Краснодарский гуманитарно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ
«КРАСНОДАРСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ОДП 02.01 «МАТЕМАТИКА»
общеобразовательного цикла
основной профессиональной образовательной программы
по специальностям:
19.02.10. «Технология продукции общественного питания»
технического профиля
43.02.11. «Гостиничный сервис»
социально-экономического профиля
для студентов очной формы обучения
Краснодар, 2014 г.
1
Составитель: Андрюхина М. И., преподаватель ГБПОУ КК КГТК
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математика» составлен в соответствии с требованиями к минимуму результатов освоения дисциплины, изложенными в Федеральном государственном стандарте среднего профессионального
образования по специальностям
19.02.10.
«Технология продукции общественного питания», утвержденном
приказом Министерства образования и науки РФ от 22 июня 2010 г. № 675,
43.02.11. «Гостиничный сервис», утвержденном приказом Министерства образования и науки РФ от 5 апреля 2010 г. № 273.
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математика» входит в общеобразовательный цикл ОПОП и является частью основной профессиональной образовательной программы ГБПОУ КГТК КК по специальностям 19.02.10. «Технология продукции общественного питания», 43.02.11 «Гостиничный сервис», разработанной в соответствии с ФГОС СПО третьего поколения.
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математика» адресован студентам очной формы обучения.
УМКД включает теоретический блок, перечень практических занятий, задания
по самостоятельному изучению тем дисциплины, вопросы для самоконтроля, перечень точек рубежного контроля, а также вопросы и задания по промежуточной аттестации.
2
СОДЕРЖАНИЕ
Наименование разделов
стр.
1. Введение
5
2. Образовательный маршрут
11
3. Содержание дисциплины
3.1. РАЗДЕЛ 1. ЧИСЛОВЫЕ ИБУКВЕННЫЕ ВЫРАЖНИЯ
12
Тема 1.1. Делимость целых чисел
Тема 1.2. Многочлены
3.2. РАЗДЕЛ 2. ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
19
Тема 2.1. Решение треугольников
Тема 2.2. Вписанные и описанные многоугольники
3.3. РАЗДЕЛ 3. ФУНКЦИЯ
27
Тема 3.1. Функция, её свойства и график
Тема 3.2. Сложная и обратная функции
Тема 3.3. Степенная функция
Тема 3.4. Показательная функция
Тема 3.5. Логарифмическая функция
Тема 3.6. Преобразование графиков
3.4. РАЗДЕЛ 4. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
44
Тема 4.1. Параллельность прямых и плоскостей
Тема 4.2. Перпендикулярность прямых и плоскостей
3.5. РАЗДЕЛ 5. ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ
49
Тема 5.1. Векторы и координаты
Тема 5.2. Метод координат в пространстве
3.6. РАЗДЕЛ 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Тема 6.1. Тригонометрическая функция
Тема 6.2. Преобразование тригонометрических выражений
Тема 6.3. Тригонометрические уравнения
3.7. РАЗДЕЛ 7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
56
67
Тема 7.1. Алгебраическая запись комплексного числа
Тема 7.2. Геометрическая запись комплексного числа
3.8. РАЗДЕЛ 8. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 8.1. Теория пределов
Тема 8.2. Производная
Тема 8.3. Приложения производной
Тема 8.4. Определенный интеграл
Тема 8.5. Приложения интеграла
3.9. РАЗДЕЛ 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ
71
86
Тема 9.1. Многогранники
Тема 9.2. Тела вращения
Тема 9.3. Объемы тел
3
3.10. РАЗДЕЛ 10. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ
97
ВЕРОЯТНОСТИ
Тема 10.1. Основные понятия комбинаторики
Тема 10.2. Основные понятия теории вероятности
3.11. РАЗДЕЛ 11. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
103
Тема 11.1. Решение уравнений и неравенств
Тема 11.2. Решение систем уравнений и неравенств
4. Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины
109
5. Информационное обеспечение дисциплины
117
4
УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математика» создан Вам в
помощь для работы на занятиях, при выполнении домашнего задания и подготовки
к текущему и итоговому контролю по дисциплине.
УМК по дисциплине включает теоретический блок, перечень практических занятий, задания для самостоятельного изучения тем дисциплины, вопросы для самоконтроля, перечень точек рубежного контроля, а также вопросы и задания по промежуточной аттестации.
Приступая к изучению новой учебной дисциплины, Вы должны внимательно
изучить список рекомендованной основной и вспомогательной литературы. Из всего
массива рекомендованной литературы следует опираться на литературу, указанную
как основную.
По каждой теме в УМК перечислены основные понятия и термины, вопросы,
необходимые для изучения, план изучения темы, а также краткая информация по
каждому вопросу из подлежащих изучению. Наличие тезисной информации по теме
позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии.
Основные понятия, используемые при изучении содержания дисциплины, приведены в глоссарии.
После изучения теоретического блока приведен перечень практических работ,
выполнение которых обязательно. Наличие положительной оценки по практическим
работам необходимо для получения допуска к экзамену по дисциплине, поэтому в
случае отсутствия на уроке по уважительной или неуважительной причине Вам потребуется найти время и выполнить пропущенную работу.
В процессе изучения дисциплины предусмотрена самостоятельная внеаудиторная работа, включающая выполнение заданий практикумов, изучение и конспектирование отдельных тем дисциплины, работа со справочной и учебной литературой.
Содержание рубежного контроля разработано на основе вопросов самоконтроля, приведенных по каждой теме.
По итогам изучения дисциплины проводится экзамен.
Экзамен сдается в форме контрольной работы, вопросы к которому приведены
в конце УМКД.
В результате освоения дисциплины Вы должны уметь:
- выполнять арифметические действия, сочетания устные и письменные примеры, применение вы числительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя
при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;
- применять понятия, связанные с делимостью целых чисел, при решении математических задач;
- находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать многочлены на
множители;
5
- выполнять действия с комплексными числами, пользоваться геометрической
интерпретацией комплексных чисел, в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами;
- проводить преобразования числовых и буквенных выражений, включающих
степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;
- определять значение функции по значению аргумента при различных способах
задания функции;
- строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков;
- описывать по графику и по формуле поведение и свойства функции;
- решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя свойства функций и их графические представления;
- находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
- вычислять производные и первообразные элементарных функций, применяя
правила вычисления производных и первообразных, используя справочные материалы;
- исследовать функции и строить их графики с помощью производной;
- решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;
- решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
на отрезке;
- вычислять площадь криволинейной трапеции;
- решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы; доказывать несложные неравенства;
- решать текстовые задачи с помощью составления уравнений и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;
- изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенства с двумя переменными и их систем;
- находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;
- решать уравнения, неравенства и системы с применением графических представлений, свойств функций, производной;
- решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул, треугольника Паскаля; вычислять коэффициенты
бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля;
- вычислять вероятности событий на основе подсчета числа исходов (простейшие
случаи). Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для анализа реальных числовых данных,
представленных в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера;
- соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями; различать и анализировать взаимное расположение фигур;
- изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи;
6
- решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;
- проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса;
- вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях,
объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций;
- применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов;
- строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения;
- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности на
основе изученных формул и свойств фигур; вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.
В результате освоения дисциплины Вы должны знать:
- определения натуральных, целых, рациональных, иррациональных, действительных чисел; понятие делимости целых чисел; свойства делимости целых чисел; признаки делимости целых чисел; свойства сравнения действительных чисел;
- определение многочлена; определение тождественно равных многочленов; понятие делимости многочленов, деления с остатком; свойства делимости многочленов, теорему Безу; формулы сокращенного умножения, формулу бинома
Ньютона;
- свойства биссектрисы угла треугольника; формулы радиусов вписанной и описанной окружностей; теорему Чевы и теорему Менелая; формулы площади треугольника; формулу Герона, выражение площади треугольника, через радиус
вписанной и описанной окружностей;
- теоремы об углах с вершиной внутри и вне круга, углах между хордой и касательной; теорему о произведении отрезков хорд; теорему о касательной и секущей; теорему о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма; определение вписанных и описанных многоугольников; свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников;
- определение функции, графика функции, области определения и области значений функции; определение наибольшего и наименьшего значений функции; понятие ограниченности функции, определение четной и нечетной функции;
определение монотонности функции; определение экстремумов функции;
- определение сложной и обратной функции; правило нахождения функции, обратной данной;
- определение корня n-ой степени; свойства корня n-ой степени; правила решения
иррациональных уравнений и неравенств; определение степени с рациональным
7
-
-
-
-
-
-
-
-
-
показателем; свойства степени с рациональным показателем; определение степенной функции, ее свойства и графики;
определение показательной функции, ее свойства и график; определение показательных уравнений и неравенств; правила решения показательных уравнений
и неравенств;
определение логарифма; основное логарифмическое тождество; определение
логарифмической функции, ее свойства и график; свойства логарифмов; определение логарифмических уравнений и неравенств; правила решения логарифмических уравнений и неравенств;
правила преобразования графиков функции: параллельный перенос, симметрия
относительно осей координат, симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой у = х;
аксиомы стереометрии; определение параллельности прямых и плоскостей;
признаки и свойства параллельных прямых и плоскостей; определение скрещивающихся прямых; определение угла между скрещивающимися прямыми;
определение перпендикулярности прямых и плоскостей; признаки и свойства
перпендикулярных прямых и плоскостей; определение перпендикуляра и
наклонной, расстояния между прямой и плоскостью, расстояния между плоскостями; определение двугранного угла;
понятие вектора в пространстве, понятие вектора в координатной плоскости;
определение нулевого вектора, длины вектора; определение коллинеарных, сонаправленных, противоположно направленных, противоположных, равных
компланарных векторов;
правила сложения векторов, умножения вектора на число, разложение вектора
по трем некомпланарным векторам; определение единичного вектора, координат вектора, угла между векторами; определение скалярного произведения векторов, свойства скалярного произведения векторов; правила нахождения длины
вектора, координат середины отрезка;
определения тригонометрических величин; свойства тригонометрических величин; основные тригонометрические тождества; формулы приведения; определение тригонометрических функций, их свойства и графики, понятие периодичности, определение периода функции; преобразование графиков тригонометрических функций: растяжение и сжатие вдоль осей координат;
тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов; формулы
тригонометрических функций двойного аргумента; формулы половинного аргумента; формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму;
8
- определение обратных тригонометрических функций; формулы корней тригонометрических уравнений; определение и методы решения тригонометрических
уравнений первой и второй степени;
- определение комплексных чисел; алгебраическую и тригонометрическую форму записи комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексных
чисел; правила действий над комплексными числами, записанными в алгебраической и тригонометрической форме;
- определение последовательности; свойства последовательностей; определение
предела последовательности; теоремы о пределах последовательностей; формулу суммы геометрической прогрессии; понятие о пределе функции в точке;
понятие о непрерывности функции; основные теоремы о непрерывных функциях;
- понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной; производные элементарных функций; правила вычисления производных; уравнение касательной к графику функции; определение критических точек, стационарных точка, точек экстремума, максимума и минимума функций;
- алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы, построения
графиков функций, нахождения наибольших и наименьших значений функции
на промежутке; определение числа е, натурального логарифма; производную
показательной и логарифмической функции;
- определение первообразной; первообразные элементарных функций; правила
вычисления первообразных;
- понятие об определенном интеграле; формулу Ньютона-Лейбница; свойства
определенного интеграла; физический и геометрический смысл определенного
интеграла; правила вычисления площадей плоских фигур;
- определение многогранника, определение площади поверхности многогранника; определение призмы; определение наклонной, прямой, правильной призмы; определение параллелепипеда, куба; формулы площади боковой и полной
поверхности призмы; определение пирамиды; определение правильной, усеченной пирамиды; формулы площади боковой и полной поверхности пирамиды;
- определение цилиндра; формулы площади поверхности цилиндра; определение
конуса, усеченного конуса; формулы площади поверхности конуса; определение сферы и шара; уравнение сферы; формулы площадь сферы;
- понятие объема, формулы объем призмы, прямоугольного параллелепипеда,
куба, цилиндра, пирамиды, конуса и шара;
- методы и формы статистической обработки данных; определение и формулы
числа перестановок, сочетаний и размещений; треугольник Паскаля; формулу
бинома Ньютона; определение вероятности случайного события; правила сложения и умножения вероятностей; определение статистической частоты
наступления события;
- основные методы решения уравнений и неравенств; систем уравнений и неравенств.
9
В результате освоения дисциплины у Вас должны формироваться общие компетенции (ОК):
Название ОК
ОК 1 - Понимать сущность
и социальную значимость
своей будущей профессии,
проявлять к ней устойчивый интерес
ОК 2 - Организовывать
собственную деятельность,
выбирать типовые методы
и способы выполнения
профессиональных задач,
оценивать их эффективность и качество
ОК 3 - Принимать решения
в стандартных и нестандартных ситуациях и нести
за них ответственность
ОК 4 - Осуществлять поиск
и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения
профессиональных задач,
профессионального и личностного развития
ОК 5 - Использовать информационно
коммуникационные технологии в профессиональной
деятельности

ОК 6 - Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями
Результат, который Вы должны получить после изучения содержания
дисциплины
Вы должны:
- знать основные понятия математики, необходимые для успешного освоения профессиональных дисциплин;
- применять математические знания и умения для решения практических, в
том числе профессиональных задач.
Вы должны уметь:
- распределять собственное рабочее время в соответствии с внутренним
распорядком колледжа (расписанием занятий), планом урока, иметь все
необходимые принадлежности для изучения дисциплины;
- проводить расчеты по формулам; решать задания на применение правил
преобразования выражений; выполнять задания, следуя инструкциям;
решать задачи по заданному алгоритму;
- оценивать результаты собственной деятельности через различные
формы контроля – самоконтроль, взаимоконтроль.
Вы должны уметь:
- анализировать учебную ситуацию: находить ответы на проблемные
вопросы; решать нестандартные задачи, имеющие различные пути решения;
- обосновывать и аргументировать результаты собственной деятельности.
Вы должны уметь:
- осуществлять поиск, сбор и обработку дополнительной информации
из разных источников (учебной литературы, Интернет-источников,
СМИ) для решения учебных задач;
- самостоятельно изучать и конспектировать темы дисциплины –
структурировать учебный материал (определять место изучаемой темы
в структуре дисциплины, устанавливать связь изучаемой темы с другими темами и разделами дисциплины); выделять главное и второстепенное, отвечать на вопросы;
- писать рефераты, готовить доклады, создавать эссе, презентации в
соответствии с учебной целью и требованиями к оформлению документа.
Вы должны уметь:
- создавать мультимедийные презентации, представлять документы –
конспекты, рефераты, доклады, научно-исследовательские работы в
электронном виде;
- работать в сети Интернет: осуществлять поиск и отбор информации,
участвовать в Интернет-форумах, Интернет-конференциях, дистанционных олимпиадах, обмениваться информацией по электронной почте.
Вы должны уметь:
- работать в группе: коллективно обсуждать решение задач, вырабатывать общую стратегию решения, строить план решения;
- распределять функции между членами группы, осуществлять взаимодействие и взаимопомощь в процессе выполнения заданий;
- проводить взаимопроверку и взаимоанализ результатов коллективной
работы.
10
ОК 7 - Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий
ОК 8 - Самостоятельно
определять задачи профессионального и личного
развития, заниматься самообразованием, осознанно
планировать
повышение
квалификации
ОК 9 - Ориентироваться в
условиях частой смены
технологий в профессиональной деятельности
ОК 10 - Исполнять воинскую обязанность, в том
числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей)
Вы должны уметь:
- возглавлять работу в группе: выбирать и обосновывать общее направление работы в группе, строить алгоритм работы;
- распределять и перераспределять функции среди членов группы;
- контролировать и корректировать деятельность членов группы;
- готовить отчетность о результатах деятельности группы
Вы должны уметь:
- ставить перед собой образовательные цели, как на ближайший период (успешная сдача сессии, участие в олимпиадах, конкурсах, студенческих конференциях и т. д.), так и на перспективу (продолжение образования в высшей школе, получение альтернативного образования);
- создавать краткосрочный и перспективный план работы в соответствии с поставленной целью;
- решать задачи, направленные на реализацию поставленной цели.
Вы должны уметь:
- работать в условиях частой смены различных форм учебной деятельности (теоретический опрос, устно работа, практическая работа, индивидуальная работа, работа в группах и др.);
- выбирать способы собственной деятельности и методы решения задач, имеющих альтернативные пути решения.
Вы должны:
- знать и соблюдать устав колледжа;
- знать и соблюдать внутренний распорядок колледжа, быть дисциплинированным, организованным на всех этапах урока;
- выполнять указания и рекомендации преподавателя;
- применять теоретические знания для решения практических задач
Внимание! Если в ходе изучения дисциплины у Вас возникают трудности, то
Вы всегда можете к преподавателю прийти на дополнительные занятия, которые
проводятся согласно графику. Время проведения дополнительных занятий Вы сможете узнать у преподавателя, а также познакомившись с графиком их проведения,
размещенном на двери кабинета преподавателя.
В случае если Вы пропустили занятия, Вы также всегда можете прийти на
консультацию к преподавателю в часы дополнительных занятий.
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МАРШРУТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Таблица 1
Формы отчетности, обязательные для сдачи
лабораторные занятия
практические занятия
Точки рубежного контроля
Итоговая аттестация (при наличии)
Количество
не предусмотрено
31
17
экзамен
Желаем Вам удачи!
11
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Раздел 1. ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Тема 1.1. Делимость целых чисел
Основные понятия и термины по теме: натуральные числа, целые числа, делимое, делитель, частное, кратное, неполное частное, остаток, рациональные
числа, иррациональные числа, действительные числа, среднее арифметическое
неотрицательных чисел а и b, среднее геометрическое неотрицательных чисел
а и b.
План изучения темы:
1. Делимость целых чисел. Деление с остатком.
2. Сравнения.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Делимость целых чисел. Деление с остатком.
Определение 1. Числа, используемые для счета (1, 2, 3, …)называют
натуральными числами. N – множество натуральных чисел.
Определение 2. Натуральные числа, им противоположные и 0 составляют множество целых чисел. Z – множество целых чисел.
Определение 3. Пусть а, b, q – натуральные числа. Если а = bq, то говорят, что число а делится на число b (а ⋮ b), или число а кратно числу b. (а –
делимое, b – делитель, q – частное).
Свойство 1. Если а ⋮ с и с ⋮ b, то а ⋮ b.
Свойство 2. Если а ⋮ b и с ⋮ b, то (а + с) ⋮ b.
Свойство 3. Если а ⋮ b и с не делится на b, то (а + с) не делится на b.
Свойство 4. Если а ⋮ b и (а + с) ⋮ b, то с ⋮ b.
Свойство 5. Если а ⋮ b1 и с ⋮ b2 , то ас ⋮ b1 b2 .
Свойство 6. Если а ⋮ b и с – любое целое число, то ас ⋮ bс; если ас ⋮ bс, то а ⋮ b.
Свойство 7. Если а ⋮ b и с – любое целое число, то ас ⋮ b.
Свойство 8. Если а ⋮ b и с ⋮ b, то для любых целых чисел n и k справедливо
соотношение (аn + ck) ⋮ b.
Свойство 8. Среди n последовательных натуральных чисел только одно делится на n.
Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 2.
Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно
оканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 10. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда
оно оканчивается на 0.
12
Признак делимости на 4. Число, содержащее не менее трех цифр, делится на
4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры нули или составляют
число, которое делится на 4.
Признак делимости на 25. Число, содержащее не менее трех цифр, делится
на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры нули или составляют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 8. Число, содержащее не менее четырех цифр, делится
на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры нули или составляют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 125. Число, содержащее не менее четырех цифр, делится на 125 тогда и только тогда, когда три его последние цифры нули или
составляют число, которое делится на 125.
Признак делимости на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда
сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда
сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 11. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда
разность между суммой цифр, занимающих нечетные места, и суммой цифр,
занимающих четные места, делится на 11.
Признак делимости на 7. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда
утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.
Признак делимости на 13. Число делится на 13 тогда и только тогда, когда
число десятков, сложенное с учетверенным числом единиц, делится на 13.
Теорема. Числа а, b, q, r – натуральные. Если а > b и а не делится на b,
то существует и только одна пара чисел q и r, причем r < b, такая, что выполняется равенство а = bq + r.
2. Сравнения.
𝑚
Определение 4. Рациональным числом называется число вида , где m и
𝑛
n – целые числа. Q – множество рациональных чисел.
Определение 5. Иррациональным числом называют бесконечную десятичную дробь. Например, √5 = 2,236…
Определение 6. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. R – множество действительных чисел.
Свойство 1. Если а > b, то а – b > 0.
Свойство 2. Если а > b и b > с, то а > с.
Свойство 3. Если а > b, то а + с > b + с.
Свойство 4. Если а > b и m > 0, то аm > bm, если m < 0, то аm < bm.
Свойство 5. Если а > b и с > d, то а + с > b + d.
Свойство 6. Если а, b, c, d – положительные числа и а > b и с > d, то ас > bd.
13
Свойство 7. Если а и b – неотрицательные числа и а > b, то 𝑎𝑛 > 𝑏𝑛 , где n –
натуральное число.
1
1
Свойство 8. Если а и b – положительные числа и а > b, то < .
1
𝑎
𝑏
Свойство 5. Если а – положительное число, то а + ≥ 2.
𝑎+𝑏
𝑎
Определение 7. Число
называют средним арифметическим неотрица2
тельных чисел а и b.
Определение 8. Число √𝑎𝑏 называют средним геометрическим неотрицательных чисел а и b.
Неравенство Коши. Если а и b – неотрицательные числа, то справедливо со𝑎+𝑏
отношение:
≥ √𝑎𝑏.
2
Практические занятия
- решение задач на признаки делимости натуральных чисел;
- решение задач на сравнения действительных чисел;
- решение задач с целочисленными неизвестными.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Делимость целых чисел»
1. Выясните, какие из чисел: 952, 9 163 627, 845, 1 179, 300 126, 254 390 815,
9 163 627, 1 001, 16 734, 22 300, 103 456, 53 425, делятся на 2; на 5; на 10; на 4;
на 25; на 8; на 125; на 3; на 6; на 9; на 11; на 7; на 14; на 13; на 26?
2. Докажите, что не существует натуральных чисел а и b таких, что:
150а + 135b = 1234.
3. Найдите все натуральные числа х и у такие, что:
а) 11х + 18у = 98; б) 5х – 11у = 137.
4. Докажите, что 723 + 343 делится на 106.
5. Число 14а + 11b не делится на 5. Докажите, что 9а + b не делится на 5.
6. Найдите все натуральные числа n, при которых выражение является натуральным числом:
7𝑛+11
5𝑛2 +7𝑛− 12
а)
;
б)
.
𝑛−5
𝑛−5
7. Найдите последнюю цифру числа:
а) 31643 ;
б) 21047 .
8. Составьте формулу натурального числа, которое при делении на 7 дает
остаток 2.
9. Найдите остаток от деления:
а) числа 43 215 432 на 10
б) числа 1 234 321 на 3;
в) числа 1234567 на 9.
10. Заполните пропуск такой цифрой, чтобы
а) число 23…47 делилось на 3;
14
б) число 233…4 делилось на 4;
в) число 735…4 при делении на 3 давало в остатке 2;
г) число 735… при делении на 25 давало в остатке 7.
11. Найдите все пары целых чисел (х; у), удовлетворяющих уравнению:
а) 7х + 4у = 123;
б) 5х – 7у = 23.
12. Расположите в порядке возрастания числа:
22 355
3
π; ; ; 3,14; 3,1415; √31; √9,91.
7 113
13. Выпишите 5 чисел, распложенных между числами 0,123 и 0,124.
14. Найдите все значения параметра b, при которых в промежутке (b; b + 4]
находится 5 целых чисел.
15. На числовой прямой отмечены точки А (2р – р2 0) и В (2р – 3). При каких
значениях р точка С (– 1) лежит между точками А и В?
𝑑
16. При каких значениях d числа
и √2d − 4 принадлежат отрезку [– 3; 2]?
2−𝑑
17. Расположите на числовой прямой числа а, b, 0, если:
𝑎b < 0,
𝑎b < 0,
а) {
в) {
𝑎 + b < 0;
𝑎 + b > 0;
𝑎b > 0,
𝑎b > 0,
б) {
г) {
𝑎 + b > 0;
𝑎 + b < 0.
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Какие числа называются натуральными, целыми?
2. Когда говорят, что число а делится на число b? Что называют делимым,
делителем, частным?
3. Сформулируйте свойства делимости натуральных чисел.
4. Сформулируйте признаки делимости натуральных чисел на 2, 5, 10, 4, 25,
8, 125, 3, 9, 11, 7, 13.
5. Сформулируйте теорему о делении с остатком.
6. Какие числа называются рациональными, иррациональными, действительными?
7. Сформулируйте свойства числовых неравенств.
8. Что называют средним арифметическим неотрицательных чисел а и b?
9. Что называют средним геометрическим неотрицательных чисел а и b?
10. Какое соотношение называют неравенством Коши?
15
Тема 1.2. Многочлены
Основные понятия и термины по теме: многочлен, коэффициент многочлена,
степень многочлена, приведенный многочлен, тождественные многочлены, делимое,
делитель, частное, остаток, корень многочлена, симметрический многочлен.
План изучения темы:
1. Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком.
2. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Теорема Безу.
Схема Горнера. Число корней многочлена.
3. Многочлены от нескольких переменных. Формулы сокращенного умножения
для старших степеней. Бином Ньютона.
4. Симметрические многочлены.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком.
Определение 1. Многочленом называется сумма одночленов:
р(х) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + … + 𝑎3 𝑥 3 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ,
где 𝑎0 , 𝑎1 , …, 𝑎𝑛 – коэффициенты многочлена, 𝑎𝑛 ≠ 0;
n – степень многочлена (n ∈ N);
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 – старший член многочлена;
𝑎0 – свободный член многочлена;
если 𝑎𝑛 = 1, то многочлен называется приведенным.
Теорема 1. Два многочлена р(х) и s(x) тождественно равны, если они имеют
одинаковую степень и коэффициенты при соответствующих степенях равны.
Говорят, что многочлен р(х) делится на многочлен s(x), если существует многочлен q(x), что выполняется равенство:
р(х) = s(x) q(x).
Теорема 2. Для любых двух многочленов ненулевой степени р(х) и s(x) существует пара многочленов q(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется соотношение:
р(х) = s(x) q(x) + r(x).
2. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Теорема Безу.
Схема Горнера. Число корней многочлена.
Теорема 3. (теорема Безу) Остаток от деления многочлена ненулевой степени
р(х) на двучлен (х – х0 )равен р(х0 ):
р(х) = (х – х0 ) q(x) + р(х0 ).
Схема Горнера деления многочлена р(х) на двучлен (х – х0 ):
р(х) = (х – х0 ) q(x) + р(х0 ).
р(х) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ,
16
q(x) = 𝑏𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑏𝑛−2 𝑥 𝑛−2 … + 𝑏2 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0 ,
𝑏𝑛−1 = 𝑎𝑛 ;
𝑏𝑛−2 = х0 𝑏𝑛−1 + 𝑎𝑛−1 ;
𝑏𝑛−3 = х0 𝑏𝑛−2 + 𝑎𝑛−2 ;
⋮
𝑏1 = х0 𝑏2 + 𝑎2 ;
𝑏0 = х0 𝑏1 + 𝑎1 ;
р(х0 ) = х0 𝑏0 + 𝑎0 .
х0
𝑎𝑛
𝑏𝑛−1
𝑎𝑛−1
𝑏𝑛−2
…
…
𝑏𝑛−2
𝑏𝑛−3
𝑎2
𝑏1
𝑎1
𝑏0
𝑎0
р(х0 ).
Определение 2. Число х0 = a называется корнем многочлена р(х), если р(a) = 0.
Следствие 1. (из теоремы Безу). Если число х0 = a является корнем многочлена р(х), то р(х) делится на двучлен (х – a):
р(х) = (х – a) q(x).
Следствие 2. Пусть р(х) – многочлен с целыми коэффициентами, тогда все рациональные корни многочлена р(х) являются целыми числами и являются делителями свободного члена 𝑎0 .
3. Многочлены от нескольких переменных. Формулы сокращенного умножения
для старших степеней. Бином Ньютона.
(𝑥 ± 𝑦)2 = 𝑥 2 ± 2xy + 𝑦 2 ;
(𝑥 ± 𝑦)3 = 𝑥 3 ± 3𝑥 2 y + 3x𝑦 2 ± 𝑦 2 ;
𝑥 2 – 𝑦 2 = (x – y)(x + y);
𝑥 3 – 𝑦 3 = (x – y)(𝑥 2 + xy + 𝑦 2 );
𝑥 3 + 𝑦 3 = (x + y)(𝑥 2 – xy + 𝑦 2 );
𝑥 𝑛 – 𝑦 𝑛 = (x – y)( 𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛−2 y + 𝑥 𝑛−3 𝑦 2 + … + у𝑛−1 ), n ∈ N;
𝑥 2𝑘+1 + 𝑦 2𝑘+1 = (x + y)( 𝑥 2𝑘 – 𝑥 2𝑘−1 y + 𝑥 2𝑘−2 𝑦 2 – … + 𝑦 2𝑘 ), k ∈ N;
Бином Ньютона:
(𝑥 + 𝑦)𝑛 = 𝑥 𝑛 + C𝑛1 x n−1 y + C𝑛2 x n−2 𝑦 2 + … + C𝑘𝑛 x n−k 𝑦 𝑘 + … + 𝑦 𝑛 , n, k ∈ N;
C𝑘𝑛 =
𝑛(𝑛−1)∙… ∙(𝑛−𝑘+1)
𝑘!
, k! = 1 ∙ 2 ∙ … ∙ k.
4. Симметрические многочлены.
Определение. Многочлен р(х; у) называется симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х.
Например, 𝑥 2 у + х𝑦 2 .
Теорема. Любой симметрический многочлен р(х; у) можно представить в виде
многочлена от ху и х + у. Например, 𝑥 2 + 𝑦 2 = (𝑥 + у)2 – 2ху.
17
Практические занятия
-
решение заданий на разложение многочленов на множители;
деление многочленов;
нахождение корней многочленов;
разложение биномов.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Многочлены»:
1. Запишите многочлен в стандартном виде:
а) (х + 1)2 (х – 2) – (х +1) (х − 2)2 ;
б) (2х + 1)(2х − 1)2 + (1 − 2х)3 ;
в) (х2 – 3х + 1)( х2 – 3х – 3).
2. Заполните таблицу, считая, что f(x) и g(x) многочлены:
Степень
f(x)
5
Степень
g(x)
3
7
4
Степень
f(x) + g(x)
Степень
f(x) g(x)
Степень
f 3 (x)
21
7
2
4
9
14
3. Выполните деление «уголком»:
а) х3 – 2х2 + 3х – 5 на х2 – 3х – 1;
б) 2х5 – 3х3 –х + 2 на х – 2.
4. Выпишите все приведенные многочлены, являющиеся делителями многочлена
3(х − 1)2 (х + 5).
5. Используя схему Горнера, выполните деление многочлена f(x) на двучлен х – a и
заполните таблицу:
f(x)
х – 2х + 3х – 7х2 + 2х – 1
2х4 + 7х2 – 21х – 30
х7 – 2х4 + 27х + 3
3х5 + 5х4 + 11х2 + 2х
5
4
3
а
2
–1
–2
1
Частное
Остаток (f(а))
6. Используя схему Горнера, докажите, что число а является корнем многочлена
р(x):
а) р(х) = 2х4 – 3х3 + х – 10, а = 2;
б) р(х) = 2х3 + х2 – 7х – 6, а = – 1,5.
7. Найдите целые корни многочлена:
а) х3 – 4х2 + х + 6;
б) х4 + 5х2 – 6.
8. Разложите многочлен р(х) на линейные множители:
а) х5 – 4х4 + 14х2 – 17х + 6; б) х5 – х4 – 5х3 + х2 + 8х + 4.
9. Разложите многочлен р(х; у) на множители:
а) х2 – ху3 + у2 – х3 у;
д) х2 + (1 + у)х + у;
б) х(х – 2у) + у(х – 2у);
е) 2х2 – 7ху + 5у2 – 3х + 3у;
в) х2 – 3ху + 2у2 ;
ж) (х7 + х) – (у7 + у);
18
г) 7х2 + 5ху – 12у2 ;
з) х4 + 4у4 .
10. Пусть у = 3х. Упростите выражение:
а)
х2 – 5ху −3х2
б)
2;
2у2 +ху+2х
х2 у3 + 2у2 х3
х5 + у5
.
11. Найдите все пары f(x; у) действительных чисел х и у, для которых верно заданное равенство; изобразите множество всех найденных пар на координатной плоскости:
а)
2у −3х
4у +5х
б)
= 6;
х2 +х (2+ у)+2у
х+у
= х2 .
12. Постройте график уравнения:
а) х2 – 9у2 = 0;
б) х2 + ху = 0.
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Что называют многочленом?
2. Что называют коэффициентами многочлена, степенью многочлена, старшим
членом многочлена, свободным членом многочлена?
3. Какой многочлен называется приведенным?
4. Какие многочлены называют тождественно равными?
5. Когда говорят, что многочлен делится на многочлен?
6. Сформулируйте теорему Безу
7. Сформулируйте следствия из теоремы Безу.
8. Сформулируйте схему Герона.
9. Что называется корнем многочлена?
10. Какие соотношения называют формулами сокращенного умножения?
11. Какую формулу называют биномом Ньютона?
12. Какие многочлены называются симметрическими?
Раздел 2. ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Тема 2.1. Решение треугольников
Основные понятия и термины по теме: треугольник, вершина треугольника,
сторона треугольника, угол треугольника, высота, биссектриса, медиана, окружность, радиус окружности, диаметр окружности, дуга окружности, хорда окружности, вписанная окружность, описанная окружность, периметр треугольника, площадь треугольника.
План изучения темы:
1. Свойство биссектрисы угла треугольника. Вычисление биссектрис, медиан,
высот, радиусов вписанной и описанной окружностей. Теорема Чевы и теорема Менелая.
19
2. Формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника, через радиус вписанной и описанной окружностей. Решение треугольников.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Свойство биссектрисы угла треугольника. Вычисление биссектрис, медиан,
высот, радиусов вписанной и описанной окружностей. Теорема Чевы и теорема
Менелая.
Определение. Биссектрисой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с противолежащей стороной и делящий угол при
вершине пополам.
Определение. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к противолежащей стороне.
Теорема. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на
части, пропорциональные прилежащим сторонам (рис. 1).
АК : КВ = АС : ВС
Теорема. Пусть в остроугольном треугольнике АВС (рис. 2) точки А1 , В1 и С1 –
основания высот. Тогда точка Н пересечения высот треугольника АВС является
точкой пересечения биссектрис треугольника А1 В1 С1 .
В
С
С1
А
В
К
А
Рис. 1
А1
В1
С
Рис. 2
Замечательные точки и линии треугольника.
 Точкой пересечения биссектрис является центр вписанной окружности.
 Точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника
является центр описанной окружности.
 Точкой пересечения высот треугольника является ортоцентр.
 Точкой пересечения медиан треугольника является центроид.
Теорема Менелая. Пусть на сторонах АВ, ВС и продолжения стороны треугольника АВС взяты соответственно точки С1 , А1 и В1 (рис. 3). Точки С1 , А1 , В1
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
20
АС1
С1 В
∙
ВА1
А1 С
∙
СВ1
В1 А
= 1.
Теорема Чевы. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС (рис. 4)
взяты соответственно точки С1 , А1 и В1 . Прямые А А1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в
одной точке тогда и только тогда, когда
АС1
С1 В
∙
ВА1
А1 С
∙
СВ1
В1 А
= 1.
С
В1
С
В1
А1
А1
А
С1
А
В
Рис. 4
Рис. 3
В
С1
2. Формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника, через радиус вписанной и описанной окружностей. Решение треугольников.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника без удвоенного произведения этих сторон на
косинус угла между ними
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 – 2аb cos C.
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
АВ
sin C
∙
АС
sin B
∙
ВС
sin A
Формулы площади треугольника.
a, b, с – стороны треугольника, h – высота треугольника, р – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружно-
сти (рис. 5).
A
1
S = a ∙ h,
2
1
S = a ∙ b ∙ sin C,
b
2
h
c
Формула Герона S = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐),
S = p ∙ r,
S=
𝑎𝑏𝑐
4𝑅
C
a
B
.
Рис. 5
21
Практические занятия
- вычисление биссектрис, медиан, высот треугольников, радиусов вписанной и
описанной окружностей;
- нахождение площадей треугольников;
- решение задач с помощью геометрических преобразований и геометрических
мест.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Решение треугольников»:
1. Сторона АВ треугольника АВС равна 10 см. Найдите радиус описанной около
треугольника окружности, если противолежащий этой стороне угол С равен 30ᵒ.
2. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 3 см. Найдите
сторону АВ этого треугольника, если противолежащий этой стороне угол С равен
60ᵒ.
3. Стороны треугольника 5 см, 5 см, и 6 см. Вычислите площадь треугольника, радиусы вписанной и описанной окружности.
4. Стороны треугольника 13 см, 14 см, 15 см. Найдите высоты треугольника.
5. Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11
см больше основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону, радиус описанной около треугольника окружности.
6. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
7. Стороны треугольника равны а, b, c. Угол C, противолежащий стороне с, равен
120ᵒ. Докажите, что выполняется равенство: с2 = 𝑎2 + ab + b2 .
8. Докажите, что для произвольного треугольника АВС со сторонами АВ = с, АС =
b, ВС = а имеет место формула с = а ∙ cos B + b ∙ cos A.
9. Докажите, что для произвольного треугольника АВС имеет место формула sin C =
sin A ∙ cos B + cos A ∙ sin B.
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Что называют биссектрисой, медианой и высотой треугольника?
2. Сформулируйте свойство биссектрисы угла треугольника.
3. Какая окружность называется вписанной в треугольник, описанной около треугольника?
4. Сформулируйте теорему Чевы и теорему Менелая.
5. По каким формулам вычисляется площадь треугольника? Сформулируйте формулу Герона.
6. Как выражается площадь треугольника через радиус вписанной и описанной
окружностей?
22
Тема 2.2. Вписанные и описанные многоугольники
Основные понятия и термины по теме: ломаная, многоугольник, вершина
многоугольника, сторона многоугольника, угол многоугольника, диагональ многоугольника, выпуклый многоугольник, параллелограмм, касательная к окружности,
хорда окружности, дуга окружности.
План изучения темы:
1. Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, угла между хордой и касательной. Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей.
2. Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма. Вписанные
и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и описанных
четырехугольников.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, угла между хордой и касательной. Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей.
Определение 1. Центральным углом окружности
называется плоский угол с вершиной в ее центре (рис.1):
∠АОС – центральный угол.
Определение 2. Часть окружности, расположенная
внутри центрального угла, называется дугой окружности,
̆ – дусоответствующей этому центральному углу (рис. 1): АС
га, соответствующая центральному углу ∠АОС.
Определение 3. Градусной мерой дуги окружности
называется градусная мера, соответствующая этому центральному углу.
Теорема 1. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла (рис. 1):
В
О
●
А
С
Рис. 1
В1
А1
С
А
1
∠АВС = 2 ∠АОС.
Теорема 2. Угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой дуг, на которые опираются данный
угол и вертикальный с ним угол (рис.2):
В
Рис. 2
А
С
1
̆ + Ӑ
∠АСВ = 2 (АВ
1 В1 ).
Теорема 3. Угол между касательной к окружности и
хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги окружности, заключенной внутри этого угла
(рис. 3):
1
̆.
∠АСВ = 2 СВ
В
Рис. 3
23
Теорема 4. Угол с вершиной вне круга, стороны которого пересекают
окружность, измеряется полуразностью дуг окружности, заключенных внутри этого угла (рис. 4):
1
̆ – Ӑ
∠АСВ = 2 (АВ
1 В1 ).
Теорема 5. Произведение отрезков любой хорды, проведенной через внутреннюю точку окружности, равно произведению отрезков диаметра, проведенного через ту же точку (рис. 5):
АЕ ∙ ВЕ = СЕ ∙ DЕ.
Теорема 6. Если через внешнюю точку С окружности проведены прямая, пересекающая окружность в точках А и В, и касательная СD (D – точка касания), то
произведение отрезков АС и ВС секущей равно квадрату отрезка СD касательной
(рис. 6):
АС ∙ ВС = СD2 .
С
В1
D
В
D
●Е
●O
А1
А
С
В
А
В
Рис. 4
С
Рис. 5
А
Рис. 6
2. Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма. Вписанные и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и описанных
четырехугольников.
Теорема 1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов его сторон (рис. 7):
АС2 + ВD2 = 2 AB 2 + 2 AD2 .
Теорема 2. Около четырехугольника можно описать
окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180ᵒ. Верно обратное утверждение (рис. 8):
В
А
D
Рис. 7
∠А + ∠С = ∠В + ∠D = 180ᵒ.
С
В
Теорема 3. Сумма любых двух несмежных углов вписанного пятиугольника больше 180ᵒ (рис. 9):
∠А + ∠С > 180ᵒ.
С
А
D
Теорема 4. Сумма трех несмежных углов вписанного
шестиугольника равна 360ᵒ (рис. 10):
∠А + ∠С + ∠Е = 360ᵒ.
Рис. 8
24
Теорема 5. Суммы противоположных сторон описанного около окружности
четырехугольника равны (рис. 11):
АВ + СD = AD + BC.
С
С
В
С
В
В
D
D
А
А
Е
Е
Рис. 9
D
А
F
Рис. 11
Рис. 10
Теорема 6. (обратная) Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность (рис. 11).
Теорема 7. Сумма любых двух несмежных сторон описанного пятиугольника
меньше суммы трех оставшихся сторон (рис. 12):
АВ + СD < ВС + АЕ + DЕ.
Теорема 8. Сумма любых трех несмежных сторон
описанного шестиугольника равна сумме трех оставшихся сторон (рис. 13):
АВ + СD + ЕF = BC + DE + AF.
В
С
А
D
Практические занятия:
- решение задач на вычисление углов с вершиной
внутри и вне круга, угла между хордой и касательной;
- решение задач, связанных с теоремой о сумме
квадратов сторон и диагоналей параллелограмма,
свойствами вписанных и описанных четырехугольников.
Е
В
Рис. 12
С
D
А
F
Е
Рис. 13
Задания для самостоятельного выполнения:
Выполните задания практикума по теме «Вписанные и описанные многоугольники»:
1. Через концы дуги в 60ᵒ проведены касательные. Найдите угол между ними.
2. Хорда АВ стягивает дугу в 44ᵒ. Найдите углы, которые образует эта хорда с касательными к окружности, проведенными через ее концы.
3. В угол АВС вписана окружность. Точки касания делят окружность на дуги, градусные величины которых относятся как 5 : 4. Найдите величину угла АВС.
4. Окружность разделена точками А, В, и С на дуги, градусные величины которых
относятся как 11 : 3 : 4. Через точки А, В, С проведены касательные до их взаимного
пересечения. Найти углы образовавшегося треугольника.
25
5. Две хорды окружности пересекаются. Одна из них точкой пересечения делится на
отрезки 2 см и 8 см, а другая – пополам. Найдите вторую хорду.
6. Как далеко видна поверхность Земли с самолета (рис. 1), летящего на высоте h =
10 км над Землей (радиус Земли R = 6370 км).
7. Четыре последовательных угла вписанного шестиугольника равны 100ᵒ, 110ᵒ,
120ᵒ, 120ᵒ. Найдите оставшиеся два угла.
8. Стороны вписанного в окружность четырехугольника АВСD равны АВ = а, ВС =
b, CD = c, AD = d. Найдите его диагонали.
9. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, стороны которого последовательно равны 1, 2, 3, 4?
10. Противоположные стороны четырехугольника, описанного около окружности,
равны 7 см и 10 см. Можно ли по этим данным найти периметр четырехугольника?
11. Можно ли вписать окружность в пятиугольник, стороны которого равны 1, 2, 1,
2, 1?
12. Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать
окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону и периметр четырехугольника.
Изучите и законспектируйте тему «Эллипс, гипербола, парабола как геометрические места точек».
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос, проверка
конспекта.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Чему равен угол, вписанный в окружность?
2. Чему равен угол с вершиной внутри окружности?
3. Чему равен угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через
точку касания?
4. Чему равен угол с вершиной вне круга, стороны которого пересекают окружность?
5. Чему равно произведение отрезков любой хорды, проведенной через внутреннюю точку окружности?
6. Если через внешнюю точку С окружности проведены прямая, пересекающая
окружность в точках А и В, и касательная СD (D – точка касания). Чему равно
произведение отрезков АС и ВС секущей?
7. Чему равна сумма квадратов диагоналей параллелограмма?
8. Когда около четырехугольника можно описать окружность?
9. Что можно сказать о сумме любых двух несмежных углов вписанного пятиугольника?
10. Чему равна сумма трех несмежных углов вписанного шестиугольника?
11. Чему равна сумма противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника?
26
12. Когда в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность?
13. Что можно сказать о сумме любых двух несмежных сторон описанного пятиугольника?
14. Чему равна сумма любых трех несмежных сторон описанного шестиугольника?
Раздел 3. ФУНКЦИЯ
Тема 3.1. Функция, ее свойства и график
Основные понятия и термины по теме: функция, график функции, область
определения функции, область значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства функции, наибольшее и наименьшее значения функции, ограниченность функции, четность функции, монотонность функции, экстремумы функции,
минимум функции, максимум функции, выпуклость функции.
План изучения темы:
1. Функции. Область определения и множество значений функции. График
функции.
2. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, ограниченность.
Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения,
точки экстремума. Графическая интерпретация.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Функции. Область определения и множество значений функции. График
функции.
Определение 1. Числовая функция у = f(x) – правило, по которому каждому
числу х из множества D(f) ставится в соответствие число у из множества Е(f).
х – независимая переменная (аргумент), у – значения функции.
D(f) – область определения функции (значения аргумента х).
Е(f) – множество значений функции (значения переменной у).
Правила нахождения области определения функции у = f(х).
А(х) и В(х) − многочлены, содержащие переменную х.
1. f(х) = А(х). D (f) = (− ∞; + ∞ ) или D(f) = R.
2. f(х) =
А(х)
В(х)
; х1, х2, ... , хn − корни уравнения В(х) = 0.
D(f) = (− ∞ ; х1) ∪ ( х1 ; х2 ) ∪ ... ∪ ( хn-1; xn ) ∪ ( хn; + ∞ ).
3. f(х) = √А(х) , область D(f) является решением неравенства А(х) ≥ 0.
4. f(х) =
5. f(х) =
А(х)
√В(х)
√А(х)
В(х)
, область D(f) является решением неравенства В(х) ˃ 0.
, область D(f) является решением системы: {
А(х) ≥ 0,
В(х) ≠ 0.
27
6. f(х) = √
А(х)В(х) ≥ 0,
, область D(f) является решением системы: {
В(х)
В(х) ≠ 0.
А(х)
Определение 2. Нули функции у = f(х) – это значения аргумента х, при котором значения функции равны нулю.
Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение f(х) = 0.
Правило 1.
f(х) = А(х) ∙ В(х), где А(х) и В(х) – многочлены.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
А(х) = 0;
(А(х) = 0 или В(х) = 0).
В(х) = 0.
А(х) = 0;
[
Правило 2. f(х) = А(х)√В(х). А(х)√В(х) = 0 ⇔ { В(х) = 0;
В(х) ≥ 0.
Согласно правилу 1 А(х) = 0 или В(х) = 0. Корни уравнения А(х) = 0 должны
принадлежать области определения функции, т. е. удовлетворять условию В(х) ≥ 0.
А(х) ∙ В(х) = 0 ⇔ [
Правило 3.
f(х) =
А(х)
В(х)
менатель не равен нулю:
Правило 4.
f(х) =
. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а зна-
А(х) = 0;
=0 ⇔{
В(х)
В(х) ≠ 0.
А(х)
А(х)
А(х) = 0;
=0 ⇔{
√В(х)
В(х) > 0.
А(х)
.
√В(х)
Согласно правилу 3, учитывая область определения функции, корни уравнения
А(х) = 0 должны удовлетворять условию В(х) ˃ 0.
Определение 3. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости (х0; у0), где х0 ∈ D(f) и у0 = f(х0) (рис. 1).
Область определения – это проекция графика функции на ось Х: D(f) = [а; b].
у
Область значений – это проекция графика
функции на ось У:
у = f(х)
d
Е(f) = [c; d].
Наибольшее и наименьшее
значения
функции – это ординаты самой высокой и самой
низкой точки графика функции:
унаим = с,
а
унаиб = d.
Нули функции – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Х. На рисунке
это точки х1 и х2:
f(х1) = 0 и f(х2) = 0.
х0
•
х2 b х
х1
с
f(х0)
Рис. 1
Нули функции разбивают область определения на промежутки знакопостоянства.
28
Функция принимает положительные значения на тех промежутках, на которых график функции лежит выше оси Х (рис. 1):
f(х) ˃ 0 на промежутке (х1; х2),
а отрицательные значения на тех промежутках, на которых график функции лежит выше оси Х:
f(х) ˂ 0 на промежутках [a; х1) и (х2; b].
Определение 4. Функция возрастает на промежутке (а; b) из области определения функции, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции:
х1 ˂ х2;
f(х1) ˂ f(х2).
Определение 5. Функция убывает на промежутке (а; b) из области определения функции, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение
функции:
х1 ˂ х2;
f(х1) ˃ f(х2).
Исследование функции на возрастание и убывание называется исследованием
функции на монотонность.
у
На графике промежутки монотонности –
это промежутки области определения (на оси Х), на
которых график функции «идет» вверх (возрастает)
или вниз (убывает) (рис. 2).
Функция убывает на промежутках (а; x1) и (х2; b).
Функция возрастает на промежутке (х1; х2).
Определение 6. Точки области определения, в
которых меняется характер монотонности,
называются точками экстремума.
На графике точки экстремума – это точки х1 и х2.
•
а
х1
•
у = f(х)
• х2
b х
•
Рис. 2
Определение 7. Точка экстремума, в которой характер монотонности меняется с убывания на возрастание, называется точкой минимума.
Определение 8. Точка экстремума, в которой характер монотонности меняется с возрастания на убывание, называется точкой максимума.
На графике точка х1 – точка минимума, а точка х2 – точка максимума функции.
Значение функции в точке минимума обозначается уmin, а значение функции в
точке максимума обозначается ymax.
На рисунке 2: уmin = f(х1); ymax = f(х2).
Определение 9. Функция у = f(х) называется четной, если выполняется соотношение:
f(– х) = f(х).
29
Определение 10. Функция у = f(х) называется нечетной, если выполняется соотношение:
f(– х) = – f(х).
График четной функции симметричен относительно оси У (рис. 3):
f(– х) = f(х),
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 4):
f(– х) = – f(х).
у = f(х)
у
у
у = f(х)
f(-х) f(х
)
f(х)
х
-х
х
-х
х
х
f(х
)
Рис. 3
Рис. 4
Практические занятия
- решение заданий на нахождение области определения функции, заданной аналитически;
- исследование свойств функции, заданной аналитически;
- построение графиков функций;
- чтение графика функции.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Функция, ее свойства и график»
1. Найдите область определения функции.
а) у = 3
+ 6х;
б) у =
в) у =
;
г) у =
;
д) у =
;
е) у =
;
.
2. Найдите область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции:
а) у = 2х – 12;
б) у =
– 5х + 6;
в) у =
.
3. Исследуйте функцию (рис. 1) по плану:
1) область определения функции;
2) четность функции;
30
нули функции;
промежутки знакопостоянства функции;
точки экстремума функции;
промежутки монотонности функции;
непрерывность функции;
наибольшее и наименьшее значения
функции;
9) область значений функции.
4. Постройте графики функций:
3)
4)
5)
6)
7)
8)
а) у =
;
в) у =
+ 4;
б) у =
;
г) у =
– 6.
У
y = f(x)
Х
0 1
Рис. 1
5. Для заданной функции найдите обратную функцию. Постройте график заданной
и обратной функции:
а) у = 5х + 2; б) у = х3 + 2;
в) у = (х − 3)2 .
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос, проверка
конспекта.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Что называется функцией? Какими способами задается функция?
2. Что называется областью определения, областью значений функции?
3. Сформулируйте правила нахождения области определения функций:
1) у = А(х); 2) у =
; 3) у =
; 4) у =
; 5) у =
; 6) у =
.
4. Что называется графиком функции?
5. Что называется нулями функции?
6. Как найти промежутки знакопостоянства функции, если:
а) функция задана графически?;
б) функция задана аналитически (формулой)?
7. При каком условии функция возрастает (убывает) на промежутке (а; b) ϵ D(f).
8. Какие точки области определения называются точками экстремума функции
(функция задана графически)?
9. Как найти промежутки монотонности функции, если:
а) функция задана графически?;
б) функция задана аналитически (формулой)?
10. Какая функция называется непрерывной (функция задана графически)?
11. Какая функция называется четной, а какая нечетной?
31
Тема 3.2. Сложная и обратная функции
Основные понятия и термины по теме: сложная функция, обратимая функция, обратная функция.
План изучения темы:
1. Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции.
2. График обратной функции.
3. Нахождение функции, обратной данной.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Определение 1. Функция у = f(g(x)) называется сложной функцией.
Определение. Функция у = f(х) является обратимой, если любое значение у0
функция принимает только в одной точке х0: х0 ∈ D(f), у0 ∈ Е(f), у0 = f(х0).
Теорема. Если функция у = f(х) монотонна, то она обратима.
Для функции у = f(х) обратная функция: у = 𝒇−𝟏 (x).
f(х) = x 2 , х ∈ (− ∞ ; 0), f −1 (x) = − √х , х ∈ (0 ; + ∞).
Правило. Функция у = f(х) − обратима. Чтобы для функции у = f(х) найти обратную функцию 𝑓 −1 (x), нужно:
1) выразить переменную х через переменную у: х = 𝑓 −1 (у);
2) записать зависимость х = 𝑓 −1 (у) в виде у = 𝑓 −1 (x).
Если для функции у = f(х): D(f) = Х, Е(f) = Y, то для функции у = 𝑓 −1 (х):
D(𝑓 −1 ) = У, Е(𝑓 −1 ) = Х.
Если точка (а; b) − точка графика функции у = f(х), то точка (b; a) − точка графика обратной функции у = f −1 (x).
Так как точки (а; b) и (b; a) симметричны относительно прямой у = х, то графики функций у = f −1 (x) и у = f(х) так же симметричны относительно прямой у = х.
Практические занятия
- нахождение обратных функций;
- исследование свойств обратных функций;
- построение графиков обратных функций.
Задания для самостоятельного выполнения
У
y = f-1(x)
Решение заданий практикума по теме «Функция, ее свойства и график»
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач,
устный опрос.
0 1
Х
y = f(x)
Рис. 1
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Какая функция называется сложной? Приведите примеры.
32
2.
3.
4.
5.
Какая функция является обратимой?
Какую функцию называют обратной данной функции?
Как найти функцию, обратную данной функции?
Как построит график обратной функции?
Тема 3.3. Степенная функция
Основные понятия и термины по теме: корень n-ой степени, радикал, иррациональное число, иррациональное уравнение, иррациональное неравенство, степень,
степенная функция, степень с рациональным показателем, степень с действительным показателем.
План изучения темы:
𝑛
1. Корень степени n >1. Функция у = √х. Свойства корня n-ой степени.
2. Решение иррациональных уравнений и неравенств.
3. Обобщение понятия о показателе степени.
4. Степенная функция ее свойства и график.
Краткое изложение теоретических вопросов:
𝒏
1. Корень степени n >1 . Функция у = √х. Свойства корня n-ой степени.
n
Определение 1. Корнем n - ой степени √𝑎 из неотрицательного числа а (n = 2,
3, 4, ...) называют такое неотрицательное число, n - я степень которого равна а.
𝑛
n
а ≥ 0; n = 2, 3, 4, ...; 1) √𝑎 ≥ 0; 2) ( √𝑎)𝑛 = а.
Определение 2. Если число х = √𝑎 является бесконечной непериодической
десятичной дробью, то это число называется иррациональным.
Определение 3. Корнем нечетной степени n из отрицательного числа а (n = 3,
5, 7,…) называют такое отрицательное число, при возведении которого в степень
n получается а.
𝑛
n
а ˂ 0; n = 3, 5, 7, ...; 1) √𝑎 ˂ 0; 2) ( √𝑎)𝑛 = а.
n
n
n
n
Следствия: √0 = 0; √1 = 1; √− 1 = − 1 (n – нечетное); √аn = |a| (n – четное).
𝒏
Свойства функции у = √𝒙, х ≥ 0 (рис. 1):
1) D(f) = [0; +∞);
2) функция не является ни четной ни нечетной;
3) возрастает на промежутке [0; +∞);
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет наибольшего значения, а унаим. = 0;
6) непрерывна;
7) Е(f) = [0; +∞).
У
1
𝐧
у = √𝒙, х ∈ [0; +∞);
●
Х
0
1
Рис. 1
𝒏
Свойства функции у = √𝒙, где n – нечетное число (рис. 2):
1) D(f) = (– ∞; +∞);
2) функция является нечетной:
n
n
f(– x) = √− x = – √x = – f(x).
3) возрастает на промежутке (– ∞; + ∞);
33
4) не ограничена ни сверху, ни снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) Е(f) = (– ∞; +∞).
У
Свойства корня n-ой степени.
𝑛
n - нечетное
𝑛
𝑛
Свойство 1. √𝑎𝑏 = √𝑎 √𝑏.
𝑛
𝑎
Свойство 2. √ =
𝑏
𝑛
𝐧
у = √𝒙,
√𝑎
𝑛 ,
√𝑏
●
1
𝑛
-1
a ≥ 0, b ˃ 0.
Х
0
1
●
𝑛
Свойство 3. ( √𝑎)𝑘 = √𝑎𝑘 , a ≥ 0.
𝑛 𝑘
𝑛𝑘
Свойство 4. √ √𝑎 = √𝑎, a ≥ 0.
𝑛𝑝
𝑛
Свойство 5. √𝑎𝑘𝑝 = √𝑎𝑘 .
-1
Рис. 2
2. Решение иррациональных уравнений и неравенств.
Определение 4. Уравнение, в котором под знаком радикала содержится переменная, называется иррациональным уравнением.
Утверждение 1. Уравнение n√f(x) = g(x), где n – нечетное число, равносильно
уравнению f(x) = g n (x) в области допустимых значений исходного уравнения.
Утверждение 2. Уравнение n√f(x) = g(x), где n –четное число, равносильно сиf(x) = g n (x),
стеме уравнений {
в области допустимых значений исходного уравнеg(x) ≥ 0
ния.
Определение 5. Неравенство, в котором под знаком радикала содержится переменная, называется иррациональным неравенством.
Утверждение 3. Неравенство √f(x) ≥ g(x) равносильно совокупности двух систем
g(x) ≥ 0,
g(x) < 0,
f(x) ≥ 0,
f(x) ≥ g 2 (x),
или
х ∈ D(f),
х ∈ D(f),
{x ∈ D(g).
{ x ∈ D(g)
Утверждение 4. Неравенство √f(x) ≤ g(x) равносильно системе
g(x) ≥ 0,
f(x) ≤ g 2 (x),
f(x) ≥ 0,
х ∈ D(f),
{ x ∈ D(g).
3. Обобщение понятия о показателе степени.
𝟏
Определение 6. Если а ≠ 0, то 𝒂− 𝒏 = ( )𝒏 .
𝒂
Определение 7. Если
𝑝
𝑞
𝒑
𝒒
𝒒
– обыкновенная дробь (q ≠ 1) и a > 0, то 𝒂 = √𝒂𝒑 .
34
Свойства степеней. Для а ˃ 0 и b ˃ 0, где s и t произвольные рациональные
числа, справедливы соотношения:
Свойство 1. 𝑎𝑡 ∙ 𝑎 𝑠 = 𝑎𝑡 + 𝑠 .
Свойство 2. 𝑎𝑡 : 𝑎 𝑠 = 𝑎𝑡 − 𝑠 .
Свойство 3. (𝑎𝑡 )𝑠 = 𝑎𝑡 ∙ 𝑠 .
Свойство 4. (𝑎𝑏)𝑡 = 𝑎𝑡 ∙ 𝑏 𝑡 .
Свойство
𝑎
5. ( )𝑡
𝑏
=
𝑎𝑡
𝑏𝑡
.
𝑝
Определение 8. Если – обыкновенная дробь (q ≠ 0), и а ˃ 0, то 𝒂
−
𝒑
𝒒
𝑞
𝒑
=
𝟏
( ) 𝒒.
𝒂
4. Степенная функция ее свойства и график.
Определение 8. Степенной функцией называется функция вида у = 𝑥 𝑟 , где r
− любое рациональное число.
1) Если r = n, где n ∈ N, то получим функцию у = 𝒙𝒏 , х ∈ (– ∞; + ∞).
На рисунке 3 изображены графики функций у = x n , где n – четное.
На рисунке 4 изображен график функций у = x n , где n – нечетное.
2) Если r = − n, где n ∈ N, то получим функцию у = 𝒙−𝒏 , х ≠ 0.
На рисунке 5 изображен график функций у = x −n , где n – четное.
На рисунке 6 изображен график функций у = x −n , где n – нечетное.
У
у=𝐱
у = 𝐱𝐧
𝐧
У
Х
X
0
Х
Рис. 3
у = 𝐱 −𝐧
у = 𝐱 −𝐧
0
0
У
У
X
0
Рис. 4
Рис. 6
Рис. 5
3) Рассмотрим степенную функцию у = х𝒓 , где r =
числа).
m
На рисунке 7 изображен график функций у = х n , где
m
n
𝒎
𝒏
m
n
На рисунке 8 изображен график функции у = х , где 0 ˂
𝒎
Свойства функций у = 𝒙𝒓 , где r =
˃ 0.
𝒏
1) D(f) = [0; + ∞);
2) функция не является и четной, ни нечетной;
3) возрастает на D(f);
4) ограничена снизу;
5) не имеет наибольшего значения, унаим. = 0;
6) непрерывна;
7) Е(f) = [0; + ∞).
(m и n – натуральные
˃ 1, x ≥ 0.
𝑚
𝑛
˂ 1, х ≥ 0.
У
𝒎
у = 𝐱𝒏
𝐦
𝐧
˃0
Х
0
Рис. 7
35
На рисунке 9 изображен график функцию у = х−
𝑚
𝑛
или у =
𝒎
1
Свойства функций у = 𝒙𝒓 , r = − :
𝒏
1) D(f) = (0; + ∞);
2) функция не является и четной, ни нечетной;
3) убывает на D(f);
4) ограничена снизу;
5) не имеет наибольшего и наименьшего значения;
6) непрерывна;
7) Е(f) = (0; + ∞)
У
𝒎
у = 𝐱𝒏
0˂
0
𝒎
𝒏
˂1
Х
Рис. 8
У
Практические занятия
-
, х > 0.
𝑚
x ⁄𝑛
у=𝐱
преобразование выражений, содержащих радикалы;
решение иррациональных уравнений и неравенств;
построение графиков дробно-линейных функций;
преобразование выражений, включающих операцию
возведения в степень.
𝒎
− 𝒏
Х
0
Рис. 9
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Корни и степени»:
3
4
1. Вычислите: 3 √− 64 – 5√0,36 + √81.
2. Решите уравнения:
а) 7х4 – 34= 78;
б) 2х6 = – 128;
в) 0,3х5 = 810;
г) 3х3 + 75= – 300.
3
4
4. Решите уравнения: а) √8х + 9 = 3; б) √х2 − 5х + 58 = 4.
4
3
5. Расположите числа в порядке возрастания: √5; 1; √0,29; √− 64; 0.
6
7
6. Постройте графики функций: а) у = √х − 3; б) у = √х + 5.
7. Найдите область определения функции:
4
5
6
а) у = √3х + 18;
б) у = √2х − 19;
4
4
д) у = √
г) у = √4х − 10 + √7 − х;
3
3
в) у = √х2 − х − 6;
х+5
;
4−х
5
е) у = √
2х −7
5х +8
.
б) √7 − 2√10 ∙ √7 + 2√10.
8. Вычислите: а) √9 ∙ 15 ∙ √25;
9. Упростите:
4
6
3
3
3
8
4
а) √5х2 у ∙ √3х3 у; б) (2х ∙ √4х2 )3 ; в) √2 √4х; г) √8а – 4 √27а.
10. Выполните действия:
4
4
а) ( √9 – 2√5)( √9 + 2√5);
6
6
б) ( √8 + √27)2 .
11. Сократите дробь:
36
а)
2
3
√21х − √6
;
√35х − √10
б)
3
3
√а − 2 √𝑎𝑏 + √𝑏
2
3
3
√а − √𝑏
3
4
2
2
.
2
12. Вычислите: 16 + ( )− 3 .
13. Упростите:
у4 у− 5
4
(у3 )6
3
.
14. Постройте графики функций: а) у = х0,2 ; б) у = х− 3 ; в) у = х1,5 .
15. Решите уравнения:
а) √х + 9 = 2х – 3;
в) (х2 − 4)(√14 + 5х – х) = 0;
б) х – 1 = √7 − 2х − х2 ;
г) √2х − 15 = √х + 16 – 1.
16. Решите неравенства:
а) √2х2 − 2х < х – 1;
в) (х2 − 1)√4 − х2 ≥ 0;
б) √х + 7 > х + 1;
г)
х−7
2√х2 −4х +3
< 0.
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Дайте определение корня n- ой степени из неотрицательного числа, корня n – ой
степени из отрицательного числа.
2. Сформулируйте правила решения иррациональных уравнений и неравенств.
n
3. Для функции у = √х перечислите свойства и постройте графики. Рассмотрите
функции в случае, когда х ≥ 0 и в случае, когда показатель n нечетный.
4. Как найти область определения функции у = n√А(х), где А(х) – многочлен, в случаях, когда n – четное число и когда n – нечетное.
5. Сформулируйте свойства корня n-ой степени.
6. Дайте определение степени с отрицательным показателем.
7. Дайте определение степени с дробным показателем.
𝑚
8. Для степенной функции у = х 𝑛 перечислите свойства и постройте графики. Рас𝑚
𝑚
𝑚
смотрите случаи, когда:
˃ 1, 0 ˂ ˂ 1;
˂ 0.
𝑛
𝑛
𝑛
Тема 3.4. Показательная функция
Основные понятия и термины по теме: показательная функция, экспонента,
показательное уравнение, показательное неравенство.
План изучения темы:
1. Показательная функция (экспонента), ее свойства и график.
2. Показательные уравнения и неравенства.
Краткое изложение теоретических вопросов:
37
1. Показательная функция (экспонента), ее свойства и график.
Определение 1. Функцию вида у = 𝒂х , где а ˃ 0 и а ≠ 1 называют показательной функцией или экспонентой.
У
Свойства показательной функции у = 𝒂х , а ˃ 1:
1) D(f) = R;
2)не является ни четной ни нечетной;
3) функция возрастает, если а > 1(рис. 1) и убывает, если
0 < а < 1 (рис. 2);
4) ограничена снизу;
5)не имеет ни наибольшего ни наименьшего значений;
6)непрерывна;
7) Е(f) = (0; + ∞).
у = 𝒂х
a>1
1
Х
0
Рис. 1
У
График показательной функции так же называется
экспонентой.
у = 𝒂х
0<a<1
2. Решение показательных уравнений и неравенств.
1
Определение 2. Показательным уравнением называется уравнение вида 𝒂𝒇(𝒙) = 𝒂𝒈(𝒙) , где а ˃ 0 и а ≠ 1 и уравнения, сводящиеся к этому виду.
Х
0
Рис. 2
Теорема 1. Показательное уравнение 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) , где а ˃ 0 и а ≠ 1, равносильно уравнению f(x) = g(x).
Методы решения показательных уравнений:




𝒂
графический метод
метод уравнивания показателей.
метод введения новой переменной.
метод деления на степень.
Определение 3. Показательным неравенством называется неравенство вида
˃ 𝒂𝒈(𝒙) , где а ˃ 0, а ≠ 1 и неравенства, сводящиеся к этому виду.
𝒇(𝒙)
Теорема 2. Если а ˃ 1, то показательное неравенство 𝑎 𝑓(𝑥) ˃ 𝑎 𝑔(𝑥) равносильно неравенству f(x) ˃ g(x).
Если 0 ˂ а ˃ 1, то показательное неравенство 𝑎 𝑓(𝑥) ˃ 𝑎 𝑔(𝑥) равносильно неравенству f(x) ˂ g(x).
Практические занятия
- решение показательных уравнений;
- решение показательных неравенств.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Показательная и логарифмическая функции»:
38
1. Постройте схематически графики функций:
1
а) у = ( )х+3 ;
4
б) у = 3х – 2.
2. Решите показательные уравнения:
а) 9х = 27х−4 ;
1
б) √6 = ( )5х+1 ;
36
в) 2𝑥
2 +2х−0,5
д) 49х – 8 ∙ 7х + 7 = 0;
= 4√2;
г) 2 ∙ 3х+1 – 3х = 15;
е) 100х + 9 ∙ 10х – 10 = 0.
1
32у−х =
,
81
3*. Решите систему уравнений: {
4х−у+2 = 64.
4. Решите неравенства:
1
2 +3х
а) ( )х ≥ 27;
в) 72𝑥
б) 0,24х+3 ˂ 0,008х−1 ;
г) 62х – 7 ∙ 6х + 6 > 0.
3
≤ 49;
5. Вычислите:
а) log 5 125 – log 3 310 + 41+log4 6 ;
в) log 2 7 – log 2
б) lg 8 + lg 125;
г)
7
16
.
log9 16
log9 2
6. Найдите:
а) log 5 32, если log 5 2 = m;
б) log 6 30, если log 6 5 = g.
7. Постройте схематически графики функций:
а) у = log 3 х + 2;
б) у = log 0,2 (х − 1).
8) Найдите область определения функций:
а) у = log 0,4 (18 − 3х);
б) у = log 5 (2𝑥 2 − 7х + 3)
9. Решите уравнения:
а) log 5 (2х − 6) = 2;
в) log 23 х – log 3 x + 2 = 0;
б) log 2 (5х − 1) = log 2 (4 + 3х);
г) log 2 (х − 1) + log 2 (х + 3) =1.
3х = 81 ∙ 9у ,
10*. Решите систему уравнений: {log (х − у) = 0.
0,5
11. Решите неравенства:
а) log 4 (5х + 2) > 2;
г) log 2 (𝑥 2 − х − 12) ˂ 3;
б) log 0,6 (4х − 3) > 1;
д) log 3 (х + 1) + log 3 х ˂ log 3 2.
в) log 0,1 (2х − 3) ˂ log 0,1 (х + 1);
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос, проверка
конспекта.
39
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Дайте определение показательной функции у = ах , перечислите ее свойства и
постройте графики в случаях, когда а ˃ 1 и 0 ˂ а ˂ 1.
2. Сформулируйте правило решения показательных уравнений:
аf(x) = аg(х) ,
3. Перечислите основные методы решения показательных уравнений.
4. Сформулируйте правила решения показательных неравенств:
аf(x) ˃ аg(х)
в тех случаях, когда, а ˃ 1 и 0 ˂ а ˂ 1.
5. Перечислите основные методы решения показательных неравенств.
Тема 3.5. Логарифмическая функция
Основные понятия и термины по теме: логарифм, основание логарифма, логарифмирование, потенцирование, логарифмическая функция, логарифмические
уравнения, логарифмические неравенства
План изучения темы
1. Логарифм числа, десятичный логарифм. Основное логарифмическое тождество.
2. Логарифмическая функция, ее свойства и график.
3. Свойства логарифма.
4. Логарифмические уравнения и неравенства.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Логарифм числа, десятичный логарифм. Основное логарифмическое тождество.
Для любого уравнения aх = b, где а ˃ 0, а ≠ 1 и b ˃ 0 корень уравнения можно
записать:
х = logа b.
Определение 1. Логарифмом числа b по основанию а: 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b, при
этом, а ˃ 0, а ≠ 1 и b ˃ 0:
Основные логарифмические соотношения:
loga а = 1; logа 1 = 0; logа 𝑎r = r, где а ˃ 0, а ≠ 1 и b ˃ 0.
Основное логарифмическое тождество:
𝒂𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 = b.
Определение 2. Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом. Вместо символа log10 используют символ lg.
2. Логарифмическая функция, ее свойства и график.
Определение 3. Функцию вида у = log а х, где а ˃ 0 и а ≠ 1 называют логарифмической функцией.
40
Свойства логарифмической функции у = 𝒍𝒐𝒈а х:
1) D(f) = (0; + ∞);
2)не является ни четной, ни нечетной;
3) функция возрастает, если а >1 (рис. 1) и убывает,
если 0 < а < 1 (рис. 2);
4) не ограничена;
5)не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6)непрерывна;
7) Е(f) = R.
У
у = logа b
а>1
0
Х
1
Рис. 1
У
3. Свойства логарифма.
у = logа b
Если а ˃ 0, а ≠ 1 и b ˃ 0, с >0, то выполняются соотношения:
0<а<1
0
Х
1
Теорема 1. log а bс = log а b + log а с.
Теорема 2. log а
𝑏
с
= log а b − log а с.
Рис. 2
Теорема 3. logа br = r log a b.
Теорема 4. с ≠ 1, log а b =
logс b
logс а
1
Следствие 1. b ≠ 1, log а b =
.
.
logb а
Следствие 2. r ≠ 0, log а b = log ar br .
Следствие 3. r ≠ 0, log ar b =
1
r
log а b.
Определение 3. Если логарифмическое выражение А составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то,
используя свойства логарифмов, можно выразить 𝑙𝑜𝑔а А через логарифмы этих чисел. Такое преобразование называется логарифмированием.
Определение 4. Для операции логарифмирования существует обратная операция − потенцирование. При выполнении операции потенцирования находится выражение, логарифм которого представлен через логарифмы некоторых чисел.
4. Логарифмические уравнения и неравенства.
Определение 1. Логарифмическим уравнением называется уравнение вида
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒈(𝒙) , где а ˃ 0, а ≠ 1, f(x) ˃ 0, g(x) ˃ 0 и уравнения, сводящиеся к
этому виду.
Утверждение 1. Простейшее логарифмическое уравнение − это уравнение вида 𝐥𝐨𝐠 𝒂 х = b, где а ˃ 0, а ≠ 0. Оно имеет единственный корень х = а𝐛 при любом b.
Например, корнем уравнения log 2 х = 5 является число х = 25 = 32.
Утверждение 2. Уравнение вида 𝐥𝐨𝐠 а 𝐟(𝐱) = b, где а ˃ 0, а ≠ 1, равносильно
уравнению f(x) = а𝐛 .
41
Теорема 1. Логарифмическое уравнение 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐟(𝐱) = 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐠(𝐱), где а ˃ 0, а ≠ 1,
f(x)˃ 0, g(x) ˃ 0 равносильно уравнению
f(x) = g(x).
Утверждение 3. Уравнение вида 𝐥𝐨𝐠 𝒈(𝒙) 𝐟(𝐱) = b, где g(x) ˃ 0, g(x) ≠ 1, f(x) ˃ 0,
равносильно уравнению
f(x) = 𝐠(𝐱)𝐛 .
Определение 2. Логарифмическим неравенством называется неравенство вида 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒇(𝒙) ˃ 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒈(𝒙), где а ˃ 0, а ≠ 1, f(x) ˃ 0, g(x) ˃ 0 и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Утверждение 4. Неравенство вида 𝐥𝐨𝐠 а 𝐟(𝐱) ˃ b, где а ˃ 0, а ≠ 1:
при а ˃ 1 равносильно неравенству f(x) ˃ а𝐛 ,
𝐟(𝐱) ˂ а𝐛 ,
а при 0 ˂ а ˂ 1 системе: {
𝐟(𝐱) ˃ 𝟎.
Утверждение 5. Неравенство вида 𝐥𝐨𝐠 а 𝐟(𝐱) ˂ b, где а ˃ 0, а ≠ 1:
𝐟(𝐱) ˂ а𝐛 ,
при а ˃ 1 равносильно системе: {
𝐟(𝐱) ˃ 𝟎,
а при 0 ˂ а ˂ 1 неравенству f(x) ˃ а𝐛 .
Теорема 2. Логарифмическое неравенство 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐟(𝐱) ˃ 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐠(𝐱), где а ˃ 0, а ≠ 1,
𝐟(𝐱)˃ 𝐠(𝐱),
при а ˃ 1 равносильно системе неравенств: {
𝐠(𝐱) ˃ 𝟎;
𝐟(𝐱) ˂ 𝐠(𝐱) ,
при 0 ˂ а ˂ 1 равносильно системе неравенств: {
𝐟(𝐱) ˃ 𝟎;
Утверждение 6. Логарифмическое неравенство 𝐥𝐨𝐠 𝐯(𝐱) 𝐟(𝐱) ˃ 𝐥𝐨𝐠 𝐯(𝐱) 𝐠(𝐱),
равносильно совокупности систем неравенств:
𝐯(𝐱) ˃ 𝟏,
{𝐟(𝐱) ˃ 𝐠(𝐱),
𝐠(𝐱) ˃ 𝟎.
𝟎 ˂ 𝐯(𝐱) ˂ 𝟏,
{ 𝐟(𝐱) ˂ 𝐠(𝐱),
[ 𝐟(𝐱) ˃ 𝟎.
Практические занятия
- преобразование логарифмических выражений, включая операцию логарифмирования;
- решение логарифмических уравнений;
- решение логарифмических неравенств.
Задания для самостоятельного выполнения
Решение заданий практикума по теме «Показательная и логарифмическая функции».
Форма контроля самостоятельной работы:
42
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Дайте определение логарифма, сформулируйте основное логарифмическое
тождество.
2. Дайте определение логарифмической функции у = log а х, рассмотрите ее свойства и графики в случаях, когда а ˃ 1 и 0 ˂ а ˂ 1.
3. Сформулируйте свойства логарифмов.
4. Сформулируйте правила решения логарифмических уравнений вида:
log а f(x) = b,
log а f(x) = log а g(х),
5. Перечислите основные методы решения логарифмических уравнений.
6. Сформулируйте правила решения логарифмических неравенств:
log а f(x) ˃ b,
log а f(x) ˃ log а g(х),
в тех случаях, когда, а ˃ 1 и 0 ˂ а ˂ 1.
Тема 3.6. Преобразование графиков
Основные понятия и термины по теме: параллельный перенос, симметрия.
План изучения темы:
1. Преобразования графиков: параллельный перенос;
2. Симметрия относительно осей координат, начала координат.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Преобразование графиков: параллельный перенос.
Правило 1. Чтобы построить график функции у = f(х + а), нужно осуществить
параллельный перенос графика функции у = f(х) вдоль оси Х на а единиц влево, если а ˃ 0 (рис. 1) и на а единиц вправо, если а ˂ 0 (рис. 2).
y
a˃0
у = f(х+a)
y a˂0
у = f(х)
x
0
у = f(х+a)
у = f(х)
x
0
Рис. 2
Рис. 1
Правило 2. Чтобы построить график функции у = f(х) + b, нужно осуществить
параллельный перенос графика функции у = f(х) вдоль оси У на b единиц вверх, если b ˃ 0 (рис. 3) и на b единиц вниз, если b ˂ 0 (рис. 4).
y
y
у = f(х) + b
у = f(х)
b˃0
у = f(х)
b˂0
x
0
Рис. 3
x
0
у = f(х) + b
Рис. 4
43
Практические занятия
- преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия.
Задания для самостоятельного выполнения
Изучите и законспектируйте тему «Преобразования графиков: симметрия
носительно осей координат и симметрия относительно начала координат».
от-
Форма контроля самостоятельной работы:
устный опрос, проверка конспекта.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Как построить график функций у = f (х + а)?
Как построить график функций у = f (х) + b?
Как построить график функций у = f (х + а) + b?
Как построить график функций у = – f (х)?
Как построить график функций у = f (– х)?
Как построить график функций у = |x|?
Раздел 4. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Тема 4.1. Параллельность прямых и плоскостей
Основные понятия и термины по теме: стереометрия, точка, прямая, плоскость, пространство, параллельность, скрещивающиеся прямые, угол между прямыми в пространстве.
План изучения темы:
1.
2.
3.
4.
5.
Стереометрия. Аксиомы стереометрии.
Параллельность прямых.
Параллельность прямой и плоскости.
Параллельность плоскостей.
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Стереометрия. Аксиомы стереометрии.
Определение 1. Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются
фигуры в пространстве.
Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.
Аксиома 1. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Аксиома 2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести
плоскость, и притом только одну.
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и притом только одну.
44
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и
притом только одну.
2. Параллельность прямых.
Определение 2. Две прямые в пространстве называются параллельными, если
они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Теорема 3. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость,
то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
3. Параллельность прямой м плоскости.
Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
 прямая лежит в плоскости;
 прямая пересекает плоскость;
 прямая и плоскость не имеют общих точек.
Определение 3. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не
имеют общих точек.
Теорема 5. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какойнибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Утверждение 1. Если плоскость проходит через
𝛃
данную прямую, параллельную другой плоскости, то
b
линия пересечения плоскостей параллельна данной
прямой (рис. 1).
Утверждение 2. Если одна из двух параллельных
a
прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая так же параллельна этой плоскости, или лежит в
⍺
ней.
Рис. 1
4. Параллельность плоскостей.
Определение 4. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Признак. Две плоскости параллельны, если одна из них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.
Теорема 6. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые
пресечения параллельны.
Теорема 7. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Теорема 8. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.
5. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Если прямые пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости.
Определение 5. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:
45
 прямые пересекаются;
 прямые параллельны;
 прямые скрещиваются.
Определение 6. Наименьший угол, образованный пересекающимися прямыми,
называется углом между пересекающимися прямыми.
Пусть прямые а и b – скрещивающиеся. Если через
точку М прямой а провести прямую с параллельную
b
прямой b, то угол между прямыми а и с будет углом
c
между скрещивающимися прямыми а и b (рис. 2).
M
а
Определение 7. Углом между скрещивающимися
●
прямыми называется угол между пересекающимися
Рис. 2
параллельными им прямыми.
Практические занятия
- решение задач на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
Задания для самостоятельного выполнения
Изучите и законспектируйте тему «Параллельное проектирование».
Форма контроля самостоятельной работы:
устный опрос, проверка конспекта.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Сформулируйте аксиомы стереометрии.
2. Можно ли провести плоскость через прямую и не лежащую на ней точку? Если
можно, то сколько?
3. Можно ли провести плоскость через две пересекающиеся прямые? Если можно,
то сколько?
4. Какие прямые называются параллельными?
5. Сколько прямых, параллельных данной прямой, можно провести через точку, не
лежащую на данной прямой?
6. Одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость. Пересечет ли плоскость другая прямая?
7. Какое взаимное расположение двух прямых, параллельных третьей прямой?
8. Какие возможны случаи взаимного расположения прямой и плоскости?
9. В каком случае прямая и плоскость параллельны?
10. Данная прямая, не лежащая в плоскости параллельна прямой этой плоскости.
Какое взаимное расположение данной прямой и плоскости?
11. Плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости. Какое взаимное расположение прямой и линии пересечения плоскостей?
12. Одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости. Как будет располагаться другая прямая по отношению к плоскости?
13. Какие плоскости называются параллельными?
14. Плоскость параллельна двум пересекающимся прямым другой плоскости. Какое
взаимное расположение плоскостей?
46
15. Две параллельные плоскости пересекаются третьей. Какое взаимное расположение линий пересечения плоскостей?
16. Что можно сказать об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями?
17. Какие возможны случаи взаимного расположения прямых в пространстве?
17. Какие прямые называются скрещивающимися?
18. Какой угол называется углом между скрещивающимися прямыми?
Тема 4.2. Перпендикулярность прямых и плоскостей
Основные понятия и термины по теме: перпендикулярные прямые, перпендикулярные плоскости, перпендикуляр, наклонная, угол между прямой и плоскостью, двугранный угол.
План изучения темы:
1. Перпендикулярность прямой и плоскости.
2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Определение 1. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между
ними равен 90⁰.
Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Определение 2. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она
перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема 3. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Признак. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема 4. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
Рассмотрим плоскость α и не лежащую в этой
плоскости точку А. Проведем через эту точку прямую, перпендикулярную плоскости α. Прямая пересечет плоскость в точке Н (рис. 3).
Определение 3. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости
α. Точка Н называется основанием перпендикуляра.
А
⍺
Н
М
Рис. 3
47
Отметим в плоскости α точку М, отличную от Н, и проведем отрезок АМ.
Определение 4. Отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к
плоскости α. Точка М называется основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.
Утверждение. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости,
меньше любой наклонной, проведенной из той же точки.
Определение 5. Длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к плоскости, называется расстоянием между данной точки и плоскостью.
Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены
от другой плоскости.
Определение 6. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной из плоскостей до другой.
Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой
плоскости.
Определение 7. Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью,
называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости.
Определение 8. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых
называется отрезок, перпендикулярный каждой прямой.
А
Определение 9. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
Теорема о трех перпендикулярах 5. Если прямая,
a
⍺
проведенная на плоскости через основание наклонной,
Н
перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна
М
и наклонной (рис. 4).
Теорема обратная 6. Если прямая на плоскости
перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и
Рис. 4
проекции наклонной.
Определение 10. Углом между прямой и плоскостью, не перпендикулярной
данной прямой, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.
Любая прямая, проведенная в данной плоскости,
a
⍺
𝛃
делит эту плоскость на две полуплоскости.
Определение 12. Двугранным углом называется
фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей
ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая – ребром двугранного угла (рис. 5).
Определение 13. Если из точки ребра двугранного
угла в каждой грани провести лучи, перпендикулярные
Рис. 5
ребру, то получим линейный угол двугранного угла.
Все линейные углы двугранного угла равны между собой.
За меру двугранного угла принимают меру соответствующего линейного угла.
48
Определение 14. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных
угла. Наименьший двугранный угол, называется углом между плоскостями.
Определение 15. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90⁰.
Теорема 7. Если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную
другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются
две другие плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей.
Практические занятия
 решение задач на взаимное расположение прямых и плоскостей.
Задания для самостоятельного выполнения
Изучите и законспектируйте тему «Ортогональное проектирование. Площадь
ортогональной проекции многоугольника. Центральное проектирование».
Форма контроля самостоятельной работы:
устный опрос, проверка конспекта.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Какие прямые называются перпендикулярными?
2. Одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей. Как расположена
другая прямая по отношению к третьей?
3. Когда прямая перпендикулярна плоскости?
4. Одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости. Как расположена другая прямая по отношению к плоскости?
5. Две прямые перпендикулярны плоскости. Каково их взаимное расположение?
6. Какой отрезок называется перпендикуляром к плоскости?
7. Как построить наклонную к плоскости? Сравните длину перпендикуляра и
наклонной.
8. Что называется расстоянием между точкой и плоскостью?
9. Что называется расстоянием между параллельными плоскостями?
10. Что называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью?
11. Что называется общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых? Что
называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?
12. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах и обратную теорему.
13. Что называется углом между прямой и плоскостью?
Раздел 5. ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ
Тема 5.1. Векторы в пространстве
Основные понятия и термины по теме: вектор, нулевой вектор, длина вектора, коллинеарные векторы, сонаправленные векторы, противоположно направленные векторы, противоположные векторы, равные векторы, компланарные векторы,
правило треугольника, правило параллелепипеда.
49
План изучения темы:
1. Понятие вектора в пространстве.
2. Сложение векторов и умножение вектора на число.
3. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Понятие вектора в пространстве.
Определение 1. Вектором называется направленный отрезок ⃗𝒂.
Определение 2. Абсолютной величиной вектора называется длина отрезка,
задающего вектор. Обозначается: |𝑎|.
Определение 3. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.
Определение 4. Если коллинеарные векторы имеют одинаковое направление,
то они называются сонаправленными, а если противоположное направление, то
противоположно направленными.
Определение 1. Два вектора называются противоположными, если их длин
равны и они противоположно направленны.
Определение 5. Равные векторы сонаправлены и равны по абсолютной величине.
Определение 6. Точка рассматривается как нулевой вектор.
2. Сложение векторов и умножение вектора на число.
Правило сложения векторов (правило треугольника).
Для любых трех точек А, В и С (рис. 1) имеет место равенство:
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ + ВС
АС.
Сложение векторов по правилу параллелограмма представлено на рисунке 2.
Правило вычитания векторов. Разностью векторов 𝑎
и 𝑏⃗ называется такой вектор, сумма которого с вектором
𝑏⃗ равна вектору 𝑎 (рис. 3):
𝑎  𝑏⃗ = 𝑎 + ( 𝑏⃗).
Свойства сложения векторов:
 𝑎 + 𝑏⃗ = 𝑏⃗ + 𝑎 (переместительный закон);
⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗
 (𝑎
𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏
𝑐) (сочетательный закон).
Определение 7. Произведением вектора 𝑎 на число k
называется такой вектор 𝑏⃗, длина которого равна |k| ∙ |𝑎|,
при этом векторы 𝑎 и 𝑏⃗ сонаправлены, если k > 0, и противоположно направлены, если k <0. Ели k = 0, то произведение равно нулевому вектору.
⃗𝒃
⃗
𝒂
Рис. 1
⃗
𝒂
⃗𝒃
Рис. 2
⃗
𝒂
⃗𝒃
Рис. 3
Свойства умножения векторов:
Для любых векторов 𝑎 и 𝑏⃗ и любых чисел k и m выполняются равенства:
50
 (k m)𝑎 = k(m𝑎) (сочетательный закон);
⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗
 𝑘(𝑎
𝑏) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑘 𝑎 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑘 𝑏 (1 распределительный закон);
 (k + m) 𝑎 = k 𝑎 + m 𝑎 (2 распределительный закон).
Утверждение 1. Если векторы 𝑎 и 𝑏⃗ коллинеарны и 𝑎 ≠ 0, то существует такое
число k, что ⃗b = k𝑎.
3. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам.
Определение 8. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Утверждение 2. Если вектор с можно разложить по векторам 𝑎 и ⃗b, т. е. пред⃗ , где х и у – некоторые числа, то векторы 𝑎, ⃗b и с компластавить в виде с = х𝑎 + уb
нарны.
Утверждение 3. Если векторы 𝑎, ⃗b и с компланарны, а векторы 𝑎 и 𝑏⃗ не коллинеарны, то вектор с можно разложить по векторам 𝑎 и 𝑏⃗.
Сложение трех некомпланарных векторов по правилу параллелепипеда представлено на рисунке 4.
Определение 9. Пусть 𝑎, 𝑏⃗ и с – некомпланарные векторы. Если вектор р
⃗ представлен в виде с = х 𝑎 + у 𝑏⃗ + z с,
где х, у и z – некоторые числа, то говорят, что вектор р
⃗
⃗ , ⃗𝒃 и с. Числа х, у и z называются
разложен по векторам 𝒂
коэффициентами разложения.
⃗
𝒄
⃗
𝒃
Практические занятия
⃗
𝒂
Рис. 3
- решение задач, связанных с понятием вектора;
- действиями с векторами, разложением вектора по трем некомпланарным векторам.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Векторы и координаты»:
1. Нарисуйте параллелепипед АВСDA1 B1 C1 D1 и обозначьте векторы ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
С1 D1 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
BA1 , ⃗⃗⃗⃗⃗
АD
соответственно 𝑎, 𝑏⃗, 𝑐. Изобразите на рисунке векторы: а) 𝑎 + 𝑏⃗; б) 𝑏⃗ + 𝑐; в) 𝑏⃗  𝑎; г)
𝑎  𝑐.
2. Диагонали куба АВСDA1 B1 C1 D1 пересекаются в точке О. Найдите число k такое,
что: а) ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ = k ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
СD; б) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АС1 = k ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
АО; в) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ОВ1 = k ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
В1 D.
3. Упростите выражение: а) 2(𝑎 + 𝑏⃗)  3(4𝑎  𝑏⃗) + 𝑎; б) 𝑎  3(𝑏⃗  2𝑎 + с) + 5(с  4𝑎).
4. Диагонали параллелепипеда АВСDA1 B1 C1 D1 пересекаются в точке О. Разложите
векторы ⃗⃗⃗⃗⃗
СD и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D1 О по векторам ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АA1 , ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ и ⃗⃗⃗⃗⃗
АD.
5. Точка К – середина ребра ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
В1 С1 куба АВСDA1 B1 C1 D1 . Разложите вектор ⃗⃗⃗⃗⃗
АК по век⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑏⃗ = АD
⃗⃗⃗⃗⃗ , с = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
торам 𝑎 = АВ
АA1 и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно
m.
51
6. Даны векторы 𝑎{ 1; 2; 0}, 𝑏⃗{0;  5;  2}, с{2; 1;  3}. Найдите координаты векторов р
⃗ = 3𝑏⃗  2𝑎 + с и 𝑞 = 3с  2𝑏⃗ + 𝑎.
7. Точка M середина отрезка АВ. Найдите координаты: а) точки М, если А(0; 3;  4),
В( 2; 2; 0); б) точки В, если А(14;  8; 5), М(3;  2;  7), точки А, если В(0; 0; 2),
М(12; 4; 15).
8. Найдите длину вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ, если: а) А( 1; 0; 2), В(1;  2; 3); б) А( 35;  17; 20),
В( 34;  5; 8).
9. Найдите длины векторов 𝑎{5;  1; 7}, 𝑏⃗{2√3;  6; 1}.
10. Даны векторы 𝑎{3;  2; 1}, 𝑏⃗{ 2; 3; 1} и с{ 3; 2; 1}. Найдите а) |𝑎 + 𝑏⃗|; б) |𝑎| +
|𝑏⃗|; в) |𝑎  𝑏⃗|; г) |𝑎|  |𝑏⃗|; д) |3с|; е) √14 |с|; ж) |2𝑎  3с|.
11. Даны точки А( 4; 7; 0) и В(0;  1; 2). Найдите расстояние от начала координат
до середины отрезка АВ.
3
12. Даны точки А( ; 1;  2), В(2; 2;  3) и С(2; 0;  1). Найдите: а) периметр тре2
угольника АВС; б) медианы треугольника АВС.
13. Даны векторы 𝑎{1;  1; 2}, 𝑏⃗{ 1; 1; 1}, с{5; 6; 2}. Вычислите 𝑎с, 𝑎𝑏⃗, 𝑏⃗с, 𝑎𝑎.
14. Даны векторы 𝑎{ 1; 2; 3}, 𝑏⃗{5; х;  1}. При каком значении х выполняется
условие: а) 𝑎𝑏⃗ = 3; б) 𝑎𝑏⃗ =  1; в) 𝑎 ⊥ 𝑏⃗?
15. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются
точки А(1;  1; 3), В(3;  1; 1) и С( 1; 1; 3).
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Справедливо ли утверждение: а) любых два противоположно направленных вектора коллинеарны; б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в) любые
два равных вектора коллинеарны; г) любые два сонаправленных вектора равны;
д) если 𝑎 ⇅ 𝑏⃗, 𝑏⃗ ⇅ 𝑐, то 𝑎 ⇅ 𝑐; е) существуют векторы 𝑎, 𝑏⃗ и 𝑐 такие, что 𝑎 и 𝑐
не коллинеарны, 𝑏⃗ и 𝑐 не коллинеарны, а 𝑎 и 𝑏⃗ коллинеарны?
⃗⃗⃗⃗⃗ = ВС
⃗⃗⃗⃗⃗ . Симметричны ли
2. Точки А и С симметричны относительно точки О и А𝐷
точки В и D относительно точки О?
⃗⃗⃗⃗⃗ = ВС
⃗⃗⃗⃗⃗ . Могут ли точки В
3. Точки А и С симметричны относительно прямой а и А𝐷
и D быть: а) симметричными относительно прямой а; б) несимметричными относительно прямой а.
4. Точки А и С, а так же точки В и D симметричны относительно плоскости α. Могут ли векторы ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ и ⃗⃗⃗⃗⃗
СD быть: а) равными; б) неравными?
5. Известно, что векторы 𝑎 и 𝑎 + 𝑏⃗ коллинеарны. Коллинеарны ли векторы 𝑎 и 𝑏⃗?
6. Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых?
7. Может ли длина суммы нескольких ненулевых векторов быть равной сумме длин
этих векторов?
52
8. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной сумме длин этих
векторов?
9. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной разности длин
этих векторов?
10. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной длине разности
этих векторов?
11. На какое число нужно умножить ненулевой вектор 𝑎, чтобы получить вектор 𝑏⃗,
удовлетворяющий условиям: а) 𝑏⃗ ⇈ 𝑎 и |𝑏⃗| = |𝑎|; б) 𝑏⃗⇅𝑎 и |𝑏⃗| = 3|𝑎|; в) 𝑏⃗ = 0.
⃗⃗⃗⃗⃗ , причем точки А, В и С не лежат на одной прямой. При
12. Известно, что ⃗⃗⃗⃗⃗
AB = kCD
каком значении k прямые АС и ВD являются а) параллельными; б) пересекающимися; в) скрещивающимися?
13. Компланарны ли векторы: а) 𝑎, 𝑏⃗, 2𝑎, 3𝑏⃗; б) 𝑎, 𝑏⃗, 𝑎 + 𝑏⃗, 𝑎 – 𝑏⃗?
14. Известно, что векторы 𝑎, 𝑏⃗ и 𝑐 компланарны. Компланарны ли векторы: а) 𝑎, 2𝑏⃗,
3𝑐; б) 𝑎 + 𝑏⃗, 𝑎 + 2𝑐, 2𝑏⃗ – 3𝑐?
15. Точки А, В, и С лежат на окружности, а точка О не лежит в плоскости этой
окружности. Могут ли векторы ⃗⃗⃗⃗⃗
ОА, ⃗⃗⃗⃗⃗
ОВ и ⃗⃗⃗⃗⃗
ОС быть компланарными?
Тема 5.2. Метод координат в пространстве
Основные понятия и термины по теме: прямоугольная система координат,
единичный вектор, координаты вектора, угол между векторами, скалярное произведение векторов.
План изучения темы:
1. Координаты вектора в пространстве.
2. Простейшие задачи в координатах.
3. Скалярное произведение векторов.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Координаты вектора в пространстве.
Чтобы построить прямоугольную систему координат в пространстве нужно:
- провести три взаимно перпендикулярных прямые х, у, z, пересекающихся в
одной точке О;
- провести через каждую пару этих прямых плоскость.
z
уz
Плоскость, проходящая через прямые х и у,
Мz
называют плоскостью ху, две другие плоскости соМ
ответственно хz и уz.
⃗
𝒂
хz
Прямые х, у, z называются координатными
Му у
О
осями, х – ось абсцисс, у – ось ординат, z – ось
аппликат. Точка пересечения О – начало координат, плоскости ху, хz, уz – координатные плоскости. Точка О разбивает каждую из этих осей на две
полуоси, одна из которых положительная, а другая отрицательная (рис. 1).
Мх
х
ху
Рис. 1
53
⃗
Пусть 𝑖 – единичный вектор оси абсцисс, 𝑗  единичный вектор оси ординат, 𝑘
 единичный вектор оси аппликат. Вектор 𝑎 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ОМ можно разложить по единичным
векторам:
⃗ = x 𝒊 + y 𝒋 + z ⃗𝒌.
𝒂
Коэффициенты х, у, z называются координатами вектора 𝑎 (абсциссой, ординатой, аппликатой соответственно) 𝑎{х; у; z}: х = ОМх, у = ОМу, z = ОМz.
Координаты равных векторов равны.
Действия с векторами:
Правило 1. Суммой (разностью) векторов a⃗ (х1; у1; z1) и ⃗b (х2; у2; z2) называется
вектор с = a⃗ ± ⃗b, координаты которого равны сумме (разности) соответствующих
координат этих векторов:
с (х1 ± х2; у1 ± у2; z1 ± z2).
⃗ (х; у; z) на число k называется вектор ⃗d = ka⃗,
Правило 2. Произведением вектора 𝒂
координаты которого равны произведению числа k на координаты вектора a⃗:
𝐝 (kх; kу; kz).
Координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ выражаются через координаты его начала А (х1; у1; z1)
и конца В(х2; у2; z2):
⃗⃗⃗⃗⃗
АВ{ х2 – х1, у2 – у1, z2 – z1}.
2. Простейшие задачи в координатах.
Задача 1. Длина вектора 𝑎{х; у; z} вычисляется по формуле:
⃗ | = √х𝟐 + у𝟐 + 𝐳 𝟐 .
|𝒂
Задача 2. Координаты середины С(х; у; z) отрезка АВ, где А (х1; у1; z1) и В(х2;
у2; z2) вычисляются по формулам:
х=
х𝟏 + х𝟐
𝟐
;
у=
у𝟏 + у 𝟐
𝟐
;
z=
𝐳𝟏 + 𝐳𝟐
𝟐
.
Задача 3. Расстояние между точками А (х1; у1; z1) и В(х2; у2; z2) вычисляется по
формуле:
d = √(х𝟐 − х𝟏 )𝟐 + (у𝟐 − у𝟏 )𝟐 + (z𝟐 − z𝟏 )𝟐
3. Скалярное произведение векторов.
Определение. Скалярным произведением векторов 𝑎 (х1; у1; z1)
и 𝑏⃗ (х2; у2; z2) (рис. 2) называется число:
𝐚⃗ ∙ 𝐛 = х1х2 + у1у2 + z1z2,
Скалярное произведение векторов равно произведению их длин
на косинус угла между ними:
𝐚⃗ ∙ 𝐛 = |𝐚⃗|∙|𝐛|∙ 𝐜𝐨𝐬 𝛂.
Из определения скалярного произведения векторов:
𝐜𝐨𝐬 𝜶 =
⃗ ∙ ⃗𝒃
𝒂
;
⃗|
⃗ |∙|𝒃
|𝒂
𝐜𝐨𝐬 𝜶 =
х𝟏 х𝟐 + у𝟏 у𝟐 + z𝟏 z𝟐
√х𝟐𝟏 + у𝟐𝟏 + z𝟐𝟏 ∙ √х𝟐𝟐 + у𝟐𝟐 + z𝟐𝟐
.
⃗𝒃
⃗𝒃
α
⃗
𝒂
Рис. 2
54
Свойства скалярного произведения для векторов 𝑎, 𝑏⃗ и с и любого числа k:
 𝑎 𝑏⃗ = 𝑏⃗ 𝑎 (переместительный закон);
⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗
 (𝑎
𝑏) 𝑐 = 𝑎 с + 𝑏⃗𝑐 (распределительный закон).
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
 𝑘(𝑎
𝑏) = ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑘 𝑎) 𝑏⃗ (сочетательный закон).
Практические занятия
- решение простейших задач в координатах;
- вычисление скалярного произведения двух векторов;
- вычисление углов между прямыми и плоскостями.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Векторы и координаты».
Изучите и законспектируйте тему «Движения».
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос, проверка
конспекта.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если:
а) одна ее координата равна 0; б) две координаты равны 0?
2. Объясните, почему все точки, лежащие на одной прямой, параллельной плоскости Оху, имеют одну и ту же аппликату.
3. Даны точки А (2; 4; 5), В (3; х; у), С (0; 4; z) и D (5; t; u). При каких значениях x,
y, z, t и u эти точки лежат: а) в плоскости, параллельной плоскости Оху; б) в
плоскости, параллельной плоскости Охz; в) на прямой, параллельной оси Ох?
⃗⃗⃗⃗⃗ , если АВ
⃗⃗⃗⃗⃗ = (х1; у1; z1), ВС
⃗⃗⃗⃗⃗ = (х2; у2; z2).
4. Найдите координаты вектора СА
5. Первая и вторая координаты ненулевого вектора 𝑎 равны нулю. Как расположен
вектор 𝑎 по отношению к оси: а) Оz; б) Ох; в) Оу?
6. Первая координата ненулевого вектора 𝑎 равна нулю. Как расположен вектор 𝑎
по отношению: а) к плоскости Охz; б) к оси Ох?
7. Будут ли коллинеарны векторы: а) 𝑎(– 5; 3; – 1) и 𝑏⃗(6; – 10; – 2); б) 𝑎(– 2; 3; 7) и
𝑏⃗(– 1; 1,5; 3,5)?
8. Длина радиус-вектора точки М равна 1. Может ли абсцисса точки М равняться: а)
1; б) 2?
9. Длина вектора 𝑎 равна 3. Может ли одна из координат вектора равняться: а) 3; б)
5?
10. Абсцисса точки М1 равна 3, а абсцисса точки М2 равна 6: а) может ли длина отрезка М1М2 быть равной 2; б) Как расположен отрезок М1М2 по отношению к оси
Ох, если его длина равна 3?
11. Векторы 𝑎 и 𝑏⃗ имеют длины а и b. Чему равно скалярное произведение векторов
𝑎 и 𝑏⃗, если: а) векторы 𝑎 и 𝑏⃗сонаправлены; б) векторы 𝑎 и 𝑏⃗ противоположно
направлены; в) векторы 𝑎 и 𝑏⃗ перпендикулярны?
55
12. При каком условии скалярное произведение векторов 𝑎 и 𝑏⃗: а) положительно; б)
отрицательно; в) равно нулю?
13. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Перпендикулярны ли векторы: а) ⃗⃗⃗⃗⃗
АD и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D1 С1 ; б) ⃗⃗⃗⃗⃗
ВD и
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗⃗⃗⃗⃗
СС1 ; в) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
А1 С1 и ⃗⃗⃗⃗⃗
АD; г) ⃗⃗⃗⃗⃗
DВ и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D1 С1 ; д) ВВ
АС?
14. Первые координаты векторов 𝑎 и 𝑏⃗ равны соответственно 1 и 2. Может ли скалярное произведение векторов 𝑎 и 𝑏⃗ быть: а) меньше 2; б) равно 2; в) больше 2?
Раздел 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Тема 3.1. Тригонометрическая функция
Основные понятия и термины по теме: числовая окружность, центральный
угол, радиан, синус, косинус, тангенс, котангенс, криволинейная координата точки
единичной окружности,
План изучения темы:
1. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла.
Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.
2. Свойства тригонометрических величин. Основные тригонометрические тождества.
3. Формулы приведения.
4. Тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период. Преобразование графиков: растяжение и сжатие вдоль осей координат.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла.
Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические
тождества.
Определение 1. Угол в 1 радиан - это центральный угол, опирающийся на дугу,
длина которой равна радиусу окружности.
В
̆ = R: ⍺ = 1 рад (рис. 1).
∠АОВ – центральный угол, АВ
R
Правило. Чтобы найти радианную меру угла, нужно длину
дуги, на которую он опирается, разделить на радиус.
О
𝛑
𝟏𝟖𝟎
1рад =
рад;
R
А
360° = 2π рад, 180° = π рад.
1° =
⍺
(1° ≈ 0, 017 рад).
Рис. 1
𝟏𝟖𝟎°
𝛑
;
(1рад ≈ 57°) .
Таблица 1.
Градусная
мера угла
Радианная
мера угла
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3π
2
2π
56
Рассмотрим единичную окружность R = 1 с центром в точке О (0; 0) (рис.2).
ОА – начальный радиус,
⍺ – угол поворота: ОА → ОМ, А → М;
У
̆ : t = | АM
̆ |;
t – длина дуги АМ
1
t – криволинейная координата точки М:
М(t)
М(t) = М(х0 ; у0 ).
sin t y
Определение 2. Начальный радиус ОА единичной окружности при повороте на угол α переходит в радиус ОМ, точке М числовой окружности соответствует число t. Абсциссу точки
М называют косинусом числа t и обозначают
соs t, а ординату точки М называют синусом
числа t и обозначают sin t. Если М(t) = М(х; у),
то
х = соs t, -1 ≤ соs t ≤ 1,
у = sin t,
-1 ≤ sin t ≤ 1.
t
⍺
0
1●А
x
X
cos t
Рис. 2
Определение 3. Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют
тангенсом числа t и обозначают tg t. Отношение косинуса числа t к синусу того
же числа называют котангенсом числа t и обозначают сtg t:
sin t
tg t =
;
соs t ≠ 0,
соs t
соs t
сtg t =
sin t
sin t ≠ 0.
;
Таблица 2.
t
0
π
4
π
2
3π
4
π
sin t
0
√2
2
1
√2
2
0
соs t
1
√2
2
0
tg t
0
1
−
−1
ctg t
−
1
0
π
3
2π
3
√3
2
1
2
√3
2
1
−
2
√3
3
√3
− √3
√3
√3
3
−
5π
4
3π
2
7π
4
2π
−
√2
2
−1
−
√2
2
0
√2
2
1
0
1
−
−1
0
−1
−
1
0
−1
−
5π
6
1
2
7π
6
1
−
2
4π
3
5π
3
11π
6
1
−
2
−
√2
2
−1
−
√2
2
0
Таблица 3.
t
sint
соst
tgt
сtgt
π
6
1
2
√3
2
√3
3
−
√3
2
1
2
−
√3
2
−
√3
3
√3
3
√3
− √3
− √3
√3
√3
3
−
−
√3
2
√3
2
1
−
2
−
√3
3
√3
2
−
√3
3
−√3
57
2. Свойства тригонометрических величин. Основные тригонометрические
тождества.
Знаки тригонометрических величин по четвертям.
Знаки синуса
Знаки косинуса
Знаки тангенса и котангенса
У
У
У
+
+
−
−
Х
−
+
−
+
Х
−
+
+
−
Х
Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом противоположных углов (рис. 3):
sin (- t) = − sin t;
соs (- t) = соs t;
У
tg(- t) = − tg t;
сtg(-α) = − сtg t.
M(t)
t
Периодичность тригонометрических величин. Для
любого значения t и для любого k ∈ Z справедливы равенства:
sin (t + 2 π k) = sin t;
tg (t + 2 π k) = tg t;
соs (t + 2 π k) = соs t;
сtg (t + 2 π k) = сtg t,
0
α
-α
-t
M(-t)
Основные тригонометрические тождества:
sin2 t + соs 2 t = 1;
1 + tg 2 t =
1
соs2 t
Рис. 3
tg t · сtg t = 1;
1 + сtg 2 t =
;
0Х
1
sin2 t
.
3. Формулы приведения.
Правило. Если под знаком sin d, соs d, tg d и сtg d содержатся числа вида d = π ± t
и d = 2π ± t, то наименование тригонометрических величин сохраняется.
π
3π
Если под знаком sin d, соs d, tg d и сtg d содержатся числа вида d = ± t и d =
± t,
2
2
то наименование тригонометрических величин меняется на родственное (sin на соs,
tg на сtg).
Значения sin t, соs t, tg t, сtg t имеют тот знак, какой имеют sin d, соs d, tg d и сtg d в
π
той четверти, которой принадлежит число d при условии 0 ˂ t ˂ .
2
Таблица 4.
d
π+t
π-t
2π + t
2π - t
π
2
+t
π
2
-t
3π
2
+t
3π
2
-t
sin d
− sin t
sin t
sin t
− sin t
соs t
соs t
− соs t
− соs t
соs d
− соs t
− соs t
соs t
соs t
− sin t
sin t
sin t
− sin t
tg d
tg t
− tg t
tg t
− tg t
− сtg t
сtg t
− сtg t
сtg t
сtg d
сtg t
− сtg t
сtg t
− сtg t
− tg t
tg t
− tg t
tg t
58
4. Тригонометрические функции, их свойства и графики. Преобразование графиков: растяжение и сжатие вдоль осей координат.
Функция у = 𝒄𝒐𝒔 х (рис. 4).
у = cos x
Свойства функции у = cos x:
−𝟑𝝅
𝟐
1
У
−𝝅
𝟐
𝝅
𝟐
𝟑𝝅
𝟐 Х
𝝅
𝟐
𝟑𝝅
𝟐 Х
1) D(f) = R;
-π
π
0
2) функция четная: cos (− x) = cos x;
-1
3) периодичная с периодом Т = 2π;
Рис. 4
4) убывает на промежутках (2πk; π + 2πk),
возрастает на промежутках (π + 2πk; 2π + 2πk), k ∈ Z;
5) ограничена и сверху и снизу;
6) принимает наибольшее и наименьшее значения унаиб = 1, унаим = − 1;
7) экстремумы: х = 2πk – точки максимума, х = π + 2πk – точки минимума;
8) непрерывная;
9) Е(f) = [− 1; 1].
У
у = sin x
Функция у = 𝒔𝒊𝒏 х (рис. 5)
−𝟑𝝅
𝟐
Свойства функции у = sin x:
-π
−𝝅
𝟐
1) D(f) = R;
2) функция нечетная: sin(− x) = − sin x;
3) периодичная с периодом Т = 2π;
π
π
4) возрастает на промежутках (− + 2πk; + 2πk),
𝟐
π
1
0
π
-1
Рис. 5
𝟐
3π
убывает на промежутках ( + 2πk;
+ 2πk), k ∈ Z;
𝟐
𝟐
5) ограничена и сверху и снизу;
6) принимает наибольшее и наименьшее значения унаиб. = 1, унаим. = − 1;
π
π
7) экстремумы: х = + 2πk – точки максимума, х = − + 2πk – точки минимума;
𝟐
𝟐
8) непрерывная;
9) Е(f) = [− 1; 1].
Преобразование графиков тригонометрических функций.
Преобразование у = mf(x), m ≠ 0.
Правило 1. При m ˃ 1 преобразование графика называют растяжением от
оси Х с коэффициентом m (рис. 6), а при 0 ˂ m ˂ 1 преобразование графика называют сжатием к оси Х с коэффициентом
1
m
(рис. 7).
У
у = 2 cos x
−𝟑𝝅
𝟐
-π
−𝝅
𝟐
у = 0,5 sin x
1
0
𝝅
𝟐
π
𝟑𝝅
𝟐 Х
−𝟑𝝅
𝟐
-1
Рис. 6
-π
−𝝅
𝟐
1
У
π
0
𝟑𝝅
𝟐 Х
𝝅
𝟐
-1
Рис. 7
59
Преобразование у = f(kx), k ≠ 0.
Правило 2. При k ˃ 1 преобразование графика называют сжатием к оси У с
коэффициентом k (рис. 8), а при 0 ˂ k ˂ 1 преобразование графика называют рас1
тяжением от оси У с коэффициентом (рис. 9).
𝒌
У
у = cos 2x
−𝟑𝝅
𝟐
-π
−𝝅
𝟐
у = sin 0,5x
1
𝝅
𝟐
0
-1
π
𝟑𝝅
𝟐 Х
−𝟑𝝅
𝟐
-π
−𝝅
𝟐
1
У
π
0
Х
𝝅
𝟐
-1
Рис. 8
𝟑𝝅
𝟐
Рис. 9
Функция у = 𝒕𝒈 𝒙 (рис. 10).
Свойства функции у = tg x:
π
У
у = tg x
π
1) D(f) = (− + πk; + πk ), k ∈ Z;
𝟐
2
2) функция нечетная: tg (− x) = − tg x;
3) периодичная с периодом Т = π;
4) возрастает;
5) не ограничена;
6) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
7) непрерывна на интервалах:
π
π
(− + πk; + πk), k ∈ Z;
𝟐
𝟐
8) Е(f) = R.
−𝟑𝝅
𝟐
-π
−𝝅
𝟐
0
𝝅
𝟐
π
𝟑𝝅
𝟐 Х
π
𝟑𝝅
𝟐
2π Х
Рис. 10
У
Функция у = 𝒄𝒕𝒈 𝒙 (рис. 11).
Свойства функции у = сtg x:
-π
1) D(f) = (πk ; π(k + 1)), k ∈ Z;
2) функция нечетная: сtg (− x) = − сtg x;
3) периодичная с периодом Т = π;
3) убывает;
4) не ограничена;
5) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
7) непрерывна на интервалах (πk; π(k + 1)), k ∈ Z;
8) Е(f) = R.
−𝝅
𝟐
у = ctg x
0
𝝅
𝟐
Рис. 11
Практические занятия
- исследование свойств тригонометрических величин;
- нахождение значений тригонометрических выражений;
- преобразование графиков тригонометрических функций.
60
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Тригонометрия»:
Задание 1. Упростите выражения:
а) ctg 𝑥 ∙ tg 𝑥  sin2 x;
г) sin 2𝑥 ∙ сtg 𝑥 + 2 sin2 x;
б) (sin2 x + cos 2 x)  tg 2 x ∙ cos 2 x;
д) (cos 2х + 1) tg 𝑥;
в) 2(1  sin2 x) ∙ tg 𝑥;
е)
cos 2𝑥
cos 𝑥− sin 𝑥
 sin х.
Задание 2. Постройте графики функций:
𝜋
а) у = cos(х − ) + 2;
б) у = sin(х +
3
2𝜋
3
)  3.
Задание 3. Упростите выражения по формулам приведения:
𝜋
а) sin( + х)  cos(𝜋 + х);
б) cos(2𝜋 − х)  sin(
2
3𝜋
2
− х).
Задание 4. Найдите значение выражения:
а) sin 58° cos 13°  cos 58° sin 13°; б) cos 36° cos 24°  sin 36° sin 24°.
Задание 5. Упростите выражение:
а) cos(х − у)  sin х sin у;
б) sin(х + у)  cos х sin у.
Задание 6. Представьте в виде произведения:
а) sin 10° + sin 50°;
в) cos 20° + cos 40°;
б) sin 52°  sin 36°;
г) cos 75°  cos 15°.
Задание 7. Решите уравнения:
а) 2sin х  1 = 0;
ж) 2sin х cos х + cos х = 0;
б) 2cos х  √3 = 0;
з) 2sin х cos х  √2sin х = 0;
в) 2sin х + √2 = 0;
и) cos 2 x  2cos х  3 = 0;
г) 2cos х + 1 = 0;
к) sin2 x  3sin х + 2 = 0;
д) 3tg x  √3 = 0;
л) sin х  √3cos х = 0;
е) ctg x + √3 = 0;
м) 3sin2 x  2sin х cos х  cos 2 x = 0.
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.
2.
3.
4.
5.
Что называется радианной мерой угла?
Дайте определение числовой окружности.
Что называют криволинейной координатой точки числовой окружности?
Дайте определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла (числа).
Сформулируйте основные свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
61
6. Сформулируйте основные тригонометрические тождества.
7. Сформулируйте правила для формул приведения.
8. Дайте определение тригонометрическим функциям, рассмотрите их графики, перечислите свойства.
9. Сформулируйте правила преобразования графиков тригонометрических функций: у = mf(x); у = f (kx).
Тема 3.2. Преобразование тригонометрических выражений
Основные понятия и термины по теме: сумма и разность двух углов, двойной угол, половинный угол, сумма тригонометрических функций, произведение
тригонометрических функций.
План изучения темы:
1. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.
2. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла.
3. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.
sin (α ± β) = sin α · соs β ± соs α · sin β;
соs (α ± β) = соs α · соs β ∓ sin α · sin β;
tg (α + β) =
tg α+ tg β
1 − tg α tg β
; tg (α − β) =
tg α− tg β
.
1+ tg α tg β
2. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла.
sin 2α = 2sin α · соs α;
соs 2α = соs 2 α − sin2 α;
соs 2α = 2соs 2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α;
tg 2α =
2tg α
1 − tg2 α
;
1 + sin 2α = (соs α + sin α)2 ; 1 − sin 2α = (соs α − sin α)2 ;
1 − соs 2α = 2 sin2 α;
α
2tg 2
α
1+ tg2 2
1 + соs 2α = 2 соs 2 α;
α
= sin α;
1− tg2 2
α
1+ tg2 2
= соs α.
3. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.
sin x + sin y = 2 sin
sin x − sin y = 2 sin
х+у
2
х−у
2
∙ соs
∙ соs
х−у
2
х+у
2
;
62
соs x + соs y = 2 соs
х+ у
соs x − соs y = − 2 sin
tg х ± tg у =
sin х ∙ соs у =
соs х ∙ соs у =
sin х ∙ sin у =
∙ соs
2
х+ у
х− у
∙ sin
2
sin(х ± у)
;
2
х− у
2
;
;
соs х соs у
sin (х + у) + sin (х − у)
2
соs (х + у) + соs (х − у)
2
соs (х − у) − соs (х + у)
2
;
;
.
Практические занятия
- преобразование тригонометрических выражений.
Задания для самостоятельного выполнения
Решение заданий практикума по теме «Тригонометрия».
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Какие соотношения выражают формулы двойного аргумента, половинного аргумента?
2. Какие соотношения выражают формулы синуса и косинуса суммы и разности
двух аргументов?
3. Какие соотношения выражают формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение?
4. Какие соотношения выражают формулы преобразования произведений тригонометрических функций в сумму?
Тема 3.3. Тригонометрические уравнения
Основные понятия и термины по теме: арксинус, арккосинус, арктангенс,
арккотангенс, однородное тригонометрическое уравнение первой (второй) степени.
План изучения темы:
1.
2.
3.
4.
5.
Решение уравнений cos х = а.
Решение уравнения sin х = а.
Решение уравнений tg x = а, ctg x = а.
Решение тригонометрических неравенств.
Методы решения тригонометрических уравнений. Однородные уравнения
первой и второй степени.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Решение уравнения 𝒄𝒐𝒔 х = а.
Определение. Если |a| ≤ 1, то arccos а (арккосинус а) − это такое число из
отрезка [0; π], косинус которого равен а (рис. 1):
63
со𝑠 𝑡 = 𝑎,
Если |a| ≤ 1, то arccos а = t ⟺ [
0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.
Если |a| ≤ 1, то уравнение соs t = а имеет решения:
π – arccos a
0 Х
π
t = ± arccos а + 2πk, k ∈ Z
-a
Теорема: Для любого а ∈ [0; 1] выполняется равенство:
arccos (− а) = π − arccos а, где 0 ≤ а ≤ 1.
𝜋
соs t = 1, t = 2πk
2
𝝅
𝝅
𝟐
π
0
𝟑𝝅
Рис. 1
соs t = − 1, t = π + 2πk
𝝅
𝟐
π
𝟑𝝅
𝟐
π●
●0
𝟐
a
– arccos a
Частные случаи решения уравнения 𝒄𝒐𝒔 х = а:
соs t = 0, t = + πk
У arccos a
0
𝟑𝝅
𝟐
𝟐
2. Решение уравнения 𝒔𝒊𝒏 х = а.
Определение. Если |a| ≤ 1, то arcsin а (арксинус а) − это такое число из от𝜋 𝜋
резка [− ; ], синус которого равен а (рис. 2):
2 2
𝑠𝑖𝑛 𝑡 = 𝑎,
У arcsin a
π – arcsin a
если |a| ≤ 1, то arcsin а = t ⟺ [− 𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 .
a
2
2
Если |a| ≤ 1, то уравнение sin t = а имеет решения:
0 Х
π
𝒏
t = (−𝟏) arcsin а + πn, n ∈ Z
Теорема: Для любого а ∈ [0; 1] выполняется равенство:
arcsin (− а) = − arcsin а, где 0 ≤ а ≤ 1.
-a
arcsin (- a)
Рис. 2
Частные случаи решения уравнения 𝒔𝒊𝒏 х = а:
sin t = 0, t = πk
𝝅
sin t = 1, t =
𝟐
𝜋
sin t = − 1, t = − + 2πk
2
𝝅
●𝟐
0
−𝝅
2
+ 2πk
𝝅
𝟐
π
𝜋
π
0
−𝝅
𝟐
𝟐
π
0
−●𝝅
𝟐
64
3. Решение уравнения tg t = а, ctg t = а.
π π
Определение 1. arctg а (арктангенс а) − это такое число из интервала (− ; )
2 2
тангенс которого равен а:
𝑡𝑔 𝑡 = 𝑎,
arctg а = t ⟺ {− 𝜋 < 𝑡 < 𝜋 .
2
2
Уравнение tg t = а имеет решения: t = arctg а + πk, k ∈ Z
Справедлива формула: arctg (− а) = − arctg а.
Определение 2. arcсtg а (арккотангенс а) − это такое число из интервала (0; π),
котангенс которого равен а:
с𝑡𝑔 𝑡 = 𝑎,
arcсtg а = t ⟺ {
0 <𝑡 < 𝜋.
Уравнение сtg t = а имеет решения: t = arcсtg а + πk, k ∈ Z
Справедлива формула: arсctg (− а) = π − arсctg а.
4. Решение тригонометрических неравенств.
cos х > а, |a| < 1, – arccos a + 2πk < x < arccos a + 2πk, k ∈ Z (рис. 3).
cos х < а, |a| < 1, arccos a + 2πk < x < (2π – arccos a) + 2πk, k ∈ Z (рис. 4).
sin х > а, |a| < 1, arcsin a + 2πk < x < (π – arcsin a) + 2πk, k ∈ Z (рис. 5).
sin х < а, |a| < 1, (– π – arcsin a) + 2πk < x < arcsin a + 2πk, k ∈ Z (рис. 6).
У arccos a
У arccos a
0 Х
π
0 Х
π
a
a
2π – arccos a
– arccos a
π – arcsin a
Рис. 3
Рис. 4
У
У
a
arcsin a
0 Х
π
Рис. 5
2π
– π – arcsin a
a
-π
arcsin a
0 Х
Рис. 6
5. Методы решения тригонометрических уравнений. Однородные уравнения
первой и второй степени.
Методом введения новой переменной решаются уравнения вида:
Например,
a sin2 х + b sin х + c = 0.
65
Решается путем введения новой переменной z = sin x.
Методом разложения на множители решаются уравнения вида:
Например,
а cos х + b cos х sin х = 0;
а sin2 х + b sin х = 0.
Решаются путем вынесения общего множителя за скобку и переходу к совокупности
уравнений.
Определение 1. Уравнение вида а sin х + b cos х = 0 называют однородным
тригонометрическими уравнением первой степени.
Решение. Пусть, а ≠ 0, b ≠ 0. Разделим обе части уравнение на cos х (cos х ≠ 0),
получим:
а sin х
cos х
+
b cos х
cos х
=
0
;
cos х
а tg х + b = 0;
b
tg х = − ;
а
b
х = arctg (− ) + πn, n ∈ Z.
а
Определение 2. Уравнение вида а 𝒔𝒊𝒏𝟐 х + b sin x cos x + c 𝒄𝒐𝒔𝟐 х = 0 называют однородным тригонометрическими уравнением второй степени.
Решение. Пусть, а ≠ 0. Разделим обе части уравнение на cos 2 х (cos х ≠ 0), получим:
а sin2 х
cos2 х
+
b sin х cos х
cos2 х
+
с cos2 х
cos2 х
=
𝑎 tg 2 х + b tg х + с = 0;
а sin х
cos2 х
;
Введем подстановку z = tg:
а z 2 + b z + с = 0;
Если квадратное уравнение имеет корни z1 и z2, то данное уравнение будет равносильно совокупности:
tg х = z1,
[
tg х = z2.
Практические занятия
- решение тригонометрических уравнений и неравенств.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Тригонометрия».
Изучите и законспектируйте тему «Обратные тригонометрические функции, их
свойства и графики».
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос, проверка
конспекта.
66
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Что называется арккосинусом числа а? По какой формуле записываются корни уравнения cos x = а?
2. Какие соотношения выражают формулы корней тригонометрических уравнений в частных случаях: cos x = 0; cos x = ̶ 1; cos x = 1?
3. Что называется арксинусом числа а? По какой формуле записываются корни
уравнения sin x = а?
4. Какие соотношения выражают формулы корней тригонометрических уравнений в частных случаях: sin 𝑥 = 0; sin 𝑥 = ̶ 1; sin 𝑥 = 1?
5. Что называется арктангенсом, арккотангенсом числа а? По какой формуле записываются корни уравнения tg x = а, сtg x = а?
6. Перечислите основные методы решения тригонометрических уравнений.
7. Какие уравнения называют однородными тригонометрическими уравнениями
первой степени, второй степени?
8. Какими методами решаются однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени?
Раздел 7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Тема 7.1. Алгебраическая запись комплексного числа
Основные понятия и термины по теме: комплексное число, действительная
часть комплексного числа, мнимая часть комплексного числа, мнимая единица, равные комплексные числа, комплексно-сопряженные числа, комплексная плоскость,
действительная ось, мнимая ось.
План изучения темы:
1. Комплексные числа. Алгебраическая форма записи комплексного числа.
2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
3. Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Определение комплексного числа.
Определение 1. Комплексным числом z называется выражение вида а + bi,
где а и b – действительные числа, а символ i удовлетворяет условию 𝑖 2 = – 1.
Запись z = а + bi называется алгебраической записью комплексного числа.
Число а называется действительной частью комплексного числа, bi называется мнимой частью комплексного числа, число i называется мнимой единицей.
С – множество комплексных чисел: R ⊂ C.
Определение 2. Два комплексных числа 𝑧1 = а + bi и 𝑧1 = с + di называются
равными, если равны их действительные и мнимые части: а = с и b = d.
67
Определение 3.Число z = 0 + 0i называется нулем и совпадает с нулем множества действительных чисел.
Определение 4. Комплексные числа z = а + bi и 𝑧̅ = а – bi называются комплексно-сопряженными.
2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Комплексное число z = a + bi можно представить точкой координатной плоскости Оху с координатами (а; b)
(рис. 1).
b
у
●
z
Определение 5. Плоскость, в которой изображаются
комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
х
o
Ось Ох называют действительной осью.
a
Рис. 1
Ось Оу называют мнимой осью.
3. Действия с комплексными числами, записанными в алгебраической форме.
Для комплексных чисел 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1 i и 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2 i выполняются операции:
𝑧1 ± 𝑧2 = (𝑎1 ± 𝑎2 ) + (𝑏1 ± 𝑏2 ) i.
𝑧1 𝑧2 = (𝑎1 𝑎2 – 𝑏1 𝑏2 ) + (𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 ) i.
𝑧1
𝑧2
=
𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2
𝑎2 2 + 𝑏2
2
+
𝑎2 𝑏1 − 𝑎1 𝑏2
𝑎2 2 + 𝑏2 2
, 𝑧2 ≠ 0.
Практические занятия
- решение задач на действия с комплексными числами, заданными в алгебраической форме;
- решение задач на действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Комплексные числа»
1. На комплексной плоскости постройте числа: а) z = 2 – 3i; б) z = – 1 + 2i.
2. Решите квадратные уравнения а) х2 – х + 1; б) 2х2 + 3х = 0.
3. Даны числа z1 = 3 – 2i и 𝑧2 = 1 + 4i. Найдите числа:
а) z1 + 𝑧2 ;
б) z1 – 𝑧2 ;
𝑧
в) z1 𝑧2 ;
в) 1.
𝑧2
4. Дано число z = 2 + 3i. Найдите z 𝑛 , если n = 2, 3, 4.
5. Вычислите:
1
а) (– +
3
i√ 2 2
) ;
2
1
б) (– +
3
i √2 4
) .
2
𝜋
6. Постройте точки А (3; – ), В (2; –
6
3𝜋
4
𝜋
), С (1; ) в полярной системе координат.
3
68
7. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа 1 + i; – 1 + i √3; 5i;
1 + √2 – i.
8. Дано z1 = 2 + 4i и 𝑧2 = 1 – 2i. Найдите модули и аргументы чисел:
а) z1 + 𝑧2 ;
б) z1 – 𝑧2 ;
в) – z1 + 𝑧2 ;
г) – z1 – 𝑧2 .
9. Даны числа z1 = 3(cos 30° + i sin 30°) и 𝑧2 = 2(cos 60° + i sin 60°). Составьте сумму z1 + 𝑧2 и разность z1 – 𝑧2 . Найдите их модули и аргументы.
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
3
3
6
6
10. Даны числа z1 = √3(cos + i sin ) и 𝑧2 = √2(cos + i sin ). Найдите:
а) z1 𝑧2 ;
𝑧
б) 1;
𝑧2
в) 𝑧13 ;
г) √z1 ;
е) ̅̅̅̅̅
( 1).
𝑧
д) ̅̅̅̅̅̅;
z1 𝑧2
𝑧2
11. Вычислите (1– i)6 .
3
12. Найдите корни: а) √i;
3
б) √2 − 2i;
4
в) √− 4.
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Что называется комплексным числом?
Какие комплексные числа называются равными?
Какие числа называются комплексно-сопряженными?
Что называется комплексной плоскостью?
Дайте геометрическую интерпретацию комплексного числа.
Как складываются, умножаются и делятся комплексные числа, заданные в алгебраической форме?
Тема 7.2. Тригонометрическая запись комплексного числа
Основные понятия и термины по теме: полярный радиус, полярный угол, полярная система, полюс, полярная ось, полярные координаты точки, модуль комплексного числа, аргумент комплексного числа, тригонометрическая форма комплексного числа.
План изучения темы:
1. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
2. Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической
форме. Возведение в натуральную степень (формула Муавра).
Краткое изложение теоретических вопросов:
М
1. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Положение точки М на плоскости можно задать
двумя числами: r – длиной отрезка ОМ и φ – углом,
который образует отрезок ОМ с осью ОР (рис. 2).
r
О
𝛗
Р
Рис. 2
69
Определение 6. Числа r и 𝜑 называют полярными координатами точки
М. Число r называют полярным радиусом точки М, r ≥ 0. Число 𝜑 называют
полярным углом точки М, 0 ≤ 𝜑 < 𝜋.
Определение 7. Совокупность точки О и оси ОР образуют полярную систему координат. Точка О называется полюсом, а ось ОР – полярной осью.
Рассмотрим полярную и прямоугольную системы
координат в комплексной плоскости: полюс совпадает с
началом декартовых координат, а ось ОР с положительным направлением оси Ох, точка М изображает комплексное число z = x + yi (рис. 3). Справедливы соотношения:
x = r cos φ, y = r sin φ,
у
●М
y
r
𝛗
o
𝑦
r = √х2 + у2 , φ = arctg .
Рис. 3
Р
x
𝑥
Определение 8. Полярный радиус r называется модулем, или абсолютной величиной комплексного числа z:
r = |z| = √х2 + у2 ,
а полярный угол 𝜑 называют аргументом комплексного числа и обозначают
arg z (0 ≤ arg z <2𝜋).
Определение 9. Из соотношений z = x + yi, x = r 𝑐𝑜𝑠 𝜑, y = r 𝑠𝑖𝑛 𝜑, получим тригонометрическую запись комплексного числа:
z = r (𝐜𝐨𝐬 𝛗 + i 𝐬𝐢𝐧 𝛗).
2. Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической
форме.
Пусть даны комплексные числа, записанные в тригонометрической форме:
z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1 ) и 𝑧2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2 ).
Правило 1. При умножении комплексных чисел в тригонометрической
форме модули умножаются, а аргументы складываются:
|z1 𝑧2 | = |z1 | ∙ |𝑧2 |,
arg (z1 𝑧2 ) = arg z1 + arg 𝑧2 ,
z1 𝑧2 = r1 r2 (cos( φ1 + φ2 ) + i sin( φ1 + φ2 )),
Правило 2. При делении комплексных чисел в тригонометрической форме их
модули делятся, а аргументы вычитаются:
𝑧
| 1| =
𝑧2
𝑧1 𝑟1
=
𝑧2 𝑟2
|𝑧1 |
,
|𝑧2 |
arg
𝑧1
𝑧2
= arg z1 – arg 𝑧2 ,
(cos( φ1 − φ2 ) + i sin( φ1 − φ2 )),
Правило 3. При возведении комплексного числа в степень n модуль этого числа
возводится в степень n, а аргумент умножается на n.
70
|z 𝑛 | = |z|𝑛 , arg (z 𝑛 ) = n arg z,
z 𝑛 = r 𝑛 (cos nφ + i sin nφ).
При r = 1следует формула Муавра:
(𝐜𝐨𝐬 𝛗 + 𝐢 𝐬𝐢𝐧 𝛗)𝒏 = 𝐜𝐨𝐬 𝐧𝛗 + i 𝐬𝐢𝐧 𝐧𝛗.
Правило 4. Корнем n-ой степени, где n – натуральное число, из комплексного
числа z = r (cos φ + i sin φ) называется комплексное число w = ρ (cos θ + i sin θ), для
n
которого w n = z, w = √z.
𝑛
n
√(cos φ + i sin φ) = √r(cos
φ + 2πk
n
+ i sin
φ + 2πk
n
).
Практические занятия
- решение задач на действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Комплексные числа»
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вопросы для самоконтроля по теме:
Дайте определение полярной системе координат.
Дайте определение тригонометрической формы комплексного числа.
Как осуществить переход от алгебраической записи комплексного числа к
тригонометрической форме комплексного числа?
Как умножаются и делятся комплексные числа, заданные в тригонометрической форме?
Как возводятся в степень комплексные числа, заданные в тригонометрической
форме?
Как умножаются и делятся комплексные числа, заданные в тригонометрической форме?
По какой формуле извлекается корень n-ой степени из комплексного числа,
заданного в тригонометрической форме?
Раздел 8. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 8.1. Теория пределов
Основные понятия и термины по теме: числовая последовательность, ограниченная последовательность, возрастающая (убывающая) последовательность,
стационарная последовательность, сходящаяся последовательность, предел последовательности, геометрическая прогрессия, сумма бесконечной геометрическая
прогрессии, предел функции на бесконечности (в точке), непрерывная функция.
План изучения темы:
1. Определение последовательности. Свойства последовательностей.
2. Предел последовательности. Теоремы о пределах последовательностей.
71
3. Сумма геометрической прогрессии.
4. Понятие о пределе функции в точке. Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Определение последовательности. Свойства последовательностей.
Определение 1. Функцию вида у = f(n), n ∈ N (n = 1, 2, 3, ...) называют функцией
натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают (уn).
n
Например, формула уn =
представляет собой правило, по которому каждоn+1
му натуральному числу n ставится в соответствие число уn.
Определение 2. Последовательность уn = С , где С − некоторое число, называют постоянной или стационарной последовательностью.
Определение 3. Последовательность (уn) называется ограниченной сверху,
если все ее члены не больше некоторого числа: уn ≤ М. Число М называют верхней
границей последовательности.
Например, последовательность уn = 10 − n2 ограничена сверху.
Определение 4. Последовательность (уn) называется ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа: уn ≥ m. Число m называют нижней
границей последовательности.
Например, последовательность уn = 2n + 1 ограничена снизу.
Определение 5. Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то последовательность называют ограниченной последовательностью.
1
Например, последовательность уn = ограничена и сверху и снизу.
n
𝟏
0 𝟏𝟐
● ●
𝟏
𝟔
●
𝟏
𝟒
●
𝟏
𝟑
●
𝟏
𝟐
●
1
●
Х
Определение 6. Последовательность (уn) называется возрастающей, если
каждый ее член больше предыдущего:
уn ˂ уn + 1 .
Например, последовательность уn = 4n − 3 является возрастающей.
Если а ˃ 1, то последовательность уn = 𝑎𝑛 является возрастающей.
Определение 7. Последовательность (уn) называется убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего:
уn ˃ уn + 1 .
Например, последовательность уn = 2 − 3n является убывающей.
Если 0 ˂ а ˂ 1, то последовательность уn = 𝑎𝑛 является убывающей.
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными
последовательностями.
72
2. Предел последовательности. Теоремы о пределах последовательностей.
Определение 8. Число b называют пределом последовательности (уn), если в
любой выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Пишут:
𝒍𝒊𝒎 у𝒏 = b.
𝒏→∞
Говорят, что последовательность уn сходится к числу b.
Основные соотношения:
𝟏
𝐥𝐢𝐦 (𝐪)𝐧 = 0 , если |q |˂ 1;
𝐥𝐢𝐦 = 0;
𝐧→∞ 𝐧
𝐧→∞
𝐥𝐢𝐦 С = С.
𝐧→∞
Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо
соотношение:
𝐤
𝐥𝐢𝐦 ( 𝐦 ) = 0.
𝐧→∞
𝐧
Свойства сходящихся последовательностей.
Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.
Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Теорема. Если lim хn = b, lim уn = с, то
n→∞
n→∞
1. 𝐥𝐢𝐦 ( х𝐧 + у𝐧 ) = b + с;
𝐧→∞
2. 𝐥𝐢𝐦 ( х𝐧 · у𝐧 ) = b · с;
𝐧→∞
3. 𝐥𝐢𝐦
х𝐧
𝐧→∞ у𝐧
𝐛
= ;
с
4. 𝐥𝐢𝐦 (𝐤у𝐧 ) = k 𝐥𝐢𝐦 у𝐧 = kb.
𝐧→∞
𝐧→∞
3. Сумма геометрической прогрессии.
Определение 9. Последовательность (bn), каждый член которой равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем геометрической
прогрессии.
bn+1 = bn · q; bn = b1 · 𝒒𝒏−𝟏 ; q ≠ 0.
Утверждение. Если знаменатель q геометрической прогрессии (bn) удовлетворяет неравенству |q|˂ 1, то сумма S прогрессии вычисляется по формуле:
S=
𝐛𝟏
.
𝟏−𝐪
4. Понятие о пределе функции в точке. Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Если при х → +∞ f(x) → b, то число b называется пределом функции на плюс
бесконечности (рис. 1):
73
𝐥𝐢𝐦 f(x) = b.
х →+∞
У
Если при х → −∞ f(x) → b, то число b называется
пределом функции на минус бесконечности (рис. 2):
𝐥𝐢𝐦 f(x) = b.
у=b
у = f(x)
х →−∞
Если при х → ±∞ f(x) → b, то число b называется
пределом функции на бесконечности (рис. 3):
𝐥𝐢𝐦 f(x) = b.
b
0
Рис. 1
У
х →∞
0
Определение 10. Если 𝑙𝑖𝑚 f(x) = b, то прямая у = b
х →∞
является горизонтальной асимптотой функции у = f(x).
𝟏
Справедливы соотношения: 𝐥𝐢𝐦 ( 𝒏 ) = 0;
х →∞ х
X
X
у = f(x)
b
у=b
𝐥𝐢𝐦 C = C.
х →∞
Определение 11. Число b называется пределом функции у = f(x), если при х, стремящемся к а, значение функции f(x) стремится к b: х → а; f(x) → b:
Рис. 2
У
у=b
𝐥𝐢𝐦 f(x) = b.
х →𝒂
Определение 12. Функцию у = f(x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции у = f(x), при
стремлении х к а, равен значению функции в точке х = а:
𝐥𝐢𝐦 f(x) = f(а).
b
0
X
у = f(x)
Рис. 3
х →𝒂
Определение 2. Функцию у = f(x) называют непрерывной на промежутке Х,
если она непрерывна в каждой точке промежутка.
Теорема 1. Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.
Теорема 2. Частное от деления двух непрерывных функций является непрерывной функцией во всех точках, где делитель не равен нулю.
Теорема. Если lim f(x) = b, lim g(x) = с, то
х →𝑎
х →𝑎
1. 𝐥𝐢𝐦(𝐟(𝐱) + 𝐠(𝐱)) = b + с;
х →а
2. 𝐥𝐢𝐦(𝐟(𝐱) · 𝐠(𝐱)) = bс;
х →а
3. 𝐥𝐢𝐦
𝐟(𝐱)
х →а 𝐠(𝐱)
𝐛
= ; с ≠ 0;
с
4. 𝐥𝐢𝐦 𝐤𝐟(𝐱) = kb.
х →а
Практические занятия
- вычисление пределов последовательностей и функций на бесконечности и в
точке.
Задания для самостоятельного выполнения
74
Изучение и конспектирование темы «Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей». Работа со справочной и учебной литературой.
Форма контроля самостоятельной работы:
устный опрос, проверка конспекта.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Что называют числовой последовательностью?
Какими способами задаются числовые последовательности?
Какая последовательность называется ограниченной?
Какая последовательность называется возрастающей, убывающей?
В каких случаях говорят, что последовательность «сходится», «расходится»?
Что называют пределом числовой последовательности?
Чему равны пределы числовых последовательностей:
1
bn = ; bn = 𝑞 𝑛 , где |q| < 1; bn = C?
𝑛
8. Сформулируйте правила вычисления пределов числовых последовательностей.
9. Чему равна сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии?
10. Что называют пределом функции на бесконечности?
11.Чему равны пределы функций у =
1
х𝑚
; у = C на бесконечности?
12. Сформулируйте правила вычисления пределов функций на бесконечности.
13. Что называют пределом функции в точке?
14. Дайте определение непрерывной функции через понятие предела функции.
15. Сформулируйте правила вычисления пределов функций в точке.
Тема 8.2. Производная
Основные понятия и термины по теме: касательная к графику функции,
мгновенная скорость, приращение аргумента, приращение функции, производная,
дифференцирование.
План изучения темы:
1. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной.
2. Производные элементарных функций. Правила вычисления производных.
3. Уравнение касательной к графику функции.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной.
Определение 1. Производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производную функции обозначают у' или f΄(x0):
75
f΄(x0) = 𝐥𝐢𝐦
∆у
.
∆х →𝟎 ∆х
Физический смысл производной.
Тело движется по закону s(t). Так как мгновенная скорость v(t) определяется
∆s
соотношением v(t) = lim
, то производная функции у = s(t) выражает мгновен∆х →0 ∆t
ную скорость тела в момент времени t0:
v(t0) = s'(t0).
у
Геометрический смысл производной.
Определение 2. Предельное положение секущей
f(x0)
называют касательной к графику функции точке М.
К графику функции у = f(x) (рис.1) проведена касательная у = kx + b в точке х0, не параллельная оси ОУ.
∆у
Так как k = lim , то значение производной f'(х0) равно
у = f(x)
М
●
у = kx+b
0
x0
Рис. 1
∆х →0 ∆х
угловому коэффициенту касательной в точке х0:
k = f'(х0) = tg α.
Нахождение производной функции у = f(x) называют дифференцированием
функции у = f(x).
Если функция дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
2. Производные элементарных функций. Правила вычисления производных.
Таблица1.
Функция f(x)
Производная f'(x)
С (const)
0
х
1
kx
k
х
2х
х𝑛 , n ≠ 0
1
х
√𝑥
nх𝑛−1
2
−
1
х2
1
2√𝑥
sin x
cos x
cos x
− sin x
tg x
1
cos 2 x
ctg x
−
1
sin 2 x
Правила вычисления производных.
Теорема 1. Функции у = f(x) и у = g(x) имеют производную в точке х.
76
1. (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(х);
2. (k f(x))' = k f'(x);
3. (f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + g'(х) · f'(x);
4. (
𝐟(𝐱)
𝐠(𝐱)
)' =
𝐟 ′ (𝐱)· 𝐠(𝐱) − 𝐠′(х) · 𝐟′(𝐱)
𝐠 𝟐 (х)
.
Теорема 2. Производная сложной функции у = f(g(x)) вычисляется по формуле:
(f(g(x))' = g'(x) f'(u), где u = g(x).
3. Уравнение касательной к графику функции.
Уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке х = x0 (рис. 1):
у = f(x0) + f'(x)(х − x0).
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции у = f(x).
1. Вычислить f(x0).
2. Найти f'(x) и вычислить f'(x0).
3. Подставить числа x0 , f(x0), f'(x0) в формулу у = f(x0) + f'(x)(х − x0).
Практические занятия
- нахождение производных элементарных функций, применение правил
нахождения производных;
- нахождение производных сложной функции;
- составление уравнения касательной к графику функции;
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Производная»:
1. Тело движется по закону s(t). Найдите мгновенную скорость тела v(t0) в момент
времени t0:
а) s(t) = 3t 2 – 2t + 7 (м), t0 = 3 с;
б) s(t) = 6√𝑥 (м), t0 = 2 c.
2. Тело движется по закону s(t) = 2t 3 – 4t 2 + 6t. В какой момент времени скорость
тела была равна 14 м/с?
3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у =
f(x) в точке x0:
а) у = 5х2 + 3х – 2, x0 = – 1;
б) у =
16
х
+ 5х, x0 = 2.
4. Найдите скорость изменения функции у = f(x) в точке x0:
а) у = 2х4 – 5х2 + 3х, x0 = – 1;
б) у = 3sin х + 6х, x0 = π.
5. Найдите производную функции у = f(x):
а) у = х2 ∙ cos х;
д) у = (4х + 7)5 ;
б) у = √𝑥 ∙ sin х;
е) у = √8𝑥 − 1;
77
в) у =
г) у =
х3
ж) у =
;
5х2 + 3
sin х
1
;
(3х − 4)
з) у = tg (5х + 4).
;
х2 − 1
6. Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке а:
а) f(x) = 2х2 + 4х – 1, x0 = – 1;
б) f(x) = √4𝑥 − 8, x0 = 3.
7. Исследуйте функцию у = f(x) на монотонность и экстремумы:
а) 5х2 + 16х – 3;
б) f(x) = х3 – 6х2 ;
1
в) f(x) = х3 + х2 – 4х + 5.
3
8. Постройте график функции у = f(x):
а) f(x) = х3 + 3х;
б) f(x) = 2х3 + 3х2 – 2;
в) f(x) =
х
х2
.
+1
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = f(x) на заданном промежутке:
а) f(x) = 2х3 + 3х2 , [– 2; 1];
б) f(x) = х4 – 8х2 + 1, [– 1; 3].
10. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы
сумма квадратов этих чисел была наименьшей?
11. Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, что бы образовался прямоугольник.
Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была
наибольшей?
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.
2.
3.
4.
5.
Дайте определение производной функции.
В чем заключается физический смысл производной?
Что называется касательной к графику функции?
В чем заключается геометрический смысл производной?
Какие соотношения выражают формулы для нахождения производных функций:
у = С, у = х, у = kx, y = 𝑥 𝑛 , y =
1
𝑥
, y = √𝑥 ,
y = sin 𝑥, y = cos 𝑥, y = tg 𝑥, y = ctg 𝑥
6. Сформулируйте правила нахождения производных:
(f(x) + g(x))′;
(k f(x))′;
(f(x) g(x))′;
(
f(x)
g(x)
)′.
7. Чему равна производная сложной функции у = f(g(x)).
8. Какой формулой задается уравнение касательной, проведенной к графику
функции у = f(x) в точке х0 = а.
9. Сформулируйте алгоритм составления уравнения касательной к графику
функции у = f(x).
78
Тема 8.3. Приложения производной
Основные понятия и термины по теме: монотонность функции, критическая
точка, стационарная точка, экстремум, максимум, минимум, асимптота, число е.
План изучения темы:
1.
2.
3.
4.
Применение производной к исследованию функций.
Построение графиков функций.
Нахождение наибольших и наименьших значений величин.
Натуральный логарифм, число е. Производная показательной и логарифмической функции.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Применение производной к исследованию функций.
Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f'(x) ≥ 0, то функция у = f(x) возрастает на промежутке Х.
Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f'(x) ≤ 0, то функция у = f(x) убывает на промежутке Х.
Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f'(x) = 0, то функция у = f(x) постоянна на промежутке Х.
Определение 1. Точку х = x0 называют точкой максимума
функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство:
f(x) ˂ f(x0).
max
х
x0
Значение функции в точке максимума обозначают уmax .
Определение 2. Точку х = x0 называют точкой минимума
функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство:
x0
f(x) ˃ f(x0).
min
х
Рис. 1
Значение функции в точке минимума обозначают уmin .
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Теорема 4. Если функция у = f(x) имеет точку экстремума х = x0, то в этой точке
производная равна нулю, или не существует.
Теорема 5. (достаточное условие экстремума). Пусть функция у = f(x) непрерывна
на промежутке Х. Если во внутренней точке этого промежутка х = х0 производная
обращается в нуль или не существует и, проходя через эту точку, меняет свой
знак, то в этой точке функция достигает экстремума (рис. 2)
f'(x)
f (x)
−
х0
min
+
х
f'(x)
f (x)
Рис. 2
+
х0
–
х
max
79
Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.
1. Найти производную f'(x).
2. Найти точки, в которых производная равна нулю f'(x) = 0 или не существует, и
отметить их на числовой прямой.
3. Определить знак производной на получившихся промежутках.
4. По знаку производной определить характер монотонности функции и точки экстремума.
Пример. а) Исследовать функцию у = х3 − 3х2 + 3 на монотонность и экстремумы,
построить эскиз графика этой функции.
f'(x) +
Х
−
+
Решение. Исследуем знак производной:
3
2
2
у' = (х − 3х + 3)' = 3х − 6х = 3х (х − 2).
0
f (x)
2
3х (х − 2) = 0, x1 = 0, x2 = 2
у
Функция возрастает на промежутках (− ∞; 0,5) и (0; + ∞),
убывает на промежутке (0,5; 0);
у=х𝟑 − 𝟑х𝟐 +3
х = 0 − точка максимума, уmax = 3,
х = 2 − точка минимума, уmin = − 1.
График функции изображен на рисунке 3.
3
0
-1
2
х
1
2. Построению графиков функций.
Алгоритм построения графиков функций f(x) =
𝐩(𝐱)
𝐪(𝐱)
:
Рис.3
1) Найти область определения функции.
2) Наметить асимптоты графика функции:
если при х = а знаменатель дроби равен нулю q(x)= 0, то прямая х = а является вертикальной асимптотой;
если lim f(x) = b, то прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика
х→∞
функции и является ориентиром для построения графика.
3) Исследовать функцию на четность.
5) Найти нули функции, т. е. решить уравнение f(x) = 0.
6) С помощью производной, исследовать функцию на монотонность и экстремумы.
7) Найти значения функции в точках экстремума, составить таблицу значений функции.
8) Наметить асимптоты графика функции, отметить точки графика, построить график функции.
3. Нахождение наибольших и наименьших значений величин.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции у = f(x)
на отрезке [а; b]
1. Найти производную функции f'(x).
2. Найти точки экстремума функции на отрезке [а; b].
3. Вычислить значения функции в точках экстремума и на концах отрезка.
80
4. Выбрать среди этих значений наименьшее и наибольшее.
Теорема. Пусть функция у = f(x) непрерывна на промежутке [a; b] и имеет
внутри него единственную точку экстремума х = х0. Тогда:
если х = х0 − точка максимума, то унаиб = f(х0) (рис. 4);
если х = х0 − точка минимума, то унаим = f(х0) (рис. 5).
унаиб
У
У
а
𝒙𝟎
b Х
Х
а
𝒙𝟎
b
унаим
Рис. 4
Рис. 5
4. Натуральный логарифм, число е. Производная показательной и логарифмической функции.
Определение 3. Число е – это такое число, что угловой коэффициент касательной к графику функции у = ех в точке х = 0 равен единице
У
(рис. 6).
Функцию у = ех называют экспонентой и обозначают ехр х.
Функция у = ех имеет производную в любой точке х:
у = ех
(ех )' = ех
45⁰
Определение 4. Логарифм, у которого основанием является число е, называется натуральным логарифмом.
Введено обозначение: 𝑙𝑛 х.
0
Х
Рис. 6
Для любого х ˃ 0 справедлива формула:
(𝐥𝐧 х) ' =
𝟏
х
Формулы дифференцирования показательной и логарифмической функции:
(ах )' = 𝐥𝐧 а · ах ,
(𝐥𝐨𝐠 а х)' =
𝟏
х 𝐥𝐧 а
.
Практические занятия
-
исследование функций с помощью производной;
построение графиков функций;
нахождение наибольшего и наименьшего значений функций на промежутке;
решение уравнений и неравенств, текстовых, физических и геометрических
задач.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Производная».
81
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Как исследовать функцию у = f(x) на монотонность с помощью производной?
2. Что называется точками экстремума, точками минимума и точками максимума функции?
3. Сформулируйте достаточное условие существования экстремума функции.
4. Сформулируйте алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.
5. Сформулируйте алгоритм построения графиков функций.
6. Сформулируйте алгоритм исследования функции на наибольшее и наименьшее значения на промежутке.
Тема 8.4. Определенный интеграл
Основные понятия и термины по теме: первообразная, криволинейная
трапеция, определенный интеграл, интегрирование, пределы интегрирования.
План изучения темы:
1.
2.
3.
4.
Первообразная. Первообразные элементарных функций.
Правила вычисления первообразных.
Понятие об определенном интеграле. Формула Ньютона-Лейбница.
Свойства определенного интеграла.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Первообразная. Первообразные элементарных функций.
Определение 1. Функцию у = F(x) называют первообразной функции у = f(x)
на промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство:
F'(x) = f(x)
Первообразные элементарных функций.
Таблица 1.
f(x)
F(x)
0
C
k
kx
х
х2
2
хr , r ≠ − 1
хr+1
r+1
1
х
, х˃0
ln х
sin x
− cos x
cos x
sin x
82
1
sin2 x
1
cos2 x
− tg x
eх
eх
ах
ln a
√х
ctg x
ах
1
2√х
2. Правила вычисления первообразных.
Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если на промежутке
Х функции у = F(x) и у = G(x) − первообразные функций у = f(x) и у = g(x) соответственно, то функция у = F(x) + G(x) − первообразная функции у = f(x) + g(x).
Правило 2. Если функция у = F(x) − первообразная для функции у = f(x) на промежутке Х, то функция у = kF(x) − первообразная для функции у = k f(x).
Правило 3. Если функция у = F(x) − первообразная для функции у = f(x), то перво1
образной для функции у = f(kx + b) является функция у = F(kx + b).
𝑘
Теорема. Если функция у = F(x) − первообразная для функции у = f(x) на промежутке Х, то функция у = F(x) + С так же
является первообразной для функции у = f(x).
У
y = f(x)
3. Понятие об определенном интеграле. Формула Ньютона-Лейбница.
Определение 2. Пусть на отрезке [a; b] оси Ох задана
непрерывная функция у = f(x), не меняющая на нем знака.
Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком
[a; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1) называют криволинейной трапецией.
Х
0
а
b
Рис. 1
Определение 3. Если f(x) ≥ 0 на отрезке [a; b], то площадь S соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
𝐛
S = ∫𝐚 𝐟(𝐱)𝐝𝐱,
𝒃
где ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 – определенный интеграл непрерывной функции у = f(x) на отрезке
[a; b].
Числа а и b называют пределами интегрирования (соответственно верхним и
нижним).
Для вычисления определенного интеграла применяется формула НьютонаЛейбница: если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и у = F(x) – ее первообразная, то верно равенство:
𝐛
∫𝐚 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 = F(b) – F(а).
4. Свойства определенного интеграла.
83
Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
𝐛
𝐛
𝐛
∫𝐚 ( 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙))𝐝𝐱 = ∫𝐚 𝒇(𝒙)𝐝𝐱 + ∫𝐚 𝒈(𝒙)𝐝𝐱 .
Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
𝒃
𝒃
∫𝒂 𝒌𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = k∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙.
У
Свойство 3. Функция у = f(x) определена и непрерывна
на отрезке [a; b], причем точка с − внутренняя точка отрезка [a; b] (рис. 2). Имеет место соотношение:
𝒃
с
y = f(x)
𝒃
∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + ∫с 𝒇(𝒙)𝒅𝒙.
Х
Практические занятия
а
0
с
b
Рис. 2
- нахождение первообразных элементарных функций;
- применение правил нахождения первообразных;
- вычисление определенных интегралов.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Определенный интеграл»:
1. Найдите общий вид всех первообразных для функций:
4
х2
д) у = −
б) у = 6х2 + х;
в) у = 8х3 – 4х;
е) у = 7sin х + 2cos х;
ж) у = 6(3х + 2)2;
г) у = 10х4 + 4х3 – 3х2 – 8х;
з) у =
5
–
3
а) у = 4х – 1;
;
2√х
.
2√5х+1
2. Для функции у = f(x) найдите ту первообразную, график
которой проходит через точку М:
𝜋
а) у = 4х3 – 6х2 , М (– 1; 5);
б) у = 3cos х, М ( ; – 4)
2
3. Скорость движущегося тела задается формулой v(t) = 8t
– 3. Найдите закон движения тела, если известно, что в
момент времени t = 3с координата точки равнялась 28 м.
4. Вычислите определенный интеграл:
б)
х=3
0
4 1
5
а) ∫1 4 dx;
3
∫− 1(12х −
У
3) dx;
3
в) ∫0 (х2 + 2х) dx;
2
г) ∫−1(4х3 − х) dx;
д)∫1
dx;
2√х
4 8
е)∫2 2 dx;
х
ж) ∫
𝜋
6
𝜋
−
2
𝜋
Х
у=0
Рис. 1
У
cos х dx;
з) ∫𝜋 4sin 2х dx.
3
5. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 3х2 + 1, у = 0, х = – 1, х = 2.
Х
0
Рис. 2
6. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = – х2 + 4, у = 0, х = 3 (рис. 1).
84
7. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х2 –
4х, у = х (рис. 2).
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Дайте определение первообразной для функции у = f(x).
2. Запишите формулы нахождения первообразных для функций:
у = 0;
у = С;
у = х𝑟 (r ≠ – 1); у =
1
3.
4.
5.
6.
7.
1
1
;
x2
у=
1
;
√х
у = sin х; у = cos х; у = 2 ; у =
; у = ах ; у = ех .
sin х
cos2 х
Сформулируйте правила нахождения первообразных для функций:
у = f(x) + g(x);
у = kf(x);
y = f(kx + m).
Сформулируйте правила интегрирования:
∫(f(x) + g(x))dx;
∫ kf(x)dx;
∫ f(kx + m)dx.
Сформулируйте определение определенного интеграла.
Запишите формулу Ньютона – Лейбница.
Сформулируйте свойства определенного интеграла.
Тема 8.5. Приложения интеграла
Основные понятия и термины по теме: перемещение материальной точки, скорость, время, площадь плоской фигуры.
План изучения темы:
1. Физический смысл определенного интеграла.
2. Вычисление площадей плоских фигур.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Физический смысл определенного интеграла.
Перемещения материальной точки S(t), движущейся со скоростью v = v(t) за
промежуток времени [a; b] так же можно записать через определенный интеграл:
𝐛
∫а 𝐯(𝐭)𝒅𝐭 = S(b) − S(а),
где S(t) есть первообразная для v(t).
У
0
а
b
Х
2. Вычисление площадей плоских фигур.
Функция у = f(x) ≤ 0 на отрезке[a; b].
Площадь фигуры, ограниченной линиями у = f(x), где
f(x) ≤ 0 на [a; b], у = 0, х = а и х = b (рис. 3) вычисляется по
у = f(x)
Рис. 3.
85
формуле:
𝒃
S = |∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙|.
У
у = f(x)
Функция у = f(x) меняет знак на отрезке[a; b].
Рассмотрим случай, когда функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b], причем во внутренней точке с отрезка [a; b] функция меняет знак.
с
0 а
b
Х
Рис. 4
Площадь фигуры, ограниченной линиями у = f(x),
у = 0, х = а и х = b (рис. 4) вычисляется по формуле:
с
𝐛
S = ∫𝐚 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 + | ∫с 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 |
Площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b ,
графиками непрерывных функций у = f(x) и у = g(x)
таких, что на отрезке [a; b] f(x) ≥ g(x).
Теорема. Площадь фигуры, ограниченной прямыми
у = а, у = b, графиками функций у = f(x) и у = g(x), непрерывных на отрезке [a; b], и таких, что f(x) ≥ g(x) (рис. 5),
вычисляются по формуле:
S=
𝐛
∫𝐚 (𝐟(𝐱)
у = f(x)
У
0
а
b
Х
у = g(x)
Рис. 5
− 𝐠(𝐱))𝐝𝐱.
Практические занятия
- вычисление площадей плоских фигур;
- решение задач на применение интеграла в физике и геометрии.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Определенный интеграл».
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. В чем заключается физический смысл определенного интеграла?
2. Как вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у = f(x), где
f(x) ≤ 0 на [a; b], у = 0, х = а и х = b?
3. Как вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у = f(x), у = 0,
х = а и х = b в случае, когда функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b], причем во внутренней точке с отрезка [a; b] функция меняет знак?
4. Как вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми у = а и у = b,
графиками функций у = f(x) и у = g(x), непрерывных на отрезке [a; b], и таких,
что f(x) ≥ g(x)?
Раздел 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ.
Тема 9.1. Многогранники
86
Основные понятия и термины по теме: многогранник, выпуклый многогранник, вершины, ребра, грани, основание, высота, диагональ многогранника, сечение многогранника, площадь поверхности многогранника, призма, наклонная
призма, прямая призма, правильная призма, параллелепипед, куб, пирамида, правильная пирамида, усеченная пирамида.
План изучения темы:
1.
2.
3.
4.
Многогранники.
Призма.
Параллелепипед.
Пирамида.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Многогранники.
В1
C1
А1
D1
Определение 1. Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного
числа многоугольников (рис. 1).
С
Многоугольники, из которых состоит многоА
D
гранник, называются гранями. Стороны граней
Рис. 1
называются ребрами, а вершины граней называются
вершинами многогранника.
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он лежит
В6
В5
по одну сторону от каждой из его граней.
В1
В4
Площадь поверхности многогранника – это сумма
В2 В3
площадей всех его граней:
2. Призма.
Определение 2. Призмой называется многогранник,
составленный из двух равных многоугольников А1 … Аn и
В1 … Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n
параллелограммов (рис. 2).
Н
А6
А1
А5
А4
А2
А3
Многоугольники А1 … Аn и В1 … Вn называются
Рис. 2
основаниями призмы, а параллелограммы называются
боковыми гранями призмы. Отрезки А1В1, …, Аn Вn называются боковыми ребрами призмы.
У призмы боковые ребра параллельны и равны.
Перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
Определение 3. Призма называется прямой, если боковые ребра перпендикулярны основаниям, в других случаях – наклонной.
87
Определение 4. Призма называется правильной, если она прямая и ее основания – правильные многоугольники.
Определение 5. Фигура, образованная при пересечении тела плоскостью называется сечением тела.
Площадь поверхности призмы: S = Sбок + 2Sосн
Теорема 1. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению
периметра основания на высоту:
S = PH.
3. Параллелепипед
Определение 3. Параллелепипедом называется призма, у которой
основания – параллелограммы (рис. 3)..
Из определения параллелепипеда следует:
Рис. 3
 у параллелепипеда все шесть граней – параллелограммы;
 противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны;
 диагонали пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам;
 у прямого параллелепипеда боковые грани – прямоугольники, а два основания –
параллелограммы;
 у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней – прямоугольники;
 диагонали прямоугольного параллелепипеда равны;
 квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
4. Пирамида.
Р
Определение 4. Пирамидой называется многогранник, который состоит из многоугольника и треугольников (рис. 4).
Многоугольник называется основанием пирамиды,
а треугольники боковыми гранями.
Вершина, не лежащая в плоскости основания,
называется вершиной пирамиды.
Стороны треугольников, не лежащие в плоскости
основания, называются боковыми ребрами.
Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды,
называется высотой пирамиды.
В
А
С
d
Н
D
Е
М
Рис. 4
Площадью полной поверхностью пирамиды называется сумма площадей всех
ее граней:
S = Sосн + Sбок
88
Определение 5. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высоты соединяет вершину с центром основания.
Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.
Определение 6. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.
Теорема 2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:
𝟏
Sбок = Р ∙ d
𝟐
Р
Пирамида называется треугольной, четырехугольной
и т. д., если в основании – треугольник, четырехугольник и
т. д.
Треугольная пирамида называется тетраэдром. Если все грани тетраэдра – правильные треугольники, то тетраэдр называется правильным.
Определение 7. Если пирамиду пересечь плоскостью
параллельной основанию (рис. 5), то получится новый
многогранник, который называется усеченной пирамидой.
Н1
В1
А1
C1
D1
d
В
С
Н
А
D
Рис. 5
Многоугольники, расположенные в параллельных
плоскостях, называются соответственно нижним и верхним основаниями усеченной пирамиды.
Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами.
Р
Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды.
Теорема 3. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды
равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
S=
Р𝟏 + Р𝟐
𝟐
∙ d.
Теорема 4. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то
высота и ребра делятся на пропорциональные отрезки. В сечении получится многоугольник, подобный основанию:
РН𝟏
РН
=
РА𝟏
РА
=
А𝟏 В 𝟏
АВ
.
Практические занятия
- вычисление длин и площадей поверхностей многогранников.
Задания для самостоятельного выполнения
Изучите и законспектируйте тему «Правильные многогранники».
89
Выполните задания практикума по теме «Многогранники»:
1. Ребро куба равно 8 см. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали.
2. В правильной четырехугольной призме площадь основания равна 144 см2, а высота равна 14 см. Найдите диагональ призмы.
3. Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна 8 см, а диагональ боковой грани равна 7 см. Найдите диагональ и площадь поверхности призмы.
4. В прямой треугольной призме стороны основания равны 10, 17 и 21 см, а высота
призмы равна 18 см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и
меньшую высоту основания.
5. Основанием прямой призмы служит ромб, диагонали призмы равны 8 и 5 см, высота 2 см. Найдите сторону основания и площадь боковой поверхности призмы.
6. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания
равна 7 см. Найдите боковое ребро и боковую поверхность пирамиды.
7. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2 м, а ее высота 4 м.
Найдите боковое ребро и площадь полной поверхности пирамиды.
8. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 18 м, а высота 14 м.
Найдите сторону основания и площадь диагонального сечения.
9. Основание пирамиды – ромб, диагонали которого 12 и 16 м. Высота пирамиды
проходит через точку пересечения диагоналей и равна 6,4 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
10. Основанием прямой пирамиды служит параллелограмм, у которого стороны
равны 3 и 7 см, а одна из диагоналей 6 см. Высота пирамиды, проходящая через
точку пересечения диагоналей основания, равна 4 см. Найдите боковые ребра.
11. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 6 м, а высота 9 м, боковые ребра равны между собой, и каждое содержит 13 м. Найдите высоту пирамиды.
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос, проверка
конспекта.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Какое геометрическое тело называется многогранником?
Из чего состоит многогранник?
Что называется диагональю многогранника?
Какой многогранник называется выпуклым?
Какой многогранник называется призмой?
Из чего состоит призма?
Какими свойствами характеризуются боковые ребра призмы?
Что называется высотой призмы?
Какая призма называется прямой (наклонной)?
90
10. Какая призма называется правильной?
11. Что называется сечением многогранника?
12. Как найти площадь поверхности призмы?
13. Как найти площадь поверхности прямой призмы?
14. Какая призма называется параллелепипедом?
15. Какой параллелепипед называется прямоугольным?
16. Какими свойствами обладает параллелепипед?
17. Какими свойствами обладает прямоугольный параллелепипед?
18. Какой многогранник называется пирамидой?
19. Из чего состоит пирамида?
20. Что называется высотой пирамиды?
21. Какая пирамида называется правильной?
22. Какие свойства боковых граней правильной пирамиды?
23. Что называется апофемой правильной пирамиды?
24. Как найти площадь поверхности правильной пирамиды?
25. Что называется усеченной пирамидой?
26. Из чего состоит усеченная пирамида?
27. Какая усеченная пирамида называется правильной?
28. Как найти площадь поверхности правильной усеченной пирамиды?
29. Перечислите свойства усеченной пирамиды?
Тема 9.2. Тела вращения
Основные понятия и термины по теме: тела вращения, цилиндр, конус,
основание, высота, боковая поверхность, образующая, осевое сечение, развертка,
площадь поверхности.
План изучения темы:
1. Тела и поверхности вращения. Цилиндр. Площадь поверхности цилиндра.
2. Конус. Усеченный конус. Площадь поверхности конуса.
3. Сфера и шар. Уравнение сферы. Площадь сферы.
А1 r О
Краткое изложение теоретических вопросов:
1
1. Тела и поверхности вращения. Цилиндр. Площадь поверх-
h
ности цилтндра.
Определение 1. Цилиндром называется тело, состоящее
из двух равных кругов, лежащих в параллельных плоскостях, и
всех отрезков, соединяющих точки кругов и перпендикулярных
плоскостям кругов.
О
r
А
Рис. 1
Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки соединяющие точки
окружностей кругов называются образующими цилиндра.
Расстояние между основаниями называется высотой цилиндра.
91
Все образующие цилиндра параллельны и
равны.
Радиусом цилиндра называется радиус его
основания.
Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.
Определение 2. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны
плоскостям оснований.
r
Если секущая плоскость проходит через ось
цилиндра, то сечением является прямоугольник,
две стороны которого – образующие, а две другие
– диаметры оснований цилиндра (рис. 2). Такое
сечение называется осевым сечением.
Если секущая плоскость перпендикулярна
оси цилиндра, то сечением является круг, равный
основанию (рис. 3).
2πr
h
r
Рис.
Рис.2 4
Рис. 3
Поверхность цилиндра состоит из оснований и
боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих цилиндра.
За площадь цилиндра принимается площадь ее развертки (рис. 4):
Sосн = πr2;
Sбок = 2πr ∙ h;
Р
Sцил = 2πr + 2πr ∙ h = 2πr(r + h);
2
Sцил = 2πr(r + h).
2. Конус. Усеченный конус. Площадь поверхности конуса.
Определение 3. Конусом называется тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в
плоскости основания – вершины конуса, и всех отрезков,
соединяющих вершину с точками основания (рис.5).
Н
l
О
r
А
Рис. 5
Р
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками
окружности основания, называется образующими конуса.
Прямая, проходящая через вершину и центр основания
конуса, называется осью конуса.
А1
Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса к основанию, называется высотой конуса.
Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то
сечением является равнобедренный треугольник. Это сечение называется осевым сечением конуса.
В
А
r1 О 1
r
О
В1
В
Рис. 6
92
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечением является
круг.
Треугольники АР0 и А1Р01 подобны:
РО𝟏
РО
𝐫
= 𝐫𝟏.
Из этого следует, что радиус сечения равен:
r1 =
РО𝟏
РО
∙ r.
Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на образующую:
Sбок = πr ∙ Ɩ
Площадь полной поверхности конуса равна:
S = Sбок + Sосн = πr ∙ Ɩ + π𝐫 𝟐 ;
S = πr ∙ (Ɩ + r)
1
r1 О
•
Ɩ
О
r
•
Рис. 7
Определение 4. Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от него
меньший конус (рис. 7). Оставшаяся часть называется усеченным конусом.
Отрезок, соединяющий центры оснований усеченного конуса, называется высотой усеченного конуса.
Отрезок образующей конуса называется образующей усеченного конуса.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна половине произведения длин окружностей оснований на образующую:
А
Sбок = π(r + r1) ∙ Ɩ
3. Сфера и шар. Уравнение сферы. Площадь сферы.
Определение 5. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на
данном расстоянии от данной точки (рис. 8).
R
R
О
Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.
В
Отрезок, соединяющий две точки сферы, и проходящий
Рис.
через центр, называется диаметром сферы.
8
Сечением сферы плоскостью является окружность.
Если секущая плоскость проходит через центр сферы, то в сечении получается
окружность, радиусом R.
Определение 6. Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара.
Любая точка шара расположена на расстоянии, не превышающем радиус шара.
Сечением шара плоскостью является круг.
93
Если секущая плоскость проходит через центр шара, то в сечении получается
круг радиусом R.
Рассмотрим сферу радиуса R с центром О(х0; у0; z0) в прямоугольной системе
координат.
Расстояние от произвольной точки М(х; у; z) до точки О(х0; у0; z0) вычисляется
по формуле:
МО = √(х − х𝟎 )𝟐 + (у − у𝟎 )𝟐 + (𝒛 − 𝒛𝟎 )𝟐 .
Если точка лежит на данной сфере, то координаты точки М удовлетворяют
уравнению, которое является уравнением сферы:
(х − х𝟎 )𝟐 + (у − у𝟎 )𝟐 + (𝐳 − 𝐳𝟎 )𝟐 = 𝐑𝟐 .
Площадь сферы вычисляется по формуле:
S = 4π𝐑𝟐 .
Практические занятия
- вычисление длин и площадей поверхностей тел вращения.
Задания для самостоятельного выполнения
Изучите и законспектируйте тему «Цилиндрические и конические поверхности».
Выполните задания практикума по теме «Тела вращения»:
1. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью
параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого
сечения до оси.
2. В цилиндре с радиусом 5 см проведено параллельное оси сечение, отстоящее от
нее на расстоянии 3 см. Найдите высоту цилиндра, если площадь указанного сечения равна 64 см2.
3. В цилиндре с высотой 6 см проведено параллельное оси сечение, отстоящее от
нее на расстоянии 4 см. Найдите радиус цилиндра, если площадь указанного сечения равна 36 см2.
4. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько
жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала?
5. Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и 5,8 м в диаметре. Найдите
площадь полной поверхности подвала.
6. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую и площадь осевого сечения.
7. Образующая конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 30⁰.
Найдите высоту и площадь осевого сечения.
8. Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 и 1 см, образующая равна 5 см.
Найдите высоту конуса.
9. Образующая конуса равна 8 см и наклонена к плоскости основания под углом 60⁰.
Найдите площадь полной поверхности конуса.
94
10. Высота усеченного конуса равна 6 см, радиусы оснований 10 и 2 см. Найдите
площадь полной поверхности усеченного конуса.
11. Шар, радиус которого 10 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 8 дм от центра. Найдите площадь сечения и площадь полной поверхности шара.
12. Тело представляет собой шар радиуса 10 см, который цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия 12 см. Найдите площадь полной поверхности тела.
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос, проверка
конспекта.
Вопросы для самоконтроля по теме:
Что называется прямым цилиндром?
Из чего состоит цилиндр?
Что называется высотой цилиндра?
Сформулируйте свойства образующих цилиндра.
Что называется радиусом цилиндра?
Что называется осью цилиндра?
Что представляет собой осевое сечение цилиндра?
Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной
оси цилиндра?
9. Чему равна площадь поверхности цилиндра?
10.Какая фигура называется конусом?
11.Из чего состоит конус?
12.Что называется образующей конуса?
13.Что называется осью конуса?
14.Что называется высотой конуса?
15.Что представляет собой осевое сечение конуса?
16.Что представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси
конуса?
17.Чему равна площадь боковой и полной поверхности конуса?
18.Какая фигура называется усеченным конусом?
19. Что называется высотой усеченного конуса?
20. Чему равна площадь боковой поверхности усеченного конуса?
21.Что называется сферой?
22.Что называется центром, радиусом, диаметром сферы?
23.Что представляет собой сечение сферы?
24.Что называется шаром?
25.Что называется центром, радиусом, диаметром шара?
26.Что представляет собой сечение шара?
27.Какой формулой задается уравнение сферы?
28.По какой формуле находится площадь сферы?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Тема 9.3. Объемы тел
Основные понятия и термины по теме:
95
План изучения темы: объем, объем призмы, объем прямоугольного параллелепипеда, объем куба, объем цилиндра, объем пирамиды, объем конуса,
объем шара.
1. Объем призмы и цилиндра.
2. Объема пирамиды и конуса.
3. Объем шара.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Объем призмы и цилиндра.
Теорема 1. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:
V = Sосн ∙ Н.
Теорема 2. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:
V = π𝐑𝟐 ∙ Н.
2. Объем пирамиды и конуса.
Теорема 3. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:
𝟏
V = SН.
𝟑
Теорема 4. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания
на высоту:
𝟏
V = π𝐑𝟐 ∙ Н.
3. Объем шара.
𝟑
Теорема 5. Объем шара радиуса R равен:
𝟒
V = π 𝐑𝟑 .
𝟑
Многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на
поверхности шара.
Цилиндр называется вписанным в шар, если его основания являются сечениями шара.
Конус называется вписанным в шар, если его вершина лежит на поверхности
шара, а основание является сечением шара.
Практические занятия
- вычисление длин, площадей поверхностей и объемов тел.
Задания для самостоятельного выполнения
Изучите и законспектируйте тему «Объем куба и параллелепипеда».
Выполните задания практикума по теме «Объемы тел»:
1. Сторона основания правильной треугольной призмы равно 2 см, а боковое ребро
равно 5 см. Найдите объем призмы.
96
2. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани равна 2,5 см. Найдите объем призмы.
3. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4, 5 и 7 см, а боковое
ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.
4. В цилиндр вписан шар радиуса 3см. Найдите объем цилиндра.
5. Высота цилиндра равна диаметру его основания. Радиус основания равен 5 см.
Найдите объем цилиндра.
6. Радиус основания цилиндра равен 4 см, площадь осевого сечения 72 см2. Найдите
объем цилиндра.
7. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 9 и 12 см, все боковые ребра
равны 12,5 см. Найдите объем пирамиды.
8. Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной пирамиды, равна 8 см, а
ее высота 12 см. Найдите объем пирамиды.
9. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, со сторонами 6, 6 и 8 см.
Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.
10. Образующая конуса равна 4 см и составляет с плоскость основания угол 60⁰.
Найдите объем конуса.
11. Прямоугольный треугольник, катеты которого 6 и 8 см, вращается вокруг гипотенузы. Найдите объем тела вращения.
12. Тело представляет собой полый шар, внешний диаметр которого 18 см, а толщина стенок равна 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлено тело.
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос, проверка конспекта.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.
2.
3.
4.
5.
По какой формуле вычисляется объем призмы?
По какой формуле вычисляется объем цилиндра?
По какой формуле вычисляется объем пирамиды?
По какой формуле вычисляется объем конуса?
Чему равен объем шара?
Раздел 10. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Тема 10.1. Основные понятия комбинаторики
Основные понятия и термины по теме: перестановки, факториал, сочетания,
размещения, треугольник Паскаля, бином Ньютона, биномиальные коэффициенты.
План изучения темы:
1. Перестановки, сочетания и размещения. Треугольник Паскаля.
2. Формула бинома Ньютона.
97
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Треугольник Паскаля.
Определение 1. Установленный порядок во множестве называют перестановкой его элементов. Число перестановок из n элементов обозначим Р𝑛 .
Теорема 1. Для числа перестановок из n элементов справедливо равенство:
Р𝐧 = n!, где n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n.
Определение 2. Число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n
элементов называют числом сочетаний из n элементов по 2 и обозначают С𝟐𝐧 .
Теорема 2. Число сочетаний из n элементов по 2 вычисляется по формуле:
С𝟐𝐧 =
𝐧(𝐧−𝟏)
𝟐
.
Определение 3. Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n
данных называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначают А𝟐𝐧 .
Теорема 3. Числом размещений из n элементов по 2 вычисляется по формуле:
А𝟐𝐧 = n(n – 1).
Определение 4. Числом всех выборов k элементов из n данных без учета порядка называют числом сочетаний из n элементов по k и обозначают С𝒌𝐧 .
Определение 5 Число всех выборов k элементов из n данных с учетом их порядка называют числом размещений из n элементов по k и обозначают А𝒌𝐧 .
Теорема 4. Для любых натуральных чисел n и k, таких, что k < n, справедливы
соотношения:
А𝐤𝐧 = n(n – 1)( n – 2) … (n – k + 1),
𝐧!
А𝐤𝐧 = (𝐧
,
С𝐤𝐧 =
С𝐤𝐧 =
− 𝐤)!
А𝐤𝐧
𝐤!
𝐧!
,
.
𝐤! (𝐧 − 𝐤)!
Следствия. Справедливы соотношения:
С𝒌𝐧 = С𝒏−𝒌
𝐧 ,
С𝒌𝐧 + С𝒌+𝟏
= С𝒌+𝟏
𝐧
𝐧+𝟏 .
С𝒌𝐧
С помощью последней формулы можно последовательно вычислять значения
и записывать в виде треугольной таблицы, называемую треугольником Паскаля:
98
С𝟎𝟏 С𝟏𝟏
С𝟎𝟐 С𝟏𝟐 С𝟐𝟐
𝟑
С𝟎𝟑 С𝟏𝟑 С𝟐𝟑 С𝟑
С𝟎𝟒 С𝟏𝟒 С𝟐𝟒 С𝟑𝟒 С𝟒𝟒
𝟓
С𝟎𝟓 С𝟏𝟓 С𝟐𝟓 С𝟑𝟓 С𝟒𝟒
𝟓 С𝟓
………………………
… бинома Ньютона.
2. Формула
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑 𝟑 𝟏
𝟏 𝟒 𝟔 𝟒 𝟏
𝟏 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟓 𝟏
………………………
…
𝟏
Для любого натурального значения n верна следующая формула:
(𝒂 + 𝒃)𝒏 = С𝟎𝐧 𝒂𝒏 + С𝟏𝐧 𝒂𝒏−𝟏 b + С𝟐𝐧 𝒂𝒏−𝟐 𝒃𝒏 + … + С𝒌𝐧 𝒂𝒏−𝒌 𝒃𝒌 + …+ С𝒏𝐧 𝒃𝒏 .
Коэффициенты С𝑘n называются биномиальными коэффициентами.
Практические занятия
- решение простейших комбинаторных задач;
- разложение по формуле бинома Ньютона.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Решение комбинаторных и вероятностных
задач»:
1. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону предметы: пять видов брюк,
шесть камзолов, три шляпы, две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?
2. Сколькими способами можно 5 мужчин и пять женщин могут занять в театре в
одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они это могут сделать, если
мужчины будут сидеть на четных местах, а женщины на нечетных?
3. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами (26
букв). Сколькими способами это можно сделать?
4. Для ремонта здания прибыла бригада, состоящая из 12 человек. Трех из них надо
отправить на четвертый этаж, а четырех из оставшихся на пятый этаж. Сколькими
способами это можно сделать?
5. На учениях по стрельбе из винтовки относительная частота поражения цели у некоторого стрелка оказалось равной 0,8. Сколько попаданий в цель можно ожидать от
этого стрелка на соревнованиях, если каждый участник произведет по 20 выстрелов?
6. Студент записал в тетради произвольное двузначное число. Какова вероятность
того, что сумма цифр этого числа окажется равной 6?
7. В коробке лежит 8 красных и 4 синих карандашей. Из коробки наугад вынимают 5
карандашей. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся красными, а 2 – синими?
99
8. На полке стоит 12 книг, из которых 4 – это учебники. С полки наугад снимают 6
книг. Какова вероятность того, что из них окажутся учебниками?
9. Многократные испытания показали, что для некоторого стрелка вероятность выбить при стрельбе 10 очков равна 0,1, а вероятность выбить 9 очков равна 0,3. Чему
равна вероятность выбить не менее 9 очков?
10. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на одном кубике
выпадет одно очко, а на другом – более трех очков?
11. На одной полке стоит 12 книг, две из которых – сборники стихов, а на другой –
15 книг, три из которых – сборники стихов. С каждой полке наугад берут по одной
книге. Какова вероятность того, что обе книги окажутся сборниками стихов?
12. Вероятность остановки за смену одного станка, работающего в цехе, равна 0,15,
а другого – 0,16. Какова вероятность того, что оба станка за смену не остановятся?
13. В настольной игре игрок бросает сразу два кубика и делает столько ходов, какова сумма выпавших очков. Какова вероятность того, что игрок сделает менее 10 ходов?
14. В вазе 11 гвоздик, из которых 4 – красные. В темноте наугад вынимают три
гвоздики. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них будет красной?
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Что называется перестановкой элементов множеств? По какой формуле вычисляется число перестановок?
2. Что называется размещением? По какой формуле вычисляется число размещений?
3. Что называется сочетанием? По каким формулам вычисляется число сочетаний?
4. Перечислите свойства сочетаний.
5. Что называется треугольником Паскаля? Составьте строку треугольника Паскаля для n = 6.
6. Напишите формулу бинома Ньютона.
Тема 10.2. Основные понятия теории вероятности
Основные понятия и термины по теме: событие, исход события, вероятность события, достоверное событие, невозможное событие, противоположные события, несовместные события, независимые события, сумма событий, произведение
событий, условная вероятность, частота события.
План изучения темы:
1. Вероятность случайного события.
2. Сложение и умножение вероятностей.
3. Статистическая частота наступления события.
Краткое изложение теоретических вопросов:
100
1. Вероятность случайного события.
Определение 1. Возможный результат испытания называется событием.
Определение 2. Вероятностью случайного события называется отношение
числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов.
А – случайное событие;
N – число всех возможных исходов данного испытания;
N(А) – количество тех исходов, в которых наступает событие А;
Р(А) – вероятность случайного события;
Формула нахождения вероятности случайного события:
𝐍(А)
Р(А) =
𝐍
.
Определение 3.Событие А, которое происходит всегда, сколько бы раз ни повторялось испытание, называется достоверным событием:
Р(А) = 1.
Определение 4.Событие А, которое не произойдет никогда, сколько бы раз ни
повторялось испытание, называется невозможным событием:
Р(А) =0.
Определение 5. Два события называются противоположными, если наступление одного из них означает ненаступление другого события.
̅ равна едиТеорема 1. Сумма вероятностей противоположных событий А и А
нице:
̅ ) = 1.
Р(А) + Р(А
Определение 6. Суммой событий А и В называется событие, состоящее в
наступлении события А или события В, или обоих вместе.
Определение 7. Произведением событий А и В называется событие, состоящее в совместном наступлении и события А, и события В.
Определение 8. Вероятность наступления одного события А при условии
наступления другого события В называют условной вероятностью и обозначают
Р(А|В). Если события А и В наступили вместе K раз, то
Р(А|В) =
𝐊
; Р(B|A) =
𝐍(𝐁)
𝐊
𝐍(𝐀)
.
Теорема 2. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности произведения одного из событий на условную вероятность другого:
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В|А) = Р(В) ∙ Р(А|В).
Теорема 3. Вероятность суммы двух событий равна разности суммы вероятностей этих событий и вероятности произведения этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
101
Определение 9. События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.
Теорема 4. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Определение 10. Два события называются независимыми, если наступление
одного из них не зависит от наступления другого.
Теорема 5. Вероятность произведения двух несовместных событий равна произведению вероятностей этих событий:
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В).
Теорема 6 (теорема Бернулли). Пусть Р𝑛 (k) – вероятность наступления ровно
k успехов в n независимых повторениях одного и того же события, тогда
Р𝒏 (k) = С𝐤𝐧 ∙ р𝐤 ∙ 𝒒𝒏−𝒌 ,
где р – вероятность успеха, а q = 1 – р – вероятность неудачи в отдельном испытании.
3. Статистическая частота наступления события.
Определение 11. Частотой события Р*(А) называется отношение числа исходов, в которых появилось это событие, к общему числу всех исходов:
𝐤
Р*(А) = ,
𝐧
где k – число исходов, в которых появилось событие, n – общее число всех исходов.
Частоту события называют статистической вероятностью события.
Теорема 7. При большом числе независимых повторений одного и того же испытания частоту появления случайного события А со все большей точностью приближенно равна вероятности события А:
Р*(А) ≈ Р(А).
Практические занятия
- вычисление вероятности событий на основе подсчета числа исходов;
- анализирование реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;
- анализирование информации статистического характера.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Решение комбинаторных и вероятностных
задач».
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Что называют событием?
102
Что называют вероятностью случайного события?
Напишите формулу нахождения вероятности случайного события.
Какие события называются достоверными? Чему равно достоверное событие?
Какие события называются невозможными? Чему равно невозможное событие?
6. Какие события называются противоположными?
̅?
7. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий А и А
8. Что называется суммой событий А и В?
9. Что называется произведением событий А и В?
10.Что называется условной вероятностью?
11.Чему равна вероятность произведения двух событий?
12.Чему равна вероятность суммы двух событий?
13.Какие события называются несовместными?
14.Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?
15.Сформулируйте теорему Бернулли.
16.Что называется частотой события?
2.
3.
4.
5.
Раздел 11. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Тема 11.1. Решение уравнений и неравенств
Основные понятия и термины по теме: уравнение, неравенство, равносильность, тождество, тождественное преобразование, область допустимых значений
(ОДЗ) уравнения (неравенства), решение уравнения (неравенства), совокупность,
рациональные уравнения (неравенства), степенные уравнения (неравенства), показательные уравнения (неравенства), логарифмические уравнения (неравенства), иррациональные уравнения (неравенства), тригонометрические уравнения (неравенства).
План изучения темы:
1. Решение рациональных, иррациональных, степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений.
2. Основные методы решения уравнений, решение уравнений с двумя переменными.
3. Решение неравенств с одной переменной, с двумя переменными.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Решение рациональных, иррациональных, степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений.
№
Простейшие уравнения
Общий вид
ОДЗ
Решение уравнений
𝑏
1. Линейное уравнение
aх + b = 0
x∈R
x = −𝑎
2. Квадратное уравнение
ах2 + bх + с = 0
x∈R
D > 0, 𝑥1,2 =
− 𝑏 ± √𝐷
2𝑎
,
103
𝑏
D = 0, x = − 2𝑎,
D < 0, нет корней
х = 𝑎n , а ≥ 0
x ≥ 0,
n - четное
x ∈ R,
х = 𝑎n , a ∈ R
n – нечетное
𝑛
n – четное, x = ± √𝑎, а ≥ 0,
x∈R
𝑛
n – нечетное, x = √𝑎, а ∈ R
3. Иррациональное уравнение
𝑛
4. Степенное уравнение
х𝑛 = a
5. Показательное уравнение
𝑎𝑥 = b
x∈R
x = log 𝑎 b, a > 0, a ≠ 1, b > 0
6. Логарифмическое уравнение
log 𝑎 𝑥 = b
x>0
х = 𝑎b , a > 0, a ≠ 1
7. Тригонометрические уравнения сos x = a
x∈R
x = ± arccos a + 2πk, |a| ≤ 1
sin x = a
x∈R
x = (−1)n arcsin a + πk, |a| ≤ 1
tg x = a
x∈R
x = arctg a + πk, a ∈ R
сtg x = a
x∈R
x = arcctg a + πk, a ∈ R
√𝑥 = a
2. Основные методы решения уравнений. решение уравнений с двумя переменными.
f(x) = g(x),
Метод 1. Замена уравнения u(f(x)) = u(g(x)), системой: {
, где u(x) –
ОДЗ.
монотонная функция.
 f n (x) = g n (x), (n – нечетное) ⟺ f(x) = g(x);
 n√f(x) = n√g(x) , (n – нечетное) ⟺ f(x) = g(x);
f(x) = g(x),
;
f(x) ≥ 0.
 n√f(x) = n√g(x) , (n –четное) ⟺ {
 аf(x) = аg(x) , (а > 0, а ≠ 1) ⟺ f(x) = g(x);
f(x) = g(x),
 log а f(x) = log а g(x), (а > 0, а ≠ 1) ⟺ {
;
f(x) > 0.
Справедливы следующие соотношения:
f(x) = g(x),
 f n (x) = g n (x), (n – четное) ⟺ [
f(x) = − g(x).
f(x) = g(x),
 |f(х)| = |g(х)|, ( или |f(х)| = g(х), где g(х) ≥ 0) ⟺ [
f(x) = − g(x).
f(x) = 0,
[ ( )
Метод 2. Разложение на множители: f(x) ∙ g(x) … = 0 ⟺ { g x = 0,
⋮
ОДЗ.
Метод 3. Введение новой переменной: в уравнении f(v(x)) = g(v(x)) можно
f(t) = g(t),
ввести подстановку t = v(x) и перейти к системе {
.
ОДЗ.
104
Метод 4. Графический метод. Решением уравнения f(x) = g(x) являются абсциссы точек пересечения графиков функций у = f(x) и у = g(x).
Решением уравнения с двумя переменными р(х; у) = 0 называют всякую пару
чисел(х; у), которая обращает уравнение в верное равенство. При решении уравнения с двумя переменными применяется теория делимости целых чисел.
3. Решение неравенств с одной переменной.
При решении неравенств применяются такие же общие методы, как и при решении уравнений и были рассмотрены ранее.
Напомним метод интервалов и соотношения, применяемые для решения и доказательстве неравенств.
Метод интервалов: (х – х1 ) (х – х2 ) … (х – х𝑛 ) >
У
+
−
●
X
● + ● − ● +
х𝒊
р(х; у) > 0
х𝒋
0,
Х
Неравенства, содержащие неизвестное под
знаком модуля:
f(x) < – a,
|f(x)| > a ⟺ [
f(x) > a.
;
Рис. 1
|f(x)| < a ⟺ – а < f(x) < а.
Полезные неравенства:
Для а ≥ 0 и b ≥ 0 справедливы соотношения:
a≤
𝑎2 +1
𝑎+𝑏
2
2
;
≥ √𝑎𝑏;
𝑎+𝑏
2
≤√
𝑎2 + 𝑏2
2
; a+
1
𝑎
≥ 2 (a > 0); a +
1
𝑎
≤ – 2 (a < 0).
Решением неравенства с двумя переменными р(х; у) > 0 (р(х; у) < 0) называют всякую пару чисел (х; у), которая обращает неравенство в верное числовое неравенство.
Графическая интерпретация: решить неравенство с двумя переменными – значит найти множество всех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному неравенству (рис. 1).
Практические занятия
- решение рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и
тригонометрических уравнений и неравенств с одним неизвестным;
- решение уравнений и неравенств с двумя неизвестными.
Задания для самостоятельного выполнения
105
Выполните задания практикума по теме «Уравнения и неравенства»:
1. Решите уравнения:
1
а) (√2х + 5 + 1)3 = (х + 2)3 ;
в) 73х+2 = ( ) х+4 ;
б) (4х + 7)6 = (х − 1)6 ;
г) log 0,4 (х2 + 2х − 3) = log 0,4 (3х − 1).
49
2. Решите уравнения:
а) (х2 + 5х) √2х − 3 = 0;
в) 6 sin х – х sin х = х – 3;
б) 2 ∙ 3х – 36х + 4х ∙ 3х – 18 = 0;
г) sin2 х + √3 cos х = 0.
3. Решите уравнения:
а) х6 + 3 х3 – 4 = 0;
в) log 23 х – 2 log 𝑥 – 3 = 0;
б) 4х – 6 ∙ 2х + 8 = 0;
г) sin2 x – 5sin х + 4 = 0;
4. Решите неравенства:
а) х3 – 25х ≤ 0;
б)
х2 +2х−3
х+5
1
2
в) ( )х ≥ (
5
≥ 0;
1
125
)х ;
г) 4х – 10 ∙ 2х + 16 ≤ 0;
д) √х2 − 3х ˃ x – 2;
е) log 5 ( 6 + x) ≤ 1;
ж) log 1 (4𝑥 − 6) ˂ log 1 (4 − 𝑥);
4
4
2
з) г) log 4 (x + 1) + 2 log 4 (x + 1) ≥ 3;
5. Докажите неравенства:
а) а +
в)
𝑎
𝑏
+
4
𝑎
𝑏
𝑎
≥ 4 при а ˃ 0;
б)
= ≥ 2 при а ˃ 0, b ˃ 0;
г)
2𝑎
≤ 1;
1+ 𝑎2
𝑎 𝑎+с
𝑏
˂
𝑏+с
при а ˃ 0, b ˃ 0, с ˃ 0.
6. Решите неравенство:
а) 3х + 2у ≥ 5;
б) х – 3у < 0.
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос, проверка конспекта.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Что называется уравнением с одним неизвестным (с двумя неизвестными), решением уравнения, областью допустимых значений уравнения?
2. Какие уравнения называются равносильными? Сформулируйте тождественные преобразования уравнений и неравенств?
106
3. Какие уравнения называются рациональными, иррациональными, степенными, показательными, логарифмическими и тригонометрическими уравнениями?
4. Сформулируйте основные методы решения уравнений.
5. Что называется неравенством с одним неизвестным (с двумя неизвестными), решением неравенства?
6. Сформулируйте метод интервалов для решения неравенств.
7. Как решаются простейшие неравенства, содержащие неизвестное под знаком
модуля?
8. Сформулируйте полезные соотношения, применяемые для доказательства неравенств.
Тема 11.2. Решение систем уравнений и неравенств
Основные понятия и термины по теме: система уравнений с двумя неизвестными, решение системы уравнений с двумя неизвестными, метод подстановки,
метод алгебраического сложения, метод введения новой переменной, система неравенств с двумя переменными.
План изучения темы:
1. Основные методы решения систем уравнений с двумя неизвестными.
2. Решение систем неравенств с двумя переменными.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Основные методы решения систем уравнений с двумя неизвестными: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных.
Метод подстановки:
р(х; у) = 0,
x = u(у),
р(х; у) = 0,
у = v(x),
⟺{
, или {
⟺{
{
q(u(y); y) = 0.
q(x; v(x)) = 0.
q(x; y) = 0.
q(x; y) = 0.
Метод алгебраического сложения:
р(х; у) = 0,
р(х; у) = 0,
⟺{
, где m, n – числа.
{
𝑚q(x; y) + nр(х; у) = 0.
q(x; y) = 0.
Метод подстановки:
р(𝑢(х); v(у)) = 0,
р(t; z) = 0,
⟺{
, где t = u(x), z = v(y).
{
q(u(x); v(y)) = 0.
q(t; z) = 0.
2. Решение систем неравенств с двумя переменными.
107
р(х; у) > 0,
называq(x; y) < 0.
ют всякую пару чисел(х; у), которая обращает уравнение в верное равенство.
Решением системы неравенств с двумя переменными {
Графическая интерпретация: решить систему неравенств с двумя переменными, значит найти множество всех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют каждому неравенству системы (рис. 2).
Практические занятия
-
решение систем уравнений с двумя неизвестными;
решение систем неравенств с одной переменной;
решение систем неравенств с двумя переменными;
решение задач.
Задания для самостоятельного выполнения
Выполните задания практикума по теме «Системы уравнений и неравенств»:
1. Решите систему уравнений:
3х + 5у = 4,
а) {
7х − 3у = 24.
б) {
2х − 3у = 4,
4х − 6у = 5.
У
2. Решите систему уравнений:
х2 + у2 = 13,
а) {
х − у = 1.
б) {
х − у = 1,
х3 − у3 = 7.
{
р(х; у) > 𝟎,
𝐪(𝐱; 𝐲) < 𝟎.
3. Решите системы уравнений:
х
у
+ =
13
,
6
а) {у х
х + у = 5.
б) {
Х
х2 + у2 = 29,
ху = 10.
Рис. 2
4. Решите систему уравнений:
√х − √у = 4,
а) {
2√х + 3√у = 18.
р(х; у) = 0
√х + √у = 8,
б) {
√х ∙ √у = 15.
5. Решите систему уравнений:
2х − 2у = 16,
а) {
х + у = 9.
б) {
2х + 3у = 17,
2х+2 − 3у+1 = 5.
6. Решите систему уравнений:
lg x − lg y = 1,
а) { 2
lg x − lg 2 у = 5.
log 2 (х2 + у2 ) = 5,
б) {
log 2 x − log 2 y = 4.
7. Решите систему неравенств:
6х + 2 ≤ 4х + 24,
а) {
2х − 1 > х + 7.
2
б) { х − х ≥ 6,
3х + 14 > 2.
108
8. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых
удовлетворяют системе неравенств:
х + у ≥ 3,
а) {
2х − 3у ≤ 1.
б) {
− х2 + у ≥ −1,
2х + у ≤ 3.
Форма контроля самостоятельной работы:
выполнение и сдача практикума, проверка решения задач, устный опрос.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.
2.
3.
4.
5.
Что называется системой уравнений с двумя переменными?
Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
Сформулируйте методы решения систем уравнений?
Что называется системой неравенств с двумя переменными?
Что называется решением системы неравенств с двумя переменными?
КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Текущий контроль
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Перечень точек
рубежного контроля
Делимость целых чисел
Многочлены
Геометрия на плоскости
Функции
Степенная функция
Показательная и логарифмическая
функции
Прямые и плоскости в пространстве
Векторы и координаты
Тригонометрия
Комплексные числа
Производная
Определенный интеграл
Многогранники
Охват тем
(номера тем, подлежащих
контролю)
Раздел 1. Тема 1.1
Раздел 1. Тема 1.2
Раздел 2. Темы 2.1; 2.2
Раздел 3. Темы 3.1; 3.2
Раздел 3. Тема 3.3
Раздел 3. Темы 3.4; 3.5; 3.6
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Раздел 4. Темы 4.1; 4.2
Раздел 5. Темы 5.1; 5.2
Раздел 6. Темы 6.1; 6.2; 6.3
Раздел 7. Темы 7.1; 7.2
Раздел 8. Темы 8.1; 8.2; 8.3
Раздел 8. Темы 8.4; 8.5
Раздел 9. Тема 9.1
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Форма контроля
109
14 Тела вращения
15 Объемы тел
16 Элементы комбинаторики и теории
вероятности
17 Уравнения и неравенства
Раздел 9. Тема 9.2
Раздел 9. Тема 9.3
Раздел 10. Темы 10.1; 10.2
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Раздел 11. Темы 11.1; 11.2
Контрольная работа
ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Задания для подготовки к экзамену:
Вариант 1.
1 2
1
4
2
А1. Вычислите: – 8 ∙ (6 )3 + ( )− 1 .
1) – 124,5
2) – 125,5
А2. Упростите выражение:
3) – 127
√54 7√х9
4) – 123
.
√24х5 7√х2
1)
3
2)
7
2 √х
7
3
3)
2х2
3 √х
4)
2
3
14
2 √х3
А3. Найдите значение выражения log 3 (9𝑏), если log 3 (27𝑏) = 27.
1) 27
2) 26
3) 3
4) 4
х
1
2
√2
А4. Найдите значение cos х, если cos = –
1) 1
.
3) – 1
2) 0
4) –
√2
2
А5. На одном из рисунков изображен график функции, убывающей на отрезке [0; 2].
Укажите этот рисунок
У
(1)
У
(2)
𝟏
у = ( )х
У
(3)
у = 𝟐х
𝟐
1
1
Х
1
0
1
(4) У
у = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 х
1
у = 𝐥𝐨𝐠 𝟎,𝟓 х
Х
1
0
Х
0
1
0
Х
1
А6. Найдите производную функции у = √2х − 1 – 3sin х.
1)
2
√2х−1
– 3cos х 2)
1
√2х−1
– 3cos х 3)
1
√2х−1
+ 3cos х 4)
1
2√2х−1
+ 3cos х
А7. Укажите наименьшее целое число, не входящее во множество значений функции у = – 2х + 1.
110
1) 1
2) 2
А8. Решите неравенство:
3
1
4
3
(1−х)(1−3х)
4х+3
1) (– ∞; – ] U [ ; 1]
3 1
3
1
4
3
3 1
4) (– ; ) U (1; + ∞)
4 3
4 3
х
А9. Решите уравнение: sin = –
2
1)
< 0.
2) (– ∞; – ) U ( ; 1)
3) [– ; ] U [1; + ∞)
𝜋
(– 1)𝑛+1 ∙
3
2𝜋
𝑛
4) – 2
3) 0
+ 2πn, n ∈ Z
3) (– 1) ∙ + 4πn, n ∈ Z
3
2πn, n ∈ Z
√3
.
2
𝜋
2) (– 1)𝑛+1 ∙ + πn, n ∈ Z
4)
3
2𝜋
(– 1)𝑛+1 ∙
3
+
У
А10. Найдите область определения функции у =
4
√
1+ х2
у = f(x)
.
1
2− log4 х
1) (0; 16)
2) (– ∞; 16]
4) [2; + ∞)
0
3) [2; 4]
Х
1
В1. Решите уравнение: 81∙ 3х+2 = 81х .
В2. Решите уравнение: √4 − 6х − х2 – х = 4.
Рис. 1
В3. При торможении маховик за t секунд поворачивается на угол ⍺ = 8t – t 2 радиан.
Через сколько секунд после начала движения угловая скорость вращения угловая
скорость вращения маховика будет равна 4 м/с?
Вариант 2.
3
А1. Вычислите: √375 ∙ 9.
1) 225
2) 75
3) 15
4) 45
3) 64
4) 19
4
А2. Вычислите: 100 – 273 .
1) 88
2) 73
А3. Найдите значение выражения: 5 + 5log5 15 .
1) 20
2) 5 + log 5 15
3) 625
4) 130
А4. На рисунке изображен график функции у = f(x), заданной на промежутке [– 6;
6]. Какими из перечисленных свойств эта функция не обладает (рис. 1)?
1) Наибольшее значение функции равно 3.
2) На множестве [– 6; – 4) U (4; 6] функция принимает отрицательные значения.
3) Функция четная.
111
4) х = 0 – точка минимума функции.
А5. Найдите область определения функции
у = log 2 (5х − х2 ).
2) (– ∞; 0) U (5; + ∞)
1) (0; 5)
3) [0; 5]
4) (– ∞; 0] U [5; + ∞)
А6. Укажите наименьшее значение функции у = 3 – sin 7х.
1) – 1
2) 2
3) 3
4) 4
А7. На рисунке изображен график функции у = f(x), заданной на промежутке [– 6;
5]. Укажите множество всех значений х, для которых выполняется неравенство f(x)
≥ 2 (рис. 2).
1) [– 1; 3]
2) [– 6; – 4] U [– 2; 4]
3) [– 6; 4]
4) [– 4; – 2] U [4; 5]
А8. Решите уравнение ctg 4х = √3.
1)
𝜋
+
24
𝜋𝑛
4
,n∈Z
2)
𝜋
24
+ πn, n ∈ Z
3)
𝜋
12
+
𝜋𝑛
4
4) нет решений
,n∈Z
1
1
А9. Решите неравенство: ( )4х−5 ≤ .
3
1) [– 0,25; + ∞)
81
2) [2,25; + ∞)
3) (– ∞; 2,25]
4) (– ∞; – 2,25]
1
А10. Укажите абсциссы точек графика функции у = х3 – 7х + 5, где угловой коэф4
фициент касательной к графику функции равен 2.
1
1) – 6
3) – 3 и 3
2) 2
3
4) – 3√3 и 3√3
у = f(x)
В1. Найдите значение выражения: tg(
tg(𝜋 + х) + √3 tg(𝜋 − х), если х =
У
2𝜋
3
3𝜋
2
+ х) ∙
.
1
Х
1
0
В2. Решите уравнение: х – √2х2 − 15х + 19 = 5.
В3. Решите уравнение: log 0,1 (5х − 2) – log 0,1 4 =
log 0,1 5.
Рис. 2
Вариант 3.
4
А1. Вычислите: √162 ∙ 8
112
1) 80
2) 36
3) 12
У
4) 6
у = f(x)
3
2
А2. Вычислите: 16 – 24.
1) 40
2) 8
1
3) 0
4) – 12
Х
1
0
А3. Найдите значение выражения: 0,5 ∙ 10lg 30 .
1) 1,5
2) 5
3) 6
4) 15
Рис. 2
А4. На рисунке изображен график функции у = f(x), заданной на промежутке [– 5;
7]. Какими из перечисленных свойств эта функция не обладает (рис. 1)?
1) функция не является ни четной, ни нечетной
2) функция убывает на промежутке [– 5; 7]
3) наименьшее значение функции равно – 3
4) х = – 2 – точка минимума функции
А5. Найдите область определения функции:
у = log 0,2 (3х − х2 )
1) (– ∞; 0] U [3; + ∞) 2) (– ∞; 0) U (3; + ∞) 3) [0; 3]
4) (0; 3)
А6. Укажите наименьшее значение функции у = –
cos 4х – 2
1) – 1
2) 2
У
3) 3
у = f(x)
4) – 3
А7. На рисунке изображен график функции у = f(x),
заданной на промежутке [– 6; 5]. Укажите множество всех значений х, для которых выполняется неравенство у ≥ – 1 (рис. 2).
1
0
Х
1
1) [– 1; 5]
Рис. 1
2) [– 4; – 1]
3) [– 6; – 4] U [– 1; 4]
4) [– 6; – 4] U [4; 5]
А8. Решите уравнение cos 2х =
1) ±
𝜋
24
+ πn, n ∈ Z
√3
.
2
2) ±
𝜋
12
+ πn, n ∈ Z
113
3) (– 1)𝑛 ∙
𝜋
12
4) нет решений
+ 2πn, n ∈ Z
1
А9. Решите неравенство ( )5х−4 > 0,125.
2
1) (– 0,2; + ∞)
2) (1,4; + ∞)
3) (– ∞; 1,4)
4) (– ∞; – 0,2)
А10. Укажите абсциссы точек графика функции у = х3 + 3х2 – 11, где угловой коэффициент касательной к графику функции равен 0.
1) – 2 и 0
2) – 2
3) – 6 и 0
В1. Найдите значение выражения (sin(
3𝜋
− х) −
2
4) 0
sin(𝜋 + х))2 , если х =
5𝜋
12
.
В2. Решите уравнение: 2 – √2х2 − 6х + 1 = х.
В3. Решите уравнение: log 2,1 (2х − 7) – log 2,1 6 = log 2,1 4.
Вариант 4.
1
А1. Найдите значение выражения 95у ∙ 9− 2у при у = .
6
1) 81
2) 2
3) 3
4) 9
4
А2. Упростите выражение:
√405 ∙ √25
4
√80
4
1)
15 √5
4
.
4
2) 7,5
3)
15 √5
2
4) 15
А3. Найдите значение выражения log 3 81𝑎, если а = – 5,5.
1) 81
2) 2
3) 3
4) 9
А4. На одном из рисунков изображен график четной функции. Укажите этот рисунок.
114
У
(1)
У
(2)
Х
0
Х
0
У
(3)
У
(4)
Х
0
0
Х
А5. Найдите производную функции у = (5 + х) ln x при х > 0.
1) ln x –
5+х
х
2) ln x +
5+х
х
3) –
5+х
4)
х
5+х
х
А6. Укажите множество значений функции у = 3 – log 5 х
1) (0; + ∞)
2) (3; + ∞)
3) (– ∞; 3)
4) (– ∞; + ∞)
А7. На рисунке изображены графики функций у = f(x) и y = g(x), заданных на промежутке [– 6; 5]. Укажите множество всех значений х, для которых выполняется неравенство f(x) ≤ g(x) (рис. 1).
У
1) [– 6; – 1]U[2; 5]
2) [– 6; – 1]U[2; 5]
3) [– 1; 2]
1
4) [0; 4]
0 1
А8. Найдите область определения функции у =
17
6
Х
.
2− √х
1) (– ∞; 64)U(64; + ∞)
2) [0; 64)U(64; + ∞)
3) [0; 2)U(2; + ∞)
4) [0; + ∞)
Рис. 1
А9. Решите неравенство log 1(6х − 30) > log 1 5х.
2
2
115
1) (– ∞; 30)
2) (30; + ∞)
А10. Решите уравнение 2sin
1)
(−1)𝑛
2
3) (5; 30)
𝜋х
+ 6n, n ∈ Z
3
2)
3) (−1)𝑛 + 6n, n ∈ Z
4) (0; 30)
+ 1 = 0.
(−1)𝑛
2
+ 3n, n ∈ Z
4) (−1)𝑛+1 + 3n, n ∈ Z
В1. Решите уравнение 6 ∙ 3log3 х = х + 14.
𝜋
В2. Найдите значение выражения 3sin( − х) + cos(𝜋 + х), если х = – 0,6
2
В3. Решите уравнение х2 ∙ √х − 2 – 16√х − 2 = 0.
Ответы
к тренировочным тестам
вариант
1
вариант
2
вариант
3
вариант
4
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
А9
А10
В1
В2
В3
4
2
2
2
1
3
1
2
4
1
2
–1
2
3
4
1
3
1
2
4
1
2
3
2
6
4,4
4
1
4
2
4
4
3
2
3
1
0,5
–1
15,5
3
2
4
3
3
4
1
2
3
2
2,8
– 1,2
6
Примерный вариант экзаменационной работы.
116
1. Вычислите:
+
.
2. Упростите выражение:
.
3. Решите уравнение:
= х + 6.
4. Решите неравенство:
˃
5. Решите уравнение:
+
6. Решите уравнение:
.
= 1.
−
= 0.
7. Найдите промежутки убывания функции у =
−2
− 5х.
8. Решите систему уравнений:
9. Фермерскому хозяйству необходимо удобрить поле, имеющее форму криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 1. Вдоль границы ВС протекает река,
причем граница ВС задается уравнением:
у=
у
− 6х.
Вдоль другой границы АD проходит прямолинейный
участок дороги длиной 2 км. Сколько килограммов
удобрений потребуется, если для хорошего урожая
на 1
нужно внести 1000 кг удобрений?
В
С
10. Основанием прямой призмы служит треугольник
D Х
со сторонами 10, 10, и 12. Через большую сторону 0А
Рис. 1
нижнего основания и середину противоположного
бокового ребра проведена плоскость под углом 60º к плоскости основания. Найдите
объем призмы.
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Основные источники
117
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11. Москва.
«Мнемозина» . 2010.
2. Погорелов А. В. Геометрия 10-11. Москва. «Просвещение». 2010.
3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. Москва. «Высшая школа» . 2009.
4. Дадаян А.А. Математика. Москва. ФОРУМ-ИНФРА. 2008.
Дополнительные источники
1. Соловейчик И.Л. Лисичкин В.Т. Москва. «ОНИКС 21век». «Мир и Образование». 2009.
2. Мерзляк А.Г. Полонский В.Б. Якир М.С. Алгебраический тренажер. Москва.
«ИЛЕКСА». 2010.
Интернет-ресурсы
http: //window. edu. ru/ – «Единое окно доступа к образовательным ресурсам»;
http: //www. school. edu. ru/ – Российский общеобразовательный портал;
http: //ndce. edu. ru/ – каталог учебников, оборудования, электронных ресурсов для
общего образования;
http: // school – collection. edu. ru/ – единая коллекция цифровых образовательных
ресурсов;
http: //fcior. edu. ru/ – «Федеральный центр информационно – образовательных ресурсов».
Андрюхина Марина Ильинична
118
Преподаватель математики
ГБПОУ КК Краснодарский гуманитарно-технологический колледж
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ОДП 02.01 МАТЕМАТИКА
общеобразовательный цикл
основной профессиональной образовательной программы
по специальностям:
19.02.10. «Технология продукции общественного питания»
43.02.11. «Гостиничный сервис»
для студентов очной формы обучения
119