Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя образовательная школа №1

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
средняя образовательная школа №1
имени генерал – лейтенанта Б.П. Юркова
г.Зверева Ростовской области.
Задачи прикладного содержания
в заданиях ЕГЭ по математике
(методические рекомендации к решению заданий № 11)
Часть 6.
учитель математики МБОУ СОШ №1
им. Б.П. Юркова
Куц Фёдор Иванович
г. Зверево
2015 г.
Методические рекомендации к решению задач прикладного содержания.
В работе рассмотрено решение задач № 11 (В12) из книги «3000 задач с ответами по
математике» под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко.
1.Линейные уравнения.
2.Линейные неравенства.
3.Квадратичная функция.
4.Квадратные уравнения.
5.Квадратные неравенства.
6.Степенные неравенства.
7.Дробно - рациональные неравенства.
8.Иррациональные уравнения.
9.Иррациональные неравенства.
10.Показательные уравнения.
11.Показательные неравенства.
12.Логарифмические уравнения.
13.Логарифмические неравенства.
14.Тригонометрические неравенства.
15.Формулы с дискретными значениями переменных.
14.Тригонометрические неравенства.
№ 14.1(633). Мяч бросили под острым углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности
2 ϑ sin 𝛼
земли. Время полета мяча ( в секундах) определяется по формуле t = 0𝑔 . При каком
наименьшем значении угла 𝛼 (в градусах) время полета будет не меньше 1,8 с, если мяч
бросают с начальной скоростью 𝜗0 = 18 м/с? считайте, что ускорение свободного падения
g = 10 м/с2.
Решение. По условию задачи время полета мяча не меньше 1,8 с, поэтому выполняется
2 ϑ sin 𝛼
неравенство t ≥ 1,8 или 0𝑔 ≥ 1,8. С учетом того, что𝜗0 = 18 м/с и g = 10 м/с2,
2 ∙18∙sin 𝛼
1
неравенство примет вид 10
≥ 1,8 или sin𝛼 ≥ 2. Решение неравенства:
30° + 360° ∙ n ≤ ∝ ≤ 150° + 360° ∙ n, n ∈ Z.
С учетом того, что 0° < ∝< 90°, получаем при n = 0 решения 30° ≤ ∝< 90°, из которых
наименьшее ∝ = 30°.
Ответ. 30.
№ 14.2 (636). Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на
нее проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное
магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера (в Н∙м), стремящийся
повернуть рамку, определяется формулой M = NIBl2sin 𝛼, где I = 10 А – сила тока в рамке,
B = 7∙10-3Тл - значение индукции магнитного поля, l = 0,2 м – размер рамки, N = 1000
число витков провода в рамке, 𝛼- острый угол между перпендикуляром к рамке и
вектором индукции. При каком наименьшем значении угла 𝛼 (в градусах) рамка может
вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 1,4
Н∙м?
Решение. По условию задачи раскручивающий момент M не меньше 1,4 Н∙м, поэтому
выполняется неравенство M ≥ 1,4 или NIBl2sin 𝛼 ≥ 1,4. С учетом того, что I = 10 А, B =
7∙10-3Тл, l = 0,2 м и N = 1000, неравенство примет вид: 1000∙10∙7∙10-3∙(0,2)2 sin 𝛼 ≥ 1,4 или
1
sin 𝛼 ≥ 2. Решаем неравенство
30° + 360° ∙ n ≤ ∝ ≤ 150° + 360° ∙ n, n ∈ Z.
С учетом того, что 0° < ∝< 90°, получаем при n = 0 решения 30° ≤ ∝< 90°, из которых
наименьшее ∝ = 30°.
Ответ. 30.
№ 14.3 (639). Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал,
который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по
закону U= U0sin (𝜔𝑡 + 𝜑), где t – время в секундах, U0 = 2 В, частота 𝜔 = 60°/с, фаза 𝜑 =
15°. Датчик настроен так, что, если напряжение в нем не ниже чем 1 В, загорается
лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после
начала работы лампочка будет гореть?
Решение. Лампочка горит, если напряжение на датчике не ниже чем 1 В. В этом случае
должно быть выполнено неравенство U ≥ 1 или U0sin (𝜔𝑡 + 𝜑) ≥ 1. С учетом того, что U0 =
2 В, 𝜔 = 60°/с, 𝜑 = 15°, неравенство примет вид: 2∙sin (60𝑡 + 15) ≥ 1.
Решая полученное неравенство, имеем: sin (60°𝑡 + 15°) ≥ 0,5;
30° + 360° ∙ n ≤ 60°𝑡 + 15° ≤ 150° + 360° ∙ n, n ∈ Z;
15° + 360° ∙ n ≤ 60°𝑡 ≤ 135° + 360° ∙ n, n ∈ Z;
0,25 + 6 ∙ n ≤ 𝑡 ≤ 2,25 + 6∙ n, n ∈ Z.
Так как 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, то при n = 0 имеем 0,25 ≤ 𝑡 ≤ 1. Значит, лампочка будет гореть в течение
1 - 0,25 = 0,75 (с), что составляет 75% первой секунды после начала работы.
Ответ. 75.
№14.4 (644). Очень легкий заряженный металлический шарик зарядом q = 2,5 ∙10 -6 Кл
скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет 𝜗=
4 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции В
которого лежит в той же плоскости и составляет угол 𝛼 с направлением движения шарика.
Значение индукции поля В = 6 ∙ 10-3 Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца,
равная Fл. = q𝜗B sin 𝛼 (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком
наименьшем значении угла 𝛼 ∈ [0°; 180°] шарик оторвется от поверхности, если для этого
нужно, чтобы сила Fл. была больше 3 ∙10- 8Н?
Решение. По условию задачи шарик оторвется от поверхности, если сила Fл больше чем
3 ∙10- 8Н, поэтому выполняется неравенство Fл >3 ∙10- 8 или q𝜗B sin 𝛼 >3 ∙10- 8. С учетом
того, что q = 2,5 ∙10 -6 Кл, 𝜗= 4 м/с, В = 6 ∙ 10-3 Тл, неравенство примет вид:
2,5 ∙10 -6∙ 4∙6 ∙ 10-3 sin 𝛼 >3 ∙10-8 или sin 𝛼 > 0,5. Решаем неравенство
30° + 360° ∙ n < ∝ < 150° + 360° ∙ n, n ∈ Z.
С учетом того, что 0° ≤ ∝≤ 180°, получаем при n = 0 решения 30° < ∝< 150°, из которых
наименьшее ∝ = 30°.
Ответ. 30.
№ 14.5 (647). Мяч бросают под острым углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности
земли. Максимальная высота полета мяча, выраженная в метрах, определяется формулой
𝜗2
H = 4𝑔0 (1 – cos2𝛼), где 𝜗0 = 18 м/с - начальная скорость мяча, а 𝑔 - ускорение свободного
падения (считайте 𝑔 = 10 м/с2). При каком наименьшем значении угла 𝛼 (в градусах) мяч
пролетит над стеной высотой 3,05 м на расстоянии 1м?
Решение. Мяч перелетит над стеной высотой 3,05 м на расстоянии 1м, если будет
𝜗2
выполнено неравенство H ≥ 4,05 или 4𝑔0 (1 – cos2𝛼) ≥ 4,05. С учетом того, что 𝜗0 = 18 м/с и
182
𝑔 = 10 м/с2, неравенство примет вид: 4∙10 (1 – cos2𝛼) ≥ 4,05; 1 – cos2𝛼 ≥ 0,5; cos2𝛼 ≤ 0,5.
Решаем неравенство
60° + 360° ∙ n ≤ 2 ∝ ≤ 300° + 360° ∙ n, n ∈ Z.
С учетом того, что 0° < 2 ∝< 180°, получаем при n = 0 решения 60° ≤ 2 ∝< 180°, из
которых наименьшее 2 ∝ = 60° и ∝ = 30°.
Ответ.30.
№ 14.6 (647). Мяч бросают под острым углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности
земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле L =
𝜗02
𝑔
sin 2𝛼 (м),
где 𝜗0 = 16 м/с - начальная скорость мяча, а 𝑔 - ускорение свободного падения (считайте 𝑔
= 10 м/с2). При каком наименьшем значении угла 𝛼 (в градусах) мяч перелетит реку
шириной 12,8 м?
Решение. Мяч перелетит реку шириной 12,8 м, если будет выполнено неравенство L ≥
12,8 или
162
𝜗02
𝑔
sin 2𝛼 ≥ 12,8. С учетом того, что 𝜗0 = 16 м/с и 𝑔 = 10 м/с2, неравенство примет
1
вид: 10 sin 2𝛼 ≥ 12,8 или sin 2𝛼 ≥ 2. Решаем неравенство
30° + 360° ∙ n ≤ 2 ∝ ≤ 150° + 360° ∙ n, n ∈ Z.
С учетом того, что 0° < 2 ∝< 180°, получаем при n = 0 решения 30° ≤ 2 ∝< 180°, из
которых наименьшее 2 ∝ = 30° и ∝ = 15°
Ответ. 15.
№ 14.7 (652). Плоский замкнутый контур площадью S = 1,5 м2 находится в магнитном
поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону
электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение
которой, выраженное в вольтах, определяется формулой 𝜀 i =a S cos 𝛼, где 𝛼 - острый угол
между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, a = 4∙10-4 ТЛ/с постоянная, S – площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле ( в м2). при
каком минимальном угле 𝛼 ( в градусах) ЭДС индукции не будет превышать 3∙10-4В?
Решение. ЭДС индукции не будет превышать 3∙10-4В, если будет выполнено неравенство
𝜀 i ≤ 3∙10-4 или a S cos 𝛼 ≤ 3∙10-4.. С учетом того, что S = 1,5 м2 и a = 4∙10-4 ТЛ/с,
1
неравенство примет вид: 4∙10-4 ∙1,5∙ cos 𝛼 ≤ 3∙10-4 или cos 𝛼 ≤ 2. Решаем неравенство
60° + 360° ∙ n ≤ ∝ ≤ 300° + 300° ∙ n, n ∈ Z.
С учетом того, что 0° < ∝< 90°, получаем при n = 0 решения 60° ≤ ∝< 90°, из которых
наименьшее ∝ = 60°.
Ответ. 60.
№ 14.8(655). Трактор тащит сани с силой F = 100 кН, направленной под острым углом 𝛼 к
горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной S = 60 м вычисляется по
формуле A = F S cos 𝛼. При каком максимальном угле 𝛼 (в градусах) совершенная работа
будет не менее 3000Дж?
Решение. Совершенная работа будет не менее 3000Дж, если будет выполнено
неравенство A ≥ 3000 или F S cos 𝛼 ≥ 3000. С учетом того, что F = 100 кН и S = 60 м,
неравенство примет вид: 100∙60 cos 𝛼 ≥ 3000 или cos 𝛼 ≥ 0,5. Решаем неравенство
- 60° + 360° ∙ n ≤ ∝ ≤ 60° + 300° ∙ n, n ∈ Z.
С учетом того, что 0° < ∝< 90°, получаем при n = 0 решения 0° < ∝ ≤ 60°, из которых
наибольшее ∝ = 60°.
Ответ. 60.
№ 14.9(657).Трактор тащит сани с силой F = 50 кН, направленной под острым углом к
горизонту. Мощность (в киловаттах) трактора при скорости 𝜗 = 4 м/с вычисляется по
формуле N = F 𝜗cos 𝛼. При каком максимальном угле 𝛼 (в градусах) эта мощность будет
не менее 100 кВт?
Решение. Мощность будет не менее 100 кВт, если будет выполнено неравенство N ≥ 100
или F 𝜗cos 𝛼 ≥ 100. С учетом того, что F = 50 кН и 𝜗 = 4 м/с, неравенство примет вид: 50∙4
cos 𝛼 ≥ 100 или cos 𝛼 ≥ 0,5. Решаем неравенство
- 60° + 360° ∙ n ≤ ∝ ≤ 60° + 360° ∙ n, n ∈ Z.
С учетом того, что 0° < ∝< 90°, получаем при n = 0 решения 0° < ∝ ≤ 60°, из которых
наибольшее ∝ = 60°.
Ответ. 60.
№ 14.10 (660). При нормальном падении света с длиной волны 𝜆= 600 нм на
дифракционную решетку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных
максимумов. При этом угол 𝜑 (отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под
которым наблюдается максимум, номер максимума k связаны соотношением d sin𝜑 = k𝜆.
Под каким минимальным углом 𝜑 (в градусах) можно наблюдать третий максимум на
решетке с периодом, не превосходящим 3600 нм ?
Решение. По условию задачи период не превосходит 3600 нм, поэтому выполняется
𝑘𝜆
неравенство d ≤ 3600 или sin𝜑 ≤ 3600. С учетом того, что 𝜆= 600 нм и k =3, неравенство
примет вид:
3∙600
sin𝜑
≤ 3600. Так как sin𝜑 > 0 при всех значениях 𝜑 ∈(0°; 90°], то решаем
1
неравенство: sin 𝜑 ≥ 2.
30° + 360° ∙ n ≤ 𝜑 ≤ 150° + 360° ∙ n, n ∈ Z.
С учетом того, что 0° < 𝜑 ≤ 90°, получаем при n = 0 решения 30° ≤ 𝜑 ≤ 90°, из которых
наименьшее 𝜑 = 30°.
Ответ. 30.
№14.11 (663).Два тела массой m = 2 кг каждое движутся с одинаковыми скоростями 𝜗 =
10 м/с под углом 2𝛼 друг к другу. Энергия (в джоулях),выделяющаяся при их абсолютном
неупругом соударении, определяется выражение Q = m𝜗 2 sin2𝛼. Под каким наименьшим
углом 2𝛼 (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось
не менее 50 джоулей?
Решение. По условию задачи в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей,
поэтому выполняется неравенство Q ≥ 50 или m𝜗 2 sin2𝛼 ≥ 50. С учетом того, что m = 2 кг,
𝜗 = 10 м/с, неравенство примет вид: 2∙102 sin2𝛼 ≥ 50 или sin2𝛼 ≥ 0,25.Решаем неравенство:
1−cos 2∝ 1
1
1
≥ 4; 1- cos 2∝ ≥ 2; cos 2∝ ≤ 2.
2
60° + 360° ∙ n ≤ 2 ∝ ≤ 300° + 360° ∙ n, n ∈ Z.
С учетом того, что 0° < 2 ∝ ≤180°, получаем при n = 0 решения 60° ≤ 2 ∝≤ 180°, из
которых наименьшее 2 ∝ = 60°.
Ответ.60.
№ 14.12 (664). Катер должен пересечь реку шириной L = 120 м и со скоростью течения u
= 0,6 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с
разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется
𝐿
выражением t = 𝑢 ctg 𝛼 ,где 𝛼 - острый угол, задающий направление его движения (
отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом 𝛼 (в градусах) нужно плыть,
чтобы время в пути было не больше 200 с?
Решение. По условию задачи время катера в пути не больше 200 с, поэтому выполняется
𝐿
неравенство t ≤ 200 или 𝑢 ctg 𝛼 ≤ 200. С учетом того, что L = 120 м и u = 0,6 м/с,
неравенство примет вид:
120
0,6
ctg 𝛼 ≤ 200 или ctg 𝛼 ≤ 1. Решаем неравенство
45° + 180° ∙ n ≤ ∝ ≤ 180° + 180° ∙ n, n ∈ Z.
С учетом того, что 0° < ∝< 90°, получаем при n = 0 решения 45° ≤ ∝< 90°, из которых
наименьшее ∝ = 45°.
Ответ. 45.
№ 14.13 (666). Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью 𝜗=
3,2 м/с под острым углом 𝛼 к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью
𝑚
u = 𝑚+𝑀 𝜗 cos 𝛼 (м/с), где m = 75 кг – масса скейтбордиста со скейтом, а M = 325 кг – масса
платформы. Под каким максимальным углом 𝛼 (в градусах) нужно прыгать, чтобы
разогнать платформу не менее чем до 0,3 м/с?
Решение. По условию задачи платформа должна разогнаться не менее чем до 0,3 м/с,
𝑚
поэтому выполняется неравенство u ≥ 0,3 или 𝑚+𝑀 𝜗 cos 𝛼 ≥ 0,3. С учетом того, что 𝜗= 3,2
м/с, m = 75 кг и M = 325 кг, неравенство примет вид:
75
∙ 3,2 cos 𝛼 ≥ 0,3 или cos 𝛼 ≥ 0,5. Решаем неравенство
75+325
- 60° + 360° ∙ n ≤ ∝ ≤ 60° + 360° ∙ n, n ∈ Z.
С учетом того, что 0° < ∝< 90°, получаем при n = 0 решения 0° < ∝ ≤ 60°, из которых
наибольшее ∝ = 60°.
Ответ. 60.
№14.14 (669). Груз массой 0,06 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по
закону 𝜗(t) = 2 sin 𝜋t, где t – время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в
𝑚𝜗 2
джоулях, вычисляется по формуле E = 2 , где m – масса груза (в кг), 𝜗 - скорость груза (в
м/с). Определить, какую долю времени из первой секунды после начала движения
кинетическая энергия груза будет больше 3∙10-2 Дж. Ответ выразите десятичной дробью,
если нужно, округлите до сотых.
Решение. По условию задачи кинетическая энергия груза будет больше 3∙10-2 Дж,
𝑚𝜗 2
поэтому выполняется неравенство E > 3∙10-2 или 2 > 3∙10-2. С учетом того, что m = 0,06
кг и закон изменения скорости 𝜗(t) = 2 sin 𝜋t, получаем:
0,06𝜗 2
2
1−cos 2𝜋t
2
> 3∙10-2;
1
≥ 4;
𝜗 2 ≥ 1;
1
cos 2𝜋t ≤ 2;
(2 sin 𝜋t) 2 ≥ 1;
𝜋
3
+ 2𝜋n ≤ 2𝜋t ≤
5𝜋
+ 2𝜋n, n ∈ Z;
3
1
4sin2 𝜋t ≥ 1; sin2 𝜋t ≥ 0,25;
1
3
+n≤ t≤
5
3
+ n, n ∈ Z.
Так как 0 ≤ t ≤ 1, то при n = 0 имеем 3 ≤ t ≤ 1 . Значит, кинетическая энергия груза будет
1
2
не менее 25∙10-2 Дж в течение 1- 3 = 3 (с), что составляет 0,666..≈ 0,67 от первой секунды.
Ответ. 0,67.
№14.15 (672). Груз массой 0,02 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по
закону 𝜗(t) = cos 𝜋t, где t – время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в
𝑚𝜗 2
джоулях, вычисляется по формуле E = 2 , где m – масса груза (в кг), 𝜗 - скорость груза (в
м/с). Определить, какую долю времени из первой секунды после начала движения
кинетическая энергия груза будет не менее 2,5∙10-3 Дж. Ответ выразите десятичной
дробью, если нужно, округлите до сотых.
Решение. По условию задачи кинетическая энергия груза будет не менее 2,5∙10-3 Дж,
𝑚𝜗 2
поэтому выполняется неравенство E ≥ 2,5∙10-3 или 2 ≥ 2,5∙10-3. С учетом того, что m =
0,02 кг и закон изменения скорости 𝜗(t) = cos 𝜋t, получаем:
0,02∙𝜗2
-
2𝜋
3
2
≥ 2,5∙10-3; 𝜗 2 ≥ 0,25; (cos 𝜋t)2 ≥ 0,25; cos2 𝜋t ≥ 0,25;
+ 2𝜋n ≤ 2𝜋t ≤
2𝜋
3
2
+ 2𝜋n, n ∈ Z; - 3 + n ≤ t ≤
2
2
1+cos 2𝜋t
2
1
1
≥ 4; cos 2𝜋t ≥ - 2;
+ n, n ∈ Z.
3
Так как 0 ≤ t ≤ 1, то при n = 0 имеем 0 ≤ t ≤ 3 . Значит, кинетическая энергия груза
2
2
будет не менее 25∙10-2 Дж в течение 3 - 0 = 3 (с), что составляет 0,666..≈ 0,67 от первой
секунды.
Ответ. 0,67.
№14.16. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону 𝜗(t) = 5sin 𝜋t ( в
см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость
движения превышала 2,5 м/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите
до сотых.
Решение. По условию задачи скорость движения превышает 2,5 м/с, поэтому
выполняется неравенство 𝜗(t) ≥ 2,5 или 5sin 𝜋t ≥ 2,5. Откуда получаем sin 𝜋t ≥ 0,5;
𝜋
5𝜋
1
5
+
2𝜋n
≤
𝜋t
≤
+
2𝜋n,
n
∈
Z;
+
2n
≤
t
≤
+ 2n, n ∈ Z.
6
6
6
6
1
Так как 0 ≤ t ≤ 1, то при n = 0 имеем
5
превышала 2,5 м/с в течение 6 Округляя, получаем 0,67.
Ответ. 0,67.
1
6
=
4
6
6
≤ t≤
=
2
3
5
6
. Значит, скорость движения груза
(с), что составляет 0,66…от первой секунды.
Литература.
1) ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / А.Л. Семенов, И. В.
Ященко и др. / под ред. А.Л. Семенова, И. В. Ященко - М.; Издательство «Экзамен». 2013 г.
2) Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. ЕГЭ 2014. Математика. Учебное
пособие. / А.В. Семенов, А. С. Трепалкин, И. В. Ященко и др. / под ред. И. В. Ященко ;
Московский Центр непрерывного математического образования. - М.; Интеллект- Центр,
2014 г.
3) Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В12. Задачи прикладного содержания
www.alexlarin.net
www.berdov.com/ege/formula/standard
www.postupivuz.ru/vopros/13601.htm