cos x

Тема: Свойства функции y=cos x и её график.
Цель:
Образовательные: знать понятие функции косинуса, схему исследования
функции
y=cos x (её свойства), уметь строить график функции y=cos x,
находить по графику промежутки возрастания и убывания, промежутки
постоянных знаков, наибольшее и наименьшее значение функции.
Развивающие: развить самостоятельность в выполнении заданий.
Воспитательные: воспитывать культуру поведения, отношений.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Ход урока:
1.Организационный момент (2 мин).
2.Изучение нового материала. (25 мин)
Функция y = cos x определена на всей числовой прямой и множеством
ее значений является отрезок -1; 1. Следовательно, график этой
функции расположен в полосе между прямыми у = -1 и у = 1.
Так как функция периодическая с периодом 2, то достаточно
построить ее график на каком – нибудь промежутке длиной 2,
например на отрезке -  х  ; тогда на промежутках, получаемых
сдвигами выбранного отрезка на 2n, nZ, график будет таким – же.
Функция y = cos x является четной. Поэтому ее график симметричен
относительно оси OY. Для построения графика на отрезке
-  х  
достаточно построить его для
0  х  , а затем симметрично
отразить относительно оси OY.
Найдем несколько точек для построения графика на отрезке 0;  и отразим,
полученную часть графика симметрично относительно оси OY.
х
0
п/6
п/4
п/3
п/2
2п/3
3п/4
5п/6
п
y = cos x
1
1/2
0
-1/2
−√2/2 −√3/2 -1
√3/2 √2/2
Распространим полученный график на всей числовой прямой с помощью
сдвигов на 2, 4 и т.д. вправо, на -2, -4 и т.д. влево, т.е. вообще на 2n,
nZ.
Итак, график функции y = cos x построен геометрически на всей числовой
прямой, начиная с построения его части на отрезке 0; . Поэтому свойства
функции y = cos x можно получить , опираясь на свойства этой функции на
отрезке 0; . Например, функция y = cos x возрастает на отрезке -; 0, так
как она убывает на отрезке 0;  и является четной.
Перечислим основные свойства функции y = cos x.
Для этого нужно вспомнить:
Как найти область определения и множество значений
тригонометрических функций;
Какие функции называются периодическими и как найти период
функции;
Какие функции называются четными (нечетными);
Когда функция возрастает (убывает);
Как найти нули функции;
Как определить на каких промежутках функция принимает
положительные (отрицательные) значения;
Как определить когда функция принимает наибольшее (наименьшее)
значения.
1. Область определения
Каждому действительному числу х соответствует единственная точка
единичной окружности, получаемая поворотом точки 1; 0 на угол х
радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Тем самым каждому
действительному числу х поставлены в соответствие числа sin x и cos
x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции
y = sin x и y = cos x.
Таким образом, областью определения функций y = sin x и y = cos x
является множество R всех действительных чисел.
2. Множество значений
Чтобы найти множество значений функции y = cos x, нужно выяснить,
какие значения может принимать y при различных значениях х, т.е.
установить, для каких значений у есть такие значения х, при которых
cos x = y. Известно, что уравнение cos x = a имеет корни, если |a|  1, и
не имеет корней, если |a| > 1.
Следовательно множеством значений функции y = cos x является
отрезок –1  у  1.
3. Периодичность
Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое
число Т  0, что для любого х из ее области определения выполняется
равенство f (x – T) = f (x) = f (x + T). Число Т называется периодом
функции.
Известно, что для любого значения х верны равенства sin(x + 2)=sin x,
cos(x + 2)= cos x. Из этих равенств следует, что значения синуса и
косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2.
Такие функции называются периодическими с периодом 2.
4. Четность, нечетность
Функция y = f (x) называется четной, если для каждого значения х из ее
области определения выполняется равенство f (-x) = f (x), график
симметричен относительно оси ординат.
Функция y = f (x) называется нечетной, если для каждого значения х из
ее области определения выполняется равенство f (-x) = -f (x), график
симметричен относительно начала координат.
5. Возрастание, убывание
Функция y = f(x) называется возрастающей, если наибольшему
(наименьшему) значению функции соответствует наибольшее
(наименьшее) значение аргумента. Т.е. если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 > x2
(x1 < x2).
Функция y = f(x) называется убывающей, если наибольшему
(наименьшему) значению функции соответствует наименьшее
(наибольшее) значение аргумента. Т.е. если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 < x2
(x1 > x2).
6. Нули функции, положительные и отрицательные значения,
наименьшее и наибольшее значения.
Для того чтобы определить когда функция y = cos x принимает
значения, равные:
нулю;
положительные;
отрицательные;
наименьшее;
наибольшее.
необходимо решить:
уравнение cos x = 0;
неравенство cos x > 0;
неравенство cos x < 0;
уравнение cos x = -1;
уравнение cos x = 1;
Итак, запишем все свойства функции y = cos x:
Область определения: D(f): х  R;
Множество значений: у  [-1;1];
Периодичность: Т = 2;
Четность: четная, т.к. cos(-x) = cos x, график симметричен
относительно оси ординат;
Функция возрастает при: +2n  x  2(n+1), nZ;
Функция убывает при: n  x   + 2n, n  Z.
Функция принимает значения:
Равные нулю при х=/2+n, nZ;
Положительные при -/2+2n  x  /2+2n, nZ;
Отрицательные при /2+2n  x  3/2+2n, nZ;
Наибольшее, равное 1, при x = 2n, n  Z;
Наименьшее, равное –1, при x =  + 2n, n  Z.
3. Закрепление изученного. Работа по учебнику.(12 мин)
№ 708- устно; №709-устно; №710 (1,3); №712(1,3); № 715, 718- работа
в парах.
4. Домашнее задание.(3 мин) № 710 (2,4); №712 (2,4) п.41
5. Итог урока. (3мин)
Тема: Самостоятельная работа по теме:
«Свойства функции y=cos x и её график.»
Цель:
Образовательные систематизировать знания по данной теме, выработать
умение исследования функции
y=cos x (её свойства), строить график
функции y=cos x, находить по графику промежутки возрастания и убывания,
промежутки постоянных знаков, наибольшее и наименьшее значение
функции.
Развивающие: развить самостоятельность в выполнении заданий
различного уровня сложности.
Воспитательные: воспитывать внимательность, аккуратность, умения четко
организовывать самостоятельную и индивидуальную работу.
Оборудование:доска, мел, линейка, карточки – задания для индивидуальной
работы, наглядность.
Ход урока:
1.Организационный момент (2 мин).
2.Самостоятельная работа по карточкам.(15 мин)
3. Решение заданий (20мин)
№ 711 (1,2,3,4)-устно; №711 (5,6)- под диктовку; № 713 (1,3),№714 (1,3,5)на доске; №716-самостоятельно по вариантам.
4. Домашнее задание (3 мин).
5.Подведение итогов.(5 мин): самооценка знаний и умений.
Тема: Свойства функции y=sin x и её график.
Цель:
Образовательные: знать понятие функции синуса, схему исследования
функции
y=sin x (её свойства), уметь строить график функции y=sin x,
находить по графику промежутки возрастания и убывания, промежутки
постоянных знаков, наибольшее и наименьшее значение функции.
Развивающие: развивать логическое мышление, умение анализировать,
обобщать полученные знания.
Воспитательные: воспитывать графическую культуру, формировать
точность и аккуратность при выполнении чертежей..
Тип урока: урок изучения нового материала.
Ход урока:
1.Организационный момент (2 мин).
2.Изучение нового материала. (15 мин)
График этой функции можно построить таким же способом, как и
график функции y=cosx, начиная с построения, например, на отрезке [0;π].
Однако проще применить формулу sinx=cos(x−π2), которая показывает, что
график функции y=sinx можно получить сдвигом графика функции
y=cosx вдоль оси абсцисс вправо на π2
Кривая, являющаяся графиком функции y=sinx, называется синусоидой.
Свойства функции y=sinx
1. Область определения - множество R всех действительных чисел.
2. Множество значений - отрезок [−1;1]
3. Функция y=sinx периодическая с периодом T = 2π
4. Функция y=sinx- нечётная.
5. Функция y=sinx принимает
- значение, равное 0, при x=πn,n∈Z
- наибольшее значение, равное 1, при x=π2+2πn,n∈Z
- наименьшее значение, равное - 1, при x=−π2+2πn,n∈Z
- положительные значения на интервале (0;π) и на интервалах, получаемых
сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z
- отрицательные значения на интервале (π;2π) и на интервалах, получаемых
сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z
6. Функция y=sinx
- возрастает на отрезке
[−π2;π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z
- убывает на отрезке
[π2;3π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z
3.Закрепление изученного материала. (20 мин)
4.Домашнее задание(3мин): №722 (2,4) №726 (2,4)
5.Итог урока. Рефлексия(3мин)
Тема: Самостоятельная работа по теме:
«Свойства функции y=sin x и её график.»
Цель:
Образовательные систематизировать знания по данной теме, выработать
умение исследования функции
y=sin x (её свойства), строить график
функции y=sin x, находить по графику промежутки возрастания и убывания,
промежутки постоянных знаков, наибольшее и наименьшее значение
функции.
Развивающие: развить самостоятельность в выполнении заданий
различного уровня сложности.
Воспитательные: воспитывать внимательность, аккуратность, умения четко
организовывать самостоятельную и индивидуальную работу.
Оборудование: доска, мел, линейка.
Ход урока:
1.Организационный момент (2 мин).
2.Самостоятельная работа по учебнику.(25 мин)
№ 724, 725,727,728,730 по вариантам.
3. Решение заданий (10мин)
4. Домашнее задание (3 мин).
5.Подведение итогов.(5 мин): самооценка знаний и умений.
Тема: Свойства функции y=tg x и её график.
Цель:
Образовательные: знать понятие функции , схему исследования функции
y=tg x (её свойства), уметь строить график функции y=tg x, находить по
графику
промежутки
возрастания
и
убывания,
промежутки
знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значение функции.
Развивающие:
содействовать развитию организованности памяти,
творческого мышления, логического мышления, устной и письменной
математической речи, познавательного интереса, интереса к математике,
развивать и формировать навыки общения, работы в группе
Воспитательные:
способствовать
воспитанию
ответственности,
самокритичности, аккуратности, трудолюбия, внимания, активности,
организованности;
Тип урока: урок изучения нового материала.
Ход урока:
1.Организационный момент (2 мин).
2.Актуализация опорных знаний.(8мин)
Диктант графический.
Выполняется на листочках и сдаётся.
(Если вы согласны с утверждением, то ставите
, если нет, то v)
1 вариант.
1. Областью определения функции у=
является промежуток
2. Область значения функции у=sin x является открытый луч (0; +∞)
3. Период функции у=sin x Т = 2π.
4. Функция у=sin x нечётная.
5. Максимальное значение функции у=sin x равно 1.
Ответ:
2 вариант.
1. Область определения функции у =
является промежуток (-∞ ; +∞ ).
2.
3.
4.
5.
Область значений функции у =cos x является отрезок [-1;1].
Период функции у =cos x Т = π.
Функция у =cos нечётная.
Минимальное значение функции у =cos x равно -1.
Ответ:
3.Объяснение нового материала. (15 мин)
Кривая,
которая
называется тангенсоидой.
Тангенсоида
хорошо
иллюстрирует все основные свойства функции у = tg x.
1) Функция у = tg x определена для всех, значений х, кроме х = π/2 + nπ, где
n — любое целое число. Таким образом, областью ее определения служит
совокупность всех действительных чисел, кроме х = π/2 + nπ.
2) Функция у = tg x не ограничена. Она может принимать как любые
положительные, так и любые отрицательные значения. Следовательно,
областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел.
Среди этих чисел нельзя указать ни наибольшего, ни наименьшего.
3) Функция у = tg x нечетна (тангенсоида симметрична относительно начала
координат).
4) Функция у = tg x периодична с периодом π.
5) В интервалах
nπ < х < π/2 + nπ
функция у = tg х положительна, а в интервалах — π/2 + nπ< х < nπ
отрицательна. При х = nπ функция у = tg x обращается в нуль Поэтому эти
значения аргумента (0; ± π; ± 2π; ±3π; ..) служат нулями функции у = tg x.
6) В интервалах
— π/2 + nπ < х < π/2 + nπ
функция монотонно возрастает. Можно сказать, что в любом интервале, в
котором функция у = tg x определена, она является монотонно
возрастающей.
Однако ошибочно было бы считать, что функция у = tg x монотонно
возрастает всюду. Так, например , π/4 + π/2 > π/2 . Однако tg (π/4 + π/2) < tg π/4
интервал, соединяющий
. Это объясняется тем, что в
точки х =π/4 и х = π/4 + π/2, попадает значение х = π/2, при котором функция у =
tg x не определена.
****************
Для построения графика функции у = ctg x следует воспользоваться
тождеством
ctg x = — tg (x + π/2)
Оно указывает на следующий порядок построения графика:
1) тангенсоиду у = tg x нужно сдвинуть влево по оси абсцисс
на расстояние π/2;
 2) полученную кривую отобразить симметрично относительно оси
абсцисс.
 В результате такого построения получается кривая, представленная на
рисунке. Эту кривую иногда называют котангенсоидой.
4.Решение задач.(15мин). № 733(у), №734(у), №735(у), №736(1,3)- с
учителем на доске № 739(1,2), №745- самостоятельно.
5. Домашнее задание(2 мин): №736(2,4), №742
6.Итог урока(3мин)