для студентов заочной формы обучения

Методические указания по выполнению контрольных работ
для студентов заочной формы обучения
по дисциплине
МАТЕМАТИКА
(Специальности – 061100 Менеджмент
– 060500 Бухгалтерский учет, анализ и
аудит
– 060400 Финансы и кредит)
Автор-составитель
Бондаренко В.И. – старший преподаватель кафедры
математических и естественно научных дисциплин
Санкт-Петербург
2007
Пояснительная записка
Математика является теоретическим фундаментом методов современной науки,
техники и экономики. Существенное место в экономике занимают математические
методы исследований. В частности, для оптимизации параметров экономических систем
применяют методы линейного, нелинейного и динамического программирования, которые
базируются на линейной алгебре, методах анализа функции одной и нескольких
переменных, теории дифференциальных уравнений. Оценка экономических показателей
по результатам наблюдений, статистические и игровые методы принятия решений в
условиях неопределенности содержат в своей основе методы теории вероятностей и
математической
статистики.
Методы
системного
анализа
и
математического
моделирования являются важной составной частью любого современного компьютерного
исследования
экономических
и
социальных
систем.
Указанные
обстоятельства
определяют фундаментальную роль математики в системе высшего образования.
Цель преподавания данной дисциплины состоит в изучении студентами основ высшей
математики и создании тем самым предпосылок для восприятия ими дисциплин
информационного цикла, специальных экономико-математических методов исследования
и приобщения студентов к современным компьютерным технологиям.
Срок обучения на заочном отделении 2 года (первый и второй курсы).
В процессе обучения студенты должны выполнить
пять контрольных работ и
представить их преподавателю в указанные сроки:
- контрольные работы №1 и №2 к весенней сессии 1 курса;
- контрольную работу №3 к осенней сессии 2 курса;
- контрольную работу №4 к весенней сессии 2 курса;
- контрольную работу №5 к осенней сессии 3 курса.
Вариант контрольных работ назначается преподавателем студенту индивидуально.
Таблица вариантов
№
вариа
нта
Номера вопросов
№
вариан
та
Номера
вопросов
№
вариа
нта
Номера
вопросов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1, 13, 25, 31,50
2, 14, 26, 32,49
3, 15, 27, 33,48
4, 16, 28, 34,47
5, 17, 29, 35,46
6, 18, 30, 36,45
7, 19, 21, 37,44
8, 20, 22, 32,43
9, 19, 23, 31,42
10, 18, 24, 33, 41
1, 17, 25, 34, 41
2, 16, 26, 35,42
1, 15, 27, 36,43
2, 14, 28, 37,44
3, 13, 29, 38,45
4, 12, 30, 39,46
5, 11, 29, 40, 47
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
6, 18, 28, 39,48
7, 17, 29, 38,49
8, 16, 30, 37, 50
9, 15, 21,31,41
10, 14, 22,32,42
1, 13, 25, 33,43
2, 14, 26, 34,44
1, 15, 27, 35,45
2, 16, 28, 36, 46
3, 17, 29, 37,47
4, 18, 30, 38,48
5, 19, 21, 39,49
6, 20, 22, 40,50
7, 11, 23, 31,49
8, 12, 24, 32,48
9, 13, 25, 33,47
10, 14, 26, 34,46
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
1, 15, 27, 35,45
2, 16, 28, 36,44
3, 17, 29, 37,43
4, 18, 30, 38,42
5, 19, 21, 39,41
6, 20, 22, 40,50
7, 19, 23, 31,49
8, 20, 24, 32,48
9, 11, 25, 33,47
8, 12, 26, 34,46
9, 13, 27, 35,45
10, 14, 28, 36,44
1, 15, 29, 37,43
2, 16, 30, 38,42
3, 17, 27, 39,41
4, 18, 28, 40,42
Контрольная работа №1
Методические указания
Контрольную работу следует выполнять после изучения разделов:
-множества и функции;
-комплексные числа;
-аналитическая геометрия на плоскости.
Задачи 1-10
Найти области определения функций
y
1) y  x 2  6 ;
2) y 
3) y 
1
5  x2
;
3
x  16
2
;
4) y  sin( 2 x  3) ;
1
x
5) y  sin ;
6) y 
y
7x 2  x  1
3x 2  8 x  4
y
1
x  x  12
y
4x  1
3x 2  5x  2
y
1
;
7x  2
7) y  x ;
5x 2  7 x  12
x2 1
2
x 1
x 2  9 x  20
y  x2  2x  8
y  x 2  8x  15
8) y  18  6 x ;
y  (2  x)(5  x)
9) y  3x  12 ;
y  ( x  3)(3  x)
10) y  lg( 2  x) ;
y  (2 x  5)(4  x)
Задачи 11-20
Выполнить действия над комплексными числами
11) (2-3i)·(3-2i);
12) (3-2i)2;
2  3i
3  2i
3  2i
2  3i
13) (5+2i)+(3-2i);
5  2i
3  4i
14) 2i-(4-6i);
2i
4  6i
15) (3-i)-(2+3i);
3i
2  3i
16) (1+3i)·(-7+2i);
1  3i
 7  2i
17) (1+2i)·(-2+i);
1  2i
2i
18)
2  3i
;
3  2i
2  3i
3  2i
19) (16-5i)·(4+i);
16  5i
4i
20) (1  i 3 )  (1  i 3 ) ;
1 i 3
1 i 3
Задачи 21-30
Представить комплексное число в тригонометрической форме
21)
–i
22)
26)
1 3 i
27)
2
2
23) 3+3i
i
3
1 3 i
28)
24)
3  3i 29) 1+i
6i
25)
-3i
30) 1-i
Задачи 31-40
Задача 31 Прямая проходит через точки А(-1;-6) и В(7;2).
Найти отрезки, отсекаемые этой прямой от осей Ох и Оу.
Задача 32 Найти длину отрезка, заключенного между точками пересечения
прямой
X Y

1
12 16
с осями Ох и Оу.
Задача 33 Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(2;1) и М2(1;-2).
Задача 34 Составить уравнение прямой в отрезках, если она пересекает оси
координат в точках А(-3;0) и В(0;5).
Задача 35 Составить уравнение прямой, проходящей через две точки
М1(5;-4) и М2(5;2).
Задача 36 Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(1;7)
и М2(-3;7).
Задача 37 Составить уравнение прямой, проходящей через две точки А(1;2) и В(-2;-2).
Задача 38 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2;1) и
образующий с осью Ох угол α=1350
Задача 39 Составить уравнение прямой, проходящей через две точки А(1;5)
и В(4;-1).
Задача 40 Составить уравнение прямой в отрезках, если она пересекает оси
координат в точках А(2;0) и В(0;-4).
Задачи 41-50
Исследовать взаимное расположение прямых. В случае пересечения найти
координаты точки пересечения.
41)
3х-2у-4=0
х+3у -5=0
42)
х-5у+7=0
3х-15у -4=0
43)
5х-3у+9=0
6х+10у+13=0
44)
2х+7у-3=0
6х+21у-9=0
45)
2х+3у-12=0
х-у-1=0
46)
х-2у-7=0
4х+2у-3=0
47)
х+у-2=0
2х+3у-7=0
48)
-2х-4у+3=0
у-2х +5=0
49)
7х-2у+9=0
2х+у-3=0
50)
3х+у-4=0
5х+10у-2=0
Контрольная работа №2
Методические указания
Контрольную работу следует выполнять после изучения разделов:
-теория пределов;
-дифференциальное исчисление;
-применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
Задачи 1-10
Вычислить пределы функций
5x  2
1) lim
;
x4 2 x  3
2)
3)
3x  5
;
lim
x  2 x  7
x2  9
;
x 2  3x
lim
x 3
4)
5)
lim
3x  4
x2
x  2
x 
lim
lim
x 0
5
7)
lim
x 2  6x  8
x3  8
x 3  1000
;
x 3  20 x 2  100 x
x4 2
;
x
lim
x 0
(1  x) 3  1
;
x
x 3  3x  4
x 1
lim
x 10
6)
lim
x3  x2  x  1
;
x3  x2  x  1
x
3x 4  2
lim
x 5
x 2  25
x 5
lim
x 3
x 2  5x  6
x3
lim
x 
lim
x 3
x3  5
x2  3
9  x2
3x  3
8)
sin mx
;
lim
x
x 0
9)
1  cos 5x
;
lim
x2
x 0
10)
x 2  7x  3
lim
5
2
x  2 x  x  5
5x 4  2 x  1
lim
4
3
x  3 x  x  5
x 3  2 x 2  3x  4
;
lim
3
2
x  4 x  3x  2 x  1
1
lim ( x  2  x
x 2
2
4
)
4
Задачи 11-20
Задача 11 Составить уравнения касательной и нормали к кривой
у= х2-3х+4 в точке с абсциссой х=1
Задача 12 Составить уравнения касательной и нормали к кривой
у= 4-х2 в точке с абсциссой х=-1
Задача 13 Составить уравнения касательной и нормали к кривой
у= х3+2х в точке с абсциссой х=0.
Задача 14 Составить уравнения касательной и нормали к кривой
у=1/3х3-2х2+3х+1 в точке с абсциссой х=3
Задача 15 Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе
у=х2-3х+5, проведенная в точке М0(2;3)?
Составить уравнение этой касательной.
Задача 16 Найти углы наклона касательной к кубической параболе у=х3 в
точках с абсциссами x1  
3
,
3
х2=0,
x3 
3
.
3
Задача 17 Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой у=ех
в точке М0(0;1)?
Задача 18 Составить уравнения касательной к параболе
у=х2 в точке М(1/2;1/4).
Задача 19 Составить уравнения касательной к графику функции
у=4х-х2 в точке его пересечения с осью 0х
Задача 20 Найти угол наклона к оси 0х касательной к гиперболе у=1/х в
точке (1;1).
Задачи 21-30
Найти производные функций
21) у=х4+3х2-2х+1; у=х2tg x
1
x
3
 4 ; y=sin3x
2
x
5
3
23) y  4 x 3  2  3  2 ; y=ln ln x2
x
x
4
tgx
x

24) y  e x 
; y=sin2x3
2
4
22) y  3 x  
25) y 
26) y 
cos x
; y=ln cos x
1  2 sin x
x
x 1
; y=ctg x/3
27) y  1  x 2 ;y=ecos x
28) y=ln(x2-3x+7); y=sin(2x)
29) y 
1  sin 2 x
; y=ln5sin x
1  sin 2 x
30) у=sin(2x); y=tg sin cos x
Задачи 31-40
Раскрыть неопределенность по правилу Лопиталя и найти предел
функции.
31)
34)
1  cos x
lim
x2
x 0
e x  ex
lim
x 0 ln( 1  x)
lim
40)
lim (sin x)
x  
ex 1
lim
x
x 0
35)
lim
x 
ex
x2
37)
32)
38)
33)
x 1
ln x
x
lim
x  
lim
36)
x 3  3x 2  2
x3  4x2  3
ln x
lim 1/ x
x 0
ax
x
39)
lim (
x 0
1
1
 )
sin x x
x
x 0
Задачи 41-50
Исследовать функцию и построить график
41) y=x3-12x
42) y= 4x2-x4
x2
45) y 
x 1
x
46) y  xe
49) y=x3-3x
50) y 
43) y 
47) y 
2x
3 x
x3
x 4
2
44) y 
x2
( x  1) 2
48) y  x 2 ln x
x
x 4
2
Контрольная работа №3
Методические указания
Контрольную работу следует выполнять после изучения раздеов:
-матричная алгебра;
-системы линейных уравнений.
Задачи 1-12
Вычислить определитель матрицы
5
 3

2
 1
1) A  
2 3

 1
3

1

0
4) A  
3

2

7 2
1


3 4
3
2) A  

3 2
0




5 4
0
2 3 0

1 2 3
0 1 2

3 1 0 
0
1 0

0 1
2
7) A  
3 6 8

2 1  6

2 0 0

2 3 0
4 3 4

0 5 4 
7
3
1

0 10
2
5) A  
0  14  8

0  8  6

0

3
2

1 
1

1
8) A  
1

1

1
2
3
0

3
2

1 
1

0
3) A  
0

0

4 
1  2 3


2 1  4 3 
6) A  
3  4 1  2


4 3

2

1


1
4
9
1 
1 1 4  5



8 
1  2 3  4
9) A  
 27 
3 2  5 12 



4 3  5 5 
 4  16  64 


1  3 5  7


3  5 7 1
10) A  
5  7 1  3


 7  1 3  5


Задачи 11-20
11) Даны А, В, С. Найти D=АВт-С.
2  2
2 1 
3 1 
1






4 .
 1  , С=   1 0
А=  4  3  , В=  4
9  2
 3 4 1 
  7  4






12) Даны А, В, С. Найти D=АВт+С.
1 
2  1
5 1 
 3
3






4 .
А=  2  4  , В=   2  1  , С=   1 7
 7  2
 3  2
 2 4 6 






т
13) Даны А, В, С. Найти D=ВА +С.
3
 1 2



А=   3 4  , В=  4
 2 9
 7



2  2
1 
1



4 .
 1  , С=   1 0
 3 4 1 
 4 


14) Даны А, В, С. Найти D=ВАт-С.
3 0 0

6 2 0
5 2 1

0 3 1 
 3
 1 5



А=   4 2  , В=   2
 2 7
 3



1 
2  1
3



 1  , С=   1 7
4 .
 2 4 6 
 2 


15) Даны А, В, С. Найти D=ВАтС
2  2
2 1 
1
3 
 1






4 .
А=  4  3  , В=   1 4  , С=   1 0
  4  7
9  2
 3 4 1 






16) Даны А, В, С. Найти D=АВтС.
2  1
5 1 
3
3 
 1






4 .
А=  2  4  , В=   1  2  , С=   1 7
 2 3 
 7  2
 2 4 6 






т
17) Даны А, В, С. Найти D= АВ +С.
2 1 
3 1 
1





 1  , С=   1
А=  4  3  , В=  4
9  2
3
  7  4





т
18) Даны А, В, С. Найти D=АВ -С.
1 
 3
3
5 1 





А=  7  4  , В=   2  1  , С=   1
3  2
 3  2
2





т
19) Даны А, В, С. Найти D=АВ ·С.
1 
 3
3
5 1 





А=  7  4  , В=   2  1  , С=   1
3  2
 3  2
2





20) Даны А, В, С. Найти D= ВАт+С.
 3
5 3 



А=  2  4  , В=   2
7  5
 3



 2

0
4 .
 4 1 
2
2  1

7
4 .
 4 6 
2  1

7
4 .
 4 6 
1 
2  1
3



 1  , С=   1 7
4 .
 2 4 6 
 2 


Задачи 21-30
Составить обратную матрицу
2  4 9 
2 1 1
 1 2  1
3 2 1 








21) А=  1 1  1 22) А=  3 2 2  23) А=  7 3  6  24) А=  2  3 2 
 7 9  9
1  2 1
3 1
4 1 5 
1 







1  3 3 
2 1



25) А= 1 9 6  26) А=  1  2
1 3 4 
7 1



1 2 3 
 1 2



29) А=  2  1  1 30) А=   3 1
1 3 4 
 1 4



 1
1
2  4 3
1 2





3  27) А=  3  5 3  28) А=  1  2 4 
 3 1 5
 2 7  1
 1




 1

2
3 
Задачи 31-40
Найти решения системы уравнений с помощью формул Крамера
31)
x+2y+ z=4
3x-5y+3z=1
2x+7y- z=8
32)
2x-4y+3z=1
x-2y+4z=3
3x –y+5z=2
33)
x+2y+3z=5
2x-y-z=1
x +3y+4z=6
34)
x+2y-z=1
-3x+ y+2z=0
x+4y+3z=2
35)
x+y+z=2
x-y+z=4
x+y-z=6
36)
x-y+z=4
x+y-z=2
-x+y +z=6
37)
3x+2y+z=5
x+ y- z=0
4x- y+5z=3
38)
2x- y+ z=2
3x+2y+2z=-2
x - 2y+ z=1
39)
2x-4y+9z=28
7x+3y-6z=-1
7x+9y-9z=5
40)
x+2y-z=2
2x-3y+2z=2
3x+y+z=8
Задачи 41-50
Найти решения системы уравнений матричным способом
41) 3x+2y+z=5
x+ y- z=0
4x- y+5z=3
42)
43)
44)
45)
2x- y+ z=2
3x+2y+2z=-2
x - 2y+ z=1
2x-4y+9z=28
7x+3y-6z=-1
7x+9y-9z=5
x+2y-z=2
2x-3y+2z=2
3x+y+z=8
x-3y+3z=-1
x+9y+6z=3
x+3y+4z=1
46)
2x+y-z=5
x-2y+3z=-3
7x+y-z=10
47)
x+2y+ z=4
3x-5y+3z=1
2x+7y- z=8
48)
2x-4y+3z=1
x-2y+4z=3
3x –y+5z=2
49)
x+2y+3z=5
2x- y- z=1
x +3y+4z=6
50)
x+2y-z=1
-3x+ y+2z=0
x+4y+3z=2
Контрольная работа №4
Методические указания
Контрольную работу следует выполнять после изучения разделов:
- интегральное исчисление;
-обыкновенные дифференциальные уравнения.
Задачи 1-10
Вычислить неопределенные интегралы:
а) методом непосредственного интегрирования;
б) методом замены переменной;
в) методом интегрирования по частям
Задача 1
2
3
(
x

3
x
 x  1)dx ; б)  x 2 (3  2 x 3 ) 4 dx ; в)  ln xdx
а) 
Задача 2
4
5
а)  ( x  x  3 x 
1
1
5x 4 dx

)
dx
; б) 
; в)
x
x2
3  4x5
 x  sin xdx
Задача3
а)  ( 2 2
1 x

3
1 x2
)dx ; б)

3 cos xdx
1  2 sin x
; в)
x
2
e x dx
Задача 4
а)
x
x
(
2

3
)dx ; б)  sin( 4 x  3) dx ; в)  e x sin xdx

Задача 5
а)
 (sin x  5 cos x)dx ; б)  x 2 e x
Задача 6
3
2
dx ; в)  xe x dx
а)

3x 4  2 x 2  3x  7
dx ; б)

x2
2 sin xdx
3  cos 2 x
3 x
x
 e dx
; в)
Задача 7
а)

3x 2 x
3
x2
dx ;
б)
3e 2 x dx

e4x  4
; в)
5x
xe
 dx
Задача 8
3
2
а)  (5 x 
3
2
4
 1) dx ; б)
2
3
x
x
dx
1
x
; в)
Задача 9
dx
5 x2
3
xdx ; в)
а) 
; б)
4  3x 2

Задача 10
dx
а) 
; б)
25x 2  4
3 xdx
; в)
2
2x2
 cos
2 x
x
 e dx
x
2
cos xdx .
Задачи 11-20
Вычислить определенный интеграл:
а) Методом непосредственного интегрирования;
б) Методом замены переменной.
Задача 11
3
2
а)

1
3
dx
1 x
2
; б)
 (2 x  1) dx
3
2
Задача 12
4
а) 
x dx
0
Задача 13
2
;
б)

1
5dx
5x  1
2
x
 sin xdx
e
1
dx
1 x ;
а)
 (2 x
б)
 1) 4 x 2 dx
3
0
Задача 14

1
dx
а) 
;
x2
0
б)
2
9
3 sin x  1 cos xdx
0
Задача 15


3
sin xdx
б) 
3  cos x
0
2
а)  cos xdx ;

6
Задача 16


2
а)  cos 2 xdx ;

б)
6
e
sin x
cos xdx
0
6
Задача 17


2
dx
а)  sin 2 x ;

б)
8
 sin 2 xdx
12
4
Задача 18


3
1
1
а)  ( 2  2 )dx ;
sin x
 cos x
б)

4
 cos(2 x  6 )dx
6
6
Задача 19

2
а)
 ( x  2 x  1)dx ;
2
б)
1
6
dx
2
2x

 cos
8
Задача 20
3
а)

0

dx
9  x2
;
б)
9


18
dx
.
cos 2 3 x
Задачи 21-30
Задача 21 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y=3x-1; y=0; x=2; x=4.
Задача 22 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох фигуры, ограниченной линиями y2=6x; y=0; x=1; x=3.
Задача 23 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
x-2y+4=0; x+y-5=0; y=0.
Задача 24 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох фигуры, ограниченной линиями y=x2-4; y=0.
Задача 25 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y=9-x2; y=0.
Задача 26 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох фигуры, ограниченной линиями y=sin x; y=0; x=0; x=π.
Задача 27 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2;
5x-y-6=0 и осью Ох.
Задача 28 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох фигуры, ограниченной линиями y=cos x; x=-π/4; x=π/4.
Задача 29 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x22x+3; y=0; x=0; x=3.
Задача 30 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох фигуры, ограниченной линиями y=4-x2; x-y+2=0.
Задачи 31-40
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
а) найти общее решение уравнения;
б) найти частное решение уравнения
Задача 31
а) (1+y)dx-(1-x)dy=0; б) x2dx+ydy=0, если y=1 при x=0
Задача 32
а) (xy2+x)dx=(y+x2y)dy; б) (1+x2)dy-2x(y+3)dx=0, если y=-1 при x=0
Задача 33
а) x2dy+(y-1)dx=0; б) (1+x)ydx=(y-1)xdy, если y=1 при x=1
Задача 34
2
2
а) 1  x dy  1  y dx  0 ; б) y'tg x=1+y, если y=-1/2 при x=π/6
Задача 35
а) 2(xy+y)dx=xdy; б) y
,
1  x 2  x , если y=0 при x=1
Задача 36
а) cos x sin y dy= cos y sin x dx; б)
dy
dx
 dx 
, если y=1 при x=0
y
x
Задача 37
а) y dx  xdy  0 ; б) (2x-1)dy=(y+1)dx, если y=0 при x=5
Задача 38
а) (1+x2)dy-(xy+x)dx=0; б) (1-x2)dy+xy dx=0, если y=4 при x=0
Задача 39
а) (xy+y)dx=x dy; б) dy+y tgx dx=0, если y=1 при x=0
Задача 40
а) x2y'-2 xy=3y; б) cos x sin y dy= cos y sin x dx,
если y=π при x=π
Задачи 41-50
Задача 41
а) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения
(x-y)ydx-x2dy=0
б) Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
(1+x2)y'-xy=2x, если y=0 при x=0
в) Найти решение дифференциального уравнения второго порядка
y''+3y'-4y=0
Задача 42
а) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения
x2y'=y2-xy+x2
б) Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
xy'-3y=x4ex, если y=e при x=1
в) Найти решение дифференциального уравнения второго порядка
y''+6y'+8y=0
Задача 43
а) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения
(x2-2xy)dy-(xy-y2)dx=0
б) Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
y'sin x-y cos x=1, если y=1 при x=π/2
в) Найти решение дифференциального уравнения второго порядка
y''-9y'+14y=0
Задача 44
а) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения
x3dy-y(x2+y2)dx=0
б) Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
xy'+y=x+1, если y=3 при x=2
в) Найти решение дифференциального уравнения второго порядка
y''-16y'=0
Задача 45
а) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения
(2 xy  y)dx  xdy =0
б) Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
xy'-2y=x3ex, если y=0 при x=1
в) Найти решение дифференциального уравнения второго порядка
y''-y=0
Задача 46
а) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения
xyy'=x2+y2
б) Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
y'-y tg x =1/cos x, если y=0 при x=0
в) Найти решение дифференциального уравнения второго порядка
y''-3y'=0
Задача 47
а) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения
2xyy'+x2-2y2=0
б) Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
x3y'+3x2y=2, если y=1 при x=1
в) Найти решение дифференциального уравнения второго порядка
y''+2y'=0
Задача 48
а) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения
xy,  y 
x2  y2
б) Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
xy'+y=3, если y=0 при x=1
в) Найти решение дифференциального уравнения второго порядка
y''+8y'+16y=0
Задача 49
а) Найти частное решение однородного дифференциального равнения
xy2y'=x3+y3, если y=3 при x=1
б) Найти общее решение линейного дифференциального уравнения
xy'-y=-x
в) Найти решение дифференциального уравнения второго порядка
y''-14y'+49y=0
Задача 50
а) Найти частное решение однородного
уравнения
(x-y)dx+xdy=0, если y=0 при x=1
дифференциального
б) Найти общее решение линейного дифференциального уравнения
y'+y=e-x
в) Найти решение дифференциального уравнения второго порядка
y''+y'+1/4y=0
Контрольная работа №5
Методические указания
Контрольную работу следует выполнять после изучения разделов:
-теория вероятностей;
-математическая статистика.
Задачи 1-10
Задача 1 Карточка «Спортлото» содержит 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел. Какова
вероятность того, что верно будет угадано 4 числа?
Задача 2 Из группы, состоящей из 10 юношей и 8 девушек, выбирают по жребию 4дежурных. Какова вероятность того, что в числе избранных окажутся двое юношей и две
девушки?
Задача 3 Экзаменационные билеты пронумерованы от 1 до 35. Какова вероятность
того, что наудачу взятый билет имеет номер, кратный пяти?
Задача 4 Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечетное
число очков и что выпадет «шестерка»?
Задача 5 Из семи одинаковых карточек разрезной азбуки. «а», «к», «н», «о», «с», «y»и
«ф» наудачу выбирают 5 карточек и складывают их в ряд в порядке извлечения. Какова
вероятность получить при этом слово «конус»?
Задача 6 Карточка «Спортлото» содержит 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел.
Какова вероятность того, что верно будет угадано 3 числа?
Задача 7 Из числа шаров, пронумерованныx всеми двузначными числами, наудачу
берется один. Какова вероятность того, что номер взятого шара оканчивается нулем?
Задача 8 На шести одинаковых карточках написаны буквы «а», «з», «и», «м», «п», «р».
Карточки перемешивают и раскладывают наудачу в ряд. Какова вероятность того, что
получилось слово «призма»?
Задача 9 На карточках разрезной азбуки написано 32 буквы алфавита. Пять карточек
вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Какова
вероятность того, что получится слово «хорда»?
Задача 10 В партии из 20 лампочек 3 бракованных. Из партии выбираются наугад 5
лампочек. Найти вероятность того, что среди этих пяти лампочек окажется две
бракованных.
Задачи 11-20
Задача 11 Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна
р=О,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали
попадание.
Задача 12 Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий:
«появился «орел», «появилось 6 очков».
Задача 13 В двух ящиках находятся детали: в первом-10 (из них 3 стандартных), во
втором-15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали.
Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Задача 14 В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры
вероятность того, что она включена в данный момент, равна p = 0,6. Найти вероятность
того, что в данный момент включена хотя бы одна камера (событие А).
Задача 15 Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6
очков появится хотя бы на одной из костей (событие А)?
Задача 16 Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем из них 86% первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие, изготовленное на
этом предприятии, окажется первого сорта.
Задача 17 Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти
вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз; в)
в оба раза.
Задача 18 Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна
0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он
попал в десятку хотя бы один раз?
Задача 19 Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность
того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит
номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в
цепи не будет.
Задача 20 Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8,
а вторым стрелком-0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним
стрелком.
Задачи 21-30
Задача 21 Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа
появлений шестерки.
Задача 22 Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в
трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании
равна 0,6.
Задача 23 Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном
веретене в течение 1 мин равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение 1 мин обрыв
произойдет на пяти веретенах.
Задача 24 Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в
течение 1 мин абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событий
вероятнее: в течение 1 мин позвонят 3 абонента; позвонят 4 абонента?
Задача 25 Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000
опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит хотя бы одну
опечатку. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона.
Задача 26 Cрeднee число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин равно 5.Найти
вероятность того, что за 2 мин поступит два вызова. У к а з а н и е: e-10 = 0,000045.
Задача 27 Производится бросание игральной кости до первого выпадения шести очков.
Найти вероятность того, что первое выпадение «шестерки» произойдет при втором
бросании игральной кости.
Задача 28 В партии из 12 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероятность того, что
среди 5 взятых наудачу деталей окажется 3 стандартных.
Задача 29 Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000
опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит ровно 2
опечатки. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона.
Задача 30 Cрeднee число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин равно 5.
Найти вероятность того, что за 2 мин поступит не менее двух вызовов.
У к а з а н и е: e-10 = 0.000045.
Задачи 31-40
Задача 31 Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная
закон ее распределения:
Х 6
Р 0,2
3
0,3
1
0,5
Задача 32 Производится 4 выстрела с вероятностью попадания в цель р1=0,6,
р2=0,4, р3=0,5 и р4=0,7. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Задача 33 Случайная величина Х принимает только два значения: +С и -С, каждое с
вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины.
Задача 34 Найти дисперсию случайной величины, зная закон ее распределения
Х
Р
0,1
0,4
2
10
0,2 0,15
20
0,25
Задача 35 Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2.
Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут
подвергнуты 10 деталей.
Задача 36 Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут
выпасть при одном бросании двух игральных костей.
Задача 37 Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые
выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по
одному билету равна 0,3.
Задача 38 Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р1=0,5;
р2=0,4; р3=0, 7. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Задача 39 Haйти математическое ожидание случайной величины Z, если известны
математические ожидания X и Y.
Z=X+2Y, M(X)=5, M(Y)=3
Задача 40 Случайная величина задана законом распределения
Х 2
4
8
р 0,1 0,5 0,4
Найти среднее квадратическое отклонение этой величины.
Задачи 41-50
Задача 41
Дано распределение выборки:
i
xi-xi+1
ni
1.
2-4
2
2.
4-6
5
3.
6-8
8
4.
8-10
4
5.
10-12
1
-Построить гистограмму плотности относительных частот.
- Получить точечные оценки математического ожидания (выборочной средней) и
дисперсии.
-Получить интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического
отклонения с надежностью 0,95.
Задача 42
1. Дано распределение выборки:
i
xi-xi+1
ni
1.
1-3
2
2.
3-5
4
3.
5-7
8
4.
7-9
5
5.
9-11
1
1. Построить гистограмму плотности относительных частот.
2. Получить точечные оценки математического ожидания (выборочной средней) и
дисперсии.
3. Получить интервальные оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения с надежностью 0,95.
Задача 43
1. Дано распределение выборки:
i
xi-xi+1
ni
1.
3-5
10
2.
5-7
20
3.
7-9
40
4.
9-11
25
5.
11-13
5
-Построить гистограмму плотности относительных частот.
-Получить точечные оценки математического ожидания (выборочной средней) и
дисперсии.
-Получить интервальные оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения с надежностью 0,95.
Задача 44
1. Дано распределение выборки:
i
xi-xi+1
ni
4-6
5
6-8
25
8-10
35
10-12
30
12-14
5
-Построить гистограмму плотности относительных частот.
-Получить точечные оценки математического ожидания (выборочной средней) и
дисперсии.
-Получить интервальные оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения с надежностью 0,95.
Задача 45
1. Дано распределение выборки:
i
xi-xi+1
ni
1.
2-4
10
2.
4-6
15
3.
6-8
30
4.
8-10
25
5.
10-12
5
-Построить гистограмму плотности относительных частот.
-Получить точечные оценки математического ожидания (выборочной средней) и
дисперсии.
-Получить интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического
отклонения с надежностью 0,95.
Задача 46
1. Дано распределение выборки:
i
xi-xi+1
ni
1.
1-3
5
2.
3-5
25
3.
5-7
35
4.
7-9
30
5.
9-11
5
-Построить гистограмму плотности относительных частот.
-Получить точечные оценки математического ожидания (выборочной средней) и
дисперсии.
-Получить интервальные оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения с надежностью 0,95
Задача 47
1. Дано распределение выборки:
i
xi-xi+1
ni
1.
3-5
2
2.
5-7
4
3.
7-9
8
4.
9-11
5
5.
11-13
1
-Построить гистограмму плотности относительных частот.
-Получить точечные оценки математического ожидания (выборочной средней) и
дисперсии.
-Получить интервальные оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения с надежностью 0,95.
Задача 48
1. Дано распределение выборки:
i
xi-xi+1
ni
1.
4-6
2
2.
6-8
5
3.
8-10
8
4.
10-12
4
5.
12-14
1
-Построить гистограмму плотности относительных частот.
-Получить точечные оценки математического ожидания (выборочной средней) и
дисперсии.
-Получить интервальные оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения с надежностью 0,95.
Задача 49
1. Дано распределение выборки:
i
xi-xi+1
1.
2-4
2.
4-6
3.
6-8
4.
8-10
ni
2
4
7
5
5.
10-12
2
-Построить гистограмму плотности относительных частот.
-Получить точечные оценки математического ожидания (выборочной средней) и
дисперсии.
-Получить интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического
отклонения с надежностью 0,95.
Задача 50
1. Дано распределение выборки:
i
xi-xi+1
ni
1.
1-3
1
2.
3-5
5
3.
5-7
9
4.
7-9
4
5.
9-11
1
-Построить гистограмму плотности относительных частот.
-Получить точечные оценки математического ожидания (выборочной средней) и
дисперсии.
-Получить интервальные оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения с надежностью 0,95.
Рекомендуемая литература
Основная
1. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2003. 479 с.
2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. М.: ОНИКС, 2002.Ч.I. 304 с.
3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. М.: ОНИКС, 2002.Ч.II. 416 с.
4. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 2004. 304 с.
5. Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа,
2001. 479 с
6. Гмурман В.Е.Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике. М.: Высшая школа, 2002. 407с
7. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.:ЮНИТИ, 2002. 399 с.
Дополнительная
1. Справочник по математике для экономистов./ Под ред. проф. Ермилова. М.: Высшая
школа, 1987.
2. Высшая математика. Общий курс./ Под ред. А.И.Яблонского. Минск: Высшая школа,
1993.
3. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1985.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы анализа
экономики. М.: ДИС, 1997.
5. Ильин В.А, Лозняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1978.
6. Ильин В.А, Лозняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 ч. - М.: Наука, - Ч. 1 1971, Ч. 2 - 1993.
7. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. Пер.
с англ. — М.: Прогресс, 1975.
8. Исследование операций в экономике./ Под ред. Н.Ш. Кремера. -М.: Банки и биржи,
ЮНИТИ, 1997.
9. Карасев АИ., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для
экономических вузов. — М.: Высшая школа, 1982 Ч. 1 и 2.
10. Карасев АИ., Калихман И.Л., Кремер Н.Ш. Матричная алгебра -М.: ВЗФЭИ, 1987.
11. Карасев АИ., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в
планировании. — М.: Экономика, 1987.
12. Колесников АН. Краткий курс математики для экономистов. М.: Инфра-М, 1997.
13. Кудрявцев В.А, Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. — М.: Наука, 1985.
14. Лапотников Л.И. Краткий экономико-математический словарь. — М.: Наука, 1987.
15. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. Линейная алгебра.
Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной
переменной. — М.: Высшая школа, 1986.
16. Мордкович А.Г., Солодовников А.С. Математический анализ. — М.: Высшая школа,
1990.
17. Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей
математики. /Под ред. А.И.Карасева и Н.Ш.Кремера. — М.: Экономическое
образование, 1989.
18. Самуэльсон П. Экономика. Пер. с англ. - М.: НПО Алгон,ВНИИСИ, 1992.
19. Солодовников АС. Бабайцев В.А., Брашюв А.В. Математика в экономике. — М.:
Финансы и статистика, 1998, Ч. 1.
20. Шарп У., Гордон Дж. А, Бейли Д. Инвестиции. Пер. с англ. - М.: Инфра-М. 1997.
21. Турецкий В.Я. Математика и информатика. М.:ИНФРА, 2000.-560 с.
22. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для
вузов. М.:Наука, 1998 г.