1. Если в многограннике хотя бы одна грань – четырёхугольник, то... не меньше 8 ребер. Поэтому будем искать многогранник с треугольными

1.
Доказательство:
Если в многограннике хотя бы одна грань – четырёхугольник, то в нем уже
не меньше 8 ребер. Поэтому будем искать многогранник с треугольными
гранями, чтобы у него было 7 ребер.
Если число граней k , то ребер будет 3k/2, 7=3k/2 или k=(14)/3. Получилось
дробное число граней, что показывает невозможность многогранника с
семью ребрами. ч.т.д.
2.
Преобразуем данное выражение:
3/(a+b+c)=1/(a+b)+1/(a+c),
3(a+b)(a+c)=(a+b+c)(2a+b+c),
3a2+3ac+3ab+3bc=(a+b+c)2+a(a+b+c),
a2+bc=b2+c2.
Итак, доказываемое равенство равносильно следующему:
2
A =b2+c2-bc .
Но это же соотношение получается, если применим теорему косинусов
для угла в 60o:
cos A= cos 60o=1/2, a2=b2+c2-2bc cos A .
Следовательно, 3/(a+b+c)=1/(a+b)+1/(a+c) ч.т.д.
3.
Первоначальное шестизначное число имеет вид 1·105 + x. После перенесения
цифры 1 на последнее место получим число 10x+1. По условию,
10x+1=3(1·105 + x)
10x+1=3·105 + 3x
7x=-1+3·105
X= 42857
Ответ: 42857
4.
1) Найдем производную функции:
y’=( 2x2+6x+6 )’ =(2x2+6x+6)’ (x2+4x+5) –(2x2+6x+6) (x2+4x+5)’ =
x2+4x+5
(x2+4x+5)2
=(4x+6) (x2+4x+5)–(2x2+6x+6) (2x+4) =4x3+ 16x2+20x+6x2+24x+30(x2+4x+5)2
(x2+4x+5)2
4x3- 8x2 - 12x2-24x-12x-24 = 2x2+8x+6
(x2+4x+5)2
2) Найдем нули производной:
2x2+8x+6 =0
(x2+4x+5)2
2x2+8x+6 =0
D=16; x1=-1;x2=-3
Стационарные точки: x1=-1;x2=-3
(x2+4x+5)2 =0
(x2+4x+5) =0
D=-4 Следовательно, критических точек нет.
3) Найдем знаки производной:
(-∞;-3]-“+” – функция возрастает; [-3;-1]-“-” – функция убывает;
[-1; +∞)-“+” – функция возрастает
Точки Экстремумы: Xmax=-3; Xmin=-1.
Ymax=y(-3)=3
Ymin=y(-1)=1
Ответ: Наибольшее значение функции: y=3; Наименьшее
значение функции: y=1.
6.
Рассмотрим первую арифметическую прогрессию: 17, 21, 25,
29, 33, 37, 41, 45, 53,57, 61…
Рассмотрим вторую арифметическую
прогрессию:16,21,26,31,36, 41, 46, 51, 56, 61…
Следовательно, арифметическая прогрессия одинаковых членов:
21, 41, 61…
По формуле суммы членов арифметической прогрессии
Sn=(2·a1+d(n-1))n
2
Находим:
S100=(2·21+20(100-1))100=101100
2
Ответ: 101100
8.
Представим исходное нечётное натуральное число в виде
2·k − 1, где k — натуральное.
Тогда
2·k − 1= k2
k2 - 2·k + 1=0
D=0; k=1
N=2·1 − 1=1, что не соответствует условию задачи.
Следовательно, число N не может быть квадратом натурального
числа.ч.т.д.
9.
Всякое деление колоды, указанное в условии равносильно извлечению 16
нетузов из числа 32 нетузов и двух тузов из числа четырех тузов. Первое
извлечение можно осуществить C 1632 способами, а второе C 24 способами.
Так как каждое извлечение 16 нетузов можно скомбинировать с любым
извлечением двух тузов, то общее число способов указанного деления колоды
равно C 1632 C 24.
10.
(x+
(2x+1)(2y+1)=1
Раскроем скобки
4xy+2x+2y+1=1
4xy+2x+2y=0
x + 2xy+y=0
Воспользуемся формулой сокращенного умножения и преобразуем
выражение:
(x+y)2=0
Следовательно, x+y=0, ч.т.д.