Кривые второго порядка

1
Конференция – фестиваль творчества молодежи и школьников
«Наука. Творчество. Развитие.»
Использование компьютера для наглядного
представления кривых второго порядка
Автор: Макарова Ирина,
ученица 10 А класса ср.шк.№12
Научный руководитель:
Кошкина Ю.Е.,
учитель информатики МОУ
"Средняя общеобразовательная
школа № 12" г.Новочебоксарска
г. Новочебоксарск, 2004
2
I . Введение.
Как часто на уроках математики нам приходится сталкиваться с ситуацией, когда, имея уравнение нестандартной функции, мы не можем
построить её график только потому, что кроме прямоугольной декартовой
системы координат не знакомы ни с какой другой. А ведь эта система является не единственной для построения графиков. В своей работе я рассмотрела ещё одну – полярную систему координат, которая в некоторых
случаях является лучше декартовой.
Мою работу можно условно разделить на две части. В первой дано
математическое описание некоторых кривых второго порядка с указанием
их уравнения, способа построения и, иногда, свойств. Она группа кривых
представлена в декартовой системе координат (эпи- и гипоциклоида),
другая - в полярной (спирали, розы, улитки Паскаля).
Во второй части я показала, что компьютер можно использовать и
для построения графиков функций. Специальные компьютерные программы позволяют увидеть, как будет выглядеть график той или иной
функции на плоскости или в пространстве, исследовать некоторые его
свойства, разглядеть график в различных проекциях и со всех сторон.
Цель: рассмотреть некоторые кривые второго порядка и показать, как
можно использовать компьютер для их изучения.
Задачи:
1. Дать понятие полярной системы координат.
2. Рассмотреть некоторые кривые в этой системе.
3. Рассмотреть некоторые кривые в прямоугольной декартовой системе координат.
4. Применить компьютерную программу работы с графиками для
наглядного представления кривых и изучения их свойств.
3
I. Кривые II порядка в полярной системе координат.
1. Полярная система координат.
Положение произвольной точки плоскости мы до сих пор определяли её декартовыми координатами x и y. Однако этот способ не является
единственным: часто бывает удобнее определять положение точки М на
плоскости другими величинами. Остановимся на том способе, когда положение точки М на плоскости (рис. 1) определяют расстоянием ρ=ОМ
точки М от полюса О и углом φ между лучом ОМ и полярной осью ОР.
Величины ρ и φ называются полярными координатами точки М. Отрезок ρ
называют полярным радиусом, а угол φ – полярным углом. Заметим, что
всегда ρ≥0.
Очевидно, что заданием ρ и φ положение точки М определяются однозначно: угол φ определяет направление луча ОМ, а отрезок ρ – положение точки на этом луче. Однако по точке М однозначно определяется
лишь расстояние ρ, а угол φ определяется не однозначно: каждой точке М
соответствует бесчисленное множество полярных углов, отличающихся
друг от друга на 2πk, где k – целое число. Для устранения неоднозначности в качестве полярного угла обычно выбирают наименьший (по абсолютной величине) угол
φ, составляемый ОМ с полярной осью, т.е. выбирают φ в диапазоне от –π
до +π (-π<φ≤π).
Исключение – случай, когда точка М совпадает с полюсом О и ρ=0,
а полярный угол φ может быть взят каким угодно.
Установим связь между полярными (ρ и φ) и декартовыми (x и y)
координатами точки М. Для этого совместим полюс с началом координат,
а полярную ось – с осью абсцисс (рис. 2).
Из ∆OMN имеем
x=ρ cosφ;
ρ= x 2  y 2
y=ρ sinφ.
y
x
tg φ= .
Формулы (1) и (2) позволяют осуществить переход от полярной системы координат к декартовой и наоборот.
До сих пор мы строили графики функций в декартовой системе координат. Соответствующие построения можно производить и в полярной
системе: если переменные ρ и φ связаны функциональной зависимостью,
то, изображая значение φ полярными углами и откладывая на определяемых ими лучах отрезки, равные соответствующим значениям ρ, получим
геометрическое место точек с координатами ρ и φ, образующих линию,
называемую полярной диаграммой или графиком заданной функции в полярной системе координат. Особенно удобно прибегнуть к полярной диа-
4
грамме, если переменная φ фактиче- ски является ( а не только изображается) углом.
2.Спирали.
Спираль (франц. spirale, от лат. spira", греч. "σπετρα"- виток) – плоская кривая, которая обычно обходит вокруг одной (или нескольких) точки,
приближаясь или удаляясь от нее.
Среди спиралей выделяют алгебраические спирали и псевдоспирали.
Алгебраические спирали – спирали, уравнение которых в полярных координатах являются алгебраическими относительно переменных ρ и φ. К алгебраическим спиралям относятся: гиперболическая спираль, архимедова
спираль, Галилея спираль, Ферма спираль, параболическая спираль, жезл.
Псевдоспирали – спирали, натуральные уравнения которых могут
быть записаны в виде r = asm, где r – радиус кривизны, s – длина дуги. При
m = 1 псевдоспираль является логарифмической спиралью, при m = -1 –
Корню спиралью, при m = ½ - эвольвентной окружностью.
Рассмотрим некоторые из них.
1) Жезл.
Жезл – плоская трансцендентная кривая. Уравнение в полярных координатах: ρ ==

.

Кривая состоит из двух ветвей (соответствующих положительным и
отрицательным значениям ρ), каждая из которых имеет асимптоту – ось
1
2
ОР, асимптотическую точку – полюс О, точки перегиба (± ; ± а 2 ).
2) Гиперболическая спираль.
Гиперболическая спираль определяется полярным уравнением
a
ρ= .

При φ→∞ ρ→0, т.е. полюс является асимптотической точкой гиa
перболической спирали. Из ∆OMN следует, что MN=ρ sin φ, но ρ= , и

потому MN=
a sin 

. Можно доказать, что при φ→0 MN→а, т.е. прямая,
параллельная полярной оси и отстающая от неё на расстоянии, равном а,
является асимптотой гиперболической спирали, изображенной на рисунке.
5
3) Логарифмическая спираль.
Так называется кривая, задаваемая в полярной системе координат
уравнением
ρ=аφ.
Если аргумент φ изменять по закону арифметической прогрессии:
φ0, φ0+d, φ0+2d;…, то значения φ будут:
аφ0; аφ0+d = aφ0ad; aφ0+2d = aφ0(ad)2;…,
т.е. функция ρ будет возрастать в геометрической прогрессии со знаменателем q=аd, откуда и вытекает способ построения логарифмической спирали.
Отложим на полярной оси ОА=а0, а на прямой перпендикулярной к
ней, ОB=а2. Если теперь построить прямую ломаную ABCDE…, то из подобия треугольников видно, что отрезки OA, OB, OC, … образуют гео2
метрическую прогрессию со знаменателем а , т.е. полученные точки
A, B, C, D, E, … лежат на логарифмической спирали. Когда φ возрастает
от 0 до ∞, точка кривой делает бесчисленное множество оборотов вокруг
полюса, неограниченно удаляясь от него (расстояния между витками уже
не одинаковы!). Угол φ может принимать и отрицательные значения. Когда φ→ −∞, ρ→0 и кривая совершает бесчисленное множество оборотов
вокруг полюса, безгранично к нему приближаясь, но никогда его не достигая, т.е. полюс для логарифмической спирали является асимптотической точкой.
Логарифмические спирали широко используются в технике: по логарифмической спирали выполняются профили вращающихся ножей и
фриз, зубчатых передач и прочее. По логарифмической спирали очерчены
некоторые раковины, по дугам, близким к данной спирали, расположены
семечки в подсолнухе, чешуйки в шишках и т.д.
4) Спираль Архимеда.
Рассмотрим полярную диаграмму, определяемую уравнением =а,
где а - некоторая положительная постоянная (коэффициент пропорциональности). Для построения графика этой функции найдем несколько её
точек, записывая расчеты в таблице.
3



0
2


6


a
6
0
3

a
3

обозначим ОА; тогда
6


2

a
2
a
2
3
а
2
Отрезок а
а =2OA, a =3OA, a=6OA, а
3
2
3
=9OA, 2a=12OA.
2
a2
6
Откладывая эти отрезки на со- ответствующих лучах, получим точки A,B,C,D,E,F, принадлежащие графику функции =а. Соединяя полученные точки плавной кривой, получим спираль Архимеда.
Свойства этой спирали впервые были изучены Архимедом. Одним
из этих свойств является постоянство расстояний между витками. Аргумент  может расти безгранично, а поэтому кривая имеет бесконечное
множество витков. Определим расстояние между двумя соседними витками MN по произвольному лучу.
OM=a;
ON=a(+2);
MN=ON-OM=a(+2)-a=2a.
Полученное выражение от  не зависит, так как MN=2a при любом .
Таким образом, в полярной системе координат Архимедова спираль
имеет весьма простое уравнение: =а, и построение её графика никаких
затруднений не вызывает.
y
x
Воспользуемся формулами перехода = x 2  y 2 , φ= a  arctg( ) и
получим вместо ρ=aφ гораздо более сложное уравнение
x 2  y 2 = a  arctg(
y
)
x
Из уравнения видно, что построение графика этой функции в декартовой
системе координат было бы крайне затруднительно.
3. Лемниската Бернулли.
Лемнискатой называется геометрическое место точек М, произведение расстояний каждой из которых до двух фиксированных точек F1 и F2
есть величина постоянная.
Расположим фиксированные точки (фокусы лемнискаты) F1 и F2 на
оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Обозначим
расстояние между ними F1 F2=2а. Тогда эти точки будут иметь координаты
F1 (-а,0), F2 (а,0). Для произвольной точки лемнискаты М(x,y), по её определению должно выполняться: MF1 ∙ MF2=a2 . Используя формулу расстояния между двумя точками d= ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2 , получим:
( x  a) 2  y 2  ( x  a)2  y 2
= a2 .
После возведения правой и левой частей полученного уравнения в
квадрат и упрощений получим:
(x2+y2)2-2a2(x2-y2)=0.
7
Исследовать кривую по этому уравнению в декартовой системе координат довольно сложно. Если же перейти к полярным координатам, то
уравнение примет более простой вид:
(ρ2)2 = 2а2 (ρ2 cos2φ - ρ2 sin2φ) или ρ2 = 2а2 cos2φ.
Итак, полярное уравнение кривой имеет вид
ρ2 = b2 cos 2φ,
где 2а2=b2 . Так как максимальное значение cos 2φ равно единице, то максимальная величина ρ есть b.
Если cos 2φ отрицателен, то ρ – мнимая величина. Таким образом, между
прямыми, образующими углы 45˚ и 135˚ с полярной осью, нет точек
кривой.
Если вместо φ подставить (-φ), то уравнение не измениться. Отсюда
следует, что кривая симметрична относительно полярной оси.
Если ρ=0, то cos 2φ=0 и φ=45˚ или 135˚, следовательно, кривая проходит через полюс при этих значениях угла.
Можно также найти область существования этой функции, т.е. множество тех значений аргумента φ , при которых функция имеет вещественное значение: ρ2≥0, а потому должно быть и cos 2φ≥0, откуда

-  2  2 
2



 2 , где к – целое число, или -       .
2
4
4
Проведя биссектрисы координатных углов, выделим те секторы, в
которых кривая существует. Дальнейшее построение кривой выполняется
по точкам. Название этой кривой – лемниската происходит от греческого
слова повязка, бант.
Лемниската Бернулли используется в качестве переходной линии на
закруглениях малого радиуса ( например, на трамвайных путях).
4. Розы.
Розы – плоские кривые, уравнения которых в полярных координатах
имеют вид
ρ=αsinκφ,
где α и κ – постоянные. Если κ=m/n – число рациональное, то роза - алгебраическая кривая четного порядка. Порядок этой кривой равен m + n, если
m и n – нечетные числа, и равен 2(m + n), если одно из чисел m и n – нечетное. Вся кривая расположена внутри круга радиуса α, состоит из конгруэнтных лепестков. Если κ – целое, то роза состоит из κ лепестков при κ
нечетном и из 2κ лепестков при κ четном. Если κ = m/n и m, n – взаимно
простые, то роза состоит из m лепестков, когда m и n нечетные, и из 2m
лепестков, если одно из чисел m и n является четным.
При иррациональном κ лепестков бесконечно много, розы являются
гипоциклоидами, если κ>1, и эпициклоидами, если κ<1.
8
5. Улитка Паскаля.
Улиткой Паскаля называется кривая, определяемая уравнением
ρ=2r cosφ+l
(в прямоугольных координатах: (x2 +y2-ax)2=l2(x2+y2)).
Для построения графика этой кривой обратим внимание на то, что при
l=0 ρ=2r cosφ, а из рисунка очевидно, что ОМ=2r cosφ, а потому графиком
этой кривой является окружность радиуса r ( полюс О находится в левом
конце диаметра этой окружности, а полярная ось направлена по диаметру).
Теперь для построения точек, принадлежащих улитке Паскаля, надо в
каждом положении полярного радиус-вектора ρ=2r cosφ достроить к нему
отрезок l. На рис. 2 выполнены эти построения для трех случаев: l<2r,
l=2r, l>2r.
В случае l=2r улитка Паскаля называется кардиоидой и имеет уравнение вида
ρ=2r cosφ + 2r = 2r (1+ cosφ).
9
III. Кривые II порядка в декартовых координатах.
Продолжая перечень примеров, рассмотрим ещё несколько кривых
механического происхождения, полученные путем качения одних кривых
по другим.
Эпи- и гипоциклоида.
Если один круг без скольжения катится извне по другому кругу, то
кривая , описываемая произвольной точкой окружности подвижного круга, называется эпициклоидой. В случае же качения изнутри, мы имеем дело с гипоциклоидой. Остановимся на выводе уравнений первой из этих
кривых.
Возьмем начало координат в центре О неподвижного круга, а ось x
проведем через то положение А интересующей нас точки, в котором она
является точкой касания обоих кругов. Когда подвижный круг перейдет в
новое положение, указанное на чертеже, точка А перейдет в М. Геометрическое место точек М нам и надлежит определить.
Обозначим через а радиус неподвижного круга, а через mа – радиус
катящегося круга. Выберем за параметр здесь угол t=<MCB между радиусом СМ, соединяющим центр катящегося круга с интересующей нас точкой на его окружности, и радиусом СВ, проведенным в точку касания. В
начале движения пусть этот угол равен 0.
Прежде всего, посмотрим, в чем здесь проявляется отсутствие
скольжения. Дуга ABпройденная точкой касания по неподвижной окружности, должна равняться дуге МВ, пройденной точкой касания по катящейся окружности:
a  <AOB = ma  MCB = mat, откуда <AOB=mt.
Выразим теперь координаты x и y точки М через t. Имеем
x=OG=OE+FM=(a+ma) cos mt+ma sin<FCM;
но

2
<FCM=<BCM-<OCE и <OCE= - mt,
так что
<FCM=(1+m)t -

2
и sin <FCM=-cos(1+m)t.
Окончательно
x = a[(1+m) cos mt – m cos (1+m)t]
Подобным же образом найдем
y = a[(1+m) sin mt – m sin (1+m)t].
Эти уравнения дают параметрическое представление эпициклоиды.
Когда катящейся круг снова придет в соприкосновение с неподвижным кругом в той же своей точке, что и в начале движения (т.е. при t=2π),
точка М закончит одну ветвь кривой. При дальнейшем качении она будет
описывать следующую ветвь, подобную первой, и т.д.
10
В случае же гипоциклоиды подобным же образом получаются
такие параметрические уравнения:
x = a[(1-m) cos mt + m cos (1- m)t]
y = a[- (1- m) sin mt + m sin (1- m)t]
Здесь m также означает отношение радиуса катящегося круга к радиусу неподвижного. Легко заметить, что эти уравнения получаются их
уравнений эпициклоиды заменой m на –m.
На рисунке изображены эпициклоиды, соответствующие m=1, 2,
и гипоциклоиды, соответствующие m=
астроиду.
1
,
3
1
1
и . В последней можно узнать
3
4
11
IV. Использование компьютера для наглядного представления кривых II порядка.
Программа для построения графиков является наукой, но простой в
использовании. Она позволяет создавать анимированные 3D графики
уравнений в табличных данных. В одной системе координат может быть
неограниченное количество графиков, каждый из которых может отображаться при помощи точек, линий и поверхностей. Аналитические функции задаются в параметрическом виде и могут содержать до трех независимых переменных, включая переменную времени для анимации.
Систему координат с графиком можно вращать, перемещать и масштабировать в реальном времени. Программа позволяет отслеживать и
вводить координаты курсора на плоскости или в трехмерной системе координат. Использование графической библиотеки OpenGL позволяет создавать высококачественные изображения графиков и дает возможность
задействовать современные аппаратные ускорители, необходимые для достижения гладкой анимации в реальном времени.
12
Рассмотренные выше кривые второго порядка в компьютерной программе 3D Grapher имеют следующее изображение:
1. Жезл.
φ= U, ρ=
φ= U, ρ=-
3
U
3
U
2. Гиперболическая спираль.
φ=u;
ρ= 3
U
13
3. Логарифмическая спираль.
φ=u;
ρ=0.8^u
4. Спираль Архимеда.
φ=u;
ρ=0.05*u
5. Улитки Паскаля.
14
5. Улитки Паскаля.
ρ=0.5*cos(u)+0.3
ρ=0.5*cos(u)+0.5
ρ=0.5*cos(u)+0.7
6. Четырёхлепестковая роза.
ρ=7*sin(2*u)
7. Трёхлепестковая роза.
ρ=7*sin(3*u)
15
7. Эпициклоида.
8.Гипоциклоида.
x=8 cos(u)-2 cos(4u)
x=4 cos(u)+2 cos(2u);
y=8 sin(u)-2 sin(4u)
y=4 sin(u)+2sin(2u)
Кривые построены при следующих значениях параметров: R=6, r=2,
1
3
m= , t=3.
9. Лемниската Бернулли.
2=2а2 cos(2u)
16
V. Заключение.
В своей работе я достигла следующих результатов:
1. Показала, что кроме прямоугольной декартовой системы координат существуют и другие, например, полярная система координат, и сделала вывод, что иногда полярная система является более удобной для построения кривых.
2. Рассмотрела построения и свойства кривых II порядка, которые не
встречаются в школьном курсе математики.
3. Построила с помощью компьютерной программы 3D Grapher графики этих кривых.
17
VI. Список литературы.
1. Е г е р е в В. К. Методика построения графиков функций – М.:
Высшая школа, 1970 – с. 137-145.
2. Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. Том I. – М.: Наука, 1969 – с.508-516.
3. Математический энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия, 1988.