Документ 137881

Занятие №4
Формулы приведения
Формулы приведения позволяют вычислять значения тригонометрических функций
sin x, cos x, tg x, ctg x произвольного аргумента через значения тригонометрических функций
острого угла. Рассмотрим это утверждение подробно для функций sin x и cos x .
Если аргумент x больше 2 , то разделив x на 2 , получим x  2n  t , где t  0;2  и n  N .
Далее,
используя
периодичность
cos x  cos 2n  t   cost .
Если 0  t 

2
функций
sin x, cos x, получаем
, то утверждение доказано. Пусть t 

2
sin x  sin 2n  t   sin t ;
. Покажем, что и в этом случае вычисление
 
sin t и cost можно свести к значениям данных функций для угла    0;  , при этом значения t ,
 2
3

 t  2 можно представить в
равные  и  не рассматриваем. Действительно, любой угол
2
2

3
 
зависимости от величины t в виде   ,    ,    , 2   , где    0;  .
2
2
 2
Значения синусов и косинусов таких углов вычисляются по формулам суммы и разности аргументов.
Данные формулы называются формулами приведения для синуса и косинуса. Докажем некоторые из
них.




sin      sin cos   cos sin   cos   0  cos  ,
2
2
2





cos     cos cos   sin sin   0  sin    sin  ,
2
2
2

sin      sin  cos  cos  sin   0 - sin   -sin  , и т.д.
Аналогичные рассуждения можно провести для тангенса и котангенса. Если аргумент x больше  , то,
используя их периодичность, можем записать: tgx  tg πn  t   tgt , ctgx  ctg πn  t   ctgt , где
t  0;π  .
Для перехода к аргументу
 
   0;  воспользуемся формулами приведения для синуса и косинуса:

2


sin    


2
  cos   ctg .
tg    
2
 cos     - sin 


2

Аналогично доказываются следующие формулы приведения для тангенса и котангенса:


сtg      tg  , tg      tg , ctg      ctg .
2

Для запоминания формул приведения удобно использовать следующее правило.

3
 наименование тригонометрической функции меняется на
2
2
кофункцию ( sin на cos , cos на sin , tg на ctg , ctg на tg ). При переходе через углы  и 2
1) При переходе через углы
и
наименование функции сохраняется.
2) Знак перед приведенной функцией определяется знаком приводимой функции, в зависимости от
четверти, к которой принадлежит ее аргумент.
Например


sin      cos .
2

1.
Наименование функции меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое
приведенной функцией «+», поскольку

2


2

. Знак перед
2
    , а во второй четверти sin x  0 .
Другие примеры:
2. cos      cos
наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое  . Знак перед
3
приведенной функцией «-», поскольку      
, а в третьей четверти cosx<0
2


3. sin     вынесем за скобки «минус». Т.е. поменяем знак у каждого слагаемого, т.е. поменяем
2

 

местами слагаемые, чтобы получить формулу приведения sin   (   )  , т.к. функция синус
 2

нечетная, то знак минус вынесем за скобки
 



sin   (   )  = - sin     = - sinα
 2

2

4. cos(α-π) = cos(-(π - α) функция косинус четная, а значит знак минус можно просто опустить
cos(α-π) = cos(-(π - α) = cos(π - α) = - cosα


5. Иногда удобно использовать таблицы формул приведения. Найдем sin     используя
2



таблицу. Смотрим столбик и находим sinx , а в строчке находим     . На пересечении
2



столбца и строчки найдем значение выражения cosx. Окончательно имеем: sin     = cosx.
2

Формулы приведения
х

2


2

π+α
π-α
3

2
3

2
2π + α
2π - α
sin x
cos x
cos x
- sin x
sin x
- cos x
- cos x
sin x
- sin x
cos x
- sin x
sin x
- cos x
- cos x
sin x
- sin x
cos x
cos x
tg x
- ctg x
ctg x
tg x
- tg x
- ctg x
ctg x
tg x
- tg x
ctg x
- tg x
tg x
ctg x
- ctg x
- tg x
tg x
ctg x
- ctg x
Найдем значение выражения cos 1200
Решение
Мы представили 1200 как разность 1800 и 600. Учитывая, что для углов 1800 наименование функции
сохраняется, получим туже функцию cos. Угол 1800 - 600
является углом второй четверти, где
функция косинус имеет знак минус. Окончательно имеем: cos1200 = cos(1800 – 600) = - cos600 = -0,5
Найдем значение выражения: cos
Решение: из дроби
8-6 = 2, т.е.
cos ( 2 
8
3
8
выделим целую часть, для этого разделим 8 на 3. Целых 2 и остаток 8-2·3 =
3
8
2
= 2 
3
3
2
)наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое 2
3

, а в первой четверти cosx>0
2
2
2
2
2

2
cos ( 2 
)= cos
приведем угол
к углу первой четверти, т.е.
= π- , тогда cos ( 2 
)=
 . Знак перед приведенной функцией «+», поскольку 0  2   
3
3
3
3
3
3
2

cos
= cos(π- ) наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит
3
3
слагаемое  . Знак перед приведенной функцией «-», поскольку      
cosx<0. Окончательно имеем:
2
2


cos ( 2 
)= cos
= cos(π- ) = - cos = - 0,5
3
3
3
3
Проверь себя!
1. Упростить выражение:
а)sin(900 –α) + cos(1800 + α) + tg(2700+α) + ctg(3600 +α) (ответ: 0)
б) sin(π/2+α) - cos(α-π) + tg(π - α) + ctg(5π/2 - α) ( ответ: 2cosα)
2. Найдите значение выражения: а) sin 2400 ; б) cos (-2100) ; в) tg3000
Ответ. а) -
3
3
; б) ; в) 2
2
3

2
, а во второй четверти