Алгебра - Учебно-методические комплексы
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
Естественнонаучный факультет
Кафедра физики, математики и МП
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________________ ФИО
«___» __________ 2014 г.
Шаипова А.Я.
Учебно-методический комплекс по дисциплине
«АЛГЕБРА»
Код и направление подготовки
05.01.00.62 “Педагогическое образование”
Профиль подготовки
“Математика, технология”
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Тобольск
2011
Содержание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Цели и задачи освоения дисциплины ……………………………………………………
Место дисциплины в структуре ОП ВПО …………………………………………….
Требования к результатам освоения содержания дисциплины ………………………...
Структура и содержание дисциплины …………………………………………………...
4.1 Структура дисциплины …………………………………………………………….
4.2 Содержание разделов дисциплины ……………………………………………….
Образовательные технологии ……………………………………………………………
Самостоятельная работа студентов ………………………………………………………
Компетентностно-ориентированные оценочные средства ……………………………..
7.1 Оценочные средства диагностирующего контроля ……………………………...
Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология
7.2
оценивания работы студентов …………………………….....................................
7.3 Оценочные средства промежуточной аттестации ………………………………
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ………….
Материально-техническое обеспечение дисциплины …………………………………
Методические указания для обучающихся………………................................................
3
3
3
3
3
4
5
7
8
8
10
14
29
31
31
I. ПРИЛОЖЕНИЕ
I……………………………………………………………………………………………………….Error!
Bookmark
not defined.
II. ПРИЛОЖЕНИЕ II. Планы лекций …………………………………………………………………………………...33
III. ПРИЛОЖЕНИЕ III. Содержание практических занятий…………………………………………………………...36
IV. ПРИЛОЖЕНИЕ IV. Содержание самостоятельной работы студентов…………………………………………….49
V. ПРИЛОЖЕНИЕ V. Текущий и промежуточный контроль………………………………………………………..…50
VI. ПРИЛОЖЕНИЕ VI. Литература……………………………………………………………………………………....51
2
I. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
1. Цель и задачи дисциплины: формирование систематизированных знаний в области алгебры
и ее методов, овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях, в школьном курсе математики.
2. Место дисциплины в структуре ОП: Дисциплина «Алгебра» относится к вариативной
части профессионального цикла дисциплин направления (В.З.В.2). Она характеризуется
содержательными связями с дисциплиной «Математический анализ», «Геометрия».
Освоение дисциплины является основой для последующего изучения других дисциплин: компьютерная алгебра, математический анализ, численные методы и др.
3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
- владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
- способностью использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки
информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4);
В результате изучения студент должен:
знать:
- основы алгебраической теории;
- основные разделы алгебры, классические факты, утверждения и методы указанной предметной области;
- определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений;
уметь:
- решать типовые задачи в указанной предметной области;
владеть:
- навыками решения типовых алгебраических задач;
- представлениями о связи алгебры со школьным курсом математики.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 10 зачетных единиц (360 часов).
4.1. Структура дисциплины
Таблица 1
№
1.
2.
3.
4.
5.
Наименование раздела дисциплины
Элементы теории множеств и логики
Основные алгебраические структуры
Основные числовые системы
Векторные пространства
Системы линейных
уравнений
Виды учебной работы
(в академических часах)
аудиторные занятия
ЛК
ПЗ
ЛБ
4
4
-
Семестр
I
СР
16
I
6
6
-
18
I
8
8
-
21
II
6
6
-
20
II
6
6
-
20
3
6.
7.
8.
9.
Матрицы и определители.
Многочлены от одного
переменного
Многочлены от
нескольких
переменных
Многочлены над
полями C, R, Q
II
8
8
-
23
III
8
16
-
22
III
4
6
-
8
III
6
14
-
13
4.2. Содержание дисциплины
Таблица 2
№
Наименование раздела дисциплины
1.
Элементы теории множеств и логики
2.
Основные алгебраические структуры
3.
Основные числовые системы
4.
Векторные пространства
5.
Системы линейных
уравнений
Содержание раздела
(дидактические единицы)
Высказывания и логические операции над ними. Таблицы истинности. Основные законы логики. Множество.
Подмножество. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна. Понятие упорядоченной
пары. Прямое произведение двух множеств. Бинарные
отношения, способы их задания, свойства. Отношение
эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактормножество. Разбиение на классы. Функциональные отношения. Область определения, область значений. Виды
отображений. Композиция отображений.
Бинарные алгебраические операции, их свойства. Аддитивная и мультипликативная формы записи бинарной
операции. Понятия полугруппы и группы. Примеры полугрупп и групп. Понятие кольца. Примеры колец. Понятие поля. Примеры полей. Простейшие свойства полугрупп, групп колец, полей. Гомоморфизмы групп, колец,
полей и их основные свойства.
Натуральные числа. Метод математической индукции.
Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи
комплексного числа. Геометрическое представление
комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Корни из
комплексных чисел и двучленные уравнения.
Определение и простейшие свойства векторных пространств. Подпространство. Критерий подпространства.
Линейная оболочка системы векторов. Линейная зависимость и независимость систем векторов, свойства. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства. Евклидовы векторные
пространства. Длина вектора и угол между векторами.
Ортогональное дополнение подпространства. Процесс
ортогонализации векторов.
Первоначальные сведения о системах линейных уравнений. Элементарные преобразования и равносильность
систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Равенство
4
6.
Матрицы и определители
7.
Многочлены от одного
переменного
8.
Многочлены от
нескольких
переменных
9.
Многочлены над
полями C, R, Q
строчечного и столбцового рангов. Ступенчатые матрицы. Критерий совместности и определенности систем
линейных уравнений. Метод Гаусса. Пространство решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
Алгебраические операции над матрицами и их свойства.
Обратимые матрицы. Нахождение обратной матрицы.
Определители 2-го и 3-го порядков. Определитель квадратной матрицы и его основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения: разложение определителя по
строкам и столбцам. Определитель произведения матриц. Вычисление ранга матрицы с помощью базисных
миноров.
Вычисление обратной матрицы с помощью
алгебраических дополнений. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений.
Кольцо K[x] многочленов от одного переменного. Теорема о делении многочленов с остатком. Значение многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера и деление многочлена на двучлен. НОД многочленов и его свойства.
Алгоритм Евклида и линейное разложение НОД. Разложение многочленов в произведение неприводимых
множителей. НОК многочленов. Производная многочленов. Разложение многочлена в ряд Тейлора.
Кольцо многочленов K[x1 , …, xn] от нескольких переменных. Лексикографическое упорядочение мономов.
Симметрические многочлены: формулы Виета, основная теорема о симметрических многочленах и следствия
из неё.
Уравнения 3-й и 4-й степеней над С. Кратности корней. Разложение многочлена над R. Целые и рациональные корни многочленов. Критерий Эйзенштейна неприводимости многочлена с целыми коэффициентами. Поле
алгебраических чисел. Освобождение от алгебраической
иррациональности в знаменателе дроби.
5. Образовательные технологии
Таблица 3
№
занятия
1-2
№
раздела
1
Тема занятия
Высказывания и логические
операции над ними. Таблицы
истинности. Основные законы логики. Понятие упорядоченной пары. Прямое произведение двух множеств.
Бинарные отношения, способы их задания, свойства.
5
Виды образовательных технологий
Интерактивные методы (групповые формы работы)
Кол-во
часов
4
№
занятия
3-4
№
раздела
1
5-6
2
8
2
9
3
11-12
3
13-14
4
15-16
Тема занятия
Отношение
эквивалентности. Класс эквивалентности.
Фактор-множество. Разбиение на классы.
Функциональные
отношения. Область определения,
область значений. Виды
отображений. Композиция
отображений.
Бинарные
алгебраические
операции, их свойства. Аддитивная и мультипликативная формы записи бинарной операции. Понятия полугруппы и группы. Примеры полугрупп и групп.
Отношение
эквивалентности. Класс эквивалентности.
Фактор-множество. Разбиение на классы.
Функциональные
отношения. Область определения,
область значений. Виды
отображений. Композиция
отображений.
Поле комплексных чисел.
Алгебраическая форма записи комплексного числа. Геометрическое представление
комплексных чисел и операций над ними.
Тригонометрическая форма
записи комплексного числа.
Корни из комплексных чисел
и двучленные уравнения.
Определение и простейшие
свойства векторных пространств. Подпространство.
Критерий подпространства.
Линейная оболочка системы
векторов.
Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства.
6
Виды образовательных технологий
Интерактивные методы (групповые формы работы)
Кол-во
часов
4
Интерактивные методы (групповые формы работы)
4
Интерактивные методы (групповые формы работы)
4
Интерактивные методы (групповые формы работы)
4
Интерактивные методы (групповые формы работы)
4
Интерактивные методы (групповые формы работы)
4
№
занятия
17-18
№
раздела
4
19-20
5
21-22
6
23-24
6
Тема занятия
Критерий совместности и
определенности систем линейных уравнений. Метод
Гаусса. Пространство решений однородной системы
линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
Алгебраические
операции
над матрицами и их свойства. Обратимые матрицы.
Нахождение обратной матрицы. Определители 2-го и
3-го порядков.
Определитель
квадратной
матрицы и его основные
свойства. Миноры и алгебраические дополнения: разложение определителя по
строкам и столбцам. Вычисление обратной матрицы с
помощью
алгебраических
дополнений.
Правило Крамера для решения систем линейных
уравнений.
Виды образовательных технологий
Интерактивные методы (групповые формы работы)
Кол-во
часов
4
Интерактивные методы (групповые формы работы)
4
Интерактивные методы (групповые формы работы)
4
Интерактивные методы (групповые формы работы)
4
6. Самостоятельная работа студентов
Таблица 4
№
1
1
1
2
2
3
3
4
Наименование раздела дисциплины
Элементы теории множеств и логики
Элементы теории множеств и логики
Элементы теории множеств и логики
Основные алгебраические структуры
Основные алгебраические структуры
Основные числовые
системы
Основные числовые
системы
Векторные пространства
Вид самостоятельной работы
решение задач и упражнений по образцу
Трудоемкость
(в академических часах)
6
выполнение домашних заданий
6
решение вариативных задач и упражнений
4
решение задач и упражнений по образцу
10
выполнение домашних заданий
8
решение задач и упражнений по образцу
6
выполнение домашних заданий
6
решение задач и упражнений по образцу
10
7
4
5
5
6
6
8
8
9
9
10
10
Векторные пространства
Системы линейных
уравнений
Системы линейных
уравнений
Матрицы и определители
Матрицы и определители
Многочлены от одного
переменного
Многочлены от одного
переменного
Многочлены от
нескольких
переменных
Многочлены от
нескольких
переменных
Многочлены над
полями C, R, Q
Многочлены над
полями C, R, Q
выполнение домашних заданий
10
решение вариативных задач и упражнений
10
решение задач и упражнений по образцу
10
выполнение домашних заданий
10
решение задач и упражнений по образцу
10
выполнение домашних заданий
10
решение задач и упражнений по образцу
10
выполнение домашних заданий
8
решение задач и упражнений по образцу
8
выполнение домашних заданий
10
решение задач и упражнений по образцу
9
7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля
Оценочные средства диагностирующего контроля не предусмотрены.
7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульнорейтинговая технология оценивания работы студентов
7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ
I семестр
Таблица 5
Виды работ
Модуль 1
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого за работу в семестре
Обобщающий контроль
Итого
Максимальное количество баллов
Модуль 2
Модуль 3
1·6
2·6
7
25
7
32
1·6
2·6
7
25
7
32
II семестр
8
1·6
2·6
12
30
6
36
Итого
18
36
26
80
20
100
Виды работ
Максимальное количество баллов
Модуль 2
Модуль 3
Модуль 1
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого за работу в семестре
Обобщающий контроль
Итого
1·6
2·3
13
25
7
32
1·6
2·3
13
25
7
32
1·8
2·4
14
30
6
36
Итого
20
20
40
80
20
100
III семестр
Виды работ
Максимальное количество баллов
Модуль 2
Модуль 3
Модуль 1
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого за работу в семестре
Обобщающий контроль
Итого
1·6
2·6
7
25
7
32
1·6
2·6
7
25
7
32
1·6
2·6
12
30
6
36
Итого
18
36
26
80
20
100
7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов
Таблица 6
№
Наименование раздела
дисциплины
Формы оцениваемой работы
Максимальное
количество баллов
Модуль (аттестация)
I семестр
1
2
1
2
№
Элементы теории
множеств и логики. Основные алгебраические
структуры
Основные числовые системы.
Работа на лекциях
Посещение лекции
Участие в обсуждении
0,5
0,5
1, 2
Посещение лекции
Участие в обсуждении
0,5
0,5
3
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях
Посещение занятия
0,5
Элементы теории
Участие
в
обсуждении
0,5
множеств и логиРешение задач у доски
1
ки. Основные алгебраические
структуры
Основные числовые системы.
Наименование раздела
дисциплины
Посещение занятия
Участие в обсуждении
Решение задач у доски
0,5
0,5
1
Формы оцениваемой работы
1, 2
3
Максимальное
количество баллов
Модуль (аттестация)
0,5
1
II семестр
3.
Векторные про-
Работа на лекциях
Посещение лекции
9
4.
5.
3
4
5.
№
3.
4.
5.
3
4
5.
странства.
Системы линейных уравнений.
Участие в обсуждении
Посещение лекции
Участие в обсуждении
0,5
0,5
0,5
Матрицы и определители
Посещение лекции
Участие в обсуждении
0,5
0,5
1, 2
2
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях
Посещение занятия
0,5
Векторные проУчастие
в
обсуждении
0,5
странства.
Решение задач у доски
1
Посещение занятия
0,5
Системы линейУчастие в обсуждении
0,5
ных уравнений.
Решение задач у доски
1
Посещение занятия
0,5
Матрицы и опреУчастие в обсуждении
0,5
делители
Решение задач у доски
1
Наименование раздела
дисциплины
Многочлены от
одного переменного
Многочлены от
нескольких
переменных
Многочлены над
полями C, R, Q.
Формы оцениваемой работы
Максимальное
количество баллов
1
1, 2
3
Модуль (аттестация)
III семестр
Работа на лекциях
Посещение лекции
Участие в обсуждении
0,5
0,5
1
Посещение лекции
Участие в обсуждении
0,5
0,5
1, 2
Посещение лекции
Участие в обсуждении
0,5
0,5
2
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях
Посещение занятия
0,5
Участие в обсуждении
0,5
Решение задач у доски
1
Многочлены от
одного переменного
Многочлены от
нескольких
переменных
Многочлены над
полями C, R, Q.
1
Посещение занятия
Участие в обсуждении
Решение задач у доски
0,5
0,5
1
1, 2
Посещение занятия
Участие в обсуждении
Решение задач у доски
0,5
0,5
1
3
7.2. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
4. ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ СЕМЕСТРОВЫХ ЗАДАНИЙ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ “АЛГЕБРА”
СЕМЕСТР I
Тема 1: “Алгебры”
1. Определена ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1 следующая операция
10
ab
?
2
В тех случаях, когда операция определена, будет ли она коммутативной, ассоциативной ?
ab=
2. Является ли группой множество целых степеней числа 2 относительно умножения ?
3. Является ли кольцом (полем) относительно сложения и умножения множество
K = {a + b
5 | a, b Z}?
Тема2: “Поле комплексных чисел”
3.
Решите уравнения (в поле комплексных чисел):
a) x2+3+4i=0; b) x2-5+12i=0;
c) x2 -(4+3i)x+1+5i = 0
5. Представьте в тригонометрической форме следующие числа: 1, -1, i, -i, 1-i, -1-i, -1+
1
3
6. Вычислить i
2
2
7. Вычислить
3
3 i, 3 -i
10
3 i
1 i
8. Решить уравнение: x4+ 1+ i
3 =0
РАЗДЕЛ: “ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП”
1. бинарные алгебраические операции.
Являются ли следующие операции бинарными алгебраическими на множестве A ?
а) +, A = Q \ Z , б) xy =
1
x y , A = R*, в) , A = Z4 \ {0}.
2
2. свойства бинарных алгебраических операций.
Какими свойствами обладают следующие бинарные алгебраические операции ?
а) x y = x+y+xy на R, б) вычитание на Z , в) x y = на S3 .
3. проверка аксиом группы.
Являются ли группами следующие алгебры:
а ) {(x, y) R2 | x Q , y Z } относительно обычной операции сложения в R2 ,
б) {x C6 | x2 = 1 } относительно операции умножения в C .
4. таблицы Кэли.
С помощью таблицы Кэли определить, являются ли данные конечные множества с указанными на них операциями группами. Если являются, то найти единицу, обратные к каждому элементу, порядки всех элементов
и исследовать будет ли группа абелевой и циклической, перечислив все ее возможные циклические порождающие.
а) H = { 0 , 3 , 6 } Z9 относительно сложения,
б) H = { , (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2)} S4 относительно умножения.
5. группа подстановок Sn .
Разложить данные подстановки в произведение независимых циклов, найти их знаки и порядки (не вычисляя
степеней).
1 2 3 4 5 6 7
а)
6 3 1 7 2 5 8
1
8
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
, б)
.
4
2 1 4 3 3 4 1 2 2 4 1 3
6. смежные классы группы по подгруппе.
11
Найти все смежные классы указанной группы по заданной подгруппе, вычислить ее индекс и исследовать
нормальность подгруппы.
а) 15 Z 5 Z ,
б) { , (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(23)} A4 .
7. нормальные подгруппы.
Будут ли нормальны следующие подгруппы в указанных группах ?
а) {A GL(n, F) | det(A) = 1} GL(n, F),
1 x
y
GL(2, F)| x R} {
0 1
0
б) {
x
GL(2, F) | x, y R, y 0}.
y
8. фактор-группы.
Построить фактор-группы 6 Z / 42 Z и S3 / A3 .
9. гомоморфизмы.
Определить, какие из следующих отображений являются гомоморфизмами, а
какие - изоморфизмами групп ?
а) h : Q Q , h(n) = n / 13 ,
б) h : Z3 Z3 , h( x ) = x + x ,
в) h : GL(n, F) F* , h(A) = det(A) ,
г) h : Z4 Z , h( x ) = 2x ,
в) h : Z Q* , h(n) = 2n .
СЕМЕСТР II
Тема 1: “Системы линейных уравнений”
1. Исследовать систему на совместность, решить систему линейных уравнений методом
Гаусса:
3 x1 4 x2 x3 7
x1 2 x2 3 x3 0
7 x 10 x 5 x 2
2
3
1
2. Найти базис (фундаментальную систему решений) и размерность линейного пространства решений системы
линейных однородных уравнений:
x1 x 2 3 x 3 0
x x x 2x 0
1
2
3
4
2 x 1 x 2 4 x 3 x 4 0
x1 2 x 2 5 x3 x4 0
Тема 2: “Матрицы и определители”
3. Вычислить матрицу обратную данной двумя способами:
1 2 3
b) A = 3 2 4
2 1 0
111
a) A = 0 1 0 ;
112
4. Решить систему в матричном виде:
x1 4 x 2 5 x 3 4
x 2 9 x3 0
x 4 x 9 x 0
2
3
1
5. Решить матричное уравнение:
12
1 2 3
1 30
3 2 4 X = 10 2 7
2 1 0
10 7 8
6. Вычислить количество инверсий в перестановке (3,4,2,1,5). Будет ли она чётной?
7. Какие значения должны принимать i и k, чтобы произведение a17 a23 a31 a4i a54 a66 a7k a82 a99 входило в определитель девятого порядка a) со знаком “плюс”, b) со знаком “минус”?
8. Вычислить определитель:
1 0 1 2
2 1 0 3
a)
0 1 3 2
1
2
1
0
9. Числа 20604, 53227, 25755, 20927 и 289 делятся на17. Доказать, что определитель Δ также делится на 17.
10. Найдите какие-либо решения уравнения:
1
x
x2
x3
1
1
1
1
1
0
1
0
1 1
1 0
0
.
11. Решить систему с помощью правила Крамера:
x1 2 x2 3 x3 7
2 x1 x 2 x 3 9
x 4 x 2 x 11
2
3
1
12. Найти ранг матрицы:
1
7
A =
4
1
9
5 1 1
2 1 3
1 3
5
7
7
Тема 3: “Векторные пространства”
9. Образует ли векторное пространство множество V = {a=( 1 , 2 , 3 ), где
тельно операций над векторами, заданными правилами:
a) a = ( 1 , 2 , 3 ), b = ( 1 , 2 , 3 ), a + b = ( 1 1 , 2
b) a + b = ( 1
1 , 2 , 3 R}
над полем R относи-
2 , 3 3 ); a = ( 1 , 2 , 3 )(R)
1 , 2 2 , 3 ); a = ( 1 , 2 , 3 ) (R)
10. Установить, будет ли подпространством в R3 множество L={a=( 1 , 2 , 3 )| 1 , 2 , 3 R
( 1 2 3 0 }; b) L={a=( 1 , 2 ,2 1 3 )| 1 , 2 , 3 R}.
11. Является ли вектор c = (3,8,11) линейной комбинацией векторов a=(0,1,1) и b=(1,2,3)?
13
12. Записать общий вид элементов линейной оболочки, натянутой на систему векторов
ей геометрическое истолкование.
a =(1,2)
и b = (2,4) и дать
13. Выяснить линейно-зависима или линейно-независима система векторов, найти её ранг. В линейно-зависимой
системе выписать какую-нибудь линейную зависимость. Выделить какую-нибудь максимальную линейнонезависимую подсистему:
a) a1 = (1,2,3,1); a2 =( 2,3,1,2); a3 = (3,1,2,-2); a4 = (0,4,2,5).
b) a1 = (-1,3,3,2,5); a2 =( -3,5,2,3,4); a3 = (-3,1,-5,0,-7); a4 = (-5,7,1,4,1).
14. Проверить, образует ли каждая из следующих систем векторов базис пространства R3 и найти координаты
вектора x в каждом из этих базисов.
a) e1 = (1,1,1), e2 = (1,1,2), e3 = (1,-2,3), x = (6,9,14)
b) e1 = (2,1,-3), e2 = (3,2,-5), e3 = (1,-1,1), x = (6,2,-7)
СЕМЕСТР III
РАЗДЕЛ: “МНОГОЧЛЕНЫ”
1.
операции над многочленами, степень многочлена.
2.
деление многочленов с остатком.
3.
разложение многочлена по степеням двучлена.
4.
схема Горнера.
а) значение многочлена в точке.
Найти степень многочлена f(x) = (–x+1)(x2+1) + (x2–1)(x+1) – 2x + 1.
Найти частное и остаток от деления f(x) = 2x5–3x3+1 на g(x) = –x3+3x2–x+5.
Разложить многочлен f(x) = 2x5–3x3+1 по степеням двучлена x + 2.
Вычислить значение многочлена f(x) = –x3+3x2–x+5 в точке = –2.
б) деление многочлена на двучлен.
Разделить многочлен 2x5–3x3+1 с остатком на x + 3.
в) разложение многочлена по степеням двучлена.
Разложить многочлен f(x) = 2x5–3x3+1 по степеням двучлена x + 2.
5.
наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
6.
линейное разложение НОД.
7.
иррациональности в знаменателе дроби.
Найти НОД и НОК многочленов f(x) = 2x3–3x+2, g(x) = –3x2+2x–1.
Найти линейное разложение Н.О.Д. многочленов 2x3–3x+2, –3x2+2x–1.
Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби 1 ( 3 2 3 4 1 ) .
8.
рациональные корни многочлена.
9.
кратность корней многочлена.
10.
многочлены над Q.
Доказать неприводимость многочлена f(x) = x7+3x5–6x+3.
многочлены над R.
Построить многочлен наименьшей степени над R с корнями: двукратными –i и
–2i+3 и однократными 1+i, –2.
симметрические многочлены.
Выразить через элементарные симметрические многочлены от трёх переменных многочлен x4 + y4 + z4.
алгебраические числа.
11.
12.
13.
Найти все рациональные корни многочлена f(x) = x3+x2–5x+3.
Найти кратности корней многочлена f(x) = x3+x2–5x+3.
Найти аннулирующий многочлен для числа =
3
3
2.
7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации
14
7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов
В первом семестре по дисциплине «Алгебра» предусмотрен зачет. Во втором и
третьем семестрах по данной дисциплине предусмотрен экзамен. Для получения
допуска к экзамену необходимо набрать не менее 61 балла (табл. 8).
Таблица 8
Вид аттестации
Допуск к аттестации
Зачёт
40 баллов
61 балл
Экзамен (соответствие рейтинговых баллов и академических оценок)
Удовл.
Хорошо
Отлично
61-72 баллов
73-86 баллов
87-100 баллов
7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации
Контрольные и самостоятельные работы по дисциплине «Алгебра»
I семестр
Контрольная работа по дисциплине «Алгебра»
1 вариант
I уровень
1. Заполнить пропуски :
а) аргументом комплексного числа z = х + i y называется ...
б) бинарная алгебраическая операция на множестве А ассоциативна тогда и только
тогда, когда ...
в) (1 – i)100 = ...
2. Какие из арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление)
являются бинарными алгебраическими на множестве R \ {0} ?
3. Указать истинны или ложны следующие утверждения:
а) 1 i =
2
9
б) arg( 2 (cos + i sin )) =
, в) z C z 1 = z + 1
4
2
4
4
2 уровень
4. Доказать методом математической индукции равенство
1 2 + 2 3 + 3 4 + ... + n (n + 1) =
n(n 1)(n 2)
3
2
2
(-1 + i),
(-1 - i) } группой относительно операции
2
2
умножения в поле комплексных чисел ?
5. Будет ли множество { 1,
6. Вычислить
3
1 i
3i
15
3 уровень
7. Доказать методом математической индукции неравенство 2n > n3 при n > 9
8. Доказать, что функция f: Z Z Z, заданная правилом f(a,b) = (-1)ab,
определяет ассоциативную бинарную алгебраическую операцию на Z.
2 вариант
1 уровень
1. Заполнить пропуски :
а) модулем комплексного числа z = х + i y называется ...
б) бинарная алгебраическая операция * на множестве А коммутативна тогда и только
тогда, когда ...
в) (1 + i 3 )100 = ...
2. Какие из арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление)
являются бинарными алгебраическими на множестве [ 0, 1 ] ?
3. Указать истинны или ложны следующие утверждения:
a) 1 i 3 =
2
б) аргумент комплексного числа z =
2 (cos
2
2
2
+ i sin
) равен
3
3
3
в) z C z i = - z i
2 уровень
4. Доказать методом математической индукции равенство
1
1
n
1
+
+ ... +
=
( 3n 2 )( 3n 1)
1 4
3n 1
47
1
1
(1 + i 3 ), (1 - i 3 ) } группой относительно операции
2
2
умножения в поле комплексных чисел ?
5. Будет ли множество { 1,
6. Вычислить
3
1 i 3
1 i
3 уровень
7. Доказать методом математической индукции, что n N 2n + 2 > n + 5
8. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям:
16
z 1 3
arg z
4
3 вариант
1 уровень
1. Заполнить пропуски :
а) обратным для комплексного числа z = х + i y является ...
б) элемент e называется единичным относительно бинарной алгебраической операции *
на множестве А тогда и только тогда, когда ...
2. Какие из арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление)
являются бинарными алгебраическими на множестве R+ = { х R | х > 0 } ?
3. Указать истинны или ложны следующие утверждения:
a)
3i = 2
б) аргумент комплексного числа z = 3(cos
в) z C
z / i
5
5
+ i sin
) равен
4
4
4
= z/i
2 уровень
4. Доказать методом математической индукции равенство
1
n2
1 1
=
1 1 ... 1
2
4 9
2 ( n 1)
( n 1)
1
1
5. Будет ли множество { 1,
( 3 + i), ( 3 - i) } группой относительно операции
2
2
умножения в поле комплексных чисел ?
6. Вычислить ( 3 + i)100
7. Решить уравнение z2 - (4 + 3 i) z +1 + 5i = 0
3 уровень
8. Доказать методом математической индукции, что при n > 3 верно неравенство n! > 3n - 1
9. Будет ли функция f: R \ {0} R \ {0}, заданная правилом f(a, b) = a -1 b -1, ассоциативной
бинарной алгебраической операцией на R \ {0} ?
10. Вычислить
3
3i
3i
4 вариант
17
1 уровень
1. Заполнить пропуски :
а) сопряженное к комплексному числу z = х + i y записывается в виде ...
б) элемент b A называется обратным к элементу a A относительно бинарной
алгебраической операции * на множестве А тогда и только тогда, когда ...
2. Какие из арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление)
являются бинарными алгебраическими на множестве (-1, 0) (0,1) ?
3. Указать истинны или ложны следующие утверждения:
а) 2 i 2 = 2
б) аргумент комплексного числа z = 3(cos
7
7
2
+ i sin
) равен
3
3
3
в) z C i z z i
2 уровень
4. Доказать методом математической индукции равенство
1
n
1
1
... +
( 4 n 3)( 4 n 1) 4 n 1
1 5 5 9
5. Будет ли множество { 1, cos
+ i sin
, cos
- i sin
3
3
3
операции умножения в поле комплексных чисел ?
3
} группой относительно
6. Вычислить (- 2 + i 2 )100
7. Решить уравнение
z2 + ( 6 + i) z + 5 + 5i =0
3 уровень
8. Доказать методом математической индукции неравенство 3n-1 > n2 при n > 3
9. Доказать, что функция f: R R R, заданная правилом f(a,b) = 2 -a-b,
определяет ассоциативную бинарную алгебраическую операцию на R.
10. Вычислить
3
i 3
i 1
Контрольная работа по дисциплине «Алгебра»
Вариант 1
1. a) Проверьте образует ли векторное пространство следующая алгебра: множество всех геометрических векторов плоскости, выходящих из точки O, лежащих на осях координат с операциями сложения
18
и умножения на действительные числа. b) Проверьте, образует ли подпространство в R3 множество: A =
{( 2, α, β )| α, β R} ?
2. Какое из данных множеств является подмножеством линейной оболочки векторов a = (1,2) и
b=
(3,6):
a) A = { (1,2), (2,6)};b) B = {(x, y)| x, y Z и y =2x}; c) C = {(x, y) | x, y Q и x =2 y}?
3. Пользуясь элементарными преобразованиями установить линейную зависимость или независимость
системы векторов. Найти один из базисов, вычислить ранг, выразить небазисные векторы через выбранный базис: a1 = (1,3,2); a2 = (1,2,0); a3 = (1,1,-2).
4. Дополнить до базиса систему векторов (a1 , a2), заданную в пространстве R 4 .
a1 = (-1,2,4,3); a2 = (3,2,4,5).
5. Проверить образует ли система векторов (1)(a1 , a2 , a3 ) базис в R 3 и найти координаты вектора x в
этом базисе (1). a1 = (1,2,1); a2 = (2,1,0); a3 = (1,1,-2); x = (6,5,-1).
Вариант 2
1. a) Проверьте образует ли векторное пространство следующая алгебра: множество всех геометрических векторов
плоскости, выходящих из точки O, лежащих на прямых y=5x и y=7x с операциями сложения и умножения на действительные числа. b) Проверьте, образует ли подпространство в R3 множество: A = { ( α, β )| α, β R} ?
2. Какое из данных множеств является подмножеством линейной оболочки векторов a = (1,0) и b = ( 2,0). a)A =
{(0,0), (
2 ,0)}; b) B = {(0, y)| y Z }; c) C = {(1,2)}?
3. Пользуясь элементарными преобразованиями установить линейную зависимость или независимость
системы векторов. Найти один из базисов, вычислить ранг, выразить небазисные векторы через выбранный базис: a1 = (1,-2,1); a2 = (-1,1,0); a3 = (-3,4,-1).
4. Дополнить до базиса систему векторов (a1 , a2), заданную в пространстве R 4 .
a1 = (-2,0,1,2); a2 = (1,3,1,2).
5. Проверить образует ли система векторов (1)(a1 , a2 , a3 ) базис в R 3 и найти координаты вектора x в
этом базисе (1): a1 = (2,1,-3); a2 = (3,2,-5); a3 = (1,-1,1); x = (6,2,-7).
Контрольная работа (текущая) на тему: «Матрицы и определители»
Вариант 1
I уровень
Заполнить пропуски:
1.1. Произведение матриц A3 x 2 и B2 x 4 равно матрице С размерности …, её элемент с23 находится по правилу … .
1.2. Множество матриц … образует векторное пространство над …
1.3. Произведение а12 . а21 . а33 . а44 входит в определитель … порядка со знаком …
2 1 3
1.4. Разложение определителя 1 0 4 по второму столбцу имеет вид …
3 2 5
Определить истинно или ложно утверждение:
1.5. Матрица, определитель которой равен 2, обратима.
1.6. Определитель не изменится, если одну из строк умножить на ненулевое число и прибавить к ней
другую строку.
1.7. Алгебраическое дополнение элемента а21 единичной матрицы Е3 х3 равно: 1) 0; 2) 1; 3) –1.
Указать номер правильного ответа.
II уровень
2.1. Решить матричное уравнение А .Х = В
1 1 2
А= 0 1 2
В =
1
1
1
2 1 0
2 2 3 С =
0 1 0
1
4
5
6
0
1 1
2 1
2 3
2 4
19
0
4
4
2.2. Вычислить определитель матрицы С.
2.3. Решить систему линейных уравнений (1) с помощью правила Крамера.
х1 х 2 3 х 3 1
х 2 3 х3 3
(1)
х х 4х 1
3
1 2
2
1 х х
1 1
1
(2)
1 1 1
1 0
0
3
х
1
0
1
0
IIIуровень
3.1. Решить уравнение (2).
3.2. Доказать, что любой определитель равен полусумме двух определителей, один из которых получен
из данного прибавлением ко всем элементам 1-ой строки числа в, а другой аналогичным образом
прибавлением числа (-в).
Вариант 2
I уровень
Заполнить пропуски:
1.1 Произведение матриц A2 x 4 и B4 x 3 равно матрице С размерности …, её элемент с21 находится по правилу … .
1.2. Множество матриц … образует кольцо.
1.3. Произведение а13 . а24 . а32 . а41 входит в определитель … порядка со знаком …
1 2 0
1.4. Разложение определителя 3 1 2 по третьему столбцу имеет вид …
5 4 3
Определить истинно или ложно утверждение:
1.5. Матрица А3 х 3 , ранг которой равен 2, обратима.
1.6. Общий множитель элементов определителя можно вынести за знак определителя.
1.7. Элемент в12 матрицы В = А31х 3 можно вычислить по формуле: 1) в12 = А12 : |А|; 2) в12 = А21 : |А|;
3) а12 : |А|. (Aij – алгебраическое дополнение элемента аij невырожденной матрицы А). Указать номер
правильного ответа.
II уровень
2.1. Решить матричное уравнение А .Х = В
1 1 3
А= 0 1 3
В =
1 1 2
2 1 0
3 3 3 С =
0 1 0
1
3
4
5
0
1 1
2 1
2 3
2 4
0
4
3
2.2. Вычислить определитель матрицы С.
2.4. Решить систему (1) линейных уравнений с помощью правила Крамера.
х1 х 2 4 х 3 1
х 2 4 х3 3
(1)
х х 5х 1
3
1 2
2
5
2
2
0
0
3
0
5
0
9
2
6
7
2
2
2
0
5
8
7
7
4
5
9
IIIуровень
3.1. Вычислить все члены определителя матрицы А4 х 4 , входящие в него со знаком «минус» и содержащие сомножителем а23.
3.2. Числа 20927, 53227, 20604, 25755, 289 делятся на 17. Доказать, что определитель также делится на
17, не вычисляя его.
III семестр
Контрольная работа по теме: “Многочлены от одной переменной”
20
1. Найти частное и остаток от деления многочлена 8х3 – 3х2 + 5х + 4 на х – 3.
2. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен 3х4 + 8х3 – 2х2 + 6х – 5 по степеням х + 3, найти значение
многочлена и значения его производных при х = –3.
3. Для многочлена х4 – 5х3 + 9х2 – 7х + 2 найти кратность корня х = 1.
4. Вычислить НОД( 2х3 – 7х2 – 5х + 29, 2х2 – 11х + 16 ) и его линейное разложение.
5. Какой остаток дает многочлен при делении на ( х – 1 )( х – 2 )( х – 3 )( х – 4 ), если его остатки при делении на
х – 1, х – 2, х – 3, х – 4 равны соответственно 1, 3, 5, 6 ?
Контрольная работа по темам: “Многочлены над Q, R, C” и
“Многочлены от нескольких переменных”
1. Выразить
х13 + х23 + х33 – х12х22 – х12х32 – х22х32
через основные симметрические многочлены.
2. Найти многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий простой корень
двукратный корень 2.
3. Решить уравнение х3 – 3х2 + 9х – 7 + 6i = 0.
4. Найти все рациональные корни уравнения х4 – х2 + х – 10 = 0.
3
5. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
5
33 25 33 5 1
–i
и
.
Задания для самостоятельной работы
I семестр
Задаёт ли формула ab = a – b бинарную алгебраическую операцию на
А = [0; 1] ?
Будет ли группой множество A = (0; 1) относительно операции ab = a b ?
Будет ли кольцом множество А = (0; 1) относительно операции a+b = 0, и стандартной
операции умножения ?
4. Докажите, что множество K[ 3 ] = {a+b 3 R | a, b Z} является кольцом относительно стандартных операций сложения и умножения в поле R.
5. Будет ли предыдущее кольцо полем ?
6. Записать комплексные числа в тригонометрической формах:
3
1
z = 1 – i 3 , z = 1 + i, z = – 2 + 2 i, z = –
– i
.
2
2
25
38
7. Записать в алгебраической форме z = 333(cos(
) – isin(
)).
4
3
( 5 7 i ) (7 5 i )
8. Вычислить (1 + 23i)(2 – 13i) –
.
( 3 2 i ) ( 2 3 i )
9. Вычислить z101, где z = 2(1 – i).
10. Решить уравнения z3 = 1 + i, z4 = 3 – i, z6 = 2 – 2i.
11. Решить уравнения z2 – 2z + i = 0, iz2 – 3z + i = 0.
1.
2.
3.
II семестр
1. Будет ли векторным пространством над R множество V = M(n, R) относительно стандартной операции + сложения и умножений на скаляры R , заданных правилами А =
A?
2.Будут ли следующие множества подпространствами в R 3 ?
x y z 0
а) W = {(x–y+z, y–x, z+y) R 3 | x, y, z R} , б) W = {(x, y, z) R 3 |
}.
y 2z 0
3.Найти линейную оболочку L(v) и определить, содержит ли она заданный вектор a
а) v = ((1; –1; 2), (–1; 2; 1), (0; 1; 3)), а = (1; 1; 1),
21
4.Найти все соотношения линейной зависимости системы v = ((1; –1; 2), (–1; 2; 1), (0; 1; 3)).
5.Найти базис и ранг системы v = ((–1; 1; 1; 0), (1; –3; 2; 1), (0; –2; 3; 1), (–1; –1; 4; 1)).
6.Найти базисы и размерности векторных пространств:
x y z 0
а) V = {(x–y+z; y–x; z+y) R 3 | x, y, z R} , б) V = {(x; y; z) R 3 |
}.
y 2z 0
7.Проверить, будет ли система векторов ((1; –1; 2), (–1; 2; 1), (1; 2; 3)) базисом векторного
пространства R 3 и найти координаты вектора (3; 4; 5) в этом базисе.
8.Уметь приводить данную матрицу к каноническому ступенчатому виду.
1 1 2 3
Привести матрицу 2 0 0 5 к каноническому ступенчатому виду.
0 0 1 7
1 1 1 0
9.Уметь находить ранг матрицы.
1 1 2 3
Вычислить ранг матрицы 2 0 0 5 .
0 0 1 7
1 1 1 0
10.Уметь находить общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
x y z t 2
Решить систему x 3 y 3 z t 1 .
x y z t 3
11.Уметь находить фундаментальную систему решений однородной системы уравнений.
x y z t 0
Найти фундаментальную систему решений системы x 3 y 3 z t 0 .
x y z t 0
12. Уметь выполнять алгебраические операции с матрицами.
t
0
3 2
Вычислить 1 1 2 1 1 4 3 .
5
0 1 5 2
13. Уметь находить обратную матрицу с помощью элементарных преобразований строк.
1
1 1 2
Найти 0 1 1 .
1 1 3
14. Уметь вычислять определители малых порядков непосредственно по определениям.
2 3 0
3 5 , 5 7 1 .
Вычислить определители
7 11
1 0 2
15. Уметь вычислять определители 3-го, 4-го или 5-го порядков с помощью разложения
по строке или столбцу и с помощью элементарных преобразований строк.
1 1 2 3
2 0 0 5 .
Вычислить определитель
0 0 1 7
1 1 1 0
16. Уметь находить обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений.
1
1 1 2
Найти 0 1 1 .
1 1 3
17. Уметь решать крамеровы системы линейных уравнений по формулам Крамера.
22
8x1 5x2 6 x3 21
Решить систему 6 x1 9x2 8x3 21 .
x1 5x2 2x3 7
18. Уметь находить ранг матрицы методом окаймляющих миноров.
1 1 2 4 3
Вычислить ранг матрицы 0 1 1 2 0 методом окаймляющих миноров.
1 1 3 5 0
3 4 2 5 1
III семестр
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Найти степень многочлена f(x) = (–x+1)(x2+1) + (x2–1)(x+1) – 2x + 1.
Найти частное и остаток от деления f(x) = 2x5–3x3+1 на g(x) = –x3+3x2–x+5.
Разложить многочлен f(x) = 2x5–3x3+1 по степеням двучлена x + 2.
Вычислить значение многочлена f(x) = –x3+3x2–x+5 в точке = –2.
Разделить многочлен 2x5–3x3+1 с остатком на x + 3.
Разложить многочлен f(x) = 2x5–3x3+1 по степеням двучлена x + 2.
Найти НОД и НОК многочленов f(x) = 2x3–3x+2, g(x) = –3x2+2x–1.
Найти линейное разложение Н.О.Д. многочленов 2x3–3x+2, –3x2+2x–1Выполнить деле-
ние с остатком, используя схему Горнера:
f(x) = x5+(1+2i)x4 –(1+3i)x2 +7 на (x+2+ i), вычислить f(-2-i).
7. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен f(x) = x5+6x4+11x3+2x2-12x–8 по степеням
(x+2). Является ли x = -2 корнем многочлена f(x)? Если да, то какова его кратность?
8. Пользуясь схемой Горнера, найдите значение многочлена f(x) и его производных при x=a.
f(x) = x5 - 5x4 + 7x3 - 2x2 + 4x – 8, a = 2.
9. Найти НОД и НОК многочленов f1(x) = x3+2x2+3x+2 и f2(x) = x3 – x2 – 4.
10. С помощью схемы Горнера разложить f(x) по степеням x:
f(x) = 3(x+ 2)5 – 23(x+ 2)4 + 65(x+ 2)3 – 78(x+ 2)2 + 26(x+ 2) + 15.
11. Найти линейное разложение НОД (f(x), (x)), если f(x) = 4x4 - 2x3 – 16x2 + 5x + 9 и
(x) = 2x3 – x2 – 5x + 4.
12. Разложите многочлены на неприводимые множители в Q: a) x4-5x2+6;
b) x4+2x2+9; с) x4 + 4x2 + 4.
13. Выразить через элементарные симметрические многочлены
f(x1,x2,x3) = x13 x 2 x13 x3 x1 x 23 x1 x33 x 23 x3 x 2 x33 ; f(x, y, z ) = x4 + y4 + z4.
14. Найти многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом 2 с действительными
коэффициентами, если он имеет простой корень –i, двукратный корень; двукратные корни –i
и
–2i+3 и однократный корень 1+i, –2.
15. Найти рациональные корни многочлена f(x) = x3 –11x2 + 38x –40; f(x) = x3+x2–5x+3.
16. Доказать неприводимость многочлена f(x) = x7+3x5–6x+3 над Q.
9
17. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби t
. 1 ( 3 2 3 4 1) .
4
4
1 2 8
18. Какой вид имеют элементы расширения поля Q с помощью примитивного элемента
z = 5 2 . Является ли оно алгебраическим или трансцендентным ? Почему ?
19. Найти аннулирующий многочлен для числа = 3 3 2 .
Вопросы к коллоквиуму
I семестр
23
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Система комплексных чисел. Построение модели поля C.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме записи.
Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая
форма записи. Примеры.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме записи,
их геометрическая интерпретация. Примеры.
Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел. Примеры. Геометрическая интерпретация действия извлечения корня n-ой степени.
Двучленные уравнения. Примеры.
I семестр
Общие требования к зачету
Для успешной сдачи зачёта необходимо и достаточно:
1. Не иметь долгов по контрольным и самостоятельным работам, а также по всем прошедшим коллоквиумам.
2. Знать все основные определения и формулировки важнейших результатов по курсу.
3. Уметь решать приведённые ниже стандартные задачи:
1. Доказать равенство множеств:
АВ = А В
2. Проверить, является ли данная формула законом логики:
(А В С) [(A C) (B C)]
3. Изобразить на координатной плоскости декартово произведение
(A B) (A B), где A = [0; 3), B = (1; 5]
4. Проверить свойства бинарного отношения х y х = y2, NN
5. Является ли данное отношение функциональным ? Если является, инъективно, сюръективно, биективно ли оно
?
f = { (х, y) [ 0, +∞ )( –∞ , +∞ ) | y = х2 }
6. Вычислить:
a.
( 1 2i ) 3 ( 1 2i ) 3
,
( 2 i )2 ( 2 i )2
б.
( i 3 )15
( 1 i ) 20
7. Решить уравнения: a. 3z2 – (14 – 8i)z + 8(4 – 3i) = 0, б. z z – 2 z = 3 – i
8. Решить двучленное уравнение z4 + 1 = 0 и изобразить все его корни на комплексной плоскости.
II семестр
Вопросы к экзамену по дисциплине «Алгебра»
ЭКЗАМЕН НА I КУРСЕ (II СЕМЕСТР)
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ “АЛГЕБРА”
I курс (“Педагогическое образование”)
1.
2.
3.
4.
Группы: определение, примеры, простейшие свойства.
Кольца: определение, примеры, простейшие свойства.
Поля: определение, примеры, простейшие свойства.
Поле комплексных чисел. Действия с комплексными числами в алгебраической
форме записи. Примеры.
24
5. Поле комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Действия с комплексными числами в тригонометрической форме записи. Примеры.
6. Многочлены от одного переменного над полем. Алгебраические операции с многочленами: сложение, умножение, умножение на скаляр. Простейшие свойства операций. Кольцо многочленов. Примеры.
7. Матрицы над полем. Основные алгебраические операции над матрицами: сложение, умножение, транспонирование. Простейшие свойства операций: векторное
пространство прямоугольных матриц и кольцо квадратных матриц. Примеры.
8. Матрицы над полем. Канонические ступенчатые матрицы и теорема о приведении
матрицы к каноническому ступенчатому виду. Примеры.
9. Системы линейных уравнений над полем. Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений над полем. Примеры.
10. Критерии совместности и определённости систем линейных уравнений. Примеры.
11. Решение матричных уравнений вида AX = B и YA = B с обратимой матрицей А.
Примеры.
12. Обратимые матрицы: определение, критерий обратимости в терминах ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
строк. Примеры.
13. Определитель обратимости матрицы: миноры, алгебраические дополнения и разложение по строке. Методы вычисления определителей. Примеры.
14. Основные свойства определителей. Примеры.
15. Определитель полураспавшейся матрицы, определитель произведения матриц,
определитель транспонированной матрицы. Примеры.
16. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой. Примеры.
17. Вычисление обратной матрицы с помощью определителей. Примеры.
18. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений. Примеры.
ТРЕБОВАНИЯ К ОТВЕТУ
Для получения оценки “удовлетворительно” необходимо знать основные определения и формулировки теорем (по всему курсу), уметь приводить примеры и решать стандартные задачи.
Для получения оценки “хорошо” нужно, в дополнение к вышеизложенному, уметь доказывать
основные результаты билета.
Для получения оценки “отлично” нужно, кроме прочего, доказать все теоретические результаты
билета.
III семестр
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ АЛГЕБРА
II курс (“Педагогическое образование”)
1. Векторные пространства: определение, примеры, простейшие свойства.
2. Подпространства векторного пространства: определение, критерий подпространства, примеры и простейшие свойства.
3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов в векторном пространстве. Простейшие свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Примеры.
4. Базис, ранг конечной системы векторов и размерность конечномерного векторного
пространства. Примеры.
5. Координаты вектора в базисе. Простейшие свойства координат. Примеры.
25
6. Матрицы над полем. Основные алгебраические операции над матрицами: сложение, умножение, транспонирование. Простейшие свойства операций: векторное
пространство прямоугольных матриц и кольцо квадратных матриц. Примеры.
7. Однородные системы линейных уравнений. Пространство решений однородной системы, его базис (фундаментальная система решений) и размерность. Примеры.
8. Многочлены от одного переменного над полем. Алгебраические операции с многочленами: сложение, умножение, умножение на скаляр. Простейшие свойства операций. Кольцо многочленов. Примеры.
9. Теорема о делении многочленов с остатком. Примеры.
10. Схема Горнера и её использование для вычисления значения многочлена в точке и
деления многочлена на двучлен. Примеры.
11. Корни многочленов. Теорема Безу. Примеры.
12. Рациональные корни многочленов: алгоритм нахождения, примеры.
13. Решение уравнений третьей степени методом Кардано. Примеры.
14. Решение уравнений четвёртой степени методом Феррари. Примеры.
15. Многочлены как функции. Задание многочлена по точкам графика.
16. Интерполяционная формула Лагранжа. Примеры.
ТРЕБОВАНИЯ К ОТВЕТУ
Для получения оценки “удовлетворительно” необходимо знать основные определения и формулировки теорем (по всему курсу), уметь приводить примеры и решать стандартные задачи.
Для получения оценки “хорошо” нужно, в дополнение к вышеизложенному, уметь доказывать
основные результаты билета.
26
ОК-1
ОК-4
Семестр
5
+
8
+
+
5
8–А
+
5
5
5–6
27
+
+
+
5–6
5–
6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
8–А
8–А
9
9–А
А
А
А
А
А
6
6–9
7
7
Основы предпринимательской
деятельности
+
+
+
+
+
2
2
2–3
2–3
+
+
+
+
+
+
7
7–8
Математическая логика и
теория алгоритмов
Теория функций
+
Дискретная математика
+
Итоговая государственная
аттестация
6
+
Теория игр и методы
принятия решений
+
Элементарная математика
2
Исследование операций
1–5
Теория чисел
Практические приложения
метода математической
индукции
1–4
Естественнонаучная
картина мира
Основы математической обработки информации
Программное обеспечение ЭВМ
Физика
Теоретические
основыинформатики
Безопасность жизнедеятельности
Числовые системы
+
Цифровые средства обучения
Педагогика
Математический анализ
Геометрия
+
2
Избранные вопросы алгебры и
геометрии
Групповой подход в алгебре и
геометрии
Теория вероятностей и
математическая статистика
Учебная практика
Практикум решения задач на
ЭВМ
1–3
+
Теория линейных
операторов
+
Основы микроэлектроники
Вводный курс математики
1–3
+
+
Элементы абстрактной и
компьютерной алгебры
4–5
+
Подготовка учащихся к
итоговой аттестации
по математике
+
+
Алгебра
1
Численные методы
1
+
+
Дифференциальные
уравнения
4
+
Современные направления
развития математики
+
+
Приложения математики
в других науках
Семестр
Компьютерное
моделирование
Современные направления
развития математики
ОК-1
ОК-4
История
ОК-1
ОК-4
Семестр
Программирование
Основы искусственного
интеллекта
7.3.3. Перечень компетенций с указанием этапов их формирования
в процессе освоения образовательной программы
(выдержка из матрицы компетенций):
Таблица 10
+
+
+
4
7.3.4. Описание показателей и критериев оценивания компетенций на
различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Умеет: представить
ситуацию на уровне
проблемы
Владеет: простейшими мыслительными
приёмами
анализа и синтеза
повышенный
(отлично)
91-100 баллов
Знает: основы культуры
мышления, способен к
анализу и обобщению информации, может ставить
цели и искать пути их достижения в стандартных
ситуациях
Знает: основы культуры мышления, способен
к анализу и обобщению
информации, может
ставить цели и искать
пути их достижения в
нестандартных ситуациях
Умеет: определять пути и способы решения
проблем, логично формулировать, излагать и
аргументировать собственное видение задачи и способов её решения
Владеет: мыслительными операциями анализа и синтеза, сравнения,
конкретизации,
абстрагирования,
обобщения, классификации, анализирует решение математических
задач, выделяет методы
рассуждения
Умеет: видеть проблемы
и определять пути и способы их решения
Владеет: мыслительными
приёмами анализа, синтеза, сравнения, общими и
специальными методами
решения основных задач,
нахождения путей их решения
28
Оценочные
средства
Знает: основы
культуры мышления, имеет понятие
об информации,
цели и путях её достижения
базовый
(хорошо)
76-90 баллов
самостоятельные работы, контрольные работы,
домашние задания
минимальный
(удовл.)
61-75 баллов
Виды
занятий
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
лекции, практические занятия
ОК-1:
владением культурой мышления, способностью к
обобщению, анализу, восприятию информации, постановке
цели и выбору путей ее достижения
Код
компетенции
Таблица 11.
Знает:
основные
понятия,
базовые
факты,
утверждения и приёмы, имеет представление о
математической
обработке информации при решении
задач
Знает: основные методы решения типовых
задач курса, доказательства
важнейших
результатов,
имеет
представление о применении методов математической обработки
информации при решении задач
Знает: методы доказательства теорем, методы решения задач с
использованием
изученных понятий в нестандартном виде, методы математической
обработки информации
при решении задач
Умеет: приводить
примеры и контрпримеры, сформулировать результат
по образцу
Умеет: решать типовые задачи, находить
способ конструирования объектов, иллюстрирующих
данное
понятие или свойство,
сформулировать
результат задачи самостоятельно
Умеет:
сформулировать результат задачи
самостоятельно,
решать
нестандартные
задачи
Владеет: приемами
решения задач, иллюстрирующих
теорию,
навыком
выделения результата задачи по образцу
Владеет: общими и
специальными приемами решения основных
задач курса, основанными на соответствующих методах, навыком выделения результата задачи самостоятельно
Владеет: навыком выделения результата задачи самостоятельно,
имеет представление о
значении дисциплины в
математике, анализирует решение математических задач, выделяет
методы рассуждения
Оценочные
средства
повышенный
(отлично)
91-100 баллов
самостоятельные работы, контрольные работы, домашние задания
базовый
(хорошо)
76-90 баллов
Виды
занятий
минимальный
(удовл.)
61-75 баллов
лекции, практические занятия
Код
компетенции
нонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации,
теоретического и экспериментального исследования
ОК-4: способностью использовать знания о современной естествен-
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
ЛИТЕРАТУРА
а) основная литература:
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
2. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2009.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лаборатория Базовых
Знаний, 2008.
4. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – СПб.: Издательство
“Лань”, 2008.
б) дополнительная литература:
5. Александров П.С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980.
29
6. Апатёнок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной
алгебре. – Мн: Выш. школа, 1980.
7. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. – М.: Наука, 1983.
8. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. – М.: Наука, 2000.
9. Валицкас А.И., Евсюкова Е.В., Шаипова А.Я., Шебанова Л.П. Разноуровневые задания
по курсу: «Алгебра и теория чисел»: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1998.
10. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
11. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра: Учебное пособие для студентовзаочников I-го курса физико-математических факультетов педагогических институтов. –
М.: Просвещение, 1981.
12. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В. Алгебра. – М.: Просвещение,
1978.
13. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С.
Задачник-практикум по алгебре. Часть I:
Учебное пособие для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1974.
14. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
15. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.
16. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984.
17. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1966.
18. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. – М.: Наука, 1975.
19. Громов А.П. Учебное пособие по линейной алгебре. – М.: Просвещение, 1971.
20. Дальма А. Эварист Галуа – революционер и математик. – М.: Наука, 1984.
21. Евсюкова Е.В. Элементы теории групп: Учебно-методическое пособие для студентов
физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1999.
22. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М.: Наука, 1975.
23. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975.
24. Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. – М.: Наука, 1979.
25. Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1973.
26. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1977.
27. Кириллов В.А. Элементы теории представлений. – М.: Наука, 1978.
28. Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001-2004.
29. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – СПб.: Издательство
“Лань”, 2005.
30. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение,
1993.
31. Ляпин Е.С., Айзенштадт А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. – М.: Наука,
1967.
32. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II. – М.: Просвещение, 1978
33. Лефор Г. Алгебра и анализ. – М.: Наука, 1973.
34. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.
35. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975.
36. Нечаев В.А. Задачник-практикум по алгебре: Учебное пособие для студентов-заочников
II-го курса физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1983Петрова В.Г. Лекции по алгебре и геометрии. Ч I., II. – М.: Владос, 1999.
37. Сирота Е.Р., Евсюкова Е.В. Готовимся к государственному экзамену. Алгебра и теория
чисел. – Тобольск: Изд-во ТГПИ, 1995.
38. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983.
39. Солодовников А.С., Родина М.А. Задачник-практикум по алгебре. Часть IV: Учебное
пособие для студентов-заочников II-го курса физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1985.
30
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Технические средства обучения: компьютер, принтер, ксерокс (для подготовки материалов для учебного
процесса).
Аудитории с мультимедийным обеспечением.
E-mail: www.tgspa.ru
10. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Дисциплина “Алгебра” относится к циклу специальных дисциплин и изучается в I-м, II-м и III-м семестрах I и II курсов. На её изучение отведено 10
зачётных единиц (360 часов), из них аудиторных – 136 часов: 56 часов лекций,
74 часа практических занятий. На самостоятельную работу студентов выделено
161 час. Формы итогового контроля: зачёт в I-м семестре, экзамены – во II-м
и III-м семестрах.
Главная цель курса – изучение основных видов алгебраических структур,
воспитание математической культуры и глубокого понимания, как основного
школьного курса математики, так и сути этого курса с точки зрения высшей математики.
Вместе с тем, изучение курса алгебры в педагогическом институте преследует и следующие цели:
Знание курса необходимо для других предметов, для которых алгебра является поставщиком понятий, дает необходимый математический аппарат
(геометрия, информатика, математический анализ);
Знакомство с приложениями различных тем курса и их значением в математике, в самых различных областях жизни;
Освещение определенных задач элементарной математики с точки зрения
современной науки. Имея высокою эрудицию, из всех подходов к освещению какого-либо вопроса легче выбрать самый целесообразный;
Отдельные разделы курса тесно связаны со школьной программой по математике, а другие являются основой для школьных факультативных курсов.
Это позволяет глубже понимать школьный курс математики и школьные
31
факультативные курсы, создает базу для работы в классах с углубленным
изучением математики, ведения кружковых занятий;
Явная ориентация на профессиональное становление будущего учителя математики.
Некоторые разделы учебной программы могут быть вынесены на самостоятельное изучение (по желанию преподавателя), а некоторые могут быть прочитаны в обзорном порядке. Кроме того, отдельные вопросы программы могут быть
изучены в других дисциплинах (например, во Вводном курсе, математическом
анализе, числовых системах).
Объём самостоятельной работы студентов – 161 час. Особое внимание следует уделить выполнению семестровых заданий, т.к. не решая задачи, невозможно
сознательно усвоить теоретический материал. Что касается теоретических разделов, выносимых на самостоятельное изучение, то их усвоение контролируется с
одной стороны, домашней контрольной работой, а с другой – контрольными вопросами на зачёте. Рекомендуется выполнять все домашние задания. Кроме того,
предусмотрены нестандартные задачи, решая которые студент развивает свое
мышление и более глубоко усваивает материал.
Отчётность по дисциплине в I семестре осуществляется в форме зачёта.
Приём зачёта складывается из трёх компонент: подтверждение умения решать
стандартные задачи (собственно зачёт), приём семестрового задания и контроль
усвоения тем, вынесенных на самостоятельное изучение.
Отчётность по дисциплине в II и III семестрах осуществляется в форме экзамена. В экзаменационные билеты кроме теоретических вопросов включаются задачи.
32
ПРИЛОЖЕНИЕ II
II. Планы лекций
1-й семестр
Раздел 1. Элементы теории множеств и логики.
Лекция 1. Тема Высказывания и логические операции
над ними. Таблицы истинности. Основные законы логики. Множество. Подмножество. Операции над множествами и
их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна.
Тема Понятие упорядоченной пары. Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения, способы их задания, свойства.
Литература. Литература. [30]. Глава 1, § 1. Глава 2. § 1. [30] . Глава 2. § 2.
Лекция 2. Тема Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности.
Фактор-множество.
Разбиение на классы.
Тема Функциональные отношения. Область определения, область значений. Виды
отображений. Композиция отображений.
Литература. [30] . Глава 2.§ 4. [30] . Глава 2.§ 3.
Раздел 2. Основные алгебраические структуры.
Лекция 3. Тема Бинарные алгебраические операции,
их свойства. Аддитивная и
мультипликативная формы записи бинарной операции.
Тема Понятия группы. Примеры и простейшие свойства групп.
Литература. [2] . Глава 7. § 41. [30] . Глава 3. .§ 1. [2] . Глава 7. § 41. [2] . Глава 7. § 37. [30] .
Глава 3.§ 3.
Лекция 4. Тема Понятие кольца. Примеры и простейшие свойства колец.
Тема Понятие поля. Примеры и простейшие свойства полей.
Литература. [2] . Глава 7. § 40. [30]. Глава 3.§ 4. [2] . Глава 7. § 40. [30] . Глава 4 .§5.
Лекция 5. Тема Гомоморфизмы групп, колец, полей, основные свойства и примеры.
Литература. [2] . Глава 7. § 41. [30]. Глава 3. .§ 1.
Раздел 3. Основные числовые системы.
Лекция 6. Тема Поле комплексных чисел.
Алгебраическая форма записи комплекс-
ного числа.
Литература. [2] . Глава 1. § 2. [30] . Глава 4. § 7.
Лекция 7. Тема Геометрическое представление
комплексных чисел и операций над
ними.
Литература. [2] . Глава 1. § 2. [30] . Глава 4. § 7.
Лекция 8. Тема Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Литература. [2] . Глава 1. § 3. [30]. Глава 4.§ 8.
Лекция 9. Тема Корни из комплексных чисел и двучленные уравнения.
Литература. [2] . Глава 1. § 4. [30]. Глава 4.§ 8.
2-й семестр
Раздел 4. Векторные пространства
Лекция 10. Тема Определение и простейшие
свойства векторных пространств. Подпро-
странство. Критерий подпространства.
Литература. [2] . Глава 8. § 44. [30]. Глава 7.§ 1.
Лекция 11. Тема Линейная оболочка системы
векторов. Линейная зависимость и
независимость систем векторов, свойства.
Литература. [2] . Глава 8. § 45. [30]. Глава 5.§1. Глава 7.§ 1, 2.
Лекция 12. Тема Базис и ранг конечной системы векторов.
Тема Базис и размерность векторного пространства.
Литература. [2] . Глава 8. § 45. [30]. Глава 5.§1. [2] . Глава 8. §§ 46, 47. [30]. Глава 7.§ 3.
33
Раздел 5. Системы линейных уравнений
Лекция 13. Тема Первоначальные сведения
о системах линейных уравнений. Элементарные преобразования и равносильность систем линейных уравнений.
Тема Ранг матрицы. Равенство строчечного и столбцового рангов.
Литература.[1]. Глава 1. § 1. [2] . Глава 6. § 34. [30]. Глава 5.§ 2. [2] . Глава 6. §§ 33, 35. [30]. Глава
5.§ 2.
Лекция
14.
Тема
Критерий совместности и определенности систем
линейных
уравнений. Метод Гаусса.
Литература. [2] . Глава 6. § 34. [30]. Глава 5.§ 2.
Лекция 15. Тема Пространство решений однородной
системы линейных уравнений.
Фундаментальная система решений.
Литература. [30]. Глава 5.§ 3.
Раздел 6. Матрицы и определители
Лекция 16. Тема Алгебраические операции над матрицами и их свойства
Литература. [2] . Глава 6. § 33. [2] . Глава 7. § 39. [30]. Глава 6.§ 1.
Лекция 17. Тема Обратимые матрицы. Нахождение обратной матрицы.
Литература. [30]. Глава 6.§ 2.
Лекция 18. Тема Определители 2-го и 3-го порядков. Определитель квадратной
мат-
рицы и его основные свойства.
Тема Определитель произведения матриц. Миноры и алгебраические дополнения:
разложение определителя по строкам и столбцам. Вычисление ранга матрицы с помощью
базисных миноров.
Литература [2] . Глава 5. § § 24-26, 29. [30]. Глава 6.§ 4, 5.. [2] . Глава 7. § 37. Глава 5. § § 30-32.
[30]. Глава 6.§ 5.
Лекция 19. Тема Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических допол-
нений.
Тема Правило Крамера для решения систем линейных уравнений.
Литература. [30]. Глава 6.§ 6. [2] . Глава 5. § 31. [30]. Глава 6.§ 6.
3-й семестр
Раздел 7. Многочлены от одного переменного
Лекция 20. Тема Кольцо K[x] многочленов от одного переменного.
Тема Теорема о делении многочленов с остатком. Значение многочлена.
Теорема
Безу. Схема Горнера и деление многочлена на двучлен.
Литература. [2] . Глава 2. § 7. [1]. Глава 5.§20. [1]. Глава 5.§ 22. [2] . Глава 2. § 8.
Лекция 21. Тема НОД многочленов и его свойства. Алгоритм Евклида
и линейное
разложение НОД.
Литература. [1]. Глава 5.§21. [2] . Глава 2. § 8.
Лекция 22. Тема Разложение многочленов
в произведение неприводимых множите-
лей. НОК многочленов.
Литература. [1]. Глава 10.§48. [2] . Глава 2. § 9.
Лекция 23. Тема Производная многочленов.
Литература. [2] . Глава 2. § 10. [30]. Глава 14.§4.
Разложение многочлена в ряд Тейлора.
Раздел 9. Многочлены от нескольких переменных
Лекция 24. Тема Кольцо многочленов K[x1 , …, xn] от нескольких переменных.
Тема Лексикографическое упорядочение мономов.
Литература. [1]. Глава 11.§51. [2] . Глава 4. § 21 [1]. Глава 11.§51. [2] . Глава 4. § 21.
Лекция 25. Тема Симметрические многочлены: формулы Виета, основная теорема
о симметрических многочленах и следствия из неё.
Литература. [1]. Глава 11.§52. [2] . Глава 4. § 22.
34
Раздел 10.
Многочлены над полями C, R, Q
Лекция 26. Тема Уравнения 3-й и 4-й степеней над С. Кратности корней.
Тема Разложение многочлена над R.
Литература. Литература. [1]. Глава 9.§38. [2] . Глава 1. § 5 [30]. Глава 16. §2.
Лекция 27. Тема Целые и рациональные корни многочленов.
Тема Критерий Эйзенштейна неприводимости многочлена с целыми коэффициен-
тами.
Литература. [1]. Глава 12.§57. [1]. Глава 12.§56.
Лекция 28. Тема Поле алгебраических чисел.
.Тема Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Литература. Литература. [1]. Глава 12.§58 [30]. Глава 17.§2.
В указаниях по литературе приведены номера параграфов по пособию [1] и [2] из списка основной
литературы и [30] дополнительной литературы.
Основная литература
[1] . Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
[2] . Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2009.
Дополнительная литература
[30] . Куликов Л.Я. Алгебра и
теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
35
ПРИЛОЖЕНИЕ III
III. Содержание практических занятий
1 семестр
РАЗДЕЛ I.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ЛОГИКИ
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1
Тема:
Тема:
1.
2.
3.
4.
5.
Тема:
Тема:
Тема:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Тема:
1.
2.
3.
4.
5.
Высказывания и логические операции над ними. Таблицы истинности. Основные законы логики.
Множество. Подмножество. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна.
Знать определения высказывания и операций над ними.
Уметь составлять таблицы истинности, определять являются ли формулы законами логики.
Знать определения операций над множествами и уметь их изображать на диаграммах Эйлера-Венна.
Решить: [4] № № 1.1.-1.4. (неч.), 1.7 (неч.), 1.11 (неч.)
Домашнее задание [4] № № 1.1.-1.4. (чет.), 1.7 (чет.), 1.11 (чет.)
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2
Понятие упорядоченной пары. Прямое произведение двух множеств.
Бинарные отношения, способы их задания, свойства.
Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактор-множество. Разбиение на
классы.
Знать определения прямого произведения двух и нескольких множеств.
Знать понятия бинарного отношения и его свойств.
Знать определения отношения эквивалентности, класса эквивалентности, фактор-множества, разбиения.
Уметь изображать прямые произведения двух интервалов, проверять свойства бинарных отношений
Решить: [4] № № 1.34., 1.35. (неч.), 1.42 (неч.).
Домашнее задание [4] № № 1.35. (чет.), 1.42. (чет.).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3
Функциональные отношения. Область определения, область значений. Виды отображений. Композиция отображений.
Знать определения функционального отношения, отображения, области определения и значений.
Знать определение композиции отображений.
Уметь определять виды отображений.
Решить: [4] № № 1.52. (чет.)
Домашнее задание [4] № № 1.52. (чет).
РАЗДЕЛ II.
ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4
Бинарные алгебраические операции, их свойства. Аддитивная и мультипликативная
формы записи бинарной операции.
Тема:
Понятия группы. Примеры и простейшие свойства групп.
Тема:
1. Следует вспомнить определение бинарной алгебраической операции, ее свойства (ассоциативность,
коммутативность, наличие нейтрального элемента и понятие симметричных элементов), обсудить 2 основные
формы записи бинарной алгебраической операции (аддитивную и мультипликативную), обсудить способ построения таблицы Кэли.
Решить из [4] №№ 8.1. (1-6, 13), 8.3 (1-4).
2. Найти все значения параметров , , R , при которых бинарная алгебраическая операция xy = xy +
x + y на R обладает свойствами
a) ассоциативности, б) коммутативности, в) наличия единицы,
г) существования обратных элементов.
36
3. Вспомнить определение полугруппы, привести примеры.
4.Вспомнить определение группы, привести примеры аддитивных и мультипликативных групп (числовые
и нечисловые), напомнить свойства групп.
Решить №№ из [4] №№ 8.13 (1-4), 8.14. (1-6).
5. Нестандартные задачи: 1. При каком а множество А = {1, 2, 3, 4, 6, a} образует полугруппу относительно следующей операции а◦b= НОК[a, b]; будет ли оно группой?
6. Домашнее задание.
Решить из [4] №№ 8.18, 8.19 (1). Выучить определения кольца, поля, их свойства, уметь приводить примеры.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № № 5-6
Тема:
Тема:
Тема:
Понятие кольца. Примеры и простейшие свойства колец.
Понятие поля. Примеры и простейшие свойства полей.
Гомоморфизмы групп, колец, полей, основные свойства и примеры.
1. Вспомнить определение кольца, его свойства. Назвать основные числовые кольца. Привести примеры
нечисловых колец, некоммутативных колец.
2. Вспомнить определение поля, его свойства. Назвать основные числовые поля. Привести примеры нечисловых полей.
3. Решить из [4] №№ 9.1. (1-5, 13), 9.4. (1-4). 9.16. (для предыдущих задач).
4.Самостоятельная работа.
Примерный вариант самостоятельной работы
«Основные алгебраические структуры»
Вариант 1
1. Определена ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1 следующая
операция
ab=
ab
?
2
В тех случаях, когда операция определена, будет ли она коммутативной, ассоциативной ?
2. Является ли группой множество целых степеней числа 2 относительно умножения ?
3. Является ли кольцом (полем) относительно сложения и умножения множество
K = {a + b 5 | a, b Z}?
4. Докажите, что любая группа, состоящая из трёх элементов абелева.
Вариант 2
1. Определена ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1 следующая
операция
a b = a – b +1 ?
В тех случаях, когда операция определена, будет ли она коммутативной, ассоциативной ?
2. Является ли группой множество всех целых чисел, делящихся на 3 относительно сложения ?
3. Является ли кольцом (полем) относительно сложения и умножения множество
4.
K = {a - b 3 | a, b Z}?
Докажите, что если в группе G, для каждого элемента выполняется равенство a2 = e, то G - абелева ?
3. Домашнее задание. Выучить материал по теме «Группы подстановок». Решить задачи:
1. Определена ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1 следующая операция
2.
3.
a b = ab ?
В тех случаях, когда операция определена, будет ли она коммутативной, ассоциативной ?
Является ли группой множество {0, 1, 2, 3, 4, 5} относительно операции a b = r, где r – остаток от деления ab
на 6 ?
Является ли кольцом (полем) относительно сложения и умножения множество
K = {a + b 7 | a, b Z}?
4 .Докажите, что любая группа, состоящая из четырёх элементов абелева.
*
5.. Вспомнить определения гомоморфных (изоморфных) групп, колец, полей, привести примеры.
6. Домашнее задание.
Решить из [4] №№ 9.72 (5,6,7), 8.70 (3).
37
РАЗДЕЛ III.
ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7
Тема:
Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа.
1. Вспомнить понятие мнимой единицы, определение комплексного числа, равенства комплексных чисел,
алгебраической записи комплексного числа, определение сопряженных чисел, правил сложения, умножения, вычитания и деления комплексных чисел, геометрическую интепретацию действий сложения и вычитания комплексных чисел, записанных в алгебраической форме.
Решить из из [4] №№ 2.2 (1-2), 2.4. (1-6).
2. Освоить метод извлечения квадратного корня комплексного из числа, записанного в алгебраической
форме записи. Вспомнить формулы для вычисления корней квадратного уравнения.
Решить из [4] №№ 2.15 (1-4), 2.16. (1-5).
3. Вспомнить формулу Бинома Ньютона, треугольник Паскаля.
Решить из [4] №№ 2.20 (1-4).
4. Нестандартные задачи:
Найдите квадратное уравнение, со старшим коэффициентом (1-i), имеющее ровно два комплексных корня: 3+i и 2-3i.
5. Домашнее задание.
Решить из [4] №№ 2.15 (5-9), 2.16. (6-7).
Выучить действия над комплексными числами в тригонометрической форме записи.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8
Тема:
Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
1. Вспомнить геометрическую интерпретацию комплексного числа, определение модуля и аргумента комплексного числа, значения тригонометрических функий (sin, cos) основных углов.
2. Решить из [4] №№ 22.
3. Решить из [4] №№ 2.4.6 (1-4); 2.50 (1-7); 2.53 (4, 5, 6, 7)
4. Вспомнить правила умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме.
Решить из из [4] №№ 2.26. (1-6).
5. Вспомнить геометрическую интерпретацию действий умножения и деления в тригонометрической форме.
6. Нестандартные задачи:
Найдите аргументы следующих комплексных чисел: cos
6
i sin
6
; cos
3
i sin
3
.
7. Домашнее задание.
Решить из из [4] №№ 2.22 (13-16), 2.16. (6-7).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 9
Тема:
Корни из комплексных чисел и двучленные уравнения.
1. Вспомнить правила умножения, деления и возведения в степень и извлечения корня n-ой степени из
комплексных чисел в тригонометрической форме.
Решить из из[4] №№ 2.36 (1-12).
2. Обсудить способ решения двучленных уравнений.
Решить из из [4] № 2.37(1,2)
3. Нестандартные задачи:
Найдите аргумент комплексного числа cos
6
i sin
cos i sin .
6
3
3
4. Домашнее задание.
Решить из [4] №№ 2.36 (13-15). № 2.37(3).
11 семестр
РАЗДЕЛ IV .
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 10
38
Определение и простейшие свойства векторных пространств. Подпространство. Критерий подпространства.
Тема:
1. Вспомнить определение векторного пространства.
Решить из [4] №№ 4.1. (1-8).
2. Вспомнить определение подпространства, критерий подпространства.
Решить из [3] №№ 1285, 1287, 1289.
3. Вспомнить определение n-мерного арифметического векторного пространства Rn.
Ответить на вопросы:
Является ли векторным пространством а) C над R; б) R над C ?
4. Нестандартные задачи:
В множестве всех двумерных векторов R2 над полем R обычным образом определена операция сложения, но не-
сколько иначе определено умножение вектора на число: R a, b R a, b a, b . Определить
образует ли R2 над полем R относительно этих двух операций векторное пространство?
5. Домашнее задание.
Решить из [3] №№ 1286, 1288, 1290.
2
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 11
Линейная оболочка системы векторов. Линейная зависимость и независимость систем
векторов, свойства.
Тема:
1. Вспомнить определение линейной оболочки конечной системы векторовn.
Решить из [4] №№ 4.5(1), 4.6 (1).
Вспомнить определение линейно зависимой и независимой системы векторов.
Решить из [4] №№ 4.14 (1,2), 4.22 (1-5).
2. Вспомнить свойства линейно зависимости, критерий линейной зависимости.
Решить из [4] № 4.7. (1-6).
3. Тест
Какая из систем в R3 является линейно независимой?
1. а = (0, 0, 3), b = (0, 2, 3), с = (1, 0, 3);
2. а = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0), с = (0, 0, 0);
3. а = (1, 2, 3), b = (1, 0, 0), с = (2, 2, 3);
4. а = (1, 2, 1), b = (0, 2, 3), с = (2, 4, 2);
4. Нестандартные задачи:
Выяснить линейно зависима или независима система векторов, в линейно зависимой системе выберите
максимальную линейно независимую подсистему:
a) z1 = 2, z2 = 3i, z3 = 4 + 6i.
б) z1 = 1 – i, ) z2 = 1 + i, ) z3 = 3.
Тема:
Базис и ранг конечной системы векторов.
5. Вспомнить определение элементарных преобразований конечной системы векторов, эквивалентных систем векторов, базиса и ранга конечной системы векторов.
Задача
Пользуясь элементарными преобразованиями установить линейную зависимость или независимость данной системы векторов. Найти 1 из базисов, вычислить ранг, выразить небазисные векторы через выбранный базис:
а) а1 = (1, -1, 2), а2 = (2, 0, 1), а3 = (-1, -3, 4);
б) а1 = (1, 1, 2), а2 = (3, -1, 01), а3 = (5, -3, -2);
в) а1 = (2, 1, -1, 3), а2 = (-1, 3, -2, 1), а3 =(1, 2, 3, -1), а4 = (1, 12, 5, -1), а3 = (5, 0, 13, -5).
6.Решить из [4] №№ 4.14 (1,2). 4.29 (1,2).
7. Нестандартные задачи:
Вычислите ранг системы арифметических векторов над полем комплексных чисел, приведя ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями:
a) а1 = (i, i, 1, 0), а2 = (1, 2, 0, 1), а3 = (1, 1,0, 1+i).
8. Домашнее задание.
Решить из [4] №№ 4.29 (3, 4). Решить из [4] №№ 4.5 (2). 4.6 (2). 4.22 (6), 4.18 (4, 5).
Выучить определение системы образующих, базиса и размерности векторного пространства, их свойств,
теорему о единственности разложения вектора по базису, понятие координат вектора.
39
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 12
Тема:
Базис и размерность векторного пространства. Координаты вектора в базисе.
1. Вспомнить определение системы образующих, базиса и размерности векторного пространств, их
свойства, теорему о разложении вектора по базису, понятие координат вектора.
Задача
Доказать, что система векторов является базисом в R3. Найти координаты вектора х в этом базисе:
а) а1 = (1, 2, 1), а2 = (1, 1, 1), а3 = (0, 0, 1), x = (1, 2, 3).
Решить из из [4] №№ 4.44 (1,2, ). 4.47 (1,2), 4.49 (1, 2)
2. Нестандартные задачи:
При каких значениях , , , данная система векторов образует базис арифметического векторного
пространства над полем действительных чисел:
(1, , ), (0, 1, ), (0, 0, 1)?
3. Самостоятельная работа
Вариант 1
1. Пользуясь элементарными преобразованиями установить линейную зависимость или независимость
системы векторов. Найти один из базисов, вычислить ранг, выразить небазисные векторы через выбранный базис: a1 = (1,2,1); a2 = (3,0,-1); a3 = (5,-2,-3).
2. Дополнить до базиса систему векторов (a1 , a2), заданную в пространстве R 4 .
a1 = (1,3,5,4); a2 = (2,4,1,2).
3.
Проверить образует ли система векторов (1)(a1 , a2 , a3 ) базис в R 3 и найти координаты вектора x в
этом базисе (1).
a1 = (1,1,1); a2 = (1,1,2); a3 = (1,2,3); x = (6,9,14).
Вариант 2
1. Пользуясь элементарными преобразованиями установить линейную зависимость или независимость
системы векторов. Найти один из базисов, вычислить ранг, выразить небазисные векторы через выбранный базис: a1 = (-1,1,2); a2 = (2,1,0); a3 = (5,1,-2).
2. Дополнить до базиса систему векторов (a1 , a2), заданную в пространстве R 4 .
a1 = (2,1,3,2); a2 = (1,3,2,4).
3.
Проверить образует ли система векторов (1)(a1 , a2 , a3 ) базис в R 3 и найти координаты вектора x в
этом базисе (1):
a1 = (2,1,-3); a2 = (3,2,-5); a3 = (1,-1,1); x = (6,2,-7).
5. Домашнее задание.
Решить из [4] №№ 4.47 (3, 4), 4.39(3)
II семестр
РАЗДЕЛ V .
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 13-14
Ранг матрицы. Равенство строчечного и столбцового рангов.
Тема:
Критерий совместности и определенности систем линейных уравнений.
Метод Гаусса нахождения общего решения системы линейных уравнений.
Тема:
1. Вспомнить определение линейно зависимой и независимой конечной системы векторов, базиса и ранга
конечной системы векторов. Повторить способ вычисления ранга конечной системы векторов.
Задача
Проверить, образует ли каждая из следующих систем векторов базис пространства R3 и найти координаты
вектора x в каждом из этих базисов.
a) e1 = (1,1,1), e2 = (1,1,2), e3 = (1,-2,3), x = (6,9,14)
40
b) e1 = (2,1,-3), e2 = (3,2,-5), e3 = (1,-1,1), x = (6,2,-7)
2. Вспомнить определение ранга матрицы (максимальное количество линейно независимых строк
(столбцов) матрицы). Рассмотреть способ вычисления ранга матрицы приведением ее к ступенчатому виду.
Решить из [4] №№ 4.28 (1-2).
3. Вспомнить определение системы линейных уравнений (с.л.у.), решения с.л.у., равносильных систем, элементарных преобразований над с.л.у., метод Гаусса.
Решить №№ из [4] №№ 4. 18 (4-5).
4. Нестандартные задачи:
Приведите следующие матрицы к ступенчатому виду и исследуйте зависимость ранга от параметров
, , , :
а) A
;
1
б) B 0 1
0 0
.
1
5. Вспомнить теорему Кронекера- Капели.
Задача
Исследовать систему на совместность и решить ее:
6 x1 3x2 4 x3 3
x1 x2 x3 1 0
а)
; б)
; в)
3
x
x
2
x
2
x
x
x
5
5
0
1
2
3
1
2
3
x1 x2 3
2 x1 4 x2 12 ; г)
7 x 5 x 23
2
1
3x1 4 x 2 x3 7
x1 2 x 2 3x3 0 ;
7 x 10 x 5 x 2
2
3
1
5 x1 8 x 2 3x3 11
x 3x 2 x 5
1
2
3
д)
.
3x1 2 x 2 x3 1
x1 x 2 1
6. Сформулировать алгоритм отыскания числа решений произвольной системы линейных уравнений.
7. Тест
Матрица системы линейных уравнений имеет вид:
2 1 1 2 4
0 1 2 1 2
0 0 2 2 0
Укажите верные и неверные утверждения:
1. Система имеет единственное решение (1, 1, 1, 1).
2. В общем решении системы 3 главных и 1 свободное неизвестное.
3. Система приведена к треугольному виду и поэтому имеет единственное решение.
4. Система неопределенная, ее общее решение зависит от двух свободных неизвестных.
5. Система имеет бесконечно много решений, так как приведена к виду трапеции.
4. Нестандартные задачи:
Сколько решений имеет система уравнений (2)?
x1 2 x2 2 x3 4
(2) x1 ( t 5 )x 2 2 x3 4
2 x 2 x ( t 2 )x 1
2
3
1
5. Домашнее задание.
Решить из [4] №№ 4.32 (1,2).
Выучить все первоначальные сведения о системе линейных уравнений, определение линейного многообразия, направляющего подпространства, вектора сдвига, фундаментальной системы решений системы линейных
уравнений.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 15
41
Пространство решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
Тема:
1. Вспомнить определение однородной и неоднородной системы линейных уравнений, теоремы о количестве решений однородной системы, определение фундаментальной системы решений.
2. Сформулировать алгоритм отыскания числа решений однородной системы линейных уравнений.
3. Исследовать и решить систему линейных однородных уравнений и построить фундаментальную систему решений.
3x1 2 x 2 x3 0
а) 5 x1 4 x 2 3x3 0 ;
4 x 3x 2 x 0
2
3
1
б)
x1 x2 3x3 x4 0
;
x1 x2 5 x3 4 x4 0
3x1 2 x2 x3 x4 x5 0
6 x1 4 x2 x3 x4 2 x5 0
в)
4. Найти базис и размерность линейного пространства решений системы линейных однородный уравнений.
x1 x 2 3x3 0
x x x 2x 0
1
2
3
4
;
2 x1 x 2 4 x3 x 4 0
x1 2 x 2 5 x3 x 4 0
5. Вспомнить определение линейного многообразия решений системы линейных уравнений, направляющего подпространства (подпространства решений соответствующей однородной системы линейных уравнений), вектора сдвига,
теорему о связи между решениями неоднородной системы уравнений и соответствующейей однородной системы.
6. Найти базис направляющего подпространства и вектор сдвига линейного многообразия решений системы линейных уравнений.
x1 2 x 2 x3 x 4 1
x1 x 2 x3 x 4 1
2 x 5 x 3 x x 2
1
2
3
4
а) 2 x1 x 2 x3 2 x 4 2 ; б)
; в)
x1 x 2 6 x3 4 x 4 1
x 2x 2x x 1
2
3
4
1
x1 3x 2 4 x3 2 x 4 1
3x1 2 x2 3x3 4 x4 1
2 x1 3x2 2 x3 3x4 2
4 x 2 x 3x 2 x 3
2
3
4
1
7. Нестандартные задачи:
1. Как изменится количество решений системы (1), если к ней добавить
Сколько решений имеет система уравнений (2)?
2 x1 x 2 3 x 4 5
(1) x1 2 x 2 3 x3 4 ;
x x x x 3
2
3
4
1
уравнение
x 2 - 2x3 + x4 = -1? 2.
x1 x 2 tx3 1
(2) x1 tx2 x3 1
tx x x 1
2
3
1
Математический диктант
Закончить фразу:
1. Система линейных уравнений называется однородной, если …
2. Система линейных уравнений называется неоднородной, если …
3. Решением системы линейных уравнений называется …
4. Система линейных уравнений называется совместной, если…
5. Система линейных уравнений называется несовместной, если…
6. Система линейных уравнений называется определенной, если …
7. Система линейных уравнений называется неопределенной, если …
8. Согласно критерию система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда…
9. Однородная система линейных уравнений имеет единственное нулевое решение, если …
10. Однородная система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если …
11. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если…
8.
Самостоятельная работа № 1 по теме “Системы линейных уравнений”
Вариант 1
Исследуйте систему на совместность и определите количество решений системы линейных уравнений (1).
Найти базис направляющего подпространства и вектор сдвига линейного многообразия системы линейных
уравнений (1).
Как изменится количество решений системы (1), если к ней добавить
уравнение
5x1 - 5x2 + 3x3 = 8?
Сколько решений имеет система уравнений (2)?
9.
1.
2.
3.
4.
42
x 2 x3 0
x1 x 2 x 3 6
(1) 2 x 1 3 x 2 x 3 1 ; (2) tx1 x 2 tx3 1
x x 2
3 x 2 x 2 x 7
1
3
2
3
1
Вариант 2
Исследуйте систему на совместность и определите количество решений системы линейных уравнений (1).
Найти базис направляющего подпространства и вектор сдвига линейного многообразия системы линейных
уравнений (1).
3. Как изменится количество решений системы (1), если к ней добавить
уравнение 3x1 - 3x2 + 2x3 - 2x4 = 7?
4. Сколько решений имеет система уравнений (2)?
1.
2.
x1 x2 2 x3 2 x4 5
(1)
;
x1 x2 x3 3
2 x 2 x x 2 x 4
2
3
4
1
x1 2 x 2 tx3 1
(2) tx1 x 2 t
x x x 1
2
3
1
4. Домашнее задание.
Решить семестровые задания по теме: «Системы линейных уравнений».
Решить из [4] №№ 4.64 (1, 2, 3).
РАЗДЕЛ VI .
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 16
Тема:
Алгебраические операции над матрицами и их свойства
1. Работа над ошибками по результатам самостоятельной работы.
2. Вспомнить определения и свойства операций над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы
на скаляр, умножение матриц).
3. Решить из [4] №№ 3.2 (1, 2), 3.3 (1-7), 3.4 (1, 2), 3.5 (1, 2)
4. Нестандартные задачи:
Пусть Х – квадратная матрица2-го порядка. Решите уравнения: 1)Х2 = Е; 2) Х2 = Х.
5. Домашнее задание.
Решить из [4] №№ 3.6
Выучить определение обратимой матрицы, критерий обратимости матрицы, способ вычисления обратной
матрицы с помощью присоединения единичной матрицы.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 17
Обратимые матрицы. Нахождение обратной матрицы. Решение некоторых
матричных уравнений.
Тема: .
1. Вспомнить определение обратимой матрицы, критерий обратимости матрицы, способ вычисления
обратной матрицы с помощью присоединения единичной матрицы.
Решить из [4] №№ 3.38 (1, 3, 4, 5, 6).
3. Обсудить способ решения матричных уравнений.
Решить из [4] №№ 3.40 (1, 2, 3)
4. Нестандартные задачи:
Найти обратную матрицу. При каких ограничениях на параметры матрица обратима?
1
а) 0 1
0 0
;
1
б)
1
1
.
5.Самостоятельная работа по теме “Обратная матрица. Матричные уравнения”
Вариант 1
1. Вычислить A-1 и сделать проверку. 2. Решить матричное уравнение A X = B.
43
1 1 2
A = 0 1 1 , B =
1 1 3
1 1 3
4 3 2
1 2 5
Вариант 2
1. Вычислить A-1 и сделать проверку. 2. Решить матричное уравнение A X = B.
1 1 3
A = 0 1 2 , B =
1 1 4
8 3 0
5 9 0
2 5 0
6. Домашнее задание.
Решить из [4] №№ 3.40 (4)
Решить семестровое задание по теме: “Действия над матрицами. Обратная матрица ”. Выучить определение подстановки, понятие инверсии, четной и нечетной перестановки и подстановки, способ нахождения знака
подстановки.
Выучить определение определителя 2-го и 3-го порядка, схему треугольника, свойства определителей.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 18
Тема:
Тема: Группы подстановок. Четность и знак подстановки.
Тема: Определители 2-го и 3-го порядков.
Тема: Определитель квадратной матрицы и его основные свойства.
1. Работа над ошибками по результатам самостоятельной работы №2.
2. Вспомнить определение перестановки, подстановки, привести пример подстановок третьей степени
(S3), их табличную запись (стандартную и нестандартную).
3. Вспомнить когда пара чисел образует инверсию, определение четной и нечетной перестановки и подстановки, назвать все четные подстановки третьей степени (А3).
Решить из [4] №№ 3.24 (1 - 4), 3.25 (1-2).
4. Нестандартные задачи:
1. Определить число инверсий в перестановке n, n-1, n-2,…, 2, 1.
2. Определить число инверсий в перестановках:
а) 1, 3, 5, 7, …, 2n-1, 2, 4, 6, …., 2n; б) 2, 4, 6, 8, ...,1, 3, 5,…, 2n-1.
5. Вспомнить когда пара чисел образует инверсию, определение четной и нечетной перестановки и подстановки, определить знаки всех подстановок в S3.
Решить из [4] №№ 3.27 (1 - 4), 3.28 (1,3).
6. Вспомнить определение определителя 2-го и 3-го порядка, схему треугольника, свойства определителей.
Решить из [3] №№ 231 (а, б, д), 128 (а, б, с, д, е), 256 (а, б, с).
7. Нестандартные задачи:
1
Вычислить определитель 1
1
2
2
2
.
8. Домашнее задание.
Решить из [3] №№ 43, 45, 47, 49, 57, 59.
Выучить определение определителя n-го порядка, его свойства, определения минора, алгебраического дополнения, теорему о разложении определителя по строке (по столбцу).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №19
Тема: Миноры
и алгебраические дополнения: разложение определителя по строкам
и столбцам.
Тема: Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.
Тема: Правило Крамера для решения систем линейных уравнений.
44
1. Вспомнить определение определителя n-го порядка, его свойства, определения минора, алгебраического дополнения, теорему о разложении определителя по строке (по столбцу).
2. Решить из [4] №№ 3.31 (1 - 3), 3.33 (1 - 3), 3.35 (1, 2)
4. Нестандартные задачи:
1 9 4
1. Докажите, что определитель
2 9 1 делится на 97.
3 8 8
2 7 5
2. Докажите, что определитель
5 5 0 делится на 275.
8 2 5
5. Вспомнить определение присоединенной матрицы и теорему о вычислении обратной матрицы с помощью присоединенной.
Задача
6. Вычислить обратную матрицу А-1 с помощью вычисления присоединенной матрицы:
1 0 1
1 0 0
1 2 3
1) А = 0 0 2 ; 2) А = 0 5 0 ; 3) А = 4
0 5 ;
1 3 1
0 0 6
1 2 3
1 3 4
1 2 5
4) А = 3
5 6 ; 5) А = 1 3 3 .
2 2 10
1 1 2
7.. Сформулировать теорему о решении системы линейных уравнений с помощью правила Крамера.
Задача
Решить системы линейных уравнений с помощью правила Крамера:
2 x1 x 2 x 3 4
1) 3x1 4 x 2 2 x 3 11 ; 2)
3x 2 x 4 x 11
2
3
1
x1 x 2 2 x 3 11
x1 2 x 2 x 3 11 ;
4 x 3x 3x 24
2
3
1
8. Повторить способ вычисления определителя с помощью разложения по строке (по столбцу).
3 3 5 8
3 2
4 6
1)
;
2 5 7 5
4
3
2 5 3 1
3 7 3 1
2)
.
5 9 6 2
6
5
4 6 3
9. Нестандартные задачи:
0
1
1
1 ... 1
1
1
1
Вычислить определитель n-го порядка: 1
...
1
1
0
1
1
...
1
1
1
0
1
...
1
1
1
1
0
...
1
1
1
1
1
...
1
0
4. Домашнее задание.
Решить из [4] №№ 3.33 (4, 5), 3.30(3 - 4).
[4] №№ 3.54 (1, 2, 3).
111 семестр
45
...
...
...
...
...
...
1
1
1
...
0
1
1
РАЗДЕЛ VIII . МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 20-22
Тема: Кольцо K[x] многочленов от одного переменного
Тема: Теорема о делении многочленов с остатком.
Тема: Значение многочлена. Теорема Безу.
Тема: Схема Горнера и деление многочлена на двучлен.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Напомнить понятие многочлена от одного переменного и основные алгебраические операции с многочленами.
Практиковаться в алгебраических вычислениях с многочленами.
Напомнить теорему о делении многочленов с остатком.
Научить делить многочлены столбиком.
Напомнить понятия значения многочлена в точке, нуля многочлена, Теорему Безу.
Освоить вычисление значения многочлена по схеме Горнера.
Освоить деление многочлена на двучлен по схеме Горнера.
Освоить разложение многочлена по степеням двучлена по схеме Горнера.
Решить: [4]: № № 11.14 (неч). 11.15 (1, 3). 11.17 (1, 3), 11.18 (1, 3).
Домашнее задание.
Решить из : [4]: № № 11.14 (чет). 11.15 (2). 11.17 (2, 4), 11.18 (2).
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № № 23-24
Тема:
НОД многочленов и его свойства. Алгоритм Евклида и линейное разложе-
ние НОД.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Напомнить определение наибольшего общего делителя нескольких многочленов.
Напомнить алгоритм Евклида.
Освоить вычисление НОД(f, g) по алгоритму Евклида.
Освоить вычисление (f1 , … , fn) = (((…((f1 , f2), f3), … ), fn–1 ), fn ).
Напомнить понятие линейного разложения наибольшего общего делителя нескольких многочленов.
Освоить вычисление линейного разложения НОД(f, g) по алгоритму Евклида.
Освоить вычисление линейного разложения НОД(f1 , … fn ).
Решить: Из [4]: № № 11.37(1, 2). 11.38. ((1, 3) НОД). 11.49(1, 3).
Домашнее задание.
Решить Из [4]: № № 11.37(3, 4). 11.38. 11.49(2).
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 25-27
Тема: Разложение многочленов в произведение неприводимых множителей. НОК
многочленов.
Тема: Производная многочленов. Разложение многочлена в ряд Тейлора
1.
Напомнить определение наименьшего общего кратного нескольких многочленов.
2.
Освоить вычисление НОК[f, g] по формуле НОК[f, g] =
3.
4.
5.
f ( x ) g( x )
.
НОД( f , g )
Освоить вычисление [f1 , … , fn] = [[[…[[f1 , f2], f3], … ], fn–1 ], fn ].
Решить: из [4]: № 11.38((1, 3) НОК).
Напомнить определение формальной производной многочлена.
6.
Найдите НОК[f(x), f(x)], если f(x) = a p1 1 ( x ) ... pk k ( x ) – каноническое разложение в произведе-
7.
ние простых многочленов над полем.
Решить: из [4]: № 11.38((2, 4) НОК).
8.
9.
Напомнить формулу разложения в ряд Тейлора.
Освоить алгоритм разложения в ряд Тейлора с помощью схемы Горнера.
46
10. Решить: из [4]: № 11.16. (1, 3).
11. Домашнее задание.
Решить: из [4]: № 11.16. (2).
3-й семестр
РАЗДЕЛ XI: МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 28
Кольцо многочленов K[x1 , …, xn] от нескольких переменных. Лексикографическое упорядочение мономов.
Тема:
Напомнить понятие многочлена от нескольких переменных и основные алгебраические операции с
многочленами.
Практиковаться в алгебраических вычислениях с многочленами.
Доказать, что идеал (x, y) в кольце F[x, y] не является главным.
Доказать, что в кольце F[x, y] не выполнена теорема о делении с остатком.
Напомнить определение лексикографического порядка мономов.
Решить: [4]: № 12.7 (1, 3), 12.9.
Докажите, что если m1
m2 , то m12
m22 (m1 и m2 – мономы от n переменных). Верно ли обратное
утверждение ?
Докажите, что если s N m1
m2s , то в m1 участвует переменная, отсутствующая в m2 . Верно ли
обратное утверждение ?
Домашнее задание.
Решить: из [4]: № 12.7. (2, 4).
1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № № 29-30
Тема:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Симметрические многочлены: формулы Виета, основная теорема о симметрических
многочленах и следствия из неё.
Напомнить понятие симметрического многочлена.
Решить: [4]: № № 12.10 (1, 3), 12.11 (1).
Напомнить алгоритм выражения симметрического многочлена через элементарные симметрические
многочлены.
Решить: из [4]: № № 12.14 (1, 3, 5), 12.15 (1, 2).
Напомнить формулы Виета для корней многочлена.
Решить: 12.17 (1, 3)
Домашнее задание.
Решить: из [4]: № № 12.14 (2, 4), 12.15 (3).
РАЗДЕЛ XII: МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЯМИ С, R, Q
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 31-32
Тема: Уравнения 3-й и 4-й степеней над
1.
2.
3.
4.
5.
6.
С.
Напомнить метод Кардано решения алгебраических уравнений третьей степени.
Решить: [4]: № 11.81 (неч).
Напомнить метод Феррари решения алгебраических уравнений четвёртой степени.
Решить: [4]: № 11.82. (неч)
Найдите необходимые и достаточные условия для того, чтобы многочлен x4 + px2 + q (p, q Q) разлагался на нетривиальные множители в Q[x].
Домашнее задание.
Решить: из [4]: № № 11.81. (чет). 11.82 (чет).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 33
Тема:
Кратности корней. Разложение многочлена над R.
47
1.
2.
3.
4.
5.
Напомнить определение кратности корня многочлена и методы её вычисления: деление на двучлен по
схеме Горнера и с помощью производных.
Найдите кратности корней многочленов:
1. x4+13x3+60x2+112x+64 2. x4–11x3+36x2–16x–64
3. x4–5x3–9x2+81x–108
4. x4–10x3+33x2–40x+16
4
3
2
5. x +2x –3x –4x+4
6. x4–x3–3x2–5x–2
Напомнить основной результат о разложении многочлена над R на линейные и квадратные множители.
Решить: из [4]: № № 11.59. (чет). 11.83. (чет).
Домашнее задание.
Решить: из [4]: № № 11.59. (чет). 11.83. (чет).
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № № 34-35
Тема:
1.
2.
3.
4.
Целые и рациональные корни многочленов.
Напомнить теорему о рациональных корнях многочлена.
Освоить метод отсеивания посторонних рациональных корней:
Решить: [4]: № № 13.3 (неч.). 13.7 (1,3).
Домашнее задание.
Решить: [4]: № № 13.3 (чет.). 13.7 (2).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 36
Тема:
Критерий Эйзенштейна неприводимости многочлена с целыми коэффици-
ентами.
2.
3.
1. Напомнить критерий Эйзенштейна неприводимости многочлена с целыми коэффициентами.
Решить: из [4]: № № 13.12 (1, 3, 5, 7).
Домашнее задание.
Решить: из [4]: № № 13.12 (2, 4, 6, 8).
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ №№ 37-38
Тема: Поле алгебраических чисел.
Тема:
1.
2.
3.
4.
4.
.
Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Напомнить понятие алгебраического числа.
Решить: из [4]: № № 13.29 (3, 5), 13.30, 13.33(1).
Напомнить алгоритм освобождения от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Решить: из [4]: № № 13.36. (1, 3, 5, 7).
Домашнее задание.
Решить: из [4]: № № 13.36. (2, 4, 6,8).
48
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
Содержание самостоятельной работы студентов
1. Материалы для текущего контроля
Примерный перечень домашних заданий приведен выше в приложении II (содержание
практических занятий).
Примерный перечень контрольных и самостоятельных работ, вопросы к коллоквиумам приведены выше в
рабочей программе (п. 7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости).
2. Материалы для промежуточного контроля
Материалы для промежуточного контроля приведены выше в рабочей программе (п. 7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации).
49
ПРИЛОЖЕНИЕ V
Текущий и промежуточный контроль
Текущий контроль
В каждом семестре (1, 2, 3) проводится не менее одной контрольной работы. В первом
семестре проводится 1 контрольная работа, 2 самостоятельные работы и 1 коллоквиум. Во втором семестре проводится 1 контрольная работа,2 самостоятельные работы, 2 коллоквиума. В
третьем семестре проводится одна контрольная работа и две самостоятельные работы, 1 коллоквиум. На каждом занятии предлагается домашнее задание. Наиболее эффективен контроль выполнения домашних заданий на каждом занятии.
Промежуточный контроль
В I семестре по дисциплине «Алгебра» проводится зачет. В рабочей программе (п. 7.3.) представлены требования к зачету, вопросы и задачи для проведения зачета. Экзамен по дисциплине «Алгебра» предусмотрен во II и
III-м семестрах. В рабочей программе (п. 7.3.) представлены вопросы и задачи для проведения экзамена.
50
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
ЛИТЕРАТУРА
а) основная литература:
1.
2.
3.
4.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2009.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2008.
Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – СПб.: Издательство “Лань”,
2008.
б) дополнительная литература:
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
Александров П.С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980.
Апатёнок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной
алгебре. – Мн: Выш. школа, 1980.
Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. – М.: Наука, 1983.
Белоногов В.А. Задачник по теории групп. – М.: Наука, 2000.
Валицкас А.И., Евсюкова Е.В., Шаипова А.Я., Шебанова Л.П. Разноуровневые задания по
курсу: «Алгебра и теория чисел»: Учебно-методическое пособие для студентов физикоматематических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1998.
Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С.
Алгебра: Учебное пособие для студентовзаочников I-го курса физико-математических факультетов педагогических институтов. –
М.: Просвещение, 1981.
Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В. Алгебра. – М.: Просвещение,
1978.
Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. Часть I: Учебное пособие для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1974.
Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.
Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1966.
Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. – М.: Наука, 1975.
Громов А.П. Учебное пособие по линейной алгебре. – М.: Просвещение, 1971.
Дальма А. Эварист Галуа – революционер и математик. – М.: Наука, 1984.
Евсюкова Е.В. Элементы теории групп: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1999.
Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М.: Наука, 1975.
Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975.
Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. – М.: Наука, 1979.
Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1973.
Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1977.
Кириллов В.А. Элементы теории представлений. – М.: Наука, 1978.
Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001-2004.
Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – СПб.: Издательство
“Лань”, 2005.
51
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение,
1993.
Ляпин Е.С., Айзенштадт А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. – М.: Наука,
1967.
Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II. – М.: Просвещение, 1978
Лефор Г. Алгебра и анализ. – М.: Наука, 1973.
Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.
Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975.
Нечаев В.А. Задачник-практикум по алгебре: Учебное пособие для студентов-заочников
II-го курса физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1983Петрова В.Г. Лекции по алгебре и геометрии. Ч I., II. – М.: Владос, 1999.
Сирота Е.Р., Евсюкова Е.В. Готовимся к государственному экзамену. Алгебра и теория
чисел. – Тобольск: Изд-во ТГПИ, 1995.
Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983.
Солодовников А.С., Родина М.А. Задачник-практикум по алгебре. Часть IV: Учебное
пособие для студентов-заочников II-го курса физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1985.
52