Решение. Применим подстановку t=lnx. Тогда dt= и

инистерство образования РБ
ГАОУ СПО
Нефтекамский нефтяной колледж
Утверждаю
Зам.директора по УР
_________ Ф.А. Бадикшина
___ ______________ 2012 г.
Методические указания
по дисциплине «Математика»
для студентов заочного отделения
всех специальностей
г. Нефтекамск
2012г.
Составили:
Преподаватели: Волкова Н.В.
Давлетшина Н.В.
Рассмотрено и утверждено
на заседании цикловой комиссии
математических и естественных дисциплин
Председатель
1.09.2012 г.
Н.В.Давлетшина
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методическое пособие предназначено для студентов заочного
отделения всех специальностей .
Программа учебной дисциплины математика является частью основной
профессиональной образовательной программы составленной в соответствии с
ФГОС специальностей СПО, прошедшие экспертизу РЭС ГОУ «РУНМЦ МО
РБ» (пр.№05\11 от 24.08.2011г.).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:
решать прикладные задачи в области профессиональной
деятельности.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:
значение математики в профессиональной деятельности и при
освоении основной профессиональной образовательной программы;
основные математические методы решения прикладных задач в
области профессиональной деятельности;
основные понятия и методы математического анализа, линейной
алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической
статистики;
основы интегрального и дифференциального исчисления.
Контрольная работа состоит из 10 вариантов и содержит 8 заданий.
Вариант контрольной работы определяется по последней цифре номера шифра
студента. Студенты должны быть внимательными при выборе варианта. Работа,
выполненная не по своему варианту, возвращается студенту без проверки и
зачета.
Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условия заданий
записываются полностью. После проверки контрольной работы преподавателем
студент должен ознакомиться с рецензией на проверенную работу и исправить
имеющиеся ошибки. В случае незачета контрольная работа, после исправления
ошибок, работа вновь предоставляется для проверки.
Кроме того, данное пособие содержит экзаменационные вопросы и
список рекомендуемой литературы.
3
Тематический план и содержание
учебной дисциплины Математика
Наименование
разделов и тем
1
Тема1.1
Введение.
Тема 1.2.
Матрицы и
определители
Тема 1.3.
Система
линейных
уравнений
Содержание учебного материала, практические работы,
самостоятельная работа обучающихся.
2
Раздел 1.
Элементы линейной алгебры.
Математика и этапы ее развития.
Определение матрицы и действия над ними. Определители 2-го
и 3-го порядка. Определители n-го порядка. Операции над
матрицами. Вычисление определителей. . Разложение
определителя по элементам строки или столбца. . Обратная
матрица.
Однородные и неоднородные системы линейных уравнений.
Решение систем линейных уравнений матричным методом.
Раздел 2
Основы математического анализа.
Тема 2.1.
Числовая последовательность. Предел последовательности и ее
Теория пределов. свойства Число e. Понятие предела функции. Свойства
Непрерывность пределов. Замечательные пределы .
функции.
Тема 2.2
Производная. Правила и формулы дифференцирования.
Дифференциальн Вычисление производной сложной функции. Геометрический и
ое исчисление
физический смысл производной и его применение. Производные
функции одной высших порядков.
действительной
переменной
Тема 2.3
Неопределенный интеграл, его свойства и методы
Интегральные интегрирования. Определенный интеграл, его свойства и
исчисления.
методы интегрирования.
Тема 2.4
Определение дифференциальных уравнений, порядок уравнения.
дифференциальн Начальные условия. Общее и частное решение
ые уравнения
дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения 1II порядка . Применение дифференциальных уравнений в решении
прикладных задач.
Тема 2.5
Определение числового ряда, сумма ряда, остаток ряда.
Теория рядов.
Признаки сходимости рядов. Функциональные ряды Радиус
сходимости. Ряд Тейлора и Маклорена.
Раздел 3
Основы теории комплексных чисел.
4
Тема 3.1
Основы теории
комплексных
чисел.
Тема 4.1
Элементы
теории
вероятностей
Тема 4.2
Дискретные
случайные
величины
Тема 4.3
Элементы
математическо
й статистики.
Определение комплексного числа и его геометрическое
изображение. Тригонометрическая форма комплексного числа и
действие над ними. Показательная форма комплексного числа,
действие над ними. Формула Эйлера.
Раздел 4
Основные понятия теории вероятности и математической
статистики
Задачи теории вероятностей элементы комбинировании:
перестановка, сочетание, размещение.
События их виды. Классическое определение вероятностей.
Теорема сложения и умножения вероятностей. Формула полной
вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли.
Закон распределения дискретных случайных величин.
Характеристики ДСВ и их свойства.
Область применения и задачи математической статистики.
Понятие о генеральной совокупности и выборке.
Статистическая оценка параметров распределения. Первичная
обработка статических данных. Статическая оценка
параметров распределения.
5
Задания контрольной работы
Задание 1: Решить систему
линейных уравнений методом Гаусса и по
формулам Крамера
5 х  8 y  z  7
1.  х  2 у  3z  1
2 х  3 у  2  9

2 х  y  z  1
6.  х  у  z  6
3х  у  z  4

3х  2 у  z  5
2. 2 х  3 у  z  1
2 х  у  3z  11

4 х  3 y  2 z  9
3. 2 х  5 у  3z  4
5 х  6 у  2 z  18

 х  5 y  z  7
7. 2 х  у  z  0
х  2 у  z  2

3х  4 y  2 z  8
8. 2 х  у  3z  1
х  5 у  z  0

 х  y  2 z  1
4. 2 х  у  2 z  4
4 х  у  4 z  2

2 х  y  4 z  20
9. 2 х  у  3z  3
3х  4 у  5 z  8

3х  y  z  4
5. 2 х  5 у  3z  17
х  у  z  0

х  5 y  z  7
10. 2 х  у  z  4
3х  2 у  4 z  11

Задание 2: Найти пределы:
2 x 2  x  10
1. а) lim 2
;
x  x0 x  3 x  2
а) x 0 =2, б) x 0 = - 2, в) x 0 =  .
x 2  3x  2
2. а) lim
;
2
x  x0 14  x  3 x
а) x 0 =1, б) x 0 =2, в) x 0 =  .
x 2  5x  4
3. а) lim 2
;
x  x0 2 x  3 x  5
а) x 0 =-2, б) x 0 =-1, в) x 0 =-  .
4 x 2  5x  1
;
4. а) lim
2
x  x0 3 x  x  2
а) x 0 =-1, б) x 0 =1, в) x 0 =-  .
x 2  5x  6
;
5. а) lim
2
x  x0 3 x  x  14
а) x 0 =2, б) x 0 =-2, в) x 0 =-  .
2x 2  7x  6
;
6. а) lim
6  x  x2
x  x0
а) x 0 =1, б) x 0 =2, в) x 0 =-  .
x 2  6x  7
;
7. а) lim 2
x  x0 3 x  x  2
а) x 0 =-2, б) x 0 =-1, в) x 0 =-  .
6
8. а)
3x 2  x  4
;
lim
2
x  x0 4 x  x  3
9. а)
lim
x  x0
10. а)
а) x 0 =-1, б) x 0 =-1, в) x 0 =-  .
x 2  5 x  14
;
2x 2  x  6
а) x 0 =2, б) x 0 =-2, в) x 0 =-  .
3x 2  7 x  2
;
lim
6  x  x2
x  x0
Задание 3.
а) x 0 =1, б) x 0 =2, в) x 0 =-  .
Найти производные
dy
, пользуясь правилами и формулами
dx
дифференцирования.
1.а) y=(3x-4 3 x +2) 4
2
6. а) y=  6 x 2   5 
x


sin x
б) y=cos 3x e
в) y=ln arctg 2x
б) y=3 tgx arcsin (x 2 )


2. а) y= 3x 3  23 x 2  1
2
в) y=ln sin 6x

б) y=2 tg 2x
3x
7. а) y= x 3  44 x 3  2
в) y=cos ln 5x
3. а) y=  x 2 

2
1

5 x
3
x

4

3
б) y=e ctgx cos 6x
в) y= sin ln 2x
8. а) y= x 2  25 x  4
4
б) y=e
tgx
ln 2x
б) y=4 cos x arctg 2x
в) y=cos x  3
2

4. а) y=  4 x 2 


 4 
x

3
3
в) y=ln cos 5x
9. а) y=  3x 5 
б) y=2 3 x tg 3x
в) y=arcsin ln 4x
5. а) y= x 5  3 x  1
5
б) y=e
ctgx
 sin 4x
в)y=sin ln 5x
б) y=e
x3
5
2
x3
5
tg 7x
в) y=arcsin ln 2x
10. а) y= (x 4 +2 3 x  1  2
б) y=2 sin x arcsin 2x
в) y=ln cos 7x
7
Решение типовых примеров.
При решении всех последующих примеров кроме таблицы производных
будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности,
произведения, дроби и теорема о производной сложной функции:
А) [ƒ(x)±φ(x)]'=ƒ'(x)±φ'(x);
Б) [ƒ(x)·φ(x)]'=ƒ'(x)φ(x)+ƒ(x)φ'(x) ;
ƒ' (x) (x   ƒ x) ' (x 
 ƒ(x)  '
В) 
;
 =
 ( x)2
 ( x) 
Г) Если задана сложная функция y=f(u), где u= φ(x), то есть y=f(φ(x)); если
каждая из функций y=f(u) и u= φ(x) дифференцируема по своему аргументу, то
dy dy du
=  ,
dx du dx


6
Пример 1:y= 2 x 5  3 x 3  1  u 6 ,
u=2x 5 -3 x 3 +1;
dy
=6u 3
dx
5

3
1
3
3

 5



9 2 
du
5
4
5
5
2
2
2





 6 2 x  3x  1   2 x  3x  1 =6( 2 x  3x  1 ) 10 x  x  =
2 
dx


 



5
9

x .
= 6 2 x 5  3 x 3  1 10 x 4 
Пример 2:y=


2
cos 7 x
;
1  3x 4

dy cos 7 x   1  3x  cos 7 x 1  3x
=
dx
1  3x 4 3

 7 sin 7 x 1  3x 4 
4

cos 7 x
2 1  3x
1  3x 4
=
4

4
  12 x 3
=



 sin 7 x  (7 x)  1  3x 4  cos 7 x 
1  3x


1  3x  1  3x
4
2 1  3x
1  3x 
4
4
4
 7 sin 7 x 1  3x 4  6 x 3 cos 7 x
4
1

.
Пример3: y=3 tgx sin5x;
dy

1
= 3tgx sin 5x  3tgx sin 5x   3tgx ln 3  2 sin 5x  3  3tgx cos 5x .
dx
cos x
 
1) y=ln arcsin 6x;
dy
1
1
1
6

arcsin 6 x  1 
=
.
 6 x  

2
dx arcsin 6 x
arcsin 6 x
arcsin 6 x
1  36 x 2
1  6 x 
2
Задание 4:
Исследовать заданные функции методами дифференциального
исчисления и начертить их графики. Исследование функций и построение
графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:
1) найти область определения функции D (y);
2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции
и ее односторонние пределы в точках разрыва;
3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее
монотонности;
4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы
выпуклости и вогнутости графика;
5) найти асимптоты графика функции;
6) построить график, используя результаты предыдущих исследований.
7) найти наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке;
1. y=2 x 3  9 x 2  12 x  5 ,
2. y= x 3  6 x 2  9 x  1 ,
3. y= x 3  3x 2  9 x  10 ,
4. y= x 3  3x 2  9 x  10 ,
5. y= x 3  6 x 2  9 x  2 ,
6. y=2 x 3  3x 2  12 x  5 ,
7. y=2 x 3  3x 2  12 x  8 ,
8. y=2 x 3  9 x 2  12 x  7 ,
9. y=2 x 3  15 x 2  36 x  32 ,
10.y=2 x 3  3x 2  36 x  20 ,
[-1; 3];
[-1; 2];
[2; 4];
[-1; 2];
[0; 4];
[-2; 3];
[-3; 0];
[-3; 1];
[1; 4];
[-1; 4];
Задание 5: Найти неопределенные интегралы способом подстановки
(методом замены переменной):
1.

2.
 ln x 
3.
 1 x
4.

dx
x
sin x
dx
cos 2 x
x2
12.  3 dx
2x  3
dx
13.  5 x 4  3x3dx
cos sin xdx
3
arctgx
2
cos x
3
dx
sin x
5.
t
 te dt
6.
2 x
7.

2
x
4
11. 
14. 
15. 
dx
ln x 
dx
x
et dt
2  et
x3
dx
8x 4  1
x
16.  2 dx
2x  3
17.  arcsin 2 x
dx
1 x2
3
x

8.
18. 
dx
arctgx
dx
1 x2
ln x  3
dx
19. 
x
1  2x
x3
9.  4 dx
2x  5
dx
10. 
x ln x
2
20.  1  2 x 2 xdx .
Решение типовых примеров.
Найти неопределенный интеграл:
Пример 1.  ln x 3 dx
Решение. Применим подстановку t=lnx. Тогда dt=
 ln x 
8
dx
и
x
dx
1
1
9
  t 8 dt  t 9  C   ln x   C .
x
9
9
2x
e
Пример 2.
3
3
x 2 dx .
1
6
Решение. Применим подстановку t=2x 3 +3. Тогда dt=6x 2 dx  dt  x 2 dx , откуда
2x
e
2
3
1
1
1 2
x 2 dx   e  dt  c   C  e 2 x  3  C .
6
6
6
2. Таблица основных интегралов. Из определения неопределенного
интеграла следует, что если F’(x)=f(x), то  ƒ(x)dx=F(x)+C. Исходя из этого и
используя формулы дифференцирования, можно составить следующую таблицу
неопределенных интегралов.
1.
x a 1
 C (-1); при =0 имеем dx=x+C
a 1
a
 x dx 
2. 
dx
 ln x +C
x
3. sin xdx = - cos x +C
4. cos xdx = sin x +C
dx
5.
 cos
6.
 sin
7.

8.

2
dx
2
 tgxC
x
x
dx
=-ctgx+C
1 x2
dx
1 x2
 arcsinx+C
 arctgx+C
ax
C
ln a
10.  e x dx  e x  C
9.
x
 a dx 
11.  tgxdx   ln cos x+C
4
12.  ctgxdx  ln sin x+C
dx
x
=ln cos ecx-ctgx+C=lntg +C
sin x
2
dx
x 
14. 
=ln sec x + tg x +C=ln tg(  )+C
cos x
2 4
dx
1
x
15.  2 2  arctg +C, 0
a
a
a x
dx
1
ax
16.  2 2  ln 
+C, 0
2a
ax
a x
dx
1
xa
17.  3 2 = ln 
+C, 0
2a
xa
x a
dx
x
18.  2 2  arcsin  C , x < , 0
a
a x
13. 
19. 
dx
x a
2
2
=lnx+ x 2  a 2 +C
x 2
a2
x  a 2  ln x+ x 2  a 2 +C
2
2
x 2
a2
x 2  a 2 dx 
x  a 2  ln x+ x 2  a 2 +C.
2
2
20.  x 2  a 2 dx 
21. 
Задание 6:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными
линиями:
1. x-y+2=0, x=-1 и x=2
2. 2x-3y+6=0, y=0 и x=3
3. x-y+3=0, x+y-1=0 и y=0
4. x-2y+4=0, x+2y-8=0, y=0, x=-1 и x=6
5. y=x 2 , y=0, x=0 и x=3
6. y=x 2 +1, y=0, x=-1 и x=3
7. y=0,5x 2 +2, y=0, x=1 и x=3
8. y=3x 2 , y=0, x=-3 и x=2
9. y=  2x 2 +3, y=0, x=0 и x=3
10.y=-x 2 -2x+8, y=0
Задание 7.
1) Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений
первого порядка
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(2-y)dx=xdy
(1-y)vdy=(1-v)ydv
(1+y)dx=(1-x)dy
(1+y 3 )xdx-(1+x 2 )y 2 dy=0
(xy 2 +x)dx+(y-x 2 y)dy=0
(1+2y)xdx+(1+x 2 )dy=0
5
7. xy(1+x 2 ) y  =1+y 2
8. ( xy  x )dy+ydx=0
9. (1+y 2 )dx-xydy=0
10.(2x+1)dy+y 2 dx=0
2) Найти общее решение однородного линейного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
1. у  -7 y  +10y=0;
2. у  +2 y  +10y=0;
3. у  -6 y  +9у=0;
4. у  +8 y  +7y=0;
5. у  +9y=0;
6. у  -7 y  +12y=0;
7. у  +9 y  =0;
8. у  -3 y  +2y=0;
9. у  -5 y  +6y=0;
10. у  -2 y  +5y=0;
Основные понятия
Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию
и ее первую производную, называется дифференциальным уравнением первого
порядка. Если, кроме того в уравнение входит вторая производная от искомой
функции, то оно называется дифференциальным
уравнением второго порядка.
В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка можно
записать в виде f (x,y,y’) = 0, где y = y (x) – искомая функция, y’= y’(x) – ее
производная по x, а F – заданная функция переменных x,y,y’. Если уравнение
F(x,y,y’) = 0 можно разрешить относительно производной, то оно примет вид y’=
f (x,y).
Решением дифференциального уравнения называется функция y= y (x),
удовлетворяющая этому уравнению.
Задача нахождения такого решения уравнения y’= f (x,y), которое
удовлетворяет условию y(x0) = y0, где x0 , y0 = заданные числа, называется
задачей Коши.
Общим решением дифференциального уравнения y’= f (x,y) называется
функция y = φ (x,C), которая при каждом фиксированном значении C как
функция от x является решением данного уравнения.
Каждое решение дифференциального уравнения, которое получается из
общего решения при конкретном значении постоянной C, называется частным
решением.
Пример 1
Найти общее решение дифференциального уравнения:
6
y’ = 2(y-3) (0;4)
y’ = dy/dx; dy/dx = 2(y-3); dy= 2(y-3)dx
= 2∫dx
ln |y-3| = 2x+c
dy/y-3 = 2dx; ∫dy/y-3 = ∫2dx; ∫dy/y-3
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения:
y”+y’- 2y= 0.
Решение:
k2+k–2= 0. – характеристическое уравнение
D= 1+8 = 9; D = 3; k1,2 = -1 ±3/ 2 = 1; -2 .
Так как корни действительные и различные то общее решение записывается в
виде:
y= C1lx +C2l-2x
Задание 8.Выполнить действия над комплексными числами
Z1 - Z2; Z1+Z2; Z1*Z2;
если
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Z
Z
Z1=5+3i
Z1=-12+5i
Z1=5+7 i
Z1= -2+3 i
Z1=-10-8 i
Z1= -7-8i
Z1=-3+5 i
Z1=10+3 i
Z1=2+i
Z1= -2-3i
Z2 = -3+2 i
Z2 = 7-3 i
Z2 =-3-4 i
Z2 =1-4 i
Z2 =7-6 i
Z2 =3-4i
Z2 =5-6 i
Z2 =20-12 i
Z2 = -4-3 i
Z2 = 8-9 i
Задание 9: Решить уравнения:
1)
2)
3)
4)
5)
Ax6 = 28 Ax-25
A3x+1 Px-2 = 30Px
2Cx-2 x+2 = Ax2
4Cx-1x+2 = 3A3x+2
2C2x+5 - 15C1x = 75
6) A3x = 1/20 A4x
7) 4Cx-1x+2 = A3x
8) 30x = A3x
9) x /Ax3 = 1/12
10) 5C3x = C4x+2
7
Экзаменационные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
История возникновения, развития и становления математики.
Определение матрицы и действия над ними.
Определители 2-го и 3-го порядка. Определители n-го порядка
Решение систем линейных уравнений матричным методом.
Предел функции. Основные теоремы о пределах функции.
Понятие непрерывности функции, точки разрыва.
Понятие производной, основные формулы дифференцирования.
Монотонные функции, правило нахождения интервалов монотонности.
Экстремумы функции, правило нахождения точек экстремума.
Выпуклость графика функции. Правило нахождения интервалов
выпуклости.
Точки перегиба графика функции, правило нахождения точек перегиба.
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
План исследования функции с помощью производной.
Уравнения касательной и нормали к графику функции.
Геометрический и физический смысл производной.
Неопределенный интеграл, основные формулы интегрирования.
Неопределенный интеграл, основные свойства неопределенного интеграла.
Определенный интеграл и его основные свойства.
Методы вычисления определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного
интеграла.
Приближенные методы вычисления определенного интеграла.
Понятие дифференциального уравнения, основные определения.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Определение комплексного числа и его геометрическое изображение.
Действия над комплексными числами
Числовые ряды, основные понятия и определения.
Признак Даламбера и признак сравнения числовых рядов.
Функциональные ряды.
Степенные ряды.
Основные понятия комбинаторики.
Классическое определение вероятности.
Теорема сложения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей.
ЛИТЕРАТУРА
Основные источники:
А.А. Дадаян .Математика: учебник-Москва: Издательство « Форум»:2010г.,
Е..В.Филимонова Математика: Издательств « Феникс» Ростов-на-Дону 2008г.,
Е.В.Филимонова Математика и информатика: учебник- Москва:
Издательство«Дашков и К», 2007г-480с.
Дополнительные источники:
Б.В.Соболь, Н.Т, Мишняков Практикум по высшей математике,- Москва:
Издательство «Феникс»,2005г
Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике: полный курс –
Москва :Издательство «АЙРАС»-2007г. 608с.
Интернет-ресурсы:
http://school-collection.edu.ru/Единая коллекция цифровых образовательных
ресурсов.
http://www.openclass.ru Открытый класс
http://www/metodkabinet.1 сентября, фестиваль педагогических идей
2