1Dok

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Ширинская средняя общеобразовательная школа №4
Секция математики
Метод занимательных преобразований графиков.
Графическое решение уравнений вида у(х) = а
Автор:
Гнетова Екатерина Александровна,
ученица 7 класса
Руководитель:
Миронова Ольга Юрьевна,
учитель математики
высшая квалификационная категория
Шира - 2014
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.
Основная часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Способ построения графиков методом сложения функций. . . . . . . . . . .5
1.2 Способ построения графиков методом умножения и
деления функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
II. Основные этапы работы и оценка результативности метода
2.1 Вариант комбинаций графиков. Рабочая модель
графика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Решение уравнения у(х)= а. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 7
2.3 Проверка решения уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Результативность метода как оптимальное решение
проблемы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Литература
2
ВВЕДЕНИЕ
Тема «Функции и графики» является одной из самых трудных и
перспективных тем по алгебре. Она достаточно широко представлена в
заданиях ГИА и ЕГЭ.
Практика показывает, что умения выполнять действия с функциями в
среднем усваивается на 41% (данные по итогам ЕГЭ 2012 г) [1 стр 12]
Исходя из вышесказанного, показалось интересным проведение
мониторинга в нашей школе. Был проведен небольшой опрос по отношению к
данной теме, результаты которого представлены на диаграмме (рис.1)
Любите ли Вы тему
"Функции и
графики"?
НЕТ
ДА
НЕЙТРАЛЬНО
Рис. 1 Диаграмма опроса по отношению к теме «Функции и графики»
Возник вопрос «Что можно сделать для изменения ситуации в лучшую
сторону?» или проблема «Какие дополнительные методы обучения можно
применить для повышения качества знаний по данной теме?»
Цель: исследовать интересный и доступный метод преобразования графиков.
Построение простых графиков линейных функций не представляет
труда, - была бы лишь заранее составлена соответствующая таблица.
Поговорим здесь о другом способе построения графиков: о графиках,
которые можно построить с помощью метода сложения, умножения и деления.
Пути решения:
 освоить метод «занимательных преобразований графиков» [3 стр 12]
(практическая работа);
3
 разработать вариант модели «интересного графика» [2 стр 12]
(базовые знания по алгебре курса 7 класса);
 исследовать решений уравнения у(х) = а графическим методом
(с последующей проверкой);
 доказать результативность метода.
4
Часть I. Основная часть
1.1 Способ построения графиков методом сложения
Чтобы построить график суммы функции y = f(x) + g(x) , надо:
- построить на одном чертеже графики y = f(x) и y = g(x);
- при каждом x (пусть хЄZ) сложить ординаты двух графиков
Рассмотрим пример. Построим графики у(х) =2х и у(х) =-х-1 и найдем
сумму данных функций у(х) =2х + (-х-1) .
Рис. 1. 1 График суммы функций у(х) =2х + (-х-1)
1.2 Способ построения графиков методом умножения и деления
Чтобы построить график функции y = f(x) ∙ g(x) , надо:
- построить на одном чертеже графики y = f(x) и y = g(x);
- при каждом x (пусть хЄZ) умножить ординаты двух графиков
5
Рис. 1.2 График произведения функций у(х) =2х ∙ (-х-1)
Аналогичные действия выполняем при делении.
II. Основные этапы работы и оценка результативности метода
2.1 Вариант комбинаций графиков. Рабочая модель
Для построения своей модели рабочего графика были использованы графики
прямой и параболы (рис 2.1).
Рис. 2. 1 Графики функций у=х, у=-х=2,у=х²
6
В качестве действий с данными графиками были выбраны умножение и
деление так, что формула приобрела вид:
График соответствующий этой формуле (в дальнейшем называемый «рабочая
модель графика») выделен черным цветом (рис 2.1).
Рис. 2. 1 Рабочая модель графика
Рис. 2.2 Проверка с помощью интернет
ресурсов
Правильность построения графика проверена с помощью интернет ресурсов
http://matemonline.com/ (рис 2.2)
2.2 Решение уравнения у(х)= а
Решение уравнения у(х)= а может быть направлено:
- на нахождение количества корней уравнения;
- на нахождение значений корней уравнения.
7
Рассмотрим I случай: нахождение количества корней
уравнения
Количество точек пересечения графиков дает количество корней уравнения.
Рассмотрим количество точек пересечения графиков:
у(х) = а - «семейства» прямых параллельных оси Ох
2.2.1 Найдем количество корней уравнения
при а > -27
Рис. 2. 3 Количество корней - один.
При а > -27 – одно решение для каждого а (рис 2.3)
8
2.2.2 Найдем количество корней уравнения
при а= -27
Рис. 2.4 Количество корней- два.
При а = -27 – два решения (рис 2.4)
2.2.3 Найдем количество корней уравнения
при а < -27
Рис. 2.5 Количество корней - три.
При а < -27 – три решения для каждого а (рис 2.5)
9
Рассмотрим II случай: нахождение значений корней уравнения
Решением уравнения является значение абсциссы в точке пересечения
графиков.
Пусть а = -27. Тогда уравнение примет вид:
Рис. 2.6 Значение корней уравнения : -6 и 3
Значение абсциссы в первой точке пересечения графиков равно
следовательно
-6,
Значение абсциссы во второй точке пересечения графиков равно 3,
следовательно
(рис 2.6)
2.3 Проверка
Если
, , то:
-27 = -27
Если
, то:
-27 = -27
10
2.4 Результативность метода как оптимальное решение проблемы
Данная
работа представляет пример применения приема сложения,
умножения и деления графиков.
Работа творческая практико-ориентированная носит рекомендательный
характер и открывает широкие возможности использования метода
«действий» с функциями (рис 3) при минимальных базовых знаниях.
В качестве иллюстрации приведем попытку решения задачи ЕГЭ C 5 .
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет один корень.
Ответ: а =1, а > 1,5
Рис. 3
Решение задания ЕГЭ С5 графическим способом
Заключение
Привлекательность применения метода, и его доступность с одной
стороны, а так же перспективы с другой стороны, способствуют повышению
интереса к процессу обучения, а
результативность применения метода
способствует повышению качества знаний.
11
Интернет ресурсы
1.
Аналитический отчет о результатах ЕГЭ 2012: Федеральный институт
педагогических измерений: http://www.fipi.ru/binaries/1354/2.1.pdf
2. Заочная естественно-научная школа: МАТЕМАТИКА. Преобразование
графиков
функций.
Графическое
решение
уравнений:
http://window.edu.ru/resource/862/49862/files/11math1UM.pdf
3. Аlexlarin.com: действия с «графиками»:
http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=391&t=4578&start=0
12