Динамика мех. системы и АТТ

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
Динамической (механической) системой называют совокупность материальных
тел, между которыми имеет место силовое взаимодействие. Совокупность материальных
точек, между которыми происходит силовое взаимодействие, называют системой материальных точек. Любое материальное тело динамической системы можно мысленно разбить
на большое число элементов и заменить эти элементы материальными точками, после этого
механическая система рассматривается как совокупность материальных точек. Описать движение механической системы означает описать движение каждой материальной точки этой
системы.
Теорема об изменении импульса системы.
Закон сохранения импульса системы
Рассмотрим вначале систему, состоящую из n материальных точек, каждая из которых взаимодействует с любой другой. Кроме того, на материальные точки системы могут
действовать материальные точки, не входящие в данную систему. Поэтому все силы, дей
ствующие на материальные точки механической системы, разделяют на внешние F (e ) (ex
ternal) и внутренние F (i ) силы (internal).
Внешними называют силы, действующие на элементы системы со стороны элементов, не входящих в эту систему.
Внутренними называют силы взаимодействие элементов системы между собой.
Запишем для каждой материальной точки механической системы основной закон динамики.
 e   i 

mk ak  Fk  Fk , k =1, 2, 3…, n.
 i 
где Fk
– равнодействующая внутренних сил, действующих на k-ую материальную точку;
 e 
Fk – равнодействующая всех внешних сил, действующих на k-ую материальную точку.
Просуммируем полученные уравнения:
n
n
  e  n  i 

m
a

F
 k k  k   Fk .
k 1
k 1
k 1
Ясно, что на основании III аксиомы динамики материальной точки:
n
 i  
 Fk  Ri   0 ,
k 1

где R i  – главный вектор внутренних сил.
n
Величину

k 1
 e  
Fk  R e  называют главным вектором внешних сил.
Так как массы материальных точек есть величины постоянные, то


d k
d n
m

mk k . Сумму импульсов всех материальных точек системы называ

k
dt
dt k 1
k 1
ют импульсом механической системы материальных точек:
 n

P   mk k
n
k 1
Используя полученные уравнения запишем:

dP  (e)
R .
dt
Данная формула выражает математическую запись теоремы об изменении импульса
механической системы материальной точки: первая производная по времени от им-
1
пульса механической системы материальных точек равна главному вектору внешних
сил.
В случае материального тела мы мысленно разбиваем его на элементы, которые заменяем материальными точками при стремлении объемой элементов к нулю (или стремлении
числа элементов к бесконечности):
 n

P   mk k
k 1
n


Устремим n   , P  lim  mk k  lim
n 
k 1
Vk 0

n
 V  
k 1
k
k
k
,
где  k – плотность k-го элемента. Используя определение
интеграла, запишем выражение для импульса материального тела:


P    dV .
V
Поступая аналогично предыдущему, получим выражение для главного вектора внешних сил, действующих на материальное тело:
n 
n 
 (e)
(e)
(e)
R  lim  F k  lim  f k Vk .
n 
Или:
Vk 0
k 1
k 1


R ( e )   f ( e ) dV ;
V
Теорема об изменении импульса материального тела:

dP  (e)
R
dt
Если рассматривать систему, состоящую из N материальных тел, то теорема об изменении импульса для такой системы имеет такое же выражение, но под импульсом системы и
главным вектором внешних сил понимают:
 N

P     j j dV j ,
j 1 V j
N


R ( e)    f j( e) dV j
j 1 V j
В декартовой системы координат:
dPx
e 
 Rx
dt
dPy
e 
 Ry
dt
dPz
e 
 Rz
dt
Если главный вектор внешних сил равен нулю, то механическая система называется
замкнутой. Из теоремы об изменении импульса системы следует, что если механическая


система является замкнутой ( R e   0 ), то ее импульс сохраняется ( p  const ). В этом
заключается закон сохранения импульса механической системы.
В случае когда главный вектор внешних сил не равен нулю, но его проекция на какую-либо ось координат равна нулю, то сохраняется соответствующая проекция импульса
механической системы.
Теорема о движении центра масс
2
Центром масс или центром инерции системы, состоящей из n материальных точек

называется геометрическая точка, положение которой определяется радиус-вектором rc :

 mk rk
n

rc 

n
m r

k 1
n
 mk
k k
k 1
m
,
k 1
где m – масса всей системы.
Координаты центра масс
n
xc 
m x
k
k 1
k
;
m
n
yc 
m
k 1
k
yk
;
m
n
yc 
m z
k 1
k
k
.
m
Из определения радиус-вектора центра масс получим:
n


mrc   mk rk .
k 1
Продифференцировав по времени полученное выражение, находим выражение для
импульса системы материальных точек:
n
n
 




m c   mk k   pk  P , P  mc ,
k 1

drc

где,  c 
– о скорость центра масс.
dt
k 1
Подставим полученное выражение для импульса системы в теорему об изменении
импульса механической системы:
 (e)


d 
m c  R e  , mac  R .
dt

2
 d
d r
где, ac  c  2c – ускорение центра масс.
dt
dt
Записанная формула выражает теорему о движении центра масс механической системы материальных точек: главный вектор внешних сил равнее произведению массы
системы материальных точек на ускорение ее центра масс.
Импульс материального тела:


P     dV
Умножим данное уравнение на массу тела:

  dV


Pm
,
m

  dV


величина  c 
есть скорость центра масс.
m
3

   r dV
rc 
- радиус вектор центра масс материального тела.
m

drc

c 
;
dt
Импульс материального тела равен произведению массы материального тела на скорость его центра масс:


P  mc .
Отсюда:



d c
d c

dP
m
, но ac 
– ускорение центра масс. Следовательно:
dt
dt
dt


dP
 mac
dt
Используя теорему об изменении импульса материального тела:



dP  e 
 R , где R ( e )   f ( e ) dV .
dt
V
 (e)

mac  R
– о теорема о движении центра масс: произведение массы материального тела на ускорение его центра масс равно сумме всех внешних сил, действующих на материальное тело.
Если мы имеем систему N материальных тел, то теорема о движении центра масс
также справедлива:


 e 
d c 
drc

mac  R , где ac 
; c 
.
dt
dt
Однако радиус-вектор центра масс и главный вектор внешних сил определяется по
формулам:
N
N



r
dV
 j r j dV j


j j
j


 (e) N  (e)
j 1 V
j 1 V j

rc  N j

R
   f j dV j
,
m
j 1 V j
   j dV j
j 1 V j
Теорема об изменении момента импульса механической системы и закон
сохранения момента импульса механической системы.
Рассмотрим вначале систему, состоящую из n материальных точек. Запишем основной закон динамики для каждой точки:
 e   i 

mk ak  Fk  Fk , k=1,2…, n.
Умножим каждое уравнение векторно слева на радиус-вектор каждой материальной
точки и после этого сложим полученные уравнения
n
n
n


  e 
  i 


r
,
m
a

r
,
F

r
/



k
k k
k
k
k , Fk
k 1
k 1
k 1

 
Величина [rk , Fke  ]  M ke  – момент k-ой внешней силы относительно начала системы
координат.
Рассмотрим из общего числа какие-либо две материальные точки 1 и 2, для которых:
 
 
  
[r1 , F12 ]  [r2 , F12 ]  [r1  r2 , F12 ]

 

4
 
Вектор r1  r2 направлен из второй

точки в первую и образует угол 1800 с F12 ,
поэтому векторное произведение равно нулю. Поскольку точки 1 и 2 выбраны произвольно, то на основании этого запишем:
n
 
 rk , Fki   0 .
k 1


 e 
 e 
M

M
Величину  k
n
k 1
называ-
ют главный момент системы внешних
сил.
Рассмотрим левую часть соотношения:

n
  n  drk


 d
rk , mk ak    rk , mkk     , mkk   d rk , mkk .

dt
 
k 1
k 1 
k 1  dt

 dt
n
0



 
Величину rk , mkk   [rk pk ]  Lk называют моментом количества движения материальной точки или моментом импульса материальной точки, или кинетическим
моментом материальной точки.
В итоге получаем:
n

d n 
L

M e  k


k
dt k 1
k 1
n 

Величина  Lk L - момент импульса или кинетический момент системы матеk 1
риальных точек.

dL  (e )
M
– теорема об изменении момента импульса (кинетического момента)
dt
системы материальных точек: производная по времени от момента импульса (кинетического) момента системы материальных точек равна главному моменту системы
внешних сил, дествующих на систему материальных точек


Если M e  =0, то L =const – закон сохранения момента импульса (кинетического
момента) системы материальных точек.
Рассмотрим теперь материальное тело:





 
 
 
Lk  rk , mk k    k rk , k Vk , M k  [rk , Fk ]  [rk , f e k ]Vk , где f e k – объёмная
плотность внешних сил.
Кинетический момент материального тела:
 n
 
L    k [rk  k ]Vk
k 1


n

 
M e    rk , f e k Vk
k 1
Устремим количество элементов и бесконечности:
n
n

 
 
 
L  lim   k rk ,k Vk  lim   k rk ,k Vk    r , dV ;
n 
k 1
Vk  
k 1
V
5

M e   lim
n 
  

r
 , f V
n
e
k 1
k
k
k
 lim
V  
  
  



r
,
f

V

r

 , f dV ;
n
e
k 1
k
k
e
k
V

 e  dL
M 
– теорема об изменении момента импульса (кинетического момента)
dt
материального тела.


Если M e   0 , то L  const – закон сохранения момента импульса (кинетического момента) материального тела.
Если имеется система, состоящая из N материальных тел:
 N
L
j 1

Vj


 e  N   e 
 
 j rj , j dV , M    rj , f j dV .


k 1 V j

 e  dL
M 
– теорема об изменении момента импульса (кинетического момента)
dt
системы материальных тел.


Если M e   0 , то L  const – закон сохранения момента импульса (кинетического момента) системы материальных тел.
Теорема об изменении кинетической энергии системы.
Закон сохранения полной механической энергии системы.
Запишем основной закон динамики для каждой точки:
 e   i 

mk ak  Fk  Fk , k = 1, 2, 3 ,…, n

d k



Умножим скалярно это уравнение на drk   k dt (учтено a k 
):
dt
 e    i  
 
mkk dk  Fk drk  Fk drk ,
m
d k k  Ake   Aki  .
2
– элементарная работа внешних сил по перемещению k-ой материальной
2
e 
Здесь Ak
i 
точки, Ak – элементарная работа внутренних сил по перемещению k-ой материальной точки.
Проинтегрируем записанное уравнение по времени:
2
2
mk k
mk k 0

 Ake   Aki  .
2
2
Просуммируем полученные уравнения:
2
2
n
n
n
n
mk k
mk k 0
e 


A

Aki 




k
2
2
k 1
k 1
k 1
k 1
n
Здесь

k 1
mk  k
 E k – кинетическая энергия системы материальных точек:
2
2
n
n
k 1
k 1
Ek  Ek 0   Ake    Aki  – теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек: изменение кинетической энергии системы материальных
точек равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на элементы
системы.
Эта теорема справедлива для материального тела и для системы материальных тел.
6
Под кинетической энергией материального тела понимаем:
1
Ek    2 dV .
2V
Под кинетической энергией системы материальных тел понимаем:
N
1
 j j 2 dV

j 1 2 V j
Ek  
В случае, когда все внутренние силы системы являются консервативными:
n
 A 
i
k 1
i 
k
i 
 ( E p  E p 0 )
Тогда:
N
( Ek  E p )  ( Ek 0  E p 0 )   Ak( e ) .
i 
i 
k 1
Если также и внешние силы консервативны:
n
 A    ( E
e
k 1
k
(e)
p
e 
 E p 0 ) , то:
i 
Ek  E pi   E pe   Ek 0  E p 0  E pe0
(i )
(e)
Величина Ek  E p  E p – полная механическая энергия системы.
Ek  E p(i )  E p(e)  const - закон сохранения полной механической энергии системы: если все внутренние и внешние силы, действующие на элементы системы консервативны, то ее полная механическая энергия сохраняется.
Если только часть сил, действующих на элементы системы консервативны, то полная
механическая энергия не сохраняется. Она может убывать или возрастать.
ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА.
Описать движение твердого тела, это значить найти кинетические уравнения движения каждой точки этого тела. В общем случае это достаточно сложная задача, но поскольку
абсолютно твердое тело является частным случаем произвольной механической системы для
описания его движения можно применять теоремы о движении центра масс и о моменте импульса.
Произвольное движение твердого тела можно рассматривать как положение двух
движений: поступательного движения со скоростью центра масс и вращательного движения
вокруг центра масс. Теорема об изменении момента импульса относительно центра масс механической системы имеет такой, то есть вид, как и относительно неподвижной точки 0.
Поэтому произвольное движение твердого тела можно описать с помощью двух теорем –
теоремы об изменении момента импульса относительного центра масс и теоремы о движении центра масс.

  e    e  d Lc
mac  R , M c 
dt

 e 
где Lc – момент импульса твердого тела относительно центра масс; M c - главный

момент внешних сил относительно центра масс; m - масса твердого тела; R e  - главный вектор внешних сил.
Рассмотрим простейшие случаи движения – поступательное и вращательное движение вокруг неподвижной оси.
Динамика поступательного движения твердого тела.
7
При поступательном движении, как было показано в кинематике, все точки твёрдого
тела движутся одинаково, поэтому достаточно узнать, как будет двигаться центр масс тела:


d 2 rc
m 2  R e 
dt
Однако не следует думать, что теорема о
кинетическом моменте не играет в этом случае
никакой роли:


M e  =0 (т.к. Lс =0)
Из этого уравнения можно найти точки
приложения сил, которые заранее не известны:
Динамика вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.
В начале найдём выражение для кинетической
энергии материальной точки, вращающейся с угло
вой скоростью  вокруг неподвижной оси OZ.
2
m
 E k , где m- масса материальной точки.
2
Но   R ,
m 2 R 2
следовательно:
 Ek
2
Величину I  mR 2 называют моментом инерции материальной точки относительно данной оси.
Если выбрана ось OZ:
I z  m( x 2  y 2 )
Таким образом:
1
1
Ek  I 2 или Ek  I z z2
2
2
Рассмотрим теперь твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Совместим ось
OZ с неподвижностью, все точки твёрдого тела имеют одинаковую угловую скорость,
разобьём мысленно твёрдое тело на N элементов выберем, i-ый малый объем ∆Vi твёрдого
тела, его кинетическая энергия:
1
1
Eki  mi 2 Ri2   i 2 Vi Ri2
2
2
Кинетическая энергия твердого тела:
n
1
Ek  lim   i 2 Vi Ri ;
Vi 0
k 1 2
1
Ek   2   ( x 2  y 2 )dV ;
V
2
Или
1
Ek   2  R 2 dV
V
2
Следует отметить, что  и R есть функции
координат.
I z    ( x 2  y 2 )dV - момент инерции твёрдого тела относительно оси OZ.
V
8
Ek 
1 2
1
I или Ek  I z z2
2
2
Кинетическая энергия твёрдого тела при сложном движении
Будем рассматривать сложное движение твердого тела как совокупность двух движений: поступательного со скоростью центра масс тела и вращения вокруг центра масс. Для
этого введём подвижную систему координат X’Y’Z’. Сначала в точке C- центре масс твёрдого тела, которая движется по отношению к неподвижной системе координат XYZ с началом в точке O.
Рассмотрим i-ый малый объем ∆Vi
твёрдого тела:
  
ri  rc  ri ' ;
  
i  c  i ' ;
Найдём кинетическую энергию этого
элемента в системе координат XYZ
 
2
2
2
mii
mii
mi 'i c mi 'i
Eki 



2
2
2
2
Для нахождения кинетической энергии
твёрдого тела необходимо сложить кинетические энергии бесконечно малых объёмов:

 1
1
Ek  c2  i Vi  c  i Vi 'i  i '2  i Vi
2
2


1
1
Ek   c2  dV  c   ' dV    '2 dV
2 V
2V
V




'
m
  dV
m
 dV
'
 dV
- скорость центра масс тела в системе, связанной с центром масс =0
m
 dV
 '2   2 R 2
1
1
Ek  m 2 c   2  R 2 dV
2
2 V



I
m
I

2
2
Кинетическая энергия твёрдого тела при произвольном движении равна сумме
кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращения вокруг мгновенной оси, проходящей вокруг центра масс.
Ek 
2
c
2
Моменты инерции твёрдых тел.
Следует иметь ввиду, что момент инерции твёрдого тела есть характеристика самого
тела вне зависимости от его вращения.
I   R 2 dV
V
Величины  и R есть функции координат; интегрирование осуществляется по всему
объёму. В общем случае неоднородного (  ≠ const) тела произвольной формы вычисление
9
момента инерции является очень сложной задачей. В качестве примеров рассмотрим нахождение моментов инерции некоторых однородных (  = const) тел правильной формы.
1) момент инерции тонкостенного цилиндра массы M и радиусом R относительно его
оси симметрии:
I   R 2 dV
V
I  R 2  dV  R 2V , с учетом
V
V  m
Получаем
I  mR2
2) момент инерции сплошного однородного цилиндра радиусом R и высотой H относительно его оси
симметрии. Разобьем цилиндр на бесконечно тонкие
слои:
I    r 2 dV
V
dV  2rhdr
R
R
I    2hr dr 2h  r 3dr 2h
3
0
0
R4
;
4
hR  V  m ;
2
I
1
mR2
2
3) момент инерции тонкого однородного стержня длиной l относительно оси проходящей через его конец:
I    r 2 dV
V
dV  Sdr
l
l
0
0
I   Sr 2 dr  S  r 2 dr  S
l3
; Sl  m ;
3
ml 2
3
4) приведём выражение для момента инерции однородного шара относительно оси,
проходящей через его середину.
2
I  mR2
5
I
Теорема Штейнера
В случае, когда момент инерции необходимо найти от-
10
носительно произвольной оси задача существенно упрощается, если для её решения воспользоваться теоремой Штейнера.
Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента
инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела
и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями.
I  I c  md 2
Пример: в соответствии с теоремой Штейнера найдем I c тонкого однородного стержня,
если известен I относительно конца стержня.
2
ml 2
l
 Ic  m
3
4
2
ml 2
l
 Ic  m
3
4
Ic 
ml 2
12
Работа внутренних сил АТТ.
Найдём элементы работы внутренних сил
 (i )
F12
и


 (i )
F21 :





A12 (i )  A21(i )  F12 (i ) dr1  F21(i ) dr2  F12 (i ) d (r1  r2 ) Д
 
ля АТТ r1  r2  const
 
  2
(r1  r2 ) 2  r1  r2  const
 
 
 
d (r1  r2 ) 2  2(r1  r2 )d (r1  r2 )  0
Следовательно:
 
 
r1  r2  d (r1  r2 )


 
 
Но F (i )12 сонаправлен с r1  r2 . Таким образом F (i )12  d (r1  r2 ) .
 (i )  
Следовательно: F12 d (r1  r2 )  0 .
Поэтому A12
(i )
 A21
(i )
 0 - работа внутренних сил АТТ равна нулю.
Закон сохранения полной механической энергии для абсолютно твердого тела:
полная механическая энергия абсолютно
твердого тела сохраняется, если все внешние
силы являются консервативными.
Работа внешних сил при вращении твёрдого тела.
11
Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Z. К некоторой точ
ке этого тела приложена сила F . Эта точка за малый промежуток времени опишет дугу
окружности радиуса R:
ds = Rd 



dr  ds  Rd  ;
 
A  Fdr  F Rd  ;
F - проекция силы на направление касательной к траектории. Можно показать, что
F R  M Z . Откуда A  M z d ; d – обобщённая координата; M z - обобщённая сила.
2
A12   M z dy ; Если M  const , то: A12  M z (2  1 ) .
z
1
Основное уравнение динамики вращательного движения
Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси, совпадающей с осью Z. На



тело действует активная сила F , которая известна и силы реакции N и N ' . Нас интересует,
как в этом случае изменяется со временем угол  ?
Запишем теорему о движении центра масс и теорему об изменении кинетического момента АТТ:
  

mac  F  N ' N ;



dl
 M  [oo', N ] .
dt

Момент силы N ' равен нулю.


M  [ r F ] - момент активной силы.
Система координат XYZ – неподвижна. Во втором уравнении:




L   [r v ]dV ;   [v ] ;
 
i jk



  00 z   z yi   z xj ;
xyz
т.е.  x  z y ; v y   z x ;  z  0 ;
12
 
i jk








[r v ]  xyz
  z xzi   z yzj   z x 2 k   z y 2 k   z xzi   z yzj   z ( x 2  y 2 )k
  z y z x0

Учитывая это запишем выражение для проекции вектора L :
Lx   z  xzdv   z I xz
Ly   z  yzdv   z I yz
Lz   z   ( x 2  y 2 )dv   z I z
В формулах величины I xz   xzdv и I yz   yzdv называют центробежными моV
V
2
2
ментами инерции вращающегося твердого тела; I z    ( x  y )dv - главный момент инерV
ции твёрдого тела относительно оси Z.
Запишем начальные уравнения в проекциях:

 d

(

I
)

M

[
00
1 , N ]x
z
xz
x
 dt


 d

(

I
)

M

[
00
,
N
]y
1

z yz
y
dt


d
(

I
)

M

[
00
,
N
]z
1
z
z
z
 dt

Т.к. твёрдое тело не может вращаться относительно оси X и Y, первые два уравнения
системы выражают условия равновесия твёрдого тела относительно этих осей и могут слу
жить для нахождения неизвестных сил реакции N .


Моменты неизвестных сил реакции N и N ' относительно оси Z равны. Третье уравнение системы можно записать так:
d z
d 2
Iz 2  M z ; Iz
 M z ; I z  z  M z – основное уравнение динамики вращаdt
dt
тельного движения.
Решением этого дифференциального уравнения второго порядка относительно координаты  твёрдого тела является кинематический закон движения твёрдого тела.
Следовательно, это уравнение в динамике вращательного движения твёрдого тела
имеет такое же значение, как и второй закон Ньютона в динамике материальной точки или
теорема о движении центра масс в режиме поступательного движения.
13