Содержание: 1. Актуальность, цель и задачи проекта……………………………..2

Содержание:
1. Актуальность, цель и задачи проекта……………………………..2
2. График работы над проектом………………………………………3
3. Введение……………………………………………………………..4
4. История возникновения комплексных чисел……………………..4
5. Определение комплексных чисел и действий с ними……………5
6. Геометрическая интерпретация комплексного числа……………7
7. Тригонометрическая форма комплексного числа…………………8
8. Возведение комплексных чисел в степень………………………..10
9. Решение квадратных уравнений с отрицательным
дискриминантом……………………………………………………11
10.Самостоятельные работы…………………………………………..13
11.Решения к самостоятельным работам……………………………..15
12.Список литературы………………………………………………….18
1
Актуальность проекта.
Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса
математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса.
Сначала учащиеся знакомятся с натуральными числами и действиями с ними.
В пятом классе вводятся дроби, так как невозможно выполнить деление,
например 3:4. В шестом классе добавляются отрицательные числа, так как
невозможно выполнить вычитание некоторых чисел, например: 3-5. После
натуральных, целых, рациональных чисел, добавляются иррациональные, для
операции извлечения корней, например, √2. В школьном курсе математики
этот вопрос остался не завершённым. Так как при решении квадратных
уравнений, если дискриминант отрицательный, то действительных корней не
существует. Но если ввести множество комплексных чисел, то квадратное
уравнение всегда будет иметь корни. И, конечно, только в старших классах
уместен достаточно полный, систематизирующий ретроспективный взгляд на
общую картину завершившегося эволюционного процесса.
Неоднократно поднимался вопрос о включении этой темы в школьную
программу, но на данный момент эта проблема осталась нерешенной.
Знакомство с арифметикой комплексных чисел расширит понятие о числе.
Цель проекта:
Создать методичку «Комплексные числа» в помощь учителю для кружковой
работы со старшеклассниками или для элективных курсов.
Задачи проекта:
1. Ознакомиться с историей возникновения комплексных чисел
2. Изучить теоретический материал по теме «Комплексные числа».
3. Отобрать материал для проекта.
4. Научиться работать с математическими формулами в Microsoft Word
2010 и Power Point.
5. Составить и решить задачи по теме.
6. Отработать умение работать в паре, умение презентовать проект на
публике.
Тип проекта:
Практико-ориентированный, информационный.
Участники проекта:
Обучающиеся 10 класса
Продолжительность работы над проектом
6 месяцев
2
График работы над проектом
Этапы работы над
проектом
1.Организационноподготовительный этап
2.Поисковоисследовательский этап
3.Технологический
(оформительский) этап
4.Заключительный этап
Что предстоит сделать
Срок выполнения
На этом этапе учащиеся
собирают
банк
идей
и
обсуждают их. К концу
дискуссии
учащиеся
определяются с темой и типом
проекта. Учащиеся определяют
цели и формулируют задачи,
составляют
план
работы,
определяют методы работы
над проектом, планируют ход
и сроки работы, распределяют
обязанности между членами
группы.
Учащиеся
определяют
источники
информации.
Проведя
исследование
источников,
учащиеся
систематизируют материал и
разбивают его на главы в
соответствии с целями и
жанром работы, подбирают
иллюстрации.
Разработка и решение задач по
теме.
Учащиеся
разрабатывают
дизайн проекта исходя из
формы его представления.
Оформление проекта в Word и
Power Point , группа проводит
его «предзащиту», а затем
дорабатывает проект с учётом
замечаний и предложений.
Учащиеся
готовятся
к
публичной защите проекта:
определяют
программу
и
сценарий публичной защиты,
распределяют задания внутри
группы.
Публичная защита проекта.
Рефлексия.
1-я и 2-я недели сентября
3
3, 4 недели сентября
1-я и 2-я недели октября
3-5 недели октября,
Ноябрь, декабрь, январь
февраль
1. Введение.
Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса
математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса.
Сначала учащиеся знакомятся с натуральными числами и действиями с ними.
В пятом классе вводятся дроби, так как невозможно выполнить деление,
например 3:4. В шестом классе добавляются отрицательные числа, так как
невозможно выполнить вычитание некоторых чисел, например: 3-5. После
натуральных, целых, рациональных чисел, добавляются иррациональные, для
операции извлечения корней, например, √2. В школьном курсе математики
этот вопрос остался не завершённым. Так как при решении квадратных
уравнений, если дискриминант отрицательный, то действительных корней не
существует. Но если ввести множество комплексных чисел, то квадратное
уравнение всегда будет иметь корни. И, конечно, только в старших классах
уместен достаточно полный, систематизирующий ретроспективный взгляд на
общую картину завершившегося эволюционного процесса.
Неоднократно поднимался вопрос о включении этой темы в школьную
программу, но на данный момент эта проблема осталась нерешенной.
Знакомство с арифметикой комплексных чисел расширит понятие о числе.
2. История возникновения комплексных чисел.
В связи с развитием алгебры, математикам потребовалось ввести сверх
прежде известных положительных и отрицательных чисел, числа нового
рода. Комплексные числа.
Итальянский математик Кардано в середине 16-ого века для решения
кубических уравнений ввел квадратные корни из отрицательных чисел.
Квадратные корни из отрицательных чисел он назвал софистическими, т.е.
мудреными.
Решения уравнений третьей степени по формулам Кардано исследовал
итальянский математик Бомбелли. Он обнаружил некоторые свойства
комплексных чисел.
Французский математик Декарт в 30-х годах 17-ого века ввел наименование
мнимые числа, которое применяется по сей день.
В противоположность мнимым числам прежде известные числа
(положительные и отрицательные, в том числе иррациональные) стали
называть действительными или вещественными.
4
Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным
числом. Это термин впервые ввел немецкий математик и астроном Гаусс в
1831-ом году.
В 18-ом веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить
логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел
удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным
числам, но само существование комплексных чисел многим казалось
сомнительным.
В 1707-ом году Муавр открыл формулу Муавра для возведения в степень (и
извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической
форме.
Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине
18-ого века русский академик Эйлер.
На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом
(Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы
Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же
способ был развит великим математиком Гауссом, он стал всеобщим
достоянием.
Кардано
Бомбелли
Декарт
Муавр
Гаусс
Эйлер
3.Определение комплексных чисел и действий с ними.
Определение 1. Символ i=√−1 будем называть мнимой единицей.
Следуя определению находим, что i2= -1.
Введение мнимой единицы позволяет извлекать квадратные корни из
отрицательных чисел.
Пример:
5
√−36=√36(−1) =√36√−1=6i
Рассмотрим степени мнимой единицы:
i1=i,
i2= -1,
i3= i2 i=(-1)i= -i,
i4= i3 i= -ii=1, ...... далее значения степеней начнут повторяться.
Т.е. если выписывать все значения степеней числа i подряд, то получим
последовательность: i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1....... и т.д.
Определение 2. Выражения вида z=a+bi, где a и b-действительные числа, iмнимая единица, будем называть комплексными числами.
a - действительная часть числа z
b - мнимая часть числа z,
z=a+bi-алгебраическая форма комплексного числа z.
Определение 3. Два комплексных числа z=a+bi, z=c+di условимся считать
равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные
и мнимые части.
Определение 4. Суммой комплексных чисел z1=a+bi, z2=c+di
называют
комплексное число z= (a+c)+ (b+d)i.
Определение 5. Разностью комплексных чисел a+bi, z2=c+di называют
комплексное числo z= (a-c)+ (b-d)i .
Определение 6. Произведением комплексных
чисел z1=a+bi, z2=c+di
называют комплексное число z=(ac-bd)+(ad+bc)i.
Замечание: на практике нет нужды пользоваться формулой произведения.
Можно перемножать данные числа как двучлены, а потом учитывать, что
i2= -1.
6
Определение 7. Два комплексных числа называются сопряженными, если
они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Пример:
25+3i и 25-3i – сопряженные комплексные числа
Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие:
умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю
2+3𝑖
5−7𝑖
=
2+3𝑖
5−7𝑖
*
5+7𝑖
5+7𝑖
=
2∗5+2∗7𝑖+3𝑖∗5+21𝑖 2
25−49𝑖 2
=
10+29𝑖−21
25+49
=
−11+29𝑖
74
4. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Сначала вспомним «обычные» школьные числа. В математике они
называются множеством
буквой
действительных
чисел и
обозначаются
(в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной
либо утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой
прямой:
Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и
дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой
обязательно соответствует некоторое действительное число.
Комплексное число z=a+bi можно изобразить точкой Z плоскости с
координатами (a, b).
Для этого выберем на плоскости декартову систему координат.
Действительные числа изображаются точками оси абсцисс. Чисто мнимые
числа, т.е. числа вида bi (b0), изображаются точками оси ординат.
7
Существует другой способ геометрической интерпретации комплексных
чисел. Каждой точке плоскости с координатами (а, b) соответствует один и
только один вектор с началом О(0, 0) и концом Z(a, b).
Поэтому комплексное число z=a+bi можно изобразить в виде вектора с
началом в точке О(0, 0) и концом в точке Z(a, b). Очевидно, что при таком
изображении: сопряженные комплексные числа изображаются точками,
симметричными относительно оси абсцисс.
5.Тригонометрическая форма комплексного числа.
r=z 
=argZ
8
Пусть комплексное число z=a+bi изображено в виде вектора r с началом О
(0, 0) и концом
Z(a, b). Вектор ОZ можно задавать не только его
координатами a и b, но также длиной r и углом , который он образует с
положительным направлением оси абсцисс. При этом a=rcos, b=rsin и
число
z
принимает
тригонометрической
вид
z=r
(cos+isin),
который
называется
формой комплексного числа. Число r называют
модулем комплексного числа z и обозначают z. Число  называют
аргументом z и обозначают Arg z.
Определение 1. Модулем комплексного числа z=a+bi называется длина
вектора z, которую можно вычислить по формуле r = z = √𝑎2 + 𝑏2
Определение 2. Аргументом комплексного числа z=a+bi называется угол ,
который образует вектор z с положительным направлением оси абсцисс,
отсчитываемый против часовой стрелки.
Т.к. cos, sin - функции периодические с периодом 2, то =+2k, где kцелое число.
Назовем главным аргументом  при k=0.
Пример:
9
1. z1 = 1, |𝑧| = 1, φ = 0, z1 = 1*(cos0+isin0)
2. z2 = 2i, |𝑧| = 2, φ = 900 , z2 = 2(cos900+isin900)
1) Если
(1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая
полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле
2) Если
(2-ая координатная четверть), то аргумент нужно
находить по формуле
3) Если
.
.
(3-я координатная четверть), то аргумент нужно
находить по формуле
.
Пример
Представить в тригонометрической форме комплексные числа:
z1 = 3+√3𝑖;
2
|𝑧|=√𝑎2 + 𝑏 2 =√32 + √3 =√12
𝑏
Т.к. четверть первая, то φ=arctg =arctg
𝑎
√3
3
= 300
Z1=√12*(cos300+isin300)
6.Возведение комплексных чисел в степень.
Пример
Возвести в квадрат комплексное число z = 2+3i
Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень
как произведение множителей z2 = (2+3i)2 = (2+3i)(2+3i) перемножить
числа по правилу умножения многочленов.
Второй способ состоит в применение известной школьной формулы
сокращенного умножения (a+b)2 = a2+2ab+b2 :
z2=(2+3i)2=22+2*2*3i+(3i)2 = 4 + 12i – 9= -5+12i
10
Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать
такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы
будете решать пример вроде
?
И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного
числа и, так называемая,
формула
Муавра:
Если
комплексное
число
представлено
в
тригонометрической форме z=|𝑧|*(cosφ+isinφ), то при его возведении в
натуральную степень n справедлива формула:
zn=|𝑧|𝑛 *(cos(nφ)+isin(nφ))
Пример
Дано комплексное число z=3+√3i, найти z20
Что нужно сделать? Сначала нужно представить данной число в
тригонометрической форме.
𝜋
𝜋
z=2√3(cos +isin )
6
6
Тогда, по формуле Муавра:
𝜋
𝜋
10𝜋
z20=(2√3)20*(cos(20* )+isin(20* ))=(2√3)20*(cos
6
6
4𝜋
3
10𝜋
+isin
3
)=
4𝜋
=(2√3)20*(cos +isin )
3
3
7.Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом
1) Решить уравнение 2-6x+13=0
Решение:
D=b2-4ac=(-6)2-4113=36-52=-16
√𝐷 = √−16 = √16 ∗ (−1)=4i
𝑥1,2 =
−𝑏±√𝐷
2𝑎
11
6−4𝑖
𝑥1 =
2
6+4𝑖
𝑥2 =
2
=
=
2(3−2𝑖)
2
2(3+2𝑖)
2
= 3-2i
= 3+2i
Таким образом, получаем, что если D<0 , то уравнение всегда имеет два
решения в комплексных числах.
12
Самостоятельная работа №1 к главе
«Действия с комплексными числами».
1. Вычислите значение выражения:
а) 2i - (1 + 3i)
б) 4i - (3 + 5i)
в) (8 + 6i)*(7i + 9)*11i
г)
10+8𝑖
9𝑖−11
*12i
2. Найдите число, сопряженное данному:
5-17,7i; 5-7i; 33i+12; 6i; -8-63i
3.Найдите сумму числа z и ему сопряженного: z=113,75+21i
4.Найдите произведение z и числа ему сопряженному, если z=11-i.
Самостоятельная работа №2 к главе «Геометрическая
интерпретация комплексного числа».
Изобразите комплексные числа точками плоскости, соедините их попарно и
получите фигуру: 8i, -3, -9, -3-4i, -6-9i, -6i, 6-9i, 3-4i, 9, 3, 8i.
Самостоятельная работа №3 к главе «Тригонометрическая форма
комплексных чисел».
Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:
а) 2i
б) -5
в) -3i
г) 4
д) 3+2i
е) 4-i
Самостоятельная работа №4 «Возведение комплексных чисел в
степень».
а) (4+6i)2
б) (3-5i)2
13
в) (17+6i)3
г) (1-i)15
Самостоятельная работа №5 «Решение квадратных уравнений».
а)
2+3х+3=0
б) 42-20x+26=0
в) 2+3x+4=0
г) x2+1=0
14
Решения к самостоятельной работе №1
1. Вычислите значение выражения:
а) 2i + (1 + 3i) = 1 + 5i
б) 4i - (3 + 5i) = 4i – 3 - 5i = -3 - i
в) (8 + 6i)*(7i + 9)*11i = -1210 + 330i
1) (8 + 6i)*(7i + 9) = 8*7i + 8*9 + 6i*7i + 6i*9 = 56i + 72 + 42i2 + 54i =
110i + 72 - 42 = 110i + 30
2) (110i + 30)*11i = 110i*11i + 30*11i = 1210i2 + 330i = -1210 + 330i
г)
1)
2)
10+8𝑖
9𝑖−11
*12i =
10+8𝑖
9𝑖−11
=
−89𝑖−19
101
1068−228𝑖
10+8𝑖
101
*
−9𝑖−11
−11+9𝑖 −11−9𝑖
* 12i =
=
−90𝑖−110+72−88𝑖
121+81
−89𝑖∗12𝑖−19∗12𝑖
101
=
=
−178𝑖−38
−1068𝑖 2 −228𝑖
101
202
=
=
−89𝑖−19
101
1068−228𝑖
101
2. Найдите число, сопряженное данному:
5-17,7i и 5+17,7i
5-7i и 5+7i
33i+12 и -33i+12
6i и -6i
-8-63i и -8+63i
3.Найдите сумму числа z и ему сопряженного: z=113,75+21i
Сопряжённое: 113,75-21i. Сумма: 113,75*2 + 21i-21i = 227,5
4.Найдите произведение z и числа ему сопряженному, если z=11- i.
11+i. Произведение: 121 – i2= 121 + 1=122
15
Решение к самостоятельной работе №2.
Решение к самостоятельной работе №3.
а). 2i = 2 * (cos900+isin900)
б) -5 = 5*(cos1800+isin1800)
в) -3i = 3*(cos900-isin900)
г) 4=4*(cos00+isin00)
д)3+2i
z = √𝑎2 + 𝑏 2 =√32 + 22 =√13
𝑏
2
𝑎
3
Первая четверть, φ=arctg =arctg
2
2
3
3
3+2i=√13*(cos arctg +isin arctg )
e) 4-i
z = √𝑎2 + 𝑏 2 =√42 + (−1)2=√17
𝑏
−1
𝑎
4
Четвертая четверть, φ=arctg =arctg
1
=-arctg
4
16
1
1
4
4
4-i=√17*(cos (-arctg )+isin (-arctg ))
Решение к самостоятельной работе №4
a) (4+6i)2=16+2*4*6i+36i2=16+48i-36=-20+48i
б) (3-5i)2=9+2*3*5i+25i2=9+30i-25=-16+30i
в) (17+6i)3=4913+3*289*6i+3*17*36i2+216i3=4913+5202i-306-216i=4607+4986i
г) (1-i)15 = √215 (cos(-
15𝜋
4
𝜋
𝜋
4
4
15𝜋
)+i sin(-
4
7𝜋
7𝜋
4
4
)) = √215 (cos(- )+i sin(- ))
1-i = √2 (cos(- )+i sin(- ))
|z|=√𝑎2 + 𝑏2 =√12 + (−1)2=√2
𝑏
−1
𝜋
𝑎
1
4
Четвертая четверть, φ=arctg =arctg
=-arctg1=-
Решение к самостоятельной работе №5
а) 2+3х+3=0
𝐷=b2-4ac=9-4*3=-3
√𝐷=√3 i
−3±√3 i
X1, 2=
2
б) 42-20x+26=0
:2
22-10x+13=0
22+2*(-5)x+13=02+3x+4=0
𝐷1 =k2-ac=25-26=-1<0 √𝐷1 =i
−𝑘±√𝐷1 5±𝑖
X1, 2=
𝑎
=
2
в) 2+3x+4=0
𝐷=9-16=-7
√𝐷=√7 i
−3±√7 i
X1, 2=
2
г) x2+1=0
x2=-1
X1, 2=±i
17
Литература:
1.Современный справочник школьника: 5-11 классы. Все предметы. / А.Н.
Роганин, К.Э. Немченко, И.В. Лысикова и др.-М.:Эксмо,2012. С.19
2.Математика: Учеб.-справ. пособие./ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович.-М.:ООО
«Издательство АСТ», 2003. с.73-81
3. http://mathprofi.ru/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov.html
18