R, C, L - Energetik.com.ru

Тема 3. Цепи синусоидального тока
1. Общие сведения и определения
2. Комплексная амплитуда
3. Действующие значения синусоидальной функции
4. Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная
диаграмма
5. Изображение синусоидальной функции комплексными числами
6. Закон Ома в комплексной форме
7. Уравнения элементов в комплексной форме
§ 3.1. Общие сведения и определения
Переменный ток имеет большее распространение, чем постоянный.
Объясняют это:
 конструкция электродвигателей и генераторов переменного тока
гораздо проще;
 генераторы переменного тока могут быть выполнены для более
высокого напряжения;
 переменный
ток
легко
преобразовывается с
помощью
трансформатора,
что
необходимо
при
распределении
электроэнергии и т.д.
Переменный ток – ток, периодически меняющий свое значение и
направление. Наибольшее значение переменного тока – его амплитуда.
Переменный ток характеризуется:
 амплитудой;
 периодом;
 частотой;
 фазой.
Амплитуда – наибольшие (положительные или отрицательные)
величины.
Период – время, в течение которого происходит полное колебание тока
в проводнике.
Частота – обратно периоду.
Фаза – характеризует состояние переменного тока в любой момент
времени.
Основным видом переменного тока является синусоидальный
(гармонический) ток. Закон изменения такого тока описывается
синусоидальной функцией.
В линейных электрических цепях, в которых действуют
синусоидальные источники, все электрические параметры изменяются по
синусоидальному закону.
ЭДС:
.
Напряжение:
Ток:
.
.
– мгновенные значения
– амплитуды
– фаза, [рад]
– угловая частота, [рад/с]
– циклическая частота, [Гц]
– период, [с]
– начальная фаза, [рад]
Любую синусоидальную функцию можно изобразить в виде графика,
который называется графиком временных значений или временной
диаграммой.
Любая синусоидальная функция задается тремя величинами:
амплитудой, частотой и начальной фазой.
В разных электрических цепях частота может быть разной.
Автономные линейные электрические цепи – частота изменения тока,
напряжения и ЭДС одинаковы.
Электрические цепи, в которых действуют синусоидальные ЭДС,
напряжения и токи называются цепями синусоидального тока.
§ 3.2. Комплексная амплитуда
Расчет цепей синусоидального тока с использованием мгновенных
значений требует громоздкой вычислительной работы и применим для
простейших электрических цепей.
Для расчета цепей синусоидального тока синусоидальную функцию
заменяют эквивалентной величиной.
,
где
– мнимая единица.
;
– комплексная амплитуда.
– сопряженная комплексная амплитуда.
– поворотный множитель.
Последняя запись означает, что синусоидальное напряжение можно
представить на комплексной плоскости в виде двух векторов, длина которых
равна
и которые равномерно вращаются со скоростями, равными
противоположные стороны.
в
§ 3.3. Действующие значения синусоидальной функции
Действующее значение синусоидальной функции – ее количественная
оценка.
Действующие значения – среднеквадратичные за период значения
синусоидальной функции, то есть, если:
,
то действующее значение:
.
Аналогично и для тока и ЭДС .
Часто используются выражения, связывающие между собой амплитуду
и действующее значение:
.
Действующее значение – это постоянная величина, которую обычно
обозначают той же буквой, что и амплитуду, только без индекса .
Действующее значение тока оказывает такое же тепловое действие на
проводник с сопротивлением , что и переменный ток, в течение времени,
равном периоду. Поэтому большинство электроизмерительных приборов
фиксируют и реагируют на действующие значения.
§ 3.4. Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная
диаграмма
Электрическое состояние переменного тока описывается уравнениями
Кирхгофа. Радиус-вектор, длина которого равна
, вращается в декартовой
плоскости координат
против часовой стрелки с частотой
поворачивается за время одного оборота на угол
, то есть
Положение радиус-вектора относительно оси в момент начала (
определяется углом
угол
. За отрезок времени
и его положение относительно оси
За время
и
.
)
радиус-вектор повернется на
определяет угол
радиус-вектор переместится на угол
.
и займет положение,
определяемое углом
и т.д. В соответствии с определением
синуса проекция вращающегося радиус-вектора на ось определяется:
где
– проекция вектора на ось
При
,
в момент времени .
(см. рисунок ниже) – рис. а.
Любому равномерно вращающемуся радиус-вектору соответствует
некоторая синусоидальная функция, и наоборот.
Посмотрим, как условный графический образ синусоидальной функции
– радиус-вектор – может быть применим при расчетах цепей переменного
тока. Определим ток:
,
если:
и
Как
известно,
частоты представляет
есть
амплитуды
.
сумма
двух
синусоид
одинаковой
собой также синусоиду частотой , то
и, следовательно, задача сводится к нахождению
и
начальной
фазы
суммарного
тока .
параметры
и
можно
найти,
воспользовавшись
тригонометрическими преобразованиями.
Искомые
известными
Проведем решение задачи с помощью радиус-векторов
и
,
вращающихся с частотой , положение которых для момента
времени
показаны на рисунке ниже и осуществим геометрическое
суммирование этих радиус-векторов по правилу параллелограмма.
Результирующий радиус-вектор
будет вращаться с частотой
изображением некоторой синусоидальной функцией времени.
и является
Следовательно,
– геометрическое изображение искомого тока.
Измерив дугу суммарного радиус-вектора и, зная выбранный масштаб,
можно определить амплитуду
тока. Непосредственно по чертежу
определяется и начальная фаза .
Рассмотренная
совокупность
радиус-векторов,
изображающих
синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой.
§ 3.5. Изображение синусоидальной функции комплексными числами
Для введения комплексного изображения
перенесем
радиус-вектор,
изображающий
синусоидальную функцию времени в декартовой
плоскости на плоскость комплексных чисел. Для чего
совместим ось с осью действительных чисел Re, а
ось – с Im.
Любому вектору , расположенному на комплексной плоскости,
однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано
в трех формах:
o алгебраической:
;
o тригонометрической:
;
o показательной:
логарифма).
Все три формы записи
равнозначны:
( –
основание
в соответствии
натурального
с формулой
.
Переход от одной формы записи к другой:
,
где
– действительная часть;
– мнимая часть.
Эйлера
Запишем в трех формах выражение для единичных действительных и
мнимых комплексных чисел (
):
где
где
,а
.
.
Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной
амплитуде тока называется комплексным сопротивлением:
.
Модуль
комплексного
сопротивления,
называемый
полным
сопротивлением, равен отношению амплитуды напряжения к амплитуде
тока, а аргумент
комплексного сопротивления – разности начальных фаз
напряжения и тока:
.
Закон Ома в комплексной форме соответственно для амплитудных и
действительных значений:
.
§ 3.6. Закон Ома в комплексной форме
Рассмотрим часть электрической цепи относительно двух выделенных
зажимов, то есть двухполюсников.
Пусть
и
.
– полное комплексное сопротивление двухполюсников
– полное сопротивление двухполюсника
– сдвиг фаз между напряжением и током
– закон Ома в комплексной форме!
Если комплексную амплитуду разделить на
, то получится
комплексное число, отличающееся от комплексной амплитуды только
модулем. Это выражение называется комплексным действующим значением:
– закон Ома в комплексной форме для действующих значений!
– полная комплексная проводимость двухполюсника
– полная проводимость двухполюсника
Так как
, то
– тоже закон Ома в комплексной форме.
– закон Ома для комплексных действующих значений.
§ 3.7. Уравнения элементов в комплексной форме
В цепях синусоидального тока напряжение, ток и ЭДС являются
переменными во времени. Это означает, что в любой электрической цепи
будут происходить процессы, связанные с необратимым преобразованием
электрической энергии в энергию магнитного поля или в энергию
электрического поля.
Процессы, связанные с необратимым преобразованием электрической
энергии в тепловую, отражаются в электрических схемах резистивным
элементом:
– параметр элемента (резистивного)
уравнения резистивного элемента.
Процессы, связанные с преобразованием электрической энергии в
энергию магнитного поля, отражается в схемах замещения с помощью
индуктивного элемента:
– индуктивность (параметр индуктивного элемента)
– уравнение индуктивного элемента.
Процессы, связанные с преобразованием электрической энергии в
энергию электрического поля, отражается на схемах с помощью емкостного
элемента:
– емкость (параметр элемента)
– уравнение емкостного элемента.
Все уравнение элементов записаны для мгновенных значений.
1. Резистивный элемент
Пусть
Тогда
.
,
где
.
Напряжение и ток в резистивном элементе совпадают по фазе.
То есть
– уравнение элемента в комплексной форме.
Замечание 1. Можно записать уравнения для действующих значений и
комплексных действующих значений (
Замечание 2.
).
.
Замечание 3.
.
2. Индуктивный элемент
Пусть
.
Тогда
.
, где
– индуктивное сопротивление.
– напряжение опережает ток на
.
.
.
– уравнение индуктивного элемента в комплексной
форме.
Замечание 1.
Замечание
– сдвиг фаз между напряжением и током.
2.
–
Следовательно:
индуктивная
.
3. Емкостной элемент
Пусть
.
Тогда:
.
– емкостное сопротивление.
проводимость.
– ток опережает напряжение на
.
.
.
– уравнение элемента в комплексной форме.
Замечание 1.
– сдвиг фаз между напряжением и
током.
Замечание
2.
Следовательно:
–
емкостная
проводимость.
.
§ 3.8. Векторные диаграммы для элементов цепей синусоидального тока
1. Резистивный элемент
2. Индуктивный элемент
3. Емкостной элемент
§ 3.9. Мощность идеальных элементов
Рассчитаем среднюю мощность, потребляемую элементами за период
(в цепи синусоидального тока).
– активная мощность.
Для резистивного элемента:
.
Для емкостного и индуктивного элементов:
.
Для характеристики процесса преобразования электрической энергии в
энергию магнитного или электрического поля вводится понятие реактивной
мощности, которая для индуктивного элемента называется индуктивной:
,
а для емкостного – емкостной:
.
§ 3.10. Последовательное соединение R, C, L – элементов
Пусть
.
Тогда:
Следовательно:
где
– для мгновенных значений.
.
Сумма синусоид одной и той же частоты – тоже синусоида.
–?
Применим метод комплексных амплитуд, согласно которому:
– закон Ома в комплексной форме для последовательного
соединения.
Так как
.
– полное сопротивление цепи.
– сдвиг фаз между напряжением и током на входе
цепи.
– закон Ома для амплитуд.
– закон Ома для действующих значений.
Построим векторную диаграмму:
– начальная фаза – изначально, чтобы
был параллелен оси
(+1).
Стрелка угла направлена от тока к напряжению. Против часовой – «+»,
по часовой – «–».
Замечание
индуктивная).
1. Если
Если
,
то
, то
(цепь
(цепь емкостная).
Если
, то
Замечание 2. Треугольник сопротивлений:
(активная цепь).
– реактивное сопротивление.
Замечание 3. Если при последовательном соединении элементов отсутствует какойлибо из элементов (R, L, C), то во всех полученных выражениях соответствующее
сопротивление
,
или
равно 0.
§ 3.11. Параллельное соединение R, C, L – элементов
Пусть
.
–?
– для мгновенных значений.
где
.
Тогда,
.
–?
–?
Применим метод комплексных амплитуд.
– полная комплексная проводимость.
– закон Ома в комплексной форме для параллельного
соединения R, C, L – элементов.
– законы Ома для действительных и комплексных значений.
Замечание
индуктивная).
1. Если
Если
,
то
, то
(цепь
(цепь емкостная).
Если
, то
резонансный ток.
Замечание 2. Треугольник проводимостей:
(активный характер). Режим –
– реактивная проводимость.
§ 3.12. Расчет сложных цепей синусоидального тока
Для цепей синусоидального тока можно записать законы Кирхгофа в
комплексной форме:
1.
где
,
– число ветвей в узле;
– комплексная амплитуда тока -той ветви.
2.
где
,
– число пассивных элементов контура (то есть элементов
– число источников напряжения в контуре;
);
– комплексные амплитуды напряжения и ЭДС.
Правила знаков такие же, как и для цепи постоянного тока.
– для комплексных действующих значений.
Все методы расчета сложных электрических цепей, рассмотренные для
цепей постоянного тока, применимы и для цепей переменного тока, только
расчеты ведутся в области комплексных чисел.
Порядок расчета сложной синусоидальной цепи:
1. Задаются положительным направлением тока во всей цепи;
2. Для всех заданных значений синусоидальных источников
записывается их комплексные амплитуды и комплексные действующие
значения;
3. Рассчитываются комплексные сопротивления всех ветвей:
– в общем случае;
4. Выбираем любой метод и проводим расчет как для цепи постоянного
тока в области комплексных чисел (в результате получаются комплексноамплитудные или комплексно-действующие значения токов всех ветвей);
5. По полученным комплексным значениям записываются
синусоидальные функции тока.
§ 3.13. Активная, реактивная и полная мощность (самостоятельно)
Под активной мощностью понимается среднее значение мгновенной
мощности за период :
.
Активная мощность физически представляет собой энергию, которая
выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи в
сопротивлении :
.
Единица активной мощности – 1 Вт.
Единица реактивной мощности – 1 ВАр (вольт-ампер реактивный).
Если
, то
, если
, то
.
Рассмотрим, что физически представляет собой реактивная мощность.
Возьмем участок цепи с последовательным соединением
элементов.
Пусть по нему протекает ток:
.
Запишем выражение для мгновенного значения суммы энергий
магнитного и электрического полей цепи:
Из
полученного
выражения
видно,
что
имеет
постоянную
составляющую
, не изменяющуюся во времени, и переменную
составляющую
, изменяющуюся во времени с двойной угловой частотой:
,
где
,а
.
На создание постоянной составляющей
была затрачена энергия в
процессе становления данного периодического режима. Далее при
периодическом
процессе
энергия
остается
неизменной
и,
следовательно, от источника питания не требуется энергии на ее создание.
Среднее значение энергии
интервал времени от
до
, поступающей от источника за
:
Таким образом, реактивная мощность
пропорциональна среднему за
четверть периода значению энергии, которая отдается источнику питания на
создание переменной составляющей электрического и магнитного поля
индуктивной катушки и конденсатора.
За один период переменного тока энергия
дважды отдается
генератором в цепь, и дважды он получает ее обратно, то есть реактивная
мощность является энергией, которой обменивается генератор и приемник.
Полная мощность:
Треугольник мощности:
характеризует ту мощность, которую источник электрической
энергии может отдавать потребителю, если последний работает
при
(то есть если потребитель представляет собой чисто активное
сопротивление).
§ 3.14. Выражение мощности в комплексной форме (самостоятельно)
Пусть задан некоторый комплекс:
Под комплексом
, сопряженным с комплексом
, будем понимать:
Рассмотрим простой прием определения активной и реактивной
мощностей через комплекс напряжения и сопряжений комплекса тока.
Напряжение
участку
на
некотором
участке
цепи
.
Ток
. Угол между напряжением и током
комплекс напряжения на сопряженный комплекс тока
полученный комплекс через:
Знак « » над
по
этому
. Умножим
и обозначим
обозначает комплекс (а не сопряженный комплекс)
полной мощности, составленный при участии сопряженного комплекса .
Таким образом, активная мощность есть действительная часть ( ),
а реактивная мощность
– мнимая часть (
) произведения
:
§ 3.15. Измерение мощности ваттметром (самостоятельно)
Измерение мощности производят обычно с помощью ваттметра
электродинамической системы, в которой имеется две катушки –
неподвижная и подвижная.
Подвижная катушка, выполненная из очень тонкого провода, имеет
практически чистое активное сопротивление и называется параллельной
обмоткой. ЕЕ включают параллельно участку цепи, подобно вольтметру.
Жестко скрепленная со стрелкой (указателем), она может вращаться в
магнитном поле, создаваемым неподвижной катушкой.
Неподвижная катушка, выполненная из довольно толстого провода,
имеет очень малое активное сопротивление и называется последовательной
обмоткой. Ее включают в цепь последовательно, подобно амперметру.
Изображение ваттметра на схеме электрической цепи:
Одна пара полюсов (горизонтальная) принадлежит последовательной
обмотке, другая (вертикальная) – параллельной. На концах одноименных
зажимов обмоток принято ставить точки.
Вращающийся момент ваттметра пропорционален действительной
части произведения комплексного напряжения
на параллельной обмотке
ваттметра на сопряженный комплекс тока , втекающего в конец
последовательной (токовой) обмотки ваттметра и снабженной точки:
.
Напряжение на параллельной обмотке берут равным разности
потенциалов между ее концом, имеющим точку (точка а), и ее концом, не
имеющим точку (точка b).
Предполагают, что ток втекает в конец последовательной обмотки, у
которой поставлена точка.
Цена деления ваттметра определяется как частное от деления
произведения номинального напряжения на номинальный ток (указывается
на лицевой стороне прибора) на число делений шкалы.
§ 3.16. Резонанс в цепях постоянного тока
§ 3.16. Резонанс в цепях синусоидального тока
Резонанс возникает в электрических цепях, содержащих индуктивные и
емкостные элементы.
Различают два вида резонанса: амплитудный и фазовый. Под
амплитудным резонансом понимают резкое увеличение амплитуды тока или
напряжения на элементах R,L,C, а под фазовым – совпадение по фазе тока и
напряжения на входных зажимах
Резонанс может возникать на одной или нескольких частотах.
Рассмотрим резонансные явления на примере последовательного и
параллельного колебательных контуров, состоящих из резистивного,
индуктивного и емкостного элементов. В таких контурах резонанс возможен
на одной частоте.
1. Резонанс в последовательном колебательном контуре (резонанс
напряжений).
Он возникает в электрической
соединением
элементов.
цепи
с
последовательным
Последовательный колебательный контур.
Для этой цепи
.
Знаменатель этой дроби зависит от частоты и при некотором значении
ω = ω0 исчезнут реактивные сопротивления:
XL – XC = 0; → XL = XC.
Тогда
=R = Zmin.
При таком режиме, если при изменении действующее значение
напряжения источника поддерживать постоянным (источник напряжения), то
I = Imax = U/R;
= 0.
Особенности:

(при
резонансе
эти
напряжения
противоположны по фазе);
 так
как
превышать
как
(причем
напряжение
приложенное
и
зависят от

(при
и
,
могут
так
носит
активный
);
резонансе
цепь
характер);

– максимальное значение;

(
;
–
резонансная
частота);
;

;
 Для качественной оценки колебательного контура вводится понятие
добротности контура ( Q). (
сколько раз напряжение
или
– показывает, во
превышает напряжение сети).
зависимости параметров
характеристики).
Наглядное представление о резонансе дают
электрической цепи от или (частотные
– реактивное сопротивление
.
2. Резонанс в параллельном колебательном контуре (резонанс
токов).
Возникает в цепи с параллельным соединением ветвей, одна из
которых содержит , а другая .
Параллельный колебательный контур.
Для этой цепи
.
Знаменатель этой дроби зависит от частоты и при некотором значении
ω = ω0 исчезнут реактивные проводимости:
BL – BC = 0; → BL = BC.
Тогда
=R = Ymin.
При таком режиме, если при изменении частоты действующее значение
тока источника поддерживать неизменным (источник тока), то
U = Umax = I/G;
= 0.
Выразим проводимости отдельных ветвей и общую проводимость
цепи.
Особенности:

(
,
–
реактивные
составляющие токов ветвей);


- минимальное значение;
максимальное значение;

–
резонансная частота;

.
Замечания.
1.
При анализе режима резонанса токов активное
сопротивление какой либо ветви может отсутствовать. Тогда во всех
приведенных выражениях соответствующее значение сопротивления
принимается равным нулю.
2.
Если последовательный колебательный контур задан
схемой
Резонанс наступит при условии
, то есть как и в случае
резонанса напряжений.
3.
При резонансе (напряжений и токов) цепь носит активный
характер, следовательно, потребляет только активную мощность.
Реактивные мощности индуктивного и емкостного элементов равны
между собой:
QL = QC. Это означает, что между катушкой и конденсатором
происходит обмен энергией, но источник питания в этом обмене не
участвует: источник только восполняет потери в активных сопротивлениях
контура.