3. ДИФРАКЦИЯ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ Лекция 1

Лекция 1
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
В основу анализа голограмм точечного источника было полошено
рассмотрение разности хода лучей от источника до голограммы, образуемой
сферическими или плоскими волнами. Для таких простых волн нетрудно найти
распределение комплексных амплитуд света непосредственно вблизи голограммы,
поэтому такая характеристика поля используется далее для описания основных
принципов записи и восстановления волнового фронта.
Однако если во входной плоскости имеется более сложное распределение
комплексных амплитуд и требуется определить, как оно изменяется при
прохождении света через однородное пространство, оптические элементы,
голограмму и т . п., то рассмотрение следует проводить в более общем виде.
Электромагнитные волны могут быть промодулированы во времени или, что
характерно для волн в оптическом диапазоне, в пространстве. При временной
модуляции распространение волны можно рассматривать в любой из двух
областей: временной или частотно-временной. Аналогично распространение
пространственно-модулированной волны, которое нас здесь интересует, можно
рассматривать либо в координатной области, либо в пространственно-частотной. В
координатной области комплексная амплитуда а' (х, у) выражается как функция
пространственных координат х, у плоскости наблюдения, через которую проходит
свет. То же самое распределение может быть выражено через ортогональные
пространственные частоты ξ и η.
Если к произвольному двумерному распределению комплексных амплитуд
света применить основную теорему анализа Фурье, то это распределение можно
записать в виде дискретной или непрерывной суммы синусоидальных
составляющих. Величина, обратная пространственному периоду любой из
компонент суммы, измеренному в выбранном направлении в плоскости
наблюдения, называется пространственной частотой этой компоненты в указанном направлении. Разлагая пространственный период по ортогональным
направлениям х и у, получаем соответствующие компоненты ξ и η
пространственной частоты. Таким образом, мы можем выразить распределение
комплексных амплитуд а (х, у) в координатной области через другую функцию
𝑨(𝛏 , 𝛈) в области пространственных частот. Функция 𝑨(𝛏 , 𝛈) определяется
двумерным фурье-образом 𝓕[ а (х, у) ] функции а (х, у):
∞
𝓕[а (х, у)] = ∬ а (х, у) 𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝒊𝛏𝐱)𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝒊𝛈𝐲)𝝏𝒙𝝏𝒚 = 𝑨(𝛏 , 𝛈).
(1.1)
−∞
Соотношение (4.1), из которого следует, ЧТО 𝐴(𝛏 , 𝛈) есть фурье-образ функции а (х,
у), в символической записи имеет вид а (х, у) ⊃ 𝑨(𝛏 , 𝛈). С другой стороны, а (х, у)
есть обратный фурье-образ 𝓕−𝟏 [𝐀 (𝛏 , 𝛈)] функции 𝑨(𝛏 , 𝛈):
∞
𝓕−𝟏 [𝐀 (𝛏 , 𝛈)] = ∬−∞ 𝐀 (𝛏 , 𝛈) 𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝛏𝐱)𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝛈𝐲)𝝏𝛏𝝏𝛈 =
а (х, у).
(1.2)
То обстоятельство, что функция а (х, у) является обратным фурье-образом функции
𝑨(𝛏 , 𝛈), символически можно записать как 𝑨(𝛏 , 𝛈) ⊂ а (х, у) . Заметим, что если
знак ⊃ указывает на прямое преобразование Фурье, a ⊂ — на обратное, то запись а
(х, у) ⊃ 𝑨(𝛏 , 𝛈) может читаться в обоих направлениях. При этом говорят, что 𝑨(𝛏 , 𝛈)
и а (х, у) образуют пару преобразований Фурье
Операция преобразования Фурье, связывающая координатную и частотную
области, отражает физическую сущность действия оптических систем.
Преобразование можно рассматривать как разложение сложной световой волны на
множество плоских солн, направляющие косинусы которых соответствуют
пространственным частотам. Анализ распространения и дифракции плоской
волны достаточно прост, но в то же время позволяет понять основные физические
принципы этих явлений.
Хотя прямой (4.1) и обратный (4.2) фурье-образы определяются интегралами с
бесконечными пределами, в большинстве случаев их можно заменить интегралами с
конечными пределами и выполнить преобразование оптическим методом. В гл. 6,
например, показано, что пространственные распределения комплексных амплитуд
света в передней и задней фокальных плоскостях сферической линзы образуют пару
преобразований Фурье. Это позволяет получать голограммы Фурье, интересные
особенности которых связаны с преобразованием Фурье. В настоящей главе мы
рассмотрим основные свойства преобразования Фурье, предполагая, что читатель
уже знаком в общих чертах с этой теорией. Более полное изложение вопроса можно
найти в работах [4.1 — 4.3].
§ 1. Линейные пространственно-инвариантные системы и преобразование
Фурье
Будем рассматривать оптическую систему, показанную на фиг. 4.1, как «черный
ящик»; иными словами, нас будет интересовать не содержимое ящика, а только то,
как он действует.
ФИГ. 4.1.
ящик».
Оптическая система, рассматриваемая как «черный
Мы хотим знать выходную функцию в плоскости Р2 при заданной входной функции в
плоскости Р1
При использовании когерентного света входной и выходной функциями могут
быть, например, функции распределения комплексных амплитуд света в плоскости
предмета и в плоскости изображения. Предположим, что входной функции а1(х, у)
соответствует выходная функция b1(х, у) , а входной функции а2 (х, у) соответствует
выходная функция b2(х, у). Систему называют линейной, если выполняется свойство
суперпозиции, т. е. для всех входных функций а1(х, у) и а2 (х, у) и для всех
постоянных с 1 и с 2 входная функция c1а1(х, у) +c2а2(х, у) преобразуется в выходную
функцию c1b1(х, у) +c2b2(х, у). Систему называют пространственно-инвариантной,
если входная функция а1(х — u, у — v) преобразуется в выходную b1 (х — u, у — v)
для всех a1 (х, у). Здесь и и v — постоянные; масштаб системы координат на выходе
выбран так, что увеличение равно единице. Заметим, что оптические системы очень
часто не являются пространственно-инвариантными по всей входной и выходной
плоскости. Однако обычно они пространственно-инвариантны внутри достаточно
малых областей, которые называют изопланарными участками. Тогда для любого
изопланарного участка систему считают линейной и пространственно-инвариантной.
Линейные и пространственно-инвариантные системы обладают свойством
преобразовывать синусоидальный сигнал на входе
У
ФИГ. 1.2.
Двумерная синусоидальная функция
с периодом А и пространственными частотами ξ и η.
в синусоидальный сигнал той же частоты на выходе. Синусоидальная двумерная
функция показана на фиг. 4.2. Такая зависящая от x и у функция с периодом A
описывается формулой
(4.3)
⃗ ∙𝒏
𝒓
⃗
⃗⃗ , ⋀) 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅 (
𝒂(𝒙, 𝒚) = 𝑨(𝒏
)
⋀
⃗ , ⋀) — амплитуда косинусоидальной функции; 𝒓
⃗ = 𝒙𝒊 + 𝒋𝒚 радиус-вектор; і и
где 𝑨(𝒏
⃗⃗ — единичный вектор в
j — единичные векторы в направлении осей х и у, а 𝒏
направлении, соответствующем периоду ⋀.
⃗⃗ = 𝒊⃗ 𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒋⃗ 𝒄𝒐𝒔𝜷 ;
Из фиг. 4.2 видно, что 𝒏
тогда
(4.4)
𝒂(𝒙, 𝒚) = 𝑨(𝛏 , 𝛈) 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅 (𝝃𝒙 + 𝜼𝒚)
где пространственные частоты
𝒄𝒐𝒔𝜶
𝝃=
,
⋀
𝜼=
𝒄𝒐𝒔𝜷
⋀
есть величины, обратные пространственным периодам, измеренным по осям х и у
соответственно. Вещественную функцию а (x, у) можно представить в виде Re [а (x,
у)] (гл. 1, § 3), где a (х, у) — комплексная величина, и затем использовать в расчетах
величину а (x, у), опуская символ Re. Тогда получим
𝐚(𝒙, 𝒚) = 𝑺(𝛏 , 𝛈)𝑨(𝛏 , 𝛈)𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝒙)𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝜼𝒚),
(4.5)
Таким образом, для линейной пространственно-инвариантной системы выходная
функция b(х, у), соответствующая входной функции a(х, у), имеет те же
пространственные частоты, что и a(х, у), и
𝒃(𝒙, 𝒚) = 𝑺(𝛏 , 𝛈)𝑨(𝛏 , 𝛈)𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝒙)𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝜼𝒚),
(4.6)
где 𝑺(𝛏 , 𝛈) — частотная передаточная функция (см., например, [4.1]).
Это простое соотношение между входной и выходной синусоидальными
функциями показывает, что для описания линейной пространственно-инвариантной
оптической системы может служить частотная передаточная функция 𝑺(𝛏 , 𝛈) ).
Обычно входные функции оптических систем не являются синусоидальными, но в
соответствии с (4.1) и (4.2) их можно разложить по синусоидальным функциям с
помощью прямого и обратного преобразований Фурье:
∞
𝑨(𝛏 , 𝛈) = ∬ а (х, у) 𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝒊𝛏𝐱)𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝒊𝜼𝒚)𝝏𝒙𝝏𝒚,
−∞
И
∞
а (х, у) = ∬ 𝑨(𝛏 , 𝛈) 𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝛏𝐱)𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝜼𝒚)𝝏𝛏𝝏𝛈,
−∞
Функцию 𝑨(𝛏 , 𝛈) часто называют спектром функции а (х, у). Предположим, что в
формуле
(4.2)
а(х,
у)
является
входной
функцией
линейной
пространственно-инвариантной системы, и нас интересует выходная функция b(х, у).
В соответствии с (4.6) мы должны каждую фурье-компоненту умножить на
соответствующую частотную передаточную функцию 𝑺(𝛏 , 𝛈) . Выполняя эту
операцию, получаем следующее выражение для выходной функции b(х, у):
∞
𝒃(𝐱 , 𝒚) = ∬ 𝑨(𝛏 , 𝛈) 𝑺(𝛏 , 𝛈)𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝛏𝐱)𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝜼𝒚)𝝏𝛏𝝏𝛈,
(4.7)
−∞
Из формулы (4.7) следует, что выходная функция линейной пространственно-инвариантной системы есть фуръе-образ произведения спектра
входной функции на частотную передаточную функцию. Выражая тот же результат
через пространственные частоты (в пространстве Фурье), получаем, что спектр
выходной функции линейной пространственно-инвариантной системы равен произведению спектра входной функции на частотную передаточную функцию, т. е.
𝑩(𝛏 , 𝛈) = 𝑨(𝛏 , 𝛈)𝑺(𝛏 , 𝛈),
(4.8)
Лекция 2.
Формулы соответствия и преобразования Фурье
Формула (4.8) устанавливает связь между входным и выходным сигналами
линейной пространственно-инвариантной системы посредством операции
умножения в области пространственных частот. Как мы увидим, в координатной
области тоже существует операция, определяющая связь между входным и
выходным сигналами. Такое соответствие между операциями в двух областях
обусловлено общими свойствами преобразования Фурье; можно было бы привести
много других подобных примеров. Вообще говоря, существует два типа соответствий
между частотной и координатной областями. К первому типу относится соответствие
операций. Каждой операции в координатной области, например сложению или
умножению двух функций, соответствует операция в области пространственных
частот, причем не обязательно совпадающая с операцией в координатной области. Ко
второму типу соответствий относится соответствие функций. Каждой функции в
координатной области соответствует другая функция в частотной области.
(Существуют такие нерегулярные функции, которые не имеют фурье-образов, но мы
их здесь не рассматриваем.)
Хотя входные и выходные функции оптических систем обычно являются
двумерными, основные задачи оптики часто могут быть рассмотрены с помощью
одномерного анализа. Это упрощает математические выражения и графическое
представление. Кроме того, двумерную функцию, записанную в соответствующей
системе координат, часто можно представить как произведение двух одномерных
функций. Фурье-образ такой функции равен произведению фурье-образов двух
одномерных функций. Прямое и обратное фурье-преобразования одномерной
функции имеют вид
∞
𝑨(𝛏 ) = ∫ 𝒂(𝒙) 𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝒊𝛏𝐱)𝝏𝐱,
(4.9)
−∞
∞
𝒂(𝐱 ) = ∫ 𝑨(𝛏 ) 𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝛏𝐱)𝝏𝛏 ,
(4.10)
−∞
Некоторые функции, являющиеся двумерными в прямоугольной системе
координат, могут быть представлены как одномерные в полярной системе координат.
Примерами таких функций, интересных для голографии, являются функция Гаусса и
функция круговой апертуры. Функцию Гаусса 𝒆𝒙𝒑(−𝝅𝒈𝒓𝟐 ), где g — постоянная и
𝒓𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 можно представить как произведение
𝒆𝒙𝒑(−𝝅𝒈𝒙𝟐 )𝒆𝒙𝒑(−𝝅𝒈𝒚𝟐 ),
так что ее фурье-образ можно найти путем двукратного применения соотношения
(4.9). Вычисление фурье-образа одномерной функции производится следующим
образом:
∞
𝑨(𝛏 ) = ∫ 𝒆𝒙𝒑(−𝝅𝒈𝒙𝟐 ) 𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝒊𝛏𝐱)𝝏𝐱
−∞
∞
= ∫ 𝒆𝒙𝒑[−𝝅(𝒈𝒙𝟐 − 𝟐𝒊𝛏𝐱)]𝝏𝐱
−∞
∞
𝟐
𝝅𝛏𝟐
𝒊𝛏
= 𝒆𝒙𝒑 (−
) ∫ 𝒆𝒙𝒑 [−𝝅 (√𝒈𝒙 −
) ] 𝝏𝒙
𝒈
√𝒈
(4.9)
−∞
∞
𝝅𝛏𝟐
=
𝒆𝒙𝒑 (−
) ∫ 𝒆𝒙𝒑 [−𝝅 (√𝒈𝒙
𝒈
√𝒈
−∞
𝟏
−
𝒊𝛏
√𝒈
𝟐
𝟏
) ] √𝒈𝝏𝒙 ==
√𝒈
𝒆𝒙𝒑 (−
𝝅𝛏𝟐
),
𝒈
где интеграл с бесконечными пределами в предпоследней строке равен единице.
Тогда для функции A (v), являющейся фурье-образом функции 𝒆𝒙𝒑(−𝝅𝒈𝒙𝟐 ), имеем
𝝅𝛏𝟐 𝟏
𝝅𝛈𝟐
𝟏
𝝅𝒗𝟐
𝐀 (𝒗) =
𝐞𝐱𝐩 (−
)
𝐞𝐱𝐩 (−
) = 𝐞𝐱𝐩 (−
)
𝒈 √𝐠
𝒈
𝐠
𝒈
√𝐠
𝟏
где
𝒗𝟐 = 𝛏𝟐 + 𝛈𝟐 .
Функция круговой апертуры rect(r/2c) равна единице в круге радиусом с и нулю
при r>c. Чтобы найти ее фурье-образ, следует записать (4.1) в цилиндрических
координатах. Положим
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃,
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃,
𝜉 = 𝑣𝑐𝑜𝑠𝜑,
𝜂 = 𝑣𝑠𝑖𝑛𝜑,
𝑟
1 для 𝑟 < 𝑐,
)={
0 для 𝑟 > 𝑐.
2𝑐
𝑎(𝑥, 𝑦) = 𝑟𝑒𝑐𝑡 (
Тогда формула (4.1) принимает вид
𝒄
𝟐𝝅
𝒄
𝐀 (𝒗) = ∫𝟎 [∫𝟎 𝒆𝒙𝒑[𝟐𝝅𝒊𝒓𝒗 𝒄𝒐𝒔(𝜽 − 𝝋)]𝝏𝜽] 𝒓𝝏𝒓 = ∫𝟎 [𝟐𝝅𝑱𝟎 (𝟐𝝅𝒓𝒗)] 𝒓𝝏𝒓 =
𝒄
𝟏
∫ (𝟐𝝅𝒓𝒗)𝑱𝟎 (𝟐𝝅𝒗𝒓) 𝝏(𝟐𝝅𝒗𝒓)
𝟐𝝅𝒗𝟐 𝟎
=
𝟐𝝅𝒗𝒄
𝑱 (𝟐𝝅𝒗𝒄)
𝟐𝒄𝒗𝟐 𝟏
= 𝝅𝒄𝟐
𝑱𝟏 (𝟐𝝅𝒗𝒄)
𝝅𝒗𝒄
.
Здесь мы воспользовались следующими соотношениями:
2𝜋
2𝜋𝐽0 (𝑥) = ∫0 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽)𝜕𝛽
и
∫ 𝑥𝐽0 (𝑥)𝜕𝑥 = 𝑥𝐽1 (𝑥)
(CM. [4.4]), где J0 И J1 — функции Бесселя первого рода соответственно нулевого и
первого порядков. Функция
𝑱𝟏 (𝟐𝝅𝒗𝒄)
.
𝝅𝒗𝒄
имеет максимальное значение, равное единице, при v = 0, следовательно, функция A
(v) достигает своего максимального значения, равного 𝝅𝒄𝟐 , в начале координат
частотной плоскости. Функция A (v) показана на фиг. 4.7. Ширину кривой A (v)
принимают равной величине v0 = 0,61 /с, т. е. полуширине центрального пика.
В литературе имеются подробные таблицы фурье-преобразований (см., например,
[4.5]), на которые мы при необходимости будем ссылаться. Однако полезно
рассмотреть здесь некоторые из основных операций фурье-анализа и привести в
наших обозначениях наиболее употребительные соотношения между функциями.
Для обозначения функций в координатной области мы будем пользоваться
строчными буквами, для обозначения функций в частотной области — прописными, а
символом ⊃ будем указывать на фурье-соответствие функций в частотной и
координатной областях. Каждому соответствию, обозначенному символом ⊃ отвечает обратное соответствие, обозначаемое символом ⊂ , за исключением
соотношений (4.20) и (4.21), относящихся к операции сдвига, а также соотношения
(4.33).
§ 3. Операция свертки
Рассмотрение операций, устанавливающих соответствие между функциями в
разных областях, начнем со следующего соотношения:
∞
𝒃(𝒙 ) = ∫ 𝒂( 𝒖)𝒔(𝒙 − 𝒖)𝝏𝒖 ⊃ 𝑨(𝝃)𝑺(𝝃) = 𝑩(𝝃).
(4.11)
−∞
Интеграл, стоящий слева, называется интегралом свертки; его часто записывают
следующим образом:
∞
∫ 𝒂( 𝒖)𝒔(𝒙 − 𝒖)𝝏𝒖 = 𝒂(𝒙) ∗ 𝒔(𝒙),
−∞
где символ * означает операцию свертки. Соотношение (4.11) выражает очень
важную теорему свертки, согласно которой фуръе-образ свертки двух функций равен
произведению их фуръе- образов. Соотношение (4.11) легко доказать с помощью
определений фурье-образа (4.9) и (4.10):
∞
∞
∞
∫ 𝒂( 𝒖)𝒔(𝒙 − 𝒖)𝝏𝒖 = ∫ 𝒂(𝒖) ∫ 𝑺(𝝃) 𝒆𝒙𝒑 [– 𝟐𝝅𝒊(𝒙 − 𝒖)𝝃]𝒅𝝃𝒅𝒖 =
−∞
∞
−∞
−∞
∞
= ∫ 𝑺(𝝃) [∫ 𝒂(𝒖)𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝒊𝒖𝝃)𝒅𝒖] 𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝒖𝝃)𝒅𝝃 =
−∞
∞
−∞
= ∫ 𝑨(𝝃) 𝑺(𝝃)𝒆𝒙𝒑 (−𝟐𝝅𝒊𝒙𝝃)𝒅𝝃 ⊃ 𝑨(𝝃, 𝜼)𝑺(𝝃, 𝜼).
−∞
Заметим, что по виду последнего интеграла нельзя сказать, которая из функций,
стоящих под интегралом свертки, имеет сдвиг. Следовательно, операция свертки
коммутативна, т. е.
𝒂(𝐱 ) ∗ 𝒔(𝒙) = 𝒔(𝒙) ∗ 𝒂(𝒙).
В гл. 14 будет использовано следующее свойство операции свертки, относящееся
к влиянию сдвига одной из функций, стоящих под интегралом свертки: если функция
а (х) смещена на расстояние с относительно своего начального положения, то
свертка а (х — с) * s (х) может быть выражена через смещенную свертку начальных
функций а (х) и s (х). Пусть
∞
𝒂(𝐱 ) ∗ 𝒔(𝒙) = ∫ 𝒂(𝒖) 𝒔(𝒙 − 𝒖)𝒅𝒖 = 𝒉(𝒙),
−∞
Тогда
∞
𝒂(𝐱 − 𝐜) ∗ 𝒔(𝒙) = ∫ 𝒂(𝒖 − 𝒄) 𝒔(𝒙 − 𝒖)𝒅𝒖
−∞
∞
= ∫ 𝒂(𝒗) 𝒔[(𝒙 − 𝒄) − 𝒗]𝒅𝒗 = 𝒉(𝒙 − 𝒄),
(4.12)
−∞
где 𝒗 = 𝒖 − 𝒄,
Смысл интеграла свертки можно уяснить с помощью фиг. 4.3, на которой показаны
вещественные функции a (u), s(u), а также функция s(-u), являющаяся зеркальным
отражением функции s(и) относительно оси ординат. Для нахождения интеграла
(4.11) нужно построить зеркальное отражение функции s (и), полученную функцию
сдвинуть по оси и вправо на отрезок х, умножить сдвинутую функцию s (х — и) на а
(и) и вычислить площадь под кривой а(и)s(х — и). В результате мы получим одно
значение функции b(х). Повторяя указанные действия для различных значений
сдвига х, можно построить функцию b(х).
f (u)
.
ФИГ. 4.3
Иллюстрация операции свертки.
Площадь под кривой а (и) s (х —
и) численно
равна значению свертки B(Х) в
точке Х
.
Фиг. 4.4 иллюстрирует операцию свертки двух простых прямоугольных функций.
Сдвинутая функция s (х — и) перемещается вдоль функции а (и) (верхняя часть фиг.
4.4). Свертка этих двух функций отлична от нуля только для тех значений сдвига х,
при которых функции перекрываются. Ширина свертки, изображенной как функция
от х (нижняя часть фиг. 4.4), равна сумме ширин функций, подвергаемых операции
свертки. Последнее справедливо для функций произвольной формы.
Если функцию 𝑨(𝝃) стоящую в правой части соотношения (4.11), рассматривать
как частотный спектр входной функции линейной пространственно-инвариантной
системы, a 𝑺(𝝃) как частотную передаточную функцию, то 𝑩(𝝃), согласно равенству
(4.8), есть частотный спектр выходной функции b(х). Вид выходной функции,
выражаемой интегралом свертки, определяется видом входной функции и
передаточными характеристиками системы. В соотношении (4.11) а (х) можно
рассматривать как входную функцию, фурье-образ которой равен 𝑨(𝝃) ;
следовательно, для нахождения выходной функции остается определить вид функции
s(х). Для этого сначала рассмотрим некоторые полезные свойства 𝜹 -функции
Дирака:
𝜹(𝒙) = 𝟎 при 𝒙 ≠ 𝟎,
(4.13a)
𝜹(𝒙) = 𝜹(−𝒙),
(4.13б)
∞
∫ 𝜹(𝒙) 𝒅(𝒙) = 𝟏,
(4.13в)
−∞
𝜹(𝒂𝒙) =
𝟏
𝜹(𝒙),
|𝒂|
(4.13г)
∞
∫ 𝒇(𝒙)𝜹(𝒙 − 𝒂) 𝒅(𝒙) = 𝒇(𝒂),
(4.13l)
−∞
Свойство (4.13д) называют фильтрующим свойством 𝜹 - функции. Оно выражает тот
факт, что свертка какой-либо функции с 𝜹 - функцией равна самой функции.
Предположим, что на вход системы подан импульс, т. е. входная функция а(х)
представляет собой 𝜹 -функцию. Заменяя в (4.11) a (и) на 𝜹 (и), получаем
∞
𝒃(𝒙) = ∫ 𝜹(𝒖)𝒔(𝒙 − 𝒖)𝒅𝒖
−∞
∞
∞
(4.14)
= ∫ 𝒔(𝒖)𝜹(𝒙 − 𝒖)𝒅𝒖 = ∫ 𝒔(𝒖)𝒔(𝒖 − 𝒙)𝒅𝒖 = 𝒔(𝒙).
−∞
−∞
Здесь мы использовали соотношение (4.13д), коммутативность операции свертки [см.
доказательство соотношения (4.11)] и симметричность 𝜹 -функции. Итак, видно, что
s(x), представляет собой выходную функцию, или отклик системы, соответствующий
импульсу на входе. Импульсный отклик s(x) в оптике называют функцией рассеяния.
Она характеризует распределение комплексной амплитуды света в выходной
плоскости, соответствующее точечному источнику света, т. е. 𝜹 -функции во входной
плоскости. Согласно (4.11),
𝒔(𝒙) ⊃ 𝑺(𝝃),
(4.15)
т. е. для линейной пространственно-инвариантной системы фуръе- образ функции
рассеяния есть частотная передаточная функция.
ФИГ. 4.4.
Свертка двух прямоугольных функций.
Вверху показано перемещение одной функции
относительно другой. Внизу представлена свертка
как функция от я, откуда видно, что ширина свертки
равна сумме ширин функций, подвергаемых
операции свертки.
Кроме того, соотношение (4.11) можно интерпретировать следующим образом:
выходная функция линейной пространственно- инвариантной системы равна
свертке входной функции и функции рассеяния.
Другим примером, поясняющим смысл операции свертки и ее связь с линейной
пространственно-инвариантной системой, может служить функция
𝟏
𝒙
𝑰(𝒙) =
𝒓𝒆𝒄𝒕 ,
(4.16)
∆𝒖
∆𝒖
т. е. симметричная относительно оси ординат узкая прямоугольная функция,
определенная в области от — ∆𝒖 /2 до + ∆𝒖/𝟐 и имеющая высоту 𝟏/∆𝒖 (фиг. 4.5, a).
Пусть функции I(х) на входе системы соответствует функция s(x) на выходе (фиг. 4.5,
б). Выразим через I(x) произвольную входную функцию a(х). Вещественная входная
функция a (х), показанная на фиг. 4.5, в, представлена в виде совокупности
прямоугольных функций шириной ∆𝒖 . Для каждого значения x, x=u, высота
прямоугольной функции равна a(u) и функция сдвинута на u от центра функции I(x).
Высота a(u) в a(u) ∆𝒖 раз больше высоты I(x). Следовательно прямоугольную
функцию при х = и можно представить в виде
𝒂(𝒖)𝑰(𝒙 − 𝒖)∆𝒖.
Учитывая свойство линейности, получаем, что выходная функция, соответствующая
такой входной, будет в a(u) ∆𝒖 раз больше выходной функции, соответствующей I
(х). Из пространственной инвариантности системы следует, что смещение входной
функции на и вызывает в свою очередь такое же смещение выходной функции s(x),
не изменяя ее вида. Следовательно, выходная функция, соответствующая функции а
(и) I (х — и) ∆𝒖 , равна
𝒂(𝒖)𝒔(𝒙 − 𝒖)∆𝒖..
ФИГ.4.5 Свертка входной ф ункции с откликом системы на узк ую
прямоугольн ую ф ункцию. а – прямоугольная ф ункция I(x); б – отклик
линейной пространственно -инвариантной системы на входную ф ункцию
I(x); в входная функция, представленная в виде совок упности
прямоугольных ф ункций; г – схема, показывающая, что для любого
значения x равна сумме ординат при данном x всех кривых,
представляющих собой отклики.
Тогда совокупности прямоугольных функций, составляющих a(x), соответствует
сумма выходных функций
∑ 𝐚(𝐮)𝐬(𝐮 − 𝐱)∆𝐮,
что и показано на фиг. 4.5, г.
Совершим теперь переход ∆𝐮 → 𝒅𝒖 , т. е. заменим конечное приращение ∆𝐮
бесконечно малым du. При этом сумма переходит в интеграл, стоящий в
соотношении (4.11)
∞
𝑏(𝑥) = ∫ 𝒂(𝒖)𝒔(𝒖 − 𝒙)𝒅𝒖,
(4.17)
−∞
где для общности функции а(х) и s(x) взяты комплексными. Таким образом,
вследствие линейности и пространственной инвариантности системы выходная
функция представляет собой свертку входной функции и отклика на узкую
импульсную функцию.
§ 4. Другие виды соответствия операций
Ниже мы рассмотрим некоторые операции в координатной области и те операции,
которые соответствуют им в частотной области. Для первой из них, операции
корреляции, теорема фурье-преобразования доказывается аналогично теореме
свертки. Доказательство остальных также не вызывает затруднений и может быть
найдено в книге [4.1].
а. Операция корреляции
∞
∫ 𝒂∗ (𝒖)𝒔(𝒖 + 𝒙)𝒅𝒖) ⊃ 𝑨∗ (𝝃)𝑺(𝝃),
(4.18)
−∞
Интеграл
слева
называется
кросс-корреляцией функций а(x) и s(х)
и может быть записан в виде
∞
𝑐(𝑥) = ∫ 𝒂∗ (𝒖)𝒔(𝒖 + 𝒙)𝒅𝒖
(4.19)
−∞
∗ (𝒖)
=𝒂
то найдем, что в координатной области это приведет к умножению
соответствующей
функции
(обратного фурье-образа) на фазовый
множитель, являющийся линейной
функцией координат:
𝐴(𝜉 − 𝑐)
∗ 𝒔(𝒙),
⊂ 𝑎(𝜉)𝑒𝑥𝑝(−2𝜋𝑖𝑐𝑥).
(4.21)
где символ * означает операцию
корреляции. Заметим, что операция
корреляции не является коммутативной,
она отличается от операции свертки тем,
что для ее нахождения берется
комплексно-сопряженная функция а*(х)
и функция s(х), а не ее зеркальное
отражение относительно оси ординат.
Соотношение (4.18) означает, что
фуръе-образ кросс-корреляции двух
функций
есть
произведение
комплексно-сопряженного
фуръе-образа одной функции и фуръеобраза другой. Если в (4.19) а(х) = s(х),
то с(х) называется автокорреляцией.
Заметим, что показатели экспоненты
в соотношениях (4.20) и (4.21)
отличаются знаками.
б. Операция сдвига
Смещение функции в координатной
области приводит не к смещению
соответствующей
функции
(ее
фурье-образа) в частотной области, а к
умножению фурье-образа несмещенной
функции на фазовый множитель, фаза
которого является линейной функцией
частоты:
и
𝑎(𝑥 − 𝑐) ⊃ 𝐴(𝜉)𝑒𝑥𝑝(2𝜋𝑖𝜉𝑐).
в. Теорема подобия
Если в координатной области
произведено «сжатие» координат,
то в частотной области это вызовет
«растяжение» координат:
𝑎(𝑐𝑥) ⊃
1
𝜉
𝐴( ).
|𝑐| 𝑐
г. Сложение и умножение на число
𝑎(𝑥) + 𝑏(𝑥) ⊃ 𝐴(𝜉) + 𝐵(𝜉)
𝑐𝑎(𝑥) ⊃ 𝑐𝐴(𝜉).
(4.23)
(4.24)
д. Инверсия
Инверсия функции в координатной
области вызывает инверсию в частотной
области
𝑎(−𝑥) ⊃ 𝐴(−𝜉).
(4.20)
Соотношение (4.20) используется для
описания оптических схем опознавания
образов. Если мы теперь произведем
смещение функции в частотной области,
(4.22)
е. Фуръе-образ
комплексно-сопряженной
свойство симметрии
(4.25)
функции
и
𝑎∗ (±𝑥) ⊃ 𝐴 ∗ (− ± 𝜉).
(4.26)
Если функция в координатной области
действительная
и
четная,
т.
е.
а(х)=а(—х), то из (4.25) следует, что А (ξ)
= А (—ξ). Из соотношения (4.26) имеем А
(ξ) = А * (ξ). Следовательно,
ФИГ. 4.7 Пары преобразований Фурье,
соответствующие соотношениям
(4.32)—(4.34).
фурье-образом действительной в
координатной
области
функции
является эрмитова функция. Это значит,
что
фурье-образ
действительного
сигнала можно полностью определить,
если известны его частоты в
положительной области, и при решении
задач, в которых рассматриваются
действительные сигналы (например,
электрические), можно ограничиться
только этими частотами.
Фиг. 4.6 Пары преобразований Фурье,
соответствующие соотношениям (4.27),
(4.28), (4.31).
действительной и четной функции в
координатной области соответствует
действительный и четный фуръе-образ.
С учетом этого Брэгг выбрал для своих
экспериментов по рентгеновской микроскопии объекты, имеющие центр
симметрии, т. е. объекты, структура
которых описывается действительными
четными функциями (см. гл. 2, § 1).
Если а (х) ⊃ А (ξ) и а (х)
—действительная функция, то, согласно
(4.26), имеем a(x) ⊃ А*(- ξ). Из последнего
выражения следует, что функция А (ξ)
эрмитова. Следовательно,
§ 5. Некоторые соответствия функций
Ниже приводятся наиболее важные
пары преобразований Фурье; большая
часть из них изображена на фиг. 4.6 и
фиг. 4.7. В каждой из этих пар возможна
взаимная замена переменных х и ξ, за
исключением соотношений (4.29) и
(4.30), являющихся наиболее простыми
примерами операции сдвига, а также
соотношения (4.33)
𝑒𝑥𝑝(−𝜋𝑐𝑥 2 )
𝜉2
⊃ 1/2 𝑒𝑥𝑝 (−𝜋 ).
𝑐
𝑐
(4.27)
𝛿(𝑥) ⊃ 1
(4.28)
𝛿(𝑥 + 𝑐) ⊃ 𝑒𝑥𝑝(−2𝜋𝑖𝜉𝑐)
(4.29)
1
𝑒𝑥𝑝(2𝜋𝑖𝑐𝑥) ⊃ 𝛿(𝜉 + 𝑐)
(4.30)
𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑐𝑥 1
𝜉
⊃ 𝑟𝑒𝑐𝑡( )
𝜋𝑐𝑥
𝑐
𝑐
(4.31)
1
𝑐
𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑐𝑥 ⊃ 𝛿 (𝜉 + )
2
2
𝑖
𝑐
− 𝛿(𝜉 − )
2
2
𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑐𝑥 ⊃
𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝑖
𝑐
𝛿 (𝜉 − )
2
2
𝑖
𝑐
− 𝛿(𝜉 + )
2
2
𝑟
𝑐𝐽1 (2𝜋𝑐𝑣)
)⊃
2𝑐
𝑣
(4.32)
(4.33)
(4.34)
В соотношении (4.34) функции
rect(r/2c) и cJ1 (2𝜋cv)/v, где r2 = х 2 + у 2 и
v2 = ξ 2 + η 2 , обладают осевой симметрией;
через J1 обозначена функция Бесселя
первого рода первого порядка.
Лекция 2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
При получении голограммы на пути света, испущенного источником, приходится
помещать различные препятствия. Ими могут быть светоделители, зеркала,
микрообъективы, линзы, диафрагмы, а также объект голографирования и
фотопластинка. Каждый из этих элементов по-своему воздействует на световой
пучок. Так как их размеры конечны, то они оказывают влияние лишь на часть пучка,
вызывая потери оптической информации.
Дифракция на препятствиях не является единственной причиной изменения
световой волны. Даже в процессе обычного распространения света в пространстве
происходит изменение поля его комплексных амплитуд. Примером этого может
служить рассматриваемое далее в гл. 6 свойство тонких линз выполнять преобразование Фурье распределения амплитуд в световой волне. Мы увидим, что для
осуществления преобразования Фурье необходимо не только, чтобы свет прошел
через линзу, но и чтобы он прошел после этого путь, равный фокусному расстоянию
линзы. Процесс получения голограмм и их изображающие свойства можно
объяснить с помощью теории дифракции.
В этой главе мы рассмотрим распространение и дифракцию плоских волн сначала
на препятствиях простой, а затем более сложной формы. Будет установлена связь
между распределением комплексных амплитуд света в плоскости объекта и в
плоскости, удаленной от него на некоторое расстояние в направлении распространения волн. Анализ проводится в области пространственных частот. Хотя этот
подход отличается от принятого во многих учебниках по оптике, мы увидим, что он
естественно вытекает из исходных представлений. При обычном методе анализа, т. е.
в координатной области, связь между амплитудами светового поля в двух плоскостях
устанавливается с помощью интеграла Френеля — Кирхгофа. Мы покажем
эквивалентность того и другого подхода к решению задач о дифракции.
§ 1. Волновое уравнение и его решение для монохроматической волны
Уравнения Максвелла устанавливают связь между производными по координатам
и времени от векторных величин, характеризующих электромагнитное поле. Для
волн, распространяющихся
в свободном пространстве, из уравнений Максвелла можно получить волновое
уравнение
𝛻 2 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =
1 𝑑 2 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑐2
𝑑𝑡 2
(5.1)
(см. [5.1]). В соответствии со сказанным в гл. 1, § 2, будем рассматривать только
вектор электрического поля 𝑣 через с обозначена скорость света; t — время, V2 —
оператор Лапласа, а х, у, z — декартовы координаты. Из условий интерференции,
выведенных в гл. 1, § 3, п. 1, вытекает, что в уравнении (5.1) векторные величины
можно заменить скалярными, т. е.
𝛻 2 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =
1 𝑑 2 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑐2
𝑑𝑡 2
(5.2)
где и (х, у, z, t) — одна из двух взаимно перпендикулярных компонент
электрического поля, колеблющихся в плоскости, перпендикулярной направлению
распространения волны.
Если, как в предыдущих главах, рассматривать монохроматический свет с
частотой f, то решением уравнения (5.2) будет синусоидальное скалярное поле
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑐𝑜𝑠[2𝜋𝑖𝑓𝑡 + 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧)],
(5.3)
или, по аналогии с (1.6),
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑅𝑒[𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒𝑥𝑝(2𝜋𝑖𝑓𝑡)],
(5.4)
где а (х, у, z) — комплексная амплитуда, или фазор, определяющий как амплитуду,
так и фазу волны,
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑅𝑒[𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒𝑥𝑝(2𝜋𝑖𝑓𝑡)],
(5.5)
Для удобства математических выкладок символ Re [ ] отбрасывают и в (5.2)
величину v заменяют комплексной величиной v. Делая эту замену, следует помнить,
что в действительности физическая величина электрического поля вещественна.
§ 2 . Решение волнового уравнения для случая - плоской волны
Волна называется плоской, если ее амплитуда и фаза в любой момент времени
постоянны по всей плоскости, уравнение которой имеет вид
𝑟 ∙ 𝑛⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(5.6)
где, 𝑟 — радус-вектор точки в пространстве, a 𝑛⃗ — единичный вектор, нормальный
к рассматриваемой плоскости (фиг. 5.1).
Положим, что удовлетворяющая волновому уравнению комплексная величина
электрического поля v имеет вид
⃗ 𝑟 ∙ 𝑛⃗)𝑒𝑥𝑝(𝑖2𝜋𝑓𝑡),
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ) = 𝑎1 𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑘
(5.7)
где a1 — постоянная амплитуда волны, а k — константа, физический смысл и
величину которой мы определим далее. Если произведение 𝑟 ∙ 𝑛⃗ постоянно по всей
плоскости, то, согласно (5.7), фаза
ФИГ. 5.1.
Плоская волна в прямоугольной системе
координат х, у, z.
волны в любой момент времени тоже постоянна по всей этой плоскости. Для
конкретных значений r=r1 и t=t1 фаза волны будет равна 2𝜋𝑓𝑡1 − 𝑘𝑟⃗⃗⃗1 𝑛⃗ = 𝜑1 (𝑟1 , 𝑡1 ) В
более поздний момент времен t2 > t1 то же значение фаза будет иметь на большем
расстоянии ⃗⃗⃗
𝑟2 ∙ 𝑛⃗ > ⃗⃗⃗
𝑟1 ∙ 𝑛⃗, в то время как на прежнем расстоянии ⃗⃗⃗
𝑟1 ∙ 𝑛⃗
она
возрастет. Таким образом, плоскости постоянных фаз перемещаются в пространстве,
и решение волнового уравнения, имеющее вид (5.7), представляет собой плоские
волны. Направление вектора 𝑛⃗, нормального к плоскости постоянной фазы, является
направлением распространения волны. Если 𝒄𝒐𝒔𝜶, 𝒄𝒐𝒔𝜷, 𝒄𝒐𝒔𝜸 — направляющие
косинусы вектора 𝑛⃗ (фиг. 5.1), то равенство (5.7) можно записать в виде
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧. 𝑡) = 𝑎1 𝑒𝑥𝑝[−𝑖𝑘(𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑧𝑐𝑜𝑠𝛾]𝑒𝑥𝑝(𝑖2𝜋𝑓𝑡),
(5.8)
Где x, y и z — компоненты вектора 𝑟 в декартовых координатах. Подстановка
решения вида (5.8) в волновое уравнение (5.2) дает
−𝑘 2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾) = −
4𝜋𝑓 2
4𝜋 2
=
−
𝑐2
𝜆2
(5.9)
где 𝜆 — длина волны света. Поскольку направляющие косинусы удовлетворяют
соотношению
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = 1
(5.10)
то v является решением волнового уравнения при условии
𝑘=
2𝜋
𝜆
(5.11)
Величина k называется волновым числом. Соотношение (5.8) можно записать в виде
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑎1 𝑒𝑥𝑝 [−2𝜋𝑖 (𝑥
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛾
+𝑦
+𝑧
)] 𝑒𝑥𝑝(𝑖2𝜋𝑓𝑡)
𝜆
𝜆
𝜆
= 𝑎1 𝑒𝑥𝑝[−2𝜋𝑖(𝜉𝑥 + 𝜂𝑦 + 𝜁𝑧)]𝑒𝑥𝑝(𝑖2𝜋𝑓𝑡)
(5.12)
= 𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒𝑥𝑝(𝑖2𝜋𝑓𝑡).
В этой главе мы будем рассматривать только монохроматический свет. Тогда
множитель 𝑒𝑥𝑝(𝑖2𝜋𝑓𝑡) можно опустить и для описания электрического поля
пользоваться только комплексной амплитудой a(x, y, z). Величины ξ, η, 𝜻 ,
определяемые равенствами
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝜉=
(5.13a)
𝜆
𝜂=
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝜆
(5.13б)
𝜁=
𝑐𝑜𝑠𝛾
𝜆
(5.13в)
Называются пространственными частотами. Они обратны пространственным
периодам волны, измеренным соответственно по осям x, y и z. Пространственная
частота измеряется в обратных миллиметрах (1/мм).
Следует отметить, что пространственные частоты могут принимать как
положительные, так и отрицательные значения. Если направление распространения
волны составляет с соответствующей осью угол меньше 90°, то пространственная
частота положительна, если больше 90°, то она отрицательна. Если ориентировать
систему координат так, чтобы, например, ось z совпала с направлением
распространения волны (ξ = η = 0, 𝜻 = 1/ λ), то легко видеть, что в (5.12) фаза волны в
фиксированный момент времени уменьшается с увеличением расстояния от
источника. (Читатель должен обратить внимание на то, что в некоторых книгах
введено обратное правило выбора знака, конечно, в равной мере законное. Важно
только в дальнейшем последовательно придерживаться того или иного выбора.)
Пространственные частоты ξ, η и 𝜻 часто выражаются через углы θ1=90° — α,
θ2=90° — β и θ3=90° — γ; тогда они записываются следующим образом:
𝜉=
𝑠𝑖𝑛𝜃1
𝜆
(5.14а)
𝜂=
𝑠𝑖𝑛𝜃2
𝜆
(5.14б)
𝜍=
𝑠𝑖𝑛𝜃3
𝜆
(5.14в)
На фиг. 5.2 изображена плоская волна, распространяющаяся в плоскости yz. Мы
видим, что 0 θ2 и θ3 представляют собой углы, образованные направлением
распространения волны с плоскостями xz и ху соответственно. Величины ξ, η, 𝜻
не являются независимыми, их связь можно получить из (5.10). При подстановке
(5.13а) — (5.13в) в (5.10) получаем
𝜆2 𝜉 2 + 𝜆2 𝜂2 + 𝜆2 𝜍 2 = 1,
(5.15)
1
𝜍 = ± (1 − 𝜆2 𝜉 2 − 𝜆2 𝜂2 )1/2 ,
𝜆
(5.16)
или
где знак определяется направлением распространения волны в соответствии с
принятым ранее правилом знаков [см. обсуждение после формул (5.13)]. Теперь
мы можем записать комплексную амплитуду а (х, у, z) плоской волны [см. (5.12)]
в следующем виде:
𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎1 𝑒𝑥𝑝 [−2𝜋𝑖 (𝑥
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛾
+𝑦
+𝑧
)] ,
𝜆
𝜆
𝜆
= 𝑎1 𝑒𝑥𝑝[−2𝜋𝑖(𝜉𝑥
2𝜋𝑖
) 𝑧(1 − 𝜆2 𝜉 2 − 𝜆2 𝜂2 )1/2 ] =
𝜆
𝟐𝝅𝒊
= 𝑎(𝑥, 𝑦. 0)𝑒𝑥𝑝[−𝑖(
𝒛(1 − 𝜆2 𝜉 2 − 𝜆2 𝜂2 )1/2 ]
𝝀
+ 𝜂𝑦)]𝑒𝑥𝑝 [− (
(5.17)
Выражение (5.17) очень полезно при рассмотрении задач о дифракции волн. Из него
видно, что величина комплексной амплитуды
ФИГ. 5.2.
Плоская
волна, распространяющаяся в плоскости yz
плоской волны на произвольном расстоянии z равна произведению комплексной
амплитуды волны при z = 0 и экспоненты, убывающей при увеличении z.
§ 3. Дифракция на периодических структурах
Рассмотрим теперь, что происходит со световой волной, встречающей на своем
пути какое-либо препятствие. Чтобы получить точное решение задачи о дифракции
волн, необходимо решить волновое уравнение (5.2) при граничных условиях,
соответствующих выбранному препятствию. К сожалению, такой прямой подход
годится только для предметов очень простой формы. Даже в этом случае решение
получается очень сложным и громоздким. Поэтому обычно представляющие
практический интерес задачи дифракции решают приближенными методами. В
большинстве задач оптики точность этих решений оказывается вполне удовлетворительной. Причины этого выяснятся в дальнейшем.
ФИГ. 5.3.
Прохождение плоской волны с ампли
тудой
a1
через
транспарант,
амплитудное
пропускание которого меняется как cos y.
Непосредственно за транспарантом возникают три
плоские волны.
Сначала рассмотрим плоскую волну с амплитудой a1 распространяющуюся в
направлении положительной полуоси z и падающую на прозрачный объект
(транспарант), находящийся в плоскости z = 0. Пусть транспарант, показанный на
фиг.5.3, имеет амплитудное пропускание
𝑡(𝑥, 𝑦) = 𝑡0 + 𝑡1 𝑐𝑜𝑠2𝜋𝜂𝑦,
(5.18)
являющееся периодической функцией от y с пространственной частотой η, a t0 и t1 —
вещественные постоянные. [Предполагается, что t (х, у) — вещественная функция, т.
е. транспарант не вносит фазового сдвига.] Непосредственно за транспарантом
амплитуда волны а (х, у, 0) равна произведению амплитуды падающего света a1 и
пропускания t:
𝑎(𝑥, 𝑦, 0) = 𝑎1 𝑡(𝑥, 𝑦) = 𝑎1 𝑡0 + 𝑎1 𝑡1 𝑐𝑜𝑠2𝜋𝜂𝑦
1
1
= 𝑎1 𝑡0 + 𝑎1 𝑒𝑥𝑝(2𝜋𝑖𝜂𝑦) + 𝑎1 𝑡1 𝑒𝑥𝑝(−2𝜋𝑖𝜂𝑦).
2
2
(5.19)
Заметим, что второй член в (5.19) и решение (5.12) волнового уравнения одинаково
зависят от ху, если в (5.12) ξ = 0, а η>0. Поэтому можно считать, что второй член
описывает плоскую волну, которая распространяется параллельно плоскости yz (т. е.
перпендикулярно оси х, а=90°), и направление ее распространения образует
отрицательный угол θ2 с осью z (фиг. 5.3), поскольку, согласно (5.14,б), sinθ2 = λη.
Аналогично третий член (5.19) описывает плоскую волну, которая также
распространяется параллельно плоскости yz, образуя при этом с осью z положительный угол θ2 (фиг. 5.3). Первый член в (5.19) не зависит от ху [в (5.12) этому
соответствует ξ = η=0] и описывает плоскую волну, распространяющуюся в
направлении оси z. Итак, при падении плоской волны, распространяющейся вдоль
оси z, на транспарант с синусоидальным в направлении у амплитудным
пропусканием за транспарантом возникают три плоские волны: первая, с амплитудой a1,t0, распространяется вдоль оси z (недифрагированная волна); вторая, с
амплитудой a1,t1/2, распространяется в плоскости yz вниз от оси z, образуя с осью z
угол | θ2 | = arcsin(λη) (дифрагированная волна —1-го порядка); третья, с амплитудой
a1,t1/2, распространяется в плоскости yz вверх от оси z, образуя с осью z такой же угол
| θ2 | (дифрагированная волна + 1-го порядка).
Мы рассмотрели один из важных случаев дифракции. Транспаранты с
периодическим
распределением
амплитудного
пропускания
называются
дифракционными решетками. В большинстве случаев голограмму можно
рассматривать как транспарант с периодически промодулированным амплитудным
пропусканием. Поэтому можно ожидать, что голограмма будет воздействовать на
падающий свет примерно так же, как обычная дифракционная решетка.
Продолжим рассмотрение дифракции плоской волны на помещенном в плоскости
z = 0 транспаранте с синусоидальным амплитудным пропусканием t(х, у) и
определим комплексную амплитуду света в плоскости ху при z = d. Непосредственно
за транспарантом возникают три плоские волны, комплексные амплитуды которых в
плоскости z = 0 описываются выражением (5.19). С помощью (5.17) можно
определить комплексные амплитуды этих волн при z = d. Результирующая
комплексная амплитуда при z = d является их суммой и имеет вид
𝒂(𝒙, 𝒚, 𝒅) = 𝒂𝟏 𝒕𝟎 𝒆𝒙𝒑 (−𝒊
𝟐𝝅𝒅
)
𝝀
𝟏
𝟏
𝟐𝝅𝒅
(𝟏 − 𝝀𝟐 𝜼𝟐 )𝟐 ]
+ 𝒂𝟏 𝒕𝟏 𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝜼𝒚)𝒆𝒙𝒑 [−𝒊
𝟐
𝝀
𝟏
𝟏
𝟐𝝅𝒅
(𝟏 − 𝝀𝟐 𝜼𝟐 )𝟐 ].
+ 𝒂𝟏 𝒕𝟏 𝒆𝒙𝒑(−𝒊𝟐𝝅𝜼𝒚)𝒆𝒙𝒑 [−𝒊
𝟐
𝝀
(5.20)
[Первый член (5.20) получается из (5.17) при ξ=η=0, а второй и третий при ξ=0.]
Поскольку зависящие от z показатели экспонент, взятые в (5.20) при z = d, являются
мнимыми, каждый из трех членов в (5.20) описывает распространяющуюся волну.
Однако для некоторых длин волн λ показатели экспонент становятся
вещественными. При λη→1 угол дифракции θ2 = arcsin λη увеличивается,
приближаясь к 90°. Для больших значений длин волн, удовлетворяющих неравенству
𝛌𝟐 𝛈𝟐 > 𝟏,
(5.21)
𝟏
Выражение (𝟏 − 𝝀𝟐 𝜼𝟐 )𝟐 становится мнимым. Если взять отрицательный знак перед
корнем, то экспоненциальный множитель принимает вид
𝑒𝑥𝑝 [−𝑖
𝟐𝝅𝒅
(−𝑖)(𝝀𝟐 𝜼𝟐 − 1)1/2 ] = 𝑒𝑥𝑝(−𝑏𝑑),
𝝀
(5.22)
где b имеет положительное и вещественное значение. В этом случае второй и третий
члены в (5.20), соответствующие первому порядку дифракции, будут описывать
поверхностные волны — волны, распространяющиеся вдоль поверхности
транспаранта и затухающие по экспоненте с увеличением расстояния от нее. (Выбор
знака, таким образом, соответствует физически реализуемому явлению.) Если
неравенство (5.21) записать в виде λ>1/η, то видно, что поверхностные волны
возникают при падении на решетку света, длина волны которого больше периода
решетки 1/η. Их амплитуда является функцией расстояния d от решетки и при d>>λ
стремится к нулю [см. (5.22)]. Условие затухания волн, выраженное через
пространственные частоты, может быть записано в виде η>1/λ. Таким образом, в
распределении поля на расстоянии d>λ от транспаранта не содержится никакой
информации о его пространственных частотах, превышающих 1/λ.
§ 4. Постановка общей задачи о дифракции
Рассмотрим теперь дифракцию на предметах более сложной формы. Пусть
амплитудное пропускание предмета является периодической функцией от у,
которая может и не быть простой косинусоидальной функцией вида (5.18).
Например, транспарант может состоять из чередующихся непрозрачных и
прозрачных полос. Тогда амплитудное пропускание можно записать в виде ряда
Фурье. В более общем случае, когда амплитудное пропускание является
комплексной периодической функцией двух переменных х и y, его можно
представить в виде суммы членов, каждый из которых имеет вид ехр (—i2𝜋ξx) ехр
(—i2𝜋ξy) [см. (4.5)]. Умножая каждый член на соответствующий коэффициент,
получаем для комплексного амплитудного пропускания t(x, y), периодически (но в
остальном произвольно) зависящего от х и y, следующий ряд Фурье:
𝑡(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ 𝑡𝑙𝑘 𝑒𝑥𝑝(−𝑖2𝜋𝜉𝑙 𝑥)𝑒𝑥𝑝(−𝑖2𝜋𝜂𝑘 𝑦).
𝑙
(5.22)
𝑘
Суммирование проводится по всем членам, необходимым для описания двумерной
функции. Пусть транспарант с пропусканием t (x, у) помещен в плоскость z = 0, и на
него падает плоская волна с амплитудой распространяющаяся в направлении оси z.
За транспарантом возникает набор плоских волн, распространяющихся в
различных направлениях. С помощью (5.17) и (5.23) для суммарной амплитуды а2
(х, у, d) этих волн в плоскости z = d имеем
𝑎2 (𝑥, 𝑦, 𝑑) = 𝑎1 ∑ ∑[𝑡𝑙𝑘 𝑒𝑥𝑝(−𝑖2𝜋𝜉𝑙 𝑥)𝑒𝑥𝑝(−𝑖2𝜋𝜂𝑘 𝑦)
𝑙
𝑘
1
2𝜋𝑑
(1 − 𝜆2 𝜉𝑙 2 − 𝜆2 𝜂𝑘 2 )2 ] =
𝜆
1
2𝜋𝑑
= 𝑎1 ∑ ∑[ 𝑡𝑙𝑘 𝑒𝑥𝑝(−𝑖
(1 − 𝜆2 𝜉𝑙 2 − 𝜆2 𝜂𝑘 2 )2 )
𝜆
× 𝑒𝑥𝑝(−𝑖
𝑙
(5.24)
𝑘
× 𝑒𝑥𝑝(−𝑖2𝜋𝜉𝑙 𝑥)𝑒𝑥𝑝(−𝑖2𝜋𝜂𝑘 𝑦).
Если t (х, у) — непериодическая функция, то ряд Фурье заменяется интегралом
Фурье [5.2], а коэффициенты tlk — произведением Т (ξ,η)dξdη, где 𝒕(𝒙, 𝒚) ⊃ 𝐓(𝛏, 𝛈).
Тогда (5.24) принимает вид
𝑎2 (𝑥, 𝑦, 𝑑) = 𝑎1 ∫ ∫ 𝑻(𝝃, 𝜼)𝒆𝒙𝒑 (−𝑖
1
2𝜋𝑑
(1 − 𝜆2 𝜉𝑙 2 − 𝜆2 𝜂𝑘 2 )2 )]
𝜆
× 𝑒𝑥𝑝(−𝑖2𝜋𝜉𝑥)𝑒𝑥𝑝(−𝑖2𝜋𝜂𝑦)𝑑𝜉𝑑𝜂,
(5.25)
где интегрирование производится по всем ξ и η, удовлетворяющим неравенству
(ξ2+η2)≤1/λ2. Анализ преобразования Фурье (5.25) дает следующий результат:
Если плоская волна с амплитудой а1 распространяющаяся в направлении оси z,
падает на помещенный в плоскости z = 0 транспарант с амплитудным
пропусканием t (х, у), то спектр 𝐴2 (𝜉, 𝜂) . комплексной амплитуды волны в
плоскости z=d имеет вид
𝐴2 (𝜉, 𝜂)|𝑧=𝑑 = 𝑎1 𝑻(𝝃, 𝜼)𝒆𝒙𝒑 [−𝑖
1
2𝜋𝑑
(1 − 𝜆2 𝜉𝑙 2 − 𝜆2 𝜂𝑘 2 )2 )].
𝜆
(5.26)
Если лучи считать параксиальными, т. е. г] 1А, то квадратный корень в (5.26)
можно записать в виде
1
1
2
2
(1−𝜆2 𝜉 2 −𝜆2 𝜂2 ) ≈ 1 − 𝜆2 𝜉 2 − 𝜆2 𝜂2 ,
(5.27)
а (5.26) заменить приближенным выражением
𝐴2 (𝜉, 𝜂)|𝑧=𝑑 ≈ 𝑎1 𝑻(𝝃, 𝜼)𝒆𝒙𝒑[𝒊𝝅𝝀𝒅𝑷(𝝃𝟐 + 𝜼𝟐 )].
(5.28)
Фазовый множитель 𝒆𝒙𝒑(−𝒊𝟐𝝅𝒅/𝝀), постоянный в плоскости ху, в (5.28) опущен.
(Отбрасывание фазового множителя, постоянного по всей плоскости, эквивалентно
сдвигу начала отсчета времени.) Поскольку в (5.28) фаза 𝝋 = 𝝅𝝀𝒅(𝝃𝟐 + 𝜼𝟐 ) =
𝝅𝝀𝒅𝝂𝟐 является параболической функцией координат ξ, η, то приближение (5.28)
называют параболическим. Мы часто будем пользоваться этим приближением,
поэтому следует установить границы его применимости. Определим при η= 0
верхний предел значений пространственной частоты для которых параболическое
приближение справедливо. Заметим, что в (5.27) следующий (опущенный) член
разложения равен 𝝀𝟒 𝝃𝟒 /𝟖 . Для определения искомого предела мы должны задать
допустимую ошибку в фазе. Известное правило Рэлея (см. [1.13]) гласит, что любая
хорошая оптическая система не должна искажать фазу волнового фронта больше чем
на 𝝅/𝟐. Принимая этот критерий, запишем
(5.29)
𝟐𝝅𝒅 𝝀𝟒 𝝃𝟒 𝝅
<
𝝀
𝟖
𝟐
откуда
𝝃𝟐 <
𝟐
𝝀𝟑 𝒅
(5.30)
Приведем числовой пример. Пусть d = 10 см, X = 0,5 мкм. Из условия (5.30) получим,
что верхнее предельное значение пространственной частоты, для которого
справедливо параболическое приближение, равно ξ = 113 мм-1.
§ 5. Связь с интегралом Френеля—Кирхгофа
В координатной области решение задачи о дифракции формулируется с помощью
интеграла Френеля — Кирхгофа следующим образом: если плоская волна с
амплитудой а 1 , распространяющаяся в положительном направлении оси z, падает на
предмет с амплитудным пропусканием t (x1, y1), помещенный в перпендикулярной
оси z плоскости z=0, то комплексная амплитуда света а2 (х 2 г у2, d) в плоскости z = d
имеет вид
𝒂𝟐 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , 𝒅 )
𝒊𝒂𝟏
=
𝝀
×
+∞
+∞
∫
∫ 𝒕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) ×
𝒙𝟏=−∞ 𝒚𝟏=−∞
(5.31)
𝟐𝝅
) [𝒅𝟐 + (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 ]𝟏/𝟐 }
𝝀
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝒙𝟏 𝒅𝒚𝟏.
[𝒅𝟐 + (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 ]𝟏/𝟐
𝒆𝒙𝒑 {−𝒊 (
Вывод интеграла Френеля—Кирхгофа приведен, например, в книге [5.3]. Через θ
обозначен угол между положительным направлением оси Z и отрезком прямой,
соединяющим точки (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝟎)
ФИГ. 5.4.
Схема, поясняющая обозначения в интеграле Френеля
— Кирхгофа.
и (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , 𝒅) , a cosθ называют коэффициентом наклона. Геометрическая схема,
используемая при выводе интеграла Френеля — Кирхгофа, приведена на фиг. 5.4.
Следует отметить, что небольшие изменения граничных условий приводят к
изменению коэффициента наклона. Коэффициент наклона, введенный
Зоммерфельдом, совпадает с входящим в (5.31), тогда как у Кирхгофа он равен
(1+cosθ)/2. Если угол θ не слишком велик, то различие между этими коэффициентами
мало.
Заметим, что выражение (5.31) имеет форму интеграла свертки, т. е. для
нахождения комплексной амплитуды света при z = d необходимо подвергнуть
операции свертки амплитудное пропускание t (х, у) со второй функцией под знаком
интеграла в (5.31). Это соответствует умножению в (5.26) фурье-образа пропускания
t(х, у) на функцию пространственной частоты. Можно показать, что запись
комплексной амплитуды света через интеграл Френеля — Кирхгофа в виде (5.31) и
запись в частотной области в виде (5.26) полностью эквивалентны. Поскольку
доказательство этого довольно громоздко, оно приведено в приложении I. Здесь мы
покажем эту эквивалентность только для параболического приближения (5.28) и для
приближенной формы выражения (5.31), которую сейчас получим. Пусть в (5.31) (х 2
— х 1 )<< d и (у 2 — у 1 ) <<d; тогда cosθ≈1. Разложим в ряд аргумент экспоненты в
(5.31):
[𝒅𝟐 + (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 ]𝟏/𝟐 ≈ 𝒅 +
(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐
+
𝟐𝒅
𝟐𝒅
(5.32)
и заменим знаменатель в (5.31) его приближенным значением, равным d. С такими
приближениями выражение для комплексной амплитуды света при z = d имеет вид
𝒊𝒂𝟏
𝒂𝟐 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , 𝒅) =
𝝀𝒅
+∞
+∞
∫
∫ 𝒕( 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) ×
(5.33)
𝒙𝟏=−∞ 𝒚𝟏=−∞
× 𝒆𝒙𝒑 {−
𝒊𝝅
[(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 ]} 𝒅𝒙𝟏 𝒅𝒚𝟏
𝝀𝒅
Здесь опущен постоянный по всей плоскости z = d множитель. Отсюда видно, что
функция t (x1, y1) подвергается операции свертки с функцией
𝒉(𝒙, 𝒚) =
𝒊
𝒊𝝅 𝟐
(𝒙 + 𝒚𝟐 )].
𝒆𝒙𝒑 [−
𝝀𝒅
𝝀𝒅
(5.34)
Эквивалентность рассматриваемых приближений в координатной и частотной
областях будет доказана, если мы сможем показать, что амплитуда а2 {х 2 , у 2 , d) в
виде (5.33) и спектр А2 (ξ, η) в виде (5.28) связаны преобразованием Фурье.
Поскольку, как уже отмечалось, t (x, у)⊃ T(ξ, η), то из теоремы свертки (4.11)
следует, что h (x, у) ⊃ H(ξ, η), где
𝑯(𝝃, 𝜼) = 𝒆𝒙𝒑[𝒊𝝅𝝀𝒅(𝝃𝟐 + 𝜼𝟐 )].
(5.35)
является третьим сомножителем в (5.28). Запишем функцию H(ξ, η), в виде
произведения
𝑯(𝝃, 𝜼) = 𝒆𝒙𝒑(𝒊𝝅𝝀𝒅𝝃𝟐 )𝒆𝒙𝒑(𝒊𝝅𝝀𝒅𝜼𝟐 )
(5.36)
и вычислим ее обратный фурье-образ. Мы можем сделать это в два действия.
Сначала проведем преобразование относительно ξ, считая η постоянной, а затем
сделаем преобразование относительно η, считая постоянной х. С помощью
соотношения (4.27) получим искомый обратный фурье-образ функции Н (ξ, η):
𝓕−𝟏 𝑯 =
𝟏
𝟏 𝒆𝒙𝒑 (
(−𝒊𝝀𝒅)𝟐
=
𝝅𝒙𝟐
)
𝒊𝝀𝒅
𝟏
𝟏 𝒆𝒙𝒑 (
(−𝒊𝝀𝒅)𝟐
𝝅𝒚𝟐
)
𝒊𝝀𝒅
𝟏
𝒊𝝅 𝟐
𝒆𝒙𝒑 [−
(𝒙 + 𝒚𝟐 )] == 𝒉(𝒙, 𝒚).
𝝀𝒅
𝝀𝒅
что и требовалось доказать.
Как отмечалось в гл. 2, § 1, комплексную амплитуду дальнего поля
(дифракционную картину Фраунгофера) можно приближенно представить как
фурье-образ амплитудного пропускания транспаранта. Используя (5.33), можно
проверить это утверждение для случая освещения плоской волной транспаранта с
амплитудным пропусканием t (x1, y1). Представим экспоненциальный множитель в
(5.33) в виде
𝒆𝒙𝒑 [−
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )
𝒊𝝅 𝟐
(𝒙 + 𝒚𝟐 )] 𝒆𝒙𝒑 [−𝒊𝝅
]×
𝝀𝒅
𝝀𝒅
× 𝒆𝒙𝒑 {𝒊𝟐𝝅 [𝒙𝟏 (
𝒙𝟐
𝒚𝟐
) + 𝒚𝟏 ( )]}.
𝝀𝒅
𝝀𝒅
.
Первый сомножитель не зависит от переменных интегрирования x1 и y1 и может
быть вынесен из-под знака интеграла. Если дальним полем считать область,
расстояние d до которой больше размеров транспаранта, так что выполняется
условие дальнего поля
𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒚𝟏 𝟐
≪ 𝒅,
𝝀
(5.37)
то второй сомножитель приблизительно равен единице. Производя замену
𝒙𝟐
𝒚𝟐
(5.38)
𝝃=
и𝜼=
𝝀𝒅
𝝀𝒅
получаем
𝒂𝟐 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , 𝒅) =
𝒊𝒂𝟏
𝒊𝝅 𝟐
(𝒙 + 𝒚𝟐 )] ×
𝒆𝒙𝒑 [−
𝝀𝒅
𝝀𝒅
+∞ +∞
× ∫ ∫ 𝒕( 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )𝒆𝒙𝒑[𝒊𝟐𝝅(𝝃𝒙𝟏 + 𝜼𝒚𝟏 )]𝒅𝒙𝟏 𝒅𝒚𝟏 =
−∞ −∞
𝒊𝒂𝟏
𝒊𝝅 𝟐
(𝒙 + 𝒚𝟐 )] 𝑻(𝝃, 𝜼),
=
𝒆𝒙𝒑 [−
𝝀𝒅
𝝀𝒅
(5.39)
где фазовый множитель сферической волны медленно меняется в плоскости х 2 у 2 и
где мы использовали определение фурье-образа (4.1). Если умножить выражение
(5.39) на комплексно-сопряженное с ним, то получим, что интенсивность в дальнем
поле равна квадрату абсолютной величины фурье-образа функции t.
Для дальнего поля, т. е. при выполнении условия (5.37), ξ и η определяются
выражениями (5.38), аналогичными выражениям (5.14а) и (5.146), согласно которым
ξ=(sin θ1)/λ и η=(sin θ2)/λ. На фиг. 5.5 схематически изображена плоская волна,
падающая на прозрачный объект (транспарант), помещенный в плоскости Размеры
транспаранта малы по сравнению с расстоянием от плоскости х1у1 до плоскости
наблюдения х 2 у 2. Световые лучи, дифрагировавшие на транспаранте, можно
представить в виде пучков света с одинаковым поперечным сечением,
распространяющихся в направлениях, соответствующих пространственным частотам транспаранта. Один из таких пучков, проходящий под углом
ФИГ. 5.5
Схема пояснения дальнего поля
θ2 к оси z, изображен на фиг.5.5. Его сечение плоскостью x2y2 представляет собой
сравнительно небольшую область с центром в точке y2. Если расстояние d достаточно
велико, так что y2 гораздо больше размеров сечения пучка, то
𝒚𝟐
𝒚𝟐
𝝀𝜼 = 𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 ≈
или 𝜼 =
𝒅
𝝀𝒅
Аналогично
𝝃≈
𝒙𝟐
𝝀𝒅
Прежде чем закончить параграф, необходимо сказать несколько слов об основных
допущениях теории Френеля-Кирхгофа. Как было показано в § 3 настоящей главы,
интеграл Френеля-Кирхгофа и эквивалентная ему запись в частотной области не дают
точного решения задачи с граничными условиями. Физический смысл основного
допущения этой теории можно проиллюстрировать на примере плоской волны,
падающей на непрозрачный экран с отверстием, причем амплитудное пропускание в
пределах отверстия равно единице, а за его пределами — нулю. На самом деле это
справедливо лишь для участков, удаленных от края отверстия, так как вблизи них на
световое поле оказывают влияние оптические свойства материала экрана. Именно
этим влиянием пренебрегают в теории Френеля — Кирхгофа, поэтому она
справедлива для задач о дифракции на предметах, размеры которых велики по
сравнению с длиной волны света. Это условие выполняется во многих задачах
оптики.
Однако в некоторых случаях, особенно в голографии, интегралом Френеля —
Кирхгофа или его эквивалентом в частотной области пользуются и тогда, когда
отдельные детали предмета ненамного превышают длину волны света. В этом случае
теория дает по крайней мере качественное решение задачи. Примером этого может
служить рассмотрение синусоидальной амплитудной решетки, описываемой
выражением (5.18). При этом мы не считали, что пространственный период решетки
1/η значительно больше λ. Тем не менее наша теория предсказывает в соответствии с
действительностью существование трех плоских волн, суммарная амплитуда
которых сразу за транспарантом изменяется с частотой, равной частоте решетки η.
Точное решение задачи с граничными условиями также дает три волны, и в этом
смысле приближенная теория справедлива. Приближенное решение может
отличаться от точного лишь значениями амплитуд этих волн, а что касается
большинства задач голографии, то для них нет необходимости знать точное значение
амплитуды волны.
Лекция 3
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
Сферические линзы могут формировать не только распределение амплитуд света,
соответствующее изображению, но и создавать картину, являющуюся фурье-образом
этого распределения. Следовательно, с помощью простой линзы можно добиться
того, чтобы распределение освещенности, создаваемое предметной волной в
плоскости голограммы, представляло собой фурье-образ некоторого исходного
изображения. Записанный на голограмме фурье-образ обладает свойствами,
имеющими важное значение для оптического опознавания образок и оптической
памяти.
Линзу как устройство, способное формировать изображение, используют в
голографии для получения голограммы сфокусированного изображеиия. В этом
случае линза фокусирует изображение голографируемого предмета на плоскость
голограммы, где оно интерферирует с опорной волной. Такой метод получения
голограмм позволяет значительно уменьшить требования к степени когерентности
излучения, используемого при восстановлении. Полученная надлежащим образом
голограмма сфокусированного изображения может быть освещена при
восстановлении обычной лампой накаливания с матовым стеклом
Эти причины, а также возможность использования линз для формирования
световых пучков нужной конфигурации делают необходимым анализ некоторых
свойств оптических систем, содержащих тонкие линзы. В этой главе мы выведем
условия, при которых линза формирует либо а) фурье-образ входного распределения
комплексных амплитуд, либо б) изображение этого распределения.
Хотя условие формирования изображения можно было бы вывести на основе
принципов геометрической оптики (пренебрегая дифракцией), этого нельзя сделать
для условия формирования фурье-образа, которое должно быть получено с помощью
теории дифракции. Поэтому мы рассмотрим то и другое условие с точки зрения
физической оптики, принимая во внимание конечность длины волны света и
связанные с этим дифракционные эффекты.
§ 1. Сферическая линза
Простая сферическая линза состоит из прозрачного материала, ограниченного
двумя сферическими поверхностями. В материале линзы свет распространяется в n
раз медленнее (n — показатель преломления материала линзы), чем в вакууме. Такая
линза изображена на фиг. 6.1, причем ее центр и центры ограничивающих
ФИГ. 6.1.
линза.
Сферическая
ее сферических поверхностей лежат на оси z декартовой системы координат. Пусть
на линзу падает плоская волна с длиной волны λ, распространяющаяся вдоль оси z
слева направо. Определим комплексную амплитуду света аr в плоскости, нормальной
к оси z и касательной к поверхности правой половины линзы. Выразим аг через аl, где
аl — комплексная амплитуда света в аналогичной плоскости, касательной к левой
поверхности линзы. Если считать, что в линзе отсутствует поглощение, то задача
сведется к нахождению фазового множителя, на который надо затем умножить аl. Для
его получения мы должны вычислить изменение фазы волны при ее прохождении
между плоскостями z = z2 и z = z3 (фиг. 6.1). Допустим далее, что величина d = z3 — z2
столь мала, что плоскости z2 и z3 почти совпадают, т. е. будем считать линзу тонкой.
При таком условии луч света, падающий в точку с координатами (x0, у0) на левой
поверхности линзы, выходит в точке практически с теми же координатами (х 0 ,у0) на
правой поверхности. Следовательно, фазовую модуляцию падающей волны,
осуществляемую тонкой линзой, можно рассматривать как модуляцию транспарантом, который имеет пропускание 𝒕(𝒙, 𝒚) = 𝐞𝐱𝐩[𝒊∆𝝋(𝒙, 𝒚)] и расположен в плоскости
ху, нормальной оси линзы и проходящей через ее центр.
Правая поверхность линзы описывается уравнением сферы радиусом r1:
𝑥 2 + 𝑦 2 𝑧 2 𝑟 = 𝑟1 2 .
Здесь zr — координата произвольной точки на правой поверхности линзы. Решая
уравнение относительно z r , получаем
𝒛𝒓 = (𝒓𝟏 𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )𝟏/𝟐
(6.1)
Аналогично левая поверхность описывается уравнением сферы радиусом г2:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + (𝒛𝟏 − 𝒛𝒍 )𝟐 = 𝒓𝟐 𝟐
где 𝒛𝒍 — координата произвольной точки на левой поверхности линзы, a 𝒛𝟏 —
координата центра кривизны левой поверхности; они связаны следующим
соотношением:
𝒛𝒍 = 𝒛𝟏 − (𝒓𝟐 𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )𝟏/𝟐
(6.2)
Толщина материала линзы, через которую проходит световая волна, зависит от х и y,
а именно:
𝟏
𝑻(𝒙, 𝒚) = 𝒛𝒓 − 𝒛𝒍 = (𝒓𝟏 𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )𝟐 − 𝒛𝟏 + (𝒓𝟐 𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )𝟏/𝟐
(6.3)
После прохождения линзы в месте с толщиной Т волна будет испытывать фазовый
сдвиг, равный
∆𝝋𝟏 = −
𝟐𝝅𝑻
𝟐𝝅𝒏𝑻
=−
,
𝝀′
𝝀
(6.4)
где 𝝀′ — длина волны в материале линзы; п — показатель преломления линзы
(относительно воздуха); 𝝀 = 𝒏𝝀′ — длина волны в воздухе. (Знак «минус»
соответствует уменьшению фазы при увеличении расстояния от источника.)
Путь в воздухе, который проходит световая волна между плоскостями z = z 2 и z
= z 3 , равен d — Т. Ему соответствует фазовый сдвиг
∆𝝋𝟐 = −
𝟐𝝅
(𝒅 − 𝑻)
𝝀
(6.5)
где d = z3 — z2. Полный фазовый сдвиг при прохождении волны от z2 до z3 выражается
суммой
∆𝝋 = ∆𝝋𝟏 + ∆𝝋𝟐 = −
𝟐𝝅
𝟐𝝅
(𝒏 − 𝟏)𝑻 −
𝒅.
𝝀
𝝀
(6.6)
Мы можем опустить последний член в (6.6), так как он не зависит от х и у и
представляет собой фазовый сдвиг, постоянный по всей плоскости ху при z = z3.
Тогда (6.6) принимает вид
∆𝝋 = −
𝟐𝝅
(𝒏 − 𝟏)𝑻(𝒙, 𝒚).
𝝀
(6.7)
Подставляя теперь в (6.7) выражение (6.3) для Т (х, y), получаем
∆𝝋 = −
𝟏
𝟐𝝅
(𝒏 − 𝟏)[(𝒓𝟏 𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )𝟐 + (𝒓𝟐 𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )𝟏/𝟐
𝝀
(6.8)
Здесь, как и прежде, мы опустили не зависящую от х и у часть фазового сдвига +
𝟐𝝅
( 𝝀 )z1. Чтобы получить искомое соотношение между аг и аl, заменим квадратные
скобки в (6.8) их разложениями, в которых сохраним члены только первого
порядка; тогда
𝟐
𝟐
(𝒓𝟏 − 𝒙 − 𝒚
𝟏
𝟐 )𝟐
𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐
≈ 𝒓𝟏 (𝟏 −
)
𝟐𝒓𝟏 𝟐
(6.9)
𝟏
𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐
)
𝟐𝒓𝟐 𝟐
(6.10)
(𝒓𝟐 𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )𝟐 ≈ 𝒓𝟐 (𝟏 −
Такое параксиальное приближение справедливо, если (х2 + у2)<< 𝒓𝟏 𝟐 или (х 2 +
у 2 )<< 𝒓𝟐 𝟐 . Опять опуская фазовые сдвиги, не зависящие от х и у, получаем вместо
(6.8)
∆𝝋 = +
=
𝟐𝝅
𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐
(𝒏 − 𝟏) (
+
)
𝝀
𝟐𝒓𝟏
𝟐𝒓𝟐
(6.11)
𝝅
𝟏
𝟏
(𝒏 − 𝟏) ( + ) (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ).
𝝀
𝒓𝟏 𝒓𝟐
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
Произведение (𝒏 − 𝟏) (𝒓 + 𝒓 ) связано с фокусным расстоянием f тонкой линзы
известной формулой (см., например, [6.1])
𝟏
𝟏
𝟏
= (𝒏 − 𝟏) ( + ),
𝒇
𝒓𝟏 𝒓 𝟐
и фазовый сдвиг теперь можно записать в виде
𝝅 𝟐
(𝒙 + 𝒚𝟐 ).
∆𝝋 =
𝝀𝒇
(6.12)
(6.13)
Если рассматриваемая линза достаточно тонкая и изменяет только фазу падающего
на нее света, то на основе (6.13) мы можем получить соответствующее линзе
комплексное пропускание t (х, у). Его двумерное распределение в плоскости ху,
проходящей через центр линзы, описывается выражением
𝒕(𝒙, 𝒚) = 𝐞𝐱𝐩(𝒊∆𝝋) = 𝐞𝐱𝐩 [
𝒊𝝅 𝟐
(𝒙 + 𝒚𝟐 )].
𝝀𝒇
(6.14)
Комплексная амплитуда света аr справа от линзы непосредственно вблизи нее
равна произведению пропускания t (х, у) и комплексной амплитуды аl света,
падающего на линзу слева:
𝒂𝒓 = 𝒂𝒍 𝐞𝐱𝐩 [
𝒊𝝅 𝟐
(𝒙 + 𝒚𝟐 )].
𝝀𝒇
(6.15)
Если сравнить зависящее от х и у распределение фазовой модуляции ∆𝝋 ,
описываемое выражением (6.13), с фазовыми распределениями, описываемыми
выражениями (3.3), (3.4) или (3.26), то видно, что оно в приближении первого
порядка соответствует сферической волне, сходящейся в точку на оси z,
расположенную на расстоянии f от линзы (f > 0).
§ 2. Простейшая оптическая система
Рассмотрим теперь оптические системы, состоящие из тонких линз и свободных
промежутков между ними. Самые разнообразные оптические системы, например
лупа, микроскоп, телескоп, действительно не содержат иных элементов, кроме линз и
свободных промежутков. (Читателю, знакомому с материалом гл. 5, не покажется
странным включение свободного пространства в число элементов оптической
системы.) Рассмотрим сначала очень простую оптическую систему, которая, однако,
способна выполнять операцию преобразования Фурье. Это поможет нам понять
принцип работы более сложных систем, которые будут рассмотрены в следующем
параграфе. Интересующая нас система изображена на фиг. 6.2. Она состоит из
сферической линзы с фокусным расстоянием f, помещенной в плоскости z = 0, и
расположенного вплотную к ней транспаранта с комплексным амплитудным про-
пусканием t (x1, у1). На линзу падает распространяющаяся в положительном
направлении оси z плоская волна. Ее комплексная амплитуда слева непосредственно
вблизи линзы равна аl. Определим комплексную амплитуду в плоскости z=f.
Согласно (6.15), комплексная амплитуда ar(x1, у1) справа от линзы
непосредственно вблизи нее описывается формулой
𝒂𝒓 (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) = 𝒂𝒍 𝐞𝐱𝐩 [
𝒊𝝅
(𝒙 𝟐 + 𝒚𝟏 𝟐 )].
𝝀𝒇 𝟏
(6.16)
Затем волна проходит через транспарант, и ее комплексная амплитуда сразу за
транспарантом выражается произведением
𝒂𝒕 (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) = 𝒂𝒓 (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )𝒕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
= 𝒂𝒍 𝒕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) 𝐞𝐱𝐩 [
(6.17)
𝒊𝝅
(𝒙𝟏 𝟐 + 𝒚𝟏 𝟐 )].
𝝀𝒇
[Если линза тонкая, то совершенно неважно, справа или слева от нее находится
транспарант. В любом случае произведение (6.17) будет состоять из одних и тех же
сомножителей.] Справа от транспаранта волна распространяется в свободном
пространстве. Комплексную амплитуду волны в плоскости z = f можно выразить
через ее амплитуду в плоскости z = 0 либо в координатной области, либо в области
пространственных частот (см. гл. 5).
ФИГ. 6.2.
Простейшая оптическая система,
выполняющая преобразование Фурье.
Выберем координатную область и воспользуемся соотношением (5.33); тогда
комплексная амплитуда а2 (х 2 , у 2) в плоскости z = f запишется в виде
𝒂𝟐 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) =
× 𝒆𝒙𝒑 {−
=
𝒊
∫ ∫ 𝒂𝒕 (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
𝝀𝒇
𝒊𝝅
[(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 ]} 𝒅𝒙𝟏 𝒅𝒚𝟏 =
𝝀𝒇
𝒊𝒂𝒍
𝒊𝝅
∫ ∫ 𝒕( 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) 𝐞𝐱𝐩 [ (𝒙𝟏 𝟐 + 𝒚𝟏 𝟐 )] ×
𝝀𝒇
𝝀𝒇
× 𝑒𝑥𝑝 {−
𝒊𝝅
[(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 ]} 𝒅𝒙𝟏 𝒅𝒚𝟏 .
𝝀𝒇
(6.18)
Здесь интегрирование производится по всей поверхности линзы. Упрощая
выражение (6.18), получаем
𝒂𝟐 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) =
× 𝐞𝐱𝐩 [
𝒊𝒂𝒍
∫ ∫ 𝒕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
𝝀𝒇
(6.19)
𝒊𝝅
(𝟐𝒙𝟏 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟏 𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 𝟐 − 𝒚𝟐 𝟐 )] 𝒅𝒙𝟏 𝒅𝒚𝟏 .
𝝀𝒇
Поскольку интеграл берется в плоскости 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 можно вынести из-под знака
интеграла множитель, зависящий только от х 2 и у 2 ;
это дает
𝒂𝟐 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) =
𝒊𝒂𝒍
𝒊𝝅
𝐞𝐱𝐩[− (𝒙𝟐 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 ) ×
𝝀𝒇
𝝀𝒇
× ∫ ∫ 𝒕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) 𝐞𝐱𝐩 [
(6.20)
𝒊𝟐𝝅
(𝒙 𝒙 + 𝒚𝟏 𝒚𝟐 )] 𝒅𝒙𝟏 𝒅𝒚𝟏
𝝀𝒇 𝟏 𝟐
ЕСЛИ ПОЛОЖИТЬ
𝝃=
𝒙𝟐
𝝀𝒇
(6.21)
𝜼=
𝒚𝟐
𝝀𝒇
(6.22)
И
и подставить эти выражения в (6.20), то комплексную амплитуду при z = f можно
представить в виде
𝒂𝟐 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) =
𝒊𝒂𝒍
𝒊𝝅
𝐞𝐱𝐩[− (𝒙𝟐 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 ) ×
𝝀𝒇
𝝀𝒇
(6.23)
× ∫ ∫ 𝒕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) 𝐞𝐱𝐩[𝒊𝟐𝝅(𝒙𝟏 𝝃 + 𝒚𝟏 𝜼)] 𝒅𝒙𝟏 𝒅𝒚𝟏
В интеграле (6.23) легко узнать двумерное преобразование Фурье при условии, что
функция 𝒕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) равна нулю за пределами поверхности линзы. Последнее условие
позволяет расширить пределы интегрирования до +∞ и -∞, что и требуется для
преобразования Фурье. Множитель, стоящий перед интегралом, пропорционален
пропусканию, которое может быть приписано тонкой рассеивающей линзе с
фокусным расстоянием —f, помещенной в плоскости z = f. Экспонента представляет
собой фазовый множитель сферической волны. В данном случае он описывает
распределение фазы в плоскости х 2 у 2, которую пересекает сферическая волна,
расходящаяся от расположенного на оси источника. Итак, мы можем заключить, что
если на тонкую линзу с примыкающим к ней транспарантом падает плоская волна,
то в задней фокальной плоскости линзы образуется распределение комплексных
амплитуд, пропорциональное произведению фазового множителя сферической
волны и фурье-образа пропускания транспаранта.
Выражения (6.21) и (6.22) являются определениями, связывающими
пространственные частоты ξ и η света, дифрагировавшего на транспаранте, с
координатами (х 2 , у 2 ) формирующегося в фокальной плоскости линзы фурье-образа
пропускания транспаранта. Этим выражениям, безусловно, можно придать вид,
эквивалентный определениям пространственных частот в гл. 5. В приближении
малых углов, которое согласуется с приближениями, принятыми выше, можно
применять исходные выражения (5.14а) и (5.14б) для ξ и η. Последнее утверждение
иллюстрируется фиг. 6.3, где в соответствии с (5.14б) плоская волна, испытавшая
дифракцию на транспаранте и распространяющаяся под углом θ к оси z,
характеризуется пространственной частотой η = (sin θ)/λ. Луч, проходящий через
центр линзы без отклонения (в случае тонкой линзы), в фокальной плоскости х 2 у 2
встречается с преломленными лучами на расстоянии +у2 от оси z. Для малых углов
ФИГ. 6.3.
Геометрическая схема, поясняющая соотношение между
пространственными
частотами
и
координатами
фокальной плоскости.
имеем 𝑦2 /𝑓 ≈ 𝜃 ≈ 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝜂𝜆 , поэтому 𝜼 ≈ 𝑦2 /𝜆𝑓. Аналогичные соображения
справедливы для ξ и х2.
В § 3 мы видели, что пространственные частоты картины, возникшей в
результате дифракции света на предмете, являются пространственными частотами
двумерных фурье-компонент предмета. Поэтому если известна максимальная
пространственная частота предмета, то с помощью (6.21) или (6.22) можно
вычислить максимальную протяженность его фурье-образа, сформированного в
задней фокальной плоскости данной линзы. Рассмотрим численный пример только
для одной координаты. Положим максимальную пространственную частоту
предмета равной умеренной величине |ξмакс| = 10 мм-1; кроме того, примем, что f =
500 мм, а λ= 0,5 мкм = 5*10-4мм. Тогда максимальная протяженность фурье-образа в
положительном направлении оси х получается весьма малой: х2, макс = 2,5 мм.
В некоторых случаях, когда важна только интенсивность света, эффекты,
обусловленные наличием фазового множителя сферической волны в (6.23), не
играют роли. В других случаях от них стараются избавиться. Для этого в плоскости z
= f помещают собирающую линзу с фокусным расстоянием f. Из (6.15) и (6.23)
очевидно, что сразу за этой второй линзой мы получим фурье-образ, не содержащий
фазового множителя сферической волны. Оптическая система, выполняющая такое
преобразование, изображена на фиг. 6.4.
Вернемся к рассмотрению системы, показанной на фиг. 6.2, полагая при этом, что
транспарант совершенно прозрачен, т.е. t (x1 y1) =1. Тогда амплитуда в плоскости z =
f в соответствии с (6.23) будет равна
𝒂𝟐 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) =
𝒊𝒂𝒕
𝒊𝝅
𝐞𝐱𝐩 [(− )(𝒙𝟐 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 )] ×
𝝀𝒇
𝝀𝒇
(6.24)
× ∫ ∫ 𝐞𝐱𝐩[𝒊𝟐𝝅(𝒙𝟏 𝝃 + 𝒚𝟏 𝜼)] 𝒅 𝒙𝟏 𝒅𝒚𝟏 .
ФИГ. 6.4.
преобразование Фурье.
Оптическая
система,
выполняющая
точное
Линзы L1 и L2 имеют одинаковые фокусные
расстояния f.
Допустим, что линза имеет неограниченные размеры; тогда пределы интегрирования
можно распространить до бесконечности и интеграл будет представлять собой
фурье-образ единицы. Из соотношения (4.30) при с = 0 следует, что интеграл
равен𝜹(𝝃) ∙ 𝜹(𝜼) ≡ 𝜹(𝝃, 𝜼) = 𝜹(𝒙𝟐 /𝝀𝒇, 𝒚𝟐 /𝝀𝒇) и обращается в нуль всюду, кроме х2 =
у2 = 0. Тогда (6.24) принимает вид
𝒊𝒂𝒕
𝒙 𝟐 𝒚𝟐
𝒂𝟐 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) = ( ) 𝜹 ( , ) ;
𝝀𝒇
𝝀𝒇 𝝀𝒇
(6.25)
мы видим, что падающая на линзу с положительным фокусным расстоянием f
плоская волна сходится в математическую точку, лежащую в плоскости, удаленной
от линзы на ее фокусное расстояние. Тот факт, что фокальным пятном линзы
оказалась математическая точка, обусловлен сделанным нами допущением о
неограниченности размеров линзы. Линза конечных размеров образует протяженное
световое пятно с центром в точке с координатами х2=y2=0. Влияние конечных
размеров линзы будет рассмотрено в § 4 настоящей главы.
§ 3. Оптическая система более общего вида
Кроме систем, изображенных на фиг. 6.2 и 6.4, существуют и другие оптические
системы, которые могут выполнять преобразование Фурье. Это станет очевидным
после того, как мы рассмот-
ФИГ. 6.5.
общего вида.
Оптическая
система
более
Линза имеет фокусное
расстояние f.
рим оптическую систему более общего вида. В этом параграфе мы выведем не
только условия формирования фурье-образа, но и условия формирования
изображения. Рассматриваемая система показана на фиг. 6.5. Сферическая волна
падает на транспарант с комплексным амплитудным пропусканием t (х1, у1). Радиус
кривизны волны равен d 1 , т. е. волна расходится из точки, удаленной на расстояние
d l влево от транспаранта t (х1, у1). На расстоянии d 2 справа от транспаранта помещена
сферическая линза с фокусным расстоянием f. Наша задача — определить
комплексную амплитуду волны в плоскости, находящейся на расстоянии d3 справа
от линзы.
Для решения задачи воспользуемся приближенной формулой (5.33) (свертка в
координатной области), описывающей распространение волны в свободном пространстве,
и приближенной формулой пропускания линзы (6.15). Анализировать прохождение света
через оптическую систему, состоящую из свободного пространства и линз, было бы проще
с помощью одних только мультипликативных форм, однако легко убедиться, что это
невозможно. Действительно, если для описания распространения волны в свободном
пространстве мы выберем область пространственных частот, то можем воспользоваться
мультипликативной формой (5.28). Однако выражение (6.17), описывающее прохождение
света через линзу, имеет мультипликативную форму в координатной области, и в области
пространственных частот мы должны заменить его сверткой. Если же выбрать в качестве
исходной координатную область, то получим, что выражение для распространения света в
свободном пространстве имеет форму свертки, а для прохождения через линзу —
мультипликативную форму. Выбор может быть сделан произвольно, и мы проведем
рассмотрение в координатной области.
Анализ системы, изображенной на фиг. 6.5, включает в себя две операции умножения и
две операции свертки. Для упрощения записи мы воспользуемся обозначениями операций
и допущениями. введенными Вандер Люгтом [6.2]. Это наиболее краткая и удобная форма
записи уже выведенных нами соотношений.
1. Форма записи операций
Из равенства (6.14) следует, что тонкая линза является транспарантом, пропускание
которого описывается формулой
𝒈(𝒙, 𝒚) = [
𝒊𝝅 𝟐
(𝒙 + 𝒚𝟐 )]
𝝀𝒇
(6.26)
Функция g (х, у) по форме очень похожа на функцию h (х, у), определяемую выражением
(5.34). Эта функция, которая подвергается свертке с входным пропусканием, если
распространение волн в свободном пространстве рассматривается в координатной
области, имеет вид
𝒉(𝒙, 𝒚) =
𝒊
𝒊𝝅 𝟐
(𝒙 + 𝒚𝟐 )]
𝒆𝒙𝒑 [−
𝝀𝒅
𝝀𝒅
(6.27)
Основываясь на сходстве выражений (6.26) и (6.27), можно ввести функцию:
𝝍(𝒙, 𝒚; 𝒑) = 𝒆𝒙𝒑 [−
𝒊𝝅𝒑 𝟐
(𝒙 + 𝒚𝟐 )]
𝝀
(6.28)
где р — произвольный параметр. Тогда для описания прохождения волны через
сферическую линзу с фокусным расстоянием f комплексную амплитуду света, падающего
на линзу, нужно умножить на 𝝍 ∗ (𝒙, 𝒚, 𝑭) . Звездочка обозначает комплексносопряженную величину, и
𝑭=
𝟏
𝒇
(6.29)
Волна, прошедшая в пространстве расстояние d, описывается сверткой комплексной
𝑖
амплитуды и выражения (𝜆) 𝐷 ∙ 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝐷), где
𝑫=
𝟏
𝒅
(6.30)
Приведем ряд свойств функции 𝝍 ∗ (𝒙, 𝒚, 𝒑) .), которые в дальнейшем будут нам
полезны. В справедливости следующих равенств можно убедиться подстановкой
выражения (6.28):
𝝍(𝒙, 𝒚; 𝒑) = 𝝍 ∗ (𝒙, 𝒚; −𝒑).
(6.31)
𝝍(−𝒙, −𝒚; 𝒑) = 𝝍(𝒙, 𝒚; 𝒑).
(6.32)
𝝍(𝒙, 𝒚; 𝒑𝟏 )𝝍(𝒙, 𝒚; 𝒑𝟐 ) = 𝝍(𝒙, 𝒚; 𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 ).
(6.33)
𝝍(𝒙, 𝒚; 𝒑𝟏 )𝝍 ∗ (𝒙, 𝒚; 𝒑𝟐 ) = 𝝍(𝒙, 𝒚; 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 ) =. 𝝍 ∗ (𝒙, 𝒚; 𝒑𝟐 − 𝒑𝟏 )
(6.34)
𝝍(𝒄𝒙, 𝒄𝒚; 𝒑) = 𝝍(𝒙, 𝒚; 𝒄𝟐 𝒑).
(6.35)
𝝍(𝒙 − 𝒖, 𝒚 − 𝒖; 𝒑) = 𝝍(𝒙, 𝒚; 𝒑)(𝒖, 𝒗; 𝒑) 𝐞𝐱𝐩 [
𝒊𝟐𝝅𝒑
) 𝒖𝒙 + 𝒗𝒚_.
𝝀
(6.36)
Соотношение
𝝍 ∗ (𝒙, 𝒚; 𝟎) = 𝟏.
(6.37)
выражает тот факт, что линза с бесконечно большим фокусным расстоянием не изменяет
распределения амплитуд поля, падающего на нее.
Применим приведенную форму записи к анализу оптической системы, изображенной
на фиг.6.5. Расходящаяся сферическая волна, падающая на помещенный в плоскости Р1
транспарант t(x1, y1), описывается функцией 𝝍(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝑫𝟏 )[см. обсуждение выражения
(6.23)]. Амплитуда света, прошедшего через транспарант, выражается произведением
(6.38)
𝒂𝒕 (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) = ∬ 𝒂к (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 )𝝍(𝒙𝟑 − 𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 − 𝒚𝟐 ; 𝑫𝟑 )
𝑷𝟐
Свертка аt и (𝒊𝑫𝟐 /𝝀)𝝍(𝒙, 𝒚; 𝑫𝟐 ) дает распределение амплитуд на левой поверхности
линзы
𝒊𝑫𝟐
𝒂𝒍 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) =
∬ 𝒂𝒕 (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )𝝍(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 , 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 ; 𝑫𝟐 ) 𝒅𝒙𝟏 𝒅 𝒚𝟏
𝝀
(6.39)
𝑷𝟏
а умножение аl на функцию 𝝍(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ; 𝑭), описывающую пропускание линзы, дает
распределение комплексных амплитуд на правой поверхности
𝒂𝒓 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) = 𝒂𝒍 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 )𝝍 ∗ (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ; 𝑭),
(6.40)
Наконец, вычисляя свертку аr с функцией (𝒊𝑫𝟑 /𝝀)𝝍(𝒙, 𝒚; 𝑫𝟑 ), получаем комплексную
амплитуду a(x3, y3) в плоскости xy на расстоянии d3 от линзы:
𝒊𝑫𝟑
𝒂(𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ) =
∬ 𝒂𝒓 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 )𝝍(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 , 𝒚𝟑 − 𝒚𝟐 ; 𝑫𝟑 ) 𝒅𝒙𝟐 𝒅 𝒚𝟐
𝝀
(6.41)
𝑷𝟐
Выражение (6.41) можно привести к более удобному виду, если 1) представить 𝝍
-функции, входящие в (6.39) и (6.41), в виде множителей, зависящих от координат
только одной плоскости [используя (6.36)]; 2) подставить (6.39) и (6.40) в (6.41); 3)
сгруппировать множители, зависящие от координат х, у одной плоскости
[воспользовавшись равенствами (6.31) — (6.34)]. В результате получим
𝒂(𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ) = −(
𝑫𝟑 𝑫𝟑
)𝝍(𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ; 𝑫𝟑 ) ×
𝝀
× ∬ ∬ 𝝍(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ; 𝑫𝟏 + 𝑫𝟐 ) 𝒕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) 𝝍(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ; 𝑫𝟐
𝑷𝟏 𝑷𝟐
− 𝑭 + 𝑫𝟑 ) ×
× 𝒆𝒙𝒑 {
𝒊𝟐𝝅
[𝒙𝟐 (𝑫𝟐 𝒙𝟏 + 𝑫𝟑 𝒙𝟑 ) + 𝒚𝟐 (𝑫𝟐 𝒚𝟏
𝝀
(6.42)
+ 𝑫𝟑 𝒚𝟑 )]} ×× 𝒅𝒙𝟏 𝒅 𝒚𝟏 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒚𝟐
2. Условие формирования изображения
В первую очередь покажем, что выходная функция а (х 3 , у 3 ) в (6.42) имеет такой же
вид, как и входная функция t (X1, Y1), а потому является ее изображением (если
формирование изображения рассматривается в приближении геометрической оптики).
Последнее условие, записанное через параметры оптической системы, показанной на
фиг. 6.5, имеет вид
𝟏
𝟏
𝟏
+
=
𝒅𝟐 𝒅𝟑 𝒇
(6.43)
или, используя обозначения, введенные в этой главе,
𝑫𝟐 + 𝑫𝟑 = 𝑭
(6.44)
Подставляя (6.44) во второй 𝝍-множитель, стоящий под знаком интеграла в (6.42),
получаем, что 𝝍(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ; 𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑 ) = 𝟏, и для интеграла по плоскости Р2 находим
𝒊𝟐𝝅
[𝒙𝟐 (𝑫𝟐 𝒙𝟏 + 𝑫𝟑 𝒙𝟑 ) + 𝒚𝟐 (𝑫𝟐 𝒚𝟏 + 𝑫𝟑 𝒚𝟑 )]} 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒚𝟐
∬ 𝟏 ∙ 𝒆𝒙𝒑 {
𝝀
(6.45)
𝑷𝟐
𝑫𝟐 𝒙𝟏 + 𝑫𝟑 𝒙𝟑 𝑫𝟐 𝒚𝟏 + 𝑫𝟑 𝒚𝟑
== 𝜹 (
,
)
𝝀
𝝀
Здесь мы применили соотношение (4.30) при с = 0. Записывая 𝜹 -функцию следующим
образом:
𝜹[
𝑫𝟐
𝑫𝟑
𝑫𝟐
𝑫𝟑
(𝒙𝟏 +
𝒙𝟑 ) ,
(𝒚𝟏 +
𝒚 )]
𝝀
𝑫𝟐
𝝀
𝑫𝟐 𝟑
и используя свойство (4.13г) для случая двумерной 𝜹 -функции, т. е. б 𝜹(𝒂𝒙, 𝒃𝒚) =
(𝟏/|𝒂𝒃|)𝜹(𝒙, 𝒚), получаем
𝑫𝟐 𝒙𝟏 + 𝑫𝟑 𝒙𝟑 𝑫𝟐 𝒚𝟏 + 𝑫𝟑 𝒚𝟑
𝝀𝟐
𝑫𝟑
𝑫𝟑
𝜹(
,
) = 𝟐 𝜹 (𝒙𝟏 +
𝒙 𝟑 , 𝒚𝟏 +
𝒚 )
𝝀
𝝀
𝑫𝟐
𝑫𝟐 𝟑
𝑫𝟐
(6.46)
Подстановка в (6.42) найденных выше соотношений дает
𝒂(𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ) = − (
𝑫𝟑
) 𝝍(𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ; 𝑫𝟑 ) ∬ 𝝍(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ; 𝑫𝟏 + 𝑫𝟐 )𝒕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
𝑫𝟐
𝑷𝟏
×× 𝜹 (𝒙𝟏 +
=−
𝑫𝟑
𝑫𝟑
𝒙 𝟑 , 𝒚𝟏 +
𝒚 ) 𝒅𝒙𝟏 𝒅 𝒚𝟏 =
𝑫𝟐
𝑫𝟐 𝟑
𝑫𝟑
𝑫𝟑 𝟐
𝝍 [𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ; 𝑫𝟑 + ( ) (𝑫𝟏 + 𝑫𝟐 )] ×
𝑫𝟐
𝑫𝟐
× 𝒕(−
(6.47)
𝑫𝟑 𝒙𝟑 𝑫𝟑 𝒚𝟑
,
)
𝑫𝟐
𝑫
Здесь мы учли, что свертка любой функции с 𝜹-функцией равна исходной функции [см.
(4.13д)], а чтобы придать соотношению более компактный вид, использовали (6.32) —
(6.35). В (6.47) 𝜹 -функция является фазовым множителем сферической волны, который
при получении изображения, как правило, играет незначительную роль. В большинстве
случаев в качестве изображения регистрируется распределение интенсивностей аа*, так
что фазовый множитель выпадает (𝝍𝝍 * = 1). При таких условиях на формирование
изображения не влияет кривизна D1 волнового фронта. В (6.47) остается распределение
амплитудного пропускания, т. е.
𝒕 (−
𝑫𝟑
𝑫𝟑
𝒙𝟑 , −
𝒚 ),
𝑫𝟐
𝑫𝟐 𝟑
(6.48)
которое является перевернутым увеличенным изображением исходного распределения t
(x1, y1); увеличение равно
𝑴=−
𝑫𝟐
𝒅𝟑
=− ,
𝑫𝟑
𝒅𝟐
(6.48)
3. Условие формирования фурье-образа
Возвращаясь к (6.42), определим условия, при которых выходное распределение
комплексных амплитуд а (х 3 у 3 ) в плоскости х 3 у 3 является фурье-образом входного
пропускания t
которое является перевернутым увеличенным изображением исходного распределения t
(x1, y1); Поскольку искомое преобразование Фурье должно связывать комплексные
амплитуды в плоскостях
которое является перевернутым увеличенным изображением исходного распределения
x1, y1 и х 3 уз, то из (6.42) необходимо исключить члены, зависящие от координат х2, у2 плоскости Р 2 . Для наглядности запишем (6.42) в виде
𝒂(𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ) = −(
𝑫𝟑 𝑫𝟑
)𝝍(𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ; 𝑫𝟑 ) ×
𝝀
(6.42)
× ∬ 𝝍(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ; 𝑫𝟏 + 𝑫𝟐 ) 𝒕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )𝑰𝟐 𝒅𝒙𝟏 𝒅 𝒚𝟏
𝑷𝟐
где
𝑰𝟐 = ∬ 𝝍(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ; 𝑫𝟐 − 𝑭
𝑷𝟐
𝑫𝟐 𝒙𝟏 + 𝑫𝟑 𝒙𝟑
+ 𝑫𝟑 )𝒆𝒙𝒑 {𝒊𝟐𝝅 [𝒙𝟐 (
)
𝝀
𝑫𝟐 𝒚𝟏 + 𝑫𝟑 𝒚𝟑
+ 𝒚𝟐 (
)]} 𝒅𝒙𝟐 𝒅 𝒚𝟐 =
𝝀
(6.51)
(6.52)
= ∬ 𝝍(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ; 𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑 )𝒆𝒙𝒑{𝒊𝟐𝝅(𝒙𝟐 𝝃 + 𝒚𝟐 𝜼)} 𝒅𝒙𝟐 𝒅 𝒚𝟐
𝑷𝟐
И
𝝃=
𝑫𝟐 𝒙𝟏 + 𝑫𝟑 𝒙𝟑
,
𝝀
𝜼=
𝑫𝟐 𝒚𝟏 + 𝑫𝟑 𝒚𝟑
𝝀
(6.53)
Переменные x2 и y2 можно исключить, если вычислить интеграл Фурье (6.52). Функция
𝝍(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ; 𝑫𝟏 + 𝑫𝟐 ) является двумерной функцией Гаусса и ее фурье-образ І2(x1, x3),
определяемый соотношением (4.27), с учетом свойств -𝜹функций приводится к виду
𝑰𝟐 (𝒙𝟏 , 𝒙𝟑 ) =
𝝀
×× 𝝍
𝒊( 𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑 )
(6.54)
𝑫𝟑
𝑫𝟑
𝑫𝟐 𝟐
∗ (𝒙𝟏 +
𝒙 ,𝒚 +
𝒚 ;
)
𝑫𝟐 𝟑 𝟏 𝑫𝟐 𝟑 𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑
Применяя (6.36) и (6.35), получаем окончательный результат для I2
𝑰𝟐 =
𝝀
𝑫𝟐 𝟐
𝝍 ∗ (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ;
)𝝍
𝒊( 𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑 )
𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑
(6.55)
𝑫𝟑 𝟐
∗ (𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ;
)
𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑
× 𝒆𝒙𝒑 {
𝒊𝟐𝝅
𝑫𝟐 𝑫𝟑
(
) (𝒙𝟏 𝒙𝟑 + 𝒙𝟑 𝒚𝟑 )}
𝝀 𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑
Подставляя І2 в (6.50) и группируя с помощью (6.34) 𝝍-функции, зависящие от координат
одной плоскости, получаем следующее выражение для распределения комплексных
амплитуд в плоскости, находящейся на расстоянии d3 от линзы:
𝒊𝑫𝟐 𝑫𝟑
𝑫𝟑 𝟐
𝒂(𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ) =
𝝍 (𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ; 𝑫𝟑 −
)×
𝝀( 𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑 )
𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑
× ∬ 𝝍 (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ; 𝑫𝟏 + 𝑫𝟐 −
𝑷𝟏
𝑫𝟐 𝟐
) 𝒕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑
(6.56)
×
𝑫𝟐 𝑫𝟑
× 𝒆𝒙𝒑 {𝒊𝟐𝝅 (
) (𝒙𝟏 𝒙𝟑
𝝀(𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑 )
+ 𝒙𝟑 𝒚𝟑 )} 𝒅𝒙𝟏 𝒅 𝒚𝟏
Интеграл по плоскости P1 в (6.56) имеет вид фурье-образа, если 𝝍-функция, стоящая под
знаком интеграла, равна единице. Последнее имеет место при условии
𝑫𝟏 + 𝑫𝟐 −
𝑫𝟐 𝟐
=𝟎
𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑
(6.57)
Положим, что транспарант t (x1, y1) освещается плоской волной, так что D1 = 1/d1= 0 и d1=
∞. Тогда
𝑫𝟑 = 𝑭 или 𝒅𝟑 = 𝒇
(6.58)
и (6.56) принимает вид
𝒂(𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ) =
𝒊𝑭
𝑫𝟑 𝟐
𝝍 (𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ; 𝑭 −
)×
𝝀
𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑
× ∬ 𝝍 (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ; 𝑫𝟏 + 𝑫𝟐 −
𝑷𝟏
𝑭𝟐
)×
𝑫𝟐
(6.59)
𝒊𝟐𝝅𝑭
× ∬ 𝒕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) 𝒆𝒙𝒑 {(
) (𝒙𝟏 𝒙𝟑 + 𝒙𝟑 𝒚𝟑 )} 𝒅𝒙𝟏 𝒅 𝒚𝟏
𝛌
𝑷𝟏
Рі
Таким образом, когда на помещенный перед линзой транспарант t (x1, y1) падает плоская
волна, в задней фокальной плоскости линзы, если не учитывать фазовый множитель
сферической волны, возникает распределение комплексных амплитуд, которое имеет вид
фурье-образа функции t (x1, y1) Это справедливо независимо» от расстояния d2 между
линзой и транспарантом. Фазовый множитель сферической волны можно сделать равным
единице, положив
D 2 = F,
(6.60)
т. е. поместив транспарант в переднюю фокальную плоскость линзы. Такая система,
применяемая на практике для получения фурье-образа входного транспаранта, изображена
на фиг. 6.6, С учетом (6.60) выражение (6.59) принимает вид
𝒂(𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 ) =
𝒊
∬ 𝒕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) 𝒆𝒙𝒑[𝒊𝟐𝝅(𝒙𝟏 𝝃 + 𝒚𝟏 𝜼)]𝒅𝒙𝟏 𝒅 𝒚𝟏
𝝀𝒇
𝑷𝟏
(6.61)
где
𝝃=
𝒙𝟑
𝒚𝟑
и 𝜼=
𝝀𝒇
𝝀𝒇
(6.62)
являются координатами в плоскости пространственных частот.
ФИГ. 6.6
Другая оптическая система, выполняющая
точное преобразование Фурье. Фокусное расстояние линзы
равно f.
Следует заметить, что если ξ и η взяты положительными, то знак показателя экспоненты
под интегралом в (6.61) соответствует преобразованию пространственного распределения
в частотное, но не наоборот. При положительных ξ и η показатель экспоненты имеет знак
плюс во всех формулах аналогичных преобразований, осуществляемых оптическими
системами, подобными изображенной на фиг. 6.6. Чтобы привести оптические
преобразования в соответствие с определениями (4.1) и (4.2), координаты в задней
фокальной плоскости линзы, где формируется пространственное распределение, должны
иметь знаки, обратные знакам координат в передней фокальной плоскости, являющейся
плоскостью пространственных частот. Если же пространственное распределение
образовано в передней фокальной плоскости, то координаты в задней плоскости берутся с
теми же знаками, что и в передней. Иллюстрация этого правила дана на фиг. 6.7.
ФИГ. 6.7.
Ориентация координатных осей в плоскостях, в которых формируются
фурье-образы.
Если входной транспарант t(x1, y1) освещен сферической волной (D1 ≠0), то из (6.56)
легко видеть, что плоскость, в которой формируется фурье-образ, не совпадает с задней
фокальной плоскостью линзы [D3 определяется из соотношения (6.57)]. Кроме того,
поскольку теперь D3 и F не равны друг другу, масштабный множитель преобразования
Фурье
𝑫𝟐 𝑫𝟑
(𝑫𝟐 − 𝑭 + 𝑫𝟑 )𝝀
будет функцией 𝑫𝟐 . Это позволяет создавать системы, выполняющие преобразование
Фурье с переменным масштабным множителем [6.2].
§ 4. Влияние конечных размеров линзы
1. Влияние на спектр пространственных частот
Для анализа оптического преобразования Фурье в § 2 было принято допущение о
бесконечном радиусе линзы. Это позволило описывать пропускание линзы чисто фазовым
множителем с бесконечными пределами. Теперь положим, что линза имеет конечный
радиус с, и рассмотрим снова интеграл Фурье в (6.24) для случая t(x1, y1)=1.
\
∞
𝑰𝟏 = ∬ 𝒆𝒙𝒑[𝒊𝟐𝝅(𝒙𝟏 𝝃 + 𝒚𝟏 𝜼)]𝒅𝒙𝟏 𝒅 𝒚𝟏
−∞
Если 11 выразить через цилиндрические координаты как в координатной, так и в
частотной области, а интегрирование проводить а пределах радиуса линзы c, то для I1
получаем
𝑰𝟏 = 𝓕[𝒓𝒆𝒄𝒕(𝒓/𝟐𝒄)] = (𝝅𝒄𝟐 )
𝑱𝟏 (𝟐𝝅𝒗𝒄)
𝝅𝒗𝒄
(6.63)
𝑱 (𝟐𝝅𝒗𝒄)
(см. гл. 4, §2), где 𝓕 обозначает преобразование Фурье. Функция 𝟏 𝝅𝒗𝒄 имеет
максимальное значение, равное единице, при v =0, следовательно, максимум функции 𝑰𝟏
лежит на оси и его значение равно 𝝅𝒄𝟐 . На фиг. 4.7 построены функция 𝑰𝟏 и ее
фурье-образ 𝒓𝒆𝒄𝒕(𝒓/𝟐𝒄) . Таким образом, если линза с бесконечными размерами
фокусирует плоскую волну в математическую точку [𝜹-функция в (6.25)], то линза с
конечным радиусом с преобразует падающую на нее часть плоской волны в пятно
конечной ширины. За размер пятна обычно принимают половину расстояния между
нулями функции Бесселя, что соответствует интервалу в области пространственных
частот, равному v0 = 0,61/c мм-1 . Пользуясь соотношением
𝒗 = (𝝃𝟐 + 𝜼𝟐 )𝟏/𝟐 =
𝟏
𝒓
)(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) 𝟏/𝟐 =
𝝀𝒇
𝝀𝒇
(6.64)
вытекающим из (6.21) и (6.22), можно перейти от ширины полосы в частотной области к
расстоянию в координатной области; в результате для ширины (диаметра) пятна в
плоскости х 2 у 2 находим
∆= 𝟎, 𝟔𝟏
𝝀𝒇
𝒄
(6.65)
Ширину ∆ в (6.65) можно считать мерой степени неопределенности, с которой точка
плоскости х 2 у 2 пространственных частот соответствует пространственной частоте
аксиальной плоской волны, падающей на линзу конечного радиуса с. Эта
неопределенность является следствием того, что линза конечных размеров собирает лишь
часть пространственной информации, которую несет световая волна.
Рассмотрим теперь транспарант, пропускание которого уже не равно единице и в
полярных координатах описывается функцией t (r, θ). Интеграл Фурье в (6.23),
описывающий результат оптического преобразования Фурье, которое осуществляет
система, изображенная на фиг. 6.2, теперь имеет вид
𝑰𝒕 = 𝓕[𝒕(𝒓, 𝜽)𝒓𝒆𝒄𝒕(𝒓/𝟐𝒄)] = 𝑻(𝒗, 𝝋) ∗ [𝝅𝒄𝟐
𝑱𝟏 (𝟐𝝅𝒗𝒄)
]
𝝅𝒗𝒄
(6.66)
где t 𝒕(𝒓, 𝜽) ⊃ 𝑻(𝒗, 𝝋). Как указывалось в гл. 4, § 3, свертка двух функций представляет
собой результат сканирования одной функции с помощью другой. Функцию 𝑻(𝒗, 𝝋) ,
являющуюся фурье- образом пропускания 𝒕(𝒓, 𝜽), сформированным бесконечно большой
линзой, можно рассматривать как совокупность идеальных точек или 𝜹-функций. При
𝑱 (𝟐𝝅𝒗𝒄)
𝝀𝒇
свертке каждой 𝜹 -функции с функцией пятна 𝝅𝒄𝟐 𝟏 𝝅𝒗𝒄 , имеющего ширину ∆= 𝟎, 𝟔𝟏 𝒄 ,
𝜹 -функция уширяется до значения ∆.
2. Влияние конечных размеров линзы на выбор системы, формирующей изображение или
фурье-образ
Рассмотрим сначала, как сказывается конечность размеров линзы на формировании
изображения. Для получения качественного изображения необходимо, чтобы линза
собирала всю световую волну, переносящую информацию о предмете. Заведомо плохая в
этом отношении система изображена на фиг. 6.8. Плоская волна падает на предмет,
которым является транспарант с пропусканием t(x1, y1). Будем рассматривать
распространение волны в плоскости yz. Можно мысленно представить, что входное
пропускание t разложено на фурье-компоненты, описывающие пропускание синусоидальных решеток. Пусть одна из них имеет пространственную частоту η. Наша система
подобна системе, изображенной на фиг. 5.3, за исключением того, что здесь поперечное
сечение падающего на решетку пучка света ограничивается протяженностью транспаранта
t(x1, y1).
ФИГ. 6.8
Система, формирующая изображение при освещении плоской волной
Если плоская влна падает на решетку неограниченных размеров, то как указывалось в гл.5,
§ 3, дифрагировавшие воны будут плоскими, а их комплексные амплитуды справа будут
описываться:
𝟏
𝟏
𝒂(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) = 𝒂𝟏 𝒕𝟎 + 𝒂𝟏 𝒕𝟏 𝐞𝐱𝐩(𝟐𝝅𝒊𝜼𝒚𝟏 ) + 𝒂𝟏 𝒕𝟏 𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝜼𝒚𝟏 )
𝟐
𝟐
(6.67)
А углы дтфракции определяться формулой
𝜽𝟐 = ±𝒂𝒓𝒄𝒂𝒊𝒏𝝀𝜼
Рассмотрим сначала пучок лучей, осью которого является ось z (фиг 6.8). Максимальный
угол, под которым дифрагируют лучи, ще падающее на линзу с радиусом r 2, определяется
отношением r2/ d2=tgθ2. Для центральных лучей получим, что максимальная пространственная частота ηмакс входной решетки, которую линза может преобразовать в
изображение, определяется условием
𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 = 𝝀𝜼𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝒓𝟐 /𝒅𝟐
т. е. не превосходит величины
Т
𝜼𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝒓𝟐 /𝒅𝟐 𝝀
(6.68)
Предположим теперь, что транспарант t имеет форму круга радиусом r1 и рассмотрим
пучок лучей, падающих на область, расположенную в непосредственной близости от края
круга у1= r1. Чтобы на линзу попадали все лучи, идущие от этой области транспаранта, угол
дифракции θ'2 не должен превышать величины (𝑟2 − 𝑟1 )/𝑑2 т. е.
𝒓 𝟐 − 𝒓𝟏
𝒕𝒈𝜽′𝟐 = 𝒔𝒊𝒏𝜽′𝟐 = 𝝀𝜼𝒎𝒂𝒙 ′ ≤
𝒅𝟐
или
𝜼𝒎𝒂𝒙 ′ ≤ 𝒓𝟐 /
𝒓𝟐 − 𝒓𝟏
𝒅𝟐 𝝀
(6.69)
Таким образом, максимальная пространственная частота предмета, преобразуемая в
изображение, является линейной убывающей функцией его радиуса. Если
пространственные частоты не удовлетворяют условию (6.69), то происходит потеря
информации.
Прежде чем рассматривать оптическую систему, более полно передающую
информацию о предмете, воспользуемся проведенным выше анализом системы на фиг. 6.8,
чтобы выявить преимущество осуществляющей преобразование Фурье оптической
системы, изображенной на фиг. 6.2 (или 6.4) по сравнению с системой, показанной на фиг.
6.6. Если на фиг. 6.8 расстояние d3 равно фокусному расстоянию линзы, то мы получим
выполняющую преобразование Фурье оптическую систему, которая при неограниченных
размерах линзы будет формировать фурье-образ Т (ξ, η) в плоскости х 3 у 3 независимо от
величины d2. [От величины d2 зависит фазовый множитель сферической волны из (6.59),
который мы здесь не учитываем.] Однако в действительности линза имеет конечный
радиус r2, и из (6.68) и (6.69) видно, что максимальная пространственная частота света,
попадающего на линзу, обратно пропорциональна расстоянию d2 между линзой и
транспарантом t(x1, y1). Если же d 2 = 0 (как на фиг. 6.2 или 6.4), то линза преобразует все
пространственные частоты предмета, и в задней фокальной плоскости формируется
полный спектр функции t(x1, y1). В этом отношении подобная система обладает преимуществом перед показанной на фиг. 6.6 системой, где d2 = f.
Система, формирующая изображение и сохраняющая наиболее полно переносимую
светом информацию о предмете, изображена на фиг. 6.9. Соприкасающаяся с
предметом-транспарантом t(x1, y1) первая линза L1 формирует сферический волновой
фронт, который фокусируется в расположенный на оси центр второй линзы L2.
Поскольку линза L2 находится в задней фокальной плоскости первой линзы, на
поверхности линзы L2 формируется фурье-образ, или спектр, функции t(x1, y1). В свою
очередь линза L2 преобразует этот фурье-образ в изображение транспаранта,
возникающее в плоскости х 3 у 3 .
ФИГ. 6.9.
сферической волной.
Система, формирующая изображение при освещении
Ограничиваясь анализом в плоскости yz, рассмотрим опять фурье-компоненту [одну из
синусоидальных решеток, составляющих пропускание t(x1, y1) с пространственной
частотой η. На этот раз решетка освещается сферической волной. Если в (6.67) вместо
подставить фазовый множитель, соответствующий сферической волне, которая
сходится в точку, находящуюся на расстоянии d 2 от t(x1, y1) то третий член в правой
части; (6.67) примет вид
𝟏
𝟐𝝅 𝟏
𝒂𝟏 𝒕𝟏 𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝜼𝒚𝟏 ) ~𝒆𝒙𝒑 [𝒊
(
) (𝒙𝟏 𝟐 + 𝒚𝟏 𝟐 )] ×
𝟐
𝝀 𝟐𝒅𝟐
× 𝐞𝐱𝐩 (−𝒊
= 𝒆𝒙𝒑 {𝒊
𝟐𝝅
(𝝀𝜼𝒚𝟏 ))
𝝀
𝟐𝝅 𝟏
(
) [𝒙𝟏 𝟐 + 𝒚𝟏 𝟐 − 𝟐(𝒅𝟐 𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 )𝒚𝟏 ]}
𝝀 𝟐𝒅𝟐
(6.70)
Для малых углов имеем d 2 sin θ2 ≈ d 2 θ 2 ≈ y 2- Подставляя в (6.70) у 2 , получаем для фазы
𝝋=
𝟐𝝅 𝟏
(
) [𝒙𝟏 𝟐 + 𝒚𝟏 𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 𝒚𝟏 ]
𝝀 𝟐𝒅𝟐
(6.71)
Сравнение выражений (6.71) и (3.26) показывает, что 𝝋 представляет собой распределение
фаз сферической волны, фокусирующейся в расположенную вне оси z точку с
координатами (у 2 , z = d 2 ), положение которой определяется углом θ2. Вообще говоря, при
освещении синусоидальной решетки
ФИГ. 6.10
Когерентная передаточная функция rect (v/2vмакс) оптической системы,
изображенной на фиг. 6.9.
сходящейся сферической волной, как и при освещении плоской волной, возникают три
волны: одна иедифрагированная, фокусирующаяся в точку на оси, и две другие,
дифрагирующие под средними углами θ2 = ± arcsin λη и фокусирующиеся в плоскости z =
d 2 в точки с координатами ±у 2 . Рассмотрим опять падающий на t(x1, y1)) узкий пучок
лучей с вершиной на оси z. Как видно из фиг.6.9, максимальный угол, под которым эти
лучи могут дифрагировать, попадая при этом иа линзу, составляет
𝒕𝒈𝜽𝟐 ≈ 𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 = 𝝀𝜼𝒎𝒂𝒙 = 𝒓𝟐 /𝒓𝟏
(6.72)
Однако это же условие справедливо (в пределах наших допущений) и для лучей, падающих
на края предмета. Если обобщить проведенный анализ на произвольно ориентированные
синусоидальные решетки, то (6.72) можно записать в виде
𝝀𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝒓𝟐 /𝒅𝟐
ИЛИ
𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝒓𝟐 /𝒅𝟐 𝝀
(6.73)
𝒗𝟐 = (𝝃𝟐 + 𝜼𝟐 )𝟏/𝟐 Как в (6.64). Из (6.73) следует, что линза в оптической системе на фиг.
6.9 независимо от расположения предмета во входной плоскости преобразует в
изображение всю световую информацию о предмете, которую несут компоненты с
пространственными частотами вплоть до 𝒗𝒎𝒂𝒙 - Если- пространственная частота
какой-либо компоненты пропускания превышает 𝒗𝒎𝒂𝒙 , то соответствующая ей
информация теряется. Если записать полученные результаты, применив понятие
частотной передаточной функции [см. определение (4.6)], то в нашем случае она имеет
постоянное значение для частот вплоть до 𝒗𝒎𝒂𝒙 и равна нулю для частот, превышающих
𝒗𝒎𝒂𝒙 - Эта функция изображена на фиг. 6.10. Для систем, формирующих изображение в
когерентном свете, ее называют когерентной передаточной функцией.
3. Влияние конечных размеров линзы на разрешение изображения
Чтобы получить функцию рассеяния s (х3, у 3 ) для изображенной на фиг. 6.9 системы,
формирующей изображение, мы должны, согласно (4.15), найти обратный фурье-образ
частотной передаточной функции S (v). Последняя изображена на фиг. 6.10 и является
функцией вида 𝒓𝒆𝒄𝒕(𝒗/𝟐𝒗𝒎𝒂𝒙 ) фурье-образ которой определяется собтношением (4.34). В
данном случае фурье-образ зависит от переменных, принадлежащих координатной
области, и функция рассеяния (нормированная на максимальное значение, равное
единице) имеет вид
𝒔(𝒓) = 𝑱𝟏 (𝟐𝝅𝒗𝒎𝒂𝒙 𝒓)/𝟐𝝅𝒗𝒎𝒂𝒙 𝒓
(6.74)
где 𝒓 = (𝒙𝟑 𝟐 + 𝒚𝟑 𝟐 )𝟏/𝟐 . График функции s (r) приведен на фиг. 6.11.
Мы уже знаем, что если пучок света фокусируется в плоскости линзы, строящей затем
изображение, как в системе на фиг. 6.9, то частотная передаточная функция одинакова для
любого положения предмета во входной плоскости и 𝒗𝒎𝒂𝒙 не зависит от координат
входной плоскости. Следовательно, разрешение изображения, которое определяется
функцией рассеяния, тоже не зависит от положения предмета на входе. Согласно гл. 4, § 3,
выходная функция линейной пространственно-инвариантной оптической системы
(изображение) равна свертке входной функции и функции рассеяния. При свертке каждая
точка входной функции, описываемая 𝜹 -функцией, расширится на выходе в пятно
𝟎,𝟔𝟏
шириной ∆=
= 𝟎, 𝟔𝟏𝒅𝟐 𝝀/𝒓𝟐 . Величина ∆ есть ширина наименьшего разрешаемого
𝒗𝒎𝒂𝒙
системой пятна на изображении. Здесь мы полагаем, что увеличение равно единице. В
противном случае А умножается на d3/d2 см. (6.49).] Показанную на фиг. 6.8 оптическую
систему, в которой для освещения используется плоская волна, а также системы со
сферическими волнами, фокусирующимися вне плоскости линзы, формирующей
изображение, невозможно описать одной только передаточной функцией. Такие системы,
ФИГ. 6.11.
Функция рассеяния для формирующей
изображение системы, представленной на фиг. 6.9.
в которых разрешение меняется в зависимости от положения предмета во входной
плоскости, называются пространственно-неинва- риантными.
Мы рассмотрели некоторые ограничения свойств оптической системы, обусловленные
конечными размерами реальных линз. Если ограничение, вносимое линзой, вызвано
только конечностью ее размеров, то такая линза называется дифракционно-ограниченной.
В нашем анализе мы неоднократно пользовались приближением малых углов. Если же
световые лучи падают на тонкие линзы под большими углами, значения которых выходят
за рамки этого приближения, то наблюдается ухудшение свойств системы по сравнению с
оптимальными свойствами дифракционно-ограниченной системы. Это происходит, когда
размеры предмета велики и он расположен не на оси, а отношение диаметра линзы к ее
фокусному расстоянию уже нельзя считать малым.
§ 5. Когерентные и некогерентные передаточные функции
Хотя для голографии получение изображений в некогерентном свете обычно не
представляет интереса, здесь уместно сделать краткое отступление и сравнить частотные
передаточные функции оптических систем, освещаемых когерентным и некогерентным
светом.
ФИГ. 6.12 Сечение когерентной передаточной функции и оптической передаточной
функции для системы, изображенной на фиг. 6.9
Пусть в оптической системе, освещаемой когерентным светом, входным комплексным
амплитудам (х, у) или а2 (х, у) отвечают соответственно выходные амплитуды b1 (х, у) или
b2 (х, у). Если система линейна, то входной комплексной амплитуде а1 (х, у) + а2 (х, у)
должна соответствовать на выходе комплексная амплитуда с (х, у) = b1 (х, у) + b2 (х, у).
Выходная интенсивность I = сс* будет при этом иметь вид многочлена
𝑰 = 𝒃𝟏 𝒃𝟏 ∗ + 𝒃𝟐 𝒃𝟐 ∗ + 𝒃𝟏 𝒃𝟐 ∗ + 𝒃𝟏 ∗ 𝒃𝟐 = 𝑰 𝟏 + 𝑰 𝟏 + 𝒃𝟏 𝒃𝟐 ∗ + 𝒃𝟏 ∗ 𝒃𝟐
(6.75)
где 𝑰𝟏 — выходная интенсивность при действии на входе только волны а1, а 𝑰𝟐 — при
действии только волны а2. При когерентном освещении все четыре члена в (6.75), вообще
говоря, не равны нулю. Следовательно, в этом случае система нелинейна по
интенсивности. Однако при некогерентном освещении выходная интенсивность
складывается только из входных интенсивностей
𝑰 = 𝑰 𝟏 + 𝑰𝟐
т. е. системы, освещаемые некогерентным светом, линейны по интенсивности. Для
характеристики таких систем можно пользоваться функцией рассеяния и частотной
передаточной функцией для интенсивности. Последнюю называют оптической
передаточной функцией, а ее модуль — модуляционной передаточной функцией.
Функция рассеяния для интенсивности описывает распределение интенсивности света
в выходной плоскости, соответствующее импульсной функции во входной плоскости, и,
следовательно, равна квадрату абсолютной величины комплексной амплитудной функции
рассеяния. Для представленной на фиг. 6.9 системы, формирующей изображение, она
имеет вид
𝒔𝑰 (𝒓) = [𝑱𝟏 (𝟐𝝅𝒗𝒎𝒂𝒙 𝒓)/𝟐𝝅𝒗𝒎𝒂𝒙 𝒓]𝟐
(6.76)
В соответствии с аналогичными соотношениями для когерентной системы оптическая
передаточная функция является фурье-образом функции 𝒔𝑰 (𝒓) и, согласно (4.18) и (4.34),
представляет собой автокорреляцию когерентной передаточной фунции 𝒓𝒆𝒄𝒕(𝒗/𝟐𝒗𝒎𝒂𝒙 )).
Как оптическая передаточная функция, так и когерентная передаточная функция обладают
круговой симметрией и зависят только от v. Двумерные проекции абсолютных величин
этих функций представлены на фиг. 6.12.
Лекция 4.
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
Расстояние между полосами на небольших осевых голограммах, зарегистрированных при
недиффузном освещении, значительно превышает толщину фотослоя. Каждый луч,
освещающий такую голограмму, при прохождении через нее взаимодействует только с
одной зарегистрированной на ней полосой. Следовательно, действие, оказываемое
голограммой на пучок света, подобно действию плоской дифракционной решетки,
обладающей фокусирующими свойствами. Габор рассмотрел эти свойства для случая
строго двумерной голограммы. Полученные им выводы оказались в хорошем согласии с
экспериментальными данными.
В предложенном Лейтом и Упатниексом методе с наклонным опорным пучком образуются
голограммы с большей частотой полос, чем в случае осевых голограмм. Разность частот
пропорциональна величине угла между предметным и опорным пучками [см. (3.15)].
Типичное значение расстояния между полосами на голограмме с наклонным опорным
пучком можно получить, рассмотрев интерференцию двух плоских волн. Расстояние
между полосамиd связано с углом θ (равным половине угла между направлениями пучков)
и длиной волны К соотношением (1.10): 2d sinθ = X. Для θ= 15° и λ = 0,5 мкм (зеленый свет)
имеем d — 1 мкм. Толщина фотослоев, используемых для регистрации внеосевых
голограмм, составляет обычно 15 мкм, и, следовательно, зарегистрированные на них
голограммы по сути дела уже нельзя считать двумерными. Тем не менееЛейт и Упатниекс
[8.1, 8.2], используя представления теории связи, распространили двумерный анализ и на
случай внеосевых голограмм. Несмотря на то что двумерная модель на самом деле обычно
не реализуется, такой подход создал хорошую базу для дальнейшего развития голографии.
Однако его применение к тем голограммам, которые правильнее было бы рассматривать
как объемные дифракционные решетки, дает результаты, выполняющиеся лишь частично,
и оставляет необъясненными многие наблюдаемые на практике свойства голограмм.
Поэтому важно помнить, что выводы, полученные в результате анализа плоских
голограмм, строго выполняются лишь для голограмм, зарегистрированных на достаточно
тонких слоях. В качестве примера такого слоя можно назвать термопластик, толщина
которого может быть сравнимой с длиной световой волны. Наблюдаемые свойства
голограмм, зарегистрированных на термопластике, правильно предсказываются теорией
плоских голограмм.
Используя математический аппарат, разработанный в теории дифракции (см. гл. 5 и 6),
рассмотрим теперь те свойства плоских голограмм, которые нельзя было получить с
помощью геометрического анализа, проведенного в гл. 3. На теории дифракции основано и
обсуждение фурье-голограмм. Мы выведем условие разделения формирующих
изображение волн, дифрагированных внеосевой голограммой, рассмотрим факторы,
влияющие на качество изображения, и найдем максимальное значение дифракционной
эффективности амплитудных и фазовых голограмм.
§ 1. Получение голограмм с наклонным опорным пучком при недиффузном предметном
пучке
Получение голограммы с помощью опорной волны, интерферирующей с предметной под
некоторым углом, было описано в гл. 2, § 6, как один из наиболее эффективных методов
разделения двойниковых изображений. Пространственно-частотный анализ этого метода
приводит к понятию несущей, или опорной, волны, пространственная частота которой
модулируется информацией о предмете. Таким образом, выражение голограмма с несущей
частотой эквивалентно выражениювнеосевая голограмма. При использовании метода
несущей частоты отпадает необходимость получения опорной волны за счет света,
прошедшего через предмет. Вследствие этого при применении внеосевых голограмм, в
противоположность габоровским голограммам, нет необходимости ограничиваться
транспарантами с большими прозрачными участками.
На фиг. 8.1 показан простой способ деления волнового фронта, позволяющий освещать
прозрачный транспарант когерентной плоской волной и получать наклонную плоскую
опорную волну от того же источника. В качестве предмета можно взять полутоновый
транспарант. Пусть а(х, у) — комплексная амплитуда предметной волны в плоскости
голограммы, r =rехр(2πiξrx) — комплексная амплитуда плоской опорной волны.
Пространственная частота опорной волны ξопорн =-ξr= - (sinθ)/λ соответствует волновому
вектору опорной волны, направленному вниз от осиz, где θ — угол, образованный им в
плоскостиxz с осьюz. Как и в гл. 1, § 8, мы будем рассматривать получение амплитудной
голограммы. Пусть после записи интерференционной картины, образованной волновыми
фронтами а(х, у) и г, и полной фотографической обработки мы получили голограмму с
амплитудным пропусканием
(8.1)
𝒕 = 𝒕𝟎 − 𝒌𝑰,
гдеt0 — пропускание неэкспонированной (но проявленной) пластинки;к — постоянная, а I
— интенсивность интерференционной картины. Согласно (1.15), интенсивность
описывается выражением
𝑰 = 𝒂𝒂∗ + 𝒓𝒓∗ + 𝒂𝒓∗ + 𝒂∗ 𝒓 == 𝒂𝒂∗ + 𝒓𝟐 + 𝒂𝒓 𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝒓 𝒙) + 𝒂∗ 𝒓 𝐞𝐱𝐩(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒓 𝒙). (8.2)
ФИГ. 8.1.Простая схема получения голограммыс внеосевым опорным пучком.
Если на стадии восстановления голограмма освещается исходной опорной волной, для
комплексной амплитуды поля сразу за голограммой имеем
𝒘(𝒙, 𝒚) = 𝒓𝒕 = 𝒕𝟎 𝒓 𝐞𝐱𝐩(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒓 𝒙)
− 𝒌[𝒂𝒂∗ 𝒓 𝐞𝐱𝐩(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒓 𝒙) + 𝒓𝟑 𝐞𝐱𝐩(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒓 𝒙) + 𝒂 𝒓𝟑
(8.3)
+ 𝒂∗ 𝒓𝟑 𝐞𝐱𝐩(𝟒𝝅𝒊𝝃𝒓 𝒙)].
1. Разделение дифрагированных волн
В гл. 1, § 8, мы без доказательства утверждали, что при соответствующем направлении
опорной волны можно отделить нужную восстановленную волну от остальных,
дифрагированных голограммой. На фиг. 2.10 геометрически показано, что для этого
необходимо иметь достаточно большой средний угол между предметным и опорным
пучками. Чтобы связать условие углового разделения дифрагированных волн с
максимальной пространственной частотой пропускания предмета, проведем
пространственно- частотный анализ выражения (8.3) [8.1]. Пусть голографируемый
транспарант имеет пропускание s (х, у) и спектр S(ξ, η), где s (х, у)⊃S(ξ, η). Протяженность
спектра S(ξ, η) лежит в пределахот–ξмаксдо + ξмакс и от –η максдо + η макс. Возможное
спектральное распределение | S(ξ, η) | в плоскости ξηприведено на фиг. 8.2. При освещении
транспаранта распространяющейся вдоль осиz плоской волной комплексная амплитуда
предметнойволны, падающей на голограмму, равна а (х, у). Соответствующий этой
функции спектр определяется выражением (5.26):
ФИГ. 8.2 Спектр транспаранта.
𝑨(𝝃, 𝜼) = 𝒂𝟏 𝑺(𝝃, 𝜼) 𝐞𝐱𝐩 [−𝒊
𝟏
𝟐𝝅𝒅
(𝟏 − 𝝀𝟐 𝝃𝟐 − 𝝀𝟐 𝜼𝟐 )𝟐 ].
𝝀
(8.4)
где а1 — постоянная амплитуда плоской волны, падающей на транспарант, аd —
расстояние между транспарантом и голограммой. Заметим, что максимальная
протяженность, или ширина, спектра А(ξ, η) в плоскости пространственных частот
определяется интервалом, в котором функция S (ξ, η)не равна нулю. Выражение (8.3)
содержит не только а (х, у), но и комплексно-сопряженную ей величину а*(х, у) со спектром
𝟏
𝟐𝝅𝒅
(𝟏 − 𝝀𝟐 𝝃𝟐 − 𝝀𝟐 𝜼𝟐 )𝟐 ].
𝑨′(𝝃, 𝜼) = 𝑨∗ (−𝝃, −𝜼) = 𝒂𝟏 𝑺∗ (−𝝃, −𝜼) 𝐞𝐱𝐩 [+𝒊
(8.5)
𝝀
Здесь было использовано соотношение (4.26). Теперь с помощью (8.4) и (8.5) найдем
абсолютное значение спектра функции w (х, у), определяемой выражением (8.3).
Первый член в правой части (8.3),t0rехр (2πiξrx), описывает недифрагированный свет,
распространяющийся в направлении падающей волны. Для обычных амплитудных
голограмм (с низкой эффективностью) эта компонента, как правило, очень велика.
Согласно соотношению (4.30), ее спектр представляет собой 𝛿
ФИГ.8.3 Пространственный спектр излучения, вышедшего из голограммы,
зарегистрированной с наклонным опорным пучком.
функцию в точке с координатами (-ξr, 0). Соответствующее преобразование мы можем
описать соотношением
(8.6)
𝒕𝟎 𝒓𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒓 𝒙) ⊃ 𝒕𝟎 𝒓𝜹(𝝃 + 𝝃𝒓 ).
и для наглядности изобразить спектр большой вертикальной стрелкой на фиг. 8.3.
Второй член в (8.3) (первый в скобках), −𝑘𝑎𝑎∗ 𝑟𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒓 𝒙), преобразуется в частотном
пространстве, согласно (4.18) и (4.21), в смещенную функцию автокорреляции спектра
А(ξ,η). Прежде всего нас интересует максимальная протяженность функции автокорреляции в плоскости пространственных частот; эта величина является главным
фактором, определяющим пространственную частоту, соответствующую наклону опорной
волны. Для ее нахождения напомним, что интеграл корреляции, подобно интегралу
свертки, представляет собой сканирование одной функции с помощью другой (фиг. 4.4).
Интервал значений переменных, в котором интеграл не равен нулю, определяется суммой
ширинобеих функций; в случае автокорреляции максимальная протяженность
результирующей функции в два раза больше ширины функции, подвергаемой операции
автокорреляции. Опуская постоянные множители, получаем фурье-образ второго члена
из(8.3):
𝒓𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒓 𝒙) ⊃ 𝑨∗ (𝝃, 𝜼) ∗ 𝑨(𝝃 + 𝝃𝒓 , 𝜼) =
𝟏
𝟐𝝅𝒅
(𝟏 − 𝝀𝟐 𝝃𝟐 − 𝝀𝟐 𝜼𝟐 )𝟐 ] ∗
= [𝑺∗ (𝝃, 𝜼) 𝐞𝐱𝐩 (𝒊
𝝀
𝟏
𝟐𝝅𝒅
(𝟏 − 𝝀𝟐 (𝝃 − 𝝃𝒓 )𝟐 − 𝝀𝟐 𝜼𝟐 )𝟐 )]
∗ [𝑺(𝝃 + 𝝃𝒓 , 𝜼) 𝐞𝐱𝐩 (−𝒊
(8.7)
𝝀
.
Как указывалось ранее, ширина спектра А (ξ, η) определяется его амплитудным
распределением и, следовательно, шириной спектраS(ξ, η). Таким образом, функция
автокорреляции(8.7)в два раза шире функцииS(ξ, η): ее ширина составляет 2 [ξмакс — ( —
ξмакс)] = 4ξмакспо осиξи 4ξмакспо оси η.Ее центр (-ξr,0) соответствует центру
функцииS(ξ+ξr, η). [см. (4.12)] и совпадает с пространственной частотой, соответствующей
наклону освещающего пучка. Симметричное размытие дифрагированного света вокруг
направления освещающего голограмму пучка иногда называютинтермодуляцией, имея в
виду, что оно обусловлено модуляцией света от одного участка предмета светом от другого.
Снова возвращаясь к (8.3), мы видим, что второй член в скобках, —kr3ехр (2πiξrx),
аналогичен первому экспоненциальному члену в правой части формулы, который, как уже
говорилось, преобразуется в -функцию в точке (ξ=-ξr,0). Как правило, компонента,
соответствующая этому члену, меньше компоненты, опрсываемой первым членом
формулы (8.3).
Все три члена, которые мы только что рассмотрели, называются членами нулевого порядка,
так как они описывают световые волны, не испытавшие отклонения, т. е.
распространяющиеся за голограммой в том же направлении, что и падающая на нее волна.
Третий член в квадратных скобках в (8.3) пропорционален исходной волне а (х, у), которая
попадает на голограмму от предмета. Абсолютная величина ее спектра | А (ξ, η) |, как легко
видеть из (8.4), пропорциональна | S(ξ, η) |. Мы считаем, что IS(ξ, η)| описывает
симметричное распределение вокруг центральной пространственной частотыξ0 = 0, η0 = 0 в
интервале ±ξмакси ±ηмакс (фиг. 8.2), и, следовательно, то же частотное распределение
соответствует функции а (х, у) в изображении спектра на фиг. 8.3.
Последний член в (8.3), −𝑘𝑎∗ exp(4𝜋𝑖𝜉𝑟 𝑥) ⊃ −𝑘𝑟 2 𝐴∗ [−(𝜉 + 2𝜉𝑟 ), −𝜂], описывает волновой фронт, комплексно-сопряженный предметному волновому фронту в плоскости
голограммы и промодулированный высокой несущей частотой. (Заметим, что
соответствующая дифрагированная волна не является ни антипараллельной, ни
комплексно- сопряженной исходной предметной волне, как это было в случае,
рассмотренном в гл. 1, § 8.) Спектр рассматриваемого члена определяется соотношением
−𝒌𝒂∗ 𝒓𝟐 𝐞𝐱𝐩(𝟒𝝅𝒊𝝃𝒓 𝒙) ⊃ −𝒌𝒓𝟐 𝑨 ∗ [−(𝝃 + 𝟐𝝃𝒓 ), −𝜼].
Согласно (8.5), его абсолютная величина пропорциональна [ S* [—(ξ+ 2ξr), -η)] |, т. е. это
частотное распределение подобно распределению на фиг. 8.2, но является его зеркальным
отражением и смещено по оси -ξ на величину 2ξr, а граничные значения частот равныξ
=-2ξr ± ξмакс иη = ±ηмакс.
На фиг. 8.3 построены абсолютные значения спектров волн на выходе из голограммы.
Видно, что использование опорной волны с соответствующей высокой пространственной
частотой (т. е. большим углом падения θ) обеспечивает угловое разделение волн,
образующих изображение. Как следует из фиг. 8.3, чтобы избежать наложения волны
нулевого порядка на волны, образующие изображение, опорная пространственная
частотаξопорндолжна удовлетворять соотношению
|𝝃опорн − 𝝃𝟎 |= | − 𝝃𝒓 − 𝝃𝟎 | = 𝝃𝒓 + 𝝃𝟎 ≥ 𝟑𝝃макс .
(8.8)
гдеξо — центральная пространственная частота спектра предмета (которую мы считаем
равной нулю). Даже для того, чтобы выполнялось условие минимального углового
разделения волн |ξопорн-ξ0 |= 3ξмакс, светочувствительный материал должен обладать
высоким разрешением в направлении х. Заменим в (8.2) комплексную амплитуду а (x, у)
предметной волны в плоскости голограммы ее компонентой в направлении +х с наивысшей
пространственной частотой
|𝝃опорн − 𝝃𝟎 |= | − 𝝃𝒓 − 𝝃𝟎 | = 𝝃𝒓 + 𝝃𝟎 ≥ 𝟑𝝃макс .
(8.8)
В аргументе косинуса содержится частота полосξr + ξо + ξмакс,которая должна быть
записана на светочувствительном материале. Если учесть условие (8.8):ξr + ξо=3ξмакc, то
оказывается, что пространственная частота будет равна 4ξмакcт. е. в 4 раза превосходит
наивысшую пространственную частоту предмета. Высокая разрешающая способность,
которую должна иметь регистрирующая среда при получении голограммы с наклонным
опорным пучком, является своего рода платой за разделение двойниковыхизображений.
Однако достоинства этого метода — высокое качество изображения и широкий выбор
объектов голографирования — компенсируют его недостатки, особенно если имеются
высокоразрешающие фотоэмульсии. Перекрытие волн, обусловленное интермодуляцией,
обычно не играет существенной роли, так как величина члена, описывающего этот эффект,
быстро падает с удалением частоты от центральной (фиг. 8.3). Ослабить нежелательные
ФИГ. 8.4 Схема, показывающая, что световые пучки могут перекрываться в плоскости
изображения (приложение 1), не смотря на угловое разделение, тогда как в положении 2
перекрытие отсутствует.
эффекты, обусловленные перекрытием волн, можно также, делая амплитуду опорной
волны значительно больше амплитуды предметной волны. Тогда первый член в скобках в
(8.3) становится малым по сравнению с третьим и четвертым членами.
Хотя соотношение (8.8) является условием того, что в области пространственных частот
волны не перекрываются (условие углового разделения), из него не следует, что в
плоскости изображения, образованного одной из дифрагированных волн, будет отсутствовать нежелательное излучение, обусловленное другими волнами. Это легко видеть из
фиг. 8.4, где показано образование действительного изображения в плоскости,
находящейся сравнительно недалеко от плоскости голограммы (положение 1). На фиг. 8.4
изображены пучки света, исходящие из двух точек освещенной голограммы. Здесь
выполняется условие углового разделения дифрагированных волн, тем не менее в область
действительного изображения (положение 1) наряду с волной, формирующей
действительное изображение, попадает нежелательный свет засчет волн нулевого порядка.
Наиболее простой выход из этого положения заключается в выборе достаточно высокой
пространственной частоты опорной волны, а также достаточно большого расстояния
между предметом и голограммой, что устраняет перекрытие волн в плоскости изображения
(положение 2).
Другой, более сложный выход состоит в отфильтровании компонент с нежелательными
пространственными частотами. Это можно сделать, если использовать линзу,
формирующую в задней фокальной плоскости частотный спектр поля комплексных
амплитуд, существующего в непосредственной близости за голограммой, а затем закрыть
весь спектр, кроме его полезной части. Из-за сложности этого метода он применяется в тех
случаях, когда разрешающая способность регистрирующей среды очень низка.
Предположим, например, что мы хотим зарегистрировать на панхроматической пленке
Кодак Tri-X голограмму транспаранта, центральная пространственная частота которого ξ0=
0, а максимальнаяξмакс =ηмакс= 20 мм-1 (что соответствует детали предмета, имеющей
протяженность 0,025 мм). Если мы хотим записать голограмму с наклонным опорным
пучком, то в соответствии с настоящим параграфом абсолютное значение минимальной
пространственной частоты опорной волны, необходимое для полного углового разделения
дифрагированных волн, составит |ξопорн| = 3ξмакс = 60 мм-1, а наивысшая частота полос,
которую нужно зарегистрировать, будет 4ξмакс = 80 мм-1. Эти величины лежат как раз в
пределах разрешающей способности данной пленки. Правда, увеличивая угол
междуопорным и предметным пучками, т. е. увеличивая |ξопорн| можно достигнуть еще
большего углового разделения волн, но тогда будет превзойден предел разрешения пленки.
Найдем угол между пучками в схеме на фиг. 8.1, соответствующий частоте 60 мм-1:
𝒔𝒊𝒏𝜽 ≈ 𝜽 = 𝝀𝝃опорн = (𝟎, 𝟔𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 )(𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟏 ) = 𝟑, 𝟕𝟗 ∙ 𝟏𝟎−𝟐 рад = 𝟐, 𝟏𝟔°,
где λ = 0,633*10-3 мм — длина волны излучения гелий-неонового лазера. Поскольку угол
очень мал, опорный пучок должен быть сформирован с помощью светоделителя,
помещенного между голографируемым транспарантом и голограммой. Такая схема получения голограммы показана на фиг. 8.5. Поскольку θ составляет всего 2,16°,
дифрагированные волны будут наверняка перекрываться в плоскости действительного
изображения, если поперечные размеры транспаранта сравнимы с расстоянием от него до
голограммы. В этом случае нужно применить метод фильтрации пространственных частот.
Были предложены также методы, основанные на полном внутреннем отражении
нежелательных волн [8.3, 8.4].
Попутно следует заметить, что если на одной и той же фотопластинке регистрируются
сразу несколько голограмм, то путем надлежащего выбора опорных волн, используемых
при их получении, можно обеспечить угловое разделение восстановленных воли,
формирующих изображения. Предположим, что имеются две наложенные друг на друга
голограммы, каждая из которых является голограммой предмета, расположенного на осиz и
освещенного
ФИГ. 8.5. Схема получения внеосевых голограммпри малом угле между предметным и
опорным пучками.
аксиальной плоской волной. Оба предмета имеют среднюю пространственную
частотуξо=0, η0 = 0 и полосу пространственных частот ±ξмакс, ±ηмакс. Одна голограмма
получена с плоской опорной волной, имеющей пространственную частотуξопорн = -ξr =
-3ξмакс и ηопорн = 0; другая — с плоской опорной волной, имеющей пространственные
частотыξопорн = -ξr - 2ξмакс= -5ξмакс и ηопорн = 0.Основываясь на анализе, подобном
тому, с помощью которого были получены спектры на фиг. 8.3, мы найдем, что
спектральный отклик каждой отдельной голограммы, освещаемой соответствующей ей
опорной волной, имеет вид, показанный на фиг. 8.6, а и б. При освещении двух наложенных
друг на друга голограмм плоской волной с пространственной частотой ξ = —ξr получается
спектр, изображенный на фиг. 8.6, в.Волны, формирующие изображение, не
перекрываются, причем условие углового разделения имеет вид
∆𝝃опорн ≥ 𝟐𝝃макс ,
(8,9)
где∆𝜉опорн — разностьпространственных частот опорныхволн, а𝟐𝝃макс — ширина
полосыпространственных частот предмета в направлении х. Пространственная частота
восстанавливающей волны может быть произвольной.
ФИГ. 8.6. Пространственный спектр излучения,прошедшего через голограмму.а — на
стадии регистрации и восстановления использовалась опорная волна с пространственной
частотой –ξr == -3ξмакс; б — пространственная частота –ξr –ξмакс;в — спектр света,
прошедшего через две голограммы а и б, освещенные плоской волной с пространственной
частотой – ξr .
2. Формирование действительного изображения
Если транспарант освещается плоской волной, то возникающая в ближнем поле
дифракционная картина является проекцией голографируемого транспаранта. Каждый
малый участок голограммы,
ФИГ. 8.7 Наблюдение мнимого изображения предмета, освещавшегося на стадии получения голограммы недиффузным светом.
на которой регистрируется эта картина, содержит информацию только о малой части
предмета. Предположим, что голограмма, полученная по схеме, показанной на фиг. 8.1,
освещается теперь исходной плоской опорной волной. На фиг. 8.7 показаны освещающие
голограмму и восстановленные волны, а также расположенное на оси мнимое изображение.
(Предполагается, что предметом является простой транспарант, представляющий собой
непрозрачный экран с тремя небольшими отверстиями.) Так как освещение предмета не
является диффузным, а сам предмет не вызывает диффузного рассеяния падающей на него
плоской волны, то наблюдатель из данного положения будет видеть свет только от одного
из пятен мнимого изображения. Он может обнаружить все три пятна, поворачивая голову,
т. е. переводя взгляд с одного места изображения на другое. Это утомительный и практически непригодный способ. Поэтому, когда предмет не вызывает диффузного рассеяния
света, лучше наблюдать проекцию действительного изображения. Для этого в плоскость
действительного изображения следует поместить диффузно рассеивающий экран из
матового стекла; в этом случае можно рассматривать все изображение из одного
положения. (Менее удобный способ наблюдения состоит в превращении мнимого
изображения в действительное с помощью линзы.
При освещении голограммы исходной опорной волной, как на фиг. 8.7, мнимое
изображение возникает на оси там, где находился исходный предмет, и не имеет
сферических аберраций и аберраций косых пучков (см. гл. 3, § 4, и работу [3.2]). Для
действительного изображения, которое образуется не на оси, это не так. Рассмотрим теперь
два способа освещения голограммы, позволяющие получить свободное от аберраций и
расположенное на оси действительное изображение. Мы полагаем, что голограмма
.
ФИГ. 8.8 Формирование действительного изображения, расположения на оси.
была получена по схеме фиг. 8.1, где центр предмета располагается на осиz, а опорная
плоская волна распространяется под углом – θ к ней.В первом способе голограмма
освещается плоской волной, составляющей с осьюz угол +θ, как показано на фиг. 8.8. Такое
освещение голограммы соответствует умножению ее амплитудного пропускания,
описываемого формулами (8.1) и (8.2), на множитель rехр (—2πiξrx), гдеξr = (sinθ)/λ,. Из
всех дифрагированных волн мы будем рассматривать только волну, формирующую действительное изображение. Эта волна имеет в плоскости голограммы комплексную
амплитуду а*r2, сопряженную с амплитудой исходной предметной волны в этой же
плоскости. Анализ легко проводится в плоскости пространственных частот. Частотный
спектр функции а* {х, у) определяется выражением (8.5):
𝟏
𝟐𝝅𝒅
(𝟏 − 𝝀𝟐 𝝃𝟐 − 𝝀𝟐 𝜼𝟐 )𝟐 ],
𝑨′ (𝝃, 𝜼) = 𝑨∗ (−𝝃, −𝜼) = 𝒂𝟏 𝑺∗ (−𝝃, −𝜼)𝒆𝒙𝒑 [+𝒊
𝝀
Предположим, чтоболновой фронт с комплексной амплитудой а* (х, у) переместился на
расстояниеd вдоль осиz вправо от голограммы. Согласно (5.26), спектр пространственных
частот комплексной амплитуды волны на расстоянииd имеет вид
𝟏
𝟐𝝅𝒅
(𝟏 − 𝝀𝟐 𝝃𝟐 − 𝝀𝟐 𝜼𝟐 )𝟐 ],
𝑨′ ′(𝝃, 𝜼) = 𝑨′ (𝝃, 𝜼)𝒆𝒙𝒑 [−𝒊
(8.10)
𝝀
Если мы совершим обратное фурье-преобразоваиие обеих частей •соотношения (8.10) и
используем соотношение (4.26), то получим, что комплексная амплитуда в плоскости,
удаленной на расстояние d от голограммы, пропорциональна величине,
комплексно-сопряженной пропусканию s* (х, у) голографируемого транспаранта.
Следовательно, интенсивность на расстоянииd пропорциональна интенсивности в
плоскости транспаранта. Таким образом, голограмма формирует изображение исходного
транспаранта, которое является действительным (волны, формирующие изображение,
сходятся к изображению) и располагается на осиz. Плоскость изображения находится
справа от голограммы на том же расстоянииd, на котором слева от нее был помещен
голографируемый предмет. Фотопластинка, помещенная в плоскости изображения,
зарегистрирует изображение без использования линзы.
Второй способ образования действительного изображения показан на фиг. 8.9. Следует
обратить внимание на то, что восстанавливающий пучок падает на голограмму справа (в то
время как исходный опорный пучок падал на нее слева) и является антипараллельным, а
следовательно, сопряженным исходному опорному пучку. Однако в плоскости голограммы
комплексная амплитуда освещающего ее волнового фронта естьrехр (—і2пξrx), т. е.
совпадает с амплитудой освещающего пучка, показанного на фиг. 8.8. Пучок на фиг. 8.9
отличается от пучка на фиг. 8.8 только тем, что распространяется справа налево. Поскольку
комплексные амплитуды в плоскости голограммы одинаковы в обеих схемах, к схеме на
фиг. 8.9 применимы наши предыдущие рассуждения. Единственное различие заключается
в том, что теперь действительное изображение формируется на оси на расстоянииd слева от
голограммы, в соответствии с направлением распространения освещающего пучка, и
положение изображения совпадает с исходным положением предмета. Для этого лучи,
формирующие изображение, должны быть антипараллельны лучам, исходившим из
объекта, а соответствующие волны должны быть сопряженными.
Схемы на фиг. 8.8 и 8.9 можно с равным успехом использовать для получения
действительного изображения при условии, что голограмма тонкая. Для толстых
голограмм больше подходит схема на фиг. 8.9, поскольку закон Брэгга (критерий
максимальной интенсивности волны, дифрагированной объемной решеткой) одинаково
удовлетворяется при использовании как исходной опорной волны, так и сопряженной
волны (см. гл. 1, § 6). Если регистрирующую среду нельзя считать строго двумерной, то
схема на фиг. 8.7 больше подходит для получения мнимого изображения,, а схема на фиг.
8.9 — для получения действительного изображения.
ФИГ. 8.9 Другой метод получения действительного изображения, расположенного на оси.
3. Требования к когерентности излучения при
получении внеосевых голограмм
Длина когерентности лазерного излучения, используемого для получения голограммы по
схеме фиг. 8.1 с наклонным опорным пучком, должна быть больше, чем при применении
схемы с осевым опорным пучком. Мы можем найти связь между необходимой длиной
когерентности и геометрией схемы получения голограммы, рассмотрев сначала
интерференцию двух плоских волн (фиг. 8.10). Смодулированный предметный
(сигнальный) пучок распространяется по оси, а опорный пучок составляет с ним угол θ.
Отсюда следует, что длины путей от источника до фотографической пластинки для всех
лучей пучка одинаковы, в то время как для опорного они различны; наибольшая разность
равнаl1.
Мы можем сделать так, чтобы длина пути центрального опорного луча была равна длине
пути сигнальных лучей; в таком случае максимальная разность хода сигнального и
опорного пучков
ФИГ. 8,10.Максимальная разность хода l1 лучейв плоскости голограммы для наклонной
плоской опорной волны.
будет составлять
𝒍𝟏 𝒂
𝒂
= 𝐬𝐢𝐧|𝜽| = 𝝀𝝃𝒓
(8.11)
𝟐 𝟐
𝟐
где а — размер пластинки; | θ | — величина угла, который опорный пучок составляет с осью
z, и — соответствующая пространственная частота опорной волны. Таким образом, даже
при отсутствии какой-либо информации в предметном пучке длина когерентности должна
быть по крайней мереl1/ 2.
Теперь рассмотрим дополнительную разность хода сигнального пучка, обусловленную
дифракцией на транспаранте, содержащем некоторую информацию (фиг. 8.11). При малых
значениях θмакс наибольшая длина пути предметных лучей отличается от длины пути
немодулированного сигнального пучка на величину
𝒅
𝒂
𝒍𝟐 =
− 𝒅 ≈ 𝝀𝟐 𝝃𝟐 макс
(8.12)
𝒄𝒐𝒔𝜽макс
𝟐
Здесьd — расстояние между транспарантом и пластинкой; θмакс — максимальный угол
дифракции плоской волны на транспаранте и ξмакс — максимальная пространственная
частота транспаранта. Таким образом, если длина пути центрального луча опорного пучка
равна длине пути центрального луча сигнального пучка, то окончательное требование к
длине когерентностилазерного излучения принимает вид
𝒍𝟏
𝒂
𝒅
∆𝑳𝑯 > + 𝒍𝟐 = 𝝀𝝃𝒓 + 𝝀𝟐 𝝃𝟐 макс
(8.13)
𝟐
𝟐
𝟐
При осевом расположении Габораξr= 0 и необходимая длина когерентности LH должна
быть всего лишь равна или больше 12. Существует несколько методов получения
внеосевыхголограммг
ФИГ. 8.11. Максимальная разность хода l2 для сигнального пучка, несущего информацию
о предмете.
которые позволяют использовать излучение примерно с такой же длиной когерентности. В
этих методах применяется особое расположение оптических элементов, и они
предназначены для получения голограмм в тех случаях, когда для освещения используется
нелазерный свет [8.5, 8.6] или излучение многомодовых импульсных лазеров (см. гл. И, § 6,
п. 1).
§ 2. Голографирование с наклонным опорным
пучком при диффузном освещении предмета
Как уже указывалось, один из недостатков метода освещения голографируемого
транспаранта плоской (или сферической) волной заключается в трудности наблюдения
мнимого изображения. Другой недостаток проявляется, даже когда мы наблюдаем действительное изображение. Пылинка или дефект на поверхности какого- либо оптического
элемента, используемого для расширения освещающего предмет пучка (см. гл. 7, § 3), при
восстановлении может вызвать появление концентрических колец, локализованныхв
плоскости изображения. Эта кольцевая структура видна на фиг. 8.12. Она напоминает
зонную пластинку и представляет собой спроецированную на плоскость предмета картину
интерференции сферических волн (возникших при рассеянии света на пылинке) с
невозмущенной волной, освещающей транспарант.
Третий недостаток заключается в том, что при освещении голографируемого транспаранта
плоской волной интенсивностьпрошедшего через него света изменяется в широких
пределах, определяемых вариациями пропускания предмета. Этот недостаток также
является следствием проецирования сигнальной волны на голограмму. Если необходимо
произвести линейную голографическую запись, то интенсивность опорного пучка должна
быть больше интенсивности сигнального пучка по всей плоскости голограммы (см. гл. 7, §
2, п. 2). В тех местах, где сигнальный пучок слаб, отношение интенсивностей пучков будет
слишком большим и, следовательно, дифракционная эффективность соответствующего
участка голограммы мала.
ФИГ.8.12 Действительное изображение транспаранта, восстановленное с голограммы,
полученной при недиффузном освещении. (По Лейту и Упатниекс [8.2].) Видны шумы в
виде системы колец.
ФИГ. 8.13. Освещение голографируемого транспаранта через диффузный экран.а —
получение голограммы; б — наблюдение мнимого изображения.
ФИГ. 8.14. Фотографии действительных изображений диффузно освещенного предмета,
которые получены при освещении голограммы пучком уменьшающего диаметра.
Эти недостатки можно устранить, если использовать диффузное освещение
голографируемого транспаранта [8.7]. Для этого между лазерным источником и
транспарантом обычно помещают диффузный экран, например матовое стекло. Так как
диффузный экран рассеивает свет в широком телесном угле, то теперь наблюдателю не
нужно менять положения головы, чтобы видеть весь транспарант. То же справедливо и для
наблюдения мнимого изображения, образованного восстановленной предметной волной,
по крайней мере в том интервале углов, в который попадают падающие на голограмму и
регистрируемые ею лучи.
Хотя фаза диффузного света, идущего от предмета, представляет собой быстро
меняющуюся пространственную функцию координат в плоскости голограммы, свет в этой
плоскости может сохранять когерентные свойства. Это происходит, если 1) исходная
волна, освещающая диффузный экран, пространственно когерентна по всей площади
экрана, 2) максимальная длина пути света от источника до голограммы через диффузный
экран отличается от длины пути опорного пучка не больше, чем на длину когерентности и
3) экран остается неподвижным. Схема установки для получения голограммы при
диффузном освещении транспаранта показана на фиг. 8.13, а, а схема наблюдения мнимого
изображения — на фиг. 8.13, б.
Голограмма, полученная при диффузном освещении, обладает рядом замечательных
свойств. Поскольку диффузный экран имеетболее широкий спектр пространственных
частот, чем транспарант, он рассеивает свет в широком телесном угле, так что каждая точка
ФИГ. 8.15. Максимальные углы между опорными и предметными лучами,
достигающими голограммы при недиффузном (а) и при диффузном (б) освещении
предмета.
в плоскости голограммы получает свет от всех точек транспаранта. На стадии
восстановления через любую часть голограммы можно наблюдать все мнимое изображение
предмета. При смещении направления наблюдения изображение видно с другой стороны.
Если мы имеем голограмму двумерного транспаранта и хотим наблюдать в некоторой
плоскости его действительное изображение, то сможем получить его целиком даже в том
случае, когда голограмма оказалась разбитой или поврежденной, так что сохранился лишь
небольшой участок. Конечно, разрешение изображения тем хуже, чем меньше площадь
оставшейся части голограммы (как и в случае линзы конечных размеров). На фиг. 8.14
представлены фотографии трех действительных изображений, восстановленных с одной и
той же голограммы, освещаемой лазерным пучком уменьшающегося диаметра.
Способность нелокально регистрировать информацию, свойственная голограммам,
полученным при диффузном освещении предмета, может оказаться ценной для хранения
информации. В то время как при использовании микроизображений царапина или пятно на
них приводит к полному уничтожению части информации, информация, записанная на
голограмме при диффузном освещении, оказывается сравнительно невосприимчивой к
подобным дефектам регистрирующей среды.
Использование диффузного освещения выдвигает повышенные требования к разрешающей
способности регистрирующей среды. Максимальная частота полос, которая должна быть
зарегистрирована на голограмме, определяется максимальным углом, образованным
предметными лучами с направлением распространения опорного пучка. На фиг. 8.15, а
показан угол𝜓,образованный плоской опорной волной и лучами недиффузного света,
прошедшего через транспарант. Помещая диффузный экран между источником света и
транспарантом, можно существенно увеличить угол 𝜓(фиг. 8.15, б).
1. Трехмерные изображения
Большинство трехмерных объектов отражает свет более или менее диффузно, так что их
голограммы обладают только что рассмотренными свойствами. Кроме этих свойств,
существуют другие, связанные с трехмерностью предмета. Так как голограмма может
восстанавливать волну, являющуюся точной копией исходной предметной волны, то
мнимое изображение, из которого кажется исходящей восстановленная волна, будет
обладать такой же глубиной и параллаксом, как и исходный объект. Изображение, которое
воспринимает наблюдатель правым и левым глазом, формируется лучами, проходящими
через различные участки голограммы; таким образом, каждый глаз наблюдателя
воспринимает изображение из разных точек зрения (фиг. 8.16). Эти точки зрения совпадают
с теми, из которых видел исходный предмет наблюдатель, рассматривавший его через
отверстие, определяемое размерами голограммы. Как при наблюдении изображения, так и
при наблюдении самого объекта создается одинаковое ощущение глубины. При
перемещении наблюдателя смещается его точка зрения и, так же как при рассматривании
исходного объекта, наблюдается параллакс. На фиг. 8.17 для демонстрации параллакса
приведены две фотографии одного и того же мнимого изображения, полученные под
разными углами. Конечно, полное представление о трехмерности изображения можно
получить, только рассматривая его через голограмму своими глазами.
ФИГ. 8.16. Наблюдение мнимого изображения трехмерного объекта.
Действительное изображение трехмерного предмета, восстановленное с помощью
голограммы, обладает одним удивительным свойством — его глубина инвертирована. В
этом случае мы говорим, что изображение являетсяпсевдоскопическим.
Рассмотримполучение голограммы простого трехмерного предмета, представляющего
собой два разделенных в пространстве точечных источника (фиг. 8.18, а), и последующее
восстановление действительного изображения при освещении голограммы волной, сопряженной исходной опорной волне (фиг. 8.18, б).
ФИГ. 8.17 Две фотографии одного и того же мнимого изображения сделанные под разными
углами зрения.
На стадии получения голограммы точка P1 расположена ближе к плоскости голограммы,
чем точка Р2. На стадии восстановления действительные изображения точек Р1 и Р2
образуются в их исходных положениях (в соответствии с изложенным в § 1, п. 2, настоящей
главы). Однако чтобы наблюдатель увидел действительное изображение, т. е. воспринял
свет, распространяющийся справа налево и испытавший дифракцию на голограмме, он
должен занять положение, показанное на фиг. 8.18, б. Точка Р2 будет для него ближе, чем
Р1 Таким образом, наблюдатель увидит обратное по глубине расположение точек по
отношению к исходной картине, которую он видел при регистрации света,
распространявшегося через фотопластинку слева направо. Это свойство приводит к ряду
необычных визуальных эффектов. Предположим, что Р1 и Р2 — точки на
ФИГ. 8.19. Получение голограммы, формирующейортоскоиическое действительное
изображение.
поверхности некоторого трехмерного предмета и что существует диапазон углов
наблюдения, в котором часть поверхности вблизи точкиP1 заслоняет окрестность точки Р2.
При освещении предмета под углами в пределах этого диапазона на голограмме регистрируется информация только о поверхности вблизи Р1. При восстановлении наблюдатель,
смотрящий под соответствующими углами, но с другой стороны голограммы, видит только
область вокруг Ему кажется, что точка Р2, находящаяся на переднем плане изображения,
заслоняется областью, расположенной позади нее,— чувство, противоречащее
повседневному опыту. Противоречие между воспринимаемым изображением и
действительным видом предмета, каким его запомнил наблюдатель, вызывает ощущение
неудовлетворенности при наблюдении псевдоскопических изображений.
От псевдоскопичности действительного изображения можно избавиться. Предположим,
что на стадии получения голограммы используется линза, с помощью которой
формируется действительное изображение освещенного лазерным светом предмета, т. е.
фотопластинка помещается в сходящуюся волну, как на фиг. 8.19, и с помощью
соответствующего опорного пучка записывается голограмма сходящейся волны. При
освещении голограммы исходной опорной волной восстанавливается исходная предметная
волна. Восстановленная волна сходится, образуя, как и исходная, действительное
изображение справа от голограммы. Поэтому изображение имеет нормальную глубину *),
т. е. являетсяортоскопи-ческим. Если же голограмму осветить сопряженной опорной
волной, распространяющейся справа налево, то из исходного положения предмета будет
расходиться волна, сопряженная исходной предметной волне. Это значит, что для
рассматриваемого случая в плоскости, в которой строила изображение линза, будет теперь
формироваться мнимое изображение этого изображения. Наблюдателю, смотрящему через
голограмму слева, точки, находившиеся на заднем плане изображения, сформированного
линзой, теперь будут казаться расположенными ближе точек, располагавшихся на
переднем плане, следовательно, мнимое изображение будет в этом случае
псевдоскопическим [8.8].
Если с помощью голографического процесса формируется псевдоскопическое
изображение некоторого изображения, которое уже является псевдоскопическим по
отношению к исходному предмету, то результирующее голографическое изображение
будет ортоскопическим по отношению к этому предмету. Следовательно, если в качестве
предметной волны для получения первой голограммы использовать восстановленную
другой голограммой волну, образующую псевдоскопическое изображение, то освещение
первой голограммы волной, сопряженной ее опорной волне, приведет к образованию
ортоскопического изображения [8.9]. Тех же результатов можно добиться с помощью
автоколлимационных устройств, которые позволяют обойтись без получения второй
голограммы, необходимой для обращения псевдоскопическогоизобраячения в
ортоскопическое и наоборот [8.10].
2. Пятнистая структура
Поскольку волны, восстанавливаемые с голограмм, полученных с диффузными
предметными пучками, являются копиями волн, испускаемых предметами, освещенными
лазерным светом, в этом случае возникают те же проблемы, что и при наблюдении
диффузно рассеивающих объектов, освещенных лазером. Наблюдателю,
рассматривающему либо изображение, либо предмет, мешает пятнистая структура, из-за
которой наблюдаемая поверхность кажется состоящей из отдельных светящихся точек.
Размер отдельных пятен определяется наименьшей апертурой приемника (например,
радужной оболочки глаза) и расстоянием до наблюдаемой поверхности [8.11]. В любой
области поверхности, меньшей предела разрешения, имеется множество рассеивающих
центров. Компоненты комплексной амплитуды света, рассеянного разными центрами,
будут иметь разные фазы, но так как свет когерентен, то разность фаз постоянна во времени
и компоненты амплитуды складываются. Наблюдатель, неспособный разрешить отдельные
рассеивающие центры, воспринимает свет, исходящий от (этой) малой области, как
небольшое пятно равномерной интенсивности, величина которой определяется
результирующей фазой складывающихся амплитуд. Даже при равномерном освещении
поверхности будет казаться, что интенсивность наблюдаемого отраженного света
хаотически меняется от пятна к пятну, так как интенсивность в каждом из них определяется
суммарной амплитудой, возникающей при когерентном сложении амплитуд рассеянного
света, имеющих случайные фазы. Если наблюдатель изменит свое положение так, чтобы
видеть поверхность под другим углом, то световые лучи, идущие от поверхности к
наблюдателю, пройдут по другому пути. Фазы компонент, образующих суммарную
амплитуду света, идущего от каждого из предельно разрешимых при наблюдении пятен,
также изменяются, и соответственно с этим изменяется яркость пятен. Непрерывное
смещение наблюдателя ведет к усреднению интенсивности, изменениями которой
обусловливается пятнистая структура, в результате чего улучшается качество восприятия.
Однако такой способ не очень удобен при рассмотрении мелких деталей, и наличие
пятнистой структуры в этом случае будет препятствовать качественному восприятию и
создавать неудобства при наблюдении. (Более подробно эффект пятнистости описан в гл.
12.)
Лекция 5
Схемы получения голограмм различного типа
1. Голограммы Френеля
Если светочувствительный материал, предназначенный для регистрации голограммы,
например фотопластинка, помещается в области дифракции ближнего поля (области
дифракции Френеля) на произвольном расстоянии от источника опорной волны, то
получается голограмма, которую называют голограммой Френеля. Это наиболее простой
способ регистрации голограммы, так как он позволяет получать голограмму и затем
восстанавливать волновой фронт без использования линз или каких-либо других
оптических устройств. За исключением некоторых особенностей, свойственных
безлинзовым фурье-голограммам, которые мы обсуждали в гл. 3, все рассмотренные ранее
свойства голограмм представляют собой свойства голограмм Френеля. Последние
относятся к наиболее распространенному типу голограмм и могут быть получены по
схемам, представленным на фиг. 7.1, 7.19; общий вид установки представлен на фиг. 7.20, а
фотография полученной голограммы — на фиг. 7.21. Для освещения голограммы на стадии
восстановления можно использовать установку, схема которой показана на фиг. 7.22; при
этом образуется трехмерное изображение предмета, подобное показанному на фиг. 7.23. На
фиг. 2.4 приведена использовавшаяся на ранней стадии развития голографии схема
получения голограммы с осевым опорным пучком.
2. Голограммы сфокусированных изображений
При использовании в схеме получения голограмм линз или других оптических элементов,
формирующих изображение, и соответствующем их расположении можно получить
голограмму, обладающую рядом полезных свойств.
ФИГ. 8.20. Получение голограммы сфокусированного изображения.
Предположим, что фотопластинку на фиг. 8.19 смещают так, что она оказывается в
плоскости центрального сечения изображения, сформированного линзой (фиг. 8.20). Если
теперь ввести опорный пучок, то мы получаем голограмму сфокусированного изображения
[8.12, 8.13, 8.20*]. На стадии восстановления с исходной опорной волной часть изображения, восстановленного с помощью голограммы, будет мнимой, а часть —
действительной. Наблюдатель не заметит существенного различия между этим
изображением и изображением, восстанавливаемым с помощью безлинзовой голограммы
Френеля. Однако теперь угол, под которым может рассматриваться изображение,
ограничен апертурой линзы, и центр трехмерного изображения будет казаться
расположенным в плоскости голограммы. Достоинство этого способа заключается в
уменьшении требований к когерентности излучения источника, используемого на стадии
восстановления. На эту особенность голограмм сфокусированных изображений мы
указывали в гл. 7, § 6, где была установлена связь между расстояниемz1 от изображения до
голограммы и пространственной и временной когерентностью излучения источника. Связь
между размером минимального разрешаемого элемента изображения ∆s, степенью
пространственной когерентности излучения (определяемой протяженностью источника∆r)
и расстоянием от источника до голограммыzr описывается формулой (7.52):
∆𝑠 =
𝑧1
∆𝑟
𝑧2
ФИГ. 8.21. Изображение, восстановленное с голограммы сфокусированного изображения,
освещенной протяженным источником.
При z1 —> 0 (голограмма сфокусированного изображения) на стадии восстановления
можно использовать источник больших размеров с низкой пространственной
когерентностью излучения и получить при этом изображение с достаточно хорошим
разрешением. Следовательно, голограмму сфокусированного изображения можно ярко
осветить с помощью протяженного источника. Конечно, z1= 0 только для какой-то одной
плоскости предмета, и при восстановлении с протяженным источником разрешение
элементов изображения, расположенных по разные стороны от этой плоскости, будет
ухудшаться (фиг. 8.21).
Формула (7.53) связывает разрешение ∆𝜎 восстановленного изображения со спектральной
шириной ∆𝜆 излучения, используемого для освещения голограммы:
∆𝜆
∆𝜎 = 𝜃𝑟 𝑧1
𝜆
где z1— снова расстояние между голограммой и изображением; λ — длина волны,
соответствующая середине интервала ∆𝜆, а θr — угол между опорным пучком и нормалью
к плоскости голограммы (считается, что предмет и изображение расположены на оси). Мы
видим, что при малых θr и z1 спектральная ширина источника, используемого при
восстановлении изображения, может быть большой — это не оказывает значительного
влияния на размер предельно разрешаемого элемента изображения. Можно воспользоваться даже источником белого света; в этом случае центральное сечение изображения,
локализованное в плоскости голограммы, будет казаться ахроматическим в то время как
точки изображения, находящиеся вне этой плоскости, будут обладать цветовой дисперсией
и казаться размытыми, что свидетельствует об уменьшении разрешения.
3. Фурье-голограммы
В последующих трех пунктах мы сравним несколько методов получения голограмм,
которые позволяют формировать в плоскости голограммы распределение амплитуд,
соответствующее либо точному фурье-образу предмета, либо произведению фурье-образа
на медленно меняющийся фазовый множитель. Общим для указанных методов является
следующее требование: опорный источник должен располагаться строго в той же (входной)
плоскости, чтои предмет. Поэтому наш анализ относится, строго говоря, к плоским
предметам (т. е. транспарантам) и теряет силу, если размеры предмета заметно выходят за
пределы входной плоскости. Как правило, мы считаем, что предмет освещается плоской
волной. В некоторых исследуемых здесь схемах получения голограмм используется линза.
Если линза расположена перед предметом, то плоской волной освещается линза. Если
линза расположена
ФИГ. 8.22. Схема получения фурье-голограммы(размеры линзы даны не в масштабе).
за входной плоскостью, то предполагается, что она воздействует на свет, идущий как от
предмета, так и от опорного источника.
Фуръе-голограммой мы называем голограмму в том случае, если на ней регистрируется
интерференция двух волн, комплексные амплитуды которых в плоскости голограммы
являются фурье- образами предмета и опорного источника. Как мы увидим в гл. 14, такие
голограммы применяются в качестве пространственных фильтров для опознавания
образов, а свойства преобразования Фурье лежат в основе процесса опознавания. В этом
случае пропускание опорного источника пространственно модулировано (протяженный
источник). Здесь же мы ограничимся рассмотрением точечных опорных источников.
В гл. 6, § 3, п. 3, мы установили, что фурье-образ двумерного предмета может быть
сформирован в задней фокальной плоскости линзы (фиг. 6.6). Схема получения
фурье-голограмм по методу ВандерЛюгта [8.14] показана на фиг. 8.22. Если s (х, у) —
пропускание транспаранта, помещенного в передней фокальной плоскости линзы, то
амплитуда предметной волны в плоскости голограммы, совпадающей с задней фокальной
плоскостью линзы, есть S(ξ. η), где s (,х, у) ⊃S(ξ. η),. В передней фокальной плоскости
расположен также точечный источник𝛿(𝑥 + 𝑏, 𝑦), фурье-образом которого является
плоская волна с амплитудой ехр(-2πiξb). Это плоская волна играет роль опорной волны и
так же, как и S(ξ. η), освещает заднюю фокальную плоскость линзы. Интенсивность
интерференционной картины, образованной двумя фурье-образами, описывается
выражением
𝑰 = [𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝒃) + 𝑺(𝝃, 𝜼)][𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝒃) + 𝑺∗ (𝝃, 𝜼)]=1+|𝑺(𝝃, 𝜼)|𝟐 +
(8.14)
+𝑺(𝝃, 𝜼) 𝐞𝐱𝐩(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒃) + 𝑺∗ (𝝃, 𝜼) 𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝒃).
Предположим, что проявленная голограмма имеет пропускание t (х, y) ~ I. Если голограмма
освещается распространяющейся вдоль осиz плоской волной с постоянной амплитудой r0,
то произведениеr0t(х,у) представляет собой комплексную амплитуду W дифрагированного
света непосредственно за голограммой:
(8.15)
𝑾~𝒓𝟎 𝒕(𝒙, 𝒚)~𝑰 = 𝟏 + |𝑺|𝟐 + 𝑺𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒃) + 𝑺∗ 𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝒃)
Линза, расположенная непосредственно перед голограммой или непосредственно после нее
(фиг. 8.23), будет создавать в задней фокальной плоскости поле, соответствующее
произведению обратного фурье-образа функции W на фазовый множитель сферической
волны (см. гл. 6, § 2). Если мы регистрируем только интенсивность света в задней
фокальной плоскости линзы, то можем опустить фазовый множитель сферической волны.
Как показано на фиг. 8.23, члены нулевого порядка из (8.15) будут фокусироваться в этой
плоскости примерно в начале координат. Обратный фурье-образ третьего члена в правой
части выражения (8.15), s(х -b, у), представляет собой исходное пропускание, смещенное на
величину Ъ от начала координат в положительном направлении оси х. Фурье-образ
четвертого члена есть S* [-(х + b), -у], т. е. представляет собой функцию, сопряженную и
зеркально симметричную исходному пропусканию, смещенную на расстояниеb от начала
координат в отрицательном направлении оси x. Ив том и в другом случае дифрагировавший
на голограмме свет сходится, образуя действительные изображения, расположенные в
одной плоскости. Фотография изображений, формируемых фурье-голограммой в задней
фокальной плоскости восстанавливающей линзы, показана на фиг. 8.24. Поскольку
фотопленка регистрирует только интенсивность, то изображения отличаются лишь тем, что
одно является зеркальным отражением другого.
Полезное свойство фурье-голограмм, записанных с плоской опорной волной, состоит в том,
что формируемые ими изображения остаются неподвижными при перемещении
голограммы. Благодаря этому с голограмм, записанных на пленке, намотанной на барабан,
можно было бы восстанавливать неподвижные изображенияпри вращении барабана. Для
доказательства нечувствительности положения изображения к перемещению голограммы
представим себе, что комплексная амплитуда, выражаемая третьим членом (8.15), смещена
на величину ξ0 в направлении + ξ, так что теперь она описывается выражением
𝑺(𝝃 − 𝝃𝟎 , 𝜼) 𝐞𝐱𝐩[𝟐𝝅𝒊(𝝃 − 𝝃𝟎 )𝒃].
ФИГ. 8.23. Восстановление двух действительныхизображений с фурье-голограммы.
Если условия освещения голограммы остались прежними и формируется соответствующая
им дифрагированная волна, то комплексная амплитуда поля в задней фокальной плоскости
линзы будетравна
𝓕−𝟏 [𝑺(𝝃 − 𝝃𝟎 , 𝜼) 𝐞𝐱𝐩[𝟐𝝅𝒊𝝃𝒃)] 𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝟎 𝒃) =
= [𝒔(𝒙, 𝒚) 𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝟎 𝒙) ∗ 𝜹(𝒙 − 𝒃)] 𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝟎 𝒃) =
= 𝒔(𝒙 − 𝒃, 𝒚) 𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝟎 𝒙),
−𝟏
где 𝓕 означает обратное преобразование Фурье и где мы использовали соотношения
(4.11), (4.21), (4.29) и учли, что свертка любой функции с б-функцией дает исходную
функцию. Фазовый множитель ехр (−𝟐𝝅𝒊𝝃𝟎 𝒙) не входит в выражение для интенсивности,
и интенсивность изображения
s(х — b, у)s* (х — b, у)
совпадает с наблюдающейся при неподвижной голограмме.
Голограмма фурье-образа транспаранта должна регистрировать интенсивность,
изменяющуюся в широких пределах. Свет, прошедший через транспарант без отклонений
(нулевой порядок), фокусируется линзой в яркую точку в начале координат частотной
плоскости (плоскость голограммы). Гармоники с более высокими пространственными
частотами, дифрагировавшие на транспаранте и фокусирующиеся в других местах
частотной плоскости, имеют гораздо меньшую интенсивность. Если интенсивность
опорного пучкадостаточна для линейной записи низкочастотной компоненты, то она может
оказаться слишком большой для линейной записи слабых высокочастотных гармоник. В
результате дифракционная эффективность для высоких частот может оказаться низкой.
Если на стадии восстановления комплексные амплитуды высокочастотных компонент не
превышают амплитуд шумов, обусловленных рассеянием света на голограмме, то
информация о предмете теряется.
ФИГ. 8.24, Фотография плоскости изображенияфурье-голограммы.
4. Квази-фурье-голограммы
Квази-фуръе-голограммой мы называем голограмму, которая регистрируется при
соблюдении следующих условий: 1) фотопластинка расположена в задней фокальной
плоскости линзы и 2) предмет-транспарант и опорный точечный источник находятся в
одной и той же плоскости, расположенной перед линзой или за ней,
ФИГ. 8.25. Образование квази-фурье-голограммы;входная плоскость расположена вплотную к линзе.
но не являющейся передней фокальной плоскостью линзы. Предмет или линза (в
зависимости от того, что помещено ближе к источнику) освещается плоской волной.
Такая схема с транспарантом и опорным точечным источником, расположенным вплотную
к линзе, показана на фиг. 8.25. Мы знаем (см. гл. 6, § 2), что в этом случае амплитуда
предметной волны на голограмме есть фурье-образ транспаранта, умноженный на фазовый
множитель сферической волны. Выясним теперь роль этого множителя. Комплексную
амплитуду предметной волны в плоскости голограммы можно представить в виде [см.
(6.23)]
𝒊𝒂
𝒊𝝅
𝐞𝐱𝐩 [− (𝒙𝟐 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 )] 𝑺(𝝃, 𝜼) =
𝝀𝒇
𝝀𝒇
𝒊𝝅
= 𝒄 𝒆𝒙𝒑 [− (𝒙𝟐 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 )] 𝑺(𝝃, 𝜼),
(8.16)
𝝀𝒇
Гдес=ia/λf, ξ=x2/λf, η=y2/λf, S(ξ, η)⊂s(x1, y1) и ехр [— (iπ/λf) (х22 + y22)] — фазовый
множитель сферической волны. Множитель ехр [— (iπ/λf) (х22 + y22)], как нетрудно
видеть, представляет собой пропускание тонкой рассеивающей линзы с фокусным
расстоянием — f [см. (6.15)]. Таким образом,а (х2, у2) можно рассматривать как
пропускание системы, состоящей из транспаранта с пропусканием S (ξ, η) и помещенной
вплотную к нему рассеивающей линзы с фокусным расстоянием — f. Аналогично а * (х2,
у2) соответствует пропусканию системы, состоящей из транспаранта с пропусканием S* (ξ,
η), расположенного вплотную к собирающей линзе с фокусным расстоянием + f.
Если для получения голограммы используется опорный точечный источник, лежащий в
одной плоскости с транспарантом, то фазовый множитель сферической волны в выражении
для а (х2, у2) выпадает. На фиг. 8.25 показан точечный источник, смещенный по оси x1 на b от начала координат плоскости х1у1. Он создает сферическую волну, распределение фаз
которой в плоскости х2у2 (если в точке с координатами х2 = 0, у2 = 0 мы приписываем фазе
нулевое значение) выражается формулой (3.3)
𝝅 𝟐
𝝋(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) =
(𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 + 𝟐𝒙𝟐 𝒃).
𝝀𝒇
(Тонкая линза с малой кривизной ее поверхностей создает лишь почти постоянный
фазовый сдвиг световой волны, испускаемой точкой плоскости, расположенной вплотную
к линзе.) Вспомним, что в (3.3) z1 — отрицательная величина. В схеме на фиг. 8.25 z1 =-f.
Следовательно, комплексная амплитуда сферической опорной волны на голограмме имеет
вид
𝒊𝝅
𝒓 = 𝒓𝟎 𝐞𝐱𝐩 [− (𝒙𝟐 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 + 𝟐𝒙𝟐 𝒃)].
(8.17)
𝝀𝒇
В результате интерференции волн с амплитудамиr и а (х2, у2) возникает картина со
следующим распределением интенсивностей:
𝑰 = 𝒓𝟎 𝟐 + 𝒂𝒂∗ +
𝒊𝝅
𝒊𝝅
+𝒄𝒓𝟎 𝐒(𝛏, 𝛈)𝐞𝐱𝐩 [− (𝒙𝟐 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 )] 𝐞𝐱𝐩 [− (𝒙𝟐 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 + 𝟐𝒙𝟐 𝒃)] +
𝝀𝒇
𝝀𝒇
𝒊𝝅
𝒊𝝅
+ 𝒄∗ 𝒓𝟎 𝑺∗ (𝝃, 𝜼) 𝐞𝐱𝐩 [− (𝒙𝟐 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 )] 𝐞𝐱𝐩 [− (𝒙𝟐 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐
𝝀𝒇
𝝀𝒇
𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙𝟐 𝒃)] = = 𝒓𝟎 𝟐 + 𝒂𝒂∗ + 𝒄𝒓𝟎 𝑺(𝝃, 𝜼) 𝐞𝐱𝐩 (𝒊𝟐𝝅 𝒃)
𝝀𝒇
𝒙
𝟐
+ 𝒄∗ 𝒓𝟎 𝑺∗ (𝝃, 𝜼) 𝐞𝐱𝐩 (−𝒊𝟐𝝅 𝒃)
𝝀𝒇
𝟐
𝟐
= 𝒓𝟎 + |𝒄𝑺| + 𝒄𝒓𝟎 𝑺(𝛏, 𝛈) 𝐞𝐱𝐩(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒃) + 𝒄∗ 𝒓𝟎 𝑺(𝝃, 𝜼) 𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝒃). (8.18)
𝒂(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) =
Полученное выражение тождественно выражению (8.14), которое описывает
фурье-голограмму, следовательно, голограмма, зарегистрированная по схеме фиг. 8.25,
обладает теми же свойствами.
Можно показать, что такими же свойствами обладает квази-фурье-голограмма, при
получении которой предмет и источник уже не располагаются в плоскости, прилегающей
вплотную к линзе. Для этого вернемся к гл. 6 и воспользуемся выражением (6.59).
Оно описывает комплексную амплитуду света, приходящего от транспаранта с
пропусканием t(x1, y1) в заднюю фокальную плоскость линзы, где находится голограмма.
Транспарант помещен на произвольном расстоянииd перед линзой и освещается плоской
волной. Мы видим, что комплексная амплитуда равна произведению фурье-образа
функции t (x1, y1) на фазовый множитель сферической волны
𝑖𝜋 1 𝑑
( − ) (𝑥22 + 𝑦22 )] ,
𝜆 𝑓 𝑓2
который не зависит от вида t (х1, у1). Выражение (6.59) справедливо и для предметной, и
для опорной волны. Вид фазового множителя не зависит от того, предмету или опорному
источнику мы приписываем пропускание t (х1, у1), поскольку и тот и другой находятся на
одном и том же расстоянииd от линзы. Следовательно, в произведениях аr* и а*r,
определяющих интерференционную структуру голограммы, фазовые множители будут
отсутствовать и останутся только фурье-образы предмета и опорного источника в
соответствии с (8.18).
Предположим теперь, что предмет и опорный источник находятся позади линзы и
расположены на расстоянииd от ее задней: фокальной плоскости и что линза освещается
плоской волной. Выражения (8.16) — (8.18) и вытекающие из них следствия останутся
справедливы, если заменить f наd. В этом случае можно» считать, что падающий на
предмет сходящийся пучок света возникает из параллельного пучка, освещающего
расположенную вплотную к предмету линзу с фокусным расстояниемd.
exp [−
5. Безлинзовые фурье-голограммы
Предположим, что из схемы на фиг. 8.25 удалена линза, а опорный точечный источник
по-прежнему располагается в той же плоскости, что и предмет-транспарант (фиг. 8.26).
Предметный волновой фронт, который будет записан на голограмме, теперь представляет
собой картину ближнего поля, или картину дифракции Френеля от транспаранта. Тем не
менее мы увидим, что пропускание голограммы, полученной по схеме, показанной на фиг.
8.26, похоже на пропускание фурье-голограммы. Члены, формирующие изображение,
опять представляют собой произведения фурье- образов и фазовых множителей, линейно
зависящих от координат
ФИГ. 8.26. Схема получения безлинзовой фурье-голограммы.
плоскости голограммы. Поэтому термин безлинзовая фуръе-голограмма применяется для
голограмм, получаемых без использования линз, но с расположенным в плоскости
предмета точечным опорным источником. Как и прежде, предмет освещается плоской
волной.
Согласно (5.33) и соображениям, изложенным в гл. 5, § 5, комплексная амплитуда света
предметной волны в плоскости х2у2 голограммы на фиг. 8.26 может быть записана в виде
𝒊𝒂𝟏
𝒊𝝅 𝟐
𝒂(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) =
𝐞𝐱𝐩[−
(𝒙 + 𝒚𝟐𝟐 )] ×
𝝀𝒅
𝝀𝒅 𝟐
𝒊𝝅 𝟐
× ∬ [𝒔(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) 𝐞𝐱𝐩 {−
(𝒙 + 𝒚𝟐𝟏 )}] ×
𝝀𝒅 𝟏
𝒊𝝅 𝟐
× 𝐞𝐱𝐩[𝟐𝝅𝒊(𝝃′𝒙𝟏 + 𝜼′𝒚𝟏 )] 𝒅𝒙𝟏 𝒅𝒚𝟏 == 𝒄 𝐞𝐱𝐩 [−
(𝒙 + 𝒚𝟐𝟐 )] 𝑭(𝝃′ , 𝜼′ ), (8.19)
𝝀𝒅 𝟐
где
𝒊𝝅 𝟐
𝑖𝑎1
(𝒙𝟏 + 𝒚𝟐𝟏 )) , 𝑐 =
,
𝝀𝒅
𝜆𝑑
d — расстояние между плоскостями𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 их2у2и ξ’=x2'/λd=η’=y2/λd. Если голограмма
была зарегистрирована с опорной волной
𝑟 = 𝑟0 exp[−(𝑖𝜋/𝜆𝑑)(𝑥22 + 𝑦22 )]exp(−2𝜋𝑖𝜉′𝑏) [выражение (8.17) при f =d], то компоненты
пропускания голограммы, ответственные за формирование изображения, выражаются
формулой, аналогичной (8.18):
𝒂(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 )𝒓∗ + 𝒂∗ (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 )𝒓 =
(8.20)
= 𝒄𝒓𝟎 𝑭(𝝃′ , 𝜼′ ) 𝐞𝐱𝐩(𝟐𝝅𝒊𝝃′ 𝒃) + 𝒄∗ 𝒓𝟎 𝑭∗ (𝝃′ , 𝜼′)𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃′𝒃)
Здесь тоже отсутствует фазовый множитель сферической волны, зависящий от координат
плоскости голограммы х2 и у2. Таким образом, изображение, формируемое голограммой,
будет оставаться неподвижным при ее перемещении. Зависящий от x1 и у1 фазовый
множитель сферической волны, на который в выражении для фурье-образа умножается
пропускание предмета s (х1, y1), не оказывает влияния на свойства восстановленного
изображения. Его можно рассматривать просто как часть пропускания предмета, а именно
считать, что он соответствует линзе, расположенной вплотную к транспаранту.
Если голограмма освещается аксиальной плоской волной, то комплексные амплитуды
дифрагированных голограммой волн, формирующих изображение, пропорциональны
правой части выражения (8.20). Пропускание голограммы (8.20) подобно пропусканию
фурье-голограммы, за исключением того, что F(ξ', η') и комплексно-сопряженная функция
не являются фурье-образами функций s(x1, y1) и s* (-x1, -y1), а представляют собой
фурье-образы произведений этих функций на фазовые множители сферических волн.
Чтобы, освещая голограмму плоской волной, получить фурье-образ ее пропускания,
необходима линза, как на фиг. 8.23. [Заметим, что ξ’ и η' в (8.20) отличаются постоянным
𝑭(𝝃′ , 𝜼′ ) ⊂ 𝒔(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )𝑒𝑥𝑝 (−
выражение (8.16), которое описывает преобразование Фурье, осуществляемое линзой с
фокусным рассто
емся теоремой
подобия, соотношение (4.22). Тогда найдем, что преобразование Фурье, которому
подвергаются члены выражения (8.20) и которое осуществляет линза с фокусным расстояВ
результате преобразования получаем, что комплексные амплитуды света в плоскости х3у3
изображения, находящегося в задней фокальной плоскости линзы, пропорциональны
выражениям
𝒊𝝅
𝑺[(𝜶𝒙𝟑 − 𝒃), 𝜶𝒚𝟑 ] 𝐞𝐱𝐩 {−
[(𝜶𝒙𝟑 − 𝒃)𝟐 + 𝜶𝟐 𝒚𝟐𝟑 ]},
𝝀𝒅
𝒊𝝅
𝑺∗ [−(𝜶𝒙𝟑 − 𝒃), − 𝜶𝒚𝟑 ] 𝐞𝐱𝐩 { [(𝜶𝒙𝟑 − 𝒃)𝟐 + 𝜶𝟐 𝒚𝟐𝟑 ]},
𝝀𝒅
умноженным на фазовые множители сферической волны, которые вводит линза,
используемая на стадии восстановления. Если регистрируется интенсивность изображения,
то фазовые множители роли не играют. Интенсивности |
–
- (ах3 + b),
кости х3уз прямому и перевернутому
изображениям с коорди
Несмотря на то, что при освещении плоской опорной волной безлинзовая
фурье-голограмма формирует изображение, подобное тому, которое восстанавливает
фурье-голограмма, на практике часто бывает проще осветить голограмму исходным
точечным опорным источником. Тогда, как и у других голограмм, положение мнимого
изображения совпадает с исходным положением предмета.
Основным в безлинзовой фурье-голографии является следующее требование: кривизна
сферического фронта, описываемого фазовым множителем сферической опорной волны,
должна быть такой же, как кривизна сферического фронта, описываемого фазовым
множителем предметной волны. Нечувствительность положения изображения к
перемещению голограммы успешно использовалась для получения составных голограмм,
информационная емкость которых снижена до необходимого минимума и которые
позволяют осуществлять стереоскопическое наблюдение трехмерных изображений (см. гл.
18).
6. Безлинзовые голограммы Фраунгофера
В гл. 2, § 5, п. 4, мы отмечали, что осевые голограммы, зарегистрированные в области
дальнего поля предмета, позволяют наблюдать одно изображение без искажающего
влияния со стороны другого. Томпсон и др. [8.15] использовали эту возможность для
исследования размеров и формы движущихся аэрозольных частиц, что, по-видимому,
явилось одним из первых практических применений голографии. Картина дифракции
Фраунгофера (картина дальнего поля) может быть зарегистрирована на фотопластинке,
помещенной на расстоянииd от предмета, при условии [см. (5.37)]
𝒙𝟐𝟏 + 𝒚𝟐𝟏
≪ 𝒅,
(8.21)
𝝀
Здесь x1 и y1 — координаты произвольной точки предмета, а λ— длина волны света.
Предположим, что предмет, пропускание которого описывается функцией s (х1, у1),
имеющей фурье-образом функцию S (ξ, η), освещается плоской волной в направлении,
нормальном к плоскости х1, у1(фиг. 8.27). Выражение (5.39) описывает комплексную
амплитуду а (х2, у2) света, падающего на плоскостьх2у2, расположенную в области
дальнего поля на расстоянииd отх1у1
𝒊𝒂
𝒊𝝅 𝟐
𝒂(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) =
𝐞𝐱𝐩 [−
(𝒙 + 𝒚𝟐𝟐 )] 𝑺(𝝃, 𝜼),
(8.22)
𝝀𝒅
𝝀𝒅 𝟐
В работе [8.15] голограмма Фраунгофера регистрировалась при освещении предмета
плоской когерентной волной. Фотопластинка экспонировалась в области дальнего поля.
Свет, прошедший через предмет без дифракции, служил опорной волной. Тогда, так же как
и для других осевых голограмм, при условии надлежащего экспонирования и обработки
позитивной голограммы
ФИГ. 8.27. Образование безлинзовой голограммыФраунгофера.
контраст восстановленного изображения совпадает с контрастом объекта. На стадии
восстановления голограмма освещается плоской волной, тождественной той, что
использовалась для освещения предмета.
Поскольку на стадии регистрации голограммы используется плоская опорная волна,
фазовый множитель сферической волны [см. (8.22)] не устраняется и изображение,
формируемое голограммой Фраунгофера, смещается при перемещении голограммы.
Можно считать, что в голограмму как бы встроена линза, соответствующая сферическому
фазовому множителю. При перемещении голограммы линза перемещается вместе с ней и в
свою очередь перемещает изображение.
Если предмет настолько мал, что его можно рассматривать как расположенный на оси
точечный рассеиватель (как в случае аэрозольной частицы), то фиг. 8.27 эквивалентна фиг.
2.5 и при записи формируется интерференционная картина, напоминающая
зоннуюпластинку. Если пропускание небольшого предмета можно аппроксимировать
-функцией𝜹(𝒙) ⊃ 𝑺(𝝃, 𝜼) = 𝟏, то амплитуда a(x2,y2) описываемая выражением (8.22),
будет представлять собой немодулированную сферическую волну. На стадии восстановления амплитуды а(x2,y2), записанной на голограмме Фраунгофера, будет формироваться
идентичная волна, исходящая из мнимого изображения. В плоскости действительного
изображения с обратной стороны голограммы эта волна создает только однородный фон,
который почти не мешает наблюдению действительного изображения.
Мы можем определить голограмму Фраунгофера как голограмму, на которой
регистрируется интерференционная структура, образованная дифракционной картиной от
предмета в области дальнего поля и сферической волной от опорного источника,
некомпланарного предмету. Как правило, опорный источник располагается на
бесконечности и опорная волна является плоской.
7. Голограммы Фраунгофера, полученные с линзой
Выражение (8.22) для комплексной амплитуды а (х2, у2) дифракционной картины дальнего
поля совпадает с формулой (8.16),
ФИГ. 8.28. Получение голограммы Фраунгофера с использованием линзы.
которая описывает комплексную амплитуду света, наблюдаемого в задней фокальной
плоскости линзы с фокусным расстоянием f, расположенной непосредственно перед
когерентно освещенным предметом. Следовательно, очевидно, что с помощью линзы
регистрируется голограмма Фраунгофера, если 1) расположенный вплотную к линзе
транспарант освещается плоской волной, 2) используется плоская (например, внеосевая)
опорная волна и 3) предметная и опорная волны интерферируют в плоскости голограммы,
помещенной в задней фокальной плоскости линзы. Полученная таким образом голограмма
будет иметь свойства, подобные свойствам безлинзовой голограммы Фраунгофера. На фиг.
8.28 приведена схема получения голограммы описанного здесь типа.
§ 4. Роль разрешающей способности регистрирующей
среды и размеров голограммы
Рассмотрев основные типы плоских голограмм, вернемся к ограничениям, которые
налагает регистрирующая среда на свойство голограмм формировать изображение.
Требования к разрешающей способности регистрирующей среды для записи различного
типа голограмм обсуждались в гл. 3, § 1. Ниже с помощью простой модели мы рассмотрим,
как сказывается ограниченность разрешающей способности на качестве изображения. Наш
подход аналогичен подходу, используемому в работахЛукоша [8.16] и Урбаха и Мейера
[8.17].]
1. Ограниченная разрешающая способность регистрирующей среды
Начнем анализ с рассмотрения плоскостиxz на фиг. 8.29, где показан предмет, точечный
опорный источникR (хr, 0, — zr) и фотопластинка. Плоскость, нормальная к оси и
содержащая точечный опорный источник, находится от регистрирующей пластинки на
расстоянииzr. Как показано на фиг. 8.29, луч, идущий от опорного источника до
произвольной точкиQ (х2, 0, 0) на поверхности пластинки, образует угол θr с нормалью к
пластинке (осьюz) и, следовательно, характеризуется пространственной частотой
Предположим, что тонкий пучок таких лучей от опорного источника интерферирует в
окрестности точкиQ с аналогичным пучком лучей от предмета, образующим угол θ0 с
осьюz. Последнему соответствует пространственная частота Интенсивность
интерференционной картины, которая должна быть зарегистрирована, выражается
формулой
𝑰 = [𝐞𝐱𝐩(𝟐𝝅𝒊𝝃𝟎 𝒙𝟐 ) + 𝐞𝐱𝐩(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒓 𝒙𝟐 )][𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝟎 𝒙𝟐 ) + + 𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝒓 𝒙𝟐 )]
(8.23)
= 𝟐 + 𝟐 𝐜𝐨𝐬[𝟐𝝅(𝝃𝟎 − 𝝃𝒓 )𝒙𝟐 ].
Здесь мы предположили, что волны имеют единичные амплитуды. Частота
косинусоидального члена ξ0 —ξrпредставляет собой
ФИГ. 8.29. К рассмотрению влияния ограниченности разрешающей способности регистрирующей среды.
частоту полос интерференционной структуры. Для малых углов ее можно представить
следующим образом:
𝒔𝒊𝒏𝜽𝟎 − 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒓 𝜽𝟎 − 𝜽𝒓
𝝃𝟎 − 𝝃𝒓 =
≈
(8.24)
𝝀
𝝀
Предположим теперь, что среда идеально регистрирует все пространственные частоты, не
превышающие некоторой предельной частоты ξc,но в то же время абсолютно не в
состоянии зарегистрировать компоненты структуры с частотой, превышающейξc. Если
предмет рассеивает свет в широкой полосе пространственных частотξ0 это означает, что
при данном значении ξrне все пространственные частоты могут быть зарегистрированы
голограммой. Другими словами, на голограмме будут зарегистрированы только те лучи,
углы которых с осьюz не выходят за пределы некоторого интервала значений. На фиг. 8.29
один такой предельный луч, ждущий от предмета к произвольной точкеQ плоскости
голограммы, пересекает плоскость опорного источника в точке xмакс. Мы будем называть
такой луч краевым; соответствующая ему пространственная частота ξо,макс удовлетворяет
соотношению
𝝃𝟎,макс − 𝝃𝒓 = 𝝃с
(8.25a)
Если краевой луч составляет с осьюz угол θ0,макс, то, используя (8.24), можно написать
𝜽𝟎,макс
𝜽с
≈ 𝝃с =
(8.25б)
𝝀
𝝀
или
𝜽𝟎,макс − 𝜽𝒓 ≈ 𝜽𝒄
(8.25в)
С помощью фиг. 8.29 можно определить координатуxмакс:
𝒙макс − 𝒙𝟐
𝒙𝒓 − 𝒙𝟐
= 𝒕𝒈(𝜽𝒓 + 𝜽𝒄 ) ≈ 𝜽𝒓 + 𝜽𝒄 ≈
+ 𝝃𝒄 𝝀
𝒛𝒓
𝒛𝒓
откуда
(8.26)
𝒙макс ≈ 𝒙𝒓 + 𝒛𝒓 𝝃𝒄 𝝀
Аналогично для координаты ξмин точки пересечения другого краевого луча имеем
(8.27)
𝒙мин ≈ 𝒙𝒓 − 𝒛𝒓 𝝃𝒄 𝝀
Заметим, что краевые лучи пересекают плоскость опорного источника в точках,
координаты которых в использованном здесь приближении малых углов не зависят от
координат точки Q плоскости регистрации.
Введем теперь гипотетический непрозрачный экран, помещенный в плоскости, нормальной
к осиz и содержащей опорный источник. Экран имеет отверстие с центром в точкеR, где
находится опорный источник. Края отверстия определяются точками (xмакс, 0,-zr) и (xмин,
0, -zr). Через отверстие проходят все тепредметные лучи, в результате интерференции
которых с опорными лучами в некоторой точкеQ плоскости голограммы образуются
полосы, разрешаемые и регистрируемые светочувствительной средой. Если же луч,
идущий от предмета к произвольной точке Q плоскости голограммы, или продолжение
этого луча пересекает наш гипотетический экран, то этот луч не будет зарегистрирован
голограммой. Некоторые из таких лучей показаны на фиг. 8.30. Это правило справедливо
для предметов, расположенных как перед плоскостью опорного источника, так и за ней.
Мы можем распространить свой анализ и на случай двумерного экрана, вводя пространственные частоты v, где v2 = ξ2 + η2, и предельную частоту vc; тогда отверстие в
экране представляет собой окружность радиусомzrλvc с центром в точкеR.
Обратимся теперь к рассмотренным ранее схемам получения голограмм различного типа и,
применив наглядный способ экрана, покажем, как сказывается наличие предельной
пространственной частоты на свойствах регистрируемых голограмм. Начнем со схемы
получения безлинзовой фурье-голограммы, показанной на фиг. 8.26. Так как
голографируемый транспарант и точечный опорный источник находятся в одной и той же
плоскости — плоскости экрана, то отверстие в экране ограничивает только размер
ФИГ. 8.30. Лучи от предмета, которые не регистрируются голограммой.
предмета, который может быть зарегистрирован. В пределах этого размера лучи всех
направлений (всех пространственных частот) будут полностью зарегистрированы
голограммой (опять-таки в приближении малых углов). То же выполняется для схемы на
фиг. 8.25, содержащей линзу. Таким образом, эти две схемы позволяют осуществлять
голографическую регистрацию предметов, содержащих высокие пространственные
частоты, на материалах с низкой разрешающей способностью.
Теперь рассмотрим схему для получения осевой голограммы Френеля при освещении
голографируемого транспаранта аксиальной плоской волной. Опорный источникR лежит
на осиz на бесконечности (хr = 0,zr = ∞). Действие нашего гипотетического экрана,
расположенного на бесконечности, выражается в том, что он устанавливает предельные
значения углов, образуемых лучамис осью z. Если обозначитьθмакс=xмакс/zr и
θмин=xмин/zrто (8.26) и (8.27) принимают вид
(8.28
𝜽макс ≈ 𝜽𝒄 , 𝜽мин ≈ 𝜽𝒄 ,
Эти соотношения показывают,что экстремальные углыθмаксиθмин, которые составляют
краевые лучи с осьюz, непосредственно
ФИГ. 8.31. Влияние ограниченности разрешающей способности регистрирующей среды
при получении осевых голограмм.
определяются предельным угломθс (фиг. 8.31). Плоская предметная волна,
распространяющаяся в направлении | θс | и имеющая пространственную частоту |ξс | = | θс
|/λ соответствует компоненте пропускания предмета с той же пространственной частотой |
ξс | (см. гл. 5, § 3). Следовательно, голограмма не будет регистрировать те компоненты
пропускания предмета, пространственная частота которых превышает | ξс| , что в свою
очередь ведет к ограничению разрешения изображения. Разрешение изображения,
достижимое в этом случае, эквивалентно тому, которое может иметь контактный снимок
предмета, полученный на том же регистрирующем материале.
С помощью фиг. 8.32 можно понять, к чему приводит ограниченность разрешающей
способности регистрирующей среды в том случае, когда дифрагировавший на предмете
аксиальный плоский волновой фронт интерферирует с наклонной плоской опорной волной.
В такой схеме формируется голограмма Френеля с несущей частотой. Соотношения (8.26)
и (8.27), записанные через предельные углы θмакс и θмин, которые определяются экраном,
принимают вид
(8.29)
𝜽макс = 𝜽𝒓 − 𝜽𝒄 , 𝜽мин ≈ 𝜽𝒓 − 𝜽𝒄 ,
Из фиг. 8.32 мы видим, что если уголθс не слишком велик, то лишь ограниченный диапазон
положительных пространственных частот, дифрагированных предметом, попадет на
фотопластинку,не пересекая экрана, ограничивающего интервал углов. Один из таких
лучей, идущий от предмета под углом θс к оси z, показан на фиг. 8.32. Отрицательные
пространственные частоты предмета обрезаются значительно в меньшей степени, чем
положительные (и наоборот, если опорная волна имеет положительную пространственную
частоту). Такая неравномерность записи положительных и отрицательных
пространственных частот может ухудшить
ФИГ. 8.32 Влияние ограниченности разрешающей способности среды при получении
голограмм с наклонной плоской опорной волной разрешение изображения. Чтобы избежать
этого, предельная частота ξс должна быть высокой. Более того, для полного разделения
волн нулевого порядка и дифрагированных волн, формирующих изображение, частота ξс
должна примерно в 4 раза превышать наибольшую пространственную частоту предмета
(см. § 1, п. 1).
2. Размер голограммы
Если матрица голограмм предназначается для хранения информации (см. гл. 16), причем
количество сохраняемой информации велико, то очевидно, что размер каждой отдельной
голограммы должен быть мал. Мы считаем, что влияние размеров голограммы на качество
изображения аналогично влиянию линзы конечных размеров (см. гл. 6, § 4, п. 2). Основной
результат, полученный в гл. 6, § 4, справедлив и для голограммы, если только заменить
апертуру линзы апертурой голограммы.
Разрешение изображения, формируемого как голограммой, так и линзой, определяется
фурье-образом когерентной передаточной функции оптического устройства, т. е. функцией
рассеяния. Чем больше размеры голограммы, тем выше максимальная пространственная
частота предмета, которая может быть ею воспринятаи тем уже функция рассеяния (фиг.
6.11). Если размер голограммы должен быть ограничен по таким соображениям, как
получение максимальной плотности хранения информации, то важно наиболее выгодно
использовать имеющуюся в распоряжении поверхность регистрирующей среды. Если мы
примем, что разрешающая способность среды достаточно высока, чтобы среда могла
воспринять все пространственные частоты, идущие от предмета, то наша задача сводится к
равномерной регистрации всех частотных компонент от всех частей предмета.
В гл. 6, § 4, п. 2, показано, что линзовая оптическая система, в которой предмет освещается
аксиальной плоской волной, дает максимальное разрешение изображения только для точек
предмета, расположенных вблизи оптической оси. Разрешение изображения линейно
падает с увеличением расстояния от оси. Наилучший способ освещения предмета,
показанный на фиг. 6.9, состоит в использовании сходящейся сферической волны,
фокусирующейся в плоскости линзы L2. В этомслучае для всех точек предмета достигается
наивысшее возможное разрешение изображения, отвечающее данному размеру линзы.
Передаточная функция такой" системы, которую называют
пространственно-инвариантной, изображена на фиг. 6.10. Схемы аналогичных
пространственно-инвариантных голографических систем показаны на фиг. 8.25 и фиг. 8.28.
Эти системы позволяют оптимально использовать ограниченную площадь голограммы, так
как на небольшую по размерам голограмму падают от всех точек предмета лучи в одном и
том же диапазоне пространственных частот, благодаря чему разрешение изображения
имеет одинаковую достаточно высокую величину на всех участках. Поскольку пучок лучей
от каждой точки предмета перекрывает всю площадь голограммы (см. фиг. 6.9), то информация о каждой точке предмета хранится всеми точками голограммы. Таким образом,
голограммы, полученные по схемам фиг. 8.25 и фиг. 8.28, не чувствительны к пыли и
царапинам, подобно голограммам, полученным при диффузном освещении предмета, и,
кроме того, не обладают пятнистой структурой. Основная проблема, связанная с
получением голограмм по схемам фиг. 8.25 и 8.28, заключается в регистрации
интенсивности света, меняющейся в широком диапазоне. Как уже отмечалось, нулевой
пространственной частоте соответствует большой пик интенсивности. В гл. 16 мы
рассмотрим некоторые полезные методы, позволяющие находить компромисс между
избытком информации и требованием к динамическому диапазону.
§ 5. Максимальная эффективность плоских голограмм
Если нужно восстановить максимально яркое изображение, то полезно знать
максимальную дифракционную эффективность, которой обладают голограммы различного
типа. Здесь мы определим эффективности [8.18] плоских амплитудных и фазовых голограмм, образующихся в результате интерференции плоской наклонной опорной волны r =
rехр (2πiξх) и аксиальной смодулированной плоской предметной волны с амплитудой а.
Начнем с рассмотрения амплитудной голограммы. Если предположить, что зависящая от
экспозиции частьtE амплитудного пропускания проявленной голограммы
пропорциональна интенсивности регистрируемой интерференционной картины, то
𝒕𝑬 ~𝑰 = [𝒂 + 𝒓 𝐞𝐱𝐩(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒙)][𝒂 + 𝒓 𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝒙)] = 𝒂𝟐 + 𝒓𝟐 + 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝝃𝒙)
или
𝒕𝑬 = 𝒕𝑬𝟎 + 𝒕𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝝃𝒙)
(8.30)
Для плоской амплитудной голограммы полное амплитудное пропусканиеt в соответствии с
формулой (1.14) определяется какt= t0 — tE, гдеt0 — пропускание неэкспонированной
пластинки. Как правило,t может изменяться от 0 до 1 (еслиt0 = 1). Максимальный диапазон
измененияt достигается приtEo =1/2 иt1 =1/2. При этих условиях
𝟏 𝟏
𝟏 𝟏
𝒕 = 𝒕𝟎 − 𝒕𝑬 = 𝟏 − − 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝝃𝒙) = − 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝝃𝒙) =
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟏 𝟏
𝟏
= − 𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒙) − 𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝒙)
(8.31)
𝟐 𝟒
𝟒
Пусть голограмма освещается аксиальной плоской волной единичной амплитуды. Тогда
амплитуда волны, распространяющейся за голограммой, равна пропусканию t,
определяемому формулой (8.31). Мы видим, что свет дифрагирует только в нулевой и +1-Й
и —1-й порядки. Поскольку амплитуда дифрагированной волны первого порядка
составляет х/4 амплитуды падающего света, то интенсивность волны первого порядка
равна х/16 интенсивности падающего света. Дифракционная эффективность определяется
как отношение мощности дифрагированной волны первого порядка к мощности излучения,
освещающего голограмму. В настоящем случае, когда голограмма освещена равномерно,
мы можем в этом определении заменить мощность излучения на его интенсивность. Итак,
эффективность равна 1/16, или 6,25%. На практике регистрирующие среды не являются
линейными во всем диапазоне экспозиций, соответствующем изменению пропусканияt от 0
до 1. Поэтому, если требуется восстановить волновой фронт без нелинейных искажений, то
максимальная эффективность, равная 6,25%, не может быть достигнута.
Несколько большей дифракционной эффективностью могут обладать голограммы,
пропускание tE которых описывается не ко синусоидальной, а прямоугольной
периодической функцией х. (Таким пропусканием могут обладать голограммы,
синтезированные с помощью вычислительных машин.) В этом случае в одной половине
периода пропусканиеtE равно нулю, а во второй - единице. Первые два члена разложения
прямоугольной функции в ряд Фурье имеют вид [8.19, 8.21*]:
𝟏 𝟐
𝟏 𝟏
𝒕𝑬 = + 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝝃𝒙) − ⋯ + ⋯ = + [𝒆𝒙𝒑(𝟐𝝅𝒊𝝃𝒙) + 𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝝅𝒊𝝃𝒙)] − ⋯
(8.32)
𝟐 𝝅
𝟐 𝝅
Приt = 1 —tE дифракционная эффективность равна (1/π)2 = = 10,1%. Кроме того, на
решетках прямоугольного профиля возможна и дифракция более высоких порядков.
В гл. 7, § 2, п. 2, комплексное пропускание светочувствительной среды было записано в
виде
𝒕 = 𝒕𝒆𝒙𝒑[𝒊𝝋(𝒙)].
Для фазовой голограммы в отсутствие потерь мы можем считать t постоянной величиной,
равной единице;
(8.33)
𝒕 = 𝒕𝒆𝒙𝒑[𝒊𝝋(𝒙)].
Хотя в гл. 7, § 2, п. 2, мы видели, что фазовые голограммы осуществляют линейную запись
только при малых значениях 𝝋, для нахождения максимально возможной эффективности
голограммы снимем с 𝝋это ограничение. Светочувствительный материал экспонируется
таким образом, что фазовый сдвиг 𝝋 (х), приобретаемый плоской волной при прохождении
обработанной голограммы, пропорционален интенсивности света, действовавшей при
экспозиции, т. е.
(8.34)
𝝋(𝒙)~𝒂𝟐 + 𝒓𝟐 = 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝝃𝒙) = 𝝋𝟎 + 𝝋𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝝃𝒙).
Пропускание голограммы t принимает вид
𝒕 = 𝐞𝐱𝐩(𝒊𝝋𝟎 ) 𝐞𝐱𝐩[𝒊𝝋𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝝃𝒙)] ~𝝋𝟎 + 𝝋𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝝃𝒙)
(8.35)
Если опустить постоянный фазовый множитель ехр (гфо)» то (8.35) можно представить в
виде ряда Фурье [8.19, 8.21*]
+∞
𝒕 = 𝐞𝐱𝐩[𝒊𝝋𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝝃𝒙)] = ∑ 𝒊𝒏 𝑱𝒏 (𝝋𝟏 )𝒆𝒙𝒑(𝒊𝒏𝟐𝝅𝝃𝒙),
𝒏=−∞
гдеJn — функция Бесселя первого рода n-го порядка. Если голограмма t освещается
аксиальной плоской волной единичной амплитуды, то амплитуда дифрагированной волны
+ 1-го порядка описывается функцией J1 (𝝋𝟏 ), которая показана на фиг. 8.33. Ее
максимальное значение равно 0,582, а максимальная эффективность составляет 33,9%.
Фі
ФИГ. 8.33. Амплитуда J1 (𝝋𝟏 ) дифрагированнойволны первого порядка для синусоидальной фазовой решетки.
Несколько больше света дифрагирует в первый порядок, если фаза меняется как
прямоугольная функция х и принимает значение 𝝋 = 0 в течение одной половины периода и
значение 𝝋 = π — в течение другой. Тогда пропускание t равно +1 при 𝝋 = 0 и —1 при𝝋= π.
Такая голограмма подобна амплитудной голограмме, пропускание которой описывается
прямоугольной функцией, причем амплитуда света, дифрагированного в первый порядок, в
два раза больше, чем при амплитудной модуляции. Следовательно, такая голограмма
обладает в 4 раза большей эффективностью, равной 40,4%.
Глава 9
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
Отклик элементарной объемной голограммы при ее освещении когерентным
излучением можно рассматривать с точки зрения теории связанных волн. Однако,
прежде чем применить эту теорию, воспользуемся пространственно-частотными
представлениями, введенными в гл. 5, чтобы понять, как образуется элементарная
объемная голограмма, и вывести аналитические выражения, описывающие ее
дифракционную периодическую структуру.
§ 1. Голограмма, образованная двумя плоскими волнами
Рассмотрим две плоские волны единичной амплитуды, распространяющиеся в
плоскостиyz. Проникая в регистрирующую среду, они интерферируют (фиг. 9.1).
Согласно закону Снеллиуса,
(8.35)
𝒕 = 𝐞𝐱𝐩(𝒊𝝋𝟎 ) 𝐞𝐱𝐩[𝒊𝝋𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝝃𝒙)] ~𝝋𝟎 + 𝝋𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝝃𝒙)
где n — показатель преломления регистрирующей среды. Здесь ΩsиΩr — углы между
направлениями распространения волн и осью z в воздухе, а и ярд — соответствующие
углы в регистрирующей среде. Как и в гл. 3, § 1, мы начнем со сложения комплексных
амплитуд плоских волн в среде и затем, чтобы найти интенсивность, умножим
результирующую комплексную амплитуду на комплексно-сопряженную ей
величину. В результате получаем следующее выражение для комплексной амплитуды
в среде:
𝒂(𝒚, 𝒛) = 𝐞𝐱𝐩[−𝒊𝟐𝝅( 𝜼𝒔 𝒚 + 𝜻𝒔 𝒛)] + 𝐞𝐱𝐩[−𝒊𝟐𝝅(𝜼𝑹 𝒚 + 𝜻𝑹 𝒛)]
и
(9.2)
𝒂𝒂∗ = 𝑰 = 𝟐 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝝅[(𝜼𝑺 + 𝜼𝑹 )𝒚 + (𝜻𝑺 − 𝜻𝑹 )𝒛],
где
𝒔𝒊𝒏𝝍𝑺
𝒔𝒊𝒏𝝍𝑹
𝜼𝑺 =
, 𝜼𝑹 =
,
[из (5.14б)],
𝝀
𝝀
(𝟏 − 𝝀𝟐 𝜼𝑺 𝟐 )𝟏/𝟐
(𝟏 − 𝝀𝟐 𝜼𝑹 𝟐 )𝟏/𝟐
𝜻𝑺 =
, 𝜻𝑹 =
,
[из (5.16)],
𝝀
𝝀
и λ — длина волны в среде.
17*