TMM Конспект лекцийx

Реклама
ВВЕДЕНИЕ
Теория механизмов и машин является общеинженерной дисциплиной,
играющей роль связывающего звена между циклом общенаучных и
общеинженерных дисциплин. Вместе с курсом теоретической механики,
сопротивления материалов и деталей машин она образует группу предметов,
обеспечивающих общеинженерную подготовку и закладывающих фундамент
инженерного образования машиностроительного профиля. Значение этих
дисциплин не снижается, а растет.
Курс Теории механизмов и машин (ТММ) иногда называют механикой
машин, тем самым подчеркивая, что это специальный раздел механики,
изучающий присущими механике методами системы машин и механизмов.
ТММ изучает общие свойства механизмов и машин, дает общие методы
их проектирования, пригодные для различных областей техники. ТММ обычно
ограничивается только схемными решениями, так как именно схемы
определяют основные параметры механизма. Никакими конструктивными и
технологическими улучшениями нельзя исправить недостатки схемы.
Сведения, содержащиеся в курсе ТММ, важны не только для конструкторов,
но и для эксплуатационников, так как грамотная эксплуатация возможна
только при четком понимании принципов работы и основных свойств машин.
Все задачи курса ТММ можно условно разделить на две категории:
задачи анализа и задачи синтеза.
Анализ состоит в исследовании кинематических и динамических свойств
механизма по заданной схеме механизма и заданным размерам. Задача
синтеза является обратной по отношению к задаче анализа.. Однако не всегда
существуют методы прямого решения задачи синтеза. Поэтому при
проектировании приходится прибегать к многократному повторению задачи
анализа, с тем, чтобы выбрать из рассматриваемых вариантов наилучший.
Настоящий курс состоит из следующих разделов: Структура
механизмов; Кинематика механизмов; Динамика машин; Синтез рычажных
механизмов; Синтез зубчатых механизмов; Синтез кулачковых механизмов;
Машины – автоматы; Роботы и манипуляторы.
Слово «механика» происходит от древнегреческого слова, которым
называлось все искусно придуманное. В русском языке еще во времена Петра I
это слово звучало как «махина».
История машин имеет древние корни. В процессе овладения природой
первобытный человек начал проникать вначале бессознательно, интуитивно в
ее тайны.
Около 7 тыс. лет назад возникают первые цивилизации (Нил, Тигр и
Евфрат, Инд, Желтая река). В 5 –том тысячелетии до н. э. человек
познакомился с бронзой, во 2-м тысячелетии до н. э. – железом. Уже тогда
люди умели пользоваться рычагом и клином. Затем они овладели
вращательным движением. Очень древнее происхождение имеют зернотерки.
В 5 – 3 веке до н. э. появилась водяная мельница – первая машина в мировой
истории. Вращение деревянной палочки для получения огня, гончарный круг,
1
бревно для перевозки тяжестей, подъемные приспособления, блок и ворот,
наконец колесо – первые практические результаты освоения вращательного
движения, достигнутые на рубеже 1-го тысячелетия.
Водяная мельница состояла из энергетического агрегата – водяного
колеса, передачи – два цевочных колеса, рабочего органа – жернова. В таком
же виде она просуществовала до 18 –19 века. Возникновение водяной
мельницы обусловлено потребностью населения в муке. Другая причина
возникновения машин – нужды войны. Древнейшие из таких машин –
баллисты, метали камин массой до 30 кг на 400 м.
Счетчик оборотов (Герон)
Величайшим
математиком
и
механиком
античности
был
Архимед ( 287 –
212 г. до н. э.). Он
изобрел
винт,
усовершенствовал
зубчатые колеса,
построил
водоподъемные
сооружения,
построил
ряд
военных машин.
Бурное развитие
греческой
культуры, городов,
войны
Водяная мельница
способствовали
развитию не только практической механики, но и теории. Филон написал
«Свод механики» – девять книг, среди которых, например, были «Учение о
рычагах», «О построении метательных машин», « О построении
автоматов». Ктесибий (2 – в. до н. э.) изобрел поршневой насос, счетчик
оборотов. Герон (1 в. до н. э.) написал больше всех античных ученых о
механике: «Книга о подъемных механизмах», « Книга о военных машинах», «
Театр автоматов». Герон описывает простые машины, системы зубчатых
колес, системы блоков и полиспастов, «эомпил» - прообраз паровой турбины.
«Театр автоматов» описывает храмовые и театральные автоматы, которые в
то время пользовались популярностью у населения.
2
К механике эпохи эллинизма примыкает механика Рима и Карфагена.
Подробные сведения об уровне механики того времени содержится в
сочинении Витрувия «Об архитектуре». По определению Витрувия
«машина есть прочное соединение деревянных частей, предназначенное для
передвижения грузов и приводимое в движение искусственным образом по
кругу, что греки называют круговым движением».
В 4 – 5 век н. э. началось великое переселение народов. В 372 г. в Европу
вторглись гунны. Под напором гуннов германские племена вторглись в
Римскую империю. На ее развалинах возник ряд государств. Цивилизация
переживала глубокий кризис: города пустели, ремесла и торговля замирали,
наука
не
развивалась.
Многое
из
достигнутого было забыто.
Эпоха средневековья продолжалась
1000 лет, с 5 в. по 15в..Она мало что дала не
только науке, но и практической механике.
Основные
технологические
машины
средневековья – сукновальни, мельницы для
изготовления пеньки, железоделательные
мельницы (по сути кузнечный молот). В 12
–13
в.
распространяются
бумагоделательные, лесопильные мельницы,
они применяются с целью замены
физической силы человека. В 15 в. было
изобретено
книгопечатание.
Первым
печатным станком был винтовой пресс.
Мельница с коленчатым
Со второй половины 15 в. начинается
валом
эпоха Ренессанса. «Это был величайший
прогрессивный
переворот
из
всех
пережитых до того времени человечеством, - писал Энгельс, - эпоха, которая
нуждалась в титанах и которая породила титанов по силе мысли, страсти и
характеру, по многосторонности и учености… Тогда не было почти ни одного
крупного человека, который не совершил бы далеких путешествий, не говорил
3
бы на четырех или пяти языках, не блистал бы в нескольких областях
творчества. Леонардо да Винчи был не только великим живописцем, но и
великим математиком, механиком и инженером, которому обязаны
важнейшими открытиями самые разнообразные отрасли физики…».
В области механики Леонардо первым исследовал полет птиц и
приблизился к созданию аппарата тяжелее воздуха. Он создал много
Проект экскаватора (Леонардо да Винчи)
различных схем машин, он изучал трение и понял невозможность вечного
двигателя за 300лет до того, как это было доказано. В годы деятельности
Леонардо да Винчи уже бытовало слово «инженер», которое обозначало
строителя военных машин и фортификаций.
Великие географические открытия 15 – 16 в. вызвали приток золота в
Европу. Оживилась коммерческая деятельность, развиваются ростки
капиталистической мануфактуры в недрах цеховых ремесел. Мануфактура не
могла обойтись без развитой механической техники. Наряду с известными
возникают новые механизмы, происходит усложнение машин. Этот период
совпадает с периодом революции в науке. Он начался с открытий Коперника,
«остановившего Солнце и сдвинувшего Землю».
Революция в науке обязана деятельности большого числа ученых, среди
которых наиболее выдающимися были Кеплер, Бэкон, Галилей, Декарт,
Гюйгенс, Гук, Ньютон, Лейбниц. Значение И.Ньютона для дальнейшего
развития науки огромно. Его труд «Математические основания натуральной
философии» (1687 г.) как бы завершил научную революцию и явился основой
для создания не только ньютоновской механики, но и нового миропонимания.
Ее значение для техники и по сей день остается непоколебимым.
За революцией в науке последовала революция в технике. В 30-х годах
18 века в Англии изобрели технологические машины, которые смогли
заменить уже не только физическую силу человека, но и его руки. Так, в 1735
г. была изобретена прядильная машина. Появление технологических машин
заставило подумать об универсальном двигателе. Это привело к изобретению
паровой машины. Джеймс Уатт после большой серии экспериментов
4
усовершенствовал паровую машину. Производство паровых машин в конце 18
в. стало государственным секретом Англии и вывоз их был запрещен.
Строительством паровых машин стали заниматься и в других странах.
Прядильная машина (Кромптон)
Справедливость требует отметить, что первыми изобретателями паровых
машин были И.Ползунов (1765г.) и Т.Ньюкомен ( 1722 г.).
Паровая машина позволила строить предприятия не только на берегах
рек. Началось использование машин для производства самих машин. Началось
развитие механического транспорта: локомотивов, пароходов.
Одновременно происходит становление механики машин как науки
первые курсы – Ж.Ашетт «Элементарный курс машин», Р.Виллис «Принципы
механизмов». Большой вклад внесли Г.Кориолис, Ж.Понселе (Франция),
Паровая машина (Уатт)
П.Л.Чебышев, Н.Е.Жуковский (Россия), Ф.Рело, Л.Бурмейстер (Германия).
На протяжении 25 лет (1890 – 1915 г.) техника решила задачи
эпохального значения: создан двигатель Дизеля, созданы паровые турбины,
изобретен автомобиль, изобретено радио, началось развитие авиации,
усовершенствовал машины для обработки металлов.
Основателем русской школы теории механизмов и машин является
замечательный математик, академик П.Л.Чебышев, В теоретическом плане
П.Л.Чебышев занимался проблемами синтеза механизмов, тесно связав их
решение с созданной им теорией приближения функций. Кроме того, известен
ряд замечательных изобретений П.Л.Чебышева, относящихся к практической
механике: приближенное прямило, паровая машина, центробежный регулятор,
самокатное кресло, «стопоход» - предшественник шагающих механизмов.
5
Значительный этап в развитии теории трения в механизмах составили
труды проф. Н.П.Петрова. Основоположником теории автоматического
регулирования является проф. Н.А.Вышнеградский, Большой вклад в
развитие теории механизмов внес «отец русской авиации» проф.
Н.Е.Жуковский. Им, в частности, предложен способ силового исследования,
изучаемый в настоящем курсе механизмов, носящий название теоремы о
жестком рычаге. Идеи проф. Ассура, относящиеся к структуре механизмов,
позволили создать современную классификацию рычажных механизмов.
Наиболее значительный вклад в развитие теории механизмов и машин
внес академик И.И.Артоболевский. Им, например, создан первый учебник по
ТММ. Составлен многотомный справочник «Механизмы в современной
технике», являющийся своего рода энциклопедией по механизмам.
1 ОСНОВЫ СТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА МЕХАНИЗМОВ
1.1 Основные понятия курса теории механизмов и
машин
Само название курса указывает на то, что делается различие между
понятиями «механизм» и «машина». Содержание этих понятий изменялось в
процессе развития техники. К настоящему времени утвердились следующие
определения:
«Машина есть устройство, выполняющее механические движения для
преобразования энергии, материалов и информации с целью замены или
облегчения физического и умственного труда человека».
«Механизм есть система тел, предназначенная для преобразования
движения одного или нескольких тел в требуемое движение других тел»
Из этих определений следует, что в машине происходит преобразование
энергии, материалов или информации, а в механизме – только преобразование
параметров или одного вида механического движения в другой. Как правило
механизмы входят составными частями в машину, так что понятие «машина»
является более широким, чем «механизм».
Машины принято делить на энергетические, технологические,
транспортные, информационные, машины-автоматы, манипуляторы. К
энергетическим машинам относят электродвигатели, турбины, двигатели
внутреннего сгорания, паровые машины; к технологическим –
металлорежущие станки, машины текстильного производства, т.е. все те
устройства, посредством которых выполняются преобразования материалов; к
транспортным машинам – автомобили, самолеты, локомотивы, подъемные
краны, лифты; к информационным – устройства для переработки
информации, например механические калькуляторы, дифференцирующие и
интегрирующие устройства а также современные компьютеры; к машинам–
автоматам относятся устройства, в которых преобразование энергии,
материалов или информации осуществляется без участия человека; к
6
манипуляторам относятся устройства, воспроизводящие двигательные
функции человеческих рук.
В зависимости от того, в каком виде существуют тела передающие
движение – твердом, жидком или газообразном, механизмы принято делить
на механизмы с твердыми звеньями, гидравлические и пневматические
механизмы. В курсе ТММ рассматривается только первый тип
механизмов, гидравлические и пневматические механизмы подробно
изучаются в специальных курсах.
Познакомимся с некоторыми основными понятиями и определениями
ТММ.
Звеном называется одна или несколько жестко связанных между собой
деталей, Под деталью понимается отдельно изготавливаемая часть механизма.
Все детали, входящие в звено, движутся как одно целое.
Звено, относительно которого изучается движение остальных звеньев
механизма, называется стойкой. Пользуясь языком теоретической механики,
можно сказать, что со стойкой связана система координат, относительно
которой рассматривается движение остальных звеньев механизма
Входным звеном называется звено, которому сообщается движение,
преобразуемое затем в требуемые движения других звеньев. Выходным
звеном называется звено, которое совершает движение, для которого и
предназначен механизм. Чаще всего применяют механизмы с одним входным
и одним выходным звеном, но бывают механизмы и с большим числом таких
звеньев – их называют дифференциалами. Входное звено соединено с
двигателем, выходное – с рабочим органом машины. Остальные звенья,
участвующие в передаче движения называются промежуточными.
Фундаментальным понятием ТММ является понятие «кинематическая
пара». Теорию механизмов иногда даже называют теорией кинематических
пар.
Кинематической парой называется соединение двух звеньев,
допускающее их относительное движение. Следует подчеркнуть, что
кинематическая пара это не два звена, как воспринимается это в тривиальном
смысле, а одно соединение. В этом источник многих ошибок, совершаемых
студентами, при структурном анализе механизмов. Точки, линии, поверхности,
по которым происходит соприкосновение звеньев в кинематической паре,
называются элементами кинематической пары.
Структурной схемой механизма называется упрощенное графическое
изображение механизма, на котором звенья условно изображаются отрезками
прямых, треугольниками, прямоугольниками, окружностями и обозначаются
арабскими цифрами, а кинематические пары условно изображаются согласно
принятым правилам и обозначаются большими латинскими буквами. Имеется
соответствующий стандарт, регламентирующий
условные изображения
звеньев на схемах.
Кинематической схемой называется структурная схема, построенная с
соблюдением относительных размеров звеньев в некотором масштабе, Следует
различать структурную и кинематическую схему - часто эти понятия путают.
7
Есть еще одна схема – конструктивная. Это изображение механизма с
соблюдением основной формы деталей и относительных размеров, часто
изображение в аксонометрии.
1.2 Виды и классификация кинематических пар
Как известно из теоретической механики, свободное твердое тело,
находящееся в трехмерном пространстве обладает 6-ю степенями свободы, т.е.
может совершать 6 независимых движений: 3 поступательных вдоль
выбранных осей и 3 вращательных вокруг этих же осей. Величины
соответствующих перемещений называют обобщенными координатами
тела. Если такое тело связать с другим телом посредством кинематической
пары, то это уменьшит его число степеней свободы на число связей
(запрещений), налагаемых другим телом. Число связей определяется видом
кинематической пары.
Основные виды кинематических пар и их условные изображения
представлены на рис.1.1. Простейшие пары, поступательная и вращательная,
накладывают 5 условий связей, оставляя возможным только одно
поступательное или одно вращательное движение относительно оси пары.
Класс
Схема
Условное обозначение
3
4
5
5
4
5
Рис. 1.1
Условие связи, как известно, выражается уравнением относительно
обобщенных координат. Кинематические пары принято делить по числу
уравнений связей на классы от 5-го до 1-го. Иногда их различают по числу
степеней свободы на одно-, двух-, трех-, четырех-, и пяти-подвижные.
Подвижность и класс каждой пары в сумме равны 6, т.е. числу степеней
8
свободы свободного твердого тела. Таким образом класс и подвижность по
разному характеризуют одно и то же свойство.
Кинематические пары по характеру движения делятся на плоские и
пространственные. В плоских парах относительное движение происходит в
плоскости (вращательная, поступательная).
По форме элементов (см. выше) кинематические пары делятся на
низшие и высшие. В низших парах элементами служат поверхности:
плоскости, цилиндрические и сферические поверхности. В высших парах
элементами являются точки и линии. Достоинство низших пар – повышенная
долговечность соединения благодаря небольшим удельным нагрузкам на
поверхность. В высших парах соприкосновение звеньев происходит на
небольших площадках, что ведет к их ускоренному износу. Посредством
низших пар можно осуществлять относительно простые движения, высшие
пары представляют в этом отношении большие возможности.
1.3
Кинематическая
соединение
цепь.
Кинематическое
Кинематическая цепь - это система звеньев, образующих между собой
кинематические пары. В зависимости от того, какие кинематические пары
присутствуют в цепи и как они расположены, различают плоские и
пространственные кинематические цепи. В плоской кинематической цепи
все звенья движутся в одной или параллельных плоскостях (рис.1.2а.).
Кинематическа
я цепь, звенья
которой
образуют
замкнутый
контур,
называется
замкнутой
(рис.1.2б), если
контур
не
замкнут, цепь
Рис.1.2
называется
незамкнутой или открытой (рис.1.2в). В традиционных механизмах обычно
используются замкнутые кинематические цепи, незамкнутые цепи находят
применение только в манипуляторах. Механизм – это кинематическая цепь, в
которой указаны стойка, входные и выходные звенья.
9
На
основе
кинематических
цепей
можно
получать не только
механизмы, но и
устройства,
заменяющие
некоторые
кинематические
пары,
так
называемые
кинематические
соединения
(рис.1.3). Шарикоили
роликоподшипник
эквивалентен
Рис.1.3
вращательной
паре. Роликовые направляющие заменяют поступательную пару. Винтовая
пара качения заменяет обычную винтовую пару. Карданный шарнир, он же
называется шарниром Гука или универсальным шарниром, заменяет
сферическую пару с пальцем. Если вилку снабдить еще одной вращательной
парой получим аналог сферической пары. Крестовое соединение допускает два
поступательных движения без вращения.
1.4 Число степеней свободы механизма
Кинематическая цепь составляет основу каждого механизма. Важнейшей
характеристикой кинематической цепи является число степеней свободы. В
теоретической механике под числом степеней свободы понимается число
обобщенных координат, т.е. независимых между собой параметров,
определяющих положение системы в выбранном пространстве. Обобщенными
координатами механизма называются независимые между собой
координаты, заданием которых определяется положение всех звеньев
относительно стойки. Число обобщенных координат механизма равно его
числу степеней свободы или по другой терминологии – степени
подвижности механизма.
Пусть кинематическая цепь содержит n звеньев. До того как они были
соединены посредством кинематических пар, система из n звеньев имела 6n
координат. Каждая кинематическая пара класса m дает m уравнений связей
относительно координат. Разность между числом координат и числом
уравнений связей дает число независимых координат:
W= 6n - 5p1 - 4p2 - 3p3 - 2p4 - p5
Здесь
(1.1)
W – число степеней свободы механизма,
n – число подвижных звеньев,
10
p1 – число пар 5-го класса (одноподвижных),
р2 – число пар 4-го класса,
р3 – число пар 3-го класса и т.д.
Эта формула известна как формула Сомова-Малышева. Для плоского
механизма аналогичные рассуждения приводят к формуле Чебышева:
Рис1.4
W = 3n – 2p1 – p2
(1.2)
на рисунке 1.4 представлены примеры кинематических цепей с
различными степенями подвижности.
Звенья, которым приписываются обобщенные координаты, называются
начальными. Обычно они совпадают с входными звеньями, однако есть
случаи, когда за начальное звено принимают выходное или даже
промежуточное – это упрощает исследование механизма. Число степенй
свободы механизма определяет число начальных звеньев. Чаще всего
применяют механизмы с W = 1.
В механизмах с простой замкнутой кинематической цепью и
одноподвижными парами число подвижных звеньев на единицу меньше числа
. Для пространственного механизма с одноподвижными парами из формулы
Сомова-Малышева следует
1 = 6n – 5p1
(1.3)
а)
б)
в)
г)
Рис.1.5
д)
11
Уравнен
ие
(1.3)
удовлетворяет
ся при n = 6.
Такой
механизм
называется
пространств
енным
семизвеннико
м (рис.1.5а).
При
некоторых
частных
соотношениях
размеров звеньев возможны пространственные механизмы с одноподвижными
парами с меньшим числом звеньев: четырехзвенный механизм Беннета
(рис.1.5б), шестизвенный механизм Турбула (1.5в), сферический
четырехзвенник (1.5г).
В механизмах могут встречаться избыточные связи. Избыточными
называются такие связи, устранение которых не увеличивает числа степеней
свободы механизма. Например, в механизме на рис.1.5д звено 4 может быть
удалено, что не отразится на подвижности механизма. Избыточные связи
делают механизм более жестким, однако требуют повышенной точности
изготовления. В плоских механизмах избыточные связи возникают из-за
неточности изготовления звеньев, приводящей к неплоскостности схемы.
Избыточные связи в механизмах устраняются путем изменения подвижности
кинематических пар.
1.5 Классификация плоских механизмов с низшими
парами
Механизмы с низшими парами находят широкое применение в технике.
Их принято называть рычажными. Ограничимся пока изучением плоских
рычажных механизмов. Рассмотренный ранее четырехзвенный механизм
(рис.1.4) является простейшим из них. Более сложные механизмы можно
получать, используя метод наслоения групп звеньев.
Каждый механизм с
W=1 можно рассматривать состоящим из
механизма 1-го класса и присоединенных к нему структурных групп.
Под механизмом 1-го класса понимается начальное звено со стойкой.
Механизм 1-го класса имеет W=1.
Структурной (ассуровской) группой называется такая группа звеньев,
которая, будучи присоединенной к стойке, образует кинематическую цепь с
W=0. Отсюда следует, что
0= 3n – 2p1
(1.4)
Уравнение (1.4) есть уравнение структурной группы. Его можно
представить в виде:
P1 = 1.5n
(1.5)
Откуда следует, что в структурной группе число звеньев четное, а число
кинематических пар в 1.5 раза больше числа звеньев. Задаваясь разным n,
можно получить бесконечно большое число решений (рис.1.6). Практическое
значение имеют только два первых решения. Им соответствует
двухповодковая группа (диада), и трехповодковая группа (трехповодок).
Диада содержит два звена и три кинематические пары. Трехповодок содержит
четыре звена и шесть кинематических пар. За счет разного сочетания
вращательгых и поступательных пар возникают модификации групп.
12
n
p
2
3
4
6
6
9
Рис.1.6
По предложению академика И.И.Артоболевского группам и механизмам
присвоены классы. Класс группы равен числу кинематических пар, входящих
в замкнутый контур, образованный внутренними парами. На этом основании
диаду считают группой 2-го класса, а трехповодок – 3-го класса. Класс
механизма равен классу старшей группы.
Основное свойство групп состоит в том, что она не изменяет степени
подвижности кинематической цепи, к которой она присоединяется.
Последовательно наслаивая группу за группой, можно получить разные
механизмы. Практическое применение находят механизмы 2-го и реже – 3-го
класса.
1.6
Разновидности
механизмов
четырехзвенных
рычажных
В
технике наибольшее распространение получили
плоские
четырехзвенные механизмы. Они образуются путем присоединения к
механизму 1-го класса диады. Известно пять модификаций диады,
соответственно этому имеются модификации четырехзвенных механизмов,
представленные на рис.1.7.
13
1-ая мод.
2-ая мод.
3-я мод.
4-ая мод.
5-ая мод.
Рис.1.7
Механизм 1-ой модификации – шарнирный четырехзвенник. Он
применяется для изменения параметров вращательного движения или для
воспроизведения сложных траекторий. В зависимости от соотношения
размеров стойки и остальных звеньев возможны три разновидности
шарнирного четырехзвенника: кривошипно-коромысловый механизм,
двухкривошипный механизм, двухкоромысловый. Звеньям этих механизмов
присвоены специальные названия: кривошип – звено, совершающее полный
поворот, коромысло – звено, совершающее неполный поворот, шатун – звено,
не образующее кинематических пар со стойкой.
Механизм 2-ой модификации – кривошипно-ползунный. Он
применяется для преобразования вращательного движения в поступательное и
обратно. Ползун – звено, образующее поступательную пару со стойкой (
направляющей).
Механизм 3-ей модификации получил название кулисного. Кулисные
механизмы предназначены для изменения параметров вращательного
движения. Известны разновидности кулисного механизма: с качающейся
кулисой и вращающейся кулисой. Кулиса – звено, образующее с другим
подвижным звеном, обычно называемым камнем, поступательную пару;
Механизм 4-ой модификации получил название тангенсного
механизма, т.к. перемещение ведомого звена представляет функцию tgφ.
Механизм 5-ой модификации – синусный механизм, т.к. перемещение
ведомого звена реализует функцию sinφ. Присоединяя диаду 5-ой
модификации к механизму 1-го класса другим способом, можно получить
механизм Ольдгейма (крестовую муфту), который находит применение для
передачи движения при несоосных валах.
14
1.7 Зубчатые, кулачковые, фрикционные механизмы.
Зубчатым называется механизм, в состав которого входят зубчатые
колеса, т. е. звенья с периодически чередующимися выступами (зубьями) и
впадинами. Зубья двух колес образуют высшую пару, т.к. касание происходит
в точке или по линии вдоль зуба. На схемах зубья не показываются, а зубчатое
колесо изображается, так называемой, начальной окружностью. Зубчатые
механизмы входят в состав почти каждой достаточно сложной машины.
Назначение зубчатых механизмов – уменьшение или увеличение угловой
скорости и крутящего момента. Зубчатые механизмы, уменьшающие скорость,
называются редукторами. Редукторы применяются в силовых передачах.
Механизмы, увеличивающие скорость, называются мультипликаторами.
Обычно они используются в приборах для увеличения точности отсчета. В
а)
б)
г)
в)
Рис.1.8
зависимости от схемы зубчатые механизмы делятся на: зубчатые ряды и
планетарные механизмы (рис.1.8а, б). Иногда зубчатые механизмы
комбинируют с рычажными (рис.1.8в), в таком случае их называют зубчаторычажными.
Кулачковым механизмом называется механизм, в состав которого
входит кулачок, т.е. звено с переменной кривизной рабочей поверхности
(рис.1.8г). Выходное звено кулачкового механизма называется толкателем
или колебателем. Кулачок с выходным звеном образует высшую,
кинематическую пару. Посредством кулачкового механизма можно
осуществить движение по заданному закону, причем синтез таких механизмов
относительно несложен.
15
Механизмы, в которых для передачи движения используются силы
трения, называются фрикционными. Такие механизмы удобно применять в
тех случаях, когда требуется плавно регулировать скорость выходного звена.
Их
а)
в)
б)
д)
г)
Рис.1.9
называют вариаторами. Известны дисковые (рис.1.9а), торовые (рис.1.9б),
валиковые (рис.1.9в) и другие фрикционные вариаторы. Мощность,
передаваемая фрикционными механизмами, невелика. К фрикционным
механизмам относятся механизмы, в которых используются гибкие звенья
типа ремней, канатов, нитей. Характерный пример представляет механизм,
называемый «ролямит» (рис.1.9г).
Сравнительно недавно (в 1955 г.) была изобретена волновая передача,
которая сейчас пользуется большой популярностью (рис.1.9д). Она во многом
подобна планетарному механизму, однако работает на эффекте деформации
упругого звена. Известны зубчатые, винтовые, фрикционные волновые
передачи.
16
2 КИНЕМАТИКА МЕХАНИЗМОВ
2.1 Задачи кинематики механизмов
Кинематика – раздел механики, изучающий движение без учета
причин, вызывающих движение. По своему содержанию она является
геометрией движущихся тел. Для характеристики движения используются
кинематические параметры: перемещение, скорость и ускорение.
Соответственно различают задачи о положениях, о скоростях, об ускорениях.
Наибольшую сложность представляет задача о положениях механизма,
несмотря на то, что она чисто геометрическая. Именно сложность решения
этой задачи определяет основные трудности при изучении механики машин.
Решение указанных задач не является самоцелью – они необходимы для
последующего полного исследования механизма. Кроме того, кинематика
представляет хотя и первую, но важнейшую часть механики машин. В
простейших случаях при первоначальном изучении машин можно
ограничиться только кинематикой.
Кинематика механизмов в настоящее время изучена достаточно хорошо.
Все существующие методы можно разделить на: графические и
аналитические. Графические методы характеризуются простотой
реализации и наглядностью, однако недостаточно точны. Они находят
применение на начальных стадиях исследования или для контроля
правильности результатов, полученных другими методами. Основным
методом для решения инженерных задач является аналитический метод. Он
находит широкое применение благодаря распространению вычислительной
техники. Метод позволяет получить обширную и точную информацию.
В настоящем разделе изучаются графические методы: метод планов и
метод кинематических диаграмм, находящие применение в курсовом
проектировании, и аналитический метод – метод преобразования координат.
Все методы относятся к механизмам 2-го класса.
2.2 План положений механизма
План положений механизма представляет графическое изображение
механизма с соблюдением масштаба при заданных значениях обобщенных
координат.
Всякое графическое построение начинается с выбора масштабного
коэффициента. Масштабный коэффициент – это отношение истинного
значения параметра к длине отрезка, изображающего его на чертеже. Истинное
значение параметра берется в свойственных ему единицах измерения, а длина
отрезка – в миллиметрах. Здесь используются масштабные коэффициенты
длин kl, скоростей kv, ускорений ka. Если, например, обозначить длину
кривошипа lOA, скорость точки А – VA, ускорение точки А – aA, а длины
отрезков их изображающие на чертеже ОА, pa, πa, то
ķl = LOA/ OA,
kv = Va / pa,
17
ka = aa/πa
Построение плана положений методом засечек производится в
следующей последовательности:
1
1 Наносятся неподвижные точки механизма (О и С на рис.2.1).
2
2
Строится положение начального звена ОА, соответствующее
заданной обобщенной координате.
3
3
Строятся линии возможных положений точек или звеньев
механизма (дуги радиусов ВА и ВС).
4
4
Точки пересечения линий соединяются с другими точками
механизма (линии ВА и ВС).
На рис.2.1 имеются две точки пересечения, соответствующие двум
возможны
м
а
)
б
)
положени
ям
механизма
.
Практичес
ки,
исключая
частные
случаи,
возможен
Рис. 2.1
только
один вариант – он определяется сборкой механизма, прямой или обратной.
Отмеченное обстоятельство служит геометрической иллюстрацией того, что
аналитическое решение задачи о положении такого механизма сводится к
квадратному уравнению, имеющему два решения.
Задаваясь разными значениями обобщенной координаты φ, построим
план положений механизма. Если соединить одноименные точки в разных
положениях механизма плавной кривой, получим их траектории – линии
движения точек. Точки на шатуне дают «шатунные кривые», отличающиеся
чрезвычайным разнообразием при различных размерах механизма (рис.2.1 б).
2.3 Основные кинематические соотношения
Напомним основные кинематические соотношения, известные из курса
теоретической механики. Они лежат в основе построения планов скоростей и
планов ускорений.
Плоским или плоскопараллельным называется движение, при котором
векторы скоростей и ускорений всех точек параллельны одной плоскости.
Поступательным называется движение, при котором траектории,
скорости и ускорения всех точек этого тела одинаковы и тело движется без
поворота (рис.2.2 а).
18
V1 = V2 = V3 = VA =VB,
a 1 = a2 = a3 = aA = aB
Ч
астны
й
случа
й
посту
пател
ьного
движе
ния –
прям
олине
йное
Рис.2.2
движ
ение.
Траектории точек в этом случае прямые линии. Такое движение, например,
совершает ползун относительно стойки, камень относительно кулисы. Другой
частный случай – круговое поступательное движение. Здесь траектории всех
точек –окружности. Так движется шатун шарнирного параллелограмма
(рис.2.2 б).
Вращательным называется движение, при котором одна точка тела
неподвижна относительно выбранной системы отсчета (рис.2.3 а). Для
скорости и ускорения точки во вращательном движении установлены
следующие соотношения:
VA = ω LOA,
aA = aAn + aAτ
AA = ω2 LOA,
aAτ = ε LOA,
aA
=
LOA
(ω4+ε2)
Направление
скорости
перпендикулярно
радиус-вектору точки
А и направлено в
сторону
угловой
скорости
ω.
Нормальное ускорение
направлено
к
Рис.2.3
неподвижной
точке,
центру вращения, касательное ускорение перпендикулярно нормальному
ускорению и направлено в сторону углового ускорения ε. Вращательное
движение совершает кривошип, зубчатые колеса, катящееся по направляющей
колесо (рис.2.3 б,в,г).
19
Сложным называется движение, которое является результатом
сложения переносного и относительного движения (рис.2.4). Скорость точки в
сложном движении определяется на основании теоремы о сложении
скоростей: скорость точки равна геометрической сумме переносной и
относительной скорости
Рис.2.4
VA = VE + VR
Под переносной скоростью понимается скорость той точки
переносной системы, которая лежит под точкой А. Такая точка отмечается
штрихом (А΄). Точка А΄ движется вместе с переносной системой.
Под относительной скоростью понимается скорость точки А
относительно точки А΄. На основании введенных определений
вышеприведенную формулу можно записать так:
VA= VA' + VAA'
(2.1)
Ускорение, в сложном движении определяется на основании теоремы о
сложении ускорений (теоремы Кориолиса):
Ускорение точки равно геометрической сумме переносного
ускорения, относительного ускорения и кориолисового ускорения,
называемого также поворотным или добавочным
aA = aE + aR + aK
Под переносным ускорением понимается ускорение точки А', под
относительным – ускорение точки А относительно точки А'. Тогда формулу
для ускорения можно представить так
aA = aA' + aAA' + aK
Кориолисово ускорение вызвано с одной стороны изменением
направления вектора относительной скорости из-за поворота переносной
системы, с другой – изменением величины вектора переносной скорости из-за
20
перемещения точки А' в результате относительного движения. Величина
кориолисова ускорения для плоского движения определяется по формуле:
ak = 2 ω VAA'
(2.2)
где ω - угловая скорость переносной системы
Из формулы (2.2) следует, что aK = 0, если ω=0 или VAA' = 0.
Направление кориолисова ускорения находится по правилу Жуковского:
вектор относительной скорости VAA' следует повернуть на 90˚ в сторону
вращения переносной системы.
Приведенные выше формулы находят применение при анализе сложного
движения кулисного камня. Переносное движение осуществляет кулиса;
относительное движение есть прямолинейное движение камня по
направляющей кулисы (рис.2.4 б).
В частном случае, когда переносное движение поступательное, а
относительное – вращательное, формулы (2.1) и (2.2) упрощаются. В силу
свойств поступательного движения VA = VB, aA' = aB, кроме того aK = 0, тогда
VA= VB + VAB,
aA= aB + aAB
(2.3)
Этот известный результат в теоретической механике формулируется так:
скорость точки равна геометрической сумме скорости полюса и скорости
движения относительно полюса, аналогичные утверждения можно
сделать и для ускорения.
Формулы (2.3) применяются только в том случае, когда можно указать
полюс относительного вращательного движения. Например, в шарнирном
четырехзвеннике (рис. 2.4 б) движение точки А можно рассматривать
состоящим из движения полюса (точки В) и относительного движения точки А
вокруг точки В.
2.4 Метод планов скоростей и ускорений. План
скоростей шарнирного четырехзвенника
Планом скоростей звена называется плоский пучок лучей,
изображающих в масштабе абсолютные скорости точек звена; отрезки,
составляющие концы лучей изображают относительные скорости точек.
Совокупность планов скоростей звеньев с общим полюсом называется планом
скоростей механизма.
Построим план скоростей шарнирного четырехзвенника (рис.2.5 а).
Определим скорость точки А кривошипа по формуле VA=ω1LOA. Выберем
масштабный коэффициент плана скоростей kV. и изобразим скорость точки А в
масштабе лучом pa, проведенным из полюса p в направлении скорости. Для
определения скорости точки В запишем уравнение, аналогичное уравнению
(2,3):
VB =VA + VBA
(2.4)
21
Рис.2.5
В этом уравнении две неизвестных: величина скорости VBA и величина
скорости VB. Такое векторное уравнение решается, т.к. оно эквивалентно двум
скалярным уравнениям с двумя неизвестными. На рис.2.5 представлено
графическое решение векторного уравнения (2.4). Полученное построение
представляет план скоростей, т.к. соответствует приведенному выше
определению.
План скоростей обладает рядом свойств:
1
1
(Свойство подобия). Фигура на плане скоростей, образованная
векторами относительных скоростей, подобна и сходственно расположена
по отношению к фигуре на звене, образованной соответствующими точками.
Если, например, на звене АВ находится точка К, то треугольник АВК должен
быть подобен треугольнику авк на плане скоростей. Это свойство
доказывается на основании того, что векторы относительных скоростей ав,
ак и вк перпендикулярны отрезкам АВ, АК и ВК и следовательно треугольники
авк и АВК имеют равные углы. Сходственность расположения состоит в
одинаковом порядке обхода вершин треугольников АВК и авк. Свойство
подобия позволяет найти скорость любой точки звена, если известны
скорости двух точек этого звена. Для этого достаточно построить фигуру
на плане скоростей подобную и сходственно расположенную по отношению к
фигуре на звене.
2
2 По плану скоростей можно найти угловую скорость звена. Для
этого следует воспользоваться соотношениями, например, такого вида:
ω2 = VBA/LBA = kvba/LBA
Направление угловой скорости определится, если перенести вектор
относительной скорости в соответствующую точку звена. Направление
относительной скорости показывает направление угловой скорости.
2.5 ПЛАН УСКОРЕНИЙ ШАРНИРНОГО ЧЕТЫРЕХЗВЕННИКА
22
Планом ускорений звена называется плоский пучок лучей,
изображающих в масштабе абсолютные ускорения точек звена. Отрезки,
соединяющие концы этих лучей изображают относительные ускорения.
Совокупность планов ускорений звеньев образуют план ускорений
механизма.
Ускорение точки А складывается из касательного и нормального
ускорения, определяемых по формулам aAn = ω12LOA и aAτ = ε1LOA. Из полюса
π отложим отрезки nA и τA, изображающие в масштабе aAn и aAτ. Для точки В
запишем уравнение
aB=aA+ aB
(2.5)
aBn+ aBτ= aA+ aBAn+ aBAτ
В этом уравнении известны только величины касательных ускорений aBτ
и aBAτ. Нормальные ускорения определяются по формулам aBn = ω32LBC, aBAn =
ω22LBA. Угловые скорости ω3 и ω2 находятся на основании построенного ранее
плана скоростей. Из конца вектора τA откладывается вектор nBA, а затем через
его конец проводится линия направления вектора τBA. Из полюса π
откладывается вектор nB и затем через его конец проводится линия
направления вектора τB, Пересечение линий τBA и τB определит точку b.
Выполненное построение является графическим решением векторного
уравнения (2.5).
Свойства плана ускорений.
1. 1. Свойство подобия, Фигура на плане ускорений, образованная векторами
относительных ускорений, подобна и сходственно расположена по
отношению к фигуре на звене, образованной соответствующим точками.
Доказательство этого свойства основано на том, что относительные
ускорения точек одного звена, а следовательно и соответствующие отрезки
на плане ускорений пропорциональны расстояниям между этими точками на
звене. Треугольники с пропорциональными сторонами подобны. Свойство
подобия позволяет по известным ускорениям двух точек звена найти
ускорение любых других точек.
2. 2. По плану ускорений можно найти угловое ускорение звена. Для этого
следует
воспользоваться
известными
соотношениями
между
касательным и угловым ускорениями. Например, для звена 2
ε2 = aBAτ/LBA = kaτBA/LBA
Для определения направления ε2 следует перенести aBAτ в точку В.
Направление касательного ускорения показывает направление углового
ускорения. Кривошипно-шатунный механизм можно рассматривать как
частный случай шарнирного четырехзвенника, у которого коромысло имеет
бесконечно большую длину, вследствие чего траектория движения точки В –
прямая линия. Планы скоростей и ускорений кривошипно-ползунного
механизма строятся аналогично, но несколько проще.
2.6 ПЛАНЫ
МЕХАНИЗМА
СКОРОСТЕЙ
И
23
УСКОРЕНИЙ
КУЛИСНОГО
Построение плана скоростей кулисного механизма (рис.2.6)
начинается со скорости точки А. Движение точки А можно рассматривать как
сложное, происходящее за счет переносного вместе с кулисой 3 и
относительного за счет движения камня по кулисе. Тогда справедливо
следующее уравнение:
VA=VA+ VAA
(2.6)
Где A - точка, принадлежащая переносной системе, кулисе, лежащая под
точкой A. В этом уравнении неизвестны величины векторов VA и VAA.
Направление
вектора
VA
перпендикулярно
кулисе,
направление
вектора VAA вдоль
кулисы.
Графическое
решение
векторного
уравнения
(2.6)
представлено на
рис.2.6. Скорость
точки Д находится
на
основании
свойства подобия,
которое в данном
случае выражается
в пропорции
Рис.2.6
CD/CA
=
откуда pd = (CD/CA)pa
pd/pa
Для ускорения точки А в сложном движении следует записать
уравнение:
aA = aA' + aAA' + aK = aAn + aAτ+aAA'+aK
В этом уравнении
aAn = ω32LAC
aK = 2ω3VAA
Кроме того известны направления всех векторов, неизвестны величины
векторов aAτ, aAA.
Построение плана ускорений производится в следующем порядке. Из
полюса π откладывается вектор πa , изображающий ускорение точки А. Затем
из полюса строится вектор nA, а из его конца – линия направления вектора τA.
Поскольку пока неизвестно из какой точки следует строить вектор
относительного ускорения rAA перейдем к построению кориолисова ускорения.
Вектор k, изображающий aK на плане ускорений, замыкает построение,
приходя в точку а. Исходя из этого, находится начало вектора k. Через эту
точку проводится линия направления вектора относительного ускорения.
24
Пересечение линий rAA и τA определяет точку a. План ускорений кулисного
механизма построен.
Планы скоростей и ускорений кулисного механизма с вращающейся
кулисой строятся подобным же образом (рис.2.6 б)
Многозвенные рычажные механизмы 2-го класса можно рассматривать
как комбинации простейших четырехзвенных механизмов (рис.2.6 в). Поэтому
приведенных примеров достаточно для графического исследования
большинства применяемых механизмов.
2.7 МЕТОД КИНЕМАТИЧЕСКИХ ДИАГРАММ
Рис.2.7
Второй рассматриваемый графический метод – метод кинематических
диаграмм, отличается простотой реализации, хорошо иллюстрирует связь
между кинематическим параметрами, однако дает низкую точность
результатов. Рассмотрим его на примере кривошипно-ползунного механизма
(рис.2.7).
Положение точки В при заданном значении обобщенной координаты
определяется координатой x. Если обозначить координату точки В в крайнем
положении механизма xo, то ее перемещение SB = x - xo. Перемещение
представляет функцию угла φ. Задавясь значениями этого угла, по планам
положений механизма определим перемещения S и построим график S(φ).
Поскольку φ = ωt, ось φ можно считать осью t и, следовательно, полученный
график есть график S(t). Согласно определению скорости и графическому
смыслу производной имеем:
V = dS/dt = tgαS kV,
25
Где αS – угол наклона касательной к графику S(t). Отсюда следует
способ построения графика V(t): проводятся касательные в выбранных точках
графика S(t), измеряются углы наклона αS, вычисляются тангенсы этих углов.
Аналогичным образом находится ускорение:
a = dV/dt = tgαVka
Между графиками S(t), V(t), a(t) существует связь, как между
интегральными и дифференциальными кривыми:
1
1
Экстремуму интегральной кривой соответствует ноль на
дифференциальной кривой.
2
2 Точке перегиба интегральной кривой соответствует экстремум
дифференциальной кривой.
3
3 Возрастающим значениям интегральной кривой соответствуют
положительные значения дифференциальной кривой, убывающим –
отрицательные значения.
4
4
Непосредственное применение указанного способа построения
графиков не практикуется из-за сложности точного построения
касательных. Обычно используется его модификация, носящая название
метод хорд: касательные, проведенные в точках, лежащих на серединах
выбранных участков, заменяются хордами этих участков.
Выбрав полюсное расстояние h и отложив его влево от оси ординат
графика дифференциальной кривой, получим полюс p. Из этого полюса
строятся лучи параллельные хордам участков интегральной кривой. Отрезки,
отсекаемые этими лучами на оси ординат, определяют значения производных
для середин соответствующих участков, так как они пропорциональны
тангенсам углов наклона касательных на серединах участков. Если
масштабные коэффициенты по осям графика интегральной кривой известны,
можно определить масштабные коэффициенты по осям графика
дифференциальной кривой. Рассмотрим, например, графики S(t) и V(t).
Очевидно, что:
V = yv kv = ∆S ks/∆t kt
Из подобия треугольников следует:
∆S/∆t = yv /kv
откуда после подстановки следует:
kv = kS /hvkt
Аналогичным образом выводится формула:
ka = kv/ha kt
2.8 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
26
ИССЛЕДОВАНИЯ
ОТКРЫТОЙ
Известно
довольно
много
различных
методов
аналитического
а)
б)
Рис.2.8
исследования кинематики рычажных механизмов. Рассмотрим один из них –
метод преобразования координат.
На рис.2.8
представлена плоская открытая кинематическая цепь,
составленная их трех звеньев, соединенных между собой посредством
вращательных кинематических пар. Конфигурация цепи определяется
обобщенными координатами φ1, φ2, φ3. Пусть заданы размеры звеньев (их
длины) L1, L2 и положение почки М на третьем звене. Требуется определить
положение точки М в неподвижной системе координат xy, связанной со
стойкой.
Введем подвижные системы координат ξ1η1, ξ2η2, ξ3η3, связав их с
звеньями 1, 2 и 3 как указано на рис.2.8. Воспользуемся уравнениями
преобразования координат, которые вытекают из простых геометрических
построений на рис.2.8 б:
XM = cosφ ξM – sinφ ηM + xO
YM = sinφ ξM + cosφ ηM + yO
Применив уравнения преобразования координат последовательно к
координатным системам ξ1η1, ξ2η2, ξ3η3, XY, получим систему линейных
уравнений. Решение этой простой системы не вызывает затруднений, тем
более что здесь применяется рекуррентный метод расчета. Результаты,
полученные при расчете первой пары уравнений подставляются в правую
часть второй пары уравнений и т.д. При большом числе звеньев и при
необходимости расчета большого числа положений механизма целесообразно
расчет производить на ЭВМ.
27
2.9
КИНЕМАТИЧЕСКОЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ
МЕХАНИЗМОВ
С
ЗАМКНУТЫМИ
ЦЕПЯМИ.
ПОЛОЖЕНИЯХ
РЫЧАЖНЫХ
ЗАДАЧА
О
Большинство рычажных механизмов образовано из замкнутых
кинематических цепей. Аналитическое исследование таких механизмов
представляет задачу родственную рассмотренной выше. В обоих случаях
используются уравнения преобразования координат. Из замкнутой
кинематической цепи путем размыкания одной кинематической пары
образуются две открытых кинематических цепи. Для каждой из них
составляются уравнения преобразования координат. К ним добавляются
уравнения, вытекающие из уравнений связей, налагаемых кинематическими
парами. Таким образом получается система уравнений, как правило
нелинейная, из которой отыскиваются координаты, определяющие положение
(конфигурацию) кинематической цепи.
Решаемая таким образом
задача является обратной по
отношению той, которая была
решена для открытой цепи: по
известному положению некоторой
точки или входного
звена
находятся
относительные
положения
остальных
звеньев.
Напомним, что прямая задача
состояла в определении положения
Рис.2.9
точки, принадлежащей n-ному звену
по
заданному
относительному
положению остальных звеньев.
Рассмотрим решение обратной задачи на примере плоского
шарнирного четырехзвенника (рис.2.9). Введем неподвижную систему
координат XY, связав ее со стойкой, и подвижные системы координат ξ1η1,
ξ2η2, ξ3η3, связав их с звеньями, как указано на рис.2.9. Условно разомкнем
кинематическую цепь в точке А. При заданном значении обобщенной
координаты φ3 координаты точки А находятся из уравнений:
XA = L3cosφ3 + xO
YA = L3sinφ3 + yO
Для открытой кинематической цепи ABC можно записать следующие
уравнения преобразования координат:
XA = ξA2cosφ2 + XB
YA = ξA2sinφ2 + YB
XB = ξB1 cosφ1
YB = ξB1sinφ1
28
Система состоит из 4-х уравнений с 6 неизвестными. Добавим к ней еще
два очевидных уравнения:
1 = cos2φ2 + sin2φ2
1 = cos2φ1 + sin2φ1
Полученную систему можно привести к упрощенному виду:
XA = L2 a11 + xB
(2.7)
YA = L2 a21 + yB
L1 = xB2 + yB2
1 = a112 + a212
где
a11 = cosφ1,
a21 = sinφ1
Таким образом, имеем нелинейную систему, состоящую из 4-х
алгебраических уравнений относительно a11, a21, xB, yB. Одним из возможных
путей решения является последовательное исключение из системы
неизвестных. В результате будет получено одно уравнение с одним
неизвестным:
(xA2 + yA2) a112 – 2d xA a11 + d2 - yA2 = 0
где
d = (xA2+yA2+L22+L12)/2L2
Имеем квадратное уравнение относительно a11, два решения которого
записываются в радикалах известным образом. Зная. a11 по уравнениям (2.7)
нетрудно найти a21, xB, yB.
Для решения задачи о скоростях продифференцируем исходную систему
(2.7) по времени. Будем обозначать производные по времени штрихами.
XA' = L2 a11' + xB'
(2.8)
YA' = L2 a11' + yB'
0 = xB xB' + yByB'
0 = a11a11' + a21a21'
Получена линейная система уравнений, решение которой можно
получить одним из известных методов.
Дифференцируя систему (2.8) по времени, получим линейную систему
относительно вторых производных тех же переменных, решение которой
отыскивается тем же методом.
3 ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
3.1 ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАШИН
Динамика изучает движение с учетом действия сил инерции и
инерционных свойств тел. В этом ее отличие от кинематики, которая
занимается изучением собственных свойств движения и имеет
вспомогательное значение при решении динамических задач.
29
В динамике машин, как и в общей динамике, следует различать две
задачи, прямую и обратную. Прямая задача состоит в том, что по заданным
силам находится закон движения звеньев. Обратная задача состоит в том, что
по заданному закону движения находятся силы, вызвавшие это движение. В
математическом отношении прямая задача сводится к интегрированию
дифференциальных уравнений, обратная задача – к дифференцированию или к
простому решению алгебраических уравнений.
К прямым задачам относятся рассматриваемые здесь задачи об истинном
движении механизма, о регулировании хода машины, задача о маховике, к
обратным задачам – силовое исследование механизма, уравновешивание
роторов и механизмов. Динамические задачи можно решить лишь в том
случае, если известны силы или известны движения. Поэтому в самом начале
следует четко определить тип решаемой задачи.
3.2 КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ В МЕХАНИЗМАХ
При работе на механизм действуют силы различной природы, поэтому
целесообразно произвести их классификацию.
P – движущая сила
Движущей называется сила, которая приложена к механизму со стороны
двигателя и вызывает движение механизма. Движущая сила совершает
положительную работу, так как ее направление
всегда совпадает с
направлением перемещения. Звено, к которому приложена движущая сила,
называется ведущим. Движущая сила (момент), как правило, является
функцией угловой скорости. Такая функция носит название механической
характеристики двигателя. Механическая характеристика асинхронного
двигателя и двигателя внутреннего сгорания представлены на рис 3.1.
Q – сила полезного сопротивления
Силой
полезного
сопротивлени
я называется
сила,
для
преодоления
которой
предназначен
механизм. Она
Рис 3.1
приложена к
ведомому звену со стороны внешних объектов. Природа этой силы может быть
различной: сила резания, сила трения, сила упругости, сила гидравлического
сопротивления и т.д. Работа силы полезного сопротивления всегда
отрицательна. Сила полезного сопротивления тоже может являться функцией
кинематических параметров.
F – сила вредного сопротивления.
Силами вредного сопротивления являются силы трения в
кинематических парах, силы гидравлического и аэродинамического
30
сопротивления. Работа этих сил отрицательна. При проектировании
механизмов стремятся уменьшить эти силы, однако совершенно избавиться от
них невозможно.
G - сила тяжести.
Сила тяжести выражается через массу тела по формуле G = mq. Она
приложена к телу в центре масс. Работа силы тяжести при опускании центра
масс положительна, при поднимании - отрицательна. Работа силы тяжести за
полный цикл движения механизма равна нулю.
R – сила реакции в кинематической паре.
Действие одного звена на другое проявляется в виде реакции. По своей
природе реакция является силой упругости. Согласно 3-му закону Ньютона
реакции двух взаимодействующих тел равны по величине и противоположны
по направлению. Для механизма в целом работа сил реакции равна нулю
U – сила инерции.
Объяснить сущность понятия «сила инерции» гораздо сложнее, чем все
остальных сил. В то же время это чрезвычайно важно для понимания
динамических процессов. Поэтому рассмотрим эту силу долее обстоятельно.
3.3 СИЛА ИНЕРЦИИ
Согласно 2-му закону Ньютона ускорение, сообщаемое телу,
пропорционально действующей силе, направлено по той силе и обратно
пропорционально массе тела:
a = F/m
или
F = ma
(3.1)
Этот закон справедлив только в инерциальных системах отсчета, т.е. в
системах покоящихся или движущихся равномерно, прямолинейно
относительно абсолютной мировой системы отсчета. В качестве таковой
принимают систему с началом в центре Солнца и осями, направленными на
три звезды. Земля с некоторым приближением также считается инерциальной
системой. Иногда удобно изучать движение в инерциальной системе, т.е.
движущейся относительно Земли с ускорением. Для этого случая механика
Ньютона, вообще говоря, непригодна. Однако оказалось возможным ее
исправить, введя лишь некоторые поправки. Пусть на тело массой m,
находящееся в сложном движении действует сила F. В неподвижной
(инерциальной) системе координат xy справедлив закон Ньютона:
F = ma, где a - ускорение в системе xy. С учетом кинематической
теоремы Кориолиса можно записать:
F = m ( aE + aK + aR)
Перепишем полученное выражение следующим образом:
F - m( aE + aK) = m aR
(3.2)
Эта зависимость определяет закон движения в переносной
неинерциальной системе ξη. Основываясь на аналогии с формулой (3.1), ее
можно рассматривать как закон Ньютона для неинерциальной системы. Для
этого следует рассматривать левую часть формулы (3.2) как силу. Выражение
31
U= - m ( aE + aK)
называют силой инерции. Если тело покоится в системе ξη, то
a = aR = 0, тогда
K
F - maE = 0,
F+U=0
Таким образом, мы приходим к принципу Даламбера: сумма активной
силы F и силы инерции U, приложенных к телу, равна нулю. Принцип
Даламбера позволяет динамическую задачу свести к задаче на равновесие сил,
т.е. к задаче статики.
При решении динамических задач возможны два подхода – с точки
зрения наблюдателей, находящихся в инерциальной и неинерциальной
системах. Первый наблюдатель для объяснения явления использует 2-ой закон
Ньютона, второй наблюдатель – принцип Даламбера, для чего ему нужно
дополнительно к активным силам ввести силы инерции. Оба подхода являются
справедливыми и дают правильное решение.
Рассмотрим, например круговое движение тела, закрепленного на нити
(рис. 3.2). С точки зрения наблюдателя в системе xy движение тела по
круговой
траектории
происходит
под
действием реакции
нити,
направленной
к
центру вращения и
действующей
в
соответствии
с
законом:
R = ma,
где a = ω2 R ускорение центра
тяжести тела.
R - носит
Рис 3.2
название
центростремительной силы.
Для наблюдателя, находящегося в системе ξη тело m не движется. Это
возможно только потому, что на него действуют две силы R и U, находящиеся
в равновесии. Сила инерции U называется в этом случае центробежной
силой.
Для решения обратных задач динамики более удобным является второй
подход, так как он приводит к рассмотрению условия равновесия сил. Это
объясняет причину широкого использования в технических расчетах сил
инерции.
32
3.4 СИЛЫ ИНЕРЦИИ В ПОСТУПАТЕЛЬНОМ, ВРАЩАТЕЛЬНОМ
И СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ
Пусть тело находится в поступательном движении с ускорением. На
каждую точку этого тела действуют равные и одинаково направленные силы
инерции. Имеем систему равных и параллельных сил. Как известно из
теоретической механики, такую систему сил можно привести к одной силе,
приложенной в центре масс и равной
U = - maS
Пусть тело вращается вокруг точки О с угловой скоростью ω и угловым
ускорением ε. На каждую точку этого тела действует сила инерции, которую
можно представить состоящей из касательной и нормальной составляющих
силы инерции. В теоретической механике доказывается, что такая система сил
приводится к главному вектору и главному моменту сил инерции. Главный
вектор сил инерции приложен в центре масс и вычисляется по формуле:
U = - maS,
Где aS – ускорение центра масс.
Главный момент сил инерции вычисляется по формуле:
MU = - JS ε
Где JS – момент инерции тела относительно оси, проходящей через
центр масс перпендикулярно плоскости движения. Момент инерции
вычисляется как интеграл вида:
JS = ∫ mi ρi2,
Где ρi - расстояние от точек, образующих в совокупности данное тело, до
центра масс – точки S. Момент инерции зависит как от массы, так и от формы
тела, т.е. он определяет геометрию масс. Моменты инерции тел различной
формы приводятся в справочниках. Для тела типа стержня:
JS = mL2/ 12,
где L - длина стержня,
Для диска:
JS = m R2, где R - радиус диска.
При вращательном движении возможны следующие частные случаи:
1. Вращение вокруг центра масс. В таком случае OS = 0, следовательно
U = 0, Mu = - JS ε.
2. Вращение с постоянной скоростью. В таком случае ε = 0,
следовательно Mu = 0, U = - ma
3. Вращение вокруг центра масс с постоянной скоростью. В таком случае
U = 0, Mu = 0.
Сложное движение можно представить состоящим из поступательного
вместе с центром масс и вращательного вокруг центра масс. При
поступательном движении с ускорением возникает сила инерции U = - m aS,
при вращательном движении вокруг центра масс возникает только момент сил
инерции Mu = - JS ε. Таким образом, в сложном движении, как и во
33
вращательном, имеется главный вектор сил инерции U и главный момент сил
инерции Mu.
Силу и момент можно заменить одной силой. Приложим в точке К силы
U и -U (рис.3.2) Это не изменит состояния равновесия тела. Сила - U U в точке
S образует пару сил с моментом M = U h. Если выбрать h из условия h = Mu /
U, то момент M компенсирует момент Mu и останется одна сила U ,
приложенная в точке К. Для вращающегося тела, имеющего форму стержня
длиной L, можно указать простой способ нахождения точки К. Разложим силу
U на составляющие Uτ и Un и приложим в точке К две силы Uτ и - Uτ. Для
компенсации Mu необходимо, чтобы Uτ h = M =Mu. После соответствующих
подстановок найдем
H=L/6
OK = 2 L/ 3
Силы инерции звена, совершающего пространственное движение,
сводится к главному вектору, вычисляемому как и в плоском случае по
формуле U = - m aS. И главному моменту сил инерции, который находится на
основании динамических уравнений Эйлера. Проекции главного момента на
главные центральные оси инерции звена находятся из уравнений:
Mux = - Jx εx - ( Jz – Jy) ωyωz
Muy = - Jy εz - (Jx - Jz) ωzωx
Muz = - Jz εz - (Jy - Jx) ωxωy
Где Jx, Jy, Jz — главные центральные моменты инерции звена,
ωч, ωy, ωz, εx, εy, εz, -проекции вектора угловой скорости и вектора
углового ускорения на главные центральные оси инерции.
Для того чтобы перейти от проекций на оси, связанные с телом, к
проекциям на оси xyz, можно воспользоваться матрицей перехода от
подвижных осей к осям xyz.
3.5 СИЛОВОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
КИНЕТОСТАТИКИ
МЕХАНИЗМОВ
МЕТОДАМИ
В тихоходных механизмах динамические эффекты проявляются
незначительно, поэтому усилия можно найти на основании статического
расчета, приняв во внимание только движущую силу, силы тяжести, силу
трения, силу полезного сопротивления. В быстроходных механизмах следует
учитывать динамические эффекты. Проще всего это сделать, если
воспользоваться принципом Даламбера. Для этого нужно ко всем внешним
силам добавить силы инерции и рассматривать такую систему сил
находящейся в равновесии. Такой подход называется методом
кинетостатики.
Силы инерции можно рассчитать по приведенным выше формулам.
Ускорения центров тяжести звеньев и угловые ускорения находятся на
основании кинематического анализа при заданном движении ведущего звена.
Кинетостатический расчет обычно выполняется в несколько этапов. На первом
34
этапе силами трения пренебрегают. Определив реакции в кинематических
парах, находят силы трения и повторяют расчет с учетом сил инерции.
Все многочисленные методы расчета можно разделить на:
графические, графоаналитические, аналитические. Графические и
графоаналитические методы характеризуются относительной простотой
реализации. Достоинство аналитических методов – возможность получения
большого объема информации. Вследствие сложности вычислительных
процедур расчеты выполняются на ЭВМ.
3.6
УСЛОВИЕ
СТАТИЧЕСКОЙ
КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
ОПРЕДЕЛИМОСТИ
Чтобы решить задачу силового анализа методами статики необходимо,
чтобы число уравнений было больше или равнялось числу неизвестных. Это
условие носит название условия статической определимости системы.
В качестве неизвестных сил в кинематической цепи выступают силы
реакции. Силы, действующие на каждое звено, можно свести к одной силе и
моменту, приведя их к центру кинематической пары. Разложим силу и момент
на составляющие вдоль выбранных осей пары, Получим три проекции силы и
три проекции момента.
Вращательная кинематическая пара (рис. 3.3) накладывает 5 условий
связей, разрешая вращение только вокруг одной оси. Тогда под действием
одной составляющей момента происходит движение звена, остальные
составляющие момента и силы воспринимаются связями. Таким образом, во
вращательной паре имеется 5 реакций связей.
Аналогичным образом можно установить, что в цилиндрической паре 4
Рис 3.3
реакции, в сферической – 3, цилиндр на плоскости – 2, шар на плоскости –
1.
Условие статической определимости пространственной кинематической
цепи имеет вид:
6n = 5 p1 + 4 p2 + 3p3 + 2 p4 + p5
35
Это условие соответствует уравнению пространственной ассуровской
группы.
В плоском случае во вращательной паре действует
момент и
составляющие силы по осям x и y. Под действием момента происходит
движение звена, силы воспринимаются связями. Таким образом, имеем две
неизвестных реакции. В поступательной паре под действием составляющей
силы вдоль оси x происходит движение звена, сила по оси y и момент
воспринимаются связями, т.е. здесь также две неизвестных. В высшей паре
действует только одна сила по нормали к поверхности в точке касания, т.е.
имеется одна неизвестная.
Условие статической определимости плоской кинематической цепи
3n = 2 p1 + p2
совпадает с уравнением ассуровской группы. Отсюда можно сделать
вывод, что ассуровские группы являются статически определимыми
системами. Отдельно взятое звено с вращательными парами статически
неопределимо, так как число уравнений меньше числа неизвестных. Два звена
дают 6 уравнений при 6 неизвестных благодаря тому, что внутренние
кинематические пары вносят в систему только две неизвестных. Из
изложенного следует, что для выполнения силового исследования, механизм
нужно разложить на ассуровские группы и рассматривать их равновесие по
отдельности.
3.7 МЕТОД ПЛАНОВ СИЛ
Сущность метода планов сил рассмотрим на примере механизма 2 класса
с 2-мя диадами (рис. 3.4). Приложим к механизму все заданные внешние силы:
момент силы полезного сопротивления MQ, силы тяжести звеньев Q, силы
инерции U и момент сил инерции Mu, движущую силу P. Движущую силу
примем равной уравновешивающей силе Pур. Под уравновешивающей силой
понимают силу, уравновешивающую заданные внешние силы и силы инерции,
определенные из условия равномерного вращения кривошипа. Вообще говоря,
поскольку истинное движение отличается от равномерного вращения,
постольку движущая сила отличается от уравновешивающей. Обычно
уравновешивающую силу прикладывают в конце кривошипа перпендикулярно
к нему. Уравновешивающая сила создает уравновешивающий момент
относительно точки О.
36
Рис 3.4
Задачей силового расчета является определение реакций в
кинематических парах и уравновешивающей силы.
Выделим из механизма последнюю диаду, заменив отброшенные звенья
реакциями. Условимся буквенные обозначения реакций снабжать индексами,
руководствуясь правилом: первым пишется индекс, соответствующий номеру
звена, на которое действует реакция, а вторым – индекс, соответствующий
номеру звена, со стороны которого действует реакция.
Процедура расчета выполняется по шагам в следующем порядке.
1. Запишем уравнение равновесия диады в векторной форме:
R43 + G4 + U4 + U5 + G5 + R50 = 0
Это уравнение содержит две неизвестных реакции и пока не может быть
решено.
2. Разложим реакции R43
R50 на нормальные и касательные
составляющие.
3. Запишем уравнение моментов всех сил действующих на звено 4 и
звено 5 в отдельности относительно точки Е.
M4E = 0
→R43τ;
M5E = 0
→ R50τ
В этих уравнениях по одной неизвестной R43τ и R50τ. Найдем эти
неизвестные. Если они получаются со знаком минус, то это означает, что
принятые направления найденных реакций следует заменить на обратное.
4. Возвратимся к исходному уравнению равновесия диады, переписав
его в следующей форме
R43n + R43τ + G4 + U4 + U5 + G5 + R50τ + R50τ = 0
Решим это уравнение графически. Для этого в выбранном масштабе
построим многоугольник сил таким образом, чтобы неизвестные R43n и R50n
были замыкающими этого многоугольника.
5. Для определения реакций во внутренней кинематической паре
запишем уравнение равновесия звена 4:
R43 + G4 + U4 + R45 = 0
37
В этом уравнении одно неизвестное R45. Для его определения можно не
строить отдельный векторный многоугольник, а выделить в многоугольнике
диады вектора, входящие в это уравнение, и построить замыкающий вектор.
Перейдем к исследованию диады 2-3. Изобразим ее отдельно, заменив
действие отброшенных звеньев реакциями. Расчет диады 2-3 выполняется
точно также как и диады 4-5.
Кривошип находится под действием уравновешивающей силы Pур,
реакции со стороны 2-го звена R12, реакции со стороны стойки R10. Поскольку
Pур и R12 приложены в одной точке, они дают равнодействующую, которая
уравновешивается реакцией R10. Отсюда следует, что R10 направлена по звену.
Уравнение равновесия кривошипа
P ур + R10 + R12 = 0
Из треугольника сил находятся реакции R10 и Pур.
3.8 МЕТОД РЫЧАГА ЖУКОВСКОГО
Метод рычага Жуковского представляет геометрическую интерпретацию
принципа возможных перемещений. Он применяется для плоских механизмов
и позволяет определить уравновешивающую силу без предварительного
определения реакций в кинематических парах. Принцип возможных
перемещений (принцип Даламбера – Лагранжа) находит широкое применение
в механике. Он формулируется следующим образом: работа всех активных сил
и сил инерции на возможном перемещении системы равна нулю. Этот принцип
эквивалентен закону сохранения энергии для механических систем. Он
записывается в виде
FK δ rK = 0
(3.3)
Где в левой части стоит сумма скалярных произведений векторов сил FK
на векторы возможных перемещений точек приложения этих сил δrK.
Разделим выражение (3.3) на δt:
FK δrK / δt = Fk Vk = FK VK cos ( Fk Vk)
Рассмотрим элемент плана скоростей, на котором изображена скорость
точки К . Приложим к точке К вектор FK, изображающий силу FK ,
повернутую на 90˚ относительно ее истинного направления. Из построения на
рис. 3.5 следует:
H = pk cos α = VK cos α/ kv = VK cos (FK VK)/ kv
(3.4)
Если рассматривать отрезок kp как рычаг, закрепленный в точке р, то
сила FK* создает момент:
MK = FK*h = FK*h = FK* VK cos (FK VK ) / kv
(3.5)
Из сравнения выражений (3.4) и (3.5) следует, что с точностью до
множителя kv
FK δrk / δt = MK = 0
38
Рис 3.5
Полученный результат известен как теорема Жуковского: если в
соответствующие точки плана скоростей механизма приложить все активные
силы и силы инерции повернутые на 90º в одну сторону, то сумма моментов
этих сил относительно полюса плана скоростей, рассматриваемого как
жесткий рычаг, равна нулю. На рис. 3.5 представлен пример использования
теоремы Жуковского для определения уравновешивающей силы в шарнирном
четырехзвеннике.
Для правильного учета момента М он заменен парой сил (P' = P") так,
что M = P2' LAB. Уравновешивающая сила определяется из уравнения:
Pур hур + P2'hp2' + P2 hp2" + G3 hG3 + Q hQ = 0
При составлении уравнения должно соблюдаться правило знаков:
момент, действующий против часовой стрелки, - положительный, по часовой
стрелке – отрицательный.
Можно повернуть план скоростей, а силы не поворачивать, результат
будет тот же.
3.9 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД СИЛОВОГО АНАЛИЗА
Известно несколько аналитических методов силового исследования.
Познакомимся с методом, в основе которого также лежит принцип возможных
перемещений. Для шарнирного четырехзвенника, нагруженного только
уравновешивающим моментом Мур и моментом сил полезного сопротивления
MQ, уравнение равновесия имеет вид:
Mур δφ1 + MQ δφ3 = 0
Откуда следует
Mур = - MQ δφ3 / δφ1
(3.6)
Задача сводится к чисто кинематической: нужно выразить δφ3 через δφ1
и подставить в уравнение (3.6). Зависимость δφ3 от δφ1 устанавливается при
решении задачи о скоростях.
Точно также можно учитывать действие других сил. При одновременном
приложении нескольких сил уравновешивающий момент равен сумме
39
моментов, рассчитанных для отдельных сил. В этом проявляется принцип
суперпозиции – независимости действия сил.
Аналитический метод, в отличие от графического, можно применять и
для пространственных механизмов. Расчет, вследствие сложности расчетов,
производится с использованием Вычислительных машин.
3.10 ЗАДАЧА УРАВНОВЕШИВАНИЯ РОТОРА
Ротором называется звено механизма, выполненное в виде тела
вращения и установленное в опорах на стойке. В связи с ростом рабочих
скоростей машин уравновешиванию роторов придается большое значение.
Уравновешивание представляет ответственный этап при изготовлении машин.
Качество машины во многом определяется ее уравновешенностью. В
настоящее время строятся электродвигатели и турбомашины со скоростью
вращения 100000 оборотов в минуту, центрифуги для получения
биологических эмульсий со скоростью вращения до
600000 оборотов в минуту, отдельные детали в
текстильных машинах вращаются со скоростью до
1000000 оборотов в минуту.
Рассмотрим следующий пример: пусть масса
ротора 10 кг, угловая скорость ω = 1000 рад/с,
эксцентриситет массы 0.0001 м (0.1 мм). При
вращении ротора возникает сила инерции U = mω2R
Рис 3.6
= 1000 н, т.е. в 10 раз больше, чем вес ротора.
Сила инерции передается на опоры в виде периодического воздействия.
Пусть, например, неуравновешенный ротор закреплен на консольной балке
(рис. 3.6). Разложим силу инерции U на составляющие Ux и Uy. Составляющая
Ux из-за большой жесткости балки в направлении оси X не опасна,
составляющая Uy вызывает колебания балки. Если частота вынужденных
колебаний или будет ей кратна, может возникнуть резонанс. Резонанс
характеризуется резким возрастанием амплитуды колебаний, которое может
привести к поломке или, в лучшем случае, будет проявляться в виде вибраций
оборудования, здания и т.д. Задача конструктора – не допустить ошибок при
проектировании ротора. Неуравновешенность может появиться также из-за
неточности изготовления, пороков в материале и т. д.
3.11 СТАТИЧЕСКАЯ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТЬ РОТОРА
Статической называется неуравновешенность, возникающая от того, что
главная центральная ось инерции
ротора проходит параллельно оси
вращения. Свое название она получила
потому, что она может быть
обнаружена проведением статических
испытаний. Рассмотрим простейшую
схему статически неуравновешенного
Рис 3.7
40
ротора (рис. 3.7). Подсчитаем силу инерции, развиваемую массой m
U = m ω2 e
Силу инерции при угловой скорости ω = 1 называют дисбалансом.
D=Ume
Дисбаланс – произведение массы на эксцентриситет, его размерность
гсм.
Задача уравновешивания – изменить распределение масс с тем, чтобы
перевести центр масс на ось вращения. Тогда главная центральная ось инерции
и ось вращения совпадут. Этого можно добиться, если использовать
корректирующую массу mc, расположить ее на расстоянии ес противоположно
массе m так, чтобы она развивала силу инерции Uc = - U или Dc = - D. Отсюда
следует, что для статической уравновешенности необходимо, чтобы
геометрическая сумма дисбалансов равнялась нулю (Dc + D = 0).
На
практике
статическое
уравновешивание
выполняют
на
балансировочных
станках.
Обычно
используется балансировочные параллели
(рис. 3.8) Установленный на них ротор под
действием момента сил тяжести совершает
колебания
относительно
положения
устойчивого равновесия, при котором центр
Рис 3.8
масс находится в самом нижнем положении.
Ротор ведет себя как физический маятник. После прекращения колебаний
определяется линия, на которой находится центр масс – «тяжелое место». С
противоположной стороны закрепляется пробный грузик и испытание
повторяется. Ротор будет уравновешен, если он будет находиться в состоянии
безразличного равновесия.
Достоинство такого метода уравновешивания – простота оборудования.
Недостаток – низкая точность из-за наличия трения качения. Остаточный
дисбаланс рассчитывается по формуле
Dост = m k,
Где k - коэффициент трения качения.
Второй недостаток состоит в том, что таким способом нельзя
обнаружить моментную неуравновешенность.
3.12
МОМЕНТНАЯ
НЕУРАВНОВЕШЕННОСТЬ РОТОРА
Схема
ротора
с
моментной
неуравновешенностью представлена на рис. 3.9. В
том случае, если D1 = - D2, ротор статически
уравновешен, однако дисбалансы, располагаясь на
плече L, создадут момент M = D L, который будет
воздействовать на опоры, вызывая в них реакции RA
41
Рис 3.9
и RB. Такая неуравновешенность возникает, например, если отверстие в детали
просверлено под углом к оси вращения.
Моментной называется неуравновешенность, возникающая оттого, что
главная центральная ось инерции пересекает ось вращения в центре масс.
Для моментного уравновешивания необходимо добавить две
корректирующие масс, такие, чтобы они создали момент дисбаланса Mm = - M.
Геометрическая сумма моментов дисбалансов должна быть равна нулю.
Моментное уравновешивание производится на специальных станках.
Такому уравновешиванию подвергаются детали большой протяженности
вдоль оси. Для деталей типа зубчатых колес, шкивов, маховиков,
автомобильных
колес
достаточно
ограничиться
статическим
уравновешиванием.
3.13 ПОЛНОЕ УРАВНОВЕШИВАНИЕ РОТОРА С ИЗВЕСТНЫМ
РАСПОЛОЖЕНИЕМ МАСС
Статическое и моментное уравновешивание называют полным
(динамическим уравновешиванием). Рассмотрим его на примере коленчатого
вала двигателя (рис. 3.10).
Уравновешивание будем производить в такой последовательности:
сначала моментное, а затем статическое.
Запишем условие моментной уравновешенности:
M1 + M2 + M3 + MM = 0
(3.7)
Здесь
M1 = D1 L1 = m1 e1 L1
M2 = D2 L2 = m2 e2 L2
M3 = D3 L3 = m3 e3 L3
42
Рис 3.10
Направление векторов моментов примем совпадающим с направлением
векторов дисбалансов. Из уравнения (3.7) предстоит определить ММ. Решение
уравнения получим построением многоугольника моментов (рис. 3.10б).
MM = DM LM = mM eM LM
Отсюда, задавшись LM и eM находим mM. Корректирующую массу mM
следует расположить в плоскости II – II на расстоянии eM от оси вращения в
направлении, указанном вектором ММ на многоугольнике моментов.
Условие статической уравновешенности:
D1 + D2 +D3 + DM + Dc = 0
Построим в масштабе kD многоугольник дисбалансов, из которого
найдем величину и направление Dc Dc = mc ec. Корректирующую массу mc
следует расположить в плоскости I – I на расстоянии ec от оси вращения в
направлении, указанном для Dc на многоугольнике дисбалансов.
С помощью двух масс произведено полное уравновешивание ротора.
3.14 БАЛАНСИРОВКА НА МАШИНАХ
Уравновешивание на стадии проектирования
не дает гарантии, что изготовленная деталь будет
уравновешена.
Ошибки
возможны
при
изготовлении.
Для
их
исправления
все
ответственные детали подвергаются балансировке
на
машинах.
Конструкции
машин
весьма
разнообразны, рассмотрим простейшую (рис. 3.11).
Ротор запускается через фрикционную передачу в
Рис 3.11
зарезонансный
режим,
а
затем
двигатель
отключается. При прохождении резонанса возникают колебания рамы,
которые регистрируются измерительным прибором И. Плоскость II – II
проходит через ось качания С. Благодаря этому сила инерции в плоскости II –
II уравновешивается реакцией RC. Сила инерции в плоскости I – I вызывает
43
колебания рамы. Используя корректирующие грузы, добиваются
уравновешивания сил инерции в плоскости I – I, а затем ротор
переворачивается так, чтобы плоскость I – I прошла через точку С и
добиваются уравновешивания в плоскости II – II. Процесс уравновешивания
является трудоемким, так как требует многократных запусков ротора.
3.15 УРАВНОВЕШИВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ
Уравновешивание механизмов производится с теми же целями, что и
уравновешивание роторов. При работе механизмов возникают динамические
реакции, которые могут значительно превышать статические реакции. От
статических реакций избавиться нельзя, динамических можно избежать, если
произвести уравновешивание механизма.
Полное уравновешивание механизма будет тогда, когда ускорение цента
тяжести всего механизма равно нулю и момент сил инерции тоже равен нулю.
Избежать воздействия момента сил инерции не удается, но добиться, чтобы
ускорение центра масс было равно нулю, можно –
нужно сделать так, чтобы он был неподвижен. При
решении этой задачи используют метод
замещающих масс.
Пусть, например, требуется уравновесить
плоский шарнирный четырехзвенник (рис. 3.12).
Заменив массу m двумя массами mO и mA',
поместив их в точки О и А, соблюдая условия
MO OS1 = mA'AS1
Рис 3.12
MO + mA = m
Уравнения (3.8) образуют линейную систему относительно mO и mA',
решение которой находится элементарно.
Аналогичным образом заменяется масса m3 и масса m2
MC = m3 BS3 / BC
mA' = m2 BS2 / AB
mB' = m3 CS3 / BC
mB" = m2 AS2 / AB
Итак, в точке А сосредоточена масса mA = mA' + mA", в точке В
сосредоточена масса mB = mB' + mB". Массы в точках А и С уравновешены.
Следует уравновесить массы mA и mB. Это достигается установкой
дополнительных противовесов на звеньях ОА и ВС. Расчет их производится
известным методом. Подобным же образом производится уравновешивание
кривошипно-ползунного механизма, однако здесь остается неуравновешенной
поступательно движущаяся масса ползуна. Полностью уравновешен механизм,
составленный из двух кривошипно-ползунных механизмов, работающих в
противофазе. Хорошо
уравновешены
многоцилиндровые
двигатели
внутреннего сгорания, хуже всех – одноцилиндровые двухтактные двигатели.
44
3.16 СИЛЫ ТРЕНИЯ В МЕХАНИЗМАХ. ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ
Уточненный силовой расчет ведется с учетом сил трения. Сила трения,
есть результат взаимодействия двух тел, тоже относится к реактивным силам.
Эта сила направлена касательно к поверхностям соприкасающихся тел и
препятствует движению одного тела относительно другого. Физическая
природа этой силы связана с деформацией микронеровностей и наличием сил
молекулярного взаимодействия. Трение такого рода называется трением
скольжения. Несмотря на то, что трение есть одно из самых распространенных
явлений природы, точные законы трения до сих пор не установлены из-за
многочисленности факторов, определяющих трение. Поэтому используются
приближенные законы, которые пригодны для большинства практических
задач. Эти законы установлены Амонтоном и Кулоном.
1. Сила трения пропорциональна нормальному давлению и направлена
противоположно направлению относительной скорости.
F=fN
Коэффициент пропорциональности f называется коэффициентом трения.
Поскольку для двух трущихся тел можно указать две относительные скорости
Vij и Vji,, соответственно существуют две силы трения Fij и Fji, которые равны
по величине и противоположны по направлению. Силы трения представляют
касательные реакции для взаимодействующих тел.
2. Коэффициент трения зависит от материалов и состояния поверхностей
трущихся тел. С уменьшением микронеровностей трение уменьшается,
экспериментально установлены следующие коэффициенты трения для
наиболее характерных пар материалов:
сталь по стали
- 0.18
чугун по стали
0.20
сталь по дереву
0.40
ферродо по металлу
0.3 – 0.8
резина по стали
0.6 – 0.8
дерево по дереву
0.4 – 0.7
3. Коэффициент трения зависит от скорости движения: сначала
несколько убывает, а затем сохраняет почти постоянное значение.
4. Сила трения не зависит от удельного давления, а это значит – от
площади контакта тел.
5. Коэффициент трения при движении (динамический коэффициент
трения) меньше коэффициента трения при покое (статический коэффициент
трения).
45
3.17 ТРЕНИЕ В ПОСТУПАТЕЛЬНОЙ ПАРЕ
Рис 3.13
На рис. 3.13 представлена схема поступательной пары. Пусть к ползуну
приложена сила Q, направленная перпендикулярно направляющей, и
движущая сила P. Со стороны направляющей на ползун действуют нормальная
реакция N и сила трения F, являющаяся касательной реакцией. Геометрическая
сумма N и F есть полная реакция R. Угол между R и N назовем углом трения,
поскольку он зависит от силы трения F. При равномерном движении ползуна
соблюдается условие P = F, где F = f N, откуда следует f = F / N. Из
построения на рис. 3.13в следует, что F / N = tg φ где φ = arctg f. При малом
коэффициенте трения φ ≈ f. Так, например, при f = 0.2 φ = 0.2 рад ≈ 12˚.
Коэффициент трения определяется экспериментально на установке, схема
которой показана на рис. 3.13б. На плоскости, наклоненной к горизонту под
углом α. Помещено тело. Установим условия, при которых тело будет
покоиться на плоскости. Разложим силу тяжести на две составляющие – по
нормали и по касательной к поверхности. Нормальная составляющая, равная G
cos α, прижимает тело к плоскости, касательная составляющая, равная G sin α,
стремится сдвинуть тело вниз по плоскости, Этой силе противодействует сила
трения F = f G sin α. Условие равновесия тела на плоскости
F≥ G sin α
Или
FG cos α ≥ G sin α
f ≥ tg α tgφ ≥tg α φ ≥ α
Равновесие тела на наклонной плоскости не зависит от величины силы.
Такое состояние носит название самоторможения. Самоторможение часто
используется в грузоподъемных механизмах.
Явление самоторможения наблюдается в поступательной паре, если к
ползуну приложена сила Р под углом меньшим угла трения (рис. 3.13в).
Доказательство этого то же, что и для тела на наклонной плоскости. Угол
трения определяет конус трения. Если сила трения приложена внутри конуса
46
трения, то она не может сдвинуть тело с места. Это следует учитывать при
проектировании механизмов с поступательными парами.
Рис 3.14
Установленные зависимости используются для анализа трения в резьбе.
На рис. 3.14 показан один виток прямоугольной резьбы. Согласно 3-му закону
трения гайку можно заменить небольшим элементом, нагруженным теми же
силами, что и гайка. В таком случае возникает аналогия с ползуном,
перемещающимся по наклонной плоскости, где α – угол подъема винтовой
нарезки.
Построим треугольник сил, приложенных к ползуну. Из треугольника
следует
P = Q tg (α + φ)
Момент, который необходимо приложить к гайке, чтобы преодолеть
силу Q, равен
M = P rср = Q rср tg (α+ φ)
Где r ср - средний радиус резьбы.
Угол подъема α обычно принимается небольшим для обеспечения
самоторможения гайки, угол трения φ = arc tg f0, где f0 - приведенный
коэффициент трения. Для прямоугольной резьбы f0 = f, для треугольной
резьбы f0 = f / cos 30˚.
3.18
ПАРЕ
ТРЕНИЕ
ВО
ВРАЩАТЕЛЬНОЙ
Вращательная пара состоит из втулки и
цапфы (рис. 3.15) Если к цапфе приложен
движущий момент, она будет перекатываться по
цилиндрической поверхности втулки до тех пор,
пока реактивный момент не уравновесит
движущий момент. На рис. 3.15 представлено
положение равновесия цапфы. Из проекции всех
сил на ось Y следует, что Q = - R, где Q 47
Рис 3.15
вертикальная нагрузка, R - полная реакция, Q и R образуют пару сил с плечом
ρ, где ρ – радиус круга трения.
Mтр = Q ρ
Из построения на рис. 3.15 видно, что ρ = rц sin φ
Поскольку sin φ ≈ tg φ, при малых значениях φ
Mтр = Q rц tg φ = Q rц f
Коэффициент трения f для вращательной пары определяется
экспериментально. Обычно он на 30% больше, чем для поступательной пары.
3.19 ТРЕНИЕ В ВЫСШИХ ПАРАХ
В высшей кинематической паре имеет место скольжение и качение
элементов друг по другу. Сила трения скольжения вычисляется также как и в
поступательной паре. Сопротивление перекатыванию учитывается моментом
трения качения, который направлен противоположно угловой скорости.
Физическая природа трения качения изучена недостаточно, поэтому
обычно пользуются экспериментальными данными. При качении тела
затрачивается работа, которая идет на деформацию поверхностей качения.
Пусть, например, перекатывается цилиндр по плоскости (рис. 3.16). Перед
цилиндром образуется волна деформации, которая
движется вместе с ним. Равнодействующая
элементарных реакций смещена от точки а на
величину k. Для качения цилиндра необходимо
преодолеть момент Мтр = kN = k Q, где Q – сила,
приложенная
к
телу.
Коэффициент
Рис 3.16
пропорциональности в этой формуле, по аналогии с
законом трения на плоскости, называют коэффициентом трения качения.
3.20 ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ. ПРИВЕДЕНИЕ
СИЛ И МАСС
Для того, чтобы выполнить силовое исследование, необходимо знать
закон движения начального звена. Он устанавливается при решении задачи об
истинном движении механизма. В этой задаче активные силы считаются
известными, составляется уравнение, связывающее силы и ускорения, а затем
путем их интегрирования находится скорость и перемещение как функции
времени. Основные трудности здесь чисто математического характера. Они
вызваны сложностью интегрирования нелинейного дифференциального
уравнения. С целью упрощения записи дифференциального уравнения
рассматривается одномассовая динамическая модель механизма. Вместо
движения всего механизма изучается движение одного звена, так называемого
звена приведения. Обычно за звено приведения выбирается начальное звено
механизма. Для того, чтобы такая замена была возможна, необходимо, чтобы
звено приведения было динамически эквивалентно всему механизму. Условие
динамической эквивалентности состоит в следующем: во – первых,
48
кинетическая энергия звена приведения должна равняться кинетической
энергии механизма; во – вторых, работа силы, приложенной к звену
приведения, на возможном перемещении должна равняться сумме работ всех
сил, приложенных к механизму, на их возможных перемещениях. Указанное
условие вытекает из того, что при составлении уравнения движения механизма
в расчет принимается только закон изменения кинетической энергии и
внешних сил, а не реальная схема механизма. При такой замене и для
механизма и для звена приведения справедливо одно и то же уравнение.
Кинетическая энергия механизма равна сумме кинетических энергий его
звеньев. Для кривошипно-ползунного механизма (рис. 3.17) имеем
Eмех = Е1 + Е2 + Е3
Где E1 = I10 ω2/2
E3 = m3 Vc2/2
E2 = m2 VS2/2 + I2Sω22/2
В качестве звена приведения можно
выбрать ползун или кривошип. Приведенной
массой называется такая условная масса звена
приведения, при которой его кинетическая
энергия равна кинетической энергии всего
механизма.
Рис 3.17
Емех = Епр = mпр V2/2, откуда следует
Mпр = 2 Емех/V2
Где V – скорость звена приведения.
Приведенным моментом инерции звена приведения, при котором его
кинетическая энергия равна кинетической энергии механизма.
Емех = Епр = Iпр ω2/2 откуда
Iпр = 2 Емех / ω2, где ω – скорость звена приведения.
Приведенной силой Рпр называется такая словная сила, приложенная к
звену приведения, работа которой на возможном перемещении равна сумме
работ всех сил, приложенных к механизму, на их возможных перемещениях.
По этому определению приведенная сила совпадает с обобщенной силой по
Лагранжу. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной
координаты: [Q] = [A] [q]. Если обобщенная координата q измеряется в
радианах, размерность обобщенной силы в Н·м и, следовательно, обобщенная
сила выступает в виде приведенного момента Мпр. Эквивалентные
динамические модели кривошипно-ползунного механизма представлены на
рис. 3.17, для вращающегося звена приведения
Iпр = 2 (Ic ω12 / 2 + Is ω2 / 2 + m2 Vs2 + m3 VB2) / ω12
(3.9)
Из анализа формулы (3.9) следует, что Ιпр не
зависит от скорости звена приведения, но зависит
от обобщенной координаты.
Для зубчатого механизма (рис. 3.18) Ιпр
является величиной постоянной:
49
Рис 3.18
Ιпр = 2 (Ι1 ω12 / 2 + І2 ω22/ 2+ І3 ω32/ 2 +
+ I4 ω42 /2) / ω12
Динамическое исследование механизмов, у которых Іпр = const,
производится значительно проще.
3.21
УРАВНЕНИЕ
ДВИЖЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛБНОЙ ФОРМЕ
МАШИНЫ
В
Для вывода уравнения движения машины воспользуемся уравнением
Лагранжа 2-го рода:
d /dt (ðE / ðġ ) - ðE/ðq = Q
(3.10)
Где q и q - обобщенная координата и обобщенная скорость,
E - кинетическая энергия,
Q - обобщенная сила.
Применим это уравнение к динамической модели на рис. 3.17. Тогда q =
φ, q = ω, Q = Mпр, E = Iпрω2 / 2
Iпр = f ( φ )
Определим элементы уравнения (3.10)
ðE / ðφ = ω2/ 2 ( ðIпр / ðφ )
ðE / ðω = Iпр ω
Примем во внимание, что Iпр и ω изменяются во времени, тогда
d/dt (ðE/ðω) = ω(dIпр/dt) + Iпр dω/dt = ω2 (dIпр/dφ) + Iпр ε
(3.11)
Это нелинейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го
порядка. Решение дифференциального уравнения – это отыскание
первообразной функции. Способ решения зависит от вида Mпр и Іпр.
Встречаются следующие случаи:
1. Iпр = const
Mпр = const
2. Iпр = const
M = M (φ)
3. I = I (φ)
M = M (φ)
4. I = const
M = M (ω φ)
5. I = I (φ)
M = M (ω φ)
M (ω)
M (t)
В первых двух случаях уравнение движения может быть
проинтегрировано в конечном виде. Иногда можно воспользоваться готовым
решением, взятым из справочника. Любое дифференциальное уравнение
можно решить численным методом.
3.22
ПРИМЕР
ДИНАМИЧЕСКОГО
ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛОДОЧНОГО ТОРМОЗА
Рассмотрим простейший случай, когда Iпр =
const, Mпр = const, на примере колодочного тормоза,
который состоит из диска и рычага с тормозной
50
Рис 3.19
колодкой (рис. 3.19). Диск, вращающийся с угловой скоростью ω,
затормаживается силой трения, возникающей при приложении к рычагу силы
Р. Требуется установить время и число оборотов до полной остановки диска.
Пусть Iпр = 0.4 кгм2, Р = 20 Н, f = 0.2, R = 0.1 м, ω = 100 рад/с.
К диску приложен тормозной момент
Mтр = Fтр R = f N R = f 2 P R = 0.8 Н м
С учетом того, что Iпр = const, уравнение (3.11) запишется так:
Iпр ε = М пр, где Мпр = - Мтр
Здесь ε = const, имеет место равноускоренное движение. Перепишем
уравнение, разделив переменные и проинтегрировав. Опуская элементарные
преобразования, в итоге получим уравнение
Ω = (Мпр / Iпр) t + C1,
(3.12)
де С1 - постоянная интегрирования, которая находится из начальных
условий: при t = 0, ω = ω0, тогда С1 = ω0
После интегрирования уравнения (3.12) получим
Φ = (Мпр / Iпр) t2 / 2 + ω0 t + C2
(3.13)
Где С2 - постоянная интегрирования, которая находится из начальных
условий:
При t = 0 φ0 = 0 , тогда С2 = φ0
Из уравнения (3.13) можно определить время до полной остановки:
0 = - (0.8/ 0.4) t + 100 → t = 50 c
Из уравнения (3.13) находится угол поворота диска до полной
остановки:
Φ = - (0.8 / 0.4) 502 + 100 50 = 2500 рад = 398 об
3.23
ЧИСЛЕННОЕ
УРАВНЕНИЯ
РЕШЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
Полученные выше формулы (3.12) и (3.13) лежат в основе численных
методов решения дифференциальных уравнений. Сущность простейшего из
них состоит в следующем. Весь период движения разбивается на столь малые
интервалы времени, что Iпр и Мпр не успевают существенно измениться. Тогда
будут справедливы формулы (3.12) и (3.13) для равноускоренного движения.
По ним вычисляются значения обобщенной координаты и обобщенной
скорости в конце интервала и устанавливаются истинные значения Iпр и Мпр.
Полученные значения являются исходными для отсчета движения на
следующем интервале и так далее. С помощью усовершенствованных методов
(например, метода Рунге –Кутта) можно добиться практически любой
точности расчета. В связи с большим объемом вычислений для решения
дифференциальных уравнений используются ЭВМ. В библиотеках ЭВМ
имеются стандартные программы для решения дифференциальных уравнений,
так что задача программирования сводится только к записи уравнения и
51
задания начальных условий, а также указанию требуемой точности расчета
или шага интегрирования.
3.24 ПЕРИОДЫ РАБОТЫ МАШИНЫ
Уравнение движения машины (3.11) можно представить в более простой
и удобной для качественного анализа форме – в форме кинетической энергии.
Преобразуем угловое ускорение
Ε = dω/dt = ω dω/dt ω = d(ω2)/2 dt ω =d (ω2/2) dt/dt dφ = d(ω2/2)/dφ
Подставим полученное выражение в уравнение (3.11):
Iпр = d (ω2 /2)/dφ + ω2d Iпр/2 dφ = d Iпр ω2 / 2 dφ = Mпр
Откуда
dE = Mпр dφ
(3.14)
Уравнение (3.14) выражает теорему об изменении кинетической энергии:
приращение кинетической энергии системы равно работе внешних сил.
Уравнение (3.14) эквивалентно следующему:
Ap - Aq - AF + AG = E2 - E1
(3.15)
Где АР - работа движущих сил,
AQ - работа сил полезных сопротивлений,
AF - работа сил трения,
AG - работа сил тяжести (для механизма, работающего в
циклическом режиме AG = 0),
E2
E1 - кинетическая энергия машины в двух рассматриваемых
положениях.
Уравнение (3.15) выражает баланс энергии и работы в машине: если
работа движущих сил превышает работу сил трения и полезного
сопротивления, кинетическая энергия возрастает, машина разгоняется, если
работа движущих сил меньше работы сил сопротивления, движение
происходит за счет расхода накопленной кинетической энергии.
При работе машины следует различать три периода.
Период пуска характеризуется тем, что AQ = 0 E1 = 0. Тогда
AP - AF = E2
Ap = AF + E2
Работа движущей силы при пуске расходуется на преодоление трения и
разгон машины. Чем меньше AF, тем быстрее происходит разгон.
Для периода установившегося движения E2=E1, тогда
AP - AQ - AF = 0
AP = AQ + AF
Работа движущей силы при установившемся движении расходуется на
полезную работу и работу сил трения. Разделим последнее уравнение на AP:
1 = AQ/AP + AF/AP =  + 
где  - коэффициент полезного действия (к.п.д.),
 - коэффициент потерь.
52
Определенный таким образом к.п.д. носит название циклового к.п.д.
Мгновенный к.п.д. определяется как отношение мощности сил полезного
сопротивления к мощности движущей
силы, определенной с учетом сил трения,
но без учета сил инерции.
К.п.д. характеризует совершенство
механизма с точки зрения экономного
расходования энергии. Работа сил трения
превращается в тепловую энергию и
представляет безвозвратные потери. К.п.д.
можно повысить за счет уменьшения
потерь на трение.
Третий период работы машины выбег, для него E2 = 0, AP = 0
- AQ - AF = - E
Рис. 4.1
В этот период кинетическая энергия
расходуется на работу сил полезного сопротивления и работу сил трения. Для
того чтобы уменьшить продолжительность выбега, вводят дополнительное
торможение.
4 СИНТЕЗ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ
4.1 ЗАДАЧИ СИНТЕЗА МЕХАНИЗОВ
Наибольший интерес для конструктора представляет задача синтеза
механизмов. Под синтезом понимается проектирование механизма. Синтез
представляет задачу обратную анализу и, как все обратные задачи, сложен. В
синтезе нет таких простых общих методов, какие были изучены в анализе.
Многие задачи синтеза еще требуют решения.
Различают три стадии синтеза рычажных механизмов. Первая стадия –
синтез структурной схемы. Он относительно прост и сводится к выбору
механизма, удовлетворяющего общим требованиям к нему. На этой стадии
изучаются аналоги данного механизма, используется справочная литература
(например, семитомный справочник «Механизмы в современной технике» под
редакцией И.И. Артоболевского, «Механизмы» под редакцией С.Н.
Кожевникова, «Словарь-справочник по механизмам» А.Ф. Крайнова).
Вторая стадия – метрический синтез. Здесь определяются размеры
звеньев механизма, при которых удовлетворяются поставленные требования.
Метрический синтез опирается на приемы кинематического анализа, так что
зачастую синтез сводится к многократному повторению анализа.
Третья стадия – динамический синтез. Это наиболее общая задача
синтеза, в которой учитываются не только кинематические, но и динамические
требования к механизму.
53
В виду сложности задач синтеза ограничимся изложением частных
случаев, имеющих простое, в основном геометрическое решение. Задачи
такого рода в инженерной практике встречаются довольно часто.
Подавляющее
большинство
применяемых
рычажных
механизмов
представляют разновидности четырехзвенных механизмов, поэтому
остановимся в основном на них.
4.2 СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ
Изучая модель шарнирного четырехзвенника можно обнаружить, что в
зависимости от того, какое звено принято за неподвижное, а какое – за
входное, изменяются основные свойства механизма: механизм может быть
кривошипно-коромысловым,
двухкривошипным,
двухкоромысловым.
Наибольшее применение находит кривошипно-коромысловый механизм.
Выясним условия существования кривошипа. Для этого следует
рассмотреть механизм в крайних положениях. Крайним положением
механизма называют такое, при котором ведомое звено занимает крайнее
положение. Механизм имеет два крайних положения. Признак крайнего
положения в кривошипно-коромысловом механизме – кривошип и шатун
располагаются на одной линии (рис. 4.1а). В двухкоромысловом механизме в
крайних положениях шатун и коромысло располагаются на одной линии (рис.
4.1б).
«Мертвым» называется положение, при котором возникает
неопределенность движения ведомого звена (рис. 4.1в). Для выхода из
«мертвого» положения необходимо «подтолкнуть» ведомое звено, например
силами инерции маховика.
Существование кривошипа – это его возможность повернуться вокруг
центра вращения на 360˚. Наиболее опасным в этом отношении являются
положения, в которых кривошип и стойка лежат на одной линии (рис. 4.1г).
Там
же
представлено
еще
одно
дополнительное положение. Исходя из
свойств длин треугольника, можно записать
неравенства:
r + c < a + b,
b <c – r + a,
r + b <c + a,
r + a <b + c
Складывая первое со вторым, второе с
третьим и первое с третьим неравенства,
получим
r < a,
r < c,
r<b
Отсюда
следует,
что
для
существования
кривошипа
необходимо
соблюдать условия:
1. кривошип есть наименьшее звено.
54
Рис. 4.2
2. сумма длин наименьшего и наибольшего звеньев меньше суммы длин
двух других звеньев (Эти условия известны как теорема Грасгофа).
Если в кривошипно-коромысловом механизме сделать стойкой
наименьшее звено, то получится двухкривошипный механизм, а если сделать
стойкой звено противоположное наименьшему – то двухкороиысловый.
Если в шарнирном четырехзвеннике длины звеньев попарно равны (r =
b, a = c), то получится шарнирный параллелограмм (рис. 4.2). Это
двухкривошипный механизм, у которого шатун движется поступательно. Он
находит применение, например, в качестве спарника колес тепловоза, входит в
состав
пантографов.
В
другой
сборке
получается
шарнирный
антипараллелограмм.
Если r = c
a = b = 2r, получается двухкривошипный механизм
Галловея, у которого за один оборот кривошипа b кривошип r делает два
оборота. Если коромысло кривошипно-коромыслового механизма сделать
бесконечно большим, траектория точки В будет представлять прямую линию.
Механизм превратится в кривошипно-ползунный
Принимая за стойку различные звенья кривошипно-ползунного
механизма получим другие механизмы, Если длина кривошипа больше длины
стойки, получим механизм с вращающейся кулисой, если длина кривошипа
меньше длины стойки – механизм с качающейся кулисой. Если их длины
равны – за каждые два оборота кривошипа кулиса совершает один оборот.
Кулисные механизмы с качающейся кулисой применяются для получения
медленного рабочего хода и быстрого холостого хода.
4.3
СИНТЕЗ
ЧЕТЫРЕХЗВЕННЫХ
ЗАДАННЫМ ПОЛОЖЕНИЯМ ЗВЕНЬЕВ
МЕХАНИЗМОВ
ПО
Требуется спроектировать кривошипно-коромысловый механизм, у
которого коромысло занимает два заданных крайних положения, или, иными
словами, задан размах колебания коромысла ψ. Выберем центр вращения
кривошипа точку О. Зададимся произвольными значениями длины кривошипа
r и a (рис. 4.3а). Тогда в левом крайнем
положении
a - r = OB1
В правом крайнем положении
a + r = OB2
Отрезки ОВ1 и ОВ2 можно замерить на
чертеже. Имеем два линейных уравнения
относительно r и a, решения которых
находятся элементарно:
r = (OB2 - OB1) /2
(4.1)
a = (OB2 + OB1)/2
55
Рис. 4.3
Поскольку точка О выбрана произвольно, задача имеет бесконечное
множество решений.
Аналогичным образом можно спроектировать кривошипно-ползунный
механизм по заданным положениям ползуна. Для центрального механизма из
формул (4.1) следует
r = H / 2,
Где H - ход ползуна.
Пусть требуется спроектировать механизм, у которого шатун занимает
два произвольных заданных положения (рис. 4.3в) Соединим точки А1 и А2, В1
и В2 отрезками прямых, в серединах их восстановим перпендикуляры. На этих
перпендикулярах выберем точки О и С. Приняв их за центры вращения
кривошипа и коромысла, построим механизм ОАВС, у которого точки А и В,
двигаясь по дугам А1А2 и В1В2, попадут в точки А2 и В2. Задача имеет
бесконечное множество решений. Таким путем можно спроектировать
различные опрокидыватели, перегружатели и т.д.
В отличие от рассмотренной выше задачи проектирования механизма по
заданным положениям шатуна имеет единственное решение. Центры
вращения кривошипа и коромысла находятся в точках пересечения
соответствующих перпендикуляров (рис. 4.3г).
4.4
СИНТЕЗ
МЕХАНИЗМОВ
ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ.
ПО
КОЭФФИЦИЕНТУ
Коэффициентом производительности циклового механизма называется
отношение средней скорости рабочего хода к средней скорости холостого
хода. Название обьясняется тем, что соотношение этих скоростей влияет на
производительность машины, в которой используется такой механизм.
k = Vx / Vp
Выразим k через геометрические параметры механизма:
k = Vx / Vp = φp / φx
(4.2)
Здесь использованы соотношения:
Vx = S / tx,
tp = φp / ω,
Vp = S / tp,
tx = φx ω,
где φр и φх - углы поворота кривошипа, соответствующие рабочему и
холостому ходу ведомого звена, ω- скорость вращения кривошипа.
Коэффициент производительности для кулисных механизмов обычно
находится в пределах 1.5 - 2.0
Построим кулисный механизм в двух крайних положениях (рис. 4.4а) В
крайних положениях кривошип перпендикулярен кулисе. Полный угол
поворота кривошипа, соответствующий циклу работы механизма, состоит из
угла рабочего хода φр и угла холостого хода φх. Так как требуется k > 1, φр
принимается большим из двух углов между положениями кривошипа в
56
крайних положениях механизма. Из построений на рис. 4.4а нетрудно увидеть,
что
φp = 180˚ + ψ
φx = 180˚ - ψ
Где ψ – угол между OA2 и OA1 - угол размаха (качания) кулисы.
Подставив значения φр и φх в (4.2),
получим:
k = (180˚ + ψ) / (180˚ - ψ)
Откуда следует
ψ = 180˚ (k – 1) / (k+1)
Радиус
кривошипа
рассмотрев треугольник ОА1С:
(4.3)
найдем,
r = c sin (ψ /2)
Где С – длина стойки ОС.
В механизме на рис. 4.4б,
включающем механизм с вращающейся
кулисой,
крайние
положения
определяются присоединенной группой,
Рис. 4.4
представляющей
центральный
кривошипно-ползунный механизм. Изобразив его в крайних положениях,
найдем соответствующие положения кривошипа ОА1 и ОА2 и углы φр и φх. Из
треугольника ОАС следует:
r = c / sin (ψ /2)
Где с – длина стойки ОС.
Для дезаксиального кривошипно-ползунного механизма (рис. 4.4г) угол
ψ есть угол между положениями кривошипа ОА1 и ОА2 в крайних положениях
механизма. Проектирование такого механизма при заданном значении
коэффициента производительности производится следующим образом.
Определяется угол ψ по формуле (4.3), наносятся крайние положения ползуна.
Строится прямоугольник SB1B2, так, чтобы угол при вершине S был равен ψ.
Через точки S, B1, B2 проводится окружность. В любом месте этой окружности
можно выбрать точку О – центр вращения кривошипа. Дальнейшее
проектирование механизма по двум крайним положениям ползуна известно. В
спроектированном таким образом кривошипно-ползунном механизме угол
между положениями ОА1 и ОА2 будет равен ψ - на основании свойств
вписанных углов. Аналогичную задачу можно решить и для кривошипнокоромыслового механизма.
57
4.5 СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ С УЧЕТОМ УГЛА ДАВЛЕНИЯ
Углом давления θ называется угол между направлением силы и
направлением перемещения, вызванного этой силой. Углом передачи μ
называется угол, дополняющий угол давления до 90˚. На рис. 4.5 указаны углы
давления и угол передачи в точке В шарнирного
четырехзвенника. Разложим силу на нормальную и
касательную составляющие. Чем больше угол
давления, тем меньше составляющая Rn и больше
составляющая Rτ. Полезно используется только
составляющая Rτ, а составляющая Rn создает трение
в кинематических парах. Следовательно, чем
меньше угол давления, тем выше к.п.д. Наилучший
случай, когда угол давления равен нулю. Однако по
характеру работы механизма этот угол не может
Рис. 4.5
оставаться
постоянным.
В
шарнирных
механизмах угол давления допускается до 45˚, в
механизмах с поступательными парами – до
30˚. В ответственных механизмах, таких как
кривошипно-ползунный механизм двигателя
внутреннего
сгорания,
угол
давления
принимается еще меньше – до 15˚. На рис. 4.5б
представлен
пример
неудачно
спроектированного механизма обжима борта в
станке для сборки автомобильных шин на
предприятии «Беларусьшина». Аналогичным
образом неправильно спроектирован механизм
закрывания дверей троллейбуса
Рис. 4.6
4.6 НАПРАВЛЯЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ.
МЕХАНИЗМЫ С ВЫСТОЯМИ.
Направляющие
рычажные
механизмы
предназначены
для
осуществления движения исполнительной точки по заданной траектории. В
отличие от них передаточные механизмы служат для преобразования
параметров движения или усилий. Известно большое количество рычажных
механизмов, служащих для построения графиков простейших функций.
Сведения о них можно найти в справочниках (В.А.Юдин «Механизмы
приборов»). С помощью таких механизмов можно построить очень сложные
кривые, например, аэродинамический профиль.
В том случае, если нельзя найти готовой схемы, можно воспользоваться
следующим методом синтеза механизма, приближенно воспроизводящего
заданную кривую. Выберем произвольную точку О, кривошип и шатун (рис.
4.6). Свяжем с шатуном планшет с нанесенными на ней чертящими точками.
Осуществляя движение точки М планшета по заданной траектории, построим
58
траектории остальных чертящих точек. Выберем из них наиболее
приближающуюся к окружности. Найдем ее центр и поместим в него шарнир
С. Соединив чертящую точку В с точкой А и точкой С, получим шарнирный
четырехзвенник, у которого точка М шатуна будет приближенно
воспроизводить заданную кривую.
Среди многих механизмов, созданных П.Л.Чебышевым, широко
известны прямолинейно направляющий (лямбдообразный) и круговой
направляющий механизмы. На их основе можно создать механизмы с
выстоями.
Механизмом с выстоем называется такой механизм, в котором при
непрерывном движении ведущего звена ведомое звено часть времени
неподвижно. На рис. 4.6б представлены две схемы механизмов с выстоями,
основанные на механизмах Чебышева. Механизмы с выстоями применяются в
различных машинах – автоматах. Мгновенный выстой называется остановкой.
Механизмы с остановками применяются с целью улучшения динамики
процесса.
4.7 ШАГОВЫЕ МЕХАНИЗМЫ. МАЛЬТИЙСКИЕ МЕХАНИЗМЫ
Шаговый механизм – это механизм, в котором выходное звено
совершает движение в одном направлении с периодическими остановками при
однонаправленном движении входного звена. К таким механизмам относится
храповый механизм, который применяется в качестве стопорного устройства в
грузоподъемных машинах, а также в передачах
периодического
вращательного
движения,
анкерный механизм, используемый в механизмах
часов, грейферный механизм, используемый в
киноаппаратах. В шаговых механизмах вместо
храпового устройства зачастую применяется
механизм сводного хода (МСХ) (рис. 4.7).
Мальтийский
механизм
широко
применяется в машинах – автоматах для
получения прерывистого движения. Его название
происходит от того, что напоминает эмблему
Рис. 4.7
Мальтийского ордена – мальтийский крест.
Мальтийский механизм может быть
выполнен с наружным и внутренним
зацеплением, он может передавать
движение
между
валами
с
параллельными и пересекающимися
осями,
между
вращающимися
и
поступательно движущимися звеньями.
В основе мальтийского механизма
лежит кулисный механизм с качающейся
кулисой (рис. 4.8). Отличие состоит вы
том, что паз кулисы выполнен открытым,
59
Рис. 4.8
так что кулисная пара может размыкаться. После этого ведомое звено
останавливается. Таким образом, используется только период движения,
соответствующий углу поворота кривошипа φд, это показано на графике
скорости. Ведомое звено снабжено несколькими пазами, расположенными так,
что осуществляется последовательное зацепление кривошипа с каждым из них.
За один цикл движения кривошип поворачивается на угол φд, а крест на угол ψ
= 2π / z, где z - число пазов. Отношение времени движения креста к времени
цикла называется коэффициентом движения.
kд = tд / Tц
Для равномерного движения кривошипа
kд = φд / 2π.
Из построения следует
φд =π - ψ,
Тогда
φд = π (z – 2)/ 2 kд = (z –2) / 2z.
Обычно используются кресты с числом пазов от 3 до 24, тогда kд = 0.16 –
0.5. Для того чтобы крест во время свободного движения кривошипа был
неподвижен,
применяется
его
блокировка
посредством запирающего валика. В механизме с
внутренним зацеплением (рис. 4.8) используется
положительная часть графика скорости. Благодаря
тому, что угол движения здесь больше,
коэффициент движения также больше. Он
находится в пределах 0.83 –0.54.
4.8 МЕХАНИЗМЫ ПАНТОГРАФОВ
Механизмы пантографов используются для
подобного преобразования кривых. В их основе
лежат
шарнирные
параллелограммы.
Так,
например, в качестве чертежного прибора (рис.
4.9а)
используется
плоский
Рис. 4.9
двухпараллелограммный пантограф. В таком
приборе ориентация линеек сохраняется постоянной в любом положении.
Пантограф, представленный на рис. 4.9б, предназначен для подобного
преобразования фигур с отношением подобия к = ОА/ОВ и центром подобия в
точке О. Пантограф на рис. 4.9в производит преобразование с поворотом
фигуры на 180˚ относительно центра подобия - точки О.
Пантографы применяются в прямолинейно-направляющих механизмах
манипуляторов, в механизмах токосъемников поездов, в механизмах для
компенсации несоосности валов и во многих других случаях.
60
5 СИНТЕЗ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ
5.1 КЛАССИФИКАЦИЯ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ
Зубчатые механизмы – это самый распространенный и пожалуй самый
важный вид механизмов. Трудно найти такую машину, в которой нет
зубчатого механизма. Они применяются в станках, в грузоподъемных
машинах, автомобилях, разнообразных технологических машинах и т.д.
Основные достоинства зубчатых механизмов, определившие их широкое
применение, - строго постоянное передаточное отношение, большая
передаваемая мощность на единицу массы, компактность, долговечность,
высокий к.п.д. Недостаток – сложность изготовления и высокая стоимость.
Зубчатые механизмы предназначены для передачи вращательного
движения и преобразования его параметров. Обычно двигатели обладают
скоростью и моментом, как правило, не подходящим
для использования в технологическом процессе.
Преобразование параметров вращательного движения
возможно посредством прижатых друг к другу гладких
дисков (рис. 5.1), образующих фрикционные передачи.
Ее недостаток – ограниченная мощность из-за большой
нагрузки на подшипники, неизбежное проскальзывание,
износ поверхностей, потери мощности. Практически
Рис. 5.1
передаваемая мощность в таких механизмах не
превышает 10 – 20 квт.
Чтобы устранить отмеченные недостатки, диски снабжаются
чередующимися выступами и впадинами, располагающимися с определенным
интервалом. Такие выступы называются зубьями.
Зубчатым колесом называется звено с замкнутой системой зубьев,
обеспечивающей непрерывность движения. Различают еще зубчатый сектор,
зубчатую рейку.
Зубчатая передача – трехзвенный механизм, состоящий из двух колес и
стойки.
Важнейшей характеристикой зубчатой передачи является передаточное
отношение – отношение угловых скоростей колес.
Две или более зубчатые передачи образуют зубчатый механизм.
Зубчатые колеса, зубчатые передачи и зубчатые механизмы чрезвычайно
разнообразны. Поэтому целесообразно ознакомиться с их простейшей
классификацией.
Зубчатые колеса бывают:
а) цилиндрические и конические,
б) прямозубые, винтовые, шевронные,
в)
эвольвентные,
циклоидальные,
цевочные,
трохоидальные,
круговинтовые,
г) с внешним и с внутренним зацеплением.
Винтовые колеса могут быть с левым и с правым наклоном зуба.
Винтовые колеса с винтовой линией постоянного шага называют косозубыми.
61
Зубчатые передачи бывают:
а) с постоянным и переменным
передаточным отношением некруглые колеса),
б) плоские и пространственные,
в) с параллельными, пересекающимися и
скрещивающимися осями колес.
По
этому
признаку
различают
цилиндрические, конические, гиперболоидные
передачи.
В гиперболоидных передачах звенья
выполняются в форме гиперболоида вращения.
Гиперболоид – линейчатая поверхность,
образуемая
при
вращении
произвольно
расположенной в пространстве прямой линии
относительно некоторой оси. Таким образом,
образующей
поверхности
гиперболоида
является прямая линия. Два сопряженных
Рис. 5.2
гиперболоида перекатываются друг по
другу без скольжения и касаются по
прямой линии. Если их снабдить зубьями,
образуется
точная
гиперболоидная
передача
(рис.
5.2).
На
практике
используется
приближенная
гиперболоидная передача, образованная из
цилиндрических и конических колес. В
таком случае касание их происходит не по
линии, а в точке. Различают винтовые,
червячные и гипоидные передачи (рис. 5.2).
Различают
также
понижающие
и
повышающие частоту вращения передачи
(редукторы и мультипликаторы), передачи
внешнего,
внутреннего
зацепления,
реечные передачи.
Зубчатые механизмы бывают: а) с
неподвижными осями колес (рядовые) и с
Рис. 5.3
подвижными осями (планетарные), б)
предназначенные для передачи большой мощности (силовые) и для
преобразования параметров движения (кинематические), в) с одной степенью
подвижности и зубчатые дифференциалы.
5.2 ПОНЯТИЕ О ЦЕНТРОИДНЫХ МЕХАНИЗМАХ
Зубчатые механизмы относятся к разряду центроидных механизмов, в
основе образования которых лежит центроида. Из теоретической механики
62
известно, что мгновенное плоское движение твердого тела можно привести к
одному мгновенному вращению вокруг оси, точка пересечения которой с
плоскостью сечения твердого тела называется мгновенным центром вращения
(МЦС). При непрерывном движении твердого тела мгновенная ось вращения
описывает линейчатую поверхность (цилиндр), называемую аксоидом. В
зависимости от того, к какой системе отсчета (неподвижной или движущейся
вместе с телом) отнесена мгновенная ось вращения, получаются различные
поверхности. Поэтому различают подвижный и неподвижный аксоиды.
Аксоиды пересекаются с плоскостью сечения твердого тела по двум кривым,
называемым центроидами.
В теоретической механике доказывается, что непрерывное движение
твердого тела в плоскости можно представить как качение без скольжения
подвижной центроиды по неподвижной, причем подвижная центроида
считается жестко связанной с твердым телом, а неподвижная – с системой
отсчета. Таким образом, любое плоское движение можно осуществить,
подобрав надлежащие центроиды. Сказанное хорошо иллюстрируется на
модели шарнирного антипараллелограмма. В этом случае центроидами
являются эллипсы (рис.5.3). Снабдив их зубьями, получим эллиптическую
зубчатую передачу, в которой при равномерном движении ведущего звена
ведомое вращается неравномерно. Такие передачи используются, например, в
текстильных машинах. На рис. 5.3 представлены и другие центроидные
зубчатые механизмы, применяемые в технике. Но наибольшее применение
получили механизмы, в которых центроидами служат окружности.
5.3 ОСНОВНОЙ ЗАКОН ЗАЦЕПЛЕНИЯ
Простейшие зубчатые механизмы применялись еще в древнейшие
времена, например, для передачи движения с водяного колеса на жернов.
Профиль зубьев мог быть любым, выдерживался только постоянный шаг.
Увеличение быстроходности передачи потребовало соответствующего
профилирования зубьев. При случайном выборе профиля зубьев мгновенное
передаточное отношение переменно, что недопустимо, т. к. колебания
скорости выходного звена вызывают инерционные нагрузки, удары в передаче.
Профиль зубьев должен быть таким, чтобы угловая скорость выходного звена
была строго постоянной. Чтобы ответить на вопрос, каким должен быть
профиль, вначале познакомимся с основным законом зацепления.
Нормаль, проведенная через точку касания двух профилей, делит
межосевое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым
скоростям этих профилей.
Требуется доказать, что O1P / O2 P =ω2 / ω1 (рис.5.4)
63
Рис. 5.4
Через точку А проведем нормаль N – N и касательную Т – Т и разложим
скорости точек А1 и А2 на эти направления. Заметим, что v1 = ω1 r1, v2 = ω2 r2.
Кроме того, v1n = v2n - из условия отсутствия вдавливания профилей или их
размыкания. Тангенциальные составляющие v1τ ≠ v2τ, что обусловливает
скольжение профилей. Из подобия треугольников AV1V1n и O1B1A следует:
V1n/V1 = rb1 / r1 откуда V1n = ω1 rb1. Из подобия треугольников AV2V2n и
O2B2A следует: V2n / V2 = rb2 / r2 откуда V2n = ω2 rb2. Учитывая, что V1n = V2n,
получим ω1 rb1 = ω2 rb2.
Из подобия треугольников O1B1P и O2B2P следует rb1 / rb2 = O1P / O2P. С
учетом записанных выше соотношений получим ω1 / ω2 = O2P / O1P, что и
требовалось доказать.
Следствие основного закона зацепления: для постоянства передаточного
отношения необходимо, чтобы нормаль, проведенная через точку касания двух
профилей, пересекала межосевую линию в постоянной точке (полюсе
зацепления). Иными словами требуется неизменность положения полюса.
В качестве профилей зубьев могут использоваться кривые, для которых
выполняется указанное требование, Такие кривые называются сопряженными.
К ним, в частности, относится эвольвента окружности.
5.4
ЭВОЛЬВЕНТА
СВОЙСТВА
ОКРУЖНОСТИ,
Геометрическое
место
центров
кривизны какой-либо кривой называют
инволютой, а саму кривую – эвольвентой
(рис. 5.5). При профилировании зубьев в
качестве
эволюты
используется
окружность, называемая в дальнейшем
основной, а сам зуб очерчивается
эвольвентой окружности. Единственным
параметром, отличающим одну эвольвенту
от другой, является радиус основной
окружности.
64
ПОСТРОЕНИЕ
Рис. 5.5
И
Можно указать следующий способ образования эвольвенты. Выбирается
основная окружность rb, касающаяся ее производящая прямая и чертящая
точка на ней. Перекатывая производящую прямую по окружности без
скольжения, получаем траекторию чертящей точки, которая является
эвольвентой, т.к. мгновенные радиусы кривизны ее лежат на основной
окружности. Эвольвенту можно получить, наматывая нить с чертящей точкой
на диск (рис. 5.5). Две чертящие точки дадут две эквидистантные
(равноотстоящие) эвольвенты.
Приближенное графическое построение эвольвенты как кривой,
составленной из множества дуг окружностей, представлено на рис.5.5 б.
Из определения эвольвенты и из указанных выше способов ее
построения вытекают следующие очевидные свойства:
1. 1.
Нормаль эвольвенты касается основной окружности.
2. 2.
Радиус кривизны эвольвенты равен длине нормали.
3. 3.
Длина нормали эвольвенты равна длине соответствующей
дуги основной окружности
4. 4.
Расстояние между эквидистантными эвольвентами равно
длине соответствующей дуги основной окружности
5.5 УРАВНЕНИЕ ЭВОЛЬВЕНТЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
Наиболее удобная форма записи уравнения эвольвенты – в полярных
координатах в параметрической форме. В качестве параметра принимается
угол профиля эвольвенты. Углом профиля эвольвенты αy называется угол
между направлением радиус–вектора к текущей точке Y и направлением
касательной Т – Т. Он изменяется в пределах
0 - 90˚, практически используется участок
эвольвенты, где αy = 0 - 30˚.
Полярные координаты ry и θy укажут
положение точки Y. Установим зависимость
ry и θy от параметра αy.
Проведем из точки Y нормаль N –N,
которая по 1-му свойству эвольвенты
коснется основной окружности в точке В.
Заметим, что угол BOY равен углу профиля
эвольвенты в данной точке. Из треугольника
OBY следует
Рис. 5.6
ry = rb / cos αy
Введем угол νy, тогда νy = αy + θy,
откуда следует θy = νy - αy.
Из построений на рис. 5.6 и в силу 3го свойства эвольвенты длина дуги ВА0
равна BY. Из треугольника BYO следует
BY/rb = tg αy. На основании приведенных
65
Рис. 5.7
зависимостей нетрудно установить, что центральный угол νy = tg αy. Функция
θy = tg αy - αy получила название эвольвентной функции или инволюты.
Иногда используется условное обозначение θy = - inv αy.
5.6 ЭВОЛЬВЕНТНОЕ ЗАЦЕПЛЕНИЕ
На рис. 5.7 представлено зацепление эвольвентных профилей. Общая
нормаль N – N. Проведенная через точку касания двух профилей, обязана
согласно 1-му свойству эвольвенты, коснуться основных окружностей.
Поскольку таких окружностей две, положение нормали единственно и
неизменно. Тем самым подтверждается выполнение следствия основного
закона зацепления. В процессе зацепления точка касания профилей не может
сойти с общей нормали N – N, т.к. в противном случае нарушилось бы 1-ое
свойство. Установлено, что при эвольвентном зацеплении профилей точка
касания движется по общей нормали с постоянной скоростью.
Введем две окружности, проходящие через полюс зацепления. Такие
окружности называются начальными. Они перекатываются друг по другу без
скольжения и служат центроидами зубчатых колес.
Эвольвентное зацепление получило широкое распространение благодаря
ряду достоинств:
1. 1.
Эвольвентное зацепление нечувствительно к небольшому
изменению межосевого расстояния, что удешевляет изготовление
корпусных деталей.
2. 2.
Для нарезания эвольвентных зубчатых колес можно
применять простой инструмент с прямолинейной режущей кромкой.
3. 3.
При изготовлении колес путем простого смещения
инструмента можно добиваться новых положительных свойств.
5.7 ИЗГОТОВЛЕНИЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
Существуют два способа изготовления зубчатых колес: способ
копирования и способ обкатки. Способом копирования дисковой или
пальцевой фрезой на обычном фрезерном станке вырезается впадина между
зубьями (рис.5.7) Поскольку в зависимости от числа зубьев размеры впадины
при одном и том же модуле изменяются, нужно иметь очень много фрез. На
практике одной фрезой нарезаются колеса в некотором диапазоне чисел
зубьев, указанном на фрезе, что не очень точно.
Неточность может быть исправлена последующей
шлифовкой.
Способ
копирования
недостаточно
производителен, т.к. в работе находится один зуб,
много времени тратится на перестановку
заготовки. Поэтому способ применяется в
единичном и мелкосерийном производстве, при
нарезании неответственных, тихоходных колес.
66
Рис. 5.8
При способе обкатки инструмент и заготовка совершают относительное
движение обкатывания, инструмент своими режущими кромками постепенно
внедряется в заготовку, прокладывая себе путь. Таким образом, возникает
станочное зацепление, аналогичное обычному зацеплению с той разницей, что
одно из звеньев является инструментом. Инструмент выполняется в виде
гребенки, червячной фрезы или долбяка. Этот способ требует применения
специальных зубофрезерных станков. В одних конструкциях станков
инструмент обкатывается вокруг неподвижной заготовки, в других –
инструмент движется поступательно, заготовка поворачивается, в третьих –
заготовка и инструмент (долбяк) вращаются (рис.5.8).
Способ обкатки получил наибольшее распространение. Он
производителен, т.к. обрабатывается несколько зубьев сразу, процесс
зубонарезания идет непрерывно. Профиль зуба формируется с учетом числа
зубьев колеса, поэтому нарезание точное. По такому же принципу
производится чистовая обработка, шлифование зубьев.
5.8 ИСХОДНЫЙ КОНТУР
Из описания способов изготовления зубчатых
колес ясно, что размеры зуба полностью зависят от
профиля
инструмента.
По
ГОСТ
профиль
инструмента стандартизован путем задания так
называемого «исходного контура». На рис.5.9
представлен теоретический исходный контур. Он
выполнен в виде рейки с трапециевидными зубьями.
Размеры рейки выражаются через один
основной параметр, называемый модулем. Модуль m
имеет размерность мм и выбирается из ряда
Рис. 5.9
рациональных чисел от 0.05 до 100.
Шаг рейки p - расстояние между одноименными точками двух соседних
зубьев. Шаг складывается из толщины зуба s и ширины впадины e. Та
единственная прямая, на которой толщина зуба равна ширине впадины,
называется делительной прямой рейки., остальные прямые называются
начальными. Шаг зубьев рейки p = π m s = e = π m / 2.
Делительная прямая делит зуб на головку и ножку. Высота головки – ha
= 1.25 m, высота ножки – hf = m, высота всего зуба – h = 2.25 m. Головка
закруглена радиусом ρ = 0.38 m.
Инструмент изготавливается по производящему исходному контуру,
отличающемуся от теоретического исходного контура тем, что впадина
сделана глубже на 0.25 m и закруглена так же как головка. Это сделано для
того, чтобы впадина инструмента не касалась заготовки. Следовательно
впадина не участвует в нарезании зуба. Зуб нарезают прямолинейные боковые
кромки и скругленная вершина зуба. Рейку можно рассматривать как зубчатое
колесо бесконечно большого радиуса. В этом случае эвольвента превращается
в прямую линию.
67
5.9 ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО ЗУБЧАТОГО КОЛЕСА
У нарезаемого зубчатого колеса на различных окружностях различный
шаг зубьев. Та единственная окружность, на которой шаг зубьев равен шагу
зубьев рейки, называется делительной. Шаг измеряется по дуге окружности.
Ее длина l = p z = π d, откуда следует d = pz / π = mz. Исходя из этой формулы,
можно дать определение делительной окружности как окружности, на которой
модуль зуба равен модулю рейки. Заметим, что в США стандартизован питч,
равный отношению числа зубьев к диаметру делительной окружности,
выраженному в дюймах.
Инструмент можно устанавливать на различном расстоянии от центра
заготовки. Рассмотрим частный случай, когда делительная прямая касается
делительной окружности. Нарезаемое таким образом колесо называется
нулевым. Основание для такого названия выяснится в дальнейшем.
Поскольку шаги на делительной окружности и на делительной прямой
одинаковы, эти линии катятся друг по другу без скольжения. Толщина зуба
делительной прямой рейки воспроизводится без искажения на делительной
окружности как ширина впадины колеса.
Тогда s = π m / 2, аналогично определяется
ширина впадины. Остальные размеры колеса
также определены размерами рейки:
= 2.25 m
ha = m
hf = 1.25 m
da = m (z + 2)
df = m (z – 2.5)
Прямолинейные
режущие
кромки
нарезают эвольвентную часть зуба, которая
идет
до
основной
окружности.
Для
определения диаметра основной окружности
проведем через точку Р общую нормаль N –
N. Она проходит под углом 20˚ к делительной
прямой. Основная окружность касается
общей нормали. Из построения на рис. 5.10
следует, что db = m z cos 20˚.
Из рис.5.10 следует еще один важный
вывод, используемый в дальнейшем: угол
профиля эвольвенты в точке, лежащей на
делительной окружности, равен углу
наклона боковой линии рейки, т.е. 20˚.
Рис. 5.10
5.10 НАРЕЗАНИЕ ЗУБЧАТЫХ
КОЛЕС СО СМЕЩЕНИЕМ
68
Рис. 5.11
Рассмотрим случай, когда делительная прямая не касается делительной
окружности и смещена от нее в направлении от центра колеса на некоторое
расстояние X (рис.5.11). Это расстояние называется смещением и выражается
через модуль и коэффициент смещения x
X=xm
Делительная окружность касается некоторой начальной прямой.
Поскольку на начальной прямой шаг равен шагу на делительной окружности,
то можно считать, что начальная прямая перекатывается по делительной
окружности без скольжения и отпечатывает на ней толщину зуба и ширину
впадины.
Из построения на рис.5.11 следует, что толщина зуба на делительной
окружности
s = π m / 2 + 2 mx tg 20°
Ширина впадины
e = π m / 2 - 2 mx tg 20˚
Диаметры окружностей вершин и впадин
da = m (z – 2.5 + 2x)
df = m (z – 2.5 + 2x)
Рассмотренный случай называется положительным смещением.
Коэффициент смещения х здесь считается
положительным. Если сместить рейку в
направлении к центру колеса, то ее делительная
прямая пересечет делительную окружность (рис.
5.12). Такой случай называется отрицательным
смещением. Нетрудно убедиться, что для него
справедливы все выведенные выше формулы,
если принять в них коэффициент смещения с
отрицательным знаком. Если положить х = 0, то
Рис. 5.12
получим формулы для нулевого колеса.
69
5.11 ВЛИЯНИЕ СМЕЩЕНИЯ НА ПРОФИЛЬ ЗУБА
На рис.5.12 представлены профили зубьев колес с одним модулем и
числом зубьев, но с различными коэффициентами смещения. Из сравнения их
следуют выводы:
1. 1.
Диаметры делительной d и основной db окружностей не
изменяются.
2. 2.
При х > 0 диаметры вершин и впадин увеличиваются
3. 3.
При х > 0 толщина зуба s увеличивается, ширина впадины
уменьшается, ножка зуба становится толще и короче, что увеличивает
изгибную прочность зуба.
4. 4.
Смещение не изменяет делительного и основного шага,
поэтому зацепление колес с различным смещением происходит нормально
5. 5.
При х > 0 профиль зуба располагается на участках с меньшей
кривизной эвольвенты, что увеличивает контактную прочность зуба
6. 6.
При х > 0 толщина зуба по окружности вершин уменьшается
При
отрицательном
смещении
происходят
изменения
в
противоположном направлении и зуб несколько ослабляется. Так как колесо
обычно прочнее шестерни, для создания равнопрочной передачи шестерне
делают положительное смещение, а колесу – отрицательное, Правильно
подобрав смещение, можно значительно повысить прочность передачи.
5.12 ПОДРЕЗАНИЕ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ, ЗАОСТРОЕНИЕ
Подрезание проявляется в утончении ножки зуба и приводит к
уменьшению изгибной прочности зуба и, кроме того, в связи с сокращением
эвольвентного участка, к нарушению закона зацепления на части профиля.
Боковой профиль зуба состоит из главной части и переходной кривой,
разделенных граничной точкой L (рис.5.13).
Положение точки L при заданном числе зубьев
зависит
от
коэффициента
смещения.
Коэффициент смещения, при котором точка L
лежит на основной окружности, называется
коэффициентом смещения. Если x < xmin,
переходная кривая пересечет главный профиль
Рис. 5.13
дальше основной окружности и часть эвольвенты
будет срезана, зуб окажется подрезанным (рис.
5.13).
Для
установления
зависимости
коэффициента смещения х от числа зубьев,
рассмотрим схему станочного зацепления при
нарезании
нулевого
колеса
(рис.5.14).
Установлено, что подрезание возникает, если
начальная прямая, проходящая через конец
Рис. 5.14
прямолинейной части рейки, заходит за точку
70
касания производящей прямой с основной окружностью – точку А. Для
устранения подрезания дадим рейке положительное смещение такое, чтобы
точки а и в совпали. Рассмотрим вытекающее из геометрических построений
соотношения. Из треугольника АТО следует OT = AO cos 20˚, из треугольника
OPA - AO = OP cos 20˚. Тогда OT OP cos2 20˚. С другой стороны ОТ = ОР –
ТР, где ОР = mz / 2, TP = m – xm. Приравняв обе формулы, получим ОР cos2
20˚ = OP – TP. После соответствующих подстановок и преобразований
окончательно получим
X = (17 – z)/ 17
(5.1)
Коэффициент смещения, определенный по формуле (5.1), представляет
минимальный коэффициент смещения, при котором отсутствует подрезание.
Минимальное число зубьев, свободное от подрезания, равно 17 – для него х =
0. Все колеса с числом зубьев меньше 17 обычно изготавливаются со
смещением. Впрочем, небольшое подрезание допускается и даже полезно с
точки зрения уменьшения кромочных ударов при зацеплении. При
рассмотрении картины зацепления может обнаружиться, что главный профиль
головки зуба, сопрягаясь с переходной кривой, внедряется в нее. Такое
явление при изготовлении колес приводит к рассмотренному выше
подрезанию, а при их зацеплении – к непроворачиваемости и поломке зубьев.
Такое явление носит название интерференции. Интерференции не будет, если
эвольвентный профиль сопрягается только с эвольвентным, в теории
зацепления установлены условия, при которых будет отсутствовать
интерференция. Наиболее часто интерференция возникает при внутреннем
зацеплении. Необходимо проектировать внутреннее зацепление так, чтобы
разница чисел зубьев колес была не менее 7 – 8.
Толщина зуба по окружности вершин зависит от смещения, с
увеличением смещения она уменьшается. Может возникнуть заострение зуба,
когда толщина зуба по окружности вершин sa = 0. Заострение нежелательно из
–за недостаточной прочности зуба – вершина заостренного зуба совершенно
неспособна воспринимать нагрузку. Обычно принимают sa > 0.25m – для
кинематических передач и sa > 0.4m – для силовых передач. Толщину зуба по
окружности вершин можно проверить по приводимой далее формуле.
5.13 ПОСТРОЕНИЕ КАРТИНЫ ЗАЦЕПЛЕНИЯ
Для построения картины зацепления необходимо по известным
формулам определить параметры зубчатых колес: d1, d2, da1, da2, df1, df2, db1,
db2, s1, s2, p. Межосевое расстояние вычисляется по формуле:
аW = (dW! + dW2) / 2
(5.2)
71
Рис. 5.15
В частном случае aW = a, где а – делительное межосевое расстояние, a =
(d1 + d2) / 2. Отложим межосевое расстояние aW, отметим центры вращения
колес О1 и О2, построим для каждого колеса окружности вершин, впадин,
делительную, основную (5.15). Проведем общую нормаль касательно к
основным окружностям, Она пересечет межосевое расстояние в точке Р –
полюсе зацепления, через который проходят начальные окружности.
Используя общую нормаль как производящую прямую, построим
эвольвентный участок профиля зуба первого колеса. Способ построения
эвольвенты описан ранее. Переходная кривая условно оформляется как
радиальная прямая, сопряженная с окружностью впадин галтелью радиусом ρ
= 0.4 m. Отложим половину толщины зуба по делительной окружности и
проведем ось симметрии зуба. Для этого удобно воспользоваться шаблоном.
Откладывая угловой шаг τ1 = 2π / z1 и используя шаблон зуба, строим 3 – 4
зуба. Точно так же строятся зубья второго колеса.
На картине зацепления можно отметить следующие элементы:
АВ – теоретическая линия зацепления, геометрическое место точек
касания профилей зубьев.
ав – активная линия зацепления, часть теоретической линии,
ограниченная окружностями вершин.
mn - активная часть профиля зуба, непосредственно участвующая в
зацеплении. Для ее определения нужно перенести точку, а радиусом оа на
профиль зуба.
αW - угол зацепления, угол между линией зацепления и общей
касательной Т – Т. Угол зацепления равен углу профиля эвольвенты αy в
точке, лежащей на начальной окружности.
72
5.14 КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕКРЫТИЯ
Одной из важнейших качественных характеристик зацепления является
коэффициент перекрытия. Он характеризует плавность зацепления колес.
Коэффициент перекрытия равен отношению угла перекрытия φα к угловому
шагу τ:
εα= φα / τ
(5.3)
Угол перекрытия есть угол поворота зубчатого колеса от положения
входа зуба в зацепление до положения выхода из зацепления. Его можно
определить, рассмотрев два положения зуба – в
момент входа и в момент выхода из зацепления
(рис. 5.16).
Угол перекрытия должен быть больше
углового шага. Благодаря этому первая пара
зубьев еще не успевает разомкнуться (придти в
точку в) как вторая пара зубьев входит в
зацепление. Таким образом, существуют
периоды
двухпарного
зацепления.
Это
обеспечивает непрерывность зацепления. Чем
больше εα, тем плавнее работает передача.
Установим зависимость εα от параметров
зацепляющихся колес. Умножим числитель и
знаменатель формулы (5.3) на rb - радиус
основной окружности. С учетом 4 – го свойства
эвольвенты φα rb1 = ab, кроме того, τ1 rb1 = pb шаг зубьев по основной окружности,
Рис. 5.16
следовательно, получим формулу:
εα = ав / pb
(5.4)
Формулу (5.4) можно использовать, если построена картина зацепления,
на которой можно замерить длину активной линии зацепления ав.
Для получения аналитической зависимости следует представить длину
активной линии зацепления в функции от параметров колес.
Из построения на рис.5.15 следует:
Ав = Рв = аР,
Рв = Ав – рА,
АР = Ва – РВ.
Из треугольников О1Ав и О1АР следует:
ав = rb1 tg αa1
РА = rb1 tg αW
Из треугольников О2Ва и О2ВР следует
Ba = rb2 tg αa2
PB = rb2 tg αW
Произведя подстановку полученных выражений в формулу (5.4) и
выполнив необходимые преобразования, получим:
73
εα = (z1 (tg αa1 - tg αW) + z2 (tg αa2 – tg αW)) / 2π
Здесь
аa1 = arccos (db1 / da1)
αa2 = arccos (db2/ da2)
Как вычисляется αW будет показано в дальнейшем.
Коэффициент перекрытия для прямозубых колес должен находиться в
пределах 1.2 < εα < 1.98.
5.15 ТОЛЩИНА ЗУБА НА ОКРУЖНОСТИ ПРОИЗВОЛЬНОГО
РАДИУСА
Определим толщину зуба sy на окружности диаметра dy. Из построений
на рис. 5.16 следует:
Sy = ψy dy
Ψy = ψ + θ - θy
(5.5)
где θ = inv 20˚, θy = inv αy
Для определения αy рассмотрим треугольник ОВY
αy = arccos (db / dy)
Угол ψ находится из соотношения ψ = s/d, где s – толщина зуба на
делительной окружности. Используя формулу (5.5), получим
Ψ = π/ 2z + 2 x tg 20˚/ z
Тогда
Ψy = π/ 2z + 2x tg20˚ + inv20˚ - inv αy
Толщина зуба и ширина впадины определяются из следующих
выражений
sy = dy (π /2z + 2x tg20˚ + inv20˚ - invαy)
еy = dy(π / 2z – 2x tg20˚ - inv20˚ + inv αy)
5.16 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ
При построении картины зацепления межосевое расстояние О1О2
определяется по формуле (5.2). Диаметры начальных окружностей можно
найти, рассмотрев треугольники О1АР и О2ВР:
dW1 = mz1 (cos20˚ / cos αW)
(5.6)
dW2 = mz2 (cos 20˚ / cos αW)
В таком случае начальное межосевое расстояние рассчитывается по
формуле
aW = 0.5 m (z1 + z2) (cos20˚ / cos αW)
(5.7)
Как уже указывалось, при работе зубчатой передачи начальные
окружности перекатываются друг по другу без скольжения. В случае
74
беззазорного зацепления толщина зуба на начальной окружности одного
колеса равна ширине впадины на начальной окружности другого колеса
sW1 = eW2
Выполнив подстановку соответствующих выражений для толщины зуба
и ширины впадины и произведя соответствующие преобразования, получим:
inv αW = 2 tg20˚ (x1 + x2) / (z1 + z2) + inv20˚
(5.8)
Полученное выражение называется уравнением зацепления, оно
позволяет определить угол зацепления, исходя из заданных чисел зубьев и
коэффициентов смещений.
Формулы (5.6). (5.7), (5.8) образуют основу для геометрического расчета
зубчатой передачи. В зависимости от сочетания коэффициентов смещений
различают четыре варианта передач, представленных в таблице
1
2
3
4
x1 = x2 = 0
x1 = - x2
x1 ≠ 0, x2 ≠ 0
x1 ≠ 0, x2 ≠ 0
∑x = 0
∑x = 0
∑x > 0
∑x < 0
αW
αW
αW
αW
= 20˚
= 20˚
> 20˚
< 20˚
dW
dW
dW
dW
=d
=d
>d
<d
aW
aW
aW
aW
=a
=a
>a
<a
нулевая передача
равносмещенная передача
положительная передача
отрицательная передача
Иногда формулу (5.6) представляют в виде:
аW = a + y m
Где y - коэффициент воспринимаемого смещения:
y = 0.5 (z1 + x2) (cos 20˚ - cos αW) / cos αW
Кроме того, вводится обозначение
∆y=∑x-y
где ∆y - коэффициент уравнительного смещения.
Согласно ГОСТ 16132- 72 расчет геометрических параметров зубчатой
перeдачи следует вести с использованием этих коэффициентов.
5.17 БЛОКИРУЮЩИЕ КОНТУРЫ
Как уже было показано, коэффициенты смещения существенно влияют
на качественные показатели зубчатой
передачи и ее геометрию. Использование
колес со смещением позволяет вписаться в
заданное
межосевое
расстояние.
При
увеличении x растет контактная и изгибная
прочность. Смещение влияет на скорость
скольжения профилей, а значит на их износ.
Помимо благоприятного влияния увеличение
смещения
ведет
к
заострению,
интерференции, к снижению коэффициента
перекрытия.
Невозможно
назначить
Рис. 5.17
75
смещение, оптимальное со всех точек зрения. Для каждой отдельной передачи
следует рассмотреть всю совокупность эффектов, вызываемых смещением, что
представляет весьма трудоемкую задачу.
С целью облегчения практического использования колес со смещением
разработан метод блокирующих контуров. Результаты расчетов представлены
в виде диаграмм, так называемых блокирующих контуров. Они позволяют
обоснованно назначать коэффициенты смещения, не прибегая к трудоемким
расчетам.
Блокирующий контур строится для каждой пары чисел зубьев z1 и z2. На
координатных осях откладываются значения x1 и x2 так, что точка А
соответствует передаче, составленной из колес с положительным смещением,
точка В – с отрицательным смещением, точка 0 - для нулевых колес (рис. 5.17).
Таким образом, каждой точке координатного поля соответствует вариант
передачи. Однако не все точки этого поля можно использовать. Некоторые
неприемлемы по условию существования передачи: интерференции,
подрезания, заострения, малого коэффициента перекрытия. Предельно
допустимому значению каждого этого параметра соответствуют безусловные
границы, эти границы в виде линий в совокупности образуют блокирующий
контур. Для каждой пары чисел зубьев формы контура будут разными. Внутри
контура могут быть нанесены условные границы, например, εα = 1.2, sa = 0.25
m, x = xmin и т. д. Блокирующие контуры для различных сочетаний чисел
зубьев колес содержаться в соответствующих справочниках.
5.18 КОСОЗУБЫЕ КОЛЕСА
Винтовые колеса с постоянным шагом
винтовой линии называются косозубыми.
Боковая
поверхность
зуба
образуется
чертящей
прямой
АВ,
лежащей
в
производящей плоскости Р при обкатывании
ее вокруг основного цилиндра Q. Если
чертящая прямая параллельна образующей
основного цилиндра, получается прямозубое
колесо, если она составляет с образующей угол
βb – косозубое. Каждая точка прямой
описывает эвольвенту. Косозубое колесо
можно
рассматривать
как
множество
прямозубых колес бесконечно малой толщины,
сдвинутых друг относительно друга. Боковая
поверхность зуба пересекает основной цилиндр по
винтовой линии с углом подъема 90˚ - βb Угол
подъема винтовой линии, измеренный на
поверхности делительного цилиндра, находится
на основании зависимости tg β = (r/rb) tg βb.
Рассмотрим
развертку
делительного
цилиндра на плоскости + рис.(5.18).На ней можно
76
Рис. 5.18
Рис. 5.19
указать три шага зубьев: нормальный pn, торцевой pt, осевой pa.
Соответственно этому имеется три модуля: нормальный mn, торцевой mt,
осевой ma. Из построения на рис. следует, что
Pt = pn cos β, следовательно mt = mn cos β.
Косозубые колеса изготавливаются тем же инструментом, что и
прямозубые. Заготовка разворачивается относительно инструмента на угол β.
В нормальном сечении зуб получается таким же, как у соответствующего
прямозубого колеса. Размеры зубьев в торцевом сечении рассчитываются по
приведенным выше формулам, но модуль принимается торцевой, выраженный
через стандартный модуль инструмента.
Основная особенность косозубых колес состоит в том, что зубья входят в
зацепление не по всей длине зуба, как это происходит в прямозубых колесах, а
по контактной линии, параллельной образующей основного цилиндра, длина
которой непрерывно изменяется. Благодаря этому увеличивается
продолжительность контакта пары зубьев, что находит выражение в
увеличении коэффициента перекрытия. Для косозубых колес коэффициент
перекрытия
εγ = εα+ εβ
где εα – коэффициент перекрытия соответствующего прямозубого
колеса,
εβ- добавочный коэффициент перекрытия из-за наклона линии зуба:
εβ = φβ / τ, где τ - угловой шаг.
Из построения на рис. 5.19 следует:
φβ = b tg β / r
Достоинство косозубых колес – плавность работы, бесшумность,
недостаток наличие осевого усилия на подшипники. Для устранения этого
усилия применяют шевронные колеса.
5.19 ДРУГИЕ ВИДЫ ЗАЦЕПЛЕНИЯ
Помимо
эвольвентного
ограниченное
распространение
получили
другие
виды
зацепления.
В
прошлом
было
широко
распространено циклоидальное (циклоидное)
зацепление. Если чертящую точку взять не на
прямой, а на производящей окружности, и
перекатывать ее по основной окружности,
чертящая точка будет описывать кривую,
называемую
циклоидой.
Причем,
если
производящая окружность катится снаружи
основной, будет эпициклоида, если внутри –
гипоциклоида. В циклоидальном зубчатом колесе
профиль
головки
зуба
выполняется
по
эпициклоиде, а профиль ножки зуба – по
гипоциклоиде. Преимущество циклоидального
77
Рис. 5.20
зацепления – контакт выпукло- вогнутых поверхностей и, как следствие,
уменьшение контактных напряжений. Недостаток – нельзя изменять
межцентровое расстояние и вообще менять колеса в парах.
Разновидностью циклоидального является часовое зацепление, в этом
зацеплении эпициклоида головки зуба заменена дугой окружности, а
гипоциклоида – прямой (циклоида превращается в прямую, если rn = 0.5 rb
(рис. 5.20)). Достоинства зацепления, большие передаточные отношения и
уменьшенный износ по сравнению с эвольвентным зацеплением.
Другой разновидностью циклоидального зацепления является цевочное
зацепление. Боковой профиль зуба шестерни выполняется по эпициклоиде, зуб
другого колеса - в виде цилиндрического ролика, называемого цевкой (рис.
5.20 б). При соответствующем выборе параметров профили будут
сопряженными. Такое зацепление применяется там, где большое колесо по
технологическим соображениям выполнить невозможно, его собирают из
дисков, снабженных цевками. Такие колеса применяются, например, для
привода поворотных платформ больших экскаваторов.
Сравнительно недавно было предложено круговинтовое зацепление
(зацепление Новикова). Если в обычном эвольвентном зацеплении зубья
касаются по контактной линии, которая перемещается по высоте зуба, то в
круговинтовом зацеплении контакт происходит в точке, которая перемещается
вдоль зуба. В качестве профилей зубьев здесь используются дуги окружностей
(рис. 5.20 в). Так как разница радиусов кривизны невелика, контактные
напряжения малы. Поскольку точка контакта перемещается вдоль зуба, высоту
зуба можно делать небольшой, тем самым, увеличивая прочность зубьев.
Зубчатые колеса с круговинтовыми зубьями, несмотря на их достоинства,
нашли ограниченное применение в связи со сложностью изготовления
инструмента для их нарезки.
5.20 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ
Винтовая передача – передача между цилиндрическими колесами со
скрещивающимися осями. (рис. 5.21а). Передача образована обычными
косозубыми колесами, у которых углы наклона зубьев β1 и β2 и угол
скрещивания осей β находятся в соотношении
β = β1 + β2.
Здесь имеет место точечное касание, что
является недостатком передачи. Передаточное
отношение колеблется в пределах 1 — 5. При
передаточном отношении U ≥ 5 винтовая
передача переходит в червячную (рис.5.21 в).
Червячные передачи находят широкое
применение в технике. Ее достоинства –
большое передаточное отношение, плавность,
бесшумность,
в
большинстве
случаев
свойство самоторможения. Недостатки –
низкий к.п.д., большие осевые усилия на
Рис. 5.21
78
подшипники, повышенный износ червячного колеса.
Червяк представляет собой винтовое зубчатое колесо малого диаметра и
большой ширины, с большим наклоном зуба червяка, как и винты, могут быть
одно- и многозаходными. Под числом заходов понимается число зубьев
червяка. Червячное колесо представляет косозубое эвольвентное колесо с
углом наклона зуба β = 90˚ - γ, где γ – угол подъема винтовой линии на
делительной окружности червяка. Для повышения долговечности передач,
улучшения смазки колеса делают не цилиндрическими и придают им
специальную форму. Червяк делают глобоиным (рис. 5.21 в), червячному
колесу придают форму, показанную на рис. 5.21г.
Передаточное отношение червячной передачи определяется по формуле:
U = Uk / Uч
Где Uк - число зубьев колеса, Uч – число зубьев (заходов) червяка.
Для однозаходного червяка передаточное отношение равно числу зубьев
червячного колеса, что и объясняет большое передаточное отношение
червячных передач.
Коническая
передача
образована
коническими
зубчатыми
колесами
с
пересекающимися осями(рис. 5.22). В основе
передачи
лежат
начальные
конусы,
перекатывающиеся друг по другу без
скольжения. Часть зуба, выступающая за
начальный конус, является головкой, а часть,
лежащая внутри – ножкой зуба. Высота
головки и ножки, а также остальные размеры
зубьев, в том числе и модуль, уменьшаются
при переходе от наружного торца колеса к
внутреннему. За модуль колеса принимается
наибольший, относящийся к делительной
Рис. 5.22
окружности наружного торца колеса. Размеры
зубьев подсчитываются по тем же формулам, что
Рис. 5.23
и для прямозубых колес. Нарезание конических
колес с прямыми зубьями возможно только на специальных зубострогальных
станках. Применяются также конические колеса с криволинейными зубьями.
5.21 ПЕРЕДАТОЧНОЕ
ЧИСЛО
ОТНОШЕНИЕ
И
ПЕРЕДАТОЧНОЕ
Важнейшей характеристикой всякого зубчатого механизма является
передаточное отношение. Передаточным отношением называется отношение
угловых скоростей колес. Передаточное отношение принято обозначать
буквой U и снабжать индексами, указывающими номера зубчатых колес,
например U12 = ω1 ⁄ ω2. Из рассмотрения зубчатой передачи на рис.5.23
следует:
VA1 = ω1 r1
VA2 = ω2 r2
VA1 = V A2
79
Тогда
U12 = ω1 / ω2 = r2 / r1 = m z2 / m z1 = z2 / z1
(5.10)
Передаточному отношению присваивается знак +, если входное и
выходное колеса вращаются в одном направлении, и знак -, если они
вращаются в разном направлении. Для зубчатой передачи внешнего
зацепления U12 отрицательно, для внутреннего зацепления – положительно.
При передаточном отношении больше единицы имеем редуктор (замедление
скорости), при передаточном отношении меньше единицы – мультипликатор
(происходит увеличение скорости вращения). В подавляющем большинстве
случаев механизмы являются редукторами. Их назначение – уменьшать
частоту вращения двигателя до той, которая необходима для нормальной
работы исполнительного органа машины. Одновременно с уменьшением
частоты вращения повышается крутящий момент. Так как к.п.д. зубчатой
передачи очень высок (0.95 – 0.98), то можно считать, что мощности N1 = N2,
где N1 = M1 ω1, N2 = M2 ω2, отсюда следует, что M2 = M1 U12.
Передаточное отношение не следует путать с передаточным числом, под
которым понимается отношение угловой скорости большего колеса к угловой
скорости меньшего, называемого обычно шестерней. Передаточное число
всегда больше единицы и знака не имеет.
Рядовой зубчатой передачей (зубчатым рядом) называется зубчатый
механизм, образованный зубчатыми колесами с неподвижными осями.
Зубчатый ряд состоит из одной или нескольких зубчатых передач. Рассмотрим
механизм на рис. 5.24. Он составлен из трех зубчатых передач, образованных
колесами z1, z2, z3, z4, z5, z6. Запишем их передаточные отношения:
U12 = ω1./ ω2,
U34 = ω3 / ω4,
U45 = ω4 / ω5,
ω4 = ω3 / U34,
ω5 = ω4 / U45
откуда
Ω2 = ω1 / U12,
Производя последовательную подстановку выражений для ω2, ω4, ω5,
получим
Ω5 = ω1 / U45 U34 U12,
откуда
U15 = U12 U34 U45
Полученная формула является частным случаем общего правила,
формулируемого следующим образом:
Передаточное отношение рядовой зубчатой передачи равно
произведению передаточных отношений входящих в нее зубчатых передач,
при этом следует учитывать знаки передаточных отношений составляющих
зубчатых передач.
Передаточное отношение также можно выразить через числа зубьев:
U15 = Z2 Z4Z5 / Z1 Z2 Z4
(5.11)
Отсюда следует второе правило:
80
Передаточное отношение рядовой зубчатой передачи равно дроби, в
числителе которой стоят числа зубьев выходных колес, а в знаменателе –
входных. Знак берется согласно указанному выше правилу знаков. В формуле
колесо Z4 не влияет на численное значение передаточного отношения, но
влияет на знак. Такое колесо называется паразитным
5.22 РАСЧЕТ РЯДОВОЙ КОРОБКИ ПЕРЕДАЧ
В качестве примера рассмотрим коробку передач легкового автомобиля,
Рис. 5.24
в основе которой рядовой зубчатый механизм (рис. 5.24).
Она состоит из входного вала 1, выходного вала 2 и промежуточного
вала 3. На промежуточном валу жестко закреплены колеса с числом зубьев Z1
= 29, Z2 = 24, Z3 = 20, Z4 = 15, Z5 = 15, на входном валу – колесо Z6 = 17. На
выходном валу подвижно установлены колеса Z7 = 24, Z8 = 27, Z9 = 33. Для
включения передачи 1 рычагом переключения передач передвигается
кулачковая муфта М1 направо так, что она кулачками сцепляется с колесом Z9.
Передвигая муфту влево, включаем передачу II, аналогично посредством
муфты М2 происходит включение передач III IY. При указанных числах
зубьев колес рассчитаем передаточные отношения на I II III IY передачах:
UI = 29 33 / 17 15 = 3.75
UII = 29 27 / 17 20 = 2.303
UIII = 29 21/ 17 24 = 1.49
UIY = 1
Вводя в зацепление с колесами Z5 и Z10 = 34 паразитное колесо Z11,
получаем передачу заднего хода с передаточным отношением
Uзх = - 29 34 / 17 15 = - 3.88.
81
5.23 ПЛАНЕТАРНЫЕ ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Рис. 5.25
Планетарным называется зубчатый механизм, содержащий колеса с
подвижными
осями.
Планетарные
зубчатые
механизмы
широко
распространены в технике, особенно транспортной, так как, обладая большим
передаточным отношением, имеют малые габариты и вес. Иногда эти
механизмы называют эпициклическими, так как траектории точек колес с
подвижными осями при внешнем зацеплении представляют эпициклоиды.
Простейший планетарный механизм представлен на рис. 5.25. Колесо 2 с
подвижной осью называется сателлитом, центральное колесо 1 – солнечным,
звено, несущее ось сателлита, называется водилом, его принято обозначать
буквой Н.
Если колесо 1 подвижно, степень подвижности механизма, рассчитанная
по формуле Чебышева, равна 2, Если остановить колесо 1, получим механизм с
W = 1 (рис. 5.25б) Механизмы, у которых W>1, называются
дифференциальными (зубчатыми дифференциальными). Если у планетарного
механизма остановить водило, оставив колеса свободными, получим рядовую
передачу.
Рис. 5.26
Схема планетарных механизмов могут быть очень разнообразными.
Практическое применение нашло, в основном, только несколько схем.
Наиболее распространенные схемы представлены на рис. 5.26.
Механизм по схеме а получил название механизма Джеймса, а механизм
по схеме в – механизм Давида. Наибольшее распространение получила схема
82
а. Она характеризуется высоким к.п.д., практический диапазон передаточных
отношений U = 3 – 8. Механизмы по схемам в и г могут иметь очень большие
передаточные отношения, но у них низкий к.п.д. По схеме е выполняются
мотор – редукторы, представляющие в одном агрегате двигатель и редуктор.
Особенно перспективна схема д, здесь всего два колеса, высокий к.п.д.,
большое передаточное отношение.
5.24
АНАЛИТИЧЕСКИЙ
ПЕРЕДАТОЧНОГО ОТНОШЕНИЯ
ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ
МЕТОД
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
И УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ
Кинематический расчет планетарных механизмов значительно более
сложен, чем рядовых механизмов. Он основан на методе обращения движения.
Рассмотрим его на примере механизма на рис. 5.27. Считаем, что заданы числа
зубьев колес Z1, Z2, Z3, Z4, угловая скорость входного колеса ω1. Требуется
определить передаточное отношение U1н, угловую скорость выходного звена Н
и угловую скорость колеса 2.
Сущность
метода
обращения
движения состоит в следующем: придадим
стойке механизма скорость вращения
водила ωн, но в противоположном
направлении. Тогда водило окажется
Рис. 5.27
неподвижным в абсолютной системе
отсчета, а остальные звенья приобретут дополнительную скорость – ωн.
Изобразим обращенный механизм рядом на схеме. Механизм с неподвижным
водилом является зубчатым рядом, для него справедливы полученные ранее
соотношения:
U14H = (ω1 - ωH) / (ω4 – ωH)
(5.12)
Здесь верхний индекс Н указывает, что параметры относятся к
обращенному механизму. Согласно формуле (5.11) имеем:
U14H = - Z2 Z4 / Z1 Z3
Из формулы (5.12) после некоторых преобразований следует:
U1H = ω1 / ωH = 1 - U14H
Полученная формула справедлива для любой схемы планетарного
механизма. Она носит название формулы Виллиса.
Если требуется определить передаточное отношение от водила к колесу
1, то, имея в виду, что UH1 = 1 / U1H, получим
UH1 = 1 / (1 - U14H)
Зная U1H, можно найти ωН: ωН = ω1 / U1H. Для
определения скорости ω2 следует рассмотреть одну ступень
планетарного механизма и изобразить соответствующий ей
обращенный механизм (рис.5.28). Для обращенного механизма
U12 = (ω1 – ωH) / (ω2 - ωH)
83
Рис. 5.28
Отсюда уже не представляет сложности определить ω2.
5.25
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛА
АНАЛИЗ
АВТОМОБИЛЬНОГО
Рис. 5.29
Рассмотренный метод кинематического исследования применим также к
анализу дифференциальных зубчатых механизмов. Одним из наиболее
известных является автомобильный дифференциал (рис.5.29). Его назначение
– передача движения от карданного вала к колесам автомобиля. Механизм,
представленный на рис.5.29, включает главную передачу, образованную
коническими колесами Z1 и Z2, корпус дифференциала, являющийся в то же
время водилом дифференциального механизма, нескольких сателлитов Z4 и
двух центральных колес Z3 и Z5, жестко посаженных на полуоси колес.
Применим к этому механизму принцип обращения движения, сообщив
ему скорость – ωН. На рис. представлен обращенный механизм. Для него
можно записать
U35H = (ω3 – ωH) / (ω5 – ωH) = Z5 / Z3
Поскольку Z5 = Z3, U35H = -1. Знак минус указывает, что колеса Z3 и Z5 в
обращенном механизме вращаются в противоположном направлении.
Произведя подстановку, получим уравнение автомобильного дифференциала:
Ω3 + ω5 = 2 ωН
(5.13)
Произведем анализ формулы (5.13). При движении по прямому участку
дороги ω3 = ω5 = ωН, следовательно, дифференциал как бы жестко связывает
полуоси,
происходит
кинематическая
блокировка
дифференциала.
Совершенно по другому ведет себя дифференциал при движении по
закруглению. Внешнее колесо движется с большой угловой скоростью, чем
внутренне, но так, что их средняя скорость равна скорости водила. Если бы
колеса были связаны жесткой осью, происходило бы пробуксовка одного или
обоих колес, ухудшая эксплуатацию автомобиля. В том случае, когда одно
колесо свободно пробуксовывает, второе колесе неподвижно. Скорость
буксующего колеса равно 2ωН. В таких случаях применят механическую
блокировку дифференциала.
84
5.26 ЗАМКНУТЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Замкнутые дифференциальные механизмы позволяют получать
огромные передаточные отношения при высоких к.п.д. Схемы таких
механизмов чрезвычайно разнообразны. Рассмотрим механизм, построенный
на основе трехколесного дифференциала (рис. 5.30). Для получения большого
передаточного отношения необходимо, чтобы солнечные колеса Z1 и Z3
вращались в разные стороны. Это достигается тем,
что вводится замыкающая кинематическая цепь,
выполненная в виде рядового зубчатого механизма. В
отдельных
случаях
возможно
получение
передаточного отношения порядка 700 -- 1000. При
анализе таких механизмов их надо разделить на
рядовую и планетарную ступени и проводить анализ
каждой ступени, используя формулы, приведенные
Рис. 5.30
выше.
5.27 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КОРОБКИ ПЕРЕДАЧ
Дифференциальные
коробки
передач
получили
широкое
распространение в транспортных машинах, например, тяжелых тракторах,
лебедках и т.д. Они представляют дифференциальные механизмы, которые
посредством фрикционных муфт можно преобразовать в различные
комбинации рядовых и планетарных механизмов, при этом изменяется общее
передаточное отношение механизма.
В качестве примера рассмотрим привод
тяговой лебедки (рис. 5.31). Привод составлен на
основе двух последовательно установленных
трехколесных дифференциалов, снабженных
ленточными тормозами Т1 и Т2 и фрикционными
муфтами М1 и М2.
Здесь возможны четыре режима передач.
Рис. 5.31
При
включении
тормозов
Т1
и
Т2
дифференциалы работают как последовательно установленные планетарные
механизмы, при этом обеспечивается наибольшее передаточное отношение.
Для получения второй передачи включается тормоз Т1 и муфта М2. Тем самым
блокируется второй дифференциал, который ведет себя как одно звено,
работает только планетарный механизм первой ступени. Третья передача
получается, если включить тормоз и муфту М1. Четвертая передача получается
при включении муфт М1 и М2. Это режим прямой передачи без редукции.
85
5.28 ГРАФИЧЕСКИЙ
МЕХАНИЗМОВ
МЕТОД
АНАЛИЗА
ПЛАНЕТАРНЫХ
В ряде случаев полезно произвести кинематическое исследование
планетарного механизма графическим методом. В основе этого метода лежат
два положения кинематики:
1. 1.
Скорость точки звена, совершающего вращательное
движение, является линейной функцией радиуса вращения. В таком случае
график зависимости скорости от радиуса есть прямая линия.
2. 2.
Любое плоское движение можно рассматривать как
мгновенное вращательное движение вокруг МЦС (мгновенного центра
скоростей).
Рис. 5.32
В качестве примера рассмотрим механизм, представленный на рис. 5.32.
Он включает планетарную и рядовую ступень, составленную колесами Z5 и Z6.
Схема механизма должна быть построена в масштабе kl = lOA / OA. Справа от
схемы построена линия полюсов р – р. От этой линии откладываются скорости
точек звеньев в масштабе kV = VA / pa. Условимся положительные скорости
направлять вправо, отрицательные – влево. Точки на линии полюсов находятся
в проекционной связи с точками на механизме. Построение плана скоростей
начинается с точки А. Скорость точки С равна нулю, эта точка является МЦС
для блока сателлитов. Линия са на плане скоростей называется картиной
распределения скоростей. Она обладает тем свойством, что на ней находятся
концы векторов скоростей точек, лежащих на блоке сателлитов. Это свойство
обосновано выше. Тогда, проведя линию проекционной связи, найдем
скорость точки В. Соединив точки В и О, получим картину скоростей водила.
Дальнейшее построение ясно из рисунка.
Покажем, что угловая скорость звена пропорциональна тангенсу угла
наклона соответствующей картины скоростей. Это следует из соотношения:
Ω1 = VA / LOA = tg α kω
(5.14)
Аналогичные выражения можно записать для угловых скоростей
остальных звеньев.
Формула (5.14) позволяет по углу наклона найти угловые скорости.
Однако можно избегнуть необходимости этого расчета, если произвести
86
дополнительное построение плана угловых скоростей. Выбирается
произвольный вертикальный отрезок sk, из точки к строятся под углами α
лучи до пересечения с горизонталью, проведенной через точку s. Из
построений следует, что, например, tg α = sa / sk. Следовательно отрезки sa, sc,
sb, se выражают в масштабе угловые скорости ω1, ω2, ωН, ω6.
Графическое исследование дифференциального механизма производится
аналогично, с той лишь разницей, что скорость точки С принимается равной
нулю.
5.29
УСЛОВИЯ
СООСНОСТИ,
ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ
СОСЕДСТВА,
В
отличие
от
рядовых
механизмов
планетарный механизм может существовать только
при выполнении определенных соотношений между
числами зубьев колес. Прежде всего должно быть
выполнено условие соосности. Оно состоит в том,
что оси центральных, солнечного и опорного, колес,
а также водила должны совпадать. В противном
случае механизм заклинит. Из рассмотрения схем на
рис.5.33. следует:
а+b=c+d
СБОРКИ
Рис. 5.33
Поскольку колеса изображены их делительными окружностями, то
нетрудно через диаметры делительных окружностей записанное выше
равенство представить в виде:
Z1 + Z2 = Z3 + Z4
Аналогичным образом для механизма по схеме б
получено условие:
Z1 + Z2 = Z4 – Z3
Условие соседства сателлитов выражается в том,
что соседние сателлиты не должны касаться друг друга
окружностями вершин (рис.5.34) Из геометрических
построений соотношение:
Рис. 5.34
2 r2a < 2 RH sin π / k
где r2a - радиус окружности вершин сателлита,
RH – радиус водила,
k – число сателлитов в механизме.
Выразив радиусы через модули и числа зубьев,
и произведя преобразования, получим:
Sin π / k > (Z2 + 2) / (Z1 + Z2)
(5.15)
Формула
(5.15)
позволяет
подсчитать
максимальное число сателлитов. Впрочем, эту
87
Рис. 5.35
задачу можно решить и чисто графически.
При сборке трехколесного планетарного механизма может оказаться, что
после установки первого сателлита остальные сателлиты установить нельзя.
Это происходит потому, что поставленный первым сателлит полностью
определяет взаимное положение центральных колес. Установим условия,
налагаемые на числа зубьев, при которых будет происходить собираемость
механизма (рис. 5.35)
Будем считать, что сателлит имеет четное число зубьев, тогда впадины
на центральных колесах можно расположить друг против друга. Повернем
колесо 1 на целое число Е угловых шагов φ1Е = Е φ1, где φ1 = 2π/Z1.Тогда
впадины между зубьями расположатся друг против друга и можно поставить
следующий сателлит. Подсчитаем угол поворота водила:
Φ1Е / φHE = U1H,
Отсюда
ΦH E = 2π E / Z1 U1H
Воспользовавшись формулой Виллиса, выразим U1H через U13H и
преобразуем вышезаписанную формулу:
ΦHE = 2π E / (Z1 + Z3)
Таким путем можно установить к сателлитов, если расположить их
равномерно:
к = 2π/ φHE = (Z1 + Z3) / E
Поскольку к – целое число, Z1 + Z3 должно быть кратно числу
сателлитов. Аналогичные результаты получены и при нечетном числе зубьев
сателлитов. Для передач с двойными сателлитами условие сборки можно
получить аналогичным образом.
5.30 ПРИМЕР СИНТЕЗА ПЛАНЕТАРНОГО МЕХАНИЗМА
Рассмотрим методику синтеза планетарного механизма, ограничиваясь
соблюдением условия заданного передаточного отношения и условия
соосности. Пусть выбрана схема механизма (рис.5.36),
для которой надо подобрать числа зубьев,
обеспечивающие передаточное отношение, например,
равное 12.
1.
Определяем
передаточное
отношение
соответствующего обращенного механизма:
U14H 1 – U1H = - 11
2.Разложим полученное передаточное отношение
на множители. Здесь возможны разнообразные
варианты, например:
U14H = Z2 Z4 / Z1 Z3 = 220 / 20 =4 ▪ 55 / 4 ▪ 5
88
Рис. 5.36
3.Запишем условие соосности и проверим его выполнение для принятых
чисел зубьев:
Z1 + Z2 = 4 + 4 = 8
Z4 – Z3 = 55 – 5 = 50
4.Условие соосности, как правило, не выполняется. Для его выполнения
нужно умножить верхнюю формулу на 50, а нижнюю – на 8. Тогда
Z1 = 200 Z2 = 200 Z4 = 440 Z3 = 40
Полученные числа зубьев можно сократить так, чтобы получились
реально выполнимые колеса с числом зубьев в пределах 10 – 100.
5.31 ВОЛНОВАЯ ПЕРЕДАЧА
В 1959 году Массер (США) запатентовал зубчатую передачу, которая в
настоящее время пользуется большой популярностью. Ее основные
достоинства – большое передаточное отношение, высокий к.п.д., способность
передавать движение в герметичные полости, многопарность зацепления (до
30% зубьев), малое скольжение и износ. В волновой передаче одно из колес
выполняется гибким, способным деформироваться под действием звена,
называемого генератором волн. Волновые передачи весьма разнообразны.
Чаще всего они выполняются с неподвижным жестким звеном и внутренним
гибким колесом. Возможны двухволновые и
многоволновые механизмы с генератором в
виде эллипсовидного звена с шариковым
сепаратором.
Преобразование движения происходит
за счет деформации упругой оболочки. Легче
всего принцип действия волновой передачи
объяснить, исходя из аналогии с планетарной
передачей. Волновая передача, представленная
на рис. 5.37, эквивалентна двухколесной
планетарной передаче (рис. 5.37 б), у которой
число зубьев сателлита равно числу зубьев
гибкого колеса.
Для планетарного механизма
U12H = (ω1 – ωH) / (ω2 – ωH) = Z2 / Z1,
откуда
Uпл = ωH / ω1 = 1 / (1 – Z2 / Z1)
Если Z2 / Z1 ≈ 1, то Uпл получается очень
большим и имеет отрицательный знак.
Рис. 5.37
Еще один вариант исполнения волновой
передачи представлен на рис. 5.37 в. Здесь посредством гибкой стенки
герметично разъединены полости А и Б Планетарным аналогом служит
механизм с поступательно движущимся сателлитом. Для него
89
U12H = (ω1 – ωH) / (ω2 – ωH) = Z2 / Z1,
Откуда
Uпл = ωH / ω2 = (Z2 / Z1) / (Z2/ Z1 – 1)
Здесь передаточное отношение положительно, что обусловливает
большой к.п.д.
6 СИНТЕЗ КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ
6.1 ВИДЫ КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ
Кулачковым механизмом называется механизм, в состав которого входит
кулачок (звено, рабочая поверхность которого имеет переменную кривизну).
Зубчатый механизм можно рассматривать как многокулачковый механизм.
Кулачковые механизмы широко применяются в двигателях внутреннего
сгорания, в текстильных машинах, в полиграфических машинах, в машинах –
автоматах различного назначения, в разнообразных приборах. Достоинство
кулачковых механизмов – возможность воспроизводить почти любой закон
движения, причем синтез их относительно несложен. Недостатки – наличие
высшей кинематической пары и, как следствие, ограниченная долговечность,
сложность изготовления, высокая стоимость.
Кулачковый механизм состоит из кулачка (обычно вращающегося) и
толкателя, совершающего возвратно – поступательное движение. Иногда
толкатель совершает колебательное движение, в таком случае он называется
колебателем или коромыслом. Для уменьшения трения толкатель снабжают
роликом. Схемы кулачковых механизмов чрезвычайно разнообразны.
Кулачковые механизмы бывают плоские и пространственные, с толкателем,
имеющим рабочим элементом острие, ролик или плоскость, центральные и
дезаксиальные (рис. 6.1).
Рис. 6.2
Соприкосновение звеньев в кулачковом механизме обеспечивается
силовым или геометрическим замыканием (рис. 6.2). Силовое замыкание
90
осуществляется с помощью пружины. Геометрическое замыкание
осуществляется с помощью паза, в котором помещается ролик толкателя.
Недостатком такой конструкции является трудоемкость точного выполнения
паза и наличие удара при реверсировании движения толкателя из-за
неизбежного зазора между роликом и пазом. От этого недостатка свободен
двухдисковый кулачок. Еще одну разновидность представляет диаметральный
кулачок с рамочным толкателем. Его особенность состоит в том, что
произвольно можно выбрать только часть профиля кулачка, оставшаяся часть
профиля определяется из условия замыкания кулачка рамкой.
Рис. 6.3
6.2 ЗАМЕНЯЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
Кулачковый механизм может быть заменен кинематически
эквивалентным рычажным механизмом. В основе такой замены лежит
принцип замены механизма с вышей парой механизмом с низшими парами:
через точку касания элементов высшей пары следует провести общую нормаль
к профилям, в центрах кривизны профилей поместить шарниры или
поступательные пары (если одним из профилей является прямая линия.). На
рис. 6.3 представлены кулачковые механизмы и заменяющие их рычажные
механизмы: шарнирный четырехзвенник, кривошипно – ползунный, синусный
механизм.
Движение ведомых звеньев будет одинаковым в кулачковых и
заменяющих их рычажных механизмах. Следует подчеркнуть, что речь идет о
мгновенно заменяющих механизмах, так как в связи с непрерывным
изменением радиуса кривизны кулачка меняется длина кривошипа и шатуна.
Таким образом, задачу кинематического исследования кулачкового механизма
можно свести к исследованию соответствующего рычажного механизма.
6.3 ЭЛЕМЕНТЫ ПРОФИЛЯ КУЛАЧКА
Несмотря на чрезвычайное разнообразие профилей кулачков можно
указать общие для всех их элементы. Для всякого кулачка можно найти точки
наиболее и наименее удаленные от центра вращения и указать
соответствующие им максимальный радиус Rmax и минимальный радиус Rmin
91
(рис. 6.4). Окружность радиусом Rmin называется окружностью минимального
радиуса. Она играет важную роль при последующем анализе кулачковых
механизмов. В моменты, когда толкатель контактирует с точками профиля,
соответствующими Rmin и Rmax, он неподвижен. Если такая точка одна, то
толкатель совершает мгновенную остановку, если таких точек много, так, что
они образуют дугу радиуса Rmin или Rmax, имеет место нижний или верхний
выстой.
Между периодами остановок (выстоев) лежат периоды подъема и
опускания толкателя. Они соответствуют левому и правому рабочему
профилю кулачка. Именно рабочий профиль определяет закон перемещения
толкателя при подъеме или опускании. Соответствующие периоды называются
фазами работы толкателя и на профиле кулачка определяются фазовыми
углами: углом нижнего выстоя φнв, углом подьема φп, углом верхнего выстоя
φвв, углом опускания φо.
Фазовые углы связаны соотношением
Рис. 6.5
φп + φвв + φо + φнв = 360˚
Для любого кулачкового механизма диаграмма перемещений толкателя
имеет характерный вид, представленный на рис. 6.5
Разнообразие законов движения достигается за счет различного
сочетания длительностей фаз, а также различных законов подъема и опускания
толкателя.
6.4 ВЫБОР ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ТОЛКАТЕЛЯ
В
ряде технологических
машин,
таких
как текстильные,
полиграфические и другие, закон движения полностью определен той
операцией, для выполнения которой механизм предназначен. В таком случае
выбор закона движения отпадает. Однако во многих случаях, например, в
машинах – автоматах, автомобильных двигателях технологическим процессом
задаются только фазовые углы и величины перемещений. Внутри каждой фазы
подъема и опускания закон движения может быть произвольным, Тогда закон
движения выбирается таким, чтобы механизм был оптимальным в
динамическом отношении.
Простейшим законом является закон постоянной скорости (рис. 6.6).
Скорость в точке 1 теоретически мгновенно изменяет направление,
следовательно ускорение стремится к бесконечности. Практически из – за
92
Рис. 6.6
упругости звеньев изменение направления происходит за некоторый малый
промежуток времени, поэтому ускорение не бесконечно, но велико, а
следовательно и очень велика сила инерции. Это явление носит название
жесткого удара. Такой закон движения может быть применен только для
малоответственных тихоходных механизмов.
Жесткого удара можно избежать, если принять закон постоянного
ускорения. Однако здесь мгновенно изменяется направление ускорения и
следовательно – направление силы инерции. Это тоже проявляется в виде
удара – “ мягкого удара”, который приводит к колебаниям и дополнительным
динамическим нагрузкам. При применении закона косинусоидального
ускорения в точке 1 сила инерции равна нулю, но мягкий удар в точке 2 все же
происходит, если далее следует выстой толкателя.
Безударными будут синусоидальный закон и полиноминальный закон.
Однако применение двух последних законов предъявляет очень высокие
требования к точности изготовления кулачков.
Раньше обычно применялись кулачки, очерченные дугами сопряженных
окружностей. Несмотря на то, что профиль таких кулачков был абсолютно
гладким, в точках сопряжения происходили мягкие удары, так как имело место
мгновенное изменение радиусов кривизны.
6.5 ИЗГОТОВЛЕНИЕ КУЛАЧКОВ
Кулачковые механизмы очень чувствительны к точности профиля кулачка.
Поэтому они требуют особо тщательного изготовления. Основной метод
изготовления кулачков – по точкам. На требуемом расстоянии от оси кулачка
устанавливается фреза и производится обработка элемента профиля. Затем
заготовка с помощью делительного устройства поворачивается на 0.5 – 1˚,
фреза устанавливается в новое положение и так далее. Процесс очень
трудоемок, так как требует большого числа установок. Возникающие при
таком способе изготовления гребешки на профиле удаляются при
последующей доработке. Для изготовления кулачков применяются также
копировально-фрезерные станки и станки с числовым программным
93
управлением. Профиль кулачка задается в числовом виде и автоматически
воспроизводится на заготовке.
6.6 АНАЛИЗ КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ
Анализ кулачкового механизма состоит в определении кинематических
параметров движения толкателя: перемещения, скорости и ускорения.
Рассмотрим эту задачу на примере центрального кулачкового механизма с
Рис. 6.7
толкателем, имеющим острие (рис. 6.7).
Как видно из рисунка, для данного положения кулачкового механизма
перемещение толкателя есть разность между радиус – вектором профиля
кулачка и окружностью минимального радиуса. Для определения перемещения
в другом положении следует повернуть кулачок и снова найти эту разность.
Однако с целью облегчения построений удобно сообщить механизму
обращенное движение со скоростью равной скорости вращения кулачка, но в
обратном направлении. В таком случае кулачок будет оставаться
неподвижным, а ось толкателя будет занимать последовательные положения 1,
2, 3…
За начало отсчета принимают точку отрыва профиля кулачка от
окружности минимального радиуса. Обычно окружность разбивают на 12
частей. Части берутся равными, так как согласно формуле φ = ω t при
постоянной скорости вращения углы поворота φ при равных интервалах
времени тоже будут равными. Замерив перемещения и отложив их как
ординаты, соединяют точки плавной кривой. Полученный график есть график
s(φ) или в другом масштабе – график
s(t) Графики v(t) и a(t) получаются графическим дифференцированием
графика s(t).
Если толкатель снабжен роликом, то следует рассмотреть эквивалентный
механизм, у которого центр ролика как острие работает по центровому
профилю кулачка. Центровым профилем называется траектория ролика в
обращенном движении. Центровой профиль является эквидистантной кривой
по отношению к действительному профилю. Расстояние между ними,
измеренное по нормали к профилю, равно радиусу ролика.
94
Анализ кулачковых механизмов других видов принципиально подобен
рассмотренному выше.
6.7 УГОЛ
КУЛАЧКА
ДАВЛЕНИЯ
И
ЕГО
СВЯЗЬ
С
РАЗМЕРАМИ
Более важную для практики и в то же время более сложную задачу
представляет синтез кулачкового механизма. Синтез кулачковых механизмов
выполняется в два этапа. Первый этап – определение основных размеров
механизма: минимального радиуса, диаметра ролика, длины колебателя,
положение неподвижных элементов механизма. Второй этап – определение
профиля кулачка по заданному закону движения. Определение минимального
радиуса кулачка производится на основании угла давления.
Рис. 6.8
Углом давления называется угол между направлением силы и
направлением перемещения, вызванного этой силой. В случае кулачкового
механизма сила действует по общей нормали, проведенной через точку
касания ролика и кулачка, направление перемещения – по оси толкателя (рис.
6.8).Угол θ между этими направлениями – угол давления.
Перенесем силу Р по линии действия n – n в точку В и разложим на составляющие
N и T. Сила Т является движущей силой для толкателя, сила N прижимает
толкатель к направляющей, в результате чего возникает сила трения F.
T = P cos θ N = P sin θ F = f N
С увеличением угла θ движущая сила T уменьшается, сила N, а значит и
сила трения F увеличивается. При некотором предельном значении угла θ
движущая сила станет равной силе трения – толкатель застопорится.
F = T f P sin θ = P cos θ
Отсюда tgθ = 1/f, т.е. предельный угол давления определяется
коэффициентом трения f. В правильно спроектированном кулачковом
механизме угол давления значительно меньше предельного.
Практика рекомендует, исходя из рационального к.п.д., допустимый угол
давления до 30° для механизмов с роликовым толкателем и до 45° - для
механизмов с роликовым колебателем.
95
Выбирая соответствующие размеры кулачка, всегда можно
удовлетворить поставленному требованию по углу давления. Выясни связь
между размерами кулачка и углом давления Для этого рассмотрим
эквивалентный исходному кулачковый механизм с острым толкателем,
работающим по центровому профилю (рис. 6.8).
Построим план скоростей для этого механизма
Vb2 = Vb1 + Vb2, b1
Из плана скоростей следует
tg θ = Vb2 / Vb1 = Vb/ ω (Ro + s)
(6.1)
Из анализа этой формулы следует, что между углом давления и
минимальным радиусом существует нелинейная связь, такая, что с
увеличением минимального радиуса Ro угол давления уменьшается.
Уменьшение угла давления благоприятно сказывается на к.п.д. механизма,
однако это достигается за счет увеличения его габаритов.
Рис. 6.9
На основании этой формулы разработан графический прием
определения минимального радиуса (рис. 6.9), используемый обычно при
курсовом проектировании.
Исходя из графиков движения толкателя s(t) и v(t) методом исключения
общего переменного строится график v(s), а затем. переходом к новой
переменной ŝ = v / ω – график ŝ(s). Переменная ŝ называется аналогом
скорости. Положительное направление оси ŝ берется по направлению
вращения кулачка. В связи с тем, что размерность s и ŝ одинакова, масштабные
коэффициенты по обеим осям выбираются также одинаковыми.
Если от точки О вниз отложить минимальный радиус, а затем точку О1
соединить линией с произвольной точкой 1 на графике, то эта линия образует с
осью ординат угол θ – это вытекает из имеющегося соответствия отрезков на
рис. 6.9 и формулы (6.1).
Максимальный угол давления получится, если из точки О1 провести
касательную к левой части графика. Для кулачка с силовым замыканием
достаточно рассмотреть левую часть графика, так как опасность заклинивания
существует только на фазе подъема.
96
6.8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ РАЗМЕРОВ КУЛАЧКОВОГО
МЕХАНИЗМА С КОЛЕБАТЕЛЕМ
В основе определения минимального радиуса для кулачкового
механизма с колебателем также лежит рассмотренное выше соотношение
между минимальным радиусом и углом давления. Различие заключается в
своеобразии построения графика ŝ(s), учитывающем непрерывное изменение
направлений s и ŝ.
Рис. 6.10
Угол давления для такого механизма определится как угол между
направлением общей нормали n – n и вектором скорости VB (рис. 6.10).
Построение графика s(ŝ) выполняется следующим образом. В выбранном
масштабе строятся крайние положения колебателя В1С и В2С. Дуга В1В2,
представляющая траекторию точки В, делится на равные части и через точки
деления проводятся лучи из точки С. Для каждого положения колебателя
соответствующий участок дуги и луч можно рассматривать как оси s и ŝ.
Откладываем на лучах в принятом масштабе аналоги скорости ŝ, истинная
величина которых рассчитывается по формуле
ŝ = LBC ω2 / ω1
Рис. 6.11 - Определение минимального радиуса в кулачковом
механизме с колебателем
Значения ω2 берутся из имеющегося в нашем распоряжении графика
ω2(φ2).
97
На фазе подъема аналоги скоростей откладываются от центра С, на фазе
опускания 0 - к центру. В точках, где аналоги скоростей максимальны,
строятся перпендикуляры к лучам и к ним под допустимым углом давления
проводятся прямые линии.
Если выбрать центр вращения кулачка в заштрихованной зоне, то
отрезок ОВ1 можно принять за минимальный радиус. В таком случае
приближенно будет удовлетворяться допустимый угол давления. Выбрав
положение очки О, мы тем самым определяем еще один размер механизма –
расстояние между центрами вращения кулачка и колебателя – точками О и С.
7 ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАШИН – АВТОМАТОВ
7.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МАШИН – АВТОМАТОВ
Машина – автомат есть устройство, в котором все преобразования
энергии, материалов и информации осуществляются без участия человека. Так,
например, в станках – автоматах все работы и вспомогательные движения
выполняются без участия человека. После выполнения совокупности
движений устройство приходит в точно такое же состояние, в котором оно
находилось перед их началом. Эта совокупность движений называется циклом.
Машина – автомат выполняет цикл за циклом самостоятельно. Машина –
полуавтомат требует вмешательства человека на границах цикла, например,
для съема или установки детали.
Совокупность машин – автоматов, предназначенная для выполнения
определенного технологического процесса, называется автоматической
линией. Обычно кроме основного технологического оборудования в нее
входят транспортные и другие вспомогательные устройства. Участие человека
в работе автоматических линий состоит лишь в контроле за работой линий,
наладке, устранению неисправностей.
Основная сфера применения автоматов и автоматических линий –
массовое и крупносерийное производство, т.к. переналадка их на новое
изделие требует материальных затрат и времени.
Машина – автомат состоит из одного или нескольких исполнительных
органов, непосредственно воздействующих на обрабатываемый предмет, и
блока управления, вырабатывающего управляющие воздействия на
исполнительные органы. Источник, из которого блок управления черпает
информацию, называется программой. Программа – это совокупность команд,
которые должны быть выполнены для обеспечения требуемого
технологического процесса. Программа разрабатывается заранее на основании
проекта технологического процесса. Она физически реализуется на
программоносителе.
7.2 АНАЛОГОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
98
Существуют два принципиально различных способа задания программы:
в аналоговом и в цифровом виде. Программа в аналоговом виде задается
профилем кулачков, копиров, расстановкой упоров и конечных выключателей.
Например, в приводе суппорта токарного станка – автомата имеется
кулачковый механизм и зубчато – реечная передача, преобразующая поворот
коромысла в поступательное движение суппорта (рис. 7.1).
На кулачке имеется участок быстрого подвода инструмента АВ и
быстрого удаления СД, которые обычно выполняются по параболе, и участок
рабочей подачи ВС. Так как обычно подача равномерная, участок ВС
представляет спираль Архимеда.
Рис. 7.1
Кулачок является не только программоносителем аналогового типа, но и
механизмом привода исполнительного органа, в данном случае – суппорта.
Задаваясь различным профилем кулачка, можно получать различные законы
движения исполнительного органа. Достоинства системы управления с
кулачками – простота устройства, высокая точность. Недостатки – высокая
стоимость изготовления кулачков и недостаточная долговечность, вследствие
больших нагрузок на кулачок.
Рис.7.2
Другой способ задания программы в аналоговом виде – от копиров. Он
обычно применяется при обработке деталей со сложным профилем типа
кулачков, турбинных лопаток и т. д. На рис 7.2 представлена схема обработки
фасонной цилиндрической поверхности по способу непосредственного
копирования.
99
Стол фрезерного станка получает задающую подачу Sз. В результате
обкатывания ролика – щупа по поверхности копира К возникает следящая
подача Sс. Режущий инструмент полностью копирует движение щупа.
Недостаток этого способа состоит в том, что для создания большого усилия
резания пружина П должна быть достаточно мощной. А это вызывает большие
нагрузки на щуп и копир, снижающие их долговечность. Этот недостаток
устраняется, если применить следящий привод.
Рис. 7.3
Принцип действия следящего привода поясняется схемой на рис. 7.3.
Отличие от предыдущей схемы состоит в том, что усилие резания создается не
пружиной, а силовым гидроцилиндром, питаемым от гидронасоса через
сервоклапан.
Управление сервоклапаном осуществляется от копира посредством
щупа. Сервоклапан выполнен так, что при одинаковых расстояниях фрезы и
щупа от корпуса гидроцилиндра, пояски клапана перекрывают каналы,
связывающие поршневую и штоковую полость силового гидроцилиндра. При
появлении задающей подачи Sз щуп под действием копира перемещается
вверх и сообщает штоковую полость с напорной магистралью, а поршневую –
со сливной магистралью. Вследствие этого корпус гидроцилиндра, а вместе с
ним и фреза, останется на месте. Движение корпуса прекратится как только
сервоклапан перекроет каналы, питающие гидроцилиндр. Процесс слежения
всегда характеризуется некоторым запаздыванием подъема гидроцилиндра,
вызывающим погрешность слежения. Надлежащим выбором параметров
системы эту погрешность, а также колебания, возникающие из-за
инерционности системы, можно свести к минимуму.
Рис. 7.4
Наиболее простой является система управления по упорам. В качестве
программоносителя выступает линейка или вращающийся барабан с
закрепленными на них в определенных местах упорами. Эти упоры
100
воздействуют
на
концевые
выключатели,
которые
вырабатываю
соответствующие сигналы и посылают их в систему управления. Например, с
помощью упоров можно составить программу управления обработкой на
токарном станке ступенчатого валика (рис. 7.4). Сигнал, вырабатываемый
концевым выключателем, управляет поперечной подачей Sп.
Эта система широко применяется в автоматических линиях, в
автооператорах, входит в состав систем блокировок и сигнализации различных
устройств. Она конструктивно проста, универсальна, обеспечивает
дистанционное управление, легко переналаживается.
7.3 ЧИСЛОВОЕ ПРОГРАММНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
При задании программы в цифровом виде программоносителем является
в простейшем случае перфолента или магнитная лента. Системы управления,
работающие по программе, заданной в цифровом виде, называются системами
с числовым программным управлением (ЧПУ). Они широко применяются в
металлорежущих станках, в некотором технологическом оборудовании, в
промышленных роботах. Основное достоинство этого способа – возможность
быстрой подготовки и смены программы. Поэтому оборудование с ЧПУ
удобно использовать при серийном и мелкосерийном производстве. Однако
оно еще достаточно дорого.
Информация о величине требуемого перемещения каждого
исполнительного органа задается в виде информационного числа Z.
Z=S/S
Где S – величина требуемого перемещения,
S – величина единичного перемещения, шаг.
Рис. 7.5
Для того чтобы реализовать шаговые перемещения, чаще всего
используются шаговые электрические двигатели. Цепь питания этих
двигателей включается импульсами, при каждом включении ротор
поворачивается на определенный угловой шаг (рис. 7.5).
Полюса статора представляют электромагниты. Они разделены вдоль
оси статора на секции I II III. Ротор также состоит из секций, которые
представляют постоянные магниты с числом зубцов равным числу полюсов
статора. Секции ротора повернуты друг относительно друга на оду 1/3
полюсного угла. Если подать импульс постоянного тока на первую секцию, то
101
вследствие притяжения разноименных полюсов они установятся друг против
друга, а полюса второй и третьей секций расположатся со смещением на углы
1/3α и 2/3α. Если отключить первую секцию и включить вторую, то под
действием электромагнитных сил полюса во второй секции установятся друг
против друга, а ротор повернется на угол α/3. Затем, если выключить вторую и
включить третью секцию, ротор повернется на угол α/3. При переключении с
первой секции на вторую и третью ротор вращается против часовой стрелки.
При переключении с первой секции на третью, а затем вторую – по часовой
стрелке. Скорость вращения ротора определяется частотой поступающих в
двигатель импульсов тока, а общий угол поворота определяется количеством
импульсов.
7.4 СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ПО ВРЕМЕНИ
Графическое изображение рабочего цикла машины – автомата в
масштабе времени дается цикловой диаграммой (циклограммой).
Циклограммы могут быть линейными или круговыми. Циклограмма дает
картину состояния исполнительных органов с их увязкой во времени.
Циклограммой оговариваются не законы движения, а только сам факт
движения и его направление. На линейных циклограммах движение обычно
обозначается наклонными линиями, а покой – горизонтальными и поясняются
соответствующими подписями.
На циклограмме можно привести и другую полезную информацию
Рис. 7.6
Циклограмма – это есть программа для системы управления по времени
рис. 7.6.
В качестве примера рассмотрим циклограмму автомата для сверления
отверстий. Механизм М1 выполняет сверление отверстий, механизм М2
разжимает крепление обработанной детали, механизм М3 снимает деталь и
ставит новую. После этого начинается новый цикл.
Наиболее просто блок управления по времени реализуется с помощью
кулачкового распределительного вала, вращающегося с постоянной
скоростью. Полный поворот вала осуществляется за время Тц. Включение
отдельных исполнительных органов
осуществляется с помощью кулачков,
повернутых друг относительно друга на
углы
пропорциональные
соответствующим
временным
интервалам на циклограмме. В таком
случае включение механизмов будет
102
Рис. 7.7
происходить в нужные моменты времени. Углы установки кулачков
замеряются между начальными прямыми, т.е. прямыми, соответствующими
началу подъема толкателя (рис. 7.7). Для кулачкового механизма с
центральным толкателем и для одинаковых кулачковых механизмов с
колебателями углы установки кулачков совпадают с углами на циклограмме.
Если используются неодинаковые кулачковые механизмы, углы установки
определяются графическими построениями или аналитически.
Анализируя циклограмму можно установить, что некоторые движения
могут быть полностью или частично совмещены во времени. Появляется
возможность уплотнить циклограмму, тем самым уменьшить Тц, что
положительно сказывается на производительности машины.
Кулачковый распределительный вал выполняет две функции: функцию
программоносителя и функцию передаточного механизма от двигателя к
исполнительному органу. Возникающие при этом большие нагрузки снижают
долговечность механизма. От этого недостатка свободен кулачковый
командоаппарат. Он состоит из равномерно вращающегося кулачкового
распределительного вала, воздействующего на переключатели, которые
управляют индивидуальными приводами исполнительных органов.
7.5 ОСНОВЫ СИНТЕЗА ЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
При синтезе систем управления машин – автоматов часто требуется
осуществить определенную последовательность работы исполнительных
органов при изменяющейся длительности и изменяющихся параметрах
технологического процесса. Использовать описанную выше систему с
кулачковым распределительным валом нельзя, т. к. они пригодны только для
жестко регламентированных по времени и неизменных по структуре
процессов. Такие системы управления реализуются с помощью логических
устройств. Действие их подчиняется законам алгебры логики или булевой
алгебры. Изложим некоторые основные положения этой алгебры.
Ее отличие от обычной алгебры состоит прежде всего в том, что в ней
переменные и их функции могут принимать только два значения, 0 и 1.
Поэтому эта алгебра еще называется двоичной, а переменные и функции –
двоичными.
Простейшими логическими функциями являются функция повторения
(ДА), отрицания (НЕ), умножения (И), сложения (ИЛИ). Для обозначения
логических операций используются соответствующие символы. Функция
повторения f = x означает, что значение переменной сохраняется. Функция
отрицания f = x означает, что значение переменной x отрицается, т.е., если x =
1, то f = 0, если x = 0, то f = 1. Функция умножения f = x1 x2 означает, что f = 1
в том и только в том случае, если x1 и x2 одновременно равны 1. Функция
сложения f = x1 + x2 означает, что f=1, если равна 1 хотя бы одна из
переменных. На основании простейших логических функций могут быть
построены более сложные функции.
Применение двоичной алгебры к задачам управления объясняется тем,
что для исполнительных органов характерны два состояния – начало и конец
103
движения.
Электрические
(пневматические,
гидравлические)
цепи,
управляющие работой исполнительных органов, могут находиться только в
двух состояниях – есть ток (давление) или нет тока. Эти два состояния можно
описать сигналами, принимающими значения 0 и 1.
В системах управления машин – автоматов значения аргументов
представляют собой входные сигналы, а значения функций – выходные
сигналы. Каждому набору входных сигналов соответствует определенное
состояние системы управления.
Логические функции можно задавать как в алгебраическом, так и в
табличном виде. В качестве примера в таблице представлены функции f = x1 x2
x3 и f2 = x1 x2 x3.
1
2
3
4
5
6
7
8
x1
1
1
0
0
1
1
0
0
x2
1
0
1
0
1
0
1
0
x3
1
1
1
1
0
0
0
0
f1 = x1 x2 x3
1
0
0
0
0
0
0
0
f2 = x1 x2 x3
0
0
0
0
0
0
1
0
Эта таблица называется таблицей состояний. По функции, заданной в
алгебраическом виде, несложно составить таблицу состояний, обратное
преобразование сделать труднее. При синтезе систем управления возникает
задача составления выражений, называемых формулами включения, по
известной таблице состояний.
Физическая реализация логических функций возможна с помощью
устройств, которые могут находиться в двух конечных состояниях. Такие
устройства называются реле или логические элементы. Оформлены они могут
быть по разному. Применяются механические, электрические, пневматические,
полупроводниковые, магнитные и др. логические элементы. Логические
элементы, реализующие простейшие логические функции, выпускаются
серийно. Они служат основой для создания автоматических устройств,
реализующих сложные логические функции. Из всего многообразия
логических элементов для примера рассмотрим электрические и
электромагнитные, которые применяются наиболее часто (рис. 7.8).
Электрический логический элемент повторения представляет нормально
разомкнутый электрический выключатель (кнопку). При нажатии на него (x =
1) цепь замыкается (f = 1).
104
Электромагнитное реле того же назначения имеет замыкающте
контакты, срабатывающие при перемещении якоря электромагнита. При
наличии тока в обмотке электромагнита (x = 1) цепь замыкается (f = 1). В
обоих устройствах, если нет сигнала (x = 0), цепь разомкнута (f = 0).
Рис. 7.8
Электрический логический элемент отрицания представляет нормально
замкнутый выключатель. При нажатии на него (x = 1) цепь размыкается (f = 0).
Электромагнитное реле имеет контакты, которые при появлении тока в
обмотке электромагнита размыкаются.
Логические элементы сложения и умножения представляют
соответственно последовательно и параллельно соединенные нормально
открытые электрические контакты или электромагнитные реле с
замыкающими контактами.
7.6 СИНТЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Избирательной системой управления называется система, выбирающая
одну из возможных комбинаций выходных сигналов в зависимости от
Состояния
x1
x2
f1
f2
f3
1
1
1
1
0
0
2
1
0
0
1
0
3
0
0
0
0
1
значений входных сигналов.
Примером является система управления контрольно – сортировочным
автоматом, который измеряет изделия и в зависимости от результатов
измерения сортирует изделия на три группы (рис. 7. 9).
105
Размеры изделия измеряются с помощью проходного и непроходного
калибров. При прохождении калибров через диаметр изделия они нажимают
выключатели, создавая сигналы x1 и x2. Если проходят оба калибра, изделие
бракуется – соответствующие входные сигналы x1 = 1 и x2 = 1. Если прошел
проходной калибр и не прошел непроходной, деталь годна, соответствующие
сигналы x1 = 1 и x2 = 0. Если деталь не прошла обе скобы, она возвращается на
дополнительную обработку, соответствующие сигналы x1 = 0 и x2 = 0.
Эти условия представляют программу действия системы управления
механизмов М1, М2, М3, производящих соответствующее адресование
изделий, и могут быть представлены в виде таблицы состояний
Брак
Годен
Возврат
x1
1
1
0
x2
1
0
0
f1
1
0
0
f2
0
1
0
f3
0
0
1
Выходные сигналы, формируемые системой управления, обозначены f1,
f2, f3. В первом состоянии входных сигналов, определяющих брак, Выходным
сигналом f1 должен включаться механизм М1. Механизмы М2 и М3 должны
быть включены, т.е. f2 = 0, f3 = 0. Подобным же образом определяются
выходные сигналы в остальных состояниях.
На основании таблицы состояний составим формулы включения,
рассматривая выходные сигналы как логические произведения входных
сигналов:
F1 = x1 x2
f2 = x1 x2
f3 = x 1 x 2
Упростим формулы включения. Из анализа таблицы состояний следует,
что f1 в состояниях 1, 2, 3 принимает значения 1, 0, 0. Такие же значения в этих
состояниях имеет и сигнал x2, тогда f1 = x2. Сигнал f3 равен инверсному
сигналу x1. Функция f2 упрощению не поддается. Итак, после упрощений
имеем
F1 = x2
f2 = x1 x2
f3 = x1
Следующий этап – построение структурной схемы (блок – схемы)
системы управления, общей для логических элементов любых типов. Согласно
формулам включения необходимо иметь два элемента повторения ДА, два
элемента отрицания НЕ, один элемент умножения И.
106
Рис. 7.10
Изображаем так называемый «черный ящик», проставляем входы в него
x1, x2 и выходы f1, f2, f3, производим соединение входов и выходов согласно
формулам включения (рис. 7.10).
Реализация блок – схемы на электрических выключателях и
электромагнитных реле представлена на рис. 7.10. Механизмы М1, М2 и М3
включаются от выходных электромагнитных реле.
Проверим правильность работы схемы: нажаты оба выключателя –
включен механизм М1 – брак, нажат выключатель x1 и не нажат x2 – включен
механизм М2 – изделие годно, оба выключателя не нажаты – включен
механизм М3.
8 РОБОТЫ И МАНИПУЛЯТОРЫ
8.1 ВВЕДЕНИЕ
Робототехника как новое научно-техническое направление возникла в
результате огромного прогресса в развитии вычислительной техники и
механики. Роботы представляют новый класс машин, выполняющих
одновременно функции рабочих и информационных машин.
Возникновение
робототехники
обусловлено
потребностями
развивающегося общества. Удовлетворение все возрастающих потребностей
населения возможно только на основе дальнейшего роста производительности
труда. Важнейшим резервом этого роста в условиях дефицита трудовых
ресурсов является комплексная механизация и автоматизация производства.
Большие успехи автоматизации машиностроения в массовом и
крупносерийном
производстве
на
основе
использования
неперепрограммируемых автоматических устройств позволили получить
высокую производительность труда при минимальной себестоимости
продукции. Однако 70 % современной продукции машиностроения
выпускается малыми и средними сериями. В этих условиях не могут быть
применены традиционные средства автоматизации, и необходимая гибкость
производства достигается за счет использования ручного труда.
Дифференциация процесса производства на ряд многократно
повторяющихся простых операций привела к монотонным, утомительным
трудовым действиям, выполняемым людьми на конвейере. Труд, лишенный
107
творческого содержания, монотонный, опасный для жизни, должен быть
уделом роботов.
Слово "робот" ввел в обращение К.Чапек в своей пьесе "R.U.R." в 1920
году — так назывались искусственно созданные механические работники,
использующиеся на тяжелых физических работах. Чешское слово "robota"
означает тяжелый, подневольный труд. Предсказания писателя оказались
пророческими — мы являемся свидетелями того, как фантастическая идея
реализуется в виде универсального автомата, способного выполнять трудовые
функции человека, заменив его на тяжелых, вредных, малоэффективных
работах.
Что же такое робот, каково научно-техническое содержание этого
термина? Существует большое число определений понятия "робот". Их анализ
показывает, что к существенным свойствам робота относят его
антропоморфизм (уподобление человеку) при взаимодействии с окружающей
средой: универсальность, наличие элементов интеллекта, способность
обучаться, наличие памяти, способность самостоятельно ориентироваться в
окружающей среде и т.п. На основании указанных свойств сформулировано
следующее определение. Робот — это машина-автомат, предназначенная для
воспроизведения двигательных и умственных функций человека, а также
наделенная способностью к адаптации и обучению в процессе взаимодействия
с внешней средой. Это машина-автомат нового типа. Обычные автоматы
предназначены для многократного выполнения одной и той же операции.
Типичными примерами являются станки-автоматы, автоматы для размена
монет, продажи билетов, газет и т.д. В отличие от них роботы —
универсальные системы многоцелевого назначения; они способны не только
выполнять много разных операций, но и оперативно переобучаться с одной
операции на другую.
Роботы получили наибольшее распространение в промышленности и
прежде всего в машиностроении. Такие роботы называются промышленными.
Уже накоплен определенный опыт эксплуатации промышленных
роботов, позволяющий отметить следующие их достоинства.
Повышение безопасности труда — это одно из первоочередных
назначений роботов. Известно, что большинство несчастных случаев в
промышленности приходится на травмы рук, особенно при загрузочноразгрузочных операциях. Применение роботов позволяет улучшить условия
труда, потенциально опасного для здоровья людей: в литейных цехах, при
наличии радиоактивных материалов, вредных химических веществ, при
переработке хлопка, асбеста и т.п.
При использовании роботов происходит интенсификация рабочего
процесса, повышение производительности труда, стабилизация ее в течение
смены, увеличение коэффициента сменности основного технологического
оборудования, что улучшает технико-экономические показатели производства.
Повышается качество продукции. Так, например, улучшается качество
сварного шва в связи со строгим соблюдением технологического режима.
Снижаются потери от брака, связанного с ошибками оператора. Возможна
также экономия материалов. Например, при окраске автомобиля рабочим
108
только 30 % краски попадает непосредственно на автомобиль, остальная
уносится вентиляцией рабочего места. С применением роботов создаются
принципиально новые производства и технологические процессы,
максимально уменьшающие неблагоприятные воздействия на человека.
Однако эффективность применения робота проявляется только при
правильной организации его взаимодействия с обслуживаемым оборудованием
и внешней средой. Задача робототехники состоит не только в создании
роботов, но и в организации полностью автоматизированных производств.
Внедрение роботов в производство сопряжено с определенными
трудностями.
Роботы пока еще очень дороги и не всегда достаточно эффективны.
Промышленный робот не всегда способен полностью заменить рабочего,
обслуживающего технологическое оборудование или совершающего
технологическую операцию, а может лишь освободить его от монотонного
физического труда, изменив его характер и содержание, приближая к труду
наладчика.
Основными факторами экономической эффективности роботов,
учитываемыми при ее расчете, являются как производственные, так и
социальные. Эта особенность отличает роботы от других вариантов новой
техники, в связи с чем разработана специальная межотраслевая методика
оценки экономической эффективности при их создании и использовании.
8.2 История развития робототехники
Идея создания и использования механического двойника человека
зародилась очень давно. Вначале это были культовые статуи, театральные и
зрелищные автоматы. В средние века создавались часы с движущимися
фигурами, автоматические человекоподобные игрушки в виде писцов и
рисовальщиков, некоторые из них дошли до нашего времени. В них
использовались механизмы типа часовых, в качестве программных устройств
применялись кулачки. Кулачковые механизмы встречались во всех
программируемых автоматических механизмах того времени и были наиболее
распространены в станках и машинах вплоть до недавнего времени.
В 1805 г. Жаккард разработал автоматический ткацкий станок, в котором
рисунок задавался, выражаясь современным языком, "перфокартой". Этот
метод программирования был использован в первых механических
калькуляторах. Перфокарты и сейчас являются одним из способов хранения
цифровых данных.
Предшественниками современных роботов явились различные
технические устройства для осуществления манипуляционных действий,
управляемые человеком. Впервые такие манипуляторы были созданы в 1940—
1950 гг. для использования в атомной промышленности. Вначале они
приводились в движение за счёт мускульной силы человека, затем были
созданы манипуляторы с приводами, но управляемые человеком.
Робототехника возникла в последние два десятилетия, когда были
созданы необходимые предпосылки в кибернетике и вычислительной технике.
109
Изобретение компьютера позволило реализовать новый принцип управления.
Техника управления с помощью ЭВМ основана на непрерывном сравнении
потока данных о реальном состоянии объекта с заданным состоянием. Блоки
сравнения и коррекции образуют цепь обратной связи. Принцип управления с
обратной связью называется сервоуправлением.
Первый робот "Versatran", предназначенный для практического
использования, появился в США в 1962 г. Затем появились роботы "Unimate1900", получившие применение на заводах фирм "Дженерал Моторс" и
"Форд". В 1967 г. начался выпуск этих роботов по лицензии США в Англии, а
затем в Японии и Швеции.
В СССР первые практические результаты были получены в 1966 г. В
1971 г. появились роботы с позиционным управлением УМ-1, Универсал-50,
УПК-1. Начиная с 1972 г., работы в области робототехники приобрели
крупный плановый масштаб. К 1975 г. было создано свыше 30 типов серийных
роботов. Созданием и исследованием роботов в стране занимается ряд
научных и производственных коллективов, среди них Московский
государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, институт
машиноведения АН СССР, институт электросварки им. Е.О. Патона, ЭНИМС,
НПО "Гранат" и многие другие.
В настоящее время около 40 % всех выпускаемых в мире роботов — это
простейшие пневматические роботы, примерно столько же роботов с
гидравлическим
приводом,
остальные
приходятся
на
долю
электромеханических
роботов.
Однако
ожидается,
что
в
дальнейшем это соотношение
изменится в пользу роботов с
электроприводом. По составу
работ
роботы
распределены
примерно так: сварочные работы
—
39
%,
загрузочноразгрузочные — 20 %, роботы в
литейном производстве — 19 %,
окрасочные роботы 12 %,
остальное — прочие роботы.
Динамика роста парка роботов за
рубежом в последние годы
превышает
даже
оптимистические прогнозы.
8.3
Структура
классификация
роботов
и
Современные
роботы
весьма разнообразны. В широком
смысле
понятие
"робот"
110
Рис. 7.1 - Рис. 1.1. Способы управления
биотехническими роботами:
а — командный; б — копирующий; в —
включает класс технических систем, которые воспроизводят двигательные и
интеллектуальные функции человека. При таком подходе к роботам можно
отнести вычислительные и логические машины, машины, играющие в
шахматы, сочиняющие музыку, автоматические переводчики, кассиры,
автопилоты и т. д. Поэтому все роботы можно разделить на манипуляционные,
локомоционные
(шагающие,
самодвижущиеся,
экзоскелетоны),
информационные, творчески-игровые. Далее будут рассматриваться только
манипуляционные роботы.
Следует различать биотехнические, интерактивные и автоматические
роботы. Биотехническими называются роботы, которые не обладают
собственной памятью и непрерывно управляются человеком. Простейшими
являются роботы с командным управлением, когда нажатием на кнопку,
тумблер или рукоятку человек-оператор пускает в ход привод одной степени
подвижности (рис. 7.1а). Точности этого робота невелика. Такое устройство
еще нельзя назвать роботом — это его низшая ступень.
Следующий вид биотехнического робота — копирующий. Обычно
имеется задающее устройство, кинематически подобное руке робота. В его
суставах находятся датчики следящих систем, приводы которых размещаются
в соответствующих суставах исполнительной руки (рис. 7.1б). Перемещая
рукоятку задающего устройства, оператор создает нужную ориентацию
рабочего органа руки. Недостатком такого вида управления является
отсутствие обратной связи по усилию: оператор не ощущает действия
нагрузки. Чтобы устранить этот недостаток, управляющая рукоятка
снабжается автоматическим устройством имитации нагрузки. Тем не менее
такой способ управления достаточно утомителен.
В полуавтоматических манипуляторах, в отличие от предыдущих,
имеется специализированное вычислительное устройство. Сигнал управления
подается человеком с помощью управляющей рукоятки, которая может иметь
любую схему; отличающуюся от схемы руки робота (рис. 7.1в). Нажимая на
рукоятку в произвольном направлении, человек-оператор задает направление и
скорость движения рабочего органа. Сигналы, снимаемые с рукоятки,
поступают в специальное вычислительное устройство, в котором
формируются команды для каждой степени подвижности. Такой способ
управления более удобен для человека, энергетически экономичнее и менее
утомителен.
111
Рис. 7.2 - Функциональная схема автоматического
К интерактивным относятся робота
роботы с системой управления человек—
машина. У автоматизированных интерактивных роботов имеет место
чередование биотехнических и автоматических режимов работы. При
выполнении некоторых задач робот работает в автоматическом режиме по
программе; другие задачи, которые нельзя запрограммировать, реализуются
под управлением человека. При супер-визорном управлении человек-оператор
наблюдает по экрану обстановку в месте действия робота, подает в
управляющую ЭВМ команды, предписывающие перемещения его звеньев.
Робот выполняет эти команды в автоматическом режиме. Затем следуют
другие команды. Диалоговое управление осуществляется при взаимодействии
ЭВМ с человеком на языках различного уровня, в том числе на языке человека.
При этом все манипуляции производятся автоматически, но планирование их
осуществляет ЭВМ совместно с человеком. ЭВМ участвует в выработке
решений о дальнейших действиях и наилучшем способе управления. Смысл
применения всех интерактивных систем управления — использование
интеллекта человека в сложных, непредвиденных ситуациях.
Функциональная схема автоматического робота представлена на рис. 7.2.
Достаточно развитый робот состоит из трех систем: информационной,
управляющей, исполнительной. Информационная (сенсорная) система, как и
органы чувств человека, предназначена для сбора информации о состоянии
внешней среды. В качестве ее элементов используются телевизионные,
светолокационные, ультразвуковые, тактильные и другие датчики.
Управляющая система, как и мозг человека, служит для выработки законов
управления
двигателями
исполнительных
органов
на
основании
существующих предписаний (программ) и собранной информации.
Исполнительная система служит для отработки управляющих сигналов. Она
реализуется в виде манипулятора.
Манипулятор — оснащенное рабочим органом механическое
устройство, предназначенное для перемещения в пространстве тела (объекта
манипулирования), удерживаемого захватом. Манипулятор (лат. "manipulus"
112
— пригоршня) можно рассматривать как аналог руки человека. Его
конструкция в большей степени определяет возможности робота. Эти
возможности значительно ниже возможностей руки человека, которая
обладает 27 степенями подвижности или, если не учитывать движения пальцев
руки, 12 степенями подвижности. Число степеней подвижности манипулятора
ограничено и обычно не превышает семи.
8.4 Промышленные роботы
Автоматические
роботы,
получившие
распространение
в
промышленности, называются промышленными роботами (ПР). ГОСТ
25686—85 дает следующее определение этого понятия. Промышленный робот
— это автоматическая машина, состоящая из исполнительного устройства в
виде манипулятора, имеющего несколько степеней подвижности, и
перепрограммируемого устройства для выполнения в производственном
процессе двигательных или управляющих функций.
Промышленные роботы по степени совершенства принято делить на
роботы 1, 2 и 3-го поколений. Роботы 1-го поколения имеют жесткую
программу (поэтому они еще называются программными роботами) и требуют
точного позиционирования деталей, с которыми работают. Большинство
применяемых в настоящее время в промышленности роботов относится к 1-му
поколению. Они состоят из манипулятора и программных блоков: генератора
машинного времени, устройства считывания, устройства ввода и хранения
программы. Человек-оператор через панель управления задает режим работы
(обучения, автоматический, ручного управления, поцикло-вого исполнения
программы), осуществляет пуск и остановку робота. Робот может управлять
технологическим оборудованием. Темп исполнения программы определяется
генератором машинного времени.
Программные устройства могут иметь различные принципы построения
и реализовываться на различной элементной базе. В целом они строятся на
аналоговых либо на цифровых принципах. В качестве хранителей программы
(элементов памяти) используются штекерные панели, штекерные барабаны,
кассеты с магнитной лентой и т.п.
Первоначальная программа действий робота записывается в его память,
как правило, с помощью человека. Это называется этапом обучения робота.
Различают три метода обучения: 1) с помощью настройки механических
устройств типа кулачков, конечных переключателей, барабанов — "обучение
по точкам"; 2) с помощью пульта управления, как у станков с ЧПУ, —
"обучение с пульта", аналитическое программирование; 3) непосредственно
рукой оператора — "обучение показом".
Эта информация запоминается, т.е. хранится в элементах памяти, затем
по сигналу пуска воспроизводится, считывается и отрабатывается приводами.
Роботы 2-го поколения представляют более совершенные устройства, в
определенной степени приспособленные к изменяющейся внешней обстановке
и не требующие точного позиционирования деталей. Их поэтому еще
называют адаптивными. Роботы 2-го поколения имеют большое преимущество
113
перед роботами 1-го поколения, так как не требуют разработки
дополнительных устройств, обладают необходимой гибкостью. Сфера
применения таких роботов значительно шире, чем роботов 1-го поколения.
В настоящее время ведутся интенсивные работы по доводке адаптивных
роботов до промышленных образцов.
Функциональная схема управления роботом 2-го поколения включает
схему управления роботом 1-го поколения, дополненную элементами
адаптации. Блоки адаптации включают датчики процесса и блоки коррекции
сигналов управляющих устройств. Средства очувствления адаптивных роботов
весьма разнообразны. Сравнительно просто реализуется тактильное
очувствление. Тактильные датчики устанавливаются непосредственно на
рабочих органах — губках схватов. Применяются также локационные датчики,
работа которых основана на различных принципах. Чаще всего они могут
работать на небольших расстояниях от предметов. Локационные датчики дают
возможность еще до соприкосновения с предметом управлять направлением и
скоростью сближения.
В качестве сенсорных устройств могут применяться и любые другие
датчики, определяющие температуру, цвет предметов, магнитные и
электрические свойства, химический состав и т.п.
Роботы 3-го поколения способны воспринимать окружающую
обстановку и в зависимости от нее выбирать способ движения для достижения
цели, сформулированной в программе в общем виде. Их называют
интегральными или интеллектными. Робот должен уметь строить модели
внешней среды на основе информации, получаемой от различных датчиков.
Человек по отношению к роботу 3-го поколения выступает уже не как
оператор, а как диспетчер (выдает задания, принимает информацию об
исполнении).
Термин «поколение» надо понимать лишь как степень развития
технических возможностей. Рассматриваемые разновидности роботов не
вытесняют друг друга, каждая из них будет существовать наряду с другими
при постепенном совершенствовании их элементной базы.
По степени специализации ПР разделяются на специальные,
специализированные (целевые) и многоцелевые. Специальным называется
робот, предназначенный для выполнения определенных технологических
операций или обслуживания конкретной модели технологического
оборудования. Специализированные роботы служат для выполнения
технологических операций одного вида (сварка, окраска, сборка и т.п.) или для
обслуживания определенной группы моделей технологического оборудования
(например, группы моделей станков с горизонтальной осью шпинделя).
Многоцелевые роботы предназначены для выполнения различных основных и
вспомогательных технологических операций. Они конструктивно не зависят от
обслуживаемого
оборудования
и
характеризуются
разнотипностью
совершаемых движений.
По выполняемой функции ПР подразделяются на вспомогательные,
технологические и универсальные. Вспомогательные роботы выполняют
операции типа "взять—перенести". Технологические роботы используются в
114
качестве производящих или обрабатывающих машин на таких операциях, как
гибка, сварка, сборка, окраска, контроль и т.п. Универсальными называются
роботы, совмещающие функции вспомогательного и технологического
роботов.
Под грузоподъемностью ПР понимается наибольшая масса объектов
манипулирования (включая массу рабочего органа), которые могут
перемещаться рукой робота при заданных условиях (при максимальной или
минимальной скорости, при максимальном вылете руки и т.п.). По
грузоподъемности ПР делятся на сверхлегкие (до 1 кг), легкие (до 10 кг),
средние (до 200 кг), тяжелые (до 1000 кг), сверхтяжелые (свыше 1000 кг).
Рабочая зона манипулятора — это пространство, в котором находится
его рабочий орган при всех возможных положениях манипулятора. Рабочая
зона характеризуется объемом. По объему рабочей зоны ПР делятся на
микророботы, выполняющие особо точные операции с весьма мелкими
деталями (например, при производстве изделий микроэлектроники), минироботы для точных операций с мелкими деталями (например, при
производстве часовых механизмов), малые роботы, предназначенные,
например, для операций холодной штамповки, средние роботы для операций,
которые рабочие выполняют стоя, крупногабаритные роботы для выполнения
операций, превышающих физические возможности человека, и, наконец,
мобильные роботы, перемещающиеся по рельсовому пути, монорельсу или
как-нибудь иначе.
По числу степеней подвижности ПР подразделяются на роботы с двумя,
тремя, четырьмя степенями подвижности и роботы со степенями подвижности
более четырех.
По форме рабочей зоны ПР делятся на прямоугольные, цилиндрические,
сферические, ангулярные (антропоморфные) и комбинированные (рис. 7.3).
Это определяется системой координат, с которой совпадает система
обобщенных координат манипулятора.
а
б
115
в
г
д
Рис. 7.3 - Схемы промышленных роботов:
а — прямоугольная; б — цилиндрическая; в — сферическая; г — антропоморфная;
д — комбинированная
По виду привода ПР подразделяются на электромеханические,
гидравлические, пневматические, роботы с комбинированным приводом.
Под программным управлением понимается автоматическое управление
исполнительным устройством промышленного робота по заранее введенной
управляющей программе. По типу системы управления ПР подразделяются на
роботы с позиционным управлением и с контурным управлением. Под
позиционным управлением понимается программное управление ПР, при
котором движение рабочего органа происходит по заданным точкам
позиционирования без контроля траектории движения между ними. Частным
случаем позиционного управления является цикловое управление, при
котором точки позиционирования задаются при помощи жестких упоров. При
цикловом управлении программируется только последовательность движений.
Под контурным управлением понимается управление ПР, при котором
движение рабочего органа происходит по заданной траектории с определенной
скоростью.
При позиционной системе управления сводится к минимуму отклонение
от требуемого положения при подходе к конечным точкам, но не
контролируется движение между этими точками, а также не контролируется
сочетание движений по отдельным степеням подвижности. Такое
перемещение приемлемо для операций загрузки—выгрузки металлорежущих
станков, точечной сварки, но не пригодно для операций окраски или дуговой
сварки. Системы контурного управления обеспечивают движение по
116
непрерывным траекториям с заданной скоростью. Для этого необходимо
осуществить скоординированное управление движением по всем степеням
подвижности. Обычно используется способ контурного управления с
интерполятором. Это по существу позиционное управление, дополненное
специальным вычислительным блоком — интерполятором, который по
определенному алгоритму осуществляет расчет отрезков траекторий между
заданными програмными точками.
8.5 Структура
манипуляторов
и
геометрические
характеристики
Движения, совершаемые человеком и воспроизводимые роботом, можно
разделить на три класса: глобальные, региональные, локальные.
Глобальные движения — это перемещения на расстояния, превышающие
размеры робота. Робот, совершающий глобальные движения, называется
мобильным, а не совершающий — стационарным. Глобальные движения
совершает робот, перемещаясь по подвесному монорельсу. Так, например,
работают роботы, обслуживающие группу металлорежущих станков,
установленных на одной линии. У большинства роботов глобальные движения
отсутствуют.
Движения, совершаемые рукой робота в пределах его рабочей зоны и
соизмеримые с его габаритами, называются региональными. Их также
называют переносными, так как они обеспечивают перенос объекта в
требуемую точку. Эти движения соответствуют движениям, реализуемым
плечом и предплечьем руки человека.
Локальные движения — это перемещения рабочего органа в малой зоне.
Они соответствуют движениям кисти руки. Основное назначение этих
движений — ориентирование объекта манипулирования в данной точке
рабочего пространства, поэтому их также называют ориентирующими.
С введением понятий регионального и локального движений
кинематическую цепь стационарного манипулятора можно расчленить на две
функциональные части, отвечающие за эти движения, — переносную и
ориентирующую и соответственно выделить переносные и ориентирующие
степени подвижности, обеспечивающие эти движения.
Как известно из механики, положение тела в пространстве определяется
шестью обобщенными координатами. Произвольное движение твердого тела
может быть разложено на поступательное перемещение, связанное с некоторой
произвольно выбранной точкой, и вращение относительно этой точки.
Соответственно из шести независимых обобщенных координат, описывающих
движение твердого тела, три координаты задают перемещение некоторой
фиксированной точки тела в пространстве, а три характеризуют его вращение.
Пространственный манипулятор в общем случае должен иметь шесть степеней
подвижности: три для отработки региональных (переносных) движений и три
— для локальных (ориентирующих).
В том случае, когда приходится манипулировать с несвободными
предметами, на которые наложены дополнительные связи, может оказаться,
117
что указанных степеней подвижности мало. Так, например, для того чтобы
наживить и завинтить гайку, поднять с пола ящик стола для установки его в
направляющие стола, достаточно иметь манипулятор с шестью степенями
подвижности. Однако без седьмого движения, винтового или прямолинейнопоступательного вдоль направляющих, нельзя навинтить гайку и задвинуть
ящик в стол иначе, как используя сложную комбинацию движений.
Число степеней подвижности более шести может оказаться
необходимым при выполнении сложных работ, связанных с дополнительными
ограничениями на перемещение звеньев манипулятора при работе в
стесненном пространстве. Увеличение числа степеней подвижности наделяет
манипулятор ценным свойством избыточности, однако это усложняет его и
повышает его стоимость. Для промышленных роботов, работающих в
организованном рабочем пространстве, где рабочие зоны упорядочены и, как
правило, лежат в горизонтальных и вертикальных плоскостях, при выполнении
рабочих операций обычно оказывается достаточным 4—5 степеней (3
переносных и 1—2 ориентирующих). Простейшие неперепрограм-мируемые
роботы, называемые автооператорами, могут иметь 1 —2 степени
подвижности.
Кинематическая цепь региональных движений обычно осуществляется с
использованием кинематических пар пятого класса (вращательных,
поступательных соединений) и содержит три звена. В таком случае возможны
следующие последовательности расположения кинематических пар: ВВВ,
ВВП, ВПВ, ПВВ, ППВ, ПВП, ВПП, ППП. Оси соседних кинематических пар
могут иметь самое различное относительное расположение, однако получили
распространение манипуляторы с коллинеарными или ортогональными осями
(их называют ортогональными манипуляторами). Схемы манипуляторов
весьма разнообразны (рис. 7.4).
118
Рис. 7.4 - Структурные схемы ортогональных
Из приведенных на рис. манипуляторов
7.4 схем наиболее распространены структурные
схемы типа BBB1, ВВП2, ВПП, ППП. Одной из простейших является схема
ППП (рис. 7.5) с прямоугольной
системой координат, форма ее
рабочей зоны — параллелепипед.
Такая схема наиболее удобна для
выполнения
прямолинейных
движении. При этом максимально
упрощено
программирование
робота, так как нет необходимости
пересчета декартовых координат в
обобщенные координаты (q1=h1=zs,
с прямоугольной схемой и его
q2=h2=ys, q3=h3+hs=xs). Эта система Рис. 7.5 - Манипулятор
обобщенные координаты
применяется в станках с ЧПУ,
которые также являются своеобразными манипуляторами, и в сборочных
роботах. Недостатки этого исполнения — увеличение габаритов устройства,
сравнительно низкое быстродействие, сложность изготовления направляющих.
119
В настоящее время наибольшее распространение получили роботы со
схемой ВПП — роботы с цилиндрической системой координат (рис. 7.6). Их
рабочее пространство имеет форму цилиндра или его части. Рука может
осуществлять движение по горизонтали и вертикали и поворот вокруг оси
колонны. Робот с таким исполнением компактен при большом обслуживаемом
объеме, относительно прост при программировании. Его недостатком является
наличие мертвого необслуживаемого пространства у основания. Такую схему
обычно имеют транспортные роботы.
Робот исполнения ВВП2 имеет
сферическую систему координат, его
рабочее пространство — сферический
сегмент (рис. 7.7). Такие роботы сложнее,
чем с цилиндрической системой, но
компактнее, обслуживают больший объем,
включая зоны, выходящие за их габариты
сверху и снизу. Роботы этого исполнения
имеют повышенную жесткость, что
позволяет их использовать при больших
нагрузках, например при автоматизации
точечной сварки и т.п. Робот исполнения
с цилиндрической схемой и
BBB1 со сложной сферической системой Рис. 7.6 - Манипулятор
его обобщенные координаты
координат
(рис.
7.8)
называется
ангулярным,
шарнирным
или
антропоморфным.
Основное
Рис. 7.7 - Манипулятор со сферической
схемой и его обобщенные координаты
достоинство такого манипулятора
Рис. 7.8 - Манипулятор с антропоморфной схемой — значительно меньшие габариты,
(шарнирный манипулятор) и его обобщенные
чем
у
манипулятора
с
координаты
поступательными парами, при
большой зоне обслуживания. Он может применяться в стесненной зоне
обслуживания. Такие манипуляторы обычно хорошо уравновешены и поэтому
часто используются, когда программирование осуществляется методом
120
обучения рукой человека на операциях окраски, нанесения защитных
покрытий и т.п.
Каждая из рассмотренных схем обладает определенными достоинствами
и недостатками, поэтому выбор схемы является компромиссным решением и
ведется с учетом предъявляемых к данному роботу требований. При выборе
схем надо принимать во внимание не только их функциональные
возможности, но и упрощение конструкции, технологичность ее изготовления,
стоимость. При решении этих вопросов следует руководствоваться уже
накопленным опытом проектирования роботов.
Основные
технические
характеристики
робота
—
грузоподъемность, размеры зоны
обслуживания, быстродействие,
точность — тесно связаны между
собой и с его компоновкой.
Улучшение одних характеристик
можно получить только за счет
ухудшения
других.
Так,
в
частности,
большая
грузоподъемность несовместима с
большим
размером
зоны
обслуживания, большая скорость
— с высокой точностью. Отсюда
следует, что нет такой схемы
робота,
которая
была
бы
оптимальной во всех случаях.
Рис.7.9 - Устройство для ориентации
Кинематическая
цепь,
кисти на основе карданова подвеса
реализующая
локальные
движения, называется кистью робота,
поскольку она выполняет функции,
аналогичные кисти руки человека.
Назначение кисти — ориентирующие
движения. Из механики известно, что
произвольную ориентацию твердому
телу можно задать путем трех
последовательных плоских поворотов,
производимых
относительно
несовпадающих осей, в частности
взаимно ортогональных, связанных с
телом.
Механической
моделью,
осуществляющей
физическую
реализацию таких движений, служит Рис. 7.10 - Зона обслуживания, доступная
захватному устройству, и угол сервиса
карданов подвес, представляющий
трехзвенную кинематическую цепь с одними вращательными парами, причем
оси пар пересекаются в одной точке. При этом движение выходного звена
будет сферическим с центром в точке пересечения осей. Оно является
121
композицией трех движений (рис. 7.9): прецессии (движения тела 1 по
отношению к телу 0), нутации (движения тела 2 по отношению к телу 1),
чистого вращения или ротации (движение тела 3 по отношению к телу 2).
Для удержания объекта манипулирования кисть снабжается захватным
устройством. Назначение переносных и ориентирующих движений —
поместить захватное устройство в любую точку рабочей зоны. Однако не
всякая точка рабочей зоны манипулятора в равной мере доступна захватному
устройству, так как на его положение накладываются ограничения, связанные
с конструкцией кинематических пар и длиной звеньев. Эти ограничения не
позволяют подводить захват (схват) к данной точке под любым желаемым
углом.
Углом сервиса называется телесный угол, в пределах которого может
находиться продольная ось захвата в том случае, если его центр находится в
данной точке пространства. Рассмотрим манипулятор, схема которого
приведена на рис. 7.10. Площадь F сферической поверхности с центром в
точке 5 и радиусом r = SA равна 4r2, где 4тс — телесный угол для сферы. Ось
захвата манипулятора CBAS может занимать положение внутри некоторого
шарового сектора, являющегося лишь частью сферы, определяя тем самым
сферическую поверхность площади Фi = i r2, где i — угол сервиса, причем i
< 4тс. Отношение i = Фi/F = i/(4) называется коэффициентом сервиса для
манипулятора в данной точке. На границе рабочего пространства этот угол,
очевидно, равен нулю. Максимальное значение коэффициента сервиса равно
единице. В этом случае захват совершает полное сферическое движение
вокруг данной точки. Интегральной оценкой совершенства манипулятора
является полный коэффициент сервиса, вычисляемый по формуле
n
 i  Vi
i 1
V
 
где Vi — элемент рабочего объема V.
ГОСТ 25686—85 вводит ряд определений, касающихся роботов и их
геометрических характеристик.
Исполнительным устройством называется устройство, выполняющее все
двигательные функции робота.
Рабочий орган — составная часть исполнительного устройства для
непосредственного выполнения технологических операций и (или)
вспомогательных переходов.
Рабочее пространство манипулятора — часть физического пространства,
в
котором
может
находиться
исполнительное
устройство
при
функционировании манипулятора.
Рабочая зона — пространство, в котором может находиться рабочий
орган.
Зона обслуживания — пространство, в котором рабочий орган
выполняет свои функции в соответствии с назначением.
Погрешность позиционирования рабочего органа манипулятора—
отклонение положения рабочего органа от заданного управляющей
122
программой.Погрешность отработки траектории — отклонение траектории от
заданной.
123
Скачать