Министерство образования Иркутской области ГБПОУ ИО «АПТ» Рассмотрено на заседании

Министерство образования Иркутской области
ГБПОУ ИО «АПТ»
Рассмотрено на заседании
предметной (цикловой) комиссии
Протокол №__ от «__» ____20___г.
Председатель ПЦК
___________ /__________ /
Методическая разработка
по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы (СРС)
по дисциплине МАТЕМАТИКА
специальности 15.02.01 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного
оборудования (по отраслям)
Разработчик: Бородина Л.Г., преподаватель высшей квалификационной категории
Ангарск 2014г.
Содержание
1. Тематический план организации СРС
2. Методические рекомендации (указания) к выполнению каждой СРС
3. Материалы для организации самостоятельной работы обучающихся
Тематический план организации самостоятельной работы
№
п/п
Тема
Количе
ство
часов
2
Цель самостоятельной
работы, включая ОК и
ПК
научиться выполнять
действия с обыкновенными
и десятичными дробями.
Решать пропорции
Самостоятельная работа №2
«Действия
над
комплексными
числами
в
тригонометрической
форме»
2
Самостоятельная работа №3
«Абсолютная
и
относительная
погрешности»
2
научиться выполнять
действия над
комплексными числами в
тригонометрической
форме.
научиться выполнять
действия с приближенными
величинами.
Самостоятельная работа №4
«Решение линейных уравнений»
2
Развить навыки решения
линейных уравнений
Самостоятельная работа №5
«Линейные неравенства и системы
линейных неравенств
с одной переменной»
5
Развить навыки решения
линейных уравнений и
неравенств
Самостоятельная работа №6
«Нелинейные системы уравнений с
двумя переменными»
4
Развить навыки решения
нелинейных систем
уравнений
Самостоятельная работа №7
6
Научиться решать системы
Самостоятельная работа №1
«Действия с обыкновенными и
десятичными дробями. Пропорции и
пропорциональное деление»
Задания для
Дидактическое обеспечение
самостоятельной
и рекомендуемая литература
работы
(включая Интернет-ресурсы)
Решение
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
примеров
математике»- М: Дрофа 2012
2. В.Т.
Лисичкин,
И.Л.
Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
Решение
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
примеров
математике»- М: Дрофа 2012
2. В.Т.
Лисичкин,
И.Л.
Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
Решение задач
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
математике»- М: Дрофа 2012
2. В.Т.
Лисичкин,
И.Л.
Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
Решение
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
уравнений
математике»- М: Дрофа 2012
2. В.Т.
Лисичкин,
И.Л.
Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
Решение
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
уравнений
математике»- М: Дрофа 2012
2. В.Т.
Лисичкин,
И.Л.
Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
Решение систем
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
уравнений
математике»- М: Дрофа 2012
2. В.Т.
Лисичкин,
И.Л.
Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
Решение систем
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
«Не стандартные методы решения
уравнений и неравенств»
уравнений методом Гаусса
и Крамера
Самостоятельная работа № 8
«Функции и их свойства»
10
Углубить знания по теме
«Функции и их свойства»
Самостоятельная работа №9
«Показательные и логарифмические
уравнения и неравенства»
7
Научиться решать
различными способами
показательные и
логарифмические
уравнений и неравенства
Самостоятельная работа №10
«Векторы»
5
Разложение вектора на
составляющие
Самостоятельная работа №11
«Тригонометрические уравнения»
16
Самостоятельная работа №12
«Теория пределов»
5
Самостоятельная работа №13
«Геометрические
и
физические
приложения производной»
10
Самостоятельная работа №14
«Применение
производной
решению прикладных задач»
8
Знать методы решения
тригонометрических
уравнений и неравенств,
применять их при решении
упражнений
Знать понятие предела
функции в точке, уметь
вычислять пределы и
раскрывать
неопределённости
0
∞
[0] и [∞].
Иметь понятие о
геометрическом и
физическом смысле
производной. Уметь решать
прикладные задачи.
Знать условия возрастания,
убывания функции, точек
максимума и минимума
к
уравнений
математике»- М: Дрофа 2012
2. В.Т.
Лисичкин,
И.Л.
Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
Ответить на
В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик
вопросы.
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г
Решение
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
показательных и
математике»- М: Дрофа 2012
логарифмических
2. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик
уравнений и
«Математика в задачах с решениями» неравенств
«ЛАНЬ» 2011г.
Решение задач
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
математике»- М: Дрофа 2012
2. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
Решение
1.
Н.В. Богомолов «Сборник задач по
уравнений и
математике»- М: Дрофа 2012
неравенств
2. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
Вычисление
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
пределов
математике»- М: Дрофа 2012
2. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
Решение задач
Решение задач
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
математике»- М: Дрофа 2012
2. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
математике»- М: Дрофа 2012
2. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик
Самостоятельная работа №15
«Интегрирование различными
способами»
14
Самостоятельная работа №16
«Приложение
определенного
интеграла»
10
Самостоятельная работа №17
«Решение задач стереометрии»
10
Самостоятельная работа №18
«Параллельное сечение
многогранников»
10
Самостоятельная работа №19 «Тела
вращения»
15
Самостоятельная работа №20
«Вероятности случайных событий»
4
функции. Знать схему
исследования функции и
применять её при
построении графика.
закрепить знания, умения и
навыки интегрирования
функций
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
Решение задач
закрепить знания, умения и
навыки нахождения
площади криволинейной
трапеции с помощью
интеграла
Закрепить знания основных
аксиом стереометрии
Решение задач
Знать формулы вычисления
площади боковой и полной
поверхности призмы,
пирамиды,
параллелепипеда и уметь
применять их к решению
задач.
Закрепить понятие тел
вращения, при
изготовлении моделей,
используя развертки.
Решение задач
Научиться решать задачи
по теории вероятности
Решение задач
Решение задач
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
математике»- М: Дрофа 2012
2. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
математике»- М: Дрофа 2012
2.
В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
математике»- М: Дрофа 2012
2.
В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
математике»- М: Дрофа 2012
2.
В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
Изготовление
макетов
1. Н.В. Богомолов «Сборник задач по
математике»- М: Дрофа 2012
2.
В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик
«Математика в задачах с решениями» «ЛАНЬ» 2011г.
Методические рекомендации (указания) к выполнению самостоятельной
работы
Целью самостоятельной работы студента является:
 обеспечение профессиональной подготовки выпускника в соответствии с ФГОС СПО;
 формирование и развитие общих компетенций, определённых в ФГОС СПО;
 формирование и развитие профессиональных компетенций, соответствующих основным видам
профессиональной деятельности.
Задачами, реализуемые в ходе проведения внеаудиторной самостоятельной работы студента, в
образовательной среде колледжа являются:
 систематизация, закрепление, углубление и расширение полученных теоретических знаний и
практических умений студентов;
 развитие познавательных способностей и активности студентов: творческой инициативы,
самостоятельности, ответственности и организованности;
 формирование самостоятельности мышления: способности к саморазвитию,
самосовершенствованию и самореализации;
 овладение практическими навыками применения информационно-коммуникационных
технологий в профессиональной деятельности;
 развитие исследовательских умений.
Объем времени, отведенный на внеаудиторную самостоятельную работу, находит свое
отражение:
 в рабочем учебном плане – в целом по циклам основной профессиональной образовательной
программы, отдельно по каждому из учебных циклов, по каждой дисциплине,
междисциплинарному курсу и профессиональному модулю;
 в рабочих программах учебных дисциплин и профессиональных модулей с ориентировочным
распределением по разделам и темам.
Контроль результатов самостоятельной работы студента может осуществляться в пределах
времени, отведенного на обязательные учебные занятия и самостоятельную работу по дисциплине
математика и может проходить в письменной, устной или смешанной форме с предоставлением
изделия или продукта творческой деятельности.
Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы учащегося являются:
 уровень освоения учебного материала;
 умение использовать теоретические знания и умения при выполнении практических задач;
 уровень сформированности общих и профессиональных компетенций.
Выполнение ВСР способствует формированию общих компетенций:
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней
устойчивый интерес. ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов
ее достижения, определенных руководителем. ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию,
осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности,
нести ответственность за результаты своей работы. ОК 4. Осуществлять поиск информации,
необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач. ОК 5. Использовать
информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.
Указания к выполнению ВСР
1. ВСР нужно выполнять в отдельной тетради в клетку, чернилами черного или синего цвета.
2. Необходимо оставлять поля шириной 5 клеточек для замечаний преподавателя. Решения задач
следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и
делая необходимые чертежи.
3. Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».
4. После получения проверенной преподавателем работы студент должен в этой же тетради
исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее
проверки запрещается.
Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения ВСР
производится в соответствии с универсальной шкалой (таблица).
Качественная оценка индивидуальных
Процент результативности
образовательных достижений
(правильных ответов)
балл (отметка) вербальный аналог
90 ÷ 100
5
отлично
80 ÷ 89
4
хорошо
70 ÷ 79
3
удовлетворительно
менее 70
2
неудовлетворительно
Материалы для организации самостоятельной работы обучающихся
СРС №1
1. Тема самостоятельной работы «Действия с обыкновенными и десятичными дробями.
Пропорции и пропорциональное деление»
2. Количество часов : 2ч.
3.Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
Выполните указанные действия:
1
 7 14 2 

   10
3
 15 45 9 
2. 1,35 : 2,7  2,7 : 1,35
1. 
3. 2,7 : 1
7 2 1
 :2
20 5 2
4. Решите пропорцию
1
1
1 x : 0,75  2 : 0,25
2
2
5. Разделите 798 пропорционально числам
2 3 4
, и
3 4 5
Вариант 2
Выполните указанные действия:
3 1
 2
 1  1
4  11
 3
2. (0,4 : 2,5)  (4,2  1,075)
1.  2
3. 1
7
7
: 2,7  2 : 1,35
20
10
4. Решите пропорцию
1 3
1 x :  2,5 : 0,125
2 4
5. Разделите 765 пропорционально числам
4.Цель самостоятельной работы:
1 1
, и 0,3
5 4
Научиться выполнять действия с обыкновенными и десятичными дробями. Решать
пропорции
5.Рекомендации преподавателя
Для выполнения задания используйте правила действия с обыкновенными дробями, с числами
содержащими целую и дробную части. При выполнении действия с обыкновенными и
десятичными дробями приведите их к одному виду. Используйте основное свойство пропорции:
Произведение крайних членов равно произведению средних.
СРС № 2
1. Тема самостоятельной работы «Действия над комплексными числами в тригонометрической
форме»
2. Количество часов:2ч.
3.Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Представьте в тригонометрической форме числа:
1) 2;
2) 6i;
3)  2  2i 3.
2. Представьте в алгебраической форме числа:



1) z  4 cos  i sin ;
2) z  2 cos   i sin  .
6
6
3
3


Выполните действия в тригонометрической форме:

  


3. 1) 3 cos  i sin   2 cos  i sin .
6
6 
4
4




2) 4cos 72  i sin 72  : 2cos12  i sin 12 .



4. 1)  cos  i sin  ;
6
6

6
5.
1) 1  i 3 ;
1 i 3
2) zk  i  cos
2)

2
 i sin

2
.
1  i 3 .
i 8  i11
4.Цель самостоятельной работы:
Научиться выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
5.Рекомендации преподавателя:
Геометрическое представление комплексных чисел.
Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:
Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого
комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого
прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда
комплексное число a+bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта
система координат называется комплексной плоскостью.
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число
на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного
числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль. Аргумент комплексного числа - это
угол
между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число.
Отсюда, tan = b / a .
Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного
числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент :
Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.
Это знаменитая формула
Муавра.
СРС № 3
1. Тема самостоятельной работы: «Абсолютная и относительная погрешности»
2. Количество часов:2ч.
3.Задания для самостоятельной работы:
I вариант.
1. Вычислите сумму а=√3+√7, взяв приближенные значения корней с точностью до 0,001.
Найдите εа.
2. Вычислите площадь параллелограмма, если а=68,7 и h=52,6. Укажите верные цифры
ответа.
3. Найдите границу абсолютной погрешности произведения двух приближенных значений
чисел а=7,36±0,004 и b=8,61±0,005.
4. Вычислите относительную погрешность √38,9.
5. С какой точностью надо измерить радиус круга, чтобы относительная погрешность
площади круга не превышала 0,5%? Грубое приближенное значение R=8м.
1. II вариант.
6. Вычислите разность а=√11-√7 с четырьмя значащими цифрами. Найдите εа.
7. Вычислите площадь прямоугольника, если а=78,6 и h=48,7. Укажите верные цифры ответа.
8. Вычислите Х=(а+b)с, если а=82,6, b=93,8 с=61,9. Укажите границу абсолютной
погрешности.
9. Вычислите относительную погрешность ³√68,4.
10. С какой точностью надо измерить сторону квадрата, чтобы относительная погрешность
площади квадрата не превышала 1%? Приближенное значение стороны квадрата а=9 м.
4.Цель самостоятельной работы:
Научиться выполнять действия с приближенными величинами.
5.Рекомендации преподавателя:
Приближенные вычисления.
Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую
можно получить. Недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не
допускают или не требуют этого (например, семизначная таблица логарифмов при вычислениях с
числами, имеющими 5 верных значащих цифр - избыточна). Твёрдое знакомство с правилами
приближенных вычислений необходимо каждому, кому приходится вычислять.
Погрешности.
Разница
между
точным
числом x и
его
приближенным
значением a называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | x - a |
< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной
величины a. Отношение a / a = a называется предельной относительной погрешностью;
последнюю часто выражают в процентах.
Пример:
3,14 является приближенным значением числа
погрешность его равна 0,00159...,
предельную абсолютную погрешность можно считать равной 0,0016, а предельную
относительную погрешность v равной 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%. Для краткости обычно
слово ? предельная опускается.
Значащие цифры.
Если абсолютная погрешность величины a не превышает одной единицы разряда
последней цифры числа a, то говорят, что у числа все знаки верные. Приближенные числа следует
записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52400
равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 .102 или 0,524 .105. Оценить
погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит.
При подсчете значащих цифр не считаются нули с левой стороны числа.
Примеры:
1 куб.фут = 0.0283 м3 - три верных значащих цифры
1 дюйм = 2,5400 v пять верных значащих цифр.
Если
погрешность
число a имеет n верных
значащих
цифр,
то
его
относительная
n
1/(z*d
-1),
где
z
первая
значащая
цифра
числa
a;
d
основание
системы
a
счисления. У числа a с относительной погрешностью a верны n значащих
наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству (1+Z) a dl-n.
цифр,
где n -
Пример:
Если число a = 47,542 получено в результате действий над приближенными числами и известно,
что a = 0,1%, то a имеет 3 верных знака, так как (4+1)0,001 10v2.
Округление.
Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует
округлить. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются,
причем если первая отбрасываемая цифра больше или равна d/2, то последняя сохраняемая цифра
увеличивается на единицу. При округлении возникает дополнительная погрешность, не
превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры округленного числа.
Поэтому, чтобы после округления все знаки были верны, погрешность до округления должна быть
не больше половины единицы того разряда, до которого предполагают делать округление.
Действия над приближенными числами.
Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое
число. Погрешность результата может быть выражена через погрешности первоначальных данных
при помощи следующих теорем:
1. Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы равна сумме предельных
абсолютных погрешностей слагаемых.
2. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшей и наименьшей из
относительных погрешностей слагаемых.
3. Относительная погрешность произведения или частного равна сумме относительных
погрешностей сомножителей или, соответственно, делимого и делителя.
4. Относительная погрешность n-ой степени приближенного числа в n раз больше относительной
погрешности основания (как у целых, так и для дробных n).
Пользуясь этими теоремами, можно определить погрешность результата любой комбинации
арифметических действий над приближенными числами.
Примеры:
V = r2 h
Dv = Vd v = V(2d r+d n)
Предельная абсолютная погрешность заведомо превосходит абсолютную величину истинной
погрешности, поскольку предельное значение вычисляется в предположения, что различные
погрешности усиливают друг друга; практически это бывает редко. При массовых вычислениях,
когда не учитывают погрешность каждого отдельного результата, пользуются следующими
правилами подсчета цифр. При соблюдении этих правил можно считать, что в среднем
полученные результаты будут иметь все знаки верными, хотя в отдельных случаях возможна
ошибка в несколько единиц последнего знака.
1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько
десятичных знаков, сколько их в приближенном, данном с наименьшим числом десятичных
знаков.
2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их
имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр.
3. При возведении в квадрат или куб в результате следует сохранять столько значащих цифр,
сколько их имеет возводимое в степень приближённое число ( последняя цифра квадрата и
особенно куба при этом менее надежна, чем последняя цифра основания ).
4. При увеличении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько
значащих цифр, сколько их имеет приближённое значение подкоренного числа (последняя
цифра квадратного и особенно кубического корня при этом более надёжна, чем последняя
цифра подкоренного числа).
5. Во всех промежуточных результатах следует сохранять одной цифрой более, чем рекомендуют
предыдущие правила. В окончательном результате эта запасная цифра отбрасывается.
6. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или
больше значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня),
чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя, лишь одну лишнюю цифру.
Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата
с K цифрами данные следует брать с таким числом цифр, какое даёт согласно правилам 1-4(К+1)
цифру в результате.
СРС № 4
1. Тема самостоятельной работы: «Решение линейных уравнений, приведение к линейному
уравнению»
2. Количество часов:2ч.
3.Задания для самостоятельной работы:
x  5 x 1 x  3 x  4
x 1 2x  5 x  8



1.
2. 1  3x  5  3  x
3. x 


7
2
8
4
3
3
5
6
6
4
9x  7
x2
3x  5 2 x  5
x
 36
4.
5. 2 x  1  2 x  1  8 2
6.

1
2
7
x 1
x2
2x  1 2x 1 1  4x
x  17 3 x  7
12
1  3x 1  3x
7.
8. 2 x  3x  1  5 x  2  2 9. 9 x  7  4 x  5  1 10.

 2


2
5
4
1  3x 3x  1
1 9x
2
3
3x  2 2 x  3
4.Цель самостоятельной работы: Развить навыки решения уравнений.
5.Рекомендации преподавателя
Теоретический материал:
Простейшее линейное уравнение: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0.
𝑏
𝑥 = − 𝑎 , если 𝑎 ≠ 0;
𝑥 ∈ (−∞; ∞), если 𝑎 = 0,
нет решения, если 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0.
Пример
Решить уравнение:
х4
3х  1 5  х
х

6
3
8
Решение:
1.Приведем уравнение к наибольшему общему знаменателю и отбросим его:
4 х  16  24 х 24 х  8  15  3х

24
24
4х-16+24х=24х-8-15+3х
2.Переместим неизвестное в одну, а известное в другую:
4х+24х-24х-3х=16-8-15
х=-7
3.Записать ответ:
Ответ:-7
СРС № 5
1. Тема самостоятельной работы: «Линейные неравенства и системы линейных неравенств
с одной переменной»
2. Количество часов:2ч.
3.Задания для самостоятельной работы:
 2x x
 x  3 x 1

7  6x
20 x  1
 3  4  x 1

3
 10 x 
2
2. 
3.  2
x 1 x 1
2  x 3  2x
2
3




x
3
3
 4
 2
3x  1
4.
5. 2 x  3  2
0
2x  3
3x  2
4.Цель самостоятельной работы: Развить навыки решения линейных уравнений и неравенств.
5.Рекомендации преподавателя
Решить неравенство:
6х2-х-2<0
Решим неравенство методом интервалов
Решение:
1.Найдем нули функции, т. е приравняем функцию к нулю:
6х2-х-2=0
в D
2.Применим формулы: ах2+вх+с=0; D=в2-4ас; х1, 2 
:
2a
а=6; в=-1; с=-2.
D=1+4∙6∙2=1+48=49;
D  49  7
1 7 8 4 2
1 7
6
1
x1 

  ; x2 
  ;
12
12 6 3
12
12
2
3.Отметить на числовой прямой и разбить на интервалы:
(1)
(2)
(3)
1
2
3
2
4.Прочередовать знак функции в каждом интервале, для этого из (1) интервала взяли х=1 и
подставили в условие 6∙1-1-2>0, поэтому надо в (1) интервал подставить «+» и дальше
прочередовать знак.

+
-
+
1
2
3
2
5.Дать ответ, где значение функции отрицательно, т. е «-».
 1 2
Ответ:   ; .
 2 3

СРС №6
1. Тема самостоятельной работы: «Нелинейные системы уравнений с двумя переменными.»
2. Количество часов:4ч.
3.Задания для самостоятельной работы:
2
2
 x 2  2 xy  4 y 2  5 x  4  0
1. 
2.  x  y  13
x y 2

 x  y 1
x
y
13
 
4. 
6
y x


x  y 1
2
 2
3.  x  y  13

xy  6
 x 2  xy  y 2  13
5.  2
2
 x  xy  y  7
4.Цель самостоятельной работы: Развить навыки решения нелинейных систем уравнений
5.Рекомендации преподавателя
Методы решения систем:
1. Алгебраическое сложение:
 сделать так, чтобы коэффициенты перед x и y были по модулю одинаковые, а по
знаку – разные
 почленно сложить уравнения
 подставить найденное значение переменной в одно из уравнений.
2𝑥 + 3𝑦 = 12
Пример 1. {
3𝑥 − 2𝑦 = 5
 умножив почленно первое уравнение системы на 2, а второе на 3, получим систему:
4𝑥 + 6𝑦 = 24
{
9𝑥 − 6𝑦 = 15
 сложив почленно эти уравнения, найдем:
13x = 39 , откуда x=3.
 подставим найденное значение переменной в одно из уравнений данной системы, например
в первое, находим значение
4∙3 + 6y = 24
6y = 24 – 12
6y = 12
y=2
 таким образом, получаем решение (3; 2)
 Проверка.
{
2𝑥 + 3𝑦 = 12
3𝑥 − 2𝑦 = 5
2∙ 3 + 3 ∙ 2 = 12 истинно
3 ∙ 3 − 2 ∙ 2 = 5 истинно
Ответ. (3; 2)
2. Метод подстановки:
 из первого уравнения выразить одну переменную через другую
 подставить это значение во второе уравнение
 подставим найденное значение переменной в подстановку.
6𝑥 + 𝑦 = 20
5𝑥 − 2𝑦 = 11
 из первого уравнения выразим переменную y через переменную x
y = 20 – 6x
 подставим это значение во второе уравнение:
5x – 2(20 – 6x) = 11
5x – 40 + 12x = 11
5x + 12x= 11 + 40
17x = 51
x=3
Пример 2. {

подставим найденное значение переменной в выражение:
5x – 2y = 11 при x = 3
5∙3 – 2y = 11
-2y = 11- 15
-2y = -4
2y = 4
1
y= 2


таким образом, получаем решение ( 3 ; 2 ).
Проверка.
2𝑥 + 3𝑦 = 12
{
3𝑥 − 2𝑦 = 5
2∙ 3 + 3 ∙ 2 = 12 истинно
3 ∙ 3 − 2 ∙ 2 = 5 истинно
Ответ. (3; 2)
3. Графический метод:
 построить на координатной плоскости прямые, соответствующие уравнениям данной
системы.
2𝑥 + 3𝑦 = 12
Пример 3. {
3𝑥 − 2𝑦 = 5

для построения прямой нужно знать координаты двух её точек.
Из первого уравнения 2x + 3y = 12:
Предположим, что x = 0, тогда 2∙0 + 3y = 12, 3y = 12, y = 4.
Предположим, что y = 0, тогда 2x + 3∙0 = 12, 2x = 12, x = 6.
Из второго уравнения 3𝑥 − 2𝑦 = 5:
Предположим, что x = 0, тогда 3∙0 – 2y = 5, -2y = 5, y = -2,5.
2
Предположим, что y = 0, тогда 3x - 2∙0 = 5, 3x = 5, x =1 3 .
Строим эту прямую:
y
2
3
x
Точка пересечения построенных прямых имеет координаты x = 3; y = 2. Следовательно, решением
данной системы является пара чисел (3; 2) .
 Проверка.
2𝑥 + 3𝑦 = 12
{
3𝑥 − 2𝑦 = 5
2∙ 3 + 3 ∙ 2 = 12 истинно
3 ∙ 3 − 2 ∙ 2 = 5 истинно.
Ответ. (3; 2).
СРС №7
1. Тема самостоятельной работы: «Не стандартные методы решения уравнений и неравенств
Решение систем уравнений методом Гаусса»
2. Количество часов:6ч.
3.Задания для самостоятельной работы:
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7
3𝑥 − 2𝑦 = 15
1.{ 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
2. {
2𝑥 + 𝑦 = 7
3𝑥 − 5𝑦 + 2 𝑧 = −7
4.Цель самостоятельной работы:
Научиться решать системы уравнений методом Гаусса и Крамера
5.Рекомендации преподавателя
𝑎 𝑥 +
а) системы двух линейных уравнений { 1
𝑎2 𝑥 +
𝑎1 𝑏1
𝑐
∆𝑥
∆𝑦
𝑥 = 𝑥 ; 𝑦 = ∆ ; где ∆ = |
| = 𝑎1 ∙ 𝑏2 − 𝑎2 ∙ 𝑏1 ; ∆𝑥 = | 1
𝑎2 𝑏2
𝑐2
4. Формулы Крамера:
𝑏1 𝑥 = 𝑐1
𝑏2 𝑥 = 𝑐2
𝑎1
𝑏1
| ∆𝑦 = |𝑎
𝑏2
2
3𝑥 − 2𝑦 = 5
4𝑥 + 𝑦 = 14
𝑎1 𝑏1
3 −2
∆=|
|=|
| = 3 ∙ 1 − (−2) ∙ 4 = 3 + 8 = 11
𝑎2 𝑏2
4 1
𝑐 𝑏1
5 −2
∆𝑥 = | 1
|=|
| = 5 ∙ 1 − (−2) ∙ 14 = 5 + 28 = 33
𝑐2 𝑏2
14 1
∆𝑦
22
𝑎1 𝑐1
3 5
𝑦 =
=
= 2 ∆𝑦 = |𝑎 𝑐 | = |
| = 14 ∙ 3 − 5 ∙ 4 = 42 − 20 = 22
2
2
4 14
∆
11
∆𝑥
33
𝑥 = 𝑥 = 11 = 3
Проверка.
3𝑥 − 2𝑦 = 5
{
4𝑥 + 𝑦 = 14
3 ∙ 3 − 2 ∙ 2 = 5 истинно
4 ∙ 3 + 2 = 14 истинно
Ответ. (3; 2)
Формулы Крамера: б) системы трех линейных уравнений
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑑1 𝑏1 𝑐1
{ 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 ∆= 𝑎2 𝑏2 𝑐2 ∆𝑥 = 𝑑2 𝑏2 𝑐2
∆𝑧 =
𝑎3 𝑏3 𝑐3
𝑑3 𝑏3 𝑐3
𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3
𝑎1 𝑏1 𝑑1
𝑎1 𝑑1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑑2
∆𝑦 = 𝑎2 𝑑2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑑3
𝑎3 𝑑3 𝑐3
∆𝑥
∆𝑦
∆𝑧
𝑥 =
,
𝑦 =
, 𝑧 =
∆
∆
∆
Пример 4. {
СРС №8
1. Тема самостоятельной работы №8 «Функции и их свойства»
2. Количество часов :10 ч.
𝑐1
𝑐2 |
3.Задания для самостоятельной работы
Вариант 1.
Степенная функция с четным натуральным показателем, т.е функция вида y  x , где
p  2n, n  N
Ответьте на вопрос, придерживаясь следующего плана:
I.
Определение функции.
II.
Схематическое изображение графика функции.
III.
Свойства функции:
1) область определения;
2) множество значений;
3) четность-нечетность;
4) нули функции и точки пересечения с осями;
5) монотонность (возрастание и убывание) функции;
6) промежутки знакопостоянства;
7) наибольшее и наименьшее значение функции (если возможно определить);
8) ограниченность функции, асимптоты.
p
Вариант 2.
Показательная функция вида y  a , где a  1
Ответьте на вопрос, придерживаясь следующего плана:
I.
Определение функции
II.
Схематическое изображение графика функции
III.
Свойства функции:
1) область определения;
2) множество значений;
3) четность-нечетность;
4) нули функции и точки пересечения с осями;
5) монотонность (возрастание и убывание) функции;
6) промежутки знакопостоянства;
7) наибольшее и наименьшее значение функции (если возможно определить);
8) ограниченность функции, асимптоты
x
Вариант 3.
Логарифмическая функция (a >1), ее свойства и график.
Ответьте на вопрос, придерживаясь следующего плана:
I.
Определение функции.
II.
Схематическое изображение графика функции.
III.
Свойства функции:
1) область определения;
2) множество значений;
3) четность-нечетность;
4) нули функции и точки пересечения с осями;
5) монотонность (возрастание и убывание) функции;
6) промежутки знакопостоянства;
7) наибольшее и наименьшее значение функции (если возможно определить);
8) ограниченность функции, асимптоты.
Вариант 4.
Логарифмическая функция (0 < a < 1), ее свойства и график.
Ответьте на вопрос, придерживаясь следующего плана:
I.
Определение функции.
II.
Схематическое изображение графика функции.
III.
Свойства функции:
1) область определения;
2) множество значений;
3) четность-нечетность;
4)
5)
6)
7)
8)
нули функции и точки пересечения с осями;
монотонность (возрастание и убывание) функции;
промежутки знакопостоянства;
наибольшее и наименьшее значение функции (если возможно определить);
ограниченность функции, асимптоты.
4.Цель самостоятельной работы: Углубить знания по теме «Функции и их свойства»
5.Рекомендации преподавателя:
При ответе на вопросы используйте материалы учебников:
3. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко «Математика» - М : Дрофа 2012
4. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик «Математика» учебное пособие для техникумов - «ЛАНЬ»
2011г.
Дополнительные источники:
5. Филимонова Е.В. Математика для средних специальных учебных заведений : учебное
пособие. – Изд. 4-е, доп. и перераб. – Ростов н/Д : Феникс, 2008.
6. Пехлецкий И.Д. Математика – 6-е издание М. : Издательский центр «Академия», 2010.
СРС № 9
1. Тема самостоятельной работы «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»
2. Количество часов:7 ч.
3.Задания для самостоятельной работы
x
1.  1   1
 64 
x2
 3 x  72
2. 3
5x
5 x 1
6
3. 7  7
4. 4 x  9  2 x  8  0
8
x
3x
6. 2 
5. 4  3 x  9  2 x  5  6 2
82 x1  8 x1  72  0
x
2 x2
 3  2 2 x1  3
8. 2  2
7. 3 x  4
10. 52 x  7 x  35  52 x  35  7 x  0
og 1 3x  5  og 1 x  1
5
1
8
11.
13. g 2 x  gx  2  0
og3 x  2  3
14.
5
15. 2  og 2 x  1  1  og 1 4  x 2 


9.
12.
g 35  x
3
g 5  x 
3
2
4.Цель самостоятельной работы: Научиться решать различными способами показательные и
логарифмические уравнений и неравенства
5.Рекомендации преподавателя
Пример 1
log 𝑎 𝑥 = 𝑏
Решить уравнение:
2x-1+2x-2+2x-3=869
2𝑥
2
2𝑥
2𝑥
+ 22 + 23 = 896
Складываем числа в скобках:
1 1 1
2𝑥 ( + + ) = 896
2 4 8
7
= 896
8
7
7
Сокращаем уравнение на , т.е. разделим обе части на .
2𝑥 ∙
8
8
2x=1024;
1024=210
2x=210
Пользуемся правилом, примененным в примере №2
Х=10
Пример 4
Решить неравенство:
3х−4 > 27
Приводим неравенство к одинаковым основаниям:
3х−4 > 33
a=3>1, функция возрастает
х-4>3
x>7
Отмечаем на числовой прямой:
Ответ: (7; ∞)
𝑎 𝑥1 = 𝑎 𝑥2 => 𝑥1 = 𝑥2
7
СРС № 10
1. Тема самостоятельной работы «Векторы»
2. Количество часов:5ч.
3.Задания для самостоятельной работы
Вариант1


Даны векторы a (9;2;1) и b (4;3;0) (для № 1-5).
 
1. Найти a  b .
 
2. Найти a  b .

3. Найти a 2 .

4. Найти b .

      
5. Найти координаты векторов c  a  b , d  a  b , f  3a .
6. В прямоугольной декартовой системе координат построить точки A (0; 0),
B (3; -4), C (-3; 4). Определить расстояние между точками A и B, B и C, A и C.


Вариант 2


Даны векторы a (3;2;1) и b (3;0;4) (для № 1-5).
 
1. Найти a  b .
 
2. Найти a  b .

3. Найти a 2 .

4. Найти b .

      
5. Найти координаты векторов c  a  b , d  a  b , f  3a .
6. В прямоугольной декартовой системе координат построить точки A (0; 0),
C (-3; 4), D (-2; 2) E (10; -3). Определить расстояние между точками C и D, A и D, D и E.


4.Цель самостоятельной работы: Знать правила действия над векторами и уметь их применять при
вычислениях
5.Рекомендации преподавателя
Теоретический материал
Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца
⃗⃗ векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0),
называются координатами вектора. Обозначим 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
(0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями
соответствующих осей координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала
координат и называть их координатными векторами.
Теорема. Вектор 𝑎⃗ имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда, когда он представим в виде
⃗⃗
𝑎⃗ = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ + 𝑧𝑘
Вариант 1
№п/п Название операции
Формулы
1
Найти сумму векторов
⃗⃗{𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ; 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 ; 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 }
⃗⃗ + 𝒃
𝒂
2
Найти разность векторов
⃗⃗ − ⃗𝒃⃗{𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 ; 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐 ; 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 }
𝒂
Найти произведение
вектора на число
Вычислить координаты
середины отрезка
3
⃗⃗{𝜹
𝜹𝒂
∙ 𝒙; 𝜹𝒚 ; 𝜹𝒛}
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐
𝒙𝒄 =
, 𝒚𝒄 =
,
𝟐
𝟐
𝒛𝟏 + 𝒛𝟐
𝒛𝒄 =
𝟐
Найти координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ {𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ; 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏; 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 }
Найти длину вектора
|𝒂
⃗⃗| = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
Вычислить скалярное
⃗⃗ = 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟏 ∙ 𝒚𝟐 + 𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐
⃗⃗ ∙ 𝒃
𝒂
произведение векторов
𝒙 𝟏 ∙ 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟏 ∙ 𝒚𝟐 + 𝒛 𝟏 ∙ 𝒛 𝟐
Найти косинус угла
𝐜𝐨𝐬 𝜶 =
между векторами
√𝒙𝟐𝟏 + 𝒚𝟐𝟏 + 𝒛𝟐𝟏 ∙ √𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝟐𝟐 + 𝒛𝟐𝟐
4
5
6
7
8
Проверьте
перпендикулярность
векторов
10
𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟏 ∙ 𝒚𝟐 + 𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐 = 𝟎 - условие
перпендикулярности векторов
СРС № 11
1. Тема самостоятельной работы : «Тригонометрические уравнения»
2. Количество часов: 16ч.
3.Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
Вариант 2
1. Решить уравнения:
1.
Решить уравнения:
1.1. √3 tgx – 1 = 0
1.1. 2cos х – √2 = 0
𝑥
1.2. tg2x + 1= 0
1.2. 2sin (− ) = 1
1.3.
𝑥
2.
2. Определить число корней
уравнения
3ctg 2x − √3 = 0 принадлежащих отрезку
π
[6
2
𝜋
sin(3 + 4 ) = 1
; π].
Решить уравнения:
1. 3sin2x – 5sinx – 2 = 0
2. 3cos22x + 10cos2x + 3 = 0
3. 3cos2x + 10cosx + 3 = 0
4. 2sin2x + 3cosx = 0
5. 3tg2x + 2tgx – 1 = 0
6. 2sin2 x − 5sinxcosx + 2cos2 x = 0
7. 2cos2 x − sinxcosx + 5sin2 x = 3
1.3.
𝜋
2cos (2x + 4 ) = −√2
2.
Найдите наименьший
положительный корень уравнения
π
3
sin (x − 6 ) = − √2 .
Решить уравнения:
1. 6cos2x + cosx – 1 = 0
2. 2sin22x – 3sin2x + 1 = 0
3. 2sin2x – 3sinx + 1 = 0
3. 5cos2x + 6sinx – 6 = 0
4. 2tg2x + 3tgx – 2 = 0
5. 3cos 2 x + 10sinxcosx + 3sin2 x =
0
6. 2sin2 x − 3sinxcosx + 4cos 2 x = 4
4.Цель самостоятельной работы: Знать методы решения тригонометрических уравнений и
применять их при решении упражнений
5.Рекомендации преподавателя:
Общие формулы решения тригонометрических уравнений
sin х = а, |а| ≤ 1;
х = (−1)n arcsin a + πn, n ϵ z
cos x = а, |а| ≤ 1
x = ± arccos a + 2πn, n ϵ z
tg x = a, a – любое число
x = arctg x + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
ctg x = a, a – любое число
х= arcctgx + πn, nϵz
Частные решения тригонометрических уравнений
sin x=0
х=πn, nϵz
sin x=1
π
x= 2 + 2πn, nϵz
sin x=-1
π
x= − 2 + 2πn, nϵz
cos x=0
π
x= 2 + πn, nϵz
cos x=1
x= 2πn, nϵz
cos x=-1
x=π + 2πn, nϵz
Значение тригонометрических функций
0
30
45
60
π
π
π
0
6
4
3
1
0
√3
√2
2
2
2
1
1
√3
√2
2
2
2
0
1
√3
√3
3
Не существ
1
√3
√3
3
градусы
радиан
sin𝛼
cos 𝛼
tg 𝛼
ctg 𝛼
90
π
2
1
0
не существ
0
Образцы решения тригонометрических уравнений второго порядка:
Образец №1
Решить уравнение:
2sin2 x − 5sinx + 2 = 0
Решение. Введем новую переменную: z = sin x. Тогда уравнение примет вид: 2z2 – 5z + 2 =0.
1
Решая квадратное уравнение находим z1 = 2 и z2 = 2.
1
Значит, либо sin x = 2, либо sin x = 2. Первое уравнение не имеет корней, а из второго находим
1
π
х = (−1)n arcsin 2 + πn, nϵz
x = (−1)n 6 + πn, nϵz
Образец №2
Решить уравнение: cos2 x − sin2 x − cosx = 0
Решение:
Воспользуемся тем, что sin2 x = 1 − cos 2 x
Тогда заданное уравнение можно записать в виде: cos2 x − (1 − cos2 x) − cosx = 0
После преобразования получим: 2cos 2 x − cosx − 1 = 0
Введем новую переменную z = cos x. Тогда данное уравнение примет вид:
1
2z2 –z -1 = 0. Решая его, находим z1 = 1, z2 =− 2 Значит, либо cos x = 1, либо cos x = −
Решая первое уравнение cos x = 1, как частное, находим его решение
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 .
Решая второе уравнение, находим решение:
1
1
x= ±arccos (− 2) + 2πn, nϵz
x = ± (π − arccos 2 ) + 2πn, nϵz
π
x = ±(π − 3 ) + 2πn, nϵz
Образец №3
Решить уравнение:
x=±
2π
3
+ 2πn, nϵz
3sin2 x − 2√3 sinxcosx + 5cosx = 2
1
2
Решение:
С числом 2, содержащимся во правой части, поступим следующим образом. Известно, что sin2 x +
cos 2 x = 1 - это тождество верно для любого значения х.
Тогда 2(sin2 x + cos2 x) = 2sin2 x + 2cos2 x = 2.
Заменив в первом уравнении 2 на 2sin2 x + 2cos2 x , получим:
3sin2 x − 2√3 sinx∙cosx + 5cos2 x = 2sin2 x + 2cos 2 x
3sin2 x − 2√3 sinx∙cosx + 5cos2 x − 2sin2 x − 2cos 2 x = 0
sin2 x − 2√3 sinxcosx + 3 cos 2 x = 0
Обе части уравнения разделим на cos2 x почленно
sin2 x 2√3 sinxcosx 3 cos2 x
−
+
=0
cos2 x
cos2 x
cos 2 x
sinх
Так как cosх = tgх, то полученное уравнение запишем в виде:
tg2x - 2√3 tgx + 3 = 0
Введя новую переменную t=tg x, получим квадратное уравнение:
𝑡 2 − 2√3 t +3=0, решая уравнение, получим: t = √3
Итак, tg x=√3
x= arctg √3 + πn,
π
x= 3 + πn, 𝑛𝜖𝑍.
СРС № 12
1. Тема самостоятельной работы : «Теория пределов»
2. Количество часов: 5ч.
3.Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
Вариант 2
Найти указанные пределы:
Найти указанные пределы:
1. lim(2х2 − 4х + 4)
1. lim (5 − 3х − х2 )
х→2
х→−1
√х + 5
х→4
х
2
х −1
3. lim
х→1 х − 1
х2 − 36
4. lim
х→−6 х + 6
2. lim
5. lim
х→2
х3 − 8
х−2
Вариант 3
Найти указанные пределы:
1. lim(х2 + 7х − 3)
х→3
2. lim
х→4
√х + 5
2х
х2 − 4
3. lim
х→2 х − 2
х2 + 5х
х→−5 х + 5
х3 − 27
5. lim
х→3 х − 3
4. lim
2. lim
2х
√х + 6
х2 − 4х
3. lim 2
х→4 х − 16
х→3
х2 − 2х
4. lim
х→0
5х
х3 + 8
5. lim
х→−2 х + 2
Вариант 4
Найти указанные пределы:
1. lim (3 − 4х − х2 )
х→−2
2. lim
х→1
3х
√2х + 14
3. lim
х→3
х2 − 9
х−3
4−х
х→4 16 − х2
х3 + 27
5. lim
х→−3 х + 3
4. lim
4.Цель самостоятельной работы: Знать понятие предела функции в точке, уметь вычислять
0
∞
пределы и раскрывать неопределённости [0] и [∞].
5.Рекомендации преподавателя:
Формулы для повторения
1. lim C  C , где С = const
xa
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют
конечные пределы при ха.
2. lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)
xa
xa
xa
3. lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
x a
4. lim C  f ( x)  C  lim f ( x)
x a
x a
5. lim
f ( x)
f ( x) lim
 xa
g ( x) lim g ( x)
xa
при lim g ( x)  0
xa
xa
Образец решения:
1. Найти предел:
lim(5х2 − 2х + 1) = 5 ∙ 22 − 2 ∙ 2 + 1 = 5 ∙ 4 − 4 + 1 = 17.
х→2
2. Найти предел:
2х3 − х + 5
∞
lim 3
=
[
]
х→∞ х + х2 − 1
∞
∞
Имеем неопределенность ∞. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на
высшую степень числа х, т.е. на х3 .
Получим:
2х3 х
5
− 3+ 3
3
х
х .
lim х
х→∞ х3
х2 1
+ −
х3 х3 х3
Применяя теоремы о вычислении предела, получим:
2𝑥 3
𝑥
5
1
5
lim 3 − lim 3 + lim 3 lim 2 − lim 2 + lim 3 2
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
=
= =2
1
1
𝑥3
𝑥2
1
1
lim 1 + lim 𝑥 − lim 3
lim 3 + lim 3 − lim 3
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
3. Найти предел:
5х2 + 13х + 6
0
=[ ]
2
х→−2 3х + 2х − 8
0
1. lim
Решение:
0
Имеем неопределенность 0. Чтобы раскрыть ее, разложим на множители числитель и
знаменатель.
(х + 2)(5х + 3)
5х2 + 13х + 6
5х + 3
7
= lim
= lim
=
= 0,7
2
х→−2 3х + 2х − 8
х→−2 (х + 2)(3х − 4)
х→−2 3х − 4
10
lim
Примечание:
1
lim 𝑥 2 = 0
𝑥→∞
lim
1
𝑥→∞ 𝑥
= 0;
lim
5
𝑥→∞ 𝑥 3
1
lim
= 0;
𝑥→∞ 𝑥 3
=0
СРС № 13
1. Тема самостоятельной работы : «Геометрические и физические приложения производной»
2. Количество часов: 10ч.
3.Задания для самостоятельной работы
1. Найти угол между касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)в точке с абсциссой 𝑥0 .
1.1.𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 ,
𝑥0 = 1.
1
1.2.𝑓(𝑥) = 2 𝑥 2 ,
𝑥0 = 2.
1.3.𝑓(𝑥) = 4√𝑥,
𝑥0 = 4.
𝜋
1.4.𝑓(𝑥) = 5𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑥0 = 6 .
1.5.𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛3𝑥,
𝜋
𝑥0 = 12.
2. Записать уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)в точке с абсциссой 𝑥0 .
2.1.𝑓(𝑥) = 𝑥 5 − 𝑥 3 + 3𝑥 − 1,
𝑥0 = 0.
3
2.2.𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥,
𝑥0 = 2.
3.
Точка движется прямолинейно по закону s  2t 3  t 2  4 .
Найдите скорость и ускорение в момент времени t  4c.
4.
Точка движется прямолинейно по закону s  t 2  8t  4 .
В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю?
2
Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону s  3t  t  4 .
5.
 2
Найдите кинетическую энергию тела  mv  через 4с.
 2 
6.
Сила тока I изменяется в зависимости от времени t по закону I  0,4t 2
( I – в амперах (А), t – в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в конце 8-ой
секунды.
7.
Закон прямолинейного движения точки s   1 t 3  3t 2  5t  3 .
3
Найдите максимальную скорость движения этой точки.
4.Цель самостоятельной работы: Иметь понятие о геометрическом и физическом смысле
производной. Уметь решать прикладные задачи.
5.Рекомендации преподавателя:
1.
f ( x0 )  tg  k
У
y  f (x)
k – угловой коэффициент
прямой (касательной)
y  k xb
α
0
x0
Х
Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x)
в точке с абсциссой x0 можно провести касательную, непараллельную оси у,
то f ( x )выражает угловой коэффициент касательной, т.е.
0
Поскольку
f ( x0 )  k
k  tg , то верно равенство f ( x0 )  tg
2.Закон движения тела задан формулой 𝑆 = 5𝑡 − 0,5𝑡 2 (м), где t- время в секундах. Найти скорость в
конце 4 секунды.
1)Найдем дифференциал функции;
2)Подставим вместо t значение времени.
U(t)=S’(t)
U(t)=S’(t)=5-t
U(4)=5-4=1
Ответ:1м/с
СРС №14
1. Тема самостоятельной работы : «Применение производной к решению прикладных задач»
2. Количество часов: 8ч.
3.Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
I.
Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания
1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 1
2. 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 2𝑥
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 − 1
II.
Найти экстремум функции
1. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥
2. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2𝑥
III.
Исследовать функцию и построить график
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2
Вариант 2
Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания
1. 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 1
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2
4. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 5
II.
Найти экстремум функции
1. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5𝑥 2
2. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛3𝑥
III.
Исследовать функцию и построить график
I.
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1
Вариант 3
I.
Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания
1. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 + 32
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥
3. 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 6𝑥 2
4. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 6𝑥 2 − 18𝑥 + 4
II.
Найти экстремум функции
1. 𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥 3
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ∙ ℓ𝑥
III.
Исследовать функцию и построить график
𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 6𝑥 2 + 2
4.Цель самостоятельной работы: Знать условия возрастания, убывания функции, точек максимума
и минимума функции. Знать схему исследования функции и применять её при построении
графика.
5.Рекомендации преподавателя:
Признак возрастания функции: Если 𝑓 / (𝑥) > 0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом
промежутке функция 𝑓(𝑥) возрастает.
Признак убывания функции: Если 𝑓 / (𝑥) < 0 в каждой точке некоторого промежутка, то на
этом промежутке функция 𝑓(𝑥)убывает.
Признак максимума функции: Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна в точке х0, а 𝑓 / (𝑥) > 0 на
интервале (𝑎; 𝑥0 ) и 𝑓 / (𝑥) < 0 на интервале (𝑥0 ; 𝑎), то x0 является точкой максимума.
Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0
есть точка максимума.
Признак минимума функции: Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна в точке х0, а 𝑓 / (𝑥) < 0 на
интервале (𝑎; 𝑥0 ) и 𝑓 / (𝑥) > 0 на интервале (𝑥0 ; 𝑎), то x0 является точкой минимума
Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0
есть точка максимума.
Схема исследования функции.
 Находим область определения;
 Вычисляем производную;
 Находим стационарные точки
 Определяем промежутки возрастания и убывания;
 Находим точки максимума и минимума;
 Вычисляем экстремум функции;
 Данные заносят в таблицу.
 На основании такого исследования строится график функции.
СРС №15
1. Тема самостоятельной работы : «Интегрирование различными способами»
2. Количество часов: 14ч.
3.Задания для самостоятельной работы
Уровень
1 - Вариант
2 - Вариант
1-2
1. Что такое интеграл ?
1. Напишите формулу Ньютона –
2. Верно ли, что
Лейбница.
6
2. Верно ли, что
 dx  5
4
 dx  3
1
1
Вычислите интегралы
Вычислите интегралы

3-6
2
2
2
2
x
xdx
,
sin
2
xdx
,
x
dx
,
cos
 
1
 3dx
1

4

2
4
2
6
x
1
3
 cos 6dx, 1 5dx, 1 x dx,  cos 2 x

4
Вычислите интегралы
Вычислите интегралы

4
1
 sin
4
 (3  4 x) dx
7 - 10
2
xdx
0
0
1
 (x
4
 (x
6
2
 6 x  9) dx,
2
 8 x  16)dx
5
1

3
 (cos

2


( x  )  sin ( x  )dx
3
3
2
3
8
12 sin(


8
 x) cos(

8
 x)dx
8
6
4.Цель самостоятельной работы: Закрепить знания, умения и навыки интегрирования функций
5.Рекомендации преподавателя:
Таблица неопределенных интегралов
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
+𝐶
𝑛+1
𝑑𝑥
= 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶
𝑥
𝑎𝑥
𝑥
∫ 𝑎 𝑑𝑥 =
+𝐶
𝑙𝑛𝑎
∫
∫ ℓ𝑥 𝑑𝑥 = ℓ𝑥 + 𝐶
∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶
𝑑𝑥
= −𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑑𝑥
∫
= 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑑𝑥
∫
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
1 + 𝑥2
∫
∫ 𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥 = −𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑥| + 𝐶
∫ 𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶
∫
Свойства неопределенного интеграла:
∫ 𝑑𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶;
𝑑𝑥
1
𝑥
=
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
+𝐶
𝑎2 +𝑥 2 𝑎
𝑎
𝑥
= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝐶
𝑎
√𝑎2 − 𝑥 2
𝑑𝑥
1
𝑥−𝑎
∫ 2
=
𝑙𝑛 |
|+𝐶
𝑥 − 𝑎2 2𝑎
𝑥+𝑎
∫
𝑑𝑥
∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥;
∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥;
1
∫ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 𝑎 𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶;
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b ] на n отрезков точками
x0 = a < x1 < … < xk − 1 < xk < … < xn − 1 < xn = b
и введем обозначения
Δxk = xk − xk − 1 (k = 1, …,n);
λ=
max
1≤k≤n
Δxk.
На каждом отрезке [x k − 1, x k] выберем произвольным образом точку ξk (k = 1, …,n) и составим
сумму
n
∑
k=1
f(ξk) · Δxk ,
(5)
называемую (римановой) интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a, b ].
Если существует конечный предел интегральных сумм (5) при λ → 0, причем этот предел не
зависит ни от способа разбиения отрезка [a , b] на части, ни от выбора точек ξk, то
функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [a, b], а указанный предел
называется (римановым) определенным интегралом от f(x) по отрезку [a, b ] и обозначается
символом
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных
функции на этом отрезке, тогда справедлива
формула Ньютона-Лейбница:
Пример 1
Вычислить определенный интеграл
Решение:
.
СРС №16
1. Тема самостоятельной работы : «Приложение определенного интеграла»
2. Количество часов: 10ч.
3.Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1.1 𝑓(𝑥) = 16 − 𝑥 2 , 𝑓(𝑥) = 0.
1.2. 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥 2 , 𝑦 = 2.
1.3. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 3.
1.4. 𝑓(𝑥) = 5𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠𝑥.
1.5. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2,
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2.
Вариант 2
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1.1. 𝑓(𝑥) = 9 − 𝑥 2 , 𝑓(𝑥) = 0.
1.2. 𝑓(𝑥) = 3 + 𝑥 2 , 𝑦 = 4
1.3. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 3.
1.4. 𝑓(𝑥) = 5𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑖𝑛𝑥.
1.5. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3,
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3.
4.Цель самостоятельной работы: Закрепить знания, умения и навыки нахождения площади
криволинейной трапеции с помощью интеграла
5.Рекомендации преподавателя:
Определение: Фигура, ограниченная снизу отрезком [a, b] оси Ох ,сверху графиком непрерывной
функции у= f(x), принимающей положительные значения , а с боков отрезками прямых х = а, х =b
называется криволинейной трапецией.
𝑏
𝑆 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)| 𝑎𝑏= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).
Образец решения:
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
у = 4 - х² и у=0
Решение:
1. у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви
направлены вниз, вершина (0;4)
у = 0 - ось абсцисс.
2. Найдём точки пересечения параболы с осью Х:
𝑥 2 − 4 = 0;
2
𝑥 = 4, 𝑥 = 2, 𝑥 = −2.
3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле:
2
𝑆 = ∫(4 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = (4𝑥 −
−2
= 8−
𝑥3 2
23
(−2)3
)|
= (4 ∙ 2 − ) − (4 ∙ (−2) −
)=
3 −2
3
3
8
8
16
1
2
+ 8 − = 16 −
= 16 − 5 = 10 (ед.2 )
3
3
3
3
3
СРС №17
1. Тема самостоятельной работы : «Решение задач стереометрии»
2. Количество часов: 10ч.
3.Задания для самостоятельной работы
1. Докажите, что если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой
плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной.
2. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 см длиннее второй.
Проекция наклонных равны 17 см и 7 см. Найдите наклонные.
3. Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр АD к плоскости
треугольника. Чему равно расстояние от точки D до прямой ВС, если АD=1дм, ВС=8 дм?
4. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата.
SO= 4√2 см.
1) Докажите равенство углов, образованных прямыми SA, SB, SD с плоскостью квадрата.
2) Найдите эти углы, если периметр АВСD равен 32 см.
5. Отрезок SA длиной 15 см – перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, в котором
АС=10 см, АВ=6 см.
Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC имеют равные площади.
6. Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 3.
Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к
стороне BC равен 6. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью
квадрата.
4.Цель самостоятельной работы: Закрепить знания основных аксиом стереометрии
5.Рекомендации преподавателя:
Теоретический материал
Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость,
перпендикулярна и к самой наклонной. Теорема (обратная):
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Определение: Расстоянием от точки до плоскости в пространстве
называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки
на данную плоскость
Вопросы для закрепления.
1. Как найти расстояние от точки до плоскости?
2. Может ли наклонная быть короче перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же
плоскости?
3. Если наклонные, проведённые из одной точки к плоскости, равны, то, что можно сказать об их
проекциях?
4. Как формулируется обратное утверждение? Справедливо ли оно?
5. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах
6. Как формулируется теорема, обратная теореме о трёх перпендикулярах?
7. Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то во что она проектируется?
8. Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то во что она проектируется?
9. Что называется углом между прямой и плоскостью?
СРС №18
1. Тема самостоятельной работы : «Параллельное сечение многогранников»
2. Количество часов: 10ч.
3.Задания для самостоятельной работы
1. В кубе A…D1 найдите угол между прямой AA1 и плоскостью AB1C1.
2.
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD1.
3. В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ACC1 и BDD1.
4. В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и BC1D.
5. В тетраэдре ABCD, ребра которого равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCD.
6. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между
плоскостями
ABC и BB1C1.
7. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между
плоскостями
ABC и A1B1C.
8. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите двугранный угол,
образованный гранями SAB и SBC.
4.Цель самостоятельной работы: Знать формулы вычисления площади боковой и полной
поверхности призмы, пирамиды, параллелепипеда и уметь применять их к решению задач.
5.Рекомендации преподавателя
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной
проекцией на данную плоскость. Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости,
образует с этой плоскостью прямой угол.
Определим понятие угла между плоскостями.
Определение: Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.
Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем
плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она
пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол
между этими прямыми называется углом между данными
плоскостями. Заметим, что при пересечении двух
плоскостей вообще-то образуются четыре угла. В качестве
угла между плоскостями мы берем острый угол.
СРС №19
1. Тема самостоятельной работы : «Тела вращения»
2. Количество часов: 15ч.
3.Задания для самостоятельной работы
Изготовить макеты: цилиндра, конуса, шара, шарового сегмента, шарового сектора
4.Цель самостоятельной работы: Закрепить понятие тел вращения, при изготовлении моделей,
используя развертки.
5.Рекомендации преподавателя
СРС №20
1. Тема самостоятельной работы : «Вероятности случайных событий»
2. Количество часов: 4ч.
3.Задания для самостоятельной работы
1. Среди 12 пассажиров маршрутного такси 4 девушки. На остановке выходят 4 пассажира. Найти
вероятность того, что среди из них есть хотя бы одна девушка.
2. В первой урне 2 белых и 4 красных, во второй - 4 белых и 2 синих шара. Из каждой урны
выбирают наудачу по два шара. Найти вероятность того, что в выборке будет 3 белых шара.
3. Два охотника одновременно выстрелили по волку, который был убит одной пулей. Найти
вероятность того, что попал первый охотник, если вероятность попадания первого охотника равна
0.7, а для второго 0.8...
4.Цель самостоятельной работы: Научиться решать задачи по теории вероятности
5.Рекомендации преподавателя
Основные понятия из теории вероятности.
К основным понятиям теории вероятности относятся: испытание, событие, вероятность.
Испытание – реализация комплекса условий, в результате которого непременно произойдет
какое-либо событие. Например, бросание монеты – испытание; появление герба или цифры –
события.
Случайным событием называется событие, которое при осуществлении испытания может
произойти, а может и не произойти. Например, выстрел по цели — это опыт, случайные события в
этом опыте – попадание в цель или промах.
Событие называется достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти, и
невозможным, если оно заведомо не произойдет. События называются несовместными, если ни
какие два из них не могут появиться вместе. Например, попадание и промах при одном выстреле –
это несовместные события.
Несколько событий образуют полную систему событий, если в результате опыта непременно
должно произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события,
состоящие в выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков, образуют полную
систему событий.
События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем
другие. Например, при бросании монеты выпадение герба или числа - события равновозможные.
Каждое событие обладает какой-то степенью возможности. Числовая мера степени объективной
возможности события - это вероятность события. Вероятность события А обозначается Р(А).
Пусть из системы n несовместных равновозможных исходов испытания m исходов
благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называют отношение m числа
исходов, благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов данного испытания: P(A)=m/n.
Если В – достоверное событие, то Р(В)=1; если С – невозможное событие, то Р(С)=0, если А –
случайное событие, то 0<Р(А)<1.
Задача. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятность появления четного числа
очков.
Решение. Опыт имеет шесть равновозможных независимых исходов (появление одного, двух,
трех, четырех, пяти и шести очков), образующих полную систему. Событию благоприятствуют
три исхода (появление двух, четырех и шести очков), поэтому Р(А)=3/6=1/2
При вычислении вероятности часто приходится использовать формулы комбинаторики.
Литература [4, гл. 11, стр. 352-394], [6, ч. 2, гл. 5, стр. 176-186], [3, гл. 16, стр. 260-267], [7, ч. 2, гл.
2-4 стр. 20-64]
Вопросы для самоконтроля
1. Что изучает предмет теории вероятностей? Основные понятия ТВ.
2. Какие события называются достоверными?
3. Какие события называются невозможными? Приведите примеры.
4. Что называется вероятностью событий?
5. Что называется относительной частотой событий?
6. Какие события называются несовместными и совместными? Приведите примеры.
7. Как формулируется теорема сложения вероятностей?
8. Как формулируется теорема умножения вероятностей?
9. Запишите формулу полной вероятности, объясните ее.
10. Запишите формулу Бернулли. Какие элементарные события повторяются в этих опытах?
Литература
Основные источники:
1. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко «Математика» - М : Дрофа 2012
2. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко «Сборник задач по математике»- М : Дрофа 2012
3. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик «Математика» учебное пособие для техникумов - «ЛАНЬ»
2011г.
Дополнительные источники:
4. Филимонова Е.В. Математика для средних специальных учебных заведений : учебное
пособие. – Изд. 4-е, доп. и перераб. – Ростов н/Д : Феникс, 2008.
5. Пехлецкий И.Д. Математика – 6-е издание М. : Издательский центр «Академия», 2010.