1. Доказать: не существует многогранника имеющего 7 ребер.

1. Доказать: не существует многогранника имеющего 7 ребер.
Решение. Если в многограннике хотя бы одна грань – четырёхугольник,
то в нём уже не меньше 8 рёбер:
Поэтому будем искать многогранник с треугольными гранями, чтобы у
него было 7 рёбер. Пусть число граней х. Поскольку любое ребро
соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются
соотношения: хГ=2Р=уВ, где Г - грань, Р - ребро, В – вершина,
получаем, что ребер будет 3х/2, 7=3х/2 или х=14/3. Получилось
дробное число граней, что показывает невозможность многогранника с
семью ребрами.
2. Дано: треугольник ABC, стороны a, b, c, угол A=60⁰
Доказать:
3
1
1
=
+
𝑎+𝑏+𝑐 𝑎+𝑏 𝑎+𝑐
Решение.
Преобразуем выражение:
3
1
1
=
+
𝑎+𝑏+𝑐 𝑎+𝑏 𝑎+𝑐
3
𝑎+𝑏+𝑎+𝑐
=
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐)
3
2𝑎 + 𝑏 + 𝑐
=
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐)
3(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(2𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
3(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(2𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
3𝑎2 + 3𝑎𝑏 + 3𝑎𝑐 + 3𝑏𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 + 𝑎(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
𝑎2 + 𝑏𝑐 = 𝑏² + 𝑐²
Итак, доказываемое равенство равносильно следующему:
a2=b2+c2-bc .
Это же соотношение получается, если применим теорему косинусов
для угла в 60o :
cos A= cos 60o=1/2, a2=b2+c2-2bc cos A .
3. Дано: шестизначное число, первая цифра – 1, если первую цифру
переставить в конец числа, оставив остальные без изменения, то число
окажется втрое больше исходного числа
Найти: исходное число
Решение. Чтобы получить в числе последнюю цифру единицу, нужно,
чтобы в произведении 3 с какой-то цифрой произведение оканчивалось
на 1. Этому условию подходит только цифра 7 (3*7=21). Значит шестая
цифра исходного числа -7. Мы теперь знаем, что новое число
оканчивается на 71. Так как, умножив 7 на 3, мы получили 21, значит 2
в уме остается, следовательно, умножая на 3 пятую цифру исходного
числа и прибавляя к полученному числу 2, мы должны получить 7.
Получается, что полученное число должно оканчиваться на 7-2=5.
Только, умножая 3 на 5, мы получим число, оканчивающееся на 5
(3*5=15). Следовательно, пятая цифра исходного числа – 5. Так как
(57*3=171), 1 остается в уме, следовательно, умножая на 3 четвёртую
цифру исходного числа и прибавляя к полученному числу 1, мы
должны получить 5. Получается, что полученное число должно
оканчиваться на 5-1=4. Умножая 3 на 8, мы получим число,
оканчивающееся на 4 (3*8=24). Следовательно, четвёртая цифра
исходного числа – 8. Так как (857*3=2571), 2 остается в уме,
следовательно, умножая на 3 третью цифру исходного числа и
прибавляя к полученному числу 2, мы должны получить 8.
Получается, что полученное число должно оканчиваться на 8-2=6.
Умножая 3 на 2, мы получим число, оканчивающееся на 6 (3*2=6).
Следовательно, четвёртая цифра третья числа – 2. Так как
(2857*3=8571), следовательно, умножая на 3 первую и вторую цифры
исходного числа, мы должны получить в произведении число,
начинающееся со второй цифры исходного числа и 2. Получается, что
вторая цифра- 4, так как 14*3=42.
Ответ: исходное число – 142857
4. 𝑦 =
2𝑥²+6𝑥+6
𝑥²+4𝑥+5
ОДЗ: R
Так как нам не дан определенный промежуток значений в задании, где
мы бы могли поставить значения производной, а область допустимых
значений включает все значения, то унаим. и унаиб. не существует.
Ответ: унаим. и унаиб. не существует
6. Дано: 17, 21, 25, 29…- арифметическая прогрессия
16, 21,26, 31… - арифметическая прогрессия
Найти: сумму первых ста одинаковых членов этих прогрессий
Решение. Из данных прогрессий замечаем, что 21 – первое одинаковое
число. Продолжим эти прогрессии:
17, 21, 25, 29, 33, 37, 41…
16, 21, 26, 31, 36, 41…
Замечаем, что второе одинаковое число этих прогрессий – 41.
а₁=21, а₂=41, d= а₂- а₁; d=41-21=20;
𝑆n =
2a₁ + d(n − 1)
n
2
S100= (2*21+20(100-1))/2*100=(41+20*99)*50=(41+1980)*50=2021*50=101050
Ответ: 101050
7. (1-4sin10⁰sin70⁰)/(2sin10⁰)=
= (1-4*1/2*(cos(10⁰-70⁰)-cos(10⁰+70⁰)))/2sin10⁰=
= (1-2cos(-60⁰)+2cos80⁰)/2sin10⁰=
=(1-2*1/2+2cos80⁰)/2sin10⁰=2cos80⁰/2sin10⁰=
=cos80⁰/sin10⁰=cos(90⁰-10⁰)/sin10⁰=sin10⁰/sin10⁰=1.
Ответ:1
8. Число, состоящее только из нечётных цифр и большее 9, не может быть
квадратом натурального числа, оно обязательно будет содержать либо
чётную цифру, либо 0(не считается ни чётным, ни нечётным). Также квадрат
нечётного натурального числа при делении на 4 даёт остаток, равный только
единице, а этому условию, предполагая, что число состоит из нечётных цифр,
соответствует только 9, что противоречит нашим условиям. Ответ: не может
9. Так как в колоде 4 туза, а остальные 32 карты не являются тузами, то
колоду карт можно разделить
или (4!/(2!2!) * 32!/(16!16!)) /2=
(6*17*18*19*...*32/(1*2*3*4*...*16))/2=3606482340/2=1803241170
Ответ: 1803241170 способами
10. Дано: (х+√х2+1)*(у+√у2+1)=1
Доказать: х+у=0
Решение.
Произведение 1 можно получить, только умножая 1 на 1 или (-1) на (-1).
Рассмотрим систему уравнений:
х+√х2+1=1,
у+√у2+1=1;
х+√х2+1=1
х+|x|=0
Если х≥0, то х+х=0
2х=0
х=0
Если х<0, то х-х=0
0=0
Решая, уравнение у+√у2+1=1, также как и х+√х2+1=1,
получим у=0
х+у=0+0=0 - удовлетворяет нашим условиям, что у+х=0
Решим систему уравнений:
х+√х2+1=-1,
у+√у2+1=-1;
х+√х2+1=-1
х+|x|=-2
Если х≥0, то х+х=-2
2х=-2
х=-1
Если х<0, то х-х=-2
0=-2- не верно
Решая, уравнение у+√у2+1=1, также как и х+√х2+1=1,
получим у=-1
х+у=-1+(-1)=-2 – не удовлетворяет нашим условиям, что у+х=0.
Но так как при х=0, у=0 , х+у=0, то мы доказали, что если
(х+√х2+1)*(у+√у2+1)=1, то х+у=0