СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ
«ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. С.Л. СОБОЛЕВА»
(ИМ СО РАН)
УДК 512
№ госрегистрации 01201067695
Инв.№ 02201151976
УТВЕРЖДАЮ
Директор ИМ СО РАН
д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН
______________ С. С. Гончаров
«___»_________ 2012 г.
ОТЧЕТ
О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ
В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические
кадры инновационной России» на 2009-2013 годы
по Государственному контракту от 20 сентября 2010 г. № 14.740.11.0346
с дополнительным соглашением от 10 февраля 2012 г. №1
Шифр заявки «2010-1.1-111-128-010»
по теме:
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ
Наименование этапа: «Анализ полученных результатов»
(заключительный, этап № 5)
_________________
Руководитель НИР, д.ф.-м.н.
подпись, дата
Новосибирск 2012
1
Е. П. Вдовин
СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ
Руководитель темы
д.ф.-м.н.
______________
Вдовин Е.П. (раздел 1.3,
раздел 1.4, раздел 1.5)
Исполнители темы
Советник РАН,
д.ф.-м.н., академик РАН
Советник РАН,
д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН
г.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
г.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
г.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
в.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
Зав. лаб. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
в.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
с.н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
с.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
с.н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
2
Ершов Ю.Л. (раздел 1.3, раздел
1.4)
Мазуров В.Д. (раздел 1.3, раздел
1.4, раздел 1.5)
Васильев А.В. (раздел 1.3, раздел
1.4)
Желябин В.Н. (раздел 1.2, раздел
1.3, раздел 1.4)
Романовский Н.С. (раздел 1.4)
Заварницин А. В. (раздел 1.3,
раздел 1.4)
Колесников П.С. (раздел 1.3,
раздел 1.4, раздел 1.5)
Ревин Д.О. (раздел 1.4, раздел 1.4)
Гречкосеева М.А. (раздел 1.4)
Пожидаев А.П. (раздел 1.1, раздел
1.2, раздел 1.4)
Чуркин В.А. (раздел 1.3, раздел
1.4)
Бутурлакин А.А. (раздел 1.3,
раздел 1.4)
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
Преподаватель СУНЦ НГУ,
к.ф.-м.н.
Аспирант НГУ
Аспирант ИМ Со РАН
Студент НГУ
Студент НГУ
Студент НГУ
Студент НГУ
Студент НГУ
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
Студент НГУ
______________
Нормоконтролер
______________
3
Мамонтов А.С. (раздел 1.3, раздел
1.4)
Гончаров М.Е. (введение, реферат,
подготовка, раздел 1.3, раздел 1.4)
Кайгородов И.Б. (раздел 1.2,
раздел 1.4)
Дудкин Ф.А. (раздел 1.3, раздел
1.4)
Гальт А.А. (раздел 1.4)
Манзаева Н.Ч. (раздел 1.3, раздел
1.4)
Губарев В.Ю. (раздел 1.2, раздел
1.4)
Захаров А.С. (раздел 1.1, раздел
1.4)
Лыткин Д.В. (раздел 1.3, раздел
1.4)
Курмазов Р.К. (раздел 1.3, раздел
1.4)
Насыбулов Т.Р. (раздел 1.3, раздел
1.4)
Хохлова И.А. (раздел 1.3, раздел
1.4)
Шабалин Т.И. (раздел 1.4)
Воронин А.Ф.
РЕФЕРАТ
Отчет, с., 2 прил.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: n-АРНЫЕ АЛГЕБРЫ, n- АРНЫЕ СУПЕРАЛГЕБРЫ,
ЙОРДОНОВА
СУПЕРАЛГЕБРА;
АЛГЕБРА
НОВИКОВА−ПУАССОНА;
КОНЕЧНАЯ ГРУППА; ПРОСТАЯ ГРУППА; КОНЕЧНАЯ ГРУППА ЛИЕВА
ТИПА, КОНФОРМНАЯ АЛГЕБРА.
Объектами исследования являются фундаментальные проблемы в следующих
направлениях современной алгебры: теория неассоциативных алгебр и
супералгебр, а также теория конечных групп.
Выполнение научно-исследовательских работ направлено на проведение
фундаментальных исследований в области современной алгебры с целью
получения новых научных результатов мирового уровня, на подготовку и
закрепление в сфере науки и образования научных и научно-педагогических
кадров, а также формирование эффективных и жизнеспособных научных
коллективов.
Частными целями проведения работ являются:
Выявление более глубоких взаимосвязей между современными аспектами
алгебры и изучение особенностей возникающих проблем. Привлечение
студентов и аспирантов к научно-исследовательской работе, что позволит:
воспитать у студентов математическую культуру, необходимые интуицию и
эрудицию в вопросах приложения математики; развить системное мышление;
познакомить с ролью теоретической и прикладной математики в современной
жизни; выработать навыки математического исследования, интерпретации
результатов исследования и оценки точности полученного решения; выработать
навыки доведения решения до практически приемлемого результата – числа,
графика, точного качественного вывода с применением для этого современных
компьютерных технологий; выработать умение самостоятельно работать со
специальной математической литературой, получать и осознанно применять
полученные знания; сформировать стиль мышления, необходимый для
успешного использования компьютерных и информационных технологий при
4
исследовании прикладных задач.
В ходе выполнения 5 этапа получены следующие результаты:
Введено понятие тернарной йордановой алгебры. Построен пример такой
алгебры,
получающейся
из
тернарной
алгебры
Филиппова.
Описаны
дифференцирования такой алгебры. Введено понятие редуцированно лиевой
тернарной алгебры. Доказано, что многообразие редуцированно лиевых
тернарных алгебр (RLT-алгебр) содержит многообразие алгебр Филиппова в
качестве собственного подмногообразия. Доказан аналог теоремы Энгеля для
RLT-алгебр. Доказано, что не существует простых конечномерных супералгебр
Филиппова классического типа A(m,n) (m>n>0) над полем ненулевой
характеристики более чем семь.
Доказано, что любая конформная алгебра Ли конечного типа без кручения,
обладающая разложением Леви, имеет точное конформное представление на
свободном конечно-порожденном модуле над кольцом многочленов от одной
переменной.
Показано, что произвольный оператор Рота-Бакстера ненулевого веса на
простой конечномерной йордановой алгебре симметрической невырожденной
билинейной формы является проектором, а сама алгебра разлагается в прямую
сумму как пространств своих двух подалгебр – образа и ядра оператора РотаБакстера.
Аналогичный
результат
получен
для
некоторых
простых
конечномерных ассоциативных, альтернативных и прелиевых алгебр.
Получено вложение обобщенных алгебр Новикова-Пуассона в алгебры
Новикова-Пуассона
векторного
типа
и
доказана
специальность
соответствующего дубля Кантора.
Построены примеры первичных йордановых супералгебр векторного типа, у
которых
нечетная
часть
является
проективным
модулем
ранга
1
с
произвольным числом порождающих. Из этих примеров строятся примеры
первичных йордановых супералгебр типа Ченга-Каца.
Доказано, что каждая конечная группа, изоспектральная конечной простой
исключительной группе лиева типа G2 над произвольным конечным полем,
будет ей изоморфна.
5
Получена классификация конечных групп, граф простых чисел которых
имеет пять компонент связности. В частности, доказано, что всякая такая
группа проста. Также получены некоторые связанные с этим результаты о
представлениях простых групп.
Получено исчерпывающее описание конечных групп, все максимальные
подгруппы в которых холловы.
Доказано, что в решетке надгрупп данной π-холловой подгруппы элементы,
имеющие ровно один и, соответственно, более одного класса сопряженных πхолловых
подгрупп,
подполурешетки.
образуют
Построены
нижнюю
примеры,
и,
соответсвенно,
показывающие,
верхнюю
что
эти
подполурешетки, вообще говоря, не являются решетками.
Доказана алгоритмическая неразрешимость универсальной теории свободной
разрешимой группы ступени > 3.
Для трёхдублетной модели хиггсовского поля в вакууме найдены все
реализуемые конечные группы симметрий хиггсовских потенциалов и
соответствующие им потенциалы, для которых найденные группы являются
полными группами автоморфизмов.
Описан базис свободной супералгебры йордановых скобок.
Найдены явные формулы для нахождения максимальных порядков элементов
простых симплектических и ортогональных групп над полями характеристики
2. Доказано, что симплектические группы над полями чётных порядков можно
отличить от простых групп лиева типа над полями нечётных порядков по двум
наибольшим порядкам элементов.
Установлено, что если K - бесконечное целостное кольцо, группа
автоморфизмов которого тривиальна, либо K – целостное кольцо содержащее
подкольцо целых чисел и группа автоморфизмов кольца K конечна, то при
nбольше либо равном 3 общая линейная группа GLn(K) и специальная линейная
группа SLn(K) обладают свойством R бесконечность.
Описаны все конечномерные неприводимые линейные представления над
полем комплексных чисел для произвольной подгруппы конечного индекса
группы Баумслага-Солитера.
6
Получено единообразное описание π-холловых подгрупп в терминах
естественных арифметических характеристик группы PSLn(q).
Кроме того,
полностью исследован вопрос о вложимости π-холловой подгруппы группы
PSLn(q) в π-холлову подгруппу группы F, где PSLn(q) ≤ F ≤ Aut(PSLn(q)).
Построена
кристаллографическая
группа
движений
псевдоевклидова
пространства размерности шесть и индекса три, содержащая ровно три
псевдоевклидовы решетки. Доказано, что более трех псевдоевклидовых
решеток подобная группа содержать не может.
Доказано, что если G - группа периода 12, в которой порядок произведения
любых двух инволюций отличен от числа 6, то G локально конечна. Получено
описание групп с таким свойством. Доказано, что если G - группа периода 12, в
которой порядок произведения любых двух инволюций отличен от числа 4, то
G локально конечна. Первый результат обобщает теорему И.Н. Санова о
локальной конечности групп периода 4, второй - М.Холла о локальной
конечности групп периода 6.
Получено описание спектров конечных простых исключительных групп
типов E6(q) и 2E6(q).
В результате исследований получены новые фундаментальные результаты
мирового уровня, которые вошли в дипломные и курсовые работы
исполнителей, доложены на различных научных конференциях, опубликованы
в статьях и внедряются в учебный процесс Института математики им. С.Л.
Соболева СО РАН и Новосибирского государственного университета.
7
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
9
ПРОВЕДЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ
1.1
ИССЛЕДОВАНИЯ В N-АРНЫХ АЛГЕБРАХ
11
1.2
ИССЛЕДОВАНИЯ В N-АРНЫХ СУПЕРАЛГЕБРАХ
17
1.3
ДРУГИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ ЗА ОТЧЕТНЫЙ
22
ПЕРИОД.
1.4
РЕШЕНИЕ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ
63
1.5
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММ ВНЕДРЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ
69
НИР В ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС
1.6
ОЦЕНКА КОНКУРЕНТНОСПОСОБНОСТИ ПОЛУЧЕННЫХ
91
РЕЗУЛЬТАТОВ
2
ПОКАЗАТЕЛИ
99
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
100
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
103
ПРИЛОЖЕНИЕ А
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ИСПОЛНИТЕЛЕЙ
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
СПИСОК СДЕЛАННЫХ ИСПОЛНИТЕЛЯМИ ДОКЛАДОВ
113
8
116
ВВЕДЕНИЕ
Выполнение
НИР
направлено
на
проведение
фундаментальных
исследований в области современной алгебры, с целью получения научных
результатов мирового уровня, на подготовку и закрепление в сфере науки и
образования научных и научно-педагогических кадров, а также формирование
эффективных и жизнеспособных научных коллективов.
В состав разрабатываемой научной продукции входят математические
модели задач; алгоритмы и методы решения поставленных задач; публикации
результатов
исследований
в
отечественных
и
зарубежных
изданиях;
диссертации; дипломные и курсовые работы; отчет о НИР, содержащий
обоснование развиваемых направлений исследований, изложение методик
проведения исследований, а также описание полученных результатов.
Результаты исследований носят фундаментальный характер и могут быть
востребованы во многих сферах научной деятельности: в теории колец и
супералгебр, теории формаций, теории конечных групп, теории групп с
условиями конечности и других областях. Полученные на данном этапе
результаты по абелевым группам были применены для исследования
современной стандартной модели гравитации в физике элементарных частиц.
Результаты исследований вошли в курсовые и дипломные работы
исполнителей, были востребованы в процессе подготовки научных публикаций
и при подготовке докладов на отечественных и международных конференциях.
Результаты НИР внедряются в образовательный процесс: при чтении
математических курсов для студентов и аспирантов; при проведении курсов
повышения
квалификации
молодых
преподавателей
НГУ
и
научных
сотрудников ИМ СО РАН, а также, при проведении специальных семинаров по
современным
разделам
математики
в
Новосибирском
Государственном
университете и Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН.
Результаты
подтверждены
публикациями
в
высокорейтинговых
реферируемых научных журналах, а также выступлениями на российских и
международных конференциях по тематике НИР.
9
За отчетный период исполнителями получен ряд результатов мирового
уровня. Получены новые фундаментальные результаты, найдены новые
подходы, разработаны новые алгоритмы, найдены
новые приложения,
опубликованы и сданы в печать новые научные статьи, а также осуществляется
внедрение результатов в учебный процесс.
10
1.1 ИССЛЕДОВАНИЯ В N-АРНЫХ АЛГЕБРАХ.
Тернарные йордановы алгебры. Йордановы алгебры возникли в 1933 году
в работе P.Jordan [Jordan] как алгебраический аппарат в квантовой механике. С
тех пор была построена богатая структурная теория йордановых алгебр. Кроме
того рассматривались не только различные бинарные обобщения этих алгебр,
такие как некоммутативные йордановы алгебры и йордановы супералгебры, но
и n-арные (в первую очередь тернарные): йордановы тройные системы, а также
и другие (см., например, работу M.Bremner 2001 [Bremner]). Напомним, что
если F - ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, то Ω-алгеброй над F
называется унитарный модуль над F, на котором определена система
полилинейных алгебраических операций; при этом n-арной алгеброй называется
Ω-алгебра с одной n-арной операцией. Ради краткости Ω-алгебры будем порой
называть просто алгебрами.
Мы предлагаем другой подход к определению n-арных йордановых алгебр, а
именно, n-арную алгебру мы называем йордановой, если операция является
коммутативной по всем аргументам и кроме того коммутатор любых двух
операторов правого умножения является дифференцированием этой алгебры.
Примером такой алгебры является следующая тернарная алгебра. Пусть V –
это n-мерное векторное пространство над полем P, наделенное билинейной,
симметрической и невырожденной формой (,). Рассмотрим следующее
тернарное умножение на V:
(x,y,z)=(y,z)x+ (x,z) y+ (x,y) z.
(1)
Обозначим полученную алгебру через A. Легко видеть, что данная операция
является просто симметризацией операции тернарной алгебры Филиппова A1
векторного произведения (см., например, [BNPS]). (Отметим, что в последней
упомянутой работе четырех авторов введена тернарная “ассоциативная алгебра
кватернионов”, описаны ее тождества высоты 1 и 2, а также построены
некоторые тернарные обертывающие алгебры для A1.)
Теорема 1. Тернарная алгебра A является тернарной йордановой алгеброй.
11
Для доказательства
этой теоремы мы замечаем, что требуемое тождество
достаточно проверять только в ортонормированном базисе алгебре, и кроме
того сразу выделяются четыре типа базисных элементов, для которых
необходимо произвести проверку тождества.
Следуя доказательству данной теоремы, несложно заметить, что A не
удовлетворяет тождеству
((x,y,z),u,v) + (z,u,(x,y,v)) = ( x,y,(z,u,v)) + (z,(y,x,u),v) ,
которое
было
предложено
авторами
A.V.Gnedbaye
и
M.Wachs
в
[GnedbayeWachs] в 2007 году для йордановый тройных систем, которые они
однако назвали ''тернарными йордановыми алгебрами'').
Далее мы описываем дифференцирования алгебры А, а именно, доказываем
следующую теорему
Теорема 2. Все дифференцирования тернарной йордановой алгебры A являются
внутренними.
Далее мы замечаем, что умножение на А можно обобщить следующим
образом.
Пусть f и g – тернарные симметрические формы на V, a – фиксированный
элемент из V. Положим
(x,y,z)=f(y,z,a)x+f(x,z,a)y+f(x,y,a)z+g(x,y,z)a.
(2)
Данная тернарная алгебра также будет коммутативной, однако она будет
йордановой только если форма g тривиальна.
Если B – некоторая n-арная алгебра, то фиксируя элемент в операции данной
алгебры, мы получаем (n-1)-арную алгебру, так называемую редуцированную
алгебру для данной алгебры B. В случае n-арных алгебр Филиппова и Мальцева
редуцированные алгебры также являются алгебрами Филиппова и Мальцева.
Однако в нашем случае редуцированные алгебры уже не являются йордановыми
алгебрами, что утверждает следующая
Теорема 3. Редуцированная алгебра тернарной йордановой алгебры A в общем
12
случае не является йордановой алгеброй.
В лиевском же случае в этом плане ситуация более интересна – там даже
можно определить новый, более широкий класс алгебр с тем свойством, что
каждая редуцированная алгебра является алгеброй Ли. При этом этот класс
будет содержать в себе класс алгебр Филиппова. К рассмотрению этого класса
мы и перейдем. Результаты данного исследования готовятся к печати
(А.П.Пожидаев совместно с P.Saraiva (университет Коимбры, Португалия).
Редуцированно лиевы тернарные алгебры. Последние десятилетия
большой интерес представляет вопрос нахождения надлежащего обобщения
алгебр Ли на случай n-арной операции. Одним из таких обобщений являются
алгебры Филиппова, введенные В.Т.Филипповым в 1984 году [Filippov].
Помимо прочего, этот класс алгебр является алгебраическим аппаратом
механики
Намбу,
предложенной
Й.
Намбу
[Nambu],
как
обобщение
классической гамильтоновой механики. Особый интерес алгебры Филиппова
представляют из-за связи между ними и математической физикой, в частности, с
механикой Намбу и теорией Черна-Симонса. Однако, в отличие от алгебр Ли,
данный класс алгебр содержит незначительное число простых объектов (в
конечномерном случае характеристики 0), поэтому представляет интерес
нахождение класса n-арных алгебр, обобщающего класс алгебр Ли и более
насыщенного простыми объектами.
Данная работа состоит из двух частей. В первой части доказывается, что
многообразие редуцированно лиевых тернарных алгебр (RLT-алгебр) содержит
многообразие алгебр Филиппова в качестве собственного подмногообразия.
Также строятся некоторые примеры RLT-алгебр минимальной размерности как
фактор-алгебр свободных тернарных алгебр от различного числа порождающих,
что является одним из возможных подходов в описании RTL-алгебр малых
размерностей. Во второй части данной работы рассматривается пространство L
операторов правого умножения на RLT-алгебре. Доказывается, что данное
пространство является алгеброй Ли. В случае, когда RLT-алгебра проста и
13
конечномерна над полем характеристики 0, L является полупростой алгеброй
Ли. Во второй части также рассматриваются билинейные невырожденные
(косо)симметрические инвариантные формы на RLT-алгебрах.
Рассмотрим тернарную алгебру с операцией [x,y,z], обладающую тем
свойством, что при фиксировании любой компоненты в операции получается
алгебра Ли: для фиксированного элемента a мы определяем новые операции
правилами
x●1 y=[a,x,y], x●2 y=[x,a,y], x●3 y=[x,y,a].
Тогда из данного определения непосредственно следует, что класс
редуцированно лиевых тернарных алгебр задается тождеством
[x1,x2,x3]=(-1)σ[x1σ,x2σ,x3σ],
(3)
где σ – произвольная перестановка из симметрической группы третьей степени,
и тождеством
J(x; y; a; z; b) + J(x; y; b; z; a) = 0,
(4)
где J(x; y; a; z; b) = [[x, y, a], z, b] - [[x, z, b], y, a] - [x, [y, z, b], a] - [x, y, [a, z, b]] –
это якобиан элементов x, y, a, z, b.
Ради краткости,
редуцированно лиевы тернарные алгебры мы будем также
называть RLT-алгебрами.
Построим свободную RLT-алгебру, порожденную множеством X. Пусть V
=<X> – это векторное пространство, базисом которого является X. Образуем
тензорную алгебру S пространства V. Пусть R – идеал в S, порожденный всеми
элементами вида
[[x1, x2, y1], x3, y2] + [[x2, x3, y1], x1, y2] + [[x3, x1, y1], x2, y2] + [[x1, x2, y2], x3, y1] +
+ [[x2, x3, y2], x1, y1] + [[x3, x1, y2], x2, y1],
[x1, x2, x3] + [x2, x1, x3 ];
[x1, x2, x3 ] + [x2, x3, x2],
где x1, x2, x3, y1, y2 – это элементы из S.
Тогда B = S/R – тернарная алгебра, удовлетворяющая тождествам (3) и (4),
т.е. это RLT-алгебра.
Лемма 1. Левонормированные слова порождают свободную RLT-алгебру.
14
Напомним, что алгеброй Филиппова называется линейное пространство L над
полем
F,
на
котором
определена
n-арная
полилинейная
операция,
кососимметричная по всем аргументам и удовлетворяющая тождеству,
аналогичному тождеству Якоби в алгебрах Ли, которое говорит о том, что
оператор правого умножения является дифференцированием данной алгебры.
Предложение 1. Многообразие RLT-алгебр содержит многообразие алгебр
Филиппова в качестве собственного подмногообразия.
Для доказательства мы, во-первых, показываем, что если L является алгеброй
Филиппова, то L – это RLT-алгебра. А для доказательства собственности мы
строим RLT-алгебру, не являющуюся алгеброй Филиппова, как фактор-алгебру
свободной тернарной алгебры от пяти порождающих.
Построение RLT-алгебр минимальной размерности как фактор-алгебр
свободных тернарных алгебр от различного числа порождающих является
одним из возможных подходов в описании RLT-алгебр малых размерностей.
Поэтому мы строим некоторые примеры таких алгебр. Размерность полученной
в предложении 1 алгебры равна 20. Мы строим далее RLT-алгебру размерности
11, которая не является алгеброй Филиппова. Эта размерность близка к
минимальной, поскольку справедливо
Предложение
2.
Фактор-алгебра
свободной
RLT-алгебры
от
трех
порождающих по идеалу слов длины более 9 является алгеброй Филиппова.
Напомним, что оператором правого умножения в тернарной алгебре
называется линейное отображение Rx := R(x1, x2), действующее по правилу
Rx(z) =[z, x1, x2].
Определим операцию [ , ] на пространстве L=L(A) операторов правого
умножения RLT-алгебры A
[Rx,Ry] = Rx Ry - Ry Rx,
где x = (x1, x2); y = (y1, y2).
15
Предложение 3. (L(A); +, [ , ]) является алгеброй Ли.
Определение. Тернарная алгебра A называется нильпотентной, если A<r> = 0
для некоторого r ≥ 0, где A<0> = A, A<s+1> = [A<s>, A, A] при s ≥ 0.
Для RLT-алгебр справедлива следующая теорема, являющаяся аналогом
теоремы Энгеля для алгебр Ли.
Теорема 1. Пусть A – конечномерная RLT-алгебра, в которой все операторы
правого умножения Ra нильпотентны. Тогда A нильпотентна и A*
нильпотентна, где A* – ассоциативная алгебра, порожденная операторами Ra.
Далее мы доказываем следующую
Теорема 2. Пусть A – простая конечномерная RLT-алгебра над полем
характеристики 0, тогда L = L(A) является полупростой алгеброй Ли, и A, как
L-модуль, неприводим.
Билинейная форма (x, y) называется антиинвариантной, если (Ra(x), y) =
(x,Ra(y)), и инвариантной, если (Ra(x), y) = -(x, Ra(y)), где Ra – оператор
правого умножения. Справедливы следующие теоремы.
Теорема
3.
Если
A
–
RLT-алгебра
и
существует
невырожденная
(косо)симметрическая инвариантная форма на A, то A – алгебра Филиппова.
Теорема
4.
Если
A
–
RLT-алгебра
и
существует
невырожденная
антиинвариантная форма на A, то L(A) – абелева алгебра Ли.
Теорема 5. Пусть A – RLT-алгебра. Тогда (x, y) = tr(Rx,y) – кососимметрическая
антиинвариантная форма, определенная на A. Если A – простая RTL-алгебра,
то либо L(A)
– подалгебра специальной алгебры Ли, либо L(A)
–
абелева
алгебра Ли.
Следствие. Если A –
простая конечномерная RTL-алгебра над полем
16
характеристики 0, то L(A) – полупростая подалгебра специальной алгебры Ли.
Результаты данного исследования готовятся к печати (А.П.Пожидаев совместно
с А.С.Руденко (Новосибирский госуниверситет).
1.2 ИССЛЕДОВАНИЯ В N-АРНЫХ СУПЕРАЛГЕБРАХ.
Понятие
n-лиевой
супералгебры
было
введено
Ю.Далецким
и
В.Кушниревичем в 1996 году в работе [DaletskiiKushnirevich] как естественное
обобщение понятия n-лиевой алгебры, предложенного В.Т.Филипповым в 1985
году [Filippov]. Следуя J.Grabowski и
используем
G.Marmo [GrabowskiMarmo] мы
термины супералгебра и алгебра Филиппова вместо n-лиевой
супералгебры и n-лиевой алгебры, соответственно. Заметим также, что 2-лиева
супералгебра - это в точности супералгебра Ли. Описание конечномерных
простых супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики
ноль было дано в 1997 году В.Г.Кацем [Kac].
Описание конечномерных
простых супералгебр Филиппова над алгебраически замкнутым полем
характеристики ноль было дано в 2010 году Н.Кантарини и В.Г.Кацем
[CantariniKac]. Настоящая работа является одним из первых шагов на пути
классификации
конечномерных
алгебраически
замкнутым
простых
полем
супералгебр
ненулевой
Филиппова
характеристики.
над
Ранее
А.П.Пожидаевым были описаны n-арные конечномерные коммутативные
алгебры Лейбница характеристики ноль, а именно, было показано, что простых
таковых алгебр не существует [Pojidaev1]; позднее этот результат был обобщен
на случай положительной характеристики большей чем n в работе J.M.PerezIsquierdo
с
соавторами.
Обертывающие
алгебры
алгебр
Филиппова
рассматривались, например, в работе [Pojidaev2], а также исследовались
M.Bremner. Конечномерные простые алгебры Филиппова были описаны W.Ling
в 1993 году в работе [Ling]. Заметим, что n-арная коммутативная алгебра
Лейбница – это в точности супералгебра Филиппова с тривиальной четной
частью, а алгебра Филиппова – это супералгебра Филиппова с тривиальной
17
нечетной частью. Конечномерные простые супералгебры Филиппова типов
A(n,n), B(0,n), B(m,n) над алгебраически замкнутым полем характеристики
ноль были описаны в работах [Pojidaev3],
[Pojidaev4], [PojidaevBeites],
[PojidaevSaraiva].
Пусть G – супералгебра Ли. Мы говорим, что супералгебра Филиппова F
имеет тип G, если ее супералгебра Ли правых умножений изоморфна G. В
настоящей работе мы описываем конечномерные супералгебры Филиппова типа
A(m,n) над полем характеристики более чем 7 (с некоторыми дополнительными
ограничениями, например, m не равно n).
Далее через G мы обозначаем n-арную супералгебру Филиппова. Обозначим
через
G*
(L(G))
ассоциативную
(лиеву)
супералгебру,
порожденную
операторами правого умножения L(x1, x2,…, xn-1), xi из G. Супералгебра L(G)
называется супералгеброй умножений супералгебры F. Пусть A – некоторая nарная супералгебра. Определим преобразование adi(x1,…, xn-1) из End(A)
правилом
adi(x1,…, xn-1) (x)=(-1) pq(i) (x1,…, xi-1,x, xi,…, xn-1),
где p – четность x, p(i) – четность xi, q(i)=p(i)+…+p(n-1).
Если все такие adi(x1,…, xn-1) являются дифференцированиями A, то мы
называем их строго внутренними, а A называем ID-супералгеброй. Заметим, что
n-арные супералгебры Филиппова и n-арные коммутативные алгебры Лейбница
являются
ID-супералгебрами.
пространство,
порожденное
Обозначим
строго
через
внутренними
Inder(A)
векторное
дифференцированиями
алгебры A. Если A - n-арная ID-супералгебра, то легко видеть, что Inder(A) –
идеал в Der(A). Также справедлива следующая
Лемма. Пусть A – простая ID-супералгебра. Тогда супералгебра Ли Inder(A)
действует точно и неприводимо на A.
18
Если мы рассмотрим G как Inder(G)-модуль, то ad:= adn индуцирует Inder(G)модульный морфизм из (n-1)-ой внешней степени G в Inder(G), который
обозначим также через ad, такой что отображение (x1,…, xn) → adn(x1,…, xn-1)(
xn) является Z2-кососимметричным. Обратно, если (L,V,ad) – тройка, такая что
L – супералгебра Ли, V – L-модуль, ad L-модульный морфизм из (n-1)-ой
внешней степени V в L, такой что отображение (x1,…, xn) → adn(x1,…, xn-1)( xn)
является Z2-кососимметричным, то V становится n-арной супералгеброй
Филиппова при помощи определения n-арной операции следующим образом
[x1,…, xn]=ad(x1,…, xn)( xn).
Таким образом, мы получаем соответствие между множеством n-арных
супералгебр Филиппова и множеством троек (L,V,ad) как выше.
Пусть L – контрагредиентная супералгебра Ли ранга n, B – ее подалгебра, U –
индуцированной модуль над B, порожденный элементом v, а
V= U/N -
конечномерное представление L с максимальным весом Λ, где N –
максимальный собственный подмодуль L-модуля V. Пусть L=∑L(a) – корневое
разложение L относительно подалгебры Картана H. Обозначим через A
множество корней не из B. Следующая лемма играет важнейшую роль в
настоящей работе.
Лемма. Пусть g(a) из L(a) и g(a) v≠ 0. Тогда существует минимальное
натуральное число k, такое что g(a) в степени k лежит в N.
Полагая h=[g(-a),g(a)], мы имеем
1) 2Λ (h)= - (k-1)a (h), если либо g(a) четен, либо k нечетно;
2) a(h)=0, если g(a) нечетен и k четно.
Мы говорим, что супералгебра Филиппова имеет классический тип, если
модуль ее присоединенного действия является модулем старшего веса.
Над полями ненулевой характеристики большое значение в описании
супералгебр Филиппова играет следующая лемма.
19
Лемма. Пусть G – простая конечномерная супералгебра Филиппова
классического типа A(m,n), (m,n≥ 1,m≠n) над полем F веса
Λ =(a(1), …, a(m+n+2)) такого, что a(j)= 1 для некоторого j<m+1 и a(k)=0
для всех k<m+1,k ≠ j. Тогда a(m+1) либо является натуральным числом, либо
это {-1,0}. Более того, если a(m+1) ≠1,-1, то либо существует единственное
i>m+1 такое, что b:=a(i) ≠ 0, либо последовательность (a(k1),…,a(kr)) всех
таких ненулевых a(k),
где ki <kj при i<j, имеет вид (b,p-b,b,p-b,…), либо
a(m+2)=… =a(m+n+2)=0. Кроме того, a(m+1)=b-1 и a(m+2)+… a(m+n+2)= 0 или
b.
Далее мы доказываем следующие технические леммы.
Лемма. Случай, когда G является простой конечномерной супералгеброй
Филиппова классического типа
A(1,n) (n≠ 0,1) над полем F ненулевой
характеристики и с весом Λ = (a(1), …, a(2+n))
таким, что a(i),a(m+1),a(j)≠ 0 для некоторых i< m+1<j невозможен.
Лемма. Случай, когда G является простой конечномерной супералгеброй
Филиппова классического типа
A(1,n) (n ≠ 0,1) над полем F ненулевой
характеристики и с весом Λ = (a(1), …, a(2+n)) таким, что a(i), a(j)≠ 0 для
некоторых i< m+1<j и a(m+1)=0 невозможен.
Лемма. Случай, когда G является простой конечномерной супералгеброй
Филиппова классического типа
A(1,n) (n ≠ 0,1) над полем F ненулевой
характеристики и с весом Λ = (a(1), …, a(2+n)) таким, что a(i)= 0 при i≠ 2
невозможен.
После доказательства этих вспомогательных лемм мы непосредственно
переходи к доказательству основной теоремы, однако сначала доказываем
теорему в некотором частном случае, который однако представляет большую
сложность, чем общий случай. А именно, мы сначала доказываем следующую
Теорема. Не существует простых конечномерных супералгебр Филиппова
классического типа A(1,n) (n ≠ 0,1) над полем F ненулевой характеристики
20
более чем семь.
После этого мы доказываем наш основной результат относительно
супералгебр Филиппова данного типа.
Теорема. Не существует простых конечномерных супералгебр Филиппова
классического типа A(m,n) (m>n>0) над полем F ненулевой характеристики
более чем семь.
В доказательстве довольно просто разбираются случаи, когда старший вес
содержит численные значения более чем два или содержит несколько
ненулевых численных значений. После этого мы детально разбираем
оставшиеся случаи, используя технику аналогичную той, что была использована
в вышеприведенных леммах. Результаты данного исследования готовятся к
печати (А.П.Пожидаев совместно с P.D.Beites (университет Бейра-Интериор,
Португалия)).
n-арные дифференцирования. И.Б.Кайгородовым в рамках выполнения
данного государственного контракта ранее по данной тематике были доказаны
следующие теоремы.
Теорема. Пусть (H,E,F,G) – 4-арное дифференцирование тернарной алгебры
Мальцева M8, тогда (H,E,F,G)= (D,D,D,D)+((a+b+c)id, a id,b id, с id), где D –
некоторое дифференцирование тернарной алгебры M8, а элементы a,b,c –
скаляры из основного поля.
Теорема. Пусть (H,E,F) – тернарное дифференцирование простой нелиевой
алгебры Мальцева А над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль,
тогда
(H,E,F)=(D,D,D)+((a+b)id,a
id,b
id),
где
D
–
некоторое
дифференцирование алгебры А, а элементы a,b – скаляры из основного поля.
Теорема.
Существуют
полупростые
нелиевы
алгебры
Мальцева
допускающие тернарные дифференцирования не представимые в виде суммы
тривиальных дифференцирований.
Теорема. Пусть (f0, f1,..., fn) - (n+1)-арное дифференцирование простой
конечномерной n-арной алгебры Филиппова над алгебраически замкнутым
полем характеристики нуль, тогда
(f0, f1,..., fn) = (∑hj·id,h1·id,...,hn·id) + (d0,d,...,d)
21
и [d0]T + [d] = 0, где [d0], [d] - матрицы линейных отображений d0, d.
Используя классификацию полупростых конечномерных алгебр Филиппова над
алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, И. Б. Кайгородов дал
полную классификацию (n+1)-арных дифференцирований алгебр данного
класса и, в частности, доказал, что полупростые алгебры из данного класса, не
являющиеся простыми, обладают эндоморфизмами, которые не являются
обобщенными дифференцированиями.
1.3 ДРУГИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ ЗА ОТЧЕТНЫЙ ПЕРИОД.
Напомним, что уравнения, описывающие стандартную модель элементарных
частиц не содержат массы и в рамках этих уравнений невозможно ввести
массу частиц без нарушения симметрии уравнений. Стандартным способом
введения массы у частиц является предложенный Хиггсом механизм
спонтанного нарушения электрослабой симметрии. В модели, предложенной
Хиггсом этот механизм реализуется специальным полем - полем Хиггса,
состояние которого в каждой точке пространства описывается одним
дублетом, т.е. парой комплексных параметров. В процессе взаимодействия
частиц с хиггсовским полем возникает частица - бозон Хиггса, наличие
которой
является
предложенного
возможным
механизма.
экспериментальным
Несмотря
на
то,
что
подтверждением
сам
механизм
был
предложен еще в 60-х годах прошлого века и на данный момент является
частью
никаких
стандартной
модели,
до
недавнего
экспериментальных подтверждений
времени
не
существовало
того, что именно данный
механизм имеет место. Одна из основных задач, для которых был построен
Большой
адронный
коллаэдр
экспериментальное
-
подтверждение
хиггсовского механизма, т.е. нахождение бозона Хиггса. Летом этого
года официально было объявлено об открытии новой частицы - бозона
Хиггса и теперь на Большом адронном коллаэдре активно исследуют
свойства новой частицы.
Вскоре после того, как был предложен хиггсовский механизм, стало
22
понятно, что однодублетная модель является очень ограниченной и не
позволяет
описать
Поэтому
вскоре
всё
были
многообразие
предложены
свойств
модели
элементарных
хиггсовского
частиц.
механизма,
описываемы двумя или, в общем случае, N дублетами, где N - некоторое
натуральное число. Отметим, что первые экспериментально установленные
свойства бозона Хиггса не согласуются с однодублетной моделью и
поэтому велика вероятность, что для описания реально существующего
механизма необходимо привлекать N-дублетную модель. Таким образом,
построение
математического
аппарата
для
исследования
N-дублетной
хиггсовской модели является на данный момент актуальной задачей, к
которой физики, работающие в области элементарных частиц, проявляют
активный интерес.
В качестве начального этапа разумно изучить самый простой вариант N-дублетную хиггсовскую модель в вакууме. В этом случае все свойства
поля полностью определяются его потенциалом, который можно записать
как некоторый многочлен, в который комплексные параметры дублетов
входят либо во второй, либо в четвёртой степени, т.е. сам потенциал
содержит квадратичную и четверичную части. Наличие четверичной части
существенно усложняет исследование потенциала, поскольку приводит к
тому, что его исследование становится нелинейным. В частности, ответ
на вопрос о нахождении для данного потенциала его группы автоморфизмов
(которую далее мы будем называть реализуемой группой) не имеет
простого решения и часто приводит к необходимости решать систему
уравнений, в которой переменные встречаются в первой и во второй
степени,
что,
в
свою
очередь,
приводит
к
необходимости
решать
уравнения от одной переменной степени 2^N, которые, как хорошо
известно, в общем случае не имеют решения в радикалах.
Ранее в работе И.П.Иванова, В.Кеус и Е.П.Вдовина был предложен
алгоритм
нахождения
всех
возможных
реализуемых
абелевых
групп
симметрий. В частности, используя полученный механизм, удалось найти
все реализуемые абелевы группы в трёх-дублетной модели. А именно,
23
конечные
реализуемые
исчерпываются,
с
абелевы
точностью
до
группы
в
сопряжения,
трёхдублетной
следующими
модели
группами:
циклическими группами порядков 1, 2, 3 и 4, а также элементарной
абелевой группой порядка 4. Кроме того, в той же работе было доказано,
что существует конечная реализуемая группа, в которой есть нормальная
абелева подгруппа индекса 2, являющаяся элементарной абелевой порядка
9.
Используя
полученные
результаты,
удалось
найти
список
всех
реализуемых конечных групп для трёхдублетной модели.
Идея рассуждений выглядит следующим образом. Пусть G - конечная
реализуемая группа. Тогда любая её абелева подгруппа обязан быть либо
реализуемой
абелевой
группой
из
полученного
списка,
либо
быть
элементарной абелевой группой порядка 9. В частности, порядок группы G
может делиться лишь на 2 и на 3. По теореме Бернсайда группа G
разрешима, следовательно, G содержит абелеву нормальную подгруппу A,
которая совпадает с одной из групп в приведённом выше списке. Далее,
дополнительными
рассуждениями
устанавливается,
что
эта
нормальная
подгруппа оказывается самоцентрализуемой, поэтому факторгруппа G/A
вкладывается в группу автоморфизмов группы A. Тем самым мы получаем
лишь конечное число вариантов для строения группы G. Для каждого из
возможных вариантов теперь устанавливается, общий вид потенциала,
который инвариантен, относительно данной группы, и проверяется, что
полученный потенциал не может иметь бОльшую группу автоморфизмов. На
последнем шаге самым сложным является доказательство того факта, что
потенциал не может иметь бесконечную группу автоморфизмов. Для
проверки
этого
утверждения
рассматривается
присоединённое
представление группы SU(N) -> SO(N^2-1), которое приводит к тому, что
изучаемый потенциал содержит лишь линейные и квадратичные члены и
потому поддаётся изучению методами линейной алгебры. Однако при этом
образ группы SU(N) в SO(N^2-1) устроен довольно сложно, что не
позволяет применять линейные методы в общем случае. Полученный список
реализуемых групп выглядит следующим образом:
24
1. Циклические группы порядков 1, 2, 3 или 4.
2. Элементарная абелева группа порядка 4.
3. Расширение элементарной абелевой группы порядка 9 с помощью
элементов порядка 2 или порядка 4.
4. Группы диэдра порядков 6 и 8.
5. Знакопеременная группа степени 4.
6. Симметрическая группа степени 4.
Спектром ω(G) конечной группы G называется множество порядков ее
элементов.
Изучение
спектров
конечных
простых
групп
представляет
безусловный интерес. Из многих работ, посвященных конечным простым
группам, можно извлечь информацию об их спектре. В частности, существуют
работы, посвященные исследованию порядков унипотентных элементов в
группах лиева типа, централизаторам полупростых элементов, для многих
<<маленьких>> простых групп найдены таблицы характеров и т.д. Однако
явное описание спектров всех конечных простых групп до сих пор не получено.
Заметим, что явное описание спектров на данный момент отсутствует только
для простых групп лиева типа. Дело в том, что спектры простых групп лиева
типа
известны
<<приблизительно>>,
т.е.
с
точностью
до
небольших
множителей, такой информации достаточно при решении многих задач
(например, описание графов простых чисел простых групп было получено без
описания спектров). Однако при решении многих задач желательно знать спектр
простой группы точно.
Бутурлакиным А.А. было получено описание спектров всех конечных
простых классических групп. Таким образом, остается исследовать спектры
исключительных групп. Для исключительных групп также есть множество
результатов, дающих информацию об их спектре. Например, полупростая часть
спектра группы E8(q) известна, известны спектры групп 2G2(q) и т.д.
Пусть G - конечная группа лиева типа над полем характеристики p. Тогда
множество ω (G) может быть представлено как объединение трех подмножеств:
множества ωp(G) порядков всех унипотентных элементов, т.е. элементов, чей
25
порядок является степенью числа p, множества ωp’(G) порядков всех
полупростых элементов, т.е. элементов, чей порядок взаимно прост с p, и
множества ωm(G) всех остальных, "смешанных", порядков. Таким образом,
задача описания спектра конечной группы лиева типа распадается на три
подзадачи.
В [DTes] содержится формула, позволяющая вычислять максимальный
порядок унипотентных элементов в любой конечной группе лиева типа. Как
хорошо известно, любой полупростой элемент группы лиева типа содержится в
некотором максимальном торе. В [DF] описана структура максимальных торов в
универсальных группах типов E6, 2E6, E7 и E8. Поскольку любой полупростой
элемент лежит в некотором максимальном торе, этот результат дает
полупростую часть спектра универсальных групп.
В отчетном этапе Бутурлакиным было получено явное описание спектров
простых групп E6(q) и 2E6(q). При этом в тех случаях, когда простая группа не
совпадает с универсальной, для описания полупростой части спектра
использовались методы работы [DF] и дополнительные соображения. При
описании смешанной части спектра использовались методы, разработанные в
работе [Car].
Для формулировки теоремы нам понадобятся некоторые обозначения. Для
конечной группы G обозначим через μ(G) множество максимальных по
делимости элементов из ω(G). Очевидно, что множество ω(G) однозначно
определяется по любому множеству ν(G) такому, что μ(G)≤ν(G)≤ω(G).
Обозначим через E6+(q) простую группу E6(q), а через E6-(q) - простую группу
2
E6(q). Для пары целых чисел a и b обозначим через (a,b) их наибольший общий
делитель. Известно, что p-период группы G зависит только от ее корневой
системы. Будем обозначать через p(Φ) максимальную степень p, лежащую в
спектре группы лиева типа с системой корней Φ над полем характеристики p.
Теорема 1. Пусть G=E6ε(q), где ε принимает значения из {+,-}, и q - степень
простого числа p. Положим d=(3,q-ε1). Пусть множество ν(G) есть
26
объединение следующих множеств:
1) {(q6-1)/d, (q6+q3+1)/d, (q2+εq+1)(q4-q2+1)/d, (q-ε1)(q2+1)(q3+ε1)/d, (q21)(q4+1)/d, (q+ε1)(q5-ε1)/d, q5-ε1},
2) p∙{(q6-1)/(d(q-ε1)), (q5-ε1)/d, q4-1, (q3-ε1)(q+ε1), (q-ε1)(q3+ε1)/d},
3) p(A2)∙{ (q3-ε1)(q+ε1)/d, (q4+q2+1)/d, q4-1 },
4) p(A3)∙{ (q2+1)(q-ε1)/d, q2-1 },
5) p(A4)∙{ (q2-1)/d, q-ε1 },
6) p(D4)∙{ q-ε1 },
7) p(A5)∙{ q+1, q-1 },
8) p(D5)∙{ (q-ε1)/d },
9) {p(E6)}.
Тогда μ(G)≤ν(G)≤ω(G).
Пусть G - конечная группа, ω(G) – спектр группы G, т.е. множество порядков
ее элементов. Группы G и H назовем изоспектральными, если ω(G)= ω(H). Для
конечной группы G обозначим через h(G) число попарно неизоморфных
конечных групп H, изоспектральных G. Группа G называется распознаваемой
(по спектру), если h(G)=1, почти распознаваемой, если h(G) конечно, и
нераспознаваемой, если h(G) бесконечно. Поскольку каждая конечная группа,
содержащая
нетривиальную
нормальную
разрешимую
подгруппу,
нераспознаваема, наибольший интерес представляет вопрос о распознаваемости
неабелевых простых групп. Оказывается, многие такие группы распознаются
или почти распознаются по спектру. Обзор результатов в этой области см. в
[Maz05] и [GSV].
Настоящая работа посвящена изучению вопроса распознавания для групп
G2(q). Ранее было доказано, что группы G2(3n) распознаваемы при любом n
[Vas02]. Распознаваемость группы G2(4) была установлена в [Maz02]. В [Zav06]
показано, что группа G2(7) восстанавливается с точностью до изоморфизма в
классе конечных групп по своему графу простых чисел, в частности, она
является распознаваемой по спектру. В данной работе устанавливается
распознаваемость групп G2(q) в оставшихся случаях.
27
Теорема 2. Пусть L=G2(q) - конечная простая группа над полем порядка q>2,
и G - конечная группа, изоспектральная группе L. Тогда группы L и G
изоморфны.
Отметим, что при q=2 группа G2(q) не проста. Ее коммутант G2(2)' изоморфен
простой унитарной группе U3(3), нераспознаваемой по спектру [Maz98].
Доказательство теоремы 2 состоит из следующих основных частей:
Во-первых, устанавливается, что группа G имеет единственный неабелев
композиционный фактор S. Затем показывается, что S изоморфен L. Таким
образом, показано, что группа G есть расширение своей максимальной
разрешимой подгруппы K с помощью автоморфного расширения группы L. На
следующем этапе доказывается, что подгруппа K должна быть тривиальной.
Последний шаг доказательства состоит в том, чтобы показать, что любое
нетривиальное расширение группы L посредством автоморфизма будет иметь
спектр, отличный от спектра группы L.
Графом простых чисел конечной группы, также известным под названием
граф Грюнберга-Кегеля, называется граф, множеством вершин которого
является множество простых делителей порядка данной группы, в котором две
вершины, отмеченные различными простыми числами, соединены ребром тогда
и только тогда, когда исходная группа содержит элемент порядка, равного
произведению этих простых чисел.
Граф простых чисел впервые возник из результатов работы Грюнберга и
Роггенкампа [GR1] в связи с теорией представления целочисленных групповых
колец. Как оказалось, строение фундаментального идеала целочисленного
группового кольца, как модуля над целыми числами, связано с некоторыми
свойствами графа простых чисел основной группы. В настоящее время граф
простых чисел широко изучается в различных проблемах распознаваемости
групп по арифметическим параметрам.
Стоит отметить, что граф простых чисел конечной группы, в отличие от её
множества
порядков
элементов,
может
28
быть
определён
по
таблице
обыкновенных характеров. Это следует из хорошо известного результата [Is1] о
том, что по таблице характеров определяются множества простых делителей
порядков
элементов.
Таким
образом,
граф
простых
чисел
является
фундаментальным инвариантом группы, достойным изучения.
Число компонент связности графа простых чисел было определено для всех
простых неабелевых конечных групп в работах Вильямса и Кондратьева [Wi1,
Ko1]. В качестве следствия этого результата получается, что для любой
конечной группы число компонент связности её графа простых чисел не
превосходит шести. Кроме того, в работе Заварницина [Za1] было установлено,
что спорадическая простая группа Янко J4 – единственная конечная группа,
граф простых чисел которой имеет ровно шесть компонент связности. В связи с
этим представлялось естественным поставить вопрос о классификации
конечных групп с данным числом компонент связности графа простых чисел.
В настоящем исследовании мы показываем, что группы, граф простых чисел
которых имеет пять компонент связности, также допускают классификацию.
Основным результатом этого исследования является
Теорема 3. Любая конечная группа, граф простых чисел которой имеет пять
компонент связности, является простой. В частности, такая группа
изоморфна простой исключительной группе Шевалле типа E8, определённой
над конечным полем порядка, сравнимого с 0,1 или -1 по модулю 5.
Для доказательства этой теоремы нам потребовалось установить некоторые
результаты о представлениях простых групп. Один из таких результатов,
сформулированный ниже, может представлять самостоятельный интерес.
Предложение 1. Пусть простая группа, изоморфная трижды скрученной
группе Стейнберга, определённой над полем порядка q, действует на ненулевом
векторном пространстве над полем характеристики, не делящей q (возможно,
нулевой). Тогда каждый элемент этой группы порядка q 4-q2+1 оставляет
неподвижным ненулевой вектор из этого векторного пространства.
29
Данное предложение 1 играет ключевую роль в доказательстве основной
теоремы 3 и само доказывается с использованием глубоких результатов из
теории представлений, таких как описание неприводимых обыкновенных
характеров групп Стейнберга, а также известной в настоящее время
информации о неприводимых брауэровых модулярных характеров этих групп
во всех простых характеристиках. (Отметим, что полного описания таких
характеров на данный момент не получено.) Мы также опираемся на известное
свойство конечных групп Шевалле типа E8, называемое унисингулярностью и
доказанное в работе [GT1]. Оно состоит в том, что в случае действия такой
группы на ненулевом векторном пространстве над полем, характеристика
которого совпадает с характеристикой определения группы, любой элемент
группы обладает в этом пространстве по крайней мере одной ненулевой
неподвижной точкой.
В
доказательстве
теоремы
3
нами
также
использовано
описание
максимальных подгрупп максимального ранга конечных исключительных групп
лиева типа, полученное в работе Либека, Саксла, Зейца [LSS1], и которого, в
частности, следует, что простая группа лиева типа E8 над полем порядка q
содержит
максимальную
подгруппу,
изоморфную
расширению
трижды
скрученной группы Стейнберга над полем порядка q2 с помощью полевого
автоморфизма порядка 6.
Напомним, что подгруппа называется холловой, если ее порядок и индекс
взаимно просты.
Будем говорить, что G – группа с холловыми максимальными подгруппами,
если каждая максимальная подгруппа группы G является холловой. Далее
всюду через V мы обозначаем класс групп с холловыми максимальными
подгруппами.
Подгруппа H группы G называется дополняемой группе G, если в G
существует
дополнение к ней, т. е. подгруппа K такая, что
подгрупп H и K тривиально и HK = G.
30
пересечение
Будем говорить, что G - группа с дополняемыми максимальными
подгруппами, если каждая максимальная подгруппа группы G дополняема в G.
Через W обозначается
класс групп
с дополняемыми
максимальными
подгруппами.
Как объект исследования группы из классов V и W впервые возникли в
работах В.М.Левчука и А.Г.Лихарева 2006 года и В.Н.Тютянова 2006 года, где
было установлено, что неабелева простая группа из класса W изоморфна
PSL(2,7), PSL(2,11) или PSL(5,2). Во всех этих группах каждая максимальная
подгруппа является холловой, т.е. все они лежат в V. Т.В.Тихоненко и
В.Н.Тютянов, 2008, показали, что верно и обратное, а именно, что группами
PSL(2,7), PSL(2,11) и PSL(5,2) исчерпываются с точностью до изоморфизма
неабелевы конечные простые группы класса V. Данный результат позволил
Тихоненко и Тютянову высказать гипотезу о справедливости включения класса
V в W. Эта гипотеза справедлива не только для неабелевых простых, но и для
разрешимых групп, поскольку в разрешимых группах максимальные подгруппы
имеют
примарные
индексы
и
следовательно
дополняемы
силовскими
подгруппами. В.С.Монахов в 2008 году изучил свойства произвольной
конечной разрешимой группы из V более подробно, доказав следующее
утверждение:
Для конечной разрешимой группы G следующие утверждения эквивалентны:
(1) Все максимальные подгруппы группы G холловы. (2) Любая максимальная
подгруппа в G дополняема некоторой силовской подгруппой. (3) Все главные
факторы группы G изоморфны силовским подгруппам группы G. В той же
работе В.С.Монахов сформулировал проблему, записанную им впоследствии в
''Коуровскую тетрадь'' (вопрос 17.92): каковы неабелевы композиционные
факторы конечной неразрешимой группы, у которой все максимальные
подгруппы холловы.
В недавней работе Н.В.Маслова доказала, что никакая неабелева простая
группа, неизоморфная группам PSL(2,7), PSL(2,11) или PSL(5,2), не может быть
композиционным фактором группы из V, и следовательно перечисленными
простыми группами исчерпываются с точностью до изоморфизма неабелевы
31
композиционные факторы неразрешимых групп, у которых все максимальные
подгруппы холловы. Тем самым, проблема Монахова была полностью решена.
Следующий естественный шаг - попытаться получить полное описание всех
групп в классе V и исследовать гипотезу Тихоненко и Тютянова о
справедливости включения V в W.
Мы попытались распространить результаты В.С.Монахова о разрешимых
группах класса V на произвольные группы из V. Структурную часть результата
Монахова можно переформулировать следующим образом. Любая разрешимая
группа G принадлежит классу V тогда и только тогда, когда G обладает
нормальным рядом G=G0>G1>...> Gn=1, любой фактор Gi-1/Gi которого –
элементарная абелева pi-группа для соответствующего простого делителя pi
порядка группы, изоморфная силовской pi-группе, и группа G/Gi неприводимо
действует на факторе Gi-1/Gi как на векторном пространстве. В частности, все
силовские подгруппы в такой группе G являются элементарными абелевыми, а
подгруппа Фраттини тривиальна.
Строение неразрешимой группы из V может существенно отличаться от
вышеуказанного. Рассмотрим класс U всех конечных групп G таких, что
(U1) подгруппа Фраттини Ф(G) группы G является 3-группой;
(U2) факторгруппа G/Ф(G) изоморфна PSL(2,7).
Следующее
предложение
позволяет
видеть,
насколько
далекими
от
элементарных абелевых групп могут оказаться силовские подгруппы в группах
из класса V.
Предложение 2. Справедливы следующие утверждения:
(1) Класс U содержится в V, т.е. если G – группа из U, то все максимальные
подгруппы в G холловы.
(2) Класс U содержится в W, т.е. если G – группа из U, то все максимальные
подгруппы в G дополняемы.
(3) Если группы G1, G2, принадлежащие классу U, обладают нетривиальными
подгруппами Фраттини, то факторгруппы группыG1/Ф(Ф(G1)) и G2/Ф(Ф(G2))
изоморфны.
32
(4) Если G – группа из U и ее подгруппа Фраттини Ф(G) нетривиальна, то
элементарная
абелева
3-группа
Ф(G)/Ф(Ф(G))
является
неприводимым
семимерным F3(G/Ф(G))-модулем относительно естественного действия
группы G/Ф(G), изоморфной PSL(2,7)$. В частности, наименьшее число
образующих группы Ф(G) в точности равно 7.
(5) Для любого многообразия B, состоящего из локально конечных 3-групп,
найдется группа G из класса U, для которой Ф(G) – свободная в многообразии B
группа ранга 7.
(6) Любая 7-порожденная 3-группа является гомоморфным образом группы
Ф(G) для некоторой группы G из класса U.
(7) Для групп G из класса U экспоненты подгрупп Ф(G) неограничены в
совокупности.
(8) Для групп G из U ступени разрешимости подгрупп Ф(G) неограничены в
совокупности.
Ввиду положительного решения ослабленной проблемы Бернсайда для групп
примарного периода (Е.И.Зельманов, 1994), примером многообразия локально
конечных 3-групп является класс всех локально конечных групп периода 3 m для
любого фиксированного натурального числа m. Из вышеприведенного
предложения 2 следует, что универсальная 7-порожденная конечная группа
B0(7,3m) экспоненты 3m, которая свободна в этом многообразии, изоморфна
подгруппе Фраттини некоторой группы из класса U и следовательно из класса
V.
Но группы из U являются скорее исключением среди групп класса V. Это
видно из следующей теоремы, дающей описание групп с холловыми
максимальными подгруппами и являющейся основным результатом работы
[Н.В.Маслова, Д.О.Ревин, конечные группы, все максимальные подгруппы
которых холловы, Матем. труды, т. 15 (2012), N2, 1-22.], включенной в отчет.
Теорема 4. В конечной группе G все максимальные подгруппы холловы тогда
и только тогда, когда G обладает нормальным рядом G=G 0>G1>...> Gn=1
33
таким, что:
(1) при i > 1 группа Vi=Gi-1/Gi является элементарной абелевой, изоморфной
некоторой силовской подгруппе группы G (в частности, все подгруппы G i,
i=0,1,...,n, являются холловыми), и действие сопряжениями группы G/Gi на Vi
как на векторном пространстве неприводимо;
(2) для факторгруппы
G=G0/G1=G/G1 справедливо одно из следующих утверждений:
(а) G имеет простой порядок;
(б) группа G изоморфна PSL(5,2);
(в) группа G изоморфна PSL(2,11);
(г) группа G принадлежит классу U$, т.е. группа Ф(G) является 3-группой и
факторгруппа G/Ф(G) изоморфна PSL(2,7).
Следствие 1. Пусть G – конечная группа с холловыми максимальными
подгруппами. Тогда ее разрешимый радикал S(G) обладает силовской башней,
инвариантной относительно сопряжений элементами из G, а факторгруппа
G/S(G) либо тривиальна, либо изоморфна одной из групп PSL(2,7), PSL(2,11)$
или PSL(5,2).
С помощью теоремы 4 удается подтвердить гипотезу Т.В. Тихоненко и В.Н.
Тютянова:
Следствие 2. Справедливо включение класса V в класс W. Другими словами,
если в конечной группе все максимальные подгруппы холловы, то они
дополняемы.
Утверждение, обратное к данному утверждению, неверно даже в разрешимом
случае: в конечной группе простой экспоненты p (например, элементарной
абелевой p-группе) все максимальные подгруппы дополняемы, но не холловы.
Примеры неразрешимых групп, у которых все максимальные подгруппы
дополняемы, но необязательно холловы, дают PGL(2,7) и прямое произведение
34
группы PSL(2,7) на циклическую группу порядка 3. Было бы интересно изучить
группы из класса W более подробно. В частности, представляет интерес
следующая
Проблема 3. Каковы неабелевы композиционные факторы групп с
дополняемыми максимальными подгруппами?
Во всех известных авторам примерах групп из класса W неабелевы
композиционные факторы изоморфны группам PSL(2,7), PSL(2,11) или
PSL(5,2).
Пусть G — матричная группа, заданная как подгруппа в GL(n, q),
порождённая
некоторым
множеством
матриц
X.
На
данный
момент
стандартный подход к исследованию структуры этих групп заключается в
рекурсивном построении набора гомоморфизмов, разбивающих входные
данные на ядро и образ [LG, NS, O'B, Se]. На конечном этапе рекурсии
необходимо установить изоморфный тип полученной простой группы и
предоставить соответствие с некоторой квазипростой группой.
Для простой группы лиева типа G над полем GF(pe) обозначим ch(G)=p. Для
квазипростой матричной группы G необходимо проделать следующие шаги:
(1) Найти характеристику ch(G) группы G.
(2) Определить «имя» (изоморфный тип) группы G.
(3) Построить конструктивный изоморфизм G с некоторой известной группой
H. Это позволит производить вычисления в G используя естественное
матричное или подстановочное представление. В рамках проекта доказана:
Теорема 5. Пусть G=Sp(2n, q), где q=2k и H — простая группа лиева типа
такая, что m1(G)=m1(H) и m2(G)=m2(H). Тогда ch(H)=2.
Основная идея доказательства теоремы 5 повторяет метод, описанный в
работе Кантора и Сереша, а именно рассматривается разложение числа m1/(m135
m2) в цепную дробь [a0; a1, a2, …], затем множество всех простых групп
разбивается на классы в зависимости от свойств чисел m1, m2, a0, a1, a2. Таким
образом, если две группы имеют одинаковые два наибольших порядка
элементов, то они попадают в один и тот же класс. Остаётся определить, к
каким классам принадлежат группы Sp(n, q) при различных n и q, а затем для
всех простых групп H нечётных характеристик, принадлежащих тем же классам,
проверить возможность того, что m1(G)=m1(H) и m2(G)=m2(H).
История исследований периодических групп с предписанными порядками
элементов началась со знаменитой работы У. Бернсайда [burn1], вышедшей в
1902 году, в которой он впервые сформулировал свои известные проблемы. В
частности, он задал вопрос об условиях, при которых конечнопорожденная
группа ограниченного периода обязательно конечна. Бернсайд отметил
очевидный факт локальной конечности групп периода 2 и показал, что это верно
и для групп периода 3. Кроме того, он заметил, что в группах периода 3 любые
два сопряженных элемента перестановочны, т.е. в этих группах выполняется 2энгелево тождество [[y,x],x]=1 (здесь символом [x,y] обозначается коммутатор
элементов x и y). В продолжении [burn2] работы [burn1], вышедшей годом
позже, Бернсайд показал, что любая 2-энгелева группа удовлетворяет
тождествам
[[x,y],z]=[[y,z],x]
и
[[x,y],z]3=1,
поэтому
она
двуступенно
нильпотентна, если в ней нет элементов порядка 3. По-видимому, К. Хопкинс
[hopkins] первым показал, что 2-энгелевы группы трехступенно нильпотентны, в
частности, таковы все группы периода 3. Этот результат обычно приписывают
Ф. Леви [levi], хотя он опубликовал свою работу на 13 лет позже Хопкинса.
В 1932 году Леви и Б. Ван дер Варден [lvdv] повторили результат Бернсайда о
2-энгелевости групп периода 3. Они также доказали, что порядок группы
периода 3 с d порождающими не превосходит 3 k, где k=(6d+3d(d-1)+d(d-1)(d2))/6. Для удобства перечисления дальнейших результатов, связанных с нашей
темой, введем для группы G следующие обозначения: w(G)={n| в G есть элемент
порядка n} - спектр группы G; m(G) - множество максимальных по делимости
элементов из спектра G; On(G) - множество всех элементов порядка n из G.
36
Группой периода n будем называть любую группу с тождественным
соотношением xn=1, а n-ступенно нильпотентной группой - группу с
тождественным
соотношением
[x1,x2,...,xn+1]=1,
где
[x1,x2]=x1-1x2-1x1x2
-
коммутант соответствующих элементов и [x1,x2,...,xn+1]=[[x1,x2,...,xn],xn+1]. В этом
смысле элементарная абелева 2-группа является двуступенно нильпотентной
группой периода 36. Назовем действие G на нетривиальной группе V
свободным, если v под действием g не равно v для любых нетривиальных v из V
и g из G.
В 1937 году Б. Нойман [neuman] обратил внимание на естественность задачи
исследования групп с заданным спектром. В частности, он доказал локальную
конечность любой группы G с m(G)={2,3}. Более точно, такая группа является
расширением элементарной абелевой p-группы V посредством циклической qгруппы, действующей свободно на V. Здесь {p,q}={2,3}.
Локальная
конечность
группы
G
в
случае,
когда
m(G)
является
подмножеством множества {3,4} была доказана И.Н. Сановым [sanov] в 1940
году. Позднее Д.В.Лыткиной в работе [lytkina1] было установлено строение
группы G в случае m(G)={3,4}. Для такой группы возможен лишь один из
следующих случаев: (а) G=VQ, где V - нетривиальная нормальная элементарная
абелева 3-подгруппа, Q является 2-группой, которая действует свободно на V и
изоморфна либо циклической группе порядка 4, либо группе кватернионов
порядка 8; (б) G=T<a>, где T - нормальная нильпотентная 2-подгруппа ступени
нильпотентности 2, а порядок a равен 3; (в) G=TS, где T - элементарная
нормальная 2-подгруппа, а S изоморфна симметрической группе степени 3. В
частности, G разрешима и ее ступень разрешимости не больше, чем 3. Ступень
разрешимости группы периода 4 неограниченно растет вместе с ростом числа
порождающих [razmislov].
В ситуации, когда в группе G нет элементов порядка pq для двух различных
простых чисел p и q из спектра группы, очень часто возникает свободное
действие одной подгруппы G на другой. В этой связи важную роль играют
различные результаты о таком действии. Для конечных групп основными
фактами является нильпотентность пассивной группы (Дж. Томпсон [thompson])
37
и описание строения активной группы (Цассенхауз, см. [busarkin]). Приведем
еще несколько важных для дальнейшего изложения результатов о свободном
действии периодической группы G на V. 1. Если G порождается элементом g
порядка 3 и V={v-1vg | где v из V}, то V двуступенно нильпотентна (Нойман
[neuman2]). 2. Если X - подгруппа порядка 3 из G и V абелева, то либо
подгруппа, порожденная XG изоморфна SL2(3) или SL2(5), либо X нормальна в
G. В частности, если G не содержит инволюций, то X – единственная подгруппа
порядка 3 из G (А.Х. Журтов [zhurtov1, zhurtov2]). 3. Если G - 5-группа и V
абелева, то |G|=5 (Э. Ябара [jabara1,jabara2]).
В 1956 году вышла знаменитая статья Ф. Холла и Г. Хигмана [hh],
вооружившая математиков новыми мощными
средствами
исследования
конечных групп. В частности, она подвигла М. Холла на написание работы
[hall6], в которой он доказал локальную конечность групп периода 6. Из этого
результата и работы Холла и Хигмана вытекает, что все такие группы
разрешимы ступени разрешимости, не превосходящей четырех, а порядок d порожденной группы периода 6 не превосходит 2 a3b+b(b-1)/2+b(b-1)(b-2)/6, где a=1+(d1)3d+d(d-1)/2+d(d-1)(d-2)/6, b=1+(d-1)2d, и эта граница точная. Отметим, что позднее
М.Ньюмен [newman] существенно сократил доказательство Холла, сведя его к
некоторому утверждению, которое проверил с помощью компьютера. И.Г.
Лысенок [lis6] в 1987 году освободил доказательство Ньюмена от машинных
вычислений.
В 1959 году П. С. Новиков [novikov1] анонсировал существование
бесконечных конечно порожденных групп конечного периода. На основе идей
этой заметки Новиков и C.И. Адян в 1968 году написали большую статью
[na1,na2,na3] с доказательством существования m-порожденной группы периода
n для любого m больше 1 и любого нечетного n больше либо равного 4381. В
книге Адяна [adyan1], вышедшей в 1975 году, граница для n равная 4381 была
снижена до 665. Существование не локально конечных 2-групп конечного
периода анонсировали в 1992 году независимо C.В. Иванов и И.Г. Лысёнок.
Работы [ivanov] и [lysenok] этих авторов, содержащие полные доказательства,
вышли в 1994 и 1996 годах соответственно. В частности, в работе Лысёнка
38
[lysenok] доказано существование бесконечных m-порожденных групп периода
n для любых m больше либо равного 2 и n больше либо равного 8000.
В 1986 году В. Ши [shi] доказал, что знакопеременная группа A5 изоморфная
L2(4) является единственной конечной группой, спектр которой равен {1,2,3,5},
открыв тем самым широкую дорогу для получения различных характеризаций
конечных групп, использующих понятие спектра. Мы не будем касаться этой
обширной темы. Отметим только, что позднее Ши доказал распознаваемость по
спектру любой простой группы L2(2m) в классе конечных групп. В 1999 году
Журтов и В. Д. Мазуров [zhurtov_mazurov] показали, что этот факт справедлив и
без предположения о конечности группы с тем же спектром, что и L2(2m):
m(G)={2m,2m-1,2m+1} тогда и только тогда, когда G изоморфна L2(2m). В спектре
группы L_2(Q), где Q - произвольное локально конечное поле характеристики 2,
единственным четным числом является двойка, и в 2000 году Мазуров
[mazurovL] нашел общий вид групп G, спектр которых имеет вид {2} N, где N
состоит из нечетных чисел. Он показал, что для G верно одно из следующих
утверждений:
(a) G - расширение абелевой группы A посредством группы, породенной
элементом t порядка 2, и at=a-1 для любого a из A.
(б) G - расширение элементарной абелевой 2-группы A посредством группы
без инволюций, действующей свободно на A при сопряжении в G.
(в) G изоморфна L_2(Q) для подходящего локально конечного поля Q
характеристики 2.
Группы из пунктов (а) и (в) локально конечны. Существуют группы из пункта
(б), не являющиеся локально конечными. Таким образом, существование не
локально конечной группы G с таким спектром напрямую зависит от
существования группы со спектром w, способной действовать свободно на
элементарной абелевой 2-группе. В частности, если w равно одному из
множеств
{1,3,9}
или
{1,3,5,9,15},
то
группа
локально
конечна
[zhurtov_mazurov2]. Этот результат получен в 2009 В.Д.Мазуровым совместно с
А.Х.Журтовым.
39
В двух работах [gupta_mazurov] и [mazurov60] Н. Гупта и В.Д. Мазуров
исследовали группы, спектр которых содержится во множестве {1,2,3,4,5}. С
учетом отмеченного выше результата Э.Ябары [jabara] все они являются
локально конечными, за возможным исключением групп периода 5. Более
точно, 1. Если m(G)={3,5}, то либо G=FT, где F - двуступенно нильпотентная
нормальная 5-подгруппа, а |T|=3, либо G - расширение трехступенно
нильпотентной 3-группы посредством группы порядка 5.
2. Если m(G)={4,5}, то выполняется одно из следующих утверждений:
(а) G=TD, где T - нормальная элементарная абелева 2-группа, а D – неабелева
группа порядка 10.
(б) G=FT, где F – элементарная абелева нормальная 5-подгруппа, а T
изоморфна подгруппе группы кватернионов порядка 8.
(в) G=TF, где T - нильпотентная ступени 6 нормальная 2-подгруппа, а F –
группа порядка 5.
3. Если m(G)={3,4,5}, то G локально конечна и либо изоморфна
знакопеременной группе степени 6, либо G=VC, где V – нетривиальная
элементарная
абелева
нормальная
2-подгруппа,
а
C
изоморфна
знакопеременной группе степени 5.
В 2007 году Д.В. Лыткина и А.К. Кузнецов [lk] охарактеризовали спектром
группу L_2(7) в классе всех групп. Точнее, ими доказана следующая теорема:
если m(G)={3,4,7}, то G изоморфна L_2(7).
В 2009 году Мазуров и А.С.Мамонтов получили в [mmm] следующий
результат. Пусть m(G)={5,6}. Тогда G - разрешимая локально конечная группа и
справедливо одно из следующих утверждений:
(а)
G
-
расширение
элементарной
абелевой
5-группы
посредством
циклической группы порядка 6;
(б) G - расширение трехступенно нильпотентной 3-группы посредством
группы диэдра порядка 10;
(в) G - расширение прямого произведения трехступенно нильпотентной 340
группы и элементарной абелевой 2-группы посредством группы порядка 5.
В 2010 году Мазуров [mazurov8] показал, что группа G с m(G)={3,8}
локально конечна и для нее справедливо одно из следующих утверждений:
(а) G=VQ, где V - нетривиальная нормальная элементарная абелева 3подгруппа, Q является 2-группой, которая действует свободно на V и
изоморфна либо циклической группе порядка 8, либо группе кватернионов
порядка 16;
(б) G=T<a>, где T - нормальная нильпотентная 2-подгруппа ступени
нильпотентности 2, а порядок a равен 3;
(в) G=TS, где T - нильпотентная нормальная 2-подгруппа ступени
нильпотентности 2 и периода 4, а S изоморфна симметрической группе степени
3. В частности, G разрешима и ее ступень разрешимости не больше, чем 4.
В этом году Д.В. Лыткина и Э. Ябара показали, что группа G с m(G)={4,9}
локально конечна.
Теорема 6. Пусть G - группа периода 36, не содержащая элементов порядка
6. Тогда либо G - группа периода 9, либо G локально конечна и выполняется
одно из следующих утверждений:
1. Силовская 2-подгруппа T из G двуступенно нильпотентна и нормальна в G,
а силовская 3-подгруппа является циклической группой, действующей свободно
на T;
2.
Максимальная
нормальная
2-подгруппа
O_2(G)
–
нетривиальная
элементарная абелева группа, силовская 3-подгруппа R из G – циклическая
группа, действующая свободно на O_2(G) и индекс |G:O2(G)R|=2;
3. Силовская 3-подгруппа R из G абелева и нормальна в G. Силовская 2подгруппа T из G действует свободно на R и является либо циклической
группой, либо группой кватернионов. При этом G=RT.
По прежнему открытым является вопрос о локальной конечности групп
периода 12. В направлении изучения групп периода 12 участники проекта
41
обобщили результаты И.Н. Санова и М.Холла на группы периода 12.
Теорема 7: Пусть G - группа периода 12, в которой порядок произведения
любых двух инволюций отличен от числа 6, тогда G локально конечна.
В этом случае удается полностью описать строение получающейся группы.
Доказательство утверждения распадается на два случая. Обозначим через R
группу, которая порождается тремя элементами а, b и с, где a и b - элементы
порядка 3, а с - инволюция, инвертирующая a и b, которые удовлетворяют
следующим соотношениям: [a,b,b]=[a,b,a]=1. Удается показать, что если группа
G удовлетворяет условию теоремы 7 и не содержит подгрупп, изоморфных R, то
порядок любого элемента из G не превосходит числа 4 и поэтому можно
воспользоваться результатами Д.В. Лыткиной для описания G. Если же G
содержит R, то нами показано, что в этом случае все инволюции в группе
сопряжены и порядок произведения любых двух различных инволюций равен 3.
Пользуясь уже этим свойством удается установить локальную конечность
соответствующей группы и получить ее описание.
Теорема 8: Пусть G - группа периода 12, в которой порядок произведения
любых двух инволюций отличен от числа 6, тогда G локально конечна.
Теорема 8 обобщает результат М.Холла. Доказательство основано на
следующем наблюдении: если a, b и с - инволюции из группы, причем
(ab)3=(bc)3=1, то (ac)3=1. Доказательство этого факта техническое и использует
вычисления по алгоритму перечисления смежных классов. Используя этот факт
и классическую теорему Шмидта заключение теоремы 8 удается получить из
результата
о
локальной
конечности
групп,
порожденной
классом
3-
транспозиций [cuypers]. При доказательстве теорем используются вычисления в
компьютерной системе GAP [gap] по алгоритму перечисления смежных классов.
Если G - конечная группа, то классическая теорема Бернсайда утверждает,
42
что число классов сопряженных элементов группы G равно числу классов
эквивалентности
ее
неприводимых
унитарных
представлений.
Вместо
отношения сопряженности можно рассматривать отношение скрученной
сопряженности на группе G, которое вводится по следующему правилу: два
элемента
x,y
группы
G
называются
скручено
φ-сопряженными
(для
автоморфизма φ группы G) если для некоторого элемента z группы G
выполнено
равенство
x=zyφ(z-1).
Это
отношение
является
эквивалентности на группе G и разбивает её на классы
отношением
(скрученной) φ-
сопряженности. Интерес к классам φ-сопряженности возникает главным
образом в теории неподвижных точек Нильсена-Райдемайстера, теории
Сильберга и алгебраической геометрии.
В настоящее время активно изучается аналог теоремы Бернсайда для
скрученной сопряженности, утверждающий, что число классов скрученной
сопряженности для автоморфизма φ совпадает с числом неподвижных точек
отображения, индуцированного этим автоморфизмом на множество всех
унитарных представлений группы G (в случае конечности одного из этих
чисел). В связи с этой проблемой возникает задача об описании групп, у
которых число классов скрученной сопряженности бесконечно для всякого
автоморфизма. Про такие группы говорят, что они обладают свойством R
бесконечность.
Вопрос о том, какие группы обладают свойством R бесконечность,
сформулировали А.Фельштын и Р.Хилл около 20 лет назад. Для следующих
групп было показано, что они обладают свойством R бесконечность:

Неэлементарные гиперболические (по Громову) группы

Группы Баумслага-Солитера BS(m,n), при (m,n) не равном (1,1)

Группы Григорчука и группы Гупты-Сидки.

Некоторые свободные нильпотентные группы
В настоящей работе доказываются следующие теоремы:
Теорема 9 Общая линейная группа GLn(K) и специальная линейная группа
SLn(K) при n больше либо равном 3 обладают свойством R бесконечность, если
43
K - бесконечное целостное кольцо с тривиальной группой автоморфизмов
Теорема 10 Общая линейная группа GLn(K) и специальная линейная группа
SLn(K) при n больше либо равном 3 обладают свойством R бесконечность, если
K
–
целостное кольцо
нулевой
характеристики, у которого
группа
автоморфизмов периодична.
Доказательство этих теорем основывается на знании строения группы
автоморфизмов линейных групп над областями целостности при n больше либо
равном 3, которое получил О’Мира в 1967 году.
Для каждого автоморфизма φ строится бесконечное семейство матриц,
которые
не
могу
быть
скрученно
сопряженными
с
помощью
этого
автоморфизма. Они и будут представителями бесконечного числа классов
скрученной сопряженности для данного автоморфизма. Чтобы это доказать
используется необходимое условие φ-сопряженности матриц для каждого φ,
полученное также в ходе работы. Для получения необходимого условия
используются понятие следа матрицы и свойство того, что он не меняется при
сопряжении. Также введено понятие антиследа матрицы 2x2, и для некоторых
автоморфизмов φ необходимое условие φ-сопряженности матриц строится при
помощи свойств антиследа.
Из теорем 9-10 вытекает следующее
Следствие 3 . Общая и специальная линейные группы обладают свойством R
бесконечность
над
кольцом
целых
чисел,
над
полями
рациональных,
вещественных и p-адических чисел, а так же над конечными сепарабельными
расширениями поля рациональных чисел
Группа называется хопфовой, если всякий её гомоморфизм на себя имеет
тривиальное ядро, т.е. является автоморфизмом. Далее будем считать, что p и q
взаимно простые целые числа, не равные нулю. Баумслаг и Солитер [BaSo]
впервые
предложили
серию
примеров
44
нехопфовых
групп
с
двумя
порождающими элементами a и t и одним соотношением t-1apt=aq, они теперь
обозначаются BS(p,q). Эти группы оказались интересными и с других позиций:
геометрических свойств, функций роста, функции Дэна и т.д.
Мескин [Mes] доказал, что группа BS(p,q) финитно аппроксимируема тогда и
только тогда, когда p | q или q | p. Группа BS(p,q) хопфова (см. [BaSo]) тогда и
только тогда, когда она финитно аппроксимируема или p и q имеют одинаковые
множества простых делителей. В частности, простейшая нехопфова группа –
это BS(2,3).
Коллинз [Col] описал группу автоморфизмов BS(p,q) при взаимно простых p
и q. Коллинз и Левин [CoLe] заметили, что группа BS(2,4), или, более общо,
BS(p,q), где |p|,|q|≠1 и одно из чисел p, q делит другое, имеет бесконечно
порожденную группу автоморфизмов.
Соотношения
Баумслага-Солитера
активно
исследовалось
для
фундаментальных групп многообразий и комплексов (см., например, [BriHa]).
Известно, что фундаментальные группы компактных 2-многообразий всегда
хопфовы. Фундаментальные группы компактных 4-многообразий могут быть
любыми конечно представленными группами. Доказано, что группа BS(p,q) при
|p|≠|q| не может быть подгруппой фундаментальной группы связного
ориентируемого
3-многообразия
(см.
[Sha]).
Зела
[Sel]
доказал,
что
гиперболическая группа без кручения хопфова, если она не разлагается в
нетривиальное свободное произведение. В частности, фундаментальные группы
замкнутых многообразий отрицательной кривизны хопфовы.
Д. Маклаури [McLa] использовал алгебраическую геометрию для поиска
неприводимых представлений группы BS(p,q). Пусть φ – произвольное
неприводимое представление группы BS(p,q) над полем C и A замыкание
группы порожденной φ(a) в топологии Зарисского, а G – замыкание всего
образа φ(BS(p,q)). Решающее значение в работе Маклаури имеет теорема 3.2 о
том, что группа A — нормальная подгруппа группы G.
В рамках проекта были найдены все неприводимые представления
произвольной подгруппы конечного индекса группы BS(p,q).
Пусть m — натуральное число, обозначим через Hm группу порожденную
45
элементами a1, a2, …, am, d с определяющими соотношениями aip=ai+1q при
I=1,2,…,m-1 и d-1ampd=a1q. Заметим, что группа BS(p,q) изоморфна H1. В [Dud]
доказано, что всякая подгруппа конечного индекса группы BS(p,q) изоморфна
некоторой группе Hm. Пусть μ, c1, c2, …,cn ненулевые комплексные числа, а s –
натуральное число. Обозначим через Am-I при i=0,1,…,m-1 диагональные
матрицы Diag(μs^I, μs^(i+m),…, μs^(i+m(n-1))) а через D=(dij) – матрицу у которой
di+1,i=ci при i=1,2,…,n и d1,n=cn. Матрица D — мономиальная матрица или
другими словами перестановочная матрица, умноженная на Diag(cn,c1,…,cn-1).
Теорема 11. Пусть H — подгруппа конечного индекса группы BS(p,q),
изоморфная Hm и φ — неприводимое представление её над C. Тогда
существуют такие
1. Натуральное число l, взаимно простое с pq, которое не делит qkm-pkm при
k=1, 2,…, n-1 и делит qnm-pnm,
2. Натуральное число s такое, что q сравнимо с ps по модулю l,
3. Комплексные числа c1, c2,…, cn не равные нулю,
4. Комплексное число μ — примитивный корень из 1 степени l,
что в подходящем базисе φ(ai)= Ai при i=1,2,…,m и φ(d)=D. Других
неприводимых представлений нет.
Основные этапы доказательства теоремы:
Сначала нужно установить, что все собственные числа матриц φ(ai) при
i=1,2,…,m являются примитивными корнями из 1 степени взаимно простой с
числом pq. Это следует из свойств сопряженных матриц и основных тождеств в
группе Hm.
Потом надо доказывать, что если v — собственный вектор матрицы φ(ai)p, то
v будет собственным вектором матрицы φ(ai). Это вытекает из возможного вида
Жордановой формы матрицы φ(ai).
После этого необходимо понять, что если v — собственный вектор матрицы
φ(am), то он будет собственным для матрицы φ(ai), правда с другим собственным
числом. Для этого надо воспользоваться пунктом 2 и определяющими
46
соотношениям группы Hm.
Наконец нужно установить, что если v – собственный вектор матрицы φ(ai),
то вектор φ(d)v тоже будет собственным для этой же матрицы φ(ai). Здесь опять
надо использовать шаг 2 и определяющие соотношения группы Hm.
Теперь мы можем найти такой базис векторного пространства, в котором
матрица φ(d) принимает нужный нам вид. Причем этот базис оказывается
базисом собственных векторов матриц φ(ai) для всех i.
Остается только понять, при каких условиях найденные представления
действительно являются неприводимыми.
За отчетный период изучалась следующая проблема внесённая в 2002 году
Е.П.Вдовиным в «Коуровскую тетрадь» [Kour, проблема 15.40]:
Проблема 4. Пусть N – нильпотентная подгруппа конечной простой группы
G. Верно ли, что существует подгруппа
N1,
сопряжённая с N, для которой их
пересечение оказывается тривильным?
Данная проблема 4 связана с проблемой 17.40, внесённой Е.П.Вдовиным в
«Коуровскую тетрадь» [Kour] в 2010 году.
Проблема 5.
Пусть N – нильпотентная подгруппа конечной группы
.
Всегда ли существуют такие N1, N2 сопряжённые с N, что пересечение всех
трёх содержится в подгруппе Фиттинга группы G?
Частные случаи этих проблем изучались и ранее. Например в 1966 году Д.С.
Пассман доказал [Pas66], что в разрешимой группе G всегда найдутся силовские
p-подгруппы P1,P2,P3 такие, что их пересечение равно p-радикалу группы G
Позднее В.И. Зенков использую классификацию конечных простых групп
показал, что в любой конечной группе G существуют силовские p-подгруппы
P1,P2,P3
такие, что их пересечение равно p-радикалу группы G.
Для приложения этих результатов важным оказывается определение базы
47
группы относительно некоторого действия. Пусть группа G действует на
множестве X и K – ядро этого действия. Также предположим, что существуют
элементы x1,…xk из X, для которых справедливо равенство Gx1∩…∩Gxk=K.
Тогда действие любого элемента g из G на множестве X полностью
определяется его действием на наборе x1,…xk , т.е. для любых двух элементов
g,h из G справедливость равенств x1g=x1h,…,xkg=xkh влечёт, что g,h действуют
одинаково на X. Если набор x1,…xk имеет минимально возможную мощность,
то множество {x1,…xk} называют базой группы G относительно действия на X
и записывают этот факт следующим образом: Base(G)= {x1,…xk}.
Если группа G действует на множестве X транзитивно, то это действие
подстановочно эквивалентно действию группы G правыми умножениями на
множестве правых смежных классов по стабилизатору точки исходного
действия. Более того в этом случае все стабилизаторы точек оказываются
сопряжены.
Таким образом, вопрос о размере базы в случае транзитивного действия
можно переформулировать следующим образом: для данных группы G и её
подгруппы H найти минимальное число k элементов g1,…gk из G таких, что
Hg1∩…Hgk=CoreG(H).
Введём следующие обозначения. Символами Symn и Altn будем обозначить
симметрическую и знакопеременную группу степени
соответственно, а
символом Symn (U) будем обозначать симметрическую группу множества U.
Определение. Пусть G – подгруппа группы
Symn (U). Асимметрическим
разбиением A группы G называется разбиение множества U такое, что только
единица группы G стабилизирует A. Другими словами разбиение U в
объединение множеств A1,…,An называется асимметрическим, если из того что
Aig=Ai для любого следует, что g=e.
В принятой к печати статье были доказаны следующие теоремы:
Теорема 12 Пусть N – произвольная нильпотетная подгруппа группы Symn
и n больше или равно 5. Кроме того, в случае n=8 потребуем, чтобы N не
являлась 2-группой. Тогда существует элемент x из Symn такой, что N∩Nx=e.
48
Теорема 13 Пусть
--- произвольная нильпотетная подгруппа группы
. Тогда существует элемент
такой, что
и
.
В терминах базы группы теорему 2 можно переписать следующим образом:
Теорема 13’
Пусть G – знакопеременная простая группа транзитивно
действующая на множестве X и N – стабилизатор точки в этом действии.
Кроме того, в случае n=8 потребуем, чтобы N не являлась 2-группой. Тогда
|Base(G)|=2.
Доказательство теоремы 12 основано на следующей лемме:
Лемма 1 Пусть G – транзитивная подгруппа группы Symn. Предположим,
что существует элемент g из G такой, что g имеет в точности одну
неподвижную точку. Тогда централизатор подгруппы G группе Symn будет
тривиальным.
Заметим, что если z это элемент из центра группы G, то выполнено
G∩Gx≤CSymn(z)∩CSymn(z)x≤CSymn(z∙zx). После этого замечания показывается, что z∙zx
имеет в точности одну неподвижную точку.
Теорема 13 получается как следствие теоремы 12. В силу теоремы 12
подходящий элемент существует в группе Symn. Если при этом он не лежит в
Altn, то находится элемент из NSymn(N)Altn и произведение этих двух элементов
оказывается искомым элементом.
При
исследовании
проблемы
[Kour,
проблема
17.40]
возникает
необходимость рассматривать подстановочное сплетение GгN, где N –
нильпотентная подгруппа группы Symn. При этом важную роль играет
следующий результат.
Теорема 14. Пусть N – нильпотентная подгруппа группы Symn. Тогда
существует асимметрическое разбиение AA2A3={1,…,n}.
49
Свойства
твердого
вещества
во
многом
определяются
типом
его
кристаллической решетки. В конце 19 века Федоров и Шенфлис геометрически
классифицировали все такие решетки в трехмерном евклидовом пространстве
по
типу
изоморфизма
групп
симметрий
решеток
или,
иначе,
кристаллографических групп. Оказалось, что число классов изоморфизма
конечно и равно 219 (если использовать только изоморфизмы, сохраняющие
ориентацию пространства, то
число классов равно 230). Отсюда появилась
кристаллография как часть физики и химии, развивающая экспериментальные
методы быстрого вычисления кристаллографической группы для данного
кристалла. Возникли задачи поиска более простого доказательства и возможных
обобщений для классификации. Так Бибербах в 1911--1912 гг., решая часть 18-й
проблемы Гильберта, доказал, что конечномерное евклидово пространство
имеет только конечное число кристаллографических групп движений с
точностью до изоморфизма, а Цассенхауз в 30-х годах предложил упрощенный
способ вычислений кристаллографических групп, позволивший перечислить
все кристаллографические группы движений четырехмерного евклидова
пространства.
В конце 20-го столетия были открыты квазикристаллы -- новое состояние
твердого вещества (D. Shechtman, D. Bell, Metallic phase with long-range
orientational order and no translational symmetry, Phys. Rev. Letters, 1984, Vol. 53,
N 20, 1951-1953; работа отмечена нобелевской премией 2011 года). Поскольку
квазикристаллы обладают необычными свойствами, то естественно, возникла
задача их построения, описания и классификации. С.П. Новиков предложил
использовать для классификации квазикристаллов тип изоморфизма так
называемых квазикристаллографических групп. Задача интересна с точки
зрения физики и химии для евклидовой плоскости и трехмерного евклидова
пространства. Появились также близкие модели «среза и проекции»
для
квазикристаллов. Обзор результатов в этой активно развивающейся области
исследований можно найти в работе: Л.Т.К. Тханг, С.А. Пиунихин, В.А. Садов,
«Геометрия квазикристаллов», Успехи математических наук, 1993, Т. 48, N 1, С.
41—102; а также в книге: В.А. Артамонов, Ю.Л. Словохотов «Группы и их
50
применения в физике, химии, кристаллографии», М.: Academa, 2005. Эта
тематика активно развивается и за рубежом, см., например, C. Janot,
«Quasicrystals. A Primer», Clarendon Press, Oxford, 1994; R.V.Moody, «Model sets:
a servey», From Quasicrystals to More Complex Systems (Le Houches, 1998),
Springer-Verlag,
Berlin,
Введение
145--166.
в
теорию
квазикристаллографических групп можно прочитать в книге: С.П. Новиков,
И.А. Тайманов, «Современные геометрические структуры и поля», М. Наука,
2005.
Оказалось, что с математической точки зрения квазикристалл часто можно
рассматривать как проекцию части многомерной кристаллической решетки в
псевдоевклидовом пространстве на подходящее подпространство размерности
три. Это приводит к задаче классификации кристаллографических групп
движений псевдоевклидовых пространств.
Р.М.
Гарипов
в
работе
«Алгебраический
метод
вычисления
кристаллографических групп. I, II», Сибирский журнал индустриальной
математики, 2000, Т.3, N 2, C. 43--62; 2001, Т.4, N 1, C. 52--72, предложил
эффективный алгебраический метод вычисления кристаллографических групп в
евклидовом пространстве. Его подход основан на ослабленной теореме
Бибербаха,
которая
кристаллографических
утверждает,
групп
что
решетки
при
абстрактном
всегда
переходят
изоморфизме
в
решетки
(равносильно, всякий автоморфизм кристаллографической группы оставляет ее
решетку трансляций инвариантной).
Гарипов заметил (Алгебра и логика, 2003, Т. 42, N 6, С. 655-682), что его
метод
классификации
годится
и
для
кристалографических
групп
в
пространствах Минковского, поскольку там верен аналог ослабленной теоремы
Бибербаха. В нескольких работах он показал, как его метод вычислений
работает в пространствах малых размерностей 2 и 3. Он сформулировал
естественный вопрос о справедливости ослабленной теоремы Бибербаха в
случае псевдоевклидовых пространств.
Отвечая на этот вопрос, В.А.. Чуркин (Сибирский матем. журнал, 2010, Т. 51,
N 3, С. 700-714) доказал, что ослабленная теорема Бибербаха верна и в
51
псевдоевклидовых пространствах, если его индекс (размерность максимального
изотропного подпространства) не превосходит двух. С другой стороны, он
построил серию кристаллографических групп движений псевдоевклидовых
пространств любого индекса не менее трех, каждая из которых содержит по
крайней мере две различные псевдоевклидовы решетки — возможные решетки
трансляций при реализации группы в качестве кристаллографической группы
движений псевдоевклидова пространства. Он доказал также, что коранг
пересечения двух псевдоевклидовых решеток в самих решетках может
принимать любые натуральные значения, кроме чисел 1, 2 и 4.
Таким образом, кристаллографическая группа движений псевдоевклидова
пространства может обладать нестандартными автоморфизмами, которые не
оставляют решетку трансляций инвариантной.
Следующий естественный вопрос — сколько псевдоевклидовых решеток
может содержать данная кристаллографическая группа, или, иначе, сколько
может быть нестандартных автоморфизмов? Естественна
Гипотеза
1.
псевдоевклидова
В
каждой
пространства
кристаллографической
может
быть
группе
только
движений
конечное
число
псевдоевклидовых решеток.
Это означало бы, что существует только конечное число нестандартных
изоморфизмов, по модулю которых ослабленная теорема Бибербаха была бы
верна.
Была исследована группа с двумя решетками в шестимерном пространстве,
вычислена группа ее автоморфизмов и на ее основе построена группа с
большим конечным числом решеток (Чуркин В.А., Кристаллографическая
группа, содержащая 2n псевдоевклидовых решеток, Algebra and Model Theory 7,
Novosibirsk State Technical University, 2009, P. 44-53).
Следовательно, при увеличении размерности пространства линейно число
различных псевдоевклидовых решеток в кристаллографической группе может
52
расти экспоненциально.
Доказана следующая
Теорема 15. В группе движений 6-мерного псевдоевклидова пространства
индекса 3 существует кристаллографическая группа, содержащая ровно три
псевдоевклидовы решетки. Эти решетки переставляются по циклу некоторым
автоморфизмом группы.
Больше, чем три решетки в кристаллографической группе движений 6мерного псевдоевклидова пространства индекса 3 быть не может.
В рамках проекта была изучена проблема, аналогичная классической теореме
Адо для конечномерных алгебр Ли: имеет ли конформная алгебра Ли конечного
типа точное конформное представление конечного типа? Помимо возможных
приложений в математической физике (конформной теории поля), данный
вопрос представляет интерес и с чисто алгебраической точки зрения, поскольку
позволяет
лучше
понять
строение
широкого
и
важного
класса
бесконечномерных алгебр Ли.
Конформные
алгебраический
алгебры
были
формализм,
введены
В.Г.
описывающий
Кацем
свойства
[Kac1996]
сингулярной
как
части
разложения операторного произведения (operator product expansion, OPE) в
конформной теории поля. Таким образом, сингулярная часть любой алгебры
вертексных операторов — это конформная алгебра Ли (поэтому в литературе
конформные алгебры часто называются вертексными алгебрами Ли, см. напр.,
[FrenkelBZ2001]). Теория конформных алгебр имеет тесные связи с другими
областями, включая формализм Гамильтона в теории эволюционных уравнений,
[BakalovDK2001],
алгебраических
вариационное
структур,
исчисление
введенных
Ж.-Л.
[DeSoleK2008]
Лодеем
и
теорию
[Loday2001]
в
алгебраической топологии и К-теории, см. [Kol2008].
С формальной точки зрения категория конформных алгебр — это первый
53
(после категории «обычных» алгебр над полем) член иерархии категорий
псевдоалгебр
—
алгебр
в
псевдотензорной
категории
модулей
над
кокоммутативными биалгебрами, описанной в [BakalovDK2001]. Обычные
алгебры над полем F в этом контексте соответствуют одномерной биалгебре
H=F, а конформные алгебры — полиномиальной биалгебре H=F[T] со
стандартным коумножением DT=1ÄT+TÄ1. Как и в случае обычных алгебр,
ассоциативная конформная алгебра превращается в конформную алгебру Ли
относительно операции, заданной морфизмом операд As®Lie, действующим по
правилу
x1x2 ® x1x2 - x2x1.
Обратное утверждение в общем случае неверно: существуют конформные
алгебры Ли, не вкладывающиеся в ассоциативные. Примеры такого рода были
построены
М.
Ройтманом
[Roit2000].
Все
известные
примеры
таких
«исключительных» конформных алгебр Ли представляют собой системы с
квадратичной и более быстро растущей функцией роста. Однако для
конформных алгебр Ли с линейной функцией роста (алгебр конечного типа,
прямых аналогов конечномерных алгебр в данной категории) проблема о
существовании вложения такой алгебры в ассоциативную конформную алгебру
остается открытой. Более тонкая задача состоит в том, чтобы определить,
существует ли у данной конформной алгебры Ли L, являющейся свободным
конечно-порожденным
H-модулем,
точное
конформное
представление
конечного типа. Положительный ответ на данный вопрос означает, что L
вкладывается в ассоциативную алгебру конформных эндоморфизмов CendN,
строение и свойства которой хорошо изучены [BoyallKL2003], [Kol2006a].
Нетрудно
видеть,
что
решение
последней
задачи
является
аналогом
доказательства теоремы Адо.
В рамках проекта была доказана следующая
Теорема 15. Пусть L - конформная алгебра Ли конечного типа без кручения с
отщепляющимся разрешимым радикалом. Тогда L имеет точное конформное
представление конечного типа.
54
Для доказательства данной теоремы 15 мы используем методы теории
когомологий конформных алгебр, предложенные в работах [ChenKW1998] и
[BakalovKV1999]. Основная трудность в расширении результата [Kol2011] на
конформные алгебры Ли с произвольной полупростой частью состоит в том, что
необходимо найти конформный модуль над разрешимым радикалом всей
алгебры,
инвариантный
относительно
действия
элемента
Вирасоро
из
полупростой части. Теория представлений для разрешимых и полупростых
конформных алгебр Ли глубоко разработана в работах [DandreaK1998] и
[ChenKac1997]. Несмотря на отсутствие свойства вполне приводимости для
модулей над полупростыми алгебрами, в классе конформных модулей
существует аналог композиционного ряда и теоремы Ли о треугольном
представлении
разрешимой
алгебры.
Используя
классификацию
из
[ChenKac1997] неприводимых модулей над полупростыми конформными
алгебрами Ли конечного типа, мы доказываем, что верна следующая
Лемма 2. Если конформная алгебра Ли конечного типа без кручения
содержит элемент Вирасоро в полупростой части, то разрешимый радикал
этой алгебры содержит идеал, не пересекающийся с ее центром.
Линейные операторы произвольной алгебры, удовлетворяющие следующему
уравнению
R(x)R(y)=R(R(x)y+xR(y)+λxy),
называются операторами Рота-Бакстера, сама алгебра — алгеброй РотаБакстера, а скаляр λ, взятый из основного поля, — весом оператора РотаБакстера.
Операторы Рота-Бакстера были впервые рассмотрены Г.Бакстером в
теории вероятностей [Baxter] и служили обобщением линейных операторов
интегрирования и конечного суммирования. В дальнейшем коммутативные
55
ассоциативные алгебры Рота-Бакстера изучались в работах Д.Рота и др.
[Rota,Cart]. В 1980-е годы операторы Рота-Бакстера независимо возникли при
изучении решений классического уравнения Янга-Бакстера в алгебрах Ли в
работах А.А.Белавина и В.Г.Дринфельда [Bel] и М.А.Семёнового-ТянШанского [Sem].
К настоящему времени найдены многочисленные приложения теории
операторов Рота-Бакстера в теории чисел, исследованиях уравнений ЯнгаБакстера, алгебр Хопфа, операд и др. [Con,Ler,Ebr,And].
Стоит отметить, что операторы Рота-Бакстера делятся на два принципиально
разных случая: когда вес такого оператора равен нулю и уравнение РотаБакстера однородно по R, или когда его вес отличен от нуля. Все операторы
Рота-Бакстера данной алгебры ненулевого веса пропорциональны оператору
Рота-Бакстера веса 1 (или -1). Одним из известных примеров задания
операторов Рота-Бакстера является следующая конструкция (см., например,
[Guo]):
Лемма 3. Пусть алгебра разлагается в прямую сумму как пространств своих
двух подалгебр, а оператор R задаётся как оператор проектирования на одну
из этих подалгебр параллельно другой. Тогда оператор R будет оператором
Рота-Бакстера веса -1.
В структурной теории колец и алгебр ключевую роль играет описание всех
простых объектов данного многообразия колец (или алгебр). В конце 19 и
начале 20 веков были описаны все конечномерные простые ассоциативные и
лиевы (над полем комплексных чисел) алгебры, в 1950-е годы были описаны все
простые конечномерные альтернативные и йордановы алгебры, чуть позже —
алгебры Мальцева. Именно эти многообразия считаются классическими, и их
изучению посвящено множество статей и монографий (вот лишь некоторые из
монографий: [Jac1,Jac2,ZSSS,Mac]). В данной работе ставилась задача описания
операторов
Рота-Бакстера
некоторых
классических многообразий.
56
простых
конечномерных
алгебр
Все простые конечномерные йордановы алгебры, отличные от поля,
описываются
исключительной
27-мерной
алгеброй
Альберта
и
двумя
бесконечными сериями специальных алгебр: алгебрами симметрической
невырожденной билинейной формы и алгебрами инволютивно-инвариантных
элементов матричной алгебры над некоторой ассоциативной алгеброй. В ходе
исследований при наложении некоторого естественного дополнительного
условия на основное поле, — удалось получить следующую
Теорема 16. Произвольный оператор Рота-Бакстера ненулевого веса
простой йордановой алгебры симметрической невырожденной билинейной
формы является оператором проектирования на одну подалгебру параллельно
другой, причём прямая сумма этих подалгебр и даёт всю алгебру, т.е. задаётся
согласно лемме 2.
Также удалось при введении произвольного оператора Рота-Бакстера R
алгебры симметрической невырожденной билинейной формы в виде матрицы
найти простые необходимые условия того, что R является оператором РотаБакстера данной алгебры. В случае нулевого веса удалось доказать
Теорема 17. Произвольный оператор Рота-Бакстера нулевого веса простой
йордановой алгебры симметрической невырожденной билинейной формы в
квадрате равняется нулевому оператору.
Для доказательства теорем 16 и 17 выписывались возникающие из общего
уравнения Рота-Бакстера серии уравнений на элементы произвольного
оператора Рота-Бакстера, представленного в виде матрицы. Использовался
доказанный в работе результат, дающий посредством рассмотрения образа
единичного элемента достаточное условие квадратичности оператора РотаБакстера (в ненулевом весе это эквивалентно конструкции из леммы 2, в
ненулевом это доказывает то, что квадрат такого оператора равен нулю). В
качестве примеров применения теорем 16 и 17 приведено матричное описание
57
операторов
Рота-Бакстера
произвольного
веса
трёхмерной
алгебры
симметрической невырожденной билинейной формы.
В
качестве
следствия
теоремы
16
получен
следующий
результат,
описывающий операторы Рота-Бакстера всех простых альтернативных алгебр,
не являющихся ассоциативными:
Теорема 18. Произвольный оператор Рота-Бакстера ненулевого веса
алгебры октанионов является оператором проектирования на одну подалгебру
параллельно другой, причём прямая сумма этих подалгебр и даёт всю алгебру,
т.е. задаётся согласно лемме 2.
Помимо простых конечномерных йордановых алгебр были рассмотрены и
другие известные алгебры. Аналогичное теореме 16 утверждение удалось
получить для следующих алгебр:
— простая четырёхмерная ассоциативная алгебра матриц,
— четырёхмерная ассоциативная алгебра Грассмана,
— простая двумерная прелиева алгебра.
В классе супералгебр была рассмотрена простая йорданова супералгебра
Каца, было показано, что для неё также выполняется аналог теоремы 16.
В работе [PLBG] описаны операторы Рота-Бакстера самой известной простой
лиевой алгебры sl(2), служащей в структурной теории алгебр Ли аналогом
единицы. На основе этих результатов удалось показать, что оператор РотаБакстера на произвольной простой конечномерной алгебре не обязан задаваться
согласно лемме 2. Так одна из серий операторов Рота-Бакстера на sl(2) задаётся
модификацией конструкции из леммы 2, строящейся уже разложением алгебры
в прямую сумму как пространств своих трёх подалгебр и для произвольного
скаляра k из основного поля. Важно отметить, что случай алгебры sl(2) отличает
от всех выше рассмотренных алгебр то, что в классе лиевых алгебр по
определению не может быть единичного элемента.
В работах Ли Гао [Guo] дифференциальные операторы некоторого веса λ
58
D(xy)=D(x)y+xD(y)+λD(x)D(y)
возникли как естественное обобщение понятия дифференцирования
(при
нулевом весе это и будут обычные дифференцирования). Показано, что из
описания операторов Рота-Бакстера ненулевого веса для указанных простых
алгебр по лемме 2 следует, что дифференциальные операторы ненулевого веса
на этих алгебрах не могут быть обратимыми, иначе их обратный оператор был
бы контрпримером к лемме 2.
В рамках данного проекта были построены примеры первичных йордановых
супералгебр векторного типа, у которых нечетная часть является проективным
модулем ранга один и с любым числом порождающих .
Для построения примера было рассмотренно координатное кольцо Г
вещественной сферы размерности n (как топологического многообразия). В
этом кольце выбирается подкольцо A, порожденное мономами четной длины, и
векторное подпространство M, порожденное мономами нечетной длины. Тогда
M является проективным A-модулем ранга 1, который порождается n+1
элементом. Как известно из работ Р. Соуна, М как A-модуль не порождается
меньшим, чем n+1 числом элементов. Кольцо Г=A+M - Z2 – градуированное
кольцо. Пусть D — четное дифференцирование алгебры Г, которое является
ненулевым на A. Пусть M=Ax0 +Ax1 +….+Axn и Dij =xixjD, i,j=0,…,n. Тогда на
векторном пространстве A+M с помощью дифференцирований Dij и элементов
ij =xjD(xi)-xiD(xj) из A можно ввести структуру йордановой супералгебры,
которая является первичной и неизоморфна супералгебре векторного типа с
одним дифференцированием. Четная часть этой супералгебры A, нечетная M.
Умножение нечетных элементов задается формулой
axi * bxj= ijab+ Dij(a)b-aDij(b) .
Таким образом, J=A+M – первичная йорднова супералгебра с множеством
дифференцирований { Dij , i, j=0,…,n}.
Если теперь в примере йордоновой
супералгебры Ченга-Кац исходную супералгебру заменить на постренную
супералгебру J, получим новый пример первичной йордановой супералгебры.
59
Алгебры Новикова возникли в 1979 году в работе И.М. Гельфанда и И.Я.
Дорфмана как формализм, описывающий условие гамильтоновости операторов
определенного вида, действующих на гладких конечномерных многообразиях
со значениями в алгебрах Ли векторных полей.
В работе А.А. Балинского и С.П. Новикова алгебры Новикова были введены
для изучения свойств локальных алгебр Ли, возникающих из скобок Пуассона
гидродинамического типа. Простые конечномерные алгебры Новикова над
полем нулевой характеристики были описаны Е.И. Зельмановым. Как оказалось,
всякая
такая
алгебра
является
полем.
Примеры
неассоциативных
конечномерных простых алгебр Новикова над полем ненулевой характеристики
и
бесконечномерных
простых
алгебр
Новикова
над
полем
нулевой
характеристики получены В.Т. Филипповым. Классификации простых алгебр
Новикова
с
идемпотентом
посвящены
работы
М.
Осборна.
Полная
классификация простых конечномерных алгебр Новикова над алгебраически
замкнутым полем характеристики p>0 дана К. Ксу.
Алгебры Новикова-Пуассона были введены К. Ксу. Алгебра НовиковаПуассона – это алгебраическая структура с двумя умножениями. Относительно
одного умножения – это ассоциативная коммутативная алгебра, относительно
другого – это алгебра Новикова. Как оказалось, каждая алгебра НовиковаПуассона с ассоциативной коммутативной единицей может быть получена из
ассоциативной коммутативной дифференциальной алгебры. В частности,
каждая простая конечномерная алгебра Новикова над алгебраически замкнутым
полем
характеристики
p>0
является
алгеброй
Новикова-Пуассона
с
ассоциативной коммутативной единицей. В работе А.С. Тихова установлено
соответствие
между
алгебрами
Новикова-Пуассона
с
ассоциативной
коммутативной единицей и йордановыми супералгебрами. В.Н. Желябиным и
А.С. Тиховым были описаны алгебры Новикова-Пуассона, у которых алгебра
Новикова не является простой алгеброй, а соответствующая ей ассоциативная
коммутативная дифференциальная алгебра является дифференциально простой.
В частности, доказано, что над полем характеристики не 2 алгебра Новикова
60
проста тогда и только тогда, когда дифференциально проста ее ассоциативная
коммутативная дифференциальная алгебра. Конструкцию алгебр НовиковаПуассона можно обощить, если отказаться от требования быть алгеброй
Новикова относительно второго умножения. Такие алгебраические системы
называются обобщенными алгебрами Новикова-Пуассона. Для них было
доказано, что конструкция Кантора со скобкой, выбранной как коммутатор
относительно второго умножения, будет йорданновой супералгеброй.
Интерес представляет специальность полученной алгебры. Йорданова
супералгебра называется специальной, если она вложима в некоторую
супералгебру,
полученную
из
ассоциативной
супералгебры
заменой
ассоциативного умножения на суперсимметричное. В рамках проекта было
получено вложение обобщенных алгебр Новикова-Пуассона в алгебры
Новикова-Пуассона
векторного
типа
и
доказана
специальность
соответствующего дубля Кантора.
Для решения этой задачи была предложенна конструкция кольца частных для
обобщенной
алгебры
Новикова-Пуассона
относительно
некоторого
мультипликативного множества для ассоциативной коммутативной алгебры.
Если алгебра содержит хотя бы один не делитель нуля относительно
ассоциативного коммутативного умножения, то мультипликативное множество
может быть выбрано как множество всех степеней этого элемента. Тогда
естественный гомоморфизм из алгебры Новикова-Пуассона в кольцо частных
будет вложением. Так же было доказано, что полученное кольцо частных есть
алгебра Новикова-Пуассона и что естественный гомоморфизм будет не только
вложением ассоциативных алгебр, но и обобщенных алгебр НовиковаПуассона. Таким образом получили вложение обобщенной алгебры НовиковаПуассона в алгебру Новикова-Пуассона векторного типа. Известно из работы К.
Мак Кримонна, что для последних дубль Кантора всегда специален, а значит и
для исходной обобщенной алгебры с хотя бы одним не делителем нуля
относительно ассоциативного коммутативного умножения дубль Кантора будет
специальной йордановой алгеброй.
61
В работах [Glaub,Doro,Mih1] была установлена связь между лупами Муфанг и
группами, на которых действуют автоморфизмы специального вида (группы с
тройственностью). Это оказалось полезным для изучения свойств луп Муфанг.
В частности, Лиебек [Lieb] использовал эту связь при классификации конечных
простых луп Муфанг. А.Н. Гришков и А.В. Заварницин [GZ] использовали связь
между лупами Муфанг и группами с тройственностью при доказательстве
аналога теоремы Лагранжа для конечных луп Муфанг.
Алгебры Мальцева были введены А.И. Мальцевым [M55] как касательные
алгебры локальных аналитических луп Муфанг. Они являются обобщением
алгебр Ли, и их теория достаточно хорошо развита [KuzSh]. Важным примером
нелиевой алгебры Мальцева является векторное пространство элементов с
нулевым
следом
алгебры
Кэли-Диксона
относительно
операции
коммутирования в качестве умножения [S62,K68].
П.О. Михеевым в [Mih2] было установлено, что любая алгебра Мальцева
вкладывается в алгебру Ли, на которой действуют автоморфизмы специального
вида. Там же показано, что верно и обратное. Позднее, в работе А.Н. Гришкова
[Grish] для таких алгебр Ли был введен термин алгебры Ли с тройственностью.
В той же работе было показано, что связь между алгебрами Мальцева и
алгебрами Ли с тройственностью может быть весьма полезной при
исследовании свойств алгебр Мальцева. В частности, используя эту связь, было
доказано, что основные результаты структурной теории алгебр Мальцева над
полем характеристики ноль получаются как следствие известных результатов
для алгебр Ли.
Квадратичные алгебры Ли естественно возникают при изучении групп Ли с
би-инвариантной псевдоримановой метрикой [Nel]. Некоторые свойства
квадратичных алгебр Ли, а также их связь с симплектическими алгебрами Ли
изучались в работах [BB,BBM].
Пусть M – алгебра Мальцева. Билинейная форма q называется ассоциативной,
если
q(xy,z)=q(x,yz).
По аналогии с квадратичными алгебрами Ли, мы даем следующее
62
определение квадратичной алгебры Мальцева:
Определение. Пара (M,q), где M – алгебра Мальцева, а q – невырожденная
симметрическая билинейная ассоциативная форма, называется квадратичной
алгеброй Мальцева.
Основная цель данной работы — доказать, что квадратичная алгебра
Мальцева вкладывается в квадратичную алгебру Ли с тройственностью.
Теорема 19. Пусть M - алгебра Мальцева и q – симметрическая билинейная
ассоциативная форма на M. Тогда на алгебре Ли с тройственностью L(M),
полученной
из
алгебры
M
по
конструкции
Михеева
можно
задать
симметрическую билинейную ассоциативную форму Q на алгебре Ли L. Более
того, если q – невырожденна на M, то форма Q – невырождена на L.
1.4 РЕШЕНИЕ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ
В рамках проекта были получены новые результаты мирового уровня:
Доказано существование копроизведения в категории градуированных
жестких групп, с помощью этой конструкции построена координатная группа
аффинного пространства данной размерности и доказана неприводимость (в
топологии Зарисского) всего пространства.
Получен критерий существования π-холловых подгрупп в конечной группе.
Получен критерий сопряженности всех π-холловых подгрупп в конечной
группе.
Решена проблема Ши Вужди из «Коуровской тетради»: доказано, что
конечная и конечная простая группа, имеющие одинаковые спектры и порядки,
изоморфны.
Изучено композиционное строение конечных групп, изоспектральных
простым линейным и унитарным группам.
Описано строение максимальных коклик в графе простых чисел конечных
63
простых групп.
Доказано, что любая конечная простая группа распознаётся в классе всех
конечных групп по её спектру и порядку.
Доказана конечность периодической группы, порождённой парой почти
квадратичных автоморфизмов абелевой группы.
Получена формула числа подгрупп данного конечного индекса в группах
Баумслага—Солитера с произвольными ненулевыми параметрами.
Получено полное описание всех подгрупп конечного индекса групп
Баумслага—Солитера с взаимно простыми параметрами.
Для групп Баумслага—Солитера с взаимно простыми параметрами описана
групповая структура абстрактного соизмерителя и для каждой подгруппы
конечного индекса найдено копредставление её группы автоморфизмов.
Описана групповая структура абстрактного соизмерителя групп БаумслагаСолитера.
Завершено арифметическое описание спектров всех конечных простых
классических групп.
Показано, что не существует трех конечных простых групп с одинаковым
спектром. Доказано, что простая группа L16(2) однозначно определяется своим
графом простых чисел среди всех конечных групп. Тем самым предъявлен
первый пример распознаваемой по графу группы со связным графом простых
чисел.
Доказывается, что периодическая группа, в которой любая конечная
подгруппа
двуступенно
нильпотентна,
обладает
нормальной
силовской
двуступенно нильпотентной подгруппой, порождающей вместе со своим
централизатором всю группу.
Доказана алгоритмическая разрешимость проблемы равенства для конечных
копредставлений жестких групп.
Доказано, что в конечных простых Eπ-группах число классов сопряженных πхолловых подгрупп является ограниченным π-числом.
Доказано, что любая Dπ-группа является Bsπ-группой.
Получено полное описание линейных операторов пространства Минковского,
64
допускающих полярное разложение, то есть разложение в произведение
лоренцево
самосопряженного
и
лоренцево
ортогонального
линейных
операторов.
Доказано, что при действии конечной простой классической группы G
размерности не меньше 8 на векторном пространстве над полем положительной
характеристики, отличной от характеристики определения группы G, в
естественном полупрямом произведении
всегда возникает элемент, порядок
которого отличен от порядка любого элемента группы G.
Для каждой конечной простой группы описаны коклики наибольшего размера
в ее графе простых чисел. Доказано, что простые линейные группы PSL(r,q), где
r - нечетное простое число и r не делит q-1, квазираспознаваемы по спектру.
Найдены явные формулы для нахождения максимальных порядков полупростых
элементов простых симплектических и ортогональных групп над полями
характеристики 2.
Для конечных простых линейных и унитарных групп получены достаточные
арифметические условия на существование нетривиальных неподвижных точек
элементов больших простых порядков в эквихарактеристических модулях таких
групп. Установлено достаточное условие существования корня многочлена над
гензелевым нормированным полем.
Описаны все простые группы, графы простых чисел которых совпадают с
графами простых чисел групп Фробениуса и удвоенных групп Фробениуса.
Описаны холловы подгруппы в конечных простых группах.
Получено описание конечных групп, в которых все максимальные подгруппы
холловы, и доказано, что в таких группах все максимальные подгруппы имеют
дополнения.
Найдены явные формулы для нахождения максимальных порядков элементов
простых симплектических и ортогональных групп над полем характеристики 2.
Доказана локальная конечность групп периода 12, в которых порядок
произведения любых двух инволюций не делится на 6.
Доказана алгоритмическая неразрешимость универсальной теории свободной
разрешимой группы ступени выше 3.
65
Используя группы с тройственностью, построена серия неассоциативных луп
Муфанг.
Доказано, что класс CπF образует формацию и получены критерии частичной
насыщенности этой формации.
Доказана пронормальность холловых подгрупп в конечных простых группах.
Доказано, что холловы подгруппы простых групп пронормальны.
Доказано, что класс конечных Сπ-групп образует формацию.
Изучено строение абелевых групп симметрий хиггсовского потенциала в
вакууме для N-дублетной хиггсовской модели.
Найдены явные формулы для нахождения максимальных порядков элементов
простых симплектических и ортогональных групп над полями характеристики
2. Доказано, что симплектические группы над полями чётных порядков можно
отличить от простых групп лиева типа над полями нечётных порядков по двум
наибольшим порядкам элементов.
Установлено, что если
K
- бесконечное целостное кольцо, группа
автоморфизмов которого тривиальна, либо K – целостное кольцо содержащее
подкольцо целых чисел и группа автоморфизмов кольца K конечна, то при n3
общая линейная группа GLn(K) и специальная линейная группа SLn(K)
обладают свойством “R бесконечность”.
Описаны все конечномерные неприводимые линейные представления над
полем комплексных чисел для произвольной подгруппы конечного индекса
группы Баумслага-Солитера.
Получено единообразное описание π-холловых подгрупп в терминах
естественных арифметических характеристик группы PSLn(q).
Кроме того,
полностью исследован вопрос о вложимости π-холловой подгруппы группы
PSLn(q) в π-холлову подгруппу группы F, где PSLn(q) ≤ F ≤ Aut(PSLn(q)).
Построена
кристаллографическая
группа
движений
псевдоевклидова
пространства размерности шесть и индекса три, содержащая ровно три
псевдоевклидовы решетки. Доказано, что более трех псевдоевклидовых
решеток подобная группа содержать не может.
Доказано, что если G - группа периода 12, в которой порядок произведения
66
любых двух инволюций отличен от числа 6, то G локально конечна. Получено
описание групп с таким свойством. Доказано, что если G - группа периода 12, в
которой порядок произведения любых двух инволюций отличен от числа 4, то
G локально конечна. Первый результат обобщает теорему И.Н. Санова о
локальной конечности групп периода 4, второй - М.Холла о локальной
конечности групп периода 6.
Получено описание спектров конечных простых исключительных групп
типов E6(q) и 2E6(q).
Доказано, что каждая конечная группа, изоспектральная конечной простой
исключительной группе лиева типа G2 над произвольным конечным полем,
будет ей изоморфна.
Получена классификация конечных групп, граф простых чисел которых
имеет пять компонент связности. В частности, доказано, что всякая такая
группа проста. Также получены некоторые связанные с этим результаты о
представлениях простых групп.
Получено исчерпывающее описание конечных групп, все максимальные
подгруппы в которых холловы.
Доказано, что в решетке надгрупп данной π-холловой подгруппы элементы,
имеющие ровно один и, соответственно, более одного класса сопряженных πхолловых
подгрупп,
подполурешетки.
образуют
Построены
нижнюю
примеры,
и,
соответсвенно,
показывающие,
верхнюю
что
эти
подполурешетки, вообще говоря, не являются ршетками.
Для трёхдублетной модели хиггсовского поля в вакууме найдены все
реализуемые конечные группы симметрий хиггсовских потенциалов и
соответствующие им потенциалы, для которых найденные группы являются
полными группами автоморфизмов.
Построены новые примеры йордановых супералгебр над произвольным
полем.
Классифицированы
простые
конечномерные
структуризуемые
и
некоммутативные йордановы супералгебры над алгебраически замкнутым
полем характеристики
0.
Описаны
δ-супердифференцирования
конечномерных йордановых и лиевых супералгебр.
67
простых
Доказано, что для произвольной алгебры Новикова-Пуассона коммутатор,
относительно умножения в алгебре Новикова, является йордановой скобкой на
ассоциативно-коммутативной алгебре. Доказано, что структура биалгебры
Мальцева, заданная на алгебре Мальцева M, не индуцирует структуру коПуассоно-Мальцевской алгебры на универсальной обертывающей алгебре U(M)
алгебры М.
Классифицированы
конечного
типа.
простые
Построен
ассоциативные
пример
Z-конформные
исключительной
алгебры
двупорождённой
йордановой диалгебры. Получена классификация простых конечномерных
некоммутативных йордановых супералгебр характеристики 0. Найдены условия
существования обобщенной супералгебры векторного типа с четной частью A и
нечетной частью M, где М – конечный проективный модуль ранга 1. Описаны
простые
ассоциативные
Z-конформных
алгебры,
построены
свободные
ассоциативных Z-конформных алгебры.
Показано, что структуры Рота-Бакстера веса 0 находятся во взаимно
однозначном соответствии с тройками Рота-Бакстера.
Описаны δ-дифференцирования простых алгебр Филиппова и алгебр
Филиппова малых размерностей.
Доказан аналог теоремы Михаэлиса для альтернативных биалгебр.
Решен вопрос о существовании универсальной обёртывающей алгебры РотаБакстера произвольного веса λ для любой дендриформных диалгебры и
триалгебры.
Классифицированы центральные простые конечномерные некоммутативные
йордановы супералгебры характеристики 0.
Построена конструкция кольца частных для обобщенной алгебры НовиковаПуассона.
Получены аналоги классических теорем Макар-Лиманова-Умирбаева для
алгебр и полей общей Пуассоновой скобки.
Введено понятие тернарной йордановой алгебры. Построен пример такой
алгебры,
получающейся
из
тернарной
алгебры
Филиппова.
Описаны
дифференцирования такой алгебры. Введено понятие редуцированно лиевой
68
тернарной алгебры.
Доказано, что многообразие редуцированно лиевых
тернарных алгебр (RLT-алгебр) содержит многообразие алгебр Филиппова в
качестве собственного подмногообразия. Доказан аналог теоремы Энгеля для
RLT-алгебр. Доказано, что не существует простых конечномерных супералгебр
Филиппова классического типа
A(m,n) (m>n>0) над полем ненулевой
характеристики более чем семь.
Доказано, что любая конформная алгебра Ли конечного типа без кручения,
обладающая разложением Леви, имеет точное конформное представление на
свободном конечно-порожденном модуле над кольцом многочленов от одной
переменной.
Показано, что произвольный оператор Рота-Бакстера ненулевого веса на
простой конечномерной йордановой алгебре симметрической невырожденной
билинейной формы является проектором, а сама алгебра разлагается в прямую
сумму как пространств своих двух подалгебр – образа и ядра оператора РотаБакстера.
Аналогичный
результат
получен
для
некоторых
простых
конечномерных ассоциативных, альтернативных и прелиевых алгебр.
Получено вложение обобщенных алгебр Новикова-Пуассона в алгебры
Новикова-Пуассона
векторного
типа
и
доказана
специальность
соответствующего дубля Кантора.
Построены примеры первичных йордановых супералгебр векторного типа, у
которых
нечетная
часть
является
проективным
модулем
ранга
1
с
произвольным числом порождающих. Из этих примеров строятся примеры
первичных йордановых супералгебр типа Ченга-Каца.
Описан базис свободной супералгебры йордановых скобок.
1.4 РАЗРАБОТКА ПРОГРАММ ВНЕДРЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ НИР В
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС
Результаты исследований непрерывно внедряются в учебный процесс
Новосибирского государственного университета (НГУ). С момента основания
Сибирского отделения (СО) РАН и НГУ, преподавателями Механико69
математического факультета (ММФ) были активно работающие учёные
институтов СО РАН. В результате, читаемые в НГУ курсы, непрерывно
пополнялись материалом, основанным на новых результатах, получаемых
сотрудниками СО РАН.
В рамках проекта был разработан новый лекционный курс “Линейные
алгебраические
группы”.
Данный
курс
читается
в
Новосибирском
Государственном Университете для стажеров института переподготовки и
повышения
классификации,
а
также
для
студентов
и
магистрантов
Новосибирского Государственного Университета. Программа курса:
1.1. Название курса - “Линейные алгебраические группы”. Данный курс
реализуется в рамках специальности “Математика”. Относится к разделу общих
математических дисциплин. Относится к вузовской компоненте.
1.2. Цели и задачи курса. Специальный курс “Линейные алгебраические
группы” предназначен для того, чтобы стажеры Институт переподготовки и
повышения квалификации, а также студенты механико-математического
факультета овладели основами теории линейных алгебраических групп и
связанных с ними конечных групп лиева типа, необходимыми для применения в
других разделах теории групп. Основной целью освоения дисциплины является
знание основ линейных алгебраических групп и конечных групп лиева типа.
Для достижения поставленной цели выделяются задачи курса:

классификация простых алгебр Ли над комплексным полем,

освоение основ топологии Зарисского,

построение простых алгебраических групп над алгебраически замкнутым
полем произвольной характеристики,

изучение автоморфизмов и эндоморфизмов линейных алгебраических групп,

доказательство теоремы Ленга-Стейнберга и построение конечных групп
лиева,

изучение подгруппового строения конечных групп лиева типа методами
алгебраических групп.
1.3. Требования к уровню освоения содержания курса. По окончании изучения
70
указанной дисциплины студент должен:
 иметь представление о строении и свойствах линейных алгебраических
групп;
 знать основные теоремы курса;
 уметь применять основные технические теоремы курса, в частности,
теорему Ленга-Стейнберга.
1.4. Формы контроля.

Итоговый контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом
предусмотрен экзамен.

Текущий контроль. В течение семестра во время курса даются задачи для
самостоятельного решения.
2. Содержание дисциплины.
2.1. Новизна курса – курс дает основы теории линейных алгебраических групп,
которые являются необходимыми для студентов ММФ, специализирующихся
на кафедре “Алгебры и математической логики” и изучающих конечные и
локально конечные группы.
2.2. Тематический план курса (распределение часов).
Наименование разделов и тем
Лекции
Семинары
Всего
Простые алгебры Ли над полем ℂ
4
4
8
об 6
6
12
12
24
10
20
4
8
Базовые
структурные
результаты
алгебраических группах
Максимальные торы, разрешимые группы, 12
корневые системы
Разложение
Брюа,
параболические 10
подгруппы, централизаторы торов
Строение редуктивных, полупростых и 4
простых
алгебраических
групп.
Их
71
Наименование разделов и тем
Лекции
Семинары
Всего
14
28
6
12
20
20
70
140
автоморфизмы.
Автоморфизм Фробениуса и его свойства. 14
Теорема Ленга-Стейнберга. Группы лиева
типа
Простота групп лиева типа и их порядки.
Подгруппа
Бореля,
подгруппы,
6
параболические 10
разложение
Брюа.
Автоморфизмы конечных групп лиева
типа.
Всего
70
2.3. Содержание отдельных разделов и тем.
1. Простые алгебры Ли над ℂ: Форма Киллинга, подалгебра Картана и
корневые подалгебры. Системы корней и структурные константы, теорема
об изоморфизме.
2. Введение в алгебраическую геометрию. Аффинные многообразия,
топология
Зарисского.
Произведение
Проективные
многообразия,
Произведение
проективных
открыте
аффинных
многообразий.
аффинные
подмножества.
многообразий.
Полные
многообразия.
Касательные пространства.
3. Базовые структурные результаты об алгебраических группах .
Понятие алгбераической группы, простейшие свойства. Теорема о
порожденнии
замкнутыми
связными
подмножествами.
Действие
алгебраической группы на многообразии, существование замкнутых
орбит. Алгебра Ли, разложение Жордана для групп и алгебр.
Сопряженность борелевских подгрупп.
4. Максимальные торы, разрешимые группы, корневые системы.
Диагонализируемые
группы
и
их
характеры.
Торы,
действие
максимального тора на унипотентном радикале подгруппы Бореля.
72
Одномерные T-инвариантные унипотентные подгруппы.
5. Разложение Брюа, параболические подгруппы, централизаторы
торов. Параболические подгруппы, разложение Брюа. Централизаторы
торов, подгруппы Бореля в централизаторах торов.
6. Строение редуктивных, полупростых и простых алгебраических
групп. Их автоморфизмы. Структурные теоремы по редуктивных,
полупростых
и
простых
алгебраических
группах.
Теорема
об
изоморфизме.
7. Автоморфизм Фробениуса и его свойства. Теорема Ленга-Стейнберга.
Группы лиева типа.
-неподвижных точек для простых линейных
алгебраических групп. Теорема Ленга-Стейнберга. Подгруппа Бореля,
параболические подгруппы, редуктивные подгруппы и торы в конечных
группах лиева типа. Связь между классами сопряженности.
8. Простота групп лиева типа и их порядки. Теорема о простоте конечных
-неподвижных точек параболических и
редуктивных подгрупп. Порядки конечных групп лиева типа.
9. Подгруппа Бореля, параболические подгруппы, разложение Брюа.
Автоморфизмы конечных групп лиева типа. Разложение Брюа в
конечных группах лиева типа. Теорема об автоморфизмах простых
конечных групп лиева типа.
2.4. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной
работы.
Доказать, что матричные единицы образуют лиевский базис в алгебре Ли gln.
1. Доказать, что аф финное многообразие полно тогда и только тогда, когда его
размерность равна 0.
2. Доказать, что коммутант алгебраической группы является замкнутой
подгруппой.
3. Проверить справедливость коммутаторной формулы Шевалле в Gln(F).
4. Доказать, что компонента единицы централизатора полупростого элемента
73
является редуктивной группой.
5. Доказать, что автоморфизм Фробениуса не является автоморфизмом
алгебраической группы.
6. Показать, что N(G,R) не всегда равняется NG(R).
7. Найти порядки максимальных торов в Gln(q).
8. Построить графовый автоморфизм в группе G2(32n+1).
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
3.3. Образцы вопросов для подготовки к экзамену:
1. Показать, что подгруппа, порожденная замкнутыми подгруппами,
необязательно замкнутая.
2. Доказать, что множество регулярных элементов открыто.
3. Доказать, что замыкание любого класса сопряженности содержит
полупростую часть элемента.
4. Доказать, что подгруппа является параболической в том и только в том
случае, когда фактор-многообразие по ней проективно.
5. Доказать,
что
графовый
автоморфизм
является
автоморфизмом
алгебраических групп.
6. Доказать, что классы максимальных торов в нескрученных группах лиева
сопряженных элементов в группе Вейля.
7. Описать классы полупростых элементов в группе PSL2(q).
8. Описать классы полупростых элементов в группе SL2(q).
3.4. Список литературы:
Р.Стейнберг, Лекции о группах Шевалле. Москва, “Мир”, 1975.
1. Дж.Хамфри, Линейные алгебраические группы. Москва, “Наука”, 1980.
2. R.W.Carter, Simple groups of Lie type. Wiley and sons, 1972.
3. R.W.Carter, Finite groups of Lie type. Conjugacy classes and complex
characters. Wiley and sons, 1985.
74
4. R.Steinberg, Endomorphisms of linear algebraic groups. Mem. of AMS, N 80,
1968.
Помимо этого, в рамках данного проекта были внесены коррективы в
имеющийся лекционный курс “Алгебра 3”, читаемый П.С. Колесниковым для
студентов и магистрантов ММФ НГУ. Программа курса:
1.2. Название курса - “ Алгебра-3”.
Данный курс реализуется в рамках специальности “Математика”. Относится к
разделу общих математических дисциплин. Относится к вузовской компоненте.
1.2. Цели и задачи курса. Курс Алгебра-3 имеет своей целью расширение
базовых знаний учащихся о строении различных классов алгебраических систем
(в частности, решеток, булевых алгебр, групп, колец и полей), а также о
методах, применяемых в этих областях алгебры. Особое внимание уделяется
созданию целостной картины предмета, в которой унифицируются основные
методы, применяемые в теориях различных классов алгебраических систем.
Приобретаемые знания и умения расширяют математическую эрудицию и
создают условия для углубленного изучения различных разделов алгебры:
теории групп, теории ассоциативных и неассоциативных колец, универсальной
алгебры. Для достижения этих целей выделяются задачи курса:
 изучение общих понятий алгебраической системы, гомоморфизма,
оператора замыкания на множестве, свободной алгебры, тождества и
многообразия;
 изучение решеток: строение дистрибутивных решеток, теоремы о
вложении дистрибутивной решетки в решетку множеств, модулярных
решетоки, композиционных рядов, прямых разложений в модулярных
решетках, алгебраических решеток;
 изучение булевых алгебр: теоремы Стоуна о строении конечнопорожденных булевых алгебр, фильтров и ультрафильтров на булевых
алгебрах, булевых топологических пространств, двойственности Стоуна;
75
 изучение свободных (полу)групп и колец: конструкций свободной группы
и свободного моноида, определяющих соотношений для полугрупп,
переписывающих правил, леммы о ромбе (Diamond lemma);
 изучение
свободной
группы
как
образа
свободной
полугруппы,
определяющих соотношений для групп, HNN-расширений групп, теоремы
Нильсена — Шрайера;
 построение свободных некоммутативного кольца и алгебры над полем,
изучение определяющих соотношений для колец и алгебр;
 изучение основ теории представлений групп: действия группы на
множестве,
линейных
представлений,
представлений
характеров
групп,
представлений
неприводимых
групп,
соотношений
ортогональности, регулярного характера, вычисление таблиц характеров
неприводимых представлений для групп S4, Dn и A5;
 изучение основ теории представлений колец и алгебр: понятия модуля над
ассоциативными кольцами и алгебрами, артиновы и нетеровы кольца и
модули, строение конечно-порожденных абелевых групп, радикал кольца,
строение
полупростых
артиновых
колец.
Понятие
произведения простых центральных алгебр, теоремы
тензорного
Фробениуса и
Веддерберна (о конечном теле);
 изучение
основ
нильпотентность,
теории
алгебр
теоремы
Ли:
Энгеля,
полупростота,
Ли
и
разрешимость,
Мальцева.
Понятие
универсальной обертывающей и теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта.
1.4. Формы контроля.
1. Итоговый контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным
планом предусмотрен экзамен.
2. Текущий контроль. В течение семестра во время курса даются задачи
для самостоятельного решения.
2. Структура и содержание дисциплины «Алгебра-3».
76
С Неделя
Раздел
Виды
учебной Формы
текущего
е
семестр работы,
включая контроля
№ дисциплины
м
а
п/
ес
работу студентов и (по неделям семестра)
п
т
трудоемкость
р
часах)
самостоятельную
успеваемости
(в Форма
промежуточной
аттестации
(по семестрам)
л
само
кон-
е
ст.
суль- чет
к
работ таци
ц
а
и
и
1
Алгебры
и 1
1
2
1
2
2
1
3
2
и 1
4
2
5
2
гомоморфизм
ы
2
Операторы
замыкания на
множестве
3
Свободные
алгебры
4
Тождества
4
многообразия,
теорема
Биркгофа.
Категории
5
Основные
понятия
1
и
базовые
77
и
за-
факты
о
решетках.
Примеры
решеток.
6
Дистрибутивн 1
ые
6
2
1
7
2
1
8
2
1
9
2
1
10
2
решетки,
теорема
о
вложении
дистрибутивн
ой решетки в
решетку
множеств.
7
Модулярные
решетки.
Теорема
о
композиционных рядах
8
Прямые
4
разложения в
модулярных
решетках.
Теорема
Шмидта
—
Оре
9
Алгебраическ
ие
решетки.
Теорема
Биркгофа
—
Фринка
10 Конгруэнции
4
78
булевых
алгебр
и
булевы
кольца
11 Теорема
Стоуна
1
11
2
и 1
12
2
1
13
2
1
14
2
1
15
2
о
строении
конечнопорожденных
булевых
алгебр
12 Фильтры
ультрафильтр
ы на булевых
алгебрах
13 Булевы
топологическ
ие
пространства,
двойственнос
ть Стоуна
14 Свободные
4
полугруппы,
определяющи
е
соотношения
для
полугрупп
15 Конструкция
2
свободной
79
полугруппы и
свободного
моноида.
Конгруэнции
полугрупп
16 Переписываю
1
16
2
2
-щие правила,
лемма
ромбе
(Diamond
lemma).
группа
2
1
2
и 2
2
4
3
2
как
образ
свободной
полугруппы.
Определяющи
е
соотношения
для групп
18 Операды
конце
экзамен
о
17 Свободная
В
мультикатего
рии, алгебры
как функторы
мультикатего
рий
19 Квадратичные 2
операды,
двойственнос
80
семестра
ть в смысле
Кожуля
20 Произведения 2
4
2
2
5
2
22 Неприводимы 2
6
2
2
7
2
2
8
2
4
Манина
бинарных
квадратичных
операд,
операды
Хопфа
21 Действие
группы
на
векторном
пространстве,
линейные
представлени
я групп
е
представлени
я,
теорема
Машке
и
лемма Шура
23 Характеры
представлени
й
групп,
соотношения
ортогонально
сти
24 Регулярный
характер и его
81
разложение
25 Вычисление
2
9
2
10
2
11
2
12
2
13
2
таблиц
характеров
неприводимы
х
представлени
й для групп
S4, Dn и A5
26 Модули
над 2
4
ассоциативны
ми кольцами
и алгебрами
27 Артиновы
и 2
нетеровы
кольца
и
модули,
теорема
Гильберта
о
базисе.
28 Теорема
о 2
конечнопорожденных
модулях
над
евклидовыми
кольцами и ее
следствия для
абелевых
групп
29 Радикал
2
2
82
кольца.
Теорема
Веддерберна
— Артина
30 Тензорное
2
14
2
2
15
2
2
16
2
2
17
2
произведение
простых
центральных
алгебр.
Теоремы
Фробениуса и
Веддерберна
(о
конечном
теле)
31 Определение
и
4
примеры
алгебр
Ли.
Полупростота
,
разрешимость
, нильпотентность
32 Теоремы
2
Энгеля, Ли и
Мальцева
33 Универсальн
2
ые
конце
экзамен
обертывающи
е и теорема
Пуанкаре
В
—
83
семестра
Биркгофа
—
Витта
Итого
68
30
4
4
3. Образовательные технологии
Основной формой проведения занятий является классическая лекционная
форма.
Поскольку
большая
часть
слушателей
составлена
студентами,
проходящими специализацию на кафедре алгебры и математической логики, и
аспирантами по специальности 01-01-06 (Математическая логика, алгебра и
теория чисел), порядок и приоритеты в рассмотрении различных тем (разделов)
курса выбираются исходя из актуальных потребностей слушателей в изучении
того или иного раздела алгебры.
4.
Оценочные
средства
для
текущего
контроля
успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебнометодическое обеспечение самостоятельной работы студентов
4.1. Примеры экзаменационных вопросов по курсу «Алгебра-3».
1. Оператор замыкания, примеры.
2. Подалгебры и алгебраические операторы замыкания.
3. Конгруэнции и гомоморфизмы алгебраических систем.
4. Теорема о гомоморфизмах и ее следствия.
5. Прямое произведение алгебр: конструкция и внутренняя характеризация.
6. Полные и независимые системы конгруэнций.
7. Декартова разложимость алгебраических систем, теорема о декартовом
разложении конечных алгебр.
8. Подпрямое
произведение
алгебр:
определение
и
внутренняя
характеризация.
9. Подпрямо неразложимые алгебры, теорема о подпрямом разложении.
10.Универсальные алгебры в классе, теорема единственности.
11.Алгебра термов и ее универсальность в классе всех алгебр.
12.Конструкция свободной алгебры в данном классе.
13.Определение и примеры многообразий.
84
14.Операторы H, S, P на классах алгебр. Многообразия, порожденные
классом алгебр.
15.Тождества на алгебрах: модельный и алгебраический подход.
16.Операторы Id и Var.
17.Теорема Биркгофа о многообразиях.
18.Определение и примеры решеток.
19.Дистрибутивные решетки, идеалы решеток. Лемма о примитивном
идеале.
20.Теорема о строении дистрибутивных решеток.
21.Многообразие модулярных (дедекиндовых) решеток: определение и
основные примеры.
22.Композиционные ряды, теорема о длине композиционного ряда в
модулярной решетке.
23.Характеризация модулярных решеток в терминах композиционных рядов.
24.Характеризация модулярных решеток в терминах функции размерности.
25.Прямые разложения в модулярных решетках.
26.Теорема Шмидта - Оре.
27.Теорема Куроша - Оре.
28.Полные и алгебраические решетки.
29.Компактные элементы решетки подалгебр и ее алгебраичность.
30.Теорема Биркгофа - Фринка об алгебраических решетках.
31.Дополнения в дистрибутивных решетках, определение булевой алгебры.
32.Элементарные следствия определяющих тождеств булевых алгебр.
33.Булевы кольца. Структура кольца на булевой алгебре.
34.Эквивалентность структур булевой алгебры и булева кольца.
35.Конгруэнции булевой алгебры и идеалы булева кольца.
36.Теорема Стоуна о конечно-порожденной булевой алгебре.
37.Фильтры на булевой алгебре. Характеризация ультрафильтров.
38.Топологическое пространство ультрафильтров булевой алгебры.
39.Булевы топологические пространства. Построение булевой алгебры по
топологическому пространству.
85
40.Теорема двойственности Стоуна. Еще одно доказательство теоремы
Стоуна.
41.Конструкция свободной полугруппы. Определяющие соотношения для
полугрупп.
42.Полугрупповое кольцо и конгруэнции полугрупп.
43.Переписывающие системы. Конфлюэнтность.
44.Теоретико-графовая лемма о ромбе.
45.Лемма о композиции для полугрупп.
46.Конструкция свободного моноида и свободной группы.
47.Конгруэнции групп.
48.Пример построения группы по определяющим соотношениям: группа
кватернионов.
49.Поиск определяющих соотношений данной группы: группа диэдра.
50.HNN-расширения групп.
51.Подгруппы свободной группы: теорема Нильсена - Шрайера.
52.Конструкция свободного кольца и свободной алгебры.
53.Построение свободных объектов в коммутативных многообразиях колец и
алгебр.
54.Определяющие соотношения для колец.
55.Тензорная алгебра, симметрическая алгебра, внешняя алгебра векторного
пространства.
56.Алгебра дифференциальных операторов.
57.Модули и представления колец и алгебр.
58.Свободные модули.
59.Конечно-порожденные модули над евклидовыми кольцами.
60.Теорема о строении конечно-порожденных абелевых групп.
61.Определение и общие свойства артиновых и нетеровых модулей.
62.Нетеровы кольца: теорема Гильберта о базисе.
63.Регулярные и квазирегулярные идеалы колец.
64.Радикал Джекобсона.
65.Нильпотентность радикала артинова кольца.
86
66.Идемпотенты полупростого артинова кольца.
67.Теорема Веддерберна - Артина: строение простых артиновых колец.
68.Теорема Веддерберна - Артина: разложение полупростого артинова
кольца в прямую сумму простых.
69.Теорема Веддерберна - Артина: единственность разложения.
70.Теорема Фробениуса.
71.Простые центральные алгебры.
72.Теорема Веддерберна о конечном теле.
73.Действие группы на линейном пространстве, представление группы.
74.Неприводимые представления: теорема Машке.
75.Характеры представлений, их связь с суммой и произведением
представлений.
76.Пространство центральных функций.
77.Лемма Шура и ее следствия.
78.Первое соотношение ортогональности и единственность разложения
Машке. Связь с теоремой Веддерберна - Артина.
79.Разложение характера регулярного представления.
80.Второе соотношение ортогональности.
81.Построение таблицы характеров для группы S4.
82.Построение таблицы характеров для группы A5.
83.Определение и примеры алгебр Ли.
84.Представления алгебр Ли. Присоединенное представление (adjoint).
85.Слова Линдона - Ширшова и свободные алгебры Ли.
86.Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли.
87.Теорема Ли о треугольном представлении разрешимых алгебр.
88.Теорема Энгеля.
89.Определение и построение универсальной обертывающей ассоциативной
алгебры для данной алгебры Ли.
90.Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта.
6.2. Предлагаемые задачи для самостоятельной работы по курсу «Алгебра-3»
87
представляют собой вынесенные на самостоятельное изучение учащимися
темы, относящиеся к разделам курса.
1. Пусть A - решетка, Comp(A) - множество ее компактных элементов, C(A)
- множество всех идеалов верхней полурешетки Comp(A). Доказать, что
a) C(A) является решеткой по вложению;
2. б) Если A - алгебраическая, то C(A) изоморфна A.
3. Пусть A - алгебраическая решетка,
M=Comp(A) - множество ее
компактных элементов. Через C обозначим оператор, действующий на
C(X) = {aM : a  sup X}.
подмножествах M по правилу
Доказать, что
а)
C
алгебраический
-
оператор
замыкания
на
M;
б) A изоморфна LC(M), где LC(M) - совокупность замкнутых
относительно C подмножеств в M.
4. Пусть K - класс алгебр сигнатуры F, алгебры U1, U2 из класса K
порождены соответственно множествами X1, X2, причем |X1|=|X2|.
Доказать, что если Ui являются универсальными для K над Xi (i=1,2), то
U1 изоморфна U2.
5. Пусть V - нетривиальное многообразие алгебр сигнатуры F. Доказать, что
найдется нетривиальная алгебра A в классе V такая, что множество
конгруэнций алгебры A состоит только из двух элементов (т.е. A простая).
6. Пусть B обозначает многообразие булевых алгебр, X - конечное
множество. Доказать, что свободная алгебра FB(X), порожденная
множеством
X,
изоморфна
алгебре
логических
функций
от
|X|
переменных.
7. Пусть B1, B2 - две булевы алгебры. Доказать, что топологические
пространства (B1  B2)* и B1*  B2* гомеоморфны ( означает
несвязное объединение).
8. Показать, что для любого множества соотношений S на свободной группе
gr(X)
группа,
порожденная
множеством
88
X
с
определяющими
соотношениями S, изоморфна полугруппе, порожденной множеством
XX-1{e}
с
определяющими
соотношениями
SS0,
где
S0 = {xx-1=e, x-1x=e, ex=x, xe=x, x-1e=x-1, ex-1=x-1, ee=e | x  X}.
Используя этот факт, доказать, что n-порожденная свободная абелева
группа изоморфна прямому произведению конечного числа аддитивных
групп целых чисел.
9. Верен ли аналог теоремы Нильсена – Шрайера для свободных полугрупп?
Для свободных абелевых групп?
10.Определить
число
попарно
неэквивалентных
неприводимых
представлений симметрической группы Sn над полем C. Построить
таблицу характеров для S4 и для группы диэдра Dn.
11.Пусть R - точное представление конечной группы G над C. Показать, что
любое неприводимое представление группы G входит с ненулевой
кратностью в разложение Машке для представления Rn= R ... R для
некоторого натурального n.
12.Пусть A - кольцо с 1, причем каждый унитальный левый A-модуль
свободен. Доказать, что A - тело.
13.Пусть A - нетерово кольцо без делителей нуля, M - свободный (не
обязательно конечно-порожденный) A-модуль. Доказать, что все базисы
M над A равномощны.
14.Привести пример кольца, над которым конечно-порожденный свободный
модуль может иметь базисы разной мощности.
15.Пусть A - коммутативная область главных идеалов, M - бесконечнопорожденный A-модуль без кручения. Доказать, что M - свободный Aмодуль.
16. а) Пусть A - нетерово (артиново) кольцо. Доказать, что кольцо матриц
размера n над A – нетерово (соответственно, артиново) кольцо.
б) Пусть F - поле. Показать, что кольцо F[[x]] формальных степенных
рядов нетерово. Доказать, что радикал кольца F[[x]] совпадает с идеалом,
порожденным элементом x.
17.Доказать, что все универсальные обертывающие данной алгебры Ли
89
изоморфны.
18.Пусть L - конечномерная алгебра Ли. Доказать, что U(L) - нетерова
алгебра.
19.Показать, что образ разрешимой алгебры Ли относительно любого
дифференцирования (внутреннего или внешнего) является нильпотентной
алгеброй.
20.Пусть A - ассоциативная обертывающая алгебры Ли L, соответствующая
некоторому представлению, при котором элементы ниль-радикала L
представлены нильпотентными элементами. Показать, что идеал I алгебры
A, порожденный образами некоторого нильпотентного идеала в L,
содержится в радикале алгебры A.
7. Список литературы:
1. Артамонов В. А. Лекции по алгебре. М.: МГУ, 2004.
2. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.
3. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. 2004.
4. Вейль Г. Классические группы: Их инварианты и представления. 2010.
5. Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2001.
6. Гретцер Г. Общая теория решеток, 1982.
7. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.
8. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры:
Учебник для вузов 3е изд., ФМЛ, 2004.
9. Ламбек И. Кольца и модули. 2005.
10.Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.
11.Парамонова И.М.,Шейнман О.К. Задачи семинара "Алгебры Ли и их
приложения". 2004.
12.Burris S. N., Sankappanavar H. P. A Course in Universal Algebra. 2008.
13.Gratzer G. Universal algebra. With appendices by Gratzer, Bjarni Jуnsson,
Walter Taylor, Robert W. Quackenbush, Gьnter H. Wenzel, and Grдtzer and
W. A. Lampe. Revised reprint of the 1979 second edition. Springer, New York,
2008.
14.Cohn P. M. Free Rings and Their Relations. London: AP, 1971.
90
1.6
ОЦЕНКА
КОНКУРЕНТНОСПОСОБНОСТИ
ПОЛУЧЕННЫХ
РЕЗУЛЬТАТОВ.
Теоретико-групповое описание π-холловых подгрупп в конечных простых
группах известно и получено в сотнях разлчных работ десятками авторов, среди
которых такие специалисты, как Ф.Холл, Дж. Томпсон, Ф.Гросс, В.Д. Мазуров,
Е.П. Вдовин,
Д.О, Ревин и др. Однако во-первых во многих случаях это
описание требует дополнительных рассуждений для нахождения π-холловых
подгрупп в конкретной группе, а во-вторых не является единообразным.
Используя известное теоретико-групповое описание π-холловых подгрупп в
PSLn(q) мы приводим описание холловых подгрупп в терминах естественных
арифметических характеристик группы PSLn(q) (то есть в терминах n и q), а
также полностью исследуем
вопрос о вложимости π-холловой подгруппы
группы PSLn(q) в π-холлову подгруппу группы F,
где PSLn(q) ≤ F ≤
Aut(PSLn(q)).
На данный момент получено требуемое описание для группы PSLn(q),
дальнейшем
планируется
получить
похожее
описание
в
в
терминах
арифметических характеристик группы для всех простых групп лиева типа.
Эти результаты представлены в виде таблиц, с помощью которых можно
узнать, будет ли данная группа содержать π-холлову подгруппу, и как эта
подгруппа будет выглядеть.
Например, в случае, когда характеристика поля p лежит в множестве π,
известно, что π-холлова подгруппа либо лежит в подгруппе Бореля группы
PSLn(q),
либо
может
быть
получена
как
стабилизатор
некоторых
подпространств. В случае когда подгруппа лежит в подгруппе Бореля
полученные результаты(критерии и вид π-холловой подгруппы) выглядят
следующим образом:
Условия на множество π
Представитель
класса
сопряжённости
π∩π(L)⊆ π(q-1)∪ {p},
π∩π(n!)⊆{p}.
P
–
полупрямое
произведение
UTn(q) и Z, где Z=ℤ (q-1)π×…×ℤ (q-1)π .
При этом установлено, что все подгруппы такого типа сопряжены. Все классы
91
сопряженности, когда они существуют, указаны в таблицах.
Изучение спектров конечных простых групп представляет безусловный
интерес. Из многих работ, посвященных конечным простым группам, можно
извлечь информацию об их спектре. В частности, существуют работы,
посвященные исследованию порядков унипотентных элементов в группах лиева
типа, централизаторам полупростых элементов, для многих <<маленьких>>
простых групп найдены таблицы характеров и т.д. Однако явное описание
спектров всех конечных простых групп до сих пор не получено. Заметим, что
явное описание спектров на данный момент отсутствует только простых групп
лиева типа. Дело в том, что спектры простых групп лиева типа известна
<<приблизительно>>, т.е. с точностью до небольших множителей, такой
информации достаточно при решении многих задач (например, описание графов
простых чисел простых групп было получено без описания спектров). Однако
при решении многих задач желательно знать спектр простой группы точно.
Бутурлакиным А.А. было получено описание спектров всех конечных
простых классических групп. Для исключительных групп также есть множество
результатов, дающих информацию об их спектре. В рамках проекта было
получено явное описание спектров простых исключительных групп E 6(q) и 2
E6(q).
В работе Кантора и Сереша [KS] был разработан полиномиальный алгоритм
Монте-Карло для нахождения характеристики простой группы лиева типа над
полем нечетной характеристики
Также в данной работе была высказана гипотеза о том, что условие
нечетности характеристик может быть опущено. Цель настоящего исследования
— подтвердить эту гипотезу.
Разработанные Кантором и Серешем методы также применимы к простым
линейным, унитарным и исключительным группам над полями характеристики
2. Ограничение на характеристику в работе Кантора и Сереша обусловлено
сложностями, возникающими при подсчёте максимальных порядков элементов
симплектических и ортогональных групп над полями характеристики 2. Как
92
показывают примеры, зависимость этих чисел от размерности группы и порядка
поля определения может быть довольно сложной.
Д. В. Лыткиным была разработана компьютерная программа, вычисляющая
наибольшие порядки элементов групп Sp(n, q) для заданных n и q, а также
выводящая их в виде формул. Первые результаты показали, что при
фиксированном n эти формулы выглядят схожим образом для различных q, если
q>2.
Был
проведён
большой
объём
компьютерных
вычислений
с
использованием данной программы, включающий в себя подсчёт двух
наибольших порядков элементов групп Sp(n, q) для q=2, 4 и n ≤ 40. На основе
этих результатов были построены гипотезы, описывающие явные выражения
двух наибольших порядков через n и q. Затем полученные формулы были
обоснованы с использованием стандартных теоретико-числовых методов.
Наконец, на основе этих формул было доказано, что симплектические группы
над полями чётных порядков можно отличить от простых групп лиева типа над
полями нечётных порядков по двум наибольшим порядкам элементов. С
помощью полученных результатов и разработанных методов планируется
распространить теорему Кантора и Сереша на ортогональные группы
характеристики 2.
Теорема Адо является фундаментальным фактом теории конечномерных
алгебр Ли и имеет репутацию "странной" теоремы. Любое из известных ее
доказательств,
классических [JacLie], [Proc2005] или короткое изящное
доказательство Ю. Неретина [Ner2003] использует следующие базовые свойства
конечномерных алгебр Ли:
(A1)
Теорема
Пуанкаре
-
Биркгофа
-
Витта
(PBW-теорема)
для
нильпотентных алгебр;
(A2) Вполне приводимость конечномерных модулей над полупростыми
алгебрами;
(A3) Следствие теоремы Ли: образ разрешимой алгебры относительно
дифференцирования нильпотентен;
(A4) Теорема Леви (отщепление разрешимого радикала).
93
Для конформных алгебр Ли (даже конечного типа) ни одно из этих свойств не
выполняется. По этой причине доказательство аналога теоремы Адо для
конформных алгебр представляет собой сложную алгебраическую задачу. В
работе [Roit2005] было показано, что нильпотентная конформная алгебра Ли
вкладывается в нильпотентную ассоциативную конформную алгебру с тем же
индексом нильпотентности. Таким образом, отсутствие свойства (A1) не
существенно для целей нашего исследования.
Ранее в рамках проекта [Kol2011] мы показали, что также можно избежать
использования
свойства
(A2):
существование
точного
конформного
представления конечного типа было доказано для конформных алгебр Ли
``классического типа'', т.е. с отщепляющимся разрешимым радикалом и без
элементов Вирасоро в полупростой части. Оказалось, что все такие конформные
алгебры вкладываются в конформную алгебру петель (current algebra) над
обычной конечномерной алгеброй Ли. Интересно отметить, тем не менее, что
доказательство в [Kol2011] не использовало теорему Адо для обычных алгебр.
Таким
образом,
задача
была
решена
для
конформных
алгебр
Ли,
удовлетворяющих свойствам (A3) и (A4).
В рамках исследований по данному проекту мы показали, что свойство (A3)
тоже можно опустить, расширив тем самым рамки применимости аналога
теоремы Адо на все конформные алгебры Ли конечного типа, удовлетворяющие
условию (А4), т.е. обладающие разложением Леви.
В теории колец большое
Первичные
невырожденные
значение имеет описание первичных алгебр.
йордановы
алгебры
были
описаны
Е.
Зельмановым. Как оказалось, такие йордановы алгебры близки к классическим.
Пример С. Пчелинцева,
первичной йордановой
делителями нуля, показывает, что требование
алгебры с абсолютными
невырожденности является
существенным. Этот пример получил название "Монстра Пчелинцева".
Е. Зельмановым и Ю. Медведевым с помощью йордановых супералгебр
векторного типа были даны другие конструкции "Монстра Пчелинцева". И.
94
Шестаковым с помощью
первичных
алгебр
с
супералгебр векторного типа получены примеры
абсолютными
альтернативных, йордановых и
делителями
нуля
в
многообразии
(-1,1)-алгебр. Следует отметить, что примером
первичной йордановой алгебры
в
конструкции И. Шестакова явилась
свободная алгебра в многообразии йордановых алгебр, которое порождено
грассмановой оболочкой
йордановой супералгебры векторного типа. В.
Скосырским с помощью
супералгебр векторного типа дана более простая
конструкция
вырожденных
первичных
йордановых
алгебр.
Йордановы
супералгебры векторного типа с одним дифференцированием изучались в
работах Д. Кинга и К Маккримона. Так Д. Кингом и М. Маккримоном был
найден критерий простоты йордановой супералгебры, который был обобщен И.
Шестаковым на случай первичных йордановых супералгебр векторного типа.
Также К. Маккримоном доказана специальность йордановых супералгебр
векторного типа. Е. Зельмановым и К. Мартинес построена универсальная
ассоциативная обертывающая алгебра для простой йордановой супералгебры
векторного типа с одним дифференцированием.
В. Желябиным и И. Шестаковым были описаны унитальные простые
специальные йордановы супералгебры с ассоциативной четной частью A,
нечетная часть M которых является ассоциативным
A-модулем. Толчком к
этим исследованиям была работа И. Шестакова, в которой описаны простые (1,1)-супералгебры характеристики не 2,3.
В йордановом случае, если
супералгебра
невырожденной
не
является
супералгеброй
билинейной
суперформы, то ее четная часть A – дифференциально простая алгебра
относительно некоторого множества дифференцирований, а нечетная часть M –
конечнопорожденный проективный A-модуль ранга 1. Умножение в M задается
с помощью фиксированных конечных множеств дифференцирований и
элементов алгебры A. Как оказалась, каждая такая йорданова супералгебра
является подсупералгеброй в супералгебре векторного типа J(Г,D).
пример
простой
дифференцированиями
супералгебры
векторного
типа
Первый
с
несколькими
над полем действительных чисел,
который
неизоморфен алгебре J(Г,D), был построен И. Шестаковым. Пример подобной
95
супералгебры, но уже над полем характеристики ноль, в котором нельзя
извлечь квадратный корень из -1 построен В. Желябиным в рамках данного
проекта. Наконец, В. Желябиным в рамках данного проекта построен пример
простой супералгебры векторного типа с несколькими дифференцированиями
над произвольным полем нулевой характеристики.
Используя новый пример йордановой супералгебры векторного типа,
В.
Желябиным также приведен пример простой йордановой супералгебры типа
Ченга-Каца. Примеры этих супералгебр являются ответом на вопрос из Н.
Каторини и В. Каца.
В построенных примерах простых йордановых
супералгебр векторного типа с несколькими дифференцированиями нечетная
часть является двухпорожденным модулем над четной частью.
В рамках
данного проекта были построены примеры первичных йордановых супералгебр
векторного типа, у которых нечетная часть является проективным модулем
ранга один и с любым числом порождающих. Из этих примеров мы получаем
примеры первичных йордановых супералгебр типа Ченга-Каца.
Алгебры Пуассона, как векторное пространство с двумя умножениями,
связанными тождеством Лейбница, где векторное пространство с одним
умножением является ассоциативно-коммутативной алгеброй, а с другим
умножением - алгеброй Ли, широко известны не только в классической теории
колец, но и математической физике и алгебраической геометрии. Так, алгебры
Пуассона были использованы при доказательстве классического результата о
дикости автоморфизма Нагаты (И. Шестаков и У. Умирбаев).
Естественным обобщением алгебр Пуассона являются алгебры общей скобки
Пуассона, впервые предложенные И. Шестаковым в 1998 г. Интерес к алгебрам
общей скобки Пуассона обуславливается тем, что в данном классе алгебр,
помимо алгебр Пуассона содержатся также другие интересные и важные
объекты,
так
он
содержит
Пуассон-Мальцевские
алгебры,
Пуассон-
бинарнолиевы алгебры, а также, ассоциированные алгебры с универсальной
обертывающей алгебры Мальцева, алгебры Бола и, более общо, алгебры
Сабинина. В тоже время, структура свободных алгебр общей скобки Пуассона
96
имеет
схожее
строение
со
свободными
ассоциативно-коммутативными
алгебрами, свободными алгебрами Пуассона, но и имеет отличия.
В свое время, свободные алгебры общей скобки Пуассона использовались М.
Аренасом и Л. Аренас-Кормоной для построения универсальной Пуассоновой
обертывающей для бинарнолиевых алгебр. Широкое изучение свободных
Пуассоновых алгебр и полей было инициировано Л. Макар-Лимановым и У.
Умирбаевым. Ими был доказан аналог знаменитой теоремы Бергмана о
централизаторе в свободной алгебре Пуассона. В дальнейшем, они описали
локально-нильпотентные дифференцирования и автоморфизмы свободной
алгебры Пуассона от двух порождающих. А именно, были получены аналоги
известных результатов Р. Рентшлера и Х. Джунга о том, что все автоморфизмы
такой алгебры являются ручными. Также, Л. Макар-Лиманов и У. Умирбаев
доказали теорему "о свободе" для свободных алгебр Пуассона. В результате, Л.
Макар-Лимановым, И. Шестаковым и У. Умирбаевым была изучена связь
между полиномиальной зависимостью и пуассоновой зависимостью двух
элементов в свободных Пуассоновых алгебрах и полях.
В рамках предыдущего этапа, участником проекта И. Кайгородовым
совместно с И. Шестаковым были получены аналоги теорем Макар-ЛимановаУмирбаева для алгебр общей скобки Пуассона. А именно, было показано, что
локально-нильпотентные дифференцирования свободной алгебры общей скобки
Пуассона от двух порождающих являются триангулируемыми, автоморфизмы
свободной алгебры общей скобки Пуассона от двух порождающих являются
ручными. Построены универсальные мультипликативные обертывающие для
свободных алгебр и полей общей скобки Пуассона. А также, была установлена
зависимость между полиномиальной и пуассоновой зависимостью двух
элементов в свободных алгебрах и полях общей скобки Пуассона и
левозависимостью
их
образов
в
универсальной
мультипликативной
обертывающей алгебре.
Другим интересным обобщением алгебры Пуассона являются алгебры
йордановой скобки. Как известно, посредством процесса Кантора, называемого
Дубль Кантора, из каждой алгебры (или, более общо, супералгебры) Пуассона
97
мы можем построить йорданову супералгебру. Причем множество супералгебр,
имеющих йорданый Дубль Кантора несколько
шире, чем множество
супералгебр Пуассона. Данное многообразие супералгебр принято называть
супералгебрами
йордановой
скобки.
Так,
тождества
характеризующие
унитальные супералгебры йордановой скобки были найдены Д. Кингом и К.
Маккриммоном в 1992-95 годах, позже, участник проекта Кайгородов И.Б.
получил описание неунитальных супералгебры йордановых скобок.
Известно, что супералгебры йордановой скобки играют существенную роль
при
классификации
простых
конечномерных
йордановых
супералгебр,
полученную Е.Земальновым, К. Мартинез и М. Расином, откуда, в частности, и
следует описание простых конечномерных супералгебр йордановой скобки. В
тоже время, как было показано И. Шестаковым, К. Мартинез, Е. Земальновым,
каждую йорданову скобку можно вложить в подходящую скобку Пуассона. А В.
Кац и Н. Кантарини описали все линейно-компактные простые супералгебры
йордановой скобки. Несмотря на то, что суперагебр йордановой скобки активно
изучаются, изучение свободных супералгебры йордановой скобки было
обделено вниманием. Участником проекта И.Б. Кайгородовым был построен
базис свободной супералгебры йордановых скобок от n порождающих. При
этом
применялись
разработанные
А.
стандартные
Ширшовым,
методы
Е.
исследований
Чибриковым,
Е.
теории
колец,
Штерном
и
другими. Полученные результаты обобщают хорошо известные результаты
мирового уровня о базисах свободной супералгеры Пуассона (И. Шестаков) и
свободной супералгебры Ли (Е. Штерн).
Таким образом, можно говорить, что полученные результаты находятся на
высоком научно-техническом уровне и во многом обобщают и превосходят
лучшие мировые достижения в данной области.
98
2. ПОКАЗАТЕЛИ
За время выполнения НИР за отчетный период поступили в магистратуру
ММФ НГУ 2 студента – исполнителя НИР:
Звездина Мария Анатольевна;
Лыткин Даниил Всеволодович;
За время выполнения НИР за отчетный период поступили в аспирантуру
ИМ СО РАН студент – исполнитель НИР:
Губарев Всеволод Юрьевич
Количество подготовленных научных трудов за отчетный период:
Опубликовано 7 научных статей (см. Приложение А),
Сдано в печать 12 научных статей (см. Приложение А).
Количество сделанных научных докладов за отчетный период:
Сделано 15 докладов на международных научных форумах и конференциях (см.
Приложение Б).
99
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе исполнения 5 этапа «Анализ полученных результатов» получены
следующие результаты:
Введено понятие тернарной йордановой алгебры. Построен пример такой
алгебры,
получающейся
из
тернарной
алгебры
Филиппова.
Описаны
дифференцирования такой алгебры. Введено понятие редуцированно лиевой
тернарной алгебры.
Доказано, что многообразие редуцированно лиевых
тернарных алгебр (RLT-алгебр) содержит многообразие алгебр Филиппова в
качестве собственного подмногообразия. Доказан аналог теоремы Энгеля для
RLT-алгебр. Доказано, что не существует простых конечномерных супералгебр
Филиппова классического типа
A(m,n) (m>n>0) над полем ненулевой
характеристики более чем семь.
Доказано, что любая конформная алгебра Ли конечного типа без кручения,
обладающая разложением Леви, имеет точное конформное представление на
свободном конечно-порожденном модуле над кольцом многочленов от одной
переменной.
Показано, что произвольный оператор Рота-Бакстера ненулевого веса на
простой конечномерной йордановой алгебре симметрической невырожденной
билинейной формы является проектором, а сама алгебра разлагается в прямую
сумму как пространств своих двух подалгебр – образа и ядра оператора РотаБакстера.
Аналогичный
результат
получен
для
некоторых
простых
конечномерных ассоциативных, альтернативных и прелиевых алгебр.
Получено вложение обобщенных алгебр Новикова-Пуассона в алгебры
Новикова-Пуассона
векторного
типа
и
доказана
специальность
соответствующего дубля Кантора.
Построены примеры первичных йордановых супералгебр векторного типа, у
которых
нечетная
часть
является
проективным
модулем
ранга
1
с
произвольным числом порождающих. Из этих примеров строятся примеры
первичных йордановых супералгебр типа Ченга-Каца.
Доказано, что каждая конечная группа, изоспектральная конечной простой
100
исключительной группе лиева типа G2 над произвольным конечным полем,
будет ей изоморфна.
Получена классификация конечных групп, граф простых чисел которых
имеет пять компонент связности. В частности, доказано, что всякая такая
группа проста. Также получены некоторые связанные с этим результаты о
представлениях простых групп.
Получено исчерпывающее описание конечных групп, все максимальные
подгруппы в которых холловы.
Доказано, что в решетке надгрупп данной π-холловой подгруппы элементы,
имеющие ровно один и, соответственно, более одного класса сопряженных πхолловых
подгрупп,
подполурешетки.
образуют
Построены
нижнюю
примеры,
и,
соответсвенно,
показывающие,
верхнюю
что
эти
подполурешетки, вообще говоря, не являются ршетками.
Доказана алгоритмическая неразрешимость универсальной теории свободной
разрешимой группы ступени > 3.
Для трёхдублетной модели хиггсовского поля в вакууме найдены все
реализуемые конечные группы симметрий хиггсовских потенциалов и
соответствующие им потенциалы, для которых найденные группы являются
полными группами автоморфизмов.
Описан базис свободной супералгебры йордановых скобок.
Найдены явные формулы для нахождения максимальных порядков элементов
простых симплектических и ортогональных групп над полями характеристики
2. Доказано, что симплектические группы над полями чётных порядков можно
отличить от простых групп лиева типа над полями нечётных порядков по двум
наибольшим порядкам элементов.
Установлено, что если K - бесконечное целостное кольцо, группа
автоморфизмов которого тривиальна, либо K – целостное кольцо содержащее
подкольцо целых чисел и группа автоморфизмов кольца K конечна, то при
nбольше либо равном 3 общая линейная группа GLn(K) и специальная линейная
группа SLn(K) обладают свойством R бесконечность.
Описаны все конечномерные неприводимые линейные представления над
101
полем комплексных чисел для произвольной подгруппы конечного индекса
группы Баумслага-Солитера.
Получено единообразное описание π-холловых подгрупп в терминах
естественных арифметических характеристик группы PSLn(q).
Кроме того,
полностью исследован вопрос о вложимости π-холловой подгруппы группы
PSLn(q) в π-холлову подгруппу группы F, где PSLn(q) ≤ F ≤ Aut(PSLn(q)).
Построена
кристаллографическая
группа
движений
псевдоевклидова
пространства размерности шесть и индекса три, содержащая ровно три
псевдоевклидовы решетки. Доказано, что более трех псевдоевклидовых
решеток подобная группа содержать не может.
Доказано, что если G - группа периода 12, в которой порядок произведения
любых двух инволюций отличен от числа 6, то G локально конечна. Получено
описание групп с таким свойством. Доказано, что если G - группа периода 12, в
которой порядок произведения любых двух инволюций отличен от числа 4, то
G локально конечна. Первый результат обобщает теорему И.Н. Санова о
локальной конечности групп периода 4, второй - М.Холла о локальной
конечности групп периода 6.
Получено описание спектров конечных простых исключительных групп
типов E6(q) и 2E6(q).
Выполненные на 5 этапе работы соответствуют требованиям технического
задания, календарного плана и нормативной документации.
Приведены списки опубликованных и сданных в печать научных работ,
выступлений на российских и международных форумах, а также другие
показатели успешной работы в рамках данного проекта.
Полученные
результаты
имеют
мировой
уровень,
представляют передовой фронт науки в указанных областях.
102
а
исполнители
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
[Jordan] Jordan, P., Uber Verallgemeinerungsmoglichkeiten des Formalismus der
Quantenmechanik, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen (1933), 149-170.
[BNPS] Beites, P.D., Nicolas, A.P., Pozhidaev, A.P., Saraiva, P., On identities of a
ternary quaternion algebra, Comm. in Alg. 39, 3 (2011), 830-842.
[Bremner]
Bremner, M., New ternary versions of Jordan algebras , Algebra
colloquium, 8, 1 (2001), 11-24.
[GnedbayeWachs]
Gnedbaye, A.V. and Wachs, M., Jordan triples and operads,
Proceedings of Renaissance Conferences, American Mathematical Society, 202
(2007), 83-113.
[Filippov] В.Т.Филиппов, n-лиевы алгебры, Сибирский математический журнал
26, 6 (1985), 126-140.
[Nambu] Y. Nambu, Generalized Hamiltonian dynamics, Phys. Rev. D 7 (1973),
2405-2412.
[BeitesPojidaev] P.D.Beites, A.P.Pojidaev, On simple Filippov superalgebras of type
A(n,n), Asian-European J. Math. 1, 4 (2008), 469-487.
[DaletskiiKushnirevich] Y.Daletskii, V.Kushnirevich, Inclusion of Nambu-Takhtajan
algebra in formal differential geometry structure, Dop. NAN Ukr., 4 (1996), 12-18.
[GrabowskiMarmo]
J.Grabowski,
G.Marmo,
On
Filippov
algebroids
and
multiplicative Nambu-Poisson structures, Diff. Geom. Appl. 12, 1 (2000), 35-50.
[Kac] V.G.Kac, Lie superalgebras, Adv. Math. 26 (1977), 8-96.
[Ling] Ling Wuxue, On the structure of n-Lie algebras, Thesis, Siegen Univ.-GHSSiegen, (1993) 1-61.
[Pojidaev1] A.P.Pojidaev, Solvability of the finite-dimensional commutative n-ary
Leibniz algebras of characteristic 0, Comm. Alg., 31, 1 (2003), 197-215.
[Pojidaev2] A.P.Pojidaev, Enveloping algebras of Filippov algebras, Comm. Alg., 31,
2 (2003), 883-900.
[Pojidaev3]
A.P.Pojidaev, On simple Filippov superalgebras of type B(0,n), J.
Algebra Appl., 2, 3 (2003), 335-349.
[Pojidaev4] A.P.Pojidaev, On simple Filippov superalgebras of type B(m,n), Algebra
Logika, 47, 2 (2008), 240-261.
103
[PojidaevSaraiva] A.P.Pojidaev, P.Saraiva, On simple Filippov superalgebras of type
B(0,n), II, Portugaliae Mathematica, 66, 1 (2009), 115-130.
[CantariniKac] N. Cantarini, V. G. Kac, Classification of Simple Linearly Compact
n-Lie Superalgebras, Commun. Math. Phys. 298 (2010), 833–-853.
[DTes] Testerman D.M. A1-Type overgroups of order p in semisimple algebraic
groups and the associated finite groups, J. Algebra, 177, No. 1 (1995), 34 - 76.
[DF] Deriziotis D.I., Fakiolas A.P. The maximal tori in the finite Chevalley groups of
type E6, E7 and E8, Comm. in Algebra, 19, No. 3 (1991), 889-903.
[Car] Carter R.W. Centralizers of semisimple elements in the finite groups of Lie
type, Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser., 37, No. 3 (1978), 491-507.
[Baxter] G.Baxter, An analytic problem whose solution follows from a simple
algebraic identity, Pacific J. Math. 10 (1960) 731−742
[Rota] G.-C.Rota. Baxter algebras and combinatorial identities I, II, Bull. Amer.
Math. Soc. 75 (1969) 325−329, 330−334
[Cart] P.Cartier, On the structure of free Baxter algebras, Advances in Math. 9 (1972)
253−265
[Bel] A.A.Belavin, V.G.Drinfeld, Solutions of the classical Yang-Baxter equation for
simple Lie algebras, Funct. Anal. Appl. 16 (1982) 159−180
[Sem] M.A.Semenov-Tian-Shansky, What is a classical r-matrix? Funct. Anal. Appl.,
17 (1983) no.4, 259−272
[Con] A.Connes, D.Kreimer, Renormalization in quantum field theory and the
Riemann-Hilbert problem. I, II, Comm. Math. Phys. 210 (2000) no.1, 249−273; 216
(2001) no.2, 215−241
[Ler] P.Leroux, Construction of Nijenhuis operators and dendriform trialgebras, Int. J.
Math. Math. Sci. 52 (2004) no.40, 2595−2615
[And] G.E.Andrews, L.Guo, W.Keigher, K.Ono, Baxter algebras and Hopf algebras,
Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003) 4639−4656
[Ebr] K.Ebrahimi-Fard, L.Guo, Quasi-shuffles, Mixable Shuffles and Hopf Algebras,
J. Algebraic Combinatorics 24 (2006) 83−101
[Jac1] N.Jacobson, Lie algebras. New York: Interscience Publishers, 1962. 9+331 p.
[Jac2] N.Jacobson, Structure of rings. AMS Colloquium Publications, vol. 37, 1956.
104
7+263 p.
[ZSSS] К.А.Жевлаков, А.М.Слинько, И.П.Шестаков, А.И.Ширшов. Кольца,
близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978. 432 с.
[Mac] K.McCrimmon, A taste of Jordan algebras. New York: Springer, 2004. 566 p.
[Guo] L.Guo, An Introduction to Rota-Baxter Algebra. High Education Press and
International Press (to appear). 183 p.
[PLBG] Yu Pan, Q.Liu, C.Bai, L.Guo, PostLie algebra structures on the Lie algebra
sl(2,C). Electron. J. Linear Algebra (to appear). arXiv:1111.6128. 20 p.
[Maz05] В.Д. Мазуров, Группы с заданным спектром, Изв. Урал. н-та, 36 (2005),
вып. 7, 119-138.
[GSV] M. Grechkoseeva, W. Shi, A. Vasilev, Recognition by spectrum of finite
simple groups of Lie type, Front. Math. China. - 2008. - V. 3. - N 2. - P. 275-285.
[Vas02] А.В. Васильев, Распознаваемость групп G_2(3^n) по порядкам их
элементов, Алгебра и логика. - 2002. - Т. 41. - N 2. - С. 130-142.
[Maz02] В.Д. Мазуров, Распознавание конечных простых групп S4(q) по
порядкам их элементов, Алгебра и логика. - 2002. - Т. 41. - N 2. - С. 166-198.
[Zav06] А.В. Заварницин, О распознавании конечных групп по графу простых
чисел, Алгебра и логика. – 2006. - Т. 45. - N 4. - С. 390–408.
[Maz98] В.Д. Мазуров, Распознавание конечных групп по множеству порядков
их элементов, Алгебра и логика. - 1998. - Т. 37. - N 6. - С. 651-666.
[BakalovDK2001] B. Bakalov, A. D'Andrea, V. G. Kac,
Theory of finite
pseudoalgebras, Adv. Math. 162 (2001) no. 1, 1--140.
[BakalovKV1999] B. Bakalov, V. G. Kac, A. A. Voronov, Cohomology of conformal
algebras, Commun. Math. Phys. 200 (1999) 561-598.
[ChenKac1997] S.-J. Cheng, V. G. Kac, Conformal modules, Asian J. Math. 1 (1997)
181--193.
[ChenKW1998] S.-J. Cheng, V. G. Kac, M. Wakimoto, Extensions of conformal
modules, in Topological field theory, primitive forms and related topics (Kyoto,
1996), 79--129, Progr. Math., 160, Birkhauser, Boston, MA, 1998.
[DandreaK1998] A. D'Andrea, V. G. Kac, Structure theory of finite conformal
105
algebras, Sel. Math., New Ser. 4 (1998) 377--418.
[DeSoleK2008] A. De Sole, V. G. Kac, Lie conformal algebra cohomology and the
variational complex, Commun. Math. Phys. 292 (2009) 667--719.
[FrenkelBZ2001] E. Frenkel, D. Ben-Zvi, Vertex algebras and algebraic curves,
Mathematical Surveys and Monograps 88, AMS, Providence, RI, 2001.
[JacLie] N. Jacobson, Lie algebras, John Wiley and Sons, New York -- London, 1962.
[Kac1996] V. G. Kac, Vertex algebras for beginners, second ed., University Lecture
Series 10, AMS, Providence, RI, 1998.
[Kol2008] P. S. Kolesnikov, Varieties of dialgebras and conformal algebras, Sib.
Math. J. 49 (2008) 257--272.
[Kol2011] P. S. Kolesnikov, On finite representations of conformal algebras, J.
Algebra 331 (2011) 169--193.
[Loday2001] J.-L. Loday, Dialgebras, in Dialgebras and related operads, J.-L.
Loday et al, eds, Springer-Verl., Berlin, 2001, Lectures Notes in Math., vol. 1763, pp.
1-61.
[Ner2003] Yu. A. Neretin,
A construction of finite-dimensional faithful
representation of Lie algebra, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl. No. 71 (2003),
159--161.
[Proc2005] C. Procesi, Lie groups. An approach through invariants and
representations, Springer, New York, 2007.
[Roit2000] M. Roitman, Universal enveloping conformal algebras, Sel. Math., New
Ser. 6 (2000), no. 3, 319-345.
[Roit2005] M. Roitman, On embedding of Lie conformal algebras into associative
conformal algebras, J. Lie Theory 15 (2005) no. 2, 575-588.
GR1] Gruenberg K. W., Roggenkamp K. W., Decomposition of the augmentation
ideal and of the relation modules of a finite group // Proc. London Math. Soc. 1975.
V. 31. N2. P. 149-166.
[Is1] Isaacs I. M., Character theory of finite groups. Providence, RI: AMS Chelsea
Publishing. 2006.
[Wi1] Williams J. S., Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981. V.
69. N2. 487-513.
106
[Ko1] Кондратьев А. С., О компонентах графа простых чисел конечных простых
групп // Мат. Сб. 1989. Т. 180. № 6. С. 787--797.
[Za1] Заварницин А. В., О распознавании конечных групп по графу простых
чисел // Алгебра и логика. 2006. T. 45. № 4. С. 390--408.
[GT1] R. M. Guralnick, P. H. Tiep, Finite simple unisingular groups of Lie type, J.
Group Theory, 6, N3, 271-310 (2003).
[LSS1] M. W. Liebeck, J. Saxl, G. M. Seitz, Subgroups of maximal rank in finite
exceptional groups of Lie type, Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser., 65, N2, 297-325
(1992).
[Zelmanov] Зельманов Е.И. О первичных йордановых алгебрах, Алгебра и
логика 18 (1979), \No 2, С. 162-175.
[Zelman] Зельманов Е.И. О первичных йордановых алгебрах II, Сиб. матем. ж.
24 (1983), \No 4, 23-37.
[Pchel] Пчелинцев С.В. Первичные алгебры с абсолютными делителями нуля,
Изв. АН СССР. Сер. мат. 50 (1986), no. 1, 79-100.
[Med] Medvedev Yu. A., Zelmanov E. I. Some counterexamples in the theory of
Jordan
algebras. Nonassociative algebraic models (Zaragoza, 1989), 1-16, Nova Sci. Publ.,
Commack, NY, 1992.
[Shes91] Шестаков И.П. Супералгебры и контрпримеры}, Сиб. матем. ж. {\bf
32} (1991), \No 6, 187-196.
[Mccrimon90] King D., McCrimmon K., The Kantor construction of Jordan
superalgebras, Comm. in Algebra 20 (1992), \No 1, P. 109--126.
[Mccrimon92] McCrimmon K., Speciality and nonspeciality of two Jordan
superalgebras, J. of Algebra {\bf 149} (1992), \No 2, P. 326--351.
[Shestakov97] Шестаков И. П., Первичные альтернативные супералгебры
произвольной характеристики, Алгебра и логика 36 (1997),\No 6, C. 701--731.
[Skosyr] Скосырский В.Г. Первичные йордановы алгебры и конструкция
Кантора, Алгебра и логика 33 (1994), \No. 3, 301-316; translation in Algebra and
Logic 33 (1994), \No. 3, 169-179.
[MZel02] Martinez C., Zelmanov E. Specializations of Jordan superalgebras, Canad.
107
Math. Bull.
45 (2002), no. 4, 653-671.
[Zh02] Желябин В. Н., Простые специальные йордановы супералгебры с
ассоциативной
ниль-полупростой четной частью, Алгебра и логика 41 (2002),\No 3, 276-310.
[Zhel] Желябин В. Н., Шестаков И. П., Простые специальные супералгебры с
ассоциативной четной частью, Сиб. матем. ж. 45 (2004), \No 5, C. 1046-1072.
[Sh98] Шестаков И.П., Простые супералгебры типа (-1,1)}, Алгебра и логика
37 (1998), No 6, C. 721-739.
[Zhel09] Желябин В. Н., Дифференциальные алгебры и простые йордановы
супералгебры,
Мат. труды 12 (2009), \No 2, C. 41--51.
[Zhel10]Zhelyabin V. N., Differential algebras and simple Jordan superalgebras},
Siberian Advances in Math. 20 (2010), \No 3, P. 223--230.
[Zhel12] Желябин В. Н., Новые примеры простых йордановых супералгебр над
произвольным полем характеристики ноль. Алгебра и анализ 24 (2012), \No 4,
84-96.
[CantarKac] Cantarini N., Kac V. G., Classification of linearly compact simple
Jordan and generalized Poisson superalgebras, J. of Algebra 313 (2007), \No 2, P.
100-124.
[Glaub] G. Glauberman, On loops of odd order II, // Journal of Algebra 8 (1986), 393414.
[Doro] S. Doro, Simple Moufang loops, // Math. Proc.Camb.Phil.Soc. 83 (1978), 377392.
[Mih1] P.O. Mikheev, Enveloping groups of Moufang loops, // Russ. Math. Surv. 48,
№2 (1993), 195-196.
[Lieb] M.W. Liebeck, The classification of finite simple Moufang loops, // Math.
Proc. Camb. Phil. Soc. 102 (1987), 33-47.
[GZ] A.N. Grishkov, A.V. Zavarnitsine, Lagrange's theorem for Moufang loops,//
Math. Proc. Camb. Phil. Soc. [139], 41 (2005) 41-57.
[M55] А.И. Мальцев, Аналитические лупы, // Мат. Сб. 36(78), №.3 (1955), 569108
575.
[KuzSh] Е.Н. Кузьмин, И.П. Шестаков, Неассоциативные структуры, в кн.:
Алгебра-6 (Итоги науки и техники. Совр. пробл. матем. Фундам. направл., 57),
М. ВИНИТИ, 1990, 179-266.
[S62] A.A. Sagle, Simple Malcev algebras over fields of characteristic zero // Pacific
J. Math., 12 (1962), 1047-1078.
[K68] Е.Н. Кузьмин, Алгебры Мальцева и их представления, // Алгебра и
логика, 7 (1968), 233-244.
[Mih2] П.О. Михеев, О вложении алгебр Мальцева в алгебры Ли, // Алгебра и
Логика, 31, 2 (1992) 167-173.
[Grish] A. Grishkov, Lie algebras with triality, // J. of Algebra, 266 (2003) 698-722.
[Nel] B. O'Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to relativity,
Academic press, New York, 1983.
[BB] B. Bajo, S. Benayadi,Lie algebras admitting a unique quadratic structure, //
Communications in Algebra, 25, 9 (1997), 2795-2805.
[BBM] I. Bajo, S. Benayadi, A. Medina, Sympletic structure on quadretic Lie algebra,
// Journal of Algebra, 316 (2007) 174-188.
[burn1] Burnside W. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups.
Quart. J. Pure Appl. Math.-1902.-Vol.37.-P.230-238.
[burn 2] Burnside W. On groups in which every two conjugate operations
are
permutable.
Proc.
London
Math.
Soc.-1903.-Vol.35.-P.28-37.
[hopkins] Hopkins C. Finite groups in which conjugate operations are commutative.
Amer. J. Math.-1929.-Vol.51.-P.35-41.
[levi] Levi F.V. Groups in which the commutator operations satisfy certain algebraic
conditions. J. Indian Math. Soc.-1942.-Vol.6.-P.166-170.
[lvdv] Levi F., van der Waerden B. Uber eine besondere Klasse von
Gruppen.
Abh.
Math.
Semin.,
Hamburg
Univ.-1932.-Vol.9.-P.157-158.
[neuman] Neumann B.H. Groups whose elements have bounded orders. J. London
Math. Soc.-1937.-Vol.12.-P.195-198.
[sanov] Санов И.Н. Решение проблемы Бернсайда для показателя 4. Уч.
зап. Ленингр. гос. ун-та. Сер. матем.-1940.-T.10, N55.-C.166-170.
109
[lytkina1] Лыткина Д.В. Строение группы, порядки элементов которой не
превосходят
числа
4.
Сиб.
мат.
журн.-2007.-Т.48,
N2.-C.353-358.
[razmislov] Размыслов Ю.П. Проблема Холла-Хигмана. Изв. АН СССР. Сер.
матем.-1978.-Т.42, N4.-С.833-847.
[thompson] Thompson J.G. Normal p-compliments for finite groups. Math.
Z.-1960.-Vol.72, N3.-P.332-354.
[busarkin]
Бусаркин
В.М.,
Горчаков
Ю.М.
Конечные
расщепляемые
группы.-М.: Наука, 1968.
[neuman2] Neumann B.H. Groups with automorphisms that leave only the
neutral element fixed. Arch. Math.-1956.-Vol.7.-P.1-5.
[zhurtov1] Журтов А.Х. О регулярных автоморфизмах порядка 3 и парах
Фробениуса. Сиб. мат. журн.-2000.-Т.41, N2.-С.329-338.
[zhurtov2] Журтов А.Х. О квадратичных автоморфизмах абелевых групп.
Алгебра и логика.-2000.-Т.39, N3.-С.320-328.
[jabara1] Jabara E. Fixed point free action of groups of exponent 5.
J. Austral. Math. Soc.-2004.-Vol.77.-P.297-304.
[jabara2] Ябара Э. Свободное действие групп периода 5. Алгебра и
логика.-2011.-Т.50, N5.-С.685-688.
[hh]
Hall
reduction
P.,
Higman
theorems
G.
On
for
the
p-length
Burnside's
of
problem.
p-soluble
Proc.
groups
London
and
Math.
Soc.-1956.-Vol.6, N3.-P.1-42.
[hall6]
Hall
M.
Solution
of
the
Burnside
problem
for
exponent
six.
Illinois J. Math.-1958.-Vol.2.-P.764-786.
[newman] Newman M.F. Groups of exponent six. Computational group
theory (Durham, 1982), London: Academic Press.-1984.-P.39-41.
[lis6] Лысенок И.Г. Доказательство теоремы М. Холла о конечности групп
B(m,6). Матем. заметки.-1987.-Т.41, N3.-C.422-428.
[novikov1]
Новиков
П.С.
О
периодических
группах.
Докл.
АН
СССР.-1959.-Т.127.-C.749-752.
[na1] Новиков П.С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах. I.
110
Изв. АН СССР, Сер. матем.-1968.-Т.32, N1.-C.212-244.
[na2] Новиков П.С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах. II.
Изв. АН СССР, Сер. матем.-1968.-Т.32, N2.-C.251-524.
[na3] Новиков П.С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах.
III. Изв. АН СССР, Сер. матем.-1968.-Т.32, N2.-C.709-731.
[adyan1] Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.-М.: Наука,
1975.
[ivanov]
Ivanov
S.V.
The
free
Burnside
groups
of
sufficiently
large
exponents. Internat. J. Algebra Comput.-1994.-V.4.-P.3-308.
[lysenok] Лысенок И.Г. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода.
Изв. РАН, Сер. матем.-1996.-T.60, N3.-C.3-224.
[shi]
Shi
W.
A
characteristic
property
of
A_5.
J.
Southwest-China
Teachers Univ.-1986.-V.3.-P.11-14 (на китайском языке).
[zhurtov_mazurov] Журтов А.Х., Мазуров В.Д. О распознавании конечных
простых
групп
L_2(2^m)
в
классе
всех
групп.
Сиб.
мат.
журн.-1999.-Т.40, N1.-P.75-78.
[mazurovL]
Мазуров
В.Д.
О
бесконечных
группах
с
абелевыми
централизаторами инволюций. Алгебра и логика.-2000.-T.39, N1.-C.74-86.
[zhurtov_mazurov2] Журтов А.Х.,
Мазуров В.Д. Локальная
конечность
некоторых групп с заданными порядками элементов. "Владикавказский мат.
журн.-2009.-T.11, N4.-C.11-15.
[gupta_mazurov] Gupta N.D., Mazurov V.D. On groups with small orders of
elements. Bull. Austral. Math. Soc.-1999.-V.60.-P.197-205.
[mazurov60] Мазуров В.Д. О группах периода 60 с заданными порядками
элементов. Алгебра и логика.-2000.-T.39, N3.-C.329-346.
[lk] Lytkina D.V., Kuznetsov A.A. Recognizability by spectrum of the group L_2(7)
in the class of all groups. Sib. Electronic Math. Reports.-2007.-V.4.-P.300-303.
[mmm] Мазуров В.Д., Мамонтов А.С. О периодических группах с элементами
малых порядков. Сиб. мат. журн.-2009.-T.50, N2.-C.397-404.
[mazurov8] Мазуров В.Д. О группах периода 24. Алгебра и логика.-2010.-T.49,
N6.-C.766-781.
111
[shunkov] Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной
инволюцией. Алгебра и логика.-1972.-T.11, N4.-C.470-493.
[huppert] Huppert B. Endliche Gruppen. I.-Berlin, Heidelberg, New York: Springer
Verlag, 1979.
[gap]
GAP:
Groups,
algorithms,
and
programming
http://www/gap-system.org
[cuypers] Cuypers H., Hall J.I. The 3-transposition groups with trivial center
J.Algebra.-1995.-Vol.178, N1.-P.149-193.
112
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ A. Список публикаций исполнителей
Опубликованные статьи:
1.
Н.В.Маслова, Д.О.Ревин, Конечные группы, все максимальные подгруппы
которых холловы, Матем. труды, т. 15 (2012), N2, 1-22.
Импакт-фактор: 0.387
(см
http://www.mathnet.ru/php/ifactor.phtml?jrnid=mt&wshow=IF_details&year=2011&IFTYPE=2&option_
lang=rus&goto=05e42c0f2ea44ea595acdf8be51671ec_0 )
2.
В. Н. Желябин. Новые примеры простых йордановых супералгебр над
произвольным полем характеристики ноль. Алгебра и анализ, т. 24 (2012) No.
4, 84-96.
Импакт-Фактор :0.500
(см.
http://www.mathnet.ru/php/ifactor.phtml?jrnid=aa&wshow=IF_details&
year=2010&IFTYPE=2&option_lang=rus&goto=b860f27490450838988b27732b6ac502_0)
3.
Кайгородов И.Б., δ-дифференцирования n-арных алгебр, Известия РАН.
Серия математическая, 76, 6, 2012, 79-92.
Импакт-фактор: 0.430
(см:
http://www.mathnet.ru/php/ifactor.phtml?jrnid=im&wshow=IF_details&year=2011&IFTYPE=2&option_
lang=rus&goto=05e42c0f2ea44ea595acdf8be51671ec_0 )
4.
В. Д. Мазуров, В. Дж. Ши, Признак нераспознаваемости конечной группы
по спектру, Алгебра и Логика, 51, № 2 (2012), 239-243.
Импакт-фактор: 0.425
(см.
http://www.mathnet.ru/php/ifactor.phtml?jrnid=al&wshow=IF_details&year=2011&IFTYPE=2&opti
on_lang=rus&goto=05e42c0f2ea44ea595acdf8be51671ec_0 )
5.
М. Е. Гончаров, Structures of Malcev bialgebras on a simple non-lie Malcev
algebra, Communications in algebra, 40, 8 (2012), 3071-3094.
Импакт-фактор: 0,35
113
(см : http://www.researchgate.net/journal/0092-7872_Communications_in_Algebra )
6.
Д.В. Лыткина, В.Д. Мазуров, О группах с заданными свойствами конечных
подгрупп, Алгебра и Логика, 51 №3 (2012), 321-330.
Импакт-фактор: 0.425
(см.
http://www.mathnet.ru/php/ifactor.phtml?jrnid=al&wshow=IF_details&year=2011&IFTYPE=2&option_l
ang=rus&goto=05e42c0f2ea44ea595acdf8be51671ec_0 )
7. М.Р. Зиновьева, В. Д. Мазуров, О конечных группах с несвязным графом
простых чисел, Труды Института Математики и Механики УрО РАН, 18, 3
(2012), 99-105.
Импакт-фактор: 0,454
(см:
http://www.mathnet.ru/php/ifactor.phtml?jrnid=timm&wshow=IF_details&year=2011&IFTYPE=2&optio
n_lang=rus&goto=05e42c0f2ea44ea595acdf8be51671ec_0 )
114
Статьи, сданные в печать:
1. Васильев А.В., Старолетов А.М., Распознавание групп G2(q) групп по
множеству порядков элементов, Алгебра и логика.
2. P.S. Kolesnikov, Graded associative conformal algebras of finite type, Algebras
and Representation Theory, (принята в печать, doi: 10.1007/s10468-012-93689).
3. А.В. Заварницин. Конечные группы с пятикомпонентным графом простых
чисел, Сибирский Математический Журнал.
4. Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин, О пронормальности холловых подгрупп в
конечных группах Сибирский математический журнал.
5. N.S.Romanovskiy, Presentations for rigid solvable groups, J. Group Theory, 2012
6. В. Н. Желябин. Примеры первичных йордановых супералгебр векторного
типа и супералгебр типа Ченга-Каца, сдана в Сибирский матем. журнал.
7. М.Е. Гончаров, В.Н. Желябин. Вложение коалгебр Мальцева в коалгебры Ли
с тройственностью, Алгебра и Логика.
8. Ivan Kaygorodov, (n+1)-ary derivations of simple n-ary Malcev algebras, St.Peterburg Mathematical Journal.
9. Ivan Kaygorodov, (n+1)-ary derivations of semisimple Filippov algebras,
Mathematical Notes.
10.В.Д.Мазуров,
А.С.Мамонтов.
Инволюции
в
группах
периода
12.
Алгебра и Логика.
11.Ф. А. Дудкин, Неприводимые представления подгрупп конечного индекса
групп Баумслага-Солитера, Сибирский математический журнал.
12. Р. К. Курмазов, О пересечении сопряженных нильпотентных подгрупп в
группах подстановок, Сибирский математический журнал.
115
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Список сделанных исполнителями докладов
На международных конференциях и семинарах:

Бутурлакин А.А., Спектры простых групп E6(q) и 2E6(q). Международная
конференция "Мальцевские чтения’12”, Новосибирск, 12-16 ноября 2012.

Губарев В.Ю., Операторы Рота-Бакстера простых йордановых алгебр
симметрической невырожденной формы. Международная конференция
“Мальцевские чтения’12”. Новосибирск, 12-16 ноября 2012.

Колесников П.С. Пленарный доклад `On finite faithful representations of
conformal algebras'' на международной конференции ``Lie and Jordan
Algebras, their Representations and Applications V'', г. Белен, Бразилия, 8-14
июля 2012.

Колесников П.С. ``Embeddings of dendriform algebras and their duals''
Международная конференция XXII Brazilian Algebra Meeting, г. Сальвадор,
Бразилия, 15-20 июля 2012.

Колесников П.С. ``On representations of Loday algebras and conformal
algebras'' на международной конференции ``Groups, rings, and group rings'',
г. Убатуба, Бразилия, 23-28 июля 2012.

A.V.Zavarnitsine, Finite groups whose prime graph has five connected
components, Международная алгебраическая конференция, посвящённая
100-летию С.М.Черникова, 20 - 26 августа 2012 г., Киев.
 Д. О. Ревин, The class of E_-groups is non-radical, Международная
алгебраическая конференция, посвящённая 100-летию С.М.Черникова, 20
- 26 августа 2012 г., Киев.
 Н.С. Романовский. Представления жестких разрешимых групп через
определяющие соотношения. Международная конференция "Мальцевские
чтения’12”, Новосибирск, 12-16 ноября 2012.

А.С Захаров. Вложение алгебр Новикова-Пуассона в алгебры НовиковаПуассона векторного типа. Международная конференция "Мальцевские
116
чтения’12”, Новосибирск, 12-16 ноября 2012.

М.Е. Гончаров, В.Н, Желябин. Вложение коалгебр Мальцева в коалгебры
Ли с тройственностью, Международная конференция "Мальцевские
чтения’12”, Новосибирск, 12-16 ноября 2012.

И.Б. Кайгородов, Generalized derivations of algebras, международная
конференция "Groups, Rings and Group Rings” Убатуба, Бразилия. 23-28
Июля, 2012.

И.Б. Кайгородов, (n+1)-ary derivations on n-ary algebras, школаконференция “XXII Escola de Algebra”, Сальвадор, Бразилия, 15-20 Июля,
2012.

А.С. Мамонтов, О группах периода 12, IX Международная школаконференция по теории групп, посвященная 90-летию со дня рождения
профессора З.М. Боревича. 09-15 июля 2012.

Т.Р. Насыбуллов, On the twisted conjugacy class of the unit element,
международная
молодёжная
школа-конференция
"Алгоритмические
вопросы теории групп и смежных областей", Чемал, Россия, 30 июля - 10
августа, 2012.

В.А. Чуркин, Конструкция кристаллографической группы с двумя
решетками
с
помощью
алгебр
Ли,
Международная
"Мальцевские чтения’12”, Новосибирск, 12-16 ноября 2012.
117
конференция