Α ά альфа Ι ι

Греческий алфавит
Греческая буква
Русское название
буквы
Греческая буква
Русское название
буквы
Αά
альфа
Ιι
йота
Ββ
бэта
Λλ
лямбда
Γγ
гамма
Μμ
мю
Εε
эпсилон
Ττ
тау
Ζζ
зета
Ψψ
пси
Ρρ
ро
Νν
ню
Φφ
фи
Ξξ
кси
Χχ
хи
Οο
омикрон
Ωω
омега
Ππ
пи
Ηη
эта
Σσ
сигма
Θθ
тэта
Υυ
ипсилон
Латинский алфавит
Латинская
буква
Русское
название
буквы
Английское
Латинская
название
буква
буквы
Русское
название
буквы
Английское
название
буквы
A a
а
эй
N n
эн
эн
B b
бэ
би
O o
о
оу
C c
цэ
си
P p
пэ
пи
D d
дэ
ди
Q q
ку
кью
E e
е
и
R r
эр
эр
F f
эф
эф
S s
эс
эс
G g
же
джи
T t
тэ
ти
H h
аш
эйч
U u
у
ю
I i
и
ай
V v
вэ
ви
J j
жи
джей
W w
дубль-вэ
дабл-ю
K k
ка
кей
X x
икс
экс
L l
эль
эл
Y y
игрек
уай
M m
эм
эм
Z z
зед
зет
Некоторые постоянные
π = 3,14159;
1 радиан = 57о17 4́ 5˝;
e = 2,71828;
arc = 0,01745.
Формулы сокращенного умножения
a2 – b2 = (a – b) (a + b);
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2;
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2);
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2);
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3;
(a  b  c)2  a 2  b2  c 2  2ab  2ac  2bc;
(a  b  c)2  a 2  b2  c 2  2ab  2ac  2bc;
x n  1  ( x  1)(1  x  x 2  x3  . . .
 x n1 ).
Решение простейших уравнений
1. Линейное.
Линейным уравнением называют уравнение вида:
ax + b = 0 (a  0),
тогда x  
b
– корень этого уравнения.
a
2. Квадратное.
Квадратным уравнением называют уравнение вида:
ax2 + bx + c = 0 (a  0).
Для его решения находим дискриминант D по формуле:
D = b2 – 4ac,
тогда
a) если D > 0, то уравнение имеет два корня, которые находят по
формулам:
x1 
b  D
b  D
, x2 
;
2a
2a
б) если D = 0, то уравнение имеет один корень
x
b
;
2a
в) если D < 0, то корней нет.
ax  b
 0.
3.
cx  d
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
b

x


,

ax  b  0,
ax  b
a
0  
 
cx  d
cx  b  0,
x   d .

c
P( x)
4. Q( x)  0,
где Р(х); Q(x) – некоторые функции переменной х.
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
P( x)
P( x)  0,
0  
Q( x)  0.

Q( x)
5. |x| = b, тогда
– если b > 0, то x1 = –b; x2 = b;
– если b = 0, то x1 = 0;
– если b < 0, то корней нет.
6. x2n = b, где n  N.
2n
– если b > 0, то x1 =  b ; x2 =
– если b = 0, то x = 0;
2n
b;
– если b < 0, то корней нет.
7. x2n+1 = b, где n  N  x =
8.
2n
2 n 1
b – корень уравнения.
x  b , где n  N, тогда
– если b > 0, то x = b2n;
– если b = 0, то x = 0;
– если b < 0, то нет корней.
9.
2 n 1
x  b , где n  N  x = b2n+1 – корень уравнения.
10. ax = b (a > 0; a  1), тогда
– если b > 0, то x = logab;
– если b  0, то корней нет.
11. logaх = b
(a > 0; a  1),
тогда x = ab – корень уравнения.
Уравнение окружности
Окружность с центром в точке О (a, b) и радиусом r описывается уравнением
(х – а)2 + (y – b)2 = r2.
Абсолютная величина ( модуль) числа.
a, a  0
a 
.
 a, a  0
a  0,
a  a ,
ab  a b ,
a a

при b>0,
b b
ab  a  b ,
a b  a  b .
Действия со степенями
Если a≥0 , а n– натуральное, причем n ≥1, то существует только одно
неотрицательное число x такое, что
xn  a .
Это число x называют арифметическим корнем неотрицательного числа
a и обозначают n a или a1 / n .
Если n –нечетное число, причем n>1, a<0, то под n a понимают
отрицательное число x такое, что
xn  a .
Приведем основные формулы действий с корнями, если m, n, k –
натуральные числа, a≥0 и b≥0.
n ab  n a n b ,
n
na  a, b0
b nb
nk
mn mk n k
a
 a ,
a  kn a ,
n
(n a ) k  a k .
Заметим, что если показатели корней – нечетные числа, то все
приведенные формулы остаются справедливыми как для положительных, так и
для отрицательных a и b.
Если же n– четное число, то
n n
a  a,
Если a<0 и b<0, то n ab  n a n b и
Если a  0 , то a 0  1 ;
n
a

b
n
a
n
b
..
m
если a  0 , то a n  n a m ( n, m – натуральные, n≥2);
если a>0, n ≥ 0, то a  n 
1
.
an
Приведем основные свойства степеней с произвольными рациональными
показателями при a>0, I>0, r, s –произвольные рациональные числа:
ar  as  ar s ,
(a r ) s  a rs ,
ar
 ar s ,
as
(ab) r  a r  b r ,
a
ar
( )r 
.
b
br
Показательная функция, ее свойства и график
Показательная функция задается формулой:
y = ax, где а > 0, a  1.
Основные свойства показательной функции
1) область определения R;
2) область значений (0; +);
3) при а > 1 – является возрастающей функцией; при 0 < a < 1 – убывающей;
4) и если a > 0, b > 0 и x, y  R, то
ax = ay  x = y;
axay = ax + y;
ax
 a x y ;
y
a
a 
x y
a x b x   ab  ;
x
 a xy ;
x
ax  a 
  .
bx  b 
Логарифмы
Логарифмом числа b по основанию a (logab, где a > 0, b > 0, a  1)
называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы
получить b:
c = logab  ac = b.
Свойства логарифмов
Пусть a > 0, a  1, b > 0, c > 0, тогда справедливы следующие формулы:
a loga b  b ;
loga1=0;
logaa = 1;
logab = logac  b = c;
loga(b c) = logab + logac;
loga  b  = logab – logac;
c
logab =
log c b
log c a
log a p b 
(c  1);
1
log a b ;
p
logabp = p logab.
Производные основных элементарных функций
(xk) = kxk1;
(sin x) = cos x ;
(ax) = ax  ln a ;
(cos x) =  sin x ;
(ex) = ex ;
(tg x) =
1
cos 2 x
(ctg x) = 
;
(loga x) =
1
;
sin 2 x
(lnx) =
1
;
x  ln a
1
.
x
Касательная к графику функции
Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке
М(x0; f (x0)) равен значению производной этой функции в точке касания
k = tg = f (x0).
В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение
касательной к кривой y = f(x) в заданной точке M(x0; y0), y0 = f(x0) имеет вид:
y – y0 = f (x0)(x – x0).
Элементы векторной алгебры
Вектором называется направленный отрезок. Направление вектора
определяется указанием его начала и конца (на чертеже направление вектора
 
отмечается стрелкой). Обозначения: a ; AB (точка А – начало, точка В – конец
вектора).
Абсолютная величина (модуль) вектора – это длина отрезка,
 
изображающего вектор. Обозначения: a ; AB .
Нуль-вектором называется вектор, начало которого совпадает с его

концом. Обозначение: 0 .
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на
   
одной прямой или на параллельных прямых. Обозначения: a || b , AB || CD .

 

Свойство коллинеарных векторов: a || b  b    a
Линейные операции над векторами
  
Сумма векторов a  b  c определяется по правилу треугольника или
параллелограмма.
B
В
b
C
a
a
c
ab
A
D
C
A
D
b
     

 
Разность векторов a b – это такой вектор c , что b  c  b  a  b   a .
B
A
D

Произведение вектора a на число  – это такой вектор, что:


1) a    a ;




 
2)a  a•рЏ  0;a  a•рЏ  0;a  0•рЏ  0.
Координаты вектора

Пусть угол между вектором a и осью l равен  (0°    180°), тогда

проекция вектора a на ось l:


al  a  cos  .
a
Пусть в пространстве задана
l
прямоугольная декартова система
A
координат с началом в точке О и с
  

B

осями OX, OY, OZ (OXYZ). Векторы i , j ,k , i  j  k  1 – единичные векторы,
сонаправленные с осями OX, OY, OZ соответственно (орты осей). Вектор

 
a  OA . Обозначим углы между вектором OA и осями OX, OY, OZ



соответственно , , . Координаты вектора a a x ;a y ;a z в данной системе
координат – это его проекции на оси OX, OY, OZ:

a x  a  cos ;

a y  a  cos  ;

a y  a  cos 
Z
MZ
M
γ
MY
β
O
Y

MX
X
MXY
Величины cos, cos, cos называются направляющими косинусами


вектора a . Вектор OA называется радиус-вектором точки А.

Координаты точки А – это координаты вектора OA в данной системе
координат.
Координаты и модуль вектора, заданного координатами точек начала и
конца А(xA; yA; zA); B(xB; yB; zB), вычисляются по формулам:

AB   xB  x A ; yB  y A ; z B  z A  ;

AB 
 xB  x A    y B  y A    z B  z A 
2
2
2
Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты:
 
a  b  a x  bx ; a y  b y ; a z  bz .
Длина вектора вычисляется по формуле:

a  a x2  a 2y  a z2 .
Координаты вектора являются коэффициентами в его разложении по
базису:




a  ax  i  a y  j  az  k
.Линейные операции над векторами выполняются покоординатно:
a  b   ax  bx ; a y  by ; az  bz  ;
 a    ax ;  a y ;  az 
.
Условие коллинеарности двух векторов:
a y az
a
 
.
a || b  x 

bx b y bz
Скалярное произведение двух векторов
Скалярное произведение векторов:
 a, b   a  b  cos  ,
где   a; b  и 0°    180°.
 
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами,
вычисляется по формуле:
 a, b   a b  a b
x x
y y
 az bz .
Модуль вектора вычисляется по формуле:


a  a 2  a x2  a 2y  a z2 .
Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:
 
a b
cos     
ab
a x bx  a y b y  a z bz
.
2
2
2
2
2
2
a x  a y  a z  bx  b y  b z
Условие перпендикулярности векторов:
 
 
a  b  a  b  a x bx  a y b y  a z bz  0 .
Тригонометрия
Определение тригонометрических функций
Рассмотрим окружность радиуса r с центром в начале координат. Пусть
точка М(х; у) лежит на этой окружности. Обозначим через  угол между
отрезком ОМ и положительным направлением оси ОX.
Y
y
sin  
y
;
r
tg =
cos 
x
;
r
ctg 
M(x; y)
r

O
x
tg 
X
sin 
;
cos
sec 
ctg =
1
;
cos
cos ec =
y
;
x
x
;
y
cos
;
sin 
1
.
sin 
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Y
+
Y
–
+
Y
–
+
X
–
+
X
–
–
y = sinx
X
+
–
+
y = cosx
y = tgx; y = ctgx
Некоторые значения тригонометрических функций
x
0
/6
/4
/3
/2

3/2
sinx
0
1/2
2 2
32
1
0
–1
cosx
1
32
2 2
1/2
0
–1
0
tgx
0
3 3
1
3
–
0
–
ctgx
–
3
1
3 3
0
–
0
Четность, нечетность, периодичность
Функция y = cosx является четной, функции y = sinx; y = tgx; y = ctgx являются
нечетными, следовательно:
sin(–x) = –sinx;
cos(–x) = cosx;
tg(–x) = –tgx;
ctg(–x) = –ctgx.
Все тригонометрические функции являются периодическими:
2 – основной (наименьший положительный) период функций y = sinx;
y = cosx;
 – основной период функций y = tgx; y = ctgx.
sin(x + 2) = sin(x – 2) = sinx;
tg(x + ) = tg(x – ) = tgx;
cos(x + 2) = cos(x – 2) = cosx;
ctg(x + ) = ctg(x – ) = ctgx.
Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же аргумента
sin2 + cos2 = 1;
1  tg 2 
tg  ctg  1( 

2
n) ;
tg =
sin 

(   n) ;
cos
2
cos
1

1
(  n) ; 1  ctg 2 
(   n) ; ctg =
(  n) .
2
sin 
2
cos 
sin 2 
Формулы приведения
x
/2 – 
/2 + 
–
+
3/2 – 
3/2 + 
2 – 
sinx
cos
cos
sin
–sin
–cos
–cos
–sin
cosx
sin
–sin
–cos
–cos
–sin
sin
cos
tgx
ctg
–ctg
–tg
tg
ctg
–ctg
–tg
ctgx
tg
–tg
–ctg
ctg
tg
–tg
–ctg
Формулы двойных и тройных углов
cos2 = cos2 – sin2 = 2cos2 – 1 = 1 – 2sin2;cos3 = 4cos3 – 3cos; sin2 =
2sincos; sin3 = 3sin – 4sin3;1  sin2 = (cos  sin)2
tg2 
2tg
ctg 2  1
3tg  tg 3
3ctg  ctg 3
; tg3 
;
; ctg2 
; ctg3 
2ctg
1  3ctg 2
1  tg 2
1  3tg 2
Формулы половинного аргумента
sin
ctg

2

2
1  cos 
;
2


tg

2

sin 
1  cos 

1  cos 

; cos 
;
1  cos 
sin 
2
2
1  cos 
sin 

.
sin 
1  cos 
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного
аргумента
sin  
2 tg

2 tg

1  tg 2

1  tg 2

2.
2 ; tg  
2 ; cos  
2 ; ctg 




1  tg 2
1  tg 2
2tg
1  tg 2
2
2
2
2
Формулы понижения степени
sin 2  
1  cos 2
3 cos   cos 3
1  cos 2
sin   sin 3
; cos 2  
; sin 3  
; cos 3  
.
2
2
4
4
Формулы сложения
sin( + ) = sincos + cossin;sin( – ) = sincos – cossin;
cos( + ) = coscos – sinsin;cos( – ) = coscos + sinsin;
ctg     
ctg  ctg  1
tg  tg
ctg  ctg  1
; tg     
; ctg      
.
ctg  ctg
1  tg  tg
ctg  ctg
Формулы для суммы и разности тригонометрических функций
одного аргумента




sin   cos   2 sin      2 cos   ;
4
4


ctg   tg  




sin   cos   2 sin       2 cos   ;
4
4


ctg  tg  2ctg 2 .
2
;
sin 2
Формулы преобразования сумм или разностей тригонометрических
функций в произведение
sin    
;
2
2
cos   cos 
 
 
sin    
sin   sin   2 cos
 sin
; tg  tg 
;
2
2
cos   cos 
 
 
sin    
cos   cos   2 cos
 cos
; ctg  ctg 
;
2
2
sin   sin 
sin   sin   2 sin
 
cos   cos   2 sin
 cos
 
2
 
 sin
; tg  tg 
 
2
; ctg  ctg  
sin    
.
sin   sin 
Формулы преобразования произведений тригонометрических
функций в суммы и разности
sin   sin  
1
cos      cos   cos   cos   1 cos      cos   ;
2
2
1
sin   cos   sin      sin    .
2
Обратные тригонометрические функции
1) y = arcsin x – функция, определенная на отрезке [–1; 1], обратная функции x
= sin y, y  [–/2; /2]; т.е. arcsin x – это угол в радианах, взятый в пределах от –
/2 до /2, синус которого равен х.
2) y = arccos x – функция, определенная на отрезке [–1; 1], обратная функции x
= cos y, y  [0; ]; т.е. arccos x – это угол в радианах, взятый в пределах от 0 до
, косинус которого равен х.
3) y = arctg x – функция, определенная на интервале (–; +), обратная
функции x = tg y, y  (–/2; /2); т.е. arctg x – это угол в радианах, взятый в
пределах от –/2 до /2, тангенс которого равен х.
4) y = arcctg x – функция, определенная на интервале (–; +), обратная
функции x = ctg y, y  (0; ); т.е. arcctg x – это угол в радианах, взятый в
пределах от 0 до , котангенс которого равен х.
Некоторые важные тождества:
arcsin(–x) = –arcsin x (–1  x  1); arctg(–x) = –arctg x;arccos(–x) =  – arccos x
(–1  x  1);
arcctg(–x) =  – arcctg x;arcsin x + arccos x = /2 (–1  x
 1); arctg x + arcctg x = /2.
Простейшие тригонометрические уравнения
Уравнение
Решение
sinx = a, |a|  1
x = (–1)narcsina + n
cosx = a, |a|  1
x = arccosa + 2n
tgx = a
x = arctga + n
ctgx = a
x = arcctga + n
Частные случаи простейших тригонометрических уравнений:
sinx = 0  x = n;
cosx = 0  x = /2 + n;
sinx = 1  x = /2 + 2n;
cosx = 1  x = 2n;
sinx = –1  x = –/2 + 2n;
cosx = –1  x =  + 2n;
где n  Z (т.е. n – любое целое число).