Задания В8, с образцами решений

63
Задания В8:
1. Вычисление элементов прямоугольного треугольника
При выполнении заданий В8 на вычисление элементов прямоугольного
треугольника достаточно знать определение синуса, косинуса и тангенса острого угла
прямоугольного треугольника, основное тригонометрическое тождество и теорему
Пифагора.
Теорема Пифагора: АВ² = АС² + ВС².
1)
В
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
острого угла:
ВС
АС
ВС
АС
sinA=
; cosA=
; tgA=
; ctgA=
АВ
АВ
АС
ВС
Основное тригонометрическое тождество: sin²A+ cos²A=1
Формулы приведения: sin(90˚- α) = cosα ;
cos(90˚-α) = sinα
А
С
sin(180˚- α) = sinα;
cos(180˚-α) = -cosα
α
А  В  90
Таблица
sin α
cos α
1
tg α
0
ctg α
не сущ.
Н
А
3)
А

)
6

)
4
2
2
2
2
45˚(
1
2
3
2
3
3
3
1

)
3
3
2
1
2
60˚(
3
90˚(

)
2
π
1
0
0
-1
не сущ.
0
не сущ
0
3
3
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из
вершины прямого угла, разделяет треугольник на два
подобных прямоугольных треугольника, каждый из
которых подобен данному треугольнику.
СН= АН  НВ ;
АС= АВ  АН
В
2)
30˚(
0˚(0)
0
функции
С
В
С
1
∆АВС - равнобедренный, А  С
∆АВН=∆ВСН
ВН - медиана, биссектриса, высота.
Н
Решать задания В8 можно по-разному. Показано несколько образцов решения задач.
Пример 1.
3
В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, tgα = , ВС = 6. Найдите АС.
В
4
Решение:
ВС
ВС
По определению tg А =
; АС 
;
АС
tgA
3
3
4
АС = ВС : = 6 : = 6  = 8.
А
С
4
4
3
В бланк ответов: В8 8
Вычисление значения тригонометрического выражения
Тригонометрические уравнения
Содержание
64
Пример 2.
В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, угол В равен 30º, ВС = 3 3 . Найдите АС.
В
А
С
Решение:
3
3 3 3
АС
По определению tg В =
; АС = ВС · tg 30º = 3 3 ·
=
=
ВС
3
3
В бланк ответов: В8
3·
3 = 3.
3
Пример 3.
В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, cosA =
4
.
5
В
Найдите sinB.
По определению cosA
sinB =
Решение:
АС
=
;
АВ
АС
4
= cosA = = 0,8.
АВ
5
А
В бланк ответов: В8
С
0 , 8
Пример 4.
В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, АВ = 39, sinА =
5
. Найдите АС.
13
В
А
С
Решение:
1) Используя основное тригонометрическое тождество sin²A + cos²A = 1, получим:
5
25
25
144
( )² + cos²A = 1;
+ cos²A = 1;
cos²A = 1 ;
cos²A =
;
13
169
169
169
12
12
cos²A = ( ) 2 ;
cosA =
.
13
13
АС
12
39  12
2) По определению cosA =
; АС = АВ · cosA; АС = 39 ·
=
= 36.
АВ
13
13
В бланк ответов: В8
3 6
Вычисление элементов прямоугольного треугольника, примеры 1-5
Содержание
65
Пример 5.
В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, АВ = 95, cosВ =
3
. Найдите АС.
5
В
А
С
Решение:
1) Используя основное тригонометрическое тождество sin²В + cos²В = 1, получим:
3
9
9
16
sin²В+ ( )²= 1; sin ²В+
= 1; sin ²В = 1 ;
sin ²В =
;
5
25
25
25
4
4
sin ²В = ( )²;
sin В =
.
5
5
АС
4
95  4
2) По определению sin В =
; АС = АВ · sin В; АС = 95 ·
=
= 19 · 4 =
АВ
5
5
76.
В бланк ответов: В8
7 6
Пример 6.
В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, AB = 14, AС = 7 3 . Найдите sinА.
В
А
С
Решение:
1) По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС²; 14² = (7 3 )² + ВС²; 196 = 49 · 3 + ВС²;
196 = 147 + ВС²; ВС² = 196 - 147;
ВС² = 49; ВС² = 7²; ВС = 7.
ВС
7
1
2) По определению sinА =
=
= = 0,5.
АВ
14
2
В бланк ответов: В8 0 , 5
Пример 7.
В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, угол А равен 30º. Найдите синус
угла ВАD.
В
D
А
С
Решение:
 BAD и  BAС – смежные, отсюда
1
sin BAD = sin(180º - 30º) = sin30º =
= 0,5.
2
В бланк ответов: В8
0 , 5
66
Вычисление элементов прямоугольного треугольника, примеры 6-10
Пример 8.
В8 На клетчатой бумаге изображен угол. Найдите его тангенс.
В
Решение:
 BAD и  BAС – смежные, отсюда
D
tg BAD = tg(180º -  BAС ) = - tg BAC = -
А
ВС
2
  = -2.
АС
1
С
В бланк ответов: В8
-
2
Пример 9.
В8. Найдите тангенс угла АОВ, изображенного на клетчатой бумаге.
В
О
Решение:
ВС 4
 = 0,8.
tg BОA =
ОС 5
В
О
А
А
В бланк ответов: В8
С
0 , 8
Пример 10.
В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, cosA =
Решение:
4
, ВС = 3. СН – высота. Найдите АН.
5
В
4
АС
=
, значит, АС = 4, АВ = 5
5
АВ
(Проверка: ВС² + АС² = АВ² ; 3² + 4² = 5²,
9 + 16 = 25).
А
2) ΔАСН – прямоугольный:
АН
4 16
 3,2 .
cosA =
; АН = АС cosA = 4 · =
5
5
АС
В бланк ответов: В8
1) cosA =
Н
С
3 , 2
Вычисление элементов прямоугольного треугольника, примеры 6-10
Содержание
67
Пример 11.
В8. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ
равна 10, а высота, проведенная к основанию, равна 19. Найдите косинус угла А.
В
А
Н
Решение:
С
1) ΔАВН – прямоугольный:
по теореме Пифагора АВ² = АН² + ВН²; 10² = АН² + 19 ²; 100 = АН² + 19;
АН² = 100 - 19; АН² = 81; АН² = 9²; АН = 9.
АН
9
2) По определению cosA =
=
= 0,9.
АВ 10
В бланк ответов: В8 0 , 9
Пример 12.
В8. В треугольнике АВС
АС = ВС = 5, АВ = 8.
Найдите tg А.
Решение:
1) По свойству равнобедренного треугольника
высота СН является и медианой. Значит,
АН = АВ : 2 = 8 : 2 = 4.
2) ΔАСН – прямоугольный:
по теореме Пифагора АН² + СН² = АС²;
А
4² + CH² = 5²; 16 + CH² = 25; CH² = 25 – 16;
CH² = 9; CH = 3.
CH 3
tg А =
= = 0,75.
AH 4
В бланк ответов: В8
Пример 13.
В8. В треугольнике АВС АВ = ВС, АС = 5, cosС = 0,8.
Найдите высоту СН.
С
Н
В
0 , 7 5
С
А
В
Н
Решение:
1) ΔАВС – равнобедренный, значит, cosС = cosА = 0,8.
АН
4
2) ΔАСН – прямоугольный: cosА =
= 0,8 =
, отсюда АН = 4.
5
АС
По теореме Пифагора АН² + СН² = АС²; 4² + СН² = 5²; 16 + СН² = 25;
СН² = 25 - 16;
СН² = 9; СН = 3.
В бланк ответов: В8 3
Вычисление элементов прямоугольного треугольника, примеры 11-13
Содержание
68
2. Окружность и углы
Центральный
угол
Вписанный угол
б)
а)
В
в)
В
С
О
.
O
.
А
.
В
D
O
А
А
В
L
АОВ  ALB
А
С
L
1
АВC   ALC
2
Пример 14.
С
С
АВC  ADC
В8. Центральный угол на 360 больше острого вписанного угла,
опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный
угол. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и
центральный, равен половине центрального угла:
1
1
АCВ  АОВ , тогда АCВ  (АСВ  36 0 ),
2
2
1
1
1
АCВ  АСВ   36 0 , АCВ  АСВ  18 0 ,
2
2
2
1
1
АСВ  36 0.
АCВ  АСВ  18 0 ,
АСВ  18 0 ,
2
2
В бланк ответов: В8 3 6
О
А
L
L
АCВ  90 0
 ALВ - полуокружность
В
Пример 15.
В
?
320 О
А
С
В8. Треугольник АВС вписан в окружность с центром О.
Найдите угол ВОС, если угол ВАС равен 320. Ответ дайте в
градусах.
Решение:
Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и
центральный, равен половине центрального угла:
1
ВАС  ВОС , где ВАС - вписанный угол,
2
ВОС - центральный угол.
0
Тогда ВОС  32  2  64 0 .
В бланк ответов: В8
6 4
Окружность и углы, примеры 14-15
Содержание
69
Пример 16.
В8. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая
1
составляет окружности. Ответ дайте в градусах.
5
Решение:
1
1
1
ÀÑÂ   ÀòÂ   360 0    36 0 .
Вписанный
угол
2
2
5
.
т
В бланк ответов: В8
3 6
Пример 17.
т
В8. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на
три дуги, градусные величины которых относятся как
.
Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в
градусах.
Решение:
Очевидно, что ÀÂÑ - больший угол треугольника ABC,
опирающийся на  ÀòÑ .
1
1
ÀÂÑ   ÀòÑ  360 0 : (1  3  5)  5  100 0
2
2
В бланк ответов: В8
1 0 0
Окружность и углы, примеры 16-17
Содержание