Комплексные числа: их прошлое и настоящее

Комплексные числа: их прошлое и настоящее
Мокеева Алина Александровна,
ученица 11 класса
ГБОУ СОШ № 11 г.о.Октябрьск Самарской обл.
В эволюции понятия числа не всегда первым толчком к расширению понятия числа были непосредственные практические потребности людей. Комплексные числа возникли из внутреннего развития математической науки, из
практики решения алгебраических уравнений.
С комплексными числами впервые встретились при решении квадратных
уравнений индийские ученые, имевшие понятие о квадратном корне и об отрицательном числе.
Однако они считали, что квадратные корни из отрицательных чисел не
существуют. Поэтому квадратные уравнения с невещественными корнями
математики Индии считали вообще не имеющими решений, их просто не
брали во внимание. Так же поступали до XVI века и ученые других стран.
Итальянский ученый Д. Кардано в 1545 году, при решении кубического
уравнения, обнаружил существование новых чисел. Эти числа он называл
софическими и считал их бесполезными, непригодными к употреблению.
Многие крупные ученые XVII – XVIII веков также не признавали комплексные числа. Так И. Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа.
Французский ученый Р. Декарт называл комплексные числа «воображаемыми», «мнимыми».
Смысл комплексных чисел в 1572 году разъяснил итальянский математик
Р.Бомбелли, он впервые изложил правила действий над комплексными числами.
В 1777 году Л. Эйлер ввел в употребление символ i, как первую букву в
латинском слове imaginarius (мнимый, воображаемый).
1
Термин «комплексные числа» от латинского complexus, что означает «совокупность», «соединение», «состав», ввел в 1803 году Л. Карно, но в употребление термин вошел после работы по теории чисел немецкого математика К. Гаусса «Теория биквадратных вычетов». В этой же работе Гаусс дает
геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними.
Таким образом, вопрос о существовании комплексных чисел был решен,
но теорию комплексных чисел многие ученые продолжали развивать и дальше.
Комплексные числа находят важнейшие применения в естествознании и
технике, в частности в теории электричества и электротехники, в динамике,
аэродинамике и теории упругости.
Так как изучение комплексных чисел является важным моментом в
процессе расширения понятия числа, но тема «Комплексные числа» изучается только в классах с углубленным изучением математики, то я решила самостоятельно изучить ее.
Поскольку рассматриваемый вопрос имеет практическую значимость
для различных сфер науки и техники, то могут быть сформулированы следующие цели и задачи исследовательской работы.
Цель исследования: изучить теоретические основы системы комплексных чисел и рассмотреть практическое применение комплексных чисел к решению различных задач.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
Задачи исследования:
1. Изучить математическую литературу и сделать ее анализ по теме «Комплексные числа».
2. На основе теоретического анализа математической литературы по проблеме изучаемого вопроса выделить ключевые понятия, свойства, теоремы и раскрыть их сущность.
2
3. Рассмотреть различное применение комплексных чисел к решению задач.
Объектом исследования является система комплексных чисел.
Предмет исследования: процесс изучения комплексных чисел.
Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования: изучение и анализ научно-методической литературы по
проблеме исследования; сравнительный анализ учебных пособий.
В исследовательской работе были рассмотрены следующие теоретические вопросы:
дано понятие системы комплексных чисел,
Определение. Системой комплексных чисел называется минимальное
поле, содержащее поле действительных чисел и элемент i такой, что i2
= - 1. Другими словами, система <С, +, ·> называется системой комплексных чисел, если выполнены следующие условия:
1. <С, +, ·> - поле;
2. Поле действительных чисел < R, +, ·> содержится в поле <С, +, ·>;
3. Существует i  С такой, что i2 = - 1;
4. ( свойство минимальности) если Со – подполе, содержащее R и i , то
Со = С.
введено в рассмотрение определение комплексного числа,
Определение. Комплексным числом z называется выражение вида
z = а + bi , где а и b действительные числа. При этом предполагается:
1. Два комплексных числа z1= а1+ b1 i и z2 = а2+ b2 i равны тогда и только
тогда, когда a1 = a2 и b1 = b2
2. Сложение комплексных чисел определяется правилом:
z1 + z2 = (а1 + b1 i) + (а2 + b2 i) = (а1 + а2) + (b1 + b2) i.
3. Умножение комплексных чисел определяется правилом:
z1 · z2 = (а1 + b1 i) (а2 + b2 i) = (а1 а2 - b1 b2) + (а1 b2 + а2 b1) i.
его алгебраической, тригонометрической и показательной формы, а
также были рассмотрены основные действия с комплексными числами (сло3
жение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение
корня n-ой степени) и геометрическая интерпретация комплексных чисел
(рис.1, 2).
Рисунок 1
Рисунок 2
Комплексные числа имеют большое применение. Поэтому в работе
рассмотрены основные применения комплексных чисел: в алгебре, геометрии, тригонометрии и решены задачи на иллюстрацию этих применений.
Задача 1. Известно, что число
72
  
 
 2 sin  i sin  
3
3 
 
3
является корнем уравнения
2 x 3  15 x 2  ax  171  0 , где a  R . Найти а и решить уравнение при этом зна-
чении а.
Решение.
Обозначим заданное число через x1 и преобразуем его:
x1 
72
  
 
 2 sin  i sin  
3
3 
 
Подставив
это
3

72
 9 .
8cos   i sin  
значение
в
данное
уравнение,
получим
2  (9) 3  15  (9) 2  a  (9)  171  0 ,
2  (729)  15  81  9a  171  0 ,
162  135  a  19  0 ,
a  8 .
Тогда
исходное
уравнение
примет
x  92 x 2  3x  19  0 . Решив уравнение
два корня данного уравнения x 2,3 
вид:
2 x 3  15 x 2  8 x  171  0
или
2 x 2  3 x  19  0 , найдем остальные
3  9  152 3  i 143

.
4
4
4
Ответ. x1  9 , x2 
3  i 143
3  i 143
, x3 
.
4
4
Задача 2. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству z 1  z  i .
Решение.
Пусть
z
=
x
+
yi,
тогда
неравенство
z 1  z  i
примет
вид:
x  yi  1  x   y  1i .
Используя
x  12  y 2
определение
модуля
комплексного
числа,
получим
 x 2   y  1 .
2
Возведем обе части данного неравенства в квадрат, получим
x2 – 2x + 1 + y2 > x2 + y2 – 2y + 1,
2y > 2x,
y > x.
Таким образом, искомое множество представляет собой полуплоскость,
координаты всех точек которой удовлетворяют неравенству y > x (рис.3).
Рисунок 3
Задача 3. Выразите sin 4φ и cos 4φ через sin φ и cos φ.
Решение.
Воспользуемся равенствами, полученными из формулы Муавра (cos φ
+ i sin φ)n = = cos nφ + i sin nφ:
cos nφ = cosn φ - C n2 cosn-2φ sin2φ + C n4 cosn-4φ sin4φ - ...,
5
sin nφ = C n1 cosn-1φ sin φ - C n3 cosn-3φ sin3φ + ... .
Подставив в эти формулы n = 4 получаем:
cos 4φ = cos4 φ – 6cos2 φ sin2 φ + sin4 φ =
= cos4 φ – 6cos2 φ (1 – cos2 φ) + (1 – cos2 φ)2 = 8cos4 φ – 8cos2 φ + 1,
sin 4φ = 4cos3 φ sin φ – 4cos φ sin3 φ = 4cos φ [(1 – sin2 φ) sin φ – sin3 φ] =
= 4cos φ (sin φ – 2sin3 φ).
Как уже было сказано, изучение комплексных чисел является важным
моментом в процессе расширения понятия числа, поэтому в приложении к
работе я поместила множество различных задач (некоторые из них были
представлены).
Из всего сказанного можно сделать вывод, что изучение комплексных
чисел имеет большое прикладное значение.
Поэтому в работе глубоко рассмотрены теоретические вопросы построения системы комплексных чисел, а также прикладное значение комплексных
чисел. Во – первых, оно состоит в возможности нахождения корней квадратного уравнения, которое в поле действительных чисел не имеет решения, а
также в возможности решения уравнения третьей степени с комплексными
коэффициентами (по формулам Кардано). Во – вторых, введение комплексных чисел позволяет любой многочлен разложить на множители, что в системе действительных чисел не всегда было возможно. В – третьих, комплексные числа используются для выведения формул cos n и sin n через
cos и sin .
Таким образам, работа имеет практическую значимость для самостоятельного изучения учащимися темы «Комплексные числа».
Список литературы
1. Виленкин Н. Я. и др. Алгебра и математический анализ, 11 класс. М.:
Просвещение, 1993.
2. Гиндикин С. Г. О пользе чисел «поистине софических» // Квант, 1983.
№ 6. С. 10 – 17.
6
3. Глейзер Г. И. Комплексные числа // Математика, 2001. № 11. С. 21 –
24.
4. Евсеев А. Е., Ляпин А. С. Алгебра и теория чисел. Ч. 1. Числа. Учеб.
пособие для студентов физ. – мат. фак – тов пед. ин – тов. М.: Просвещение, 1974. 383 с.
5. Козиоров Ю. Н. Комплексные числа и тригонометрические функции. //
Математика в школе, 1995. № 2. С. 57 – 61.
6. Павлов А. Комплексные числа // Математика, 1999. № 34. С. 10 – 13.
7