В.И. Сушков Сверхкраткий справочник по элементарной математике

В.И. Сушков СПбГПУ, каф. высшей математики
Сверхкраткий справочник по элементарной математике
Множество натуральных (природных) чисел N = {1,2,3,...}. Простые числа делятся без остатка только на себя и на 1.
Всякое натур. число есть либо простое либо произведение простых (расклад-ся единствен. образом). Число m делится на n
без остатка, если все делители n (с учетом их кратности) являются делителями m. При поиске простых делителей числа n
достаточно перебрать числа от 2 до n ; вместе с неудачным числом (не делитель) из этого списка сразу удалять и кратные
ему. НОД (наибольший общий делитель) двух натуральных чисел m и n можно построить либо по их разложениям в
произведение простых (составить произведение их общих делителей, взятых в наименьшей степени, встречающейся в обоих
разложениях) либо алгоритмом Евклида (делить большее не меньшее, затем делить делители на остатки вплоть до
получения нулевого остатка; последний делитель есть НОД). НОК (наименьшее общее кратное) чисел m и n можно
получить, если составить произведение простых делителей, взятых в наибольшей степени, встречающейся в обоих
разложениях.
Множество вещественных (действительных) чисел R (real): рациональные Q и иррациональные R\Q (косая черта вычитание множеств). Рациональные представимы в виде обыкновенных дробей z/n (z-целое, n - натуральное) и в виде
десятичных конечных или бесконечных, но во втором случае - периодических дробей. В десят. записи дробь z/n будет
конечной, если n имеет вид n=2k5m. Числитель z и знаменатель n рац. дроби можно умножить (разделить) на одно и то же
число (деление используют для сокращения дроби, умножение - для приведения к общему знаменателю с целью
последующего сложения, следует использ. наименьший общий знаменатель, т.е. НОК знаменателей). Для перевода из вида
z/n в вид беск. период. десятичной дроби (десятичной, - не обязательно, можно и двоичной и др.) надо делить z на n
"уголком" и следить за остатками (не более чем за n шагов остаток повторится и с этого места начнет повторяться послед-ть
цифр в частном). Обратное преобразование - либо с помощью ф-лы суммы беск. убыв. геом. прогр., либо с помощью
уравнения (пример: x=0.(36)=0.363636... тогда 100x=36,(36) отсюда 99x=36 поэтому x=36/99=4/11). Иррац. числа в
десятичной записи есть бесконечная (после запятой) послед. цифр, не обладающая периодом. Добавление иррац. чисел к Q
позволило приписать всем отрезкам длину (т. пифагорейцев: 2 - иррац. число).
Алгебра Действия с дробными выражениями - такие же, как с рац. числами: и числитель и знаменатель дроби можно
умножать (делить) на одно и тоже выражение (деление использ. для сокращения дроби, умнож. использ. для приведения
неск. дробей к общему знаменателю с целью их сложения; следует использ. НОК). Действия со степенями для a>0: anam =
an+m; an/am = an-m ; (an)m = anm; a1/ n =
n
a (основная идея: показатель степени = кол-во сомножителей). Модуль |x|=-x если x<0,
x2  x . Бином Ньютона: (a+b)n=an+Cn1an-1b1+ +Cn2an-2b2+...+bn [всего
n+1 слагаемых; Cnk=n!/(k!(n-k)!) = "бином. коэфф-т" = "число сочетаний"; Cnk+Cnk+1= Cn+1k+1 - принцип построения треуг-ка
Паскаля; n! =1∙2∙3∙...∙n = число перестановок; 0!=1; C n0 = Cnn =1]; в частности (a+b)2=a2+2ab+b2= "квадрат суммы", (a+b)3=
a3+3a2b+3ab2+b3="куб суммы", (a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4; (a-b)n = (a+(-b))n = способ получить ф-лу степени разности.
Геом. прогр.: послед. чисел a0, a0q, a0q2, a0q3... a0qn,... ; an= a0qn; an= a1qn-1; an= amqn-m; q ="знамен.прогр."; сумма n подряд
идущих членов am+amq+... ...+amqn-1 = am(1-qn)/(1-q) или 1+q+...+qn-1 = (1-qn)/(1-q) или an+an-1b1+an-2b2+...+bn = (an-bn)/(a-b), в
частности a2-b2=(a-b)(a+b)="разность квадратов", a3-b3 = =(a-b)(a2+ab+b2)="разность кубов", a3+b3=(a+b) (a2-ab+b2)="сумма
кубов"; сумма беск. (n→∞) убыв.по модулю (|q|<1) прогр: a0+a0q+a0q2+...=a0/(1-q) или 1/(1-q)=1+q+q2+q3+..., пример 0.(36) =
0.3636...= =0.36/(1-0.01)= 4/11. Арифм. прогр.: a0, a0+d, a0+2d, a0+3d,...; an= a0+nd; an= a1+(n-1)d; an= am+(n-m)d; d="разность";
сумма n подряд идущих членов a1+...+an=(a1+an)n/2.
Комплексные числа и алгебра многочленов (полиномов)= ф-ций, в которых над x и постоянными числами выполн. только
сложение, вычитание и умножение. Стандартный вид полинома - сумма одночленов в порядке убывания степеней x: Pn(x)=
anxn+...a2x2+a1x+a0; где an назыв. старшим коэфф-том, a0 - свободным (от x) членом, наиб. степень n - степенью мн-на. Сумма
и произведение двух мн-нов есть мн-н. При умножении мн-нов их степени складываются. При суммировании - могут
взаимно погаситься и степень суммы может оказаться меньше (если старшие коэфф-ты равны по величине и противопол. по
знаку). Мн-ны можно делить "уголком" с остатком (как многозначные целые числа). Число x0 назыв. корнем мн-на P(x), если
P(x0)=0. Теорема Безу: P(x0)=0 тогда и только тогда, когда P(x) без остатка делится на (x-x0) (т.е. P(x)= (x-x0)Q(x)). Теорема о
рациональных корнях полинома с целыми коэффициентами: если рац. число z/m - корень мн-на с целыми коэфф-тами, то |z|
- делитель свободного члена, m - делитель старшего коэфф-та (отсюда следует рецепт подбора рац. корней полинома с
целыми коэфф. или выяснения их отсутствия). Процедура выделения полного квадрата для кв. трехчлена: ax2+bx+c = =a(x2 +
2xb/(2a) + b2/(4a2) - b2/(4a2)) + c = a(x+b/(2a))2- (b2 -4ac)/(4a) позволяет построить график функции y= =ax2+bx+c
преобразованием графика y=x2 (сдвиг на -b/(2a) по горизонтали, растяжение в a раз по вертикали, смещение на -(b2 4ac)/(4a) по вертикали), указать тип экстремума (мах или min), положение и величину экстремума y(-b/(2a)) = -(b2 -4ac)/(4a),
положение оси симметрии x = -b/(2a) графика. Если D=b2-4ac >0, то процедура дает разность квадратов a((x+b/(2a))2 - (b2 4ac)/(4a2)) = a((x+b/(2a))2 - ( D /(2a))2)) и ф-лу корней кв. трехчлена x = (-b± D )/(2a). В случае D=0 кв. трехчлен с
точностью до множителя a оказывается полным квадратом a(x+b/(2a))2 (отсюда для D название "дискриминант", т.е. то, что
надо уничтожить, чтобы был полный квадрат). Комплексные числа C: упорядоченные пары (комплексы) вещественных
чисел (a,b), снабженные покомпонентными сложением и вычитанием (породили сложение и вычитание векторов) и
специальным умножением (a,b)*(c,d)=(ac-bd, ad+bc). В частности, (0,1)*(0,1)=(-1,0) (т.е. i2=-1). Деление и извлечение корня
см. ниже. Все свойства операций - как у вещественных чисел. Нейтраль по сложению =(0,0), нейтраль по умножению = (1,0).
Пары вида (a,0) образуют замкнутое относительно арифм. операций подмножество: (a,0)+(b,0)=(a+b,0); (a,0)*(b,0)=(ab,0),
ничем, кроме обознач. не отлич. от вещ. чисел. Обознач. (a,0) = a; пару (0,1) обознач. i, тогда (a,b) = (a,0)+(0,b) =
(a,0)+(b,0)*(0,1) = a+b i = алгебраическая форма к.ч. К.ч. исторически появились в алгебр. форме a+b i как воображаемые
корни кв. трехчлена, имеющего D<0 ((Кардано, Бомбелли, вторая половина 16 в.: рецепт Тартальи решения кубических урий требовал в промежуточном действии решать некое кв. ур-ие с D<0, но зато потом давал вещественный корень кубичного
ур-ия). Символ i, облад. св-вом i2=-1, назыв. "мнимой единицей" (воображаемой, imaginare). Сегодня число a назыв.
вещественной частью к. числа, число b (вещественное!) - мнимой частью к.числа a+bi. Число вида bi (b - веществ).
иначе |x|=x; отсюда для вещественных x получаем:
называют мнимым числом. Термин "вещественное" (действительное) число появился как антоним к "мнимому". Со времен
Гаусса (ок.1800 г) мн. ед. i не "воображ." число, а пара (0,1), т.е. точка на оси OY (а еще - вектор и оператор поворота на
90º- см. ниже). Деление компл. чисел в алг. форме: и числитель и знаменатель умножить на к.ч., сопряженное к знаменателю
(имеющее мнимую часть противопол. знака), что избавит знаменатель от мнимой составляющей и позволит отделить
веществ. и мнимую части (пример: (1+2i)/(3+4i)=[(1+2i)(3-4i)] / [(3+4i)(3-4i)] = =(11+2i)/25=(11/25)+(2/25)i. Триг. форма к.ч.
= переход к полярной системе координат: x+yi = r (cos α + i sin α). Число r = длина вектора (x, y) = x 2  y 2 наз. модулем
компл. числа x+y i и обозн. |x+y i |. Свойства модуля: |u*v|=|u|*|v|, |u+v|≤|u|+|v| (нер-во треугольника); для вещ. чисел модуль
совпадает с обычным |x+0i|=|x| - это причина одинакового их обозначения. Угол α, измеренный от оси OX до радиус-вектора
(x, y) (положит. направл. - против час. стрелки), назыв. "аргументом" компл. числа x+y i. В частности, arg i = 90º. При
умножении к. чисел в триг. форме их модули умножаются, а углы - складываются: (r (cos α + i sin α) )(R (cos β + i sin β))= (rR
)(cos(α+β) + i sin(α+β)) (проверка - непосредств.). Поэтому линейная функция c*z (где c=a+bi = const, z = x+iy = переменная),
оказывается оператором поворота радиус - вектора z на угол arg c и растяжением его в |c| раз. В частности, функция iz
поворачивает радиус- вектор z на 90º. Возведение в (натуральную) степень n есть (n-1)-кратное повторение правила
умножения к. чисел в триг форме, поэтому: (r (cos α + i sin α))n = rn (cos nα + i sin nα) (ф-ла Муавра). Отсюда - ф-ла
вычисления всех n корней n степени из комплексного числа: r1/n (cos ((α+2kπ)/n) + i sin ((α+2kπ)/n)) где k=0,1,2,..(n-1) (корни
расположены в вершинах правильного n-угольника с центром (0,0) на окружности радиуса n r ). Показательная форма
компл. числа имеет основой формулу Л.Эйлера: cos α + i sin α = =exp(iα) (м.быть доказана, в частности, вычислением
предела lim(1+ iα/n)n). В показат. форме правило сложения углов при умножении к. чисел совпадает с правилом сложения
показателей: exp(iα)*exp(iβ)= exp(i(α+β)). Ф-ла Эйлера позволяет выразить sin x = (exp(ix)-exp(-ix))/(2i); cos x = (exp(ix)+exp(ix))/2, и на этой основе продолжить эти функции на множество комплексных чисел (так что, например, становится
разрешимым ур-ие sin z = 2, но z здесь - комплексное). Корни полиномов и разложение полиномов в произведение
неприводимых. Корни полинома 2 степени (м.быть - комплексные) отыскиваются по ф-ле (см. выше). Для полиномов 3 и 4
степеней есть ф-лы Феррари и Кардано, но пользоваться ими неудобно. Для отыскания корней полиномов больших степеней
формул не существует (Руффини, начало 18 в.: из операций +,-,*,/, "извлечь корень", взятых в конечном кол-ве, невозможно
составить формулу, позволяющую отыскивать корень произвольного полинома степени 5. Оговорка: для некоторых
специальных видов полиномов 5 степени такие формулы есть, например для x5+a0). В инж. практике корни полиномов
находят приближенно. Основная теорема алгебры комплексных чисел (Гаусс, 1799 г.): полином n степени (с веществ. или
комплексными коэфф-тами) имеет хотя бы один корень (м.быть - комплексный). Следствие из т. Гаусса и т. Безу: всякий
полином раскладывается в произведение мн-нов 1-й степени: Pn(x)=an(x-x1) (x-x2)... (x-xn), т.е. имеет ровно n корней (м.быть комплексных) с учетом их кратности (повторяемости). Последнее утв. можно сопоставить с разложимостью натур. числа в
произв. простых: среди мн-нов в C простыми (неразложимыми, неприводимыми) оказались только мн-ны 1 степени. Если
все коэфф-ты мн-на вещественны, то комплексные корни встречаются парами: корень и сопряженный к нему. Поэтому,
перемножив содержащие их линейные мн-ны, мы увидим, что в R неприводимыми (простыми) оказываются мн-ны 1
степени и мн-ны 2 степени с отрицательными дискриминантами (все остальные расклад-ся в произведение таких).
Логарифмы и экспоненты. Школьное определение: y = loga x  ay = x; т.е. логарифм числа x по основанию a есть
показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить x. Еще можно сказать, что логарифмическая ф-ция y =
loga(x) - обратная к показательной (экспоненте) y = ax. При a=10 пишут lg (десятичный лог-м), при a=e пишут ln
(натуральный лог-м). Примеры: lg(1000)=3; lg(0.01)=-2; log2(16)=4. Школьные ограничения: a >0, x>0, a≠1. Множество
значений функции y = loga x - все вещ. числа. Слово "логарифм" ввел, видимо, Непер (начало 17 века, "логос арифмос" =
"кратность чисел", в те времена a2/b2, a3/b3, a4/b4, - называли отношениями 2-ой, 3-ей, 4-ой кратностей, по нашему это степени рациональных чисел, а иных тогда и не знали). Логарифм родился из понимания одинаковости свойств операций
сложения и умножения: догадались сопоставлять друг другу члены арифметической и геометрической прогрессий (причем
для большей подробности таблиц q брали чуть-чуть отличающимся от 1). Тогда произведение чисел из геом. прогрессии
(степеней числа q) взаимно -однозначно соответствует сумме чисел из арифм. прогрессии (это - показатели степени числа q).
Таким образом составленная таблица (логарифмов) позволяла в приближенных вычислениях ручное умножение
многозначных чисел заменить ручным сложением (их логарифмов) log(uv)= log (u)+ log (v), а ручное деление - ручным
вычитанием log(u/v) = log(u)-log(v). Позднее стало ясно, что эти таблицы позволяют приближенно вычислять корни и
вообще любые вещественные степени: log(am)=m log(a) (здесь m - любое вещественное). Наименьший труд требовало
составление таблиц логарифмов при основании a вида (1+1/n)n, где n >>1 (Непер использовал число (1-1/n)n при n=107 ).
Отсюда родилось число e = lim(1+1/n)n при n→∞. e ≈ 2.718281828. Показат. ф-ция y=ex (экспонента с основанием e) имеет
уникальное свойство y' = y, к-рое обеспечивает ее присутствие во многих законах природы. Логарифм сегодня - не
механизм для ручных вычислений, - он важен, как ф-ция, обратная экспоненте. В частности, в теории вероятностей log 2(x)
используют для вычисления объема информации. Основные свойства, кроме вышеуказанных: loga b=logc b / logc a (переход
от основания a к основанию c); степень основания можно вынести за знак логарифма, но - в знаменатель; возведение
основания и аргумента в одинаковую степень не меняет логарифм. Графики логарифма и экспоненты симметричны друг
другу относительно биссектрисы y=x (они - вз. обратные ф-ции, то, что для одной аргумент, для другой - значение ф-ции,
т.е. у них x и y меняются ролями). Если основание a>1, то логарифм loga x (и экспонента ax) - возрастает, как функция от x.
При 0<a<1 они убывают. Графики функций ax и (1/a)x симметричны относительно OY, т.к. (1/a)x = a(-x). Графики логарифмов
с основаниями a и 1/a симметричны относительно оси OX. Просто по точкам нарисовать график y = 2 x, затем симметричный ему относительно прямой y=x график y=log2(x); потом - симметричный ему же относительно OY график 0.5 x
и затем - график log 0.5(x). Они дают представление о всех типичных графиках экспонент и логарифмов. Монотонностью
логарифмов и экспонент следует пользоваться при решении уравнений и неравенств: logax =logab  x=b; (loga x > loga b) и (a
>1)  x>b. Решая неравенства вида (logaz)*f > 0 (или <0 и т.п.) множитель logaz (если основание a>1) можно заменять на (z1), к-рый имеет те же знаки значений (хотя сами значения - иные; надо также не забыть требование z>0); если a<1, - то
заменять на (1-z) с ограничением z>0. Часто вместо искомого числа проще вычислить его логарифм. Простейш. примеры:
вычислить 5log2536; решение: log2536 = log56 поэтому ответ=6; решить нер-во lg x <3; решение: 3= lg 1000, lg x <lg 1000 
0<x<1000; решить нер-во 2x < 5; для реш. логарифмируем обе части и учтем, что log2x -возрастающая ф-ция: 2x < 5  log2 2x
< log2 5  x < log2 5; решить нер-во: lg(x+1)*lg(x+2)/ln(x-1) <0; реш.: (x>1) и (x≠2) и x(x+1)/(x-2)<0  1<x<2.
Векторы и тригонометрия. Векторы на (вещественной) плоскости R2 - множество упорядоченных пар чисел (ax , ay),
снабженное операциями сложения (покомпонентно) и умножения на число (все компоненты сразу). Аналогично векторы в
пространстве R3 - упорядоченные тройки чисел (с теми же операциями). Компоненты вектора как числа = их координаты =
длины проекций вектора на оси координат, взятые со знаком "+", если проекция направлена вдоль оси, и со знаком "-" в
противном случае. Таким образом на R2 при традиционном для школы расположении осей координат вектор со знаками
компонент (+,+) направлен вправо-вверх; (+,-) - вправо вниз и т.д. Оси координат могут быть не перпендикулярны, - в любом
случае проекцию вектора делаем отрезками прямых, параллельных осям. Это обеспечивает свойство: сложение векторов по
правилу цепочки (или параллелограмма) соответствует сложению их одноименных координат; вектор является суммой
своих вектор-проекций на оси. Вектор-проекции на оси называют также компонентами вектора (но это не числа, а векторы).
Если оси перпендикулярны и масштаб на них = 1, то такая система координат называется ортонормированной. В ней
скалярное произведение векторов определяют формулой (далее векторы = жирными буквами, числа - обычными): ab =
axbx+ayby+azbz. Эта ф-ла исторически - самая первая для ск. произв. Ее можно рассматривать как результат умножения двух
скобок: (axi+ayj+azk)( bxi+byj+bzk) с учетом i2=j2=k2=1, ij=jk=ki=0. Свойства формулы, вытекающие из нее самой: (0)результат операции = число (скаляр), - отсюда название операции; (1)- коммутативность (перестанов. сомнож.) ab=ba; (2)линейность относительно обоих сомнож. (ma + nс)b= m(ab) + n(сb); аналогично по b; (3)- aa=(обозн. a2) =|a|2 (квадрат
длины вектора, верно по т-ме Пифагора); (4)- при повороте системы координат (или при одинаковом повороте векторов a и
b относит-но сист. координат) все координаты векторов a и b меняются, а их скалярн. произведение ab - нет; док-во: вычесть
почленно две формулы (a+b)2=a2+2ab+b2 и (a-b)2=a2-2ab+b2, выразить ск. произведение через квадраты длин диагоналей
пар-мма ab=((a+b)2-(a-b)2)/4; длины векторов при их повороте не меняются, след-но левая часть рав-ва - тоже; (5)- вторая
формула для ск. произведения: ab=ab cos(C), где C - наим. угол между a и b; док-во: пользуясь св-вом (4) повернем векторы
a и b на одни и те же углы вокруг осей координат так, чтобы b лег вдоль OX, а лег в плоскость XOY, тогда их координаты a
= (a cos(C) , a sin(C), 0) и b = (b, 0, 0); отсюда по ф-ле ск. произв. получаем ab=abcos(C)+0+0 ч.т.д.; следствие - ненулевые
векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда ab=0; (6)- косинус разности двух углов: cos(α-β)= cos(α) cos(β)+
sin(α) sin (β); док-во: пользуясь св-вом (4) повернем векторы a и b на одни и те же углы вокруг осей координат так, чтобы
они легли в плоскость XOY, тогда их координаты a =(acos(α) , asin(α), 0) и b =(bcos(β), bsin (β), 0); вычисляя левую и правую
части рав-ва ab= ab по двум ф-лам ск. произв., сократив на ab, получаем требуемое; (7) теорема косинусов: в любом
треугольнике c2=a2+b2-2ab cos(С); док-во: c=a-b, поэтому c2=a2-2ab+b2, ч.т.д.; аналогично можно использовать (a+b)2; (8)
проекция вектора a на вектор b: величина (число со знаком "+" если проекция направлена вдоль b) Прab=a cos(ab) = ab/b=aeb
(где eb - вектор длины 1, направленный вдоль b); вектор-проекция Прab= ((ab)/(bb)) b = (Прab) eb ; (9) ур-ие прямой на
плоскости с норм. вектором: A(x- x0) +B(y- y0)=0 (если раскрыть скобки, то Ax+By=D ); его запись в виде скалярного
произведения N(r-r0)=0 позволяет увидеть в нем условие перпендикулярности вектора N=(A,B) и вектора r-r0 = (x- x0, y- y0),
концы которого лежат на плоскости; если вектор N заменить нормированным (имеющим такое же направление, но длину 1,
т.е. единичным) n = eN = N / |N|, то выражение n(r-r0) совпадет с формулой проектирования вектора (r-r0) на перпендикуляр
(нормаль) к прямой и потому оно равно расстоянию от этой прямой до точки r = (x, y); D/|N| оказалось равно расстоянию от
прямой до (0,0) (вектор n стали называть "нормированным" или "нормальным" и со временем это слово вытеснило собой
слово "перпендикулярный"); все обстоит точно так же для уравнения плоскости в трехмерном пространстве (A(x- x0) +B(yy0) +C(z-z0) =0 (если раскрыть скобки, то Ax+By+Cz =D ) и для гиперплоскости в n-мерном пространстве; нормальный
вектор задает наклон (прямой в R2, плоскости в R3, гиперплоскости в Rn).
Определение cos(α) и sin(α) для произвольного угла α (Л.Эйлер): "x" и "y" координаты единичного вектора, образующего с
осью OX угол α. В школе используют "тригонометрический круг" - окружность радиуса 1 с центром (0,0). Знаки cos(α) и
sin(α) в зависимости от величины α (по четвертям плоскости или по направлению вектора вправо-вверх, влево-вверх, влевовниз, вправо-вниз): для cos(α) (+,-,-,+), для sin(α) (+,+,-,-). Косинус - четная функция cos(-α)= cos(α); синус - нечетная sin(-α)=
-sin(α). tg(α)= sin(α)/ cos(α) - нечетная. В прямоуг.тр-ке cos(α) - отношение прилежащего катета к гипотенузе, sin(α) противолежащего к гипотенузе. Основное тригонометрическое тождество: cos2(α)+sin2(α)=1 - теорема Пифагора, дает
возможность выразить абс. величины триг. фукнций друг через друга, определить знаки найденных значений можно только
по информации о четверти, в к-рой находится угол. Из (6) по нечетности синуса и четности косинуса: cos(α+β)=cos(α-(β))=cos(α)cos(-β)+sin(α)sin(-β)= cos(α)cos(β)-sin(α) sin (β). По формуле приведения для угла π/2: sin(α+β)=cos(π/2-α-β)=cos(π/2α) cos(β)+ sin(π/2-α)sin (β)= sin(α) cos(β)+ cos(α)sin (β). По нечетности синуса и четности косинуса: sin(α-β)= sin(α) cos(-β)+
cos(α)sin (-β)= sin(α) cos(β)- cos(α)sin (β). Отсюда следуют ф-лы двойного угла: sin(2α)=2 sin(α) cos(α) и cos(2α)= cos2(α) sin2(α). Делением получаем: tg(α-β)=(sin(α) cos(β)- cos(α)sin (β))/(cos(α)cos(β)+sin(α)sin (β))= =(tg(α)-tg(β))/(1+ tg(α)tg(β)).
Последняя ф-ла используется для вычисления tg угла между двумя прямыми, заданными ур-иями
с угловым
коэффициентом: y=k2x+b2 и y=k1x+b1 : tg(α-β)=(k2-k1)/(1+k1k2). Из нее следуют условия параллельности и
перпендикулярности прямых: k2 = k1 и k2 k1 = -1. Из нечетности тангенса получаем tg(α+β)= tg(α-(-β))= (tg(α)-tg(-β))/(1+
tg(α)tg(-β))= (tg(α)+tg(β))/(1- tg(α)tg(β)); затем tg(2α)= 2tg(α)/(1- tg2(α)). Далее: sin(2α)=2 sin(α) cos(α) = 2sin(α) cos(α)/(
sin2(α)+cos2(α))= 2tg(α)/(1+ tg2(α)); cos(2α)= cos2(α) - sin2(α)=( cos2(α) - sin2(α))/( cos2(α) + sin2(α))= (1-tg2(α))/(1+ tg2(α)). В итоге
получаем возможность выразить sin x, cos x, tg x через t = tg(x/2) - так наз. универсальная подстановка, позволяющая иногда
избавиться от тригонометрии: cos x = (1-t2)/(1+t2); sin x = 2t/(1+t2); tg x = 2t/(1- t2). Формулы половинного аргумента :
cos2(x/2)=(1+cos x )/2; sin2(x/2)=(1-cos x )/2; tg2(x/2)=(1-cos x )/ (1+cos x ). Закономерность: переход к удвоенному углу
снижает степень с 2 до 1 и наоборот. Функции, обратные к тригонометрическим: arcsin(x) - обратная ф-ция к sin(x) на
промежутке [-π/2, π/2], график симметричен синусоиде относительно прямой y=x. Решение уравнения sin x = a (где a лежит
в [-1,1]): x = (-1)n arcsin(a)+n π ; arccos(x) - обратная ф-ция к cos(x) на промежутке [0, π], график симметричен косинусоиде
относительно прямой y=x. Реш. ур-ия cos x = a (a -из [-1,1]): x = ± arccos(a)+2nπ ; arctg(x) - обратная ф-ция к tg(x) на
открытом промежутке (-π/2, π/2), график симметричен тангенсоиде относительно прямой y=x. Реш. ур-ия tg x = a (a любое): x = arctg(a)+nπ. Верно: arcsin(x) + arccos(x) = π/2 для x из промежутка [-1,1]; arctg(x) + arcctg(x) = π/2 для любых x.
Треугольник однозначно задается набором из трех элементов, указанных в одном из признаков равенства треугольников: (I)
две стороны и угол между ними, (II) сторона и два прилегающих к ней угла, (III) три стороны. Вычислить величины
недостающих трех элементов треугольника (углы или стороны) можно по т. косинусов (7) или/и по т.синусов: 2S=ab sin(C) =
bc sin(A)=ac sin(B) откуда sin(C)/c = sin(A)/a=sin(B)/b.
Производные функций (дифференцирование). По определению y' (x) = lim (y/x) = lim [(y(x+x)-y(x))/ x] при x 0.
Отсюда следуют, например, const' = 0; (x2)'= lim [( (x+x)2-(x)2)/ x] = lim[2x+x]=2x; аналогично (xn)' = nxn-1 ; sin' (x) = lim
[(sin(x+x)-sin(x))/ x]= lim [(2sin(x/2)cos(x))/ x]= cos(x); производная экспоненты (ex)' получается из определения числа e
= lim (1+1/n)n при n. Правила вычисления производных: u'+v'=(u+v)'; u'-v'=(u-v)'; (uv)'=u'v+uv'; (u/v)'=(u'v-uv')/v2;
(z(y(x)))'=z'(y(x))*y'(x) (цепное правило, производная сложной функции, производная суперпозиции функций). Отсюда:
cos'(x)= (sin(π/2-x))'=cos(π/2-x)* (π/2-x)'=-cos(x); (tg(x))'=(sin(x)/cos(x))'=1/cos2(x). Дифференцирование взаимно-обратных
функций: f(g(x)) x  f '(g(x))*g ' (x)  1 g ' (x)  1/ f '(g(x)). Отсюда: (ln(x))'=1/exp'(ln x) = 1/x; (arcsin(x))' = 1/cos(arcsin(x)) =
1/(1-x2)1/2; (arccos(x))' = (π/2- arcsin(x))'=-1/(1-x2)1/2; (arctg(x))' = 1/cos2(arctg(x)) = 1/(1+x2). Использование производной:
уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0 , f(x0) ) : y-f(x0)=f ' (x0)(x-x0) или dy= f ' (x0)dx (дифференциал). f '
(x0) - скорость изменения функции y=f(x) в точке (x0 , f(x0) ). Если f ' (x0) > 0 , то функция растет в некоторой окрестности
точки x0; если f ' (x0) < 0 , то функция убывает в некоторой окрестности точки x0;. Необходимое условие экстремума гладкой
функции: если f (x0) - локальный максимум (минимум), то f ' (x0) = 0. Достаточное условие экстремума: если в точке x0
меняет знак производная f ' (x0). Если f '' (x) > 0, то f ' растет  график функции f (x) обращен выпуклостью вниз (и
наоборот). Еще достат. условие максимума: f ' (x0) = 0 и f ' (x0) < 0. Интегралы. F(x) = первообразная для f (x)  F ' (x) = f (x).
Неопределенный интеграл  f (x) dx = F(x)+C (совокупность всех первообразных, обозначения происходят от символа суммы
S для определенного интеграла, придуманы Лейбницем). Таблица интегралов = таблица производных задом наперед.
Правило дифференцирования произведения = правило интегрирования "по частям": udv = uv - vdu. Например: arctg(x)dx =
arctg(x)*x - x d arctg(x) = arctg(x)*x - x /(1+x2) dx = arctg(x)*x - 1 /(1+x2) d(x2/2) = arctg(x)*x - 1/21 /(1+x2) d(1+x2) = arctg(x)*x
- 1/2ln |1+x2| +C. Определенный интеграл: площадь подграфика, разность значений первообразной на краях интервала
интегрирования (F(b)-F(a)).