   

1. 8.01.01.1 #Сумма числового ряда
 2 n  3n  5  n 
Найти сумму S ряда  
   .
n

 6  
n 1 7
1) S  1
2) S  6 / 7
3) S  5 / 6

4) S  0
2. 8.01.01.2 #Сумма числового ряда
Найдите сумму ряда 18  6  2 
2 2
    .
3 9
27
3. 8.01.02.1 #Достаточный признак расходимости числового ряда

Если для ряда
2n  n  1
известен предел общего члена lim an  k , то
n 
100
n

7
n 1

верно утверждение…
1) k  0,02 ; ряд расходится
2) k  0,02 ; ряд сходится
3) k  0 ; ряд сходится
4) k  1 ; ряд сходится
7
4. 8.01.03.1 #Необходимый признак сходимости

Числовой ряд
 an
- сходится. Тогда lim
n 
n 1
2an
an2
1
равен …
1) 1
2) 0
3) 2
4) 
5. 8.01.04.1 #Достаточный признак расходимости числового ряда

Для ряда

 2n  3 sin n
можно утверждать, что…
n 1
1) a6  7,5 ; ряд расходится
2) a6  15 ; ряд расходится
3) a6  7,5 ; ряд сходится
4) a6  7 ,5 3 ; ряд расходится
6. 8.01.05.1 #Сумма числового ряда

Если
 an  5, an  0 и Sn  a1  a2  ...  an , то верно утверждение…
n 1
1) lim S n  5
n
2) lim S n  5
n
3) lim a n  5
n
4) lim S n  0
n
7. 8.01.06.2 #Сумма числового ряда

2
 nn  1 по определению.
Найдите сумму ряда
n 1
2
8. 8.01.07.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных
числовых рядов
36 sin  / n 
можно утверждать, что…
2
n

3
n 1
 2, ряд сходится
 0, ряд сходится
 2, ряд расходится
2
=  , ряд сходится
3

Для ряда
1) a6
2) a6
3) a6
4) a6

9. 8.01.08.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных
числовых рядов

Числовой ряд
 5

рядов
n 1
 an
n 1
an

1 и
сходится an  0. Что можно сказать о сходимости

an
соответственно?
n
n 1

1) сходится, сходится
2) сходится, расходится
3) расходится, расходится
4) расходится, сходится
10. 8.01.09.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных
числовых рядов
e 2 n 1
Исследуйте на сходимость ряд  an , где an 
и вычислите значение
n!
n 1
a

d  lim  n1  2 .
n  an

1) сходится, d  2
2) расходится, d  2  

3) сходится, d  2 
3e

4) расходится, d  2 

e
11. 8.01.09.2 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных
числовых рядов
e 2n  2
Если ряд 
сходится, то вычислите его первый член a1 , если же
n
!
n 1
расходится, то вычислите значение 4a1  4.

1
12. 8.01.10.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных
числовых рядов
Выпишите номера рядов, к которым целесообразно применить признак

 2n  1
 n2

1
1
Даламбера: 1 
, 2 
, 3  n , 4 
,


n
ln
n
3
n

100
2
n

1
!
2
n 2
n 1
n 1
n 1

 

5   2 sin
 .
4
n

1

n 1
n
1) 3, 4
2) 1, 3, 5
3) 1, 5
4) 1, 2, 4
13. 8.01.11.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных
числовых рядов
Выпишите номера рядов, к которым целесообразно применить интегральный
признак Коши:

1
1) 
, 2)
n
ln
n
n 2


n
 n 
  2n  1  , 3)

n 1

n 1
e

n
n
, 4)

n5
n 1
5n

, 5)


 ln  e 
n 1
1 
.
2
n 
1) 1, 3
2) 2, 5
3) 2, 4
4) 2, 4, 5;
14. 8.01.12.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных
числовых рядов
Выпишите номера рядов, к которым целесообразно применить радикальный
признак Коши:

5n  1
1) 
, 2)
4
n

3
n 1

 
.
n
2 
 n sin
n 1
1) 3, 4
2) 1, 2


2n  ! ,
n
n 1 5  1

n
 3n  4 
3)  
 , 4)
5
n


n 1


2 n 1
n n
n  2 n  1 ln n
, 5)
3) 1, 5
4) 1, 2, 5
15. 8.01.13.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных
числовых рядов

n
 n 
Исследуйте ряд  
 на сходимость и вычислите значение
n 1 3n  1 

d  lim an  6
n
na
n
.
1) сходится, d  2
2) расходится, d  
3) расходится, d  1
4) сходится, d  1
3
16. 8.01.13.2 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных
числовых рядов

n
 10n  5 
Если ряд  
 сходится, то вычислите значение d  lim (an  12a1),
n
1

11
n

n 1

если же расходится, то вычислите значение l  lim 11  n an
n

15
17. 8.01.14.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных
числовых рядов

Если ряд
1
 2n  1ln 2n  1 сходится, то вычислите значение a2 , если
n 1
расходится, то вычислите значение l  lim an  a1 .
n
1
3 ln 3
1
2)
5 ln 5
1)
3) 0
4)
1
2 ln 2
18. 8.01.15.1 #Знакочередующиеся ряды

Исследуйте на сходимость ряд
  1
n 1
6a n1
.
n a n
предел lim
1) сходится абсолютно, 3
n 1
an , где an 
n3
2
n
, и вычислите
2) сходится абсолютно,
1
3
3) расходится, 3
4) сходится условно, 3
19. 8.01.16.1 #Знакочередующиеся ряды
Для членов ряда

  1n 1 an
n 1
выполняются условия: an  0, lim an  0.
n
Тогда для ряда верно утверждение…
1) расходится
2) сходится абсолютно
3) сходится условно
4) о сходимости ничего нельзя сказать
20. 8.01.17.2 #Знакочередующиеся ряды (признак Лейбница)
Проверьте, что ряд


 1n
3
n 1 n  1
сходится. Укажите количество членов ряда,
достаточное для вычисления его суммы с точностью 0,01.
4
21. 8.01.18.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных
числовых рядов
Для данного ряда


n 1
2n
 sin
укажите ряд для применения признака
сравнения.

1
1)   
n 1 2 
n

n
 
2)   
n 1 2 
 1
3) 
n 1 n

4)

1
n 1 n
2
22. 8.02.01.1 #Радиус сходимости степенного ряда
Найдите радиус сходимости степенного ряда


n 1
1
2
3
2)
2
1)
2 x  3n .
3n  1
1
3
2
4)
3
23. 8.02.02.1 #Интервал сходимости степенного ряда
3)
Найдите интервал сходимости степенного ряда


3x  2n .
n 1
 3
 1, 13 
 13 , 13 
13 , 1
2n  1
1)  1,  1
2)
3)
4)
24. 8.02.02.2 #Интервал сходимости степенного ряда
Радиус сходимости степенного ряда

 an 2 x  6n
равен 2. Найдите сумму
n 1
всех целых x из его интервала сходимости.
9
25. 8.02.03.1 #Область сходимости степенного ряда
x 2n 1
Найдите область сходимости степенного ряда 
.
n  2 ln n
1)  1,1
2)  1;1
3)  1,1
4)  1,1

26. 8.02.03.2 #Область сходимости степенного ряда
Укажите количество целых значений x в области сходимости степенного

2 x  15n
ряда 
.
n


2
n

1
5
n 1

5
27. 8.02.04.1 #Интервал сходимости степенного ряда

Степенной ряд
 an x  4n
n 1
сходится в точке x1  1. Тогда верно
утверждение…
1) ряд сходится при  9  x  1
2) ряд сходится при x  1
3) ряд расходится при x  1
4) ряд сходится при x  1
28. 8.02.05.1 #Ряды Маклорена
Найдите третий член ряда Маклорена для функции f  x   sin x 2
x10
1)
5!
x10
2) 
5!
x10
3)
10 !
x5
4)
5!
29. 8.02.06.1 #Ряды Маклорена (интервал сходимости)
Укажите интервал сходимости ряда Маклорена для функции f  x  
1)  4 / 3, 4 / 3
2)  2 / 3, 2 / 3
3) 0, 4 / 3
4)  3 / 4, 3 / 4
30. 8.02.07.1 #Ряды Тейлора
2x
.
3x  4
Найдите третий член ряда Тейлора для функции f x   e 2  x в точке x0  2.
e 4  x  22
1)
2!
2)

x  2 2

2!
e 4  x  2 2
3) 
2!

x  2 2
4)
2!
31. 8.02.07.2 #Ряды Тейлора
Вычислите при x  1 значение третьего члена ряда Тейлора для функции
f x  
1
8 x  1
в точке x0  1.
x3
32. 8.02.08.2 #Приближенное вычисление интегралов (подынтегральная
функция разложена в степенной ряд)
Укажите количество первых членов ряда для вычисления интеграла
1/ 2 
 
 1n  x n 1 dx с точностью   0,01.
0 n 1
n
3
33. 8.02.09.1 #Приближенное вычисление интегралов
 x sinx
1
Вычислите интеграл

x dx с точностью   0,001 .
0
1) 0,245
2) 0,250
3) 0,255
4) 0,939
34. 8.02.10.1 #Приближенное решение дифференциальных уравнений
Найдите три первых члена разложения в ряд Маклорена решения y (x)
задачи Коши: y  y 2  x 2  0 , y0  1.
1) 1  x  2 x 2
2) 1  x  2 x 2
3) 1  x  x 2
4) 1  x  x 2
35. 8.02.10.2 #Приближенное решение дифференциальных уравнений
Вычислите при x  2 третий член разложения в ряд Маклорена решения
y x  задачи Коши: y  2e y 1  ln x  1 , y0  1.
6
36. 8.02.11.2 #Сумма cтепенного ряда
Решите уравнение
1
16
 1  x  x 2  x3     
при x  1 и найдите сумму
x
3
корней или корень, если он единственен.
1
37. 8.03.01.1 #Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Можно утверждать, что ряд Фурье для функции f x   x sin x на интервале
  ,   будет содержать…
1) только cos nx
2) только sin nx
3) и sin nx , и cos nx
4) не содержит ни sin nx , ни cos nx
38. 8.03.02.1 #Коэффициенты ряда Фурье
Укажите значение свободного члена
f x   x 3  3 на интервале   ,  .
1)  3
a0
ряда Фурье для функции
2
2) 
3) 
6

3

4)  6
39. 8.03.02.2 #Коэффициенты ряда Фурье
Для разложения в ряд Фурье на интервале  3, 3 функции f x  (см. рис.)
найдите коэффициент a0 .
y
2 y  f x 
-3 0
3 x
3
40. 8.03.03.2 #Ряд Фурье. Теорема Дирихле
Функция f  x   x 2  3x  2 разложена на интервале 0, 17 в ряд Фурье по
синусам. S (x) - сумма ряда Фурье. Найдите значение S (0) .
0
41. 8.03.04.1 #Ряд Фурье функции, заданной графически. Теорема Дирихле
Функция f x  (см. рис.) разложена в ряд Фурье по синусам. S  x  - сумма
ряда Фурье. Найдите значение S 7 .
y
y  f x 
2
0
2
4 x
1)  2
2) 2
3) 1
4)  1
42. 8.03.05.1 #Коэффициенты ряда Фурье функции, заданной графически.
Для разложения в ряд Фурье на интервале  2, 2 функции f x  (см. рис.)
запишите выражение ненулевых коэффициентов Фурье.
y
2
-2
y  f x 
0
-2
2 x
2
1) bn    x  2 sin
0
nx
2
dx
1 2
nx
2) an    x  2 cos
dx
2 2
2
2
3) an    x  2 cos
nx
0
2
dx
2
nx
2
2
4) bn    x  2 sin
dx