Западно-Казахстанский институт языков и менеджмента «Евразия

Западно-Казахстанский государственный университет
им. М. Утемисова
Кафедра физики и математики
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
Числовые системы
по кредитной технологии обучения
для студентов специальности
050109 - Математика
Курс – 3
Семестр – 6
Количество кредитов – 2
Лекции – 15 часов
Практические занятия – 15 часов
СРСП – 30 часов
СРС – 30 часов
Экзамен – в 6 семестре
Всего – 90 часов
Уральск, 2011 г.
Учебно-методический комплекс дисциплины (УМКД) составлен: на основании ГОСО РК и
рабочей учебной программы, составленной преподавателем кафедры физики и математики
Орловой Л.Г.
Рассмотрена на заседании кафедры Физики и математики
Протокол № 1 от 10.09. 2011 г.
Утверждена на заседании учебно-методического совета Естественно-математического факультета
Протокол № 1 от 13.09.2011 г.
2.1 Данные о преподавателе
Орлова Лариса Григорьевна –
преподаватель, Западно – Казахстанский Государственный
Университет имени М. Утемисова
Офис: Кафедра математики
Полный адрес: Достык, 162, корпус №1, кабинет 307
2.2 Данные о дисциплине
Дисциплина: Числовые системы
Количество кредитов – 2
Место проведения: корпус №1
Выписка из учебного плана:
Курс Семестр Кредиты Лекции Семинары СРСП СРС Всего Форма контроля
3
6
2
15
15
30
30
90
экзамен
2.3 Введение
1 Цели и задачи изучения курса «Числовые системы»
Курс «Числовые системы» в педагогических вузах должен обеспечить развитие у будущего
учителя достаточно широкого взгляда на современную теорию числа и вооружить его конкретными
знаниями, дающими ему возможность преподавать алгебру в средней школе и квалифицированно
вести факультативные или элективные курсы по математике.
Курс «Числовые системы» служит своеобразным «мостиком» между циклами вузовских и
школьных математических дисциплин.
Значимость данного курса во многом определяется использованием и иллюстрацией ведущих
методов научного познания: аксиоматического, метода математической индукции и метода
обобщения. Это даёт возможность будущему учителю «выйти» в перспективе на целенаправленную
реализацию гуманитарного потенциала школьного курса математики.
Кроме того, курс «Числовые системы» открывает широкие возможности не только для
формирования предметно (и профессионально)- значимых знаний, умений и навыков студентов, но
и для развития их самостоятельности, формирования позитивной мотивации к учебе и будущей
работе в качестве учителя математики.
Под предметно-значимыми знаниями и умениями будущего учителя математики при
изучении математического курса будем понимать те основные знания и умения, которые
составляют содержание данного курса.
Под профессионально-значимыми знаниями и умениями будущего учителя математики
будем понимать те предметные знания и умения, которые:
 в целом формируются в результате изучения блока дисциплин предметной (математической)
подготовки;
 необходимы для реализации на практике базового содержания школьного курса математики;
 необходимы будущему учителю математики для проведения углубленных занятий по
Арифметике, Алгебре, Анализу и Геометрии.
Имеющиеся в содержании профессионального вузовского образования знания специального
предмета - это элемент общей системы педагогической культуры учителя. Предметно-значимые
знания и умения будущего учителя математики по какому-либо курсу в педвузе необходимы для
того, чтобы в своей предметной деятельности учитель мог преобразовывать содержание науки в
учебный материал, в дидактическое содержание урока или внеклассного мероприятия.
Курс «Числовые системы» представляется исключительно важным именно для подготовки
учителей математики.
Выделим основные цели курса «Числовые системы»:
 обоснование свойств чисел, известных каждому из школьной математики; показ
характерных подходов к аксиоматическим определениям основных числовых систем натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных и гиперкомплексных
чисел;
 углубление знаний студентов об основных идеях и понятиях современной математики. К
числу таких идей принадлежит представление об изоморфизме, а к числу понятий:
множество (конечное и бесконечное), бинарное отношение (порядок и эквивалентность),
группа, кольцо, поле, векторное пространство. Применение указанных общих понятий
позволяет охватить свойства различных числовых областей с общей точки зрения;
 последовательное построение фундаментальных числовых алгебр и алгебраических систем:
натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и кватернионов. В
педвузе должна быть завершена линия развития понятия числа, начатая в школе;
 раскрытие значения современной алгебры и ее методов в изучении объектов произвольной
природы.
Из рассмотренных выше целей вытекают следующие задачи курса:
 разобраться, как аксиоматически строятся числа основного вида;
 рассмотреть, как могут быть построены системы других видов чисел, путем расширения
чисел основного вида;
 выделить и отработать схемы построения (конструкции) основных числовых систем;
 выделить и обосновать свойства: а) числовых множеств; б) отношений; в) операций.
Кратко охарактеризуем особенности курса «Числовые системы», которые важны для
формирования предметно - и профессионально- значимых знаний и умений будущего учителя
математики.
1. Курс «Числовые системы» отражает современную теорию числа. Понятие числа является
одним из основных понятий математики. Оно используется для обоснования различных
математических теорий (например, для доказательства непротиворечивости систем аксиом в
геометрии), тесно связано с другими важнейшими понятиями математики: множества,
отображения, алгебраической системы и т.д.
2. Курс «Числовые системы» содержит вопросы, связанные с обоснованием математики и с
трудностями обоснования учения о числе. Знакомство с этими вопросами, интерес к ним необходимая предпосылка повышения математической культуры и углубления математической
интуиции студентов. Этот курс должен дать также ответы на следующие вопросы: Как
определяется понятие числа? Как конструируются числа? Как обосновать понятие числа?
Задача обоснования учения о числе, во второй и третьей четвертях XIX в., благодаря
требованиям алгебры и математического анализа, начинает разрабатываться как обобщение
понятия числа с максимально возможным сохранением законов действий исходной области чисел.
Процесс обоснования понятия числа оказался достаточно сложным. В 1837 г. У. Гамильтон
создал арифметическую теорию комплексных чисел. Затем в 70-х годах XIX в. Г. Кантором, Р.
Дедекиндом и К. Вейерштрассом построены различные логически эквивалентные теории действительных чисел. И, наконец, в работах Р. Дедекинда (1888) и Дж. Пеано (1891) получили
обоснование натуральные, целые и рациональные числа.
Полученные результаты исследований явились толчком для развития аксиоматического метода,
в частности, постановки и исследования проблем полноты и непротиворечивости математических
теорий. Эти и другие связанные с ними проблемы до сих пор не получили окончательного решения,
так что процесс обоснования понятия числа нельзя считать полностью завершенным. Современное
учение о числе базируется на арифметике натуральных чисел и дальше развивается по схеме: N  Z
 Q  R C.
Однако в установившейся школьной практике, сохраняется историческая
последовательность развития понятия числа, которая отличается тем, что дроби появились раньше
отрицательных чисел. Как видим, числовая линия, рассматриваемая в средней школе, завершается
изучением комплексных чисел (в классах с углубленным изучением математики или на
факультативных занятиях), которые получили всеобщее признание в 1831 году благодаря
немецкому математику К.Гауссу (1777-1855 гг).
3. Курс «Числовые системы» содержит вопросы, связанные со школьным курсом
математики - высокая профессиональная направленность курса. В школе свойства операций
над числами не доказываются, а лишь поясняются на примерах. В курсе «Числовые системы»
строго доказываются все известные их свойства. Кроме того, подробно доказывается целый ряд
понятий используемых в школьной математике (существование и единственность операций
сложения и умножения; непротиворечивость числовых систем и др.).
4. Курс «Числовые системы» содержит вопросы, связанные с иллюстрацией и
использованием фундаментальных методов - аксиоматического, метода математической
индукции и метода обобщений.
Основным современным методом строгого изложения математической теории является
аксиоматический метод. Аксиоматические методы плодотворны не только в математическом
творчестве, но и имеют большое значение в преподавании. Однако студентам не только младших,
но и выпускных курсов аксиоматический метод нередко представляется спецификой
исключительно геометрических курсов. Курс числовых систем включает в себя необходимые
сведения об аксиоматическом методе и является хорошей иллюстрацией этого метода.
Ценность аксиоматической системы проявляется в ее моделях, которые служат, с одной
стороны, источником данной системы аксиом, а с другой стороны, полем ее приложений. Особое
внимание студентов следует обратить именно на аксиоматическое построение курса. Здесь должен
быть заложен методологический фундамент будущего учителя-математика: он должен, наконец,
понять, что
математика выделяется в системе наук тем, что она, по - существу единственная,
использующая аксиоматический метод чрезвычайно широко. Аксиоматический метод в
значительной мере обусловливает поразительную эффективность математики в процессе познания
окружающего мира и преобразующего воздействия на него. «Ядром» курса «Числовые системы»
является углубленное знакомство студентов с аксиоматическим методом. Это ознакомление
целесообразно в связи с тем, что оно положительно влияет на развитие математического мышления,
способствует пониманию сущности и значения абстрактного характера математических теорий.
Кроме аксиоматического метода, будущие учителя математики используют в курсе «Числовые
системы» метод математической индукции, имеющий большое значение в математике; он
применяется для поиска новых результатов и доказательства истинности выдвинутых
предположений. Метод полной математической индукции естественно возникает и сразу находит
существенные применения в содержательной аксиоматической теории натуральных чисел, а также
в школьном курсе математики. Будущие учителя математики знакомятся также и с методом
обобщений, который играет важную роль в построении новых теорий, в разработке новых понятий,
положений, доказательств.
5. Курс «Числовые системы» способствует выработке научного мировоззрения. Построение
числовых систем и здесь играет особую роль, так как в высшей степени способствует уяснению
того обстоятельства, что понятие числа и другие понятия математики принадлежат миру идей.
6. Курс «Числовые системы» способствует формированию у студентов навыков
логического мышления. Школьные уроки математики должны не только давать ученикам
определенные знания, но и вырабатывать у них навыки логического мышления. Курс числовых
систем способствует выработке этих качеств, и, кроме того, основную часть задач по данному
курсу составляют задачи «на доказательство», т.е. как раз такого типа, которые не только помогают
усваивать курс, но и способствуют отработке навыков логического рассуждения.
7. Курс «Числовые системы» позволяет построить основные числовые системы. В этом
курсе можно тщательно построить фундаментальные числовые алгебры и алгебраические системы
N, Z, Q и R, которые составляют фундамент большинства математических теорий и основную часть
школьной программы по математике. Необходимо также построить систему С комплексных чисел,
новую числовую систему, не изучавшуюся в школе. Многие понятия и идеи, возникшие при
изучении этой системы, породили новые направления в науке и сыграли важную роль в развитии
математики и ее приложений.
Система комплексных чисел представляет собой логическое завершение тех сведений о числах,
которые предусмотрены школьной программой по математике. Все основные числовые системы,
изучаемые в школьной математике - натуральные, целые, рациональные и действительные числа это подсистемы, подкольца, подполя именно поля комплексных чисел. Кроме того, именно в поле
комплексных чисел получила окончательное, изящное разрешение проблема корней произвольного
алгебраического уравнения.
Мы пришли к такому запасу чисел, для которого любое алгебраическое уравнение уже имеет хотя
бы один корень (основная теорема алгебры, доказанная великим немецким математиком К.Ф.
Гауссом на рубеже XVIII и XIX вв.).
Многоликость комплексных чисел (как точки на плоскости, как вектора и как оператора поворота и
растяжения) делает их особенно удобным аппаратом для решения задач по геометрии и механике.
Тематический план учебной дисциплины «Числовые системы»
Количество
аудиторных
часов при очной форме
обучения
Наименование разделов и тем
Раздел 1. Введение в курс Числовые системы»
1.1. Множества с отношениями
1.2. Упорядоченные полугруппы, полукольца
Раздел 2. Содержательная линия натуральных
чисел
2.1. Система натуральных чисел
2.2. Упорядоченное полукольцо натуральных чисел и его
свойства
Контрольная работа №1
Раздел 3. Содержательная линия целых чисел
3.1. Система целых чисел
3.2. Кольцо целых чисел и его свойства
Раздел 4. Содержательная линия рациональных
чисел
4.1. Система рациональных чисел
4.2. Поле рациональных чисел и его свойства
Раздел 5. Содержательная линия действительных чисел
5.1. Система действительных чисел
5.2. Поле действительных чисел и его свойства
Раздел 6. Содержательная линия комплексных
чисел
6.1. Система комплексных чисел
6.2. Поле комплексных чисел и его свойства
Раздел 7. Математическая индукция в числовых
системах
7.1. Математическая индукция в системах N, Z и С
7.2 Математическая индукция в системах R и С
Контрольная работа №2
Итого
Лекции.
2
Пр.з.
2
СРСП
6
2
2
6
2
2
6
2
2
6
2
2
6
2
2
6
3
3
9
15
15
45
График и содержание занятий
Семестр состоит из 15 учебных недель и 2 недель сессии. В неделю предполагается 2 кредит –
час, каждый кредит – час состоит из одного контактного часа (лекция, практика) и одного часа
самостоятельной работы студентов под руководством преподавателя (СРСП, СРС).
Контактный час 1
50 мин.
СРСП
50 мин.
(лекция )
(практ. занятие)
Контактный час 2
50 мин.
СРСП
50 мин.
(практика)
(практ. занятие)
Содержание дисциплины. Распределение часов по видам занятий.
Раздел 1. Введение в курс «Числовые системы»
Множества с операциями и отношениями. Свойства бинарных операций и отношений. Виды
алгебраических систем. Отношение порядка. Виды упорядоченных множеств. Отношение
эквивалентности. Виды морфизмов. Полугруппы и группы. Упорядоченные и изоморфные
полугруппы и группы. Полукольца и кольца. Упорядоченные и изоморфные полукольца и кольца.
Раздел 2. Содержательная линия натуральных чисел
Аксиоматическая теория натуральных чисел. Формулировка аксиоматической теории
натуральных чисел. Сложение и умножение натуральных чисел (определение; существование;
единственность; основные свойства). Неравенства на множестве натуральных чисел.
Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел. Независимость аксиомы индукции, и
ее роль в арифметике. Эквивалентность аксиомы индукции и теоремы о наименьшем элементе.
Раздел 3. Содержательная линия целых чисел
Аксиоматическая теория целых чисел. Свойства целых чисел, теорема о порядке.
Категоричность аксиоматической теории целых чисел. Непротиворечивость теории целых чисел.
Раздел 4. Содержательная линия рациональных чисел
Аксиоматическая теория рациональных чисел. Свойства рациональных чисел. Плотность поля
рациональных чисел (неарифметическое свойство). Категоричность аксиоматической теории
рациональных чисел. Непротиворечивость теории рациональных чисел. Выбор конструктивной
идеи, построение фактор -поля алгебры пар целых чисел, вложение кольца целых чисел, модель
поля рациональных чисел.
Раздел 5. Содержательная линия действительных чисел
Аксиоматическая теория действительных чисел. Действительное число как предел
последовательности рациональных чисел, существование корня натуральной степени из
положительного действительного числа. Непротиворечивость теории действительных чисел.
Раздел 6. Содержательная линия комплексных чисел
Аксиоматическая теория комплексных чисел. Непротиворечивость теории комплексных чисел
(выбор конструктивной идеи; построение поля пар действительных чисел; вложение поля
действительных чисел; выделение мнимой единицы; модель поля комплексных чисел).
Раздел 7. Математическая индукция в числовых системах
Исторические моменты, связанные с методом математической индукции. Различные виды
доказательств по индукции. Метод возвратной индукции. Индуктивные определения. Сумма и
произведение нескольких чисел. Гипотезы и метод математической индукции. Метод математической индукции и вычисление сумм и произведений. Доказательство тождеств, неравенств и
делимость чисел с помощью математической индукции. Математическая индукция в школьном
курсе математики.
Неделя 1
Кредит час 1
Раздел 1.Введение в курс «Числовые системы»
Тема: Числовые и алгебраические системы. Упорядоченные, равномощные и подобные множества.
ЛЕКЦИЯ № 1.
Содержание лекции::
1. Множества с операциями и отношениями.
2. Свойства бинарных операций и бинарных отношений.
3. Отношение порядка и отношение эквивалентности.
Литература: [3], [4], [5], [6].
Содержание СРСП:
Вопросы для обсуждения и самоконтроля:
1. Как определяется числовая система? Алгебраическая система? Какую алгебраическую
систему называют алгеброй? Моделью?
2. Что называется бинарным отношением на упорядоченной паре множеств? На множестве А?
3. Когда бинарное отношение , определенное на паре множеств (А, В) называют
отображением А в В? Какое отображение называют сюръективным? Инъективным?
Биективным?
4. Какие множества называют равномощными? Конечными? Бесконечными?
5. Какое отображение называют бинарной операцией на множестве А?
n- арной операцией на множестве?
6. Какое бинарное отношение называется рефлексивным, симметричным, антисимметричным,
транзитивным, связным?
7. Как записываются в символах следующие основные свойства бинарной алгебраической
операции *: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность * (слева и справа)
относительно  ?
8. Как определяются отношения порядка и отношения эквивалентности? Какую систему
подмножеств называют разбиением конечного множества А? Есть ли связь между
понятиями эквивалентности и разбиения?
9. Какое множество называется упорядоченным, линейно упорядоченным, частично
упорядоченным, вполне упорядоченным?
10. Какие множества называются подобными?
Кредит час 2
Тема: Числовые и алгебраические системы. Упорядоченные, равномощные и подобные множества.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.1.1.1. Показать, что:
1) отношение "непосредственно следует за"; 2) арифметическое отношение "больше"; 3) отношение
"делится на" - бинарные отношения в N;
4) арифметическая операция "вычитание" может рассматриваться как тернарное отношение в N;
5) свойство "быть простым" может рассматриваться как унарное отношение в N.
Упр.1.1.2. Пусть А и В - конечные множества, | А | = m, | В | = n.
1) Сколько существует бинарных отношений между элементами множеств А и В?
2) Сколько существует отображений А в B?
3) При каких m и n существует инъективное отображение А в В?
4) При каких m и n существует сюръективное отображение А в В?
5) При каких m и n существует биекция А на В?
Упр.1.1.3. Является ли (бинарной) алгебраической операцией:
1) сложение на множестве четных (нечетных) чисел;
2) вычитание на множестве А = {- 3, - 2, -1,0,1,2,3 } (на Z);
3) умножение на множествах N, Z, I;
4) деление на множествах Q, R, Q\{о}, R\{о};
5) матричное сложение (умножение) во множестве М невырожденных матриц n- го порядка (n ≥1).
Упр.1.1.4. Построить график и установить свойства бинарного отношения во множестве
действительных чисел: х р у  | х+у |>1.
Содержание СРСП, СРС:
Упр.1.1.5. Докажите, что каждое из следующих отношений является отношением
эквивалентности, и найдите классы эквивалентности:
1) на множестве N x N задано бинарное отношение (а, b) р (с,d)  а + d = b + с;
2) на множестве N x N задано бинарное отношение (а, b)р (с , d)а ·d = b· с;
3) на множестве R а р b  а2 = bг;
4) на множестве R а p b  a - b Z ;
5) на множестве Q a p b  k  Z а = 2к · b.
Упр.1.1.6. Установить свойства и начертить графики бинарных отношений из упр.1. Являются
ли эти отношения отношениями эквивалентности или порядка.
Упр.1.1.7. Является ли алгебраической системой множество чисел вида:
а) а + b·
, а, b  Z;
6) а + b·
+c·
, a, b, c  Z
относительно обычных операций сложения и умножения?
Упр.1.1.8. Привести примеры отображений:
1) сюръективного, но не биективного; 2) инъективного, но не биективного; 3) инъективного, но
не сюръективного; 4) сюръективного, но не инъективного; 5) биективного.
Неделя 2.
Кредит час 3
ТЕМА :Упорядоченные и изоморфные алгебры с одной и двумя бинарными операциями.
ЛЕКЦИЯ № 3
Содержание лекции:
1. Упорядоченные полугруппы и полукольца.
2. Упорядоченные кольца и поля.
3. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп и колец.
Литература: [3], [4], [5], [6], [8], [10]
Вопросы для обсуждения и самоконтроля:
1. Когда алгебру с одной операцией называют полугруппой? Группой?
2. Как определяется упорядоченная полугруппа?
3. Каковы основные свойства упорядоченных полугрупп?
4. Как определяются положительные и отрицательные элементы упорядоченных полугрупп?
5. Какую алгебру называют полукольцом? Кольцом?
6. Как определяется упорядоченное полукольцо? Кольцо?
7. В чем состоит критерий линейного порядка для колец? Критерий единственности линейного
порядка для колец?
8. Как определяется изоморфизм- групп? Автоморфизм групп? Гомоморфизм групп?
9. Как определяется изоморфизм колец? Гомоморфизм колец?
10. Что является гомоморфным образом группы? Кольца? Изоморфным образом группы? Кольца?
Кредит час 4
ТЕМА :Упорядоченные и изоморфные алгебры с одной и двумя бинарными операциями.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.1.2.1. Даны две алгебраические системы: множество М вещественных матриц данного
порядка n с операцией матричного умножения  и множество R с операцией обычного умножения.
Является ли гомоморфизмом следующее отображение системы (М;) на систему (R, ·):
отображение  такое, что (А)=а11, где | А | - определитель матрицы АМ, а11 - элемент первой
строки и первого столбца матрицы А?
У пр. 1.2.2. Даны три алгебраические системы: множество N с операцией сложения, множество
А = {х| х = 2· k, k  N } также с операцией сложения и множество В = { х| х = 2· k, k  N } с
операцией умножения. Выясните, какие из этих систем изоморфны между собой.
Упр.1.2.3. Докажите, что изоморфны:
а) кольцо матриц вида
( а, b  R, сложение и умножение – матричные) и кольцо Q2
упорядоченных пар (а, в) а, b  Q, где
(а, b) (с, d)=(а + с,b + d), (а, b) (с, d) = (а· с, b· d) ;
б) группы (2Z;+) и (3Z;+).
Содержание СРСП, СРС:
Упр.1.2.4. Какие из приведенных алгебраических систем являются линейно упорядоченными
множествами: 1) (N; <); 2) (Z; >); 3) (Z; ); 4)
(N; ).
Упр.1.2.5. Доказать, что мультипликативную группу М невырожденных матриц порядка n (n ≥1)
можно гомоморфно отобразить на мультипликативную группу действительных чисел, отличных от
нуля.
Упр.1.2. 6. Пусть К = {-1,0,1}. Показать, что алгебраическая система (К; ·) гомоморфна системе
(Z; ·).
Упр.1.2.7. Пусть А - множество всех нечетных, В - множество всех четных, а N - множество всех
натуральных чисел. Установить, какие из систем (N; · ), (А; •), (В; •) изоморфны между собой, а
какие нет.
Упр.1.2. 8. Доказать, что в упорядоченном поле справедливы следующие утверждения: 1)0<1; 2)
если 0<а, то 0 < ; 3) если 0 < а < b, то
< .
Неделя 3
Кредит час 5
Раздел 2. Содержательная линия натуральных чисел
ТЕМА: Система натуральных чисел.
ЛЕКЦИЯ № 5
Содержание лекции:
1. Аксиомы Пеано. Принцип полной математической индукции.
2. Сложение и умножение (определение; существование; единственность; основные свойства).
3. Роль аксиомы индукции в арифметике натуральных чисел.
Литература: [2], [3], [4], [5], [7].
Содержание СРСП:
Вопросы для обсуждения и самоконтроля:
1. а) Когда возникло представление о натуральном числе, и кто впервые употребил термин
«натуральное число»? б) Что называется натуральным рядом чисел, натуральным числом? в) С чем
можно сравнить школьное определение натуральных чисел?
2. Как с помощью аксиом Пеано определяется натуральное число? Можно ли опустить какуюнибудь аксиому в определении натурального числа с помощью аксиом Пеано? Привести примеры.
3. а) В чем суть аксиоматического способа построения теории? б) Кто первым заметил значение
аксиомы в науке? в) Кто является создателем аксиоматической теории натуральных чисел?
4. Каким требованиям должна удовлетворять система аксиом?
5. В чем заключается роль аксиоматического метода в математике?
6. Как формулируется принцип полной математической индукции?
7. Как определяются основные операции: а) сложения, б) умножения, в) возведения в степень во
множестве натуральных чисел? г) Почему при наличии определения требуется доказывать
существование определяемого понятия?
8. Почему нельзя считать определением такое предложение: а) «числа, употребляемые при счете
предметов называют натуральными числами» (см. учебник «Математика 5 кл.»); б) «натуральным
числом называется целое положительное число»?
9. Как с помощью аксиоматики, основанной на сложении, определяется натуральное число?
10. Является ли множество натуральных чисел группой (полугруппой, полукольцом, кольцом)?
Кредит час 6
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3
ТЕМА: Система натуральных чисел.
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.13.1. Доказать: а) простейшие следствия из аксиом Пеано;
б) независимость аксиом Пеано.
Упр.13.2. 1) Введите символы 2, 3,…, 7 и, пользуясь определением сложения натуральных
чисел, найдите 3 + 4 и 4 + 3.
2) Введите символы 2, 3,…, 12 и, пользуясь определением умножения натуральных чисел,
найдите 3·4 и 4·3.
3) Пользуясь аксиомами сложения и умножения натуральных чисел, вычислите 2·(3 + 1) и 2·3
+2·1.
Упр2.3.3. Доказать следующие свойства сложения натуральных чисел: 1) ассоциативность; 2)
коммутативность; 3) сократимость.
Упр2.3.4. Доказать следующие свойства умножения натуральных чисел: 1) дистрибутивность
умножения относительно сложения; 2) ассоциативность; 3) коммутативность.
Содержание СРСП,СРС:
Упр.2.3.5. а) Пользуясь свойствами натуральных чисел, поясняя каждый шаг, решите уравнение
2 • х + 4 = 6. б) Пользуясь аксиомами Пеано и определением сложения натуральных чисел,
докажите, что уравнение х + 3 = 2 не разрешимо в натуральных числах, в) Пользуясь аксиомами
Пеано, определениями, свойствами сложения и умножения натуральных чисел докажите, что в
полукольце натуральных чисел уравнение 3·х= 2 не разрешимо.
Упр.2.3. 6. 1) Введите символы 2, 3,…, 7 и, пользуясь определением сложения натуральных
чисел, найдите 2 + 5,5 + 2 и 2 + 2.
2) Введите символы 2, 3,…, 10 и, пользуясь определением умножения натуральных чисел,
найдите 2· 5, 5·2 и 2·2, 4·2.
3) Пользуясь аксиомами сложения и умножения натуральных чисел, вычислите 2·(4 + 1) и 2·4
+ 2·1.
Упр.2.3.7. Доказать теорему: умножение натуральных чисел существует и единственно.
Упр.2.3. 8. а) Пользуясь свойствами натуральных чисел, поясняя каждый шаг, решите уравнение
3 · х + 5 = 8.
б) Пользуясь аксиомами Пеано и определением сложения натуральных чисел, докажите, что
уравнение х + 5 = 4 не разрешимо в натуральных числах.
в) Пользуясь аксиомами Пеано, определениями, свойствами сложения и умножения натуральных
чисел, докажите, что в полукольце натуральных чисел уравнение 4 · х = 2 не разрешимо.
Неделя 4
Кредит час 7
ТЕМА : Свойства системы натуральных чисел.
ЛЕКЦИЯ №4
Содержание лекции:
1. Порядковые свойства множества натуральных чисел.
2. Упорядоченное полукольцо натуральных чисел. Эквивалентность аксиоматик системы
натуральных чисел.
3. Различные виды доказательств по индукции.
Литература: [2], [3], [4], [5], [7], [8].
Содержание СРСП:
Вопросы для обсуждения и самоконтроля:
1.Какое бинарное отношение Т, заданное в множестве А называют отношением порядка?
2. Почему множество натуральных чисел нельзя упорядочить при помощи
отношения
«непосредственно следовать за»?
3. Является ли: а) арифметическое отношение «>» полным порядком в множестве N ? 6)
множество N является вполне упорядоченным?
4. Что называется упорядоченной полугруппой?
5. В чем заключается роль аксиомы Архимеда?
6. Как определяется упорядоченное полукольцо натуральных чисел?
7. Как формулируется принцип полной математической индукции, усиленный принцип?
8. Как определяется понятие конечного и бесконечного множества?
9. Как во множестве натуральных чисел определяются обратные операции: вычитание и
деление?
10. Какие требования предъявляют к расширению числовых систем?
Кредит час 8
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4
ТЕМА : Свойства системы натуральных чисел.
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.2.4.1. Доказать теорему, утверждение которой лежит в основе определения отношения
"меньше" для натуральных чисел. Для любых натуральных чисел с и d имеет место одно и только
одно из соотношений: 1) существует k N такое, что d = с + к; 2) с = d; 3) существует т  N такое,
что с = d+m.
Упр.2.4.2. Доказать следующие свойства линейно упорядоченного множества натуральных
чисел: 1) единица 1 - наименьший элемент в N;
2) N- дискретно; 3) N- вполне упорядочено.
Упр.2.4.3. Доказать, что сложение и умножение натуральных чисел монотонны.
Упр.2.4.4. Доказать следующие оcновные свойства упорядоченного полукольца натуральных
чисел:
1) неравенства одинакового смысла можно почленно складывать и перемножать; 2) сложение и
умножение обладают свойством сократимости; 3) в N выполняется аксиома Архимеда.
Содержание СРСП,СРС:
Упр.2.4.5. Доказать, что аксиоматика, основанная на сложении эквивалентна аксиоматике
Пеано.
Упр.2.4.6. Простые примеры показывают, что из того, что а ≥b еще не следует существование
частного а:b. Так, определяя числа 2 = , 3 = 2', 4 = 3' покажите, что не существует числа a, для
которого 2 · а = 3.
Упр.2.4.7. Выписать различные интерпретации системы натуральных чисел по книге [7, с.97].
Упр.2.4.8. Как определяется вычитание и деление натуральных чисел. Составить конспект по
книге [7, с.86-88].
Неделя 5
Кредит час 9
Раздел 3. Содержательная линия целых чисел
ТЕМА: Система целых чисел.
ЛЕКЦИЯ №5
Содержание лекции:
1. Принцип расширения. Система целых чисел как расширение полукольца натуральных чисел.
2. Строение элементов кольца целых чисел.
3.Существование системы целых чисел: построение вспомогательного кольца, вложимость в
него системы натуральных чисел; построение кольца целых чисел.
Литература: [1], [2], [3], [4], [5], [7], [13].
Содержание СРСП:
Вопросы для обсуждения и самоконтроля:
1. Как аксиоматически определяется система целых чисел?
2. Какие требования предъявляют к расширению числовых систем?
3. Как определяется минимальное расширение числового множества?
4. Является ли множество четных чисел кольцом?
5. Как формулируется теорема о строении элементов кольца целых
чисел?
6. Можно ли в кольце целых чисел выделить подмножество, которое само будет кольцом? Имеет
ли кольцо целых чисел делители нуля?
7. Как с помощью пар натуральных чисел определяется целое число? Как определяются
операции: а) сложения; б) умножения; в) отношение порядка для целых чисел, определяемых
парами? Когда целое число, определяемое парой (а, в) называется положительным целым числом?
8. Как можно показать вложимость системы N в кольцо Z?
9. Что можно сказать о единственности построенного кольца Z?
10. Какова схема построения кольца целых чисел?
Кредит час 10
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5
ТЕМА: Система целых чисел.
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.3.5.1. Рассмотрим множество Nx N = М= {(а, b)| а, b  N}. (1)
Зададим в нем отношение : (а, b) (с, d)а + d = b + с, (2)
и рассмотрим фактор-множество Z0=М/= {[(а, b)]| а, bN. (3)
Всякий класс пар, эквивалентных паре_(а, b) назовем целым числом. То есть [(а, b)]= {(х, у) | (х, у)
(а,b)}- этот класс «моделирует» целое число а - b. Введем отношение равенства и операции в
фактор- множестве:
[(а, b)]=[(с, d)]  (а, b)  (с, d)  а + d = b + с, (4)
(a, b) (с, d)= (a+ с,b+ d ),
(5)
[(a, b)] [(с, d)]= [(а · с + b· d, a · d + b· с)].
(6)
Доказать теорему. Система (вспомогательная) (Z0; , ) относительно операций (5) и (6)
является кольцом.
Упр. 3.5.2. (работа с элементами вспомогательного кольца).
1) Укажите несколько пар, принадлежащих классу [(5,7)]. Какое целое число моделирует этот
класс?
2) Равны ли классы: [(2,13)] и [(13,24)]; [(2,13)] и [(3,14)]; [(12,3)] и [(327,382)]?
3) Будут ли противоположными классы: [(5,7)] и [(10,3)]; [(6,8)] и [(9,7)]?
4)Найдите классы, противоположные классам [(5,7)], [(12,15)], [(3,14)].
5) Какой класс пар является нулем (единицей) кольца (Z0; , )?
Упр.3.53. Во вспомогательном кольце (Z0'; , ):
1) выполните действия
[(5,7)]  [(3,2)] [(8,6)] [(9,10)];
2) решите уравнения: а)
[(3,2)]  [(x, y)] = [(5,7)]
б) [(31,52)][(x, y)= (4,1)]; в) [(3,2)][(x, y)][(1,2)]=[(5,7)].
Упр.3.5.4. Доказать, что система натуральных чисел вложима во вспомогательное кольцо (Z0; ,
).
Упр.3.5.5. Построить кольцо Z целых чисел.
Содержание СРСП, СРС:
Упр.3.5.6. Доказать, что натуральными числами 1, 2, 3, ..., числом 0
и числами, противоположными натуральным -1,-2, ... исчерпывается все
множество Z целых чисел.
Упр.3.5.7. Каковы необходимые условия существования минимальных расширений области
натуральных чисел относительно вычитания?
Упр.3.5.8. Показать, что без требования выполнимости распределительного закона построение
арифметики натуральных чисел, как единственно возможного минимального расширения области
натуральных чисел относительно вычитания, неосуществимо.
Неделя 6.
Крелит час 11
ТЕМА: Кольцо целых чисел и его свойства.
ЛЕКЦИЯ № 6
Содержание лекции:
1. Алгебраические и порядковые свойства системы целых чисел.
2. Деление с остатком и представление целого числа в десятичной системе.
3. Категоричность аксиоматической теории целых чисел.
Литература: [2], [3], [4], [5], [7].
Содержание СРСП: Вопросы для обсуждения и самоконтроля:
1.Является ли множество целых чисел упорядоченным (линейно упорядоченным, строго
упорядоченным, архимедовски упорядоченным)?
2. Имеет ли кольцо целых чисел делители нуля?
3. Как определяется понятие линейно упорядоченного кольца? 4.Какие правила знаков приняты
при умножении и делении целых
чисел?
5. Как определяется кольцо вычетов по модулю n?
6. Каковы основные свойства линейно упорядоченных колец?
7. Какие два множества А и В называются эквивалентными, а две системы гомоморфными,
изоморфными?
8. Могут ли быть гомоморфными следующие кольца:
а) Z2·Z; б) 2·Z2·Z; в) 2·Z3·Z?
Если да, укажите все гомоморфизмы.
9. Является ли следующее отображение φ: Z 2·Z, где φ(а)= 2а гомоморфизмом?
10. Пусть φ:АА' - гомоморфизм колец. При каких условиях φ будет являться изоморфизмом?
Кредит час 12
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №6
ТЕМА: Кольцо целых чисел и его свойства.
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.3.6.1. Доказать алгебраические свойства целых чисел:
1) умножение целых чисел коммутативно;
2) в кольце целых чисел множества попарно не пересекаются;
3) квадрат любого целого числа, отличного от нуля, есть число натуральное;
4) если произведение двух целых-чисел равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен
нулю;
5) кольцо целых чисел является областью целостности, причем с единицей.
Упр.3.6.2. Доказать следующие порядковые свойства: 1) в упорядоченном кольце (К; +,·, <) если
аК и а 0, то аг >0, и если е- единица кольца, то для любого n N имеем п • е > О ; 2) в упорядоченном кольце целых чисел всякое непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество содержит
наибольший (соответственно наименьший) элемент.
Упр.3.6.3. Доказать, что  a, bN 2· a 2· b+1
Упр.3.6. 4. Доказать, что уравнение 2 · х = 1 не имеет решений в целых числах.
Содержание СРСП, СРС:
Упр.3.6. 5. Доказать теорему (о единственности кольца целых чисел).
Любые две интерпретации кольца целых чисел изоморфны друг другу или Z единственно с
точностью до изоморфизма, или кольцо целых чисел категорично.
Упр.З.6.6. Доказать, что порядок -натуральных чисел совпадает с их порядком в кольце целых
чисел.
Упр.3.6.7. Какие формы односторонней или двухсторонней индукции основаны на теореме (см.
выше упр. 2, второе свойство)?
Упр.3.6. 8. Доказать теорему. Для любого целого числа а, числа а - 1 и а + 1 являются соседними
с а, причем а-1<а< а + 1. Таким образом, кольцо целых чисел дискретно.
Неделя 7
Кредит час 13
Раздел 4. Содержательная линия рациональных чисел
ТЕМА: Система рациональных чисел
ЛЕКЦИЯ №7
Содержание лекции:
1. Система рациональных чисел как расширение кольца Z.
2. Строение элементов поля рациональных чисел.
3.. Существование системы рациональных чисел: построение вспомогательного поля и
вложимость в него системы целых чисел; построение поля рациональных чисел.
Литература: [2], [3], [4], [5], [7], [8].
Содержание СРСП:
Вопросы для обсуждения и самоконтроля:
1. Система рациональных чисел как расширение кольца Z.
2. Какие задачи должно было решить обобщение (расширение) понятия о целом числе до
понятия о рациональном числе? Строение элементов поля рациональных чисел.
3. Какие из чисел: а) 0,5555...; б) 1,25(4); в) 0,131141151...; г) ; ж) 0,33333...; з) 0,303 являются
рациональными, а какие- иррациональными?
4. Какие из следующих корней являются рациональными числами, а какие - иррациональными:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
: 5)
?
5. Как доказать непротиворечивость системы рациональных чисел?
6. Как с помощью пар целых чисел определяется рациональное
число?
7.Как определяются равенство и операции сложения и умножения; отношение порядка для
рациональных чисел, определяемых парами?
8 Как можно показать вложимость системы Z в построенное
вспомогательное поле?
9. Какие интерпретации системы Q вам известны?
10. Как определяется понятие расположенного поля? Какой вид имеет аксиома Архимеда в поле
рациональных чисел? Множество рациональных чисел плотно. Как определяется понятие
плотности? Является ли множество рациональных чисел дискретным, непрерывным?
Кредит час 14
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №7
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.4.7.1. Построить
- вспомогательное поле.
За исходный элемент построения поля рациональных чисел принимаем пару (а; b) целых чисел,
взятых в данном порядке, причем второе число пары b отлично от нуля.
Пусть М - множество всех таких пар, т.е.
Zx Z\{0} = М = {(а,b) | а,b  Z, b0}
(1)
Зададим в нем отношение : (а, b) (с, d ) а ·d = b ·с, (2)
Нетрудно проверить, что это отношение является эквивалентностью, т.е. для него всегда
выполняются свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности. Значит, это отношение
определяет разбиение множества М на классы эквивалентных пар (см. (2)).
Рассмотрим фактор-множество этих классов. Будем классы эквивалентных пар обозначать так: [
(а, b) ] - класс пар, эквивалентных паре (а,b). Положим, Q0 есть множество всех классов
эквивалентных пар множества
М, т.е.
Qо=М/ = {[(a,b)] | a, b Z, b 0}.
(3)
Всякий класс пар, эквивалентных паре (а,b) назовем рациональным числом. То есть класс [(а,
b)] = {(х, у) | (х, у)  (а, b)} «моделирует»
рациональное число .
Введем отношение равенства и операции в фактор - множестве:
[(а,b)] = [(с,d)] (а,b) (с,d)  а· d = b· с, (4)
[(а, b)]  [(с,d)] = [(а· d + b· с, b· d)], (5)
[(a, b)]  [(c, d)] = [(a· c, b· d)] (6)
Суммой (произведением) двух классов  и  назовем тот класс   (соответственно ),
который содержит сумму (произведение) пары класса  и пары класса .
Доказать теорему. Система (вспомогательная) ( ; ; ) относительно операций (5) и (6)
является полем.
Упр.4.7.2. (работа с элементами вспомогательного кольца).
1) Укажите несколько пар, принадлежащих классу [(5,7)] и не принадлежащих ему. Какое
рациональное число моделирует этот класс?
2) Равны ли классы: [(3,4)] и [(4,3)]; [(3,4)] и [(-3,-4)]; [(-3,4)] и [(3,-4)]?
3) Будут ли противоположными классы: [(5,7)] и [(10,3)]; [(6,8)] и [(9,7)]?
4) Найдите классы, противоположные классам [(5,7)], [(12,15)], [(3,14)].
5) Найдите сумму, разность, произведение и частное для классов [(3,4)] и [(5,7)]; [(6,8)] и [(9,7)];
[(4,3)] и [(10,3)].
6) Какие классы соответствуют натуральным числам? Целым отрицательным числам?
7) Верно ли, что
=[(a, b)]?
Упр.4.7.3. Во вспомогательном поле (Q0; , ):
1) выполните действия [(5,7)]  [(3,2)]  [(8,6)]  [(9,10)];
2) решите уравнения: а) [(3,2)]  [(х, у)]= [(5, 7)];
б) [(31,52)]  [(x, y)= [(4,1)];
в) [(3,2)]  [(x, y)]  [(1,2)]=[(5,7)].
Упр.4.7.4. Доказать, что система целых чисел вложима во вспомогательное поле (Q0; , ).
Содержание СРСП, СРС:
Упр.4.7.5. Построить поле Q рациональных чисел.
Упр.4.7.6. Доказать, что каждое рациональное число есть частное двух целых чисел.
Упр.4.7.7. Рассмотреть интерпретацию множества рациональных чисел как векторов числовой
прямой или точек числовой оси.
Упр.4.7. 8. Решить во вспомогательном поле (Q0; , ) уравнения:
а) [(5, 7)]  [(x, y)] = [(3,2)]; б) [(х,у)]  [(8,6)] = [(9,10)];
в) [(3,2)]  [(x, y)]  [(1,2)]=[(5,7)].
Неделя 8
Кредит час 15
ТЕМА : Поле рациональных чисел и его свойства.
ЛЕКЦИЯ № 15
Содержание лекции:
1. Алгебраические и порядковые свойства системы Q.
2. Аксиома Архимеда в N, Z и Q. Аксиома Кантора.
3. Категоричность аксиоматической теории рациональных чисел.
Литература: [2],[3], [4], [5], [7], [8].
Содержание СРСП:
Вопросы для обсуждения и самоконтроля:
1. Алгебраические свойства системы рациональных чисел.
2. а) Можно ли обойтись при измерении величин рациональными числами? б) Как искать
среди рациональных чисел, записанных в виде десятичных дробей? в) Как искать
среди
обыкновенных дробей?
3 а) Всякая ли точка прямой служит изображением некоторого рационального числа? б) В
геометрии два свойства прямой обычно принимают за аксиомы. О каких двух геометрических
аксиомах идет речь?
4. Как определяется порядок в расположенном кольце К?
5. Какой вид имеет аксиома Архимеда в множествах N, Z, Q?
6. Каковы свойства элементов любого расположенного поля?
7. Является ли множество рациональных чисел дискретным, непрерывным, счетным?
8. Какая последовательность рациональных чисел называется сходящейся, фундаментальной?
9. Является ли поле рациональных чисел простым?
10. Категоричность аксиоматической теории рациональных чисел.
Кредит час 16
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №8
ТЕМА: Поле рациональных чисел и его свойства.
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.4.8.1. Доказать следующие алгебраические свойства рациональных чисел: 1)
±
=
, ( b, d 0); 2) ·
3) =
,
(b,s 0);
=
, (b,d 0);
4)
= , (a 0)
Упр.4.8.2. Доказать: 1) Поле Q рациональных чисел может быть расположено и притом
единственным образом.
2) Множество рациональных чисел плотно, т.е. между любыми двумя неравными
рациональными числами  и  содержится по крайней мере одно рациональное число.
Упр.4. 8.3. Доказать, что если n N и n > 1, а р- простое число, то
не является
рациональным числом.
Упр.4.8.4. Найти все рациональные значения х, при которых у =
является
рациональным числом.
Содержание СРСП, СРС:
Упр.4.8.5. Доказать теорему (о единственности поля рациональных чисел). Любые две
интерпретации поля - рациональных чисел изоморфны друг другу или Q единственно с точностью
до изоморфизма, или поле рациональных чисел категорично.
Упр.4.8.6. Доказать, что следующие числа иррациональны: а)
; б)
;
в)
;
г)
;
д)
+
+
.
Упр.4.8.7. Доказать, что если a N, то
либо натуральное число, либо иррациональное.
Упр.4.8. 8. Доказать, что всякое рациональное число представимо в виде периодической
десятичной дроби.
Неделя 9.
Кредит час 17.
Раздел 5. Содержательная линия действительных чисел
ТЕМА: Система действительных чисел.
ЛЕКЦИЯ № 9
Содержание лекции:
1. Система действительных чисел как расширение поля рациональных чисел. Определение
системы действительных чисел с помощью понятия фундаментальной последовательности.
2. Строение элементов поля действительных чисел.
3.Существование системы действительных чисел: построение вспомогательного поля и
вложимость в него системы рациональных чисел; построение поля действительных чисел.
Литература: [2], [3], [4], [5], [7].
Содержание СРСП:
Вопросы для обсуждения и самоконтроля:
1. Система действительных чисел как расширение системы рациональных чисел.
2. Почему необходимо расширить множество рациональных чисел, т.е. какие задачи должно
было решить обобщение (расширение) понятия о рациональном числе до понятия о действительном
числе? Соблюдены ли при этом принципы расширения?
3. Строение элементов поля действительных чисел.
4. О числе 2 можно сказать, что оно действительное, рациональное, целое, натуральное,
положительное. Дайте аналогичную характеристику числам: а) 2, 121212...; б)2,121121112....
;
в)
5. Каждому рациональному числу соответствует точка числовой оси. Сформулируйте обратное
утверждение. Истинным или ложным оно является? Выражается ли длина любого отрезка: а)
рациональным числом; б) иррациональным числом; в) действительным числом?
6. Верно ли, что:
а) каждое рациональное число является действительным;
б) каждое действительное число является рациональным;
в) каждое иррациональное число является действительным;
г) каждое иррациональное число является рациональным;
д) каждое действительное число является иррациональным;
е) каждое рациональное число является иррациональным?
7. Верен ли сочетательный закон сложения при бесконечном числе слагаемых?
8. В школах и классах с углубленным изучением математики, замечает Ф. Клейн, предпочитают
вводить действительные числа не по Деде- кинду или Кантору, а аксиоматически. Как именно?
9. Какова схема построения множества R с помощью фундаментальных последовательностей?
10. Как рациональные, так и иррациональные числа расположены во множестве действительных
чисел всюду плотно. Что это значит?
Кредит час 18
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №9
ТЕМА: Система действительных чисел.
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.5.9.1. Пусть нам дано поле Q со всеми его свойствами. Рассмотрим множество М всех
фундаментальных последовательностей из Q.
M= {( ) ( )- фундаментальная в Q}.
(1)
Положим
( )( )
=0
(2)
Пусть теперь R0 есть фактор-множество М/: R0=М/ .
Обозначая элементы из R0 буквами , , , ... имеем, что каждый элемент из R0 есть класс
эквивалентных между собой последовательностей.
R0 = { = [( )],  Q}
(3)
Положим
[( )]= [( )]  ( )  ( ),
(4)
[( )]  [( )]= [(
)],
(5)
[( )]  [( )]= [(
)].
(6)
Доказать теорему. Вспомогательная система (R0; , ) относительно операций (5), (6) и ввиду
равенства (4) есть поле.
Упр.5.9.2. Назовем положительной такую последовательность (аn) R0 что  
 N
 n n0
an .
Класс , содержащий положительную последовательность, назовем положительным, т.е.
а  (ап)-положительная   0 0  n0  N  пп0 а„>е0 (7)
Доказать, что поле (R0; , ) относительно понятия положительности, введенного в (7) будет
расположенным полем.
Упр.5.9.3. Доказать, что вспомогательная система (R0; , ) -архимедовски расположено и
является полным полем.
Упр.5.9.4. Показать вложимость системы рациональных чисел во вспомогательное поле.
Содержание СРСП, СРС:
Упр.5.9. 5. Выполнить построение поля R и доказать, что построенное поле R есть система
действительных чисел.
Упр.5.9.6. Доказать, что в упорядоченном поле рациональных чисел аксиома Кантора не
выполняется.
Упр.5.9.7. Доказать, что все упорядоченные поля, удовлетворяющие аксиоме Архимеда,
исчерпываются, по существу, подполями упорядоченного поля действительных чисел.
Упр.5.9.8. Доказать, что упорядоченное поле удовлетворяет усиленной аксиоме Кантора тогда и
только тогда, когда оно является упорядоченным полем действительных чисел.
Неделя 10
Кредит час 19
ТЕМА:Поле действительных чисел.
ЛЕКЦИЯ № 10
Содержание лекции:
1. Алгебраические и порядковые свойства системы действительных чисел.
2. Аксиома Архимеда и усиленная аксиома Кантора в упорядоченных полях.
3. Категоричность аксиоматической теории действительных чисел.
Литература: [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8].
Содержание СРСП, СРС:
Вопросы для обсуждения и самоконтроля:
1. Алгебраические свойства системы действительных чисел.
2. Как определяется порядок в системе действительных чисел?
3. Порядковые свойства системы действительных чисел.
4. Аксиома Архимеда и усиленная аксиома Кантора в упорядоченных полях.
5. Непрерывность поля действительных чисел.
6. Каких чисел больше: рациональных или иррациональных?
7. Чем отличается поле R от поля Q?
8. Полнота поля действительных чисел.
9. Каковы источники получения иррациональных чисел?
10. Категоричность аксиоматической теории действительных чисел.
Кредит час 20
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №10
ТЕМА:Поле действительных чисел.
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.5.10.1. Уравнение х2 = 2 в поле рациональных чисел решения не имеет. Имеет ли оно
решение в поле действительных чисел? Ответ дает следующая теорема. Для любого
действительного числа а > 0 и любого натурального числа n существует и притом только одно
положительное действительное число b такое, что = а. Доказать.
Упр.5.10.2. Доказать, что поле действительных чисел может быть расположено лишь одним
способом (при сохранении операций сложения и умножения).
Упр.5.10.3. Поле R действительных чисел является минимальным, полным полем в том смысле,
что любое его подполе, отличное от него самого, при сохранении расположения, данного в поле R,
уже не является полным. Доказать.
Поле R действительных чисел является максимальным архимедовски расположенным полем в
том смысле, что любое его надполе, отличное от него самого, уже не может быть архимедовски
расположено. Доказать.
Упр.5.10.4. Доказать, что любые два упорядоченных поля действительных чисел изоморфны.
Содержание СРСП, СРС:
Упр.5.10. 5. Доказать, что изоморфное отображение упорядоченного поля действительных чисел
в себя является тождественным, т.е. образ всякого действительного числа совпадает с ним самим.
Упр.5.10. 6. Пусть последовательность задается общим членом:
а) ап = ;
б) ап=
.
Доказать, что такая последовательность
является фундаментальной.
Упр.5.10.7. Доказать, что: 1)
+
; 2)
; 3)
·
иррациональное число.
Упр.5.10. 8. Доказать, что множество N натуральных чисел и множество R действительных
чисел не являются равномощными.
Неделя 11
Кредит час 21
Раздел 6. Содержательная линия комплексных чисел
ТЕМА : Система комплексных чисел.
ЛЕКЦИЯ № 11
Содержание лекции:
1. Система комплексных чисел как расширение поля действительных
чисел.
2. Строение элементов поля комплексных чисел.
3. Существование системы комплексных чисел: построение вспомогательного
поля и
вложимость в него поля действительных чисел; построение поля комплексных чисел.
Литература: [1], [2], [3], [4], [5], [7].
Содержание СРСП:
Вопросы для обсуждения и самоконтроля
1. Как аксиоматически определяется система комплексных чисел?
2. Какие задачи должно было решить обобщение (расширение) понятия о действительном числе
до понятия о комплексном числе? Почему необходимо расширить множество действительных
чисел?
3. Строение элементов поля комплексных чисел.
4. Как доказать непротиворечивость системы комплексных чисел?
5. Как определяется умножение (деление) комплексных чисел? Можно ли ввести операцию
умножения комплексных чисел по другому?
6. Существуют ли другие модели комплексных чисел? Множество матриц какого вида,
изоморфно полю комплексных чисел?
7. 1) Какие числа называются комплексными? 2) В каком случае число а + bi будет
действительным, мнимым, чисто мнимым? 3) Можно ли число 5 назвать: а) комплексным, б)
мнимым, в) действительным, г) рациональным?
8. Какие числа называются двойными и какие - дуальными? В чем их отличие от комплексных
чисел?
9. Почему математики обходят вопрос об упорядоченности множества комплексных чисел и
рассматривают только те их отношения, которые выражаются символами = и ? Всегда ли можно
продолжить линейный порядок с поля на его алгебраическое расширение?
10. Какие существуют подходы к построению системы комплексных чисел?
Кредит час 22
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 11
ТЕМА : Система комплексных чисел.
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.6.11.1. Доказать теорему. Вспомогательная система (С0; , )
является полем, где
С0 = {(а, b) a, b R },
(1)
(а, b) = (с, d)  a = c, b = d,
(2)
(а, b)  (с, d)= (a+ с, b+ d),
(3)
(а, b)  (с, d)= (a· с - b· d+ b· c).
(4)
Упр.6.11.2. Показать вложимость системы действительных чисел в построенное
вспомогательное поле.
Упр. 6.11.3. Выполнить построение поля С.
Упр.6.11.4. Какие упорядоченные пары действительных чисел «моделируют» комплексные
числа 1 + i, - i , -28, (3 + 4· i)-1 ?
Содержание СРСП, СРС:
Упр.6.11.5. (решение квадратных уравнений в системе комплексных чисел). Решите квадратные
уравнения:,
1) х2-2·х + 2 = 0; 2) 9·x2-12·x + 7 = 0; 3) z2-(2 + i)·z + 2·i = 0;
4) x2+4·i·x + 12 = 0; 5) х2 - 8·i·x -15 = 0.
Упр.6.11.6. а) Какие упорядоченные пары действительных чисел «моделируют» комплексные
числа 2- i, -5 + i, -1-3i, 7i,5, (3-4·i)-1 ?
б) Почему при определении умножения комплексных чисел (см. выше формулу (4)) не
рассматривают покоординатное умножение пар?
Упр.6.11.7. Решите квадратные уравнения:
1) х2 +10·x + 50 = 0;
2) z2-(5 + 2·i)·z + 5 + 5·i = 0;
3) х +7·i·х -12 = 0.
Упр.6.11.8.Найдите алгебраические формы суммы, разности произведения и частного двух
комплексных чисел.
Неделя 12
Кредит час 23
ТЕМА: Поле комплексных чисел и его свойства.
ЛЕКЦИЯ № 12
Содержание лекции:
1. Алгебраические свойства системы комплексных чисел. Проблема упорядочения в системе
комплексных чисел.
2. Расширения числовых систем, связанные с решением уравнений и существование чисел,
похожих на комплексные числа.
3. Изоморфизм полей комплексных чисел.
Литература: [1], [2], [3], [4], [5], [7].
Содержание СРСП:
Вопросы для обсуждения и самоконтроля:
1. Можно ли дать наглядное истолкование свойствам корней из комплексного числа?
2. Алгебраические свойства комплексных чисел.
3. Проблема упорядочения в системе комплексных чисел.
4. Как записывается формула извлечения корня n- ой степени из комплексного числа?
5.Совпадает ли поле действительных чисел с полем алгебраических и комплексных чисел?
6. Какое поле называется полным? Привести примеры.
7. Какое поле называется алгебраически замкнутым?
8. Как геометрически изобразить комплексное число а + bi? Где на плоскости лежат точки,
изображающие: а) действительные числа, б) чисто мнимые числа?
9. Изобразить комплексное число 2 + 3i точкой плоскости. Где на той же плоскости
расположены точки, изображающие числа: - 2 – 3i ; - 2 + 3i;
2 – 3i ?
10. Каков геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа? Найти модули и
аргументы чисел: 1; i; -1; -i.
Кредит час 24
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №12
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.6.12.1. Доказать, что модуль комплексного числа обладает свойствами:
 х· у  =  х· у (1),
 х + у   x +  у  (2)
Упр.6.12.2. Доказать, что любое комплексное число можно записать в тригонометрической
форме.
Упр.6.12.3. Доказать, что при умножении любого конечного числа комплексных чисел модули
их перемножаются, а аргументы складываются, а при делении комплексных чисел модули их
делятся, а аргументы вычитаются.
Упр.6.12.4. Пусть z - комплексное и n - натуральное число. В поле комплексных чисел
имеет
при z = 0 единствен Упр.6.12.1. Доказать, что модуль комплексного числа обладает свойствами:
ное значение 0, а при z 0 имеет n значений. Если z = r · (cos + i · sin), то эти значения находятся
по формуле
zk =
· (cos
+ i· sin
),
k= 0,1,2,…, n- 1.
Содержание СРСП, СРС:
Упр.6.12.5. Докажите, что поле комплексных чисел изоморфно полю матриц вида
, a, b R.
Упр.6.12.6. Приведите примеры двойных и дуальных чисел. В чем их главное отличие от
комплексных чисел?
Упр.6.12.7. Доказать: 1) Система (К;+,·) есть либо поле комплексных чисел, либо кольцо
двойных чисел, либо кольцо дуальных чисел; 2) система (К; +, ·) есть коммутативное кольцо,
которое содержит поле действительных чисел
(R; +, · ) и элемент j R такой, что всякий элемент из K представим в виде
а + b· j, где а, b  R.
Упр. 6.12.8. Откуда взялось правило умножения пар чисел: (х1,у1)· (х2,у2)= (х1 · х2 - у1 · у2, х1· у2 +
х2 · у1) ? Какова геометрическая иллюстрация этого правила?
Неделя 13.
Кредит час 25
Раздел 7. Математическая индукция в числовых
системах
ТЕМА: Математическая индукция в числовых системах натуральных, целых и
рациональных чисел.
ЛЕКЦИЯ № 13.
Содержание лекции:
1. Особенности курса «Числовые системы». Исторические моменты, связанные с методом
математической индукции. Математическая индукция в системе натуральных чисел.
2. Математическая индукция в системе целых чисел.
3. Математическая индукция в системе рациональных чисел.
Литература: [1],[2], [3],[4], [7].
Содержание СРСП:
Вопросы для обсужденья и самоконтроля:
1. История развития метода математической индукции.
2. Как формулируется принцип полной математической индукции?
3.Почему аксиому индукции иногда называют аксиомой минимальности?
4. Принято утверждать, что аксиома индукции эквивалентна принципу наименьшего числа,
согласно которому в каждом непустом множестве натуральных чисел имеется наименьшее число, а)
В чем смысл этого утверждения? б) Относительно какой системы аксиом аксиома индукции
действительно эквивалентна принципу наименьшего числа?
5. С какими трудностями встречаются школьники, абитуриенты и студенты при изучении метода
математической индукции?
6. Как можно описать метод математической индукции, используя язык логики предикатов?
7. Утверждения какого вида можно доказать методом математической индукции?
8. Математическая индукция в системе натуральных чисел.
9. Математическая индукция в системе целых чисел.
10. Математическая индукция в системе рациональных чисел.
Кредит час 26
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №13
ТЕМА: Математическая индукция в числовых системах натуральных, целых и
рациональных чисел.
УПРАЖНЕНИЯ
Упр. 7.13. 1. Доказать, что в арифметике натуральных чисел законы счета не могут быть
доказаны без аксиомы индукции.
Упр.7.13.2. Доказать, что в арифметике натуральных чисел учение о неравенствах не может
быть развито без привлечения аксиомы индукции.
Упр.7.13.3. Доказать, что в арифметике натуральных чисел теорию делимости нельзя обосновать
без аксиомы индукции.
Упр.7.13.4. Доказать, что 1 не делится на 2 в N.
Содержание СРСП, СРС:
Упр. 7.13. 5. Доказать, что для любого п N а2n-1 + b2n-1 (a + b), где а и b- целые, причем а +
b 0.
Упр. 7.13.6. Доказать, что:
а) число 7n+1+82n-1 делится на 19 при любом натуральном n.
б) выражение 7n+82n-3 кратно 19 для всех натуральных чисел n 3.
Замечание 1.
Бывают случаи, когда утверждение, неверное для n = 1, 2, ..., p - 1 , справедливо для n = р. Если
затем из предположения о его истинности для
n= k > р можно доказать, что оно истинно и для n = k + 1 , то получаем, что данное выражение
истинно для всех п  р.
Замечание 2.
Учитывая замечание 1, принцип математической индукции формулируется следующим образом:
Пусть m - некоторое натуральное число. Утверждение Р(n), n N верно для всех натуральных
значений п  т, если выполняются два условия: 1) утверждение Р(n) справедливо при n = m; 2) для
всякого натурального k т из справедливости Р(k) следует справедливость Р(k+1) (см. упр.6 б)).
Отметим, что так как в этом случае предположение индукции имеет измененный вид
(предполагается, что доказываемое утверждение справедливо при п = k т ), то при значениях n <
m утверждение может быть как верным, так и неверным. Проведенное доказательство методом
математической индукции не дает оснований для утверждения о его справедливости для 1  n < т
(см. упр. 8).
Упр.7.13.7. а) Пусть дана последовательность (n) натуральных чисел. Найти формулу для
вычисления суммы первых n чисел:
S(n)=1+2 + ...+n.
б) Вычислите суммы: 2 + 4 + 6+...+ 2n; 1 + 3 + 5 + ... + (2n- 1).
Упр.7.13.8. Найти все п  N для которых справедливо неравенство
n
2 > 2· п2- 3· п + 1.
Неделя 14
Кредит час 27
ТЕМА: Математическая индукция в числовых системах действительных и комплексных
чисел.
ЛЕКЦИЯ № 14
Содержание лекции:
1. Математическая индукция в системе действительных чисел.
2. Математическая индукция в системе комплексных чисел.
Литература: [1], [2], [3], [4], [7].
Содержание СРСП:
Вопросы для обсуждения и самоконтроля:
1. Различные формулировки метода математической индукции.
2. Доказательство неравенств методом математической индукции.
3. Метод возвратной индукции.
4. Примеры индукции, недопустимой в математике.
5.Показать, что метод математической индукции позволяет в поисках общего закона испытывать
возникающие при этом гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные.
6. Метод математической индукции и комбинаторика.
7. Метод математической индукции в системе действительных чисел.
8. Метод математической индукции в системе комплексных чисел.
Кредит час 28.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №14
ТЕМА: Математическая индукция в числовых системах действительных и комплексных
чисел.
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.7.14.1. Доказать неравенство Бернулли:
(1+ х)n  1 + n· х
при всех натуральных значениях n и для всех х >-1.
Упр.7.14.2. Доказать, что
sin x+ sin 2x +…+ sin nx=
sin
.
Упр.7.14.3. Доказать, что среднее геометрическое нескольких положительных чисел не больше
их среднего арифметического, т.е. если

а1,а1,...,аn положительны, то
.
Упр.7.14.4. Доказать, что при любом натуральном n
(1+ i)n=
· (cos
+ i· sin
).
Содержание СРСП, СРС:
Упр.7.14.5. Доказать , что при любом натуральном n
(cos x+ i· sin x)n = cos nx+ i· sin пх.
Упр.7.14. 6. Доказать , что при любом натуральном n
+ cos x+ cos 2x+…+cos nx=
.
Неделя 15
Кредит час 29
ТЕМА: Математическая индукция в школьном курсе математики.
ЛЕКЦИЯ № 14
Содержание лекции:
1. Математическая индукция в школьном курсе математики.
Литература: [1], [2], [3], [4], [7].
Содержание СРСП:
Вопросы для обсуждения и самоконтроля:
1. Метод математической индукции в школьном курсе алгебры.
2. Метод математической индукции в школьном курсе геометрии.
Кредит час 30.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №15
ТЕМА: Математическая индукция в школьном курсе математики
УПРАЖНЕНИЯ
Упр.7.14.7. Доказать , что при любом натуральном n
= 2n· (cos - i· sin ).
Упр.7.14.8. Доказать теорему. Каковы бы ни были числа а и b и каково бы ни было натуральное
число п, имеет место формула
(а + b)n =аn+
·аn-1· b + ... +
· an-s· bs +... +
· a· bn-1 + bn
Содержание СРСП, СРС:
Выполнение контрольной работы.
Список рекомендуемой литературы
Основная литература:
[1] Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа- М.:Наука, 1973.-144с.
[2] Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей в 2-х томах т.1.
Арифметика. Алгебра. Анализ.-М.:Наука, 1987.- 432 с.
[3] Ларин С.В. Числовые системы: Учеб. Пособие для студ. Пед.вузов.-М.: Издательский
центр «Академия» 2001.-160 с.
[4] Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Ч.1. Числа: Учеб. Пособие для
студентов физ.-мат. фак-ов пед.инсти-тов.- М. :Просвещение, 1974. - 383 с.
[5] Нечаев В.И. Числовые системы: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. фак.- ов
пед.инстит-тов.-М.: Просвещение, 1975.-200с.
Дополнительная литература:
[6] Нечаев В.И. Упорядоченные множества и упорядоченные алгебры с одной и двумя
бинарными операциями- Математика в школе- 1973 №5 с. 4-13.
[7] Проскуряков И.В. Числа и многочлены. Изд. 2-е – М.: Просвещение, 1965.- 284с.
[8] Современные основы школьного курса математики% Пособие для студентов пед.
Институтов- Н.Я. Виленкин, К.И. Дуничев и др. -. М.: Просвещение, 1980.- 240 с.
[9] Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. Изд 2-е – М.: Наука, 1973.
[10] Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.- 1979.
[11] Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. и др. Сборник задач по высшей математике. М.- 2004.
[12] Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974.
[12] Семенов В.И. Об искусстве индуктивного предположения- Математика в школе- 1994
№2 с. 21
3. График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
№
Виды работ
1.
Контрольная
работа 1
Контрольная
работа 2
2
Продолжительность Форма
Сроки Максимальные Штрафные
выполнения
контроля сдачи баллы
баллы
Кредит час
Письменно 6
10
неделя
Кредит час
Письменно 14
10
неделя
3
Коллоквиум 1
2 недели
4
Коллоквиум 2
2 недели
Устный
опрос
Устный
опрос
7
неделя
15
неделя
5
0
5
0
4. КАРТА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ОБЕСПЕЧЕННОСТИ
Карта обеспеченности дисциплины литературой
Кафедра _физики и математики______тьютор _Орлова Л.Г.
Дисциплина _Числовые системы________________
Количество кредитов_2
№
п/
п
Наименование литературы
1
1
2
Куликов Л.Я. Алгебра и теория
чисел. М. 1979.
Курош А.Г. Курс высшей
алгебры. М. 1966.
Сканави М.И. Сб. конкурсных
задач по математике для
поступающих в ВУЗы. Учебное
пособие. М. Высшая школа. 1977.
Фадеев Д.К., Соминский И.С.
Сборник задач по линейной
алгебре. М. Наука. 1974.
Лельчук М.П. и др. Практические
занятия по алгебре и теории
чисел. М.1986.
Винберг Э.Б. Алгебра
многочленов. МГЗПИ. 1980.
Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я Высшая
математика в упражнениях и
задачах. Ч. 1, 2. М. 2003.
Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. и
др. Сборник задач по высшей
математике. М. 2004.
Кострикин А.И. Введение в
алгебру. М. 1969
Проскуряков И.В. Сборник задач
по линейной алгебре. М. 1974
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Наличие
В
библиоте
ке
на
кафед
ре
3
15
Примечани
я
Электрон
ная версия
4
3
обеспеченно
сти
студентов
(%)
5
1,3
18
3
1,5
-
8
2
0,7
-
8
2
0,7
-
10
-
0,7
-
1
6
-
7
-
10
5
1
-
-
3
0,2
-
5
3
0,6
-
8
1
0,6
-
5. Лекционный комплекс
Концепция построения курса «Числовые системы» на основе понятия содержательнометодической линии числа
Понятие содержательно-методической линии возникло в учебно-методической литературе как
итог длительного поиска, направленного на выделение специфической категории, при помощи
которой можно было бы производить изучение методических особенностей содержания учебных
дисциплин и конструировать их определенным образом.
Ценность понятия содержательной линии мы видим в том, что с её помощью, можно выделить
отдельные, наиболее важные в идейном плане, стороны содержания обучения, проследить за
формированием групп связанных понятий курса «Числовые системы» и школьного курса
математики.
Привлечение понятия содержательной линии обусловлено тем, что именно вдоль них
организованно содержание учебного предмета. С другой стороны, каждая из линий,
характеризуется специфическим спектром математических понятий и теорий, привлекаемых к её
обоснованию. В отношении взаимосвязи школьного курса математики с курсом «Числовые системы», как областью научного знания, содержательные линии выполняют роль промежуточного
звена.
Согласно учебным стандартам Казахстана, содержание действующего школьного курса
математики группируется вокруг нескольких стержневых линий: 1. Числа и вычисления. 2.
Выражения и их преобразования. 3. Уравнения. 4. Функции. 5. Геометрические фигуры. Измерение
геометрических величин. Этот состав линий отражает длительный опыт обучения математике в
средней школе и в настоящее время практически полностью соответствует мировой практике.
Вопрос о выделении содержательных линий математических курсов высшей школы остается
пока открытым. В настоящее время предложено выделить пять основных содержательнометодических линий курса «Алгебра и теория чисел»: алгебраической системы; операционной
системы; морфизмов; логическую и прикладную. При этом школьная линия числовой системы
содержится в линии алгебраической системы, а линия уравнений, тождественных преобразований,
приближенных вычислений и алгоритмическая содержатся в линии операционной системы.
Отмечается также, что линия морфизмов связана со многими понятиями курса алгебры и теории
чисел.
Содержание курса «Числовые системы» и его место в системе предметно-методической
подготовки будущего учителя математики определяется значимостью и особенностями
фундаментальных понятий числа, числовой системы, операций и отношений, которые изучаются в
данном курсе. Названные понятия являются сквозными при переходе от одной числовой системы к
другой - расширенной.
Под содержательной линией курса «Числовые системы» мы понимаем линии: натурального,
целого, рационального, действительного, комплексного числа и соответствующие им числовые
системы.
С отдельными вопросами содержательной линии натуральных чисел учащиеся знакомятся ещё в
начальной школе. В курсе математики 5-6 классов осваиваются некоторые элементы
содержательной линии целых и рациональных чисел. В курсе алгебры 7-9 классов учащиеся
расширяют сведения о числе до понятия действительного числа. В курсе алгебры и начал анализа в
10-11 классах общеобразовательной школы учащиеся не получают новых сведений о расширении
понятия числа. В классах с углубленным изучением математики или на факультативных занятиях
учащиеся знакомятся с отдельными вопросами линий действительного и комплексного числа.
Содержательная линия натуральных чисел
Предметно- значимые знания. Знать: Предметно- значимые умения. Уметь:
Определение множества натуральных Доказывать независимость аксиом Пеано и
чисел с помощью аксиом Пеано
выводить простейшие следствия из аксиом
Пеано.
Определение операций сложения и Доказывать: существование и единственность
умножения с помощью отношения
“ операций сложения и умножения; основные
непосредственно следовать за”.
свойства
сложения (ассоциативность,
Основные
свойства
операций: коммутативность, сократимость);
ассоциативность,
коммутативность, Основные
свойства
умножения
сократимость,
дистрибутивность (дистрибутивность,
ассоциативность,
умножения относительно сложения.
коммутативность).
Определение системы натуральных Показать
роль
аксиомы
индукции
в
чисел и модель системы натуральных обосновании теории неравенств, теории
чисел, в которой не выполняются делимости и свойств арифметических действий.
законы счета.
Определение отношения “меньше”
(“больше”, “меньше или равно”,
“больше или равно”) для натуральных
чисел; линейно упорядоченного и
вполне упорядоченного множества;
полукольца
натуральных
чисел.
Аксиому Архимеда. Определение нуля
(единицы).
Свойства
отношения
порядка. Теорему Цермело.
Определение конечного (бесконечного)
множества.
Одноименные системы натуральных
чисел.
Определение вычитания и деления
натуральных чисел.
Аксиоматику множества N, основанную
на сложении.
Доказывать, что система (N,) является линейно
и вполне упорядоченным множеством; свойства
неравенств;
монотонность
сложения
и
умножения натуральных чисел; дискретность
N;
основные
свойства
упорядоченного
полукольца натуральных чисел(неравенства
одинакового
смысла
можно
почленно
перемножать и складывать, сократимость
умножения, выполнение аксиомы Архимеда).
Доказывать
бесконечность
множества
натуральных чисел, простых чисел.
Доказывать изоморфизм одноименных систем
натуральных чисел.
Доказывать теорему о делении с остатком;
невозможность деления на нуль.
Доказывать
эквивалентность
аксиоматики
множества N, основанной на сложении
аксиоматике Пеано.
Определение
категоричности
и Доказывать
категоричность
и
непротиворечивости аксиоматической непротиворечивость аксиоматической теории
теории натуральных чисел.
натуральных чисел.
Содержательная линия целых чисел
Предметно - значимые
знания. Знать:
Предметно - значимые умения. Уметь:
Определение системы целых чисел как
кольца и как расширение полукольца
натуральных чисел.
Теорему о строении элементов кольца
целых чисел.
Основные свойства системы целых чисел
(свойства колец, области целостности,
свойства упорядоченного кольца целых
чисел).
Теорему о делении с остатком во
множестве целых чисел.
Понятие десятичной записи числа а,
числа – а.
Доказывать: что всякое целое есть разность
натуральных чисел; основные свойства колец;
коммутативность умножения целых чисел; что
множества N, {0},
- N
попарно не
пересекаются; квадрат любого целого числа,
отличного от нуля, есть число натуральное; что
если произведение двух целых чисел равно нулю,
то хотя бы один из сомножителей равен нулю;
что всякое целое число имеет единственную
десятичную запись.
Схему построения кольца целых чисел.
Понятие
расположенного
Аксиому Архимеда в Z.
Понятие
категоричности
аксиом, изоморфизма колец.
Построить кольцо целых чисел, исходя из
множества натуральных чисел.
кольца. Доказывать
расположенность
кольца
Ъ\
выполнимость аксиомы Архимеда в Ъ.
системы Доказывать категоричность аксиоматической
теории целых чисел.
Содержательная линия рациональных чисел
Предметно - значимые
знания. Знать:
Определение системы рациональных
чисел как поля и как расширение кольца
целых чисел. Теорему о строении
элементов поля рациональных чисел.
Свойства
рациональных
чисел
и
отношения порядка.
Схему построения поля рациональных
чисел.
Понятие
категоричности
системы,
изоморфизма полей.
Понятие расположенного поля. Аксиому
Архимеда в Q.
Свойства,
эквивалентные
аксиоме
Архимеда в упорядоченном поле.
Аксиому Кантора в линейно упорядоченном множестве.
Определение плотного и счетного
множества.
Определение понятий фундаментальной
и сходящейся последовательности.
Предметно - значимые умения.
Уметь:
Доказывать, что всякое рациональное число есть
частное целых чисел; свойства отношения
порядка; что поле рациональных чисел можно
линейно и строго упорядочить; выполнимость
аксиомы Архимеда; что система рациональных
чисел является областью целостности.
Построить поле рациональных чисел, исходя из
множества целых чисел.
Доказывать категоричность аксиоматической
теории рациональных чисел.
Доказывать
расположенность
поля
Q;
выполнимость аксиомы Архимеда в Q.
Доказывать свойства, эквивалентные аксиоме
Архимеда.
Доказывать невыполнимость аксиомы Кантора в
Q.
Доказывать плотность и счетность множества
рациональных чисел.
Приводить
примеры
фундаментальных
и
сходящихся последовательностей; доказывать их
свойства.
Содержательная линия действительных чисел
Предметно- значимые знания. Знать: Предметно-значимые умения. Уметь:
Определение R как упорядоченного
поля; с помощью фундаментальной
последовательности и как расширение
системы Q.
Схему построения модели действительных чисел.
Понятие
категоричности
системы
аксиом, изоморфизма полей.
Определение минимального, полного и
максимального,
архимедовски
упорядоченного поля.
Понятие корня в области R; степени с
натуральным,
рациональным и
действительным
показателем;
логарифма.
Необходимость
расширения множества R
Определение иррационального числа и
способы доказательства.
Доказывать теорему о строении элементов поля R
- всякое действительное число есть предел
последовательности рациональных чисел.
Построить поле действительных чисел, исходя из
множества Q.
Доказывать категоричность аксиоматической
теории действительных чисел.
Доказывать
минимальность,
полноту,
максимальность,
архимедовость
и
упорядоченность поля действительных чисел.
Доказывать: что рациональных чисел недостаточно для извлечения корней из положительных рациональных чисел; теорему об
«извлечении» корня; свойства степеней и
логарифмов
Доказывать иррациональность числа различными
способами.
Содержательная линия комплексных чисел
Предметно- значимые знания. Знать: Предметно-значимые умения Уметь:
Определение системы
ширение системы R.
C
как
рас- Доказывать теорему о строении элементов поля
комплексных чисел.
Схему построения поля комплексных
чисел.
Понятие
категоричности
системы
аксиом, изоморфизма полей.
Определение модуля комплексного
числа; алгебраической замкнутости
поля; свойства модуля.
Понятие корня в области C; алгебраической и тригонометрической
формы комплексного числа.
Определение
порядка,
свойства
отношения порядка.
Определение двойных и дуальных
чисел и в чем их отличие от комплексных чисел.
Построить поле комплексных чисел, исходя
из множества R.
Доказывать категоричность аксиоматической
теории.
Доказывать алгебраическую замкнутость поля
комплексных чисел и свойства модуля
комплексного числа.
Доказывать теорему об «извлечении» корня
квадратного и корня n-ой степени из
комплексного числа.
Показывать, что поле C нельзя превратить в
упорядоченное поле.
Свести
числовую
систему
к
системе
комплексных, двойных или дуальных чисел.
Метод математической индукции в числовых системах
Предметно - значимые знания. Знать: Предметно - значимые умения. Уметь:
Система натуральных чисел
Принцип
индукции.
полной
математической Доказывать принцип полной математической
индукции.
Доказывать равенства и неравенства, кратность
Схему
доказательства
методом чисел методом математической индукции.
математической индукции.
Выдвигать гипотезы и проверять их.
Запись аксиомы индукции
тематических символах.
в
ма- Доказывать
эквивалентность
аксиомы
индукции и теоремы о наименьшее элементе.
Усиленный
принцип
полной
математической индукции.
Обобщенный
принцип
полной
математической индукции.
Обобщенный
усиленный
принцип
полной математической индукции.
Доказывать
усиленный
принцип
полной
математической индукции.
Доказывать обобщенный принцип
полной
математической индукции.
Доказывать обобщенный усиленный принцип
полной математической индукции.
Система целых чисел
Различные формы односторонней и
двусторонней индукции.
Схему
доказательства
методом
математической индукции.
Доказывать различные формы односторонней или
двусторонней индукции.
Доказывать равенства и неравенства, кратность
чисел методом математической индукции.
Система рациональных чисел
Суть
доказательства
методом Доказывать
равенства,
неравенства
и
математической индукции. Различные утверждения, связанные с последовательностями
формы индукции.
рациональных чисел методом математической
индукции. Выдвигать гипотезу при нахождении
суммы рациональных чисел и проверять ее.
Система действительных чисел
Свойства неравенств; понятие последовательности
Фибоначчи;
прогрессии
арифметической
и
геометрической; метод возвратной
индукции.
Доказывать
равенства,
неравенства
и
утверждения, связанные с последовательностями
действительных чисел методом математической
индукции. Выводить с помощью математической
индукции формулы для сумм членов арифметической и геометрической прогрессий.
Неравенство Бернулли.
Доказывать неравенство Бернулли.
Определение среднего геометрического Доказывать,
что
среднее
геометрическое
и среднего арифметического.
нескольких положительных чисел не больше их
среднего арифметического.
Система комплексных чисел
Понятие
тригонометрической формы Доказывать равенства комплексных чисел
комплексного числа.
методом математической индукции.
6. Планы практических занятий
УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ:
ЗАНЯТИЕ №1
Упр.1.1.1. Решение 1)
= {(n, n +1)| п N}, т.е. - множество пар (n, n+ 1) где n - натуральное
число. Легко видеть, что
= {(1,2),(2,3),(3,4),...} 
. Поэтому
бинарное отношение, заданное
во множестве N. Заметим, что a, b  N (a, b)
 b= a + 1. Другими словами, каковы бы ни
были натуральные числа а и b , пара (а, b) принадлежит множеству
тогда и только тогда, когда b
= а +1.
Итак, отношение «непосредственно следует за» - бинарное отношение в N. 2) 2 ={(п + т,п) |п,т
 N; 3) 3 ={(п ·т, п)| n, m N};
4) 4 = {(n + m, n, m)| n, m  N; 5)
= {(m) | ( mN, m - простое число.
Упр.1.12. 1)
; 2)
; 3) m≤ n ; 4) т≥ п ; 5) m = n.
Упр. 1.1.3. 1) да (нет); 2) нет (да); 3) да, да, нет; 4) нет, нет, да, да.
Упр. 1.1.4.  -не рефлексивно, не антирефлексивно, симметрично, не антисимметрично, не
транзитивно, не связно.
Упр.1.1.6. 1) не рефлексивно, не симметрично, не транзитивно. Антирефлексивно и
антисимметрично; 2) не рефлексивно, не симметрично. Антисимметрично, транзитивно,
антирефлексивно; 3) рефлексивно, не симметрично, антисимметрично, транзитивно,
антирефлексивно, не связно.
Упр.1.1.7. а) да; б) нет (относительно умножения).
Упр.1.1.8. 1) Например отображение: 1) у :
[0,1], у(х) = хг сюръекция, но не биекция;
2)
у: [0, ]  [0, ], у(х) =
инъекция, но не сюръекция; 3) у : [-1,1][0,1], у(х) = х2 сюръекция,
но не инъекция; 4) у: [0,1][0,1], у(х) = х2 является биекцией.
ЗАНЯТИЕ №2
Упр.1.2.1. Не является.
Упр.1.2.2. N и А; каждая из систем N и А не изоморфна В.
Упр.1.2.3. б) Отображение 2· Z  3· Z, где (2· k)=3· k, является биекцией между множеством
четных чисел и множеством чисел, кратных трем. Действительно, 2k ≠ 2 влечет k≠, отсюда Зk ≠
З, т.е. отображение инъективно. Любое целое число вида Зk имеет прообраз а именно 2k.
Отображение, являющееся одновременно инъекцией и сюръекцией, биективно. Отображение f
сохраняет операцию: если f: 2k  Зk и f:2  З, то f:2·(к + р)3·(к + р).
Упр.1.2.4. 1) и 2).
Упр.1.2.6. Рассмотреть отображение  множества Z на множество К, которое определить
следующим образом:
-1, если а<0,
(a)=
0, если а = 0,
1, если а>0/
Доказать, что  -гомоморфизм
Упр.1.2.7. Решение. Покажем сначала, что системы (N; • ) и ( ; •) не изоморфны.
Предположим противное, т.е. что существует взаимно однозначное отображение f множества N на
сохраняющее умножение.
Пусть f(1)= a
. Тогда а2 =а·а = f(1)· f(1)= f(1·1)= f(1)= a. Но равенство а2 =а означает, что а =
1, а 1
. Полученное противоречие доказывает, что данные системы неизоморфны. Точно также
доказывается, что системы ( ; ·) и ( ; ·) неизоморфны.
Покажем теперь, что системы (N; •) и ( ; ·) изоморфны.
Для построения изоморфизма воспользуемся основной теоремой арифметики, утверждающей,
что любое натуральное число n>1 можно единственным образом представить в виде п =
·
, где
рк - возрастающая последовательность простых чисел.
Определим отображение f множества N на множество
, отдельно для 1, простых чисел и
составных чисел. Положим f(1)= 1 и если р— простое, а р'- следующее за р простое число, то
f(р)= р' (f(2)=3, f(3)=5 ит.д.). Наконец для составного числа п примем:
f(n)=f
· f
·…· f
·...·
(f(4)= f
=9; f(36)= f
·f
).
Ясно, что образами натуральных чисел будут нечетные числа, разные числа имеют разные
образы, а каждое нечетное число является образом некоторого натурального числа (скажем, число
52· 174 есть образ числа З2·
). Следовательно, отображение f взаимнооднозначно. Очевидно, что
это отображение сохраняет операцию умножения. Поэтому оно является изоморфизмом.
У пр. 1.2.8. 1) Так как 0≠1, то имеет место одно из двух утверждений 0 < 1 или 1 < 0. Покажем,
что предположение 1 < 0 ведет к противоречию. Действительно, если 1 < 0, то, добавляя к обеим
частям этого неравенства -1 и (используя свойство а< b а + с< b + с ) получаем
0<-1.
Теперь
(основываясь
на
свойстве а<b и 0<с  а· с<b· с) умножим обе части этого
неравенства на -1 и получим неравенство 0<(-1)·(-1), т.е. 0<1.Это противоречит предположению о
том, что 1 < 0. Следовательно, это предположение неверно и, значит, 0 < 1.
2) Пусть а > 0. Для элемента поля
имеет место одно из трех утверждений:
> 0. Покажем, что предположения
Действительно, если
=0 и
=0 и
< 0 или
< 0 ведут к противоречию.
= 0 , то умножив обе части этого равенства на а , получим 1 = 0, что
противоречит определению поля.
Если
< 0, то умножив на а обе части этого неравенства, получим
1 < 0, что противоречит
доказанному в пункте 1). Следовательно, > 0.
3) Так как а < b, то добавив к обеим частям неравенства - а, получим 0 < b -а . Поскольку а > 0
и b > 0, то по доказанному в п.2) имеем
неравенства на
> 0 получаем
>0и
> 0.
После умножения обеих частей первого
>0. Теперь умножим обе части неравенства b- а > 0 на
Получаем (b – а)·
> 0. Так как
этого неравенства
получим > . ч.т.д..
= (b –а)·
то
>0. Добавив к обеим частям
ЗАНЯТИЕ №3
Упр.2.3.1. а) Следствие 1. Всякое натуральное число п≠1 непосредственно следует за некоторым
натуральным числом.
Следствие 2. Для любых т, п  N если т ≠ п, то т'≠ п'.
Следствие 3. Для любых т, n  N выполняется неравенство т + п ≠п.
Следствие 4. Для любых п  N п' ≠п. Следует из следствия 3.
Следствие 5. Множество N бесконечно.
Доказательство. Из аксиом
- Р3 следует, что отношение «штрих» («следовать за») задает
биекцию (взаимно однозначное отображение) множества N на N\{1}, f(а)=а', т.е. множество N
равномощно своей
правильной части N \ {1}, , а такие множества называются бесконечными.
Упр.2.3.3. Докажем первое свойство сложения
а,b , c N (а + b)+с = а + (b + с) .
Доказательство проведем индукцией по с при произвольно выбранных а и b. Пусть М={c N| (а
+b) + с = а + (b + с)} (*).
Проверим выполнимость условия А) аксиомы индукции: 1  М. При с = 1 имеем:
(*)
(а + b) + 1 = (а + b)' = а + b' = а + (b + 1) 1  М.
Условие А) выполнено.
Проверим выполнимость условия Б) аксиомы индукции: с М с'М. Пусть с М. Это
значит (см. (*)), что
(а + b) + с = а + (b + с) - индуктивное предположение
(И.п.).
Докажем, что (а + b )+с' = а + (b + с'). Имеем
И.п
(а + b ) + с' = ((а + b )+с )' = (а + (b + с))' =
(*)
= a+ (b + с)' = а + (b + с')  с' М
Условие Б) выполнено.
По аксиоме индукции Р4 , множество М = N, т.е. для любых а, b и с натуральных, сложение
ассоциативно. Ч.т.д.
ЗАНЯТИЕ №4
Упр.2.4.1.
1 шаг. Доказать индукцией по d существование по крайней мере одного из соотношений при
произвольно зафиксированном с.
2 шаг. Доказать, что не могут выполняться сразу два из соотношений 1), 2, иЗ).
Проведем доказательство 1 шага. Пусть М (см. ниже (*)) - произвольное подмножество N.
1) k  N d= c+ k,
M= d N
2)
c=d,
(*)
3) mN
c= d+m
Проверим выполнимость условий А) и Б) из аксиомы Р4. А)1 М?
Пусть d= 1. Если с = 1 , то (см. (*)) имеет место соотношение 2)
c= d.
Если с≠1,то, (объяснить почему) существует m N такое, что с = т'. Отсюда с = m+1 = 1+ m, т.е.
для с и d=1 имеет место соотношение 3) с = 1 + m. Следовательно, условие А) выполнено.
Б) d М  d' М ? Предположим, что для с и d имеет место одно из соотношений 1), 2) или3),
т.е.пусть d М;
1) k  N d= c+ k,
2)
c=d,
3) mN
c= d+m
индуктивное предположение (И.п.).
Докажем, что для с и d' имеет место одно из соотношений
указанного типа, т.е. докажем, что d' М:
1) k  N d= c+ k,
2)
c=d,
3) mN
c= d+m.
Если d = с + к (почему?), то получаем:
d' = (с + k)' =с + k' t N, t=k' d' =с+ t,
т.е. для с и d' имеет место соотношение типа 1).
Если с = d, то с' = d' = d +1, d' = с +1, т.е. получаем соотношение типа 1).
Если с = d+ m , то при m = 1 получаем с = d +1 = d' - соотношение типа 2), а при m≠1, по первому
следствию из аксиом Пеано существует натуральное число k такое, что т = k' и мы получаем
(объясните все переходы):
с = d + т = d + k' = d + (k +1) = d + (1 + k)=(d +1) + k = d' + к, с =d'+k, k N- соотношение
типа 3) для с и d' .
Проведем доказательство 2 шага. Предположим, например, что одновременно имеют место
соотношения 1) и 3).
1)
3)
Тогда d = с + k = (d+ m)+k = d + (m+ k),
т.е. d= d+ (m+ k)- противоречие (чему?). Аналогично рассматриваются остальные
случаи. Ч.т.д.
ЗАНЯТИЕ №5
Упр.3.5.1. Доказательство. I. Алгебраичность операций (5) и (6) очевидна, т.е.  , 
 ,

 =  ,  = .
II. Выполнимость аксиом кольца.
1.  - коммутативно (очевидно); 2.  - ассоциативно (очевидно);
3.  - обратимо. Для этого достаточно доказать существование нуля и противоположного
элемента.
а) Нулевым элементом в
является класс [0] = [(n, п)], где п  N, так как для любого класса
[(а, b)
имеем:
[(а, b)]  [0] = [(а, b)]  [(n, n)] = [(а + п, b + п)] = [(а, b)].
Итак,  [0]

а [0]=.
б)Покажем, что  
-   ,   (-)=[о]
   = [(а, b)] а, b  N   - 
- = [(b, а)]
а  (-) = [(а, b)]  [(b, а)] =[(а + b, b + а)] = [(n, n)] = [0].
Условия (а) и (б) означают, что  обратимо в
. Система ( , ) является коммутативной
группой.
4. Умножение ассоциативно очевидно. 5. Умножение дистрибутивно по сложению. 6.
Умножение коммутативно. 7. Покажем существование единицы в
. Положим [1]=[(e + 1,e)], e 
N и при этом  
 [1] = .
   [1]= [(a, b)][(e + 1, e)] =
= [(a · e + b · e + а, а · e + b · е + b)] =[(а, b)] = а.
Итак, мы доказали, что
коммутативно-ассоциативное кольцо с единицей.
Упр.3.5.4. Примем обозначения [(а + k, а)]=k. Каждый класс, содержащий пару вида (а + k, а)
назовем классом первого рода или натуральным классом. Этот класс полностью характеризуется
числом k, избытком первых элементов пары над вторыми. Пусть
= { | k  N }(7). Докажем, что
, )  (N; +, ·).
(
Доказательство. Пусть f( )=k (8) для любого k  N. Нетрудно видеть, что соответствие (8)
взаимнооднозначное отображение
 N k= f(). Действительно:

 (см. (7))  k  N =
на N. Покажем, что f есть отображение
(см.(8))
,
в N, т.е.  
 k
и
 k N k = f( )=f()
=  в
, =  =  [(a+ k, a)]= [(b+ l, b)]
a+ k+ b= a+ b+ l k= l f()= f()
т.е. f :  N. Совершенно аналогично доказывается, что
Проверим аддитивность отображения f.
Пусть =
Тогда
и =
из
.
f()= f(  )=f([(a+ k, a)][(b+ l, b)])=
f:
N - инъекция и сюръекция.
=f([(a+ k+ b+ l, a+ b)])= f([k+ l])= k+ l= f()+ ()
т.е. отображение f сохраняет сложение.
Аналогично доказывается мультипликативность, т.е. действительно
f- изоморфизм на N ч.т.д.
ЗАНЯТИЕ № 6
Упр.3.6.3. Доказательство проведем от противного. Пусть существуют а, b  N такие, что 2 · а =
2 · b +1. Воспользуемся методом полной индукции. 1) а = b 2· а = 2· а + 1 (2· а) =(2а) противоречие, такого быть не может.
2)а>b а = b + k, k  N 2· а = 2· (b +к) = 2·b + 2·k 
 2b + 2k = 2b + 1 2к = 1- такого быть не может.
3) b> а быть не может, доказывается аналогично. Ч.т.д.
Упр.3.6.4. Доказательство проведем от противного.
Предположим, что существует какое-нибудь целое число, представимое разностью двух
натуральных чисел: хZ , х = k- l, k, l N.
Тогда имеем: 2· x = 2· (k- l)=1 2· k - 2· l = 12· k = 2· l + 1. А для натуральных чисел k и l
известно, что 2· k 2· l +1. Так как мы получили противоречие, то наше предположение неверно. И,
следовательно, уравнение 2· х = 1 не имеет решения в Z. Ч.т.д.
ЗАНЯТИЕ 7
Упр.4.7.1. Проведем доказательство.
I. Алгебраичность операций (5) и (6) - очевидна, т.е.
 , 
! , 
=   ,
=   .
II. Выполнимость аксиом поля.
1.  - коммутативно, т.е.
 , 
  =   .
Действительно,
  = [(a,b)]  [(c,d)]= [(a· d+ b· c, b· d)];
  = [(c,d)]  [(a,b)]= [(c· b+ a· d, d· b)]
2.  -ассоциативно (доказывается аналогично).
3.  - обратимо.
Для этого достаточно доказать существование нуля и противоположного элемента.
а) Нулевым элементом
в
Q0
является
класс
[0]= {(0,b) b 0, b  Z}, так как для любого класса [(a,b)]  Q0 имеем:
  [0]= [(a,b)]  [0]= [(a,b)]  [(0, b)]= [(a+ 0, b)]= [(a,b)]= .
Итак,
 [0]

  [0]= 
б) Покажем, что   Q0  - Q0   (-) =[0]

 = [(a,b)], a,b  Z, b 0  - Z, b Z, b 0
  -
-= [(-a,b)]
  (-)= [(a,b)]  [(-a,b)]= [(a+ (-a), b)]= [(a,b)]= [0].
Условия (а) и (б) означают, что  обратимо в
.
Система (Q0, ) является коммутативной группой.
4-5. Умножение коммутативно и ассоциативно. Очевидно.
6. Умножение дистрибутивно по сложению. Очевидно.
7. Покажем существование единицы в
Положим [1] = [(n,n)], п Z, n 0 и при этом 
  [1]= .
 Q0    [1] = [(a,b)]  [(т,n)] = [(a· n, b· n)] = [(а,b)]=.
Итак, мы доказали, что Q0 коммутативно-ассоциативное кольцо с единицей.
8.   Q0 \ [0] 

=[1].
 Q \ [0] = [(a,b)], a 0, b 0 

= [(b,a)],

= [(a,b)]  [(b,a)]= [(a· b, b· a)]= [(n,n)] = [1] .
Итак, мы доказали, что
- поле.
Упр.4.7.4. Доказательство.
Сначала найдем в поле
, множество, изоморфное кольцу целых чисел Z.
Z

= [(k· c, c)]
k
Рис.3
Дадим определение целого класса.
Определение. Класс, содержащий пару вида (b, с), где b делится на с, т.е. b= с· k = k , назовем
классом второго рода или целым классом.
Справедлива лемма.
Если пара (k · с, с) принадлежит классу , т.е. (k · с, с) , где b = k· с делится на с, то для любой
пары (m, n), принадлежащей классу , m делится на n, т.е. если в классе содержится пара, у которой
первый элемент делится на второй, то все пары этого класса имеют первый элемент, который
делится на второй.
Доказательство леммы.
Пусть (b,c)   и (т, n)  , причем b= k· с. Тогда имеем:
(b,с)  (т,п), b = k· с  b· п = с· т, b = k· c
 k· с· п = с · т т = k· п т п. ч.т.д.
Таким образом, каждый целый класс полностью характеризуется целым числом k - частным от
деления первого элемента пары на второй.
Примем обозначение
[(с· к, с)]= [k] и пусть
={[k]| k  Z }.
(7)
Докажем, что кольцо (Z;+,·) вложимо в поле (Q0,, ).
Каждому классу из Z0 поставим в соответствие число k такое, что пара
(k· с, с) принадлежит этому классу , т.е. f ([(k· с,)]) = k. (8)
Нетрудно видеть, что отображение (8) биективно и сохраняет операции сложения и умножения.
Следовательно (Z0 ,,)  (Z; +, ·). Ч.т.д.
ЗАНЯТИЕ 8
Упр.4.8.1. Решения.
1)- 3). Правила для операции сложения, вычитания, умножения и деления над дробями можно
вывести из аксиом поля.
Например, пусть q1 = , q2= , b 0, d 0.
Тогда q1·q2 = ·
4)
=
= (a· b-1) · (с·
=
=
.
, так как a· (b· s)= b· (a· s).
Следовательно, каждое число q=
q= =
= (a · c) ·
=…
неоднозначно представляется частным двух целых чисел:
s 0, t 0, … ч.т.д.
Упр.4.8.4. Решение. Пусть х и у -рациональные числа.
Тогда у- х =qQ .Выразим х через q : у- х=
= q+ x;
+ x+ 3=
+2qx+
- x= q;
; x=
; q ;
q - произвольное рациональное число.
Итак, у, при таких х, является рациональным числом.
ЗАНЯТИЕ №9
Упр.5.9.2. Вспомним определение расположенного поля. Поле Р называется расположенным,
если для его элементов определено свойство «быть положительным», удовлетворяющее
следующим требованиям:
IX. Для любого элемента а  Р имеет место одно и только одно из трех соотношений а = 0, а >
0, -а > 0.
X. Если а и b положительны, то а + b и а · b также положительны.
Надо показать, что для любого класса  имеет место один и только один из трех случаев: > 0,
-  > 0,  = 0 .
Пусть ни , ни -  не положительны.
Берем последовательность (ап) класса  и рациональное число >0. В силу фундаментальности
последовательности (an) существует п0 такое, что
 ар – аq  < при любых р> п0, q> п0.
Так как класс  не положителен, то существует r > п0 такое, что
 . Так как класс - не положителен и содержит последовательность
(- ап), то существует s> п0
такое, что –аs
. Тогда при любом п >n
0
будет выполняться
одновременно:
=
+ ( – аr) аr +  ап – аr  <
| + (-аs) < .
Поэтому аn  <
=( ) – аs  | аs при любом п> п0, т.е.
= 0, откуда  = [0].
Итак, один из трех указанных выше случаев обязательно имеет место. Если класс 
положителен, то существует рациональное число а > 0 и n0 такие, что ап> а, -ап < -а при любом п>
п0. Этим исключается как
= 0, т.е.  = [0], так и положительность класса - . Аналогично
показывается, что положительность - исключает два других случая. Этим уже доказано, что все
три случая несовместимы, т.е. свойство IX выполнено.
Свойство X выполнено, так как сумма и произведение положительных последовательностей,
очевидно, снова положительны. Итак, доказано, что R0 - расположенное поле.
Значит, считая > , если -  положительный класс, введем в R0 порядок, при котором
положительные элементы, и только они будут больше нуля.
Упр.5.9.3. Легко видеть, что единицей поля
будет класс, содержащий последовательность
(1)= 1,1,1,... и все последовательности ( ), ей эквивалентные, т.е. такие, для которых
= 1. Будем обозначать этот класс через [1]. Покажем, что в R0 выполнена аксиома Архимеда:
XI.  
 k N < k· 1.
Пусть класс  содержит последовательность ( ). Она является фундаментальной, а всякая
фундаментальная последовательность элементов поля Q ограничена в Q. Поэтому существует
рациональное число а такое, что | ап | < а и потому а > 0 при любом п,
Так как в поле рациональных чисел аксиома Архимеда выполнена, то существует натуральное
число k, k  a+ 1. Тогда k - ап > 1 при любом n. Значит, класс k · [1]-  положителен, т.е. k· [1] >.
Отсюда следует, что в поле R0 выполняется аксиома XI - аксиома Архимеда.
Чтобы показать, что
полное поле нужно доказать, что если ( ) - фундаментальная
последовательность в R0, то   Rа  =
.
Этим будет доказано свойство XII - аксиома полноты. Ч.т.д.
Упр.5.9.4. Класс  содержащий стационарную последовательность
(а) = а, а, а, ... будем называть классом первого рода или рациональным классом и обозначать [а].
Покажем, что расположенное поле Q вложимо в расположенное поле R0. Положим Q0 = {[а] \ а
 Q }. Ясно, что Q0  R0. Положим далее, что f([а]) = а. Нетрудно видеть, что f и есть искомый изоморфизм. Проверим взаимную однозначность отображения f.
[а]=[b] (a)  (b) lim(a- b)=0  a= b f ([a])= f ([b]).
Аналогично проверяется, что отображение f аддитивно и мультипликативно. Убедимся, что f
взаимно изотонно.
[a]>[b]  [a]-[b] - положительный класс  (а- b)-положительна   > 0 а- b>   а> b  f
([a]) f ([b]).
Таким образом, биекция f сохраняет алгебраические операции и порядок. Итак, Q0  Q
в
алгебраическом и порядковом смыслах. Ч.т.д.
и
-
ЗАНЯТИЕ №10
Упр.5.10.1. См. [3] стр. 109-110..
Упр.5.10.2. См. [7] стр. 187-188.
Упр.5.10.3. См. [7] стр. 189.
Упр.5.10.4. См. [3] стр. 103.
ЗАНЯТИЕ №11.
Упр.6.11.1. Надо проверить выполнение в С0 свойств 1)- 8) поля:
1)  ,   C0
  =   .
  = (а, b)  (с, d)= (a+ с, b+ d)= (c+ a, d+ b)= (c, d)  (a, b)=   
Объяснить все переходы. Аналогично доказываются свойства:
2) ассоциативность сложения; 3) обратимость сложения; 4) коммутативность умножения; 5)
ассоциативность умножения; 6) дистрибутивность умножения относительно сложения.
Выполнение свойств 1) - 6) означает, что С0 есть кольцо, в котором нулевой элемент имеет вид 
= (0,0), противоположный - (а, b) = (-а, -b) и
-  = (а, b) – (с, d) = (а- с, b- d).
Проверим выполнение 7) свойства - обратимости умножения:
 ,   C0,     C0   = .
Пусть ,   C0 и  .Тогда  = (а, b)  (0,0). Это значит, что а  0 или
b  0, т.е. а2+b2 0. Далее, предположим, что существует   С0,  = (х, у),
х, у R, такие что
  = 
или (а, b) · (х, у) = (с, d).
(5)
Тогда (а· х - b· у, а· у + b· х) = (с, d). Отсюда имеем систему уравнений:
а· х - b· у= c,
b· x + a· y= d.
Решив эту систему уравнений относительно х и у , найдем:
x=
,
y=
. Легко проверить, что пара (х, у) действительно удовлетворяет равенству
   = . Свойство 7) доказано. Так как С0 содержит более одного элемента, то свойство 8)
выполнено. С0 -поле.
Упр.6.11.2. Докажем, что система действительных чисел вложима в поле С0. Пусть R0
множество всех пар поля С0 вида (а, 0).
R0= {(a,0)a R}
(6)
Положим также (см. рис 4) f ((a,0))= a.
(7)
C0
R0
R

R0= {(a,0)a R}
рис.4.
Легко показать, что отображение f : R0  R есть биекция, сохраняющая операции. Следовательно f
изоморфизм : R0  R. R - поле. Значит и R0 тоже поле.
Упр.6.11.3. Положим
С = (С0 \R0) R.
(8)
причем в формуле (8) каждую пару заменим соответствующим ему действительным числом а. (см.
рис.4).
Замечание. Полученное множество С кольцом не является, так как в нем не определены,
например, операции сложения действительных чисел и пар и т.д. (см.рис. 5).
C0
C

R0
 С0 \R0
сложение,
умножение
определены
?
R
рис.5
Однако во множестве С по принципу изоморфизма легко восстановить эти операции.
Справедлива лемма.
Лемма. Пусть
a, если = (а, 0) R0,
f ()=
(*)
, если   С0 \R0
Тогда f : С0  С - биекция.
Теперь каждый элемент множества С= (С0 /R0)
R получает функциональное обозначение в
виде f (), где  С0,т.е.
С ={ f () С0 }.
(9)
Положим здесь: f () = f ()  = .
(10)
f (  )= f () + f (),
(11)
f (  )= f () · f ().
(12)
Теорема. Множество С={ f () | С0} относительно операций (11), (12) (и ввиду равенства
(10)) есть поле комплексных чисел.
Для этого надо доказать, что С удовлетворяет всем требованиям определения системы
комплексных чисел.
1 требование: С  R выполняется по построению. Кроме того (0,1)  С. Обозначим эту пару
через i, т.е. положим i = (0,1) . В поле С0 мы имеем: (0,1)2 = (0,1) · (0,1) = (0 · 0 -1 · 1,0 · 1 +1 · 0) = (1,0). Но при построенном выше изоморфном отображении С0 на С элементу (-1,0) из С0
соответствует число -1 из С. Значит , в С должно быть i2 =-1. Первое требование выполнено.
2 требование: (С; +, •) - поле.
Действительно, f: С0  С - биекция, и кроме того по формулам (11) и (12) это отображение (см.
справа налево) аддитивно и мультипликативно, а такое отображение является изоморфизмом, f: С0
 С. Известна теорема. Алгебраическая система, изоморфная полю, сама является полем. Итак, Споле.
3 требование: а,b R (а + b)C =(а + b)R.
Действительно
а,b R   ,  R0 а = f (), b = f (),  = (a,0),  = (b,0).
(a+ b)C = (f ()+f ())С = f (  )= f
=
=f ( (а + b,0 + 0) )= f ( (а + b,0) ) = а + b = (а + b)R
Аналогично доказывается, что а,b R (a  b)с = (а· b)R.
Итак, 3 требование выполнено.
4 требование: С - минимально.
Докажем минимальность С. Для этого достаточно показать,, что любой элемент х из С
представим в виде х = а + b·i с действительными а и b. Пусть при упомянутом изоморфизме С и C0
элементу х из С соответствует пара
(а, b) из С0. Легко проверить справедливость равенства (а, b) = (a,0)  (b,0)  (0,1) в С0. Отсюда в
силу изоморфизма между С0 и С находим: х = а + b· i. Теорема доказана.
Итак, исходя из непротиворечивости теории R , мы построили интерпретацию поля
комплексных чисел. Следовательно, определение комплексных чисел или аксиоматика С
непротиворечива.
ЗАНЯТИЕ №12
Упр.6.12.1. См. [7] стр. 229-230.
Упр.6.12.2. См. [7] стр. 223-224.
Упр.6.12.3. См. [7] стр. 226.
Упр.6.12.4. См. [7] стр. 226-227.
Занятие №13
Упр.7.13.4. Докажем, что 1 не делится на 2 в N, т.е. 12·X, где x N.Пусть М = {х N 1 2· Х }
(1).
Проверим выполнимость условия А) из аксиомы индукции.
Для х = 1 имеем 1 = 2 = 2· 1. Следовательно 1 М.
Проверим выполнимость условия Б) из аксиомы индукции:
х  М   М.
Допустим, что при фиксированном х, 1 2· х - индуктивное предположение (И.п.).
Докажем, что для х', 1 2· х'.
2· х' = 2· x+ 2 = 2· x + 1' = (2· x + 1)'=
;
1· 2х 1 (2· x)' 1
= 2· х'. Значит, 2· х', и поэтому х'  М. По аксиоме индукции 1
2·x для любого x N, т.е. 1 не делится на 2 в N. Ч.т.д.
Упр.7.13.5. Доказательство. Пусть
М = {п  N (a2n-1 +b2n-1) (а + b), а,b Z, а + b 0} (1).
Проверим выполнимость условия А) из аксиомы индукции. Для n = 1 утверждение истинно, так
как а + b а + b.
Следовательно 1 M.
Проверим выполнимость условия Б) из аксиомы индукции: п = k  М k М.
Допустим, что для n = k (a2k-1+ b2k-1) (а + b) - индуктивное предположение (И.п.).
Тогда (a2k-1+ b2k-1)= (а + b)· с.
Докажем, что для n = k + 1 (a2k+1+ b2k+1) (а + b).
Имеем:
a2k+1+ b2k+1= a2k+1- b2· a2k-1 + b2k+1= (a· a2k-1 - b2 ·a2k-1)+
+ (b· a2k-1 + b2· b2k-1)=(a2 -b2)· a2k-1 + b2 ·(a2k-1+ b2k-1)=
= (a- b)· (a+ b)· a2k-1 + b2· (а + b)· с (a+ b)
Поэтому k' М. По аксиоме индукции для любого n N,
2n-1
(a + b2n-1 ) (a+ b). Ч.т.д.
Занятие №14-15
См. Литература: [1], [2], [3], [4], [7].
Упр.7.14.1. Доказать неравенство Бернулли:
(1+ х)n  1 + n· х
при всех натуральных значениях n и для всех х >-1.
Упр.7.14.2. Доказать, что
sin x+ sin 2x +…+ sin nx=
sin
.
Упр.7.14.3. Доказать, что среднее геометрическое нескольких положительных чисел не больше
их среднего арифметического, т.е. если
а1,а1,...,аn положительны, то

Упр.7.14.4. Доказать, что при любом натуральном n
.
(1+ i)n=
· (cos
+ i· sin
).
Упр.7.14.5. Доказать , что при любом натуральном n
(cos x+ i· sin x)n = cos nx+ i· sin пх.
Упр.7.14. 6. Доказать , что при любом натуральном n
+ cos x+ cos 2x+…+cos nx=
Упр.7.14.7. Доказать , что при любом натуральном n
= 2n· (cos - i· sin
.
).
Упр.7.14.8. Доказать теорему. Каковы бы ни были числа а и b и каково бы ни было натуральное
число п, имеет место формула
(а + b)n =аn+
·аn-1· b + ... +
· an-s· bs +... +
· a· bn-1 + bn
7. Методические указания и содержание СРСП:
Для выполнения СРСП 1,3,5,7,9,11,13,15 необходимо следовать следующим методическим
рекомендациям: Изучение и знакомство с литературой по данной теме и теоретическим
материалом. Принести все выписки из литературы на данную тему, подготовить устные и
письменные ответы на вопросы и привести примеры.
СРСП 2.
Упр.1.1.6. 1) не рефлексивно, не симметрично, не транзитивно. Антирефлексивно и
антисимметрично; 2) не рефлексивно, не симметрично. Антисимметрично, транзитивно,
антирефлексивно; 3) рефлексивно, не симметрично, антисимметрично, транзитивно,
антирефлексивно, не связно.
Упр.1.1.7. а) да; б) нет (относительно умножения).
Упр.1.1.8. 1) Например отображение: 1) у :
[0,1], у(х) = хг сюръекция, но не биекция;
2)
у: [0, ]  [0, ], у(х) =
инъекция, но не сюръекция; 3) у : [-1,1][0,1], у(х) = х2 сюръекция,
но не инъекция; 4) у: [0,1][0,1], у(х) = х2 является биекцией.
СРСП 4.
Упр.1.2.6. Рассмотреть отображение  множества Z на множество К, которое определить
следующим образом:
-1, если а<0,
(a)=
0, если а = 0,
1, если а>0/
Доказать, что  -гомоморфизм
Упр.1.2.7. Решение. Покажем сначала, что системы (N; • ) и ( ; •) не изоморфны.
Предположим противное, т.е. что существует взаимно однозначное отображение f множества N на
сохраняющее умножение.
Пусть f(1)= a
. Тогда а2 =а·а = f(1)· f(1)= f(1·1)= f(1)= a. Но равенство а2 =а означает, что а =
1, а 1
. Полученное противоречие доказывает, что данные системы неизоморфны. Точно также
доказывается, что системы ( ; ·) и ( ; ·) неизоморфны.
Покажем теперь, что системы (N; •) и ( ; ·) изоморфны.
Для построения изоморфизма воспользуемся основной теоремой арифметики, утверждающей,
что любое натуральное число n>1 можно единственным образом представить в виде п =
·
, где
рк - возрастающая последовательность простых чисел.
Определим отображение f множества N на множество
, отдельно для 1, простых чисел и
составных чисел. Положим f(1)= 1 и если р— простое, а р'- следующее за р простое число, то
f(р)= р' (f(2)=3, f(3)=5 ит.д.). Наконец для составного числа п примем:
f(n)=f
· f
·…· f
·...·
(f(4)= f
=9; f(36)= f
·f
).
Ясно, что образами натуральных чисел будут нечетные числа, разные числа имеют разные
образы, а каждое нечетное число является образом некоторого натурального числа (скажем, число
52· 174 есть образ числа З2·
). Следовательно, отображение f взаимнооднозначно. Очевидно, что
это отображение сохраняет операцию умножения. Поэтому оно является изоморфизмом.
У пр. 1.2.8. 1) Так как 0≠1, то имеет место одно из двух утверждений 0 < 1 или 1 < 0. Покажем,
что предположение 1 < 0 ведет к противоречию. Действительно, если 1 < 0, то, добавляя к обеим
частям этого неравенства -1 и (используя свойство а< b а + с< b + с ) получаем
0<-1.
Теперь
(основываясь
на
свойстве а<b и 0<с  а· с<b· с) умножим обе части этого
неравенства на -1 и получим неравенство 0<(-1)·(-1), т.е. 0<1.Это противоречит предположению о
том, что 1 < 0. Следовательно, это предположение неверно и, значит, 0 < 1.
2) Пусть а > 0. Для элемента поля
имеет место одно из трех утверждений:
> 0. Покажем, что предположения
Действительно, если
=0 и
=0 и
< 0 или
< 0 ведут к противоречию.
= 0 , то умножив обе части этого равенства на а , получим 1 = 0, что
противоречит определению поля.
Если
< 0, то умножив на а обе части этого неравенства, получим
1 < 0, что противоречит
доказанному в пункте 1). Следовательно, > 0.
3) Так как а < b, то добавив к обеим частям неравенства - а, получим 0 < b -а . Поскольку а > 0
и b > 0, то по доказанному в п.2) имеем
неравенства на
> 0 получаем
>0и
> 0.
После умножения обеих частей первого
>0. Теперь умножим обе части неравенства b- а > 0 на
Получаем (b – а)·
> 0. Так как
этого неравенства
получим > . ч.т.д..
= (b –а)·
то
>0. Добавив к обеим частям
СРСП 6.
Упр.2.3.5.
2·x + 4 = 62·x + 4 = 4 + 22·x + 4 = 2 + 42·x = 2
a)
x·2 = 2x·2 = 2·1x·2 = 1·2x = 1
Объясните каждый шаг. Отметим также, что при доказательстве была использована
сократимость умножения - свойство, которое докажем позже.
x + 3 = 2x + 2' = 2(x + 2)'=2(x + 2)'=1'
б)
x + 2 = 1x + 1' = 1(х + 1)'=1
С какой аксиомой Пеано получили противоречие?
Упр.2.3.8. см. упр.2.3.5
СРСП 8. см. СРСП 6
СРСП 10.
Упр.3.5.5 (построение кольца Z). Положим
каждый класс 1
(см.рис.1).
рода
[(a+ k, a)]=
Z = (
\ )  N , (9)
заменим соответствующим ему
причем в формуле
(9)
натуральным числом k.
= {  k N}

N
Рис.1.
Замечание. Полученное множество Z кольцом не является, так как в нем не определены,
например, операции сложения натуральных чисел и классов и т.д. (см. рис. 2).


Сложение,
умножение
N
\
определены
рис. 2
Однако во множестве Z по принципу изоморфизма легко восстановить эти операции.
Справедлива лемма.
Лемма.
f()=
Пусть
k, если = [(a+ k, a)]
(10)
, если 
Тогда f :
\
 Z - биекция.
Теперь каждый элемент множества Z= (Z/ )N получает функциональное обозначение в виде
f(), где  ,т.е.
Z= {f ()  }.
(11)
Положим здесь: f( )= f ()+ f(),
(12)
f ()= f ()·(), (13)
и
f()= f()  = .
(14)
Теорема. Множество Z = {f() |   Z0 } относительно операций (12), (13) (и ввиду равенства
(14)) есть кольцо целых чисел.
Для этого надо доказать, что Z удовлетворяет всем требованиям определения системы целых
чисел.
1 требование Z N выполняется по построению.
2 требование (Z, +, · )- кольцо. Действительно, f :  Z - биекция, и кроме того по формулам
(12) и (13) это отображение (см. справа налево) аддитивно и мультипликативно, а такое
отображение является изоморфизмом, f :
 Z. Известна теорема. Алгебраическая система, изоморфная кольцу, сама является кольцом. Итак, Z - кольцо.
3 требование:  k, l N (k + l)Z – (k + l)N. Действительно:
k, l N  , 
k= f(), l= f(), = [(a+ k, a)], = [(b+ l, b)].
=
= f()= f ([(a+ k, a)] [(b+ l, b)])=
= f ([(a+ k+ b+ l, a+ b)])= f ([(m+ k+ l, m)])= f ([k+ l])= k+ l=
Аналогично доказывается, что  k, l N k l= k· l.
Итак, 3 требование выполнено.
4 требование. Z - минимально. Докажем минимальность Z воспользовавшись критерием из
теоремы о строении элементов Z. Итак, нам нужно доказать, что  q Z  k, l N q= k- l.
Действительно,
q Z   Z0 q = f ()  , 
  = [(k, l)][(с + 1,с)] = [(k + с + l, l + с)] = [(b + k, b)] = ,
f (  )= f () f ()+ f ()= f () f () = f ()- f () q= k- l, где k, l N. Итак, Z= {(k - l)Z | k, l N
}, множество Z есть кольцо целых чисел. Ч.т.д. Итак, исходя из непротиворечивости теории N , мы
построили интерпретацию кольца целых чисел. Следовательно, определение целых чисел или
аксиоматика Z непротиворечива.
СРСП 12.
Упр.3.6.5. Доказательство. Пусть
и Z2 - две произвольные интерпретации кольца Z. Тогда, по
теореме о строении элементов,
Z1 ={
 a, b  N} и
={
 a, b N} (1)
Положим f [
]=
(2) т.е. сопоставим друг другу элементы модели
и Z2,
представимые разностью одних и тех же натуральных чисел. Убедимся, что f есть изоморфизм.
N
(2)
а) x    a, b N x=
  y
y=
 y= f (x);
б)

в
  a, b, c, d  N



(2)

f [
]=
=f [
]
f
Совершенно аналогично доказывается, что в)  у  Z2  х 
f (х) = у и
г) f ( )=f (x2) 
= x2. Итак, f :
Z2 -биекция.
II. Сохранение операций при отображении f.
Пусть
х, у  , x =
, y=
. Тогда:
f(x
+
у)
=
f
[
]=
f
[
]
=
= f(x)+ f (y), т.е f аддитивно. Аналогично
доказывается, что f мультипликативно. Значит, f :  Z2. Ч.т.д.
СРСП 14.
Упр.4.7.6. Докажем, что q Q  a,b Z, b 0 q= . (1)
Доказательство. Обозначим через М множество тех
можно представить в виде , b 0, т.е.
рациональных
чисел из Q, которые
M= {q=  a,b Z, b 0}.
Тогда Z  М, так как каждое целое число а можно представить в виде .
, q2 M, т.е.
Пусть теперь
b 0, d 0,
Тогда =
Докажем, что
= q2 ·
= ,
= ,
 0.
, причем а  0, так как в противном случае,
= 0.
 М. Действительно,
= (с·
·
= (с·
· (
· b)= (b· c)·
, т.е.
есть
частное двух целых чисел, тогда q М. Значит, М = Q.
СРСП 16.
Смотри указания к занятию 8.
СРСП 18.
Упр.5.9.5. Мы построили поле R0, которое является архимедовски расположенным и полным, т.е.
непрерывным.
По определению, R - это такое же поле, но содержащее Q в качестве подполя. Проделаем
обычную операцию включения Q в R0 .
Положим R = (R0 \ Q0) Q
(1)
Зададим отображение f: R0  R следующей формулой:
а, если а = [а] Q0
f ()=
(2)
, если  R0\Q0
Нетрудно видеть, что f есть биекция.
Тогда
R ={ f () R0 }.
(3)
Положим в R
f () + f () = f (  ), f () · f ()= f (  ),
f ()  f ()    (4)
Тогда биекция f : R0  R оказывается изоморфизмом: алгебраическим и порядковым. А так как
R0 есть полное, архимедовски расположенное поле, то и R - полное архимедовски расположенное
поле.
Теорема. Построенное поле R есть система действительных чисел.
Доказательство. 1. R
 Q (по построению).
2. R- полное поле (по изоморфизму R0).
3. а)  a, b R (a+ b)R= (a+ b)Q; б)  a, b R (a · b)R= (a · b)Q
4. R - архимедовски расположенное поле (по изоморфизму R0).
Условие 3 а) проверяется несложно.
a, b Q a= f([а]), b= f ([b]) (a+ b)R= f ([a]) + f ([b])= f ([a]  [b])=
= f ([a+ b])= (a+ b)R
Аналогично проверяется условие 3 б).
Нетрудно также показать, что  a, b Q ((a b)R (a b)Q)
Ч.т.д.
Упр.5.9.6. См. [3] стр. 84-85.
Упр.5.9.7. См. [3] стр. 105-106.
Упр.5.9.8. См. [3] стр. 107.
СРСП 20.
Упр.5.10.5. См. [3] стр. 103.
Упр.5.10.6. а) Рассмотрим последовательность с общим членом ап =
и покажем, что она
является фундаментальной.
Вспомним определение фундаментальной последовательности: (ап)- ф.п.    0  k N
n, m N, п> k, т> k ат-ап< 
Действительно, имеем: аm- an= 
получим: аm- an
- 
+
. Таким образом, если
n> k и m > k , то
. Если теперь взять за k число, удовлетворяющее неравенству, k
иметь аm- an  для
m > k

и n > k. Следовательно, последовательность
, то будем
( ) является
фундаментальной.
б) Доказывается аналогично.
Упр.5.10.7. Решение. 1 способ. Пусть
)2 = р2 --2· р·
2 способ.
число
+2
Пусть
, значит
3 = (р -
есть рациональное число, а это не так.
- рациональное число. Тогда число
+
также является рациональным, как частное двух рациональных чисел. Тогда
=
=
=
= р – рациональное число. Тогда:
+
· [(
+
) – (
)]является рациональным, что противоречит
-
иррациональности числа
. Следовательно, предположения неправильные и число
иррационально. Ч.т.д.
Упр.5.10.5. См. [3] стр. 103.
Упр.5.10.6. а) Рассмотрим последовательность с общим членом ап =
+
и покажем, что она
является фундаментальной.
Вспомним определение фундаментальной последовательности: (ап)- ф.п.    0  k N
n, m N, п> k, т> k ат-ап< 
Действительно, имеем: аm- an= 
получим: аm- an
- 
+
. Таким образом, если
n> k и m > k , то
. Если теперь взять за k число, удовлетворяющее неравенству, k
иметь аm- an  для
m > k

и n > k. Следовательно, последовательность
, то будем
( ) является
фундаментальной.
б) Доказывается аналогично.
Упр.5.10.7. Решение. 1 способ. Пусть
)2 = р2 --2· р·
2 способ.
число
=
=
+2
Пусть
=
+
, значит
= р – рациональное число. Тогда:
3 = (р -
есть рациональное число, а это не так.
- рациональное число. Тогда число
+
также является рациональным, как частное двух рациональных чисел. Тогда
· [(
иррациональности числа
иррационально. Ч.т.д.
СРСП 22.
+
) – (
-
)]является рациональным, что противоречит
. Следовательно, предположения неправильные и число
+
Упр.6.11.5. 1) 1+i, 1-i;
2)
,
;
3)2, i;
4)2i, -6i;
5)5i,3i.
Упр.6.11.6. б) Введем покоординатное умножение
(а, b)  (с, d) = (а· с,b· d).
Для такого умножения выполнены все те же свойства, что и для умножения чисел: 1)   =  
; 2)   ()= ()  ; 3) ()  = ()  (). Роль «единицы» играет пара е = (1,1). Но
в отличие от чисел, здесь не всегда возможно деление на ненулевую пару. Например, если
 = (1,0), то не существует такой пары  = (х, у), что    = е. Покажите это.
Упр.6.11.7. 1)-5+ 5i, -5-5i; 2)±i·
Упр.6.11.5. 1) 1+i, 1-i;
2)
,
; 3)3 + i,2+i; 4) -3i, -4i
;
3)2, i;
4)2i, -6i;
5)5i,3i.
Упр.6.11.6. б) Введем покоординатное умножение
(а, b)  (с, d) = (а· с,b· d).
Для такого умножения выполнены все те же свойства, что и для умножения чисел: 1)   =  
; 2)   ()= ()  ; 3) ()  = ()  (). Роль «единицы» играет пара е = (1,1). Но
в отличие от чисел, здесь не всегда возможно деление на ненулевую пару. Например, если
 = (1,0), то не существует такой пары  = (х, у), что    = е. Покажите это.
Упр.6.11.7. 1)-5+ 5i, -5-5i; 2)±i·
; 3)3 + i,2+i; 4) -3i, -4i
СРСП 24.
Упр.6.12.5. См. [3] стр. 143.
Упр.6.12.6. См. [1] стр. 14; [3] стр. 144.
Упр.6.12.7. См. [1] стр. 12-14; [3] стр. 144-145.
Упр.6.12.8. См. [12] стр. 20-24.
СРСП 26.
Упр.7.13.5. Доказательство. Пусть
М = {п  N (a2n-1 +b2n-1) (а + b), а,b Z, а + b 0} (1).
Проверим выполнимость условия А) из аксиомы индукции. Для n = 1 утверждение истинно, так
как а + b а + b.
Следовательно 1 M.
Проверим выполнимость условия Б) из аксиомы индукции: п = k  М k М.
Допустим, что для n = k (a2k-1+ b2k-1) (а + b) - индуктивное предположение (И.п.).
Тогда (a2k-1+ b2k-1)= (а + b)· с.
Докажем, что для n = k + 1 (a2k+1+ b2k+1) (а + b).
Имеем:
a2k+1+ b2k+1= a2k+1- b2· a2k-1 + b2k+1= (a· a2k-1 - b2 ·a2k-1)+
+ (b· a2k-1 + b2· b2k-1)=(a2 -b2)· a2k-1 + b2 ·(a2k-1+ b2k-1)=
= (a- b)· (a+ b)· a2k-1 + b2· (а + b)· с (a+ b)
Поэтому k' М. По аксиоме индукции для любого n N,
2n-1
(a + b2n-1 ) (a+ b). Ч.т.д.
СРСП 28. Литература: [1], [2], [3], [4], [7].
СРСП 30.
Контрольная работа
Построение кольца целых чисел (нечетные варианты); выполнить построение по предложенной
схеме.
Построение поля раиональных чисел (четные варианты); выполнить построение по предложенной
схеме
8. Методические рекомендации и указания по типовым расчетам, выполнению расчетнографических, лабораторных работ, курсовых проектов (работ)
Не запланировано
9.Материалы для самостоятельной работы обучающегося: указания к выполнению работ
даны в п.7.
10. Методические указания по прохождению учебной, производственной и преддипломных
практик, формы отчетной документации не запланировано
11. Материалы по контролю и оценке учебных достижений обучающихся
«Схема оценки знаний по дисциплине»
балл за
работу
Критерий оценки
Активность на лекции
Активность на семинаре
(практическом занятии)
Активность на занятии
СРСП
100
100
Выполнение заданий
СРС
Индивидуальные
задания
Письменные работы
Коллоквиум
Рубежный контроль
Промежуточная
аттестация (Р1, Р2)
Текущий контроль
Рейтинг допуска
100
Итоговый
контроль(экзамен)
Итого
Кол-во
выполн
-х работ
Информация по оценке знаний
Итоговая оценка включает:
• рейтинговый контроль и экзамен.
Рейтинговый контроль и итоговая оценка
• Преподаватель в каждую 8 неделю семестра выставляет результаты рейтингового контроля
по 100 балльной шкале, и оценка, выставляемая за рейтинг, представляет собой сумму
баллов по текущему, рубежному контролю, проведенным по его усмотрению.
• Итоговая оценка подсчитывается по формуле U = [(P1 +P2) / 2] * 0,6 + E * 0,4
где P1 - цифровой эквивалент оценки первого рейтинга; P2 -цифровой эквивалент оценки
второго рейтинга; Е - цифровой эквивалент оценки на экзамене.
Буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах определяется по %-ному содержанию
правильных ответов.
Политика выставления оценки:
Оценка
вида
15
15
100
15
100
100
100
100
100
(Р1+Р2)/2
Текущий
контроль *0,6
100*0,4
Рейтинг допуска
+ итоговый
контроль
15
6
2
2
2
Среднеарифметическая
сумма всех оценок
В течение семестра проводится два рубежных контроля на 8 неделе и на 15 неделе.
Максимальный показатель успеваемости студента по рубежным контролям составляет 40%.
В конце каждого семестра проводится промежуточная аттестация по учебной дисциплине
в виде экзамена.
Максимальный показатель успеваемости по промежуточной аттестации (ПА), т.е.
экзамену составляет 60%.
Итоговая экзаменационная оценка по дисциплине определяется как сумма максимальных
показателей успеваемости по рубежным контролям (max. 40%) и промежуточной аттестации, т.е.
экзамену (max. 60%) составляет 100%.
Итоговый экзамен будет проходить в форме тестирования по 30 вопросам 5 вариантов
охватывающих основное содержание теоретического и практического материала курса.
Знания, умения и навыки студентов оцениваются следующим образом:
Оценка
по буквенной
в баллах
в %-ном содержании
по традиционной
системе
системе
А
4,0
95 – 100
Отлично
А3,67
90 – 94
В+
3,33
85 – 89
Хорошо
В
3,0
80 – 84
В2,67
75 – 79
С+
2,33
70 – 74
С
2,0
65 – 69
Удовлетворительно
С1,67
60 – 64
Д+
1,33
55 – 59
Д
1,0
50 – 54
F
0
0 - 49
Неудовлетворительно
Вопросы для проведения контроля знаний студентов по темам и экзамена
Вопросы для проведения теоретического контроля.
1. Операции над множествами. Бинарные отношения.
2. Свойства бинарных операций и отношений.
3. Отношения порядка и эквивалентности.
4. Упорядоченные полугруппы и их свойства.
5. Упорядоченные полукольца, кольца и поля.
6. Морфизмы групп и колец.
7. Аксиоматическое определение множества натуральных чисел.
8. Определение сложения натуральных чисел. Свойства.
9. Определение умножения натуральных чисел. Свойства.
10. Принцип полной математической индукции, усиленный принцип.
11. Определение отношения меньше (больше) на множестве натуральных чисел и его свойства.
12. Эквивалентность аксиоматик системы натуральных чисел.
13. Определение кольца целых чисел. Теорема о строении элементов.
14. Непротиворечивость системы целых чисел. Построение вспомогательного кольца.
15. Построение кольца целых чисел.
16. Алгебраические свойства системы целых чисел.
17. Порядковые свойства системы целых чисел.
18. Категоричность аксиоматической теории целых чисел.
19. Определение поля рациональных чисел.
20. Непротиворечивость системы рациональных чисел. Построение вспомогательного кольца.
21. Построение поля рациональных чисел.
22. Свойства системы рациональных чисел.
23. Аксиома Архимеда в N,Z,Q.
24. Категоричность аксиоматической теории рациональных чисел.
25. Определение поля действительных чисел.
26. Непротиворечивость системы действительных чисел. Построение вспомогательного кольца.
27. Построение поля действительных чисел.
28. Свойства системы действительных чисел.
29. Аксиома Архимеда и Кантора в упорядоченных полях.
30. Категоричность аксиоматической теории действительных чисел.
31. Определение поля комплексных чисел.
32. Непротиворечивость системы комплексных чисел. Построение вспомогательного кольца.
33. Построение поля комплексных чисел.
34. Проблема упорядочения во множестве комплексных чисел.
35. Алгебраические свойства системы комплексных чисел.
36. Изоморфизм полей комплексных чисел.
Примеры вопросов теста
Тест №1
Вопрос № 1
Какой порядок на множествах N и R задают отношения > и <?
строгий
не строгий
замкнутый
открытый
Вопрос 2
Выберите верные утверждения:
1) Всякое рациональное число является действительным.
2) Всякое иррациональное число является действительным.
3) Всякое целое число является натуральным.
1,2
2,3
1,3
1,2,3
Вопрос №3
Пусть a  N и b  N. Верно ли, что:
a
b N
1) a+b  N 2) a-b  N 3)
ab  N 4)
1,3
1,2
1,2,3
1,4
Вопрос №4
Пусть a  N и b  Z. Верно ли, что:
1) a+b  Z 2) a-b  Z 3)
ab  Z 4)
a
b  Z, b≠0
1,2,3
1,2,4
2,3,4
1,3,4
Вопрос №5
Какие из чисел:
3
10
3 4) 25 5)
1)- 4 2) 0 3)
-9 6) 5
являются рациональными:
все, кроме 3)
1,2,4
2,4,6
все
Вопрос №6
Какая последовательность изучения рациональных чисел принята в школьном курсе математики:
1) Натуральные числа, дробные числа, рациональные числа.
2) Натуральные числа, нуль, дробные числа, целые числа.
3) Натуральные числа, нуль, дробные числа, целые числа, рациональные числа.
3
1
2
1,2
Вопрос №7
Основными вопросами математики изучения чисел являются:
1) Введение чисел 2) Сравнение чисел 3) Действия с числами
1,2,3
1,2
2,3
1,3
Вопрос №8
7 6
 2 42
Каким числом является 7  6
.
натуральным
периодической дробью
дробным
Вопрос №9
Верным является предположение:
все рациональные числа действительны
все действительные числа рациональны
не все рациональные числа действительны
все действительные числа не рациональны
иррациональным
Вопрос №10
Решение каких задач приводит к понятию дроби:
1) Деление натуральных чисел 2) Символ записи одинаковых частей
3)
Измерение величин
1,2,3
1
2,3
1,3
Вопрос № 11
Комплексным числом называется
упорядоченная пара ( x, y ) действительных чисел, записанных в виде Z  x  iy
пара чисел ( x, y ) вида Z  x  iy
все действительные числа
2
пара чисел ( x, y ) , записанных в виде Z  x  i y
Вопрос № 12
Модуль комплексного числа Z  x  iy равен
Z  x2  y 2
Вопрос №13
Z  x2 y 2
Z  x2  y2
Z  x2  y
Операция деление является
бинарной операцией
унарной операцией
n-арной операцией
тернарной операцией
Вопрос №14
Элемент e  A называется нейтральным элементом относительно алгебраической операции  , если:
a  A a  e  e  a  a
a  A a  e  e  a  a
a  A a  a  e
a A a  a  e
Вопрос №15
Элемент a  A называется симметричным элементу a относительно алгебраической операции  ,
если:
a  A a  a  a  a  e
a  A a  a  a  a  e
a  A a  e  a
a  A a  e  a
Вопрос №16
Непустое множество G с бинарной алгебраической операцией называется группой, если:
операция ассоциативна, существует в G нейтральный элемент и для каждого элемента
множества G
операция ассоциативна и существует в G нейтральный элемент
операция ассоциативна и существует симметричный элемент
в G существует нейтральный и симметричный элементы
Вопрос №17
Непустое подмножество Н множества G называется подгруппой группы G, если:
оно замкнуто относительно бинарной операции и взятия симметричного элемента
оно замкнуто относительно бинарной операции
оно открыто относительно бинарной операции
оно незамкнуто относительно бинарной операции и взятия симметричного элемента
Вопрос №18
Биективное отображение f: G1→ G2 называется изоморфизмом группы G1 на группу G2, если:
 a, b  G1 f(a  b)=f(a)*f(b)
 a, b  G1 f(a)  f(b)=f(a)*f(b)
 a, b  G1 f(a  b)=f(a)*f(b)
 a, b  G1 f(a)  f(b)=f(a)*f(b)
Вопрос №19
Непустое множество К с двумя бинарными операциями «+» и «  » называется кольцом, если:
К - абелева группа относительно сложения и умножение дистрибутивно относительно сложения
К - группа относительно сложения и умножение дистрибутивно относительно сложения
К - ассоциативная группа
К - абелева группа
Вопрос №20
Кольцо называется ассоциативным, если:
умножение в нём ассоциативно
сложение в нём ассоциативно
деление в нём ассоциативно
вычитание в нём ассоциативно
Вопрос № 21
<G; +> - это:
алгебра с одной бинарной операцией
алгебраическая система
множество отношений
множество сумм
Вопрос № 22
Ассоциативное кольцо называется коммутативным кольцом, если:
умножение в нём коммутативно
сложение в нём коммутативно
деление в нём коммутативно
вычитание в нём коммутативно
Вопрос № 23
Полем называется:
коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим
ассоциативное кольцо с единицей
коммутативное кольцо с единицей
некоммутативное кольцо с единицей
Вопрос № 24
Элементы а и b кольца называются делителями нуля, если:
ab=0, хотя a≠0, b≠0
ab=0, при a=0, b=0
ab=0, при a=0, b≠0
ab=0, при a≠0, b=0
Вопрос № 25
Элемент а  K кольца с единицей называется обратимым, если:
a  a 1 = a
a 1  K
a 1  K
a  a 1 = a
Верным является ответ
Тест №2
1. Записать в алгебраической форме число (2-i)2
а) 3-4i
б) 5
в) 5-4i
г) 4-3i
2. Записать в алгебраической форме число (3+2i)(4-i)
а) 14+5i
б) 10+5i в) 14-5i
г) 10-5i
3. Записать в алгебраической форме число (3+2i)/(1-i)
а) (1+5i)/2 б) (1-i)/2
в) 5(1+i)/2
г) (5-i)/2
4. Найти z для z=6+2i
а) 6-2i
б) -6+2i
в) -6-2i
г) 2-6i
5. Найти модуль числа 3-4i
а) 5 б) 71/2
в) 25
г) 7
6. Найти главное значение аргумента числа -1+i
а) 3π/4
б) -π/4
в) π/4
г) -3π/4
7. Записать в тригонометрической форме число –i
а) cos(-π/2)+isin(-π/2) б) cos(π/2)-isin(π/2)
в) –isin(π/2) г) isin(-π/2)
8. Записать в показательной форме число -5
а) 5eiπ б) e5i
в) e-5iπ
г) 5ei
9. Записать в показательной форме число -3i
а) 3e-iπ/2
б) 3eiπ/2
в) 3eiπ г) e-3iπ
7
10. Вычислить i
а) -i
б) -1
в) i
г) 1
11. Вычислить (1-i)60
а) -230
б) 260
в) 230
г) 230(cos(-30π)+isin(-30π))
12. Найти Re z для z=-9+3i
а) -9
б) -6
в) 3
г) 9
13. Найти Im z для z=2-6i
а) -6
б) -2
в) 2
г) 6
14. Найти все значения корня 2i
а) 1+i,-1-i
б) 2 (1  i), 2 (1  i )
в) 1-i,1+i
г) 2 (1  i), 2 (1  i)
2
B. 1. Записать в алгебраической форме число (1+i)
а) 2i
б) 1+3i
в) 1+i
г) 2+2i
2. Записать в алгебраической форме число (4-3i)(-2+i)
а) -5+10i б) -11+10i
в) 5-10i
г) -5-2i
3. Записать в алгебраической форме число (2-3i)/(1+i)
а) (-1-5i)/2
б) (1-5i)/2
в) 5(1-i)/2 г) (-1+5i)/2
4. Найти z для z=-5+3i
а) -5-3i
б) -3+5i
в) 5-3i
г) 3-5i
5. Найти модуль числа 4+3i
а) 5 б) 7
в) 25
г) 1
6. Найти главное значение аргумента числа -2-2i
а) -3π/4
б) π/4
в) -π/4
г) 3π/4
7. Записать в тригонометрической форме число 2i
а) 2(cos(π/2)+isin(π/2)) б) 2 (cos(π/2)+isin(π/2)) в) 2isin(π/2) г) 4isinπ
8. Записать в показательной форме число -6
а) 6eiπ
б) -6eiπ
в) 6eiπ/2
г) e-6πi
9. Записать в показательной форме число 4i
а) 4eiπ/2
б) 4eiπ в) e4iπ
г) 4e-iπ/2
10. Вычислить i5
а) i
б) -1
в) -i
г) 1
40
11. Вычислить (-1+i)
а) 220
б) -220
в) 240(cos(15π)+isin(15π))
г) 240
12. Найти Re z для z=8-4i
а) 8 б) -4
в) 4
г) -8
13. Найти Im z для z=-3+9i
а) 9 б) -3
в) -9
г) 3
14. Найти все значения корня  2i
а) 1-i,-1+i б) -1+i,-1-i
в) 2 (1-i),√2(1+i) г) 1-i,1+i
C. 1. Записать в алгебраической форме число (1-i)2
а) -2i
б) 2-2i в) 1-3i
г) 1-i
2. Записать в алгебраической форме число (2-i)(-3+2i)
а) -4+7i
б) -8-7i в) -8+7i г) -4-7i
3. Записать в алгебраической форме число (1+2i)/(1-i)
а) (-1+3i)/2
б) (-1-3i)/2
в) (1+i)/2 г) 3(1+i)/2
4. Найти z для z=4-6i
а) 4+6i б) -6+4i
в) -4+6i
г) -4+6i
5. Найти модуль числа 6-8i
а)10 б) 100
в) 14
г) 14
6. Найти главное значение аргумента числа 3-3i
а) -π/4
б) -3π/4
в) π/4
г) 3π/4
7. Записать в тригонометрической форме число –4i
а) 4(cos(-π/2)+isin(-π/2)) б) -4isin(π/2) в) 4isin(-π/2) г) -2(cos(π/2)+isin(π/2)
8. Записать в показательной форме число -1
а) eiπ б) eiπ/2
в) -eiπ г) -eiπ
9. Записать в показательной форме число -2i
а) 2e-iπ/2
б) -2eiπ в) 2e-iπ
г) e-2iπ
10. Вычислить i9
а) i
б) 1
в) -i
г) -1
80
11. Вычислить (1+i)
а) 240
б) 280
в) -280 г) -240
12. Найти Re z для z=6-9i
а) 6 б) -6
в) -9
г) 9
13. Найти Im z для z=-4+2i
а) 2 б) -4
в) 2i
г) 4
14. Найти все значения корня i
а) 2 (1-i)/2, 2 (-1+i)/2
б) 1-i,-1+i
в) 1-i,1+i г) -1-i,-1+i
2
D. 1. Записать в алгебраической форме число (2+i)
а) 3+4i
б) 4+i
в) 4+3i
г) 3+2i
2. Записать в алгебраической форме число (-1+2i)(3-i)
а) -1+7i
б) -5+7i в) -1-7i
г) -5-7i
3. Записать в алгебраической форме число (1-2i)/(1+i)
а) (-1-3i)/2
б) 3(1-i)/2
в) (-1+i)/2 г) (3+i)/2
4. Найти z для z=7-2i
а) 7+2i
б) 2-7i
в) -7+2i
г) -7-2i
5. Найти модуль числа 8+6i
а) 10 б) 100
в) 14
г) 7
6. Найти главное значение аргумента числа -4+4i
а) 3π/4 б) -3π/4
в) -π/4
г) π/4
7. Записать в тригонометрической форме число 3i
а) 3(cos(π/2)+isin(π/2)) б) 3icos(2π) в) 3(cosπ+isinπ)
г) 3isin(π/2)
8. Записать в показательной форме число -2
а) 2eiπ
б) -2eiπ/2 в) 2eiπ/2
г) 2e-iπ/2
9. Записать в показательной форме число 2i
а) 2eiπ/2
б) 2eiπ в) 2e-iπ/2
г) e2πi
6
10. Вычислить i
а)-1
б) 1
в) i
г) -i
11. Вычислить (1-i)100
а) -250
б) -2100 в) 250
г) 2100
12. Найти Re z для z=-4+6i
а) -4
б) 6
в) 4
г) -6
13. Найти Im z для z=2-8i
а) -8
б) 2
в) -2
г) 8i
14. Найти все значения корня i
а) √2(1+i)/2,√2(-1-i)/2
б) 1+i,-1-i
в) 1-i,1+i
г) -1-i,-1+i
12. Программное и мультимединое сопровождение учебных занятий- нет
13. Перечень специализированных аудиторий, кабинетов и лабораторий.
Корпус № 1, аудитория № 309,310,311.