от оси вращения до линии действия силы М=[Н·м].
Момент силы всегда перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора
 
F и r . Направление момента силы определяется правилом правого винта.
6.
Движение любого твердого тела описывается двумя уравнениями
ma   F
.
I   M
20
Следовательно, характер движения определяется действующими на тело
внешними силами и моментами этих сил.
Выясним теперь условие равновесия тела ( a = 0). Тело может оставаться в
состоянии равновесия в том случае, если нет причин, приводящих к его изменению
(первый закон Ньютона). Для этого необходимо и достаточно выполнения двух
условий:
- сумма всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равной
нулю,т.е.
F  0;
- суммарный момент внешних сил относительно любой точки должен быть
равен нулю:
M  0.
Лекция № 4
Тема: «Силы в природе».
План:
1. Гравитационные поля. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести.
2. Вес тела. Невесомость.
3. Трение. Сила трения. Коэффициент трения.
4. Деформация. Силы упругости.
5. Силы инерции.
1.
Польский ученый Коперник установил законы движения планет, на основе
которых Ньютон вывел закон всемирного тяготения:

mm
F  G 12 2 ,
r
(4.1)
где F – гравитационная сила (сила всемирного тяготения), m1, m2 – массы, r –
расстояние, G – гравитационная постоянная.
21
Сила взаимодействия между телами пропорциональна произведению
масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Выразим G из уравнения (4.1):
F r2
G
m1 m2
(4.2)
Если m1 = 1кг, m2 = 1кг, r = 1м, то численно G = F,
Н  м2
.
кг  кг
G = 6,67·10-11 м3/с2кг
Взаимодействие между телами происходит с помощью гравитационного поля
или поля тяготения.

На любое тело, расположенное вблизи планеты действует сила тяготения F .
В системе отсчета, связанной с Землей на всякое тело массой m действует


сила тяжести F  m  g , где g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения.
Сила тяжести - это сила, с которой тело притягивается к Земле.
Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила
тяжести и гравитационная сила равны между собой.

mMЗ

F  m g  G
RЗ2
(4.3)
где МЗ – масса Земли, RЗ – радиус Земли.
Если тело поднято на высоту h, соизмеримую с радиусом Земли, то сила
тяжести определится выражением:

mMЗ
F G
.
( R З  h) 2
(4.4)
Силы гравитации - центральные, направленные вдоль линии соединяющие
центры масс тел (рис. 11).
m
З
F1З
Рис. 11.
22
F1Л
Л
Силы тяготения не зависят от среды, в которой происходит взаимодействие.
Тяготение существует и в вакууме.
2.
Вес тела – сила с которой тело давит на опору или растягивает нить подвеса.
Если
тело
покоится
или
движется
равномерно
прямолинейно
по
горизонтальной поверхности, то вес тела равен P = mg (рис. 12).
m
mg
Рис. 12.

Если тело массой m поднимается вверх с ускорением а , то P = mg + ma =
m(g + a). Данное состояние тела называется состоянием перегрузки (рис. 13).
а
m
mg
Рис. 13.

Если тело массой m опускается вниз с ускорением а , то P = mg - ma = m(g a). Данное состояние называется состоянием частичной невесомости (рис. 14).
а
m
mg
Рис. 14.
23
 
В случае, если тело падает с ускорением а  g , то P = m(g – g) = 0.
Данное состояние называется состоянием полной невесомости - состояние,
когда тело не давит на опору и не испытывает внутренних напряжений.
3.
Сила трения
На поверхностях тел имеются шероховатости, которые цепляются друг за
друга,
в
результате
возникает
трение.
При
соприкосновении
идеально
отполированных тел трение обусловлено силами молекулярного сцепления. Трение,
возникающее при соприкосновении поверхности тел, называется внешним. Если
соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, то говорят о трении
покоя, если происходит их перемещение, то в зависимости от характера
относительного движения говорят о трении качения, скольжения или верчения.
Тело стронется с места, если F >Fтр. Французами Ш. Кулоном и Г. Амонтоном
установлено, что
Fтр=μN
(4.5)
N
N
F
Fтр
mg
Fтр
F
mg
Рис. 15
Сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления (N),
где N – сила нормального давления, перпендикулярная к соприкасающейся
поверхности, μ – коэффициент трения.
В данном случае N = mg, Fтр=μmg (рис. 15).

Fтр H
    - безразмерная величина.
H
N
24
Величина коэффициента трения μ зависит от рода трущихся поверхностей,
качества их обработки и угла наклона, если движение происходит по наклонной
плоскости.
Пусть брусок массой m скатывается равномерно по наклонной плоскости с
углом наклона α (рис. 16).
N
υ = сonst
Fтр
mgsin α
α
Fсж
α
mgcos α
α
Fсж
mg
mg
Рис. 16.
Рис. 17.
К телу приложены силы: mg – сила тяжести, N – сила реакции опоры, mgsinα
–
скатывающая
сила,
Fтр
–
сила
трения:
Fтр    N ,
N  mg cos  ,
Fтр    mg cos  . В случае равномерного движения Fтр = mgsinα или
  mg cos   mg sin  ,
отсюда

sin 
,
cos 
  tg ,
(4.6)
то есть коэффициент трения зависит от угла наклона, если движение происходит по
наклонной плоскости.
Если брусок зажат под действием двух сил Fсж (рис. 17), то сила трения
Fтр    N ,
N  2 Fсж ,
Fтр  2 Fсж
Очень часто трение выполняет вредную роль. В данном случае
целесообразно применение смазывающих материалов или замена трения
скольжения трением качением (подшипники). Сила трения в этом случае
определяется по закону Кулона:
25
𝑁
𝐹тр = 𝜇к ,
𝑅
где 𝜇к – коэффициент трения качения, R – радиус катящегося тела.
4.
Деформация – изменение размеров и форм тела под действием внешних сил.
Деформация называется упругой, если после снятия внешней нагрузки тело
приобретает свою первоначальную форму и размеры. В противном случае
деформация называется пластической. Рассмотрим стержень имеющий длину l0 и
площадью поперечного сечения S и находящийся в подвешенном состоянии. Под

действием силы F стержень растянется и его конечная длина станет равна l (рис.18).
Введем понятия:
△l = l - l0, - абсолютное удлинение,
l
l
– относительное удлинение,
l0

F
  – механическое напряжение ,[  ]  [ Н2 ] ,
S
м

l0
Δl
F
Рис. 8
Рис. 18.
𝐹 − приложенная сила,
𝜀 ′=
△𝑑
𝑑
– поперечное относительное растяжение или сжатие.
Если ε положительно, то 𝜺′ отрицательно и наоборот. Между ε и 𝜀 ′
существует зависимость:
𝜀 ′ =με,
где μ – коэффициент Пуассона.
Гук установил 2 закона для абсолютного и относительного удлинения.
1. В пределах упругости сила упругости прямо пропорциональна
деформации или смещению
Fупр   kx ,
(4.7)
где Fупр – силы упругости, Δх – смещение, k – коэффициент жесткости.
Знак «-» указывает на то, что сила упругости (Fупр) всегда направлена
противоположно смещению (Δх).
26
2. Для относительного удлинения закон Гука звучит так: относительное
удлинение прямо пропорционально механическому напряжению в пределах
упругости
△𝒍
𝒍
𝟏
= σ 𝑬,
(4.8)
где Е – коэффициент пропорциональности, называемый модулем Юнга, табличное
значение характеризующее упругие свойства тела. Выразим модуль Юнга из закона
Гука:
E

l
l


 – модуль Юнга.
(4.9)
(численно равен механическому напряжению, при котором стержень удлиняется
вдвое).
Сила упругости внутренняя сила, стремящаяся вернуть деформируемое тело
в исходное состояние.
5.
Закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета.
Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальных систем с ускорением
называются неинерциальными. Законы динамики в них не выполняются, но их
можно применять, введя силы инерции. Если учитывать силы инерции, то второй
закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета:
 

ma   F  Fин

 
ma   ma  Fинер
Произведение массы на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно
сумме всех сил, действующих на тело, включая и силы инерции.
Рассмотрим конкретные примеры.
1. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета.
Шарик массой m подвешен на нити. Если тележка начнет двигаться с


 
ускорением а 0 , то нить отклонится на угол α и сила F  mg  Fн сообщит

шарику ускорение а 0 (рис. 19, 20).
27
Fн
α Fн
α
F
α
m
a0
m
F
mg
Fн = mg
mg
υ=0
тело покоится
Рис. 19.
Рис. 20.
Сила F определяется: F = mg tgα = ma0, отсюда tg 𝛼=
𝑎0
𝑔
.
Шарик покоится относительно системы, движущейся с ускорением а0 и сила F
уравновешена силой инерции, которая направлена противоположно ей:
Fи = - ma0
2. Силы инерции действующие на тело, покоящиеся по вращающейся системе.
Fн
α
Fин
F
R
R
α
mg
ω
Рис. 21.
Рис. 22.
Пусть диск вращается с угловой скоростью ω против часовой стрелки (рис.
21).
 

F  Fн  mg , где Fн – силы натяжения,
F = maц, aц = ω2R', где aц – центростремительное ускорение, ω - угловая
скорость.
28
F = mω2R = mg·tgα
(4.10)
Выразим tgα из формулы (4.10).
tg 
2  R
g
(4.11)
Из (4.11) видно, что угол отклонения α тем больше, чем больше угловая
скорость 𝜔
⃗ и расстояние R' до оси вращения. Шарик будет покоиться если
Fин= - mω2R – центробежная сила инерции, действие которой проявляется при
поворотах, выполнении пилотажа.
3. Силы инерции, действующие на тело, движущиеся во вращательной системе
отсчета.
Пусть шарик массой m движется вдоль радиуса. Если ν=const, ω=0, то шарик
окажется в точке А. Если ν=const ω≠ const, то шарик окажется в точке В.
F – сила, действующая на шарик со стороны желоба.
Если ν=const , то это возможно, если F уравнять Fк – кориолисовой силой
инерции.
В
А
ω
Fк
υ
F
желоб
ω
Рис. 23.
29
Лекция № 5
Тема: «Работа. Мощность. Энергия».
План:
1. Работа. Мощность.
2. Кинетическая энергия.
3. Потенциальная энергия.
4. Закон сохранения и превращения энергии.
1.
Если тело под действием силы перемещается, то
F1
m
совершается работа.
S
a
F2
Рис. 24.
Работа – это скалярное произведение вектора
силы, на вектор перемещения.
 
Работа A  F  S .
Рассмотрим тело перемещающиеся под действием силы 𝐹 направленной под
углом α к перемещению 𝑆 (рис. 24).
   
A  F2  S  F  S  cos 
(5.1)
Формулой (5.1) для расчета работы можно пользоваться в том случае, если
сила F постоянна. Если же сила изменяется на разных участках пути, то работа на
всем участке S определяется суммированием (интегрированием) элементарных
работ на малых участках dS в пределах которых силу можно считать постоянной
(рис. 24).
В этом случае работа, совершаемая на элементарном участке dS определится
по формуле: Ai  FSi  dS . Для того, чтобы найти работу на участке 1-2 необходимо
произвести интегрирование от в пределах от точки 1
до точки 2.
30
2
A   FS  dS
FS
(5.2)
1
Для того, чтобы рассчитать этот интеграл
FS
1
необходимо знать зависимость F (S ) , если изменение
2
S силы представлено графически, то выполненная
dS
работа будет равна площади заштрихованной фигуры.
Рис. 25.
Работа измеряется:
A  [ Дж  Н  м  кг  м / с 2  м  кг  м 2 / с 2 ] .
Работа может быть положительной и отрицательной, если
0 0    90 0
A>0
90 0    180 0 A< 0
  90 0
A0
Мощность – это физическая величина, характеризующая быстроту выполнения
работы, т.е.
N
A
t
(5.3).
Рассмотрим случай равномерного движения, т.е.   const и F  const .
Работа A  F  S ,тогда N 
FS
,
t
N  F .
В случае переменного движения мощность равна
N  F ср ,
(5.4)
Дж Нм
м2

 кг  2 ] ;
Мощность измеряется: N  [ Вт 
с
с
с
2.
Энергия – это физическая величина, характеризующая способность тела или
системы тел совершать работу.
В механике различают кинетическую (Wk) и потенциальную (Wn) энергии.
Кинетическая энергия – это энергия, которой обладают движущиеся тела.
31
Пусть тело перемещается равнопеременно под действием постоянной силы
F
. Работа тела может быть определена по формуле (5.2):
2
A   F  dS .
1
Известно, что скорость  
dS
, отсюда
dt
dS    dt .
(5.5)
Сила в соответствии со вторым законом Ньютона
F  ma  m
d
,
dt
(5.6)
Подставим правые части уравнений (5.5) и (5.6) в уравнение (5.2):
d
m 2
A   F  dS   m 
   dt  m    d 
dt
2
1
1
1
2
2
2
2
1
m 22 m12


;
2
2
Таким образом, работа совершенная телом при его движении под действием

постоянной силы F определяется по формуле:
m 22 m12
A

.
2
2
Если одна из скоростей равна 0, то
Wk 
m 2
2
,
(5.7)
где m – масса тела, υ – скорость движения тела.
Работа, совершенная движущимся телом равна изменению кинетической
энергии.
Кинетическая энергия движущегося тела численно равна работе, которую
совершает тело при полной своей остановке.
3.
Потенциальная энергия – это энергия которая зависит от взаимного
расположения тел или частей одного и того же тела.
Потенциальная
энергия
тела
массой
относительного нулевого уровня.
32
m
поднятого
на
высоту
h
2
a
hi
h
1
Рис. 26.
Пусть тело массой m перемещается из точки 2 в точку 1. Выберем
элементарный участок, работа на котором, определяется по формуле,
A  mgl  cos  ,
(5.8)
но из (рис. 26) видно, что l  cos   hi . A  mghi .
n
Чтобы определить работу на всем участке 1-2, просуммируем h   hi и
i 1
работа на всем участке 1-2 будет равна:
A  mgh  Wn ,
(5.9)
где h – высота поднятия тела над нулевым уровнем.
Потенциальная энергия численно равна работе которую может совершать
тело, падая с высоты h .
Потенциальная
энергия
может
быть
как
положительной,
так
и
отрицательной.
Например: если за нулевой уровень принять поверхность Земли, то
потенциальная энергия тела поднятого на высоту
h
относительно земли,
положительна. Если же тело находится в шахте на глубине h , то его потенциальная
энергия отрицательна.
Пусть тело массой m перемещается из точки 1 в точку 2 и наоборот, т.е. тело
проходит путь по замкнутому контуру.
33
1
AОБ  A1, 2  A2,1
;
А F S ;
A1.2  mgh  mgh ;
A2.1  mgh  mgh ;
AОБ  mgh  mgh  0 .
2
Рис. 27.
Работа по замкнутому контуру равна нулю (рис. 27).
 
A   F  dS  0
Поля, в которых работа по замкнутому контуру равна нулю и не зависит от
формы траектории (рис. 26), а зависит только от положения начальной и конечной
точки называются потенциальными, а действующие в них силы – консервативными.
К ним относятся силы тяжести, кулоновские силы, силы тяготения, потенциальная
энергия в этих полях равна работе консервативных сил с противоположенным
знаком.
WP   AКОНСЕР.
Если же работа сил зависит от траектории движения, то такие силы называют
диссипативными.
Рассчитаем потенциальную энергию упруго деформированного тела. По
закону Гука сила упругости Fупр.  kx , k – коэффициент упругости, а x деформация или смещение тела. Минус в формуле указывает на то, что силы
упругости всегда противоположены смещению x .
По третьему закону Ньютона сила F , совершающая работу должна
преодолеть силу упругости и она будет равна F   Fупр. С учетом этого элементарная
работа dA совершаемая на малом перемещении dx с силой F определится по
формуле dA  Fdx  kxdx .
Для того чтобы определить работу на всем участке или общую работу
необходимо произвести суммирование или интегрирование.
x
x
0
0
A   kxdx  k  xdx 
kx 2
kx 2
 A
 WP .
2
2
4.
34
(5.10)
Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из n материальных точек
m1 , m2 ,....mn движущихся со скоростями 1 , 2 ,........ n .
F1, F2,..........Fn
-
равнодействующие
внутренних
консервативных
сил
действующих на каждую точку.
F1 , F2 ,..........Fn - равнодействующие внешних сил действующих на каждую
точку.
Запишем второй закон Ньютона через импульс для каждой точки:
m1
d1
 F1  F1 ;
dt
m2
d 2
 F2  F2
dt
(5.11)
…………..
mn
d n
 Fn  Fn
dt
Предположим, что за малый промежуток времени dt
каждая точка
совершила малые перемещения dx1 , dx2 ,...........dxn . Так как система замкнутая, то

dx 
 :
сумма внешних сил равна нулю и уравнение (5.11) перепишется, поскольку
dt
m11  d1  F1dx1
m2 2  d 2  F2dx 2
..............................
mn n  d n  Fndx n
(5.12).
Сложим почленно уравнение (5.12) и получим:
n
n
i 1
i 1
 mi i d i   Fidxi
Рассмотрим левую и правую части равенств отдельно:
n
 mi i2 

  dWk ;
m

d


d


i i
i
i 1
i 1
 2 
n
n
 F dx
i 1
n

i 1
i
i
 A  dWP ;
 m2 
d  i i   dWP ;
 2 
35
(5.13).
Перепишем равенство (5.13) следующим образом:
n
n
 m  d   F dx
i
i 1
Подставив
значения
и
dWk
i
i
 dWP ,
i 1
i
i
0
получим
(5.14)
закон сохранения
и
превращения энергии:
dWk  dWP  0 ,
т.е. в изолированной замкнутой системе изменения механической энергии не
происходит.
В изолированной замкнутой системе тел или точек, между которыми
действуют только консервативные силы, полная механическая энергия системы
остается постоянной, т.е.
Wk  WP  const
Лекции № 6-7
Тема: «Динамика твердого тела»
План:
1. Момент инерции материальной точки и твердого тела.
2. Теорема Штейнера.
3. Основное уравнение динамики вращательного движения.
4. Работа при вращательном движении.
5. Кинетическая энергия вращающегося тела.
6. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.
7. Сопоставление основных величин и уравнений поступательного и
вращательного движений.
1.
При рассмотрении вращения твердого тела с динамической точки зрения
наряду с понятием о массе вводят понятие – момент инерции I – мера инертности
тела во вращательном движении.
36
О
mi
ri

i
О
Рис. 28.
Если материальная точка массой mi вращается вокруг неподвижной оси ОО/,
находясь на расстоянии ri от нее (рис. 28), то ее момент инерции определяется по
формуле:
Ii=mi·r2i
(6.1)
Измеряется момент инерции I=(кг·м2)
Момент инерции материальной точки (mi) относительно оси вращения ОО/
равен произведению массы точки на квадрат расстояния от точки до оси. Это
скалярная величина.
Всякое
тело
можно
рассматривать
как
систему,
состоящую
из
n
материальных точек, поэтому момент инерции твердого тела будет равен:
n
I   mi ri 2
i 1
(6.2)
В случае непрерывного распределения масс, эта сумма будет сводиться к
интегралу:
I 
r
2
dm
(6.3)
Интегрирование производится по всему объему.
В качестве примера выведем формулу момента инерции прямого, тонкого,
однородного стержня длиной l и массой m, относительно оси ОО/ перпендикулярной
стержню, проходящей через его конец.
37
x
dm
S
dx
l
Рис. 29.
Выберем достаточно малый участок стержня длиной dx и массой dm,
удаленной от оси ОО/ на расстоянии х. В виду малости этого участка он может быть
принят за материальную точку и его момент инерции будет равен: dI=x2mi, но
dm=ρ·dV=ρsdx, где ρ – плотность материала стержня, sdx = dV – объем
элементарного участка, тогда
dI=x2ρsdx
(6.4)
Для нахождения момента инерции всего стержня проинтегрируем выражение
l
l
(6.4) от l1 до l2, но l1 = 0 до оси вращения: I=  x ρsdx=ρs  x2dx=ρs
2
0
0
x3
3
l
|0 =ρs
l3 1
= ρsll2=
3 3
1 2
ml , так как S·l=V –объем стержня.
3
I
1 2
ml
3
(6.5)
Для тел правильной геометрической формы, выведены формулы расчета их
момента инерции относительно оси проходящей через их центр.
Приведем выражения для моментов инерции разных симметричных,
однородных тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс.
1. Стержень: I 
1
ml 2
12
O
l
m
O
Рис. 30.
38
2. Диск или цилиндр: I 
1
mR 2
2
O
m
R
O
Рис. 31.
3. Обруч или тонкостенный цилиндр:
O
I  mR 2
R
O
Рис. 32.
4. Шар: I 
2
mR 2
5
z
R
x
y
Рис. 33.
2.
Во всех перечисленных примерах ось вращения проходит через центр масс.
При определении моментов инерции тел относительно оси, не проходящей через
центр масс, применяется теорема Штейнера.
Согласно этой теореме, момент инерции относительно оси О′′О′′ равен
моменту инерции I0 относительно параллельной оси, проходящей через центр масс
тела О′О′, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между
этими осями.
I  I 0  md 2 .
39
(6.6)
Например нужно определить момент инерции диска относительно оси
О' О', проходящей через его конец (рис. 34).
O
O
R
O
O
Рис. 34.
2
По теореме Штейнера (6.6): I  I 0  md 
1
3
mR 2  mR 2  mR 2 , т. к.
2
2
d = R в этом случае.
3.
Тело вращается под действием силы 𝐹 , а материальная точка mi под

действием силы 𝐹𝑖 (рис. 35). Вращающийся момент М i будет равен
Mi = FiRi=miaiRi,
(6.7)
т. к. по второму закону Ньютона F = ma.
Линейное ускорение равно угловому умноженному на радиус R: ai=Riε. С
учетом этого уравнение (6.7) перепишется в виде Mi=miεRi2, но miRi2=Ii и момент
силы будет равен:
Mi = Iiε
(6.8)
Момент инерции всего тела найдем как сумму моментов инерции
элементарных масс mi:
n
M   Ii    I  
(6.9)
i 1
Выражая угловое ускорение, получим основное уравнение динамики
вращательного
движения
(второй
закон
движения:
40
Ньютона
для
вращательного

O
O


M
I

Ri
RRi ii
О
О
Рис. 35.
mi
m
miii

 i
 i
Fi
Fi
Угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально суммарному
моменту сил, приложенных к нему, и обратно пропорционально моменту инерции
тела относительно неподвижной оси.



F
 M
Сравним  
(вращательное) и a 
(поступательное), видно, что
m
I
момент инерции I является аналогом массы и характеризует инертные свойства
тела при вращении.
4.
Если тело вращается под действием силы, то происходит изменение его
кинетической энергии, а следовательно совершается работа, которая определяется
по формуле:
dA  M  d ,
(6.10)
где М – момент силы, dφ – угол поворота тела.
5.
Пусть твердое тело вращается вокруг оси ОО/ (рис. 36). Линейная скорость

элементарной массы mi равна i . Кинетическая энергия поступательно движущейся
41
материальной токи определяется по формуле WKi 
mi i2
(5.7), но υi = ωRi (1.17).
2
Подставив в формулу (5.7) правую часть уравнения (1.17), получим:
mi  2 ri 2
WKi 
.
2
(6.11)


O
ri

i
mi
О
Рис. 36.
Энергию всего вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий
его элементарных объемов:
n
Wk   WKi 
i 1
1 2 n
1
  mi ri 2  I 2 , так как miri2=Ii – момент инерции.
2
2
i 1
I 2
Wk 
- кинетическая энергия вращающегося тела.
2
(6.12)
В случае, если тело движется поступательно одновременно вращаясь, то
полная кинетическая энергия будет равна:
m 2 I 2
Wk 

(катится шар).
2
2
(6.13)
6.
Запишем основное уравнение динамики вращательного движения:
M=I·ε , но угловое ускорение  
М I
d
(1.15), следовательно,
dt
d ( I )
d
или M 
.
dt
dt
42
(6.14)
Величина
L=I·ω – называется моментом импульса.
(6.15)
Момент импульса тела равен произведению момента инерции тела на его
угловую скорость.
Продифференцируем уравнение (6.15) по времени:
dL
d dL
 I   M ,
I
;
dt
dt
dt
dL
M –
dt
(6.16)
основное уравнение динамики вращательного движения.
Если система замкнута, то момент внешних сил M = 0,
dL
0
dt
L= I · ω = const – закон сохранения момента импульса:
В изолированной замкнутой системе момент импульса (момент
количества движения) сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
7.
Для закрепления материала сопоставим основные величины поступательного
и вращательного движений.
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ
1.

Линейная скорость:  
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ

dr
dt
3.

 d
Линейное ускорение: a 
dt


Сила: F  m  a
4.
Масса: m
5.
6.
2.
1.

Угловая скорость:  

d
dt
4.

d
Угловое ускорение:  
dt



 
Момент силы M  r  F , M  F  d

Момент инерции: I  m  R 2
Импульс: m  p
5.
Момент импульса: L  I  
Закон сохранения импульса:
6.
Закон сохранения момента

2.
3.

m  const

 


импульса: I    const
43
ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
7.


 F

dp
a   F  ma , F 
m
dt



M
dL
7.    M  I , M 
I
dt

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

m  2
8. Wк 
2

I  2
8. Wк 
2
Лекции № 8-9
Тема: «Механические колебания»
План:
1. Колебательное движение. Гармонические колебания.
2. Скорость и ускорение гармонического колебания.
3. Энергия гармонического колебательного движения.
4. Свободные колебания. Гармонический осциллятор.
5. Пружинный маятник.
6. Математический маятник.
7. Физический маятник.
8. Сложение гармонических колебаний методом векторных диаграмм.
9. Уравнение свободного гармонического колебания.
10. Вынужденные колебания.
11. Автоколебания.
1.
Колебательные движения (колебания) характеризуются повторяемостью во
времени (дыхание, сердцебиение, морские приливы и отливы, колебание струны,
маятник в часах и т.д.)
Колебания повторяющиеся через равные промежутки времени называются
периодическими. Наиболее часто встречаются в практике и в теоретических расчетах
гармонические колебания. Рассмотрим гармонические колебания на примере
44
вращающегося диска, с закрепленном на конце этого диска непрозрачного шарика
(рис. 37).
M
+A
R
α
х
0
x
свет
-A
Рис. 37.
При вращении диска тень будет отклоняться от положения равновесия то
вверх, то вниз совершая колебательные движения на экране MN.
Выразим из заштрихованного треугольника х – смещение (отклонение от
положения равновесия в дынный момент времени).
x  R sin  или x  A sin  ;
(7.1)
так как R = A (рис. 37).
 

   t .
Если диск вращается с угловой скоростью  
t
С учетом последней формулы уравнение для х (7.1) примет вид:
x  A sin t -
(7.2)
уравнение гармонического колебания.
Если в момент времени t  0 , радиус R не находился в положении
равновесия, то уравнение (7.2) примет вид:
x  A sin( t   0 ) -
(7.3)
уравнение гармонического колебания с начальной фазой φ0.
Так как  
2
T
или   2 , то уравнение (7.3) можно записать также в виде:
x  A sin(
2
t   0 ) или x  A sin( 2t   0 )
T
(7.4)
Величины, характеризующие гармоническое колебательное движение:
45
х – смещение точки в данный момент времени; А – амплитуда колебания
(максимальное смещение точки от положения равновесия) ; Т – период колебания
(время одного полного колебания);  – частота колебания (число полных
колебаний за единицу времени – 1 с); t   0 - фаза колебаний (величина
позволяющая рассчитать смещение точки в любой момент времени);  
2
или
T
  2 - циклическая или круговая частота колебания (число полных циклов
колебаний за 1 с или число полных колебаний за 2π с);
 0 - начальная фаза колебаний.
2.
Известно, что мгновенная скорость - первая производная пути по времени.
Для гармонического колебания мгновенная скорость определяется следующим
образом:

dx d  A sin t 

 A cos t ;
dt
dt
(7.5)
  A cos t - мгновенная скорость гармонического колебания.
Мгновенное ускорение – первая производная мгновенной скорости по
времени
a
d
d  A cos t 
;a
  A 2 sin t
dt
dt
(7.6)
a   A 2 sin t - мгновенное ускорение гармонического колебания.
Колебательное движение выполняется под действием силы, которая может
быть определена по второму закону Ньютона: F  ma . Подставив значение
ускорения (7.6) во второй закон Ньютона, получим:
F  mA 2 sin t ,
Так как Asin t  x , то сила, действующая на колеблющееся тело равна:
F  mx 2
(7.7)
Величина данной силы пропорциональна смещению тела, знак «-» указывает
на, то что она направлена в сторону противоположную смещению.
46
3.
Известно, что кинетическая энергия поступательно движущегося тела
определяется по формуле: Wk 
m 2
; скорость гармонически движущейся точки
2
равна:   A cos t . Подставив  в формулу (5.7) получим:
mA2 2 cos 2 t
Wk 
2
(7.8)
кинетическая энергия гармонически колеблющейся точки.
Потенциальная энергия материальной точки массой m, совершающей
гармонические колебания, определяется как работа упругой силы. Выведем
x2
формулу: Wn   0 F x    0 m  xdx  m
2
x
x
2
x
x
A 2 sin 2 t
 m
.
2
0
2
2
0

Так как F  mx 2 ; x  Asin t , то
m 2 A 2 sin 2 t
Wn 
2
(7.9)
потенциальная энергия гармонически колеблющейся точки.
Для того чтобы найти полную энергию гармонически колеблющейся точки
надо сложить правые части уравнений (7.8) и (7.9):
Wполн 
m 2 A 2 cos 2 t  m 2 A 2 sin 2 t m 2 A 2
m 2 A 2

cos 2 t  sin 2 t 
2
2
2

Wполн 

(7.10)
m 2 A 2
- полная энергия гармонически колеблющейся точки.
2
4.
Известно, что ускорение при гармоническом колебании определяется
следующим образом: a 
d 2x
dt
2
или x   A 2 sin t . Так как Asin t  x , то с учетом
этого уравнения уравнение (7.6) примет вид:
x   x 2 или x    2 x  0 .
(7.11)
Система, движение которой описывается уравнением (7.11) называется
гармоническим осциллятором, который является важным примером периодического
движения и служит приближенной моделью для решения многих задач, как
классических, так и квантовых функций.
47
5.
Пружинный маятник
Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на упругой пружине
и совершающий гармонические колебания (рис. 38).
Рис. 38.
Колебания маятника совершаются под действием упругой силы. F  kx , k
- коэффициент упругости, в случае с пружиной он называется коэффициентом
жесткости.
Уравнение движения маятника имеет вид:
ma  kx
(7.12)
т.к. a  x , то mx  kx ,
mx  kx  0
Разделим обе части последнего выражения на m, получим:
x  
k
x0
m
(7.13)
Сравним между собой уравнения (7.11) и (7.13), очевидно, что  2 
k
,
m
следовательно циклическая частота 𝜔
⃗ будет равна:

Так как

k
m
2
2
 T
- период колебания,
T

подставив в формулу (7.15) значение  , через k и m, получим
48
(7.14)
(7.15)
T
T  2
2
k
m
, T  2
m
k
(7.16)
m
- период колебания пружинного маятника.
k
(7.16)
6.
Математический маятник
Идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m
подвешенной на невесомой упругой нерастяжимой нити и совершающая колебания
под действием силы тяжести называется математическим маятником.
Хорошим приближением математического маятника является небольшой
тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длиной нити (рис. 39).
х
Рис. 39.
Рис. 40.
Рис. 41.
Отклоним маятник на угол φ и рассмотрим действующие силы:

Fв - возвращающая сила, под действием которой маятник возвращается в положение


равновесия, mg - сила тяжести, FН - сила натяжения нити.
Запишем основное уравнение динамики для вращательного движения  
М
,
I
выразим М
M  I 
I – момент инерции материальной точки, определяется выражением:
I  ml2
ε – угловое ускорение,
49
(7.17)
   
(7.18)
Подставив правые части уравнений (7.17) и (7.18) в уравнение (6.9), получим:
M  ml 2 
(7.19)
Из рис. 41 видно, что момент силы равен:
M  mgx  mgl sin 
 mgl  ml 2  ,
(7.20)
Приравняв правые части уравнений (7.19) и (7.20), получим уравнение:
q
l
     0
(7.21)
x    2 x  0
(7.11)
Из сравнения уравнений (7.21) и (7.11) следует, что
2 
Так как период T 
2

q
q
 
l
l
(7.22)
, то подставив 𝜔 из уравнения (7.22), получим
выражение:
T
2
g
l
 2
l
g
(7.23)
период колебания математического маятника,
где
 - длина маятника,
g  9 .8 м
с2
- ускорение свободного падения.
Зависимость периода маятника от g используется в геологоразведке.
7.
Физический маятник
Физический маятник – это твердое тело совершающее колебания под
действием силы тяжести относительно горизонтальной оси, не совпадающей с
центром масс тела (рис. 42).
50
O
d
α
l
x
C
α
Fi
F
mg
Рис. 42.
О – точка подвеса, С – центр масс, l – длина маятника (стержня),
х – смещение центра масс, d – расстояние от точки подвеса до центра масс.
Запишем основное уравнение динамики вращательного движения:
M  I
где
    - угловое ускорение.
(7.24)
Из рис. 42 видно, что значение момента силы равно:
M  mgx  mgd sin  ,
при малых углах значение sinφ можно заменить на φ:
M  mgd
(7.25)
Подставим правые части уравнений (7.24) и (7.25) в уравнение (6.9):
 mgd  I 
(7.26)
Разделим обе части уравнения (7.26) на I и приравняем к нулю:
  
mgd
 0
I
x    2 x  0
(7.27)
(7.11)
Из сравнения уравнений (7.27) и (7.11) очевидно, что циклическая частота
равна:  
mgd
.
I
51
Подставим значение ω в формулу периода:
T
2

 2
I
mgd
- период колебания физического маятника,
(7.28)
где I - момент инерции маятника, m – масса, d – расстояние от оси вращения до
центра масс, g  9.8 м
с2
- ускорение свободного падения.
Сравним между собой формулы периода колебания физического и
математического маятников:
T  2
T  2
L
I
- физический маятник,
mgd

g
- математический маятник
(7.28)
(7.23)
I
- приведенная длина физического маятника.
md
Приведенной длиной физического маятника называется длина такого
математического маятника период колебания которого равен периоду колебания
данного физического маятника.
8.
Сложение гармонических колебаний методом векторных диаграмм
Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося
вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм.
Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси х, под углом φ,
равным начальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен
амплитуде колебания (рис. 43).
52
ω
-А
О
-A
φ
хА
+А
х
Рис. 43.
Если этот вектор А привести во вращательное движение с угловой скоростью
𝜔
⃗ , то проекция этого вектора хА на ось х будет перемещаться по оси х и принимать
значения от +А до –А, а колеблющаяся величина будет изменяться по закону синуса
или косинуса.
х  A cos(  t   ) .
(7.29)
Отсчет угла фазы колебания ведется от оси х в направлении против часовой
стрелки.
Одно тело может участвовать в нескольких колебательных движениях,
которые необходимо сложить и найти результирующее колебание. Сложим 2
гармонических колебания с одинаковыми частотами   2 , разными амплитудами
А1 А2 и разными начальными фазами φ1 φ2:
 x1  А1 cos(  t  1 )

 х2  А2 cos(  t   2 )
(7.30)
Представим колебания в виде векторных диаграмм и сложим их по правилу
сложения векторов.
53
y
A
y
A2
y2
y1
A1
φ
φ2
φ1
О
x1
х
x2
x
Рис. 44.
Результирующему суммарному колебанию соответствует вектор А:
х = х1 + х2 – проекция А на ось х.
Само результирующее колебание будет описываться уравнением
х = А cos (ωt+φ), в котором необходимо найти А и φ.
Модуль
вектора
А
найдем
А2  А12  А22  2 А1 А2 cos( 2  1 ) , tg 
теорему
косинусов:
y
, т. к. у = у1 + у2 и х = х1 + х2, то
x
tg 
А
используя
у А1 sin 1  А2 sin  2

х А1 cos 1  А2 cos  2
А12  А22  2 А1 А2 cos(1   2 )
(7.31)
(7.32)
9.
Свободными или затухающими колебаниями называется колебания, энергия
которых ослабевает или уменьшается вследствие потерь, что приводит к
уменьшению амплитуды колебания, т.е. к его затуханию. Пусть тело массой m
колеблется вдоль оси х, под действием результирующей силы:
3
F
i 1
i
 F1  F2  F3 ,
54
(7.33)
где
F1  kx - сила упругости,
F2      
(7.34)
dx
- сила трения в зависимости от скорости движения,
dt
(7.35)
 - коэффициент трения,
F3  F0 cos t -
(7.36)
внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону
В соответствии со вторым законом Ньютона уравнение колебательного
движения можно записать в виде:
n
md 2 x

Fi .

dt 2
i 1
ma   Fi ,
(7.37)
Рассмотрим следующие возможные случаи:



а). Действует сила F1 (7.34), силы F2 и F3 равны нулю. В этом случае
уравнение (7.37) примет вид:
md 2 x
md 2 x
,
 kx  0 

kx
dt 2
dt 2
уравнение гармонического
колебания
происходящего под
действием силы
упругости.
Данное колебательное движение описывается уравнением:
x  A sin t .



б). Действуют силы F1 (7.34) и F2 (7.35), а F3  0 .
В этом случае уравнение (7.37) примет вид:
d 2x
dx
m 2  kx  
0
dt
dt
(7.38)
Разделим обе части уравнения (7.38) на m:
d 2 x kx dx
 
0
dt 2 m mdt
-
(7.39)
уравнение гармонического колебания происходящего под действием силы трения и
упругой силы.
В данном уравнении введем следующие величины:
55
k
  02 - квадрат циклической частоты свободных затухающих колебаний,
m

протекающих в отсутствии F3 ;

m
 2 , где  - коэффициент затухания [1/c]
-
величина, характеризующая быстроту уменьшения амплитуды колебания.
С учетом данных величин уравнение (7.39) примет следующий вид:
d 2x
dx
 k 02  2
0 2
dt
dt
(7.40)
уравнение свободных гармонических колебаний.
Если на колеблющееся тело кроме силы упругости действует сила трения, то
амплитуда колебаний будет уменьшаться и со временем колебания затухнут.
Изобразим изменение амплитуды свободного гармонического колебания
графически (рис. 45).
А
T
x1
x0
x2
t
T
Рис. 45.
Амплитуда свободного гармонического колебания стечением времени
t
изменяется по закону: x  x0 e . Запишем это уравнение для х1 и х2:
x1  x0e t ; x2  x0e  (t T ) .
56
 x1 
Логарифм отношения ln   называется логарифмическим декрементом
 x2 
затухания, т.е.   ln
x1
 T - логарифмический декремент затухания, где  x2
коэффициент затухания, T - период.

в). Если к колеблющемуся телу приложена сила F3 , то тело будет совершать
вынужденные колебания.
10.
Рассмотрим систему, на которую действует внешняя периодическая сила,
изменяющаяся
по
закону
F  F0 cos t .
Дифференциальное
уравнение,
описывающее колебания такой системы будет иметь вид:
x  2  x  02  x  f  cos t ,
где f 
(7.41)
F0
.
m
Решение этого неоднородного дифференциального уравнения надо искать в
виде суммы двух слагаемых:
х1  х0 e  t cos(t   0 )
где   0   2 , и
2
х2  х0 cos(t  0 )
(7.42)
где
x0 
f

2
0

2 2

,
(7.43)
 4  
2
2
Первое слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса,
при так называемом установлении колебаний. С течением времени роль этого
слагаемого уменьшается ввиду наличия множителя
et
и по прошествии
достаточного времени им можно пренебречь.
Следовательно, второе решение описывает установившиеся вынужденные
колебания (рис. 46). Они представляют собой гармонические колебания с частотой,
57
равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний зависит
от амплитуды вынуждающей силы и ее частоты. Зависимость амплитуды колебаний
от частоты приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда вынужденного
колебания достигает максимального значения. Это явление получило название
резонанса, а соответствующая частота – резонансной частоты.
Для резонансной частоты получаем выражение
p  02  42 .
(7.44)
В случае малого затухания    0  можно считать, что p  0
x
t
Установление
колебаний
Рис. 46
11.
Автоколебания - незатухающие колебания, поддерживаемые в колебательной
системе за счет постоянного внешнего источника энергии, которым управляет сама
система, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными
порциями в нужный момент времени.
Любая автоколебательная система состоит из следующих четырех частей
(рис. 47): 1) колебательная система; 2) источник энергии, за счет которого
компенсируются потери энергии в системе; 3) регулятор (клапан) - некоторый
элемент, регулирующий поступление энергии в колебательную систему;
58
4) обратная связь
-
система управления работой регулятора при помощи
процессов, происходящих в самой колебательной системе.
Рис. 47
Примерами
автоколебаний
могут
служить
колебания,
совершаемые
маятником часов, колебания струны в смычковых музыкальных инструментах или
столба воздуха в духовых музыкальных инструментах и много других примеров.
Системы, в которых возникают автоколебания, называются автоколебательными.
Лекция № 10
Тема: «Механические волны»
План
1. Волны. Поперечные и продольные волны.
2. Волновое число. Связь между скоростью и длиной волны.
3. Принцип Гюйгенса.
4. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость.
5. Энергия волны. Объемная плотность энергии. Плотность потока энергии.
Вектор Умова.
6. Основы акустики.
1.
Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной.
Частицы среды, в которой волна распространяется, не движутся вместе с
волной, а колеблются около некоторого положения равновесия.
Основным свойством всех волн является перенос энергии без переноса
вещества.
Различают следующие типы волн:
59
- упругие;
- волны на поверхности жидкости;
- электромагнитные.
Упругие или механические волны - это колебания, распространяющиеся в
упругой среде.
Механические волны бывают продольными и поперечными.
Если частицы среды колеблются в направлении перпендикулярном
направлению распространения волны, то волна называется поперечной
(рис. 48).



F продольная волна

F поперечная волна
Рис. 48.
В
продольной

Рис. 49.
волне
направление
колебания
частиц
совпадает
с
направлением распространения волны (рис. 49).
λ – длина волны, расстояние между центрами двух ближайших сгущений
(сжатий) или разряжений (растяжений).
Продольные волны распространяются в средах, в которых преобладает
деформация растяжения или сжатия (жидкость, газ, твердое тело).
Поперечные волны распространяются в средах, в которых преобладает
деформации сдвига, т. е. только в твердых телах.
60
Упругая волна называется синусоидальной или гармонической, если
соответствующие
колебания
частиц
среды
являются
гармоническими.
Гармоническая волна может быть изображена синусоидой (рис. 50).
λ
у
0
х
Рис. 50.
λ – длина волны, расстояние между двумя ближайшими точками,
колеблющимися в одной фазе.
O – источник колебания.
В однородной среде волны распространяются равномерно, поэтому скорость
их распространения определяется по формуле:





Т
S
,
t
(10.1)
    Т 


(10.2)
2.
Для характеристики волны вводят понятие волнового числа:
k
2
(10.3)

Подставив значение  из (10.2), получим:
k
2

,
Так как 2   - циклическая частота, то волновое число также можно
определить по формуле:
61
k
k
2




(10.4)
2
2 

 .
 Т


За время равное периоду t = T волна пройдет расстояние равное длине
волны S = λ.
Выразим длину волны через частоту ν, так как  
1
, то
Т




(10.5)
   
(10.6)
3.
Пусть некоторая точка колеблется в сплошной упругой однородной среде.
Тогда колебания от этой точки будут распространяться во все стороны.
Геометрическое место точек, до которых к данному моменту дошли
колебания, называется фронтом волны (рис. 51).
Если источник колебаний точечный и колебания распространяются в
однородной среде, то фронт волны будет сферой и волна называется сферической.
Если фронт волны плоский, то волна называется плоской.
Голландский физик Гюйгенс в конце XVII века дал способ построения
нового фронта волны, если известно положение его в некоторый предыдущий
момент.
Принцип Гюйгенса: каждая точка фронта волны является источником
элементарных вторичных волн. Огибающая всех этих элементарных волн
представляет собой новый фронт волны (рис. 51).
2
1
62
Рис. 51.
1 – фронт волны в некоторый момент времени t. За промежуток времени Δt
от каждой точки фронта волны распространяется 2 – новый фронт волны.
4.
Бегущей называется волна, уносящая в пространство энергию.
Выведем уравнение бегущей волны (рис. 52).
у
0
В
х
х
Рис. 52.
Пусть точка 0 совершает гармонические колебания по закону
y = A·cos ωt.
В точке В на оси х колебания будут проходить по тому же закону, но будут
х
отставать по времени на   , где  - скорость распространения волны,

(в однородной среде  = const) и уравнение колебания частиц в точке В примет вид:
х
у  А  cos  (t   )  A  cos(t   ) .

Так как

 k - волновое число, то

у  A  cos(t  kx) -
(10.7)
уравнение бегущей волны.
х
х
у  A  cos(t   )  А  cos  (t  ) -

уравнение плоской волны.
63

(10.8)
Если волна распространяется в противоположном направлении, то ее
уравнение будет иметь вид:
у  A  cos(t  kx) .
у
А
 cos(t  kr) r
(10.9)
(10.10)
уравнение сферической волны, где r – расстояние от источника до рассматриваемой
точки.
Предположим, что фаза в уравнении волны есть величина постоянная
t  
х

х
  (t  )  const

(10.11)
х
Продифференцируем выражение (t  ) из уравнения (10.11):

dt 
dx

0
dt 
 dx
dx   
- фазовая скорость волны.

dt
1
Скорость перемещения волны - это скорость перемещения фазы, поэтому
эта скорость называется фазовой скоростью. Фазовая скорость волны зависит от ее
частоты, так как  

k
. Данное явление получило название дисперсии волн, а среда, в
которой распространяются волны - диспергирующей среды.
Скорость распространения волны зависит от свойств среды:


Е

,
(10.12)
где Е – модуль Юнга,  - плотность среды.
5.
Пусть плоская синусоидальная волна у  A  cos(t  kx) распространяется в
декартовой системе координат.
64
у
dV
dy
х
dz
dх
z
Рис. 53.
Выделим элементарный объем среды dV = dx·dy·dz = dx·dS, массой dm (рис.
53). Этот элементарный объем dV находится в волновом движении и обладает
полной энергией dE 
dmA2 2
, складывающейся из кинетической энергии dEk и
2
потенциальной энергии dEn . Так как dm  dV , то
dE 
  dV  A 2   2
2
-
(10.13)
полная энергия волны объема dV.
Объемная плотность энергии волны (энергия единичного объема) равна:
 dE
W 
dV
W
(10.14)
  dVA2 2
2dV

  А 2 2
2
.
(10.15)
Поток энергии волны определяется выражением:
dФ 
dE
dt
(10.16)
- энергия переносимая через некоторую площадь dS в единицу времени.
j – плотность потока энергии, которая определяется энергией переносимой
в единицу времени, через единицу площади, расположенной перпендикулярно
направлению распространения волны:
j
dФ
dS
Подставим в формулу (10.17) значение dФ из (10.16)
65
(10.17)
j
dE
,
dtdS
(10.18)
Выразим dE из (10.14): dE  W  dV  W  dS  dx . Подставив в (10.18), получим:

W  dS  dx
 W  .
dt  dS


j  W   - вектор Умова.

j
W - объемная плотность энергии,  - скорость волны.
6.
Звук - это продольная волна с частотой колебания от 16 до 20000 Гц.
Источником звука может служить любое колеблющееся тело с частотой от 16 до
20000 Гц. Колеблющееся тело, вызывает колебание частиц окружающей его упругой
среды, возникает продольная волна, которая достигая уха человека вызывает в нем
ощущение звука. С возрастом у человека ухудшается способность воспринимать
высокочастотные звуковые колебания. Некоторые животные (летучие мыши,
дельфины) могут воспринимать звуки с частотой выше 100000 Гц.
Инфразвук < 16 Гц.
Ультразвук >20000 Гц.
Звук характеризуется силой, которая пропорциональна амплитуде колебания
звуковой волны и высотой звука, которая пропорциональна частоте колебания.
𝜐~Т
𝜐=√
𝑗=
𝐶𝑝
𝐶𝑉
𝑗𝑅𝑇
𝜇
– тембр звука.
– отношение молярных теплоемкостей при p = const.
Характеристики звука
Звук описывается уравнением плоской волны
𝑥
𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔 (𝑡 − ) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥).
𝜐
Интенсивность волны Iназывают величину, численно равную средней
энергии Е, переносимой волной в единицу времени через единицу площади
поверхности, расположенной перпендикулярно направлению распространения
волны.
66
𝐼=
𝑊
𝑆𝑡
,
где S– площадь поверхности, t–время.
Единицы измерения интенсивности волны 𝐼 = [
Дж
м2 ∙с
=
Вт
м2
].
Органы слуха человека и животных могут воспринимать акустические
колебания не только в определенном диапазоне частот, но и в ограниченном
диапазоне
интенсивностей.
Так,
человеческое
ухо
воспринимает
звуки
с
интенсивностью не менее 10-12 Вт/м2. Эта чувствительность соответствует
биологическому пределу. Если бы люди ощущали звуки на 1-2 порядка меньше по
интенсивности, то у нас в ушах стоял бы постоянный шум. Передача информации
была бы невозможна. Максимальная интенсивность колебаний, воспринимаемая как
звук, равна примерно 10 Вт/м2 и называется болевым порогом, поскольку вызывает
болевые ощущения. Еще большие интенсивности звука приводят к повреждению
органов слуха.
Вт/м2
болевой порог
10
10
10
10
-1
-5
область
слышимости
порог
слышимости
-9
10
10
2
10
3
10
4
10
5
-12
Гц, 10
Интенсивность звука I (сила звука) может быть определена через
акустическое давление Р.
𝐼=
𝑃2
2𝜌𝜐
,
где Р – акустическое давление, ρ – плотность среды, υ – скорость распространения
звука в данной среде, ρυ – акустическое сопротивление данной среды.
67
Акустическим или звуковым давлением Р называется максимальное
добавочное давление (избыточное над средним давлением окружающей среды),
образующееся в участках сгущения частиц в звуковой волне.
𝐹
Измеряется давление 𝑃 = ;
дн
𝑆 см2
= дин на см2 – акустический бар.
Звуковые волны оказывают давление на все предметы, встречающиеся на их
пути.
Уровень интенсивности L (громкость) – связан с интенсивностью I формулой
L = Iφ, где φ – величина, характеризующая слуховые органы каждого индивидуума
(чувствительность уха).
Согласно
закону
Вебера-Фехнера,
уровень
ощущения
(L)
прямо
пропорционален логарифму отношения силы раздражения к ее пороговому
значению.
По отношению к звуку, математически это запишется:
𝐼
𝐿 = 𝑙𝑔 ,
𝐼0
гдеL – уровень интенсивности ощущений (громкость), I – интенсивность
(сила звука), lg – десятичный логарифм (основанием для которого является 10), I0 =
10-12 Вт/м2 – порог слышимости (биологический предел слышимости).
Уровень интенсивности звука прямо пропорционален логарифму отношения
интенсивности (сила звука) к ее пороговому значению.
68
Раздел 2. Основы молекулярной физики и термодинамики
Лекция № 11
Тема: «Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) идеального газа»
План:
1. Основные положения молекулярно-кинетической теории.
2. Идеальный газ и его параметры.
3. Основное уравнение МКТ.
4. Экспериментальные газовые законы.
4.1 Закон Бойля-Мариотта.
4.2 Закон Гей-Люссака.
4.3 Закон Шарля.
5. Абсолютный нуль.
6. Уравнение состояния идеального газа.
7. Работа при изобарическом процессе.
8. Уравнение
Менделеева-Клапейрона.
Физический
смысл
универсальной
газовой постоянной (R).
9. Закон Дальтона.
10. Законы статистического распределения молекул по скоростям
1.
Молекулярная физика – раздел физики, изучающий строение и свойства
вещества исходя из молекулярно-кинетической теории (МКТ), которая опирается на
следующие положения:
1. Все тела состоят из молекул.
2. Молекулы находятся в хаотическом тепловом движении.
3. Молекулы взаимодействуют между собой.
Первое положение МКТ подтверждается тем, что в настоящее время при
помощи электронного микроскопа получены фотографии молекул.
Второе
положение
можно
подтвердить
диффузией
движением. Диффузия – явление перемешивания веществ.
69
и
броуновским
Броуновское движение – движение мельчайших частиц, находящихся во
взвешенном состоянии под действием молекул окружающей среды (цветочная
пыльца, раствор туши, частицы пыли в воздухе и т. д.).
Интенсивность броуновского движения пропорциональна температуре
окружающей среды.
2.
В МКТ пользуются понятием идеальный газ, который удовлетворяет
следующим условиям:
1. Объем занимаемый молекулами газа мал по сравнению с объемом сосуда.
2. Молекулы газа не взаимодействуют друг с другом.
3. Столкновения друг с другом и со стенками сосуда абсолютно упругие.
Идеальный газ характеризуется следующим параметрами:
V – объем – газ полностью занимает объем сосуда, в котором находится;
р – давление – обусловлено ударами молекул о стенки сосуда;
р=
𝐹
𝑆
=
Н
м2
= Па.
t – температура – степень нагретости тела, определяется кинетической
энергией поступательного движения молекул.
Температура измеряется по следующим температурным шкалам:
1. Международная практическая шкала, градуированная в градусах Цельсия
(0С). Измеряется температура по нескольким шкалам, имеющие реперные
точки при нормальном атмосферном давлении: точка плавления льда – 0 0С;
точка кипения воды – 100 0С.
2. Термодинамическая шкала, градуированная в кельвинах (К) или абсолютная
шкала температур Т = t + 273: точка плавления льда – 273 К; точка кипения
воды – 373 К.
3. Шкала Фаренгейта: точка таяния льда равна +32 °F, а точка кипения воды
+212 °F.
70
3.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа
устанавливает зависимость между давлением (P); объемом (V) и кинетической
энергией поступательного движения его молекул.
Для вывода формулы рассмотрим одноатомный идеальный газ, находящийся
в цилиндрическом сосуде с площадью основания ∆S и длиной l (рис. 54).
X
∆S
υ
∆t
l = υ∙
Рис. 54.
Молекулы движутся хаотически и беспорядочно, их количество N.
Определим давление, оказываемое газом на площадку ∆S.
𝑃=
𝐹
∆𝑆
,
(11.1)
где 𝐹 – сила, которая может быть выражена по второму закону Ньютона через
импульс тела:
𝐹=
∆𝑃
∆𝑡
,
(11.2)
где ∆p – импульс.
Импульс одной молекулы равен:
∆p1 = mυ – (-mυ) = 2 mυ .
(11.3)
Общее количество молекул в сосуде будет равно:
N = n0∙V= n0∙∆S∙l = n0∙∆S∙υ∙∆t.
y
1/6
1/6
x
z
Рис. 55.
71
(11.4)
Молекулы движутся к площадке под разными углами. Для упрощения
расчетов
предположим,
что
молекулы
движутся
вдоль
трех
взаимно
перпендикулярных направлений, 1/3 молекул вдоль каждого направления, причем
половина молекул (1/6) движется в одну сторону, половина в противоположную
(рис. 55). С учетом этого до площадки ∆S дойдет 1/6 от N – общего числа молекул.
1
𝑁∆𝑆 = 𝑛0 ∆𝑆υ
⃗ ∆𝑡
(11.5)
6
Рассчитаем импульс ∆р, сообщенный площадке ∆𝑆 этими молекулами.
С учетом уравнения (11.3) уравнение (11.5) примет вид:
1
1
6
3
∆р = 𝑛0 ∆𝑆υ
⃗ ∆𝑡 ∙ 2𝑚υ =
𝑛0 ∆𝑆𝑚υ2 ∆𝑡.
(11.6)
Подставим значение ∆р из уравнения (11.6) в (11.2) и выразим силу 𝐹 :
1 𝑚υ2 𝑛0 ∆𝑆∆𝑡
𝐹=3
∆𝑡
(11.7)
Подставим правую часть уравнения (11.7) в уравнение (11.1):
р=
1𝑚υ2 𝑛0 ∆𝑆∆𝑡
3∆𝑡∆𝑆
1
= 𝑚υ2 𝑛0
3
(11.8)
Молекулы в сосуде движутся со скоростями υ
⃗ 1; υ
⃗ 2; … υ
⃗ 𝑁 , в этом случае
рассматривают среднюю квадратичную скорость
𝑁
1
⟨υкв ⟩ = √ ∑ υ2𝑖
𝑁
𝑖=1
C введением ⟨υкв ⟩ уравнение (11.8) перепишется в виде:
1
р = 𝑛0 𝑚⟨υкв ⟩2 –
(11.9)
3
основное уравнение МКТ идеального газа.
Умножив и разделив правую часть уравнения (11.9) на 2, получим другой вид
данного уравнения:
2
𝑚⟨υкв ⟩2
3
2
р = 𝑛0
2
= 𝑛0 ⟨ЕК ⟩ ,
3
(11.10)
где ⟨ЕК ⟩ – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.
3
По закону Больцмана ⟨ЕК ⟩ = 𝑘𝑇, где k – постоянная Больцмана, Т –
2
абсолютная температура.
72
Подставив значение ⟨ЕК ⟩ в (11.10) получим еще два вида основного
уравнения МКТ идеального газа:
р = 𝑛0 𝑘𝑇
(11.11)
𝑁
Т. к. концентрация газа 𝑛0 = , то уравнение (11.11) перепишется в виде:
𝑉
р=
𝑁
𝑘𝑇
𝑉
или
р𝑉 = 𝑁𝑘𝑇
(11.12)
4.
Рассмотрим законы, выведенные экспериментально и устанавливающие
зависимость между р, V и T.
4.1
Закон Бойля-Мариотта
устанавливает зависимость между давлением и
объемом при постоянной температуре. Запишем основное уравнение МКТ для двух
состояний газа:
р1V1 = NkT
(11.13)
р2V2 = NkT.
(11.14)
Так, как правые части уравнений (11.13) и (11.14) равны, приравняем левые:
р1V1 = р2V2 или рV = const.
Закон Бойля-Мариотта: произведение давления на объем данной массы
газа есть величина постоянная при неизменной температуре.
Процесс, протекающий при T = const называется изотермическим и
изображается изотермой (рис. 56):
P
t1 t1 > t2
t2
Рис. 56.
73
V
4.2.
Закон
Гей-Люссака
устанавливает
зависимость
между
объемом
и
температурой при постоянном давлении.
Запишем основное уравнение МКТ для двух состояний газа:
р1V1 = NkT1
(11.15)
р2V2 = NkT2.
(11.16)
Разделим почленно уравнение (11.15) на (11.16) и получим:
𝑉1
𝑉2
𝑇
= 𝑇1
(11.17)
2
Закон Гей-Люссака: объем данной массы газа прямо пропорционален
абсолютной температуре при постоянном давлении.
Закон Гей-Люссака через температуру по шкале Цельсия перепишется в
виде:
V=V0 (1+αt),
где α = 1/273 К-1 – коэффициент объемного расширения;
V0 – объем при 0 0С;
t – температура.
Процесс, протекающий при постоянном давлении называется изобарическим
и изображается изобарой (рис. 57).
V
V
из
ра
а
об
V0
T
из
ра
а
об
t
Рис. 57.
4.3
Закон Шарля устанавливает зависимость между давлением р и температурой
Т при постоянном объеме. Запишем основное уравнение МКТ для двух состояний
газа:
74
p1V = NkT1
(11.18)
p2V = NkT2
(11.19).
Разделим почленно (11.18) на (11.19) и получим:
𝑃1
.
𝑃2
𝑇
= 𝑇1
(11.20)
2
Закон Шарля: давление данной массы газа пропорционально абсолютной
температуре при постоянном объеме.
Через температуру по шкале Цельсия закон Шарля запишется
p=p0 (1+αt),
(11.21)
где α = 1/273 К-1, p0 – давление при 0 0С.
Процесс в газах, протекающий при постоянном объеме называется
изохорным и изображается изохорой (рис. 58).
P
P
о
из
а
ор
х
из
р
о
х
а
о
T-273
t
Рис. 56.
5.
Рассмотрим график изохорического процесса в координатных осях P-t (рис.
59).
P
P0
t
-273 С
Рис. 59.
75
При
понижении температуры
давление, производимое газом, будет
уменьшаться. Запишем закон Шарля:
р=р0 (1+αt).
(11.22)
Найдем температуру, при которой давление производимое газом Р = 0.
0=р0 (1+αt).
р0 ≠ 0, следовательно 1+αt = 0, αt = -1 → 𝑡 =
Абсолютный
нуль
-
это
1
𝛼
температура,
= −273,16 0C.
при
которой
прекращается
поступательное движение молекул и давление производимое газом становится
равным нулю.
6.
Запишем основное уравнение МКТ:
рV = NkT,
Разделим обе части равенства на Т:
𝑃𝑉
𝑇
(11.23)
= 𝑁𝑘 , для данной массы газа
произведение Nk = const, следовательно
𝑃𝑉
𝑇
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 – уравнение состояния идеального газа.
(11.24)
Произведение давления на объем, отнесенная к абсолютной температуре
есть величина постоянная для данной массы газа (уравнение Клапейрона).
7.
F
S
1 Δl 2
Рис. 60.
76
Пусть 1 моль газа, находящегося в сосуде совершает работу, перемещая
поршень на расстояние Δl под действием силы F и переходит из состояния 1 в
состояние 2 (рис. 60).
Работа A  F l , выразим силу из формулы (11.1):
p
F
 F  p  S ,
S
тогда работа A  P  S  l , но S  l  V - изменение объема, следовательно:
A  p  V  p(V2  V1 ) -
(11.25)
работа идеального газа при изобарическом процессе.
8.
Закон Авогадро: Один Моль любого газа занимает одинаковый объем при
нормальных условиях. В одном Моле вещества число молекул всегда равно
N A  6,022  10 23
1
(постоянная Авогадро)
моль
Запишем основное уравнение МКТ для одного моля газа:
pV  N A kT , но N A k  R - универсальная газовая постоянная.
pV  RT -
(11.26)
уравнение Клапейрона для одного моля газа.
Выразим универсальную газовую постоянную из уравнения (11.26):
R
Рассмотрим
состояние
газа
при
pV
T
нормальных
(11.27)
условиях:
V  22,4  10 3 м 3 ,
p  10 5 Па, Т  273 К . Если эти значения подставить в формулу (11.27), то получим:
R  8,31
Дж
.
моль  К
Запишем уравнение Клапейрона для 2-х состояний газа. Первое при
температуре Т, второе при температуре Т+10, т. е при нагреве газа на 1 0С.
PV1  RT
(11.28)
PV2  R(T  1)  RT  R
(11.29)
Вычтем из (11.29) выражение (11.28):
77
PV2  PV1  RT  R  RT , PV  R  A , т.к. A  PV (11.27), то R  A  8,31
Дж
.
моль  К
Физический смысл универсальной газовой постоянной: R численно равна
работе, которую совершает 1 моль газа при его нагревании на 1 К.
Запишем основное уравнение МКТ идеального газа: pV  NkT
Известно, что N  N A  , где  - число молей, N A - число Авогадро.

m

, где m – масса, μ – молярная масса.
Подставим значения N и ν в уравнение (11.23), получим:
pV 
m

N A kT , так как N A k  R . то
m
pV 

RT –
(11.30)
уравнение Менделеева-Клапейрона для любой массы газа.
9.
Пусть дан газ состоящий из смеси газов с концентрациями: n1 ; n2 ;...nn .
Давление, производимое каждым газом в отдельности называется парциальным
давлением р1 ; р2 ;... рn .
Общее давление по основному уравнению МКТ р  n0 kT , газ перемешивается
и
с
течением
времени
n0  n1  n2  ...  nn ,
тогда
р  (n1  n2  ...  nn )kT  n1kT  n2 kT  ...  nn kT .
р  р1  р2  ...  рn .
(11.31).
Закон Дальтона: общее давление смеси газов равно сумме парциальных
давлений, производимых каждым газом в отдельности.
10.
Закон распределения Максвелла
При столкновениях скорость молекул идеального газа изменяется по
величине и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все
78
направления движения являются равновероятными, т.е. в любом направлении в
среднем движется одинаковое число молекул.
По молекулярно-кинетической теории, как бы не изменялись скорости
молекул при столкновениях, в газе находящемся в состоянии теплового равновесия,
средняя квадратичная скорость движения молекул остается величиной постоянной.
Это объясняется тем, что в газе устанавливается некоторое стационарное, т.е. не
зависящее от времени, распределение молекул по скоростям, которое подчиняется
некоторому статистическому закону. Этот закон был установлен Максвеллом.
При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл
предполагал, что газ состоит из очень большого числа тождественных молекул,
находящихся в состоянии хаотического движения при постоянной температуре.
Для простоты рассуждений, без ущерба для точности, предположим, что
скорости движения молекул удовлетворяют неравенству 0 < υ < ∞ . Изменение
скорости при столкновениях происходит случайным образом. Однако можно
утверждать, что скорости большинства молекул лежат вблизи некоторого наиболее
вероятного значения (рис. 61).
Рис. 61.
Постановка вопроса о том, сколько молекул имеют заданную скорость, не
имеет смысла, так как таких молекул может и не быть. Вопрос должен быть
поставлен так: сколько молекул имеют скорости в интервале от υ до υ + dυ, где dυ
<< υ. Для решения этой задачи используется функция f (υ), называемая функцией
распределения молекул по скоростям. Функция f (υ) определяет относительное
число молекул
dN ( )
, скорости которых лежат в интервале от υ до υ + dυ.
N
Применяя методы теории вероятности, Максвелл нашел вид этой функции:
79
3
m 2
 m1  2 2  21kT
f ( )  4 
   e
 2kT 
(11.32)
Из данной формулы следует, что конкретный вид функции f (υ) зависит от
рода газа (m1) и от абсолютной температуры Т.
Максвелловское
распределение
молекул
по
скоростям
характеризует
распределение молекул по кинетическим энергиям при отсутствии внешних
силовых полей. Это распределение позволяет определить скорости молекул:

2 RT
- наиболее вероятная скорость;
M

3RT
- средняя квадратичная скорость;
M

8RT
- средняя арифметическая скорость.
M
Первое экспериментальное определение скоростей движения молекул было
осуществлено в 1920 году Штерном. Эти опыты позволили оценить распределение
молекул по скоростям.
Прибор, использованный Штерном для этой цели, состоит из двух
коаксиальных цилиндров. По оси прибора была натянута платиновая нить, покрытая
серебром. При нагревании нити электрическим током с ее поверхности испарялись
атомы серебра. Покинувшие нить атомы серебра двигались по радиальным
направлениям. Внутренний цилиндр имел узкую щель, через которую наружу
проходил узкий пучок атомов серебра, которые оседали на внутренней поверхности
внешнего цилиндра.
Если привести весь прибор во вращение с угловой скоростью со, то след,
оставляемый атомами серебра, сместится по поверхности внешнего цилиндра на
некоторое расстояние ∆S. Это произойдет потому, что за время пока атомы серебра
пролетают зазор между цилиндрами, прибор успевает повернуться на некоторый
угол ∆φ.
Легко показать, что S    R  t , а так как t 
R

, то S 
  R2
  R2
 
.

S
Измеряя на опыте угловую скорость вращения прибора ω и смещения следа
серебра ∆S, можно было определить скорость атомов серебра.
80
Результаты опытов Штерна подтвердили правильность оценки скоростей
движения молекул и распределения Максвелла.
Закон распределения Больцмана. Барометрическая формула.
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории и
максвелловского распределения по скоростям, предполагалось, что на молекулы
газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по
объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле Земли.
Тяготение с одной стороны, и хаотическое движение молекул - с другой, приводят к
некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой
убывает.
На высоте h = 0 давление газа р=р0, а на высоте h
p  p0  e

Mgh
RT
(11.33)
называемое барометрической формулой.
Используя основное уравнение молекулярно-кинетической теории p=nkT его
можно преобразовать к виду
n  n0  e
Это
выражение
получило

m1 gh
kT
название
(11.34)
распределения
Больцмана.
Оно
характеризует распределение молекул по потенциальным энергиям во внешнем
силовом поле.
Из формулы (11.34) следует, что с понижением температуры число частиц на
высотах, отличных от нуля, убывает, обращаясь в нуль при Т = 0. При абсолютном
нуле все молекулы расположились бы на поверхности Земли. При высоких
температурах, напротив, n слабо убывает с высотой, так что молекулы оказываются
распределенными по высоте почти равномерно.
Этот факт имеет простое физическое объяснение. Каждое конкретное
распределение молекул по высоте устанавливается под действием двух тенденций:
притяжение молекул к земле (характеризуется силой mg) и хаотическое тепловое
81
движение (характеризуется величиной kT). Сила тяжести стремится расположить
молекулы на поверхности Земли, тепловое движение - разбросать молекулы
равномерно по всем высотам.
Больцман показал, что данное распределение справедливо не только в случае
потенциального поля силы тяжести, но и в любом другом потенциальном поле сил
(например, в поле центробежных сил инерции). Этот факт широко используется на
практике в центрифугах, позволяющих разделять смеси частиц по массе.
Лекция № 12
Тема: «Основы термодинамики»
План:
1. Термодинамическая система. Число степеней свободы. Внутренняя энергия
термодинамической системы.
2. Первое начало термодинамики. Первое начало термодинамики применительно
к изопроцессам.
3. Работа при изотермическом и адиабатическом процессах в газах.
4. Количество теплоты. Теплоемкость. Теплоемкость при постоянном давлении
и постоянном объеме. Уравнение Майера.
5. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.
6. Обратимые и необратимые тепловые процессы.
7. Тепловые
двигатели.
КПД
теплового
двигателя.
Второе
начало
термодинамики.
8. Цикл Карно.
9. Энтропия.
1.
Термодинамика – это раздел физики, в котором изучают закономерности
тепловой формы движения материи.
Термодинамической системой называют совокупность микроскопических
тел, которые могут обмениваться между собой и с внешней средой веществом и
энергией.
82
Если обмен происходит только внутри системы, между телами образующими
систему, то она называется замкнутой или изолированной.
При
наличии
обмена
с
внешней
средой
говорят
об
открытой
термодинамической системе.
Важной
характеристикой
термодинамической
системы
является
ее
внутренняя энергия складывающаяся из энергии хаотического движения частиц
термодинамической системы и из энергии их взаимодействия:
Е  Е к  Е пот
(12.1)
Для вывода формулы внутренней энергии введем понятие числа степеней
свободы – это число независимых координат, определяющих положение молекулы в
пространстве.
Будем рассматривать одноатомную молекулу как материальную точку,
которая обладает тремя степенями свободы поступательного движения i.
Одноатомная молекула: iпост. = 3, iвращ. = 0, i = 3.
Двухатомная молекула: iпост. = 3, iвращ. = 2, i = 5.
Трехатомная и многоатомная молекула: iпост. = 3, iвращ. = 3, i = 6.
Средняя
кинетическая
энергия
поступательного
движения
молекул
определяется по формуле:
Е 
3
kT
2
(12.2)
где k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.
В соответствии с законом Больцмана о равномерном распределении энергии
по степеням свободы молекул на каждую степень свободы приходится энергия
Если молекула имеет i
1
kT .
2
степеней свободы, то ее средняя кинетическая
энергия определится по формуле:
Е м олек 
i
kT
2
Энергия одного моля газа, в котором число молекул Na
Е м ол я  N a
i
kT - энергия моля
2
так как Na·k = R, то последнее уравнение перепишется в виде:
83
(12.3)
Е м ол я 
i
RT .
2
(12.4)
Для того, чтобы найти кинетическую энергию любой массы газа нужно
уравнение (4) умножить на число молей  
U
m

.
i m
RT .
2
(12.5)
Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением Менделеева-Клапейрона рV 
m

RT
, формулу кинетической энергии молекул газа любой массы можно записать в виде:
i
рV ,
2
U
(12.6)
Так как мы рассматривали идеальный газ, то в нем отсутствует взаимодействие
между молекулами, следовательно Е0 = 0 и в соответствии с уравнением (12.1)
полная внутренняя энергия газа определится по формулам:
U
i m
i
RT или U  рV .
2
2
(12.7)
Изменение внутренней энергии ΔU:
U 
i m
RT
2
(12.8)
где ΔТ = Т2 – Т1 – изменение температуры, если ΔТ = 0, то ΔU =0.
2.
Изменить внутреннюю энергию термодинамической системы можно двумя
путями:
1. Путем теплопередачи – сообщая количество теплоты Q (Дж).
2. Совершив работу. Если система сама совершит работу, то она считается
положительной (+А). Если работа совершается над системой, то работа
отрицательна (-А).
Пусть дана термодинамическая система, имеющая внутреннюю энергию U1,
подведем к системе количество теплоты Q и совершим над системой работу (-А), в
84
результате внутренняя энергия системы станет U2. Изменение энергии U 2  U1  U
будет равно:
U  Q  ( A)
Выразим Q:
Q  U  A
(12.9)
Первое начало термодинамики: Подводимое к системе тепло идет на изменение
внутренней энергии системы ΔU и совершение системой работы А против
внешних сил.
Первый закон (начало) термодинамики для малых изменений состояния газов
будет иметь вид:
dQ = dU + dA.
Если система периодически возвращается в исходное состояние, dU = 0 и,
следовательно, dA = dQ, т. е. нельзя построить двигатель, который бы совершал
работу большую, чем количество сообщенной ему извне энергии – вторая
формулировка первого начала термодинамики. Невозможно построить вечный
двигатель первого рода.
Применим первое начало термодинамики к изопроцессам в газах.
а) если Т = const, то изменение внутренней энергии dU = 0, т. к. U 
i m
RT
2
, вся теплота идет на совершение механической работы. Первый закон
термодинамики будет иметь вид:
dQ = dA;
(12.10)
б) если V = const, работа газа dA = 0, т. к. dA = pdV и, следовательно, вся
теплота идет на изменение внутренней энергии:
dQ = dU;
(12.11)
в) если p = const, тт в этом случае совершается работа и изменяется
внутренняя энергия газа:
dQ = dU + dA
(12.12)
Первое начало термодинамики устанавливает количественные соотношения
и ничего не говорит о направлении процессов в природе.
85
3.
Работа газа при изотермическом процессе.
В общем случае работа газа определяется выражением:
A
V2
 p dV
V1
(12.13)
Работа газа при изотермическом процессе равна подведенному к системе
количеству теплоты:
A=Q
Выразим давление газа из уравнения Менделеева-Клапейрона:
p
m RT
 V
(12.14)
Подставив выражение (12.14) в выражение (12.13), получим:
V2
V
2
V
dV m
m
dV m
A 
RT  RT 
 RT ln 2
V 

V

V1
V1
V1
.
Работа газа при адиабатическом процессе
При
адиабатическом
процессе
отсутствует
теплообмен
между
термодинамической системой и окружающей средой (Q=0). Работа газа равна
изменению внутренней энергии системы:
А  U 
i m
R(Т 1  Т 2 )
2
4.
Процесс изменения внутренней энергии термодинамической системы без
совершения механической работы называется теплопередачей. Мерой изменения
внутренней энергии термодинамической системы в процессе теплопередачи
является количество теплоты dQ, которое определяется по формуле:
dQ = cmdT
[Q]=[Дж]
Выразим с – удельную теплоемкость из (12.15):
86
(12.15)
c
[c]=[
dQ
mdT
(12.16)
Дж
]
кг  К
Удельная теплоемкость численно равна количеству теплоты, которое
необходимо для нагревания единицы вещества на 1 К.
Молярной
теплоемкостью
называется
величина,
равная
количеству
теплоты, необходимого для нагревания 1 моля вещества на 1 К:
с 
Дж 
c    моль
К
dQ
,
m
dT




(12.17)
Между молярной и удельной теплоемкостью существует следующая
зависимость:
C  c .
(12.18)
Величина теплоемкости зависит от условий, при которых происходит
нагревание.
Наибольший интерес представляет теплоемкость газа для случаев, когда
нагревание происходит при постоянном объеме или при постоянном давлении. В
первом случае говорят о теплоемкости при постоянном объеме – CV, во втором – при
постоянном давлении – Cp.
Рассмотрим изменение энергии 1 моля газа при постоянном объеме. Найдем
молярную теплоемкость CV:
CV 
dQ
dQ
, т. к.   1 моль, то CV 
.
dT
dT
(12.19)
По первому закону термодинамики для изохорного процесса
dQ  dU 
i
RdT .
2
Подставим правую часть уравнения (12.19) в уравнение (12.18), получим:
i
RdT
i
CV  2
 R dT
2
молярная теплоемкость при V = const.
87
(12.20)
Очевидно, что при нагревании газа при постоянном давлении, наряду с
изменением внутренней энергии будет совершаться работа
C p  CV  A,
т. к. A =pΔV, то C p  CV  pV , но pΔV = R, тогда
C p  CV  R - уравнение Майера.
(12.21)
Выразим C p через число степеней свободы:
Cp 
i
iR  2 R i  2
RR

R.
2
2
2
(12.22)
При изучении процессов, протекающих в газах важно знать понятие
отношение C p и CV
 
Cp
CV
- показатель адиабаты.
(12.23)
Его смысл в том, что он показывает во сколько раз C p  CV . Выразим γ через
число степеней свободы:
 
i  2R 2  i  2
2iR
2
.
(12.24)
5.
Процесс протекающий без теплообмена с окружающей средой называют
адиабатическим.
dQ = 0.
С учетом этого первое начало термодинамики для адиабатического процесса
будет иметь вид:
0 = dU + dA или dU = - dA.
(12.25)
В адиабатическом процессе работа совершается за счет изменения
внутренней энергии системы.
Подчиняется адиабатический процесс уравнению Пуассона:
pV   const ,
88
(12.26)
Cp
где р – давление, V – объем,  
CV
- коэффициент Пуассона (показатель
адиабаты).
Через величины Т и V уравнение Пуассона запишется в виде:
TV  1  const .
(12.27)
Через величины Т и р уравнение Пуассона запишется в виде:
Tp
 1

 const .
(12.28)
Графически адиабатический процесс представляется адиабатой Рассмотрим
этот процесс в координатных осях р - V (рис. 62).
Р
2 адиабата
изотерма
1
V
Рис. 62.
Адиабата в осях р - V представляет собой гиперболу, которая более крута,
чем изотерма, т. к. при адиабатическом процессе 1-2 возрастает давление и
изменяется температура.
6.
Круговым процессом ( циклом) называется процесс, при котором система
пройдя через ряд состояний возвращается в исходное.
Изобразим круговой процесс в координатных осях р - V (рис. 63).
89
a)
P
б)
P
1
1
a
A
b
V1
-A
a
2
V2
b
V
V1
2
V2
V
Рис. 63.
На рисунке 63: а) 1-2 – расширение газа, б) 2-1 – сжатие газа.
Работа расширения определяется площадью фигуры 1а2V2V11,
dV>0; А>0 (рис. 63, а);
Работа сжатия определяется площадью фигуры 2b1V1V22 ,
dV<0; А<0 (рис. 63, б).
Таким образом работа, совершаемая за цикл, определяется площадью
охватываемую кривой, описывающей процессы данного цикла.
Если цикл протекает по часовой стрелке, совершается положительная работа
и цикл называется прямым.
Если за цикл совершается отрицательная работа (цикл протекает против
часовой стрелки), то он называется обратным.
Прямой цикл используется в тепловом двигателе. Обратный цикл
используется в холодильных машинах, в которых за счет работы внешних сил
теплота переносится к телу с более высокой температурой.
Коэффициент полезного действия (КПД) кругового процесса определяется
выражением:

Q1  Q2
 100%. ,
Q1
(12.29)
где Q1 – количество теплоты, получаемое термодинамической системой за
цикл; Q2 – количество теплоты, отдаваемое термодинамической системой за цикл.
90
Термодинамический процесс называется обратимым, если он может
протекать, как в прямом, так и в обратном направлениях. Причем если такой
процесс протекает сначала в прямом, а затем в обратном направлениях и система
возвращается в исходное состояние, то ни в окружающей среде, ни в этой системе
не происходит никаких изменений.
Всякий
процесс,
неудовлетворяющий
этим
условиям
называется
необратимым.
В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние
и изменение внутренней энергии ∆U=0, поэтому первое начало термодинамики для
кругового процесса запишется в виде:
Q  A  U  A
(12.30)
7.
Второе начало термодинамики возникло из анализа работы теплового
двигателя (рис. 64).
Тепловой двигатель – периодически действующий двигатель, который
совершает работу за счет полученной извне теплоты или это двигатель, в котором
внутренняя энергия топлива превращается в механическую работу. К ним относятся
паровые машины, паровые турбины, двигатели внутреннего сгорания, реактивные
двигатели.
Любой тепловой двигатель состоит из нагревателя и холодильника.
Нагреватель – устройство, в котором сгорает топливо и выделяется количество
теплоты Q1. Часть теплоты Q2 передается холодильнику. Рабочее тело пар или газ
совершают работу:
А = Q1 – Q2 .
91
Т1 нагреватель
Q1
Рабочее тело
Q2
пар
Q1 - Q2
газ
Т 2 холодильник
Рис. 64.
КПД теплового двигателя определяется по формуле:

A Q1  Q2

 100%
Q1
Q1
(12.31)
Для работы тепловой машины необходим нагреватель и холодильник,
благодаря которому система возвращается в исходное состояние.
Процесс, обратный рассмотренному в тепловом двигателе используется в
холодильной машине. Для того, чтобы отбирать теплоту от менее нагретого тела и
отдавать ее более нагретому, необходимо совершить работу над системой.
Кельвин и Планк сформулировали второе начало термодинамики:
Невозможен процесс, при котором все тепло, полученное от нагревателя
превращается в работу (вечный двигатель второго рода).
В холодильных машинах протекает процесс, обратный процессу в тепловых
двигателях, т.е. над системой совершается отрицательная работа.
Второе начало термодинамики сформулировал также Клаузиус:
Теплота никогда не может переходить сама собой от тел с более низкой
температурой к телам с более высокой температурой.
8.
Цикл Карно - это прямой круговой процесс, состоящий из 2-х изотерм и 2-х
адиабат в координатных осях р - V (рис. 65).
92
P
P1V1T1
1
и зо
P2V2T1
2
P4V4T2
4
а
изоте
рма
ат
адиаб
та
адиаба
терм
а
3
P3V3T2
V
Рис. 65.
В качестве рабочего тела использован идеальный газ, который заключен в
сосуд с подвижным поршнем.
идеальный
газ
Рис. 64.
В точке 1 газ характеризуется параметрами р1,V1,T1. Во 2-е состояние газ
переходит изотермически расширяясь при Т1 = const, при этом к системе подведено
количество теплоты Q1. Переход из 2-го в 3-е состояние является адиабатическим
расширением. Переход из 3 в 4 – изотермическое сжатие, при котором
холодильнику передается количество теплоты Q2 и из 4 в 1 состояние –
адиабатическое сжатие.
Работа, совершаемая в результате кругового процесса равна:
А = А1-2 + А2-3 + А3-4 + А4-1
Найдем каждую из составляющих формулы (12.32).
93
(12.32)
А1-2 – работа при изотермическом расширении.
А12 
m

RT1 ln
V2
 Q1
V1
(12.33)
А2-3 – работа при адиабатическом расширении.
В данном процессе ΔQ = 0 (нет теплообмена с окружающей средой) и работа
совершается за счет изменения внутренней энергии ΔU:
i m
R(T1  Т 2 )
2
А23 
(12.34)
А3-4 – работа при изотермическом сжатии, газ отдает холодильнику
количество теплоты Q2.
m
А34 

RT2 ln
V4
 Q2
V3
(12.35)
А4-1 – работа при адиабатическом сжатии:
i m
R(T2  Т 1 )
2
А41 
(12.36)
Подставим выражения (12.33, 12.34, 12.35 и 12.36) в уравнение (12.32):
А
m

RT1 ln
V2 i m
V
i m
m
i m
i m

RT1 
RT2  RT2 ln 4 
RT2 
RT1
V1 2 
2

V3 2 
2
А
m
RT1 ln

V2 m
V
 RT2 ln 4
V1 
V3
(12.37)
Используя уравнение Пуассона для адиабатического процесса можно
доказать, что
V2 V3
и с учетом этого уравнение (12.31) запишется в виде:

V1 V4
m


V
V2 m
 RT2 ln 3
V1 
V4
V
m
RT1 ln 2

V1
RT1 ln

Т1  Т 2
Т1
(12.38)
КПД теплового двигателя по формуле Карно, через температуру нагревателя
Т1 и холодильника Т2.
94
Коэффициент полезного действия цикла Карно является наибольшим и
определяется только температурой нагревателя и холодильника и не зависит от
природы рабочего тела.
Благодаря этой формуле возникло направление в науке по созданию
экономически выгодного теплового двигателя. Это максимальный КПД для данного
теплового двигателя. КПД реального теплового двигателя из-за потерь на
преодоление трения, тепловых потерь всегда ниже, чем КПД по Карно.
9.
Преобразуем выражение для КПД теплового двигателя к следующему виду:

Q1  Q2
Q
Т
Q
Т
Q Q
, 1 2  1 2 , 2  2 , 1  2  0 .
Q1
Q1
Т 1 Q1 Т 1 Т 1 Т 2
Для цикла Карно алгебраическая сумма приведенных количеств теплоты
равна 0.
Величина
Q
- приведенное количество теплоты.
Т
Для малых обратимых циклов это выражение примет вид:

dQ
 0.
Т
Подынтегральное выражение
dQ
 dS Т
(12.39)
энтропия – функция состояния термодинамической системы.
Для обратимых процессов изменение энтропии ΔS = 0.
В необратимых процессах изменение энтропии:
ΔS  0 –
(12.40)
уравнение Клаузиса.
Так как реальные процессы необратимы, то можно утверждать, что все
процессы в замкнутой системе ведут к увеличению ее энтропии – принцип
возрастания энтропии.
95
ЛИТЕРАТУРА
1. ЭБС Университетская библиотека ONLINE: Айзенцон А. Е. Курс физики.
Учебное пособие - М.: Абрис, 2012.-373 с.
2. ЭБС Университетская библиотека ONLINE: Алешкевич В. А. Курс общей
физики. Механика - М.: Физматлит, 2010.- 473 с.
3. ЭБС Университетская библиотека ONLINE: Никеров В. А. Физика
Современный курс. Учебник - М.: Дашков и Ко, 2012. -452 с.
4. Трофимова, Т.И. Физика: учебник для студентов вузов по техн. направлениям
подготовки /Т.И. Трофимова. - М.: Академия, 2012. – 320 с.
5. Трофимова, Т.И. Курс физики: учеб. пособие для инж.- техн. специальностей
вузов /Т.И. Трофимова. – 18-е изд., стер. - М.: Академия, 2010. – 560 с.
6. Трофимова, Т.И. Курс физики. Задачи и решения: учеб. пособие для студентов
вузов по техн. направлениям и специальностям /Т.И. Трофимова, А.В. Фирсов. – 4-е
изд., испр. – М.: Академия, 2011. – 592 с.
96