Тема. Определенный интеграл

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
ПО МАТЕМАТИКЕ
специальность 150415 Сварочное производство
Тольятти, 2013
ОДОБРЕНО
методическим объединением
преподавателей
общеобразовательных
дисциплин
Составлено
в
соответствии
с
требованиями
Федерального
государственного
образовательного
стандарта по специальности среднего
профессионального образования 150415
Сварочное производство
Методические рекомендации составлены в соответствии с
действующей программой по математике для студентов, обучающихся по
специальности 150415 Сварочное производство на базе среднего (полного)
общего образования. В каждой теме приводятся краткие теоретические
сведения и образцы решения многих типовых задач – это, по мнению
авторов, будет способствовать успешному выполнению практических работ.
Рекомендации могут быть использованы студентами заочной и
вечерней форм обучения, а также лицами, изучающими математику
самостоятельно.
При составлении пособия были использованы учебники, учебные
пособия и методические рекомендации для техникумов.
Авторы: К.А. Горбунова - преподаватель высшей квалификационной
категории
Н.А. Гончарова - преподаватель высшей квалификационной
категории
О.В. Ющенко - преподаватель математики и информатики
2
Содержание
Информация для студента ......................................................................................4
Тема Матрицы и действия над ними. Определители матриц ..............................5
Тема Системы линейных алгебраических уравнений ........................................12
Тема. Определение комплексного числа. Свойства операций над
комплексными числами. .......................................................................................17
Тема. Различные формы записи комплексных чисел. Операции над
комплексными числами. .......................................................................................19
Тема. Размещения, перестановки, сочетания......................................................24
Тема. Случайные события. Вероятность события. Основные теоремы теории
вероятностей. .........................................................................................................28
Тема. Производная функции ................................................................................30
Тема. Приложение производной к исследованию функции. Построение
графиков функций .................................................................................................33
Тема. Неопределенный интеграл .........................................................................39
Тема. Определенный интеграл .............................................................................44
3
Информация для студента
Основной задачей курса математики в учреждениях среднего
профессионального образования является математическое обеспечение
специальной подготовки, т.е. вооружение студентов математическими
знаниями и умениями, необходимыми для изучения общепрофессиональных
дисциплин и профессиональных модулей, разработки курсовых и дипломных
проектов, для профессиональной деятельности и продолжения образования.
Практические работы имеют целью проверку усвоения студентами
изучаемого программного материала. Выполнение студентами практических
работ является одним из обязательных требований аттестации по математике
на 2 курсе.
Задания практических работ представлены 15 вариантами в «Сборнике
заданий», содержание работ соответствует последовательности прохождения
тем на лекциях.
Оценка практической работы складывается из двух показателей:
1. выполнение работы;
2. защита выполненной работы
Практические работы выполняются в тетради для практических работ и
оформляются в соответствии с требованиями.
Защита выполненной работы представляет собой собеседование с
преподавателем по вопросам раздела «Требования к знаниям и умениям
студента».
4
Тема Матрицы и действия над ними. Определители матриц
Требования к знаниям и умениям студента:
студент должен уметь:
производить операции над матрицами и определителями;
студент должен знать
основные понятия и методы линейной алгебры.
Теоретический материал
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая
некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.
Основные понятия матрицы: Числа m и n называются порядками матрицы. В
случае, если m=n, матрица называется квадратной, а число m=n - ее
порядком.
В дальнейшем для записи матрицы будут применяться обозначение:
Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка
называется матрица размера n×n.
В случае квадратной матрицы
вводятся понятие главной и побочной диагоналей.
Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого
верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол.
5
Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из
левого нижнего угла в правый верхний угол.
Понятие единичной матрицы: Единичной (обозначается Е иногда I)
называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.
Понятие нулевой матрицы: Нулевой называется матрица, все элементы
которой равны нулю.
Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они одинакового
размера (т.е. имеют одинаковое количество строе и одинаковое количество
столбцов и их соответствующие элементы равны). Так, если
то А=B, если a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22
при сложении матриц складываются элементы, стоящие на одинаковых
местах. Например,
6
при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число.
Например,
Умножение матрицы на число.
Умножение матрицы А на число λ приводит к умножению каждого элемента
матрицы на число λ:
λА =
, λ R.
Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов
матрицы можно выносить за знак матрицы.
Пример 1.
Пусть
матрица
5А=
Пусть матрица В =
А
=
=
,
тогда
.
=
=5
.
Свойства умножения матрицы на число:
1) λА = Аλ;
2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), где λ,μ R;
3) (λА) = λА ;
4) 0ּА = 0.
Сумма (разность) матриц.
Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка m´n.
7
Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка m´n называется матрица С
того же порядка, где
(i=1,2,3,…,m; j = 1,2,3,…, n).
Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности)
соответствующих элементов матриц А и В.
Пример 2. Найти сумму и разность матриц А и В.
Тогда
Из данных выше определений следуют свойства суммы матриц:
1) коммутативность А+В=В+А;
2) ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С);
3) дистрибутивность к умножению на число λ R: λ(А+В) = λА+λВ;
4) 0+А=А, где 0 – нулевая матрица;
5) А+(–А)=0, где (–А) – матрица, противоположная матрице А;
6) (А+В)= А+ В.
Произведение матриц.
Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для
согласованных.
Матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов матрицы А
равно числу строк матрицы В.
Так, если
m≠k, то матрицы А и В согласованные, так как n = n, а
в обратном порядке матрицы В и А несогласованные, так как m ≠ k.
Квадратные матрицы согласованы, когда у них одинаковый порядок n,
причем согласованы как А и В, так и В и А. Если
, то будут
согласованы матрицы А и В, а также матрицы В и А, так как n = n, m = m.
Произведением двух согласованных матриц
A=
B=
называется матрица С порядка m k:
8
, элементы которой вычисляются по формуле:
, то есть элемент
i –ой строки и j –го
столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ой строки
матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В.
Пример 3. Найти произведение матриц А и В.
,
Произведение матриц В∙А не существует, так как матрицы В и А не
согласованы: матрица В имеет порядок 2´2, а матрица А – порядок 3´2.
Рассмотрим свойства произведения матриц:
1) некоммутативность: АВ ≠ ВА, даже если А и В, и В и А согласованы. Если
же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и
В в этом случае обязательно будут квадратными).
Пример 4
,
Пример 5.
=
Вывод:
, хотя матрицы Cи D одного порядка.
2) для любых квадратных матриц единичная матрица Е является
коммутирующей к любой матрице А того же порядка, причем в результате
получим ту же матрицу А, то есть АЕ = ЕА = А.
Пример 6.
9
3) A·0 = 0·A = 0.
4) произведение двух матриц может равняться нулю, при этом матрицы А и В
могут быть ненулевыми.
Определители квадратной матрицы и их свойства.
Пусть А – квадратная матрица порядка n:
А=
Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное
действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы
и обозначаемое
=det A = Δ=
Отметим, что определитель существует только для квадратных матриц.
Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для
квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для
краткости определителями второго и третьего порядка соответственно.
Определителем второго порядка матрицы
называется число,
определяемое по правилу:
=
(1)
т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению
элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной
диагонали.
Пример 7.
10
Следует помнить, что для обозначения матриц используют круглые или
квадратные скобки, а для определителя – вертикальные линии. Матрица – это
таблица чисел, а определитель – число.
Из определения определителя второго порядка следуют его свойства:
1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими
столбцами:
2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк
(столбцов) определителя:
3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно
вынести за знак определителя:
4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю,
то определитель равен нулю.
5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк
(столбцов) пропорциональны:
Правило Саррюса или правило треугольника:
Пример
8.
Вычислить
определитель
Следует отметить, что свойства определителя второго порядка,
рассмотренные выше, без изменений переносятся на случай определителей
любого порядка, в том числе и третьего.
11
Тема Системы линейных алгебраических уравнений
Требования к знаниям и умениям студента:
студент должен уметь:
решать системы линейных уравнений различными методами.
студент должен знать
основные понятия и методы линейной алгебры.
Теоретический материал
Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными —это
система уравнений вида
Здесь x1, x2, …, xn - неизвестные, которые надо определить. Коэффициенты
системы a11, a12, …, amn и её свободные члены b1, b2, …, bm предполагаются
известными. Индексы коэффициента aij системы обозначают номера
уравнения i и неизвестного j,при котором стоит этот коэффициент.
Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю,
b1, b2, …, bm = 0, иначе — неоднородной.
Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n
неизвестных.
Решение системы уравнений — совокупность n чисел c1, c2, …, cn,таких что
подстановка каждого ci вместо x в систему обращает все её уравнения в
тождества.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и
несовместной, если у нее нет ни одного решения. Совместная система может
иметь одно или более решений.
Основными методами решения элементарных систем линейных уравнений
являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса.
Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
Пусть нам требуется решить систему линейных алгебраических уравнений
12
в которой число уравнений равно числу неизвестных переменных и
определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то есть,
Пусть
- определитель основной матрицы системы, а
-
определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, nого столбца соответственно на столбец свободных членов:
При таких обозначениях неизвестные переменные вычисляются по формулам
метода Крамера как
.
Так находится решение системы линейных алгебраических уравнений
методом Крамера.
Пример 1. Решите систему линейных уравнений методом Крамера
Решение.
Основная матрица системы имеет вид
13
Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то
система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом
Крамера.
Составим и вычислим необходимые определители
(определитель
получаем, заменив в матрице А первый столбец на столбец
свободных членов
, определитель
столбец свободных членов,
- заменив второй столбец на
- заменив третий столбец матрицы А на
столбец свободных членов):
,
Находим неизвестные переменные по формулам
Ответ: x1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.
Основным недостатком метода Крамера (если это можно назвать
недостатком) является трудоемкость вычисления определителей, когда число
уравнений системы больше трех.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Пусть нам требуется найти решение системы из n линейных уравнений с n
неизвестными переменными определитель основной матрицы которой
отличен от нуля
14
Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных
переменных: сначала исключается x1 из всех уравнений системы, начиная со
второго, далее исключается x2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так
далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная
xn. Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного
исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода
Гаусса. После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего
уравнения находится xn, с помощью этого значения из предпоследнего
уравнения вычисляется xn-1, и так далее, из первого уравнения находится x1.
Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего
уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса.
Рассмотрим алгоритм применения метода Гаусса на примере.
Пример 2. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса
Решение.
Запишем матрицу системы вместе со свободными членами и пронумеруем
строки матрицы
В скобках нумерация
строк матрицы
Вычитаем
из 2й строки
3ю строку
В
результате
получаем
следующую матрицу
Вычитаем из 1й
строки
2ю
строку
умноженную на
2
15
В
результате
получаем
следующую матрицу
Вычитаем из 2й
строки,
умноженной на
2, 3ю строку
умноженную на
7
В
результате
получаем
следующую матрицу
Запись данного алгоритма выглядит следующим образом:
Мы привели матрицу к ступенчатому виду
Перейдем к системе уравнений, т.е. запишем эквивалентную систему
первоначальной системе с коэффициентами матрицы (1)
Из системы (2) находим неизвестные x1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.
Ответ::x1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.
16
Тема. Определение комплексного числа. Свойства операций над
комплексными числами.
Требования к знаниям и умениям студента:
студент должен уметь:
выполнять действия над комплексными числами;
студент должен знать
теорию комплексных чисел.
Теоретический материал
Существует элемент i (мнимая единица) такой, что i2 = – 1.
Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и
мнимой частью bi, где a и b – действительные числа, b – коэффициент
мнимой части.
Комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a, т.е. a
+ 0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi (b 0) называют чисто
мнимыми.
Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть –
действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 –
коэффициент мнимой части.
Комплексное число 2 – 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть
– 3i, число – 3 – коэффициент при мнимой части.
Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда,
когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых
частей, т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и, обратно, если a = c, b = d,
то a + bi = c +di.
Правило сложения и вычитания комплексных чисел.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Например:
(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;
(– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;
(– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i =
= – 1 + 0i = – 1.
Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная
сложению, и выполняется по формуле:
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.
Например:
(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;
17
(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.
Правило умножения комплексных чисел.
(a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i
Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di 0
определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле:
.
Например,
18
Тема. Различные формы записи комплексных чисел. Операции над
комплексными числами.
Требования к знаниям и умениям студента:
студент должен уметь:
выполнять действия над комплексными числами;
студент должен знать
теорию комплексных чисел.
Теоретический материал
Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая
форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная
(показательная) форма записи.
Алгебраическая форма - это такая форма записи комплексных чисел, при
которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x , y),
записывается в виде
z = x + i y.
(1)
где использован символ i , называемый мнимой единицей.
Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x
+ i y и обозначают Re z.
Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и
обозначают Im z.
Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами.
Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами
Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число,
обозначаемое | z | и определенное по формуле
Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой
системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости
называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.
Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем
представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами
(x , y).
19
рис 1.
Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy- мнимой осью.
При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел
соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа
на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это
число.
Аргумент комплексного числа
Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля,
комплексного числа z.
Аргументом комплексного числа z называют угол φмежду положительным
направлением вещественной оси и радиус-вектором z.
Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от
положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z
происходит против часовой стрелки, и отрицательным - в случае поворота по
часовой стрелке (см. рис.2).
Рис.2
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью
до слагаемого 2kπ , где k - произвольное целое число, то вводится, главное
значение аргумента, обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:
20
Тогда оказывается справедливым равенство:
Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его
аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам
(3)
Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е.
нам известны числа x и y, то модуль этого числа, конечно же, определяется
по формуле
(4)
Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Из формулы (3) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z =
x + i y может быть записано в виде
z = r (cos φ + i sin φ) ,
(5)
где r и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль
удовлетворяет неравенству r > 0.
Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической
формой записи комплексного числа.
Пример 1. Записать в тригонометрической форме комплексное число
z = 1+i
Решение:
Модуль этого комплексного числа есть
,
тогда
,
, откуда
Окончательно запишем:
Обычно из бесконечного множества значений аргумента комплексного
числа выбирают то, которое заключено между 0 и 2 . В нашем случае
таким значением является .
Окончательно (рис. 3) запишем
21
Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме
записи
Умножение и деление комплексных чисел удобнее выполнить, если эти
числа записаны в тригонометрической форме
Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме
записи.)
Пусть
–
два
произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме.
Тогда
(6)
Теорема. (О делении комплексных чисел в тригонометрической форме)
Пусть
–
два
произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме.
Тогда
(7)
Пример 2. Вычислить произведение комплексных чисел
Решение:
По
формуле
(6)
получаем,
что
Пример 3: Вычислить произведение комплексных чисел
Решение: Аналогично примеру 2 применим формулу (6), получаем:
22
Пример 4: Вычислить частное комплексных чисел:
Решение: По формуле (7), получаем:
Показательная форма записи комплексного числа.
Показательной формой комплексного числа z = r (cos φ + i sin φ) , называется
форма
(8)
Пример 5: Записать число z=1+i в показательной форме.
Решение:
1) Запишем число z в тригонометрической форме (см. (5)), получим:
2) По формуле (8) получаем:
Ответ:
Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются
по правилам действий со степенями:
(9)
(10)
Извлечение корня и возведение в степень комплексных чисел.
Корнем n -ой степени из комплексного числа называется такое комплексное
число, n -я степень которого равна подкоренному числу.
Возведение в степень (11) и извлечение корня (12) комплексных чисел,
записанных в показательной форме:
(11)
=
, k = 0,1,…,n-1 (12)
Возведение в степень (13) и извлечение корня (14) комплексных чисел,
записанных в тригонометрической форме
- формула Муавра (13)
(14)
23
Тема. Размещения, перестановки, сочетания
Требования к знаниям и умениям студента:
студент должен уметь:
решать задачи на вычисление вероятности с использованием элементов
комбинаторики;
Теоретический материал
- при решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой
совокупности объектов элементы, обладающие тем или иным свойством,
подсчитать сколько различных комбинаций можно составить из конечного
числа элементов, принадлежащих заданной совокупности, располгагть эти
элементы в определённом порядке и т.д
Так как в этих задачах идёт речь о различных комбинациях, то их называют
комбинаторными задачами, а область математики, в которой изучаются
комбинаторные задачи – комбинаторикой. Комбинаторные методы
применяются в физике, химии, экономике и т.д
Рассмотрим два основных закона, с помощью которых решаются многие
задачи комбинаторики – правило суммы и рпавило произведения.
Правило суммы.
Рассмотрим пример. Если на одной полке шкафа 30 различных книг, а на
другой 40 (и не таких как на первой), то выбрать одну книгу из стоящих на
этих полках можно 30+40=70 способами. Обобщение этого примера является
следующее утверждение, называемое правилом суммы.
Если пересечние конечных множеств А и В пусто, то число элементов в
их объединении равно сумме элементов А и В.
Пример1. При формировании космического экипажа имеется 10
претендентов на пост командира, 20 – на пост бортинженера, 25 – на пост
космонавта – исследователя. Ни один кандидат не претендует одновременно
на два поста. Сколькими способами можно выбрать одну из кандидатур или
командира, или борт - инженера, или космонавта – исследователя?
Решение:
А – множество на пост командира
А – множество на пост бортинженера
С - множество на пост космонавта – исследователя
n(A) = 10, n(B) = 20, n(C) = 25
A∩B=Ø, B∩C=Ø, A∩C=Ø
Тогда получаем по правилу суммы: n(A) +n(B) + n(C) = 10+20+25=55
способов.
Правило произведения.
24
Рассмотрим пример: Пусть существуют три кандидата А, В, С на место
командира корабля и два кандидата К, Т на пост бортинженера. Сколькими
способами можно сформировать экипаж корабля, состоящий из командира и
бортинженера?
Построим графическую иллюстрацию задачи.
Схему, построенную на рисунке, называют деревом.
Не трудно понять, что таких способов будет 6.
Обобщение этого примера является следующее утверждение, называемое
правилом произведения.
Если множества А и В конечны, то число N всевозможных пар равно
произведению чисел элементов этих множеств
В комбинаторике рассматривают три типа комбинаций объектов:
размещения, перестановки и сочетания.
Размещения.
При решении различных задач возникает вопрос о том, сколькими способами
можно выбрать k объектов из n элементов, причем k объектов должны
выбираться в определенном
порядке. Другими словами, сколькими
способами можно выбрать и разместить по k различным местам k из n
различных предметов?
Пример2. В конкурсе принимают участие 20 человек. Сколькими способами
можно присудить первую, вторую и третью премии?
Решение: существует 20 способов выбора одного кандидата на первую
премию. Далее имеется 19 кандидатов, одному из которых присуждают
вторую премию. Наконец, одному из 18 оставшихся кандидатов присуждают
третью премию. Согласно правилу произведения для этого существует
20•19•18=6840 способов.
Размещениями из n объектов по k называют любой выбор k объектов, взятых
в определенном порядке из n объектов. Число размещений из n объектов по k
обозначают
25
Пример 3. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из
класса команду из 4 учащихся для участия в олимпиаде по истории,
литературе, русскому языку и английскому языку?
Решение: искомые команды будут отличаться между собой или учащимися,
или их порядком, который указывает, на какую олимпиаду пойдёт ученик.
Поэтому искомое число равно числу размещений из 30 по 4 и по формуле
получаем:
. А это значит, что существуют
657720 способов выбора команды.
Пример 4: сколько двухбуквенных комбинаций, не содержащих повторения
букв, можно составить из 32 букв русского алфавита?
Решение:
По данным «Словаря русского языка» из этих 992 комбинаций только 114
выступают в качестве самостоятельных слов.
Удобно при решении задач ввести понятие «факториала» - произведение всех
натуральных чисел от 1 до п и обозначается п! и читается «п факториал».
1!=1, 0!=1, 2!=1•2=2 и т.д
Формула
преобразуется в
Перестановки.
Если в размещениях рассмотреть что n=k, то встаёт вопрос: сколькими
способами можно переставить n различных элементов, расположенных на n
различных местах?
Размещения из n элементов по n называются перестановками. Число
перестановок обозначается Рn и вычисляется по формуле: Pn = n!
Пример5: Сколько трёхсловных предложений можно составить из трёх слов:
сегодня, дождь, идёт?
Р3 = 3! = 6
Пример6: Сколько перестановок можно получить из букв, составляющих
слово «апельсин»?
Р8 = 8! = 40320 Из этих комбинаций только одна – спаниель – является
осмысленным словом русского языка, все остальные – бессмысленный набор
букв!
Сочетания.
Сочетаниями из n элементов по к называют любой выбор к элементов,
взятых из n объектов.
Число сочетаний из n объектов по к обозначают
=
Пример 7: У 6 взрослых и 11 детей обнаружены признаки инфекционного
заболевания. Чтобы проверить заболевание, следует взять выборочный
анализ у 2 взрослых и 3 детей. Сколькими способами можно это сделать?
26
Решение: из 6 взрослых можно выбрать 2
Из 11 детей 165 способами
Согласно правилу произведения 15*165=2475 способов.
РАЗМЕЩЕНИЯ
Размещениями из n
объектов по k называют
любой
выбор
k
объектов, взятых в
определённом порядке
из n объектов
ПЕРЕСТАНОВКИ
Размещения
из
элементов по n
n
Таблица 1
СОЧЕТАНИЯ
Сочетаниями из n
элементов
по
к
называют
любой
выбор к элементов,
взятых из n объектов
Pn = n!
27
Тема. Случайные события. Вероятность события. Основные теоремы
теории вероятностей.
Требования к знаниям и умениям студента:
студент должен уметь:
решать задачи на вычисление вероятности с использованием элементов
комбинаторики;
студент должен знать
основные математические методы решения прикладных задач;
основные понятия теории вероятностей и математической статистики.
Теоретический материал
Из истории.
Возникновение теории вероятностей относится к середине 17 века и связано с
исследованиями Б.Паскаля, П.Ферма и Х.Гюйгенса
Следующийэтап в развитии теории вероятностей связан с именем
А.Муавра(1667 – 1754),К.Гаусса (1749 – 1827).
Среди ученых петербургской школы следует назвать имена В.Я.Буняковского
(1804 - 1889), выдающегося русского математика и механика П.Л.Чебышева
(1821 - 1894). После работ этих математиков во всем мире теорию
вероятностей стали называть «русской наукой».
Всередине 20 – х годов А.Я.Хинчин (1894 - 1959) и А.Н. Колмогоров создали
московскую школу теории вероятностей.
Случайные события. Вероятность события.
Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается
всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит,
либо не происходит.
Событие, всегда осуществляющееся при проведении опыта, называют
достоверным событием.
В том случае, когда событие заведомо не может произойти в результате
опыта, его называют невозможным.
События А и В называются равносильными (равными), если А происходит
тогда и только тогда, когда происходит В.
Вероятностью Р(А) события А, связанное с опытом с равновероятностными
исходами, называется отношение числа исходов, благоприятствующих
событию А, к числу всех исходов.
Пример 1: Подбрасывается игральная кость.
Найти вероятность
а) выпадения 6;
б) выпадения очков кратных 2;
28
в) выпадения числа меньшего 4.
Решение:
а) так как на игральной кости всего одна цифра 6, то число исходов,
благоприятствующих событию А, равно 1. Всего на игральной кости шесть
цифр (граней), значит, число всех исходов равно 6.
Получаем:
б) так как на игральной кости всего три цифры кратны 2 (2, 4, 6), то число
исходов, благоприятствующих событию А, равно 3. Всего на игральной кости
шесть цифр (граней), значит, число всех исходов равно 6.
Получаем:
в) так как на игральной кости всего три цифры меньше 4 (1, 2, 3), то число
исходов, благоприятствующих событию А, равно 3. Всего на игральной кости
шесть цифр (граней), значит, число всех исходов равно 6.
Получаем:
Пусть n(A) – число опытов, в которых наступило событие А. Отношение
называется частотой события А в данной серии опытов.
29
Тема. Производная функции
Требования к знаниям и умениям студента:
студент должен уметь:
решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального
исчисления;
студент должен знать
основы дифференциального исчисления.
Теоретический материал
Пусть функция
y  f (x) определенная в некоторой окрестности точки
Производной функции y  f (x) в точке
x0 .
x 0 называется предел отношения
f ( x0 ) к приращению аргумента x при x  0 ,
если этот придел существует, и обозначается f ( x0 ) .
f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )
при x  x0
f ( x0 )  lim
 lim
x
x  x0
Производную функции y  f (x) ; x  (a; в ) , в точке х обозначают:
приращения функции
f ' ( x) - (эф штрих от икс)
y x' - (игрек штрих от икс)
dy
- (де игрек по де икс)
dx
Все эти обозначения равноправны.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Функция, имеющая производную в точке x 0 , называется дифференцируемой
в этой точке.
Если функция
f (x) дифференцируемая в точке x 0 , то она непрерывна в
этой точке.
Это условие является необходимым для существования производной, но не
достаточным, т.е. существуют функции, всюду непрерывные, но не
имеющие производных.
Правила дифференцирования:
С- постоянная величина.
30
(C  u )  C  u  постоянный множитель можно вынести за знак
1.
производной
2. (u   v )  u   v  - производная суммы (разности) функций
(u  v)  u   v  v   u - производная произведения
u
u   v  v  u
4. ( )  
- производная частного
v
v2
5.Пусть дана сложная функция y  q (u ) , где u  f (x) , т.е. y  q ( f ( x)).
3.
y '  q ' (u)  f ' ( x) - производная сложной функции.
Тогда
Таблица основных формул дифференцирования.
Здесь С – постоянная величина;
1.
C '  0
2.
x   n  x
3.
n '
 x
'

a   a  ln a ;

10. e   e ;
9.
n 1
x
x
x
;
x
11. ln x   1 ;
x
1 ;
2 x
4.  1    1 ;
x2
 x
12. log a x ' 
5.
sin x'  cos x ;
1
;
x ln a
13. arcsin x ' 
1
6.
cos x'   sin x ;
'
7. tgx'
15. arctgx ' 
1
;
cos 2 x
8. ctgx'  
;
1 x2
14. arccos x '   1
;
1 x2
1
;
1 x2
1
16. arcctgx '  
;
1 x2
1 ;
sin 2 x
Пример 1: Найти производные функции


f ( x)  x 2  5 cos3x  1
3
2
б) y  ctg 3  x 
а)
3
Решение:
31
а)

 


3
3 
3

f ' ( x)  x 2  5 cos3 x  1  x 2  5 cos3 x  1  cos3 x  1 x 2  5 

 3x


 
 5 sin 3 x  1  3x  5 2 x cos3x  1  x




 3 x  5 2 x  cos3x  1  x  5  sin 3 x  1  3  6 x x  5  cos3 x  1 
2
2
2
3

3
2
2




2

1
y '  ctg 3 3  x 2 '  3ctg 2 3  x 2  
2
sin
3
 x2
б)

6 x cos 2 3  x 2

sin 4 3  x 2





2

2
2

 5 sin 3 x  1




6 xctg 3  x 2
 2 x  

sin 2 3  x 2

2


32
Тема. Приложение производной к исследованию функции. Построение
графиков функций
Требования к знаниям и умениям студента:
студент должен уметь:
решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального
исчисления;
студент должен знать
основные понятия и методы математического анализа
основы дифференциального исчисления.
Теоретический материал
Пусть непрерывная функция
точке
y  f (x) , x  [a; в ] , дифференцируемая в
x0  (a; в) .
Кривая L – график этой функции. На кривой L возьмем точку
производную точку
M 0 ( x0 ; y 0 ) и
M ( x; y ) ; проведем секущую M 0 M .
T
M
y
M0
f (x)- f (x0 )
}
y0
}
L
x- x0
b a
x0
x
( M 0T ) к кривой L в точке M 0  L называется предельное
положение секущей M 0 M , при M  M 0 (если такое предельное
Касательной
положение существует)
Производная функции
f (x) в точке x 0 равна угловому коэффициенту
касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой
x 0 , т.е. f ' ( x0 )  tg
y  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) - уравнение касательной.
33
Механический смысл производной заключается в том, что мгновенная
скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент
времени t есть производная от пути S по времени t, а ускорение а(t)
прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равно
первой производной от скорости по времени или второй производной от пути
по времени т.е.
dv d 2 S

dt dt 2
Точки, в которых f ' ( x ) обращается в нуль или не существует, называются
 (t )  S ' (t ) 
dS
dt
a(t ) 
критическими точками первого рода. Если
f ' ( x) при переходе через точку
x 0 меняет знак с плюса на минус, то x 0 является точкой максимума . Если
f ' ( x) при переходе через точку x 0 меняет знак с минуса на плюс, то
x 0 является точкой минимума.
Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.
Точки, в которых f " ( x ) обращается в нуль или не существует, называются
критическими точками второго рода.
Точка графика непрерывной функции f (x ) , при переходе через которую
f " ( x ) меняет знак, называется точкой перегиба. При исследовании функции
полезно установить формы ее графика. Если на интервале (а;в) дважды
дифференцируемая функция y  f (x) , x  (a; в) , имеет отрицательную
(положительную) вторую производную, то график функции обращен
выпуклостью вверх (вниз).
Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно
приближается точка кривой при неограниченном удалении её от начала
координат.
Прямая y  kx  b называются наклонной асимптотой кривой y  f (x)
при x   , если:
lim  f x  kx  b  0 .
f x 
Отсюда k  lim
x  
x
Очевидно, что если k  0 ,
b  lim  f x   kx
x  
то уравнение асимптоты примет вид
y  b-
горизонтальная асимптота.
Прямая x  a называется вертикальной асимптотой, если
k  lim f  x   
x  
34
Пример 1 Составить уравнение касательной к кривой y  x 3  2 x  1 в точке
с абсциссой x0  2 .
Решение:
1) Вычисляем f ( x0 )  f (2)  2 3  2  2  1  11
2) Находим производную f ' ( x)  3x 2  2
3) Вычисляем f ' ( x0 )  f ' (2)  3  2 2  2  14
4) Подставим найденные значения
касательной:
y=11+14(x-2)=11+14x-28;
Пример 2
f ( x0 ) и
f ' ( x 0 ) в уравнение
у=14х-17
Дана функция
f ( x) 
1 3
1
x  x 2  . Исследуйте данную
3
3
функцию на экстремум и точки перегиба
Решение: Найдём производную
f ' ( x)  x 2  2 x
Найдём критические точки первого рода, решая уравнение
f ' ( x)  0
x  2 x  0 ; т.е. х=0 и х=-2 – критические точки первого рода. Выясним,
являются ли они точками экстремума. Для этого определим знак первой
производной в окрестности этих точек.
2
f ' (3)  0;.... f ' (1)  0;.... f ' (1)  0
Таким образом, х=0 – точка минимума; х=-2 – точка максимума
Найдем координаты точек экстремума:
f (2)  1 - max;
f ( 0)  
1
- min
3
Найдём критические точки второго рода, решая уравнение
f II ( x)  0
2x  2  0 т.е. х=-1 – критическая точка второго рода. Выясним, является ли
она точкой перегиба. Для этого определим знак второй производной в
f II (3)0 ; а f II (0) 0
Следовательно, что в интервале ( ;1) график обращен выпуклостью
вверх, я в интервале ( 1;) - выпуклостью вниз, а сама точка х=-1 будет
окрестности этой точки.
являться точкой перегиба.
Найдем координаты точки перегиба: f ( 1) 
1
3
Построение графика функции с применением производной 1 и 2 порядка.
Для построения графиков функций необходимо провести её исследование (по
схеме).
35
1.
Найти область определения функции
2.
Исследовать функцию на четность и нечетность
3.
Исследовать функцию на периодичность.
4.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если
это возможно).
5.
Найти асимптоты графика
6.
Найти критические точки первого рода, интервалы монотонности и
экстремумы функции.
7.
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости.
8.
Завершают исследование функции построением ее графика
3
Пример 3: Построить график функции f ( x)  x
x2  4
1. Область определения функции: x  4  0 ; x  2 , т.е. функция определена
на всей числовой оси, кроме точек х = -2; х = 2.
2. Проверим функцию на четность и нечетность
 x 3   x 3   x 3   f x  - функция нечетна.
f  x  
x2  4
 x 2  4 x 2  4
3. Исследуем функцию на периодичность. Данная функция непериодическая.
4. {х=0; у=0} – точка пересечения графика данной функции с осями
координат
5. Найдём асимптоты графика:
а) Находим k и b для наклонной асимптоты:
x3
f ( x)
x3
 x)  0
k  lim
 lim
 1 b  lim ( f ( x)  kx)  lim ( 2
2
x 
x  x  4
x 
x  x( x  4)
x
Следовательно y  x - наклонная асимптота т. к. b  0 , следовательно,
горизонтальных асимптот нет.
2
x3
x3
 ;
lim
 ;
x 2  0 x 2  4
x 2  0 x 2  4
т.е. x  2 и x  2 - вертикальные асимптоты.
6. Найдём критические точки первого рода.
3x 2 x 2  4  x 3  2 x 3x 4  12 x 2  2 x 4 x 4  12 x 2
f I x  


2
2
2
x2  4
x2  4
x2  4
Вертикальная асимптота: lim

Очевидно
f
I



x   0 , если
x   12
I







x  12 x  0 , x x  12  0 х = 0
4
2
2
2
Кроме того, f x не существует при x  2 . Следовательно,
критические точки первого рода:
f x 
x  12
имеет
x1  2 3; x2  2; x3  0; x4  2; x5  2 3
36
Определим интервалы монотонности и экстремумы функции.
f I (5)  0 f I (2,5)  0 f I (1)  0 f I (1)  0 f I (2,5)  0 f I (5)  0
+
-2
-2 3
x1  2
-
3 - max;
0
x2  2
При переходе через x  0; x  2
+
2
2 3
3 - min.
f (x) не меняет знак, следовательно в
этих точках экстремума нет.
Найдем координаты точек экстремума:
f (2 3 )  3 3 - max; f (2 3 )  3 3 - min
7. Найдём интервалы выпуклости и точки перегиба. Для этого найдём
критические точки второго рода:
8 x( x 2  12) Очевидно: f II ( x)  0 , если 8 x( x 2  12)  0
f II ( x) 
( x 2  4) 3
x  0 x 2  12  0
f II (x) не существует в точках х = 2; х = -2.
II
Определим знак f (x) в интервалах (-∞; -2); (-2; 0); (0;2); (2; +∞)
Видим, что в интервалах (;2)и (0;2) график обращен выпуклостью
вверх, я в интервалах (2;0)и (2;) - выпуклостью вниз.
3
8. Используя данные исследования, построим график функции f ( x)  x
2
x 4
Заметим, что необходимо выбрать масштаб, учитывая координаты найденных
точек. (см. Рис. 1)
37
y
3 3
-2 3
2 3
2
-2
x
-3 3
Рис. 1
38
Тема. Неопределенный интеграл
Требования к знаниям и умениям студента:
студент должен уметь:
решать прикладные задачи с использованием элементов интегрального
исчисления;
студент должен знать
основные понятия и методы математического анализа
основы интегрального исчисления.
Теоретический материал
Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или
дифференциалу, называют первообразной.
Дифференцируемая функция F(x), x Є (а, в), называется первообразной
функцией для функции ƒ (x) на интервале (а, в), если F / (x) = ƒ (x) для
каждого х Є (а, в).
Отыскание первообразной функции по заданной её производной ƒ /(x) или по
дифференциалу ƒ(х) dx есть действие, обратное дифференцированию и
называется интегрированием.
Совокупность всех первообразных функции ƒ (х) называется неопределенным
интегралом от функции ƒ (х) на (а, в) и обозначается:
 f ( x)dx
(читается:
интеграл от эф от х по дэ икс)

- знак интеграла
ƒ (х) – подынтегральная функция
ƒ (х) dx – подынтегральное выражение
х – переменная интегрирования
Таким образом:
 f ( x)dx  F ( x)  C
Свойства неопределенного интеграла:
1.
 a  f ( x)dx  a   f ( x)dx
2.
 [( f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
, где а ≠ 0 постоянное число
Основные формулы интегрирования
(табличные интегралы)
39
1.
 dx  x  C
2.
n
 x dx 
3.
4.
5.
6.
7.
dx
 ln | x | C
x
ax
x
a
dx

C

ln a
x
x
 e dx  e  C
 cos xdx  sin x  C
 sin xdx   cos x  C
dx
 cos
9.
 sin
10.

12.
13.
14.
x n 1
C
n 1

8.
11.
, где С – постоянная величина;
2
x
dx
dx
x
2
x
 tgx  C
 ctgx  C
 2 x C
x
 C; | x |  a
a
a2  x2
dx
1
x
 a 2  x 2  a arctg a  C; a  0
dx
1
xa
 x 2  a 2  2a ln | x  a | C; a  0
dx
2
2
 x 2  a 2  ln | x  x  a | C; a  0

dx
 arcsin
40
Методы интегрирования.
1. Непосредственное интегрирование – данный метод основан либо на
прямом использовании таблицы интегралов, либо после элементарных
тождественных преобразований над подынтегральной функцией приводится
к одному или нескольким табличным интегралам.
Пример 1:
а)
∫ (3x² + x + 1)dx = ∫ 3x² dx + ∫ xdx + ∫ 1 dx =
x3 x 2
x2
  x  С  x3   x  С
3 2
2
3
б)
∫(8x³+sinx–2x)
4
=
=
dx
∫8x³dx
+
∫sinxdx
∫2xdx
-
=
2
8x
2x
 cos x 
 С  2 x 4  cos x  x 2  С;
4
2
2. Метод замены переменной (метод подстановки). Сущность данного метода
заключается в преобразовании интеграла
который легко вычисляется
интегрирования.
по
какой
 f ( x)dx
либо
в интеграл
из
 F (u )du ,
основных
формул
Пример 2:
а) ∫ сos 5x dx
Пусть 5х = u. Дифференцируя, имеем du = 5dx => dx =
данный интеграл вместо 5х
∫ сos 5x dx = ∫ cos u
б) ∫ х
Пусть
и
du
. Подставив в
5
dx их выражения, получим:
du
1
1
1
= ∫ cos u du =
sin u + C =
sin 5x + C
5
5
5
5
1  x 2 dx
1-x²=u;
Тогда
du=-2xdx;
 xdx=
du
;
2
3

udu
1
1 1
1 u2
1 2 3
   udu    u 2 du  
 c    u2  C =
2
2
2
2 3
2 3
2
41
1 3
1
u С  
(1  x 2 )3  С ;
3
3
u8
cos8 x
7
7
С  
 С;
в)  sin x cos xdx    u du  
8
8
=
Здесь ввели следующую переменную: cos x = u; тогда du = - sinx dx .
3.Интегрирование по частям.
В данном методе применяется правило
дифференцирования произведения двух функций: d(uv) = u dv + v du.
Интегрируя обе части равенства, получим:
 d (uv)   udv   vdu;
Согласно свойствам интегралов, имеем:
 udv   vdu;
 udv  uv   vdu
uv =
– формула интегрирования по частям.
Пример 3:
a)
 xe dx 
x
x
пусть x=u, (1);
тогда dv=e dx (2)
Из первого равенства находим dx=du ;
Интегрируя обе части второго равенства, получаем
правую часть формулы интегрирования, получаем:

v  e x . Подставляя в
= xe  e dx  xe  e  С ;
x
б)
x
x
x
 nxdx 
u = ℓnx
du 
тогда dv = dх
dx
x
v=x
dx
 x x   dx  x x  x  С ;
x
в)  x cos xdx 
=x
nx   x
u=x
du = dx
.
dv = cosxdx
v = sinx
42

= x sin x  sin xdx  x sin x  cos x  С ;
Примечание:
При использовании формулы интегрирования по частям трудно дать общее
правило для определения того, какой сомножитель в подынтегральном
выражении следует обозначать через u и какой dv (естественно dx должно
входить в выражение для dv)
1)
В интегралах вида.
 P ( x )e
mx
dx;  P( x) sin mxdx;  P( x) cos mxdx .
за u принимается многочлен P(x).
2)
В
интегралах
 P( x)
nxdx;  P( x)arctgxdx;  P ( x) arcsin xdx .
вида
за
u
принимается
соответственно ℓnx; arctgx; arcsinx.
3)
Если в интегралах 1 многочлен P(x) выше первой степени, то
операцию интегрирования по частям применяют несколько раз.
43
Тема. Определенный интеграл
Требования к знаниям и умениям студента:
студент должен уметь:
решать прикладные задачи с использованием элементов интегрального
исчисления;
студент должен знать
основные понятия и методы математического анализа
основы интегрального исчисления.
Теоретический материал
Если функция f(x) определена на отрезке [a;в], то предел интегральной
суммы называется определенным интегралом от функции f(x) на [а;в], при
условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков, на которые
разбиты [а;в], стремится к нулю.
b
 f ( x)dx
(1)
a
Для вычисления определенного интеграла от функции f(x) в том случае, если
первообразную можно найти, применяют формулу Ньютона-Лейбница:
b
â
a
à
 f ( x)dx  F ( x)
 F (â)  F (a)
(2)
Свойства определенного интеграла:
в
в
в
а
в
а
10 .  ( f ( x)  q( x)) dx   f ( x)dx   q( x)dx
а
в
2 0 .  R * f ( x)dx  R *  f ( x)dx
а
в
а
а
30.  f ( x)dx    f ( x)dx
а
a
в
4 0 .  f ( x)dx  0
a
44
в
c
в
а
a
с
5 0.  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx если с€[a;в],
Пример 1:
3
а).
 x 2 dx 
2
x3
3
3
2

33 2 3 27 8 19


 
3
3
3 3 3
б).
2
 ( x 2  2 x  1)dx  [
1
e
2
x 3 2x 2
23
(1) 3
8
1

 x]  [  2 2  2]  (
 (1) 2  1)   6   1  1  3  6  9
3
2
3
3
3
3
1
dx
 n x
1 x
в). 
e
 n e  n 1  n
1
e
 ne  1
1
Определенный интеграл широко используется при вычислениях различных
геометрических и физических величин:
- вычисление площади плоских фигур.
- вычисление объемов тел вращения.
- вычисление длины дуги.
- вычисление пути, пройденного телом.
- вычисление работы силы.
Остановимся на вычислении площадей плоских фигур.
y
y=f (x)
a
â x
Фигура, ограниченная кривой y = f(x), осью 0х, прямыми х = а, х = в
называется криволинейной трапецией.
Ее площадь находится по формуле:
в
S   f ( x)dx
а
(3)
10 . Если криволинейная трапеция лежит под осью 0х, то её площадь равна:
в
S   f ( x) dx
а
(4)
45
2 0 . Если фигура ограничена двумя кривыми y = f(x) и y = q(x), то её площадь
равна:
c
в
a
с
S   q( x)dx   f ( x)dx (5)
y
)
y=q(x
y=f (x)
a
c
â
x
30. Если фигура не ограничена осью 0х, её площадь равна:
в
S  [ f ( x)  q( x)]dx
(6)
а
y
(x)
y=q
y=f (x)
à
â
õ
Применение определенного интеграла при решении физических и
технических задач.
1. Задача о вычислении пути. Пусть материальная точка движется
прямолинейно с некоторой мгновенной скорость v = v(t). Требуется найти
путь, который пройдет тело за промежуток времени от t = T1 до t = T2.
В простейшем случае, если мгновенная скорость постоянна, то путь,
пройденный телом равен (по определению, известном из курса физики)
произведению скорости на время движения:
. В общем случае,
когда мгновенная скорость не постоянна, её вычисляют по формуле:
(7)
Пример 2: Тело движется прямолинейно со скоростью
м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 3 сек.
46
Решение: по формуле (7) получим
Пример 3: Точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = at + v0 . Какой
путь пройдет точка за промежуток времени от t = T1 до t = T2 ?
Решение: По формуле (7) получим
Пример 4: Тело движется прямолинейно со скоростью
.
Найти длину пути от начала движения до его остановки.
Решение: Скорость тела в момент начала его движения и остановки равна 0.
Найдем момент остановки тела. Приравняв для этого его скорость к нулю и
решив уравнение, получим:
.
Далее, по формуле (7) имеем:
2. Задача о силе давления жидкости. Пусть пластинка в виде
криволинейной трапеции погружена вертикально в жидкость с плотностью ρ
так, что ее боковые стороны параллельны поверхности жидкости и находятся
ниже ее уровня соответственно на расстоянии a и b (рис.1)
Сила давления жидкости на пластинку вычисляется по формуле:
(8)
Пример 5: Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найти
силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м 2), наполняющей аквариум, на
одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4 м на 0,7 м (см рис.),
47
Решение: Для нахождения силы давления воспользуемся формулой (8).
Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому f(x) = 0,7,
, получаем:
.
Учитывая, что
, имеем
.
3. Работа переменной силы. Пусть материальная точка движется под
действием силы F по прямой. Проекция этой силы на ось Ох есть функция от
х. Будем обозначать ее через f(x) и предполагать, что f есть непрерывная
функция. Пусть под действием силы F материальная точка переместилась из
точки М(а) в точку M(b) . Работа переменной силы вычисляется по формуле:
(9)
Пример 6: Сила упругости пружины, растянутой на 0,05 м, равна 3 Н. Какую
работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на эти 0,05м?
Решение: По закону Гука сила F, растягивающая или сжимающая пружину,
пропорциональна этому растяжению или сжатию, т.е.
, где х –
величина растяжения или сжатия, k – коэффициент пропорциональности. Из
условия следует, что
, т.е. k = 60, следовательно, F = 60x.
Используя формулу (9), получим:
Пример 7: Пружина в спокойном состоянии имеет длину 20 см. Сила в 10 кг
растягивает ее на 2 см. Определить работу, затраченную на растяжение
пружины от 25 см до 35 см.
Решение: Выразим данные задачи в системе СИ: 2 см = 0,02 м; 20 см = 0,2 м;
F = 10 кг = 98,1 Н; 25 см = 0,25 м; 35 см = 0,35 м.
Используя условия задачи и закон Гука, получим:
или k =
4905. Следовательно, F = 4905x. Так как для данного случая а = 0,25 – 0,2 =
0,05 и b = 0,35 – 0,2 = 0,15, то, используя формулу (9), получим:
.
48
49